《二次根式化简》教学设计(河南省县级优课)
《二次根式化简》教学设计1
16.1二次根式第2课时教学目标知识与技能1.理解(√a)2=a(a≥0)和2=a(a≥0),并利用它们进行计算和化简.2.用具体数据结合算术平方根的意义推出(√a)2=a(a≥0)和探究2=a(a ≥0),会用这个结论解决具体问题.3.了解代数式的概念.过程与方法在明确(√a)2=a(a≥0)和√a2=a(a≥0)的算理的过程中,感受数学的实用性.情感态度与价值观通过运用二次根式的性质化简的相关计算,解决一些实际问题,培养学生解决问题的能力.教学重点与难点【重点】掌握二次根式的性质,并能将二次根式的性质运用于化简.【难点】能运用二次根式的性质化简.教学准备【教师准备】教学所需的习题资料.【学生准备】课前自学教材第3-4页的内容.教学过程一、新课导入 教师出示问题: 1.什么叫二次根式?2.当a ≥0时,√a 叫什么?当a <0时,√a 有意义吗? 学生口答,老师点评.通过前面的学习,我们知道了二次根式√a 具有双重非负性.今天我们主要 学习一些二次根式的其他性质.[设计意图] 复习旧知导入新知,让本节课自然过渡,为本节课学习奠定 了基础. 二、构建新知1.二次根式的性质1:(√a )2=a (a ≥0)[过渡语] 我们先来探究性质1: (√a )2=a (a ≥0). 提问:你能解释下列式子的含义吗? (√4)2,(√)2,(√13)2,(√0)2.学生口述,教师根据情况评价.(√4)2表示4的算术平方根的平方;(√)2表示2的算术平方根的平方;(√13)2表示13的算术平方根的平方;(√0)2表示0的算术平方根的平方.追问:根据算术平方根的意义填空,并说出得到结论的依据.(√4)2= ;(√2)2= ;(√13)2= ;(√0)2= . 学生独立完成填空后,让学生展示其思维过程,说出得到结论的依据. 教师引导学生说出每一个式子的含义.√4是4的算术平方根,根据算术平方根的意义,√4是一个平方等于4的非负数,因此有(√4)2=4.√2是2的算术平方根,根据算术平方根的意义,√2的非负数,因此有(√)2=2. √13是13的算术平方根,根据算术平方根的意义, √13是一个平方等于13的非负数,因此有(√13)2=13.√0表示0的算术平方根,因此有(√0)2=0.讨论:从以上的结论中你能发现什么规律?你能用一个式子表示这个规 律吗?引导学生归纳得出二次根式的性质:一个非负数的算术平方根的平方等 于这个非负数,即(√a )2=a (a ≥0).根据等式的定义，可得：a = (√a )2 (a ≥0) 。
《二次根式的化简》教案(1) (3)
5.1.2 二次根式的化简〔3〕教学目标1 进一步加深对积的算式平方根的性质的理解，进一步掌握二次根式的化简。
重点、难点重难点：积的算式平方根的性质进行二次根式的化简。
教学过程一 、创设情景，导入新课二、 合作交流，探究新知上面问题中用到了：546⋅= 546⨯，这样计算对吗？你是根据什么法那么想到这样计算的呢？(00)(00)ab a b a b a b ab a b =≥≥∴=≥≥，， P158 例4 化简以下二次根式〔1〕 18 〔2〕 20 〔3〕 72化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移到根号外 〔注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数〕 P158 例5 化简以下二次根式 〔1〕21 〔2〕53最简二次根式：（1） 被开方数中不含得尽方的因数〔或因式〕； （2） 被开方数不含分母。
一次函数复习〔二〕课题第四章一次函数复习〔二〕本课〔章节〕需13课时 ，本节课为第12—13课时，为本学期总第46—47课时教学目标知识与技能：1、使学生理解一次函数的意义，掌握根据条件确定一次函数表达式的方法，会画一次函数图像。
探究并掌握一次函数性质，并用之解决实际问题。
过程与方法：通过例题讲解，使学生体会一次函数性质及应用。
情感态度与价值观：体会函数作为数学模型在分析解决实际问题中的重要作用。
重点 应用一次函数的概念、图像和性质解题难点 一次函数在实际问题中的应用教学方法课型练习 教具 多媒体教学过程： 一、根底练习1.如图1，直线y kx b =+经过点(12)A --，和点(20)B -，，直线2y x =过点A ，那么不等式20x kx b <+<的解集为〔 〕 A ．2x <- B ．21x -<<- C ．20x -<< D ．10x -<< 2.如图2，点A 的坐标为(－1，0)，点B 在直线x y =上 运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为〔 〕 A.〔0，0〕 B.〔－1，－1〕个案修改yxO BA〔2题〕yOxB A〔1题〕C.〔－21，－21〕 D.〔－22，－22〕3.沪杭高速铁路已开工建设，在研究列车的行驶速度时，得到一个数学问题．如图3，假设v 是关于t 的函数，图象为折线C B A O ---，其中)350,(1t A ，)350,(2t B ，)0,8017(C ，四边形OABC 的面积为70，那么=-12t t 〔 〕 A ．51B ．163 C ．807 D ．160314.甲、乙两名运发动进行长跑训练，两人距终点的路程y 〔米〕与跑步时间x 〔分〕之间的函数图 象如以下图，根据图象所提供的信息解答问题： ⑴求甲距终点的路程y 〔米〕和跑步时间 x 〔分〕 之间的函数关系式；⑵当x =15时，两人相距多少米？在15＜x ＜20的 时段内，求两人速度之差． 能力提升：1. 如图，过点Q 〔0，3.5〕的一次函数与正比例函数y =2x 的图象相交于点P ，能表示这个一次函数图象的方程是 〔 〕A ．3x －2y+3.5＝0B ．3x －2y －3.5＝0C ．3x －2y+7＝0D ．3x +2y －7＝0 y ＝－3x －2的图象不经过〔 〕A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3. 