2021年4月江西省普通高中2021届高三毕业班教学质量监测文科数学试题及答案解析
江西省2021-2021年高三上学期期末考试数学(文)试题及答案
s=s+3i=2i+1开始s=2i=015i ≥否第一学期期末考试 高三数学（文科）试题（考试时间120分钟. 共150分）第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每一小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.复数2i1i--的共轭复数是 A .3i 2+B .1i 2-C .3i2-D .3i 2--2.{}2|450A x x x =--≤，{}|||2B x x =≤，则()R AB =A .[]2,5B .(2,5]C .[]1,2-D .[)1,2-3.函数1()ln(21)f x x =+的定义域是A .1(,)2-+∞B .1(,0)(0,)2-+∞C .1[,)2-+∞D .[)0,+∞4.已知向量a ，b 的夹角为120，且||2a =，||1b =，2a b +=A 27.7D .25.已知函数2π()12cos ()4f x x =-+，下列说法正确的是A .()f x 是最小正周期为π的奇函数B .()f x 是最小正周期为π的偶函数C .()f x 是最小正周期为π2的偶函数 D .()f x 是最小正周期为π2的奇函数 6.已知双曲线C ：22221y x a b-=的焦距为105点()1,2P 在双曲线C 的渐近线上，则双曲线C 的方程为A .221205y x -=B .221520y x -=C .22110025y x -=D .22125100y x -= 7.已知命题13:1,log 0p x x ∀<<都有，命题:q x ∃∈R ，使得22xx ≥成立，则下列命题是真命题的是A .p q ∨B .()()p q ⌝∧⌝C .()p q ∨⌝D .p q ∧ 8.如图所示的程序框图输出的结果是A .31s =B .17s =C .11s =D .14s = 9.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画 出的是一个三棱锥的左视图和俯视图，则该 三棱锥的主视图可能是10.在直角坐标系中，函数xx x f 1sin )(-=的图像可能是11.在锐角ABC △中，角C B A ,,所对的边分别为a b c ，，，若22sin 3A =，2a =， cos +cos =2cos cB bC a B ，则b 的值为A .26B .324C .334D .36412.设定义在R 上的偶函数()y f x =，满足对任意t ∈R 都有()(2)f t f t =-，且[0,1]x ∈时，()2()ln e f x x =-+，则(2016)f 的值等于A .ln(e 1)-+B .ln(4e)-+C .1-D .1ln(e )4-+第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡上中的横线上. 13.已知在等比数列{}n a 中，前n 项和2n n S t =+，则数列的通项公式n a =.A BC D左视图 俯视图组距频率615051504150315021501[185,195)[175,185)[165,175)[155,165)频数挂果个数区间14.若,x y 满足不等式组22010240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，2z x y =-，则z 的最大值是.15.函数()22sin 3sin 2f x x x ωω=()0ω>的一条对称轴为直线π8x =，则()f x 的最小正周期为.16.已知()f x 是定义在R 上且周期为4的函数，在区间[]2,2-上，2(20)()2(02)1mx x f x nx x x + -≤<⎧⎪=-⎨ ≤≤⎪+⎩，其中,m n ∈R ，若(1)(3)f f =，则m n +=. 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17.(本小题满分12分)已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若320a =，3428S S =+. （1）求数列{}n a 的通项公式 （2）设*1(N )1n n b n S =∈-，12n n T b b b =++⋅⋅⋅+，求n T .18.(本小题满分12分)为了解某地脐橙种植情况，调研小组在该地某脐橙种植园中随机抽出30棵，每棵挂果情况如下（单位：个）：157 161 170 180 181 172 162 157 191 182 181 173 174 165 158 164 159 159 168 169 176 178 158 169 176 187 184 175 169 175 （1）完成频数分布表，并作出频率分布直方图（2）如果挂果在175个以上（包括175）定义 为“高产”， 挂果在175个以下（不包括175）定义为“非高产”．用分层抽样的方法从“高产” 和“非高产”中抽取5棵，再从这5棵中选2棵， 那么至少有一棵是“高产”的概率是多少?PM DAEFO yxA B CODTMA19.(本小题满分12分)如图所示，四棱椎P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PBA PBC ∠=∠（1）证明：PB AC ⊥（2）若2PB AB ==，60ABC PBD ∠=∠=，M 为PB 中点，求四面体M ABC -的体积.20.(本小题满分12分)如图，已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，离心率为e ，且椭圆C 过点(2,)2bE e ，以AE 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点F .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知动直线l （直线l 不过原点）与椭圆C 交于P 、Q 两点，且OPQ ∆的面积1OPQ S ∆=，求线段PQ 的中点N 的轨迹方程. 21.(本小题满分12分)已知函数()()ln f x x ax a =-∈R（1）当3a =时，判断函数()()2g x x f x =+的单调性；（2）若0a >，函数()f x 在1x =的切线l 也是曲线222890x y x y ++-+=的切线，求实数a 的值，并写出直线l 的方程； （3）若1a =，证明()ln 12x f x x >+. 请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题做答．注意：只能做选定的题目．如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号． 22.(本小题满分10分)选修41-：几何证明选讲如图，AB 是圆O 的直径，C 是半径OB 的中点，D 是OB 延长线上一点，且BD OB =， 直线MD 与圆O 相交于点,M T （不与,A B 重合），DN 与圆O 相切于点N ，连结,,MC MB OT（1）求证：DT DCDO DM=； （2）若40BMC ∠=,，试求DOT ∠的大小．23.(本小题满分10分)选修44-：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2π4cos()103ρρθ---=．以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是cos ()3sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数. （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且||32AB =α的值．24.(本小题满分10分)选修45-：不等式选讲已知a b 、为正实数，若对任意()0,x ∈+∞，不等式()21a b x x +-≤ 恒成立.（1）求11a b+的最小值； （2）试判断点()1,1P -与椭圆22221x y a b+=的位置关系，并说明理由.21099[185,195)[175,185)[165,175)[155,165)频数挂果个数区间组距615051504150315021501150赣州市2021～2021学年度第一学期期末考试高三数学（文科）参考答案一、选择题1～5.CBBDA ； 6～10.CADAB ； 11～12.DC .二、填空题13.12n -； 14.2； 15.()843k k 2π∈+Z ；16.8.三、解答题17.解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由3428S S =+得：14a =………………………………………………………………2分 由31220a a d =+=，所以8d =………………………………………………………4分 故数列{}n a 的通项公式为：()1184n a a n d n =+-=-………………………………6分 （2）由（1）可得24n S n =………………………………………………………………8分()()211111()41212122121n b n n n n n ===---+-+…………………………………9分11111111(1)(1)2335212122121n nT n n n n =-+-++-=-=-+++…………………12分 18.