智能优学分式运算
畅优新课堂八年级数学下册 第16章 分式热点专题训练教案 (新版)华东师大版-(新版)华东师大版初中
分式【知识与技能】1.使学生进一步熟悉分式的意义及分式的运算.2.会解分式方程，利用分式方程解决实际问题.【过程与方法】通过复习，发展学生的代数表达能力、运算能力和有条理地思考问题的能力.【情感态度】提高学生解决实际问题的能力，培养学生的符号感，提高分析问题和解决问题的能力. 【教学重点】会解分式方程，并利用分式方程解决实际问题.【教学难点】会解分式方程，并利用分式方程解决实际问题.一、知识结构【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.二、释疑解惑，加深理解1.分式概念形如A/B，其中分母B中含有字母，分数是整式而不是分式.2.分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变.用式子表示是：.A M A M AB AB B M B M⨯÷==⨯÷， 分式的约分和通分：(1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．(2)最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式．求几个分式的最简公分母的步骤：（1）取各分式的分母中系数最小公倍数；(2)各分式的分母中所有字母或因式都要取到；(3)相同字母（或因式）的幂取指数最大的；(4)所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母.(5)各个分式的分母都是多项式，并且可以分解因式.这时，可先把各分式的分母中的多项式分解因式，再确定各分式的最简公分母，最后通分.3.分式的运算（1）同分母分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减．（2）异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先通分，变为同分母后再加减．(3)分式的四则混合运算顺序与分数的四则运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号内的．有些题目先运用乘法分配律，再计算更简便些.4.分式方程分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.分式方程的解法：①去分母，方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程;②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根.5.分式方程的应用列分式方程与列整式方程解应用题一样，应仔细审题，找出反映应用题中所有数量关系的等式，恰当地设出未知数，列出方程．与整式方程不同的是求得方程的解后，应进行两次检验，一是检验是否是增根，二是检验是否符合题意.6.零指数幂与负整数指数幂零指数幂：任何不等于零的数的零次幂都等于1.即：a 0=1（a≠0）负整数指数幂：任何不等于零的数的－n （n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数.1n na a -= (a≠0，n 是正整数) 7.科学记数法：我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10-n 的形式，其中n 是正整数，1≤|a|＜10.【教学说明】通过学生的回顾与思考，加深学生对解分式方程的步骤及解应用题的步骤的认识.三、典例精析，复习新知1.解分式方程：1122x x x-=-- 解：方程两边同乘x-2，得1=-(1-x)1=-1+x∴x=2检验：将x=2代入x-2=2-2=0∴x=2为原方程的增根.2.有一道题：“先化简，再求值：()22241244x x x x x -+÷+--其中，x=-3”． 小玲做题时把“x=-3”错抄成了“x=3”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？解：原式计算的结果等于x 2+4，所以不论x 的值是+3还是-3结果都为13.3.一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来的倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地.求前一小时的行驶速度．解：设前一小时的速度为xkm/小时，则一小时后的速度为小时，由题意得：()18018021 1.53x x x --+=，解这个方程为x=60，经检验，x=60是所列方程的根，答：前一小时的速度为60km/小时．4.某市从今年1月1日起调整居民用天燃气的价格为每立方米天燃气价格上涨25%．小颖家去年12月份的燃气费是96元．今年小颖家将天燃气热水器换成了太阳能热水器，5月份的用气量比去年12月份少10m 3，5月份的燃气费是90元．求该市今年居民用气的价格． 解：设该市去年居民用气的价格为x 元/m 3，则今年的价格为(1+25%)x 元/m 3． 根据题意，得()969010125%x x-=+． 解这个方程，得．经检验，是所列方程的根．2.4×(1+25%)=3(元/m 3)．所以，该市今年居民用气的价格为3元/m 3．【教学说明】通过设置恰当的、有一定梯度的题目，关注学生知识技能的发展和不同层次的需求.四、复习训练，巩固提高1.用科学记数法表示下列各数：0．00004，解：(1)4×10-5 (2)-3.4×10-2 （3）4.5×10-7 （4）3.009×10-32.计算(1)(3×10-8)×(4×103)(2)(2×10-3)2÷(10-3)3解：（1）1.2×10-4（2）4×103 3.若2123x x x -+-的值为零，则x 的值是_____ 4.若分式31x -的值是正整数，则整数x 的值是____ 5.解方程（1）21521x x =+- 解：略（2）222273711x x x x x x --=++-- 解：略6.先化简，再求值： ()11422a a a a a -+÷--，其中a=13． 解：原式=3a-1把a=13代入得： 原式=3×13-1=1-1=0 7.求代数式的值： ()22224242x x x x x x --÷---+，其中解：原式=12x -当原式=12x -=48.（1）原子弹的原料——铀，每克含有 2.56×1021个原子核，一个原子核裂变时能放出3.2×10-11J 的热量，那么每克铀全部裂变时能放出多少热量？（2）1块900mm 2的芯片上能集成10亿个元件，每一个这样的元件约占多少mm 2？约多少m 2？（用科学记数法表示）分析：第（1）题直接列式计算；第（2）题要弄清m 2和mm 2之间的换算关系，即1m=1000mm=103mm ，1m 2=106mm 2，再根据题意计算.解：（1）由题意得：2.56×1021×3.2×10-11=2.56×3.2×1021×10-11=8.192×1010(J)答：每克铀全部裂变时能放出的热量8.192×1010J 的热量.（2）9001000000000=900×10-9=9×102×10-9=9×10-7(mm 2)9×10-7÷106=9×10-7-6=9×10-13(m2)答：每一个这样的元件约占9×10-7mm2，约9×10-13m2.9.轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等，已知水流速度为2千米/小时，求船在静水中的速度.解：设船在静水中的速度为x千米／小时.则302022 x x=+-去分母得30(x-2)=20(x+2)∴30x-60=20x+4010x=100∴x=10将x=10代入方程得：x=10是方程组的根，也是本问题的解，∴x=10答：船在静水中的速度是10千米／小时.10.某车间加工1200个零件，采用了新工艺后，工效是原来的倍，这样加工零件就少用10小时，采用新工艺前、后每小时分别加工多少个零件？解：设采用新工艺前每小时加工x个零件，则采用新工艺后每小时加工个零件.由题意得12001200101.5x x-=1800-1200=15x15x=600x=40（个）经检验：x=40是方程的解∴1.5x=60（个）答：采用新工艺前、后每时分别加工40个、60个零件【教学说明】让学生能从具体的情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号表示，发展学生的符号感．通过解决生活中的实际问题，提高分析问题和解决问题的能力.五、师生互动，课堂小结通过复习，你对本章的知识还有哪些疑惑？1.布置作业:教材“复习题”中第3、6、7、8题.2.完成本课时对应练习.通过学生的回顾与思考，使学生对分式的基本性质、乘除法、加减法等基本运算有一个更深层次的认识；加深学生对解分式方程的步骤及解应用题的步骤的认识.通过设置恰当的、有一定梯度的题目，关注学生知识技能的发展和不同层次的需求.加强学生对分式的运算等基本技能的训练.部分学生能举一反三，较好地掌握分式方程及其应用题的有关知识与解决生活中的实际问题等基本技能.。
畅优新课堂八年级数学下册第16章分式16.1.2分式的基本性质教案(新版)华东师大版【精品教案】
分式的基本性质【知识与技能】使学生理解并掌握分式的基本性质，并能运用这些性质进行分式约分、通分【过程与方法】通过对分式的基本性质的归纳，培养学生观察、类比、推理的能力【情感态度】让学生在讨论活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力【教学重点】掌握分式的基本性质【教学难点】运用分式的基本性质来化简分式一、情境导入,初步认识1.分数的基本性质是什么？2.3162的依据是什么？3.23与45相等吗？【教学说明】通过分数的约分、通分，复习分数的基本性质，通过类比来学习分式的基本性质．二、思考探究，获取新知探究1：分式的基本性质你认为分式36aa与12相等吗？2mmn与nm呢？【教学说明】通过对分数的基本性质的理解，可类比得出分式的基本性质，但学生只想到分式的分子分母同时乘以或除以一个数，不容易想到整式，另外这个整式不能为零，老师要引导学生想到这一点．【归纳结论】分式的分子和分母都同时乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.探究2：约分化简下列分式：【教学说明】有的学生在应用分式的基本性质时往往分式的分子与分母没有同时乘以或除以同一个公因式．有些学生不能正确找到分子、分母的公因式，导致约分的错误和不彻底．所以教师应适当引导.【归纳结论】把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分，分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式．探究3：通分把下列各小题中的两个分式化成同分母的两个分式.【归纳结论】分式的通分，即要求把几个异分母的分式分别化为与原来分式相等的同分母分式.通分的关键是确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母（即最简公分母）.三、运用新知，深化理解1.填空 ①( )3510a xy axy=,(a≠0) ②2214( )a a +=- 解：6a 2 a-22.分式:①223a a ++,②22a b a b --,③()412a a b -,④12x -中,最简分式有( B ) A.1个B.2个C.3个D.4个 3.若把分式2x y xy+中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ C ） A.扩大3倍 B.不变C.缩小3倍D.缩小6倍4.约分：（1）2236a b ab c （2）2282m n mn （3）232416x yz xyz -（4）()32x y y x-- 解：（1）2a bc （2）4m n （3）4xz -（4）22x y --（） 5.不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.分析：每个分式的分子、分母和分式本身都有自己的符号，其中两个符号同时改变，分式的值不变. 解：667733,.55336644b b x x m m x x a a y y n n y y----==--=-=-，， 6.通分：32222212125223332811411ab a b ca b xy x c a ab bc y y --+（）和（）和（）和（）和【教学说明】在教学中让学生将约分的步骤分为这样几步，首先将找出分子和分母公因式并提取，再将分式的分子和分母同时除以公因式．最后看看结果是否为最简分式或整式．四、师生互动，课堂小结这节课你有哪些收获？1.布置作业:教材“习题16.1”中第4、5题.2.完成本课时对应练习.学生对分式的基本性质，能说能背.从表面上来看，掌握的比较好.但从练习中可以发现很多问题.如：不会找分式的分子、分母的公因式；分子、分母不同时乘或除；约分不彻底等.所以在这些方面要多练习.。
