中考数学(北京) §7.5 几何压轴综合题
2022北京中考数学一模分类《几何综合压轴题》含答案解析
2022北京中考一模数学分类——几何综合压轴题一、倍长八字共5小题1.（2022朝阳一模27题）在ABC △中，D 是BC 的中点，且90BAD ∠≠︒，将线段AB 沿AD 所在直线翻折，得到线段AB '，作//CE AB 交直线AB '于点E ． （1）如图，若AB AC >， ①依题意补全图形；②用等式表示线段,,AB AE CE 之间的数量关系，并证明；（2）若AB AC <，上述结论是否仍然成立？若成立，简述理由；若不成立，直接用等式表示线段,,AB AE CE 之间新的数量关系（不需证明）．2.（2022顺义一模27题）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD 是斜边AB 上的中线，EF 垂直平分CD ，分别交AC ，BC 于点E ，F ，连接DE ，DF ． （1）求∠EDF 的度数；（2）用等式表示线段AE ，BF ，EF 之间的数量关系，并证明．3.（2022平谷一模27题）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ,点D 为AB 边上一点（不与点A ，B 重合），作射线C D ，过点A 作AE ⊥CD 于E ，在线段AE 上截取EF=EC ，连接BF 交CD 于G.(1)依题意补全图形； (2)求证：∠CAE=∠BCD(3)判断线段BG 与GF 之间的数量关系，并证明.4.（2022丰台一模27题）如图，在△ABC 中，∠BAC=α,点D 在边BC 上（不与B,C 重合），连接AD,以点A 为中心，将线段AD 逆时针旋转180°-α得到线段AE,连接BE. （1）∠BAC+∠DAE= °（2）取CD 的中点F ，连接AF ，用等式表示线段AF 与BE 的数量关系，并证明。
5.（2022石景山一模27题）如图，△ACB 中，AC =BC ，∠ACB =90°，D 为边BC 上一点（不与点C 重合），CD ＜BD ，点E 在AD 的延长线上，且ED =AD ，连接BE ，过点B 作BE 的垂线， 交边AC 于点F ． （1）依题意补全图形； （2）求证：BE =BF ；（3）用等式表示线段AF 与CD 的数量关系，并证明．ABCDABCD二、一线三垂直共1小题6.（2022通州一模27题）如图，在Rt ACB △中， 90ACB ∠=︒ ，AC BC =．点D 是BC 延长线上一点，连接AD ．将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到线段AE ．过点E 作//EF BD ，交AB 于点F ． （1）①直接写出AFE ∠的度数是____________；②求证：DAC E ∠=∠； （2）用等式表示线段AF 与DC 的数量关系，并证明．三、三线合一共1小题7.（2022大兴一模27题）已知：如图，OB =BA ，∠OBA =150°，线段BA 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AC .连接BC ，OA ，OC ，过点O 作OD ⊥AC 于点D .（1）依题意补全图形； （2）求∠DOC 的度数.四、手拉手共5小题8.（2022燕山一模27题）如图，在三角形ABC 中，AB =AC ，∠BAC <60°，AD 是BC 边的高线，将线段AC 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AE ，连接BE 交AD 于点F ． （1）依题意补全图形，写出∠CAE= ° （2）求∠BAF+∠ABF 和∠FBC 的度数；（3）用等式表示线段AF ，BF ，EF 之间的数量关系，并证明．9.（2022门头沟一模27题）如图，在等边△ABC 中，将线段AC 绕点A 顺时针旋转(060)αα<<，得到线段AD ，连接CD ，作∠BAD 的平分线AE ，交BC 于E ． （1）① 根据题意，补全图形；② 请用等式写出∠BAD 与∠BCD 的数量关系，并证明．（2）分别延长CD 和AE 交于点F ，用等式表示线段AF ，CF ，DF 的数量关系，并证明．AB C A B C AB C10.（2022房山一模27题）已知：等边ABC，过点B作AC的平行线l．点P为射线AB上一个动点（不与点,A B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转60°交直线l于点D．（1）如图1，点P在线段AB上时，依题意补全图形；∠=∠；①求证：BDP PCBBC BD BP之间的数量关系，并证明；②用等式表示线段,,BC BD BP之间的数量关系．（2）点P在线段AB的延长线上，直接写出线段,,11.（2022海淀一模27题）27．在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，30BAC ∠=︒，D 为边BC 上一动点，点E 在边AC 上， C E CD =．点D 关于点B 的对称点为点F ，连接AD ，P 为AD 的中点，连接,,PE PF EF ．（1）如图1，当点D 与点B 重合时，写出线段PE 与PF 之间的位置关系与数量关系；（2）如图2，当点D 与点,B C 不重合时，判断（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请举出反例。
北京中考数学几何压轴题
北京中考数学几何压轴题
北京中考数学几何压轴题可以是以下题目之一：
1. 已知正方形ABCD的边长为2cm，点E是BC边的中点，连接AE交BD于F，求线段BF的长度。
2. 在直角三角形ABC中，角A为直角，BC边长为6cm，AC 边长为8cm，求角B的度数。
3. 已知矩形ABCD的长为8cm，宽为6cm，点E是AB边的中点，连接CE，求线段DE的长度。
4. 在等边三角形ABC中，点D是AB边的中点，点E是BC 边的中点，连接AE交CD于F，求线段BF的长度。
5. 在梯形ABCD中，AB∥CD，AD边长为5cm，BC边长度为10cm，AC边长为4cm，求BD边的长度。
这些题目都是以北京中考中常见的数学几何知识为基础，考察学生的理解和运用能力。
2022北京中考数学二模分类《几何综合压轴题》含答案解析
2022北京中考数学二模分类——几何综合压轴题一、手拉手共5小题1.（2022密云二模27题） 如图, 在等边 中, 点 在的延长线上, 点 是边上的一个动点 (点 不 与点 重合), 将线段绕点 逆时针旋转 得到线段, 连接和.(1) 依据题意, 补全图形; (2) 比较与的大小, 并证明; (3) 用等式表示线段与之间的数量关系, 并证明.手拉手 6题 中点问题（附加2题） 一线三垂 1题猜证类 1题等腰结论 1题共计 14题倍长2题相似3题2.（2022丰台二模27题）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠BAC =120°，D 是BC 中点，连接AD .点M 在线段AD上 (不与点A，D 重合)，连接MB，点E 在CA 的延长线上且ME = MB，连接EB .（1）比较∠ABM 与∠AEM 的大小，并证明；（2）用等式表示线段AM，AB，AE 之间的数量关系，并证明 .3.（2022西城二模27题）在中, , 过点作射线, 使 (点与点在直线的异侧), 点是射线上一个动点 (不与点重合), 点在线段上, 且.(1) 如图 1, 当点与点重合时, 与的位置关系是 , 若, 则的长为； (用含的式子表示)(2) 如图 2, 当点与点不重合时, 连接.①用等式表示与之间的数量关系, 并证明；②用等式表示线段之间的数量关系, 并证明.4.（2022大兴二模27题）如图，AC=AB，∠CAB=∠CDB=α，线段CD与AB相交于点O，以点A为中心，将射线AD绕点A逆时针旋转α（0°<α<180°）交线段CD于点H,（1）若α=60°，求证：CD=AD+BD（2）请你直接用等式表示出线段CD, AD, BD 之间的数量关系（用含α的式子表示）5.（2022东城二模27题）如图，在ABC△中，AB AC=，2CABα∠=，在△ABC的外侧作直线()901802AP a PAC a︒−<∠︒−，作点C关于直线AP的对称点D，连接,,AD BD BD交直线AP于点E．（1）依题意补全图形；（2）连接CE，求证：ACE ABE∠=∠；（3）过点A作AF CE⊥于点F，用等式表示线段,2,BE EF DE之间的数量关系，并证明。
(完整版)北京中考压轴几何综合分类解析
二、几何综合题几何综合题是中考试卷中常见的题型，它主要考查学生综合运用几何知识的能力，这类题往往图形较复杂，涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答．解几何综合题，一要注意图形的直观提示；二要注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础；同时，也要由未知想需要，选择已知条件，转化结论来探求思路，找到解决问题的关键．常见的几何综合有六类：其中包括几何的三大变换，平移、旋转、对称。
还有特殊角，例如30°，45°，60°，120°，150°等。
另外还有特殊点问题，例如线段中点。
四点共圆在模拟考试中也略有涉及。
当然还有一些比较特殊的，需要具体分析题意得出结论。
一、几何三大变换几何变换一般解题思路根据变换性质，变换前后对应线段，对应角相等阶梯。
平移类：做辅助线方向，对应点连线，中（石景山）27．如图，在等边△ABC 中，D 为边AC 的延长线上一点()CD AC ，平移线段BC ，使点C 移动到点D ，得到线段ED ，M 为ED 的中点，过点M 作ED 的垂线，交BC 于点F ，交AC 于点G ． （1）依题意补全图形； （2）求证：AG = CD ；（3）连接DF 并延长交AB 于点H ，用等式表示线段AH 与CG 的数量关系，并证明．B旋转类：确定已知旋转线段，寻找与已知旋转线段相关的线段，进行旋转，构造全等三角形。
特殊角易（房山）27．已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．（1）如图1，点D是BC边上一点(不与点B，C重合)，连接AD，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，连接CE．若∠BAD=α，求∠DBE的大小(用含α的式子表示) ；（2）如图2，点D在线段BC的延长线上时，连接AD，过点B作BE⊥AD，垂足E在线段AD上，连接CE．①依题意补全图2；②用等式表示线段EA，EB和EC之间的数量关系，并证明．B AA图1图2中（门头沟）27．如图，∠AOB = 90°，OC为∠AOB的平分线，点P为OC上一个动点，过点P作射线PE交OA于点E．以点P为旋转中心，将射线PE沿逆时针方向旋转90°，交OB于点F．（1）根据题意补全图1，并证明PE = PF；（2）如图1，如果点E在OA边上，用等式表示线段OE，OP和OF之间的数量关系，并证明；（3）如图2，如果点E在OA边的反向延长线上，直接写出线段OE，OP和OF之间的数量关系．PPEECCBBOOAA图 1 图2中（密云）27． 已知△ABC 为等边三角形，点D 是线段AB 上一点（不与A 、B 重合）．将线段CD 绕点C 逆时针旋转60°得到线段CE ．连结DE 、BE ． （1）依题意补全图1并判断AD 与BE 的数量关系．（2）过点A 作AF EB 交EB 延长线于点F ．用等式表示线段EB 、DB 与AF 之间的数量关系并证明．图2D CBA图1A B CD易（平谷）27．在△ABC 中，∠ABC =120°，线段AC 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AD ，连接CD ，BD 交AC 于P ．（1）若∠BAC =α，直接写出∠BCD 的度数 （用含α的代数式表示）； （2）求AB ，BC ，BD 之间的数量关系； （3）当α=30°时，直接写出AC ，BD 的关系．对称：根据垂直平分线的性质，连接辅助线，构造全等三角形（通州）27．如图，在等边△ABC中，点D是线段BC上一点．作射线AD，点B关于射线AD的对称点为E．连接CE并延长，交射线AD于点F．（1）设∠BAF＝α，用α表示∠BCF的度数；（2）用等式表示线段AF、CF、EF之间的数量关系，并证明．对称（大兴）27．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA =CB．点D为线段BC上一个动点（点D不与点B，C重合），连接AD，点E在射线AB上，连接DE，使得DE=DA．作点E 关于直线BC（1）依题意补全图形；（2）求证：∠CAD =∠BDF ；（3）用等式表示线段AB ，BD ，BF 之间的数量关系，并证明．二、特殊角类：根据特殊角，以不破坏特殊角为原则，构造直角三角形。
中考数学-几何综合压轴问题(共40题)(学生版)
几何综合压轴问题(40题)1(2023·四川自贡·统考中考真题)如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M，N分别是斜边DE，AB的中点，DE=2,AB=4．(1)将△CDE绕顶点C旋转一周，请直接写出点M，N距离的最大值和最小值；(2)将△CDE绕顶点C逆时针旋转120°(如图2)，求MN的长．2(2023·山东烟台·统考中考真题)如图，点C为线段AB上一点，分别以AC,BC为等腰三角形的底边，在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A=∠CBE．在线段EC上取一点F，使EF=AD，连接BF,DE．(1)如图1，求证：DE=BF；(2)如图2，若AD=2，BF的延长线恰好经过DE的中点G，求BE的长．3(2023·浙江绍兴·统考中考真题)在平行四边形ABCD中(顶点A,B,C,D按逆时针方向排列)，AB= 12,AD=10,∠B为锐角，且sin B=45．(1)如图1，求AB边上的高CH的长．(2)P是边AB上的一动点，点C,D同时绕点P按逆时针方向旋转90°得点C ,D ．①如图2，当点C 落在射线CA上时，求BP的长．②当△AC D 是直角三角形时，求BP的长．4(2023·甘肃武威·统考中考真题)【模型建立】(1)如图1，△ABC和△BDE都是等边三角形，点C关于AD的对称点F在BD边上．①求证：AE=CD；②用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由．【模型应用】(2)如图2，△ABC是直角三角形，AB=AC，CD⊥BD，垂足为D，点C关于AD的对称点F在BD边上．用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由．【模型迁移】(3)在(2)的条件下，若AD=42，BD=3CD，求cos∠AFB的值．5(2023·江西·统考中考真题)课本再现思考我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．(1)定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形(如图1)，并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．己知：在▱ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O．求证：▱ABCD是菱形．(2)知识应用：如图2，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD=5，AC=8，BD=6．①求证：▱ABCD是菱形；②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若∠E=12∠ACD，求OFEF的值．6(2023·湖北随州·统考中考真题)1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：(其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点)当△ABC的三个内角均小于120°时，如图1，将△APC绕，点C顺时针旋转60°得到△A P C，连接PP ，由PC=P C，∠PCP =60°，可知△PCP 为三角形，故PP =PC，又P A =PA，故PA+PB+PC =PA +PB+PP ≥A B，由可知，当B，P，P ，A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如图2，最小值为A B，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有∠APC=∠BPC=∠APB=；已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若∠BAC≥120°，则该三角形的“费马点”为点．(2)如图4，在△ABC中，三个内角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知点P为△ABC的“费马点”，求PA+PB+PC的值；(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知AC=4km，BC=23km，∠ACB=60°．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a 元/km，a元/km，2a元/km，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为元．(结果用含a的式子表示)7(2023·山东枣庄·统考中考真题)问题情境：如图1，在△ABC中，AB=AC=17，BC=30，AD是BC边上的中线．如图2，将△ABC的两个顶点B，C分别沿EF,GH折叠后均与点D重合，折痕分别交AB,AC,BC于点E，G，F，H．猜想证明：(1)如图2，试判断四边形AEDG的形状，并说明理由．问题解决；(2)如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿MN折叠，使得顶点B与点H重合，折痕分别交AB, BC于点M，N，BM的对应线段交DG于点K，求四边形MKGA的面积．8(2023·湖南·统考中考真题)(1)[问题探究]如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．在线段AO上任取一点P(端点除外)，连接PD、PB．①求证：PD=PB；②将线段DP绕点P逆时针旋转，使点D落在BA的延长线上的点Q处．当点P在线段AO上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？请说明理由；③探究AQ与OP的数量关系，并说明理由．(2)[迁移探究]如图2，将正方形ABCD换成菱形ABCD，且∠ABC=60°，其他条件不变．试探究AQ与CP的数量关系，并说明理由．9(2023·湖南岳阳·统考中考真题)如图1，在△ABC中，AB=AC，点M,N分别为边AB,BC的中点，连接MN．初步尝试：(1)MN与AC的数量关系是，MN与AC的位置关系是．特例研讨：(2)如图2，若∠BAC=90°,BC=42，先将△BMN绕点B顺时针旋转α(α为锐角)，得到△BEF，当点A,E,F在同一直线上时，AE与BC相交于点D，连接CF．(1)求∠BCF的度数；(2)求CD的长．深入探究：(3)若∠BAC<90°，将△BMN绕点B顺时针旋转α，得到△BEF，连接AE，CF．当旋转角α满足0°<α<360°，点C,E,F在同一直线上时，利用所提供的备用图探究∠BAE与∠ABF的数量关系，并说明理由．10(2023·湖北黄冈·统考中考真题)【问题呈现】△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°,CB=mCA,CE=mCD，连接AD，BE，探究AD，BE的位置关系．(1)如图1，当m=1时，直接写出AD，BE的位置关系：；(2)如图2，当m≠1时，(1)中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．【拓展应用】(3)当m=3,AB=47,DE=4时，将△CDE绕点C旋转，使A,D,E三点恰好在同一直线上，求BE的长．11(2023·河北·统考中考真题)如图1和图2，平面上，四边形ABCD中，AB=8,BC=211,CD=12, DA=6,∠A=90°，点M在AD边上，且DM=2．将线段MA绕点M顺时针旋转n°(0<n≤180)到MA ,∠A MA的平分线MP所在直线交折线AB-BC于点P，设点P在该折线上运动的路径长为x(x>0)，连接A P．(1)若点P在AB上，求证：A P=AP；(2)如图2．连接BD．①求∠CBD的度数，并直接写出当n=180时，x的值；②若点P到BD的距离为2，求tan∠A MP的值；(3)当0<x≤8时，请直接写出点A 到直线AB的距离．(用含x的式子表示)．12(2023·四川达州·统考中考真题)(1)如图①，在矩形ABCD的AB边上取一点E，将△ADE沿DE翻折，使点A落在BC上A 处，若AB=6,BC=10，求AEEB的值；(2)如图②，在矩形ABCD 的BC 边上取一点E ，将四边形ABED 沿DE 翻折，使点B 落在DC 的延长线上B 处，若BC ⋅CE =24,AB =6，求BE 的值；(3)如图③，在△ABC 中，∠BAC =45°,AD ⊥BC ，垂足为点D ,AD =10,AE =6，过点E 作EF ⊥AD 交AC 于点F ，连接DF ，且满足∠DFE =2∠DAC ，直接写出BD +53EF 的值．13(2023·湖南郴州·统考中考真题)已知△ABC 是等边三角形，点D 是射线AB 上的一个动点，延长BC 至点E ，使CE =AD ，连接DE 交射线AC 于点F ．(1)如图1，当点D 在线段AB 上时，猜测线段CF 与BD 的数量关系并说明理由；(2)如图2，当点D 在线段AB 的延长线上时，①线段CF 与BD 的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，连接AE ．设AB =4，若∠AEB =∠DEB ，求四边形BDFC 的面积．14(2023·湖北宜昌·统考中考真题)如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，AB 上的点，连接CE ，EF ，CF ．(1)若正方形ABCD 的边长为2，E 是AD 的中点．①如图1，当∠FEC =90°时，求证：△AEF ∽△DCE ；②如图2，当tan ∠FCE =23时，求AF 的长；(2)如图3，延长CF ，DA 交于点G ，当GE =DE ,sin ∠FCE =13时，求证：AE =AF ．15(2023·湖北武汉·统考中考真题)问题提出：如图(1)，E 是菱形ABCD 边BC 上一点，△AEF 是等腰三角形，AE =EF ，∠AEF =∠ABC =αa ≥90° ,AF 交CD 于点G ，探究∠GCF 与α的数量关系．问题探究：(1)先将问题特殊化，如图(2)，当α=90°时，直接写出∠GCF 的大小；(2)再探究一般情形，如图(1)，求∠GCF 与α的数量关系．问题拓展：(3)将图(1)特殊化，如图(3)，当α=120°时，若DG CG =12，求BECE的值．