山西省临汾一中、忻州一中、长治二中等五校2017届高三第三次五校联考数学(理)试题 Word版含答案
山西省临汾一中、忻州一中、长治二中等五校2017届高三上学期第五次联考文数试题 Word版含答案
2016-2017年度高三第五次联合考试（期末）数学试卷（理科）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．2、请将各题答案填在试卷后面的答题卡上．3、本试卷主要考试内容：必修一、三，必修五第三章不等式（不含线性规划）．第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{1,0,1,2,3,4},{|16,}A B x x x N =-=<∈，则A B 等于（ ） A ．{1,0,1,2,3}- B ．{0,1,2,3,4} C ．{1,2,3} D ．{0,1,2,3} 2. 复数21ii++的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.变量,x y 之间的一组相关数据如下表所示：若,x y 之间的线性回归方程为ˆˆ12.28ybx =+，则ˆb 值为（ ） A ．0.92- B ．0.94- C ．0.96- D ．0.98-4.在平行四边形ABCD 中，3,4AB AD ==，则AC DB ⋅等于（ ）A ． 7-B ．1C ．7D ．255.在我刚明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学命题叫“宝塔装灯”，内容为“远望魏巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增），根据此诗，可以得出塔的顶层和底层共有（ ）A ．3盏灯B ．192盏灯C ．195盏灯D ．200盏灯6.执行如图所示的程序框图，若输出的8k =，则输入的k 为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．1)π++B ．1)2π++C ．1)π-D ．1) 8.将函数cos(2)3y x π=+的图象向左平移6π个单位后，得到()f x 的图象，则（ ）A ．()sin 2f x x =-B ．()f x 的图象关于3x π=-对称C ．71()32f π= D ．()f x 的图象关于(,0)12π对称 8.已知奇函数()f x 满足()()2f x f x -=，当01x <<时，()2xf x =，则2(log 9)f 的值为（ ）A ．9B ．19-C ．169-D ．16910.已知(,2)B m b 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右支上一点，A 为右顶点，O 为坐标原点，若60AOB ∠= ，则该双曲线的渐近线的方程为（ ）A．y = B．y x = C．y x = D．y x = 11. 已知三棱锥A BCD -内接与球O，且BC BD CD ===A BCD -体积的最大值为O 的表面积为（ ） A ．16π B ．25π C ．36π D ．64π12.已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞上递减，若不等式2(ln 1)(ln 1)f ax x f ax x -+++--()31f ≥对[]1,3x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]2,eB ．1[,)e +∞ C ．1[,]e e D ．12ln 3[,]3e +第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.抛物线210x y =- ．14.若,x y 满足约束条件28390,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，则4x y +的最大值为 ．15.若(0,)2πα∈，且cos 2)4παα=+，则tan α= ． 16.已知函数()f x 满足2(1)41f x x x +=--+，函数()()4,4,f x x mg x x x m -≤⎧=⎨->⎩有两个零点，则m 的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c cos (2)cos A b C =-． （1）求角C ；（2）若,6A ABC π=∆D 为AB 的中点，求sin BCD ∠．18. （本小题满分12分）为调查了解某高等院校毕业生参加工作后，从事对工作与大学所学专业是否专业对口，该校随机调查了80位该校2015年毕业的大学生，得到具体数据如下表：（1）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“毕业生从事的工作与大学所学专业对口与性别有关？”参考公式：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++ 附表：（2）求这80位毕业生从事的工作与大学所学专业对口的概率，并估计该校近3年毕业的2000名大学生总从事的工作与大学所学专业对口的人数；（3）若从工作与所学专业不对口的15人中选出男生甲、乙，女生对丙、丁，让他们两两进行一次10分钟的职业交流，该校宣传部对每次交流都一一进行视频记录，然后随机选取一次交流视频上传到学校的网站，试求选取的视频恰为异性交流视频的概率． 19. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差0d >，且163411,12a a a a ⋅=+=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列1122n n n a a ++-⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 20. （本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，点,,,E F M S 分别为棱,,PB AD,AB CD 的中点，G 为线段EM 的中点，且24,PA AB AD N ===为SM 上一点，且//NG 平面CEF（1）确定N 的位置，并求线段NG 的长；（2）平面CEF 与PA 交于点K ，求三棱锥B CKN -的体积． 21. （本小题满分12分）已知a R ∈，函数()()()32,(3)f x x ax ax a g x f x a x =-++=+-．（1）求证：曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线过点(2,4)；（2）若()1g 是()g x 在区间(0,3]上的极大值，但不是最大值，求实数a 的取值范围． 22. （本小题满分12分）设点F 为椭圆22:1(0)43x y C m m m+=>的左焦点，直线y x =被椭圆C 截得弦长为． （1）求椭圆C 的方程；（2）圆222:(((0)P x y r r +=>与椭圆C 交于,A B 两点，M 为线段AB 上任意一点，直线FM 交椭圆C 于,P Q 两点AB 为圆P 的直径，且直线FM 的斜率大于1，求PF QF ⋅的取值范围．试卷答案一、选择题1-5:DACAC 6-10:CABCC 11、B 12：D二、填空题13.25 14.16 15. 1316.[2,0)[4,)-+∞ 三、解答题17.解：（1cos (2)cos A b C =-，得2cos cos )b C cdosA a C =+， 由正弦定理可得2sin cos cos sin cos ))B C C A A C A C B =+=+=，因为sin 0B ≠，所以cos C =，因为0C π<<， 所以6C π=． 5分（2）因为6A π=，故ABC ∆为等腰三角形，且顶角23B π=， 6分故21sin 2ABCS a B ∆===， 7分所以2a =，在DBC ∆中，由余弦定理得2222cos 7CD DB BC DB BC B =+-⋅=，所以CD =在DBC ∆中，由正弦定理可得sin sin CD DBB BCD =∠1sin BCD=∠，所以sin BCD ∠=． 12分 18.解：（1）根据列联表中的数据，得到2K 的观测值为2280(3053510)80 2.051 3.8414040651539K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，故不能在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“毕业生从事的工作与大学所学专业对口与性别有关”．5分（2）这80为毕业生从事的工作与大学所学专业的概率为65138016=，6分由此估计该校近3年毕业的2000大学生中从事的工作与大学所学专业对口的人数为132000162516⨯=， 7分 （3）两两进行一次10分钟的职业交流的所有结果为（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁）共有6个基本事件， 10分其中异性交流的有4个基本事件，故所有概率为4263P ==． 12分 19. 解：（1）因为163412a a a a +=+=， 1分 所以16,a a 是方程212110x x -+=两根，且16a a <， 2分解得161,11a a ==，所以61510a a d -==，即2d =， 5分 所以21n a n =-． 6分（2）（方法一）因为11112222n n n nn n n a a a a ++++-=-， 8分所以3112121213211112112222222222n n n n n n n n a a a a a a a a n T ++++++=-+-+-=-=- ． 12分（方法二）因为112123222n n n n a a n ++--=-⨯， 7分所以23111323()22222n nn T --=-⨯++++ ， 所以23411111323()222222n n n T +--=-⨯++++ ， 8分所以21234111111122223112322()1222222242212n n n n n n n T +++----=-⨯++++-=-+⨯- ， 所以121122n n n T ++=- 12分20.解：（1）设CF 与SM 交于点O ，连接OE ，则N 为OM 的中点， 1分 证明如下：因为//NG 平面CEF ，且平面CEF 平面MOE EO =， 所以//NG OE ，又G 为线段EM 的中点， 则N 为OM 的中点， 3分因为E 为棱PB 的中点，所以//EM PA ，又PA ⊥底面ABCD ， 所以EM ⊥底面ABCD ， 4分则EM OM ⊥，因为12322OM +==，2EM =,所以1524NG OE ===， 6分（2）延长CF 交BA 的延长线于点Q ，由//AF BC ，且2BC AF =，得A 为QB 的中点， 7分连接EQ ，则但K 为PA 与QE 的交点， 8分易得AKQ MKQ ∆∆ ，则42423AK QA EM QM ===+，所以2433AK EM ==，10分因为BCN ∆的面积为12222⨯⨯=， 所以18239B CKN B CKNV V AK --==⨯⨯=. 12分 21.(1)证明：因为()232f x x ax a '=-+，所以()13f a '=-， 1分因为()11f a =+，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(1)(3)(1)y a a x -+=--， 2分即(2)42a x x y -=--，令2x =，则4y =，故曲线曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线过点(2,4)； 4分 （2）解：()()233223(1)[3(23)]g x f x a x ax a x x a ''=+-=-+-=---，令()0g x '=得1x =或233a x -=， 6分 因为()1g 是()g x 在区间(0,3]上的极大值，所以2313a ->，所以3a >，7分令()0g x '>，得1x <或()23,3a x g x ->递增；令()0g x '<，得()231,3a x g x -<<递减，因为()1g 不是()g x 在区间(0,3]上最大值，所以()g x 在区间(0,3]上的最大值为()3182g a =-， 10分 所以()3182(1)22g a g a =->=-，所以5a <，又3a >，所以35a <<． 12分22. 解：（1）由22143y xx ym m=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22127m x y ==，故==，解得1m =，故椭圆C 的方程为22143x y +=． 3分（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，则1212x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩又22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 4分 所以12121212()()()()043x x x x y y y y +-+-+=，则1212()()0x x y y ---=，故12121AB y y k x x -==-，则直线AB的方程为y x =+，即y x =C的方程并整理得270x +=，则120,x x ==，故直线FM的斜率)k ∈+∞， 7分 设:(1)FM y k x =+，由22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(34)84120k x k x k +++-=，设3344(,),(,)P x y Q x y ，则有223434228412,3434k k x x x x k k --+==++， 8分1+，所以22223434224128(1)()1(1)13434k k PF QF k x x x x k k k-⋅=++++=+-+++ 222991(1)(1)34434k k k=+=+++， 10分因为k ≥299112(1)44345k <+≤+， 即PF QF ⋅的取值范围是912(,]45． 12分11。
2017年5月2017届高三第三次全国大联考(新课标Ⅲ卷)理数卷(参考答案及评分标准)
12017年第三次全国大联考【新课标III 卷】理科数学·参考答案13．3 14．590490 15．12 16．2sin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭17．【解析】（Ⅰ）由cos cos 2a B b A +=，根据余弦定理，得222222222a c b b c a a b ac bc+-+-⋅+⋅=，整理，得2c =．………………2分由()cos 1cos cA b C =-，根据正弦定理，得()sin cos sin 1cos C A B C =-，即sin sin cos sin cos B C A B C =+，又sin B ＝()sin sin cos cos sin A C A C A C +=+，………4分sin cos sin cos B C A C =，故cos 0C =或sin sin A B =．………………5分当cos 0C =时，2C π=，故ABC △为直角三角形； 当sin sin A B =时，A B =，故ABC △为等腰三角形．………………7分（Ⅱ）因为13sin cos 226x x x x x ⎫π⎛⎫-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，所以6C π=．………………8分 由（Ⅰ）知2c =，A B =，则a b =，………………9分 所以由余弦定理，得22242cos 6a a a π=+-，解得28a =+，………………10分 所以ABC ∆的面积21sin 226S a π==………………12分18．【解析】（Ⅰ）由题意，得参加跑步类的有778042013⨯=人，………………1分 所以420180240m =-=，78042018012060n =---=．………………3分 根据分层抽样法知，抽取的13人中参加200米的学生人数有180133780⨯=人．………………5分2（Ⅱ）由题意，得抽取的13人中参加400米的学生人数有240134780⨯=，参加跳绳的学生人数有3人，所以X 的所有可能取值为1、2、3、4，………………6分()134347C C 41C 35P X ===，()224347C C 182C 35P X ===，()314347C C 123C 35P X ===，()4447C 14C 35P X ===，………………9分所以离散型随机变量X 的分布列为：X 1 2 3 4P435 1835 1235 135所以41812116()1234353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．………………12分 19．【解析】（Ⅰ）如图，连接AC 交BD 于点M ，连接MH ．∵AFBG DE ，BG DE =，AF ⊥平面ABCD ，∴四边形BDEG 为矩形，………………1分又∵H 为EG 中点，∴MHBGAF ，MH BG =，………………2分又∵AF ⊥平面ABCD ，∴MH ⊥平面ABCD ，∴MH ⊥BD ．………………3分 在正方形ABCD 中，BD AC ⊥，且ACMH M =，∴BD ⊥平面CMH ，………………4分又CH ⊂平面CMH ，∴BD CH ⊥．………………5分（Ⅱ）由题意，以D 为坐标原点，以,,DA DC DE 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，且设1AB AF BG DE ====，………………6分则()0,0,1E ，()1,0,1F ，()1,1,1G ，()0,1,0C ，()1,0,0EF =，()0,1,1EC =-，()1,1,0EG =． …………………………………………………………………7分 设()1111,,x y z =n 为平面FCE 的一个法向量，则由110EF EC ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n ，得11100x y z =⎧⎨-=⎩，取11y =，得()10,1,1=n ．………………9分3设()2222,,x y z =n 为平面GCE 的一个法向量，则由2200EG EC ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n ，得222200x y y z +=⎧⎨-=⎩，取21y =，得()21,1,1=-n ，………………11分∴1212126cos ,||||323⋅===⋅⨯n n n n n n ， ∴二面角F CE G --的余弦值为6．………………12分20．【解析】（Ⅰ）由题意，得63c a = ①，且12||2F F c =，21||b PF a=，则212146||||2b F F PF c a ⋅=⋅= ②．………………2分由①②联立，并结合222a b c =+，解得26a =，22b =，所以椭圆C 的方程为22162x y +=．………………4分 （Ⅱ）当直线m 与x 轴不垂直时，设直线m 的方程为()()20y k x k =-≠，代入椭圆C 的方程22162x y +=，得()222213121260k x k x k +-+-=．………………5分 设()11,A x y 、()22,B x y ，所以21221213k x x k+=+，212212613k x x k -=+．………………6分 根据题意，假设在x 轴上存在一个定点()0,0M x ，使得MA MB ⋅的值为定值， 则()()()()101202102012,,MA MB x x y x x y x x x x y y ⋅=-⋅-=--+()()()()()()222002222120120231210612413x x k x k x x k x x x k x k-++-=+-++++=+．…………7分要使上式为定值，即与k 无关，则()220003121036x x x -+=-，解得073x =，4此时，20569MA MB x ⋅=-=-，………………8分 所以在x 轴上存在定点7,03M ⎛⎫⎪⎝⎭，使得MA MB ⋅为定值，且073x =，定值为59-．……………9分当直线m 与x 轴垂直时，将2x =代入椭圆方程可求得出,A B 的坐标，不妨设,2,A B ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，则161,,,33MA MB ⎛⎫⎛=-=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭∴115()()339MA MB ⋅=-⨯--=-．…………11分 综上可知，在x 轴上存在定点7,03M ⎛⎫⎪⎝⎭，使得MA MB ⋅为定值，且073x =，定值为59-．……12分21．【解析】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()1+∞－，，()()()()2331212111x a af x x x x +-'=+++－＝，………………2分 当0a ≤时，()0f x '≥，函数()f x 在()1+∞－，上单调递增；……………3分 当0a >时，若1x ≥，则()0f x '≥，函数()f x 在1,)+∞上单调递增；若11x -<<，则()0f x '<，函数()f x 在(1)-上单调递减．……………4分综上所述，当0a ≤时，函数()f x 在()1+∞－，上单调递增；当0a >时，函数()f x 在区间()1-上单调递减，在)1,+∞上单调递增．………………5分（Ⅱ）22()323()3g x x x x x '=-=-，1,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可见，当2,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0g x '≥，()g x 在2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，当12,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0g x '≤，()g x 在12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，………………7分而()1224327g g ⎛⎫=-<= ⎪⎝⎭，所以，()g x 在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为4，………………8分 依题意，只需当12,13x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()()11134x f x ++≥恒成立， 即()()1111x f x +≥，即()()1ln 111a x x x +++≥+在2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，5亦即()()()211ln 1a x x x ≥+-++在2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立．………………9分 令()()()2()11ln 1h x x x x =+-++2,13x ⎛⎫⎡⎤∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则()()()21ln 1h x x x x '=--++，………9分显然(0)0h '=， 当2,03x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时， 0x ->，()()21ln 10x x ++<，()0h x '>，即()h x 在2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递增；………………10分当(]0,1x ∈时，0x -<，()()21ln 10x x ++>，()0h x '<，即()h x 在区间(]0,1上单调递减； 所以，当0x =时，函数()h x 取得最大值(0)1h =，………………112分 故1a ≥，即实数a 的取值范围是[)1,+∞．………………12分请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程【解析】（Ⅰ）消去参数t ，得直线l 的普通方程为10x y -+=，斜率为1， 所以直线l '的斜率为1-．………………1分因为圆C 的极坐标方程可化为24cos 2sin 0m ρρθρθ--+=，所以将222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==代入上述方程得圆C 的直角坐标方程为22420x y x y m +--+=，则配方，得()()22215x y m -+-=-，其圆心为()2,1C ，半径为)5m <．………………3分由题意，知直线l '经过圆心()2,1C ，所以直线l '的方程为()12y x -=--，即30x y +-=，所以由cos ,sin x y ρθρθ==，得直线l '的极坐标方程为()cos sin 3ρθθ+=．………………5分（Ⅱ）因为||AB =C 到直线l)5m =<．)5m =<，解得1m =．………………7分 （Ⅲ）当所求切线的斜率存在时，设切线方程为4(4)y k x -=-，即440kx y k --+=．2=，解得512k=，所以所求切线的方程为512280x y-+=；当所求切线的斜率不存在时，切线方程为4x=．………………9分综上，所求切线的方程为4x=或512280x y-+=．………………10分23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲【解析】（Ⅰ）设()222f x x x=+--，则()4,13,124,2x xf x x xx x--<-⎧⎪=-≤<⎨⎪+≥⎩，………………1分当1x<-时，由42x-->，得6x<-，6x<-∴；………………2分当12x-≤<时，由32x>，得23x>，223x<<∴；………………3分当2x≥时，由42x+>，得2x>-，2x≥∴．………………4分综上所述，集合M为2|63x x x⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭或．………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知1t=，则()()()1111a b c t---==．因为1,1,1a b c>>>，所以10,10,10a b c->->->，………………6分则()110a a=-+≥>，（当且仅当2a=时等号成立）……………7分()110b b=-+≥>，（当且仅当2b=时等号成立）………………8分()110c c=-+≥>，（当且仅当2c=时等号成立）………………9分则8abc≥≥（当且仅当2a b c===时等号成立），即8abc≥．………………10分67。