学练优答案八年级数学上册答案2021年版智能一对一
学练优答案-八年级数学上册答案-2021年版-智能一对一教材目录第十一章三角形11.1 与三角形有关的线段11.2 与三角形有关的角11.3 多边形及其内角和数学活动小结复习题11第十二章全等三角形12.1 全等三角形12.2 三角形全等的判定12.3 角的平分线的性质数学活动小结复习题12第十三章轴对称13.1 轴对称13.2 画轴对称图形13.3 等腰三角形13.4 课题学习最短路径问题数学活动小结复习题13第十四章整式的乘法与因式分解14.1 整式的乘法14.2 乘法公式14.3 因式分解数学活动小结复习题14第十五章分式15.1 分式15.2 分式的运算15.3 分式方程数学活动小结复习题15智能一对一 (学练优视频答案-八年级数学全一册答案)智能一对一简介：智能学习系统确实是无人值守的学习系统，从此解放家长，方便教师，帮忙学生；智能一对一系统是一个解决学生作业难题的智能学习系统；一个老师一个学生一道习题一个视频，做到全方位辅导孩子写作业，帮助解决家庭作业难题；智能一对一，做到无人值守也能有老师指导学习的情况下，还做到了随时随地学习，随时随地解决作业难题，让学生的难题无处可躲，发现一个解决一个。
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2024年河南省中考真题数学试卷含答案解析
2024年河南省中考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，数轴上点P表示的数是（）A．1-B．0C．1D．2【答案】A【分析】本题考查了数轴，掌握数轴的定义是解题的关键．根据数轴的定义和特点可知，点P表示的数为1-，从而求解．【详解】解：根据题意可知点P表示的数为1-，故选：A．2．据统计，2023年我国人工智能核心产业规模达5784亿元，数据“5784亿”用科学记数法表示为（）A．8⨯D．12⨯0.5784105.78410⨯C．11⨯B．105784105.784103．如图，乙地在甲地的北偏东50︒方向上，则∠1的度数为（）A ．60︒B ．50︒C ．40︒D ．30︒【答案】B 【分析】本题主要考查了方向角，平行线的性质，利用平行线的性质直接可得答案．【详解】解：如图，由题意得，50BAC ∠=︒，AB CD ∥，∴150BAC ∠=∠=︒，故选：B ．4．信阳毛尖是中国十大名茶之一．如图是信阳毛尖茶叶的包装盒，它的主视图为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】本题主要考查简单几何体的三视图，根据主视图的定义求解即可． 从正面看，在后面的部分会被遮挡，看见的为矩形，注意有两条侧棱出现在正面．【详解】解：主视图从前往后看（即从正面看）时，能看得见的棱，则主视图中对应为实线，且图形为矩形，左右两边各有一个小矩形；故选A ．5．下列不等式中，与1x ->组成的不等式组无解的是（ ）A ．2x >B ．0x <C ．<2x -D ．3x >-【答案】A 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的关键．根据此原则对选项一一进行判断即可．【详解】根据题意1x ->，可得1x <-，A 、此不等式组无解，符合题意；B 、此不等式组解集为1x <-，不符合题意；C 、此不等式组解集为<2x -，不符合题意；D 、此不等式组解集为31x -<<-，不符合题意；故选：A6．如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为OC 的中点，EF AB ∥交BC 于点F ．若4AB =，则EF 的长为（ ）A ．12B ．1C ．43D ．2故选：B ．7．计算3···a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 个的结果是（ ）A ．5a B ．6a C ．3a a +D ．3aa 【答案】D 【分析】本题考查的是乘方的含义，幂的乘方运算的含义，先计算括号内的运算，再利用幂的乘方运算法则可得答案．【详解】解：()()333···a a a a a a a a == 个，故选D8．豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（ ）A ．19B ．16C ．15D ．13【答案】D【分析】本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图得到所有的等可能的结果数．根据题意，利用树状图法将所有结果都列举出来，然后根据概率公式计算解决即可．【详解】解：把3张卡片分别记为A 、B 、C ，画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有3种，9．如图，O 是边长为ABC 的外接圆，点D 是 BC的中点，连接BD ，CD ．以点D 为圆心，BD 的长为半径在O 内画弧，则阴影部分的面积为（ ）A ．8π3B ．4πC ．16π3D ．16π∵O 是边长为43∴43B C =，A ∠=∴120BDC ∠=︒，∵点D 是 BC的中点，10．把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I 与使用电器的总功率P 的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q 与I 的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ）A ．当440W P =时，2A I =B ．Q 随I 的增大而增大C ．I 每增加1A ，Q 的增加量相同D ．P 越大，插线板电源线产生的热量Q 越多【答案】C 【分析】本题考查了函数的图象，准确从图中获取信息，并逐项判定即可．【详解】解∶根据图1知：当440W P =时，2A I =，故选项A 正确，但不符合题意；根据图2知：Q 随I 的增大而增大，故选项B 正确，但不符合题意；根据图2知：Q 随I 的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故选项C 错误，符合题意；根据图1知：I 随P 的增大而增大，又Q 随I 的增大而增大，则P 越大，插线板电源线产生的热量Q 越多，故选项D 正确，但不符合题意；故选：C ．二、填空题11．请写出2m 的一个同类项： ．【答案】m （答案不唯一）【分析】本题考查的是同类项的含义，根据同类项的定义直接可得答案．【详解】解：2m 的一个同类项为m ，故答案为：m12．2024年3月是第8个全国近视防控宣传教育月，其主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”.某校组织各班围绕这个主题开展板报宣传活动，并对各班的宣传板报进行评分，得分情况如图，则得分的众数为 分．【答案】9【分析】本题考查了众数的概念，解题的关键是熟知相关概念，出现次数最多的数叫做众数．根据众数的概念求解即可．【详解】解：根据得分情况图可知：9分数的班级数最多，即得分的众数为9．故答案为：9．13．若关于x 的方程2102x x c -+=有两个相等的实数根，则c 的值为 ．14．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的边AB 在x 轴上，点A 的坐标为()20-，，点E 在边CD 上．将BCE 沿BE 折叠，点C 落在点F 处．若点F 的坐标为()06，，则点E 的坐标为 ．【答案】()3,10【分析】设正方形ABCD 的边长为a ，CD 与y 轴相交于G ，先判断四边形AOGD 是矩形，得出OG AD a ==，DG AO =，90EGF ∠=︒，根据折叠的性质得出BF BC a ==，CE FE =，在Rt BOF △中，利用勾股定理构建关于a 的方程，求出a 的值，在Rt EGF 中，利用勾股定理构建关于CE 的方程，求出CE 的值，即可求解．【详解】解∶设正方形ABCD 的边长为a ，CD 与y 轴相交于G ，则四边形AOGD 是矩形，∴OG AD a ==，DG AO =，90EGF ∠=︒，∵折叠，∴BF BC a ==，CE FE =，∵点A 的坐标为()20-，，点F 的坐标为()06，，∴2AO =，6FO =，∴2BO AB AO a =-=-，在Rt BOF △中，222BO FO BF +=，∴()22226a a -+=，解得10a =，∴4FG OG OF =-=，8GE CD DG CE CE =--=-，在Rt EGF 中，222GE FG EF +=，∴()22284CE CE -+=，解得5CE =，∴3GE =，∴点E 的坐标为()3,10，故答案为：()3,10．【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键．15．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，3CA CB ==，线段CD 绕点C 在平面内旋转，过点B 作AD 的垂线，交射线AD 于点E ．若1CD =，则AE 的最大值为 ，最小值为 .则CD AE ⊥，∴90ADE CDE ∠=∠=︒，∴222231AD AC CD =-=-∵ AC AC =，∴45CED ABC ==︒∠∠，∵90CDE ∠=︒，则CD AE ⊥，∴90CDE ∠=︒，∴222231AD AC CD =-=-=∵四边形ABCE 为圆内接四边形，∴180135CEA ABC =︒-=︒∠∠，∴18045CED CEA =︒-=︒∠∠，∵90CDE ∠=︒，三、解答题16．（1(01；（2）化简：231124a a a +⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭．【答案】（1）9（2）2a +【分析】本题考查了实数的运算，分式的运算，解题的关键是：17．为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下．技术统计表队员平均每场得分平均每场篮板平均每场失误甲26.582乙26103根据以上信息，回答下列问题．(1)这六场比赛中，得分更稳定的队员是_________（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为________分．(2)请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好．(3)规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误()1⨯-，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好．18．如图，矩形ABCD 的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线AC ，BD 相交于点E ，反比例函数()0k y x x=>的图象经过点A ．(1)求这个反比例函数的表达式．(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象．(3)将矩形ABCD向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________．（3）解：∵()6,4E 向左平移后，E 在反比例函数的图象上，∴平移后点E 对应点的纵坐标为4，当4y =时，64x=，解得32x =，∴平移距离为39622-=．故答案为：9．19．如图，在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的中线，∥B E DC 交AC 的延长线于点E ．(1)请用无刻度的直尺和圆规作ECM ∠，使ECM A ∠=∠，且射线CM 交BE 于点F （保留作图痕迹，不写作法）．(2)证明（1）中得到的四边形CDBF 是菱形【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了尺规作图，菱形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是：（2）证明：∵ECM A ∠=∠∴CM AB ∥，∵∥B E DC ，∴四边形CDBF 是平行四边形，∵在Rt ABC △中，CD 是斜边20．如图1，塑像AB 在底座BC 上，点D 是人眼所在的位置．当点B 高于人的水平视线DE 时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A ，B 两点的圆与水平视线DE 相切时（如图2），在切点P 处感觉看到的塑像最大，此时APB ∠为最大视角．(1)请仅就图2的情形证明APB ADB ∠>∠．(2)经测量，最大视角APB ∠为30︒，在点P 处看塑像顶部点A 的仰角APE ∠为60︒，点P 到塑像的水平距离PH 为6m ．求塑像AB 的高（结果精确到0.1m 1.73≈）．则AMB APB ∠=∠．