关于积分中值定理的一个问题
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因此 有 ：
ｆ６
， ， ］ ， ∈
依 据 闭区 间上连续 函数 的介 值定理 ， 闭 区问 ［ ］ 在 ６ 上至 少存 在一 点 ， 得 ： 使
Ｉ ） ＝ｉ（ ， ａ ］ 。 ｄ ６ ∈［ｂ． ， 一 ，
２ 主 要 结论 （ 件 加 强 ） 应 用 条 及
． ．
制， 得到 ∈ ６的结论， ） 给出了证明， ． ）ｉ ９ Ｒ１ｌＮｌ ￣ ．ｅ ｉ ２
重要 性 ．
Ｊ ｃｏ ＜这 问 为 来 明 Ｅ ） 。 ｌ （ 口 ）一 题 例 表 ６ ｘｏ １ ＝ 的
１ 相 关 的定 义 与 定 理
定 义 １ （ 单调 ） 函数／ ） 数集 上有 定义 ． Ｖ ： Ａ， ￣Ｋ２ ／ 严格 设 在 若 ∈ 且 ；ｘ有 ） １
严 格增 加 ＶｘＥ ６， ］［ ］ 分别应 用拉 格 朗 日中值 定理 ［得到 ： ） ， ［ ６ 在 ２ ］
） ＝ ） － ， 刊 一 ∈（ ６ ） ）
由式 （ ） １ 和式 （ ） ２ 及易 得 ：
（） １ （） ２
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８
万
一 个 问 题
・ ９・ ２
推 论 １ 若 函数 在 区 间 Ｊ 可导 ， ∈，有 ∽ Ｏ ） ０且．∽＝ Ｖ ， ） ， ０点 为数 集 Ｅ ｆ ∽ ＝ ∈ ， ＝ Ｏ 孤
立点 ［， 函数 在 区间 ， ３则 ］ 上严 格增加 （ 格 减少 ） 严 ．
事 实上 只须将 任意 厂 ＝ ）Ｏ相邻 两点分 别 使用定 理 ２的方法 便可 得到． 定理 ３ （ 最值 定理 ） 函数 在 闭区 间 ［ ］ 连续 ， 若 ６ 上 则 在 ［ ］ ６ 必取 得最 大值（ 与最小 值 ） ห้องสมุดไป่ตู้ ㈨
ｒ６
定 理４ （分 值 理若 数 在 区 ［６ 连 则 少 在 点 ［ ］得 子Ｊ ） 积 中 定 ）函 ）闭 间 ］ 续，至 存 一 ∈ ６ 式 上 使
（一 ６ 成 立 ．
证 因为 函数 ） 闭 区 间 ［ ］ 在 ６ 上连 续 ， 由定 理 ３可得 ） ［ ］ 在 ６ 必取 得 最大 值㈣ 与 最小 值（） ｍ． 由定
积分 的性质 ， 得 ： 可
ｒ６
ｍｂ （一
故有 ：
ｆ ）
６ ， 一
ｍ击 』 ≤ 击 ｆ
积分 中值 定 理是 被 积 函数 ） 闭 区间 ［ ］ 在 ６ 连续 的条 件 下 得 出至少 存在 一点 属 于闭 区 间 ［ ］ ６ 使得
ｒｂ
式子 ｌ ）
）一 成立的结论， （ ６ 利用该定理解决问题 能否在两端点取值至关重要， 本文对函数作一限
ｒ １ ａ ｒ
摘 要 ： 原 有 的 积 分 中值 定 理 的 基 础 上 加 强 了被 积 函数 的 条 ， ￣ 出 了至 少存 在 一 点 属 于 开 区 间 的 结 论 ， 出 了证 在 ｔ ｑ － 给
明， 并应 用到形如
出＝ （ｓ口 １这一问题 的证 明中． ００ ＜ ）
关 键 词 ： 分 中值 定 理 ； 格 单 调 ； 区 间 积 严 开 中图 分 类 号 ： １２２ ０ ７． 文献标识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０７ ５ ４ （０ １０ － ０ ８ ０ １０ － ３ ８ ２ １ ）８ ０２ － ４
）酗 ） ． 综 上可 得 函数 在 闭 区间 ［ ］ 格增 加 ， 理 ２得 证 ． 实 上本文 证 明 了一个 更 一般 的 结论 ， 吗６严 定 事 即有 如
下推 论．
收稿 日期 ：０ ｌＯ 一ｌ ２ ｌ— ５ ８ 作者 简 介 ： 万 里 （９７ ）男 ， 南商 丘 人 ， 州 交 通学 院人 文 社 科 系 教师 ， 士 ， 要从 事 随 机分 析 及 其应 用方 面 的研 究 ． 程 １ｒ ， 河 郑 硕 主