解：（1）……………………………………………3分N OPM DCBA ………………………………………6分（2）有“高产”12棵，“非高产”18棵，用分层抽样的方法， 每棵被抽中的概率是51306=，所以选中的“高产”有11226⨯=棵…………………7分 “非高产”有11836⨯=棵…………………………………………………………………8分 用事件12A A 、表示被选中的“高产”，则其对立事件123B B B 、、表示被选中的“非高产”，共有12(,)A A 、11(,)A B 、12(,)A B 、13(,)A B 、21(,)A B 、22(,)A B 、23(,)A B 、12(,)B B 、13(,)B B 、23(,)B B 共10种情况……………………………………………………………9分其中至少有一棵是“高产”的有12(,)A A 、11(,)A B 、12(,)A B 、13(,)A B 、21(,)A B 、22(,)A B 、 23(,)A B 共7种………………………………………………………………………………10分所以至少有一棵是“高产”的概率：710P =…………………………………………………12分 19.证明：（1）连接AC BD 、，设它们相交于点O ，连接PO ，则O 为AC 中点……1分 因为AB BC =，PBA PBC ∠=∠，PB PB =，所以ABP CBP ∆≅∆，所以PA PC =……………………………………………………3分PO AC ⊥又易知AC BD ⊥，AC ⊥平面PBD ………………………………………5分所以PB AC ⊥………………………………………………………………………………6分 （2）由已知可知ABC ∆是等边三角形，2AC BC ==所以212sin 6032ABC S ∆=⨯=7分 过点M 作MN BD ⊥，垂足为点N ，由（1）知NM AC ⊥，故MN ABCD ⊥平面…………9分在Rt MBN ∆中，3sin 602MN MB ==10分四面体M ABC -的体积11313332ABC V S MN ∆=⨯==………………………12分 20.解：（1）连接EF ，则EF FA ⊥，所以2F x c e ==，解得2a =………………1分故点E 的坐标为(,)2b c ，代入椭圆方程22221x y a b +=，得2222()212b c b+=………………2分解得3c =1b =………………………………………………………………………4分故椭圆C 的方程为2214x y +=……………………………………………………………5分 （2）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(14)8440k x kmx m +++-= 所以122814km x x k +=-+，21224414m x x k-⋅=+…………………………………………7分 而22221241411k k m PQ k x x +⋅+-=+-= 原点O 到直线l 的距离为21m d k=+…………………………………………………8分所以22214112OPQm k m S PQ d ∆⋅+-=⋅⋅==…………………………………9分 所以22221414m k m k +-=+，即22(142)0k m +-=，即22142k m +=设(,)N x y ，则12242214x x km k x k m +-===-+，①12212142y y m y k m+===+② 由①，②消去m 得221122x y +=………………………………………………………10分 当直线l 的斜率不存在时，设点00(,)P x y ，则00001|||2|2OPQ S x y x y ∆==， 又220014x y +=，解得02x =±11分 所以线段PQ 的中点()2,0N ±因此N 的轨迹方程为221122x y +=………………………………………………………12分 21.解：（1）当3a =时，2()ln 3g x x x x =+-，()2121()12312()23x x x x g x x x x x ---+'=+-==………………………………2分 当()1(0,)1,2x ∈+∞和时，()0g x '>，当1,12x ∈（）时，()0g x '<……………4分故()g x 在()1(0,)1,2+∞和上是增加的，在1,12（） 上是减少的……………………5分（2）因为1()f x a x'=-，所以(1)1f a '=-，又(1)f a =-故切线l 的方程为()()11y a a x +=--，即()1+10a x y -+=……………………6分 由222890x y x y ++-+=变形得()()22148x y ++-=，它表示以点()1,4-为圆心，半径长为22 ()24(1)12211a a +-+=+-2a =（负值已舍去）……………………7分此时直线l 的方程是10y x ++=……………………………………………………8分 （3）因为()1xf x x-'=，故()f x 在()0,1上是增加的，在()1,+∞上是减少的， ()()max 1ln111f x f ==-=-，所以()min ||1f x =…………………………………9分设()G x =ln 12x x +，则()'21ln x G x x -=，故()G x 在()0,e 上是增加的，在(),e +∞ 上是减少的……………………………10分 故()()max 1112G x G e e ==+<， 故()()min max ||G x f x <………………………………………………………………11分 所以()ln 12x f x x >+对任意()0,x ∈+∞恒成立…………………………………12分 22.证明：（1）因MD 与圆O 相交于点T ，由切割线定理2DN DT DM =⋅，2DN DB DA =⋅…………………………………2分 得DA DB DM DT ⋅=⋅…………………………………………………………………3分 设半径()0OB r r =>，因BD OB =，且2r BC OC ==， 则233DB DA r r r ⋅=⋅=，23232rDO DC r r ⋅=⋅=………………………………3分 所以DT DM DO DC ⋅=⋅………………………………………………………………4分所以DT DCDO DM=…………………………………………………………………………5分 （2）由（1）可知，DC DO DM DT ⋅=⋅，且CDM TDO ∠=∠………………7分 故DTO ∆∽CM D ∆，所以DOT DMC ∠=∠………………………………………8分 根据圆周角定理得，2DOT DMB ∠=∠，则40BMC DMB ∠=∠=……………9分80DOT ∴∠=…………………………………………………………………………10分 23.解：（1）由2π4cos()103ρρθ---=得圆C 的方程为22(1)(3)5x y -+=……………………………………………4分（2）将cos 3sin x t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩代入圆的方程得22(cos 1)(sin )5t t αα-+=…………5分化简得22cos 40t t α--=……………………………………………………………6分设A B 、两点对应的参数分别为12t t 、,则12122cos 4t t t t α+=⎧⎨=-⎩………………………7分所以22121212||||()44cos 1632AB t t t t t t α=-=+-=+=……………………8分所以24cos2α=,2cos 2α=±,π3π44αα==或…………………………………10分24.解：（1）因为()21a b x x +-≤，0x >，所以1a b x x+≤+……………………1分 因为12x x+≥，所以2a b +≤…………………………………………………………3分 11112()24b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+≥++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以112a b +≥……………………5分所以11a b+的最小值为2…………………………………………………………………6分 （2）因为222211112()()1222a b a b ++≥≥=………………………………………………7分 所以22112a b+≥……………………………………………………………………………8分即()22221121a b-+≥>，所以点()1,1P -在椭圆22221x y a b +=的外部……………………10分。
2021年江西省高考数学教学质量检测试卷(文科)(4月份)解析版