∵AMB ADB ∠>∠，∴APB ADB ∠>∠．（2）解：在Rt AHP 中，APH ∠∵tan AH APH PH∠=，答：塑像AB的高约为6.9m．21．为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为50g，营养成分表如下．(1)若要从这两种食品中摄入4600kJ热量和70g蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？(2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于90g，且热量最低，应如何选用这两种食品？【答案】(1)选用A种食品4包，B种食品2包(2)选用A种食品3包，B种食品4包【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）设选用A种食品x包，B种食品y包，根据“从这两种食品中摄入4600kJ热量和70g蛋白质”列方程组求解即可；（2）设选用A种食品a包，则选用B种食品()7-a包，根据“每份午餐中的蛋白质含量不低于90g”列不等式求解即可．【详解】（1）解：设选用A种食品x包，B种食品y包，根据题意，得7009004600, 101570.x yx y+=⎧⎨+=⎩解方程组，得4,2. xy=⎧⎨=⎩答：选用A种食品4包，B种食品2包．（2）解：设选用A种食品a包，则选用B种食品()7-a包，根据题意，得()1015790a a +-≥．∴3a ≤．设总热量为kJ w ，则()70090072006300w a a a =+-=-+．∵2000-<，∴w 随a 的增大而减小．∴当3a =时，w 最小．∴7734a -=-=．答：选用A 种食品3包，B 种食品4包．22．从地面竖直向上发射的物体离地面的高度()m h 满足关系式205h t v t =-+，其中()s t 是物体运动的时间，()0m /s v 是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．(1)小球被发射后_________s 时离地面的高度最大（用含0v 的式子表示）．(2)若小球离地面的最大高度为20m ，求小球被发射时的速度．(3)按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为3s ．”已知实验楼高15m ，请判断他的说法是否正确，并说明理由．23．综合与实践在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．(1)操作判断用分别含有30︒和45︒角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有________（填序号）．(2)性质探究根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图2，四边形ABCD 是邻等对补四边形，AB AD =，AC 是它的一条对角线．①写出图中相等的角，并说明理由；②若BC m =，DC n =，2BCD θ∠=，求AC 的长（用含m ，n ，θ的式子表示）．(3)拓展应用如图3，在Rt ABC △中，90B Ð=°，3AB =，4BC =，分别在边BC ，AC 上取点M ，N ，使四边形ABMN 是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出BN 的长．∵四边形ABCD 是邻等对补四边形，∴180ABC D ∠+∠=︒，∵180ABC ABE ∠+∠=︒，∴ABE D ∠=∠，∵AE AC =，∴()()1112222m n CF CE BC BE BC DC +==+=+=，∵2BCD θ∠=，∴ACD ACB θ∠=∠=，∴22218AM AB BM =+=，在Rt AMN 中22MN AM AN =-在Rt CMN 中22MN CM CN =-∴()()22218435AN AN -=---∵AM AM =，∵90MNC ABC ∠=∠=︒，C ∠∴CMN CAB ∽△△，∴CN MN BC AB=，即543CN CN -=解得20CN =，∵AM AM =，∴Rt Rt ABM ANM ≌，∴AN AB =，故不符合题意，舍去；。
分式及其运算
分式及其运算
一、分式的概念
分式是用一个数除以另一个非零数所得的商。
分式由分子和分母两部分组成,用斜线"/"或水平线"—"隔开,如3/5或3—5。
其中,分子是被除数,分母是除数。
二、分式的基本运算
1. 分式的加减法
- 同分母分式的加减法:只需将分子相加或相减,分母保持不变。
- 异分母分式的加减法:先通分,使分母相同,再将分子相加或相减。
2. 分式的乘法
- 分式相乘时,分子相乘,分母相乘。
3. 分式的除法
- 分式除法可以通过乘以另一个分式的倒数来实现。
4. 分式的化简
- 分子和分母都除以它们的最大公因数,可以化简分式。
三、分式的应用
分式在日常生活和学习中有广泛的应用,例如:
1. 计算比例和百分比
2. 表示概率
3. 解决实际问题(如分配任务、计算利息等)
通过掌握分式的运算规则和应用技巧,我们可以更好地理解和处理涉及分数的各种情况。
人教版八年级数学上册第15章《分式》应用题解答题拔高训练(三)
第15章《分式》应用题解答题拔高训练（三）1．仙桃是遂宁市某地的特色时令水果．仙桃一上市，水果店的老板用2400元购进一批仙桃，很快售完；老板又用3700元购进第二批仙桃，所购件数是第一批的倍，但进价比第一批每件多了5元．（1）第一批仙桃每件进价是多少元？（2）老板以每件225元的价格销售第二批仙桃，售出80%后，为了尽快售完，剩下的决定打折促销．要使得第二批仙桃的销售利润不少于440元，剩余的仙桃每件售价至少打几折？（利润＝售价﹣进价）2．5月18日，襄阳市5.3万余名初三学生回到阔别100多天的校园．为了返校学生的安全，快速筛查体温异常学生，某校在学生返校前购买了一批额温枪发放到班主任及相关人员手中．购买前有A，B两种型号的额温枪可供选择，已知每只A型额温枪比每只B型额温枪贵20元，用5000元购进A型额温枪与用4500元购进B型额温枪的数量相等．（1）每只A型，B型额温枪的价格各是多少元？（2）该校欲购进A，B两种型号的额温枪共30只，购买两种额温枪的总资金不超过5800元．则最多可购进A型号额温枪多少只？3．新冠肺炎疫情期间，某小区计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，乙品牌消毒剂每瓶的价格比甲品牌消毒剂每瓶价格的3倍少50元，已知用300元购买甲品牌消毒剂的数量与用400元购买乙品牌消毒剂的数量相同．（1）求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元？（2）若该小区从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共40瓶，且总费用为1400元，求购买了多少瓶乙品牌消毒剂？4．锦潭社区计划对某区域进行绿化，经投标，由甲、乙两个工程队一起来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的1.5倍，并且在独立完成面积为300m2区域的绿化时，甲队比乙队少用2天．（1）求甲、乙两工程队每天各能完成的绿化面积．（2）若计划绿化的区域面积是1900m2，甲队每天绿化费用是0.5万元，乙队每天绿化费用为0.3万元．①当甲、乙各施工几天，既能刚好完成绿化任务，又能使总费用恰好为12.2万元．②按要求甲队至少施工10天，乙队最多施工22天，当甲乙各施工几天，刚好完成绿化任务，又使得总费用最少（施工天数不能是小数），并求最少总费用．5．新冠肺炎疫情防控期间，学校为做好预防性消毒工作，开学初购进A、B两种消毒液，购买A种消毒液花费了2500元，购买B种消毒液花费了2000元，且购买A种消毒液数量是购买B种消毒液数量的2倍，已知购买一桶B种消毒液比购买一桶A种消毒液多花30元．（1）求购买一桶A种、一桶B种消毒液各需多少元？（2）为了践行“把人民群众生命安全和身体健康摆在第一位”的要求，加强学校防控工作，保障师生健康安全，学校准备再次购买一批防控物资，其中A、B两种消毒液准备购买共50桶，恰逢商场对两种消毒液的售价进行调整，A种消毒液售价比第一次购买时提高了8%，B种消毒液按第一次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A、B两种消毒液的总费用不超过3260元，那么学校此次最多可购买多少桶B种消毒液？6．某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？7．在防疫新冠状病毒期间，市民对医用口罩的需求越来越大．某药店第一次用3000元购进医用口罩若干个，第二次又用3000元购进该款口罩，但第二次每个口罩的进价是第一次进价的1.25倍，购进的数量比第一次少200个﹒（1）求第一次和第二次分别购进的医用口罩数量为多少个？（2）药店第一次购进口罩后，先以每个4元的价格出售，卖出了a个后购进第二批同款口罩，由于进价提高了，药店将口罩的售价也提升至每个4.5元继续销售卖出了b个后﹒因当地医院医疗物资紧缺，将其已获得口罩销售收入6400元和剩余全部的口罩捐赠给了医院﹒请问药店捐赠口罩至少有多少个？（销售收入＝售价×数量）8．某县为落实“精准扶贫惠民政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成：若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．（1）这项工程的规定时间是多少天？（2）为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成．则甲乙两队合作完成该工程需要多少天？9．小明家在“吾悦广场”购买了一间商铺，准备承包给甲、乙两家装修公司进行店面装修，经调查：甲公司单独完成该工程的时间是乙公司的2倍，已知甲、乙两家公司共同完成该工程建设需20天；若甲公司每天所需工作费用为650元，乙公司每天所需工作费用为1200元，若从节约资金的角度考虑，则应选择哪家公司更合算？10．在我市雨污分流工程中，甲、乙两个工程队共同承担茅洲河某段720米河道的清淤任务，已知甲队每天能完成的长度是乙队每天能完成长度的2倍，且甲工程队清理300米河道所用的时间比乙工程队清理200米河道所用的时间少5天．（1）甲、乙两工程队每天各能完成多少米的清淤任务；（2）若甲队每天清淤费用为2万元，乙队每天清淤费用为0.8万元，要使这次清淤的总费用不超过60万元，则至少应安排乙工程队清淤多少天？11．现代科技的发展已经进入到了5G时代，“5G”即第五代移动通信技术（英语：5thgenerationmobilenetworks或5thgenerationwirelesssystems、5th﹣Generation，简称5G或5G技术）是最新一代蜂窝移动通信技术，也是即4G（LTE ﹣A、WiMax）、3G（UMTS、LTE）和2G（GSM）系统之后的延伸．中国信息通信科技集团有限公司工程师余少华院士说“同4G相比，5G的传输速率提高了10至100倍．”“从人人互联、人物互联，到物物互联，再到人网物三者的结合，5G技术最终将构建起万物互联的智能世界”如果5G网络峰值速率是4G网络峰值速率的10倍，那么在峰值速率下传输1000MB 数据，5G网络比4G网络快90秒，求这两种网络的峰值速率（MB/秒）．12．甲、乙两个服装厂加工同种型号的防护服，甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的1.5倍，两厂各加工600套防护服，甲厂比乙厂要少用4天．（1）求甲、乙两厂每天各加工多少套防护服？（2）已知甲、乙两厂加工这种防护服每天的费用分别是150元和120元，疫情期间，某医院紧急需要3000套这种防护服，甲厂单独加工一段时间后另有安排，剩下任务只能由乙单独完成．如果总加工费不超过6360元，那么甲厂至少要加工多少天？13．八（1）班为了配合学校体育文化月活动的开展，同学们从捐助的班费中拿出一部分钱来购买羽毛球拍和跳绳．已知购买一副羽毛球拍比购买一根跳绳多20元．若用200元购买羽毛球拍和用80元购买跳绳，则购买羽毛球拍的副数是购买跳绳根数的一半．（1）求购买一副羽毛球拍、一根跳绳各需多少元？（2）双11期间，商店老板给予优惠，购买一副羽毛球拍赠送一根跳绳，如果八（1）班需要的跳绳根数比羽毛球拍的副数的2倍还多10，且该班购买羽毛球拍和跳绳的总费用不超过350元，那么八（1）班最多可购买多少副羽毛球拍？14．某水果店2400元购进一批葡萄，很快售完；又用5000元购进第二批葡萄，所购件数是第一批的2倍，但进价比第一批每件多了5元．（1）求第一批葡萄每件进价多少元？（2）若以每件150元的价格销售第二批葡萄，售出80%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批葡萄的销售利润不少于640元，剩余的葡萄每件售价至少打几折（利润＝售价﹣进价）？15．某段公路施工，甲工程队单独施工完成的天数是乙工程队单独施工完天数的2倍，由甲、乙两工程队合作20天可完成．