定 理 ２ 若 函数 ） 闭 区间 ［，］ 续 ， ６可 导 ， ∈ ６， 厂 ）０， ＜ ）则 函数 ） 闭 区间 在 Ⅱ６ 连 ） Ｖ ）有 ＞ （ ）０ ， Ｔ 在
［， ］ ａｂ 严格 增 加 （ 格 减少 ） 严 ．
证 不妨设厂∽＞ （ Ｏ 同理可证厂 ＜ 情形）因为 Ｖ ６√∽＞ ）Ｏ ， ∈ ）一 ０由定理 １ 可得函数 在开 区间 ） ６
程 万里 ’陈彬 韬 ’阙凤珍 ’周 永涛 ’谢 ， ， ， ， 毅 ’程 秀 秀 ２程银 行 ３ ， ，
（． １郑州 交通 学 院 人 文社 科系 ， 河南 郑州 ４ ０ ６ ；． 州大学 数 学系 ， ５０ ２２ 郑 河南 郑 州 ４ ０ ０ ； ５ ０ １ ３中国地 质调查 局 天 津地 质矿 产研 究所 ． ＿ 天津 ３ ０ ７ ） ０ １０
数 在 Ａ 上 严格 增加 （ 严格 减少 ） …．
） ）触 ２， ） 则称 函 ）
定 理 １ （ 格 单 调充 分条 件） 函数 ） 区间 ， 导 ， 严 若 在 可 Ｖｘ∈ ， ，有厂∽ ＞ ∽ ＜ ）则 函数Ａｘ在 区 间 ， ０ ０， ）
上严格 增 加 （ 格 减少 ）” 严 ．
２ １ 年 ８月 ０１ 第３ ２卷 第 ８
韶关学 院学 报 ・自然科 学
Ａ ｇ ０ ｕ ． １ ２ １
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璺ｇ皇 ｎ ｅ ｉ Ｎ ｔ ａ Ｓｉ ｃ ｉ ｒ ｔ ｖ ｓｙ・ ａ ｒ ｃ ｎｅ ｕｌ ｅ
Ｖ１２ Ｎ ． ｏ３ ０ ． ８
关于积分 中值定理 的一个 问题
定理 ５ （ 积分 中值 定 理） 函数 ） 闭 区间 ［ ］ 连续且 严 格单 调 ， 若 在 ６ 上 则至 少存 在一 点 ∈ ６使得 式 ）
子 ｆ 出 ． ） （ ７ ６ 成立． 一
Ｏ
：
ａ ｂ
。
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图 １ 单 调 递 减 的 曲边 梯 形
ｆ６
， ， ］ ， ∈
依 据 闭区 间上连续 函数 的介 值定理 ， 闭 区问 ［ ］ 在 ６ 上至 少存 在一 点 ， 得 ： 使
Ｉ ） ＝ｉ（ ， ａ ］ 。 ｄ ６ ∈［ｂ． ， 一 ，
２ 主 要 结论 （ 件 加 强 ） 应 用 条 及
． ．
制， 得到 ∈ ６的结论， ） 给出了证明， ． ）ｉ ９ Ｒ１ｌＮｌ ￣ ．ｅ ｉ ２
重要 性 ．
Ｊ ｃｏ ＜这 问 为 来 明 Ｅ ） 。 ｌ （ 口 ）一 题 例 表 ６ ｘｏ １ ＝ 的
１ 相 关 的定 义 与 定 理
定 义 １ （ 单调 ） 函数／ ） 数集 上有 定义 ． Ｖ ： Ａ， ￣Ｋ２ ／ 严格 设 在 若 ∈ 且 ；ｘ有 ） １
严 格增 加 ＶｘＥ ６， ］［ ］ 分别应 用拉 格 朗 日中值 定理 ［得到 ： ） ， ［ ６ 在 ２ ］
） ＝ ） － ， 刊 一 ∈（ ６ ） ）
由式 （ ） １ 和式 （ ） ２ 及易 得 ：
（） １ （） ２
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（— ６
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８
万
一 个 问 题
・ ９・ ２
推 论 １ 若 函数 在 区 间 Ｊ 可导 ， ∈，有 ∽ Ｏ ） ０且．∽＝ Ｖ ， ） ， ０点 为数 集 Ｅ ｆ ∽ ＝ ∈ ， ＝ Ｏ 孤
立点 ［， 函数 在 区间 ， ３则 ］ 上严 格增加 （ 格 减少 ） 严 ．
事 实上 只须将 任意 厂 ＝ ）Ｏ相邻 两点分 别 使用定 理 ２的方法 便可 得到． 定理 ３ （ 最值 定理 ） 函数 在 闭区 间 ［ ］ 连续 ， 若 ６ 上 则 在 ［ ］ ６ 必取 得最 大值（ 与最小 值 ） ห้องสมุดไป่ตู้ ㈨
ｒ６
定 理４ （分 值 理若 数 在 区 ［６ 连 则 少 在 点 ［ ］得 子Ｊ ） 积 中 定 ）函 ）闭 间 ］ 续，至 存 一 ∈ ６ 式 上 使