山西省四校2017届高三第三次联考试题数学理(含答案)word版
2017届高三年级第三次四校联考数学（理）试题命题： 康杰中学 忻州一中 临汾一中 长治二中（满分150分，考试时间为120分钟）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设复数z 的共轭复数为z ，若1z i =-（i 为虚数单位）则2zz z+的值为 A.i 3- B.i 2- C.i D.i - 2．曲线ln y x x =在点),(e e 处的切线与直线1x ay +=垂直，则实数a 的值为A ．2 B.-2 C.12 D.12-3．设函数)0)(32sin()32sin()(>-++=ωπωπωx x x f 的最小正周期为π，则 A.)(x f 在)2,0(π单调递减 B.)(x f 在)4,0(π单调递增C.)(x f 在)2,0(π单调递增 D.)(x f 在)4,0(π单调递减4．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且2312,21,a a a 成等差数列，则8967a a a a ++等于A.21+B.21-C.223+D.223-5. 下列命题中是假命题的是 A.m R ∃∈，使243()(1)mm f x m x -+=-⋅是幂函数B.0a ∀>，函数2()ln ln f x x x a =+-有零点C.,R αβ∃∈，使cos()cos cos αβαβ+=+D.R ϕ∀∈，函数()sin()f x x ϕ=+都不是偶函数6. 已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且AB ＝３，BC ＝2，则棱锥O －ABCD 的体积为A. 51B. 351C. 251D. 5167. 定义在R 上的函数()x f 满足()()()()⎩⎨⎧>---≤-=0,210,8log 2x x f x f x x x f ，则()3f 的值为A. 1B.2C.2-D.3-8. 连续投掷两次骰子得到的点数分别为n m ,，向量(,)a m n = 与向量)0,1(=b的夹角记为α，则α)4,0(π∈的概率为A.185B.125C.21D.1279．执行如图所示的程序框图，输入N 的值为2012， 则输出S 的值是 A.2011 B.2012C.2010D.200910．设x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥+-00432032y y x y x ，若目标函数by ax z +=（其中0,0>>b a )的最大值为3,则ba 21+的最小值为 A.3B.1C.2D.411．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为A.3y x =±B.y =C.y =D.2y x =±12. 已知函数 ()x f y =是定义在R 上的增函数，函数()1-=x f y 的图象关于点(1, 0)对称. 若对任意的R y x ∈,，不等式()()0821622<-++-y y f x x f 恒成立，则当x ＞3时，22y x +的取值范围是A. (3, 7)B. (9, 25)C. (13, 49)D. (9, 49)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13. 若0sin a xdx π=⎰，则二项式6(展开式中含x 的项的系数是_______. 14. 有七名同学站成一排照相，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有_________.15．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ），则该棱锥的全面积是______（单位：m 2）．正视图 侧视图 俯视图16. 函数|1|,1()1()1,12x a x f x x -=⎧⎪=⎨+≠⎪⎩若关于x 的方程22()(23)()30f x a f x a -++=有五个不同的实数解，则a 的取值范围是________．三、解答题（本大题共6小题,满分70分，解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分12分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A,B,C 的对边，且(2)cos cos 0a c B b C ++=. （1）求角B 的值；（2）已知函数()2cos(2)f x x B =-，将()f x 的图像向左平移12π个单位长度后得到函数()g x 的图像，求()g x 的单调增区间.18.（本题满分12分）如图,四棱锥S ABCD -的底面是正方形,SD ⊥平面ABCD ,SD AD a ==,点E 是SD 上的点，且()01DE a λλ=<≤.（1）求证：对任意的(]0,1λ∈，都有AC ⊥BE ； （2）若二面角C-AE-D 的大小为60，求λ的值.19.（本题满分12分）中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q （简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当20≤Q ≤80时，为酒后驾车；当Q ＞80时，为醉酒驾车.某市公安局交通管理部门于2011年2月的某天晚上8点至11点在市区设点进行一次拦查行动，共依法查出了60名饮酒后违法驾驶机动车者，如图为这60名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图（其中Q ≥140的人数计入120≤Q ＜140人数之内）.（1）求此次拦查中醉酒驾车的人数；（2）从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究，再从抽取的8人中任取3人，求3人中含有醉酒驾车人数X 的分布列和期望.20.（本题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切．（1）求椭圆C 的方程；（2） 若过点M (2，0)的直线与椭圆C 相交于两点,A B ，设P 为椭圆上一点，且满足OP t OB OA =+（O 为坐标原点）＜3时，求实数t 取值范围．21. （本题满分12分）已知函数1()(2)ln 2()f x a x ax a R x=-++∈. （1）当0a =时，求()f x 的极值； （2）求()f x 的单调区间；（3）若对任意的[]12(3,2),,1,3a x x ∈--∈，恒有12(ln3)2ln3()()m a f x f x +->- 成立，求实数m 的取值范围. 请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑． 22．(本题满分10分)选修4-1：几何证明与选讲如图，已知PA 与圆O 相切于点A ，经过点O 的割线PBC 交圆O 于点B ．C ，APC ∠的平分线分别交AB ．AC 于点D ．E ．（1）证明：ADE AED ∠=∠.（2）若AC=AP ,求PCPA的值.23． (本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程已知点(1cos ,sin )P αα+，参数[0,]απ∈，点Q 在曲线C：9)4ρπθ=+上（1）求点P 的轨迹方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求点P 与点Q 之间距离的最小值。
山西省临汾一中、忻州一中、长治二中等五校2017届高三上学期第三次五校联考化学试题
可能用到的相对原子质量：H1 Li 7 C 12 N 14 O 16 Mg 24 S 32 Cu 64第I卷(选择题共42分)―、选择题(本题包括14小题,每小题3分，共42分。
每小题只有一个选项符合题意) 1．下列关于化学与环境的叙述中的错误是A．燃煤时鼓入过量的空气可以减少酸雨的产生B．利用汽车尾气催化装置可将尾气中的NO和CO转化为无害气体C．“煤改气”、“煤改电”等工程有利于减少雾霾D．工业废气排放之前必须回收处理以防污染大气【答案】A【考点定位】考查空气污染【名师点晴】本考点考查了空气的污染、危害及其措施，环保问题已经引起了全球的重视，本考点的基础性比较强，主要出现在选择题和填空题中。
空气污染的途径主要有两个：有害气体和粉尘．有害气体主要有一氧化碳、二氧化硫、二氧化氮等气体；粉尘主要指一些固体小颗粒．雾霾是一种大气污染现象，是由固体小颗粒造成的污染。
2. 下列化学用语书写正确的是A．镁离子的结构示意图:B．苯甲酸乙酯的结构简式：C．CO2的电子式：D ．中子数为18的氯原子：Cl 1817 【答案】B 【解析】试题分析：A ．镁离子的结构示意图为，故A 错误；B ．苯甲酸乙酯的结构简式为，故B 正确；C ．CO 2的电子式为，故C 错误；D ．中子数为18的氯原子的质量数为35，故D 错误；故选B 。
【考点定位】考查化学用语的正误判断【名师点晴】解决这类问题过程中需要重点关注的有：①书写电子式时应特别注意如下几个方面：阴离子及多核阳离子均要加“”并注明电荷，书写共价化合物电子式时，不得使用“”，没有成键的价电子也要写出来。
②书写结构式、结构简式时首先要明确原子间结合顺序(如HClO 应是H —O —Cl ，而不是H —Cl —O)，其次是书写结构简式时，碳碳双键、碳碳三键应该写出来。
③比例模型、球棍模型要能体现原子的相对大小及分子的空间结构。
3． 同温同压下，分别用等质量的H 2、CO 、CO 2、NH 3四种气体吹起四个气球，其中由H 2吹起的是【答案】C【考点定位】考查阿伏伽德罗定律及其推论【名师点晴】本题考查了阿伏伽德罗定律及其推论，灵活运用公式是解本题关键。
山西省等五校2017届高三第三次五校联考数学理试题
第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的)1.若集合{}2|340A x x x =+->，集合{}|23B x x =-<≤，且M AB =，则有（ ） A ．1M -∈ B ． 0M ∈ C ． 1M ∈ D ．2M ∈ 2.在ABC ∆中，03,120a b A ==，则角B 的大小为（ ）A ． 30°B ． 45°C ． 60°D ．90°3.已知等比数列{}n a 共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比是（ ） A ．32B ．2C ．2D ．2 4.已知命题2:4,log 2p x x ∀≥≥；命题:q 在ABC ∆中，若3A π>，则3sin A >．则下列命题为真命题的是（ ）A ． p q ∧B ． ()p q ∧⌝C ． ()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ⌝∨5.已知非零向量a b 、满足23,22a b b a b =-=+，则a 与b 的夹角的余弦值为（ ） A ．23 B ． 34 C ．13 D ．146.已知函数()f x 是奇函数，当0x <时，()()ln 2f x x x x x =-++，则曲线()y f x =在1x =处的切线方程为（ ）A ． 23y x =+B ． 23y x =-C ． 23y x =-+D ．23y x =--7.实数,x y 满足1030270x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，若2x y m -≥恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ． (],3-∞-B ．(],4-∞-C ． (],6-∞D ．[]0,68.如图，在ABC ∆中，,3,1AD AB BC BD AD ⊥==，则AC AD 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 9.若13tan ,,tan 242ππααα⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，则sin 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ． 25-B ．25C ． 210-D ．21010.已知,x y 为正实数，则433x yx y x++的最小值为（ ） A ．53 B ． 103 C ． 32D ．3 11.函数()()21616log x x f x x -=-的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12.设函数()3236222x x f x e x x x ae x ⎛⎫=+-+-- ⎪⎝⎭，若不等式()0f x ≤在[)2,-+∞上有解，则实数a 的最小值为（ ） A ． 312e -- B ．322e -- C ． 3142e -- D ．11e-- 第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡中的横线上）13.已知函数()35sin ,021log ,06x x f x x x π⎧≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，则()33f f ⎡⎤=⎣⎦__________．14.设,x y R ∈，向量()()(),2,1,,2,6a x b y c ===-，且,b//c a c ⊥，则a b +=__________．15.已知函数()sin 2y k kx πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭与函数26y kx k =-+的部分图像如图所示，则ϕ=____________．16.已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 项和为n S ，且满足()2142,n n S S n n n N -++=≥∈，若对任意1,n n n N a a ++∈<恒成立，则a 的取值范围是_____________ .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）在锐角ABC ∆中，设角,,A B C 所对边分别为,,a b c ,sin cos 4sin cos 0b C A c A B -=． （1）求证：tan 4tan B A =；（2）若()tan 3,3,b 5A B c +=-==，求a 的值． 18.（本小题满分12分）已知公比小于1的等比数列{}n a 的前n 项和为1231,,722n S a a S ==． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()21log 1n n b S +=-，若13352121111521n n b b b b b b -++++=，求n ． 19.（本小题满分12分）已知函数()2cos 24sin sin 24x f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭． （1）将函数()2f x 的图像向右平移6π个单位得到函数()g x 的图像，若,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()g x 的值域；（2）已知,,a b c 分别为ABC ∆中角,,A B C 的对边，且满足()2,2sin ,0,2b f A b A B π⎛⎫==+=∈ ⎪⎝⎭，求ABC ∆的面积．20.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =，且对任意正整数n ，满足1220n n a S ++-=． （1）求数列{}n a 的通项公式．（2）设2n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．21. (本小题满分12分） 设:p 函数()33axf x x e =在区间(]0,2上单调递增；:q 函数()2ln ag x ax x x=-+在其定义域上存在极值．（1）若p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）如果“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围． 22.（本小题满分12分）已知函数()22ln ,0f x x ax a x a =++≤．（1）若当2a =-时，求()f x 的单调区间； （2）若()()1212f x e a >+，求a 的取值范围．参考答案一、选择题二、填空题136π- 16. ()3,5 三、解答题17．解：（1）∵sin cos 4sin cos 0b C A c A B -=，∴sin cos 4sin cos b C A c A B =，．．．．．．．．．．．1分由正弦定理，得sin sin cos 4sin sin cos B C A C A B =，即sin cos 4sin cos B A A B =．．．．．．．．．．3分∵A 为锐角，∴34tan ,cos 45A A ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 ∴22242cos 259253105a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，即10a =．．．．．．．．．．．．．．．10分18.解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，∵2372a S =，∴213522a a a =+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 则22520q q -+=，解得12q =或2q =（舍去），．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 故1111222n nn a -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）∵11111112211212n n n S +++⎛⎫- ⎪⎝⎭==--，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ∴()21log 11n n b S n +=-=--，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 ∴()()21211111122241n n b b n n n n -+⎛⎫==- ⎪---+⎝⎭，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 1335212111111111111114223141n n b b b b b b n n n -+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，．．．．．．．11分 由11514121n ⎛⎫-=⎪+⎝⎭，得20n =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19.解：()2cos 24sin sin 24x f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭1cos 2cos 2x 4sinx2x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 12sin x =+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 （1）平移可得()2sin 213g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ∵,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴22,363x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 当12x π=时，()min 0g x =；当512x π=时，()max 3g x =．．．．．．．．．．．．．6分 ∴所求值域为[]0,3．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分（22sin b A =2sin sin A B A =，．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ∴sin B =，∵02B π<<，∴3B π=，由()1f A =+得sin A =a b =<，∴4A π=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 由正弦定理得：a =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分∴11sin 222ABC S ab C ∆===．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20.解：（1）因为1220n n a S ++-=，所以，当2n ≥时，1220n n a S -+-=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 两式相减得112220n n n a a S +--+-=，即111220,2n n n n n a a a a a ++-+==．．．．．．．．．．．．．3分又当1n =时，212122220a S a a +-=+-=，所以211122a a ==，．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分所以{}n a 是以首项11a =，公比12q =的等比数列，所以数列{}n a 的通项公式为112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由（1）知，214n n n nb na -==，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 则22123114444n n n n nT ---=+++++，①3231442444n n n n nT ---=+++++，②．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ②—①得321111354444n n n n nT ---=++++-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 11634334n n -+=-⨯，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 所以，数列{}n b 的前n 项和为11634994n n n T -+=-⨯．