（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？（2）若此项过程由甲工程队单独施工，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，已知甲工程队每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，要使施工费用不超过64万元，则甲工程队至少要单独施工多少天？16．在抗击“新冠肺炎”战役中，某公司接到转产生产1440万个医用防护口罩补充防疫一线需要的任务，临时改造了甲、乙两条流水生产线．试产时甲生产线每天的产能（每天的生产的数量）是乙生产线的2倍，各生产80万个，甲比乙少用了2天．（1）求甲、乙两条生产线每天的产能各是多少？（2）若甲、乙两条生产线每天的运行成本分别是1.2万元和0.5万元，要使完成这批任务总运行成本不超过40万元，则至少应安排乙生产线生产多少天？（3）正式开工满负荷生产3天后，通过技术革新，甲生产线的日产能提高了50%，乙生产线的日产能翻了一番．再满负荷生产13天能否完成任务？17．某市地铁1号线全长约60km，市政府通过招标，甲、乙两家地铁工程公司承担了施工任务，根据招标合同可知，甲公司每月计划施工效率是乙公司的1.2倍，则乙公司单独施工比甲公司单独施工多用10个月，且市政府需要支付给甲公司的施工费用为6亿元/km，乙公司的施工费用为5亿元/km．（1）甲、乙两家地铁工程公司每月计划施工各为多少km？（2）由于设备和施工现场只能供一家地铁工程公司单独施工的原因，现计划甲、乙两家公司共用55个月恰好完成施工任务（每家公司施工时间不足一个月按照一个整月计算），且甲公司施工时间不得少于乙公司的两倍，应如何安排才能使市政府支付给两家地铁工程公司的总费用最少？18．京东快递仓库使用机器人分拣货物，已知一台机器人的工作效率相当于一名分拣工人的20倍，若用一台机器人分拣8000件货物，比原先16名工人分拣这些货物要少用小时（1）求一台机器人一小时可分拣多少件货物？（2）受“双十一”影响，重庆主城区某京东仓库11月11日当天收到快递72万件，为了在8小时之内分拣完所有快递货物，公司调配了20台机器人和20名分拣工人，工作3小时之后，又调配了若干台机器人进行增援，则该公司至少再调配多少台机器人进行增援才能在规定的时间内完成任务？19．济南市地铁1号线于2019年1月1日起正式通车，在修建过程中，技术人员不断改进技术，提高工作效率，如在打通一条长600米的隧道时，计划用若干小时完成，在实际工作过程中，每小时打通隧道长度是原计划的1.2倍，结果提前2小时完成任务．（1）求原计划每小时打通隧道多少米？（2）如果按照这个速度下去，后面的300米需要多少小时打通？20．某商场在五四青年节来临之际用2400元购进A，B两种运动衫共22件．已知购买A 种运动衫与购买B种运动衫的费用相同，A种运动衫的单价是B种运动衫单价的1.2倍．（1）求A，B两种运动衫的单价各是多少元？（2）若计划用不超过5600元的资金再次购进A，B两种运动衫共50件，已知A，B两种运动衫的进价不变．求A种运动衫最多能购进多少件？参考答案1．解：（1）设第一批仙桃每件进价x元，则，解得x＝180．经检验，x＝180是原方程的根．答：第一批仙桃每件进价为180元；（2）设剩余的仙桃每件售价打y折．可得×0.1y﹣3700≥440，解得y≥6．答：剩余的仙桃每件售价至少打6折．2．解：（1）设A型额温枪的价格是x元，B型额温枪的价格是（x﹣20）元，由题意可得：，解得：x＝200，经检验：x＝200是原方程的根，∴x﹣20＝180元，答：A型额温枪的价格是200元，B型额温枪的价格是180元；（2）设购进A型号额温枪a只，∵200a+180（30﹣a）≤5800，∴a≤20，∴最多可购进A型号额温枪20只．3．解：（1）设甲品牌消毒剂每瓶的价格为x元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为（3x﹣50）元，由题意得：＝，解得：x＝30，经检验，x＝30是原方程的解且符合实际意义，3x﹣5═40，答：甲品牌消毒剂每瓶的价格为30元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为40元；（2）设购买甲种品牌的消毒剂y瓶，则购买乙种品牌的消毒剂（40﹣y）瓶，由题意得：30y+40（40﹣y）＝1400，解得：y＝20，∴40﹣y＝40﹣20＝20，答：购买了20瓶乙品牌消毒剂．4．解：（1）设乙队每天能完成绿化面积xm2，则甲队每天能完成绿化面积1.5xm2，由题意得：﹣＝2，解得：x＝50，经检验，x＝50是该方程的根，1.5x＝1.5×50＝75（m2），∴甲、乙两工程队每天各能完成的绿化面积分别是75m2、50m2；（2）①设甲队施工a天，则乙队施工天刚好完成绿化任务，由题意得：0.5a+0.3×＝12.2，解得：a＝16，∴＝＝14（天），∴甲队施工16天，乙队施工14天，既能刚好完成绿化任务，又能使总费用恰好为12.2万元；②设甲队施工m（m≥10）天，则乙队施工天刚好完成绿化任务，由题意得：≤22，解得：m≥10，总费用y＝0.5m+0.3×＝，∵＞0，∴y的值随m值的增大而增大，∵m是正整数，且两队施工的天数都是正整数，∴m＝12时，总费用y为最小值，最小值是：＝12（万元），乙队施工＝＝20（天），∴甲队施工12天，乙队施工20天，既能刚好完成绿化任务，又使得总费用最少，最少总费用为12万元．5．（1）解：设A种消毒液每桶x元，则B种消毒液每桶为（x+30）元，由题意得：，解得x＝50，经检验：x＝50是原方程的解，且符合题意，x+30＝50+30＝80．答：A种消毒液每桶50元，则B种消毒液每桶为80元．（2）价格调整后：A种消毒液每桶54元，则B种消毒液每桶为72元，设可购买a桶B种消毒液，则可购买（50﹣a）桶A种消毒液，由题意得：54（50﹣a）+72a≤3260，解得a≤31，∵a是整数，∴a最大等于31．答：学校此次最多可购买31桶B种消毒液．6．解：（1）设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是（x+10）元，依题意有＝，解得x＝2，经检验，x＝2是原方程的解，x+10＝2+10＝12．故一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是12元；（2）设购进一次性医用外科口罩y只，依题意有2y+12（2000﹣y）≤10000，解得y≥1400．故至少购进一次性医用外科口罩1400只．7．解：（1）设第一次购进医用口罩的数量为x个，∴第二次购进医用口罩的数量为（x﹣200）个，∴由题意可知：＝1.25×，解得：x＝1000，经检验，x＝1000是原方程的解，∴x﹣200＝800，答：第一次和第二次分别购进的医用口罩数量为1000和800个．（2）由（1）可知两次购进口罩共1800个，由题意可知：4a+4.5b＝6400，∴a＝1600﹣，∴1800﹣a﹣b＝1800﹣（1600﹣）﹣b＝200+，∵a≤1000，∴1600﹣≤1000，∴b≥533，∵a，b是整数，∴b是8的倍数，∴b的最小值是536，∴1800﹣a﹣b≥267，答：药店捐赠口罩至少有267个8．解：（1）设这项工程的规定时间是x天，则甲队单独施工需要x天完工，乙队单独施工需要1.5x天完工，依题意，得：+＝1，解得：x＝30，经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意．答：这项工程的规定时间是30天．（2）由（1）可知：甲队单独施工需要30天完工，乙队单独施工需要45天完工，1÷（+）＝18（天）．答：甲乙两队合作完成该工程需要18天．9．解：设乙公司单独完成需x天，则甲公司单独完成需要2x天，根据题意得：+＝，解得：x＝30，经检验，x＝30是原方程的解．∴应付甲公司2×30×650＝39000（元）．应付乙公司30×1200＝36000（元）．∵36000＜39000，∴公司应选择乙公司．答：公司应选择乙公司，应付工程总费用36000元．10．解：（1）设乙工程队每天能完成x米的清淤任务，则甲工程队每天能完成2x米的清淤任务，依题意，得：﹣＝5，解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，∴2x＝20．答：甲工程队每天能完成20米的清淤任务，乙工程队每天能完成10米的清淤任务．（2）设应安排乙工程队清淤m天，则安排甲工程队清淤天，依题意，得：0.8m+2×≤60，解得：m≥60．答：至少应安排乙工程队清淤60天．11．解：设4G网络的峰值速率为x MB/秒，则5G网络的峰值速率为10x MB/秒．依题意可列方程：，解得：x＝10，经检验：x＝10是原分式方程的根，且符合题意．答：4G网络的峰值速率为10 MB/秒，则5G网络的峰值速率为100 MB/秒．12．解：（1）设乙厂每天加工x套防护服，则甲厂每天加工1.5x套防护服，根据题意，得﹣＝4．解得x＝50．经检验：x＝50是所列方程的解．则1.5x＝75．答：甲厂每天加工75套防护服，乙厂每天加工50套防护服；（2）设甲厂要加工m天，根据题意，得150m+120×≤6360．解得m≥28．答：甲厂至少要加工28天．13．解：（1）设购买一副羽毛球拍需要x元，则购买一根跳绳需要（x﹣20）元，依题意，得：＝×，解得：x＝25，经检验，x＝25是原方程的解，且符合题意，∴x﹣20＝5．答：购买一副羽毛球拍需要25元，购买一根跳绳需要5元．（2）设八（1）班购买m副羽毛球拍，则购买（2m+10）根跳绳，依题意，得：25m+5（2m+10﹣m）≤350，解得：m≤10．答：八（1）班最多可购买10副羽毛球拍．14．解：（1）设第一批葡萄每件进价x元，根据题意，得：×2＝，解得x＝120．经检验，x＝120是原方程的解且符合题意．答：第一批葡萄每件进价为120元．（2）设剩余的葡萄每件售价打y折．根据题意，得：×150×80%+×150×（1﹣80%）×0.1y﹣5000≥640，解得：y≥7．答：剩余的葡萄每件售价最少打7折．15．解：（1）设乙单独完成此项工程需要x天，则甲单独完成需要2x天，根据题意可得：+＝1，解得：x＝30，经检验x＝30是原方程的解．故x+30＝60，答：甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天，30天；（2）设甲工程队要单独施工m天，则甲、乙两工程队要合作施工＝天，由题意得：m+×3.5≤64，解得：m≥36，答：甲工程队至少要单独施工36天．16．解：（1）设乙条生产线每天的产能是x万个，则甲条生产线每天的产能是2x万个，依题意有﹣＝2，解得x＝20，经检验，x＝20是原方程的解，2x＝2×20＝40，故甲条生产线每天的产能是40万个，乙条生产线每天的产能是20万个；（2）设安排乙生产线生产y天，依题意有0.5y+1.2×≤40，解得y≥32．故至少应安排乙生产线生产32天；（3）（40+20）×3+[40×（1+50%）+20×2]×13＝180+1300＝1480（万个），1440万个＜1480万个，故再满负荷生产13天能完成任务．17．解：（1）设乙公司每月计划施工xkm，则甲公司每月施工1.2xkm，根据题意，得，解得，x＝1，经检验，x＝1是原方程的根，∴1.2x＝1.2×1＝1.2km，答：甲公司每月计划施工1.2km，乙公司每月施工1km；（2）设甲公司施工了m个月，则乙公司施工（55﹣m）个月，共支付的总费用为w亿元，由题意可得：w＝1.2×6•m+1×5•（55﹣m）＝7.2m+275﹣5m＝2.2m+275，∵k＝2.2＞0，w随着m的增大而增大，∵甲公司施工时间不得少于乙公司的两倍，∴m≥2（55﹣m），∴，∴当m＝37时，w有最小值，∴55﹣37＝18，答：甲公司施工37个月，乙公司施工18个月，总费用最少．18．解：（1）设一名工人每小时可分拣x件货物，则一台机器人每小时可分拣20x件货物，根据题意得：解得：x＝150经检验：x＝150 是原方程的根．∴20x＝3000答：一台机器人每小时可以分拣3000件货物．（2）设公司需再调配y台机器人进行增援才能在规定时间内完成任务，根据题意得：8×（20×150+20×3000）+（8﹣3）×3000y≥720000可得：y≥14.4∵y为正整数，∴y的最小整数解为15．答：公司至少再调配15台机器人进行增援才能在规定时间内完成任务．19．解：（1）设原计划每小时打通隧道x米，则实际工作过程中每小时打通隧道1.2x米，依题意，得：﹣＝2，解得：x＝50，经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意．答：原计划每小时打通隧道50米．（2）300÷（50×1.2）＝5（小时）．答：按照这个速度下去，后面的300米需要5小时打通．20．解：（1）设B种运动衫单价为x元/件，则A种运动衫单价为1.2x元/件，由题意得：+＝22，解得：x＝100，经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意，∴1.2x＝120，∴A种运动衫单价为120元/件，B种运动衫单价为100元/件；答：A种运动衫单价为120元/件，B种运动衫单价为100元/件．（2）设购进A种运动衫m件，则购进B种运动衫（50﹣m）件，由题意得：120m+100（50﹣m）≤5600，解得：m≤30．答：A种运动衫最多能购进30件．。
