第8章_微分方程

高等数学练习题 第十二章 微分方程

系 专业 班 姓名 学号 第一节 微分方程的基本概念 第二节 可分离变量的微分方程

一．选择题

1．微分方程0)(43='-'+''y y y x y xy 的阶是 [ A ] （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 2．微分方程

02=-'y y 的通解是 [ C ]

（A ）x C y 2sin = （B ）x e y 24= （C ）x Ce y 2= （D ）x y Ce = 3．下列微分方程中，属于可分离变量的微分方程是 [ C ] （A ）0)sin(=+ydy dx xy x （B ）)ln(y x y +=' （C ）

y x dx dy sin = （D ）21

y e y x

y x =+' 4．微分方程

0=+x

dy

y dx 满足43==x y 的特解是 [ B ] （A ）743=+y x （B ）2522=+y x （C ）2522=-y x （D ）72

2=-x y

二．填空题

1．微分方程21x y xy -='的通解是

2．微分方程023

=++y e dx dy x y 满足00==x y 的特解是

3．2

2

11t

s dt ds --=的通解是 三．计算题

1． 0sin )1(cos =++-ydy e ydx x

解：原方程可化为 tan 1x

x

e ydy dx e

=-+ 积分，得 l n c o s l n (1

)l n x

y e C

=

++ 故，方程的通解为 c o s (1)

x

y C e =+

2．求微分方程042=-+dy dy x ydx ，满足24==x y 的特解

解：原方程可化为

2

4

dy dx

y x =-- 积分得 +=

+-121ln ln ln 424x y C x 即 +=-42()2

x y C x 当24

==x y 时，=16

3

C

方程的满足条件的特解为 +=

-4

16(2)

3(2)

x y x ，

3．质量为1克的质点受外力作用作直线运动，这外力和时间成正比，和质点运动的速度成反

比。在10=t 秒时，速度等于50/cm 秒，外力为4克厘米/秒2

，问从运动开始经过了一分钟后

的速度是多少？

解：由题意，外力t

F k v

=⋅

，210

1054()/,/t v o cm s F gcm s ===，

代入得 10450k =⋅

， 即 2020,t

k F v ==

又 1dv F ma dt ==⋅ 所以微分方程 20dv t

dt v

=，

所以 2

2

20v t C =+ 由初始条件 1050t v

==，代入 得 500C =

故 方程的特解为 v =

在将60t =代入上式，得 22693.(/)v c m s =

4．一曲线通过)3,2(，它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分，求这曲线方程。 解：设曲线上任一点为(,)M x y ，则以该点为切点的切线在x 轴，y 轴上的截距，依题意应

为2x 与2y ，设切线倾角为a ，则22y y

a a x x

-==-tan(),tan π 即

dy y

dx x

=- ， 2

3x y ==

解方程得 x y C = 把23()y =代入，得C = 6 故 所求的曲线方程为 6xy =

高等数学练习题 第十二章 微分方程

系 专业 班 姓名 学号 第三节 齐次方程 第四节 一阶线性微分方程

一．填空题

1．下列各微分方程中为一阶线性微分方程的是 [ B ] （A ）x y y x =+'2 （B ）x y x y sin 4=+' （C ）x y y =' （D ）0)(2=+'xy y 2．已知函数()y x 满足微分方程ln

y

xy y x

'=，且当1x =时，2y e =，则当1x =-时，y =[ A ] （A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）1

e - （1x y xe +=） 3．已知x x y ln =

是微分方程)(x y x y y ϕ+='的解，则)(x

y

ϕ的表达式为 [ A ] （A ）22x y - （B ）22x y （C ）22

y

x - （D ）22y x

4．已知微分方程2

5)1()(+=+'x y x P y 的一个特解为27

)1(3

2

+=x y ，则方程的通解为 [ C ]

（A ）272

)1(32)

1(+++-x x C （B ）27

2)1(11

2

)1(+++-x x C （C ）27

2

)1(3

2)1(+++x x C （D ）27

2

)1(112)1(+++x x C

二．填空题

1．微分方程022=---'x y y y x 的通解是 2y Cx +=

2．微分方程x

y

y x y +=

'，满足21

==x y 的特解为 2222(ln )y x x =+

3．微分方程x x y y cos tan =+'的通解为 ()cos y x C x =+ 三．计算题

1． 求微分方程2

2

0()x y dx xydy +-=的通解 解：方程可化为：

d y x y d x y x

=+ ，