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21.解：（1）因为()()2333233331axax ax f x x eax e x e ax '=+=+，所以()()23310axf x x e ax '=+≥对(]0,2x ∈恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分因为2330ax x e >，所以10ax +≥对(]0,2x ∈恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 3分 所以max 112a x ⎛⎫≥-=- ⎪⎝⎭，即a 的取值范围为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）对于()()22222,2ln ,a a ax x aq g x ax x g x a x x x x++'=-+=++=，．．．．．．．．．5分 若()()0,0,a g x g x '≥>在定义域内单调递增，在其定义域上不存在极值，不符合题意；．．．．．．6分 若0a <，则10a->，由2440a ∆=->，解得10a -<<． 所以，若q 为真命题，则10a -<<，．．．．．．．．．．．．．．．．．8分因为“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，所以命题p 与q 一真一假，①p 真q 假时，1201a a a ⎧≥-⎪⎨⎪≥≤-⎩或，解得0a ≥，②p 假q 真时，1210a a ⎧<-⎪⎨⎪-<<⎩，解得112a -<<-综上所述，a 的取值范围为[)11,0,2⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 22.解：（1）由题意得()0,x ∈+∞， 当2a =-时，()()2224242ln ,x x f x x x x f x x --'=--==，．．．．2分 ∴当(0,1x ∈+时，()0f x'<，当()1x ∈++∞时，()0f x '>，．．．．．．．．．．．．．．．．4分∴()f x 的单调减区间是(0,1+，单调增区间是()1++∞．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）①当0a =时，()20f x x =>，显然符合题意；②当0a <时，()222x ax af x x++'=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分对于22220,480x ax a a a ++=∆=->，∴该方程有两个不同实根，且一正一负，即存在()00,x ∈+∞，使得200220x ax a ++=，即()00f x '=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分∴当00x x <<时，()0f x '<，当0x x >时，()0f x '>，．．．．．．．．．．．．．．．8分 ∴()()220000000000min 2ln ln ln 222a a a f x f x x ax a x x ax ax a x ax a x ⎛⎫==++=+++-+=-+ ⎪⎝⎭， ∵()()1212f x e a >+，∴0212ln 21x x e -+<+，即00ln 1x x e +<+， 由于()ln g x x x =+在()0,+∞上是增函数， ∴00x e <<．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分由200220x ax a ++=得200221x a x =-+，设()2221x h x x =-+，则()()2244021x x h x x +'=-<+， ∴ 函数()2221x h x x =-+在()0,e 上单调递减，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分∴220022,02121x e x e ⎛⎫-∈- ⎪++⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分综上所述，实数a 的取值范围22,021e e ⎛⎤-⎥+⎝⎦……………………………12分。
山西省临汾一中等五校2017届高三第五次联合考试
山西省临汾一中等五校2017届高三第五次联合考试（期末）语文试卷第I卷阅读题一、现代文阅读（35分）（一）论述类文本阅读（9分，每小题3分）阅读下面的文字，完成1～3题。
表面上看，网络小说中的那些玄幻、穿越、历史架空所构筑的想象世界似乎离现实生活很远，但网络小说离读者的情感其实很近。
它让主人公由“废柴”变成可以“逆天”的世间强者，这个过程中主角会经历各种磨难，但凭借过人的智慧、坚强的毅力和顽强的意志闯过一道道关。
给人留下深刻印象的是主角不畏强权、不畏困难、永不放弃、永不言败的奋斗精神。
这样的故事给读者的精神影响是积极正面的，它给读者以梦想，也强化了所有的幸福都掌握在自己手中的道理，帮助那些渐渐长大的青少年读者逐渐获得独立意识并找到自我。
很多网络小说可以当作励志故事来读，是写给青少年读者看的，故事读来轻松、有趣，其内在的价值观念是明晰的、积极的，符合社会主流价值。
在那些直面现实的作品中，很多作者都现身说法，以自己为原型来写作，将自己的生活经验写进小说，让读者获得参与感，并从中获得生活的经验。
这些作品的理念是“小说是有用的”，而非只是简单的消遣品，它洞明世事、人情练达，能帮助读者提升认识生活的能力。
文学对现实生活的干预，主要是通过读者的阅读来实现的，读的人越多，作品产生的影响才会越大。
网络文学在面对读者群时，是自觉分类的，根据读者的需求“量身定制”，作品分类标签针对的是不同读者的口味，这种分类细化的做法类似文化超市里陈列的各类文化产品。
读者在选择这些作品时，选择的是一种情调和趣味，粉丝读者群是通过趣味“扎堆的”，通过阅读中的互动，共同探讨一些大家关心的问题，获得不同层面的精神生活体验。
如果说传统纸媒文学是小众的，那么网络文学就是大众的；传统文学是厚重的，网络文学就是轻逸的；传统文学是“烧脑”的，网络文学就是悦人的；传统文学是作者的文学，网络文学就是读者的文学。
类型化的网络文学更接近通俗文学，与大多数通俗文学一样，网络文学的价值观念是持中的，是大多数读者能接受的，少有价值观的探寻，多的是对已有社会核心价值观念的明晰和强化。
2017届山西长治二中等五校高三上学期联考一数学(理)试题(解析版)
2017届山西长治二中等五校高三上学期联考一数学（理）试题一、选择题1．已知集合{}3,2,1,0,1,2--=A ,集合{}24x y x B -==,则B A 等于（ ）A.[]2,2-B.{}1,0,1-C.{}2,1,0,1,2--D.{}3,2,1,0 【答案】C【解析】试题分析：{{}240[22]B x y x x ===-≥=-，,所以B A {}=2,1,0,1,2--，选C.【考点】集合运算【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 2．已知复数z 满足i z ii4311+=⋅-+，则z =（ ） A.62 B.7 C.25 D.5 【答案】D【解析】试题分析：1134|||||34||| 5.11i iz i z i z i i ++⋅=+⇒⋅=+⇒=--选D.【考点】复数的模【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R .其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b(,)a b 、共轭为.-a bi3．下列命题正确的个数为（ ）①“R x ∈∀都有02≥x ”的否定是“R x ∈∃0使得020≤x ” ②“3≠x ”是“3≠x ”成立的充分条件 ③命题“若21≤m ，则方程0222=++x m x 有实数根”的否命题A.0B.1C.2D.3 【答案】B【解析】试题分析：“R x ∈∀都有02≥x ”的否定是“R x ∈∃0使得200x <”;“3≠x ”是“3≠x ”成立的必要条件；命题“若21≤m ，则方程0222=++x m x 有实数根”的否命题为“若方程0222=++x m x 有实数根，则21≤m ”，即0m =或10,4802m m m ≠∆=-≥⇒≤，因此 正确，选B.【考点】命题否定4．某几何体的三视图如图所示，则该三视图的体积为（ ）A.3π B.π34 C.2π D.π38【答案】A【解析】试题分析：几何体为一个半球内含一个圆锥，其体积为321411112333πππ⨯⨯-⨯⨯=，选A.【考点】三视图 【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图． 2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据． 5．函数xxy sin =的图象大致是（ ）【答案】C【解析】试题分析：x xysin=为偶函数，所以不选A,当(0,)xπ∈时，sinxyx=>，所以不选B,当(2,3)xππ∈时，sinxyx=>，所以不选D，因此选C.【考点】函数图像【思路点睛】（1）运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.（2）在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.6．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，当输入N=6时，输出的s=（）A.62B.64C.126D.124【答案】A【解析】试题分析：第一次循环：1022,112s k=+==+=，第二次循环：2226,3s k=+==，第三次循环：36214,4s k=+==，第四次循环：414230,5s k =+==，第五次循环：530262,6s k =+==，结束循环，输出62.s =，选A.【考点】循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.7．已知双曲线E:12222=-b y a x 的右焦点为F ，圆C ：42222c y c x =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-与双曲线的渐近线交于A ，B ，O 三点（O 为坐标原点）.若ABF ∆为等边三角形，则双曲线E 的离心率为（ ）A.3B.2C.5D.3 【答案】B【解析】试题分析：由题意得2,3b c AOF e a a π∠=⇒=⇒==选B.【考点】双曲线渐近线【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.8．向量,a b=,且()0a b a -⋅=,则,a b 的夹角的余弦值为（ ）A.0B.13 C.12【答案】B 【解析】试题分析：2()0=a b a a b a-⋅=⇒⋅，22222+212=9a b a b a b a b a+=⇒+⋅=⇒ ，所以21co s ,.3||||3||||b a aa b b a a a ⋅<>===⋅⋅ 选B. 【考点】向量夹角【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法（1）求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a ·b ＝|a||b|cos θ；二是坐标公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；三是利用数量积的几何意义.（2）求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.9．已知nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+31的展开式中没有常数项，则n 不能是（ ） A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D【解析】试题分析：因为431,0,1,2,,.r n r n rr rr nn T C xC x r n --+=== 所以4=3r n 无解，因此选D.【考点】二项式定理【方法点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略（1）求展开式中的特定项.可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可.（2）已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.10．不透明的袋子内装有相同的五个小球，分别标有1-5五个编号，现有放回的随机摸取三次，则摸出的三个小球的编号乘积能被10整除的概率为（ ） A.12542 B.12518 C.256 D.12512【答案】A【解析】试题分析：由题意5号，2号或4号至少摸出一次，即三种情况：一是5号摸出两次，2号或4号摸出一次；二是5号摸出一次，2号或4号摸出两次；三是5号摸出一次，2号或4号摸出一次，1号或3号摸出一次；，总共有2121133322+2+22=42C C C C ⨯⨯⨯⨯⨯，所求概率为4242=555125⨯⨯，选A.【考点】古典概型概率【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法 （1）列举法.（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.（4）排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 11．已知函数()⎪⎭⎫⎝⎛-=6sin πωx x f （ω>0）,若()⎪⎭⎫⎝⎛-=20πf f 且在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π上有且仅有三个零点，则ω=（ ） A.32 B.2 C.326 D.314【答案】D【解析】试题分析：()022266f f k ππππωπ⎛⎫=-⇒-=+ ⎪⎝⎭或52,266k k Z πππωπ-=+∈，即243kω=+或24,.k k Z ω=+∈因为函数在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π上有且仅有三个零点，所以34622T T πω<<⇒<<,因此141,3k ω==，选D. 【考点】三角函数解析式【方法点睛】已知函数y ＝Asin （ωx ＋φ）＋B （A ＞0，ω＞0）的图象求解析式（1）max min max min ,22Y Y Y YA B -+== （2）由函数的周期T 求ω，2Tπω=（3）利用“五点法”中相对应的特殊点求φ. 12．已知函数()()x x x x x f ++++=1lnsin 22，若不等式()()3393-⋅+-xxxm f f <0对任意R ∈x 均成立，则m 的取值范围为（ ）A.()132,-∞- B.()132,+-∞-C.()132,132-+- D.()∞++-，132【答案】A【解析】试题分析：因为()()0f x f x+-=，且(2s i n )x x x '+=+)l1x 单调递增，所以函数()f x 为R 上单调递增的奇函数，从而()()39330x x x f f m -+⋅-<()()339333933313x x x x x x x x f f m m m ⇔-<-⋅+⇔-<-⋅+⇔<-+又331113x x -+≥=，当且仅当333xx =时取等号，所以m 的取值范围为()132,-∞-，选A.【考点】函数性质【思路点睛】函数单调性的常见的命题角度有： 1 求函数的值域或最值；2 比较两个函数值或两个自变量的大小；3 解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为f （g （x ））>f （h （x ））的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”，转化为具体的不等式（组），此时要注意g （x ）与h （x ）的取值应在外层函数的定义域内；4 求参数的取值范围或值.二、填空题13．抛物线()02≠=a ax y 的准线方程为 .【答案】a y 41-=【解析】试题分析：221y ax x y a =⇒=，所以准线方程为a y 41-=【考点】抛物线准线方程14．设函数()x f 是定义在R 上的奇函数，且对任意的()()x f x f R x 12,=+∈,当[)0,2-∈x 时，()2log (3)f x x =+，则())2015(2017f f -= .【答案】-2【解析】试题分析：()()()()1124()2f x f x f x f x f x +=⇒+==+，即周期为4，因此()()2017(2015)1(1)(1)(1)11 2.f f f f f f -=--=----=--=-【考点】函数性质15．已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若02≥++k y x 恒成立，则实数k 的取值范围为 . 【答案】6≥k【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(2,0),(2,2),(0,2)A B C --，直线2z x y =--过点B 时取最大值6，而02≥++k y x 恒成立等价于max [(2)]6k x y ≥-+=【考点】线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.16．已知ΔABC 是斜三角形，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ,若21,cos 3sin ==c C a A c 且()A A B C 2sin 5sin sin =-+，则ΔABC 的面积为 .【答案】【解析】试题分析：有正弦定理得sinCsin cos tan 3A C C C π=⇒=⇒=，()()()sin sin 5sin 2sin sin 5sin 22sin cos 10sin cos 2C B A A B A B A A B A A A A π+-=⇒++-=⇒=≠，sin 5sin 5B A b a⇒=⇒=,由余弦定理得222212cos211,b 53b a ab a a π=+-=⇒==，所以ΔABC的面积为11sin 1522ab C =⨯⨯=【考点】解三角形【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和n n a S -=1，其中*∈N n . （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）若n n na b =，求{}n b 的前n 项和n S .【答案】（I ）nn a )21(=（II ）111222n nn S n -⎛⎫⎛⎫=--⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【解析】试题分析：（I ）由n S 求n a ，注意分类讨论：当1=n 时,1111S a a ==-，解得211=a ；当2≥n 时,n n n n n n n a a a a S S a -=---=-=---111)1()1(，即)2(211≥=-n a a n n ，因此数列{}n a 是以21为首项，21为公比的等比数列，最后由等比数列通项公式得nn a )21(=（II ）由于{}n b 为等差乘等比型，因此求和要用错位相减法：即求(1)n q S -，注意作差时项的符号变化，求和时项数的确定试题解析：（I ）当1=n 时,111a S -=,解得211=a ；当2≥n 时，n n n n n n n a a a a S S a -=---=-=---111)1()1(化简整理得)2(211≥=-n a a n n 因此，数列{}n a 是以21为首项，21为公比的等比数列.从而，nn a )21(= （II ）由（I ）可得，nn n S ⎪⎭⎫⎝⎛⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅=21214213212211432 1432212132122121+⎪⎭⎫⎝⎛⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n Snn n n n n n S n S ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⎪⎭⎫⎝⎛-=∴⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⎪⎭⎫⎝⎛-=∴-++212122121212121111【考点】由n S 求n a ，错位相减法求和【方法点睛】给出S n 与a n 的递推关系求a n ，常用思路是：一是利用S n －S n －1＝a n （n≥2）转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .应用关系式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩时，一定要注意分n ＝1，n≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.18．如图，菱形ABCD 的中心为O,四边形ODEF 为矩形，平面ODEF ⊥平面ABCD ，DE=DA=DB=2（I ）若G 为DC 的中点，求证：EG//平面BCF;（II ）若HC DH 2=,求二面角O EH D --的余弦值.【答案】（I ）详见解析（II ）85【解析】试题分析：（I ）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往利用平几知识，如本题利用三角形中位线性质及平行四边形性质，取BC 中点M ，则GM//EF,GM=EF,所以四边形EFMG 为平行四边形，即EG//FM,本题也可从面面平行出发证线面平行，即先证平面EOG//平面FBC ，这可从两组线线平行出发，得两组线面平行，再得面面平行（II ）利用空间向量求二面角，首先利用垂直关系建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解两个平面的法向量，利用向量数量积求夹角，最后根据向量夹角与二面角之间关系得结果 试题解析：解:（1）证明：连接OE,OG,由条件G 为中点 ∴OG//BC 又EF//OBEF=OB ∴四边形EFBO 为平行四边形∴EO//FB ，平面EOG//平面FBC ∴EG//平面BCFABCD 为菱形，所以OB ⊥OC ，又平面ODEF ⊥平面ABCD ，四边形ODEF 为矩形 所以OF ⊥平面ABCD 可建立如图的空间直角坐标系，设O （0，0，0），B （1，0，0），C （0，3，0），E （-1,0,2）F （0，0，2），H （31-，332，0），D （-1，0，0），2((0,0,2)3DH DE ==设),,(111z y x n =是面DEG 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00n DE 即⎪⎩⎪⎨⎧==+0033232111z y x ，取)0,1,3(-=.同理取平面OEH 的一个法向量是)1,33,2(=m所以85131423332=++⋅-=,∴二面角D —EH —O 的余弦值为85.【考点】线面平行判定定理，利用空间向量求二面角【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. （1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. （2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. （3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.19．甲、乙两人组成“火星队”参加投篮游戏，每轮游戏中甲、乙各投一次，如果两人都投中，则“火星队”得4分；如果只有一人投中，则“火星队”得2分；如果两人都没投中，则“火星队”得0分.已知甲每次投中的概率为54，乙每次投中的概率为43；每轮游戏中甲、乙投中与否互不影响，假设“火星队”参加两轮游戏，求：（I ）“火星队”至少投中3个球的概率；（II ）“火星队”两轮游戏得分之和X 的分布列和数学期望EX.