【课堂新坐标】16-17学年高中数学北师大版选修2-2第二章变化率与导数§44.1导数的加法与减法法则

【精彩点拨】 点(1， －1)不一定是切点， 故设出切点坐标(x0， y0)， 求出 f′(x0). 写出切线方程，利用点(1，－1)在切线上求 x0，从而求出切线方程.
【自主解答】
设 P(x0，y0)为切点，则切线斜率为 k＝f′(x)＝3x2 0－2， ①
故切线方程为 y－y0＝(3x2 0－2)(x－x0). ∵(x0，y0)在曲线上， ∴y0＝x3 0－2x0. 又∵(1，－1)在切线上， ∴将②式和(1，－1)代入①式得
轴，此时 a＝0，与题设不符合，故题图③是 f(x)的导函数的图像.由题图③知 f′(0) 1 3 2 1 ＝0，a<0，所以 a＝－1，此时 f(x)＝3x －x ＋1，所以 f(－1)＝－3.
【答案】 B
[构建· 体系]
1.函数 f(x)＝(x2＋1)x3 的导数为( A.f′(x)＝5x4＋3x2 C.f′(x)＝5x3＋3x2
2y＋5＝0，知－1＋2f(－1)＋5＝0， 1 即 f(－1)＝－2，由切点为 M 点得 f′(－1)＝－ . 2 a（x2＋b）－2x（ax－6） ∵f′(x)＝ ， 2 2 （x ＋b） －a－6＝－2， 1＋b ∴ 1 a（1＋b）－2（a＋6） ＝－2， 2 （ 1 ＋ b ）
1 1 ∴y′＝ x－2sin x ′＝x′－2(sin
1 x)′＝1－2cos x.
（x2）′sin x－x2（sin x）′ 2xsin x－x2cos x (3)y′＝ ＝ . sin2x sin2x
利用导数求曲线的切线方程
求过点(1，－1)与曲线 f(x)＝x3－2x 相切的直线方程. 【导学号：94210044】
【答案】 2
4.已知函数
【解析】
π f(x)＝f′2sin
x＋cos x，则
x－sin x，
π f′4＝________.
π ∵f′(x)＝f′2cos
【导学号：94210045】
π π ∴f′2＝f′2cos
π π －sin 2＝－1， 2
x
ln x－3·
1 x ＝2 ln 2cos x－2xsin x－3ln x－3. x ＋x · x
x－1 (3)y′＝ x＋1′
（x－1）′（x＋1）－（x－1）（x＋1）′ ＝ （x＋1）2 （x＋1）－（x－1） 2 ＝ ＝ . （x＋1）2 （x＋1）2
我还有这些不足： (1) (2) ________________________________________________________ ________________________________________________________
我的课下提升方案： (1) (2) ________________________________________________________ ________________________________________________________
ax－6 已知函数 f(x)＝ 2 的图像在点 M(－1，f(－1))处的切线方程为 x x ＋b ＋2y＋5＝0，求函数 y＝f(x)的解析式.
【精彩点拨】 利用点 M 为切点是切线与曲线的公共点，以及切线的斜率 1 为 f′(－1)＝－ 联立方程组，可求出 a，b 的值. 2
【自主解答】
由函数 f(x)的图像在点 M(－1，f(－1))处的切线方程为 x＋
[再练一题] 1.求下列各函数的导数. (1)y＝(
x＋1) 1 －1 ； x
x x (2)y＝x－sin 2cos 2； x2 (3)y＝sin x.
【解】
1 1 1 1 (1)化简得 y＝ x· － x＋ －1＝－x2＋x 2， x x
1 -1 1 -3 －1 1 1＋ . ∴y′＝－2x 2－2x 2＝ x 2 x 1 x x (2)∵y＝x－sin 2cos 2＝x－2sin x，
[小组合作型]
导数的四则运算
(1)函数 y＝(2x2＋3)(3x－2)的导数是________； (2)函数 y＝2xcos x－3xln x 的导数是________； x－1 (3)函数 y＝ 的导数是________. x＋1
【精彩点拨】
仔细观察和分析各函数的结构特征，紧扣求导运算法则，
联系基本初等函数求导公式，必要时可进行适当的恒等变形后求导.
阶 段 一
§4 4.1 4.2
导数的四则运算法则 导数的加法与减法法则 导数的乘法与除法法则
阶 段 三
阶 段 二
学 业 分 层 测 评
1.理解导数的四则运算法则.(重点) 2.能利用导数的四则运算法则求导.(重点、难点)
[基础· 初探] 教材整理 1 导数的加法与减法法则 阅读教材 P42 部分内容，完成下列问题. 两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)，即[f(x)＋g(x)]′ ＝f′(x)＋g′(x)，[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x).
f′（x）g（x）－f（x）g′（x） (g(x)≠0). g2（x）
特别地，当 g(x)＝k 时，有[kf(x)]′＝ kf′(x).
ln x 若 f(x)＝ x ，则 f′(x)＝________.
1 x－ln x 1－ln x ln x′ x · f′(x)＝ x ＝ x2 ＝ x2 .
