第四节 二项资料的百分数假设检验

S
p
17 9 25 24
0 . 53
q 1 0 . 53 0 . 47
p1 p 2
1 1 0 . 53 0 . 47 0 . 1426 25 24
17 0 . 5 tC 25

9 0 .5 24 1 . 85
0 . 1426
8 10 0 . 5 2 . 19
ˆ n q 20 8 12
tC 0 . 68
查附表4：v=20-1=19，t0.05=2.093， 计算得｜t｜< t0.05，故P>0.05， 推断：实得百分数0.4与理论值0.5没有显著差异。
单个样本百分数假设测验的连续矫正
3.2两个样本百分数相比较假设测验的连续矫正
( x u x ) u ( x u x )
L1 ( x u x)， L 2 ( x u x)
uα为正态分布下的置信度p=1-α的 u 临界值。 例题：棉花株行圃中，36个单行的皮棉平均产量x=4.1kg， 已知σ=0.3kg，求99％置信度下该株行圃单行皮棉产量μ的 置信区间。 在置信度p=1-α=99%时，由附表3查得u0.01=2.5758； 计算得 0 .3 0 . 05
Estimate of confidence interval
1、总体平均数μ的置信限 2、两总体平均数差数的置信限 3、二项总体百分数的置信限 4、两个二项总体百分数差数的置信限 5、区间估计与假设测验
Estimate of confidence interval
1、总体平均数μ的置信限
• 1.1 在总体方差为已知时μ的置信区间为：
• σ2＝[(0-0.6)2+(1-0.6)2+……+(0-0.6)2]÷5＝0.24

2
2 x
x
2
9 n 3 5 0 . 24 n 5

0 . 24 0 . 49
（每次取一个样，即: n =1）
Test of percent hypothesis
二项总体抽样的分布
二项总体的平均数μ＝p，方差σ2 ＝p(1-p)=p q
标准差为

p (1 p )
pq
样本平均数抽样分布 平均数， 方差， 标准误，
x p x
2
pq n pq n p (1 p ) n
x
二项总体的分布参数
• 例：一个总体内有5个个体，分别为0、1、0、1、1。 • 则：μ＝（ 0＋1 ＋ 0 ＋ 1 ＋ 1 ）÷5＝0.6 • 所以μ＝ p
ˆ ˆ p1 p 2
的校正值。
ˆ ˆ p1 p 2
单个样本百分数假设测验的连续矫正
• 例题：用新农药处理25头棉铃虫，死亡17头，存活8头； 用乐果处理24头，死亡9头，存活15头。问两种农药处 理结果是否相同？ • 假设：H0：p1=p2：HA：p1 ≠ p2。α=0.05，作两尾测验。 计算：
单个样本百分数的假设测验
• 假设：H0：p=0.75；HA：p≠0.75。α=0.05，
作两尾测验u.05=1.96。
计算：
ˆ p
u
208 289
0 . 7197

ˆ p

0 . 75 0 . 25 289
0 . 0255
0 . 7197 0 . 75 0 . 0255
1 . 19
样本百分数 p ˆ 0.50
0.40
较小组次数 n p ˆ
15 20
样本容量 n
30 50
0.30
0.20 0.10 0.05
24
40 60 70
80
200 600 1400
3.1 单个样本百分数假设测验的连续矫正
• 单个样本百分数连续校正的计算公式为：
tc ˆ np np 0.5 S np ˆ
第四节 二项资料的百分数假设检验 Test of percent hypothesis
• 适用于以百分数或成数表示试验的结果分析。
如病株率、有虫株率、杀虫率、发芽率等。 • 理论上讲，这类资料应按照二项分布进行，但当样本 容量n较大，p不过小，np、nq又均不小于5时， (p+q)n的分布趋近于正态分布，因而，可将百分数的 资料作正态分布处理。
如果两总体的百分数相同，即p1=p2=p，q1=q2=q，则：
p p ˆ ˆ
1 2
1 1 pq n n2 1
Test of percent hypothesis
2、两个样本百分数相比较的假设测验
• 在两个总体百分数p1和p2未知时，在两个总体方 差相等的前提下（ ），可用两样本百分 数的加权平均值作为p1和p2的估计。即：
两个样本百分数相比较的假设测验
计算：

p
x1 x 2 n1 n 2

355 346 378 396
0 . 906 , q 1 0 . 906 0 . 094
ˆ ˆ p1 p 2

1 1 pq n n 2 1
ˆ ˆ p1 p 2
• 测验两个样本百分数p 1 和 p 2所属总体百分数p1和p2的差异 ˆ ˆ 显著性。 2 2 • 一般假设两个样本总体方差是相等的，即 pˆ pˆ • 两个样本总体的个体百分数不同为p1和p2。两个样本百分 数的差数标准误为：
1 2