16(2023·山西·统考中考真题)问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC 和△DFE ，其中∠ACB =∠DEF =90°,∠A =∠D ．将△ABC 和△DFE 按图2所示方式摆放，其中点B 与点F 重合(标记为点B )．当∠ABE =∠A 时，延长DE 交AC 于点G ．试判断四边形BCGE 的形状，并说明理由．(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；(2)深入探究：老师将图2中的△DBE 绕点B 逆时针方向旋转，使点E 落在△ABC 内部，并让同学们提出新的问题．①“善思小组”提出问题：如图3，当∠ABE =∠BAC 时，过点A 作AM ⊥BE 交BE 的延长线于点M ,BM 与AC 交于点N ．试猜想线段AM 和BE 的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；②“智慧小组”提出问题：如图4，当∠CBE=∠BAC时，过点A作AH⊥DE于点H，若BC=9,AC=12，求AH的长．请你思考此问题，直接写出结果．17(2023·湖北十堰·统考中考真题)过正方形ABCD的顶点D作直线DP，点C关于直线DP的对称点为点E，连接AE，直线AE交直线DP于点F．(1)如图1，若∠CDP=25°，则∠DAF=°；(2)如图1，请探究线段CD，EF，AF之间的数量关系，并证明你的结论；(3)在DP绕点D转动的过程中，设AF=a，EF=b请直接用含a,b的式子表示DF的长．18(2023·辽宁大连·统考中考真题)综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．已知AB=AC,∠A>90°，点E为AC上一动点，将△ABE以BE为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究：独立思考：小明：“当点D落在BC上时，∠EDC=2∠ACB．”小红：“若点E为AC中点，给出AC与DC的长，就可求出BE的长．”实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：问题1：在等腰△ABC中，AB=AC,∠A>90°,△BDE由△ABE翻折得到．(1)如图1，当点D落在BC上时，求证：∠EDC=2∠ACB；(2)如图2，若点E为AC中点，AC=4,CD=3，求BE的长．问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成∠A<90°的等腰三角形，可以将问题进一步拓展．问题2：如图3，在等腰△ABC中，∠A<90°,AB=AC=BD=4,2∠D=∠ABD．若CD=1，则求BC的长．19(2023·山东·统考中考真题)(1)如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．【问题解决】(2)如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF，延长BC到点H，使CH=DE，连接DH．求证：∠ADF=∠H．【类比迁移】(3)如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF=11，DE=8，∠AED=60°，求CF 的长．20(2023·福建·统考中考真题)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,D是AB边上不与A,B重合的一个定点．AO⊥BC于点O，交CD于点E．DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的，FD,CA的延长线相交于点M．(1)求证：△ADE∽△FMC；(2)求∠ABF的度数；(3)若N是AF的中点，如图2．求证：ND=NO．21(2023·四川·统考中考真题)如图1，已知线段AB，AC，线段AC绕点A在直线AB上方旋转，连接BC，以BC为边在BC上方作Rt△BDC，且∠DBC=30°．(1)若∠BDC=90°，以AB为边在AB上方作Rt△BAE，且∠AEB=90°，∠EBA=30°，连接DE，用等式表示线段AC与DE的数量关系是；(2)如图2，在(1)的条件下，若DE⊥AB，AB=4，AC=2，求BC的长；(3)如图3，若∠BCD=90°，AB=4，AC=2，当AD的值最大时，求此时tan∠CBA的值．22(2023·广西·统考中考真题)【探究与证明】折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．【动手操作】如图1，将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B 落在EF上，并使折痕经过点A，得到折痕AM，点B，E的对应点分别为B ，E ，展平纸片，连接AB ，BB ，BE ．请完成：(1)观察图1中∠1，∠2和∠3，试猜想这三个角的大小关系；(2)证明(1)中的猜想；【类比操作】如图2，N为矩形纸片ABCD的边AD上的一点，连接BN，在AB上取一点P，折叠纸片，使B ，P 两点重合，展平纸片，得到折痕EF ；折叠纸片，使点B ，P 分别落在EF ，BN 上，得到折痕l ，点B ，P 的对应点分别为B ，P ，展平纸片，连接，P B ．请完成：(3)证明BB 是∠NBC 的一条三等分线．23(2023·重庆·统考中考真题)在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =60°，点D 为线段AB 上一动点，连接CD ．(1)如图1，若AC =9，BD =3，求线段AD 的长．(2)如图2，以CD 为边在CD 上方作等边△CDE ，点F 是DE 的中点，连接BF 并延长，交CD 的延长线于点G ．若∠G =∠BCE ，求证：GF =BF +BE ．(3)在CD 取得最小值的条件下，以CD 为边在CD 右侧作等边△CDE ．点M 为CD 所在直线上一点，将△BEM 沿BM 所在直线翻折至△ABC 所在平面内得到△BNM ．连接AN ，点P 为AN 的中点，连接CP ，当CP 取最大值时，连接BP ，将△BCP 沿BC 所在直线翻折至△ABC 所在平面内得到△BCQ ，请直接写出此时NQ CP的值．24(2023·湖南·统考中考真题)如图，在等边三角形ABC 中，D 为AB 上的一点，过点D 作BC 的平行线DE 交AC 于点E ，点P 是线段DE 上的动点(点P 不与D 、E 重合)．将△ABP 绕点A 逆时针方向旋转60°，得到△ACQ ，连接EQ 、PQ ,PQ 交AC 于F ．(1)证明：在点P 的运动过程中，总有∠PEQ =120°．(2)当AP DP为何值时，△AQF 是直角三角形？25(2023·黑龙江·统考中考真题)如图①，△ABC和△ADE是等边三角形，连接DC，点F，G，H分别是DE,DC和BC的中点，连接FG,FH．易证：FH=3FG．若△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，如图②：若△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE=120°，如图③：其他条件不变，判断FH和FG之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．26(2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题)综合与实践数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．(1)发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：，∠BDC=°；(2)类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由；(3)拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC=∠EAF=90°，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M．则BF，CF，AM之间的数量关系：；(4)实践应用：正方形ABCD中，AB=2，若平面内存在点P满足∠BPD=90°，PD=1，则S△ABP=．27(2023·广东深圳·统考中考真题)(1)如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，连接BE，①若BE=BC，过C作CF⊥BE交BE于点F，求证：△ABE≌△FCB；=20时，则BE⋅CF=．②若S矩形ABCD(2)如图，在菱形ABCD中，cos A=13，过C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，过E作EF⊥AD交AD =24时，求EF⋅BC的值．于点F，若S菱形ABCD(3)如图，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=6，AD=5，点E在CD上，且CE=2，点F为BC上一点，连接EF，过E作EG⊥EF交平行四边形ABCD的边于点G，若EF⋅EG=73时，请直接写出AG的长．28(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，点P,Q分别是边BC，线段OD上的点，连接AP,QP,AP与OB相交于点E．(1)如图1，连接QA．当QA=QP时，试判断点Q是否在线段PC的垂直平分线上，并说明理由；(2)如图2，若∠APB=90°，且∠BAP=∠ADB，①求证：AE=2EP；②当OQ=OE时，设EP=a，求PQ的长(用含a的代数式表示)．29(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有45°角的三角尺放在正方形ABCD中，使45°角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，45°角的两边CM ，CN 始终与正方形的边AD ，AB 所在直线分别相交于点M ，N ，连接MN ，可得△CMN ．【探究一】如图②，把△CDM 绕点C 逆时针旋转90°得到△CBH ，同时得到点H 在直线AB 上．求证：∠CNM =∠CNH ；【探究二】在图②中，连接BD ，分别交CM ，CN 于点E ，F ．求证：△CEF ∽△CNM ；【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线BD 与三角尺45°角两边CM ，CN 分别交于点E ，F ．连接AC 交BD 于点O ，求EFNM的值．30(2023·山东东营·统考中考真题)(1)用数学的眼光观察．如图，在四边形ABCD 中，AD =BC ，P 是对角线BD 的中点，M 是AB 的中点，N 是DC 的中点，求证：∠PMN =∠PNM ．(2)用数学的思维思考．如图，延长图中的线段AD 交MN 的延长线于点E ，延长线段BC 交MN 的延长线于点F ，求证：∠AEM =∠F ．(3)用数学的语言表达．如图，在△ABC 中，AC <AB ，点D 在AC 上，AD =BC ，M 是AB 的中点，N 是DC 的中点，连接MN 并延长，与BC 的延长线交于点G ，连接GD ，若∠ANM =60°，试判断△CGD 的形状，并进行证明．31(2023·甘肃兰州·统考中考真题)综合与实践【思考尝试】(1)数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，GD⊥DF，AG⊥DG，AG=CF．试猜想四边形ABCD的形状，并说明理由；【实践探究】(2)小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，AH⊥CE于点H，GD⊥DF交AH于点G，可以用等式表示线段FH，AH，CF的数量关系，请你思考并解答这个问题；【拓展迁移】(3)小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，AH⊥CE于点H，点M在CH上，且AH=HM，连接AM，BH，可以用等式表示线段CM，BH的数量关系，请你思考并解答这个问题．32(2023·贵州·统考中考真题)如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA=CB,∠C=90°，过点B作射线BD⊥AB，垂足为B，点P在CB上．(1)【动手操作】如图②，若点P在线段CB上，画出射线PA，并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，根据题意在图中画出图形，图中∠PBE的度数为度；(2)【问题探究】根据(1)所画图形，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由；(3)【拓展延伸】如图③，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，探究线段BA,BP, BE之间的数量关系，并说明理由．33(2023·辽宁·统考中考真题)在RtΔABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点O为AB的中点，点D在直线AB上(不与点A,B重合)，连接CD，线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，过点B作直线l⊥BC，过点E作EF⊥l，垂足为点F，直线EF交直线OC于点G．(1)如图，当点D与点O重合时，请直接写出线段AD与线段EF的数量关系；(2)如图，当点D在线段AB上时，求证：CG+BD=2BC；(3)连接DE，△CDE的面积记为S1，△ABC的面积记为S2，当EF:BC=1:3时，请直接写出S1S2的值．34(2023·四川成都·统考中考真题)探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=BC，D是AB边上一点，且ADBD=1n(n为正整数)，E是AC边上的动点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F．【初步感知】(1)如图1，当n=1时，兴趣小组探究得出结论：AE+BF=22AB，请写出证明过程．【深入探究】(2)①如图2，当n=2，且点F在线段BC上时，试探究线段AE，BF，AB之间的数量关系，请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE，BF，AB之间数量关系的一般结论(直接写出结论，不必证明)【拓展运用】(3)如图3，连接EF，设EF的中点为M．若AB=22，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长(用含n的代数式表示)．35(2023·江苏徐州·统考中考真题)【阅读理解】如图1，在矩形ABCD中，若AB=a,BC=b，由勾股定理，得AC2=a2+b2，同理BD2=a2+b2，故AC2+BD2=2a2+b2．【探究发现】如图2，四边形ABCD为平行四边形，若AB=a,BC=b，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由．【拓展提升】如图3，已知BO为△ABC的一条中线，AB=a,BC=b,AC=c．求证：BO2=a2+b22-c24．【尝试应用】如图4，在矩形ABCD中，若AB=8,BC=12，点P在边AD上，则PB2+PC2的最小值为．36(2023·四川南充·统考中考真题)如图，正方形ABCD中，点M在边BC上，点E是AM的中点，连接ED，EC．(1)求证：ED=EC；(2)将BE绕点E逆时针旋转，使点B的对应点B 落在AC上，连接MB′．当点M在边BC上运动时(点M 不与B，C重合)，判断△CMB′的形状，并说明理由．(3)在(2)的条件下，已知AB=1，当∠DEB′=45°时，求BM的长．37(2023·安徽·统考中考真题)在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，将线段MA绕点M旋转至MD 位置，点D在直线AB外，连接AD,BD．(1)如图1，求∠ADB的大小；(2)已知点D和边AC上的点E满足ME⊥AD,DE∥AB．(ⅰ)如图2，连接CD，求证：BD=CD；(ⅱ)如图3，连接BE，若AC=8,BC=6，求tan∠ABE的值．38(2023·浙江宁波·统考中考真题)定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．(1)如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，对角线BD平分∠ADC．求证：四边形ABCD为邻等四边形．(2)如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D．(3)如图3，四边形ABCD是邻等四边形，∠DAB=∠ABC=90°，∠BCD为邻等角，连接AC，过B作BE∥AC交DA的延长线于点E．若AC=8,DE=10，求四边形EBCD的周长．39(2023·江苏扬州·统考中考真题)【问题情境】在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含30°的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作△ADB和△A D C,∠ADB=∠A D C=90°,∠B=∠C=30°，设AB=2．【操作探究】如图1，先将△ADB和△A D C的边AD、A D 重合，再将△A D C绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为α0°≤α≤360°，旋转过程中△ADB保持不动，连接BC．(1)当α=60°时，BC=；当BC=22时，α=°；(2)当α=90°时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；(3)如图2，取BC的中点F，将△A D C绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为．40(2023·四川乐山·统考中考真题)在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动【问题情境】刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：如图，将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转θ到达△AB C 的位置，那么可以得到：AB=AB ，AC =AC ，BC=B C ；∠BAC=∠B AC ，∠ABC=∠AB C ，∠ACB=∠AC B ()刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键；故数学就是一门哲学．【问题解决】(1)上述问题情境中“( )”处应填理由：；(2)如图，小王将一个半径为4cm，圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板A BC 的位置．①请在图中作出点O；②如果BB =6cm，则在旋转过程中，点B经过的路径长为；【问题拓展】小李突发奇想，将与(2)中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置，另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止，此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图所示，请你帮助小李解决这个问题．。
北京市海淀区【中考数学】2022-2023学年专题提升训练—几何图形变换综合压轴题(含解析)
