2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2讲义：第1章 1.3 1.3.2 极大值与极小值 Word版含解析

1．3.2 极大值与极小值

[对应学生用书P16]

已知y＝f(x)的图象(如图)．

问题1：当x＝a时，函数值f(a)有何特点？

提示：在x＝a的附近，f(a)最小，f(a)并不一定是y＝f(x)的最小值．

问题2：当x＝b时，函数值f(b)有何特点？

提示：在x＝b的附近，f(b)最大，f(b)并不一定是y＝f(x)的最大值．

1．观察下图中的函数图象，发现函数图象在点P处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”

递减

变为单调

)

函数由单调

，这时在点

递增

(

比它附近点的函数值都要大

P

的位置最高，亦即

)1x(f

附近，点

P

)1x(f

，我们称

为函数

的一个

极大值．

)x(f

．类似地，上图中

2

)2x(f

为函数的一个

极小值．

3

．函数的极大值、极小值统称为函数的

极值．

观察图(Ⅰ)．

问题1：试分析在函数取得极大值的x1的附近左右两侧导数的符号有什么变化？

提示：左侧导数大于0，右侧导数小于0.

问题2：试分析在函数取得极小值的x2的附近左右两侧导数的符号有什么变化？

提示：左侧导数小于0，右侧导数大于0.

1．极大值与导数之间的关系如下表：

增减

2．极小值与导数之间的关系如下表：

减

增

1．极值是一个局部概念，它只是某个点的函数值与它附近的函数值比较是最大或最小，并不意味着

它在整个定义域内是最大或最小．

2．函数的极值并不惟一(如图所示)．

3．极大值和极小值之间没有确定的大小关系，如图所示，f (x 1)是极大值，f (x 4)是极小值，而f (x 4)>f (x 1

)．

[对应学生用书P17]

[例1] (1)f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋5； (2)f (x )＝

ln x

x

. [思路点拨]按求函数极值的步骤求解，要注意函数的定义域． [

精

解

详

析

](1)函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋5的定义域为R ，且f

′

(x )＝3x 2－6x －9.解方程3x 2－6x －9＝0，得x 1＝－1，x 2＝3.

当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：

因此，函数f (x )的极大值为f (－1)＝10； 极小值为f (3)＝－22.

(2)函数f (x )＝ln x

x 的定义域为(0，＋∞)，

且f ′(x )＝1－ln x

x2.

令f ′(x )＝0，解得x ＝e.

当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：

因此函数f(x)的极大值为f(e)＝1

e，没有极小值．

[一点通](1)求可导函数极值的步骤：

①求导数f′(x)；

②求方程f′(x)＝0的根；

③检查f′(x)的值在方程f′(x)＝0的根左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．

(2)注意事项：

①不要忽视函数的定义域；

②要正确地列出表格，不要遗漏区间和分界点．

1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有________个极小值．

解析：由图可知，在区间(a，x1)，(x2,0)，(0，x3)内f′(x)>0；

在区间(x1，x2)，(x3，b)内f′(x)<0.

即f(x)在(a，x1)内单调递增，

在(x1，x2)内单调递减，

在(x2，x3)内单调递增，

在(x3，b)内单调递减．

所以，函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极小值，

极小值为f(x2)．

答案：1

2．关于函数f(x)＝x3－3x2有下列命题，其中正确命题的序号是________．

①f(x)是增函数；②f(x)是减函数，无极值；③f(x)的增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，减区间为(0,2)；

④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．

解析：f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，则x＝0或x＝2.

易知当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；

当x∈(0,2)时，f′(x)<0；

当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.

所以f (x )的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，减区间是(0,2)；极大值为f (0)，极小值为f (2)．

答案：③④

3．设f (x )＝a ln x ＋12x ＋3

2

x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴．

(1)求a 的值；

(2)求函数f (x )的极值．

解：(1)因f (x )＝a ln x ＋12x ＋3

2

x ＋1，

故f ′(x )＝a x －12x2＋3

2

.

由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即f ′(1)＝0，从而a －12＋3

2

＝

0，

解得a ＝－1.

(2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋3

2

x ＋1(x >0)，

f ′(x )＝－1x －12x2＋32＝3x2－2x －12x2＝(3x ＋1)(x －1)

2x2

.

令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13(因x 2＝－1

3

不在定义域内，舍去)．

当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上为减函数；

当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(1，＋∞)上为增函数．

故f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝3.

[例2] 已知f (x )＝x 3＋[思路点拨]解答本题可先求f ′(x )，利用x ＝－1时有极值0这一条件建立关于a ，b 的方程组．解方程组可得a ，b 的值，最后将a ，b 代入原函数验证极值情况．

[精解详析]∵f (x )在x ＝－1时有极值0且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，

∴⎩⎪⎨⎪⎧ f′(－1)＝0，f(－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧

3－6a ＋b ＝0，

－1＋3a －b ＋a2＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝2，

b ＝9.

当a ＝1，b ＝3时，

f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，

所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去． 当a ＝2，b ＝9时，

f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)．