2021年江西省高考数学教学质量检测试卷（文科）（4月份）1.设集合，，则A. B.C. D.2.设i为虚数单位，复数，则z的共轭复数在复平面中对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知数列是等比数列，，，则公比A. B. C. 2 D.5.设，，，则下列关系中正确的是A. B. C. D.6.某医院某科室有5名医护人员，其中有医生2名，护士3名.现要抽调2人前往新冠肺炎疫情高风险地区进行支援，则抽调的2人中恰好为1名医生和1名护士的概率是A. B. C. D.7.等差数列的前n项和为，已知，，当时，则A. 13B. 12C. 24D. 258.已知非零向量，满足，且，则向量，的夹角A. B. C. D.9.已知直线l：与：相交于A，B两点，且，则A. 1B.C.D.10.如图是某几何体的三视图，其侧视图为等边三角形，则该几何体含表面内任意两点间的最大距离为A. B. C. D.11.函数的图象大致为A. B.C. D.12.设，为双曲线C：的两个焦点，点P是双曲线C上一点，若右焦点，，且一条渐近线与圆相切，则的最小内角的余弦值为A. B. C. D.13.已知函数，则在上的最大值是______ .14.已知x，y满足，且的最大值是最小值的2倍，则满足条件的可行域的面积是______ .15.中国的太极图是由黑白两个鱼形图案拼成的一个完整的圆形，喻示着阴阳相互转化又相互对立的基本道理，是反映我国传统哲学中辩证思想的一种象征性符号.若阴表示数字1，阳表示数字0，这蕴含了二进制的思想.图中的程序框图的算法思路就源于我国古代的哲学辩证思想.执行该程序框图，若输入，，，则输出的______ .16.已知数列满足，若，则数列的前17项的和是______ .17.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且若，，求的面积；若，求角A的大小.18.某公司对某产品作市场调研，获得了该产品的定价单位：万元/吨和一天销售量单位：吨的一组数据，制作了如下的数据统计表，并作出了散点图.10310068350表中，，根据散点图判断，与哪一个更适合作为y关于x的回归方程；给出判断即可，不必说明理由根据的判断结果，试建立y关于x的回归方程；若生产1吨该产品的成本为万元，依据的回归方程，预计定价为多少时，该产品一天的利润最大，并求此时的月利润每月按30天计算，计算结果保留两位小数参考公式：回归方程，其中，19.如图，在三棱锥中，点D为线段AB上的一点，且，，，求证：平面ABC；若，求点B到平面PAC的距离.20.已知椭圆C：的离心率，且椭圆过点求椭圆C的方程；过点分别作两直线PA，PB交椭圆C于不同的两点A，B，若直线PA，PB关于直线对称，求直线AB的斜率.21.已知函数当函数在处的切线斜率为2时，求实数a的值；当时，恒成立，求实数a的取值范围.22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点A为曲线上的一动点，点B在射线OA上，且满足求点B的轨迹的直角坐标方程；若与x轴交于点D，过点D且倾斜角为的直线l与相交于M，N两点，求的值.23.设，，且若不等式恒成立，求实数x的取值范围；当实数a，b满足什么条件时，取得最小值，并求出最小值.答案和解析【答案】1. B2. B3. A4. C5. D6. C7. D8. D9. D10. C11. B12. C13.14.15. 4316. 30617. 解：由余弦定理知，，，，，解得，，，，的面积，，，，，，，即18. 解：根据散点图可知，更适合作为y关于x的回归方程；令，则，故，所以，则，故y关于x的回归方程为；一天的利润为，当且仅当，即时取等号，所以每月的利润为万元，所以预计定价为万元/吨时，该产品一天的利润最大，此时的月利润为万元．19. 证明：因为，所以，，又因为，所以，，于是，因为，所以，又因为，，所以平面ABC；解：因为，所以，过D作于E，连接PE，因为PE在平面ABC内投影是DE，所以，因为，所以，于是，所以，设点B到平面PAC的距离为d，因为，所以，故点B到平面PAC的距离为20. 解：由题意知，，解得，，所以椭圆的方程为由题意知直线PA，PB的斜率存在，可设直线PA的方程为，联立，得，设，所以，，因为直线PA，PB关于直线对称，所以，即，设直线PB的方程为，同理可得，所以，，所以，所以，所以直线AB的斜率为21. 解：，，，，；，对任意恒成立，，，在上单调递增，又，①若，则，恒成立，在递增，，令，，为单调递增函数，，恒成立，符合题意；②若，则，当时，，存在使得，则在上单调递减，又，，不合题意，舍去，综上：22. 解：设点B的极坐标为，点A的极坐标为，由题设知，，，，即的极坐标方程为，点B的轨迹的直角坐标方程为；交点，直线l的参数方程为为参数，曲线的极坐标方程为，即，化为直角坐标方程，即，把直线l的参数方程代入，可得设方程的两根分别为，，则，分别是M，N对应的参数，且，23. 解：由，，，可得，所以当且仅当时取等号，不等式恒成立，即，当时，不等式可化为，解得，此时；当时，不等式可化为，解得，此时；当时，不等式可化为，解得，此时综上所述，实数x的取值范围是；由，，，所以，故，当，即时，，当且仅当时，有最小值【解析】1. 【分析】此题考查了交、补集的混合运算，熟练掌握一元二次不等式的解法，掌握各自的定义是解本题的关键，属于基础题．先求一元二次不等式的解集得到集合A，B，再进行集合的运算即可．【解答】解：，或，，，，，故选：2. 解：因为，所以，，其对应点在第二象限．故选：直接由已知的复数得到其在复平面内对应点的坐标得答案．本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3. 【分析】本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题．解出关于a 的不等式，结合充分必要条件的定义，从而求出答案．【解答】解：由，得，或，能推出，反之不成立，是的充分不必要条件，故选：4. 解：数列是等比数列，，，则，故故选：由已知得，代入即可求解．本题主要考查了等比数列的性质，属于基础题．5. 解：，，，，，故选：利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．6. 解：5名医护人员抽调2人，基本事件总数，抽调的2人中恰好为1名医生和1名护士包含的基本事件个数，抽调的2人中恰好为1名医生和1名护士的概率是故选：5名医护人员抽调2人，基本事件总数，抽调的2人中恰好为1名医生和1名护士包含的基本事件个数，由此能求出抽调的2人中恰好为1名医生和1名护士的概率．本题考查概率的运算，涉及到古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力等数学核心素养，是基础题．7. 解：差数列中，，所以…，所以，故时，则故选：由已知可得，然后结合等差数列的求和公式及等差数列的性质可求．本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础题．8. 解：非零向量，满足，且，可得：，，，向量，的夹角，，故选：利用向量的数量积通过向量垂直的充要条件，转化求解向量的夹角即可．本题考查向量的零数量积的求法与应用，向量的夹角的求解，是基础题．9. 解：因为：的半径为1，，可得，，圆的圆心到直线的距离为，则：，故选：利用圆的圆心与直线的距离，列出方程求解k即可．本题考查向量的数量积的应用，圆心到直线的距离的求法，是基础题．10. 解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体由一个半圆锥和一个三棱柱组成的组合体；如图所示：所以：最大距离为故选：首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步利用勾股定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，勾股定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．11. 解：，即不为偶函数，其图象不关于y轴对称，故排除A，C；当时，，故排除D，故选项B符合函数，故选：先判断函数的奇偶性，再根据函数的零点和函数值的特点即可判断．本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性和函数值的特点是解题的关键，属于基础题．12. 解：双曲线C：的，即，且是双曲线的一条渐近线，又渐近线与圆相切，所以圆心到渐近线的距离为1，即，可得，解得，，由，不妨设P为双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可得，所以，，，则的最小内角为，由余弦定理可得故选：求得双曲线的一条渐近线方程，由直线和圆相切的条件，解方程可得b，a，再由双曲线的定义和三角形的余弦定理，计算可得所求最小内角的余弦值．本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及直线和圆相切的条件、三角形的余弦定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．13. 解：，，时，，函数在是增函数，函数在上的最大值为，故答案为：求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最大值即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，是基础题．14. 解：由约束条件画出可行域如图，联立方程组解得：，，由，化为，由图可知，当直线过时，直线在y轴上的截距最小，z取最小值为3a，过B时，z有最大值为3，依题意，，即，可得，可行域的面积为故答案为：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数求得最值，结合题意可得a，再由三角形面积公式求可行域的面积．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．15. 