北京市海淀区【中考数学】2022-2023学年专题提升训练—几何图形变换综合压轴题1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB的中点，点P为直线BC 上的动点（不与点B点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）观察猜想：如图①，线段BQ与CP的数量关系是 ；∠CBQ＝ ；（2）探究证明：如图②，当点P在CB的延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．2．如图，平面直角坐标系中，点A在第一象限，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，A（a，b），且a，b满足|3a﹣4b|+＝0．（1）求点A的坐标；（2）如图2，点D从点O出发以每秒1个单位的速度沿y轴正方向运动，点E从点B出发，以每秒2个单位的速度沿x轴负方向运动，设运动时间为t，当S△AOD＜S△AOE时，求t的取值范围；（3）如图3，将线段BC平移，使点B的对应点M恰好落在y轴负半轴上，点C的对应点为N，连接BN交y轴于点P，当OM＝3OP时，求点M的坐标．3．探究（1）如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，作CM⊥AB交AB于点M，点D为射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE交射线CB于点F，连接BD、BE填空：①线段BD、BE的数量关系为 ．②线段BC、DE的位置关系为 ．推广：（2）如图②，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝β，作CM⊥AB交AB于点M，点D为△ABC外部射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转β度得到线段CE，连接DE、BD、BE，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由．应用：（3）如图③，在等边三角形ABC中，AB＝3．作BM⊥AC交AC于点M，点D为射线BM上一点，以点B为旋转中心将线段BD逆时针旋转60°得到线段BE，连接DE交射线BA于点F，连接AD、AE．当以A、D、M为顶点的三角形与△AEF全等时，请直接写出DE的值．4．小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．（一）猜测探究在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB．（1）如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是 ；NB与MC的数量关系是 ；（2）如图2，点E是AB延长线上一点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．（二）拓展应用如图3，在△A1B1C1中，A1B1＝7，∠A1B1C1＝60°，∠B1A1C1＝75°，P是B1C1上的一点，C1P＝，连接A1P，将A1P绕点A1按顺时针方向旋转75°，得到线段A1Q，连接B1Q，则△A1B1Q的面积是 ．5．已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于D．（1）如图1，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到CF，连接AF交CD于点G，连接DF，求证：AG＝GF；（2）如图2，点E是线段CB上一点，连接ED，将线段ED绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接AF交CD于点G，若＝，求；（3）如图3，点K、E分别在边AB、BC上，将线段EK绕点E逆时针旋转90°得到EF，连AF交CD于点G，连接KG，若KG∥BC，则＝，CE＝3，则AF的长为 ．6．在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB．【感知】如图①，若M是线段BC上的任意一点，易证△ABN≌△ACM，可知∠NAB＝∠MAC，BN＝MC．【探究】如图②，点E是AB延长线上的点，若点M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．【拓展】如图③，在△DEF中，DE＝8，∠DEF＝60°，∠EDF＝75°，P是EF上的任意点，连接DP，将DP绕点D按顺时针方向旋转75°，得到线段DQ，连接EQ，则EQ的最小值为 ．7．同学们应该都见过光线照射在平面镜上出现反射光线的现象．如图1，AB是放置在第一象限的一个平面镜，一束光线CD经过反射后的反射光线是DE，DH是法线，法线垂直于镜面AB．入射光线CD和平面镜所成的角∠BDC叫做入射角，反射光线DE与平面镜所成的角∠ADE叫做反射角．镜面反射有如下性质：入射角等于反射角，根据以上材料完成下面问题：（1）如图1，法线DH交x轴于点F，交y轴于点H，试探究∠DFC与∠DAH之间的数量关系并加以证明；（2）如图2，第一象限的平面镜AB交x轴于点B，交y轴于点A，x轴负半轴上也放置了一块平面镜，入射光线CD经过两次反射后得到反射光线EG，DH是法线．射线CD和EG 的反向延长线交于点P．①若第一象限平面镜与x轴夹角为26°，问入射角∠BDC为多少时，反射光线EG与AB平行？②若∠DCE＞∠DEC，平面镜AB绕点D旋转，是否存在一个定值k，使得∠DCE﹣∠DEC＝k∠OHF总是成立，若存在请求出值，若不存在，请说明理由．8．已知△ABC为等边三角形，取△ABC的边AB，BC中点D，E，连接DE，如图1，易证△DBE为等边三角形，将△DBE绕点B顺时针旋转，设旋转的角度∠ABD＝α，其中0＜α＜180°．（1）如图2，当α＝30°，连接AD，CE，求证：AD＝CE；（2）在△DBE旋转过程中，当α超过一定角度时，如图3，连接AD，CE会交于一点，记交点为点F，AD交BC于点P，CE交BD于点Q，连接BF，请问BF是否会平分∠CBD？如果是，求出α，如果不是，请说明理由；（3）在第（2）问的条件下，试猜想线段AF，BF和CF之间的数量关系，并说明理由．9．如图1，点C是线段AB上一点，将CA绕点C顺时针旋转90°得到CE，将CB绕点C旋转，使点B的对应点D落在CE上，连接BE，AD，并延长AD交BE于点F．（1）求证：AF⊥BE；（2）连接CF，猜想AF，EF，CF存在的等量关系，并证明你猜想的结论．（3）如图2，延长AB到G，使BG＝CB，将线段BG沿直线BE上下平移，平移后的线段记为B'G'，若∠ABE＝60°，当CB'+CG'的值最小时，请直接写出tan∠G'CG的值．10．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣6，0），B（0，8），AB＝10，点C在线段OB上，现将△AOC翻折，使得线段AO的对应边AD落到AB上，点O的对应点是点D，折痕为AC．（1）求点C的坐标；（2）连接OD，过点O作OH⊥CD于点H，求OH的长；（3）在（2）的条件下，若点P从点C出发，沿着C﹣D﹣A运动，速度为每秒1个单位，时间为t，是否存在t值，使得△AOP的面积为12，若存在求出t的值；若不存在，请说明理由．11．【问题发现】在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：（1）如图1，在等边△ABC中，点P在内部，且PA＝3，PC＝4，∠APC＝150°，求PB 的长．经过观察、分析、思考，他对上述问题形成了如下想法：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△ABD，连接PD，寻找PA、PB、PC三边之间的数量关系…请你根据上面分析，完成该问题的解答过程；【学以致用】参考小明思考问题的方法，解决下面问题：（2）如图2，在等边△ABC中，AC＝7，点P在△ABC内，且∠APC＝90°，∠BPC＝120°．求△APC的面积；（3）如图3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在△ABC内，且PA＝1，PB＝，PC＝，求AB的长．12．（1）（问题发现）如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B，D，E在同一条直线上．填空：①线段BD，CE之间的数量关系为 ；②∠BEC＝ °．（2）（类比探究）如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE，点B，D，E在同一条直线上，请判断线段BD，CE之间的数量关系及∠BEC的度数，并给出证明．（3）（解决问题）如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，点D在AB 边上，DE⊥AC于点E，AE＝3，将△ADE绕点A旋转，当DE所在直线经过点B时，CE 的长是多少？（直接写出答案）13．已知菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，点E、F分别在边AD、AB上，将△AEF沿EF 折叠，使得点A的对应点A′恰好落在边CD上．（1）延长CB、A′F交于点H，求证：；（2）若A′点为CD的中点，求EF的长；（3）AA′交EF于点G，再将四边形纸片BCA′F折叠，使C点的对应点C′恰好落在A′F上，折痕MN分别交边CD、BC于点M、N，连接C′G，则C′G的最小值为 ．14．黄金三角形就是一个等腰三角形，且其底与腰的长度比为黄金比值．如图1，在黄金△ABC中，AB＝AC，点D是AB上的一动点，过点D作DE∥AC交BC于点E．（1）当点D是线段AB的中点时，＝ ；当点D是线段AB的三等分点时，＝ ；（2）把△BDE绕点B逆时针旋转到如图2所示位置，连接AD，CE，判断的值是否变化，并给出证明；（3）把△BDE绕点B在平面内自由旋转，若AB＝6，BD＝2，请直接写出线段CE的长的取值范围．15．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝30°．【操作发现】①如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转．当点D恰好落在AB边上时，则∠ACD的度数是 ；②△BDC的面积与△AEC的面积之间的数量关系是 ．【探究论证】当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，猜想△BDC的面积与△AEC的面积的数量关系，并说明理由．【拓展应用】已知∠ABC＝60°，点D是其角平分线上一点，BD＝CD＝4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使△DCF与△BDE的面积相等，请直接写出相应的BF的长．16．对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形W，给出如下定义：图形W关于经过点（m，0）且垂直于x轴的直线的对称图形为W'，若点P恰好在图形W'上，则称点P是图形W关于点（m，0）的“关联点”．（1）若点P是点Q（3，2）关于原点的“关联点”，则点P的坐标为 ；（2）如图，在△ABC中，A（1，1），B（6，0），C（4，﹣2）．①点C关于x轴的对称点为C'，将线段BC'沿x轴向左平移d（d＞0）个单位长度得到线段EF（E，F分别是点B，C'的对应点），若线段EF上存在两个△ABC关于点（1，0）的“关联点”，则d的取值范围是 ．②已知点M（m+1，0）和点N（m+3，0），若线段MN上存在△ABC关于点（m，0）的“关联点”，求m的取值范围．17．如图①，△ABC、△ADE均为等边三角形，点D、E分别在边AB、AC上．将△ADE绕点A沿顺时针方向旋转，连接BD、CE．（1）如图②，可以根据三角形全等判定定理 证得△ADB≌△AEC．（A）边边边；（B）边角边；（C）角边角；（D）角角边．（2）如图③，求证：△ADB≌△AEC．（3）当点D、E、C在同一条直线上时，∠EDB的大小为 度．18．已知：在平面直角坐标系中，点A是x轴负半轴上一点且OA＝3，点B在第二象限内，到x轴的距离是3，到y轴的距离是2．（1）直接写出点A，点B的坐标：点A（ ， ），点B（ ， ）；（2）在图①中的y轴上找到一点P，使得三角形ABP的周长最小，则这个最小周长是 ；（3）在图①中，若△ABC是等腰直角三角形，当点C在AB的左侧时，请直接写出点C 的坐标 ；（4）如图②，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D不与点A重合，是x轴上一个动点，点E是AD中点，连接BE．把BE绕着点E顺时针旋转90°得到FE即（∠BEF＝90°，BE＝FE），连接BF、CF、CD．直接写出∠FCD的度数 ．19．已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．（1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），试猜想线段AE、CF、EF之间存在的数量关系为 ．（不需要证明）；（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE、CF、EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．20．（1）如图1，在正方形ABCD中，∠FAG＝45°，请直接写出DG，BF与FG的数量关系，不需要证明．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，E，F分别是BC上两点，∠EAF＝45°．①写出BE，CF，EF之间的数量关系，并证明；②若将（2）中的△AEF绕点A旋转至如图3所示的位置，上述结论是否仍然成立？若不成立，直接写出新的结论，无需证明．（3）如图4，△AEF中，∠EAF＝45°，AG⊥EF于G，且GF＝2，GE＝3，则S△AEF＝ ．答案1．解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O为AB的中点，∴OC＝AB＝OB，∴△COB为等边三角形，∴∠COB＝60°，∴∠COP+∠BOP＝60°，由旋转的性质可知，∠POQ＝60°，OP＝OQ，∴∠BOQ+∠BOP＝60°，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴BQ＝CP，∠OBQ＝∠OCP＝60°，∴∠CBQ＝∠CBO+∠OBQ＝120°，故BQ＝CP；120°；（2）当点P在CB的延长线上时，（1）中结论成立，理由如下：∵∠COB＝∠POQ＝60°，∴∠COB+∠BOP＝∠POQ+∠BOP，即∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴BQ＝CP，∠OBQ＝∠OCP＝60°，∴∠CBQ＝∠CBO+∠OBQ＝120°．2．解：（1）|3a﹣4b|+＝0，∴，∴，∴A（8，6）；（2）由（1）知，A（8，6），∵AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，∴AC＝8，AB＝6，由运动知，OD＝t，OE＝2t，当点E在OB上时，即0＜t＜4，则OE＝8﹣2t，∴S△AOD＝OD•AC＝t×8＝4t，S△AOE＝OE•AB＝×（8﹣2t）×6＝3（8﹣2t），∵S△AOD＜S△AOE，∴4t＜3（8﹣2t），∴t＜，即0＜t＜，当点E在BO的延长线上时，即t＞4，则OE＝2t﹣8，∴S△AOD＝OD•AC＝t×8＝4t，S△AOE＝OE•AB＝×（2t﹣8）×6＝3（2t﹣8），∵S△AOD＜S△AOE，∴4t＜3（2t﹣8），∴t＞12，即0＜t＜或t＞12；（3）如图，设点M（0，m），∴M（0，m）（m＜0），则OM＝﹣m，由平移的性质得，N（﹣8，m+6），过点N作NE⊥x轴于E，∴OB＝OE＝8，NE＝m+6，S△BEN＝BE×NE＝×16×|m+6|＝8|m+6|，S△BOP+S梯形OPNE＝×OB×OP+（OP+NE）×OE＝×8OP+（OP+|m+6|）×8＝4OP+4OP+4|m+6|，∵S△BEN＝S△BOP+S梯形OPNE，∴8|m+6|＝4OP+4OP+4|m+6|，∴OP＝|m+6|，∵OM＝3OP，∴﹣m＝3×|m+6|，∴m＝﹣或m＝﹣18，∴M（0，﹣）或（0，﹣18）．3．解：（1）如图①中，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，CM⊥AB，∴∠ACM＝∠BCM＝45°，∵∠ECD＝90°，∴∠ECF＝∠DCF＝45°，∵CD＝CE，CB＝CB，∴△CBD≌△CBE（SAS），∴BD＝BE，∵CD＝CE，∴BC垂直平分线段DE，∴BC⊥DE．故BD＝BE，BC⊥DE．（2）结论：（1）中的结论仍然成立．理由：如图②中，∵CA＝CB，∠ACB＝α，CM⊥AB，∴∠ACM＝∠BCM＝α，∵∠ECD＝α，∴∠ECF＝∠DCF＝α，∵CD＝CE，CB＝CB，∴△CBD≌△CBF（SAS），∴BD＝BE，∵CD＝CE，∴BC垂直平分线段DE，∴BC⊥DE．（3）如图③中，当△AFE≌△AMD时，AF＝AM，∵∠AFD＝∠AMD＝90°，∵AD＝AD，∴Rt△ADF≌Rt△ADM（HL），∴∠DAF＝∠DAM＝30°，∴∠DBA＝∠DAB＝30°，∴DA＝DB，∵DF⊥AB，∴∠BDF＝60°，BF＝AF＝，∵BD＝BE，∴△BDE是等边三角形，∴DF＝EF＝BF•tan30°＝，∴DE＝2EF＝．如图③﹣1中，当点D在BM的延长线时，则AF＝AM＝，DE＝2DF＝3．如图③﹣2中，当EF＝AM＝DF时，也满足条件，此时DE＝BD＝AB＝3，综上所述，满足条件的DE的值为或3或3．4．解：（一）（1）结论：∠NAB＝∠MAC，BN＝MC．理由：如图1中，∵∠MAN＝∠CAB，∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC，∴∠NAB＝∠MAC，∵AB＝AC，AN＝AM，∴△NAB≌△MAC（SAS），∴BN＝CM．故∠NAB＝∠MAC，BN＝CM．（2）如图2中，（1）中结论仍然成立．理由：∵∠MAN＝∠CAB，∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC，∴∠NAB＝∠MAC，∵AB＝AC，AN＝AM，∴△NAB≌△MAC（SAS），∴BN＝CM．（二）如图3中，方法一：在A1C1上截取A1N＝A1B1，连接PN，作NH⊥B1C1于H，作A1M⊥B1C1于M．∵∠C1A1B1＝∠PA1Q，∴∠QA1B1＝∠PA1N，∵A1Q＝A1P，A1B1＝AN，∴△QA1B1≌△PA1N（SAS），∴B1Q＝PN，在Rt△A1B1M中，∵∠A1B1M＝60°，A1B1＝7，∴B1M＝，∴A1M＝＝，∵∠MA1C1＝∠B1A1C1﹣∠B1A1M＝75°﹣30°＝45°，∴A1C1＝A1M＝，∴NC1＝A1C1﹣A1N＝﹣7，在Rt△NHC1中，∵∠C1＝45°，∴NH＝NC1•＝﹣，∴＝×（）＝，∵＝M＝，∴＝﹣＝＝，方法二：如图4，过点Q作QG⊥A1B于点G，过点P作PH⊥A1C1于点H，∵∠QA1G＝∠PA1H，∠A1GQ＝∠PHA1＝90°，A1Q＝A1P，∴△A1QG≌△A1PH（AAS），∴QG＝PH，∵∠A1B1C1＝60°，∠B1A1C1＝75°，∴∠C1＝180°﹣∠A1B1C1﹣∠B1A1C1＝45°，∴△PHC1是等腰直角三角形，∴PH＝＝1，∴QG＝1，∴△A1B1Q的面积为．故．5．（1）证明：如图1中，∵∠ACB＝90°，CB＝CA，CD⊥AB，∴CD＝DB＝AD，∵CD＝CF，∠DCF＝∠ADC＝90°，∴AD∥CF，AD＝CF，∴四边形ADFC是平行四边形，∴AG＝GF．（2）解：如图2中，连接BF，过点E作EJ⊥BC交AB于J．∵CE：AC＝2：7，∴可以假设CE＝2k，AC＝7k，∵AC＝BC﹣EC＝7k，∠ACB＝90°，∴BE＝BJ＝5k，AB＝7k，∵CD⊥AB，∴BD＝AD＝k，∴CD＝AD＝BD＝k，∵EJ∥AC，∴＝＝，∴AJ＝×7k＝2k，∴DJ＝k，∵∠DEF＝∠BEJ＝90°，∴∠BEF＝∠JED，∵∠ABC＝45°，JE⊥BC，∴∠EBJ＝∠E＝45°，∴EB＝EJ，∵EB＝EJ，EF＝DE，∴△BEF≌△JED（SAS），∴BF＝DJ＝k，∠EBF＝∠EJD＝45°，∴∠FBA＝∠GDA＝90°，∴GD∥BF，∵AD＝DB，∴AG＝GF，∴DG＝BF＝k，∴CG＝CD﹣DG＝k﹣k＝k，∴＝＝．（3）如图3中，连接BF，过点F作FH⊥BC于H．∵AK：KB＝4：3，∴可以假设AK＝4k，BK＝3k，则AD＝BD＝k，DK＝DB﹣BK＝k，∵∠KBE＝∠KFE＝45°，∴K，B，F，E四点共圆，∴∠KBF+∠KEF＝180°，∵∠KEF＝90°，∴∠KBF＝∠ADC＝90°，∴DG∥BF，∵AD＝DB，∴AG＝GF，∴BF＝2DG，∵KG∥BC，∴∠DKG＝∠ABC＝45°，∵∠KDG＝90°，∴DG＝DK＝k，∴BF＝k，∴KF＝＝＝k，AF＝＝＝5k ，∴EK＝EF＝KF＝k，∵FH⊥BC，∠FBH＝45°，∴BH＝FH＝k，EH＝＝＝k，∴BE＝BH+EH＝2k，∵BC＝AB，∴（2k+3）＝7k，∴k＝，∴AF＝5×＝10．故答案为10．6．解：【探究】如图②中，结论成立．理由：∵∠MAN＝∠CAB，∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC，∴∠BAN＝∠CAM，∵AB＝AC，AN＝AM，∴△NAB≌△MAC（SAS），∴BN＝CM．【拓展】如图③中，在DF上取一点H，使DH＝DE＝8，连接PH，过点H作HM⊥EF 于M，由旋转知，DQ＝DP，∠PDQ＝75°，∵∠EDF＝75°，∴∠PDQ＝∠EDF，∴∠EDQ＝∠HDP，∴△DEQ≌△DHP（SAS），∴EQ＝HP，要使EQ最小，则有HP最小，而点H是定点，点P是EF上的动点，∴当HM⊥EF（点P和点M重合）时，HP最小，即：点P与点M重合，EQ最小，最小值为HM，过点D作DG⊥EF于G，在Rt△DEG中，DE＝8，∠DEG＝60°，∴∠EDG＝30°，∴EG＝DE＝4，∴DG＝EG＝4，∵∠F＝180°﹣75°﹣60°＝45°，∠DGF＝90°∴∠F＝∠GDF＝45°，∴DG＝GF＝4，∴DF＝DG＝4∴FH＝DF﹣DH＝4﹣8，在Rt△HMF中，∠F＝45°，∴HM＝FH＝（4﹣8）＝4﹣4，即：EQ的最小值为4﹣4．故4﹣4．7．解：（1）∠DFC＝∠DAH，理由如下：∵∠ADF+∠DAH+∠AOF+∠DFO＝360°，∠ADF＝∠AOF＝90°，∴∠DAH+∠DFO＝180°，又∵∠DFO+∠DFC＝180°，∴∠DAH＝∠DFC；（2）①设∠BDC＝x°＝∠ADE，∵∠DBF＝26°，∠FDB＝90°，∴∠DFB＝64°，∵∠BDC＝x°，∴∠FDC＝90°﹣x°＝∠EDF，∵∠EDF+∠DEF＝∠DFB，∴90°﹣x°+∠DEF＝64°，∴∠DEF＝x°﹣26°，∴∠DEP＝2∠DEF＝2x°﹣52°，∵EG∥AB，∴∠ADE＝∠DEP，∴x°＝2x°﹣52°，∴x＝52，∴当入射角∠BDC为52°时，反射光线EG与AB平行；②k＝2，理由如下：∵∠DCE＝180°﹣∠CDF﹣∠DFC，∠EDF＝∠DFC﹣∠DEC，∠EDF＝∠CDF，∴∠DCE＝180°﹣∠DFC﹣（∠DFC﹣∠DEC）＝180°﹣2∠DFC+∠DEC，∵∠DFC＝∠OFH，∠OFH＝90°﹣∠OHF，∴∠DCE＝180°﹣2（90°﹣∠OHF）+∠DEC，∴∠DCE﹣∠DEC＝2∠OHF，又∵∠DCE﹣∠DEC＝k∠OHF，∴k＝2．8．证明：（1）∵△ABC，△DBE都是等边三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE；（2）不存在，理由如下：如图3，过点B作BN⊥AD于N，过点B作BH⊥CE于H，∵△ABC，△DBE都是等边三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE，S△ABD＝S△CBE，∠BAD＝∠BCE，∴×AD×BN＝×CE×BH，∴BN＝BH，又∵BF＝BF，∴Rt△BFN≌Rt△BFH（HL），∴∠AFB＝∠EFB，∵∠BAD＝∠BCE，∠CPF＝∠APB，∴∠AFC＝∠ABC＝60°，∴∠AFB＝∠EFB＝60°，∴∠CFB＝∠DFB＝120°，当BF平分∠CBD时，则∠CBF＝∠DBF，∴∠BCF＝180°﹣∠CBF﹣∠CFB＝180°﹣∠DBF﹣∠DFB＝∠ADB，∴∠DAB＝∠ADB，∴AB＝DB，与题干DB＝BC＝AB相矛盾，∴BF不会平分∠CBD；（3）AF＝CF+BF，理由如下：如图4，在AF上截取MF＝BF，连接BM，∵∠AFB＝60°，MF＝FB，∴△MFB是等边三角形，∴MB＝BF，∠MBF＝∠ABC＝60°，∴∠ABM＝∠CBF，在△ABM和△CBF中，，∴△ABM≌△CBF（SAS），∴AM＝CF，∵AF＝AM+MF，∴AF＝CF+BF．9．（1）证明：如图1中，∵将CA绕点C顺时针旋转90°得到CE，∴CA＝CE，∠ACD＝∠ECB＝90°，∵将CB绕点C旋转，使点B的对应点D落在CE上，∴CD＝CB，∴△ACD≌△ECB（SAS），∴∠A＝∠E，∵∠A+∠ADC＝90°，∠ADC＝∠EDF，∴∠E+∠EDF＝90°，∴∠EFD＝90°，∴AF⊥BE．（2）解：如图1中，连接CF．结论：AF﹣EF＝CF．理由：过点C作CT⊥CF，交AF于T．∵∠DFB+∠DCB＝90°+90°＝180°，∴D，C，B，F四点共圆，∴∠DFC＝∠DBC＝45°，∵∠FCT＝90°，∴∠CTF＝∠CFT＝45°，∴CT＝CF，FT＝CF，∵∠ACE＝∠TCF＝90°，∴∠ACT＝∠ECF，∵CA＝CE，CT＝CF，∴△ACT≌△ECF（SAS），∴AT＝EF，∴AF﹣EF＝AF＝AT＝FT＝CF．（3）解：如图2中，设CB＝BG＝m．∵CB＝BG＝B′G′，B′G′∥BC，∴四边形CBG′B′是平行四边形，∴CB′＝BG′，∴CB′+CG′＝CG′+G′B，作点C关于直线GG′的对称点T，连接BT交GG′于G′，此时CG′+G′B的值最小，作TH∥CG交GG′于H，设CT交GH于O．∵CO＝OT，∠THO＝∠OGC，∠HOT＝∠COG，∴△THO≌△CGO（AAS），∴TH＝CG＝2m，OG＝OH，在Rt△CGO中，∵∠CGO＝∠CBE＝60°，CG＝2m，∴OG＝OH＝CG•cos60°＝m，∵HT∥BG，∴HG′：GG′＝HT：GB＝2：1，∴HG′＝m，GG′＝m，过点G′作G′K⊥BG于K，则GK＝GG′＝m，G′K＝m，CK＝2m﹣m＝m，∴tan∠GCG′＝＝＝．10．