【解析】
【答案】
1－ln x x2
[质疑· 手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： _____________________________________________________ _______________________________________________________ _____________________________________________________ _______________________________________________________ ______________________________________________________ _______________________________________________________
教材整理 2 导数的乘法与除法法则 阅读教材 P44“练习”以下至 P45“例 3”以上部分，完成下列问题. 一般地，若两个函数 f(x)和 g(x)的导数分别是 f′(x)和 g′(x)，则[f(x)g(x)]′ ＝
f（x） f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)， g（x）′＝
[探究共研型]
导数运算法则的综合应用
探究 1 二次函数 y＝f(x)的图像过原点，且它的导函数 y＝f′(x)的图像是过 第一、二、三象限的一条直线，则函数 y＝f(x)的图像的顶点在第几象限？
【提示】 设 f(x)＝ax2＋bx(a≠0)， ∴f′(x)＝2ax＋b，∵y＝f′(x)＝2ax＋b 的图像是一条过第一、二、三象限的
)
【解析】 y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′ ＝2xcos 2x＋x2(－sin 2x)· (2x)′ ＝2xcos 2x－2x2sin 2x.
Baidu Nhomakorabea
【答案】 B
3.若曲线 y＝xα ＋1(α∈R)在点(1， 2)处的切线经过坐标原点， 则 α＝________.
【解析】 因为 y′＝α· xα－1，所以在点(1，2)处的切线斜率 k＝α，则切线方 程为 y－2＝α(x－1).又切线过原点，故 0－2＝α(0－1)，解得 α＝2.
)
B.f′(x)＝6x5＋3x2 D.f′(x)＝6x5＋x3
【解析】 f(x)＝x5＋x3，f′(x)＝5x4＋3x2. 【答案】 A
2.函数 y＝x2cos 2x 的导数为( A.y′＝2xcos 2x－x2sin 2x B.y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x C.y′＝x2cos 2x－2xsin 2x D.y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x
【答案】 (1)y′＝18x2－8x＋9 (2)y′＝2x ln2 cos x－2x sin x－3 ln x－3 2 (3)y′＝ （x＋1）2
1.先区分函数的结构特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的四则运 算法则求导数. 2.对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后 再求导，可简化求导过程.
【自主解答】 (1)法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)· (3x－2)′＝4x(3x－2) ＋(2x2＋3)· 3＝18x2－8x＋9. 法二：∵y＝(2x2＋3)(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6， ∴y′＝18x2－8x＋9. (2)y′＝(2xcos x－3xln x)′＝(2x)′cos x＋2x(cos x)′－3[x′ln x＋x(ln x)′]＝2xln 2cos x－2 sin
2a>0， 直线，∴ 即 b >0 ，
a>0，b>0，
－b2 b ∴－2a<0， 4a <0，∴f(x)的图像的顶点在第三象限.
探究 2 若函数 f(x)＝ax4＋bx2＋c 满足 f′(1)＝2，试求 f′(－1)的值.
【提示】 由 f(x)＝ax4＋bx2＋c 得 f′(x)＝4ax3＋2bx，又 f′(1)＝2，所以 4a ＋2b＝2，即 2a＋b＝1，f′(－1)＝－4a－2b＝－2(2a＋b)＝－2.
∴f′(x)＝－cos x－sin x，
π ∴f′4＝－cos
π π －sin ＝－ 2. 4 4
【答案】 － 2
5.求下列函数的导数. (1)y＝x－2＋x2； (2)y＝3xex－2x＋e； ln x (3)y＝ 2 . x ＋1
【解】
(1)y′＝2x－2x 3.
－
(2)y′＝(ln 3＋1)· (3e)x－2xln 2. x2＋1－2x2·ln x (3)y′＝ . 2 2 x（x ＋1）
[再练一题] 2x 2.求曲线 y＝ 2 在点(1，1)处的切线方程. x ＋1
【解】 2（x2＋1）－2x· 2x 2－2x2 y′＝ ＝ 2 2 2 2， （x ＋1） （x ＋1）
2－2 ∴当 x＝1 时，y′＝ ＝ 0， 4 即曲线在点(1，1)处的切线斜率 k＝0. 2x 因此，曲线 y＝ 2 在点(1，1)处的切线方程为 y＝1. x ＋1
2 －1－(x3 0－2x0)＝(3x0－2)(1－x0).
②
1 解得 x0＝1 或 x0＝－ . 2 5 ∴k＝1 或 k＝－4. 故所求的切线方程为 y＋1＝x－1 或 y＋1 5 ＝－ (x－1)，即 x－y－2＝0 或 5x＋4y－1＝0. 4
1.求曲线的切线方程一定要分清是求曲线在点 P 处的切线方程， 还是求过点 P 与曲线相切的直线方程. 2.本题中点(1，－1)虽然在曲线上，但经过该点的切线不一定只有一条，即 该点可能是切点，也可能是切线与曲线的交点.
a＝2b－4， 即a（1＋b）－2（a＋6） 1 ＝－2， 2 （ 1 ＋ b ） 解得 a＝2，b＝3 或 a＝－6，b＝－1(由 b＋1≠0，故 b＝－1 舍去). 2x－6 所以所求的函数解析式为 f(x)＝ 2 . x ＋3
解决与切线有关的问题时，要充分运用切点的坐标.特别是切点的横坐标， 因为切点的横坐标与导数有着直接的联系.
[再练一题] 1 3 3.(2016· 青岛高二检测)图 241 中有一个是函数 f(x)＝3x ＋ax2＋(a2－1)x＋ 1(a∈R，且 a≠0)的导函数的图像，则 f(－1)＝( )
1 A.3 7 C. 3
图 241 1 B.－3
1 5 D.－ 或 3 3
【解析】
f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，由题图①与②知，它们的对称轴都为 y