函数y=kx 的函数值随x 的增大而增大，那么函数的图像经过〔 〕 A ．一、二象限 B ． 一、三象限 C ．二、三象限 D ．二、四象限 4. 将直线 y = 2 x ─ 4 向上平移5个单位后，所得直线的表达式是______________.5. 假设一次函数y kx b =+，当x 得值减小1，y 的值就减小2，那么当x 的值增加2时，y 的值〔 〕A ．增加4B ．减小4C ．增加2D ．减小2 二、拓展探究1.某加油站五月份营销一种油品的销售利润y 〔万元〕与销售量x 〔万升〕之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．〔销售利润＝〔售价－本钱价〕×销售量〕请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答以下问题：⑴求销售量x 为多少时，销售利润为4万元；⑵分别求出线段AB 与BC 所对应的函数关系式；⑶我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在OA 、AB 、BC 三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？〔直接写出答案〕Ox 〔万升〕y 〔万元〕 CB A 4 10 1日：有库存6万升，本钱价4元/升，售价5元/升． 13日：售价调整为5.5元/升．15日：进油4万升，本钱价4.5元/升． 31日：本月共销售10万升．五月份销售记录一次函数复习〔二〕A ．2x <-B ．21x -<<- C ．20x -<< D ．10x -<< 2.如图2，点A 的坐标为(－1，0)，点B 在直线x y =上 运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为〔 〕 A.〔0，0〕 B.〔－1，－1〕C.〔－21，－21〕 D.〔－22，－22〕3.沪杭高速铁路已开工建设，在研究列车的行驶速度时，得到一个数学问题．如图3，假设v 是关于t 的函数，图象为折线C B A O ---，其中)350,(1t A ，)350,(2t B ，)0,8017(C ，四边形OABC 的面积为70，那么=-12t t 〔 〕 A ．51B ．163 C ．807 D ．160315.甲、乙两名运发动进行长跑训练，两人距终点的路程y 〔米〕与跑步时间x 〔分〕之间的函数图 象如以下图，根据图象所提供的信息解答问题： ⑴求甲距终点的路程y 〔米〕和跑步时间 x 〔分〕 之间的函数关系式；⑵当x =15时，两人相距多少米？在15＜x ＜20的 时段内，求两人速度之差． 能力提升：1. 如图，过点Q 〔0，3.5〕的一次函数与正比例函数y =2x 的图象相交于点P ，能表示这个一次函数图象的方程是 〔 〕A ．3x －2y+3.5＝0B ．3x －2y －3.5＝0C ．3x －2y+7＝0D ．3x +2y －7＝0 y ＝－3x －2的图象不经过〔 〕A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3. 函数y=kx 的函数值随x 的增大而增大，那么函数的图像经过〔 〕 A ．一、二象限 B ． 一、三象限 C ．二、三象限 D ．二、四象限 4. 将直线 y = 2 x ─ 4 向上平移5个单位后，所得直线的表达式是______________.5. 假设一次函数y kx b =+，当x 得值减小1，y 的值就减小2，那么当x 的值增加2时，y 的值〔 〕A ．增加4B ．减小4C ．增加2D ．减小2 二、拓展探究1.某加油站五月份营销一种油品的销售利润y 〔万元〕与销售量x 〔万升〕之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．〔销售利润＝〔售价－本钱价〕×销售量〕请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答以下问题：⑴求销售量x 为多少时，销售利润为4万元；⑵分别求出线段AB 与BC 所对应的函数关系式；⑶我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在OA 、AB 、BC 三段所表示的销售信息中，哪一段的C1日：有库存6万升，本钱价4元/升，售价5元/升． 13日：售价调整为5.5元/升．15日：进油4万升，本钱五月份销售记录。
《二次根式化简》教学设计2
16.1.2二次根式化简【教学目标】1.知识与技能（1）经历探索性质(a)2= a（a≥0）和2a=a（a≥0）的过程，并理解其意义；（2）会运用性质(a)2= a（a≥0）和2a= a（a≥0）进行二次根式的化简；（3）了解代数式的概念。
2.过程与方法（1）从具体到抽象自主探究得到二次根式的性质，增强学生自主参与的意识。
（2）发展观察、归纳、概括等能力，发展有条理的思考能力以及语言表达能力。
3.情感态度和价值观（1）通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识。
（2）在独立思考的同时，通过小组交流能够得到他人的认同并认同他人。
【教学重点】理解二次根式的性质性质(a)2= a（a≥0）和2a=a（a≥0），并能用它们进行计算和化简。
【教学难点】引导学生自主探究推导出性质(a)2= a（a≥0）和2a=a（a≥0）【教学方法】引导学生通过观察，讨论，由具体到抽象，得出一般结论，并发现开平方运算与平方运算的互逆关系，培养学生由特殊到一般的思维方式。
学生通过自学与小组合作学习相结合的方法探究推导并掌握二次根式的性质。
【课前准备】教学课件，学案。
【课时安排】1课时【教学过程】一、复习导入【教师】上节课我们学习了二次根式的概念，了解了满足什么样的条件才能称为二次根式，现在，我们来复习一下吧。
课件展示复习题，学生快速回答。
【学生】形如a（a≥0）的式子叫做二次根式。