解：（1）设C（0，m），∵A（﹣6，0），B（0，8），∴OA＝6，OB＝8，由翻折的性质可知，∠CDA＝∠AOC＝90°，OC＝CD＝m，∵S△AOB＝S△AOC+S△ACB，∴•OA•OB＝•OC•OA+•AB•CD，∴6×8＝6m+10m，∴m＝3，∴C（0，3）．（2）如图2中，由翻折的性质可知，OA＝AD＝6，CD＝OC＝3，∵AB＝10，∴BD＝AB﹣AD＝10﹣6＝4，∴BD：AB＝4：10＝2：5，∴S△BOD＝•S△AOB＝××6×8＝，∵OC：OB＝3：8，∴S△CDO＝S△BOD，∵OH⊥CD，∴×3×OH＝×，∴OH＝．（3）如图3中，设P（m，n）．∴S△POA＝12，∴×6×n＝12，∴n＝4，∴当点P在线段AB上时，PA＝PB＝5，此时P（3.4），∴PD＝AD﹣PA＝6﹣5＝1，∴CD+PD＝3+1＝4，∴t＝4（s）．当点P′在线段CD上时，CP′＝t，则有S四边形AOCD﹣S△ADP′﹣S△P′OC＝S△P′OA，∴2××3×6﹣×6×（3﹣t）﹣××t＝12，∴t＝（s）．综上所述，满足条件的t的值为4s或s．11．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△ABD，连接PD，如图1所示：则△APD是等边三角形，∠APC＝∠ADB＝150°，PC＝DB＝4，∴∠ADP＝60°，DP＝AP＝3，∴∠PDB＝90°，∴PB＝＝＝5；解：（2）将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C，连接PP′，如答图1所示：则△APP′是等边三角形，∠AP′C＝∠APB＝360°﹣90°﹣120°＝150°，∴PP′＝AP，∠AP′P＝∠APP′＝60°，∴∠PP′C＝90°，∠P′PC＝30°，∴PP′＝PC，即AP＝PC，∵∠APC＝90°，∴AP2+PC2＝AC2，即（PC）2+PC2＝72，∴PC＝2，∴AP＝，∴S△APC＝AP•PC＝××2＝7；（2）如答图2中，把△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△BCD．由旋转性质可知；BD＝PA＝1，CD＝CP＝2，∠PCD＝90°，∴△PCD是等腰直角三角形，∴PD＝PC＝×2＝4，∠CDP＝45°，∵PD2+BD2＝42+12＝17，PB2＝（）2＝17，∴PD2+BD2＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠BDC＝135°，∴∠APC＝∠CDB＝135°，∵∠CPD＝45°，∴∠APC+∠CPD＝180°，∴A，P，D共线，∴AD＝AP+PD＝5，在Rt△ADB中，AB＝＝＝．12．解：（1）①∵△ACB和△ADE均为等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∠ADE＝∠AED＝60°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠BDA＝∠CEA，∵点B，D，E在同一直线上，∴∠ADB＝180﹣60＝120°，∴∠AEC＝120°，∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝120﹣60＝60°，综上，可得∠AEB的度数为60°；线段BD与CE之间的数量关系是：BD＝CE．②∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝120﹣60＝60°；故BD＝CE；60；（2），∠BEC＝45°．理由如下：△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝∠ADE＝∠DAE＝45°，∠ACB＝∠AED＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∠ADB＝135°，∵Rt△ABC和Rt△ADE中，，，，∴，∴，又∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE，∴∠ADB＝∠AEC＝135°，，∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝45°，∵，∴，∴，∴；（3）如图3中，∵AEB＝∠ACB＝90°，∴A，B，C，E四点共圆，∴∠CEB＝∠CAB＝30°，∠ABD＝∠ACE，∵∠FAE＝∠BAC＝30°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，∴，∴EC＝BD，在Rt△ADE中，∵DE＝，∠DAE＝30°，∴AE＝DE＝3，∴BE＝＝4，∴BD＝BE﹣DE＝4﹣，∴CE＝BD＝2﹣，如图4中，当D，E，B在同一直线上时，同法可知BD＝DE+EB＝4+，CE＝BD＝2+，综上所述，CE的长为或．13．（1）证明：如图1中，延长CD到T，使得DT＝DE，连接TE．∵四边形ABCD是菱形，∴DT∥AB，∠A＝∠C＝60°，∴∠TDE＝∠A＝60°，∵DT＝DE，∴△DET是等边三角形，∴∠T＝∠C＝60°，∵∠EA′F＝∠A＝60°，∴∠TA′E+∠CA′H＝120°，∵∠CA′H+∠A′HC＝120°，∴∠TA′E＝∠A′HC，∴△A′HC∽△EA′T，∴＝，∵ET＝DE，AE＝A′E，∴＝．（2）解：如图2中，延长CD，过点F作FM⊥CD于点M，交AB于H，连接A′B、BD，CF．∵∠A＝60°，四边形ABCD是菱形，∴∠MDF＝60°，∴∠MFD＝30°，设MD＝x，则DF＝2x，FM＝x，∵DA′＝1，∴MA′＝x+1，∴（x+1）2+（x）2＝（2﹣2x）2，解得：x＝0.3，∴DF＝0.6，AF＝1.4，∴AH＝AF＝0.7，FH＝AF•sin∠A＝1.4×＝，∵CD＝BC，∠C＝60°，∴△DCB是等边三角形，∵A′是CD的中点，∴BA′⊥CD，∵BC＝2，DA′＝A′C＝1，∴BA′＝，设BE＝y，则A′E＝2﹣y，∴（）2+y2＝（2﹣y）2，解得：y＝0.25，∴AE＝1.75，∴EH＝AE﹣AH＝1.75﹣0.7＝1.05，∴EF＝＝＝．（3）解：如图3中，过点G作GH⊥AB于H，过点G作GP⊥A'F于P，过点A′作A'Q⊥AB于Q．∵四边形ABCD是菱形，∴DA＝AB＝BC＝CD＝2，AB∥CD，∵∠BAD＝60°，∴A'Q＝∵A'与A关于EF对称，∴EF垂直平分AA'，AQ＝QA′，∴AG＝A'G，∠AFE＝∠A'FE，∴GP＝GH，又∵GH⊥AB，A'Q⊥AB∴GH∥A'Q，∴GH＝A'Q＝，所以GC'≥GP＝，当且仅当C'与P重合时，GC'取得最小值．故答案为．14．解：（1）如图1中，由题意，＝，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴＝，∴＝＝，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠C＝∠B，∴DB＝DE，∵＝，∴＝＝．故答案为，．（2）结论：＝的值不变．理由：如图2中，∵△BDE∽△BAC，∴＝，∠DBE＝∠ABC，∴∠DBA＝∠EBC，∴△EBC∽△DBA，∴＝＝．（3）∵AB＝6，BD＝2，又∵＝＝，∴BC＝3﹣3，BE＝﹣1，∵BC﹣BE≤EC≤BE+BC，∴2﹣2≤EC≤4﹣4．15．解：（1）①∵∠C＝90°，∠B＝30°．∴∠BAC＝60°，∵△DEC绕点C旋转，点D恰好落在AB边上．∴AC＝CD，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°；故60°；②∵∠B＝30°，∠C＝90°，∴CD＝AC＝AB，∴BD＝AD＝AC，根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S△BDC＝S△AEC；故S△BDC＝S△AEC；（2）如图3，过点D作DM⊥BC于M，过点A作AN⊥CE交EC的延长线于N，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC＝CE，AC＝CD，∵∠ACN+∠BCN＝90°，∠DCM+∠BCN＝180°﹣90°＝90°，∴∠ACN＝∠DCM，在△ACN和△DCM中，∵，∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN＝DM，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S△BDC＝S△AEC；（3）如图4，过点D作DF∥BE，∵∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBE＝30°，∵DF∥BE，∴∠FDB＝30°，∴∠FBD＝∠FDB＝30°，∴FB＝FD，∴四边形DEBF是菱形，所以BE＝DF，且BE、DF上的高相等，此时S△DCF＝S△BDE；过点D作DF1⊥BD，∵∠ABC＝60°，FD∥BE，∴∠F1FD＝∠ABC＝60°，∵BF＝DF，∠FBD＝∠ABC＝30°，∠F1DB＝90°，∴∠FDF1＝∠ABC＝60°，∴△DFF1是等边三角形，∴DF＝DF1，∵BD＝CD，∠ABC＝60°，点D是角平分线上一点，∴∠DBC＝∠DCB＝×60°＝30°，∴∠CDF＝180°﹣∠BCD＝180°﹣30°＝150°，∠CDF1＝360°﹣150°﹣60°＝150°，∴∠CDF＝∠CDF1，∵在△CDF和△CDF1中，，∴△CDF≌△CDF1（SAS），∴点F1也是所求的点，∵∠ABC＝60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，∴∠DBC＝∠BDE＝∠ABD＝×60°＝30°，又∵BD＝4，∴BE＝×4÷cos30°＝2÷＝，∴BF＝，BF1＝BF+FF1＝＝，故BF的长为或．16．解：（1）∵点P是点Q（3，2）关于原点的关联点，∴P，Q关于原点对称，∴P（﹣3，2），故答案为（﹣3，2）．（2）①如图1中，当d＝4时，线段BC′平移到HG位置，此时线段EF上存在1个△ABC关于点（1，0）的“关联点”，当d＝6时，线段BC′平移到NM位置，此时线段EF上存在2个△ABC关于点（1，0）的“关联点”，观察图象可知，满足条件的d的范围为：4＜d≤6故4＜d≤6．②如图2中，当m＝3时，线段MN上存在△ABC关于点（m，0）的“关联点”，如图3中，当m＝5时，线段MN上存在△ABC关于点（m，0）的“关联点”，如图4中，当m＝7时，线段MN上存在△ABC关于点（m，0）的“关联点”，如图5中，当m＝9时，线段MN上存在△ABC关于点（m，0）的“关联点”，观察图象可知满足条件的m的为：3≤m≤5或7≤m≤9．17．（1）解：根据SAS可以证明△ADB≌△AEC．故答案为B．（2）证明：∵△ABC、△ADE均为等边三角形，∴AD＝AE，AB＝AC．由旋转得：∠DAB＝∠EAC，在△ADB和△AEC中，，∴△ADB≌△AEC（SAS）．（3）解：如图③，∵△ADE是等边三角形，∴∠ADE＝∠AED＝60°，∴∠AEC＝120°，∵△ADB≌△AEC，∴∠ADB＝∠AEC＝120°，∴∠EDB＝60°；如图④，∵△ADE是等边三角形，∴∠ADE＝∠AED＝60°，∵△ADB≌△AEC，∴∠ADB＝∠AEC＝60°，∴∠EDB＝60°+60°＝120°，∴∠EDB的大小为60°或120°，故60或120．18．解：（1）∵点A是x轴负半轴上一点且OA＝3，∴A（﹣3，0），∵点B在第二条象限内，到x轴的距离是3，到y轴的距离是2．∴B（﹣2，3）．故﹣3，0；﹣2，3；（2）如图①﹣1中，取点A关于y轴对称的对称点A'，连接BA'交y轴于点，则点P即为所求，过点B作BC⊥x轴于点C．∴AP＝A'P，∴三角形ABP的周长的最小值为AB+AA'+BA'．∵A（﹣3，0），B（﹣2，3），A'（3，0），∴AB＝＝＝，A'B＝＝，∴三角形ABP的周长的最小值为AB+A'B＝+；（2）如图①﹣2中，。
中考数学：以三角形为载体的几何压轴问题真题+模拟(原卷版北京专用)
中考数学以三角形为载体的几何压轴问题【方法归纳】北京市中考的倒数第二道大题多数是已三角形为载体的几何综合问题，主要涉及特殊的三角形及相似三角形，这类问题的解决要熟知知各种图形的性质与判定，并且这类题目的解决有时还需要全等三角形和相似三角形、勾股定理、方程思想与分类讨论的相关知识，因此能熟练应用各种知识是解决此类问题的关键.常用到的三角形的知识有：（1）涉及全等问题解题要领：①探求两个三角形全等的条件：SSS，SAS，ASA，AAS及HL，注意挖掘问题中的隐含等量关系，防止误用“SSA”；②掌握并记忆一些基本构成图形中的等量关系；③把握问题中的关键，通过关键条件，发现并添加辅助线．（2）涉及到计算边的关系解题要领：①线段的垂直平分线常常用于构造等腰三角形；②在直角三角形中求边的长度，常常要用到勾股定理；③根据三角形的三边长度，利用勾股定理的逆定理可判断其为直角三角形；④已知直角三角形斜边的中点，考虑运用直角三角形斜边上中线的性质；⑤直角三角形斜边上中线的性质存在逆定理．（3）涉及角平分线问题的解题要领：①已知角的平分线及角平分线上的点到角一边的垂线段，考虑用角平分线的性质；②角平分线的性质常常与三角形的面积相结合．解题要领：（4）涉及到直角三角形方面的解题要领：①已知直角三角形及其锐角求线段长度时，运用锐角三角函数是最常用的方法；②通过等腰三角形的性质，特殊平行四边形的性质及圆的性质构建直角三角形，再运用锐角三角函数求解；③熟记特殊直角三角形的三边关系：30°角的直角三角形的三边的比为1∶∶2，等腰直角三角形的三边关系为1∶1∶；④锐角三角函数也常常作为相似三角形中，求对应边的比值的补充．【典例剖析】【例1】（2021·北京·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=α,M为BC的中点，点D在MC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，连接BE,DE．（1）比较∠BAE与∠CAD的大小；用等式表示线段BE,BM,MD之间的数量关系，并证明；（2）过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明．6．（2022·北京·中考真题）在△ABC中，∠ACB=90∘，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE=DC.(1)如图1，延长BC到点F，使得CF=BC，连接AF，EF，若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；(2)连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2，若AB2=AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．【真题再现】1．（2013·北京·中考真题）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°<α<60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求α的值．2．（2017·北京·中考真题）在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M.（1）若∠P AC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）.（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明.3．（2019·北京·中考真题）已知∠AOB=30°，H为射线OA上一定点，OH=√3+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．（1）依题意补全图1；（2）求证：∠OMP=∠OPN；（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON=QP，并证明．4．（2020·北京·中考真题）在△ABC中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设AE=a,BF=b，求EF的长（用含a,b的式子表示）；（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．【模拟精练】一、解答题1．（2022·北京市广渠门中学模拟预测）如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，点P为射线BC上一动点（不与点B、C重合），以点P为中心，将线段PC逆时针旋转α角，得到线段PQ，连接AP、BQ、M为线段BQ的中点．(1)若点P在线段BC上，且M恰好也为AP的中点，的值；①依题意在图1中补全图形：②求出此时α的值和BPPC(2)写出一个α的值，使得对于任意线段BC延长线上的点P，总有AP的值为定值，并证明；PM2．（2022·北京房山·二模）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD，过点A作AE∥DC交BC边于点E，过点E作EF∥AB交CD边于点F，连接AF，过点C作CH∥AF交AE于点H，连接BH．(1)求证：△ABH≌△EAF；(2)如图2，若BH的延长线经过AF的中点M，求BE的值．EC3．（2022·北京东城·二模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠CAB=2α，在△ABC的外侧作直线AP(90°−a<∠PAC<180°−2a)，作点C关于直线AP的对称点D，连接AD,BD,BD交直线AP于点E．(1)依题意补全图形；(2)连接CE，求证：∠ACE=∠ABE；(3)过点A作AF⊥CE于点F，用等式表示线段BE,2EF,DE之间的数量关系，并证明．4．（2022·北京·二模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边的中线，DE⊥BC于E，连接CD，点P在射线CB上（与B，C不重合）(1)如果∠A=30°①如图1，DE与BE之间的数量关系是______②如图2，点P在线段CB上，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论．(2)如图3，若点P在线段CB的延长线上，且∠A=α(0°<α<90°)，连接DP，将线段DP 绕点逆时针旋转2α得到线段DF，连接BF，请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系（不需证明）．5．（2022·北京密云·二模）如图，在等边△ABC中，点D在BA的延长线上，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B重合），将线段PD绕点P逆时针旋转60°得到线段PE，连接BE和DE．(1)依据题意，补全图形；(2)比较∠BDE与∠BPE的大小，并证明；(3)用等式表示线段BE、BP与BD之间的数量关系，并证明．6．（2022·北京西城·二模）在△ABC中，AB=AC，过点C作射线CB′，使∠ACB′=∠ACB（点B′与点B在直线AC的异侧）点D是射线CB′上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上，且∠DAE+∠ACD=90°．(1)如图1，当点E与点C重合时，AD 与CB′的位置关系是______，若BC=a，则CD的长为______；（用含a的式子表示）(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接DE．①用等式表示∠BAC与∠DAE之间的数量关系，并证明；②用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明．7．（2022·北京门头沟·二模）如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，D是BC的中点，过点C作CE⊥AD，交AD于点E，交AB于点F，作点E关于直线AC的对称点G，连接AG和GC，过点B作BM⊥GC交GC的延长线于点M．(1)①根据题意，补全图形；②比较∠BCF与∠BCM的大小，并证明．(2)过点B作BN⊥CF交CF的延长线于点N，用等式表示线段AG，EN与BM的数量关系，并证明．8．（2022·北京顺义·二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P，D为射线AB上两点（点D在点P的左侧），且PD=BC，连接CP．以P为中心，将线段PD逆时针旋转n°(0<n<180)得线段PE．(1)如图1，当四边形ACPE是平行四边形时，画出图形，并直接写出n的值；(2)当n=135°时，M为线段AE的中点，连接PM．①在图2中依题意补全图形；②用等式表示线段CP与PM之间的数量关系，并证明．9．（2022·北京北京·二模）在△ABC中，∠ACB=90°,CA=CB，D是AB的中点，E为边AC上一动点（不与点A，C重合），连接DE，将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到线段BF，过点F作FH⊥DE于点H，交射线BC于点G．(1)如图1，当AE<EC时，比较∠ADE与∠BFG的大小；用等式表示线段BG与AE的数量关系，并证明；(2)如图2，当AE>EC时，依题意补全图2，用等式表示线段DE,CG,AC之间的数量关系．10．（2022·北京四中模拟预测）已知，点B是射线AP上一动点，以AB为边作△ABC，∠BCA= 90°，∠A=60°，将射线BC绕点B顺时针旋转120°，得到射线BD，点E在射线BD上，BE+BC= m．(1)如图1，若BE=BC，求CE的长（用含m的式子表示）；(2)如图2，点F在线段AB上，连接CF、EF．添加一个条件：AF、BC、BE满足的等量关系为______，使得EF=CF成立，补全图形并证明．11．（2022·北京昌平·二模）如图，已知∠MON=α(0°<α<90°)，OP是∠MON的平分线，点A是射线OM上一点，点A关于OP对称点B在射线ON上，连接AB交OP于点C，过点A作ON 的垂线，分别交OP，ON于点D，E，作∠OAE的平分线AQ，射线AQ与OP，ON分别交于点F，G．(1)①依题意补全图形；②求∠BAE度数；（用含α的式子表示）(2)写出一个α的值，使得对于射线OM上任意的点A总有OD=√2AF（点A不与点O重合），并证明．12．（2022·北京海淀·二模）已知AB = BC，∠ABC = 90°，直线l是过点B的一条动直线（不与直线AB，BC重合），分别过点A，C作直线l的垂线，垂足为D，E．(1)如图1，当45°＜∠ABD＜90°时，①求证：CE +DE =AD；②连接AE，过点D作DH⊥AE于H，过点A作AF∥BC交DH的延长线于点F．依题意补全图形，用等式表示线段DF，BE，DE的数量关系，并证明；(2)在直线l运动的过程中，若DE的最大值为3，直接写出AB的长．13．（2022·北京市十一学校二模）如图，已知∠AOB=60°，点P为射线OA上的一个动点，过点P作PE⊥OB，交OB于点E，点D在∠AOB内，且满足∠DP A=∠OPE，DP+PE=5．(1)当DP=PE时，求DE的长；(2)在点P的运动过程中，请判断射线OA上是否存在一个定点M，使得DM的值不变？并证ME明你的判断．14．