解：由题意，模拟程序的运行，可得b依次为0，1，3，3，11，11，43，43，当时，，跳出循环，故输出故答案为：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量b的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查程序框图，考查学生的计算能力，正确读图是关键，属于基础题．16. 解：，若，则，，，，，，，，，，，，，，，，，…，可得数列从第七项起开始为周期数列，周期为5，则数列的前17项的和是……故答案为：计算数列的前几项，可得数列从第七项起开始为周期数列，周期为5，计算可得所求和．本题考查数列的求和，求得数列的周期是解题的关键，考查运算能力和推理能力了，属于中档题．17. 由余弦定理可求得，由同角三角函数的平方关系可得，再由，得解；由题意可知，，结合两角差的正弦公式和辅助角公式，可推出，从而得解．本题考查解三角形与三角恒等变换的综合，熟练掌握余弦定理、三角形面积公式、两角差的正弦公式和辅助角公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18. 直接由散点图的形状进行判断即可；令，则，先利用公式求出k和c的值，从而得到y关于x的回归方程；利用基本不等式求出一天利润的最大值，确定取等号的条件，即可得到月利润的最大值．本题考查了线性回归方程的求解以及应用，要掌握线性回归方程必过样本中心这一知识点，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．19. 只须证明PD垂直于平面ABC内两相交直线即可；用等体积法，由求点B到平面PAC距离．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了点到平面的距离问题，属于中档题．20. 由离心率，且椭圆过点，列方程组，解得a，b，c，即可得出答案．设，直线PA的方程为，联立椭圆的方程，结合韦达定理可得，解得，由直线PA，PB关于直线对称，得，写出直线PB的方程，同理可得，计算出，，再计算，即可得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21. 求出函数的导数，得到关于a的方程，求出a的值即可；求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合恒成立，求出a的取值范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，分类讨论思想，是中档题．22. 设点B的极坐标为，点A的极坐标为，分别求出与，结合已知可得，化简后由极坐标与直角坐标的互化公式可得点B 的轨迹的直角坐标方程；直线l的参数方程为为参数，代入的直角坐标方程，可得关于t的一元二次方程，再由根与系数的关系及参数t的几何意义求的值．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中参数t的几何意义的应用，是基础题．23. 先利用基本不等式求出的最小值，从而将所求的不等式转化为，根据绝对值的定义分别讨论，求解不等式即可；利用已知的等式，将b用a表示出来，然后代入中化简变形，由基本不等式求解最值即可．本题考查了不等式的求解以及基本不等式的应用，主要考查了“1”的代换的应用，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，属于中档题．。
2021-2022学年江西省高三(上)质检数学试卷(文科)(附答案详解)
2021-2022学年江西省高三（上）质检数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={1,3}，B ={x||x −2|<2}，则A ∩B =( )A. {1,3}B. {3}C. {1,2,3}D. {1,2}2. 已知命题p ：∀x ∈R ，e x −lnx −e ≤0，则命题p 的否定为( )A. ∃x ∈R ，使e x −lnx −e ≥0B. ∃x ∈R ，使e x −lnx −e >0C. ∀x ∈R ，有e x −lnx −e ≥0D. ∀x ∈R ，有e x −lnx −e >03. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知a =1，b =√2，A =π6，则B =( ) A. π3B. π4C. π4或3π4D. π3或2π34. 下列命题：①“若a ≤b ，则a <b ”的否命题；②“函数y =x 2−ax +a 的图象在x 轴的上方”是“0<a <1”的充要条件； ③“若√3x 为有理数，则x 为无理数”的逆否命题． 其中真命题的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 35. 已知角α的终边过点P(1,2)，则2sinα+cosα3sinα−cosα=( )A. 0B. 1C. −1D. −26. 已知a =30.5，b =log 2√3，c =0.5−2.1，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. c <b <aB. b <c <aC. b <a <cD. c <a <b7. 已知函数f(x)=√ax 2+bx +c 的定义域与值域均为[0,4]，则a =( )A. −4B. −2C. −1D. 18. 已知函数f(x)={(1−a)x,x ≤1a x ,x >1在x ∈R 上有最大值，那么实数a 的取值范围为( )A. (0,1)B. (1,2)C. [12,1)D. (0,12]9. 将函数y =2cos(2x +π6)的图象向右平移π6个单位长度后，再将其纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，可得函数y =asinx +bcosx 的图象，则a +b =( )A. √3+1B. √3+12C. 2D. √3−110. 若定义在R 上的偶函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，且f(3)=0，则满足xf(x −2)≤0的x 的取值范围为( )A. (−∞,−1]∪[5,+∞)B. [−3,0]∪[5,+∞)C. (−∞,−1]∪[2,3]D. (−∞,−1]∪[0,5]11. 已知定义在R 上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足xf′(x)<f(x)，若a =f(1)，b =f(ln4)ln4，c =f(3)3，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a >b >cB. c >a >bC. b >a >cD. a >c >b12. 已知函数f(x)=−x 2+bx +c ，且f(x +1)=f(1−x)，函数f(x)的最大值为1，若当n >m >0，x ∈[m,n]时，f(x)的取值范围为[1n ,1m ]，则mn =( )A. 1B. 3+√52C. 1+√52D. 2二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知cos(α−π3)=13，则sin(α+π6)=______．14. 函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)=x 2+f′(π3)sinx ，则f′(π3)=______． 15. 设函数f(x)=2sin(2x −π3)+34，则下列结论中正确的序号为______．①f(x)的最小正周期为π； ②f(x)的图象关于点(5π6,34)对称； ③f(x)在区间[−π12,0]上单调递增； ④f(x)在区间[π2,π]上的最大值为√3； ⑤f(x)的图象的一条对称轴为x =5π12．16. 已知函数f(x)=x 5−2x +e x −e −x ，若f(a −1)+f(2a 2)≤0，则实数a 的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知命题p ：函数f(x)=log a (x 2−ax +a)的值域为R ，命题q ：∃x ∈[1,2]，使得不等式x 2−ax +5≥0．(1)若p 为真，求实数a 的取值范围；(2)若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数a 的取值范围．18.设a，b，c分别是△ABC的内角，A，B，C的对边，已知(sinB−sinC)sinB=(sinA−sinC)(sinA+sinC)．(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面积为3√3，且a=√13，求b，c的值．19.已知函数f(x)=2x．(1)解关于x的不等式：6f(x)−f(2x)>8；(2)若对于任意x∈[0,1]，不等式2t[f(x)−f(−x)]+f(2x)+f(−2x)≥0恒成立，求实数t的取值范围．20.已知函数f(x)=2√3sinxcosx−2cos2x+1+4cos(x+π4)cos(x−π4).(1)求函数f(x)在区间[0,π]上的单调递减区间；(2)当x∈[0,π2]时，求函数f(x)的值域．21.已知函数f(x)=e x−2ax−1．(1)若a=1，求函数f(x)在区间[−1,2]上的最大值与最小值；(2)若函数f(x)的最小值为0，求实数a的值．22.设函数f(x)=ln(x+1)．(1)求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若方程f(x)=mx在区间[0,e2−1]上有两个解，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：因为集合A={1,3}，B={x||x−2|<2}={x|0<x<4}，则A∩B={1,3}．