1.3 Cramer法则

在把 n 个方程依次相加,得 个方程依次相加 得
n n n ∑ ak 1 Akj x1 + L + ∑ akj Akj x j + L + ∑ akn Akj xn k =1 k =1 k =1 = ∑ bk Akj ,
k =1 n
2 D2 = 1 0 1 2 D4 = 1 0 1 8 9 −5 0 1 −6 = −108 2 6 8 9 −5 0
−5 1 9 −3 0 −6 D1 = = 81 − 5 2 −1 2 0
2 D3 = 1 0 1
41 −3 2 4来自−78 9 −5 0
6
1 −6 2 = −27 6
−5 −1 0 −7 1 −3 2 4 −5 0 −1 −7
解答： 解答：
1− λ D= 2 1
3
−2 3−λ 1
4 1 1− λ
1− λ = 2 1
−3+λ 1− λ 0
4 1 1− λ
= (1 − λ ) + (λ − 3 ) − 4 (1 − λ ) − 2 (1 − λ )(− 3 + λ ) = (1 − λ ) + 2 (1 − λ ) + λ − 3
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 a x + a x + L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 LLLLLLLLLLLL a n1 x1 + a n 2 x 2 + L + a nn x n = bn
a11
的系数行列式不等于零， 的系数行列式不等于零，即
由于方程组(2)与方程组 等价, 由于方程组 与方程组(1) 等价 所以 与方程组
Dn D1 D2 D2 x1 = , x2 = , x3 = ,L , x n = . D D D D
也是方程组的 (1) 解. 法则的条件是: 注1: (1)Cramer 法则的条件是 a.方程的个数等于未知量的个数 方程的个数等于未知量的个数; 方程的个数等于未知量的个数 (2)Cramer 法则的结论 法则的结论: a.方程有解；b.解唯一；c.解为 x j = 方程有解； 解唯一 解唯一； 解为 解为: 方程有解
第1.3节 Cramer法则 1.3节 Cramer法则
主要内容: 主要内容 一．Cramer 法则 二．重要定理 三．练习思考题
非齐次与齐次线性方程组的概念
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a x + L+ a x = b 22 2 2n n 2 设线性方程组 21 1 LLLLLLLLLLLL an1 x1 + an 2 x2 + L + ann xn = bn
对于n元齐次线性方程组的 对于 元齐次线性方程组的Cramer法则的推论，常被用来 法则的推论， 元齐次线性方程组的 法则的推论 解决解析几何的问题。 解决解析几何的问题。 例3: 求空间的四个平面 ai x + bi y + ci z + d i = 0 相交于一点的条件。 相交于一点的条件。
解： 四个平面相交于一点，即线性方程组 四个平面相交于一点，
f ( x ) = a x 2 + bx + c ,
由题意得
f (1) = a + b + c = 0, f ( 2) = 4a + 2b + c = 3, f ( −3) = 9a − 3b + c = 28,
这是一个关于三个未知 数 a , b , c的线性方程组 .
若常数项 b1 , b2 ,L , bn不全为零 , 则称此方程组为
非齐次线性方程组; 非齐次线性方程组 若常数项 b1 , b2 ,L, bn 全为零 , 此时称方程组为齐次线性方程组 此时称方程组为齐次线性方程组. 齐次线性方程组
一、Cramer 法则
定理1.3 (Cramer): 如果线性方程组 定理
定理2： 如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解， 定理 ： 如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解，则 (1)无解或有两个不同的解 它的系数行列式必为零. 它的系数行列式必为零
二、重要结论
a11 x1 + a12 x2 + L + a1 n xn = 0 齐次线性方程组 a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n xn = 0 LLLLLLLLLLLL an1 x1 + an 2 x2 + L + ann xn = 0
练习题1： 取何值时， 练习题 ： 问 λ 取何值时，齐次方程组
(1 − λ ) x1 − 2 x 2 + 4 x 3 = 0 , 2 x1 + (3 − λ ) x 2 + x 3 = 0 , x + x + (1 − λ ) x = 0 , 1 2 3
有非零解？ 有非零解？
由代数余子式的性质可知, 由代数余子式的性质可知 上式中 x j的系数等于 D ,
而其余 x i (i ≠ j )的系数均为 0; 又等式右端为 D j .