（2022·北京平谷·一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB边上一点（不与点A，B重合），作射线CD，过点A作AE⊥CD于E，在线段AE上截取EF＝EC，连接BF交CD于G．(1)依题意补全图形；(2)求证：∠CAE＝∠BCD；(3)判断线段BG与GF之间的数量关系，并证明．15．（2022·北京房山·一模）已知：等边△ABC，过点B作AC的平行线l．点P为射线AB上一个动点（不与点A，B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转60°交直线l于点D．(1)如图1，点P在线段AB上时，依题意补全图形；①求证：∠BDP=∠PCB；②用等式表示线段BC，BD，BP之间的数里关系，并证明；(2)点P在线段AB的延长线上，直接写出线段BC，BD，BP之间的数量关系．16．（2022·北京市第一六一中学分校一模）已知点P为线段AB上一点，将线段AP绕点A 逆时针旋转60°，得到线段AC；再将线段BP绕点B逆时针旋转120°，得到线段BD；连接AD，取AD中点M，连接BM，CM．(1)如图1，当点P在线段CM上时，求证：PM//BD；(2)如图2，当点P不在线段CM上，写出线段BM与CM的数量关系与位置关系，并证明．17．（2022·北京·二模）如图，在等边ΔABC中，点D是边BC的中点，点E是直线BC上一动点，将线段AE绕点E逆时针旋转60°，得到线段EG，连接AG，BG．(1)如图1，当点E与点D重合时．①依题意补全图形；②判断AB与EG的位置关系；(2)如图2，取EG的中点F，写出直线DF与AB夹角的度数以及FD与EC的数量关系，并证明．18．（2022·北京朝阳·一模）在△ABC中，D是BC的中点，且∠BAD≠90°，将线段AB沿AD所在直线翻折，得到线段AB′，作CE∥AB交直线AB′于点E．(1)如图，若AB>AC，①依题意补全图形；②用等式表示线段AB,AE,CE之间的数量关系，并证明；(2)若AB<AC，上述结论是否仍然成立？若成立，简述理由：若不成立，直接用等式表示线段AB,AE,CE之间新的数量关系（不需证明）．19．（2022·北京·中国人民大学附属中学分校一模）如图，正方形ABCD中，P为BD上一动点，过点P作PQ⊥AP交CD边于点Q．(1)求证：PA=PQ；(2)用等式表示PB、PD、AQ之间的数量关系，并证明；(3)点P从点B出发，沿BD方向移动，若移动的路径长为4，则AQ的中点M移动的路径长为（直接写出答案）．20．（2022·北京·东直门中学模拟预测）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°．D为边BC上一动点，点E在边AC上，CE=CD．点D关于点B的对称点为点F，连接AD，P 为AD的中点，连接PE，PF，EF．(1)如图1，当点D与点B重合时，写出线段PE与PF之间的位置关系与数量关系；(2)如图2，当点D与点B，C不重合时，判断（1）中所得的关系是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请举出反例．21．（2022·北京西城·一模）已知正方形ABCD，将线段BA绕点B旋转α（0°<α<90°），得到线段BE，连接EA，EC．(1)如图1，当点E在正方形ABCD的内部时，若BE平分∠ABC，AB=4，则∠AEC=______°，四边形ABCE的面积为______；(2)当点E在正方形ABCD的外部时，①在图2中依题意补全图形，并求∠AEC的度数；②作∠EBC的平分线BF交EC于点G，交EA的延长线于点F，连接CF．用等式表示线段AE，FB，FC之间的数量关系，并证明．22．（2022·北京市三帆中学模拟预测）已知：如图所示△ABC绕点A逆时针旋转α得到△ADE （其中点B与点D对应）．(1)如图1，点B关于直线AC的对称点为B′，求线段B′E与CD的数量关系；(2)当α=32°时，射线CB与射线ED交于点F，补全图2并求∠AFD．23．（2022·北京市第五中学分校模拟预测）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，作射线CM，∠ACM＝80°．D上，连接AD，E是AD的中点，C关于点E的对称点为F，连接DF．(1)依题意补全图形；(2)判断AB与DF的数量关系并证明；(3)平面内一点G，使得DG＝DC，FG＝FB，求∠CDG的值．24．（2022·北京朝阳·模拟预测）如图①，Rt△ABC和Rt△BDE重叠放置在一起，∠ABC＝∠DBE＝90°，且AB＝2BC，BD＝2BE．(1)观察猜想：图①中线段AD与CE的数量关系是，位置关系是；(2)探究证明：把△BDE绕点B顺时针旋转到图②的位置，连接AD，CE，判断线段AD与CE的数量关系和位置关系如何，并说明理由；(3)拓展延伸：若BC＝√5，BE＝1，当旋转角α＝∠ACB时，请直接写出线段AD的长度．25．（2022·北京市师达中学模拟预测）四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转2α（0°＜α＜45°），得到线段CE，连接DE，过点B作BF⊥DE交DE的延长线于F，连接BE．（1）依题意补全图1；（2）直接写出∠FBE的度数；（3）连接AF，用等式表示线段AF与DE的数量关系，并证明．26．（2012·北京顺义·中考模拟）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°．①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为，线段CF、BD的数量关系为．②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立？并说明理由；（2）如图4，如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．27．（2015·北京·模拟预测）（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为．（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD＝√2，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．28．（2021·北京·二模）在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=α (0°＜α＜60°)．点P是△ABC内一动点，连接AP，BP，将△APB绕点A逆时针旋转α，使AB边与AC重合，得到△ADC，射线BP与CD或CD延长线交于点M（点M与点D不重合）．（1）依题意补全图1和图2；由作图知，∠BAP与∠CAD的数量关系为；（2）探究∠ADM与∠APM的数量关系为；（3）如图1，若DP平分∠ADC，用等式表示线段BM，AP，CD之间的数量关系，并证明．。
2019北京中考数学压轴题型突破：几何综合题(10道)
几何综合题类型一动点1.如图，正方形ABCD中，点E是BC边上的一个动点，连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转90°，得到AF，连接EF，交对角线BD于点G，连接AG．（1）根据题意补全图形；（2）判定AG与EF的位置关系并证明；（3）当AB = 3，BE = 2时，求线段BG的长．第1题图解：（1）补全图形如解图①；第1题解图①（2）结论：AG⊥EF．证明：如解图②，连接FD，过F点作FM∥BC，交BD的延长线于点M．第1题解图②∵四边形ABCD是正方形，∴AB=DA=DC=BC，∠DAB=∠ABE=∠ADC=90°，∠ADB=∠5=45°．∵线段AE绕点A逆时针旋转90°，得到AF，∴AE=AF，∠FAE=90°．∴∠1=∠2．∴△FDA≌△EBA．∴∠FDA=∠EBA=90°，FD=BE．∵∠ADC=90°，∴∠FDA+∠ADC=180°.[来源学科网]∴点F、D、C三点共线．∴∠ADB=∠3=45°．∵FM∥BC，∴∠4=∠5=45°，∴FM=FD，∴FM=BE．∵∠FGM=∠EGB，FM=BE，∠4=∠5，∴△FGM≌△EGB．∴FG=EG．∵AE=AF，∴AG⊥FE；（3）解：∵AB=3，BE=2，∴DC=3，CE=1，FD=2．∴Rt△DAB中，DB=32．∵四边形ABCD是正方形，∴DH∥BC，∴DH FDCE FC，即215DH，∴DH=25.∴DG DHBG BE，即23252BGBG，∴BG=522.2.如图，已知∠AOB=60°，点P为射线OA上的一个动点，过点P作PE⊥OB，交OB于点E，点D在∠AOB内，且满足∠DP A=∠OPE.DP+PE=6.（1）连接DE,当DP=PE时，求DE的长；（2）在点P的运动过程中，请判断是否存在一个定点M，使的值不变？并证明你的判断.得DMME第2题图解：（1）如解图①，作PF⊥DE交DE于F.∵PE⊥BO，60AOB，∴30OPE.∴30DPA OPE.∴120EPD.∵DP PE,6DP PE,∴30PDE,3PD PE.∴3cos303DF PD.2∴233DE DF；图①图②第2题解图（2）当M点在射线OA上且满足23OM时，DMME的值不变，始终为1.理由如下：当点P与点M不重合时，如解图②，延长EP到K使得PK PD. ∵,DPA OPE OPE KPA,∴KPA DPA.∴KPM DPM.∵PK PD,PM是公共边,∴KPM△≌DPM△.∴MK MD.作ML⊥OE于L,MN⊥EK于N.∵23,60MO MOL，∴sin603ML MO.∵PE⊥BO,ML⊥OE,MN⊥EK，∴四边形MNEL 为矩形. ∴3ENML . ∵6EK PE PK PE PD , ∴EN NK .∵MN ⊥EK , ∴MKME . ∴ME MK MD ,即1DMME .当点P 与点M 重合时，由以上过程可知结论成立.类型二平移3.在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC=4，点M 是线段BC 的中点，点N 在射线MB 上，连接AN ，平移△ABN ，使点N 移动到点M ，得到△DEM （点D 与点A 对应，点E 与点B 对应），DM 交AC 于点P ．（1）若点N 是线段MB 的中点．①依题意补全图①；②求DP 的长；（2）若点N 在线段MB 的延长线上，射线DM 与射线AB 交于点Q ，若MQ=DP ，求CE 的长．第3题图备用图备用图解：（1）①补全图形，如解图①；第3题解图①②如解图②. 连接AD ，在Rt △ABN 中,∵∠B=90°，AB=4，BN=1，∴17AN .∵线段AN 平移得到线段DM ，∴DM=AN=17，[来源:Z §xx §]AD=NM=1，AD ∥MC ，∴△ADP ∽△CMP.∴21MC AD MP DP .∴317DP ;（2）连接NQ ，如解图②.图1第3题解图②由平移知：AN ∥DM ，且AN =DM .∵MQ DP ，∴PQ DM .∴AN ∥PQ ，且AN =PQ .∴四边形ANQP 是平行四边形.∴NQ ∥AP .∴45BQN BAC .又∵90NBQ ABC ，∴BN BQ .∵AN ∥MQ ，∴AB NBBQ BM .又∵M 是BC 的中点，且4AB BC ，∴42NBNB .∴22NB (舍负).∴22ME BN .∴222CE.类型三旋转4.如图①，△ABC与△CDE都是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD．（1）猜想：PM与PN的数量关系是，位置关系是．（直接写出结论）（2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE与MP、BD分别交于点G、H，请判断（1）中的结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明．第4题图解：（1）PM=PN ，PM ⊥PN ；理由如下：∵△ACB 和△ECD 是等腰直角三角形，∴AC=BC ，EC=CD ，∠ACB=∠ECD=90°．在△ACE 和△BCD 中，o =90AC BCACB BCD CE CD，∴△ACE ≌△BCD （SAS ），∴AE=BD ，∠EAC=∠CBD ，∵点M 、N 分别是斜边AB 、DE 的中点，点P 为AD 的中点，∴PM=12BD ，PN=12AE ，∴PM=PN ，∵PM∥BD，PN∥AE，∴AE⊥BD，∴∠NPD=∠EAC，∠MP A=∠BDC，∠EAC+∠BDC=90°，∴∠MPA+∠NPC=90°，∴∠MPN=90°，即PM⊥PN；∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．∴∠ACB +∠BCE=∠ECD+∠BCE．第4题解图∴∠ACE =∠BCD．∴△ACE ≌△BCD．∴AE=BD，∠CAE=∠CBD．又∵∠AOC=∠BOE，∠CAE=∠CBD，∴∠BHO=∠ACO=90°．∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，∴PM=1BD，PM∥BD；2PN=1AE，PN∥AE．2∴PM=PN．∴∠MGE +∠BHA=180°．∴∠MGE =90°．∴∠MPN =90°．∴PM⊥PN．（3）PM=kPN .∵△ACB和△ECD是直角三角形，∴∠ACB=∠ECD=90°．∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．∴∠ACE=∠BCD．∵BC=kAC，CD=kCE，∴BC CD=k,AC CE∴△BCD∽△ACE．∴BD=kAE．∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，∴PM=12BD，PN=12AE，∴PM=kPN.5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC.在平面内任取一点D，连接AD（AD<AB），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接DE，CE，BD.（1）请根据题意补全图①；（2）猜测BD和CE的数量关系并证明；（3）作射线BD，CE交于点P，把△ADE饶点A旋转，当∠EAC=90°，AB=2，AD=1时，补全图形，直接写出PB 的长.图①图②第5题图解：（1）补全图，如解图①；第5题解图①（2）BD和CE的数量是：BD=CE；∵∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE=90°，∴∠DAB=∠CAE，∵AD=AE，AB=AC，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE；（3）结论：PB的长是2565或.55图②图③第5题解图理由：①由△ACE≌△ABD，可知：∠ACE=∠ABD，∵∠AEC=∠BEP，∴∠BPE=∠EAC=90°，∵∠PBE=∠ABD ，∴△BPE ∽△BAD ，∴BP BE AB BD , ∴125BP∴255BP .②由△BPE ∽△BAD ，∴BP BE AB BD , ∴325BP,∴655BP .类型四对称6.如图，已知Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°，点D 为边BC 上的点，连接AD ，∠BAD=α，点D 关于AB 的对称点为E ，点E 关于AC 的对称点为G ，线段EG 交AB 于点F ，连接AE ，DE ，DG ，AG.（1）依题意补全图形；（2）求∠AGE 的度数（用含α的式子表示）；（3）用等式表示线段EG 与EF ，AF 之间的数量关系，并说明理由.第6题图解：（1）补全图形，如解图①；第6题解图①（2）由轴对称性可知，AB为ED的垂直平分线，AC为EG 的垂直平分线.[来源学科网Z|X|X|K]∴AE=AG=AD.∴∠AEG=∠AGE，∠BAE=∠BAD=α.[来源:学#科#网]∴∠EAC=∠BAC+∠BAE=30°+α.∴∠EAG=2∠EAC=60°+2α.∴∠AGE=12(180°－∠EAG ) =60°－α.（3）EG=2EF+AF.如解图②，设AC 交EG 于点H.∵∠BAC=30°，∠AHF=90°,∴FH=12AF . ∴EH=EF+FH=EF+12AF . 又∵点E ，G 关于AC 对称,∴EG=2EH.∴EG=2(EF+12AF )=2EF+AF . 第6题解图②7.在等边△ABC 外侧作直线AM ，点C 关于AM 的对称点为D ，连接BD 交AM 于点E ，连接CE ，CD ，AD.（1）依题意补全图①，并求∠BEC 的度数；（2）如图②，当∠MAC=30°时，判断线段BE 与DE 之间的数量关系，并加以证明；（3）若0°＜∠MAC ＜120°，当线段DE=2BE 时，直接写出∠MAC的度数．第7题图解：（1）补全图形,如解图①所示，第7题解图①根据轴对称得，AD=AC，设∠DAE=∠CAE=x，∠DEM=∠CEM．∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°．∴AB=AD．∴∠ABD=∠ADB=y．在△ABD中，2x+2y+60°=180°，∴x+y=60°．∴∠DEM=∠CEM=x+y=60°．∴∠BEC=60°；（2）BE=2DE，证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC.由对称知，AD=AC，∠CAD=2∠CAM=60°，∴△ACD是等边三角形.∴CD=AD.∴AB=BC=CD=AD.∴四边形ABCD是菱形，且∠BAD=2∠CAD=120°. ∵∠ABC=60°，∴∠ABD=∠DBC=30°.由（1）知，∠BEC=60°，∴∠ECB=90°．∴BE=2CE．∵CE=DE，∴BE=2DE．（3）∠MAC=90°.【解法提示】如解图②，延长EB至F使BE=BF，第7题解图②∴EF=2BE．由轴对称得，DE=CE，∵DE=2BE，∴CE=2BE．∴EF=CE．如解图②连接CF，由（1）可知，∠BEC=60°，∴△CEF是等边三角形．∵BE=BF，∴∠CBE=90°．∴∠BCE=30°．∴∠ACE=30°．∵∠AED=∠AEC，∠BEC=60°，∴∠AEC=60°．[来源学科网ZXXK]∴∠MAC=180°-∠AEC-∠ACE=90°．类型五综合8.如图①，在等边三角形ABC中，CD为中线，点Q在线段CD上运动，将线段QA绕点Q顺时针旋转，使得点A的对应点E落在射线BC上，连接BQ，设∠DAQ=α（0°＜α＜60°且α≠30°）．（1）当0°＜α＜30°时，①在图①中依题意画出图形，并求∠BQE（用含α的式子表示）；②探究线段CE，AC，CQ之间的数量关系，并加以证明；（2）当30°＜α＜60°时，直接写出线段CE，AC，CQ之间的数量关系．第8题图解：（1）①画出的图形如解图①所示，第8题解图①∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60°．∵CD为等边三角形的中线，Q为线段CD上的点，∴CD是AB的垂直平分线．由等边三角形的对称性得QA=QB．∵∠DAQ=α，∴∠ABQ=∠DAQ=α，∠QBE=60°-α．∵线段QE为线段QA绕点Q顺时针旋转所得，∴QE=QA．∴QB=QE．∴∠QEB=∠QBE=60°-α．∴∠BQE=180°-2∠QBE=180°-2（60°-α）=60°+2α；②CE+AC=3CQ；如解图②，延长CA到点F，使得AF=CE，连接QF，作QH⊥AC于点H．第8题解图②∵∠BQE=60°+2α，点E在BC上，∴∠QEC=∠BQE+∠QBE=（60°+2α）+（ 60°-α）=120°+α．∵点F在CA的延长线上，∠DAQ=α，∴∠QAF=∠BAF+∠DAQ=120°+α．∴∠QAF=∠QEC．又∵AF=CE，QA=QE，∴△QAF≌△QEC．∴QF=QC．∵QH⊥AC于点H，∴FH=CH，CF=2CH．∵在等边三角形ABC中，CD为中线，点Q在CD上，∠ACB=30°．∴∠ACQ=12即△QCF为底角为30°的等腰三角形．∴CH＝CQ?cos∠HCQ＝CQ?cos30°＝3CQ．2∴CE+AC=AF+AC=CF=2CH＝3CQ．（2）AC-CE=3CQ．【解法提示】如解图③，在AC上取一点F使AF=CE，连接QF,第8题解图③∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60°．∵CD为等边三角形的中线，Q为线段CD上的点，∴CD是AB的垂直平分线．由等边三角形的对称性得QA=QB．∵∠DAQ=α，∴∠ABQ=∠DAQ=α，∠QBE=60°-α．∵线段QE为线段QA绕点Q顺时针旋转所得，∴QE=QA．∴QB=QE．∴∠QEB=∠QBE=60°-α=∠QAF．又∵AF=CE，QA=QE，∴△QAF≌△QEC．∴QF=QC．∵QH⊥AC于点H，∴FH=CH，CF=2CH．∵在等边三角形ABC中，CD为中线，点Q在CD上，∠ACB=30°．∴∠ACQ=12即△QCF为底角为30°的等腰三角形．∴CH＝CQ?cos∠HCQ＝CQ?cos30°＝3CQ．2∴AC-CE=AC-AF=CF=2CH＝3CQ．类型六不涉及动态9. 已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且AD=AB，过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点H．（1）如图①，若∠BAC=60°,①直接写出B和∠ACB的度数；②若AB=2，求AC 和AH 的长；（2）如图②，用等式表示线段AH 与AB+AC 之间的数量关系，并证明．第9题图解：（1）①75B ，45ACB ；②如解图①，作DE ⊥AC 交AC 于点E.第9题解图①在Rt △ADE 中，由30DAC ，AD=2可得DE=1，AE 3. Rt △CDE 中，由45ACD ，DE=1，可得EC=1.∴AC 31. Rt △ACH 中，由30DAC ，可得AH 332；（2）线段AH 与AB+AC 之间的数量关系：2AH=AB+AC证明：如解图②，延长AB和CH交于点F，取BF中点G，连接GH.第9题解图②易证△ACH ≌△AFH.∴AC=AF,HC=HF．∥.∴GH BC∵AB AD，∴ABD ADB.∴AGH AHG.∴AG AH.AB AC AB AF AB BF AB BG AG AH. ∴222210.如图，在正方形ABCD中，连接BD，点E为CB边的延长线上一点，点F是线段AE的中点，过点F作AE的垂线交BD于点M,连接ME、MC.（1）根据题意补全图形，猜想MEC与MCE的数量关系并证明；（2）连接FB，判断FB 、FM之间的数量关系并证明.第10题图解：（1）补全图形如解图①；第10题解图①MEC=MCE；证明：如解图②，连接AM，∵点F是AE的中点，FM AE，∴MA ME．∵点A、点C是关于正方形ABCD对角线BD所在直线的对称点,∴MA MC．∴ME MC．∴MEC=MCE；图②图③第10题解图（2）数量关系：FB FM．证明：如解图③，连接BF,∵点M在正方形对角线上，可△≌△,得MAD MCD∴MAD=MCD．∵MEC=MCE,MEC MAD DCM MCE．∴90∵AD CE∥.DAE CEA．∴180MAE MEA．∴90∴90AME．∴EMA△是等腰直角三角形．∴12FM AE ．∵12FBAE ,∴FB FM ．。
北京专版中考数学一轮复习7.5代数压轴综合题试卷部分课件
解析 (1)y=ax2-4ax-4=a(x-2)2-4a-4.