【答案】（I ）5039（II ）315EX =【解析】试题分析：（I ）“火星队”至少投中3个球包括：甲投中两次乙投中一次，甲投中一次乙投中两次，甲投中两次乙投中两次，其概率对应为44131433443322554455445544⋅⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅⋅⋅，，，根据概率加法得5039（II ）先确定随机变量取法：0，2,4，6，8，再分别求对应概率，列表可得概率分布列，最后根据公式求数学期望试题解析：解：（Ⅰ）设事件i A 为“甲第i 次投中”,事件i B 为“乙第i 次投中”由事件的独立性和互斥性)()()()()(321212121212121212121B B A A P B B A A P B B A A P B B A A P B B A A P P ++++=球）（至少投进5039)4341545443435451(243435454=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=答：“星队”至少投中3个球的概率为5039（Ⅱ）X的所有可能的取值为0，2,4，6，8，400151415141)0(=⋅⋅⋅==X P ,20074001451415441514151432)2(==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅==）（X P ,40073544154415143514351435441514154432)4(=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅==）（X P502140016854415443514354432)6(==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅==）（X P 25940014454435443)8(==⋅⋅⋅==X P∴X 的分布列为5314001448400168640073440014240010=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=EX【考点】互斥事件概率，概率分布与数学期望【方法点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为： 第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义； 第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布X ～B （n ，p ）），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式（E （X ）＝np ）求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.20．已知椭圆C:()012222>>=+b a b y a x 的左焦点为F,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221，A 为椭圆上一点,AF 交y轴于点M,且M 为AF 的中点.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点A ，平行于OA 的直线交l 于P,交椭圆C 于不同的两点D,E ，问是否存在常数λ，使得PE PD PA ⋅=λ2，若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由.【答案】（I ）1222=+y x （II ）1=λ【解析】试题分析：（I ）由几何意义得1AF x ⊥轴，所以1,c =再根据点⎪⎪⎭⎫⎝⎛221，A 在椭圆上得2222111=+12a b a b +=，，解得1a b =（II ）本题实质确定2PA PD PE⋅是否为定值，先确定切线l 的方程为1222=+y x ，设直线DE 的方程为tx y +=22，解出P 点坐标2222,222ty t x P P +=-=,利用两点距离公式求出2AP ，再根据弦长公式求212P P PD PE x x x x ⋅=-⋅-，最后求比值得1=λ试题解析：解:（Ⅰ）设椭圆的右焦点是1F ， 在1AFF∆中，1//AF OM ,1=∴c12222==∴=∴b a a b 所以椭圆的方程为1222=+y x（Ⅱ）设直线DE 的方程为t x y +=22，解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=122222y x t x y 消去y 得到01222=-++t tx x 若()()2211,,y x E y x D 则1,222121-=⋅-=+t x x t x x ，其中02-42>=∆t21232P P PD PE x x x x ⋅=-⋅-= 又直线l 的方程为1222=+y x ,直线DE 的方程为tx y +=22，所以P 点坐标2222,222ty t x P P +=-=,22222432222221222,43t t t AP t PE PD =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==⋅∴所以存在常数1=λ使得PDPE PA ⋅=λ2【考点】椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系 【方法点睛】有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解。
以数学文化史为背景的专题训练
专题1 以数学文化史为背景的专题训练题型一渗透数学文化的数列题1.【2017届安徽省池州市东至县高三12月联考】《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种重量单位），这个问题中，甲所得为（）钱A. B. C. D.2.【2017届甘肃天水一中高三理12月月考】《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（）A．829尺 B．1629尺 C．3229尺 D．12尺3.【2017届湖南长沙一中高三月考五】“珠算之父”程大位是我国明代伟大是数学家，他的应用数学巨著《算法统综》的问世，标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成.程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明.”（［注释］三升九：3.9升.次第盛：盛米容积依次相差同一数量.）用你所学的数学知识求得中间两节的容积为（）A.1.9升 B.2.1升C.2.2升D.2.3升4.【2017届山西省临汾一中、忻州一中、长治二中等五校高三上学期第五次联考】在我刚明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学命题叫“宝塔装灯”，内容为“远望魏巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为的等比数列递增），根据此诗，可以得出塔的顶层和底层共有（）A. 盏灯B. 盏灯C. 盏灯D. 盏灯5.【2017届湖北孝感市高三上学期第一次统考试】《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”问题：“今有垣(墙，读音)厚五尺，两鼠对穿，大鼠日（第一天）一尺，小鼠也日（第一天）一尺.大鼠日自倍（以后每天加倍）,小鼠日自半（以后每天减半）.问何日相逢，各穿几何？”在两鼠“相逢”时，大鼠与小鼠“穿墙”的“进度”之比是： .6.【2017届河南漯河高级中学高三12月月考】“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2016这2016个数中，能被3除余1且被5整除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a，则此数列的项数为_____________．7.【2017届湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟高三2月联考】“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数．具体数列为：，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列为“斐波那契”数列，为数列的前项和，则（Ⅰ）__________；（Ⅱ）若，则__________．（用表示）8.【2017届吉林省吉林市普通中学高三毕业班第二次调研测试】艾萨克·牛顿（1643年1月4日----1727年3月31日）英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列：满足，我们把该数列称为牛顿数列.如果函数有两个零点1，2，数列为牛顿数列，设，已知，，则的通项公式__________．题型二渗透数学文化的立体几何题9.【2017届福建省漳州市七校高三联考】我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V,求其直径d的一个近似公式3169d V人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159判断,下列近似公式中最精确的一个是（）A．3169d V B．32d V C．3300157d V≈D．32111d V≈10.【2017届河北唐山市高三理上学期期末】《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（）A.4B.642+C.442+D.211.【2017届湖南郴州市高三理第二次质监】我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式1()3V S S S S h =++下下上上•）. A ． 2寸 B ．3寸 C. 4寸 D ．5寸12.【2017届湖南长沙雅礼中学高三文月考】“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体. 它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣和（牟和）在一起的方形伞（方盖）. 其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线. 其实际直观图中四边形不存在，当正视图和侧视图完全相同时，它的的正视图和俯视图分别可能是（ ）A ．b a ,B ．c a ,C. b c , D ．d b ,13.【2017届湖南师大附中高三理上学期月考四】《九章算术》是我国古代内容记为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡壔就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡壔（圆柱体）的体积112V=⨯（底面的圆周长的平方⨯高），则该问题中圆周率π的取值为．题型三渗透数学文化的程序框图题14.【2017届三省高三上学期百校大联考】下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《数书九章》中的“秦九韶算法”求多项式的值.执行程序框图，若输入01a=，11a=，20a=，31a=-，则输出u的值为（）A．2 B．1 C．0 D．-115.【2017届云南大理州高三理上学期统测一】下边程序框图的算法思路源于欧几里得名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图，若输入,m n分别为225、135，则输出的m=（）A．5 B．9C．45 D．9016.【2017届云南省师范大学附属中学高三高考适应性月考】秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，其算法的程序框图如图所示，若输入的分别为，若，根据该算法计算当时多项式的值，则输出的结果为（）A. 248B. 258C. 268D. 278题型四 渗透数学文化的函数题17.【2017届甘肃天水一中高三理12月月考】德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数1,()0,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数称为狄利克雷函数，则关于函数()f x 有以下四个命题：①(())1f f x =；②函数()f x 是偶函数；③任意一个非零有理数T ，()()f x T f x +=对任意x R ∈恒成立；④存在三个点11(,())A x f x ，22(,())B x f x ， 33(,())C x f x ，使得ABC ∆为等边三角形．其中真命题的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1题型五 渗透数学文化的复数题18.【2017届四川双流中学高三文必得分训练8】欧拉公式cos sin ixe x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，2i e 表示的复数在复平面中位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 题型六 渗透数学文化的概率题19.【2017届重庆巴蜀中学高三12月月考】“勾股定理”在西方被称为“华达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6πα=，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（ ）A. 31 343- 3 20.【2017届广东潮阳黄图盛中学高三月考】数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数，如343、12521等，两位数的回文数有11、22、33、…、99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是 .题型七 渗透数学文化的推理题21.【2017届四川成都市高三理一诊】我国南北朝时代的数学家祖恒提出体积的计算原理（祖恒原理）：“幂势既同，则积不容异”.“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．类比祖恒原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底为1的梯形，且当实数t 取[]0,3上的任意值时，直线y t =被图1和图2所截得的两线段长始终相等，则图1的面积为 ____________．22.【2017届湖南省长沙市雅礼中学高三月考】如图所示，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上数字标签：原点处标数字0，点()1,0处标数字1，点(1)1-，处标数字2，点(0)1-，处标数字3，点(11)--，处标数字4，点(10)-，处标数字5，点()11-，处标数字6，点(0)1，处标数字7，…以此类推：记格点坐标为()m n ，的点（m n ，均为正整数）处所标的数字为()f m n =，，若n m >，则()f m n =， ．题型七 渗透现代科技或数学时事的创新题23.【2017福建莆田二十四中高三理月考】把11化为二进制数为( ).A.1 011(2)B.11 011(2)C.10 110(2)D.0 110(2)。
高考数学专题01 以数学文化史为背景的专题训练(第01期)
专题1 以数学文化史为背景的专题训练题型一 渗透数学文化的数列题1.【2017届安徽省池州市东至县高三12月联考】《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种重量单位），这个问题中，甲所得为（ ）钱 A. B. C. D. 【答案】C2.【2017届甘肃天水一中高三理12月月考】《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（ ）A ．829尺 B ．1629尺 C ．3229尺 D ．12尺 【答案】B 【解析】试题分析：设增量为30302916305390229d S d d ⨯⇒=⨯+=⇒=，故选B. 3.【2017届湖南长沙一中高三月考五】“珠算之父”程大位是我国明代伟大是数学家，他的应用数学巨著《算法统综》的问世，标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成.程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明.”（［注释］三升九：3.9升.次第盛：盛米容积依次相差同一数量.）用你所学的数学知识求得中间两节的容积为（ ） A.1.9升 B.2.1升 C.2.2升 D.2.3升 【答案】B4.【2017届山西省临汾一中、忻州一中、长治二中等五校高三上学期第五次联考】在我刚明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学命题叫“宝塔装灯”，内容为“远望魏巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为的等比数列递增），根据此诗，可以得出塔的顶层和底层共有（ ） A. 盏灯 B. 盏灯 C.盏灯 D.盏灯【答案】C 【解析】设顶层的灯数为 ，公比为，，，解得，底层为，所以 盏灯，故选C.5.【2017届湖北孝感市高三上学期第一次统考试】《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”问题：“今有垣(墙，读音)厚五尺，两鼠对穿，大鼠日（第一天）一尺，小鼠也日（第一天）一尺.大鼠日自倍（以后每天加倍）,小鼠日自半（以后每天减半）.问何日相逢，各穿几何？”在两鼠“相逢”时，大鼠与小鼠“穿墙”的“进度”之比是 ： . 【答案】26:59【解析】试题分析：因为前两天大小老鼠共穿5.45.0121=+++尺，所以第三天需要穿5.05.4-5=尺就可以碰面，第三天大老鼠要穿4尺，小老鼠要穿41尺，设大老鼠打了x 尺，小老鼠则打了)5.0(x -尺，所以415.04xx -=，解得178=x ，小老鼠打了3411785.0=-，三天总的来说大老鼠打了175917821=++（尺），小老鼠打了17263415.01=++，进度比：26:59. 6.【2017届河南漯河高级中学高三12月月考】“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2016这2016个数中，能被3除余1且被5整除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为_____________． 【答案】135 【解析】试题分析：将题目转化为1n a -即是3的倍数，也是5的倍数，也即是15的倍数即115(0,1,2)n a k k -== ，当134k =，152010k =，当135k =时，152016k >，故0,1,2,134k = ，数列共有135项.7.【2017届湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟高三2月联考】“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数．具体数列为：，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列为“斐波那契”数列，为数列的前项和，则（Ⅰ）__________； （Ⅱ）若，则__________．（用表示）【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）; （Ⅱ）因为所以叠加得因为所以8.【2017届吉林省吉林市普通中学高三毕业班第二次调研测试】艾萨克·牛顿（1643年1月4日----1727年3月31日）英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列：满足，我们把该数列称为牛顿数列.如果函数有两个零点1，2，数列为牛顿数列，设，已知，，则的通项公式__________．【答案】【解析】因为函数有两个零点1，2，所以，则，则，，即,又因为且，所以，即数列为等比数列，且通项公式为.题型二渗透数学文化的立体几何题9.【2017届福建省漳州市七校高三联考】我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V,求其直径d的一个近似公式d≈. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159 判断,下列近似公式中最精确的一个是（）A．d≈B．d≈．d≈D．d【答案】D试题分析：根据球的体积公式求出直径，然后选项中的常数为a ：b ，表示出π，将四个选项逐一代入，求出最接近真实值的那一个即可．由34()32d V d π=∴=设选项中的常数为a b ，则可知6b a π=，选项A 代入得69 3.37516π⨯==，选项B 代入得π=62=3，选项C 代入可知6157 3.14300π⨯==，选项D 代入可知6113.14285721π⨯==，故D 的值接近真实的值，故选D.10.【2017届河北唐山市高三理上学期期末】《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为 （ ）A.4B.6+C.4+D.2 【答案】B11.【2017届湖南郴州市高三理第二次质监】我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式1()3V S S h =下上•）.A ． 2寸B ．3寸 C. 4寸 D ．5寸【解析】试题分析：根据题意可得平地降雨量22219(106)3314πππ⨯⨯==，故选B.12.【2017届湖南长沙雅礼中学高三文月考】“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体. 它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣和（牟和）在一起的方形伞（方盖）. 其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线. 其实际直观图中四边形不存在，当正视图和侧视图完全相同时，它的的正视图和俯视图分别可能是（ ）A ．b a ,B ．c a , C. b c , D ．d b , 【答案】A13.【2017届湖南师大附中高三理上学期月考四】《九章算术》是我国古代内容记为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡壔就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡壔（圆柱体）的体积112V =⨯（底面的圆周长的平方⨯高），则该问题中圆周率π的取值为 ．【解析】试题分析：圆柱体体积公式2V r h π=,而由题意有21(2)12V r h π=⨯⨯,所以3π=. 题型三 渗透数学文化的程序框图题14.【2017届三省高三上学期百校大联考】下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《数书九章》中的“秦九韶算法”求多项式的值.执行程序框图，若输入01a =，11a =，20a =，31a =-，则输出u 的值为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．-1 【答案】B 【解析】试题分析：执行程序框图，1u =-，2n =；0u =，3n =；1u =，4n =．因为4＞3，所以输出1u =．15.【2017届云南大理州高三理上学期统测一】下边程序框图的算法思路源于欧几里得名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图，若输入,m n 分别为225、135，则输出的m =（ ）A．5 B．9C．45 D．90【答案】C【解析】试题分析：根据程序框图可知“辗转相除法”是求,m n的最大公约数，因为225,235的最大公约数为45，故选C.16.【2017届云南省师范大学附属中学高三高考适应性月考】秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，其算法的程序框图如图所示，若输入的分别为，若，根据该算法计算当时多项式的值，则输出的结果为（）A. 248B. 258C. 268D. 278 【答案】B 【解析】该程序框图是计算多项式,当时,，故选B ．题型四 渗透数学文化的函数题17.【2017届甘肃天水一中高三理12月月考】德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数1,()0,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数称为狄利克雷函数，则关于函数()f x 有以下四个命题：①(())1f f x =； ②函数()f x 是偶函数；③任意一个非零有理数T ，()()f x T f x +=对任意x R ∈恒成立；④存在三个点11(,())A x f x ，22(,())B x f x ， 33(,())C x f x ，使得ABC ∆为等边三角形． 