故选：A．先利用含有绝对值不等式的解法求出集合B，再由集合交集的定义求解即可．本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，则命题p：∀x∈R，e x−lnx−e≤0的否定为：∃x∈R，使e x−lnx−e>0．故选：B．利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可．本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：由正弦定理可得：asinA =bsinB，可得：sinB=bsinAa=√2×siinπ61=√22，由b>a，∴B>A，可得B为锐角或钝角，∴B=π4或3π4．故选：C．利用正弦定理即可得出．本题考查了正弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：对于①，“若a≤b，则a<b”的否命题是“若a>b，则a≥b”，因为a>b⇒a≥b，所以①为真命题；对于②，“函数y=x2−ax+a的图象在x轴的上方”⇔△=(−a)2−4a<0⇔a(a−4)<0⇔0<a<4，“0<a<4”不是“0<a<1”的充要条件，所以②是假命题；对于③，先证明原命题为真命题，因为√3x为有理数，√3x=t(t∈Q)，则x=t3⋅√3为无理数，因为原命题与其逆否命题等价，所以③为真命题．故选：C．①先求否命题，再用不等式性质证明即可；②用一元二次方程根的判别式及充要条件概念判断；③用原命题与其逆否命题等价判断．本题以命题真假判断为载体，考查了命题的基本概念，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：∵角α的终边过点P(1,2)，∴tanα=2，则2sinα+cosα3sinα−cosα=2tanα+13tanα−1=2×2+13×2−1=1．故选：B．由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系即可求得要求式子的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：∵a=30.5=√3，∴1<a<2，∵b=log2√3，∴0<b<1，∵c=0.5−2.1=22.1，∴4<c<8，∴b<a<c，故选：C．根据题意，利用幂运算，指数函数与对数函数的单调性进行求解，即可得解．本题考查了幂运算，指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：当a>0时，不等式ax2+bx+c≥0的解集是D=(−∞,x1]∪[x2,+∞)，不满足f(x)的定义域和值域A=[0,4]，不合要求．当a<0时，函数f(x)的定义域为D=[0,4]，即不等式ax2+bx+c≥0的解集是D=[0,4]，所以c=0，−ba=4，......①此时f(x)max=f(−b2a )=√b2−4a=2√−a=4，......②由①②得−a=2√−a，解得a=−4．故选：A．讨论a>0和a<0时，根据函数的定义域和值域相等列方程求出实数a的值．本题考查了函数的定义域和值域，二次函数的图象和性质的应用问题，是基础题．8.【答案】D【解析】解：当x≤1时，f(x)=(1−a)x，则1−a>0，即a<1，此时f(x)单调递增，故f(x)的最大值为f(1)=1−a；当x>1时，因为0<a<1，则f(x)=a x为单调递减函数，故f(x)<f(1)=a；则1−a≥a，解得0<a≤12．综上所述，实数a的取值范围为(0,12]．故选：D．分x≤1和x>1两种情况，分析函数的单调性，确定函数的取值情况，由f(x)在x∈R上有最大值，列式求解即可．本题考查了分段函数的综合应用，主要考查了分段函数解析式的理解与应用．指数函数与一次函数性质的综合应用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：函数y =2cos(2x +π6)的图象向右平移π6个单位长度后，得到：y =2cos(2x −π6)，再将其纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到y =2cos(x −π6)=√3cosx +sinx ， 故a =√3,b =1； 故选：A ．直接利用三角函数的关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出a 和b 的值，进一步求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：∵偶函数在(0,+∞)上是增函数，∴函数f(x)在(−∞,0)上为减函数，且f(−3)=f(3)=0，则不等式等价为x >0时，f(x −2)≤0，此时{x >0−3≤x −2≤3，解得0<x ≤5，当x <0时，f(x −2)≥0，此时{x <0x −2≥3或x −2≤−3，解得x ≤−1，当x =0时，显然满足题意，综上不等式的解为x ≤−1或0≤x ≤5， 故不等式的解集为{x|−2<x <0或0<x <2}， 故选：D ．根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．11.【答案】A【解析】解：令ℎ(x)=f(x)x，x ≠0，则ℎ′(x)=xf′(x)−f(x)x 2，∵xf′(x)−f(x)<0，∴ℎ′(x)<0，∴函数ℎ(x)在(0,+∞)递减，∵1<ln4<3，a =f(1)=ℎ(1)，b =f(ln4)ln4=ℎ(ln4)，c =f(3)3=ℎ(3)，∴a >b >c ． 故选：A ． 令ℎ(x)=f(x)x，x ∈(−∞,0)∪(0,+∞)，求出函数的导数，分析可得ℎ(x)的单调性，而1<ln4<3，从而可得a ，b ，c 的大小关系．本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了转化与化归思想及构造法的运用，考查运算求解能力，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：根据题意，函数f(x)=−x 2+bx +c 在x =1时有最大值1， 则有−b−2=1，即b =2，又f(1)=−1+2+c =1，解可得c =0， 则f(x)=−x 2+2x ，又有x ∈[m,n]时，f(x)的取值范围为[1n ,1m ]， 则1m ≤1，解可得m ≥1， 所以f(x)在[m,n]上单调递减， 则有f(m)=1m ，f(n)=1n ，故m ，n 是方程−x 2+2x =1x 的两个根， 由−x 2+2x =1x ，即x 3−2x 2+1=0， 故(x −1)(x 2−x −1)=0，解得x =1或x =1+√52或x =1−√52(舍)，所以mn =1×1+√52=1+√52．故选：C ．根据题意，结合二次函数的性质分析可得b 、c 的值，即可得f(x)=−x 2+2x ，进而可得m ≥1，分析可得f(x)在[m,n]上单调递减，据此可得f(m)=1m ，f(n)=1n ，即有m ，n 是方程−x 2+2x =1x 的两个根，求出方程的根，分析可得m ，n 的值，即可得到答案．本题考查了函数与方程的综合应用，二次函数的性质以及应用，解题的关键是求出m、n的值，考查了逻辑推理能力、转化化归能力与化简运算能力，属于中档题．13.【答案】13【解析】解：sin(α+π6)=sin[(α−π3)+π2]=cos(α−π3)=13．故答案为：13．根据α+π6=(α−π3)+π2，利用诱导公式，即可得解．本题考查诱导公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．14.【答案】4π3【解析】解：由f(x)=x2+f′(π3)sinx得：f′(x)=2x+f′(π3)cosx，∴f′(π3)=2×π3+f′(π3)cosπ3，解得：f′(π3)=4π3．故答案为：4π3．首先对f(x)=x2+f′(π3)sinx求导，然后把x=π3代入可求得f′(π3)的值．本题考查导数运算，考查数学运算能力，属于基础题．15.【答案】①③⑤【解析】解：对于函数f(x)=2sin(2x−π3)+34，由于它的的最小正周期为2π2=π，故①正确；令x=5π6，求得f(x)=−1+34=−14，不是最小值，故它的图象不关于点(5π6,34)对称，故B错误；在区间[−π12,0]上，2x−π3∈[−π2,−π3]，f(x)单调递增，故③正确；在区间[π2,π]上，2x−π3∈[2π3,5π3]，故当2x−π3=5π3时，f(x)取得最大值为√3+34，故④错误；令x=5π12，求得f(x)=114，为最大值，故f(x)的图象的一条对称轴为x=5π12，故⑤正确，故答案为：①③⑤．由题意利用正弦函数的图象和性质，逐一判断各个命题是否正确，从而得出结论．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．16.【答案】[−1,12]【解析】解：函数f(x)=x5−2x+e x−e−x的定义域为R，且f(−x)=−x5+2x+e−x−e x=−f(x)，所以f(x)为奇函数，f′(x)=5x4−2+e x+e−x，因为e x+e−x−2≥2√e x⋅e−x−2=0，当且仅当e x=e−x，即x=0时等号成立，所以f′(x)=5x4−2+e x+e−x≥0，所以f(x)为增函数，所以不等式f(a−1)+f(2a2)≤0等价于f(a−1)≤f(−2a2)，所以a−1≤−2a2，解得−1≤a≤12，即实数a的取值范围是[−1,12].