【教师】当a ≥0时，a 表示： ？【学生】a 的算术平方根，即当a ≥0时，a ≥0【教师】同学们能回忆一下算数平方根的意义吗？学生讨论后师生共同回忆二、新课教学1.出示学习目标（1）经历探索性质(a )2= a （a ≥0）和2a =a （a ≥0）的过程，并理解其意义；（2）会运用性质(a )2= a （a ≥0）和2a =a （a ≥0）进行二次根式的化简；（3）了解代数式的概念．2．探究二次根式的性质1【教师】之前我们学习了算术平方根，现在，大家根据算术平方根的意义填一下探究内容吧。
二次根式的化简备课教案
二次根式的化简备课教案【教案策划】【教学目标】1. 理解二次根式的概念，掌握常见的二次根式的化简方法；2. 能够运用所学的方法，灵活地化简各种形式的二次根式；3. 培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
【教学重点】掌握二次根式化简的方法。
【教学难点】能够适应不同形式的二次根式的化简。
【教学准备】教师准备：板书、教学课件、相关练习题；学生准备：教科书、笔记本、计算器。
【教学步骤】Step 1 引入1. 教师可以提问学生，你们知道什么是二次根式吗？请举一个例子。
2. 学生回答后，教师对二次根式进行解释，并板书相关定义和符号。
Step 2 基本化简方法1. 教师通过板书引导学生复习一些基本知识点，如分解因式、化简分数等。
2. 教师给出示例，让学生根据基本知识点进行化简，引导学生发现规律。
3. 教师板书总结基本化简方法，并与学生一起归纳总结。
Step 3 常见的二次根式的化简1. 教师呈现一组常见的二次根式，让学生一一进行化简，并解释过程。
2. 学生进行展示，教师提问学生，你们觉得有哪些化简方法是通用的呢？Step 4 深入探究1. 教师出示几个较为复杂的二次根式，让学生合作讨论并尝试化简。
2. 辅助提问：你们能找到一个化简方法，能够覆盖这些例子吗？3. 学生进行展示与解释，并互相讨论。
Step 5 拓展应用1. 教师出示一些拓展应用题，要求学生灵活运用所学知识进行化简。
2. 学生进行独立或合作完成，并进行互相检查。
Step 6 归纳总结1. 教师与学生一起回顾所学内容，归纳总结二次根式的化简方法。
2. 学生可以发表自己对二次根式化简的理解和感悟。
【教学延伸】1. 学生可以自主查找更多的例题进行练习；2. 学生可以尝试设计自己的二次根式化简题目，与同学们互换。
【教学反思】通过本节课的学习，学生能够掌握二次根式的化简方法，并能够熟练地运用于各种形式的二次根式。
教师可以通过课后作业和小测验来检查学生的掌握情况，并随时跟进学生的学习进度。
二次根式的化简数学教案
二次根式的化简数学教案标题：二次根式的化简数学教案一、教学目标：1. 理解并掌握二次根式的概念和性质。
2. 能够运用二次根式的性质进行简单的化简计算。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 二次根式的定义与性质2. 二次根式的化简方法三、教学过程：（一）引入新课教师可以利用生活中的实例，如测量物体的长度或体积等，引出二次根式的概念。
然后，通过一些简单的例子，让学生初步理解二次根式的基本性质。
（二）讲解新课1. 二次根式的定义与性质教师首先给出二次根式的定义，即若a≥0，则√a表示a的平方根。
接着，介绍二次根式的性质，包括：① √a²=a；② √ab=√a×√b（a≥0，b≥0）；③ (√a)²=a；④ √(a/b)=√a/√b（a≥0，b>0）。
2. 二次根式的化简方法教师以具体的二次根式为例，逐步引导学生学习二次根式的化简方法。
主要的方法有：① 利用二次根式的性质进行化简；② 利用完全平方公式进行化简。
（三）课堂练习设计一些针对二次根式化简的题目，让学生在课堂上完成，以此检查学生对二次根式化简的理解和掌握程度。
（四）作业布置设计一些课外练习题，让学生在课后进行自我检测和巩固。
四、教学反思：在教学过程中，教师应注意观察学生的反应，及时调整教学策略。
同时，应鼓励学生积极参与，提高他们的主动性和积极性。
五、教学评价：通过对学生的课堂表现、作业完成情况以及测试成绩的综合评价，了解学生的学习进度和理解程度。
六、总结：本节课的教学目标是让学生理解和掌握二次根式的概念和性质，以及如何进行二次根式的化简。
通过实例引入、理论讲解、课堂练习和作业布置等方式，使学生能够熟练地运用二次根式的性质进行化简计算，培养他们的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
数学教案-二次根式的化简 教学设计2
数学教案－二次根式的化简教学设计2一、教学目标1.理解二次根式的定义和性质；2.学会化简带有二次根式的数学表达式；3.掌握应用二次根式解决实际问题。
二、教学准备1.教学素材：教材、教具、练习题等；2.教学环境：教室、黑板、投影仪等。
三、教学过程第一步：导入教师可以通过提问的方式向学生引入本节课的主题。
例如：•你们还记得二次根式是什么吗？•二次根式有哪些特点和性质？通过回答问题，激发学生对于二次根式的记忆和理解。
第二步：引入新知1.通过教材的引入部分，让学生了解本课所学内容的重要性和实用性。
2.再次复习二次根式的定义和性质，特别是关于二次根式化简的规则。
第三步：知识讲解1.定义和性质回顾和复习二次根式的定义和性质，强调化简的重要性。
在此阶段，可以结合教材中的例题，让学生熟悉化简的过程和步骤。
2.化简的规则–二次根式相乘•$\\sqrt{a} \\cdot \\sqrt{b} = \\sqrt{a \\cdot b}$–二次根式相除•$\\frac{\\sqrt{a}}{\\sqrt{b}} = \\sqrt{\\frac{a}{b}}$–二次根式加减法•$\\sqrt{a} \\pm \\sqrt{b} = \\text{化简后的形式}$给出具体的例子和步骤，引导学生理解和掌握这些规则。
第四步：实例演练1.教师可以给出一些简单的例题，让学生在黑板上进行化简操作。