令x=0,得y=-4,∴A(0,-4).抛物线的对称轴为直线x=2,
∴B(2,0).
(2)当抛物线经过点(1,0)时,a=- 4 ,
3
当抛物线经过点(2,0)时,a=-1.
结合函数图象可知,a的取值范围为- 4 ≤a≤1.
3
10.(2018北京丰台一模,26)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-4ax+3a的最高点的纵坐标是 2. (1)求抛物线的对称轴及抛物线的表达式; (2)将抛物线在1≤x≤4之间的部分记为图象G1,将图象G1沿直线x=1翻折,翻折后的图象记为G2, 图象G1和G2组成图象G.过点(0,b)作与y轴垂直的直线l,当直线l和图象G只有两个公共点时,将 这两个公共点分别记为P1(x1,y1),P2(x2,y2),求b的取值范围和x1+x2的值.
∴3k b 0,
b
3,
解得 k 1 , ∴直线 b B C3 的, 表达式为y=-x+3.
(2)∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,
∴抛物线的顶点坐标为(2,-1),对称轴为直线x=2.
由题意可知,点P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1<x2)关于直线x=2对称, ∴x2-2=2-x1, ∴x1+x2=4. 由x1<x2<x3,结合函数的图象,可得-1<y3<0, 即-1<-x3+3<0, 解得3<x3<4. ∴7<x1+x2+x3<8.
解题关键 解决本题第二问的关键是要根据示意图寻找临界点,求x1+x2时要借助抛物线的对 称性.
11.(2018北京石景山一模,26)在平面直角坐标系xOy中,将抛物线G1:y=mx2+2 (m3 ≠0)向右平 移 3个单位长度后得到抛物线G2,点A是抛物线G2的顶点. (1)直接写出点A的坐标; (2)过点(0, 3)且平行于x轴的直线l与抛物线G2交于B,C两点. ①当∠BAC=90°时,求抛物线G2的表达式; ②若60°<∠BAC<120°,直接写出m的取值范围.
2023北京中考数学几何压轴题
一、引言2023年北京中考数学压轴题一直备受关注，其中几何部分更是考生们备考的重点之一。
几何在数学中占据着重要地位，其几何解题能力直接关系到学生对数学的掌握程度。
在2023年北京中考数学压轴题中，几何题目的设计将着重考察学生对几何知识的理解和运用能力，而且题目的难度和考点也将更加贴近生活和实际应用。
本文将结合以往的中考试题，对2023年北京中考数学几何压轴题进行分析和预测，以期帮助考生们更好地备考。
二、2023年北京中考数学几何压轴题考点预测根据往年的中考试题和教学大纲，我们可以初步推测2023年北京中考数学几何压轴题的考点可能包括以下几个方面：1. 直线、线段、射线和角的关系：包括垂直、平行、相交和角的性质等；2. 三角形的性质：包括三角形内角和为180度、直角三角形的性质、等腰三角形和等边三角形的性质等；3. 四边形的性质：包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形等四边形的性质；4. 圆的性质：包括圆的基本性质、圆心角和弧度的关系、切线和弦的性质等；5. 相似三角形和全等三角形的性质：包括相似三角形和全等三角形的判定条件、相似比和相似三角形的性质等。
以上五个方面是几何学习中的重点，也是考生需要重点复习和掌握的知识点。
基于这些考点，我们可以初步推测2023年北京中考数学几何压轴题可能涉及到的题型和难度。
三、2023年北京中考数学几何压轴题题型预测根据对考点的分析，我们可以初步推测2023年北京中考数学几何压轴题可能包括以下几种题型：1. 直线、线段和角的性质题：可能涉及到直线的垂直、平行、夹角和对顶角的性质，以及根据已知条件求证等；2. 三角形和四边形的性质题：可能涉及到三角形内角和、外角和、中位线、高线等性质，以及四边形的各种性质的运用和证明等；3. 圆的性质题：可能涉及到圆的基本性质、圆心角和弧的关系、切线和弦的性质等；4. 相似三角形和全等三角形的性质题：可能涉及到相似三角形和全等三角形的性质运用、相似比和相似三角形的判定等。
中考数学几何压轴题(有关三角形、四边形)的综合专题(含答案解析)
中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△，可推证△CEF是三角形，从而求得∠DCE＝．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．3、（2019秋•锦江区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．4、（2019•镇平县三模）如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为；∠EFC的度数为；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．5、（2017春•西城区校级期末）如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．7、（1）如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．9、（2018•大东区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于时，线段BC的长取得最大值，且最大值为（用含b，c的式子表示）（直接填空）.模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，请直接写出你的结论，并画出论证过程中需要添加的辅助线．17、在△ABC中，∠BAC＝60°，点D、E分别在边AC、AB上，AD＝AE，连接CE、BD相交于点F，且∠BEC＝∠ADF，连接AF．（1）如图1，连接ED，求证：∠ABD＝∠CED；（2）如图2，求证：EF+FD＝AF；（3）如图3，取BC的中点G，连接AG交BD于点H，若∠GAC＝3∠ABD，BH＝7，求△ABH的面积．18、点D，E分别在△ABC的边AC，BD上，BD，CE交于点F，连接AF，∠F AE＝∠F AD，FE＝FD．（1）如图1，若∠AEF＝∠ADF，求证：AE＝AD；（2）如图2，若∠AEF≠∠ADF，FB平分∠ABC，求∠BAC的度数；（3）在（2）的条件下，如图3，点G在BE上，∠CFG＝∠AFB若AG＝6，△ABC的周长为20，求BC长．中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题参考答案1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．证明：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∵CG平分∠ACB，∴∠ACG＝∠BCG＝45°，∴∠A＝∠BCG，在△BCG和△CAF中，∵，∴△BCG≌△CAF（ASA），∴CF＝BG；（2）如图2，∵PC∥AG，∴∠PCA＝∠CAG，∵AC＝BC，∠ACG＝∠BCG，CG＝CG，∴△ACG≌△BCG，∴∠CAG＝∠CBE，∵∠PCG＝∠PCA+∠ACG＝∠CAG+45°＝∠CBE+45°，∠PGC＝∠GCB+∠CBE＝∠CBE+45°，∴∠PCG＝∠PGC，∴PC＝PG，∵PB＝BG+PG，BG＝CF，∴PB＝CF+CP；（3）解法一：如图3，过E作EM⊥AG，交AG于M，∵S△AEG＝AG•EM＝3，由（2）得：△ACG≌△BCG，∴BG＝AG＝6，∴×6×EM＝3，EM＝，设∠FCH＝x°，则∠GAC＝2x°，∴∠ACF＝∠EBC＝∠GAC＝2x°，∵∠ACH＝45°，∴2x+x＝45，x＝15，∴∠ACF＝∠GAC＝30°，在Rt△AEM中，AE＝2EM＝2，AM＝＝3，∴M是AG的中点，∴AE＝EG＝2，∴BE＝BG+EG＝6+2，在Rt△ECB中，∠EBC＝30°，∴CE＝BE＝3+，∴AC＝AE+EC＝2+3+＝3+3．解法二：同理得：∠CAG＝30°，AG＝BG＝6，如图4，过G作GM⊥AC于M，在Rt△AGM中，GM＝3，AM＝＝＝3，∵∠ACG＝45°，∠MGC＝90°，∴GM＝CM＝3，∴AC＝AM+CM＝3+3．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△ADB，可推证△CEF是等腰直角三角形，从而求得∠DCE＝135°．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．解：[问题初探]如图2，过点E作EF⊥BC交直线BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝135°，故答案为：ADB，等腰直角，135；[继续探究]如图3，过点E作EF⊥BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝45°；[拓展延伸]如图4，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，∴∠ACB＝45°当点D在射线BC上时，由[问题初探]知，∠BCM＝135°，∴∠ACM＝∠BCM﹣∠ACB＝90°，当点D在线段CB的延长线上时，由[继续探究]知，∠BCE＝45°，∴∠ACN＝∠ACB+∠BCM＝90°，∴点E是过点C垂直于AC的直线上的点，∴当BE⊥MN时，BE最小，∵∠BCE＝45°，∴∠CBE＝45°＝∠BCE，∴BE＝CE，∴BE最小＝BC＝，即：BE的最小值为．3、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．证明：（1）如图1，过点D作DE⊥AB，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴DC＝DE，∵∠A＝30°，DE⊥AB，∴AD＝2DE，∴AD＝2DC；（2）如图2，过点M作ME∥BD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∵BM平分∠CBD，∴∠CBM＝15°＝∠DBM，∵ME∥BD，∴∠MEC＝∠CBD＝30°，∠EMB＝∠DBM＝∠MBE，∴ME＝BE，∵∠MEC＝30°，∠C＝90°∴CE＝MC＝，ME＝2MC＝2＝BE，∴BC＝+2，∵∠CBD＝30°，∠C＝90°，∴BC＝CD，∴CD＝1+，∴DM＝，∴△DBM的面积＝××（+2）＝1+；（3）若点N在CD上时，AD＝DG+DN，理由如下：如图3所示：延长ED使得DW＝DN，连接NW，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，∵DN＝DW，且∠WDN＝60°∴△WDN是等边三角形，∴NW＝DN，∠W＝∠WND＝∠BNG＝∠BDN＝60°，∴∠WNG＝∠BND，在△WGN和△DBN中，∴△WGN≌△DBN（SAS），∴BD＝WG＝DG+DN，∴AD＝DG+DN．（3）若点N在AD上时，AD＝DG﹣DN，理由如下：如图4，延长BD至H，使得DH＝DN，连接HN，由（1）得DA＝DB，∠A＝30°．∵DE⊥AB于点E．∴∠2＝∠3＝60°．∴∠4＝∠5＝60°．∴△NDH是等边三角形．∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°．∴∠H＝∠2．∵∠BNG＝60°，∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7．即∠DNG＝∠HNB．在△DNG和△HNB中，∴△DNG≌△HNB（ASA）．∴DG＝HB．∵HB＝HD+DB＝ND+AD，∴DG＝ND+AD．∴AD＝DG﹣ND．4、如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为EF＝CF；∠EFC的度数为120°；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．解：（1）如图1中，∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∵∠BCD＝90°，BF＝DF，∴FE＝FB＝FD＝CF，∴∠FBE＝∠FEB，∠FBC＝∠FCB，∴∠EFC＝∠EFD+∠CFD＝∠FBE+∠FEB+∠FBC+∠FCB＝2（∠FBE+∠FBC）＝2∠ABC＝120°，故答案为：EF＝CF，120°．（2）结论成立．理由：如图2中，取AB的中点M，AD的中点N，连接MC，MF，ED，EN，FN．∵BM＝MA，BF＝FD，∴MF∥AD，MF＝AD，∵AN＝ND，∴MF＝AN，MF∥AN，∴四边形MFNA是平行四边形，∴NF＝AM，∠FMA＝∠ANF，在Rt△ADE中，∵AN＝ND，∠AED＝90°，∴EN＝AD＝AN＝ND，同理CM＝AB＝AM＝MB，在△AEN和△ACM中，∠AEN＝∠EAN，∠MCA＝∠MAC，∵∠MAC＝∠EAN，∴∠AMC＝∠ANE，又∵∠FMA＝∠ANF，∴∠ENF＝∠FMC，在△MFC和△NEF中，，∴△MFC≌△NEF（SAS），∴FE＝FC，∠NFE＝∠MCF，∵NF∥AB，∴∠NFD＝∠ABD，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，△BMC是等边三角形，∠MCB＝60°∴∠EFC＝∠EFN+∠NFD+∠DFC＝∠MCF+∠ABD+∠FBC+∠FCB＝∠ABC+∠MCB＝60°+60°＝120°．（3）如图3中，作EH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，BC＝3，∴AB＝2BC＝6，在Rt△AED中，∠DAE＝30°，AD＝2，∴DE＝AD＝1，在Rt△DEH中，∵∠EDH＝60°，DE＝1，∴EH＝ED•sin60°＝，DH＝ED•cos60°＝，在Rt△EHG中，EG＝＝．5、如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．解：（1）BC＝2BD，理由：如图2，连接CD，由旋转可得，CP＝DP，∠CPD＝60°，∴△CDP是等边三角形，∴∠CDP＝60°＝∠PCD，又∵P是AB的中点，AB＝AC，∠A＝60°，∴等边三角形ABC中，∠PCB＝30°，CP⊥AB，∴∠BCD＝30°，即BC平分∠PCD，∴BC垂直平分PD，∴∠BDC＝∠BPC＝90°，∴Rt△BCD中，BC＝2BD．（2）如图3，取BC中点F，连接PF，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵P是AB的中点，F是BC的中点，∴PF是△ABC的中位线，∴PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB＝45°，∠BPF＝∠A＝90°，∴△BPF是等腰直角三角形，∴BF＝BP，BP＝PF，∵∠DPC＝∠BPF＝90°，∴∠BPD＝∠FPC，又∵PD＝PC，∴△BDP≌△FCP，∴BD＝CF，∵BC＝BF+FC，∴BC＝BD+BP．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．【发现问题】解：延长CA到M，作∠MAC的平分线AN，在AN上截取AD＝AC，连接CD，即可得到等腰直角△ACD；连接BD、CE，如图1所示：∵△ABE与△ACD都是等腰直角三角形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，【拓展探究】解：BD＝CE；理由如下：∵四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；【解决问题】解：以AB为边向外作等边三角形ABE，连接CE，如图3所示：则∠BAE＝60°，BE＝AB＝AE＝8，∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝60°，AC＝AD，∴∠CAD+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；当C、B、E三点共线时，CE最大＝BC+BE＝15+8＝23，∴BD的最大值为23．7、如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为a+b（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．（1）解：∵点C为线段AB外一动点，且AC＝b，AB＝a，∴当点C位于BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为AC+AB＝a+b，（2）①证明：如图2中，∵△ACD与△BCE是等边三角形，∴CD＝AC，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△CAD与△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴AE＝BD．②∵线段AE长的最大值＝线段BD的最大值，由（1）知，当线段BD的长取得最大值时，点D在BA的延长线上，∴最大值为AD+AB＝3+10＝13；（3）如图3中，连接BN，∵将△AMN绕着点M顺时针旋转90°得到△PBM，连接AP，则△APM是等腰直角三角形，∴MA＝MP＝2，BP＝AN，∴P A＝2，∵AB＝6，∴线段AN长的最大值＝线段BP长的最大值，∴当P在线段BA的延长线时，线段BP取得最大值最大值＝AB+AP＝6+2．8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是∠BAE+∠F AD＝∠EAF；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．解：（1）∠BAE+∠F AD＝∠EAF．理由：如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，根据SAS可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再根据SSS可判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．故答案为：∠BAE+∠F AD＝∠EAF；（2）仍成立，理由：如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADG，又∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；（3）∠EAF＝180°﹣∠DAB．证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠ADC＝∠ABE，又∵AB＝AD，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠F AE＝∠F AG，∵∠F AE+∠F AG+∠GAE＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠BAE）＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠DAG）＝360°，即2∠F AE+∠DAB＝360°，∴∠EAF＝180°﹣∠DAB．9、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．解：（1）CP＝BQ，理由：如图1，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°⊅∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（2）CP＝BQ，理由：如图2，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（3）如图3，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝，∴BC＝AC•tan∠A＝，过点O作OH⊥BC，∴∠OHB＝90°＝∠BCA，∴OH∥AB，∵O是AB中点，∴CH＝BC＝，OH＝AC＝，∵∠BPQ＝45°，∠OHP＝90°，∴∠BPQ＝∠PQH，∴PH＝OH＝，∴CP＝PH﹣CH＝﹣＝，连接BQ，同（1）的方法得，BQ＝CP＝．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为b+c（用含b，c的式子表示）（直接填空）模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为5．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．解：当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，最大值为b+c，故答案为：线段BA的延长线上；b+c；模型应用：（1）证明：∵△ACD、△BCE都是等边三角形，∴CD＝CA＝AD，CB＝CE，∠ACD＝60°，∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△DCB和△ACE中，，∴△DCB≌△ACE（SAS）∴BD＝AE；（2）当点D位于线段BA的延长线上时，线段BD的长取得最大值，最大值为AB+AD＝AB+AC＝3+2＝5，∵AE＝BD，∴线段AE长的最大值为5，模型拓展：取AB的中点G，连接OG、CG，在Rt△AOB中，G为AB的中点，∴OG＝AB＝4，在Rt△CAG中，CG＝＝＝5，当点O、G、C在同一条直线上时，OC最大，最大值为4+5＝9．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．（1）证明：如图1中，∵BE⊥AD于E，∴∠AEF＝∠BCF＝90°，∵∠AFE＝∠CFB，∴∠DAC＝∠CBF，∵BC＝CA，∴△BCF≌△ACD，∴BF＝AD．（2）结论：BD＝2CF．理由：如图2中，作EH⊥AC于H．∵∠AHE＝∠ACD＝∠DAE＝90°，∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAH＝90°，∴∠DAC＝∠AEH，∵AD＝AE，∴△ACD≌△EHA，∴CD＝AH，EH＝AC＝BC，∵CB＝CA，∴BD＝CH，∵∠EHF＝∠BCF＝90°，∠EFH＝∠BFC，EH＝BC，∴△EHF≌△BCF，∴FH＝CF，∴BD＝CH＝2CF．