根式与分式的运算乐乐学园
根式与分式的运算乐乐学园根式和分式是数学中常见的两种运算形式。
根式是指形如√a的表达式，其中a是一个非负实数。
分式是指形如a/b的表达式，其中a和b都是实数且b不等于0。
首先，我们来看一下根式的运算。
根式的运算包括开方、化简、合并等。
开方是指将一个数分解成两个相同的数的乘积，即√a = b，其中a和b都是非负实数。
例如，√9 = 3，因为3 × 3 = 9。
开方可以用于求解平方根、立方根等。
化简是指将一个根式进行简化，使其表达式更加简洁。
例如，√8可以化简为2√2。
合并是指将两个根式进行合并，可以通过化简或者变形来实现。
例如，√3 + √5可以合并为√3 + √5。
其次，我们来看一下分式的运算。
分式的运算包括四则运算、合并、约分等。
四则运算是指对分式进行加减乘除的运算。
例如，1/2 + 1/3 = 5/6，1/2 × 1/3 = 1/6，1/2 ÷ 1/3 = 3/2。
合并是指将两个分式进行合并，可以通过通分或者简单的分数运算来实现。
例如，1/2+ 1/3可以合并为5/6。
约分是指将一个分数化简为最简分数。
例如，6/9可以约分为2/3。
在运算根式和分式时，需要注意一些规则和技巧。
在根式的运算中，可以利用根式的性质进行化简和合并，例如√a × √b = √(a × b)，√a ÷ √b = √(a ÷ b)。
在分式的运算中，需要注意分数的四则运算法则，以及约分时要找到最大公约数。
另外，分式的加减运算需要先找到两个分数的最小公倍数，然后进行通分。
分式的乘除运算可以直接对分子和分母进行相应的乘除运算。
在实际问题中，根式和分式的运算经常被用来描述和解决问题。
例如，在几何中，根式可以用来求解边长或者面积；在物理中，分式可以用来表示速度、密度等物理量。
因此，掌握根式和分式的运算方法对于解题和理解数学概念是非常重要的。
总之，根式和分式的运算是数学中常见的运算形式。
《分式方程》(真题50道模拟31道)中考专项配套练习(四川专用)
5年（2016-2020）中考1年模拟数学试题分项详解（四川专用）专题09分式方程（真题50道模拟31道）一．选择题（共20小题）1．（2020•广元）按照如图所示的流程，若输出的M ＝﹣6，则输入的m 为（ ）A ．3B ．1C ．0D ．﹣12．（2020•绵阳）甲、乙二人同驾一辆车出游，各匀速行驶一半路程，共用3小时，到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花的时间，可以行驶180km ”，乙对甲说：“我用你所花的时间，只能行驶80km ”．从他们的交谈中可以判断，乙驾车的时长为（ ） A ．1.2小时B ．1.6小时C ．1.8小时D ．2小时3．（2020•泸州）已知关于x 的分式方程m x−1+2=−31−x 的解为非负数，则正整数m 的所有个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．64．（2020•宜宾）学校为了丰富学生知识，需要购买一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多8元，已知学校用15000元购买科普类图书的本数与用12000元购买文学类图书的本数相等．设文学类图书平均每本x 元，则列方程正确的是（ ） A ．15000x−8=12000x B ．15000x+8=12000x C ．15000x=12000x−8D ．15000x=12000x+85．（2020•甘孜州）分式方程3x−1−1＝0的解为（ ）A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝3D ．x ＝46．（2020•成都）已知x ＝2是分式方程k x+x−3x−1=1的解，那么实数k 的值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．67．（2020•自贡）某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的五年中考真题工作效率比原计划提高了35%，结果提前40天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ） A ．80(1+35%)x −80x=40 B ．80(1+35%)x−80x=40 C ．80x−80(1+35%)x=40D ．80x−80(1+35%)x=408．（2020•遂宁）关于x 的分式方程mx−2−32−x=1有增根，则m 的值（ ） A ．m ＝2B ．m ＝1C ．m ＝3D ．m ＝﹣39．（2019•德阳）分式方程x x−1=2x 2−1的解是（ ）A ．x 1＝﹣2，x 2＝1B ．x ＝1C ．x ＝﹣2D ．无解10．（2019•阿坝州）方程2−x x−5−45−x=0的解为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．611．（2019•成都）分式方程x−5x−1+2x=1的解为（ ）A ．x ＝﹣1B ．x ＝1C ．x ＝2D ．x ＝﹣212．（2019•遂宁）关于x 的方程k2x−4−1=xx−2的解为正数，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＞﹣4B ．k ＜4C ．k ＞﹣4且k ≠4D ．k ＜4且k ≠﹣413．（2018•阿坝州）若x ＝4是分式方程a−2x=1x−3的根，则a 的值为（ ）A ．6B ．﹣6C ．4D ．﹣414．（2018•巴中）若分式方程3x−a x 2−2x+1x−2=2x有增根，则实数a 的取值是（ ） A ．0或2B ．4C ．8D ．4或815．（2018•成都）分式方程x+1x+1x−2=1的解是（ ）A ．x ＝1B ．x ＝﹣1C ．x ＝3D ．x ＝﹣316．（2017•达州）某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨13．小丽家去年12月份的水费是15元，而今年5月的水费则是30元．已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m 3．求该市今年居民用水的价格．设去年居民用水价格为x 元/m 3，根据题意列方程，正确的是（ ） A ．30(1+13)x −15x=5 B ．30(1−13)x−15x=5C ．30x−15(1+13)x=5D ．30x−15(1−13)x=517．（2017•成都）已知x ＝3是分式方程kxx−1−2k−1x=2的解，那么实数k 的值为（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．218．（2016•凉山州）关于x 的方程3x−2x+1=2+m x+1无解，则m 的值为（ ）A ．﹣5B ．﹣8C ．﹣2D ．519．（2016•南充）某次列车平均提速20km /h ，用相同的时间，列车提速前行驶400km ，提速后比提速前多行驶100km ，设提速前列车的平均速度为xkm /h ，下列方程正确的是（ ） A ．400x =400+100x+20 B ．400x =400−100x−20 C ．400x=400+100x−20D ．400x=400−100x+2020．（2016•内江）甲、乙两人同时分别从A ，B 两地沿同一条公路骑自行车到C 地．已知A ，C 两地间的距离为110千米，B ，C 两地间的距离为100千米．甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时．结果两人同时到达C 地．求两人的平均速度，为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x 千米/时．由题意列出方程．其中正确的是（ ） A ．110x+2=100x B ．110x =100x+2C ．110x−2=100xD ．110x=100x−2二．填空题（共17小题）21．（2020•眉山）关于x 的分式方程1x−2+2=1−k2−x 的解为正实数，则k 的取值范围是 ． 22．（2020•广元）关于x 的分式方程m 2x−1+2＝0的解为正数，则m 的取值范围是 ．23．（2020•内江）若数a 使关于x 的分式方程x+2x−1+a 1−x=3的解为非负数，且使关于y 的不等式组{y−34−y+13≥−13122(y −a)＜0的解集为y ≤0，则符合条件的所有整数a 的积为 ． 24．（2019•凉山州）方程2x−1x−1+21−x 2=1的解是 ．25．（2019•绵阳）一艘轮船在静水中的最大航速为30km /h ，它以最大航速沿江顺流航行120km 所用时间，与以最大航速逆流航行60km 所用时间相同，则江水的流速为 km /h ． 26．（2019•巴中）若关于x 的分式方程x x−2+2m 2−x=2m 有增根，则m 的值为 ．27．（2018•遂宁）A ，B 两市相距200千米，甲车从A 市到B 市，乙车从B 市到A 市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快15千米/小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地．若设乙车的速度是x 千米/小时，则根据题意，可列方程 ． 28．（2018•达州）若关于x 的分式方程x x−3+3a 3−x=2a 无解，则a 的值为 ．29．（2018•眉山）已知关于x 的分式方程x x−3−2=kx−3有一个正数解，则k 的取值范围为 ． 30．（2017•攀枝花）若关于x 的分式方程7x−1+3=mxx−1无解，则实数m ＝ ． 31．（2017•巴中）分式方程2x−3=3x−2的解是x ＝ ．32．（2017•南充）如果1m−1=1，那么m ＝ ．33．（2017•泸州）若关于x 的分式方程x+m x−2+2m 2−x=3的解为正实数，则实数m 的取值范围是 ．34．（2017•绵阳）关于x 的分式方程2x−1−1x+1=11−x的解是 ．35．（2016•攀枝花）已知关于x 的分式方程k x+1+x+k x−1=1的解为负数，则k 的取值范围是 ．36．（2016•广安）某市为治理污水，需要铺设一段全长600m 的污水排放管道，铺设120m 后，为加快施工进度，后来每天比原计划增加20m ，结果共用11天完成这一任务，求原计划每天铺设管道的长度．如果设原计划每天铺设xm 管道，那么根据题意，可列方程 ． 37．（2016•泸州）分式方程4x−3−1x=0的根是 ．三．解答题（共13小题）38．（2019•眉山）在我市“青山绿水”行动中，某社区计划对面积为3600m 2的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，如果两队各自独立完成面积为600m 2区域的绿化时，甲队比乙队少用6天． （1）求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的绿化；（2）若甲队每天绿化费用是1.2万元，乙队每天绿化费用为0.5万元，社区要使这次绿化的总费用不超过40万元，则至少应安排乙工程队绿化多少天？39．（2019•乐山）如图，点A 、B 在数轴上，它们对应的数分别为﹣2，x x+1，且点A 、B 到原点的距离相等．求x 的值．40．（2019•宜宾）甲、乙两辆货车分别从A 、B 两城同时沿高速公路向C 城运送货物．已知A 、C 两城相距450千米，B 、C 两城的路程为440千米，甲车比乙车的速度快10千米/小时，甲车比乙车早半小时到达C 城．求两车的速度．41．（2019•衡阳）某商店购进A 、B 两种商品，购买1个A 商品比购买1个B 商品多花10元，并且花费300元购买A 商品和花费100元购买B 商品的数量相等． （1）求购买一个A 商品和一个B 商品各需要多少元；（2）商店准备购买A 、B 两种商品共80个，若A 商品的数量不少于B 商品数量的4倍，并且购买A 、B 商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？ 42．（2019•广安）解分式方程：x x−2−1=4x 2−4x+4．43．（2019•遂宁）仙桃是遂宁市某地的特色时令水果．仙桃一上市，水果店的老板用2400元购进一批仙桃，很快售完；老板又用3750元购进第二批仙桃，所购件数是第一批的32倍，但进价比第一批每件多了5元．（1）第一批仙桃每件进价是多少元？（2）老板以每件225元的价格销售第二批仙桃，售出80%后，为了尽快售完，剩下的决定打折促销．要使得第二批仙桃的销售利润不少于2460元，剩余的仙桃每件售价至少打几折？（利润＝售价﹣进价） 44．（2019•达州）端午节前后，张阿姨两次到超市购买同一种粽子．