（一 ６ 成 立 ．
证 因为 函数 ） 闭 区 间 ［ ］ 在 ６ 上连 续 ， 由定 理 ３可得 ） ［ ］ 在 ６ 必取 得 最大 值㈣ 与 最小 值（） ｍ． 由定
积分 的性质 ， 得 ： 可
ｒ６
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故有 ：
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６ ， 一
ｍ击 』 ≤ 击 ｆ
积分 中值 定 理是 被 积 函数 ） 闭 区间 ［ ］ 在 ６ 连续 的条 件 下 得 出至少 存在 一点 属 于闭 区 间 ［ ］ ６ 使得
ｒｂ
式子 ｌ ）
）一 成立的结论， （ ６ 利用该定理解决问题 能否在两端点取值至关重要， 本文对函数作一限
ｒ １ ａ ｒ
摘 要 ： 原 有 的 积 分 中值 定 理 的 基 础 上 加 强 了被 积 函数 的 条 ， ￣ 出 了至 少存 在 一 点 属 于 开 区 间 的 结 论 ， 出 了证 在 ｔ ｑ － 给
明， 并应 用到形如
出＝ （ｓ口 １这一问题 的证 明中． ００ ＜ ）
关 键 词 ： 分 中值 定 理 ； 格 单 调 ； 区 间 积 严 开 中图 分 类 号 ： １２２ ０ ７． 文献标识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０７ ５ ４ （０ １０ － ０ ８ ０ １０ － ３ ８ ２ １ ）８ ０２ － ４
）酗 ） ． 综 上可 得 函数 在 闭 区间 ［ ］ 格增 加 ， 理 ２得 证 ． 实 上本文 证 明 了一个 更 一般 的 结论 ， 吗６严 定 事 即有 如
下推 论．
收稿 日期 ：０ ｌＯ 一ｌ ２ ｌ— ５ ８ 作者 简 介 ： 万 里 （９７ ）男 ， 南商 丘 人 ， 州 交 通学 院人 文 社 科 系 教师 ， 士 ， 要从 事 随 机分 析 及 其应 用方 面 的研 究 ． 程 １ｒ ， 河 郑 硕 主
定 理 ２ 若 函数 ） 闭 区间 ［，］ 续 ， ６可 导 ， ∈ ６， 厂 ）０， ＜ ）则 函数 ） 闭 区间 在 Ⅱ６ 连 ） Ｖ ）有 ＞ （ ）０ ， Ｔ 在
［， ］ ａｂ 严格 增 加 （ 格 减少 ） 严 ．
证 不妨设厂∽＞ （ Ｏ 同理可证厂 ＜ 情形）因为 Ｖ ６√∽＞ ）Ｏ ， ∈ ）一 ０由定理 １ 可得函数 在开 区间 ） ６
程 万里 ’陈彬 韬 ’阙凤珍 ’周 永涛 ’谢 ， ， ， ， 毅 ’程 秀 秀 ２程银 行 ３ ， ，
（． １郑州 交通 学 院 人 文社 科系 ， 河南 郑州 ４ ０ ６ ；． 州大学 数 学系 ， ５０ ２２ 郑 河南 郑 州 ４ ０ ０ ； ５ ０ １ ３中国地 质调查 局 天 津地 质矿 产研 究所 ． ＿ 天津 ３ ０ ７ ） ０ １０
数 在 Ａ 上 严格 增加 （ 严格 减少 ） …．
） ）触 ２， ） 则称 函 ）
定 理 １ （ 格 单 调充 分条 件） 函数 ） 区间 ， 导 ， 严 若 在 可 Ｖｘ∈ ， ，有厂∽ ＞ ∽ ＜ ）则 函数Ａｘ在 区 间 ， ０ ０， ）
上严格 增 加 （ 格 减少 ）” 严 ．
２ １ 年 ８月 ０１ 第３ ２卷 第 ８
韶关学 院学 报 ・自然科 学
Ａ ｇ ０ ｕ ． １ ２ １
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Ｖ１２ Ｎ ． ｏ３ ０ ． ８
关于积分 中值定理 的一个 问题
定理 ５ （ 积分 中值 定 理） 函数 ） 闭 区间 ［ ］ 连续且 严 格单 调 ， 若 在 ６ 上 则至 少存 在一 点 ∈ ６使得 式 ）
子 ｆ 出 ． ） （ ７ ６ 成立． 一
Ｏ
：
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图 １ 单 调 递 减 的 曲边 梯 形