（3）如图3中，同法可证BD＝2CM．∵AC＝3CM，设CM＝a，则AC＝CB＝3a，BD＝2a，∴＝＝．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．（1）①证明：如图1中，∵AB＝AC，∠ABC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD⊥BN，∴∠ADB＝90°，∵∠MBN＝30°，∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，∴∠1＝∠2②证明：如图2中，在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，∴BF＝2DF，∵BF＝2AF，∴BF＝AD，∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，∴△BFC≌△ADB，∴∠BFC＝∠ADB＝90°，∴BF⊥CF（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，∴∠1+∠4＝∠2+∠4∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，∴△ABK≌CAF，∴∠3＝∠4，S△ABK＝S△AFC，∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF，∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF，∴AF＝FK＝BK，∴S△ABK＝S△AFK，∴＝2．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．（1）解：如图1中，在AB上取一点M，使得BM＝ME，连接ME．在Rt△ABE中，∵OB＝OE，∴BE＝2OA＝2，∵MB＝ME，∴∠MBE＝∠MEB＝15°，∴∠AME＝∠MBE+∠MEB＝30°，设AE＝x，则ME＝BM＝2x，AM＝x，∵AB2+AE2＝BE2，∴（2x+x）2+x2＝22，∴x＝（负根已经舍弃），∴AB＝AC＝（2+）•，∴BC＝AB＝+1．方法二：作EH⊥BC于H，求出BH，CH即可解决问题．（2）证明：如图2中，作CP⊥AC，交AD的延长线于P，GM⊥AC于M．∵BE⊥AP，∴∠AHB＝90°，∴∠ABH+∠BAH＝90°，∵∠BAH+∠P AC＝90°，∴∠ABE＝∠P AC，在△ABE和△CAP中，，∴△ABE≌△CAP，∴AE＝CP＝CF，∠AEB＝∠P，在△DCF和△DCP中，，∴△DCF≌△DCP，∴∠DFC＝∠P，∴∠GFE＝∠GEF，∴GE＝GF，∵GM⊥EF，∴FM＝ME，∵AE＝CF，∴AF＝CE，∴AM＝CM，在△GAH和△GAM中，，∴△AGH≌△AGM，∴AH＝AM＝CM＝AC（3）解：结论：AG＝EF．理由：如图3中，作CM⊥AC交AD的延长线于M，连接PG交AC于点O．由（2）可知△ACM≌△BAE，△CDF≌△CDM，∴∠AEB＝∠M＝∠GEF，∠M＝∠CFD＝∠GFE，AE＝CM＝CF，∴∠GEF＝∠GFE，∴GE＝GF，∵△EFP是由△EFG翻折得到，∴EG＝EP＝GF＝PF，∴四边形EGFP是菱形，∴PG⊥AC，OE＝OF，∵AE＝CF，∴AO＝OC，∵AB∥OP，∴BP＝PC，∵PF∥BE，∴EF＝CF＝AE，∵PB＝PC，AO＝OC，∴PO＝OG＝AB，∴AB＝PG，AB∥PG，∴四边形ABPG是平行四边形，∴AG∥BC，∴∠GAO＝∠ACB＝45°，设EO＝OF＝a，则OA＝OG＝3a，AG＝3a，∴＝＝，∴AG＝EF14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．解：（1）∵E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，∴AD＝CD，∵∠ACB＝90°，∴BC∥DE，∴AD＝BD，∴CD＝BD，∴AB＝2CD；（2）如图2，连接CH，∵点E是AC的中点，∴AE＝CE，∵DE⊥AC，∴CH＝AH，∴∠ACH＝∠CAH，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∵CF⊥AB，∴∠BAC+∠ACF＝90°，∴∠ACF＝∠B，∴∠HCG＝∠ACH+∠ACF＝∠CAH+∠B，∠AHG＝2∠B∴在四边形AHGF中，∠AFG+∠FGH+∠AHG+∠F AH＝360°，∴∠FGH＝360°﹣（∠AFG+∠AHG+∠F AH）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+∠BAC）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+90°﹣∠B）＝360°﹣（180°+∠B+∠CAH）＝180°﹣（∠B+∠CAH），∵∠CGH＝180°﹣∠FGH＝∠B+∠CAH＝∠HCG，∴CH＝GH，∵CH＝AH，∴AH＝GH；（3）如图3，由（1）知，DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，在△BFC和△DEA中，，∴△BFC≌△DEA，∴BC＝AD，∵AD＝BD＝CD，∴BC＝BD＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠B＝60°，在Rt△ABC中，AC＝6，∴BC＝2，AB＝4，∵CF⊥BD，∴DF＝，CF＝3，∵∠BAC＝30°，∴∠ADE＝60°，∵∠EDG＝90°，∠FDG＝30°，在Rt△DFG中，DF＝，∴FG＝1，DG＝2，∴CG＝CF﹣FG＝2过点H作HN⊥CF，由（2）知，CH＝GH，∴NG＝CG＝1，∴FN＝NG+FG＝2，过点H作HM⊥AB，∴∠FMH＝∠NFM＝∠HNF＝90°，∴四边形NFMH是矩形，∴HM＝FN＝2，在Rt△DMH中，∠ADE＝60°，HM＝2，∴DH＝，在Rt△HDG中，根据勾股定理得，HG＝＝．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）（1）证明：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠DCB＝45°，∵∠ECF＝∠DCB+∠1＝45°+∠1，∠EFC＝∠B+∠2＝45°+∠2，∠1＝∠2，∴∠ECF＝∠EFC，∴CE＝EF，∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴∠CDE＝∠EGF＝90°，在△CDE和△EGF中，，∴△CDE≌△EGF（AAS）；（2）证明：由（1）得：CE＝EF，∠A＝∠B，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠2，在△ACE和△BEF中，，∴△ACE≌△BEF（AAS），∴AE＝BF；（3）AE＝BF，作EH⊥BC与H，如图3所示：设DE＝x，根据题意得：BE＝DE＝x，AD＝BD＝2x，CD＝AD＝2x，AE＝3x，根据勾股定理得：BC＝AC＝2x，∵∠ABC＝45°，EH⊥BC，∴BH＝x，∴CH＝BC﹣BH＝x，∵EC＝EF，∴FH＝CH＝x，∴BF＝x﹣x＝x，∴＝，∴AE＝．16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线。
【最新】北京市中考数学常考压轴题(含答案)
最新北京市中考数学常考压轴题（含答案）一．文艺复兴时期，意大利艺术大师达．芬奇研究过用圆弧围成的部分图形的面积问题．已知正方形的边长是2，就能求出图中阴影部分的面积．证明：S矩形ABCD＝S1+S2+S3＝2，S4＝S2 ，S5＝，S6＝S4 + S5 ，S阴影＝S1+S6＝S1+S2+S3＝ 2 ．【分析】利用图形的拼割，正方形的性质，寻找等面积的图形，即可解决问题；【解答】证明：由题意：S矩形ABCD＝S1+S2+S3＝2，S4＝S2，S5＝S3，S6＝S4+S5，S阴影面积＝S1+S6＝S1+S2+S3＝2．故答案为：S2，S3，S4，S5，2．【点评】本题考查正方形的性质、矩形的性质、扇形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．二．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是BC边上的高线，BM平分∠ABC 交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB为⊙O的直径．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）当BE＝3，cosC＝时，求⊙O的半径．【分析】（1）连结OM，易证OM∥BC，由于AE是BC边上的高线，从而可知AM⊥OM，所以AM是⊙O的切线．（2）由于AB＝AC，从而可知EC＝BE＝3，由cosC＝＝，可知：AC＝EC＝，易证△AOM∽△ABE，所以，再证明cos∠AOM ＝cosC＝，所以AO＝，从而可求出OM＝【解答】解：（1）连结OM．∵BM平分∠ABC∴∠1＝∠2 又OM＝OB∴∠2＝∠3∴OM∥BC∵AE是BC边上的高线∴AE⊥BC，∴AM⊥OM∴AM是⊙O的切线（2）∵AB＝AC∴∠ABC＝∠C，AE⊥BC，∴E是BC中点∴EC＝BE＝3∵cosC＝＝∴AC＝EC＝∵OM∥BC，∠AOM＝∠ABE∴△AOM∽△ABE∴又∵∠ABC＝∠C∴∠AOM＝∠C在Rt△AOM中cos∠AOM＝cosC＝，∴∴AO＝AB＝+OB＝而AB＝AC＝∴＝∴OM＝∴⊙O的半径是【点评】本题考查圆的综合问题，涉及锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，综合程度较高，需要学生综合运用知识的能力．属于中考常考题型．三．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y＝m与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M 称为碟顶．（1）由定义知，取AB中点N，连结MN，MN与AB的关系是MN⊥AB，MN＝AB ．（2）抛物线y＝对应的准蝶形必经过B（m，m），则m＝ 2 ，对应的碟宽AB是 4 ．（3）抛物线y＝ax2﹣4a﹣（a＞0）对应的碟宽在x 轴上，且AB ＝6．①求抛物线的解析式；②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P（xp，yp），使得∠APB为锐角，若有，请求出yp的取值范围．若没有，请说明理由．【分析】（1）直接利用等腰直角三角形的性质分析得出答案；（2）利用已知点为B（m，m），代入抛物线解析式进而得出m的值，即可得出AB的值；（3）①根据题意得出抛物线必过（3，0），进而代入求出答案；②根据y＝x2﹣3的对称轴上P（0，3），P（0，﹣3）时，∠APB 为直角，进而得出答案．【解答】解：（1）MN与AB的关系是：MN⊥AB，MN＝AB，如图1，∵△AMB是等腰直角三角形，且N为AB的中点，∴MN⊥AB，MN＝AB，故答案为：MN⊥AB，MN＝AB；（2）∵抛物线y＝对应的准蝶形必经过B（m，m），∴m＝m2，解得：m＝2或m＝0（不合题意舍去），当m＝2则，2＝x2，解得：x＝±2，则AB＝2+2＝4；故答案为：2，4；（3）①由已知，抛物线对称轴为：y轴，∵抛物线y＝ax2﹣4a﹣（a＞0）对应的碟宽在x 轴上，且AB＝6．∴抛物线必过（3，0），代入y＝ax2﹣4a﹣（a＞0），得，9a﹣4a﹣＝0，解得：a＝，∴抛物线的解析式是：y＝x2﹣3；②由①知，如图2，y＝x2﹣3的对称轴上P（0，3），P（0，﹣3）时，∠APB 为直角，∴在此抛物线的对称轴上有这样的点P，使得∠APB 为锐角，yp的取值范围是yp＜﹣3或yp＞3．【点评】此题主要考查了二次函数综合以及等腰直角三角形的性质，正确应用等腰直角三角形的性质是解题关键．属于中考常考题型．四．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边的中线，DE⊥BC于E，连结CD，点P在射线CB上（与B，C不重合）（1）如果∠A＝30°①如图1，∠DCB＝60 °②如图2，点P在线段CB上，连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连结BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图3，若点P在线段CB 的延长线上，且∠A＝α（0°＜α＜90°），连结DP，将线段DP绕点逆时针旋转 2α得到线段DF，连结BF，请直接写出DE.BF、BP三者的数量关系（不需证明）【分析】（1）①根据直角三角形斜边中线的性质，结合∠A＝30°，只要证明△CDB是等边三角形即可；②根据全等三角形的判定推出△DCP≌△DBF，根据全等的性质得出CP＝BF，（2）如图2，求出DC＝DB＝AD，DE∥AC，求出∠FDB＝∠CDP＝2α+∠PDB，DP＝DF，根据全等三角形的判定得出△DCP≌△DBF，求出CP ＝BF，推出BF﹣BP＝BC，解直角三角形求出CE＝DEtanα即可．【解答】解：（1）①∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴∠B＝60°，∵AD＝DB，∴CD＝AD＝DB，∴△CDB是等边三角形，∴∠DCB＝60°．故答案为60②如图1，结论：CP＝BF．理由如下：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥BC，∠A＝α，∴DC＝DB＝AD，DE∥AC，∴∠A＝∠ACD＝α，∠EDB＝∠A＝α，BC＝2CE，∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝2α，∵∠PDF＝2α，∴∠FDB＝∠CDP＝2α﹣∠PDB，∵线段DP绕点D逆时针旋转2α得到线段DF，∴DP＝DF，在△DCP和△DBF中，∴△DCP≌△DBF，∴CP＝BF，CP＝BF．（2）结论：BF﹣BP＝2DE•tanα．理由：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥BC，∠A＝α，∴DC＝DB＝AD，DE∥AC，∴∠A＝∠ACD＝α，∠EDB＝∠A＝α，BC＝2CE，∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝2α，∵∠PDF＝2α，∴∠FDB＝∠CDP＝2α+∠PDB，∵线段DP绕点D逆时针旋转2α得到线段DF，∴DP＝DF，在△DCP和△DBF中，∴△DCP≌△DBF，∴CP＝BF，而 CP＝BC+BP，∴BF﹣BP＝BC，在Rt△CDE中，∠DEC＝90°，∴tan∠DCE＝，∴CE＝DEtanα，∴BC＝2CE＝2DEtanα，即BF﹣BP＝2DEtanα．【点评】本题考查了三角形外角性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，旋转的性质的应用，能推出△DCP≌△DBF是解此题的关键，综合性比较强，证明过程类似．属于中考常考题型．五．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点C在x轴的负半轴上，点A在y轴正半轴上，矩形OABC的面积为．把矩形OABC沿DE 翻折，使点B与点O重合，点C落在第三象限的G点处，作EH⊥x轴于H，过E点的反比例函数y＝图象恰好过DE的中点F．则k ＝，线段EH的长为：．【分析】连接BO与ED交于点Q，过点Q作QG⊥x轴，垂足为G，可通过三角形全等证得BO与ED的交点就是ED的中点F，由相似三角形的性质可得S△OGF＝S△OCB，根据反比例函数比例系数的几何意义可求出k，从而求出S△OAE，进而可以得到AB＝4AE，即BE＝3AE．由轴对称的性质可得OE＝BE，从而得到OE＝3AE，也就有AO＝2AE，根据△OAE的面积可以求出AE，OA的值．易证四边形OAEH为矩形，从而得到EH＝OA，就可求出EH的值．【解答】解：连接BO与ED交于点Q，过点Q作QN⊥x轴，垂足为N，如图所示，∵矩形OABC沿DE翻折，点B与点O重合，∴BQ＝OQ，BE＝EO．∵四边形OABC是矩形，∴AB∥CO，∠BCO＝∠OAB＝90°．在△BEQ和△ODQ中，．∴△BEQ≌△ODQ（ASA）．∴EQ＝DQ．∴点Q是ED的中点．∵∠QNO＝∠BCO＝90°，∴QN∥BC．∴△ONQ∽△OCB．∴＝（）2＝（）2＝．∴S△ONQ＝S△OCB．∵S矩形OABC＝8，∴S△OCB＝S△OAB＝4．∴S△ONQ＝．∵点F是ED的中点，∴点F与点Q重合．∴S△ONF＝．∵点F在反比例函数y＝上，∴＝．∵k＜0，∴k＝﹣2．∵S△OAB＝4，∴AB＝4AE．∴BE＝3AE．由轴对称的性质可得：OE＝BE．∴OE＝3AE．OA＝＝2AE．∴S△OAE＝AO•AE＝×2AE×AE＝．∴AE＝1．∴OA＝2×1＝2．∵∠EHO＝∠HOA＝∠OAE＝90°，∴四边形OAEH是矩形．∴EH＝OA＝2．故答案分别为：﹣2、2．【点评】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，有一定的综合性．属于中考常考题型．六．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝13，BD＝24，在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形ABE．点F是对角线BD上一动点（点F不与点B重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到线段AM，连接FM．（1）求AO的长；（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：AC＝AM；（3）连接EM，若△AEM的面积为40，请直接写出△AFM的周长．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝13，BD ＝24，在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形ABE．点F是对角线BD上一动点（点F不与点B重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到线段AM，连接FM．（1）求AO的长；（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：AC＝AM；（3）连接EM，若△AEM的面积为40，请直接写出△AFM的周长．【分析】（1）在RT△OAB中，利用勾股定理OA＝求解，（2）由四边形ABCD是菱形，求出△AFM为等边三角形，∠M＝∠AFM＝60°，再求出∠MAC＝90°，在Rt△ACM中tan∠M＝，求出AC．（3）求出△AEM≌△ABF，利用△AEM的面积为40求出BF，在利用勾股定理AF＝＝＝，得出△AFM的周长为3．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD＝BD，∵BD＝24，∴OB＝12，在Rt△OAB中，∵AB＝13，∴OA＝＝＝5．（2）如图2，∵四边形ABCD是菱形，∴BD垂直平分AC，∴FA＝FC，∠FAC＝∠FCA，由已知AF＝AM，∠MAF＝60°，∴△AFM为等边三角形，∴∠M＝∠AFM＝60°，∵点M，F，C三点在同一条直线上，∴∠FAC+∠FCA＝∠AFM＝60°，∴∠FAC＝∠FCA＝30°，∴∠MAC＝∠MAF+∠FAC＝60°+30°＝90°，在Rt△ACM中∵tan∠M＝，∴tan60°＝，∴AC＝AM．（3）如图，连接EM，∵△ABE是等边三角形，∴AE＝AB，∠EAB＝60°，由（2）知△AFM为等边三角形，∴AM＝AF，∠MAF＝60°，∴∠EAM＝∠BAF，在△AEM和△ABF中，，∴△AEM≌△ABF（SAS），∵△AEM的面积为40，△ABF的高为AO∴BF•AO＝40，BF＝16，∴FO＝BF﹣BO＝16﹣12＝4AF＝＝＝，∴△AFM的周长为3．【点评】本题主要考查四边形的综合题，解题的关键是灵活运用等边三角形的性质及菱形的性质．属于中考常考题型．七．在平面直角坐标系中xOy中，正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…，按如图的方式放置．点A1，A2，A3…、A n和点C1，C2，C3…、∁n分别落在直线y＝x+1和x轴上．抛物线L1过点A1、B1，且顶点在直线y＝x+1上，抛物线L2过点A2、B2，且顶点在直线y＝x+1上，…，按此规律，抛物线L n过点A n、B n，且顶点也在直线y＝x+1上，其中抛物线L1交正方形A1B1C1O的边A1B1于点D1，抛物线L2交正方形A2B2C2C1的边A2B2于点D2…，抛物线L n交正方形A n B n∁n C n﹣1的边A n B n于点D n（其中n≥2且n为正整数）．（1）直接写出下列点的坐标：B1，B2，B3；（2）写出抛物线L2，、L3的解析式，并写出其中一个解析式的求解过程，再猜想抛物线L n的顶点坐标；（3）①设A1D1＝k•D1B1，A2D2＝k2•D2B2，试判断k1与k2的数量关系并说明理由；②点D1、D2、…，D n是否在一条直线上？若是，直接写出这条直线与直线y＝x+1的交点坐标；若不是，请说明理由．八．在平面直角坐标系中xOy中，正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…，按如图的方式放置．点A1，A2，A3…、A n和点C1，C2，C3…、∁n分别落在直线y＝x+1和x轴上．抛物线L1过点A1、B1，且顶点在直线y＝x+1上，抛物线L2过点A2、B2，且顶点在直线y＝x+1上，…，按此规律，抛物线L n过点A n、B n，且顶点也在直线y＝x+1上，其中抛物线L1交正方形A1B1C1O的边A1B1于点D1，抛物线L2交正方形A2B2C2C1的边A2B2于点D2…，抛物线L n交正方形A n B n∁n C n﹣1的边A n B n于点D n（其中n≥2且n为正整数）．（1）直接写出下列点的坐标：B1（1，1），B2（3，2），B3（7，4）；（2）写出抛物线L2，、L3的解析式，并写出其中一个解析式的求解过程，再猜想抛物线L n的顶点坐标（3×2n﹣2﹣1，3×2n﹣2）；（3）①设A1D1＝k•D1B1，A2D2＝k2•D2B2，试判断k1与k2的数量关系并说明理由；②点D1、D2、…，D n是否在一条直线上？