节前，按标价购买，用了96元；节后，按标价的6折购买，用了72元，两次一共购买了27个．这种粽子的标价是多少？45．（2019•巴中）在“扶贫攻坚”活动中，某单位计划选购甲、乙两种物品慰问贫困户．已知甲物品的单价比乙物品的单价高10元，若用500元单独购买甲物品与450元单独购买乙物品的数量相同． ①请问甲、乙两种物品的单价各为多少？②如果该单位计划购买甲、乙两种物品共55件，总费用不少于5000元且不超过5050元，通过计算得出共有几种选购方案？46．（2018•德阳）为配合“一带一路”国家倡议，某铁路货运集装箱物流园区正式启动了2期扩建工程．一项地基基础加固处理工程由A 、B 两个工程公司承担建设，已知A 工程公司单独建设完成此项工程需要180天，A 工程公司单独施工45天后，B 工程公司参与合作，两工程公司又共同施工54天后完成了此项工程．（1）求B 工程公司单独建设完成此项工程需要多少天？（2）由于受工程建设工期的限制，物流园区管委会决定将此项工程划包成两部分，要求两工程公司同时开工，A 工程公司建设其中一部分用了m 天完成，B 工程公司建设另一部分用了n 天完成，其中m ，n 均为正整数，且m ＜46，n ＜92，求A 、B 两个工程公司各施工建设了多少天？47．（2018•广安）某车行去年A 型车的销售总额为6万元，今年每辆车的售价比去年减少400元．若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%． （1）求今年A 型车每辆车的售价．（2）该车行计划新进一批A 型车和B 型车共45辆，已知A 、B 型车的进货价格分别是1100元、1400元，今年B 型车的销售价格是2000元，要求B 型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获得最大利润，最大利润是多少？48．（2018•宜宾）我市经济技术开发区某智能手机有限公司接到生产300万部智能手机的订单，为了尽快交货，增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了50%，结果比原计划提前5个月完成交货，求每月实际生产智能手机多少万部．49．（2016•绵阳）绵阳人民商场准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少5元，其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同． （1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是多少元？（2）若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3倍少5件，两种牛奶的总数不超过95件，该商场甲种牛奶的销售价格为49元，乙种牛奶的销售价格为每件55元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润（利润＝售价﹣进价）超过371元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶有哪几种方案？50．（2017•宜宾）用A 、B 两种机器人搬运大米，A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运20袋大米，A 型机器人搬运700袋大米与B 型机器人搬运500袋大米所用时间相等．求A 、B 型机器人每小时分别搬运多少袋大米．一．选择题（共12小题） 1．（2020•成都模拟）分式方程x−1x−2+2=32−x 的解为（ ）A ．x ＝﹣1B ．x ＝1C ．x ＝2D ．x =232．（2020•涪城区模拟）关于x 的方程x−m x−1+2m 1−x=2的解为正数，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＜23B ．m ＞23C ．m ＜23且m ≠13 D ．m ＜23且m ≠03．（2020•宜宾模拟）抗击“新冠肺炎”疫情中，某呼吸机厂家接到一份生产300台呼吸机的订单，在生产完成一半时，应客户要求，需提前供货，每天比原来多生产20台呼吸机，结果提前2天完成任务．设原来每天生产x 台呼吸机，下列列出的方程中正确的是（ ） A ．150x+150x+20=300x+2 B ．150x+300x+20=300x+2C ．150x+20=300x−2 D ．150x+20=150x−24．（2020•白云区模拟）甲、乙两人分别从距目的地6km 和10km 的两地同时出发，甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前13h 到达目的地，设甲的速度为3xkm /h ，下列方程正确的是（ ）A ．104x+13=63x B ．104x −13=63xC ．103x+13=64xD ．103x−13=64x5．（2020•新都区模拟）下列结论正确的是（ ） A ．y+15=y3是分式方程B ．方程x−2x+2−16x 2−4=1无解C ．方程xx 2+x=3xx 2+x的根为x ＝0D ．解分式方程时，一定会出现增根 6．（2020•成都模拟）下列关于分式方程x−22x−1+1=32−4x的解的情况，判断正确的是（ ） A ．x ＝1.5B ．x ＝﹣0.5C ．x ＝0.5D ．无解7．（2020•南充模拟）解方程1x−1=x+1x 2−x，结果是（ ）A ．x ＝1B ．x ＝﹣1C ．x ＝0D ．无解8．（2020•成都模拟）分式方程(x+1)2x+2=1x+2的解是（ ） A ．﹣2B ．0C ．﹣2或0D ．无解9．（2020•南充一模）关于x 的方程a+1x−1=1的解是正数，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＞﹣2B ．a ＞﹣2，且a ≠﹣1C ．a ＞﹣1D ．a ＞﹣1，且a ≠﹣210．（2020•武侯区校级模拟）分式方程1x−3+1=x3−x 的解为（ ）A ．无解B ．x ＝1C ．x ＝﹣1D ．x ＝﹣211．（2020•龙泉驿区模拟）分式方程x−5x−1+2x=1的解为（ ）A ．x ＝﹣1B ．x ＝1C ．x ＝2D ．x ＝﹣212．（2020•绵阳模拟）某店在开学初用880元购进若干个学生专用科学计算器，按每个50元出售，很快就销售一空，据了解学生还急需3倍这种计算器，于是又用2580元购进所需计算器，由于量大每个进价比上次优惠1元，该店仍按每个50元销售，最后剩下4个按九折卖出．这笔生意该店共盈利（ ）元． A ．508B ．520C ．528D ．560二．填空题（共10小题） 13．（2020•成都模拟）分式方程53x−1=2x的解为 ．14．（2020•温江区模拟）若关于x 的分式方程xx−2+3m 2−x =2m 有增根，则m 的值为 ． 15．（2020•都江堰市模拟）当x ＝ 时，代数式1x−1−2x−1的值为﹣1．16．（2020•成都模拟）若关于x 的分式方程3x−a 2x−1−x−11−2x=1的解为正数，且关于y 的一元一次不等式组{1−y−126＜2y−12y −2(12a −2)＜4的解集为无解，则符合条件的所有整数a 的和为 ． 17．（2020•武侯区模拟）有六张大小形状相同的卡片，分别写有1～6这六个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽取一张，记卡片上的数字为a ，则a 的值使得关于x 的分式方程ax−2x−2−1=6x−2有整数解的概率为 ．18．（2020•新都区模拟）若关于x 的分式方程5−a x+2=x 2+x+3无解，那么a 的值为 ．19．（2020•都江堰市模拟）分式方程2x−1x−2=1的解为 ．20．（2020•成都模拟）已知关于x 的分式方程mx−2−x+m x+2=1的解为正数，则m 的取值范围是 ．21．（2020•新都区模拟）若方程3x+3=2x+k有负数根，则k 的取值范围为 ．22．（2019•开江县二模）A ，B 两市相距150千米，甲车从A 市到B 市，乙车从B 市到A 市，两车同时出发．已知甲车速度比乙车速度快15千米/时，且甲车比乙车早半小时到达目的地．若设乙车的速度是x 千米/小时，则根据题意，可列方程 ． 三．解答题（共9小题）23．（2020•涪城区模拟）（1）计算：(12)−2−(π−√7)0+|√3−2|+4tan60°； （2）解方程：2x 2x−5−22x+5=1．24．（2020•成都模拟）大邑县某汽车出租公司有若干辆同一型号的货车对外出租，每辆货车的日租金实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每辆货车的日租金比淡季上涨25%．据统计，淡季该公司平均每天有10辆货车未出租，日租金总收入为3200元；旺季所有的货车每天能全部租出，日租金总收入为6000元．（1）求该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆？（2）经市场调查发现，在旺季如果每辆货车的日租金每上涨20元，每天租出去的货车就会减少1辆，不考虑其它因素，该出租公司的日租金总收入最高是多少元？当日租金总收入最高时，每天出租货车多少辆？25．（2020•成华区模拟）某商场在五四青年节来临之际用2400元购进A，B两种运动衫共22件．已知购买A种运动衫与购买B种运动衫的费用相同，A种运动衫的单价是B种运动衫单价的1.2倍．（1）求A，B两种运动衫的单价各是多少元？（2）若计划用不超过5600元的资金再次购进A，B两种运动衫共50件，已知A，B两种运动衫的进价不变．求A种运动衫最多能购进多少件？26．（2020•青羊区模拟）某商店以固定进价一次性购进一种商品，7月份按一定售价销售，销售额为120000元，为扩大销量，减少库存，8月份在7月份售价基础上打8折销售，结果销售量增加40件，销售额增加8000元．（1）求该商店7月份这种商品的售价是多少元？（2）如果该商品的进价为750元，那么该商店7月份销售这种商品的利润为多少元？27．（2020•东坡区模拟）为全面改善公园环境，现招标建设某全长960米绿化带，A，B两个工程队的竞标，A队平均每天绿化长度是B队的2倍，若由一个工程队单独完成绿装化，B队比A队要多用6天．（1）分别求出A，B两队平均每天绿化长度．（2）若决定由两个工程队共同合作绿化，要求至多4天完成绿化任务，两队都按（1）中的工作效率绿化完2天时，现又多出180米需要绿化，为了不超过4天时限，两队决定从第3天开始，各自都提高工作效率，且A队平均每天绿化长度仍是B队的2倍，则B队提高工作效率后平均每天至少绿化多少米？28．（2020•顺庆区校级模拟）计算：（1）（−12）﹣2+（π﹣3）0+|1−√2|+tan45°（2）xx+1=2x3x+3+129．（2020•巴中模拟）现有A、B两种商品，已知买一件A商品要比买一件B商品少30元，用160元全部购买A商品的数量与用400元全部购买B商品的数量相同．（1）求A、B两种商品每件各是多少元？（2）如果小亮准备购买A、B两种商品共10件，总费用不超过380元，且不低于300元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？30．（2020•成都模拟）某商场打算在年前用30000元购进一批彩灯进行销售，由于进货厂家促销，实际可以以8折的价格购进这批彩灯，结果可以比计划多购进了100盏彩灯．（1）该商场购进这种彩灯的实际进价为多少元？（2）该商场打算在实际进价的基础上，每盏灯加价50%的销售，但可能会面临滞销，因此将有20%的彩灯需要降价，以5折出售，该商场要想获利不低于15000元，应至少在购进这种彩灯多少盏？31．（2020•德阳模拟）有一项工程，由甲、乙两个工程队共同完成，若乙工程队单独完成需要60天；若两个工程队合作18天后，甲工程队再单独做10天也恰好完成．（1）甲工程队单独完成此项工程需要几天？（2）若甲工程队每天施工费用为0.6万元，乙工程队每天施工费用为0.35万元，要使该项目总施工费用不超过22万元，则乙工程队至少施工多少天？。
分数的计算应用中的优学
个人信息
姓名
学段
小学
学科
数学
所在学校名称
“优学”的方法与经验
“优”在何处
在分数的计算应用中，经常会用到的一些常数，如果每次都计算会浪费很多时间，这时在应用几次后，列出来让学生发现规律，“死记硬背”下来，反而对实际应用中更方便，如 , , , , , , , , , , , , , 等这些有特点的常数转化成小数，百分数记下来，在实际的应用中会提高计算的速度，多数同学在实际应用中会发现规律，但仍有相当一些学生不善于发现这些特点，就需要老师归纳出来，让其“背”下来，看似“落后”，实则“优学”。
该方法的适用范围
该方法主要应用在分数的计算，分数小学百分数的互化中。
优学课堂知识点总结
优学课堂知识点总结一、数学知识点总结1. 数学基础知识数学基础知识是学习数学的基础，包括数字、加减乘除、分数、小数、百分数、倍数、约数、公因数、公倍数等基本概念。
在学习数学的过程中，需要掌握这些基础知识，才能够顺利进行后续的学习。
