内蒙古呼伦贝尔市尼尔基第一中学2018届高三上学期期中数学(理科)试卷 Word版含解析
尼尔基第一中学2017-2018学年高三12月月考文数试题 Word版含答案 (2)
内蒙古呼伦贝尔市尼尔基第一中学2017-2018学年高三12月月考文数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设集合{x |x 1}A =>，{x |x 2}B =>，则（ ）A.A B ⊆B.B A ⊆C.{x |x 1}A B =>D.{x |x 2}A B =>2.下列函数中，在 (0,2)上为增函数（ ）A.31y x =-+B.|x 2|y =+C.243y x x =-+D.ln(sin 2x)y =3.“勾股定理”在西方被称为“华达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6πα=，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（ ）A.12-B. 2C. 44-44.设向量a ，b 满足||1a = ，(0,2)b =- ，且2a b = ，则||a b += （ ）A. 3B. 5C.D.105.设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，下列命题正确的是（ ）A.若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥B.若l α⊥，l //m ，则m α⊥C.若l //α，m α⊂，则l //mD.若l //α，m //α，则l //m6.已知数列{a }n 满足130n n a a ++=，243a =-，则{a }n 的前10项的和等于（ ） A.106(13)--- B.101(13)9-- C.103(13)-- D.103(13)-+7.已知函数sin()(A 0,0)y A x m ωϕω=++>>的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2π，直线3x π=是其图像的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是（ ） A. 4sin(4x )6y π=+ B. 2sin(2x )23y π=++ C. 2sin(4x )23y π=++ D.2sin(4x )26y π=++ 8.如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，1AA 2AB ==，1BC =，AC 规定主（正）视方向垂直平面11ACC A ，则此三棱柱的侧（左）视图的面积为（ ）4 D.29.设变量x ，y 满足的约束条件01210x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A.1-B.12C.2D.4 10.已知y (x 1)f =-为奇函数，函数(x)y f =与(x)y g =的图像关于y x =对称，若120x x +=，则12(x )g(x )g +=（ ）A. -1B.1C. -2D.211.已知正四棱锥P ABCD -体积为43，则此棱锥的内切球与外接球的半径之比为（ ） A. 1:2 B.4:5 C. 1:3 D.2:512.设等差数列{a }n 的前n 项和为n S ，已知333(a 1)1122a -+=，399(a 1)110a -+=，则下列结论正确的是（ ）A. 119311,a S a =<B. 119311,a S a =>C. 119322,a S a =<D.119322,a S a =>第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.则复数32i z i+=，（i 为虚数单位），则z 的虚部等于 . 14.化简23231()(log 9)(log 4)8+= . 15.已知36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为223623=⨯，所以36的所有正约数之和为2222(133)(22323)(122)(133)91++++⨯+⨯=++++=参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为 .16.定义域为R 的函数(x)f 满足(x 2)3(x)f f +=，当[0,2]x ∈时，2(x)x 2f x =-，若[4,2]x ∈--时，13(x)(t)18f t≥-恒成立，则实数t 的取值范围是 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）如图所示，在四边形ABCD 中，2D A ∠=∠，且1AD =，3CD =，cos B =.（Ⅰ）求ABC 的面积；（Ⅱ）若BC =AB 的长.18. （本小题满分12分）如图所示，四棱锥P ABCD -的底面是一个直角梯形，90DAB ABC ∠=∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，M 为PC 的中点，24PA AB BC AD ====.（1）证明：DM//平面PAB ；（2）求三棱锥P BDM -的体积.中石化集团通过与安哥拉国家石油公司合作，获得了安哥拉深海油田区块的开采权，集团在某些区块随机初步勘探了部分旧井，取得了地质资料.进入全国勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探.由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用，勘探初期数据质料见小表：（1）1～6号旧井位置线性分布，借助前．5．组．数据求的回归直线方程为6.5y x a =+，求a ，并估计y 的预期值；（2）现准备勘探新井7（1，25），若通过1、3、5、7号井计算出的ˆb，ˆa 的值与（1）中b ，a 的值差不超过10％，则使用位置最接近的已有旧井6(1,y)，否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？（注：其中ˆb的计算结果用四舍五入法保留1位小数）442121212122111ˆˆˆ,,94,945n i i i i i i n i i i i x y nx y b a y bx x x y x nx =---===⎡⎤-⎢⎥⎢⎥==-==⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑ 20. （本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(a b 0)x y a b +=>>的两个焦点分别为1(2,0)F -，2(2,0)F 过焦点2F 的直线l （斜率不为0）与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为D ，O 为坐标原点，直线OD 交于椭圆M ，N 两点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当四边形12MF NF 为矩形时，求直线l 的方程.已知函数2(x)(x 0)x x f e=>，其中e 为自然对数的底数. （Ⅰ）当0a =时，求函数(x)y f =的单调区间和极值；（Ⅱ）若1x ，212(x x )x <是函数(x)f 的两个零点，设21x t x =，证明：12x x +随着t 的增大而增大. 22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知点(a,0)P ，直线l的参数方程是212x a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程式为2cos ρθ=.（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的普通放吧；（Ⅱ）已知1a >，若直线l 与曲线C 交于两点A ，B ，且|PA ||PB|1=，求实数a 的值. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数(x)|2x 1|+|x-2|f =+，不等式(x)2f ≤的解集为M .（1）求M ；（2）记集合M 的最大元素为m ，若正数a ，b ，c 满足abc m =111a b c≤++.内蒙古呼伦贝尔市尼尔基第一中学2017-2018学年高三12月月考文数试题答案一、选择题1-5: BBAAB 6-10:CDABC 11、12：DA二、填空题13. 3- 14.19(,)216 15. 456 16.10t -≤<或3t ≥ 三、解答题17.解（Ⅰ）21cos cos 22cos 13D B B ==-=-............（2分）因为(0,)D π∠∈，所以sin D =，.............（4分）把已知条件代入并化简的得：240AB AB -=因为0AB ≠，所以.4AB =........（12分）18.解析：设PB 的中点为N ，连接MN ，AN ，M 为PC 的中点，//12MN BC ∴，由已知条件知：12//AD BC ，所以//MN AD ，所以四边形ADMN 是一个平行四边形，所以//DM AN ，DM ⊄ 平面PAB ，AN ⊆平面PAB ，//DM 平面PAB（2）M ∴为PC 的中点P BDM C BDM M BCD V V V ---∴==，且点M 到面BCD 的距离等于12PA . 11111644232323P BDM BCD V S PA -∴=== 解：（1）因为5x =，50y =，回归直线必须过平衡点(x,y)，则50 6.5517.5a y bx =-=-⨯=，故回归直线方程为：6.517.5y x =+，当1x =时， 6.517.524y x =+=，即y 的预报值为24.（2）因为4x =，46.25y =，4221194i i x-==∑，421211945i i i x y --==∑，所以41422221149454446.25ˆ 6.894444i ii i i x y x y b xx =-=--⨯⨯==≈-⨯-∑∑ ， ˆˆ46.25 6.8419.05ay bx =-=-⨯=，即ˆ 6.8b =，ˆ19.05a =， 6.5b =，17.5a =. 因为ˆ5%b b b-≈，ˆ9%a a a -≈，均不超过10％，因此使用位置最接近的已有旧井6（1，24）. 20.解：（Ⅰ）由题意可得2222,,c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得a =b =故椭圆的方程为22162x y +=...........（5分） （Ⅱ）由题意可知直线l 斜率存在，设其方程为(x 2)y k =-，点11(x ,y )A ，22(x ,y )B .33(x ,y )M ，33N(x ,y )--，由221,62(x 2),x y y k ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)x 121260k k x k +-+-=. 所以21221213k x x k +=+，因为121224(x 4)13k y y k x k -+=+-=+. 所以AB 中点22262(,)1313k k D k k-++.因此直线OD 方程为30(k 0)x ky +=≠. 由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得232213y k =+，333x ky =-. 因此四边形12MF NF 为矩形，所以220F M F N = ，即3333(x 2,)(x 2,y )0y ----=. 所以223340x y --=.所以222(9k 1)4013k +-=+.解得k =，故直线l的方程为2)y =-...........（14分） 21.（Ⅰ）当0a =时，2(x)(x 0)x x f e =->，222(x )(x 2)(x)()x x x xx e e x f e e ----== ，令(x)0f =，则2x =则(0,2)x ∈，(x)0f <，(x)y f =单调递减.(2,)x ∈+∞，(x)0f >，(x)y f =单调递增所以函数(x)f 的极小值24(2)y f e ==-，无极大值.（Ⅱ）令2(x)a 0x x f e==，则32x a ae =，因为函数有两个零点1x ，212(x x )x < 所以132x a ae =，232x a ae =，可得113ln lna x 2x =+，223ln lna x 2x =+， 故221211333ln ln ln 222x x x x x x -=-= 设21x t x =，则1t >，且21213ln 2x tx x x t =⎧⎪⎨-=⎪⎩解得13ln 21t x t =-，23t ln 21t x t =-. 所以：123(t 1)lnt 2(t 1)x x ++=-，①令(x 1)lnx (x)1h x +=-，(1,)x ∈+∞， 则212ln '(x)(x 1)x x x h -+-=-.令1(x)2ln u x x x =-+-，得.21'(x)()x u x -= 当(1.)x ∈+∞时，'(x)0u >.因此，(x)u 在(1,)+∞上单调递增，故对于任意的(1.)x ∈+∞，(x)u(1)0u >=.由此可得'(x)0h >，故(x)h 在(1,)+∞上单调递增.因此，有①可得12x x +随着t 的增大而增大.22.（Ⅰ）直线l的参数方程是12x a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），消去可得：0x a -=.由2cos ρθ=可得22cos ρρθ=，故C 的直角坐标方程为：2220x y x +-=.（Ⅱ）把12x a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2220x y x +-=，得221)t a 20t a -+-= 由0∆>解得13a -<<，结合1a >可知13a <<，2122t t a a =-，12|PA ||PB||t t |1==，2|a 2a |1∴-=，解得1a =23.（1）由零点分段法(x)|2x 1||x 2|2f =+--≤化为：1232x x ⎧<-⎪⎨⎪--≤⎩或122312x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪-≤⎩或215322x x x >⎧⇒-≤<-⎨+≤⎩或112x -≤≤ 所以集合{x |5x 1}M =-≤≤.（2）集合M 中最大元素为1m =，所以1abc =，其中0a >，0b >，0c >因为11a b +≥==11b c +≥==11a c +≥==1112()a b c ≤++，111a b c ≤++.。