其中真命题的个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】A 【解析】试题分析：由)(x f 是有理数⇒(())1f f x = ，故命题①正确；易得)()()(x f x f x f ⇒=-是偶函数，故②正确；易得()()f x T f x +=是偶函数，故③正确；取(1(1,1),(1A B C +，可得ABC ∆为等边三角形 ，故④正确，综上真命题的个数有4个.题型五 渗透数学文化的复数题18.【2017届四川双流中学高三文必得分训练8】欧拉公式cos sin ixe x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，2i e 表示的复数在复平面中位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B题型六 渗透数学文化的概率题19.【2017届重庆巴蜀中学高三12月月考】“勾股定理”在西方被称为“华达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6πα=，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（ ）A. 1【答案】A【解析】试题分析:设小正方形的边长为x ,由于21sin =α,23cos =α,即2321=+x ,则13-=x ,故飞镖落在小正方形内的概率是2314324-=-=P ,故应选A. 20.【2017届广东潮阳黄图盛中学高三月考】数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数，如343、12521等，两位数的回文数有11、22、33、…、99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是 . 【答案】49题型七 渗透数学文化的推理题21.【2017届四川成都市高三理一诊】我国南北朝时代的数学家祖恒提出体积的计算原理（祖恒原理）：“幂势既同，则积不容异”.“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．类比祖恒原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底为1的梯形，且当实数t 取[]0,3上的任意值时，直线y t =被图1和图2所截得的两线段长始终相等，则图1的面积为 ____________．【答案】29 【解析】 试题分析：类比祖恒原理，可得两个图形的面积相等，梯形面积为()2932121=⨯+=S ,所以图1的面积为：29. 22.【2017届湖南省长沙市雅礼中学高三月考】如图所示，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上数字标签：原点处标数字0，点()1,0处标数字1，点(1)1-，处标数字2，点(0)1-，处标数字3，点(11)--，处标数字4，点(10)-，处标数字5，点()11-，处标数字6，点(0)1，处标数字7，…以此类推：记格点坐标为()m n ，的点（m n ，均为正整数）处所标的数字为()f m n =，，若n m >，则()f m n =， ．【答案】()2211n m n ++--【解析】试题分析：从横轴上的点开始点开始计数，从1开始计数第一周共9个格点，除了四个顶点外每一行第一列各有一个格点，外加一个延伸点，第二周从10开始计，除了四个顶点的四个格点外，每一行每一列有三个格点，外加一个延伸点共17个，拐弯向下到达横轴前的格点补开始点的上面以补足起始点所在列的个数，设周数为t ，由此其规律是后一周是前一周的格点数加上81()t ⨯-，各周的点数和为()98181t S t t =+-=+，每一行（或列）除了端点外的点数与周数的关系是21b t =-，由于12349172533S S S S ====，，，，22101213()()f f ==，，，， 2()325f =，，()2)1(21f n n n ⋯+=+，，． 1n m n m >∴≥- ，，∴当n m >时，()2()211f m n n m n =++--，．故答案为()2211n m n ++--．题型七 渗透现代科技或数学时事的创新题23.【2017福建莆田二十四中高三理月考】把11化为二进制数为( ).A.1 011(2)B.11 011(2)C.10 110(2)D.0 110(2)【答案】A【解析】试题分析：1 011(2)= 32101101111111⨯+⨯+⨯+⨯=，所以把11化为二进制数为1 011(2)。
压轴小题突破练4
4.与解析几何有关的压轴小题1.在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A.4π5B.3π4C.(6－25)πD.5π4 答案 A解析 设直线l ：2x ＋y －4＝0.因为|OC |＝12|AB |＝d 1，其中d 1为点C 到直线l 的距离，所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点，l 为准线的抛物线.圆C 半径最小值为12d 2＝12×45＝25，其中d 2为点O 到直线l 的距离，圆C 面积的最小值为π⎝⎛⎭⎫252＝4π5.故选A. 2.设F 1，F 2分别是椭圆x 2＋y 2b 2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，|AB |＝43，直线l 的斜率为1，则b 的值为( )A.13B.33C.12D.22答案 D解析 直线l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2＋y 2b 2＝1，化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0，则x 1＋x 2＝－2c1＋b 2，x 1x 2＝1－2b 21＋b 2. 因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|，即43＝2|x 2－x 1|， 则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝8b 4(1＋b 2)2，解得b ＝22. 3.(2017届枣庄期末)过抛物线y 2＝4ax (a ＞0)的焦点F 作斜率为－1的直线l ，l 与离心率为e 的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(b ＞0)的两条渐近线的交点分别为B ，C .若x B ，x C ，x F 分别表示B ，C ，F 的横坐标，且x 2F ＝－x B ·x C ，则e 等于( ) A.6 B.6 C.3 D. 3答案 D解析 由题意，知F (a ，0)，则直线l 的方程为y ＝－x ＋a ，∵双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ， ∴直线l 与渐近线的交点横坐标分为a 2a －b ，a 2a ＋b ， 又x 2F ＝－x B ·x C ， 即a 2＝－a 2a －b ·a 2a ＋b ，整理得b 2a 2＝2， ∴e ＝c a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝3，故选D.4.(2017届河北省沧州市第一中学月考)过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.12B.22C.13D.33答案 D解析 由题设|PF 2|＝2|PF 1|，则|PF 1|＝2a 3，|PF 2|＝4a 3，所以由勾股定理可得|F 1F 2|＝23a 3＝2c ，故该椭圆的离心率是33，故选D. 5.已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值为( )A.2B.3C.1728D.10答案 B解析 由题意得F ⎝⎛⎭⎫14，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＝y 21，x 2＝y 22，y 21y 22＋y 1y 2＝2，y 1y 2＝－2或y 1y 2＝1， ∵A ，B 位于x 轴两侧，∴y 1y 2＝－2，两面积之和为S ＝12|x 1y 2－x 2y 1|＋12×14×|y 1|＝12×|y 21y 2－y 22y 1|＋12×14×|y 1|＝|y 2－y 1|＋18×||y 1＝⎪⎪⎪⎪2y 1＋y 1＋18×|y 1|＝⎪⎪⎪⎪2y 1＋98y 1＝⎪⎪⎪⎪2y 1＋⎪⎪⎪⎪98y 1≥3，当且仅当|y 1|＝43时“＝”成立. 6.(2017届山西大学附中模拟)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则e 2等于( )A.1＋2 2B.4－2 2C.5－2 2D.3＋2 2 答案 C解析 设|AF 1|＝|AB |＝m ，则|BF 1|＝2m ，|AF 2|＝m －2a ，|BF 2|＝2m －2a ，∵|AB |＝|AF 2＋BF 2|＝m ，∴m －2a ＋2m －2a ＝m ，解得4a ＝2m ，∴|AF 2|＝⎝⎛⎭⎫1－22m ， 在Rt △AF 1F 2中，由勾股定理得4c 2＝⎝⎛⎭⎫52－2m 2. ∵4a ＝2m ，∴4c 2＝⎝⎛⎭⎫52－2×8a 2， ∴e 2＝5－2 2.7.(2017届河南开封月考)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，M ，N 两点在双曲线C 上，且MN ∥F 1F 2，|F 1F 2|＝4|MN |，线段F 1N 交双曲线C 于点Q ，且|F 1Q |＝|QN |，则双曲线C 的离心率为( )A.2B. 3C. 5D. 6答案 D解析 由于MN ∥F 1F 2，|F 1F 2|＝4|MN |，则|MN |＝c 2， 设N ⎝⎛⎭⎫c 4，y ，又F 1(－c ，0)，且|F 1Q |＝|QN |，则Q ⎝⎛⎭⎫－3c 8，y 2，点N ，Q 在双曲线上满足方程，有c 216a 2－y 2b 2＝1，9c 264a 2－y 24b2＝1，消去y 得e 2＝6，则e ＝ 6. 8.(2017·日照模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点(异于右顶点)，△PF 1F 2的内切圆与x 轴切于点(2，0).过F 2作直线l 与双曲线交于A ，B 两点，若使||AB ＝b 2的直线l 恰有三条，则双曲线离心率的取值范围是( )A.(1，2)B.(1，2)C.(2，＋∞)D.(2，＋∞) 答案 C解析 设|F 1F 2|＝2c (c ＞0)，△PF 1F 2的内切圆分别与PF 1，F 1F 2，PF 2切于点G ，H ，I ，则||PG ＝||PI ，||F 1G ||＝F 1H ||，F 2H ||＝F 2I .由双曲线的定义知2a ＝||PF 1||－PF 2||＝F 1G ||－F 2I ||＝F 1H ||－F 2H ，又||F 1H ||＋F 2H ＝|F 1F 2|＝2c ，所以||F 1H ||＝c ＋a ，F 2H ＝c －a ，所以H ()a ，0，即a ＝2.注意到这样的事实：若直线l 与双曲线的右支交于A ，B 两点，则当l ⊥x 轴时， |AB |有最小值2b 2a＝b 2；若直线l 与双曲线的两支各交于一点(A ，B 两点)，则当l ⊥y 轴时， |AB |有最小值2a ，于是，由题意得b 2＞2a ＝4，b ＞2，c ＝a 2＋b 2＞22，所以双曲线的离心率e ＝c a ＞ 2.故选C. 9.(2017届山西省临汾一中、忻州一中、长治二中等五校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (0＜p ＜4)的焦点为F ，点P 为C 上一动点，A (4，0)，B (p ，2p )，且|P A |的最小值为15，则|BF |等于( )A.4B.92C.5D.112答案 B解析 设P (x ，y )且y 2＝2px ，则|P A |＝(x －4)2＋y 2＝(x －4)2＋2px ＝x 2＋(2p －8)x ＋16，根号下二次函数的对称轴为x ＝4－p ∈(0，4)，所以在对称轴处取得最小值，即(4－p )2＋(2p －8)(4－p )＋16＝15，解得p ＝3或5(舍去)，所以抛物线方程为y 2＝6x ，B (3，32)，易知点B 在抛物线上，所以|BF |＝3＋32＝92，故选B.10.(2017届河南省天一大联考)等腰直角△AOB 内接于抛物线y 2＝2px (p ＞0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，△AOB的面积是16，抛物线的焦点为F ，若M 是抛物线上的动点，则|OM ||MF |的最大值为( ) A.33 B.63 C.233 D.263答案 C解析 因为等腰直角△AOB 内接于抛物线y 2＝2px (p ＞0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，所以可设A (a ，a )(a ＞0)， S △AOB ＝12a ×2a ＝16，得a ＝4， 将A (4，4)代入y 2＝2px ，得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x ，所以F (1，0).设M (x ，y )，则x ≥0，设t ＝1x ＋1(0<t ≤1)，则||OM ||MF ＝x 2＋y 2x ＋1＝x 2＋4x x ＋1＝1＋2x ＋1－3()x ＋12 ＝－3t 2＋2t ＋1＝43－3⎝⎛⎭⎫t －132≤43＝233， 当t ＝13时“＝” 成立.故选C. 11.过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 与抛物线交于M ，N 两点，若MF →＝4FN →，则直线l 的斜率为____________.答案 ±43解析 不妨设M (x 1，y 1)(x 1＞0，y 1＞0)，N (x 2，y 2)，∵MF →＝4FN →，∴y 1＝－4y 2，设直线l 的斜率为k MN ，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝2px ，y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，得y 2－2p ky －p 2＝0， ∴y 1y 2＝－p 2，∴y 2＝－p 2，x 2＝p 8， ∴k MN ＝－p 2－0p 8－p 2＝43. 根据对称可得直线l 的斜率为±43.12.(2017届四川成都诊断)如图，抛物线y 2＝4x 的一条弦AB 经过焦点F ，取线段OB 的中点D ，延长OA 至点C ，使||OA ＝||AC ，过点C ， D 作y 轴的垂线，垂足分别为E ，G ，则||EG 的最小值为______________.答案 4解析 设点A ，B 的坐标为A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，由题意可知 ||EG ＝||OE ＋||OG ＝2⎪⎪⎪⎪y A ⎪⎪⎪⎪＋12y B ≥2()2||y A ×⎝⎛⎭⎫12||y B ＝2||y A y B ， 设直线AB 的斜率为k ，联立直线AB 与抛物线的方程，由根与系数的关系，得 y A y B ＝－p 2＝－4，由此可知|EG |≥4 ，当且仅当||y B ||＝4y A 时等号成立，即||EG 的最小值为4.13.设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F (－c ，0)，点M ，N 在双曲线C 上，O 是坐标原点，若四边形OFMN 为平行四边形，且四边形OFMN 的面积为2cb ，则双曲线C 的离心率为______________.答案 2 3解析 设M (x 0，y 0)，∵四边形OFMN 为平行四边形，∴x 0＝－c 2， ∵四边形OFMN 的面积为2cb ，∴||y 0c ＝2cb ，即||y 0＝2b ，∴M ⎝⎛⎭⎫－c 2，±2b ，代入双曲线方程得e 24－2＝1， ∵e ＞1，∴e ＝2 3.14.(2017·湖南长沙一中月考)已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F 1，F 2.这两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形.若|PF 1|＝10，记椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1e 2的取值范围是_________.答案 ⎝⎛⎭⎫13，＋∞ 解析 设椭圆和双曲线的方程分别为x 2a 21＋y 2b 21＝1和x 2a 22－y 2b 22＝1，椭圆和双曲线的半焦距为c ，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，其中m ＞n ，由于△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若|PF 1|＝10，，即有m ＝10，n ＝2c ，由椭圆的定义可得m ＋n ＝2a 1，由双曲线的定义可得m －n ＝2a 2，即得a 1＝5＋c ，a 2＝5－c ，其中c ＜5，再由三角形的两边之和大于第三边， 可得2c ＋2c ＞10，可得c ＞52，即52＜c ＜5， 由离心率公式可得e 1·e 2＝c a 1·c a 2＝c 225－c 2＝125c 2－1，由于1＜25c 2＜4，则由125c 2－1＞13，则e 1e 2的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，＋∞.。
山西省临汾一中、忻州一中、康杰中学等五校2017届高三第五次联考数学(理)试题含答案
2016—2017年度第五次五校联考数学试卷（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知,a b R ∈，若3234bi i a i--=+，则a b +等于 A.9- B.5 C.13 D. 92.已知集合{}{}2|450,|42x m A x Z x x B x =∈--<=>，若A B 有三个元素，则实数m 的取值范围是A. [)3,6B. [)1,2C.[)2,4D.(]2,43.已知向量()()2,2sin ,3cos ,1,sin 23a m b θθθ==-=，若//a b ，则实数m 的值为 A. -4 B. -2 C. 2 D. 44.已知随机变量满足正态分布()72,4N ，则()7076P X X <>或等于[附：()()0.6826,220.9544P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=]A. 0.1815B.0.3174C. 0.4772D.0.8185 5.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为F ，右顶为A,过F 且与x 轴垂直的直线交双曲线于B,C 两点，若ABC ∆为直角三角形，则双曲线的离心率为A. B. 3 C. D. 26.我国古代数学名著《九章算术》有这样的问题“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问几何日相逢，各穿几何？”意思是“今有一堵墙厚5尺，两只老鼠相向打洞窗墙.大老鼠第一天打洞1 尺，小老鼠第一天也打洞1尺.以后大鼠每天穿墙尺数是前一天的2倍，小老鼠每天穿墙尺数是前一天的12，问大、小老鼠几天后相遇？”若将题中条件“墙厚5尺”和“大鼠每天穿墙尺数是前一天的2倍”分别改为“墙厚10尺”和“大鼠每天穿墙尺数是前一天的32”，问在第几天会出现“大鼠穿墙总尺数是小鼠穿墙总尺数的4倍”情况A. 3B. 4C. 5D. 67.执行如图所示的程序框图，则下列说法正确的是A. ()2,4a ∀∈，输出i 的值为5B. ()4,5a ∃∈，输出i 的值为5C. ()3,4a ∀∈，输出i 的值为5D. ()2,4a ∃∈，输出i 的值为58.某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的外接球的表面积为A.13πB. 16πC.17πD.21π9.将函数()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位得到()g x 的图象，记函数()g x 在区间,4t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦内的最大值为t M ,最小值为t m ，设函数()t t h t M m =-，若,42t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则函数()h t 的最小值为A. 1B. 2-C. 1D. 110.已知不等式322x e exx x b ex ++-≤对(]0,1x ∀恒成立，b 则实数的取值范围是A. [)1,+∞B. [)1,-+∞C.[]1,1-D.(],1-∞-11.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点(00,2p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线C 上一点，圆M 与线段MF 相交于点A,且被直线2p x =MA ，若2MAAF =，则AF 等于A.1B. 2C. 3D.412.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，当2n ≥时，()211n n n n a S S S ---=且11a =，设12log 3n n a b +=，则12341n b b b n +++++的最小值为 A. 8 B. 9 C. 10 D. 12第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.()531x ⎛+- ⎝的展开式中常数项为 . 14.若实数,x y 满足不等式组20240250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，且()()321x a y -++的最大值为5，则a = .15.已知函数()f x 为偶函数，当0x ≥时，()f x 是减函数，则不等式()()22log 23log 3f x f ->⎡⎤⎣⎦的解集为 .16.在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD的正方形，13,AA E =是1AA 的中点，过1C 作1C F ⊥平面BDE 与平面11ABB A 交于点F ，则CF 与平面ABCD 所成角的正切值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos 3.ac B bc A b -=（1）求sin sin A B的值； （2）若C角为锐角，3c C ==，求ABC ∆的面积.18.（本题满分12分）如图，在多面体ABCDPE 中，四边形ABCD 和CDPE 都是直角梯形，//,//,,AB DC PE DC AD DC PD ⊥⊥平面ABCD ，2,AB PD DA PE F ===是CE 的中点.（1）求证：//BF 平面ADP ；（2）求二面角B DF P --的余弦值.19.（本题满分12分）中学阶段是学生身体发育总重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康，某校为了解甲、乙两个班每周自我熬夜学习的总时长（单位：小时）分别从这两个班中随机抽取了6名同学进一步调查，将他们最近一周自我熬夜学习的总时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数，叶表示个位数）.如果学生平均每周自我熬夜学习的总时长超过21小时，则称为“过度熬夜”.（1）请根据样本数据，估计甲、乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值；（2）从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度熬夜”的概率；（3）从甲班、乙班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度熬夜”的学生人数为，写出的分布列和数学期望.20.（本题满分12分）已知右焦点为()2,0F c 的椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，且椭圆C 关于直线x c =对称的图形过坐标原点. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭作直线l 与椭圆C 交于E,F 两点，线段EF 的中点为M,点A 是椭圆C 的右顶点，求直线MA 的斜率k 的取值范围.21.（本题满分12分）已知函数()ln ,.1ax f x x x R x =-∈+ （1）若()2001,,0x e f x e ⎡⎤∃∈<⎢⎥⎣⎦，求a 的取值范围；（2）当0a =时，函数()()22g x f x x kx =--，设()1212,0x x x x <<是函数()0g x =的两个根，m 是12,x x 的等差中项，求证：()0g m '<（()g x '是函数()g x 的导函数）.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