故答案为：[−1,12].由函数奇偶性的定义可得f(x)为奇函数，利用导数判断函数的单调性，由函数的性质可将不等式合理转化，从而求得a的取值范围．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数奇偶性的判断，利用函数的性质解不等式，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)根据题意，命题p：函数f(x)=log a(x2−ax+a)的值域为R，设t=x2−ax+a，必有△=(−a)2−4a≥0，解可得a≤0或a≥4，即a的取值范围为{a|a≤0或a≥4}；(2)对于q，∃x∈[1,2]，使得不等式x2−ax+5≥0，即a≤x+5x在区间[1,2]上有解，设f(x)=x+5x ，在区间[1,2]上为减函数，则有92≤f(x)≤6，若q为真，必有a≤6，若p∨q为真，p∧q为假，即p、q一真一假，若p 为真，q 为假，必有{a ≤0或a ≥4a ≤6，则有a ≤0或4≤a ≤6；若p 为假，q 为真，必有{0<a <4a >6，无解；综合可得：a 的取值范围为{a|a ≤0或4≤a ≤6}．【解析】(1)根据题意，设t =x 2−ax +a ，由对数函数的性质可得△=(−a)2−4a ≥0，解可得答案；(2)根据题意，分析p 、q 为真时a 的取值范围，又由复合命题的真假关系可得p 、q 一真一假，即可得关于a 的不等式组，解可得答案．本题考查命题真假的判断，涉及函数的定义和值域，属于基础题．18.【答案】解：(1)∵(sinB −sinC)sinB =(sinA −sinC)(sinA +sinC)，∴(b −c)b =(a −c)(a +c)，化为：b 2+c 2−a 2=bc ， ∴cosA =b 2+c 2−a 22bc=bc 2bc=12，∵A ∈(0,π)， ∴A =π3． (2)由题意可得：12bcsin π3=3√3，(√13)2=b 2+c 2−2bccos π3， 解得{b =3c =4，或{b =4c =3．【解析】(1)由(sinB −sinC)sinB =(sinA −sinC)(sinA +sinC)，利用正弦定理余弦定理即可得出．(2)由题意利用三角形面积计算公式、余弦定理即可得出．本题考查了正弦定理与余弦定理、三角函数求值、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)函数f(x)=2x ，不等式6f(x)−f(2x)>8，即6⋅2x −22x >8， 即(2x −2)(2x −4)<0， 解得2<2x <4， 所以1<x <2， 故不等式的解集为(1,2)；(2)对于任意x ∈[0,1]，不等式2t[f(x)−f(−x)]+f(2x)+f(−2x)≥0恒成立，， 即2t(2x −2−x )+(22x +2−2x )≥0对于任意x ∈[0,1]恒成立， 令m =2x −2−x ，则m 在[0,1]上单调递增，所以0≤m ≤32， 又22x +2−2x =(2x −2−x )2+2=m 2+2，则不等式变形为2tm +m 2+2≥0对于0≤m ≤32恒成立， ①当m =0时，2≥0恒成立，符合题意；②当0<m ≤32时，不等式变形为2t ≥−(m +2m )对于0<m ≤32恒成立， 因为m +2m≥2√m ⋅2m=2√2，当且仅当m =2m ，即m =√2时取等号，所以−(m +2m )max =−2√2， 则2t ≥−2√2，解得t ≥−√2， 所以实数t 的取值范围为[−√2,+∞)． 综上所述，实数t 的取值范围为[−√2,+∞)．【解析】(1)利用函数解析式表示出不等式，然后利用一元二次不等式的解法以及指数不等式的解法求解即可；(2)利用换元法令m =2x −2−x ，将问题转化为2tm +m 2+2≥0对于0≤m ≤32恒成立，分m =0和0<m ≤32，利用参变量分离，转化为2t ≥−(m +2m )对于0<m ≤32恒成立，由基本不等式求解最值，即可得到答案．本题考查了函数与不等式的综合应用，指数不等式的解法，不等式恒成立问题，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．20.【答案】解：(1)f(x)=2√3sinxcosx −2cos 2x +1+4cos(x +π4)cos(x −π4)=√3sin2x −cos2x +4×√22(cosx −sinx)×√22(cosx +sinx)=√3sin2x +cos2x =2sin(2x +π6)，令2kπ+π2≤2x +π6≤2kπ+3π2，k ∈Z ，解得kπ−π6≤x ≤kπ+2π3，k ∈Z ，令k=0得：函数f(x)在区间[0,π]上的单调递减区间为：[π6,2π3].(2)当x∈[0,π2]时，2x+π6∈[π6,5π6]，可得12≤sin(2x+π6)≤1，可得1≤2sin(2x+π6)≤2，故函数f(x)的值域为[1,2]．【解析】(1)利用三角函数恒等变换化简函数解析式可得f(x)=2sin(2x+π6)，进而根据正弦函数的单调性即可求解．(2)由题意可求范围2x+π6∈[π6,5π6]，利用正弦函数的性质即可求解其值域．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质的应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．21.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=e x−2x−1，x∈[−1,2]，f′(x)=e x−2，令f′(x)>0，得ln2<x≤2，f(x)单调递增，令f′(x)<0，得−1≤x<ln2，f(x)单调递减，f(ln2)=2−2ln2−1=1−2ln2，f(2)=e2−4−1=e2−5，f(−1)=1e +2−1=1e+1，所以a=1时，f(x)在[−1,2]上最小值为1−2ln2，最大值为e2−5．(2)因为f(x)的最小值为0，f′(x)=e x−2a，若a≤0时，则−2a≥0，f′(x)=e x−2a>0，f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，最小值，若a>0时，则f′(x)>0⇒x>ln2a，f′(x)<0⇒x<ln2a．所以f(x)在(−∞,ln2a)上单调递减，在(ln2a,+∞)上单调递增，f(ln2a)=e ln2a−2aln2a−1=(1−ln2a)⋅2a−1，所以f(x)min=f(ln2a)=0⇒(1−ln2a)⋅2a−1=0，解得a=12．【解析】(1)当a=1时，f(x)=e x−2x−1，x∈[−1,2]，求导分析f′(x)的正负，f(x)单调性，最值．(2)因为f(x)的最小值为0，f′(x)=e x−2a，分两种情况：若a≤0时，若a>0时，分析f′(x)的正负，f(x)的单调性，求出最小值，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．22.【答案】解：(1)由f(x)=ln(x+1)，得f′(x)=1，x+1∴f′(1)=1，又f(1)=ln2，2(x−1)，∴函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−ln2=12即x−2y+2ln2−1=0；(2)方程f(x)=mx在区间[0,e2−1]上有两个解，即ln(x+1)=mx在[0,e2−1]上有两解，也就是y=ln(x+1)与y=mx在[0,e2−1]上有两个不同交点．如图：f′(0)=1，把(e2−1,2)代入y=mx，得2=(e2−1)m，此时m=2．e2−1,1).∴若方程f(x)=mx在区间[0,e2−1]上有两个解，则实数m的取值范围是[2e2−1【解析】(1)求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数，再由直线方程的点斜式得答案；(2)把问题转化为y=ln(x+1)与y=mx在[0,e2−1]上有两个不同交点，作出图象，求出f(x)在(0,0)处切线的斜率，再求出过点(0,0)与(e2−1,2)的直线的斜率，则答案可求．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想，是中档题．。
2021届江西省抚州市普通高中高三下学期教学质量检测数学(文)试卷参考答案
1 3i 1 4
1 5
3 5
i， z的共轭复数为
1 5
3 5
i，
对应点为( 1，3)，在第二象限． 55
3.A
【解析】∵当“a 0”成立时， a2 a a a 1 0，∴“a2 a”成立，即
“a 0”“a2 a”为真命题.而当“a2 a” 成立时， a2 a a a 1 0，即 a 1或
由余弦定理可得，| 2|2 = | 1 2|2 + | 1|2 − 2| 1 2|| 1|cos∠ 1 2，
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2021届江西省抚州市普通高中高三下学期教学质量检测数学（文）试卷
cos PF1F2
5 9
3.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
1 名护士的不同结果有 6 种，故所求概率为
6
3
.
10 5
7.D 【解析】
S9
S16， a10
a11
a12
a16
0. a13
0，S25
25(a1 2
a25 )
25a13
0，n
25.