例如：–$\\sqrt{18}$–$\\sqrt{27}$–$\\frac{\\sqrt{16}}{\\sqrt{4}}$–$\\sqrt{3} + \\sqrt{5} - \\sqrt{3}$–$\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{8} - \\sqrt{5} \\cdot \\sqrt{20}$让学生一步一步地解答，并让其他学生进行讨论和补充。
2.练习巩固让学生在课后完成一些练习题，进一步巩固和应用所学知识。
第五步：拓展应用1.探究实际问题通过给出一些实际问题，让学生应用二次根式化简的知识解决问题。
初中数学八年级下册《二次根式的化简》优秀教学设计
判断下列各式是否是最简二次根式？
【概念理解学习材料4】
例4判断下列各式是否是最简二次根式？
分析：被开方数是多项式的要先分解因式再进行观察判断。
（1） 不能分解因式， 显然满足最简二次根式的两个条件。
（2）
解：最简二次根式只有 ，因为
说明：被开方数比较复杂时，应先进行因式分解再观察。
【概念理解巩固材料4】
2、教法方法
素质教育和新的教改精神的根本是增强学生学习的自主性和学生的参与意识，使每一个学生想学、爱学、会学。因此要充分考虑到学生心理特点和思维特点，充分发挥情感因素，使学生完全参与到整个教学中来。
⑴在复习引入时要注意每个学生的反映，对预备知识掌握比较好的学生要用适当的方式给予表扬，掌握差一些的学生要给予鼓励和适当的指导，使每一个学生愉快的进入下一个环节。
分析：判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件是否同时满足，同时满足两个条件的就是，否则就不是。
解：最简二次根式有 ，因为
被开方数中含能开得尽方的因数９，所以它不是最简二次根式。
说明：判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数(或因式)的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察。
正选练习题4
判断下列各式是否是最简二次根式？
3、化简二次根式为最简二次根式方法学习与巩固
【化简方法学习材料1】
例1、把下列二次根式化为最简二次根式
分析：本例题中的2道题都是基础题，只要将被开方数中能开的尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面即可。
解：
【化简方法巩固材料1】
《二次根式的化简》教学设计
《二次根式的化简》教学设计教学目标：1.理解积的算术平方根性质：()0,0≥≥∙=babaab2.能够利用积的算术平方根的性质化简二次根式。
3.经历自主探究，感受观察比较与合情推理的作用和价值。
重点和难点：重点：积的算术平方根的性质，二次根式的化简难点：正确移出二次根号下的平方因子。
教学活动设计：创设情境引入，归纳整理，应用提高，以学生活动为主教学过程：（一）提出问题，引入新课如图，正方形ABCD的边长为2，它的对角线AC的长是多少？（二）知识探究（二）知识探究1、观察比较○=○=822AC2222=+=+=BCAB222OA2OA4OA2ABOBOABCACODOCOBOA22222=∴=∴=∴=∙=+∴⊥===AC即甲同学：乙同学：由此可见: 228=↓↓24⨯24⨯=()34341⨯⨯()4254252⨯⨯○= ……引出：积的算术平方根的性质：两个非负数的积的算术平方根等于这两个非负数的算术平方根的积。
2、现在你能运用上面的性质说明 吗？3、二次根式的化简：例1，化简下列二次根式解： 设问：①15还能化简吗？为什么？ ②被开方数有什么特点的二次根式才能化简呢？引出平方因子的根念：我们把()2224)3(9、叫做平方因子（因式中能写成平方形式的因数或因式） 举例说明：归纳：化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平因子去掉平方号以后移到根号外（注意：移到根号外的数必须是非负数）。
例2：化简下列二次根式解: ()0,0≥≥∙=b a b a ab 53452224248==⨯=⨯=20)2(18)1(()232929181=⨯=⨯=()525454202=⨯=⨯=()914191413⨯⨯=82233239410822⨯⨯=⨯⨯=yx y x ∙∙∙=222228()()()()0,012420,091223≥≥+≥≥b a ab b b a b a ()ab a aba b a 3391223=∙∙=()()ab a b ab b 3123141242222+=+=+归纳：1、化简的一般步骤：①先把被开方式分解成平方因子和其它因子相乘的形式。
新人教版八年级数学下《16.1 二次根式 二次根式化简》优质课教学设计_4
二次根式的化简 教学设计
一、教材分析
本节课教学内容“二次根式的化简”是人教版八年级下册第十六章第一节第二课时的内容.主要是在学习二次根式的定义后，进一步学习二次根式的性质，利用二次根式的性质对二次根式实行化简.本节课是一节新授课.在七年级下册学习平方根这个章时，学生已经初步了解了二次根式的形式，学完本节课内容之后，有助于学生更好地理解二次根式的双重非负性，本节课的内容也对后面学习二次根式的计算奠定了基础.在整个学习过程中，要注重引导学生自己得出结论，特别是二次根式的两个性质，学生自己就能够通过探究初步得出结论，培养学生总结规律的水平.
二、教学目标
1.知识与技能：（1）使学生进一步理解二次根式的意义.
（2）理解和应用二次根式的性质a 0≥()0≥a 和()()02≥=a a a 及掌握二次根式
的化简.
2.过程与方法：（1）通过探究让学生得出二次根式的两个性质，体会从特殊到一般的思维过程，进而掌握公式的一般推导方法；
（2）通过探究二次根式的化简，培养学生观察、分析、归纳、概括的水平.
3.情感态度与价值观：通过自主探究得出结论，增强学生学习数学的信心.
三、教学重难点
教学重点：理解二次根式的意义及其性质.