山西省临汾一中等五校2017届高三上学期第五次联考理综试题(含答案)
2016～2017年度高三第五次联合考试（期末）理科综合试卷可能用到的相对原子质量：H l C 12 O 16 F 19 Na 23 S 32 Cl 35.5 Mo 96 Ag 108第I卷（选择题共126分）一、选择题：本题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列有关细胞的结构和功能的叙述，不正确的是A．蓝藻细胞含有叶绿素和藻蓝素，能进行光合作用B．大肠杆菌呼吸作用产生的ATP能为其进行的有丝分裂提供能量C．不同生物膜功能的差异主要是由膜上蛋白质的种类决定的D．核孔是核质间进行频繁的物质交换和信息交流的通道2．下图中曲线1是一定量的淀粉在淀粉酶(处于最适pH)的催化作用下，生成物的相对含量随反应时间变化的曲线。
若在P点加入不同的物质，曲线的变化趋势如甲、乙、丙、丁所示，则甲、乙、丙、丁加入的物质分别是①醋酸②淀粉③淀粉酶④BaSO4（重金属，能使酶瞬间失去活性）A．③②④①B．②④③①C．②③①④D．③④②①3．下列相关的叙述正确的是A．tRNA的“三叶草”结构是通过磷酸二酯键维持的B．起始密码子是RNA聚合酶识别并结合的位点C．DNA上碱基对的增添都会导致控制合成的肽链变长D．密码子的简并性有利于维持生物体性状的相对稳定4．下列有关生物的变异和育种的叙述，正确的是A．基因突变会导致染色体上基因的数目发生改变B．位于一对同源染色体上的非等位基因不能发生基因重组C．基因工程育种能使不同物种的优良性状集中在同一个体中D．单倍体育种中，可用秋水仙素处理萌发的种子或幼苗5．下列有关高等动物的神经调节和激素调节的叙述，不正确的是A．神经递质和激素分泌后均需要体液的运输B．甲状腺激素的调节中存在分级调节和反馈调节C．下丘脑可以作为神经中枢参与体温调节和水盐平衡调节D．血浆渗透压升高可促使垂体合成并释放抗利尿激素6．下列有关生态系统的功能和稳定性的描述，不正确的是A．自然生态系统中生产者固定的能量必然大于消费者B．某种生物的数量增多会提高生态系统的抵抗力稳定性C．生态系统的信息可来源于无机环境，能调节生物的种间关系D．生产者固定的碳元素主要以有机物的形式流向分解者和消费者7．化学与生活密切相关，下列说法错误的是A．将已成熟的水果放人未成熟的水果中并密封，可加速水果成熟B．植物油久置会出现油脂的酸败现象，是因为油脂发生了水解C．取少量浑浊的河水于试管中，再向试管巾加入明矾，河水会变澄清D．可用含硅胶、铁粉的透气小袋与食品一起密封包装，防止食品变质8．设N A为阿伏加德罗常数的数值，下列说法正确的是A．1 mol CH3+中含有的电子数为9N AB．0.1 mol/L的Na2S溶液巾所含阴离子的数目大于0.1N AC．80℃时，1 LNaCl溶液巾含有OH的数目为1×10-7 N AD．1 mol Mg在空气中完全燃烧生成MgO和Mg3N2，转移的电子数为2N A9．在探索苯结构的过程巾，人们写出了符合分子式“C6H6”的多种可能结构（如图），下列说法正确的是A．等物质的量的这些物质中C-H键数目均相同B．1～5对应的结构的一氯取代物均只有1种C．1～5对应的结构均不能使酸性高锰酸钾溶液褪色D．1～5对应的结构巾所有原子均可能处于同一平面10.下列实验内容和实验结论均正确的是11.将亚磷酸钠(Na2HPO3)溶液通过电渗析法来制备H3PO3（亚磷酸）的原理如图所示，下列有关说法不正确的是A．膜①、③、④均为CMB．阴极的电极反应式为2H2O+2e- =2OH-+H2C．阳极的电极反应式为2H2O-4e- =4H++O2D．在原料室与产品室间设计缓冲室的主要目的是提高产品的纯度12.用0.1 mol/L的NaOH溶液滴定40 mL0.1 mol/L H2SO3溶液，所得滴定曲线如下图所示（忽略混合时溶液体积的变化），已知pK a= -lgK a。
山西省忻州一中、临汾一中、精英中学2025届高三第三次模拟考试数学试卷含解析2
山西省忻州一中、临汾一中、精英中学2025届高三第三次模拟考试数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合{}|sin 21A x x ==，,42k B y y k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ）A ．AB A ⋃=B ．R RC B C A ⊆C ．AB =∅D ．R R C A C B ⊆2．己知函数sin ,2,2(),2223sin ,2,2(),222x x k k k z y x x k k k z ππππππππππ⎧⎛⎫⎡⎫+∈-+∈ ⎪⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭=⎨⎛⎫⎡⎫⎪-+∈++∈ ⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭⎩的图象与直线(2)(0)y m x m =+>恰有四个公共点()()()()11123344,,,,.,,,A x y B x y C x y D x y ，其中1234x x x x <<<，则()442tan x x +=（ ） A ．1-B ．0C ．1D．22+ 3．若复数z 满足(23i)13i z +=，则z =（ ） A ．32i -+B ．32i +C ．32i --D ．32i -4．若0.60.5a ＝,0.50.6b ＝,0.52c ＝,则下列结论正确的是( ) A ．b c a >>B ．c a b >>C ．a b c >>D ．c b a >>5．定义域为R 的偶函数()f x 满足任意x ∈R ，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-.若函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点，则a 的取值范围是（ ）A．⎛ ⎝⎭ B．⎛ ⎝⎭ C．⎛ ⎝⎭ D．⎛ ⎝⎭6．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中左视图中三角形为等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是（ ）A ．16πB ．323πC ．6423πD ．2053π7．设实数满足条件则的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．如图，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，且PA AD =，E ，F 分别是线段PA ，CD 的中点，则异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为（ ）A ．26B ．33C ．36D ．239．已知函数()cos 23sin 21f x x x =++，则下列判断错误的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 的值域为[1,3]-C ．()f x 的图象关于直线6x π=对称D ．()f x 的图象关于点,04π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 10．设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)()f x f x f x f x -=+=，则()y f x =的图像可能是A ．B ．C ．D ．11．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱 AB ，BC ，1CC 的中点，M 为棱AD 的中点，设P ，Q 为底面ABCD 内的两个动点，满足1//D P 平面EFG ，117DQ =，则PM PQ +的最小值为（ ）A ．321B ．322C ．251D ．25212．已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大正整数，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的值域是[]0,1 B ．()f x 是奇函数 C ．()f x 是周期函数D ．()f x 是增函数二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山西省临汾市2017届高考数学三模试卷(解析版)(理科)
2017年山西省临汾市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大題共12小题，毎小题5分，在每小S给出的四个选项中，只有一项是符合題目要求的1．已知集合A={x|log2x≥0}，B={x|log2（x﹣1）≤2}，则集合A∩B=（）A．{1，2，3}B．{1，3}C．（1，3] D．（1，5]2．已知函数f（x）、g（x）：则函数y=（f（g（x））的零点是（）A．0 B．1 C．2 D．33．已知命题p1：函数f（x）=e x﹣e﹣x在R上单调递增p2：函数g（x）=e x+e﹣x在R上单调递减则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨p2和q4：p1∧（￢p2）中，真命题是（）A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q44．已知数列{a n}等差数列，a10=10，其前10项和S10=60，则其公差d=（）A．﹣ B．C．﹣ D．5．已知平面α及直线a，b，则下列说法正确的是（）A．若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行B．若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线不可能垂直C．若直线a，b平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行D．若直线a，b垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直6．已知等比数列{a n}的前n项和S n=，则数列{}的前n项和T n=（）A ．2n ﹣1B ．C ．D ．7．2017年离考考前第二次适应性训练考试结束后，对全市的英语成绩进行统计，发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布N （95，82）的密度曲线非常拟合．据此估计：在全市随机柚取的4名高三同学中，恰有2名冋学的英语成绩超过95分的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．8．执行如图所示的程序框图，如果输人的x=﹣10．则输出的y=（ ）A ．0B ．1C ．8D ．279．已知椭圆+=1（m ＞0）与双曲线﹣=1（n ＞0）有相同的焦点，则m +n 的取值范围是（ ）A ．（0，6]B ．[3，6]C ．（3，6] D ．[6，9）10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个棱长为4的正方体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原毛坯体积的比值为（ ）A．B．C．D．11．对定义在R上的连续非常函数f（x）、g（x）、h（x），如果g2（x）=f（x）•h（x）总成立，则称f（x）、g（x）、h（x）成等比函数，若f（x）、g（x）、h（x）成等比函数，则下列说法中正确的个数是（）①若f（x）、h（x）都是增函数，则g（x）是增函数②若f（x）、h（x）都是减函数．则g（x）是减函数③若f（x）、h（x）都是偶函数，则g（x）是偶函数；④若f（x）、h（x）都是奇函数．则g（x）是奇函数．A．0 B．1 C．2 D．312．已知椭圆C： +y2=1的上、下顶点分别为M，N点P在椭圆C外，直线PM交椭圆与点A，若PN⊥NA，则点P的轨迹方程是（）A．y=x2+1（x≠0）B．y=x2+3（x≠0）C．y2﹣=1（y＞0，x≠0）D．y=3（x≠0）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知函数f（x）=为偶函数，则a=．14．设i为虚数单位，则（2i﹣x）6的展开式中含x4项的系数为．15．已知函数f（x）=|lnx|，若f（m）=f（n）（m＞n＞0），则+=．16．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足（a+b）sin=12，（a﹣b）cos=5，则c=．三、解答题（共5小题，满分60分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（12分）已知函数f（x）=sin4x+cos4x+sin2xcos2x（1）求f（x）的最小正周期（2）当x∈[0，]时，求f（x）的最值．18．（12分）如图，梯形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，CD=2AD=2，四边形BDEF 为矩形，平面BDEF丄平面ABCD，BD⊥CF．（1）若AF⊥CE，求证：CE⊥DF（2）在棱AE上是否存在点G，使得直线BG∥平面EFC？并说明理由•19．（12分）学校的校园活动中有这样一个项目．甲箱子中装有大小相同、质地均匀的4个白球，3个黑球．乙箱子中装有大小相同、质地均匀的3个白球，2个黑球．（1）从两个箱子中分别摸出1个球，如果它们都是白球则获胜，有人认为，这两个箱子里装的白球比黑球多，所以获胜的概率大于0.5，你认为呢？并说明理由；（2）如果从甲箱子中不放回地随机取出4个球．求取到的白球数的分布列和期望；（3）如果从甲箱子中随机取出2个球放入乙箱中，充分混合后，再从乙箱中取出2个球放回甲箱，求甲箱中白球个数没有减少的槪率．20．（12分）已知动圆C与圆C1：（x﹣2）2+y2=1外切．又与直线l：x=﹣1相切（1）求动圆C的圆心的轨迹方程E；（2）若动点M为直线l上任一点，过点P（1，0）的直线与曲线E相交干A，B 两点．求证：k MA+k MB=2k MP．21．（12分）已知函数f（x）=（x2﹣x）e x（1）求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；（2）若f（x）﹣ax+e≥0恒成立，求实数a的取值范围；（3）若方程f（x）=m（m∈R）有两个正实数根x1，x2，求证：|x1﹣x2|＜+m+1．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=m（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1与曲线C2有公共点，求实数m的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+2|﹣m，m∈R，且f（x）≤0的解集为[﹣3，﹣1]（1）求m的值；（2）设a、b、c 为正数，且a+b+c=m，求. + +的最大值．2017年山西省临汾市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大題共12小题，毎小题5分，在每小S给出的四个选项中，只有一项是符合題目要求的1．已知集合A={x|log2x≥0}，B={x|log2（x﹣1）≤2}，则集合A∩B=（）A．{1，2，3}B．{1，3}C．（1，3] D．（1，5]【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出A，B中不等式的解集确定出A，B，找出A与B的交集即可．【解答】解：A={x|log2x≥0}=A={x|x≥1}=[1，+∞）B={x|log2（x﹣1）≤2}={x|1＜x≤5}=（1，5]，∴A∩B=（1，5]，故选：D【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知函数f（x）、g（x）：则函数y=（f（g（x））的零点是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】51：函数的零点．【分析】由题意，g（x）=1，即可得出结论．【解答】解：由题意，g（x）=1，∴x=1，故选B．【点评】本题考查函数的零点，考查学生的计算能力，比较基础．3．已知命题p1：函数f（x）=e x﹣e﹣x在R上单调递增p2：函数g（x）=e x+e﹣x在R上单调递减则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨p2和q4：p1∧（￢p2）中，真命题是（）A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q4【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】先判断命题p1，p2的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，可得答案．【解答】解：函数y=e x在R上单调递增，y=﹣e﹣x在R上单调递减，故函数f（x）=e x﹣e﹣x在R上单调递增，即p1为真命题；函数g（x）=e x+e﹣x在[0，+∞）上单调递增，即p2为假命题；则命题q1：p1∨p2为真命题，q2：p1∧p2为假命题，q3：（￢p1）∨p2为假命题，q4：p1∧（￢p2）为真命题，故选：C【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，函数的单调性，难度中档．4．已知数列{a n}等差数列，a10=10，其前10项和S10=60，则其公差d=（）A．﹣ B．C．﹣ D．【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列通项公式、前n项和公式列出方程组，能求出首项和公差．【解答】解：∵数列{a n}等差数列，a10=10，其前10项和S10=60，∴，解得．故选：D．【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5．已知平面α及直线a，b，则下列说法正确的是（）A．若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行B．若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线不可能垂直C．若直线a，b平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行D．若直线a，b垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】两条平行线可以和一个平面成相等的角；两条相交线可以和一个平面成相等的角；两条异面直线可以和一个平面成相等的角，可以判定A，B；对C，显然错；D，根据若两条直线与平面α都垂直，则线a，b平行，可以判断；【解答】解：对于A，若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行、相交、异面，故错；对于B，若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线可能垂直，如下图，直角三角形ACB的直角动点在平面α内，边AC、BC可以与平面都成300角，故错．对于C，若直线a，b平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行，显然错；对于D，若两条直线与平面α都垂直，则线a，b平行，故正确；故选：D，【点评】本题考查两直线的位置关系的判断，直线与平面所成角位置关系的判断，是中档题，6．已知等比数列{a n}的前n项和S n=，则数列{}的前n项和T n=（）A．2n﹣1 B．C．D．【考点】8E：数列的求和．【分析】由等比数列{a n}的前n项和求出首项和公比，进一步得到数列{}的首项和公比，再由等比数列的前n项和得答案．【解答】解：由S n=，得a1=S1=1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1==4n﹣1．验证a1=1适合上式，∴，则等比数列{a n}的公比q=．∴数列{}的首项为，公比为2．∴数列{}的前n项和T n=．故选：A．【点评】本题考查等比数列的前n项和，考查等比关系的确定，是中档题．7．2017年离考考前第二次适应性训练考试结束后，对全市的英语成绩进行统计，发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布N（95，82）的密度曲线非常拟合．据此估计：在全市随机柚取的4名高三同学中，恰有2名冋学的英语成绩超过95分的概率是（）A．B．C．D．【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】由题意，英语成绩超过95分的概率是，利用相互独立事件的概率公式，即可得出结论．【解答】解：由题意，英语成绩超过95分的概率是，∴在全市随机柚取的4名高三同学中，恰有2名冋学的英语成绩超过95分的概率是=，故选：D．【点评】本题考查正态分布，考查相互独立事件的概率公式，比较基础．8．执行如图所示的程序框图，如果输人的x=﹣10．则输出的y=（）A．0 B．1 C．8 D．27【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的x，y的值，当x=2时，不满足条件x≤0，不满足条件x＞3，计算输出y的值，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得x=﹣10，满足条件x≤0，x=﹣7满足条件x≤0，x=﹣4满足条件x≤0，x=﹣1满足条件x≤0，x=2不满足条件x≤0，不满足条件x＞3，y=23=8．输出y的值为8．故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的x的值是解题的关键，属于基础题．9．已知椭圆+=1（m＞0）与双曲线﹣=1（n＞0）有相同的焦点，则m+n的取值范围是（）A．（0，6] B．[3，6]C．（3，6]D．[6，9）【考点】K4：椭圆的简单性质；KC：双曲线的简单性质．【分析】求出椭圆与双曲线的焦点坐标，然后求解即可．【解答】解：双曲线﹣=1（n＞0）的焦点坐标（，0），椭圆+=1（m＞0）的焦点坐标（，0）两个曲线有相同的焦点，可得7+n2=25﹣m2，可得m2+n2=18，m+n=≤=6．当且仅当m=n=3时取等号．∵m∈（0，5）∴（m+n）min=，当m→0时，n=3，m+n的最小值为3，∴m+n∈（3，6]．故选：C．【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个棱长为4的正方体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是由一个棱长为4的正方体毛坯切削得到，该几何体是由两个正棱台对接可得，求出原来正方体的体积和该该几何体的体积，可得切削掉部分的体积与原毛坯体积的比值．【解答】解：由题意，该几何体是由一个棱长为4的正方体毛坯切削得到，该几何体是由两个全等的正棱台对接可得，正棱台的下底为正方形，边长为4，上底为正方形，边长为2，高h为2，可得：正棱台的体积V1=h（S上+S下+）=×（20+）=∴该几何体的体积V=4×4=64．棱长为4的正方体的体积V正=4×切削掉部分的体积V′=64﹣=．切削掉部分的体积与原毛坯体积的比值，即=5：12，即．故选C【点评】本题考查了正方体的体积计算和正棱台的体积的计算，属于基础题．11．对定义在R上的连续非常函数f（x）、g（x）、h（x），如果g2（x）=f（x）•h（x）总成立，则称f（x）、g（x）、h（x）成等比函数，若f（x）、g（x）、h（x）成等比函数，则下列说法中正确的个数是（）①若f（x）、h（x）都是增函数，则g（x）是增函数②若f（x）、h（x）都是减函数．则g（x）是减函数③若f（x）、h（x）都是偶函数，则g（x）是偶函数；④若f（x）、h（x）都是奇函数．则g（x）是奇函数．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】3S：函数的连续性．