内蒙古呼和浩特市2018届高三上学期期中数学试卷理科 含解析
内蒙古呼和浩特市2018-2018学年高三（上）期中数学试卷（理科）(解析版)一、选择题1．设集合A={x|x2﹣4x+3＞0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．B．（﹣3，+∞）C．（3，+∞）D．2．设z1、z2∈C，则“z1+z2是实数”是“z1与z2共轭”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件3．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S4﹣S1=7a2，a3=5，则S n=（）A．B． C．D．4．若α∈（，π）且3cos2α=4sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．﹣C．﹣D．5．在等差数列{a n}中，S n为它的前n项和，若a1＞0，S16＞0，S17＜0，则当S n最大时，n 的值为（）A．7 B．8 C．9 D．106．若M为△ABC所在平面内一点，且满足（）•﹣2=0，则△ABC 的形状为（）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形7．函数f（x）=ax2+x（a≠0）与在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．8．放射性元素一般都有一个半衰期（剩留量为最初质量的一半所需的时间）．已知一种放射性元素的质量按每年10%衰减，那么这种放射性元素的半衰期是（）年（精确到0.1，已知lg2=0.3010，lg3=0.4771）．A．5.2 B．6.6 C．7.1 D．8.39．已知不等式组表示的平面区域为D，点集T={（x0，y0）∈D|x0，y0∈Z．（x0，y0）是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点}则T中的点的纵坐标之和为（）A．12 B．5 C．10 D．1110．已知函数f（x）=cos（2x+φ），|φ|≤，若f（﹣x）=﹣f（x），则要得到y=sin2x 的图象只需将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位11．设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且acosB=3，bsinA=4．若△ABC 的面积S=10，则△ABC的周长为（）A．10 B．C．D．1212．函数，满足，其中，则n的最大值为（）A．13 B．12 C．10 D．8一、填空题13．已知向量，若，则等于．14．《九章算术》有这样一个问题：今有男子善走，日增等里，九日走一千二百六十里，第一日、第四日、第七日所走之和为三百九十里，问第六日所走时数为里．15．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，有恒成立，则不等式x2f（x）＞0的解集为．=f（a n），若a2018=a2018，16．已知f（x）=，各项都为正数的数列{a n}满足a1=1，a n+2则a1800+a15的值是．二、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知函数f（x）=ax﹣lnx，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=e2，当x∈（0，e]时，求函数f（x）的最小值．18．（12分）设{a n}是公比为q的等比数列．（Ⅰ）试推导{a n}的前n项和公式；（Ⅱ）设q≠1，证明数列{a n+1}不是等比数列．19．（12分）在△ABC中，三边a，b，c所对应的角分别是A，B，C，已知a，b，c成等比数列．（1）若+=，求角B的值；（2）若△ABC外接圆的面积为4π，求△ABC面积的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）=2sinωx，其中常数ω＞0．（Ⅰ）令ω=1，求函数在上的最大值；（Ⅱ）若函数的周期为π，求函数g（x）的单调递增区间，并直接写出g（x）在的零点个数．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）证明：当f（x1）=f（x2）（x1≠x2）时，x1+x2＜0．选做题（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相同的单位长度，已知直线I的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2，点P关于极点对称的点P'QUOTE pı的极坐标为（1）写出圆C的直角坐标方程及点P的极坐标；（2）设直线I与圆C相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．[选修4-5：不等式选讲]23．如果关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|≤|a|的解集为空集．（1）求实数a的取值范围；（2）若实数b与实数a取值范围完全相同，求证：|1﹣ab|＞|a﹣b|2018-2018学年内蒙古呼和浩特市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．设集合A={x|x2﹣4x+3＞0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．B．（﹣3，+∞）C．（3，+∞）D．【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A，B，写出A∩B即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣4x+3＞0}={x|＜1或x＞3}，B={x|2x﹣3＞0}={x|x＞}，则A∩B={x|＞3}=（3，+∞）．故选：C．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了一元二次不等式的解法问题，是简单题．2．设z1、z2∈C，则“z1+z2是实数”是“z1与z2共轭”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义以及共轭复数的定义判断即可．【解答】解：设z1=a+bi（a，b∈R），z2=c+di（c，d∈R），则z1+z2=（a+c）+（b+d）i，∵z1+z2为实数，∴d=﹣b，z2=c﹣bi，∴z1=a+bi，z2=c﹣bi，z1、z2不一定是共轭虚数，反之，若z1、z2是共轭虚数，则z1+z2是实数”成立，故“z1+z2是实数”是“z1与z2共轭”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考查了充分必要条件，考查复数的知识，是一道基础题．3．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S4﹣S1=7a2，a3=5，则S n=（）A．B． C．D．【考点】等比数列的前n项和．【分析】设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，q≠1，由S4﹣S1=7a2，a3=5，可得a4+a3+a2=7a2，即=6a2，=5，联立解得q，a1．利用求和公式即可得出．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，q≠1，∵S4﹣S1=7a2，a3=5，∴a4+a3+a2=7a2，即=6a2，=5，联立解得q=2，a1=．则S n==5×2n﹣2﹣．故选：D．【点评】本题考查了比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．若α∈（，π）且3cos2α=4sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．﹣C．﹣D．【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数．【分析】由条件化简可得3（cosα+sinα）=2，平方可得1+sin2α=，从而解得sin2α的值．【解答】解：∵α∈（，π），且3cos2α=4sin（﹣α），∴3（cos2α﹣sin2α）=4（cosα﹣sinα），化简可得：3（cosα+sinα）=2，平方可得1+sin2α=，解得：sin2α=﹣，故答案为：C．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题．5．在等差数列{a n}中，S n为它的前n项和，若a1＞0，S16＞0，S17＜0，则当S n最大时，n 的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】等差数列的前n项和．【分析】根据所给的等差数列的S16＞0且S17＜0，根据等差数列的前n项和公式，看出第9项小于0，第8项和第9项的和大于0，得到第8项大于0，这样前8项的和最大．【解答】解：∵等差数列{a n}中，S16＞0且S17＜0，即S16=，S17==17a9＜0，∴a8+a9＞0，a9＜0，∴a8＞0，∴数列的前8项和最大．故答案为：8．【点评】本题考查等差数列的性质和前n项和，以及等差数列的性质，解题的关键是熟练运用等差数列的性质得出已知数列的项的正负．6．若M为△ABC所在平面内一点，且满足（）•﹣2=0，则△ABC 的形状为（）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由（）•﹣2=0，可得，即，根据向量加法的平行四边形法则可求【解答】解：由（）•﹣2=0，可得从而可得以为邻边作平行四边形的对角线与垂直从而可得故选：C【点评】本题主要考查了利用向量的加法与减法的运算的平行四边形法则判断三角形的形状，解题的关键是要能利用基本法则看到的转换方法．7．函数f（x）=ax2+x（a≠0）与在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据指数函数的性质，可得﹣1＜＜0，进而得到二次函数f（x）=ax2+x（a≠0）开口向下，二次函数的零点分别为0和﹣，且﹣∈（0，1），由此可得结论．【解答】解：∵由图象可得函数在R上单调递减，∴a＜0，则0＜＜1，∴﹣1＜＜0，即a＜﹣1，故二次函数f（x）=ax2+x（a≠0）开口向下，二次函数的零点分别为0和﹣，且﹣∈（0，1），故选：C．【点评】本题主要考查函数的图象，二次函数、指数函数的性质，属于中档题．8．放射性元素一般都有一个半衰期（剩留量为最初质量的一半所需的时间）．已知一种放射性元素的质量按每年10%衰减，那么这种放射性元素的半衰期是（）年（精确到0.1，已知lg2=0.3010，lg3=0.4771）．A．5.2 B．6.6 C．7.1 D．8.3【考点】等比数列的通项公式．【分析】设这种放射性元素的半衰期为n，则（1﹣10%）n=0.5，取对数即可得出．【解答】解：设这种放射性元素的半衰期为n，则（1﹣10%）n=0.5，即，∴n====6.6．故选：B．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．