教学难点：理解二次根式性质及掌握二次根式
的化简. 教具：多媒体课件
2a 2a
的二次根式的基本性质
七、教学反思
二次根式的化简这堂课，是从二次根式的定义、二次根式的性质两个方面内容展开的.这节课的特点是：课堂设计新颖,创造性地使用了教材，能遵循学生的学习和思维规律,循序渐进的展开教学过程.对于学生理解上的难点实行详细讲解和多次联系巩固.。
二次根式的化简 教学设计2
二次根式的化简教学设计2一、教学目标•理解二次根式的概念和性质•掌握二次根式化简的方法和技巧•能够应用二次根式化简解决实际问题二、教学内容1. 二次根式的定义•二次根式定义：对于非负实数a和b，称$\\sqrt{a+b\\sqrt{c}}$为二次根式。
其中a和b称为二次根式的实部和虚部，c为二次根式的基数。
•注意：二次根式的实部和虚部都必须是实数，且基数c必须为正数。
2. 二次根式的化简方法•方法一：消去虚部。
–若二次根式为$\\sqrt{a + b\\sqrt{c}}$，其中b eq0，可以通过构造一个等价的二次根式$\\sqrt{m + n\\sqrt{c}}$，使得虚部消失。
•消去虚部的步骤：先将二次根式进行平方得到一个数m，再求解实数n，使得$b = 2n\\sqrt{c}$，此时原二次根式可化简为$\\sqrt{m}$。
–例子：$\\sqrt{5 + 2\\sqrt{6}}$的化简过程如下：•平方得到 $5 + 2\\sqrt{6} = (a + b\\sqrt{6})^2 = a^2 + 6b^2 +2ab\\sqrt{6}$。
•整理得到 $5 + 14 = (a^2 + 6b^2) + (2ab\\sqrt{6})$，即19=a2+6b2。
•解方程 $b = 2n\\sqrt{c}$，得到2n=2，即n=1。
•代入a2+6b2=19，得到 $a^2 + 6\\cdot 4 = 19$，即a2=−5，无解。
•因此，$\\sqrt{5 + 2\\sqrt{6}}$无法消去虚部。
•方法二：分解虚部。
–若二次根式为$\\sqrt{a + b\\sqrt{c}}$，其中b eq0，可以通过将虚部拆解为两个二次根式之和的形式进行化简。
•拆解的步骤：设虚部为$b\\sqrt{c} = (p + q\\sqrt{c}) + (r +s\\sqrt{c})\\sqrt{c}$，其中p,q,r,s为待求实数。
新人教版八年级数学下《16.1 二次根式 二次根式化简》优质课教学设计_5
教学重点 教学难点 教学方法
a2 ＝a（a≥0）的探究．
结论的应用 讲练结合
教具准备 修订与完善
教学程序及教学内容
一、复习引入： 老师口述并板书上两节课的重要内容； 1．形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式； 2． a （a≥0）是一个非负数； 3．( a )2＝a（a≥0） ．
2 那么，我们猜想当 a≥0 时， a =a 是否也成立呢？下面我们
就来探究这个问题． 二、探究新知： （学生活动）填空：课本 P4 探究
2 所以，一般地： a =a（a≥0）
例1
化简 （2） (4) 2 （3） 25 （4） (3) 2
（1） 9
分析：因为（1）9=（-3）2， （2） （-4）2=42， （3）25=52，
2 （4） （-3）2=32，所以都可使用 a =a（a≥0）•去化简． 2 解： （1） 9 = 3 =3 2 （3） 25 = 5 =5
（2） (4) 2 = 42 =4
2 （4） (3) 2 = 3 =3
三、巩固练习： 教材 P7 练习 2． 四、应用拓展： 例2
2 2 填空： 当 a≥0 时， a =_____； 当 a<0 时， a =_______，
•并根据这个性质回答下列问题．
2 （1）若 a =a，则 a 能够是什么数？ 2 （2）若 a =-a，则 a 能够是什么数？ 2 （3） a >a，则 a 能够是什么数？
八年级数学教案
章课题 参备教师 课题 知识 技能 过程 方法 情感 态度 价值 观
二次根式
主备教师 授课教师
二次根式的化简
教 学 目 标
2 理解 a =a（a≥0）并利用它实行计算和化简
二次根式化简的教案
二次根式化简的教案教案标题：二次根式化简的教案教案目标：1. 学生能够理解二次根式的概念和性质。
2. 学生能够运用化简二次根式的方法。
3. 学生能够解决与二次根式相关的问题。
教学准备：1. 教师准备黑板、白板或投影仪等教学工具。
2. 教师准备一些二次根式化简的练习题。
3. 学生需要纸和铅笔。
教学过程：引入活动：1. 教师可以通过展示一些简单的二次根式，引发学生对二次根式的兴趣和好奇心。
2. 教师可以提出一个问题，例如：“如何将√12化简为最简形式？”引导学生思考。
知识讲解：1. 教师向学生解释二次根式的概念，即由一个数的平方根组成的根式。
2. 教师介绍二次根式的基本性质，例如：√(a*b) = √a * √b，√(a/b) = √a / √b。
3. 教师讲解如何化简二次根式，例如：分解因式法、有理化分母法等。
示范演示：1. 教师通过示范演示如何化简一些简单的二次根式，例如：√(16/4)，√(27*2)等。
2. 教师在黑板上或投影仪上展示步骤，并解释每一步的原理和方法。
练习活动：1. 学生进行个人或小组练习，化简一些给定的二次根式。
2. 教师巡视并提供必要的指导和帮助。
3. 学生可以互相交流和讨论，共同解决问题。
总结回顾：1. 教师和学生一起回顾本节课所学的内容，强调二次根式化简的重要性和实际应用。
2. 教师可以提供一些综合性的问题，让学生运用所学知识解决。
拓展延伸：1. 对于进一步挑战的学生，教师可以提供更复杂的二次根式化简练习题。
2. 教师可以引导学生思考二次根式的实际应用，例如在几何图形中的应用等。
评估反馈：1. 教师可以布置一些作业，让学生继续巩固和应用所学的知识。
2. 教师可以通过课堂练习、讨论和学生的提问来评估学生的理解情况。
教案结束。
《二次根式的化简》教学设计