【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：对于①，f（x）=x+1，h（x）=x，则g（x）=不是增函数对于②，f（x）=﹣x+1，h（x）=﹣x，则g（x）=不是减函数对于③，若f（x）、h（x）都是偶函数，则g2（﹣x）=g2（x），g（x）不一定是偶函数；对于④，若f（x）、h（x）都是奇函数．则g2（﹣x）=g2（x），g（x）不一定是奇函数，故选A．【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．12．已知椭圆C： +y2=1的上、下顶点分别为M，N点P在椭圆C外，直线PM交椭圆与点A，若PN⊥NA，则点P的轨迹方程是（）A．y=x2+1（x≠0）B．y=x2+3（x≠0）C．y2﹣=1（y＞0，x≠0）D．y=3（x≠0）【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】根据向量数量积的坐标运算，求得xx0+（y0+1）（y+1）=0，根据直线斜率公式，由A在椭圆方程，代入即可求得P的轨迹方程．【解答】解：由题意可知设P（x，y），（x≠0），由椭圆方程椭圆C： +y2=1，A（x0，y0），M（0，1），N（0，﹣1），由PN⊥NA，•=0，即（x0，y0+1）（x，y+1）=0，则xx0+（y0+1）（y+1）=0，①由直线P，C，A三点共线，=，x=，②代入将②代入①，x02（y﹣1）+（y02﹣1）（y+1）=0，由A在椭圆上，则y02=1﹣，代入整理得：y=3（x≠0），点P的轨迹方程y=3（x≠0），故选：D．【点评】本题考查椭圆的标准方程及性质，轨迹方程的求法，向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知函数f（x）=为偶函数，则a=2．【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】依据f（x）=f（﹣x）求出a的值．【解答】解：∵f（x）=为偶函数，∴f（x）=f（﹣x），即=∴a=2．故答案为：2【点评】本题主要考查函数的奇偶性的运用．属基础题．14．设i为虚数单位，则（2i﹣x）6的展开式中含x4项的系数为﹣60．【考点】DB：二项式系数的性质；A7：复数代数形式的混合运算．【分析】利用二项展开式的通项公式即可得到答案．【解答】解：（2i﹣x）6的展开式中含x4的系数为C64•（2i）2=﹣60故答案为：﹣60【点评】本题考查二项式定理，深刻理解二项展开式的通项公式是关键，属于基础题．15．已知函数f（x）=|lnx|，若f（m）=f（n）（m＞n＞0），则+=1．【考点】4N：对数函数的图象与性质．【分析】根据函数f（x）=|lnx|图象，f（m）=f（n）可知，|lnm|=|lnn|，可得nm=1，即可求出+的值．【解答】解：由题意，函数f（x）=|lnx|，∵f（m）=f（n），∴|lnm|=|lnn|∵m＞n＞0，∴﹣lnm=lnn，即lnm+lnn=0，可得nm=1，则+==故答案为：1．【点评】本题考查了对数函数的图象及性质的运用和计算能力．属于中档题．16．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足（a+b）sin=12，（a﹣b）cos=5，则c=13．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】由（a+b）sin=12，（a﹣b）cos=5，平方相加可得a2+b2﹣2abcosC=169，即可得出结论．【解答】解：由（a+b）sin=12，（a﹣b）cos=5，平方相加可得a2+b2﹣2abcosC=169，∴c=13．故答案为：13．【点评】本题考查余弦定理的运用，考查三角函数知识，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（12分）（2017•临汾三模）已知函数f（x）=sin4x+cos4x+sin2xcos2x （1）求f（x）的最小正周期（2）当x∈[0，]时，求f（x）的最值．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期（2）当x∈[0，]时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，即求出f（x）的最大值和最小值．【解答】解：函数f（x）=sin4x+cos4x+sin2xcos2x化简可得：f（x）=（sin2x+cos2x）2﹣2sin2xcos2x+sin4x=1﹣sin22x+sin4x=1﹣（cos4x）+sin4x=sin4x+cos4x+=sin（4x+）+（1）f（x）的最小正周期T=（2）当x∈[0，]时，那么：4x+∈[]∴sin（4x+）∈[，1]当4x+=时，f（x）取得最小值为，此时x=．当4x+=时，f（x）取得最大值为，此时x=．∴当x∈[0，]时，求f（x）的最大值为，最小值为．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．18．（12分）（2017•临汾三模）如图，梯形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，CD=2AD=2，四边形BDEF为矩形，平面BDEF丄平面ABCD，BD⊥CF．（1）若AF⊥CE，求证：CE⊥DF（2）在棱AE上是否存在点G，使得直线BG∥平面EFC？并说明理由•【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；LT：直线与平面平行的性质．【分析】（1）以D为原点，DA、DC‘DE为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明CE⊥DF．（2）求出平面EFC的一个法向量，利用向量法推导出在棱AE上存在点G，使得直线BG∥平面EFC，且=．【解答】证明：（1）∵梯形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，CD=2AD=2，四边形BDEF为矩形，平面BDEF丄平面ABCD，BD⊥CF，AF⊥CE，∴DA、DC、DE两两垂直，∴以D为原点，DA、DC‘DE为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设DE=m，AB=y，则D（0，0，0），B（1，y，0），A（1，0，0），E（0，0，m），F（1，y，m），C（0，2，0），，∵BD⊥CF，∴，解得y=1，∴=（0，1，m），=（0，﹣2，m），=（1，1，m），∵AF⊥CE，∴=﹣2+m2=0，∵=﹣2+m2，∴=0，∴CE⊥DF．解：（2）在棱AE上存在点G，使得直线BG∥平面EFC，且=．证明如下：由（1）知G（），∴=（﹣），=（1，1，0），=（0，2，﹣m），设平面EFC的一个法向量=（a，b，c），则，取b=1，得=（﹣1，1，），∵=（﹣）×（﹣1）+（﹣1）×1+=0，∴，∵BG⊄平面EFC，∴BG∥平面EFC．【点评】本题考查线线垂直的证明，考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、数据处理能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．19．（12分）（2017•临汾三模）学校的校园活动中有这样一个项目．甲箱子中装有大小相同、质地均匀的4个白球，3个黑球．乙箱子中装有大小相同、质地均匀的3个白球，2个黑球．（1）从两个箱子中分别摸出1个球，如果它们都是白球则获胜，有人认为，这两个箱子里装的白球比黑球多，所以获胜的概率大于0.5，你认为呢？并说明理由；（2）如果从甲箱子中不放回地随机取出4个球．求取到的白球数的分布列和期望；（3）如果从甲箱子中随机取出2个球放入乙箱中，充分混合后，再从乙箱中取出2个球放回甲箱，求甲箱中白球个数没有减少的槪率．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）记“获胜”为事件A，利用相互独立事件概率乘法公式能求出“获胜”的概率小于0.5．（2）设取出的白球的个数为变量为X，则X的可能取值为1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望．（3）记“甲箱中白球队个数没有减少”为事件B，利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式能求出甲箱中白球个数没有减少的槪率．【解答】解：（1）我认为“获胜”的概率小于0.5．理由如下：记“获胜”为事件A，则P（A）=＜0.5，∴“获胜”的概率小于0.5．（2）设取出的白球的个数为变量为X，则X的可能取值为1，2，3，4，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，∴X的分布列为：EX=．（3）记“甲箱中白球队个数没有减少”为事件B，则P（B）==．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望，相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查推理论证能力、数据处理能力，考查化归与转化思想，是中档题．20．（12分）（2017•临汾三模）已知动圆C与圆C1：（x﹣2）2+y2=1外切．又与直线l：x=﹣1相切（1）求动圆C的圆心的轨迹方程E；（2）若动点M为直线l上任一点，过点P（1，0）的直线与曲线E相交干A，B 两点．求证：k MA+k MB=2k MP．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】（1）令C点坐标为（x，y），C1（2，0），动圆得半径为r，则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得，CC1=1+r，d=r，CC1﹣d=1，化简可求．（2）由题意，设直线AB的方程为x=my+1，代入抛物线方程，消去x可得y2﹣8my﹣8=0，求出相应斜率，即可证明结论．【解答】解：（1）令C点坐标为（x，y），C1（2，0），动圆得半径为r，则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得，CC1=1+r，d=r，C在直线的右侧，故C到定直线的距离是x+1，所以CC1﹣d=1，即﹣（x+1）=1，化简得：y2=8x．（2）证明：由题意，设直线AB的方程为x=my+1，代入抛物线方程，消去x可得y2﹣8my﹣8=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（﹣1，t），则y1+y2=8m，y1y2=﹣8，x1+x2=8m2+2，x1x2=1，∴k MA+k MB=+==﹣t，2k MP=2•=﹣t，∴k MA+k MB=2k MP．【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线位置关系的运用，考查斜率的计算，属于中档题．21．（12分）（2017•临汾三模）已知函数f（x）=（x2﹣x）e x（1）求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；（2）若f（x）﹣ax+e≥0恒成立，求实数a的取值范围；（3）若方程f（x）=m（m∈R）有两个正实数根x1，x2，求证：|x1﹣x2|＜+m+1．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）由f′（0）=﹣1，f（0）=0可得切线斜率、切点，即可求出曲线y=f （x）在原点处的切线方程．（2）①当x=0时，a∈R；②当x＞0时，问题等价于a≤（x﹣1）e x+恒成立．③当x＜0时，问题等价于a≥（x﹣1）e x+恒成立，利用导数求出最值；（3）依（2）得a=e时，f（x）＞e x﹣e，再证设f（x）＞﹣x，（x＞0）设y=m，分别与y=﹣x，y=e（x﹣1）交点的横坐标为x3，x4，x3=﹣m，x4=+1，则x3＜x1＜x2＜x4，∴|x1﹣x2|＜|x3﹣x4|=+m+1，（证毕）【解答】解：（1）f′（x）=（x2+x﹣1）e x，f′（0）=﹣1，f（0）=0，故曲线y=f（x）在原点处的切线方程为x+y=0．（2）①当x=0时，a∈R；②当x＞0时，问题等价于a≤（x﹣1）e x+恒成立．设g（x）=（x﹣1）e x+，则g′（x）=xe x﹣，∵g′（x）=xe x﹣在（0，+∞）上单调递增，且g′（1）=0∴g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增．∴g（x）在（0，+∞）的最小值为g（1）=e；∴a≤e③当x＜0时，问题等价于a≥（x﹣1）e x+恒成立．设h（x）=（x﹣1）e x+，则h′（x）=xe x﹣＜0，∵h（x）=在（0，+∞）上单调递减，且x→﹣∞时，h（x）→0．∴a≥0，综上所述：0≤a≤e．（3）依（2）得a=e时，（x2﹣x）e x＞e x﹣e，∵曲线y=f（x）在原点处的切线方程为x+y=0设φ（x）=（x2﹣x）e x+x，（x＞0）φ′（x）=（x2+x﹣1）ex+1，φ″（x）═（x2+3x）e x，令φ″（x）=0，解得x=﹣3，或x=0．∴φ′（x）在（﹣∞，﹣3），（0，+∞）递增，在（﹣3，0）递减．φ′（0）=0，∴x＞0时，φ′（x）＞0，φ（x）递增，而φ（0）=0，∴当x＞0时，φ（x）＞0，设y=m，分别与y=﹣x，y=e（x﹣1）交点的横坐标为x3，x4，x3=﹣m，x4=+1．则x3＜x1＜x2＜x4，∴|x1﹣x2|＜|x3﹣x4|=+m+1，（证毕）【点评】本题考查了导数的综合应用，考查了恒成立的基本处理方法，函数零点问题，属于难题．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•临汾三模）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=m（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1与曲线C2有公共点，求实数m的取值范围．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用三种方程的转化方法，求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）联立直线与抛物线，利用曲线C1与曲线C2有公共点，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为，消去参数，可得y=x2（﹣2≤x≤2）曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=m，直角坐标方程为x﹣y+m=0；（2）联立直线与抛物线可得x2﹣x﹣m=0，∵曲线C1与曲线C2有公共点，∴m=x2﹣x=（x﹣）2﹣，∵﹣2≤x≤2，∴﹣≤m≤6．【点评】本题考查三种方程的转化，考查直线与抛物线位置关系的运用，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•临汾三模）已知函数f（x）=|x+2|﹣m，m∈R，且f（x）≤0的解集为[﹣3，﹣1]（1）求m的值；（2）设a、b、c 为正数，且a+b+c=m，求. + +的最大值．【考点】RA：二维形式的柯西不等式；R4：绝对值三角不等式．【分析】（1）由题意，|x+2|≤m⇔，由f（x）≤0的解集为[﹣3，﹣1]，得，即可求实数m的值；（2）由（1）得：a+b+c=1，再利用柯西不等式求得++的最小值．【解答】解：（1）由题意，|x+2|≤m⇔，由f（x）≤0的解集为[﹣3，﹣1]，得，解得m=1；（2）由（1）可得a+b+c=1，由柯西不等式可得（3a+1+3b+1+3c+1）（12+12+12]≥（++）2，∴. + +当且仅当.==，即a=b=c=时等号成立，∴++的最小值为3．【点评】本题主要考查绝对值三角不等式、柯西不等式的应用，属于基础题．。
高三第一次五校联考理科数学试题.docx
2017届高三第一次五校联考理科数学试题命题：长治二中 晋城一中 康杰中学 临汾一中 忻州一中(考试时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{}3,2,1,0,1,2--=A ,集合{}24x y x B -==,则B A 等于A. []2,2-B. {}1,0,1-C. {}2,1,0,1,2--D.{}3,2,1,0 2.已知复数z 满足i z ii4311+=⋅-+，则z = A. 62 B.7 C. 25 D. 53.下列命题正确的个数为①“R x ∈∀都有02≥x ”的否定是“R x ∈∃0使得020≤x ”; ②“3≠x ”是“3≠x ”成立的充分条件; ③命题“若21≤m ，则方程0222=++x mx 有实数根”的否命题 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4.某几何体的三视图如图所示，则该三视图的体积为 A.3π B. π34 C. 2π D. π385.函数xxy sin =的图象大致是 正视图 侧视图俯视图6.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入N=6时，输出的s= A. 62 B. 64 C. 126 D. 1247.已知双曲线E:12222=-b y a x 的右焦点为F ，圆C ：42222c y c x =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-与双曲线的渐近线交于A ，B ，O 三点（O 为坐标原点）.若ABF ∆为等边 三角形，则双曲线E 的离心率为 A.3 B. 2 C. 5 D. 38.向量,a b 满足a b a 32=+,且()0a b a -⋅= ,则,a b 的夹角的 余弦值为A. 0B.13 C. 12D. 329.已知nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+31的展开式中没有常数项，则n 不能是 A. 5 B. 6 C. 7 D. 810.不透明的袋子内装有相同的五个小球，分别标有1-5五个编号，现有放回的随机摸取三次，则摸出的三个小球的编号乘积能被10整除的概率为 A.12542 B. 12518 C. 256 D. 12512 11.已知函数()⎪⎭⎫⎝⎛-=6sin πωx x f （ω> 0）,若()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=20πf f 且在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上有且仅有三个零点，则第6题图ω=A.32 B. 2 C. 326 D. 314 12.已知函数()()x x x x x f ++++=1ln sin 22，若不等式()()3393-⋅+-xxxm f f < 0对任意R ∈x 均成立，则m 的取值范围为A. ()132,-∞-B. ()132,+-∞-C. ()132,132-+-D. ()∞++-，132 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上)13.抛物线()02≠=a ax y 的准线方程为 .14.设函数()x f 是定义在R 上的奇函数，且对任意的()()x f x f R x 12,=+∈,当[)0,2-∈x 时，()2log (3)f x x =+，则())2015(2017f f -= .15.已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若02≥++k y x 恒成立，则实数k 的取值范围为 .16.已知ΔABC 是斜三角形，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ,若21,cos 3sin ==c C a A c 且()A A B C 2sin 5sin sin =-+，则ΔABC 的面积为 . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和n n a S -=1，其中*∈N n . （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）若n n na b =，求{}n b 的前n 项和n S .18. (本小题满分12分)如图，菱形ABCD 的中心为O,四边形ODEF 为矩形，平面ODEF ⊥平面ABCD ，DE=DA=DB=2 （I ）若G 为DC 的中点，求证：EG//平面BCF; （II ）若HC DH 2=,求二面角O EH D --的余弦值.GEODACB F19. (本小题满分12分)甲、乙两人组成“火星队”参加投篮游戏，每轮游戏中甲、乙各投一次，如果两人都投中，则“火星队”得4分；如果只有一人投中，则“火星队”得2分；如果两人都没投中，则“火星队”得0分.已知甲每次投中的概率为54，乙每次投中的概率为43；每轮游戏中甲、乙投中与否互不影响，假设“火星队”参加两轮游戏，求：（I ）“火星队”至少投中3个球的概率；（II ）“火星队”两轮游戏得分之和X 的分布列和数学期望EX.20. (本小题满分12分)已知椭圆C :()012222>>=+b a b y a x 的左焦点为F,⎪⎪⎭⎫⎝⎛221，A 为椭圆上一点,AF 交y 轴于点M,且M 为AF 的中点. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点A ，平行于OA 的直线交l 于P ,交椭圆C 于不同的两点D,E ，问是否存在常数λ，使得PE PD PA ⋅=λ2，若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由.21. (本小题满分12分)已知函数x ax x x f 2ln )(2--=.（I ）若函数)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈241，x 内单调递减，求实数a 的取值范围； （II ）当41-=a 时，关于x 的方程b x x f +-=21)(在]4,1[上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22. (本小题满分10分)如图，已知AB 为圆O 的直径，D C ,是 圆O 上的两个点，C 是劣弧BD 的中点,AB CE ⊥于E ,BD 交AC 于G ，交CE 于F . （I ） 求证：FG CF =（II ）求证：CE AG AC DG ⋅=⋅.23. (本小题满分10分)在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为为参数）t t y t x (222221⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=， 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 4=. （I ）写出直线l 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； （II ）直线l 与曲线2C 交于B A 、两点，求AB . 24. (本小题满分10分)已知函数12)(-++=x x x f （I ）求不等式5)(>x f 的解集；（II ）若对于任意的实数x 恒有1)(-≥a x f 成立，求实数a 的取值范围.2017届高三第一次五校联考理科数学试题答案一、选择题 CDBAC ABBDA DA 二．填空题 13. ay 41-= 14.-2 15. 6≥k 16. 53417.（I ）当1=n 时,111a S -=,解得211=a .…………1分 当2≥n 时, n n n n n n n a a a a S S a -=---=-=---111)1()1(化简整理得)2(211≥=-n a a n n …………4分 因此，数列{}n a 是以21为首项，21为公比的等比数列. 从而，n n a )21(= .…………6分（II ）由（I ）可得，nn n S ⎪⎭⎫⎝⎛⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅=212142132122114321432212132122121+⎪⎭⎫⎝⎛⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n S …………8分nn n n n n n S n S ⎪⎭⎫⎝⎛⋅-⎪⎭⎫⎝⎛-=∴⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⎪⎭⎫⎝⎛-=∴-++212122121212121111.…………12分18.