已知不等式组表示的平面区域为D，点集T={（x0，y0）∈D|x0，y0∈Z．（x0，y0）是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点}则T中的点的纵坐标之和为（）A．12 B．5 C．10 D．11【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义求出对应的最值点，结合直线的性质进行判断即可．【解答】解：如图，作出不等式组对应的平面区域如图，则使z=x+y取得最小值的点仅有一个（0，1），使z=x+y取得最大值的点有无数个，但属于集合T的只有5个，（0，4），（1，3），（2，2），（3，1），（4，0），T中的点的纵坐标之和为：1+4+3+2+1=11．故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用以及直线条数的确定，利用数形结合求出最优解是解决本题的关键．本题非常容易做错，抽象符号容量大，能否解读含义显得非常重要了．10．已知函数f（x）=cos（2x+φ），|φ|≤，若f（﹣x）=﹣f（x），则要得到y=sin2x 的图象只需将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【考点】余弦函数的图象．【分析】根据f（﹣x）=﹣f（x），求出函数f（x）的解析式，根据三角函数平移变换的规律求解即可．【解答】解：函数f（x）=cos（2x+φ），|φ|≤，由，可得cos[2（﹣x）+φ]=﹣cos（2x+φ），整理得：cos（φ）=﹣cos（2x+φ）=cos（π﹣（2x+φ]∵φ|≤，∴令φ=π﹣（2x+φ）解得：φ=故函数f（x）=cos（2x）=sin（2x+）=sin（2x）=sin2（x）向右平移个单位可得到sin2x．故选B．【点评】本题考查了函数f（x）的解析式的确定以及平移变换的规律．属于中档题．11．设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且acosB=3，bsinA=4．若△ABC 的面积S=10，则△ABC的周长为（）A．10 B．C．D．12【考点】正弦定理．【分析】由图及已知作CD垂直于AB，在直角三角形BDC中求BC的长，由面积公式解出边长c，再由余弦定理解出边长b，即可得解三边的和即周长的值．【解答】解：过C作CD⊥AB于D，则由CD=bsinA=4，BD=acosB=3，∴在Rt△BCD中，a=BC==5，∵由面积公式得S=×AB×CD=×AB×4=10，得c=AB=5，又acosB=3，得cosB=，由余弦定理得：b===2，△ABC的周长l=5+5+2=10+2．故选：C．【点评】本题主要考查了射影定理及余弦定理，三角形面积的公式在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题．12．函数，满足，其中，则n的最大值为（）A．13 B．12 C．10 D．8【考点】余弦函数的图象．【分析】化简函数f（x），利用正弦函数的图象特征，直线的斜率公式，即可求得n的最大值．【解答】解：函数=﹣sin3x，当时，可得图象上的点（x i，f（x1））与原点连线的斜率为定值m，故当n最大时，m=0，点（x i，f（x i））为f（x）的图象与x轴的交点（原点除外）；∵函数f（x）=sin3x的周期为，故[﹣2π，2π]包含6个周期，所以满足的点（x i，f（x i））共有12个，即n的最大值为12．故选：B．【点评】本题主要考查了三角函数的化简以及正弦函数的图象与直线斜率公式的应用问题，抽象符号容量大，不易理解，是综合性题目．一、填空题13．已知向量，若，则等于2．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据题意，由平面向量共线的坐标表示方法可得x2=1×3=3，解可得x的值，进而代入向量模的坐标公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，向量，且，则有x2=1×3=3，解可得x=±，则==2；故答案为：2．【点评】本题考查平面向量共线的坐标表示，涉及向量的模的计算，关键是求出x的值，得到的坐标．14．《九章算术》有这样一个问题：今有男子善走，日增等里，九日走一千二百六十里，第一日、第四日、第七日所走之和为三百九十里，问第六日所走时数为150里．【考点】等差数列的前n项和．【分析】由题意设比人从第二日起每日此前一日多走d里，第一日走a1里，由等差数列通项公式和前n项和公式求出首项和公差，由此能求出第六日所走里数．【解答】解：设该男子第一日走a1里，后一日比前一日多走d里，则由等差数列的性质，得：，解得d=10，a1=100，∴a6=100+50=150．故答案为：150．【点评】本题考查第差数列在生产生活中的实际运用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．15．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，有恒成立，则不等式x2f（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．【考点】函数的单调性与导数的关系；奇函数．【分析】首先根据商函数求导法则，把化为[]′＜0；然后利用导函数的正负性，可判断函数y=在（0，+∞）内单调递减；再由f（2）=0，易得f（x）在（0，+∞）内的正负性；最后结合奇函数的图象特征，可得f（x）在（﹣∞，0）内的正负性．则x2f（x）＞0⇔f（x）＞0的解集即可求得．【解答】解：因为当x＞0时，有恒成立，即[]′＜0恒成立，所以在（0，+∞）内单调递减．因为f（2）=0，所以在（0，2）内恒有f（x）＞0；在（2，+∞）内恒有f（x）＜0．又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以在（﹣∞，﹣2）内恒有f（x）＞0；在（﹣2，0）内恒有f（x）＜0．又不等式x2f（x）＞0的解集，即不等式f（x）＞0的解集．故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．【点评】本题主要考查了函数单调性与奇偶性的应用．在判断函数的单调性时，常可利用导函数来判断．属于中档题．16．已知f（x）=，各项都为正数的数列{a n}满足a1=1，a n=f（a n），若a2018=a2018，+2则a1800+a15的值是．．【考点】等比数列的通项公式．【分析】题中给出了数列隔项递推公式，给出两个条件，一个用来解决偶数项，一个用来解决奇数项，即可得出．=f（a n），【解答】解：∵f（x）=，各项均为正数的数列{a n}满足a1=1，a n+2∴a1=1，a3=，a5=，a7=，…，a15=．∵a2018=a2018，∴a2018=，∴a2018=（负值舍去），由a2018=，得a2018=，…，a1800=．∴a1800+a15=．故答案为：．【点评】本题考查了数列递推关系、数列的周期性、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）（2018秋•呼和浩特期中）已知函数f（x）=ax﹣lnx，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=e2，当x∈（0，e]时，求函数f（x）的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）由此根据a≤0，a＞0进行分类讨论，结合导数性质求出当a≤0时，f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；当a＞0时，函数f（x）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，+∞）；（Ⅱ）求出函数的导数，得到f（x）的单调区间，求出f（x）的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=a﹣=（x＞0），①当a≤0时，由于x＞0，故ax﹣1＜0，f'（x）＜0，所以，f（x）的单调递减区间为（0，+∞），②当a＞0时，由f'（x）=0，得x=，在区间（0，）上，f'（x）＜0，在区间（，+∞）上，f'（x）＞0，所以，函数f（x）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，+∞），综上，当a≤0时，f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；当a＞0时，函数f（x）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，+∞）；（Ⅱ）a=e2时，f（x）=e2x﹣lnx，f′（x）=（e2x﹣1），（x＞0），∵e2＞0，由（Ⅰ）得：f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，∴f（x）min=f（）=3．【点评】本题考查函数的单调区间的求法，考查函数的最值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．18．（12分）（2018•陕西）设{a n}是公比为q的等比数列．（Ⅰ）试推导{a n}的前n项和公式；（Ⅱ）设q≠1，证明数列{a n+1}不是等比数列．【考点】等比数列的前n项和；等比关系的确定．【分析】（I）分q=1与q≠1两种情况讨论，当q≠1，0时，利用错位相减法即可得出；（II）分①当存在n∈N*，使得a n+1=0成立时，显然不成立；②当∀n∈N*（n≥2），使得a n+1≠0成立时，使用反证法即可证明．【解答】解：（I）当q=1时，S n=na1；当q≠0，1时，由S n=a1+a2+…+a n，q+a n q．得qS n=a1q+a2q+…+a n﹣1q）﹣a n q，（*）两式错位相减得（1﹣q）S n=a1+（a2﹣a1q）+…+（a n﹣a n﹣1由等比数列的定义可得，∴a2﹣a1q=a3﹣a2q= 0∴（*）化为（1﹣q）S n=a1﹣a n q，∴．∴；（Ⅱ）用反证法：设{a n}是公比为q≠1的等比数列，数列{a n+1}是等比数列．①当存在n∈N*，使得a n+1=0成立时，数列{a n+1}不是等比数列．②当∀n∈N*（n≥2），使得a n+1≠0成立时，则==，化为（q n﹣1﹣1）（q﹣1）=0，∵q≠1，∴q﹣1≠0，q n﹣1﹣1≠0，故矛盾．综上两种情况：假设不成立，故原结论成立．【点评】本题综合考查了等比数列的通项公式、前n项和公式、错位相减法、反证法等基础知识与基本方法，需要较强的推理能力和计算能力．19．（12分）（2018•九江三模）在△ABC中，三边a，b，c所对应的角分别是A，B，C，已知a，b，c成等比数列．（1）若+=，求角B的值；（2）若△ABC外接圆的面积为4π，求△ABC面积的取值范围．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由切化弦、两角和的正弦公式化简式子，由等比中项的性质、正弦定理列出方程，即可求出sinB，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出B；（2）由余弦定理和不等式求出cosB的范围，由余弦函数的性质求出B的范围，由正弦定理和三角形的面积公式表示出△ABC面积，利用B的范围和正弦函数的性质求出△ABC面积的范围．【解答】解：（1）由题意得，，（2分）∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，○由正弦定理有sin2B=sinAsinC，（3分）∵A+C=π﹣B，∴sin（A+C）=sinB，得，即，由b2=ac知，b不是最大边，∴．（6分）（2）∵△ABC外接圆的面积为4π，∴△ABC的外接圆的半径R=2，（7分）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得，又b2=ac，∴，当且仅当a=c时取等号，∵B为△ABC的内角，∴，（9分）由正弦定理，得b=4sinB，（10分）∴△ABC的面积，（11分）∵，∴，∴．（12分）【点评】本题考查正弦定理和余弦定理，切化弦、两角和的正弦公式，正弦、余弦函数的性质等，考查化简、变形能力，属于中档题．20．（12分）（2018秋•呼和浩特期中）已知函数f（x）=2sinωx，其中常数ω＞0．（Ⅰ）令ω=1，求函数在上的最大值；（Ⅱ）若函数的周期为π，求函数g（x）的单调递增区间，并直接写出g（x）在的零点个数．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）=2sinωx，ω=1，化简F（x）转化为二次函数求解．（Ⅱ）利用辅助角公式化简成为y=Asin（ωx+φ）的形式，函数的周期为π，再利用周期公式求ω，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（2）x∈时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，可得零点个数．