于是 当
Dx j = D j ( j = 1,2,L, n ).
(2 )
方程组 有唯一的一个解 D ≠ 0 时,方程组 (2)有唯一的一个解 D3 Dn D1 D2 x1 = , x2 = , x3 = ,L , xn = . D D D D
4 1 1− λ
(1 − λ )3 + (λ − 3 ) − 4(1 − λ ) − 2(1 − λ )(− 3 + λ ) = (1 − λ )3 + 2(1 − λ )2 + λ − 3 = − λ ( λ − 2 )( λ − 3 ) =
齐次方程组有非零解， 齐次方程组有非零解，则 D = 0 时齐次方程组有非零解。 所以 λ = 0, λ = 2 或 λ = 3 时齐次方程组有非零解。
a1 x1 + b1 x2 + c1 x3 + d1 x4 = 0 a x + b x + c x + d x = 0 2 1 2 2 2 3 2 4 a3 x1 + b3 x2 + c3 x3 + d 3 x4 = 0 a4 x1 + b4 x2 + c4 x3 + d 4 x4 = 0
Dj D
b. D ≠ 0
法则解线性方程组。 例1: 用Cramer法则解线性方程组。 法则解线性方程组
2 x1 x 1 x1
解：
x2 + − 3 x2 2 x2 + 4 x2
− 5 x3 x3 − − 7 x3
x4 + − 6 x4 + 2 x4 + 6 x4
= =
8 9
的一组非零解。 的一组非零解。
因为齐次线性方程组有非零解的充要条件是 D = 0 所以， 所以，四平面相交于一点的条件为
a a a a
1 2 3 4
b1 b2 b3 b4
c c c c
1 2 3 4
d d d d
1 2 3 4
= 0
三、思考与练习
思考题: 思考题: 当线性方程组的系数行列式为零时, 当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默 法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何? 法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何? 解答: 解答: 不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解. 不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解.
a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0 a x + b y + c z + d = 0 2 2 2 2 a3 x + b3 y + c3 z + d 3 = 0 a4 x + b4 y + c4 z + d 4 = 0
有唯一解。 有唯一解。
从另一角度看， 从另一角度看，形式上可以把 ( x , y , z ,1) 看作是四元 线性方程组
(1)
a12 L a1 n
a 21 a 22 L a 2 n D= ≠0 LLLLLLL a n1 a n 2 L a nn
那么线性方程组(1)有解，并且解是唯一的， 那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，且解可 有解 以表示为: 以表示为
D3 Dn D1 D2 x1 = , x2 = , x3 = ,L , xn = . D D D D
= −5 0 =
−5 1 1 −3 0 −6 D= 0 2 −1 2 2 1 1 4 −7 6
r1 − 2r2 r4 − r2
0 7 − 5 13 1 −3 0 −6 0 2 −1 2 0 7 − 7 12
7 − 5 13 = −2 −1 2 7 − 7 12
8 1
− 3 −5 3 −3 3 c1 + 2c2 − 0 −1 0 = = 27 −7 −2 c3 + 2c2 −7 −7 − 2
= 27
D1 81 所以 x 1 = = = 3, D 27
x2 = −4, x3 = −1,
x4 = 1.
注2: 1. Cramer法则仅适用于方程个数与未知量个数相等的情形。 法则仅适用于方程个数与未知量个数相等的情形。 法则仅适用于方程个数与未知量个数相等的情形 2. 理论意义：给出了解与系数的明显关系。 理论意义：给出了解与系数的明显关系。 但用此法则求解线性方程组计算量大，不可取。 但用此法则求解线性方程组计算量大，不可取。 Dj , Cramer法则可叙述为下面定理： 3. 撇开求解公式 x j = 法则可叙述为下面定理： 法则可叙述为下面定理 D 定理1： 如果线性方程组(1)的系数行列式 D ≠ 0 定理 ： 如果线性方程组(1)的系数行列式 (1) 则(1)一定有解,且解是唯一的 . (1)一定有解, 一定有解