解: (1) 证明：连接OE,OG,由条件G 为中点∴ OG//BC 又EF//OB EF=OB ∴四边形EFBO 为平行四边形 ∴ EO//FB 平面 EOG//平面FBC ∴ EG//平面BCF …………5分 (2) ABCD 为菱形，所以OB ⊥OC ，又平面ODEF ⊥平面ABCD ， 四边形ODEF 为矩形 所以OF ⊥平面ABCD 可建立如图的空间直角坐标系， ………6分设O （0，0，0），B （1，0，0），C （0，3，0），E(-1,0,2) F （0，0，2），H （31-，332，0）， D （-1，0，0）， 223(,,0)(0,0,2)33DH DE == 设),,(111z y x n =是面DEG 的一个法向量，GEODACBF则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00n DE n DH 即⎪⎩⎪⎨⎧==+0033232111z y x ，取)0,1,3(-=n . …………8分同理取平面OEH 的一个法向量是)1,33,2(=m , …………10分 所以85131423332,cos =++⋅-=n m , ∴二面角D —EH —O 的余弦值为85. …………12分19.解：（Ⅰ）设事件i A 为“甲第i 次投中”,事件i B 为“乙第i 次投中”由事件的独立性和互斥性)()()()()(321212121212121212121B B A A P B B A A P B B A A P B B A A P B B A A P P ++++=球）（至少投进5039)4341545443435451(243435454=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= 答：“星队”至少投中3个球的概率为5039. （每一种情形给1分）………5分 （Ⅱ）X 的所有可能的取值为0，2,4，6，8， ……………6分400151415141)0(=⋅⋅⋅==X P , ,20074001451415441514151432)2(==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅==）（X P ,40073544154415143514351435441514154432)4(=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅==）（X P502140016854415443514354432)6(==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅==）（X P25940014454435443)8(==⋅⋅⋅==X P …………………………………………10分∴X 的分布列为X 02468P4001 2007 40073 5021 259…………11分5314001448400168640073440014240010=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=EX …………12分 20.解:（Ⅰ）设椭圆的右焦点是1F ， 在1AFF ∆中，1//AF OM ,1=∴c …………2分12222==∴=∴b a a b 所以椭圆的方程为1222=+y x …………4分 （Ⅱ）设直线DE 的方程为t x y +=22，解方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=122222y x t x y 消去y 得到01222=-++t tx x 若()()2211,,y x E y x D 则1,222121-=⋅-=+t x x t x x ，其中02-42>=∆t …………6分()21212212223))22(1(x x x x x x x x x x PE PD P P P P ++-=-⋅-+=⋅ 又直线l 的方程为1222=+y x ,直线DE 的方程为t x y +=22， …………8分 所以P 点坐标2222,222ty t x P P +=-=, 22222432222221222,43t t t AP t PE PD =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==⋅∴ 所以存在常数1=λ使得PD PE PA ⋅=λ2…………12分21．解:（1）f '(x)=1x -2ax -2=-2ax 2-2x+1x……1分由题意0)(≤'x f 在x ∈[14,2]时恒成立,即21)11(2122--=-≥xx x a 在x ∈[14,2]时恒成立,即max 2]1)11[(2--≥xa ， ……4分当x=14时，1)11(2--x 取最大值8，∴实数a 的取值范围是a ≥ 4. ……6分（2）当a= -14时,b x x f +-=21)(可变形为0ln 23412=-+-b x x x .令)0(ln 2341)(2>-+-=x b x x x x g ,则xx x x g 2)1)(2()(--='. ……8分 列表如下:∴22ln )2()(--==b g x g 极小值，45)1(--=b g ， ……10分 又22ln 2)4(--=b g ，∵方程0)(=x g 在]4,1[上恰有两个不相等的实数根，∴⎪⎩⎪⎨⎧≥<≥0)4(0)2(0)1(g g g ， ……11分得4522ln -≤<-b . ……12分 22.【解析】（I ）C 是劣弧BD 的中点 CAB DAC ∠=∠∴ 在AEC RT ADG RT ∆∆与中，90=∠=∠AEC ADBACE DGA ∠=∠∴,又CGF DGA ∠=∠,所以CGF ACE ∠=∠. 从而，在CGF ∆中，FG CF=. ……5分（II ）在AEC RT ADG RT ∆∆与中，,CAB DAC ∠=∠ 因此，ADG RT ∆∽AEC RT ∆，由此可得ACCEAG DG =,即CE AG AC DG ⋅=⋅……10分 23.【解析】（I ）直线l 的普通方程为01=+-y x ,曲线2C 的直角坐标方程为4)2(22=-+y x ; ……5分（II ）解法一、曲线2C ：4)2(22=-+y x 是以点（0,2）为圆心，2为半径的圆，圆心（0,2）x 1(1,2)2)4,2(4 )(x g ' -+)(x g45--b ↘极小值↗22ln 2--b到直线1=+-y x 的距离22=d ，则142142=-=AB . ……10分 解法二、由⎩⎨⎧=-+=+-040122y y x y x 可解得A,B 两点的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++273,271,273,271，由两点间距离公式可得14=AB . 解法三、设B A 、两点所对应的参数分别为B A t t ,将为参数）t t y tx (222221⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+= 代入0422=-+y y x 并化简整理可得 0322=-+t t ，从而⎩⎨⎧-=-=+32B A BA t t t t 因此，144)(2=-+=B A B A t t t t AB .24.解析】（Ⅰ）不等式5)(>x f 即为512>-++x x ，等价于⎩⎨⎧>+----<5122x x x 或⎩⎨⎧>+-+≤≤-51212x x x 或⎩⎨⎧>-++>5121x x x ，解得23>-<x x 或. 因此，原不等式的解集为{}23>-<x x x 或. ……5分（Ⅱ）3)1()2(12)(=--+≥-++=x x x x x f要使1)(-≥a x f 对任意实数R x ∈成立，须使31≤-a ，解得42≤≤-a . ……10分。
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第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的)1.若集合{}2|340A x x x =+->，集合{}|23B x x =-<≤，且M A B = ，则有（ ） A ．1M -∈ B ． 0M ∈ C ． 1M ∈ D ．2M ∈ 2.在ABC ∆中，0,120a A ==，则角B 的大小为（ ）A ． 30°B ． 45°C ． 60°D ．90°3.已知等比数列{}n a 共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比是（ ） A ．32B ．C ．2 D． 4.已知命题2:4,log 2p x x ∀≥≥；命题:q 在ABC ∆中，若3A π>，则sin A >．则下列命题为真命题的是（ ）A ． p q ∧B ． ()p q ∧⌝C ． ()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ⌝∨5.已知非零向量a b 、满足23,22a b b a b =-=+，则a 与b 的夹角的余弦值为（ ） A ．23 B ． 34 C ．13 D ．146.已知函数()f x 是奇函数，当0x <时，()()ln 2f x x x x x =-++，则曲线()y f x =在1x =处的切线方程为（ ）A ． 23y x =+B ． 23y x =-C ． 23y x =-+D ．23y x =--7.实数,x y 满足1030270x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，若2x y m -≥恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ． (],3-∞-B ．(],4-∞-C ． (],6-∞D ．[]0,68.如图，在ABC ∆中，,3,1AD AB BC BD AD ⊥==，则AC AD 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 9.若13tan ,,tan 242ππααα⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，则sin 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．BC ． 10.已知,x y 为正实数，则433x yx y x++的最小值为（ ） A ．53 B ． 103 C ． 32D ．3 11.函数()()21616log x x f x x -=-的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12.设函数()3236222x x f x e x x x ae x ⎛⎫=+-+-- ⎪⎝⎭，若不等式()0f x ≤在[)2,-+∞上有解，则实数a 的最小值为（ ） A ． 312e -- B ．322e -- C ． 3142e -- D ．11e-- 第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡中的横线上）13.已知函数()35sin ,021log ,06x x f x x x π⎧≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，则(f f ⎡⎤=⎣⎦__________．14.设,x y R ∈，向量()()(),2,1,,2,6a x b y c ===-，且,b//c a c ⊥，则a b +=__________．15.已知函数()sin 2y k kx πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭与函数26y kx k =-+的部分图像如图所示，则ϕ=____________．16.已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 项和为n S ，且满足()2142,n n S S n n n N -++=≥∈，若对任意1,n n n N a a ++∈<恒成立，则a 的取值范围是_____________ .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）在锐角ABC ∆中，设角,,A B C 所对边分别为,,a b c ,sin cos 4sin cos 0b C A c A B -=． （1）求证：tan 4tan B A =；（2）若()tan 3,3,b 5A B c +=-==，求a 的值． 18.（本小题满分12分）已知公比小于1的等比数列{}n a 的前n 项和为1231,,722n S a a S ==． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()21log 1n n b S +=-，若13352121111521n n b b b b b b -++++=，求n ． 19.（本小题满分12分）已知函数()2cos 24sin sin 24x f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭． （1）将函数()2f x 的图像向右平移6π个单位得到函数()g x 的图像，若,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()g x 的值域；（2）已知,,a b c 分别为ABC ∆中角,,A B C 的对边，且满足()2,2sin ,0,2b f A b A B π⎛⎫==+=∈ ⎪⎝⎭，求ABC ∆的面积．20.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =，且对任意正整数n ，满足1220n n a S ++-=． （1）求数列{}n a 的通项公式．（2）设2n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．21. (本小题满分12分） 设:p 函数()33axf x x e =在区间(]0,2上单调递增；:q 函数()2ln ag x ax x x=-+在其定义域上存在极值．（1）若p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）如果“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围． 22.（本小题满分12分）已知函数()22ln ,0f x x ax a x a =++≤．（1）若当2a =-时，求()f x 的单调区间； （2）若()()1212f x e a >+，求a 的取值范围．参考答案一、选择题二、填空题136π- 16. ()3,5 三、解答题17．解：（1）∵sin cos 4sin cos 0b C A c A B -=，∴sin cos 4sin cos b C A c A B =，．．．．．．．．．．．1分由正弦定理，得sin sin cos 4sin sin cos B C A C A B =，即sin cos 4sin cos B A A B = ．．．．．．．．．．3分∵A 为锐角，∴34tan ,cos 45A A ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 ∴22242cos 259253105a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，即a =．．．．．．．．．．．．．．．10分18.解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，∵2372a S =，∴213522a a a =+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 则22520q q -+=，解得12q =或2q =（舍去），．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 故1111222n nn a -⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）∵11111112211212n n n S +++⎛⎫- ⎪⎝⎭==--，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ∴()21log 11n n b S n +=-=--，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 ∴()()21211111122241n n b b n n n n -+⎛⎫==- ⎪---+⎝⎭，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 1335212111111111111114223141n n b b b b b b n n n -+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，．．．．．．．11分 由11514121n ⎛⎫-=⎪+⎝⎭，得20n =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19.解：()2cos 24sin sin 24x f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭1cos 2cos 2x 4sinx 2x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 12sin x =+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 （1）平移可得()2sin 213g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ∵,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴22,363x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 当12x π=时，()min 0g x =；当512x π=时，()max 3g x =．．．．．．．．．．．．．6分 ∴所求值域为[]0,3．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分（22sin b A =2sin sin A B A =，．．．．．．．．．．．．．．．．8分∴sin B =，∵02B π<<，∴3B π=，由()1f A =得sin A =a b =<，∴4A π=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分由正弦定理得：a =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分∴11sin 222ABC S ab C ∆===．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20.解：（1）因为1220n n a S ++-=，所以，当2n ≥时，1220n n a S -+-=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 两式相减得112220n n n a a S +--+-=，即111220,2n n n n n a a a a a ++-+==．．．．．．．．．．．．．3分又当1n =时，212122220a S a a +-=+-=，所以211122a a ==，．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分所以{}n a 是以首项11a =，公比12q =的等比数列，所以数列{}n a 的通项公式为112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由（1）知，214n n n nb na -==，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 则22123114444n n n n nT ---=+++++ ，①3231442444n n n n nT ---=+++++ ，②．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ②—①得321111354444n n n n nT ---=++++- ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 11634334n n -+=-⨯，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 所以，数列{}n b 的前n 项和为11634994n n n T -+=-⨯．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21.解：（1）因为()()2333233331axax ax f x x eax e x e ax '=+=+，所以()()23310axf x x e ax '=+≥对(]0,2x ∈恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分因为2330ax x e >，所以10ax +≥对(]0,2x ∈恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 3分 所以max 112a x ⎛⎫≥-=- ⎪⎝⎭，即a 的取值范围为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）对于()()22222,2ln ,a a ax x aq g x ax x g x a x x x x++'=-+=++=，．．．．．．．．．5分 若()()0,0,a g x g x '≥>在定义域内单调递增，在其定义域上不存在极值，不符合题意；．．．．．．6分 若0a <，则10a->，由2440a ∆=->，解得10a -<<． 所以，若q 为真命题，则10a -<<，．．．．．．．．．．．．．．．．．8分因为“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，所以命题p 与q 一真一假，①p 真q 假时，1201a a a ⎧≥-⎪⎨⎪≥≤-⎩或，解得0a ≥，②p 假q 真时，1210a a ⎧<-⎪⎨⎪-<<⎩，解得112a -<<-综上所述，a 的取值范围为[)11,0,2⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 22.解：（1）由题意得()0,x ∈+∞， 当2a =-时，()()2224242ln ,x x f x x x x f x x --'=--==，．．．．2分 ∴当(0,1x ∈+时，()0f x'<，当()1x ∈++∞时，()0f x '>，．．．．．．．．．．．．．．．．4分∴()f x 的单调减区间是(0,1+，单调增区间是()1++∞．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）①当0a =时，()20f x x =>，显然符合题意；②当0a <时，()222x ax af x x++'=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分对于22220,480x ax a a a ++=∆=->，∴该方程有两个不同实根，且一正一负，即存在()00,x ∈+∞，使得200220x ax a ++=，即()00f x '=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分∴当00x x <<时，()0f x '<，当0x x >时，()0f x '>，．．．．．．．．．．．．．．．8分 ∴()()220000000000min 2ln ln ln 222a a a f x f x x ax a x x ax ax a x ax a x ⎛⎫==++=+++-+=-+ ⎪⎝⎭， ∵()()1212f x e a >+，∴0212ln 21x x e -+<+，即00ln 1x x e +<+， 由于()ln g x x x =+在()0,+∞上是增函数， ∴00x e <<．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分由200220x ax a ++=得200221x a x =-+，设()2221x h x x =-+，则()()2244021x x h x x +'=-<+， ∴ 函数()2221x h x x =-+在()0,e 上单调递减，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分∴220022,02121x e x e ⎛⎫-∈- ⎪++⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分综上所述，实数a 的取值范围22,021e e ⎛⎤-⎥+⎝⎦……………………………12分。