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=2sinωx，ω=1时，则f（x）=2sinx，那么：函数=2sinx+4cos2x=4﹣4sin2x+2sinx，令t=sinx，∵x在上，∴﹣1≤t≤0则函数F（x）转化为h（t）=﹣4t2+2t+4，对称轴t=，∵﹣1≤t≤0，∴h（t）的最大值为h（0）max=4，即ω=1，求函数在上的最大值为4．（Ⅱ）=2﹣2sinωx+cosωx，∵周期为π，即T=，解得：ω=2∴函数g（x）=2﹣2sin2x+cos2x=2﹣4sin（2x﹣）=4sin（2x+）+2．∵2x+）∈[2k，]是单调递增区间，即2k≤2x+≤解得：≤x≤函数g（x）的单调递增区间位[，]，k∈Z．令g（x）=0，即4sin（2x+）+2=0，解得：2x+=2kπ﹣或者2x+=2kπ﹣，k∈Z．∵x在上．当k取2，3…6时，2x+=2kπ﹣满足要求．当k取2，3…6时，2x+=2kπ﹣满足要求．故得g（x）在上有10零点个数．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．21．（12分）（2018秋•呼和浩特期中）已知函数．（Ⅰ）求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）证明：当f（x1）=f（x2）（x1≠x2）时，x1+x2＜0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）利用导数的运算法则求出f′（x），求出切线斜率，即可求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）当f（x1）=f（x2）（x1≠x2）时，不妨设x1＜x2．由（I）可知：x1∈（﹣∞，0），x2∈（0，1）．利用导数先证明：∀x∈（0，1），f（x）＜f（﹣x）．而x2∈（0，1），可得f（x2）＜f（﹣x2）．即f（x1）＜f（﹣x2）．由于x1，﹣x2∈（﹣∞，0），f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，因此得证．【解答】（Ⅰ）解：∵，∴f′（x）=，∴f′（0）=0，f（0）=1∴f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（Ⅱ）证明：当x＜1时，由于＞0，e x＞0，得到f（x）＞0；同理，当x＞1时，f（x）＜0．当f（x1）=f（x2）（x1≠x2）时，不妨设x1＜x2．当x＜0时，f′（x）＞0；当x＞0时，f′（x）＜0．∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），单调递减区间为（0，+∞）．可知：x1∈（﹣∞，0），x2∈（0，1）．下面证明：∀x∈（0，1），f（x）＜f（﹣x），即证＜．此不等式等价于（1﹣x）e x﹣＜0．令g（x）=（1﹣x）e x﹣，则g′（x）=﹣xe﹣x（e2x﹣1）．当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）＜g（0）=0．即（1﹣x）e x﹣＜0．∴∀x∈（0，1），f（x）＜f（﹣x）．而x2∈（0，1），∴f（x2）＜f（﹣x2）．从而，f（x1）＜f（﹣x2）．由于x1，﹣x2∈（﹣∞，0），f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，∴x1＜﹣x2，即x1+x2＜0．【点评】本题综合考查了利用导数研究切线方程、函数的单调性、等价转化问题等基础知识与基本技能，需要较强的推理能力和计算能力．选做题（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2018秋•呼和浩特期中）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相同的单位长度，已知直线I的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2，点P关于极点对称的点P'QUOTE pı的极坐标为（1）写出圆C的直角坐标方程及点P的极坐标；（2）设直线I与圆C相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化方法写出圆C的直角坐标方程；利用点P关于极点对称的点P'的极坐标为，得到点P的极坐标；（2）设直线I与圆C相交于两点A、B，将代入x2+y2=4，得：，即可求点P到A、B两点的距离之积．【解答】解：（1）圆C的极坐标方程为ρ=2，直角坐标方程为x2+y2=4；点P关于极点对称的点P'的极坐标为，则P（）；（2）点P化为直角坐标为P（1，1）将代入x2+y2=4，得：，所以，点P到A、B两点的距离之积．【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查参数方程的运用，考查参数的几何意义，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2018秋•呼和浩特期中）如果关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|≤|a|的解集为空集．（1）求实数a的取值范围；（2）若实数b与实数a取值范围完全相同，求证：|1﹣ab|＞|a﹣b|【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）由条件利用绝对值的意义，求得实数a的取值范围．（2）要证的不等式等价于（1﹣a2）（1﹣b2）＞0，由条件得到（1﹣a2）＞0，且（1﹣b2）＞0，不等式得证．【解答】解：（1）由于|x﹣3|+|x﹣4|≤表示数轴上的x对应点到3、4对应点的距离之和，它的最小值为1，由于关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|≤|a|的解集为空集，故|a|＜1，求得﹣1＜a＜1．（2）若实数b与实数a取值范围完全相同，即﹣1＜b＜1，即|b|＜1，|1﹣ab|＞|a﹣b|，等价于（1﹣ab）2＞（a﹣b）2，等价于1+a2b2﹣a2﹣b2＞0，等价于（1﹣a2）（1﹣b2）＞0．由于（1﹣a2）＞0，且（1﹣b2）＞0，故（1﹣a2）（1﹣b2）＞0成立，即|1﹣ab|＞|a﹣b|成立．【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．。
内蒙古巴彦淖尔市第一中学2018届高三上学期期中考试数学(理)试题Word版含解析
巴市一中2017-2018学年第一学期期中考试高三数学（理科）一、选择题（5分×12=60分）每小题给出的四个选项只有一项正确1. 设，,,则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵,∴,∴。
选D。
2. 若复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题意，则．故选B．考点：复数的运算，复数的模．3. 已知等差数列中，，，则的值是（）A. 15B. 30C. 31D. 64【答案】A【解析】为等差数列，设首项为，公差为，，①，②由①-②得，即，故选A.【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前项和的关系，利用整体代换思想解答.4. 在中是的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】C【解析】略5. 已知函数，则等于（）A. 4B.C.D.【答案】D【解析】由题意得，∴。
选D。
6. 若数列的前项和，则的通项公式是()A. B. C. D.【答案】A【解析】∵∴，∴，整理得又，解得。
∴数列是首项为1，公比为的等比数列，∴。
选A。
7. 设为平行四边形对角线的交点，为平行四边形所在平面内任意一点，则等于( )A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由题可知，考点：平面向量的加法8. 如图所示，是函数（，，）的图象的一部分，则函数解析式是（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：由排除B 、D ，由排除C ，故选A ．考点：函数的图象．【方法点晴】本题主要考查函数的图象，属于中等题型，本题可以采用直接法（即按顺序求解），但计算量稍大，速度较慢．本题可以采用排除法解题速度较快，即先由排除B 、D ，由排除C ，可得正确答案A ．故解决此类题型的常用方法有：1、采用直接法（即按顺序求解）．2、排除法（抓住部分特征进行排除）． 9. 由直线，，与曲线所围成封闭图形的面积为 ( )A. B. 1 C. D.【答案】D【解析】试题分析：根据余弦函数的对称性可得，直线x ＝−，x ＝，y=0与曲线y=cosx 所围成的封闭图形的面积为故答案为：D ．考点：定积分在求面积中的应用．10. 若，则的值为( )A. 1B. 3C. 6D. 4【答案】D【解析】∵，∴，∴，∴。
尼尔基第一中学2017-2018学年高三12月月考理数试题 Word版含解析
尼尔基第一中学2017-2018学年高三12月月考试题理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题 共60分）一.选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21110,24,2x M x x N x x Z +⎧⎫=-≤=<<∈⎨⎬⎩⎭，则M N = ( )A.{}1B.{}1,0-C.{}1,0,1-D.∅【答案】B考点：集合运算【方法点睛】解集合运算问题应注意以下三点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键． (2)对集合化简．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决． (3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩(Venn)图．2.抛物线24y x =的焦点到准线的距离为( ) A.14B.12C.2D.4【答案】C 【解析】试题分析：根据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标和准线的方程，进而利用点到直线的距离求得焦点到准线的距离．根据题意可知焦点F （1，0），准线方程x=-1，∴焦点到准线的距离是1+1=2，故选C ． 考点：抛物线的简单性质3.已知命题:p 对任意x R ∈，有cos 1x ≤，则( ) A.:p ⌝存在x R ∈，使cos 1x > B.:p ⌝对任意x R ∈，有cos 1x > C.:p ⌝存在x R ∈，使cos 1x ≥D.:p ⌝对任意x R ∈，有cos 1x ≥【答案】A考点：命题的否定4.若()2,1P 为圆()22125x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为( ) A.10x y --= B.230x y --= C.30x y +-=D.250x y +-=【答案】C 【解析】试题分析：利用圆心和弦的中点的连线和弦所在的直线垂直，两直线垂直，斜率之积等于-1，求出直线AB 的斜率，用点斜式求得直线AB 的方程．圆()22125x y -+=的圆心为（1，0），直线AB 的斜率等于110211---=-，由点斜式得到直线AB 的方程为112y x -=--（），即30x y +-=，故选 C ． 考点：直线的一般方程5.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1234,2,a a a 成等差数列，若11a =，则4S =( ) A.7B.8C.15D.16【答案】C 【解析】试题分析：先根据“1234,2,a a a 成等差数列”和等差中项的性质得到3者的关系式，然后根据等比数列的性质用1a q 、表示出来代入以上关系式，进而可求出q 的值，最后根据等比数列的前n 项和公式可得到答案．∵1234,2,a a a 成等差数列，22131121444= 2222222a a a a q q a a q q q +++∴∴=∴=∴=，，， ，()()4414111215112a q S q-⨯-∴===--，故选C.考点：等差数列的性质；等比数列的前n 项和6.已知函数()()()sin 20f x x ϕϕπ=+<<，若将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位后所得图像对应的函数为偶函数，则实数ϕ=( ) A.56π B.23π C.3πD.6π【答案】D考点：函数y Asin x ωϕ=+（）的图象变换． 【方法点睛】函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．7.已知(),P x y 为区域22400y x x a⎧-≤⎨≤≤⎩内的任意一点，当该区域的面积为2时，2z x y =+的最大值是( )A.5B.0C.2D.