《二次根式的化简》教学设计教学目标1．使学生正确认识含有字母系数的一元一次方程．2．使学生掌握含有字母系数的一元一次方程的解法．3．使学生会进行简单的公式变形．4．培养学生由特殊到一般、由一般到特殊的逻辑思维能力．5．通过公式变形例题，培养学生解决实际问题的能力，激发学生的求知欲望和学习兴趣．教学重点：(1)含有字母系数的一元一次方程的解法．(2)公式变形．教学难点：(1)对字母函数的理解，并能准确区分字母系数与数字系数的区别与联系．(2)在公式中会准确区分未知数与字母系数，并进行正确的公式变形．教学方法启发式教学和讨论式教学相结合教学手段多媒体教学过程(一)复习提问提出问题：1．什么是一元一次方程？在学生答的基础上强调：(1)“一元”——一个未知数；“一次”——未知数的次数是1．2．解一元一次方程的步骤是什么？答：(1)去分母、去括号．(2)移项——未知项移到等号一边常数项移到等号另一边．注意：移项要变号．(3)合并同类项——提未知数．(4)未知项系数化为1——方程两边同除以未知项系数，从而解得方程．(二)引入新课提出问题：一个数的a倍(a≠0)等于b，求这个数．引导学生列出方程：ax=b(a≠0)．让学生讨论：(1)这个方程中的未知数是什么？已知数是什么？(a、b是已知数，x是未知数)(2)这个方程是不是一元一次方程？它与我们以前所见过的一元一次方程有什么区别与联系？(这个方程满足一元一次方程的定义，所以它是一元一次方程．)强调指出：ax=b(a≠0)这个一元一次方程与我们以前所见过的一元一次方程最大的区别在于已知数是a、b(字母)．a是x的系数，b是常数项．(三)新课1．含有字母系数的一元一次方程的定义ax=b(a≠0)中对于未知数x来说a是x的系数，叫做字母系数，字母b是常数项，这个方程就是一个含有字母系数的一元一次方程，今天我们就主要研究这样的方程．2．含有字母系数的一元一次方程的解法教师提问：ax=b(a≠0)是一元一次方程，而a、b是已知数，就可以当成数看，就像解一般的一元一次方程一样，如下解出方程：ax=b(a≠0)．由学生讨论这个解法的思路对不对，解的过程对不对？在学生讨论的基础上，教师归纳总结出含有字母函数的一元一次方程和过去学过的一元一次方程的解法的区别和联系．含有字母系数的一元一次方程的解法和学过的含有数字系数的一元一次方程的解法相同．(即仍需要采用去分母、去括号、移项、合并同类项、方程两边同除以未知数的系数等步骤．)特别注意：用含有字母的式子去乘或者除方程的两边，这个式子的值不能为零．3．讲解例题例1 解方程ax+b2=bx+a2(a≠b)．解：移项，得 ax-bx=a2-b2，合并同类项，得(a-b)x=a2-b2．∵a≠b，∴a-b≠0．x=a+b．注意：1．在没有特别说明的情况下，一般x、y、z表示未知数，a、b、c表示已知数．2．在未知项系数化为1这一步是最易出错的一步，一定要说明未知项系数(式)不为零之后才可以方程两边同除以未知项系数(式)．3．方例2、解方程分析：去分母时，要方程两边同乘ab，而需ab≠0，那么题目中有没有这个条件呢？有隐含条件a≠0，b≠0．解：b(x-b)=2ab-a(x-a)(a+b≠0)．bx-b2=2ab-ax+a2(去分母注意“2”这项不要忘记乘以最简公分母．)ba+ax=a2+2ab+b2(a+b)x=(a+b)2．∵a+b≠0，∴x=a+b．(四)课堂练习解下列方程：教材P．90．练习题1—4．补充练习：5．a2(x+b)=b2(x+a)(a2≠b2)．解：a2x+a2b=b2x+ab2(a2-b2)x=ab(b-a)．∵a2≠b2，∴a2-b2≠0解：2x(a-3)-(a+2)(a-3)=x(a+2)(a-b)x=(a+2)(a-3)．∵a≠8，∴a-8≠0(五)小结1．这节课我们要理解含有字母系数的一元一次方程的概念，掌握含有字母系数的方程与数字系数方程的区别与联系．2．含有字母系数的方程的解法与只含有数字系数的方程的解法相同．但必须注意：用含有字母的式子去乘或除方程的两边，这式子的值不能为零．六、布置作业教材P．93．A组1—6；B组1、注意：A组第6题要给些提示．七、板书设计。
《二次根式的化简优质教案教学设计 (市优)(部优)
本节课是本单元中，对知识的理解和贯彻最重要的一堂课。
在高效课堂模式中，一堂课的紧凑性和教师活动的多少，决定着课堂容量的高低。
但在实际教学中，教师应尽可能少地利用讲授法进行教学，多与学生进行交流，增加学生的实际操练和练习时间，对于一堂课来讲，是至关重要的。
对于课堂环节的布置，应该力求简练，语言应用尽量通俗易懂。
对于一名教师而言，教学质量的高低，与备课的充足与否有很大关系。
而教案作为这一行为的载体，巨大作用是不言而喻的。
本节课的准备环节，就充分地说明了这个道理。
5.1.2 二次根式的化简（3）教学目标1 进一步加深对积的算式平方根的性质的理解，进一步掌握二次根式的化简。
重点、难点 重难点：积的算式平方根的性质进行二次根式的化简。
教学过程一 、创设情景，导入新课二、 合作交流，探究新知 上面问题中用到了：546⋅= 546⨯，这样计算对吗？你是根据什么法则想到这样计算的呢？(00)(00)ab a b a b a b ab a b =≥≥∴=≥≥，， P158 例4 化简下列二次根式（1） 18 （2） 20 （3） 72化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移到根号外（注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数）P158 例5 化简下列二次根式（1） 21 （2）53 最简二次根式：（1） 被开方数中不含得尽方的因数（或因式）；（2） 被开方数不含分母。
在本节课的教学中，我始终坚持以引导为起点，以问题为主线，以能力培养为核心，遵照教师为主导，学生为主体，训练为主线的教学原则；通过师生双边活动，通过对单元的复习，使学生对本单元的知识系统化，重点知识突出化，能力培养阶梯化；在选择题目时注意了以基本题为主，少量思考性较强的题目为辅，兼顾了不同层次学生的不同要求。
本节课，课堂情境的创设，不仅存在于课堂的开始，而是充满课堂的整个时空，努力使之与生活、社会沟通.同时通过创设问题情境，营造活泼、热烈的气氛，辅以教师富有激情的语言穿插，学生在宽松、和谐的环境中进行讨论，发现问题并解决问题，使整个课堂完成了由感性到理性的知识升华过程.教师充分发挥其主导作用，激发了学生智慧的火花，用自己的激情和精心创设的情景为学生合作探究蓄势；又以清晰的头脑理清讨论的主线，呵护学生富有个性的创新，使学生享受了成功的快乐，体验了学习的乐趣. 这是本节课的成功所在.二次根式的概念及性质教学内容： 二次根式的概念及其运用教学目标：理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．教学重难点关键： 1．重点：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2．难点与关键：利用“a（a≥0）”解决具体问题．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．老师点评：由方差的概念得S= 46.二、探索新知很明显3、10、46，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如a（a≥0）•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．（学生活动）议一议：1．-1有算术平方根吗？2．0的算术平方根是多少？3．当a<0，a有意义吗？老师点评:（略）例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x、x（x>0）、0、42、-2、1x y+、x y+（x≥0，y•≥0）．分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：2、x（x>0）、0、-2、x y+（x≥0，y≥0）；不是二次331x421x y+．