2. 代数代数是数学中的一个重要分支，主要研究数与数的关系，代数的基本内容包括整式、方程、不等式、函数、集合论、数列等。
在学习代数知识时，需要理解代数的基本概念和性质，掌握解代数方程、不等式的方法和技巧，以及掌握利用代数知识解决实际问题的能力。
3. 几何几何是研究空间与图形的形状、大小、性质及其相互关系的数学分支。
几何的基本内容包括点、线、面、几何图形、平面、立体等。
在学习几何知识时，需要理解几何图形的性质、计算几何图形的面积、体积，掌握几何证明方法和技巧，以及掌握利用几何知识解决实际问题的能力。
4. 统计与概率统计与概率是数学中的一个重要分支，主要研究数据的收集、整理、分析以及概率的计算。
统计与概率的基本内容包括频数与频率、统计图表、中心倾向与离散程度、概率的概念与计算等。
在学习统计与概率知识时，需要理解统计数据的处理方法，掌握统计图表的绘制方法，了解中心倾向与离散程度的计算方法，掌握概率计算的基本原理，以及掌握利用统计与概率知识解决实际问题的能力。
5. 数学应用数学应用是将数学知识应用于实际问题的能力，包括数学建模、数学思维和实践能力等。
在学习数学知识时，需要注重培养学生的数学应用能力，帮助他们将所学的数学知识运用到实际生活和工作中，解决现实问题。
二、语文知识点总结1. 语文基础知识语文基础知识是学习语文的基础，包括汉字、词语、句子、段落等基本概念。
在学习语文的过程中，需要掌握好汉字的读写，词语的理解和拼写，句子的组成和分析，段落的结构和逻辑，才能够进行后续的语文学习。
2. 语文阅读与鉴赏语文阅读与鉴赏是培养学生语文素养和阅读能力的重要环节，主要包括文学作品的理解、分析和评价。
智能优选卷八上数学华师
智能优选卷八上数学华师一、选择题1、已知y2+my+16是完全平方式，则m的值是（）A、8B、4C、±8D、±42、下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（）A、x2-6x-9B、a2-16a+32C、x2-2xy+4y2D、4a2-4a+13、下列各式属于正确分解因式的是（）A、1+4x2=（1+2x）2B、6a-9-a2=-（a-3）2C、1+4m-4m2=（1-2m）2D、x2+xy+y2=（x+y）24、把x4-2x2y2+y4分解因式，结果是（）A、（x-y）4B、（x2-y2）4C、[（x+y）（x-y）]2D、（x+y）2（x-y）25、当分式|x|-3x+3 的值为零时，x的值为()A、0B、3C、-3D、±36、化简m2-3m9-m2 的结果是()A、mm+3B、-mm+3C、mm-3D、m3-m7、下列各式正确的是()A、-x+y-x-y = x-yx+yB、-x+yx-y = -x-yx-yC、-x+y-x-y =x+yx-yD、-x+y-x-y = -x-yx+y8、如果把分式x+2yx 中的x和y都扩大10倍，那么分式的值()A、扩大10倍B、缩小10倍C、扩大2倍D、不变9、计算(x-y )2 等于()A、x2-yB、x2yC、-x2y2D、x2y210、化简a2a-1 -a-1的结果为()A、2a-1a-1B、-1a-1C、1a-1D、211、把分式x2-25x2-10x+25 约分得到的结果是()A、x+5x-5B、x-5x+5C、1D、110x12、分式1x2-1 有意义的条件是()A、x≠1B、x≠-1C、x≠±1D、x≠013、已知1< x < 2 ,则分式| x-2|x-2 -|x-1|x-1 + |x|x 的值为()A、2B、1C、0D、-114、一项工程，甲单独做需要x天完成，乙单独做需要y天完成，则甲、乙合做需几天完成()A、x+yB、x+yxyC、xyx+yD、x+y215、如果a与-2互为倒数，那么a是()A、-2B、-1/2C、1/2D、2二、填空题1、三峡水库总库容39300000000立方米，把这个数改写成“亿”作单位的数是( )。
简便计算奇招教案：数学计算不用愁
简便计算奇招教案：数学计算不用愁作为是一门具有极高实用性和广泛应用的学科，数学作为一个人的日常生活中难以被避开的一个部分，却常常因为繁琐复杂、抽象难懂而让学生感到头痛。
对于现代人来说，计算未尝不是一个很重要的文化能力，在计算方法和思维空间方面，也需要进行不断的训练和提高。
但是，随着社会的进步和科技的发展，作为一种智能自主学习的工具，计算机为我们提供了极大的便利，让计算变得更加快捷、更加准确，不断推动着数学教育方法的变革和更多的教育创新。
在这篇文章中，我将为大家介绍一些简便计算方法和奇招，让你轻松地学会数学计算，并彻底摆脱“算数难”的困扰。
一、高速口算高速口算是指在最短时间内完成大量计算任务的一种技能。
随着教育的普及和计算机的发展，许多人认为优秀的口算技巧已经失去了重要性。
但实际上，有些技能可能更为重要。
例如，当你出门去买菜时，遇到一些数学问题，如计算优惠打折后的价格或根据所需数量计算总价等时，手算并没有损失效率，甚至有时能更好地取得优惠。
而在事务繁忙的日常生活中，高效率执行简单计算的技能大有用处，极大地减少了笨拙而耗时的计算，并将其简化为基础计算输入式，让我们的思维更具逻辑性和高效性。
媒体上有很多关于高速口算的报道。
例如：《100秒内完成13道数学题》或“如何用最短的时间“心算”出任意两个3位数的积”。
这些方法都有一些共同的特点，这里整理出10个小技巧：1. 活用乘法表。
很多人从小学乘法表学起。
当你成年后，就可以把所有的乘法表都背过，而不仅仅只是1到12. 这对记忆最强大的人工头。
2. 不断练习。
练习到熟练，就能达到超级有用的状态。
口算加减乘除，可以每天都练习些，这可以尝试以比赛或挑战形式进行。
3. 精确计算。
做乘法、加法、减法、除法时，你必须把眼睛盯住数字，把数字重新排列，以便更好地配对。
4. 简化运算。
当你“合并”一些数字，将两个数字加在一起或将一个数字拆分为几个数字时，可以大大简化难度，直接得出答案。
2024分式的运算人教版数学八年级上册教案
2024分式的运算人教版数学八年级上册教案一、教学目标1.知识与技能：掌握分式的概念、分式的加减乘除运算方法，能够熟练运用这些方法解决实际问题。
2.过程与方法：通过探究、讨论、练习，提高学生运用分式运算解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：培养学生认真、细心的学习态度，提高学生对数学的兴趣和自信。
二、教学重点与难点1.教学重点：分式的概念、分式的加减乘除运算方法。
2.教学难点：分式混合运算、分式方程的解法。
三、教学过程第一课时：分式的概念及加减运算1.导入新课师：同学们，我们已经学习了分数的加减运算，那么在数学中，还有一种与分数类似的运算，叫做分式运算。
今天我们就来学习分式的概念及加减运算。
2.讲解分式的概念师：分式是指分子和分母都是整式的式子，其中分母不能为0。
比如，1/x、x+2/x-1等都是分式。
3.讲解分式的加减运算师：分式的加减运算与分数的加减运算类似，要求分母相同，然后分子相加减。
如果分母不同，需要先通分，再进行加减运算。
4.示例讲解师：我们来看一个例子，计算(3/x)+(2/y)。
我们要将分母通分，得到(3y+2x)/(xy)。
然后，分子相加，得到(3y+2x)/(xy)。
5.练习师：同学们，现在请你们完成练习题1，计算(4/x)(3/y)。
第二课时：分式的乘除运算1.导入新课师：上节课我们学习了分式的概念及加减运算，这节课我们将学习分式的乘除运算。
2.讲解分式的乘法运算师：分式的乘法运算比较简单，直接将分子相乘，分母相乘。
比如，(1/x)(2/y)=2/xy。
3.讲解分式的除法运算师：分式的除法运算稍微复杂一些，我们需要将除数的分子与被除数的分母相乘，将除数的分母与被除数的分子相乘。
比如，(1/x)/(2/y)=(1/x)(y/2)=y/2x。
4.示例讲解师：我们来看一个例子，计算(3/x)(2/y)和(4/x)/(3/y)。
根据分式的乘除法则，我们可以得到6/xy和4/3y。
5.练习师：同学们，现在请你们完成练习题2，计算(5/x)(2/y)和(6/x)/(3/y)。
分母去根号的方法-概述说明以及解释
分母去根号的方法-概述说明以及解释1.引言概述部分的内容可以写作：1.1 概述分母去根号的方法是一种数学中常用的技巧，用于简化分式表达式中的根号，使得计算更加方便和准确。
在数学问题中，分母中存在根号会给计算带来一定的困扰，因此我们需要寻找一种方法来消除这种不便。
本文将介绍两种常用的分母去根号的方法：方法一和方法二。
通过对这两种方法的原理和应用场景进行详细描述和讨论，旨在帮助读者更好地理解和掌握分母去根号的技巧。
在方法一中，我们将介绍一种基于有理化的思路来消去分母中的根号。
具体而言，我们将通过一系列的代数变换和恰当的有理数化技巧，将分母中的根号表达式转化为非根号的形式。
这种方法在某些特定的场景中应用广泛，并且具有较为简便的计算步骤。
在方法二中，我们将介绍一种基于近似和数值计算的思路来消去分母中的根号。
通过利用近似计算和数值逼近，我们可以将复杂的根号表达式替换为更简单的近似值，从而达到简化运算的目的。
这种方法在实际问题中常常用于简化计算过程和提高计算精度。
在结论部分，我们将对方法一和方法二进行总结和适用性的讨论。
根据不同的问题和具体的计算要求，我们将分析和比较这两种方法的优缺点，帮助读者选择适合自己需求的技巧。
同时，在展望部分，我们将对分母去根号的方法进行展望，探讨未来可能的改进和扩展方向。
通过研究和掌握这些分母去根号的方法，相信读者将能够更加灵活和准确地运用这些技巧，在数学问题的求解中取得更好的成果。
下面将详细介绍方法一和方法二的原理和应用场景。
1.2文章结构1.2 文章结构在本文中，我们将按照以下结构来进行讨论分母去根号的方法。
首先，我们将在引言部分概述本文的主要内容以及研究的目的。
接着，在正文部分，我们将分别介绍两种分母去根号的方法。
方法一是通过描述方法一的原理来展示其工作方式，并进一步讨论方法一适用的应用场景。
随后，我们引入方法二，描述其原理并探讨方法二的优缺点。
在结论部分，我们将总结方法一和方法二的适用性，以及对分母去根号的方法进行一定的展望，进一步探索其潜在的研究方向。
2024-2025学年人教版新教材信息技术五年级上册 第05课 数学运算讲方法 教案
第5课数学运算讲方法一、教学目标1.学生掌握数学解题时的算法。
2.理解算法是解决问题的方法描述。
3.学会用流程图表示算法的顺序结构。
二、教学重点与难点教学重点1.掌握数学解题的算法。
2.用流程图表示算法。
教学难点1.理解复杂数学问题中的算法。
2.准确绘制流程图表示算法。
三、教学准备1.多媒体课件，包含数学问题示例及流程图绘制方法。
2.练习纸和彩笔。
四、教学过程（一）导入新课师：同学们，在我们的学习和生活中，经常会遇到各种各样的数学问题。
那么，大家有没有想过，我们在解决这些数学问题的时候，其实也在运用一种方法呢？这种方法就是算法。
今天，我们就一起来学习数学运算讲方法，看看如何用算法来解决数学问题。
（二）新课讲解1.数学解题中的算法概念（1）引入数学问题师：我们先来看看一个简单的数学问题。
小明有5个苹果，小红有3个苹果，他们一共有多少个苹果？同学们很快就能回答出是8个苹果。
那么，我们是怎么得到这个答案的呢？其实，我们在心里进行了一个简单的计算过程，先把小明的5个苹果和小红的3个苹果数出来，然后把它们加在一起，就得到了8个苹果。
这个计算过程就是一种算法。
（2）算法的定义师：算法就是解决问题的方法和步骤。
在数学解题中，算法就是我们解决数学问题的具体方法和步骤。
比如，我们要计算两个数的和，就需要先确定这两个数，然后把它们相加，最后得到结果。
这个过程就是一个算法。
2.数学解题算法的示例（1）加法算法师：我们再来看看一个加法问题。
比如，12+15=？我们可以这样来解决这个问题。
首先，我们把12和15分别拆分成10+2和10+5。
然后，我们先把两个十相加，得到20。
接着，把2和5相加，得到7。
最后，把20和7相加，得到27。
这个过程就是一个加法算法。
（2）减法算法师：再来看一个减法问题。
比如，2513=？我们可以这样来解决这个问题。
首先，我们把25拆分成20+5，把13拆分成10+3。
然后，我们先从20里面减去10，得到10。
畅优新课堂八年级数学下册 第16章 分式 16.3 分式方程