【答案】 【解析】试题分析：由约束条件作出可行域，求出使可行域面积为2的a 值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．22400y x x a -≤≤≤⎧⎨⎩作出可行域如图,由图可得22A a a B a a -（，），（，） ，1421122OAB S a a a B ∆=⨯⨯=∴=∴ ，，（，）， 目标函数可化为122z y x =-+，∴当122zy x =-+，过A 点时，z 最大，z=1+2×2=5，故选A.考点：简单的线性规划8.已知抛物线C 的顶点是椭圆22143x y +=的中心，焦点与该椭圆的右焦点2F 重合，若抛物线C 与该椭圆在第一象限的交点为P ，椭圆的左焦点为1F ，则1PF =( ) A.23B.73C.53D.2【答案】B23x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩或23x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩∵P为第一象限的点，23P ⎛∴ ⎝⎭ ，21257124332533PF PF a PF ∴+∴==--===，．，故选B. 考点：抛物线的标准方程以及椭圆的标准方程9.已知函数()ln tan 0,2f x x παα⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的导函数为()'f x ，若使得()()00'0f x x =成立的01x <，则实数α的取值范围为( )A. ,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭B.0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C.,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭D.,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A考点：导数的运算10.正三角形ABC 内一点M 满足,45CM mCA nCB MCA =+∠= ，则mn的值为( )11【答案】D 【解析】试题分析：如图，设正三角形的边长为a ，由CM mCA nCB =+ 得：22••••CM CA mCA nCA CBCM CB mCA CB nCB⎧⎪⎨+⎩+⎪＝＝ ，()115604522224cos cos =︒=︒-︒+=2222||222|naCM a mamaCM a na⎧+⎪⎪∴=+＝①②，mn∴故选D.考点：平面向量基本定理及其意义11.已知双曲线()2222:1,0x yC a ba b-=>的左.右焦点分别为1F，2F，过2F的直线与双曲线C的右支相交于,P Q两点，若1PQ PF⊥，且1PF PQ=，则双曲线的离心率e=( )1B.1【答案】D考点：双曲线的简单性质12.已知数列{}n a满足：1263,3,9138n nn n n na a a a a++=-≤-≥⋅，则2015a=( )A.20153322+ B.201538C.20153382+ D.201532【答案】B【解析】试题分析：()()()24242646339133n n n n n n n n n n n na a a a a a a a++++++++-=----+-≥--+⋅= ，220152015201320132011313,nn na a a a a a a a a+∴-=∴=-+-++-015201320113333322=+++=- ，故选B.考点：数列的单调性【方法点睛】数列与不等式相结合问题的处理方法解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法等．总之解决这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了．第II 卷（非选择题 共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相对应位置上.13..已知向量()()1,1,2,1a x x b =-+=-，若//a b ，则实数x = .【答案】31-考点：平面向量的坐标运算；共线向量14.若实数,x y 满足0,0x y >>，且440x y +=，则lg lg x y +的最大值为 . 【答案】2 【解析】试题分析：利用基本不等式的性质和对数的运算性质即可求出．0044040100x y x y xy +=∴≥∴≤ ＞，＞，，，，当且仅当x =20，y =5时取等号，1002lgx lgy lg xy lg ∴+=≤=（）． 考点：基本不等式【方法点睛】利用基本不等式求最值的方法及注意点(1)知和求积的最值：求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．(2)知积求和的最值：明确“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．(4)利用基本不等式求最值时应注意：①非零的各数(或式)均为正；②和或积为定值；③等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可．15.已知()sin 2cos f x x x =+，若函数()()g x f x m =-在()0,x π∈上有两个不同零点αβ、，则()cos αβ+= .【答案】35考点：和差公式、三角函数的图象与性质、函数的零点【方法点睛】函数()()f x Asin x ωϕ＝＋的奇偶性、周期性和对称性(1)若()()f x Asin x ωϕ＝＋为偶函数，则当x ＝0时，f(x)取得最大或最小值；若()()f x Asin x ωϕ＝＋)为奇函数，则当x ＝0时，()f x ＝0.(2)对于函数()()f x Asin x ωϕ＝＋，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验()0f x 的值进行判断．16.设点()()1122,,,A x y B x y 是椭圆2214x y +=上两点，若过点,A B 且斜率分别为1212,44x xy y 的两直线交于点P ，且直线OA 与直线OB 的斜率之积为14-，)E，则PE 的最小值为 .【答案】【解析】试题分析：由椭圆2214x y +=，设22A cos sin B cos sin ααββ（，），（，），对2214x y +=两边对x 取导数，可得202x yy +'= 即有切线的斜率为4xy-， 由题意可得AP ，BP 均为椭圆的切线，A ，B 为切点，则直线AP 的方程为111142xx xcos yy ysin αα+=∴+=，， 同理可得直线BP 的方程为12xcos ysin ββ+= ，求得交点P 的坐标为()()()2sin sin cos cos x y sin sin βαβαβααβ--==--，，()()()2222222()()42cos sin sin cos cos si x y n sin βαβαβαβααβ-∴+==--+--- ， 211••0114224OA OB sin sin k k cos sin sin cos cos αββαβαβααβ=-∴=-∴-=-=±∴-= ，，（），（），（），22222,1482x x y y ∴+=∴+= ，设P θθ（），|PE θ===-∴， 1cos θ∴=时，min PE =考点：椭圆的简单性质三.解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3416a a +=，763S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11n n a a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：12n T <.【答案】(1)21n a n =+；(2)略所以21n a n =+； (2)结合(1)可得)321121(23)32)(12(311+-+=++=+n n n n a a a n n ，所以3113113113111()()()()2352572212323232n T n n n =--++-=-<+++ . 考点：等差数列通项公式及前n 项和公式；裂项相消法【方法点睛】裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解，然后重新组合使之能消去一些项，最终达到求和的目的．利用裂项法的关键是分析数列的通项，考察是否能分解成两项的差，这两项一定要是同一数列相邻(相间)的两项，即这两项的结论应一致． 18.（本小题满分12分）在ABC ∆中，已知角A .B .C 的对边分别为,,a b c ，且1tan tan 12cos cos A C A C=+.（1）求B 的大小；（2）若212BA BC b ⋅=，试判断ABC ∆的形状. 【答案】(1) 3B π=；(2)等边三角形考点：解三角形 19.（本小题满分12分） 已知抛物线()2:20C y pxp =>的焦点为()1,0F ，抛物线2:2E x py =的焦点为M .（1）若过点M 的直线l 与抛物线C 有且只有一个交点，求直线l 的方程； （2）若直线MF 与抛物线C 交于A .B 两点，求OAB ∆的面积. 【答案】(1) 0=x ，或1=y ，或1+=x y ；(2)考点：抛物线的性质；直线与圆锥曲线的位置关系 20.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，左.右焦点分别是1F ，2F ，点P 为椭圆C 上任意一点，且12PF F ∆（1）求椭圆C 的方程；（2）过2F 作垂直于x 轴的直线l 交椭圆于A .B 两点（点A 在第一象限），M .N 是椭圆上位于直线l 两侧的动点，若MAB NAB ∠=∠，求证：直线MN 的斜率为定值.【答案】(1)22143x y +=；(2)12k = 【解析】试题分析：(1)由题意根据所给椭圆离心率结合过焦点的面积最大的三角形的特征列方程计算即可；(2)由题不难得到)23,1(A ，如何根据MAB NAB ∠=∠得到直线AM 与AN 关于直线x=1对称，得到其斜率关系，联考点：椭圆的简单性质；直线与椭圆的位置关系 21.（本小题满分12分）已知函数()(),ln x f x e g x x m ==+. （1）当1m =-时，求函数()()()f x F x x g x x=+⋅在()0,+∞上的极值；（2）若2m =，求证：当()0,x ∈+∞时，()()310f xg x >+. （参考数据：ln 20.693,ln 3 1.099,ln 5 1.609,ln 7 1.946====） 【答案】(1) 极小值为1)1(-=e F ，无极大值；(2)略 【解析】考点：利用导数语句函数的单调性；恒成立问题请考生在第22.23.24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知ABC ∆中，,AB AC D =为ABC ∆外接圆劣弧 AC 上的点（不与点A .C 重合），延长BD E 至，延长AC BC 交的延长线于F .（1）求证：CDF EDF ∠=∠；（2）求证：AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅.【答案】(1)略；(2)略考点：与圆有关的比例线段23.（本小题满分10分）选修4-4：极坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线12cos :3sin x C y αα=-+⎧⎨=+⎩（α为参数），28cos :x C y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.（1）将12,C C 的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若1C 上的点P 对应的参数为2πα=，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线l ：cos 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的距离的最大值.【答案】(1)22(2)(3)1x y ++-=，圆；(2)2216412x y +=，椭圆；(2)3.考点：参数方程化为普通方程24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()32f x x =+. （1）解不等式()41f x x <--；（2）已知()21,0m n m n +=>，若()()1230x a f x a m n--≤+>恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】(1) 2145<<-x ；(2) 60≤<a 【解析】试题分析：(1)由题根据绝对值不等式的几何意义不难得到对应不等式的解集；(2)由题根据恒成立问题的意义问题转化为求332x a x --+的最大值，结合基本不等式性质可得28a +≤，解不等式即可.考点：绝对值不等式；恒成立问题 【方法点睛】恒成立问题方法总结：1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立2、能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()min a f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨≤⎪⎩在上恒成立在上恒成立另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max .4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f m i n m i n ≥5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f m a x m a x≤6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方；9、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方；。