2021 年文科数学第 1页（共 8 页）
2021届江西省抚州市普通高中高三下学期教学质量检测数学（文）试卷
8. D
2
22
S ABC
1 2
yA yC
xB xC
1 1 1 1 . 2 24
15. 43 【解析】按照程序框图执行，b 依次为 0，1，3，3，11，11，43，43.当 b＝43 时，i＝7＋1 ＝8，跳出循环，故输出 b＝43. 16.306
【解析】∵数列 an
满足
an
2021年高三4月高考模拟检测数学(文)试题 含答案
2021年高三4月高考模拟检测数学（文）试题含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A． B． C． D．3. 向量与直线的位置关系是（）A．垂直 B．相交 C．异面 D．平行4. 复数，则复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．在等腰中，，，（）A． B． C． D．6. 已知函数则下列结论正确的是A．函数在上单调递增 B．函数的值域是C． D．7．已知正项等差数列满足，则的最小值为（）A．1 B．2 C．xx D．xx8. 已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为1的正方形 (如图所示),则它的体积为（）A. B. C. D.9. 直线经过抛物线y2=4x的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若AB的中点横坐标为3，则线段AB的长为（）A．5 B．6 C．7 D．810. 在数列中，已知，则等于A B C D11.已知双曲线的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为（）A BC D12．已知是函数的导函数，若在处取得极大值，则实数的取值范围是（）A．B． C． D．二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上13.执行右图所示的程序框图（其中表示不超过的最大整数），则输出的值为14．设变量，满足约束条件，则的最小值为．15．随机向边长为5，5，6的三角形中投一点P，则点P到三个顶点的距离都不小于2的概率是___________。
16. 底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥.如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为。
三、解答题：本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上17.（本小题满分12分）某校在一次高三年级“诊断性”测试后，对该年级的500名考生的数学成绩进行统计分析，成绩的频率分布表及频率分布直方图如下所示，规定成绩不小于125分为优秀。
2021年4月江西省新余市普通高中2021届高三毕业班下学期第二次高考模拟考试数学(文)答案
所以NG∥平面BCE。
同理可证,GM∥平面BCE。 ..............(8分）
因为MG∩GN＝G。
所以平面MGN∥平面BCE,
又因为MN⊂平面MGN,
所以MN∥平面BCE,
所以N点为线段AB上靠近A点的一个三等分点,...........(10分）
在△BCD中,由正弦定理得, ＝ ,
即 ,所以sin∠BDC＝ 。....................（12分）
18.【解答】
(1)
＝ － ＝112.45－6.87×5.5≈74.67,
所以y关于x的线性回归方程为 ＝6.87x＋74.67...............(6分）
(2)若回归方程为 ＝6.87x＋74.67,当x＝11时, ＝150.24.
即cos(B＋60°)＝0,.............(3分)
又0°<B<60°,所以B＝30°。
所以A＝60°－B＝30°,即A＝B＝30°,
所以BC＝AC＝5。 .................(6分）
(2)由 , ,
解得|BD|＝ 。....................(8分)
在△BCD中,由余弦定理得,CD2＝BC2＋BD2－2BC·BDcosB＝7,所以CD＝ ,....................(10分)
19.【解答】
(1)证明：因为四边形ABCD为矩形,
所以BC⊥AB。
因为平面ABCD⊥平面ABE,平面ABCD∩平面ABE＝AB,且BC⊂平面ABCD。
所以BC⊥平面ABE。
又AE⊂平面ABE,所以BC⊥AE。 ..............(2分）
江西省抚州市2020-2021学年高三4月教学质量监测数学(文科)试题及答案解析
2021 年文科数学第 2页（共 8 页）
cos PF1F2
5 9
3.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．e2 2
【解析】由题意可知， x 1，e，
f
x
x2
2ln
a
b
cos ，
2
cos 2 a 2 .0 ， = .
ab 2
4
9. D
【解析】∵ O
的半径为
1， OA OB
1 ，得 cos AOB
1
, AOB
2
，∴圆心到
2
2
3
直线 AB 的距离为 1 ，则
1
1 ，k
3
．
2
1 4k2 2
2
10. C
【解析】由三视图可知，该几何体由一个半圆锥和一个三棱 柱组合而成，如图所示，其中半圆锥的底面半径为 1，三棱柱 的侧面是边长为 2 的正方形，底面是边长为 2 的正三角形， 则该几何体（含表面）内任意两点间的最大距离为 MA，故
y＝x，
有最小值，且 zmin＝3a；当直线过点 B(1，1)时，目标函数 z＝2x＋y 有最大值，且 zmax＝3.
依题意，得 3＝2×3a，则 a＝ 1 ，得 A( 1 ，3)，可行域的面积为
2
22
S ABC
1 2
yA yC
xB xC
1 1 1 1 . 2 24
15. 43 【解析】按照程序框图执行，b 依次为 0，1，3，3，11，11，43，43.当 b＝43 时，i＝7＋1 ＝8，跳出循环，故输出 b＝43. 16.306
2021年高三4月模拟数学(文)试题 含答案
绝密★启用并使用完毕前试卷类型：A2021年高三4月模拟数学（文）试题含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，集合，，则为（）A. B. C. D.2. 复数的共轭复数的虚部为（）A. B. C. 2 D.3. 如下图所示的是某单位的男职工进行健康体检时的体重情况的频率分布直方图，已知图中从左到右的前个小组的频率之比为1:2:3，其中第2小组的频数为24，那么该单位共有男职工的人数为（）A. 150B. 120C. 48D. 964. 已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5. 已知向量若，则的最小值为（）A．2 B．4 C．D．6. 已知变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A．32 B．4 C．8 D．27. 已知数列满足，，，若数列满足，则（）A. B．C． D.8. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A．B．C．D．9. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．2 B．1 C．D．10. 已知四面体的所有棱长都相等，它的俯视图如下图所示，是一个边长为的正方形；则四面体外接球的表面积为（）A. B. C. D.11. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若且，则△ABC的面积为（）A. B. C. D.12. 定义域为R的函数满足，当时，则当时，函数的最小值为（）A. B. C. D.第II卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13. 若函数在点处的切线为，则直线与轴的交点坐标为_____________.14. 已知函数，则_____________.⨯=⨯=⨯=⨯=；根据此规律猜15. 容易计算2510,22551210,222555123210,2222555512343210想所得结果由左向右的第八位至第十位的三个数字依次为 .16. 对于函数和，下列说法正确的是.（1）函数的图像关于直线对称；（2）的图像关于直线对称；（3）两函数的图像一共有10个交点；（4）两函数图像的所有交点的横坐标之和等于30；（5）两函数图像的所有交点的横坐标之和等于24.三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分） 已知函数21()sin cos sin cos cos cos()(0)2f x x x x ϕϕπϕϕπ=+++<<，其图象过点 （1）求的值；（2）将函数图象上各点向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在上的单调递增区间.18.（本小题满分12分）中国共产党第十八次全国代表大会期间，某报刊媒体要选择两名记者去进行专题采访，现有记者编号分别为的五个男记者和编号分别为的四个女记者．要从这九名记者中一次随机选出取两名，每名记者被选到的概率是相等的，用符号表示事件“抽到的两名记者的编号分别为、，且”．（1）共有多少个基本事件？并列举出来；（2）求所抽取的两记者的编号之和小于17但不小于11或都是男记者的概率．19. （本小题满分12分）如图所示，平面，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，，，点E 为线段PB 的中点，点M 在弧上，且∥．（1）求证：平面∥平面PAC ；（2）求证：平面PAC 平面；（3）求三棱锥的体积.M EB OCAP20. （本小题满分12分）在等差数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足（），则是否存在这样的实数使得为等比数列；（3）数列满足为数列的前n 项和，求.21.（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为. 过F1的直线交于两点，且的周长为.（1）求椭圆的方程；（2）过圆上任意一点作椭圆的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值.22.（本题满分13分）已知函数，.