分式方程的应用【知识与技能】1.经历将实际问题中的等量关系用分式方程表示的过程；2.掌握列分式方程解应用题的一般步骤；3.会列分式方程解决简单的应用题，提高学生分析问题、解决问题的能力和应用意识.【过程与方法】经历“实际问题情境——建立分式方程模型——求解——解释解的合理性”的过程，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力，增强学生学数学、用数学的意识．【情感态度】通过创设贴近学生生活实际的现实情境，增强学生的应用意识，加深学生对生活的热爱．【教学重点】列分式方程解应用题【教学难点】对所求出的分式方程的根进行检验的思想的重视一、情境导入,初步认识1.解分式方程的一般步骤;2.解方程214111x x x +-=--; 3.列一元一次方程解应用题的一般步骤分哪几步？【教学说明】回顾上节课知识，检查学生掌握情况，复习列一元一次方程解应用题的一般步骤，引出新问题.二、思考探究，获取新知某校招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩？ 解：设乙每分钟能输入x 名学生的成绩，则甲每分能输入2x 名学生的成绩，根据题意得 264026402602x x=-⨯. 解得：x=11.经检验，x=11是原方程的解.并且x=11，2x=2×11=22，符合题意.答：甲每分钟能输入22名学生的成绩，乙每分钟能输入11名学生的成绩.【教学说明】引导学生通过独立思考和小组讨论的形式，用所学过的列方程解应用题的一般方法去解决问题，鼓励学生大胆尝试，形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神．【归纳结论】列分式方程解应用题的一般步骤：审—设—列—解—验—答.三、运用新知，深化理解1.王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元.后因人数增加到原定人数的2倍，费用享受了优惠，一共只需要480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元，原定的人数是多少？解：设原定是x 人，由题意可知：30048042x x-= 解得：x=15经检验：x=15是原分式方程的根.答：原定的人数是15人.2.在达成铁路复线工程中，某路段需要铺轨．先由甲工程队单独做2天后，再由乙工程队单独做3天刚好完成这项任务．已知乙工程队单独完成这项任务比甲工程队单独完成这项任务多用2天，求甲、乙工程队单独完成这项任务各需要多少天？解：设甲工程队单独完成任务需x 天，则乙工程队单独完成任务需(x+2)天， 依题意得2312x x +=+． 化为整式方程得x 2-3x-4=0解得x=-1或x=4．检验：当x=4和x=-1时，x(x+2)≠0，x=4和x=-1都是原分式方程的解．但x=-1不符合实际意义，故x=-1舍去；∴乙单独完成任务需要x+2=6（天）．答：甲、乙工程队单独完成任务分别需要4天、6天．3.去年5月12日，四川省汶川县发生了里氏8.0级大地震，兰州某中学师生自愿捐款，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少？人均捐款多少元？ 解法1：设第一天捐款x 人，则第二天捐款（x+50）人， 由题意列方程4800600050x x =+． 解得x=200．检验：当x=200时，x （x+50）≠0，∴x=200是原方程的解．两天捐款人数x+（x+50）=450，人均捐款4800x =24（元）． 解法2：设人均捐款x 元， 由题意列方程6000480050x x-=． 答：两天共参加捐款的有450人，人均捐款24元．4.在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算：甲队单独完成这项工程需要60天；若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合做24天可完成．（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？解：（1）设乙队单独完成需x 天根据题意，得 ()111202416060x ⨯++⨯=解这个方程，得x=90经检验，x=90是原方程的解.∴乙队单独完成需90天.（2）设甲、乙合作完成需y 天，则有 ()1116090y +=解得y=36（天）甲单独完成需付工程款为60×3.5=210（万元）.乙单独完成超过计划天数不符题意（若不写此行不扣分）．甲、乙合作完成需付工程款为 36×（3.5+2）=198（万元）答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱．5.一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地.求前一小时的行驶速度．解：设前一小时的速度为xkm/小时，则一小时后的速度为1.5xkm/小时，由题意得： ()18018021 1.53x x x --+=， 解这个方程为x=60，经检验，x=60是所列方程的根，答：前一小时的速度为60km/小时．【教学说明】使学生体会丰富的实例，巩固用分式方程解决实际问题的技巧．四、师生互动，课堂小结列分式方程解应用题的一般步骤：（1）审清题意；（2）设未知数（要有单位）；（3）根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程；（4）解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意；（5）写出答案（要有单位）.1.布置作业:教材“习题16.3”中第2、3题.2.完成本课时对应练习.应用题历来是个“老大难”，学生痛苦，老师无奈，怎么办？降低门槛，找准认识的生长点是关键，引导学生喜欢应用题是关键.。
分式运算中的技巧课件PPT
＝
x2 x2
4x 4x
2 4
由已知条件得x²+4x＝－1
故原式a＋b＝2,ab＝－5,则 b a ＝ ab
解： b a b2 a2 a b ab
a b2 2ab
ab
a b2
2
ab
.
将 a＋b＝2,ab＝－5 代入上式 上式 22 2
5 14
5
解：原式＝ x 2
x 12
x1
＝
x2 x1
1 x1
x1 ＝ x1
＝1
典例精解
类型二：先约分再化简
化简： x2 y2 4 x( x y) y2
x y
2x y
解：原式＝ x y x y 2x y2
x y
2x y
＝ x y 2x y
＝x
方法总结
无论是分式乘除运算，还是分式加减运算，确定运算顺序后，都需要先 分解各个分子和分母，再进行通分或约分，最后根据分式的加减乘除运算 法则计算即可.
03
的短文来进行群读,训练自己一次扫视3~5个字或词。
经常进行这样训练,快速阅读速度就能大大提高。
变式题
以跳读的方式翻阅全书
优翼微课
当拿到一本书时,我们不要一页一页地去翻,要先看书的
初中数学知识点精讲课程 标题和副标题、作者和出版者、编者的话和关于作者的说
明;然后浏览目录,阅读内容提要、前言或后记;最后,以跳读
优翼微课
初中数学知识点精讲课程
分式运算中的技巧
进行分式运算，首先要弄清运算顺序，其次要遵循分式运算的法则，最 后运算的结果要化简.
下面我们通过例题学习提高分式运算的能力与技巧.
典例精解
类型一：按常规步骤运算
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智能优学学科教师辅导讲义 学员编号： 年 级： 课 时 数：3
学员姓名： 辅导科目： 学科教师：
授课主题
分式运算 授课日期及时段 20160529 10:10—12:10
教学内容
一、【基础知识梳理】
1、分式概念：形如B
A 的式子叫分式。
其中A 、
B 为 ，B 中含有_____。
2、分式是否有意义：有意义 分母 0，无意义 分母 0。
（由此可以求出字母的取值范围）
3、分式的值为零 =0 ≠0
4、分式的基本性质：),0(是整式且M M M
B M A BM AM B A ≠÷÷== 5、约分：把分式的分子与分母的__________约去，叫做分式的约分。
6、通分：把几个________的分式分别化成与原来分式相等的_________的分式。
7、分式运算：（1）乘方：n n n b a b a =⎪⎭
⎫ ⎝⎛（2）乘法：,bd ac d c b a =⋅ （3）除法：bc ad c d b a d c b a =⋅=÷（4）加减：bd
bc ad bd bc bd ad d c b a ±=±=±
二、【典型例题剖析】
例一、分式定义及有关题型
题型一：考查分式的定义
【例1】下列代数式中：222
2,,2,y x y x b
a b a y x x +-+--π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件
【例2】当x 有何值时，下列分式有意义
（1）44+-x x （2）232+x x （3）1
22-x （4）3||6--x x
（由此可以求出字母的取值范围）
题型三：考查分式的值为0的条件
【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.
（1）31+-x x （2）4
312-+x x 题型四：考查分式的值为正、负的条件 【例4】（1）当x 为何值时，分式
x -84为正；
（2）当x 为何值时，分式
2)1(35-+-x x 为负； （3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数.
练习：
1．当x 取何值时，下列分式有意义：
（1）3||61-x （2）1
)1(32++-x x
2．当x 为何值时，下列分式的值为零：
（1）4|1|5+--x x （2）562522
+--x x x
例二分式的基本性质及有关题型
1．分式的基本性质：
)0(≠÷÷=⨯⨯=M M B M A M B M A B A 2．分式的变号法则：b
a b a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数
【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.
（1）y x y x 4131322
1+- （2）b
a b a +-04.003.02.0 题型二：分数的系数变号
【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.
（1）y
x y x --+- （2）b a a --- （3）b a ---
题型三：化简求值题
【例3】已知：511=+y x ，求y
xy x y xy x +++-2232的值.
【例4】已知：21=-
x x ，求221x
x +的值.
【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求
y
x 241-的值.
练习：
1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.
（1）y x y x 5.008.02.003.0+- （2）b a b a 10
141534.0-+
2．已知：31=+x x ，求1
242++x x x 的值.
3．已知：
311=-b a ，求a
ab b b ab a ---+232的值.
4．若0106222=+-++b b a a ，求
b a b a 532+-的值.
5．如果21<<x ，试化简x x --2|2|x x x x |||1|1+---.
例三分式的运算
1．确定最简公分母的方法：
①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；
②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.
2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；
题型一：通分
【例1】将下列各式分别通分.
（1）
c b a c a b ab c 225,3,2--； （2）a b b b a a 22,--；
（3）
22,21,1222--+--x x x x x x x ； （4）a
a -+21,2
题型二：约分
【例2】约分：（1）322016xy y
x -； （3）n m m n --22； （3）6222---+x x x x .
题型三：混合运算与化简求值
1、计算(1))14(3)44)(241(-÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--+x
x x x (2)(a-23142)1222+++∙--÷+a a a a a a a a
(3) 887
4432284211a
x x x a x x a x x a x a -++-+-+--
2、（1）化简并求值：x (x-y)2 . x 3-y 3x 2+xy+y 2 +(2x+2x-y –2),其中x=2
3,y=1
（2） 先化简后再求值：x-3x 2-1 ÷x 2-2x-3x 2+2x+1 +1x+1
,其中x= 2+1
1、化简求值(1)
(2) ÷2、
3、
4、
1、.)
)()((,的值求已知
a c c
b b a ab
c c b a b a c a c b ++++=+=+
2、我们知道:分式和分数有着很多的相似点.如类比分数的基本性质,我们得到了分式的基本性质,等等.小学里,把分子比分母小的分数叫做真分数.类似的,我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式,反之,称为假分式.对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式,如 .
(1)下列分式中,属于真分式的是（ ）
A 、12-x x
B 、11+-x x
C 、123-x
D 、1122+-x x (2)将假分式1
32++m m ,化成整式和真分式的和的形式.
本课小结：。