内蒙古呼伦贝尔市尼一中2017--2018学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析
内蒙古呼伦贝尔市尼一中2017-2018学年高一上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分共60分，每小题只有一个正确答案）1．已知全集U={0，2，4，6，8，10}，集合A={2，4，6}，B={1}，则（∁A）∪B等于（）UA．{0，1，8，10} B．{1，2，4，6} C．{0，8，10} D．∅2．下列关系中正确的个数为（）①0∈{0}②Φ⊊{0}③{0，1}⊆{（0，1）}．A．0 B．1 C．2 D．33．下列四个函数中，与y=x表示同一函数的是（）A．y=（）2B．y=C．y=D．y=4．不等式（x+1）（x﹣2）＞0的解集为（）A．{x|x＜﹣1或x＞2} B．{x|x＜﹣2或x＞1} C．{x|﹣2＜x＜1} D．{x|﹣1＜x＜2}5．下列幂函数中过点（0，0），（1，1）的偶函数是（）A．B．y=x2C．y=x﹣1D．y=x36．若函数g（x+2）=2x+3，则g（3）的值是（）A．9 B．7 C．5 D．37．下列函数中，既是奇函数又在区间（0．+∞）上单调递增的函数是（）A．y=1nx B．y=x3C．y=2|x|D．y=﹣x8．如图，设a，b，c，d＞0，且不等于1，y=a x，y=b x，y=c x，y=d x在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小顺序（）A．a＜b＜c＜d B．a＜b＜d＜c C．b＜a＜d＜c D．b＜a＜c＜d9．已知函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+b在区间（﹣∞，4]上递减，则a的取值范围是（）A．[﹣3，+∞）B．（﹣∞，﹣3] C．（﹣∞，5] D．[3，+∞）10．函数y=的定义域为（）A．（0，e] B．（﹣∞，e] C．（0，10] D．（﹣∞，10]11．三个数0.76，60.7，log0.76的大小关系为（）A．0.76＜log0.76＜60.7B．0.76＜60.7＜log0.76C．log0.76＜60.7＜0.76D．log0.76＜0.76＜60.712．若0＜a＜1，b＜﹣1，则函数f（x）=a x+b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若a＞0，a≠1，则函数y=a x﹣1+2的图象一定过点．14．设f（x）=，则f（3）= ．15．已知集合A={2+，a}，B={﹣1，1，3}，且A⊆B，则实数a的值是．16．lg+lg的值是．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）求函数y=在区间[2，6]上的最大值和最小值．18．（12分）集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}．若B⊆A，且B为非空集合，求实数m的取值范围．19．（12分）计算：（1）；（2）（log32+log92）•（log43+log83）20．（12分）求函数y=2log2x+5（2≤x≤4）的最大值与最小值．21．（12分）若关于x的方程x2+（m﹣3）x+m=0有两个不相等实数根，求m的取值范围．22．（10分）定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0当x＞0，f（x）＞1且对于任意的a，b∈R有，f（a+b）=f（a）f（b），（1）证明：f（0）=1．（2）证明：对于任意的x∈R，恒有f（x）＞0．内蒙古呼伦贝尔市尼一中2017-2018学年高一上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分共60分，每小题只有一个正确答案）A）∪B等于（）1．已知全集U={0，2，4，6，8，10}，集合A={2，4，6}，B={1}，则（∁UA．{0，1，8，10} B．{1，2，4，6} C．{0，8，10} D．∅【考点】并集及其运算．【分析】根据全集U和集合A先求出集合A的补集，然后求出集合A的补集与集合B的并集即可．【解答】解：由全集U={0，2，4，6，8，10}，集合A={2，4，6}，A={0，8，10}，则CU又因为集合B={1}，A）∪B={0，1，8，10}．则（CU故选A．【点评】此题考查了补集及并集的运算，是一道基础题，学生在求补集时应注意全集的范围．2．下列关系中正确的个数为（）①0∈{0}②Φ⊊{0}③{0，1}⊆{（0，1）}．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】元素与集合关系的判断．【分析】由空集的性质、元素和集合和集合和集合的关系，即可判断．【解答】解：①0∈{0}正确；②Φ⊊{0}，由空集是非空集合的真子集，故正确；③{0，1}⊆{（0，1）}，错误，一个为数集，一个为点集．正确的个数为2．故选：C．【点评】本题考查空集的性质、元素和集合和集合和集合的关系，属于基础题．3．下列四个函数中，与y=x表示同一函数的是（）A．y=（）2B．y=C．y=D．y=【考点】判断两个函数是否为同一函数．【分析】逐一检验各个选项中的函数与已知的函数是否具有相同的定义域、值域、对应关系，只有这三者完全相同时，两个函数才是同一个函数．【解答】解：选项A中的函数的定义域与已知函数不同，故排除选项A；选项B中的函数与已知函数具有相同的定义域、值域和对应关系，故是同一个函数，故选项B 满足条件；选项C中的函数与已知函数的值域不同，故不是同一个函数，故排除选项C；选项D中的函数与已知函数的定义域不同，故不是同一个函数，故排除选项D；故选 B．【点评】本题考查函数的三要素：定义域、值域、对应关系．两个函数只有当定义域、值域、对应关系完全相同时，才是同一个函数．4．不等式（x+1）（x﹣2）＞0的解集为（）A．{x|x＜﹣1或x＞2} B．{x|x＜﹣2或x＞1} C．{x|﹣2＜x＜1} D．{x|﹣1＜x＜2}【考点】一元二次不等式的解法．【分析】根据一元二次不等式的解法，写出不等式的解集即可．【解答】解：不等式（x+1）（x﹣2）＞0，解得x＜﹣1或x＞2，所以不等式的解集为{x|x＜﹣1或＞2}．故选：A．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．5．下列幂函数中过点（0，0），（1，1）的偶函数是（）A．B．y=x2C．y=x﹣1D．y=x3【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】利用幂函数的性质直接判断求解．【解答】解：在A中，y=过点（0，0），（1，1），是非奇非偶函数，故A错误；在B中，y=x2过点（0，0），（1，1），是偶函数，故B正确；在C中，y=x﹣1不过点（0，0），过（1，1），是奇函数，故C错误；在D中，y=x3过点（0，0），（1，1），是奇函数，故D错误．故选：B．【点评】本题考查满足条件的幂函数的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意幂函数的性质的合理运用．6．若函数g（x+2）=2x+3，则g（3）的值是（）A．9 B．7 C．5 D．3【考点】函数的值．【分析】由函数的解析式得，必须令x+2=3求出对应的x值，再代入函数解析式求值．【解答】解：令x+2=3，解得x=1代入g（x+2）=2x+3，即g（3）=5．故选C．【点评】本题的考点是复合函数求值，注意求出对应的自变量的值，再代入函数解析式，这是易错的地方．7．下列函数中，既是奇函数又在区间（0．+∞）上单调递增的函数是（）A．y=1nx B．y=x3C．y=2|x|D．y=﹣x【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】分别判断函数的奇偶性、单调性，即可得出结论．【解答】解：对于A，不是奇函数；对于B，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数；对于C，是偶函数；对于D，是奇函数，在区间（0，+∞）上单调递减的函数，故选B．【点评】本题考查函数单调性、奇偶性的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．8．如图，设a，b，c，d＞0，且不等于1，y=a x，y=b x，y=c x，y=d x在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小顺序（）A．a＜b＜c＜d B．a＜b＜d＜c C．b＜a＜d＜c D．b＜a＜c＜d【考点】指数函数的图象与性质．【分析】要比较a、b、c、d的大小，根据函数结构的特征，作直线x=1，与y=a x，y=b x，y=c x，y=d x交点的纵坐标就是a、b、c、d，观察图形即可得到结论．【解答】解：作辅助直线x=1，当x=1时，y=a x，y=b x，y=c x，y=d x的函数值正好是底数a、b、c、d直线x=1与y=a x，y=b x，y=c x，y=d x交点的纵坐标就是a、b、c、d观察图形即可判定大小：b＜a＜d＜c故选：C．【点评】本题主要考查了指数函数的图象与性质，同时考查了数形结合的数学思想，分析问题解决问题的能力，属于基础题．9．已知函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+b在区间（﹣∞，4]上递减，则a的取值范围是（）A．[﹣3，+∞）B．（﹣∞，﹣3] C．（﹣∞，5] D．[3，+∞）【考点】二次函数的性质．【分析】由f（x）在区间（﹣∞，4]上递减知：（﹣∞，4]为f（x）减区间的子集，由此得不等式，解出即可．【解答】解：f（x）的单调减区间为：（﹣∞，1﹣a]，又f（x）在区间（﹣∞，4]上递减，所以（﹣∞，4]⊆（﹣∞，1﹣a]，则4≤1﹣a，解得a≤﹣3，所以a的取值范围是（﹣∞，﹣3]，故选：B．【点评】本题考查二次函数的单调性，属基础题，若函数f（x）在区间（a，b）上递增，则（a，b）为f（x）增区间的子集．10．函数y=的定义域为（）A．（0，e] B．（﹣∞，e] C．（0，10] D．（﹣∞，10]【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．【解答】解：∵函数y=，∴1﹣lnx≥0，即lnx≤1；解得0＜x≤e，∴函数y的定义域为（0，e]．故选：A．【点评】本题考查了求函数定义域的问题，解题时应根据函数的解析式，求出使解析式有意义的不等式的解集，是基础题．11．三个数0.76，60.7，log0.76的大小关系为（）A．0.76＜log0.76＜60.7B．0.76＜60.7＜log0.76C．log0.76＜60.7＜0.76D．log0.76＜0.76＜60.7【考点】指数函数单调性的应用．【分析】由对数函数的图象和性质，可得到log0.76＜0，再指数函数的图象和性质，可得0.76＜1，60.7＞1从而得到结论．【解答】解：由对数函数y=log0.7x的图象和性质可知：log0.76＜0由指数函数y=0.7x，y=6x的图象和性质可知0.76＜1，60.7＞16＜0.76＜60.7∴log0.7故选D【点评】本题主要考查指数函数，对数函数的图象和性质，在比较大小中往往转化为函数的单调性或图象分面来解决．12．若0＜a＜1，b＜﹣1，则函数f（x）=a x+b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】函数f（x）=a x（0＜a＜1）是指数函数，在R上单调递减，过定点（0，1），过一、二象限，函数f（x）=a x+b的图象由函数f（x）=a x的图象向下平移|b|个单位得到，与y轴相交于原点以下，可知图象不过第一象限．