（1）求的单调区间；（2）设函数，若存在，对任意的，总有成立，求实数的取值范围.参考答案CADCC BDBCA BB13. ； 14. 8； 15. 898； 16.（2）（3）（4）；17. 解：（1）11cos 21()sin 2sin cos cos 222x f x x ϕϕϕ+=+- ……3分又函数图象过点，所以，即又，所以……6分（2）由（1）知，将函数图象上各点向左平移个单位长度后，得到函数的图象，可知.……9分 因为，所以，由和知函数在上的单调递增区间为和.……12分18. 解:（1）共有个基本事件，列举如下：，，，，，，,，，，，，，,，，，，，,，，，，,，，，,，，,，,，，共36个.（2）记事件“所抽取的记者的编号之和小于但不小于”为事件，即事件为“，且，其中”，由（1）可知事件共含有个基本事件，列举如下：，,，，,，，，,，，,，, 共15个；其中“都是男记者”记作事件B ，则事件B 为“且， ”，包含：，，，，，，，，，，共10个；故.19.（1）证明：因为点E 为线段PB 的中点，点为线段的中点，所以 ∥. 因为 平面，平面，所以 ∥平面PAC . ……2分又因为 ∥，平面， 平面，所以 ∥平面PAC . ……3分因平面，平面，，所以平面∥平面PAC . ……5分（2）证明：因为 点C 在以AB 为直径的⊙O 上，所以 ，即.因为 平面，平面，所以 .……8分因为 平面，平面，，所以 平面.因为 平面， 所以 平面PAC 平面.…10分（3）011211sin12032O PBC P OBC V V --==⨯⨯⨯⨯⨯=三棱锥三棱锥.……12分 20. 解：（1）因为是一个等差数列，所以.设数列的公差为，则，故；故.……3分（2）.假设存在这样的使得为等比数列，则，即，整理可得. 即存在使得为等比数列.……7分（3）∵，∴242221(223)2(243)22(223)n n T n -=+⨯-++⨯-++++⨯-……9分242212224(12)3n n n -=++++++++-214(1)414321423n n n n n n n -+-=+⨯-=+--. ……12分 21. 解：（1）设椭圆的方程为（），因过且在椭圆上，则的周长为221212||||||||||||||AB AF BF AF AF BF BF ++=+++，故. 又离心率，. 故椭圆的方程为.（2）设点，过点的椭圆的切线的方程为.故，可得2220000(32)4()2()60k x k y kx x kx y ++-+--=.因与椭圆相切，故2220000[4()]4(32)[2()6]0k y kx k kx y ∆=--+--=.整理可得.设满足题意的椭圆的两条切线的斜率分别为，则.因点在圆上，，.故两条切线的斜率之积为常数.22. 解：（1），，，故.当时，；当时，.的单调增区间为，单调减区间为.……5分（2），则，而，故在上，即函数在上单调递增，.……7分而“存在，对任意的，总有成立”等价于“在上的最大值不小于在上的最大值”.……9分 而在上的最大值为中的最大者，记为.所以有，，.故实数的取值范围为.……13分30153 75C9 痉33278 81FE 臾40507 9E3B 鸻28813 708D 炍[g23902 5D5E 嵞•123093 5A35 娵I39529 9A69 驩39614 9ABE 骾E21392 5390 厐。
2021年高三四月模拟考试数学(文)试题含答案
2021年高三四月模拟考试数学（文）试题含答案说明：本试卷满分150分，试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共*分）4. 若、为实数，则“＜1”是“0＜＜”的 BA.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分条件D.既不充分也不必要条件5. 现有四个函数：①②③④的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是 DA．④①②③ B．①④③② C．③④②① D．①④②③根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为，据此模型来预测当x=20时，y的估计值为 DA．210 B．210．5 C．212．5 D．211．59. 已知双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为BA. B.2 C. D.10. 设方程、的根分别为x1、x2，则 AA. 0＜x1 x2＜1B. x1 x2=1C.1＜x1 x2＜2D. x1 x2≥2第Ⅱ卷（非选择题，共100分）注意事项：1.第Ⅱ卷所有题目的答案考生须用黑色签字笔答在答题纸上，考试结束后上交答题纸。
2.答题前将密封线内的项目、座号填写清楚，密封线内答题、答错位置无效。
（请将答案写到答题纸上.）二、填空题（共5小题，满分25分）三、解答题（共6小题，满分75分）16. （本小题满分12分） 在中，角A ，B ，C所对的边分别为a,b,c,若向量()()1cos ,sin ,cos ,sin ,.2m B C n C B m n =-=--⋅=且（I ）求角A 的大小； （II ）若的面积，求的值. 17. （本小题满分12分）对一批共50件的某电器进行分类检测，其重量（克）统计如下：重量段 [80，85）[85，90）[90，95）[95，100]件数5a15b规定重量在82克及以下的为“A”型，重量在85克及以上的为“B”型，已知该批电器有“A ”型2件（Ⅰ）从该批电器中任选1件，求其为“B ”型的概率；（Ⅱ）从重量在［80,85)的5件电器中，任选2件，求其中恰有1件为“A”型的概率.18. （本小题满分12分）如图，已知平面ACD ，DE//AB ，△ACD 是正三角形，且F 是CD的中点.（I）求证：AF//平面BCE；（II）求证：平面平面.19. （本小题满分12分）在数列中，其前项和为，满足.（Ⅰ）求数列的通项公式;（Ⅱ）设,求数列的前项和.20. （本小题满分13分）已知关于x的函数（Ⅰ）当时，求函数的极值；（Ⅱ）若函数没有零点，求实数a取值范围.21. （本小题满分14分）如图；.已知椭圆C: 的离心率为，以椭圆的左顶点T为圆心作圆T:设圆T与椭圆C交于点M、N.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求的最小值，并求此时圆T的方程;（Ⅲ）设点P是椭圆C上异于M,N的任意一点，且直线MP,NP分别与轴交于点R，S，O为坐标原点。
江西省八所重点中学2021届高考数学联考试卷(文科)(4月份)(含答案解析)
江西省八所重点中学2021届高考数学联考试卷(文科)(4月份)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合M={x|(x−2)(x+1)=0}，N={x|(x+3)(x−1)<0}，则M∩N=()A. {−2,1}B. {2}C. {−2}D. {−1}2.已知复数z1=2−2i，z2在复平面内对应的点在直线x=1上，且满足z1⋅z2是实数，则z2等于()A. 1−iB. 1+iC. +iD. −i3.A. y=3−xB. y=−2xC.D.4.7.已知向量a=(1,2)，b=(−4,x)，且a⊥b，则x的值是A. −8B. −2C. 2D. 85.设m是整数且k=4m+2，若f(sin x)=sin kx，求f(cos x)为()A. sin kxB. cos kxC. −sinkxD. −coskx6.执行右面的程序框图，若输入的，，那么输出的是A. 120B. 240C. 360D. 7207.已知函数f(x)=2x−ln|x|，则f(x)的大致图象为()A. B.C. D.8.若，对任意实数都有，且，则实数的值等于()A. B. C. 或 D. 5或19.已知△ABC中，AB=3，AC=1.∠BAC=π3，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则线段AD=()A. √132B. √133C. √72D. 2√7310.已知函数f(x)=3x，若数列{a n}满足f(a n+1)=1f(11+a n)(n∈N∗)，且a1=f(0)，则下列结论正确的是()A. a2016>a2019B. a2017>a2018C. a2019>a2018D. a2016>a201811.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为3√24，则其渐近线方程为()A. y=±√22x B. y=±√24x C. y=±14x D. y=±12x12.偶函数f(x)满足f(x−2)=f(x+2)，且在x∈[0,2]时，f(x)=2cosπ4x，则关于x的方程f(x)=(12)x，在x∈[−2,6]上解的个数是()A. lB. 2C. 3D. 4二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知点(x,y)满足{x−y≤34x−y≥6x+2y≤6，则yx的取值范围为______．14.已知具有线性相关的变量x，y，设其样本点为A i(x i,y i)(i=1,2，……，8)，回归直线方程为ŷ=1 2x+a，若OA1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⋯…+OA8⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,2)，(O为原点)，则a=______．15.已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)(其中ω>0，−π<φ<π)，若函数f(x)在区间(−π3,π6)上有最小值而无最大值，且满足f(−π3)=−f(π6)，则实数φ的取值范围是______．16.空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，那么这个球面的面积是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=a n log12a n，求数列{bn}的前n项和S n．18.如图是抽取了高二年级100个学生的体重绘成的频率分布直方图．(1)求体重在50∽60kg的学生的人数；(2)求这100个学生的体重的众数；(3)求这100个学生中体重不少于60kg的学生的概率．19.如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，为线段的中点。