例2．当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？ 分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，•31x -才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x ≥13 当x ≥13时，31x -在实数范围内有意义． 三、巩固练习 P 157 练习1、四、应用拓展例3．当x 是多少时，23x ++11x +在实数范围内有意义？ 分析：要使23x ++11x +在实数范围内有意义，必须同时满足23x +中的≥0和11x +中的x+1≠0．五、归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握：1．形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．六、布置作业 1．P159 习题5.1 A 组1在本节课的教学中，我始终坚持以引导为起点，以问题为主线，以能力培养为核心，遵照教师为主导，学生为主体，训练为主线的教学原则；通过师生双边活动，通过对单元的复习，使学生对本单元的知识系统化，重点知识突出化，能力培养阶梯化。
二次根式的化简教学设计2_3
二次根式的化简教学设计2（第1课时）一、教学目标1。
把握二次根式的性质2。
能够利用二次根式的性质化简二次根式3。
通过本节的学习渗透分类讨论的数学思想和方式二、教学设计对照、归纳、总结三、重点和难点1。
重点：明白得并把握二次根式的性质2。
难点：明白得式子中的能够取任意实数，并能依照字母的取值范围正确地化简有关的二次根式．四、课时安排1课时五、教具学具预备投影仪、胶片、多媒体六、师生互动活动设计温习对照，归纳整理，应用提高，以学生活动为主七、教学步骤（一）教学进程1．求值、、、…求值、、、…结论：当时，；当时，．2．求值、…结论：当时，式子成心义，，关于，不能为负数．3．求值、…结论：当时，．问：假设根号内那个式子中的底数，根式还成心义吗？其值等于什么？例如，，其中－2与2互为相反数；，其中－3与3互为相反数；，其中与互为相反数．提出问题：等于什么？引导学生讨论、猜想、联想，取得结论：教师可结合学生的具体情形，将上面公式用最精练的语句表达，并反复提问中差学生，加深其印象，进一步提问：假设时，可否等于，以增强学生的分辨能力，增强学生对公式的明白得和经历．例1化简：（1）；（2）．解：（略）．注：可看做，把先写为；可看做，把先写为．例2 化简：．分析：底数是非负数仍是负数将直接阻碍结果，这时要注意条件，由条件，可得．∴．解：（略）．例3 化简以下各式：（1）（）；（2）（）；（3）（）；（4）（）．解：（1）∵∴．∴．（2）∵∴，即．∴．（3）∵∴，即．∴．（4）∵，∵，即．∴．注：要从条件动身，判定根号下面式子的底数是非负数仍是负数，再依照公式计算出结果，因此在解题进程当中，也是先写出条件，后进行变形，判定底数的正、负．在写解题步骤上，尽可能完整，以减少失误，并训练学生的逻辑思维能力．（二）随堂练习1．求值：（1）；（2）；（3）（）；（4）；（5）．解：（1）．（2）．（3）．（4）．（5）．注：，学生易与相混淆．2．化简：（1）；（2）；（3）；（4）（）；（5）（）．解：（1）．（2）．（3）．（4）．（5）．（三）总结、扩展对公式，必然要在明白得在基础上牢固把握，要准确地运用公式进行二次根式的化简，关键是对根号内式子的底数的判定．（四）布置作业教材P213中1（2）、（3）；2（1）、（2）．（五）板书设计标题1．温习题 4．练习题2．公式3．例题。
新人教版八年级数学下《16.1 二次根式 二次根式化简》优质课教学设计_9
二次根式的化简的教学设计一、教学目标1.知识与技能理解二次根式的概念；理解二次根式的基本性质。
经历观察、比较、总结二次根式的基本性质的过程，发展学生的归纳概括水平；通过二次根式的概念和性质的探究，提升学生探究水平和归纳表达水平。
2.情感态度与价值观经历观察、比较、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的快乐，并提升应用的意识。
二、教学重难点1.重点二次根式的概念和性质。
2.难点二次根式的基本性质的灵活应用。
三、教学过程1.回顾复习，引入新课222_____;_____;_____.===2.师生互动，探索新知归纳：一般地性质二⎩⎨⎧≤-≥==)0((2aaaaaa）3.变式练习，深化理解=2)2)(1(=-2)2)(2(=-2)2()3(=-2)2()4(?)(22有区别吗与aa___,___,___,===|2|___;|5|___;|0|___.=-==将下列各式化简：试试你的计算水平：()()=-2211()()=--212x ()=+-2223y xy x()(()((()221;2;3-+--⋅+()()421||;532+- 4.反思交流，归纳小结谈谈这节课你的收获5.布置作业，巩固新知教材47页练习第1、2、3题；习题18.1第4、5、6题。
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结合幻灯片算一算，说一说，练一练。
用探究的方法导出二次根式的 通过幻灯片题目学生找一找，讲一讲，练一
三个基本性质
练。
1
知识点 学习 媒体 编 号 目标 类型
媒体内容要点
教使 学用 作方 用式
所得结论
占用 媒体 时间 来源
4 回顾 幻灯 二次根式概念 教
AA
学 1 探究 幻灯 二次根式性质 1 E B
学生 回答
讲授 新课
新
进入 主题
巩固 提升
教学过程结构：
一.性质的探究 根据算术平方根的意义填空：
（ 4 ） 2=_______ ；（ 2 ）
2=_______；（ 1 ）2=______；（ 0 ） 3
2=_______．
4 是 4 的算术平方根，根据算术 平方根的意义， 4 是一个平方等于 4 的非负数，因此有（ 4 ）2=4．同理
知识点 学习 编 号 目标
学
具体描述语句
习
目1 标2 描3 述
了解、 掌握
1．经历探索性质（ a ）2=a（a≥0）和 a2 =a（a≥0）的过程， 并理解其意义；
2．会运用性质（ a ）2=a（a≥0）和 进行二次根式的化简；
3．了解代数式的概念．
项目
内
容
解决措施
教学重点 教学难点
理解二次根式的两个基本 性质，并能用它们进行计 算和化简．
22 =2 ； ( 1 )2 = 1 ； 10 10
(2)2 = 2 ； 02 =0； 33
把得到的结论推广到一般，并用 含字母的二次根式表示：
a2 =a（a≥0）
你能说说依据吗？
提出质疑：讨论 a 的取值
讨论
学生思考 重新确定 a 的取值 范围
开始
将两种请款合 合 并在一起，如何 作 表达。
探 究
：（ 3 )2=3，（ 6 )2=6，（ 1.5 )2=1.5.