【解答】解：函数f（x）=a x（0＜a＜1）的是减函数，图象过定点（0，1），在x轴上方，过一、二象限，函数f（x）=a x+b的图象由函数f（x）=a x的图象向下平移|b|个单位得到，∵b＜﹣1，∴|b|＞1，∴函数f（x）=a x+b的图象与y轴交于负半轴，如图，函数f（x）=a x+b的图象过二、三、四象限．故选A．【点评】本题考查指数函数的图象和性质，利用图象的平移得到新的图象，其单调性、形状不发生变化，结合图形，一目了然．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若a＞0，a≠1，则函数y=a x﹣1+2的图象一定过点（1，3）；．【考点】指数函数的图象与性质．【分析】利用指数函数过定点的性质进行判断．【解答】解：方法1：平移法∵y=a x过定点（0，1），∴将函数y=a x向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到y=a x﹣1+2，此时函数过定点（1，3），方法2：解方程法由x﹣1=0，解得x=1，此时y=1+2=3，即函数y=a x﹣1+2的图象一定过点（1，3）．故答案为：（1，3）【点评】本题主要考查指数函数过定点的性质，如果x的系数为1，则可以使用平移法，但x 的系数不为1，则用解方程的方法比较简单．14．设f（x）=，则f（3）= 6 ．【考点】函数的值．【分析】由x=3≥2，结合函数表达式能求出f（3）．【解答】解：∵f（x）=，∴f（3）=2×3=6．故答案为：6．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．15．已知集合A={2+，a}，B={﹣1，1，3}，且A⊆B，则实数a的值是 1 ．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据集合A⊆B，确定元素之间的关系即可求解a的值．【解答】解：∵集合，B={﹣1，1，3}，且A⊆B，∴a=﹣1或a=1或a=3，当a=﹣1时，无意义，∴不成立．当a=1时，A={3，1}，满足条件．当a=3时，A={2+，3}，不满足条件，故答案为：1．【点评】本题主要考查集合关系的应用，根据集合关系确定元素关系是解决本题的关键，注意要进行检验．16．lg+lg的值是 1 ．【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用对数的运算性质求解即可．【解答】解： ==1．故答案为：1．【点评】本题考查对数的运算性质，基本知识的考查．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）（2016秋•让胡路区校级期中）求函数y=在区间[2，6]上的最大值和最小值．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】先证明函数的单调性，用定义法，由于函数y=在区间[2，6]上是减函数，故最大值在左端点取到，最小值在右端点取到，求出两个端点的值即可．【解答】解：设x1、x2是区间[2，6]上的任意两个实数，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）===．由2＜x 1＜x 2＜6，得x 2﹣x 1＞0，（x 1﹣1）（x 2﹣1）＞0，于是f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2）．所以函数y=是区间[2，6]上的减函数，因此，函数y=在区间的两个端点上分别取得最大值与最小值，即当x=2时，y max =2；当x=6时，y min =．【点评】本题考查函数的单调性，用单调性求最值是单调性的最重要的应用．18．（12分）（2016秋•让胡路区校级期中）集合A={x|﹣2≤x ≤5}，B={x|m+1≤x ≤2m ﹣1}．若B ⊆A ，且B 为非空集合，求实数m 的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据集合间的包含关系分别列出不等式组求解，即可求实数m 的取值范围．【解答】解：∵B ⊆A ，B 为非空集合，∴，解得m ∈[2，3]．【点评】本题考查了集合的包含关系以及应用，主要是根据它们的自己关系构造出所求字母的不等式（组）求解．19．（12分）（2016秋•让胡路区校级期中）计算：（1）；（2）（log 32+log 92）•（log 43+log 83）【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【分析】（1）根据指数幂的运算性质可得，（2）根据对数的运算性质可得．【解答】解：（1）原式=1+π﹣3=π﹣2，（2）原式=（log 32+log 32）•（log 23+log 23）=log 32•log 23=．【点评】本题考查了指数幂和对数的运算性质，属于基础题．20．（12分）（2016秋•让胡路区校级期中）求函数y=2logx+5（2≤x≤4）的最大值与最小2值．【考点】函数的最值及其几何意义；对数函数的图象与性质．x+5为增函数，进而可得函数的最值．【分析】当2≤x≤4时，函数y=2log2x+5为增函数，【解答】解：当2≤x≤4时，函数y=2log2故当x=2时，函数取最小值7，当x=4时，函数取最大值9．【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，函数的最值及其几何意义，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．21．（12分）（2016秋•让胡路区校级期中）若关于x的方程x2+（m﹣3）x+m=0有两个不相等实数根，求m的取值范围．【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】利用判别式大于零，求得m的取值范围．【解答】解：∵关于x的方程x2+（m﹣3）x+m=0有两个不相等实数根，∴△=（m﹣3）2﹣4m ＞0，求得m＜1，或m＞9，故m的取值范围为（﹣∞，1）∪（9，+∞）．【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，属于基础题．22．（10分）（2016秋•让胡路区校级期中）定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0当x＞0，f（x）＞1且对于任意的a，b∈R有，f（a+b）=f（a）f（b），（1）证明：f（0）=1．（2）证明：对于任意的x∈R，恒有f（x）＞0．【考点】抽象函数及其应用．【分析】（1）令f（a+b）=f（a）f（b）式中a=b=0，根据f（0）≠0，可求出f（0）的值；（2）由于当x＞0时，f（x）＞1，当x=0时，f（0）=1，当x＜0时，﹣x＞0，f（0）=f（x）•f（﹣x），利用互为倒数可知，结论成立．【解答】证明：（1）因为f（a+b）=f（a）f（b），令式中a=b=0得：f（0）=f（0）f（0），因f（0）≠0，所以等式两同时消去f（0），得：f（0）=1．（2）证明：当x＞0时，f（x）＞1，当x=0时，f（0）=1，所以只需证明当x＜0时，f（x）＞0即可．当x＜0时，﹣x＞0，f（0）=f（x）•f（﹣x），因为f（﹣x）＞1，所以0＜f（x）＜1，故对任意的x∈R，恒有f（x）＞0．【点评】本题主要考查了抽象函数及其应用，同时考查了特殊值法的应用，解题的关键是如何取值，属于中档题．。
数学---内蒙古呼和浩特市2018届高三(上)期中试卷(理)(解析版)
内蒙古呼和浩特市2018届高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若复数z满足2+z i=z﹣2i（i为虚数单位），则复数z的模|z|=（）A．2 B．C．D．32．（5分）已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是（）A．命题￢p是真命题B．命题p是特称命题C．命题p是全称命题D．命题p既不是全称命题也不是特称命题3．（5分）在等差数列{a n}中，已知a3=5，a7=﹣7，则S10的值为（）A．50 B．20 C．﹣70 D．﹣254．（5分）曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图象的面积是（）A．B．C．D．5．（5分）若f（x）=﹣x2+2ax与g（x）=在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）∪）0，1] B．（﹣1，0）∪（0，1]C．（0，+∞）D．（0，1]6．（5分）已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足，则P一定为△ABC的（）A．AB边中线的三等分点（非重心）B．AB边的中点C．AB边中线的中点D．重心7．（5分）设函数f（x）=，则满足f（x）+f（x）＞1的x的取值范围是（）A．（﹣）B．（﹣∞，0）C．（）D．（）8．（5分）已知x，y满足条件，则目标函数z=x+y从最小值变化到1时，所有满足条件的点（x，y）构成的平面区域的面积为（）A．B．C．D．9．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos B﹣b cos A=，则tan（A﹣B）的最大值为（）A．B．C．D．10．（5分）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1，x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）A．B．C．D．11．（5分）“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的．数列中的一系列数字被人们称之为神奇数．具体数列为：1，1，2，3，5，8…，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列{a n}为“斐波那契”数列，S n为数列{a n}的前n 项的和，若a2017=m，则S2015=（）A．2m B．C．m+1 D．m﹣112．（5分）已知函数f（x）=﹣x3+3x2﹣mx﹣2m，若存在唯一的正整数x0，使得f（x0）＞0，则m的取值范围是（）A．（0，1）B．[）C．[）D．[）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）已知向量=（2x﹣1，3），向量=（1，﹣1），若，则实数x的值为．14．（5分）已知集合A={x|0＜x＜2}，集合B={x|﹣1＜x＜1}，集合C={x|x+m＞0}，若A∪B⊆C，则实数m的取值范围是．15．（5分）函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2﹣x），且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，设a=f（0），b=f，c=f（3），则a，b，c的大小关系为．16．（5分）如图，现有一个∠AOB为圆心角、湖岸OA与OB为半径的扇形湖面AOB．现欲在弧AB上取不同于A，B的点C，用渔网沿着弧AC（弧AC在扇形AOB的弧AB上）、半径OC和线段CD（其中CD∥OA），在扇形湖面内各处连个养殖区域﹣﹣养殖区域I和养殖区域II．若OA=1cm，，∠AOC=θ．求所需渔网长度（即图中弧AC、半径OC 和线段CD长度之和）的最大值为．三、解答题（本大题共7个小题，满分70分，解答写出文字说明，证明过程或演算过程）17．（12分）已知函数f（x）=（+x2）•e x．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）求f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值．18．（12分）已知函数f（x）=﹣10sin x cos x+10cos2x．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，求使得g（x）≥0的x的取值范围．19．（12分）设数列{a n}各项为正数，且a2=4a1，a n+1=+2a n（n∈N*）（I）证明：数列{log3（1+a n）}为等比数列；（Ⅱ）令b n=log3（1+a2n﹣1），数列{b n}的前n项和为T n，求使T n＞345成立时n的最小值．20．（12分）如图，已知AD是△ABC内角∠BAC的角平分线．（1）用正弦定理证明：；（2）若∠BAC=120°，AB=2，AC=1，求AD的长．21．（12分）已知函数f（x）=ln x﹣+x，a＜1．（1）当a=0时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）令g（x）=f（x）﹣（ax﹣1），讨论函数g（x）的零点的个数；（3）若a=﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明：x1+x2．