若是，直接写出这条直线与直线y＝x+1的交点坐标；若不是，请说明理由．【分析】（1）先求出直线y＝x+1与y轴的交点坐标即可得出A1的坐标，故可得出OA1的长，根据四边形A1B1C1O是正方形即可得出B1的坐标，再把B1的横坐标代入直线y＝x+1即可得出A1的坐标，同理可得出B2，B3的坐标；（2）根据四边形A1B1C1O是正方形得出C1的坐标，再由点A2在直线y＝x+1上可知A2（1，2），B2的坐标为（3，2），由抛物线L2的对称轴为直线x＝2可知抛物线L2的顶点为（2，3），再用待定系数法求出直线L2的解析式；根据B3的坐标为（7，3），同上可求得点A3的坐标为（3，4），抛物线L3的对称轴为直线x＝5，同理可得出直线L2的解析式；（3）①同（2）可求得L2的解析式为y＝（x﹣2）2+3，当y＝1时，求出x的值，由A1D1＝﹣D1B1，可得出k1的值，同理可得出k2的值，由此可得出结论；②由①中的结论可知点D1、D2、…，D n是否在一条直线上，再用待定系数法求出直线D1D2的解析式，求出与直线y＝x+1的交点坐标即可．【解答】解：（1）∵令x＝0，则y＝1，∴A1（0，1），∴OA1＝1．∵四边形A1B1C1O是正方形，∴A1B1＝1，∴B1（1，1）．∵当x＝1时，y＝1+1＝2，∴B2（3，2）；同理可得，B3（7，4）．故答案为：（1，1），（3，2），（7，4）；（2）抛物线L2、L3的解析式分别为：y＝﹣（x﹣2）2+3；，y＝﹣（x﹣5）2+6；抛物线L2的解析式的求解过程：对于直线y＝x+1，设x＝0，可得y＝1，A1（0，1），∵四边形A1B1C1O是正方形，∴C1（1，0），又∵点A2在直线y＝x+1上，∴点A2（1，2），又∵B2的坐标为（3，2），∴抛物线L2的对称轴为直线x＝2，∴抛物线L2的顶点为（2，3），设抛物线L2的解析式为：y＝a（x﹣2）2+3，∵L2过点B2（3，2），∴当x＝3时，y＝2，∴2＝a（3﹣2）2+3，解得：a＝﹣1，∴抛物线L2的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+3；抛物线L3的解析式的求解过程：又∵B3的坐标为（7，3），同上可求得点A3的坐标为（3，4），∴抛物线L3的对称轴为直线x＝5，∴抛物线L3的顶点为（5，6），设抛物线L3的解析式为：y＝a（x﹣5）2+6，∵L3过点B3（7，4），∴当x＝7时，y＝﹣4，∴4＝a×（7﹣5）2+6，解得：a＝﹣，∴抛物线L3的解析式为：y＝﹣（x﹣5）2+6；猜想抛物线L n的顶点坐标为（3×2n﹣2﹣1，3×2n﹣2）；（猜想过程：方法1：可由抛物线L1、L2、L3…的解析式：∵y＝﹣2（x﹣）2+，y＝﹣（x﹣2）2+3，y＝﹣（x﹣5）2+6…，归纳总结；方法2：可由正方形A n B n∁n C n﹣1顶点A n、B n的坐标规律A n（2n﹣1﹣1，2n﹣1）与B n（2n，2n﹣1），再利用对称性可得抛物线L n的对称轴为直线x＝，即x＝＝3×2n﹣2﹣1，又顶点在直线y＝x+1上，所以可得抛物线L n的顶点坐标为（3×2n﹣2﹣1，3×2n﹣2）．故答案为：（3×2n﹣2﹣1，3×2n﹣2）；（3）①、k1与k1的数量关系为：k1＝k2，理由如下：同（2）可求得L2的解析式为y＝（x﹣2）2+3，当y＝1时，1＝﹣（x﹣2）2+3解得：x1＝2﹣，x2＝2+，∴x＝2﹣，∴A1D1＝2﹣＝（﹣1），∴D1B1＝1﹣（2﹣）＝﹣1，∴A1D1＝﹣D1B1，即k1＝；同理可求得A2D2＝4﹣2＝2（﹣1），D2B2＝2﹣（4﹣2）＝2﹣2＝2（﹣1），A2D2＝﹣D2B2，即k2＝，∴k1＝k2；②∵由①知，k1＝k2，∴点D1、D2、…，D n在一条直线上；∵抛物线L2的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+3，∴当y＝1时，x＝2﹣，∴D1（2﹣，1）；同理，D2（5﹣2，2），∴设直线D1D2的解析式为y＝kx+b（k≠0），则，解得，∴直线D1D2的解析式为y＝（3+）x+﹣3，∴，解得，∴这条直线与直线y＝x+1的交点坐标为（﹣1，0）．【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数图象上点的坐标特点，正方形的性质等知识，熟练掌握正方形的四条边相等且四个角都是直角的知识是解答此题的关键．属于中考常考题型．。
北京市北京市,2020~2021年中考数学压轴题精选解析
北京市北京市，2020~2021年中考数学压轴题精选解析北京市北京市中考数学压轴题精选~~第1题~~(2020通州.中考模拟) 在平面直角坐标系xOy中，点P，Q（两点可以重合）在x轴上，点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n，若平面内的点M的坐标为（n，|m﹣n|），则称点M为P，Q的跟随点．（1）若m＝0，①当n＝3时，P，Q的跟随点的坐标为多少；②写出P，Q的跟随点的坐标；（用含n的式子表示）；③记函数y＝kx﹣1（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G，若图形G上不存在P，Q的跟随点，求k的取值范围；（2）⊙A的圆心为A（0，2），半径为1，若⊙A上存在P，Q的跟随点，直接写出m的取值范围．~~第2题~~(2020北京.中考模拟) 如图，矩形中，，．，分别在，上，点与点关于所在的直线对称，是边上的一动点．（1）连接，，求证四边形是菱形；（2）当的周长最小时，求的值；（3）连接交于点，当时，求的长．~~第3题~~(2020东城.中考模拟) 如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是射线CB上一点，连接AD，过D作DE⊥A D交射线AB于点E，以A为旋转中心，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得线段AF，过点F作FG⊥AF交AC的延长线于点G，连接EG．（1）如图1，点D在CB上．①依题意补全图1；②猜想DE、EG、FG之间的数量关系并证明；（2）如图2，点D在CB的延长线上．请直接写出DE、EG、FG之间的数量关系为．~~第4题~~(2020丰台.中考模拟) 在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为r（r＞0）．给出如下定义：若平面上一点P到圆心O的距离d，满足，则称点P为⊙O的“随心点”．（1）当⊙O的半径r=2时，A（3，0），B（0，4），C（，2），D（，）中，⊙O的“随心点”是；（2）若点E（4，3）是⊙O的“随心点”，求⊙O的半径r的取值范围；（3）当⊙O的半径r=2时，直线y=- x+b（b≠0）与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在⊙O的“随心点”，直接写出b的取值范围．~~第5题~~(2020北京.中考真卷) 在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦（分别为点A，B的对应点），线段长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB到⊙O的长度为1的弦和，则这两条弦的位置关系是________；在点中，连接点A与点________的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；（2）若点A，B都在直线上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为，求的最小值；（3）若点A的坐标为，记线段AB到⊙O的“平移距离”为，直接写出的取值范围．~~第6题~~(2020朝阳.九上期中) 已知∠AOB＝60°，P为它的内部一点，M为射线OA上一点，连接PM，以P为中心，将线段PM顺时针旋转120°，得到线段PN，并且点N恰好落在射线OB上．（1）依题意补全图1；（2）证明：点P一定落在∠AOB的平分线上；（3）连接OP，如果OP＝2 ，判断OM+ON的值是否变化，若发生变化，请求出值的变化范围，若不变，请求出值．~~第7题~~(2020海淀.中考模拟) 若抛物线（是常数，）与直线都经过轴上的一点，且抛物线的顶点在直线上，则称此直线与该抛物线具有“一带一路”关系．此时，直线叫做抛物线的“带线”，抛物线叫做直线的“路线”．（1）若直线与抛物线具有“一带一路”关系，求的值；（2）若某“路线” 的顶点在反比例函数的图象上，它的“带线” 的解析式为，求此“路线” 的解析式；（3）当常数满足时，请直接写出抛物线：的“带线” 与轴，轴所围成的三角形面积S的取值范围．~~第8题~~(2020北京.中考模拟) 定义：点P是△ABC内部或边上的点（顶点除外），在△PAB，△PBC，△PCA中，若至少有一个三角形与△ABC相似，则称点P是△ABC的自相似点．例如：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P为△ABC的自相似点．请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：在平面直角坐标系中，点M是曲线C：上的任意一点，点N是x轴正半轴上的任意一点．（1）如图2，点P是OM上一点，∠ONP=∠M,试说明点P是△MON的自相似点；当点M的坐标是，点N的坐标是时，求点P的坐标；（2）如图3，当点M的坐标是，点N的坐标是时，求△MON的自相似点的坐标；（3）是否存在点M和点N,使△MON无自相似点,？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．~~第9题~~(2020北京.中考模拟) 已知边长为2a的正方形ABCD，对角线AC、BD交于点Q，对于平面内的点P与正方形ABCD，给出如下定义：如果，则称点P为正方形ABCD的“关联点”.在平面直角坐标系xOy中，若A（﹣1，1），B（﹣1，﹣1），C（1，﹣1），D（1，1）.（1）在，，中，正方形ABCD的“关联点”有；（2）已知点E的横坐标是m，若点E在直线上，并且E是正方形ABCD的“关联点”，求m的取值范围；（3）若将正方形ABCD沿x轴平移，设该正方形对角线交点Q的横坐标是n，直线与x轴、y轴分别相交于M 、N两点.如果线段MN上的每一个点都是正方形ABCD的“关联点”，求n的取值范围.~~第10题~~(2020北京.中考模拟) 在平面直角坐标系中，直线为一、三象限角平分线，点关于轴的对称点称为的一次反射点，记作；关于直线的对称点称为点的二次反射点，记作．例如，点的一次反射点为，二次反射点为．根据定义，回答下列问题：（1）点的一次反射点为，二次反射点为；（2）当点在第一象限时，点，，中可以是点的二次反射点的是；（3）若点在第二象限，点，分别是点的一次、二次反射点，为等边三角形，求射线与轴所夹锐角的度数．（4）若点在轴左侧，点，分别是点的一次、二次反射点，是等腰直角三角形，请直接写出点在平面直角坐标系中的位置．北京市北京市中考数学压轴题答案解析~~第1题~~答案：解析：~~第2题~~答案：解析：答案：解析：~~第4题~~答案：解析：答案：解析：~~第6题~~答案：解析：~~第7题~~答案：解析：答案：解析：~~第9题~~答案：解析：~~第10题~~答案：解析：。
北京中考数学几何压轴题
北京中考数学几何压轴题北京中考数学几何压轴题会根据具体年份的考试题目而有所不同。
但通常来说，几何压轴题会涉及三角形的面积、相似三角形、直角三角形等知识点。
下面是一个可能的压轴题示例：已知直角三角形ABC，其中∠B=90°，AB=3 cm，BC=4 cm。
点D在边AC上，且AD=2 cm。
连接BD，交AC于点E。
求证：△BDE与△ABC相似，且比例因子为1:2。
解题思路如下：1. 证明△BDE和△ABC的对应角等于90°。
由题意知△ABC是直角三角形，所以∠A+∠B+∠C=180°，即∠A+90°+∠C=180°，得∠A+∠C=90°。
而根据直角三角形内角和定理可知∠BDE=∠A，故∠BDE+∠C=90°，证明了△BDE和△ABC的对应角等于90°。
2. 证明△BDE和△ABC的对应边比例为1:2。
首先，根据BD的定义可知△BDE是直角三角形，所以BD 为√（BE²+DE²）。
根据勾股定理可知AB²+BC²=AC²，即3²+4²=AC²，得AC=5 cm。
根据相似三角形的性质，当两个三角形的对应角相等时，它们的对应边的比例相等，所以AB/BE=BC/DE=AC/BD。
代入已知值可得3/BE=4/2=5/BD，解得BE=3/5 cm，BD=6/5 cm。
于是，BD/AB=(6/5)/3=2/5，即△BDE和△ABC的对应边比例为1:2。
综上所述，△BDE与△ABC相似，且比例因子为1:2。
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∵点M关于点H的对称点为Q,∴MH=HQ. 当点T在点H的左侧时, QT=HQ+HT=HM+HT=2ST+HT+HT=2(ST+HT)=2HS. 在Rt△OPS中,OS=OP·cos 30°= 3 . ∵OH= 3 +1, ∴HS=OH-OS= 3 +1- 3 =1.∴QT=2. 当点T在点H的右侧或与点H重合时,同理可求QT=2. ∴QT=OP.∴△OPN≌△QTP.∴ON=QP.
解析 (1)由对称可知CD=C'D,∠CDE=∠C'DE. 在正方形ABCD中,AD=CD,∠ADC=90°, ∴AD=C'D.又∵F为AC'中点, ∴DF⊥AC',∠ADF=∠C'DF. (1分)
∴∠FDP=∠FDC'+∠EDC'= 12 ∠ADC=45°. (2分)
(2)结论:BP+DP= 2 AP. (3分) 如图,作AP'⊥AP交PD延长线于点P',∴∠PAP'=90°. 在正方形ABCD中,DA=BA,∠BAD=90°, ∴∠DAP'=∠BAP.由(1)可知∠APD=45°,∴∠P'=45°.∴AP=AP'. (4分)
∴KB=BP=PK,∠KPB=∠KBP=60°.∴∠KPC=120°. 由△ABC为等边三角形,可得△ABP≌△CBK.∴AP=CK. 由AP=AQ,可得∠APB=∠AQC. ∵AB=AC,∠ABC=∠ACB=60°,∴△ABP≌△ACQ.∴BP=CQ. ∵点Q,M关于直线AC对称, ∴∠BCM=2∠ACQ=120°,CQ=CM=PK.∴MC∥PK. ∴四边形PKCM为平行四边形.∴CK=PM, ∴PA=PM. 思路分析 (1)由等边对等角知求∠AQB的度数,即求∠APC的度数,根据三角形外角的性质求∠APC的度数. (2)①需要准确画出图形;②三种想法都是正确的,借助等边三角形的性质和判定进行证明.
思路分析 本题第(3)问需要关注线段OH对QP的影响,同时要构造全等三角形来解决.
2.(2016北京,28,7分)在等边△ABC中. (1)如图1,P,Q是BC边上两点,AP=AQ,∠BAP=20°,求∠AQB的度数; (2)点P,Q是BC边上的两个动点(不与B,C重合),点P在点Q的左侧,且AP=AQ,点Q关于直线AC的对称点为M, 连接AM,PM. ①依题意将图2补全; ②小茹通过观察、实验,提出猜想:在点P,Q运动的过程中,始终有PA=PM.小茹把这个猜想与同学们进行交 流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法: 想法1:要证PA=PM,只需证△APM是等边三角形. 想法2:在BA上取一点N,使得BN=BP,要证PA=PM,只需证△ANP≌△PCM. 想法3:将线段BP绕点B顺时针旋转60°,得到线段BK,要证PA=PM,只需证PA=CK,PM=CK. …… 请你参考上面的想法,帮助小茹证明PA=PM.(一种方法即可)
解析 (1)证明:∵∠ABC=90°,BA=BC, ∴∠BAC=∠ACB=45°. ∵AB绕点A逆时针旋转90°得到AD, ∴∠BAD=90°,AB=AD.∴∠DAF=∠BAD-∠BAC=45°. ∴∠BAF=∠DAF. (1分) ∵AF=AF,∴△BAF≌△DAF.∴FB=FD. (2分) (2)①AH与BF的位置关系:AH⊥BF. (3分) 证明:连接DC,如图. ∵∠ABC+∠BAD=180°,∴AD∥BC. ∵AB=BC=AD,∴四边形ABCD是菱形. ∵∠ABC=90°,∴四边形ABCD是正方形. ∴AB=DC,∠ADC=∠DCB=90°.∴∠ABH=∠DCE.
解析 (1)补全图形,如图. (2)证明:∵∠MPN=150°,∴∠OPN=150°-∠OPM, ∵∠AOB=30°,∴∠OMP=180°-(∠AOB+∠OPM)=150°-∠OPM. ∴∠OMP=∠OPN. (3)OP的值为2. 证明:任取满足条件的点M,过点P作PS⊥OA于点S,在OA上取一点T,使得ST=SM,连接TP,如图. ∴PT=PM. ∴∠PTM=∠PMT,PT=PN. ∴∠PTQ=∠PMO. ∴∠PTQ=∠NPO.
解题关键 解决(3)的关键是通过连接BE借助平行四边形的性质,同时由连接EF发现△BEF≌△BHF,进而 寻找线段相等的关系.
6.(2019北京东城一模,27)如图,在正方形ABCD中,E是边BC上一动点(不与点B,C重合),连接DE,点C关于直 线DE的对称点为C',连接AC'并延长交直线DE于点P,F是AC'中点,连接DF. (1)求∠FDP的度数; (2)连接BP,请用等式表示AP,BP,DP三条线段之间的数量关系,并证明; (3)连接AC,若正方形的边长为 2 ,请直接写出△ACC'的面积最大值.
∵BH=CE,∴△ABH≌△DCE.∴∠BAH=∠CDE. ∵△BAF≌△DAF,∴∠ABF=∠ADF. ∴∠BAH+∠ABF=∠CDE+∠ADF=∠ADC=90°. ∴∠ANB=180°-(∠BAH+∠ABF)=90°.∴AH⊥BF. (5分) ② 5 -1. (7分) (提示:如图,在点E的运动过程中,∠ANB始终保持90°,所以点N始终在以AB中点为圆心O,AB为直径的圆上, 最短距离为OC的长减去☉O的半径长,为 5 -1.)
1.(2019北京,27,7分)已知∠AOB=30°,H为射线OA上一定点,OH= 3 +1,P为射线OB上一点,M为线段OH上一 动点,连接PM,满足∠OMP为钝角,以点P为中心,将线段PM顺时针旋转150°,得到线段PN,连接ON. (1)依题意补全图1; (2)求证:∠OMP=∠OPN; (3)点M关于点H的对称点为Q,连接QP.写出一个OP的值,使得对于任意的点M总有ON=QP,并证明.
∴BE=CD,∠CBE=∠ADE=∠ABC. ∵GM垂直平分ED,∴EF=DF.∴∠DEF=∠EDF. ∵ED∥BC,∴∠BFE=∠DEF,∠BFH=∠EDF.∴∠BFE=∠BFH. ∵BF=BF,∴△BEF≌△BHF. (6分) ∴BE=BH=CD=AG.∵AB=AC,∴AH=CG. (7分)
解题关键 解决本题的关键是要熟练应用相关几何知识,另外,要理解题目给出的三种想法,无论是平移、 旋转还是轴对称,都是全等变换,从三种全等变换的角度都可以解决.
3.(2019北京西城一模,27)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BA=BC.将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段 AD,E是边BC上的一动点,连接DE交AC于点F,连接BF. (1)求证:FB=FD; (2)点H在边BC上,且BH=CE,连接AH交BF于点N. ①判断AH与BF的位置关系,并证明你的结论; ②连接CN.若AB=2,请直接写出线段CN长度的最小值.
解题关键 解决本题最后一问的关键是发现AH⊥BF可转化为点N在以AB为直径的圆上,那么CN长度的最 小值就为线段OC的长减去半径的长.
4.(2019北京西城二模,27)如图,在正方形ABCD中,E是边AB上的一动点,点F在边BC的延长线上,且CF=AE, 连接DE,DF,EF.FH平分∠EFB交BD于点H. (1)求证:DE⊥DF; (2)求证:DH=DF; (3)过点H作HM⊥EF于点M,用等式表示线段AB,HM与EF之间的数量关系,并证明.
= 1 ×2×( 2 -1)= 2 -1. 2
解题关键 解决本题(2)的关键是借助全等变换——旋转,将条件集中;解决(3)的关键是发现C'在DB上时与 AC的距离最大.
7.(2019北京延庆一模,27)已知:四边形ABCD中,∠ABC=120°,∠ADC=60°,AD=CD,对角线AC,BD相交于点O, 且BD平分∠ABC,过点A作AH⊥BD,垂足为H. (1)求证:∠ADB=∠ACB; (2)判断线段BH,DH,BC之间的数量关系,并证明.
证明:在BA上取一点N,使BN=BP,连接PN,CM,如图. 由△ABC为等边三角形,可得△BNP为等边三角形. ∴AN=PC,∠ANP=120°. 由AP=AQ,可得∠APB=∠AQC. 又∵∠B=∠ACB=60°, ∴△ABP≌△ACQ. ∴BP=CQ. ∵点Q,M关于直线AC对称, ∴∠ACM=∠ACQ=60°,CM=CQ.∴NP=BP=CQ=CM. ∵∠PCM=∠ACM+∠ACQ=120°,∴△ANP≌△PCM.∴PA=PM. 想法3: 证明:将线段BP绕点B顺时针旋转60°,得到BK,连接KP,CK,MC,如图. ∴△BPK为等边三角形.
解析 (1)证明:∵∠ADC=60°,DA=DC, ∴△ADC是等边三角形. (1分) ∴∠DAC=60°,AD=AC. ∵∠ABC=120°,BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠DBC=60°. ∴∠DAC=∠DBC=60°, ∵∠AOD=∠BOC, ∠ADB=180°-∠DAC-∠AOD, ∠ACB=180°-∠DBC-∠BOC, ∴∠ADB=∠ACB. (3分) (2)结论:DH=BH+BC, (4分) 证明:在HD上截取HE=HB, (5分) ∵AH⊥BD,
∴BH= HN = 2 HN= 2 HM. sin 45
∴DH=BD-BH= 2 AB- 2 HM.
∵EF= DF = 2 DF= 2 DH, cos 45
∴EF=2AB-2HM. (7分)
5.(2019北京石景山一模,27)如图,在等边△ABC中,D为边AC的延长线上一点(CD<AC),平移线段BC,使点C 移动到点D,得到线段ED,M为ED的中点,过点M作ED的垂线,交BC于点F,交AC于点G. (1)依题意补全图形; (2)求证:AG=CD; (3)连接DF并延长交AB于点H,用等式表示线段AH与CG的数量关系,并证明.
BA DA,
在△BAP和△DAP'中, BAP DAP ',
AP AP ',
∴△BAP≌△DAP'(SAS), (5分) ∴BP=DP'. ∴DP+BP=PP'= 2 AP. (3) 2 -1. (7分)