异面直线所成角的计算

一，判断
二，填空
１．直线a⊥直线b，直线c∥a，则b、c的位 置关系是＿＿＿＿＿． 2．垂直于同一条直线的两条直线的位置关系 是＿＿＿＿＿＿． 3．如果两条异面直线所成的角是α，那么α的 取值范围是＿＿＿＿＿．
1．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求A1C1和 A1D所成的角 D1 A1 D A B B1 C C1
一.复习定义，奠定基础
直线a、b是异面直线，经过空间任意一点 O ,分别 引直线a′∥a , b′∥ b。我们把直线a′和b′所成的锐角 (或直角)叫做异面直线a和b所成的角. π 注意：异面直线所成角的范围是 （0， ]
2
b′
b
O
a
a′
预备知识
a=2RsinA
角的知识
A b c C a B A
A
M
C F
B 1 1 AB = 1 M E = PC = 1 M F = M EF中, , , PC AB EM M F 2 2 M E / /PC M F / / AB
EF =
EM
2
MF
2
=
2
拓展题、如图，a、b为异面直线，直线a上的 线段AB=6cm，直线b上的线段CD=10cm， E、 F分别为AD、BC的中点，且EF=7cm，求异面 直线a与b所成的角的度数．
正弦定理a=2RsinA
S ABC = 2 bc sinA
余弦定理
cosA=
b c a
2 2 2
1
c
b
2bc
B
a
C
求异面直线所成角的步骤有哪些？
★求角的步骤：
1. 确定角 2. 求角
1．不存在与两条异面直线都平行的直 线． （ ） 2．与两条异面直线分别平行的两条直线仍然 是异面直线． （ ） 3．与两条异面直线分别都垂直的两条直线仍 然是异面直线．（ ） 4．若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则 a、c是异面直线．（ ）
转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。
解法二：
如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面
BC1的方体B1F ， 连结A1E，C1E，则A1C1E为A1C1与BD1 所成的角(或补角)， 在A1C1E中，
A C1 = 1 5 , A E = 2 5 , C1 E = 3 1
cos A1C1 E = 5 5
A
M EF
M
C F
为EF与PC所成的角或其补角
1 1 AB = 1 M E = PC = 1 M F = M EF中, , , PC AB EM M F 2 2 M E / /PC M F / / AB
B
EF与PC所成的角为
45
练 习 3 ： 如 图 ， P 为 Δ ABC 所 在 平 面 外 一 点 ， PC⊥AB，PC=AB=2，E、F分别为PA和BC的中点。 P （1）求证：EF与PC为异面直线； （2）求EF与PC所成的角； E （3）求线段EF的长。
D
A
1
O1
1
C
1
B1
M
D C
A
B
例2：长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2 cm，
解：
如图，连B1D1与A1C1 交于O1，
AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值。
取 B B 1 的 中 点 M ， 连 O 1 M ， 则 O 1 M D 1 B ， 为什么？ 于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补角）， 连A1M，在A1O1M中
M D A O B C
N
例2：长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2 cm，
解：
如图，连B1D1与A1C1 交于O1，
AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值。
取 B B 1 的 中 点 M ， 连 O 1 M ， 则 O 1 M D 1 B ， 为什么？ 于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补角）
(B)450
(C)600
S
(D)900
E D C
A F B
练习2 （解法二）
S
E D C
A
G F B
练习2
（解法三） S E S
E
C
A F F
B
C
B
A
练 习 3 ： 如 图 ， P 为 Δ ABC 所 在 平 面 外 一 点 ， PC⊥AB，PC=AB=2，E、F分别为PA和BC的中点。 P （1）求证：EF与PC为异面直线； （2）求EF与PC所成的角； E （3）求线段EF的长。
5 5
D1
A1 B1
C1
F1ຫໍສະໝຸດ Baidu
E1
D A B
C
F
E
由余弦定理得
A1C1与BD1所成角的余弦值为
把空间图形补成熟悉的或完整的几何体， 方法归纳： 补形法 如正方体、长方体等，其目的在于易于发 现两条异面直线的关系。
(二)、数学思想、方法、步骤总结：
1.数学思想： 解决空间角的问题涉及的数学思想主要是化 归与转化，即把空间的角转化为平面的角，进而 转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得。 2.方法： 求异面直线所成的角： 3.步骤： 平移 构造可解三角形
①作（找） ② 证 ③ 求
练习1
正方体ABCD- A1B1C1D1 中,AC、BD交于O,则 OD1与A1C1所成的角的度数为 900
D1
A1 B1
C1
D
O
C
A
B
练习2 在正四面体S-ABC中，SA⊥BC, E, F分别为SC、AB 的 中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ B ）
(A)300
3、当异面直线垂直时，还可应用线面垂直的有 关知识 解决。
说明：异面直线所成角的范围是（0， 2 ]， 在把异面直线所成的角平移转化为平面三角 形中的角，常用余弦定理求其大小，当余弦 值为负值时，其对应角为钝角，这不符合两 条异面直线所成角的定义，故其补角为所求 的角，这一点要注意。
π

正四面体ABCD中,E、F分别是AD、 BC的中点,求异面直线AF、CE所成角 的余弦值.
A
假设EF与PC不是异面直线, 则EF与PC共面由题意可知 其平面为PBC
P 平 面 PBC PE 平 面 PBC即 PA 平 面 PBC P , A, B , C 共 面 E 平 面 PBC
C F B
这与已知P为ΔABC所在平面外一点矛盾
练 习 3 ： 如 图 ， P 为 Δ ABC 所 在 平 面 外 一 点 ， PC⊥AB，PC=AB=2，E、F分别为PA和BC的中点。 （1）求证：EF与PC为异面直线； P （2）求EF与PC所成的角； E （3）求线段EF的长。
三，解答题
A
E M D F C
B
例1、在三棱锥ABCD中AD=BC=2a，E， F分别是AB，CD的中 点EF= ，求AD和 3a BC所成的角
∠EMF=120º
AD和BC所成的角为60º
切记:别忘了角的范围!!
例2、如图，四棱锥P-ABCD中，底面是正方形， 中心为O，且底面边长和侧棱相等，M是PC中点， 求MO与AB所成的角。 P
A
E
D
B
F C
A
B
F
E D C
小结：
1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面 角， 体现了化归的数学思想。
化归的一般步骤是： 定角 求角
定角一般方法有： （1）平移法（常用方法） （2）补形法
2、用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的 范围：
（1） 当 cosθ ＞ 0 时，所成角为 θ （2） 当 cosθ ＜ 0 时，所成角为π－ θ （3） 当 cosθ = 0 时，所成角为 90o
D1 A1
O1
A1M =
2 1 =
2 2
5,
2
C1 B1
O1M =
1 2
BD1 =
1 2
1 2
2 1 2 =
2 2
3 2
,
M
D A C
A1O1 =
2 1 =
2 2
5 2
,
5 5
5 5
由余弦定理得
cos A1O1M =
,
B
A1C1与BD1所成角的余弦值为
方法归纳： 平移法 即根据定义，以“运动”的观点，用“平移