二.性质的运用
学生齐答 探究规律
总结规律
3
三.性质再探究 问题 2 填空，你能说说这样做
的依据吗？
22 =_______； ( 1 )2 =______ ； 10
( 2)2 =________； 02 =________． 3
（老师点评）：根据算术平方根的 意义，我们可以得到：
a(a 0).
问题：（ a )2 与 a2 的区别
出示练习题组。巩 固、消化、理解两 条性质。
学生自主 学习，得 出结论
四.巩固新知
题组训练，直 击中招
总结规律
学生合作 探究，你 争我赶， 竞赛展示
4
（1）含有表示数的字母； （2）用基本运算符号连接数或表 示数的字母． 用基本运算符号把数或表示数的 字母连接起来得到的式子叫代数式． 五.综合运用 六、课堂小结 （1）你知道了二次根式的哪些性 质？
可得：（ 2 ）2=2，（ 1 ）2= 1 ，（ 0 ） 33
2=0 把上述计算结论推广到一般，并
用字母表示
（ a ）2=a（a≥0）
你能说说依据吗？
理由：（ a )2=a（a≥0）. 由于 a
（a≥0）表示非负数 a 和算术平方根， 将非负数 a 的算术平方根平方，就等
于它本身 a，因此有（ a )2=a，例如
了保证 a2 的化简结果非负，所以在
化简结果中添加绝对值符号，即
a2 a ，然后再根据 a 的符号化简
绝对值. 比如： (5)2 5 5 . 也
可以先把被开方数写成非负数的平方 的形式，再化简，比如
(5)2 52 5 . 如 果 a2 中 a
的符号不确定，那么要讨论. 即
a(a 0), a2 = a 0(a 0),
学生的活动
教师进行逻辑判断
5
知识点 学习 编 号 目标
练习题目内容
1 形
(1)(3 2)2 (2 3)2 (2) (5)2 ( 5)2
运用 二次
书
设
a(a 0),
计
性质 2： a2 = a 0(a 0), a(a 0).
2
教学模式：
根据算术平方 导 根的意义填空
入
课
堂
探
教究
新 知
学
由特例推广到一 般，你能发现什 么规律？
过
紧跟例题、练
程
习，理解、消化
性质 1
结
构
的
思
设
考 探 究
计
性质 2 的探究。 出示题组找规律
齐答。
教师 提问
代表发言
②媒体的使用方式包括：A.设疑—播放—讲解；B.设疑—播放—讨论；C.讲解—播放—概括； D.讲解—播放—举例；E.播放—提问—讲解；F.播放—讨论—总结；G.边播放、边讲解；H. 边播 放、边议论；I.学习者自己操作媒体进行学习；J.自定义。
16.1 二次根式（2）
板 性质 1：（ a ）2=a（a≥0）
1 练习 幻灯 二次根式性质 1 G G 媒
体 2 探究
二次根式性质 2 A F
（ 2 练习
二次根式性质 2 G G
资
源
）
理解、熟练、要运用 2 分钟
推导、形成公式表达 5 分钟 网
理解、熟练
9 分钟 上
推导、形成公式表达 9 分钟 下
理解、熟练
9 分半 载
自
我
编
的
辑
选
择
①媒体在教学中的作用分为：A.提供事实，建立经验；B.创设情境，引发动机；C.举例验证， 建立概念；D.提供示范，正确操作；E.呈现过程，形成表象；F.演绎原理，启发思维；G.设难置疑， 引起思辨；H.展示事例，开阔视野；I.欣赏审美，陶冶情操；J.归纳总结，复习巩固；K.自定义。
布置 作业
式性质进行化简 需要注意什么？
（3）请谈谈发现二次根式性质的 思考过程？
（4）想一想，到现在为止，你学 习了哪几类字母示数得到的式子？说 说你对代数式的认识．
七.作业： 教科书第 4 页练习第 1，2 题； 习 题 16.1 第 2，4 题．
教学内容和教学组织 媒体的应用
对性质 1 和性 质 2 进行区分， 再次甄别其特 征。并提示从哪 几方面分析。
将两种情况
合并在一起
陈述学谈
生 论
合 形
作 成
共识
学生齐答
总结规律
由于 a2 表示 a2 的算术平方
根，所以 a2 的化简结果必须是个非 负数. 而当 a2 有意义时 a2（a≥0），
这里 a 可以正，可以负，也可以是 0. 为
课堂教学设计表
课程名称 数学 设计者 单位（学校） 授课班级 八年级
章节名称
16.1 二次根式（2）
学时 1 课时
（1）经历探索二次根式的性质的过程，并理解其意义；
学习目标
（2）会运用二次根式的性质进行二次根式的化简； （3）了解代数式的概念．
学生特征
学生已经学习了二次根式的概念和二次根式成立的条件。本节课将 进一步研究二次根式的性质。为最简二次根式、二次根式的乘除以及加 减运算做准备。