ˆ ˆ p1 p 2

p1 q1 n1

p2q2 n2
• 例题：调查一低洼地，小麦378株，其中有锈病355株， 病株率93.92％，一高地调查396株，有346株发病，病株 率为87.37％。问两块田发病情况有无差异？ • n1=378，x1=355，n2=396，x2=346
ˆ p 1 93 . 92
ˆ p 2 87 . 37
假设： H0：p1=p2； HA：p1 ≠ p2；α=0.05， 作两尾测验u.05=1.96。
第四节 二项资料的百分数假设检验 Test of percent hypothesis
二项资料在以下情况可以用U 测验进行分析。
适合于用正态离差测验的二项样本的np和n值表
ˆ 样本百分数 p
0.50 0.40 0.30 0.20 0.10
ˆ 较小组次数 n p
15 20 24 40 60
样本容量 n 30 50 80 200 600
Estimate of confidence interval
第五节 参数的区间估计
•若有95％(1-α,α＝0.05)的样本落在(μ-1.96σ)至(μ+1.96σ)的范 围内，即：
p ( 1 . 96 x ) x ( 1 . 96 x ) 0 . 95
因为：u.05=1.96，│u│(1.19)<u0.05，所以p>0.05。 推断：接受H0：p=0.75，即该试验中大豆花色符合一对等位 基因的遗传规律。试验中的p=0.7197与p=0.75的差别属于随 机误差。
Test of percent hypothesis
2、两个样本百分数相比较的假设测验
第五节 参数的区间估计 Estimate of confidence interval
• 对统一总体进行多次调查时，会出现不同的平均 数值，为说明不同平均数的代表性，需要估计出 一个范围或一个区间能够覆盖参数μ，这个区间 称作置信区间(confidence interval)。区间的上限和 下限，称作置信限（confidence limit）。 • 保证该区间能够覆盖参数的概率以p=(1-α)表示， 称为置信系数或置信度。 • 点估计：以样本均数（ x ）估计总体均数(μ)。
查 t 表：V=24＋25－2＝47≈45，t0.05=2.014 计算得｜t｜=1.85 < t0.05，故P>0.05， 推断：接受H0，即，两种农药处理结果没有显著差异。
单个样本百分数假设测验的连续矫正
• 上例若不进行连续校正， p1=17/25=0.68， p2=9/24=0.375 t =(0.68-0.375)÷0.1426=0.305÷0.1426=2.14 2.14 >t 0.05(2.014)，否定H0，接受了HA。 这就将本来错误的东西接受了，即犯了纳伪错误， 增加了发生第一类错误的可能性。
0.05
70
1400
注意表中 p 、 n p 以及 n 的关系 ˆ ˆ
第四节 二项资料的百分数假设检验 Test of percent hypothesis
1、单个样本百分数的假设测验 2、两个样本百分数相比较的假设测验 3、二项样本假设测验时的连续矫正
Test of percent hypothesis
ˆ • 设两个样本百分数中，较大得值为： p1 有x1和n1; ˆ 较小得值为：p 2 有x2和n2。经校正得 tc公式为：
x1 0.5 tC n1

x2 0.5 n2
S p1 p2 ˆ ˆ
具有V=n1+n2-2。其中 S pˆ 1 pˆ 2
为 u
ˆ ˆ p1 p 2Fra bibliotek中或称在（1-α）概率下： u a x x
u a
x

• 经过转换可得到在置信度p=1-α时，对μ的置信区间为： ( x u x ) u ( x u x )
L1 ( x u x)，L2 ( x u x)
以上置信区间的含义为：如果从总体中抽出容量为n的所有 样本，并且每一个样本都算出[L1、L2]，则在所有的[L1、L2]区 间中，将有95％能覆盖参数μ。 区间估计的精度要求决定于 u 值。