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计算，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，圆C是以点C（2，）为圆心，2为半径的圆．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（II）求圆C被直线l：θ=（ρ∈R）所截得的弦长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b都是实数，a≠0，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（1）求使得f（x）＞2的x的取值集合M；（2）求证：当x∈∁R M时，|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x）对满足条件的所有a，b都成立．【参考答案】一、选择题1．A【解析】2+z i=z﹣2i（i为虚数单位），∴z（1﹣i）=2（1+i），∴z（1﹣i）（1+i）=2（1+i）（1+i），∴z=2i．则复数z的模|z|=2．故选：A．2．C【解析】命题p：实数的平方是非负数，是真命题，故￢p是假命题，命题p是全称命题，故选：C．3．D【解析】等差数列{a n}的公差设为d，a3=5，a7=﹣7，可得a1+2d=5，a1+6d=﹣7，解得a1=11，d=﹣3，则S10=10×11+×10×9×（﹣3）=﹣25，故选：D．4．A【解析】曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为（x﹣x2）d x=（x2﹣x3）|=﹣=；故选A．5．D【解析】∵函数f（x）=﹣x2+2ax的对称轴为x=a，开口向下，∴单调间区间为[a，+∞）又∵f（x）在区间[1，2]上是减函数，∴a≤1，g（x）=在区间[1，2]上都是减函数，故a＞0，综上，a∈（0，1]，故选：D．6．A【解析】如图所示：设AB的中点是E，∵O是三角形ABC的重心，∵=（+2），∵2=，∴=×（4+）=∴P在AB边的中线上，是中线的三等分点，不是重心．故选：A7．C【解析】若x≤0，则x﹣≤﹣，则f（x）+f（x﹣）＞1等价为x+1+x﹣+1＞1，即2x＞﹣，则x＞﹣，此时﹣＜x≤0，当x＞0时，f（x）=2x＞1，x﹣＞﹣，当x﹣＞0即x＞时，满足f（x）+f（x﹣）＞1恒成立，当0≥x﹣＞﹣，即≥x＞0时，f（x﹣）=x﹣+1=x+＞，此时f（x）+f（x﹣）＞1恒成立，综上x＞﹣，故选：C．8．A【解析】由约束条件作出可行域如图，作直线x+y=0，由图可知，平移直线x+y=0至A时，目标函数z=x+y有最小值，平移直线x+y=0至B时，使目标函数与直线y=﹣x+1重合时，目标函数z=x+y的值是1，所有满足条件的点（x，y）构成的平面区域为△AOBD及其内部区域，面积为S=．故选：A．9．B【解析】∵a cos B﹣b cos A=c，∴结合正弦定理，得sin A cos B﹣sin B cos A=sin C，∵C=π﹣（A+B），得sin C=sin（A+B），∴sin A cos B﹣sin B cos A=（sin A cos B+cos A sin B），整理可得：sin A cos B=4sin B cos A，同除以cos A cos B，得tan A=4tan B，由此可得tan（A﹣B）===，∵A、B是三角形内角，且tan A与tan B同号，∴A、B都是锐角，即tan A＞0，tan B＞0，∵≥2=4，∴tan（A﹣B）=≤，当且仅当=4tan B，即tan B=时，tan（A﹣B）的最大值为．故选：B．10．C【解析】∵f（x）=sin2x，∴g（x）=sin（2x﹣2φ），由|f（x1）﹣g（x2）|=2，可知f（x1）、g（x2）分别为两个函数的最大值和最小值（或最小值和最大值）．不妨设2x1=2kπ+，k∈Z，2x2﹣2φ=﹣+2mπ，m∈Z，则x1﹣x2=φ+（k﹣m）π，由|x1﹣x2|min=，可得﹣φ=，解得φ=，故选：C．11．D【解析】数列为：1，1，2，3，5，8…，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．则：（Ⅱ）∵a n+2=a n+a n+1=a n+a n﹣1+a n=a n+a n﹣1+a n﹣2+a n﹣1=a n+a n﹣1+a n﹣2+a n﹣3+a n﹣2=…=a n+a n﹣1+a n﹣2+a n﹣3+…+a2+a1+1，∴S2015=a2017﹣1=m﹣1．故选：D．12．C【解析】由题意设g（x）=﹣x3+3x2，h（x）=m（x+2），则g′（x）=﹣3x2+6x=﹣3x（x﹣2），所以g（x）在（﹣∞，0）、（2，+∞）上递减，在（0，2）上递增，且g（0）=g（3）=0，g（2）=﹣23+3•22=4，在同一个坐标系中画出两个函数图象如图：因为存在唯一的正整数x0，使得f（x0）＞0，即g（x0）＞h（x0），所以由图得x0=2，则，即，解得≤a＜1，所以m的取值范围是[，1），故选：C．二、填空题13．2【解析】根据题意，向量=（2x﹣1，3），向量=（1，﹣1），若，必有=（2x﹣1）﹣3=0，解可得x=2；故答案为：2．14．[1，+∞）【解析】∵集合A={x|0＜x＜2}，集合B={x|﹣1＜x＜1}，∴A∪B={x|﹣1＜x＜2}，∴集合C={x|x+m＞0}={x|x＞﹣m}，A∪B⊆C，∴﹣m≤﹣1，解得m≥1．∴实数m的取值范围是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．15．c＜a＜b【解析】依题意得，当x＜1时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；又f（3）=f（﹣1），且﹣1＜0＜＜1，因此有f（﹣1）＜f（0）＜f，即有f（3）＜f（0）＜f，c＜a＜b．故答案为：c＜a＜b．16．【解析】由CD∥OA，∠AOB=，∠AOC=θ，得∠OCD=θ，∠ODC=，∠COD=﹣θ．在△OCD中，由正弦定理，得CD=sin（﹣θ），θ∈（0，），设渔网的长度为f（θ）．可得，f（θ）=θ+1+sin（﹣θ），所以f′（θ）=1﹣cos（﹣θ），因为θ∈（0，），所以﹣θ∈（0，），令f′（θ）=0，得cos（﹣θ）=，所以﹣θ=，所以θ=．（0，）（，）所以f（θ）∈（2，]．故所需渔网长度的最大值为.三、解答题17．解：（1）f′（x）=+（+x2）•e x=，令f′（x）=0，解得x=0，﹣1，﹣4．列出表格：可得函数f（x）在（﹣∞，﹣4）和（﹣1，0）单调递减；在[﹣4，﹣1]和[0，+∞）内单调递增．（2）由（1）可得：f（x）在[﹣1，0）上单调递减，在[0，1]上单调递增．∴x=0时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（x）min=f（0）=0．又f（﹣1）=，f（1）=．∴f（x）max=f（1）=．18．解：（1）∵f（x）=﹣10sin x cos x+10cos2x==，∴函数f（x）的最小正周期T=；由，得，k∈Z．∴函数f（x）的单调增区间为[]，k∈Z；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）=f（x﹣）=，∴当g（x）≥0时，cos2x，∴，即，k∈Z．∴x的取值范围是[]，k∈Z．19．（I）证明：∵a2=4a1，a n+1=+2a n（n∈N*），∴a2=4a1，a2=，解得a1=2，a2=8．∴a n+1+1=+2a n+1=，两边取对数可得：log3（1+a n+1）=2log3（1+a n），∴数列{log3（1+a n）}为等比数列，首项为1，公比为2．（II）解：由（I）可得：log3（1+a n）=2n﹣1，∴b n=log3（1+a2n﹣1）=22n﹣2=4n﹣1，∴数列{b n}的前n项和为T n==．不等式T n＞345，化为＞345，即4n＞1036．解得n＞5．∴使T n＞345成立时n的最小值为6．20．解：（1）∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，根据正弦定理，在△ABD中，=，在△ADC中，=，∵sin∠ADB=sin（π﹣∠ADC）=sin∠ADC，∴=，=，∴=；（2）根据余弦定理，cos∠BAC=，即cos120°=，解得BC=，又=，∴=，解得CD=，BD=；设AD=x，则在△ABD与△ADC中，根据余弦定理得，cos60°=，且cos60°=，解得x=，即AD的长为．21．解：（1）a=0时，f（x）=ln x+x，f′（x）=+1，故f（1）=1，f′（1）=2，故切线方程是：y﹣1=2（x﹣1），整理得：2x﹣y﹣1=0；解：（2）g（x）=f（x）﹣（ax﹣1）=ln x﹣ax2+（1﹣a）x+1，所以g′（x）=﹣ax+（1﹣a）=，当a≤0时，因为x＞0，所以g′（x）＞0．所以g（x）在（0，+∞）上是递增函数，当a＞0时，g′（x）=，令g′（x）=0，得x=，所以当x∈（0，）时，g′（x）＞0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＜0，因此函数g（x）在x∈（0，）是增函数，在（，+∞）是减函数．综上，当a≤0时，函数g（x）的递增区间是（0，+∞），无递减区间，无极大值，零点1个；当a＞0时，函数g（x）的递增区间是（0，），递减区间是（，+∞）；故g（x）极大值=g（）=•﹣ln a，由y=1﹣2a ln a（a＞0）的导数为﹣2（1+ln a），可得a=为极大值点，代入可得1﹣2a ln a＞0，可得g（）＞0，零点2个；证明：（3）由f（x1）+f（x2）+x1x2=0，即ln x1+x12+x1+ln x2+x22+x2+x1x2=0，从而（x1+x2）2+（x1+x2）=x1x2﹣ln（x1x2），令t=x1x2，则由φ（t）=t﹣ln t，由x1＞0，x2＞0，即x1+x2＞0．φ′（t）=，（t＞0），可知，φ（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．所以φ（t）≥φ（1）=1，所以（x1+x2）2+（x1+x2）≥1，解得x1+x2≥成或x1+x2≤，又因为x1＞0，x2＞0，因此x1+x2≥成立．22．解：（I）点C（2，），化为：C，即C．可得圆的标准方程：=4，展开可得：x2+y2﹣2x+2y=0，化为极坐标方程：ρcosθ+2ρsinθ=0，即ρ=2cosθ+2sinθ．（II）由于此圆经过原点，把θ=（ρ∈R）可得：ρ=2cos+2sin=+2=﹣．23．解：（1）由f（x）＞2，即|x﹣1|+|x﹣2|＞2．而|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，而数轴上满足|x﹣1|+|x﹣2|=2的点的坐标为和，故不等式|x﹣1|+|x﹣2|＞2的解集为{x|x＜或x＞}，（2）由（1）当x∈∁R M时，x∈[，]，由题知，|x﹣1|+|x﹣2|≤恒成立，故|x﹣1|+|x﹣2|小于或等于的最小值．∵|a+b|+|a﹣b|≥|a+b+a﹣b|=2|a|，当且仅当（a+b）（a﹣b）≥0 时取等号，∴的最小值等于2，∴x的范围即为不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤2的解．由于|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，又由于数轴上的、对应点到1和2对应点的距离之和等于2，故不等式的解集为[，]．。
尼尔基第一中学2017-2018学年高三上学期12月月考数学试卷(理科) Word版含解析
尼尔基第一中学2017-2018学年高三上学期12月月考试卷（理科数学）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）设集合U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，4}，B={2，3，6}，则A∪（∁U B）=（）A．{1，2，3，4，} B．{1，2，4，5} C．{1，3，4，5} D．{1，3，4，6}2．（5分）已知tan（π﹣α）=，则=（）A．B．C．﹣D．﹣3．（5分）“a=2”是“直线y=﹣ax+2与y=垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知函数，当x=a时，y取得最小值b，则a+b=（）A．﹣3 B．2 C．3 D．85．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，a n+1﹣2a n=0，b n=log2a n，那么数列{b n}的前10项和等于（）A．130 B．120 C．55 D．506．（5分）动点P（cosθ，sinθ）（θ∈R）关于直线y=x﹣2的对称点是P′，则|PP′|的最大值（）A．2﹣2 B．+1 C．2D．2+27．（5分）点P是双曲线（a＞0，b＞0）左支上的一点，其右焦点为F（c，0），若M为线段FP 的中点，且M到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率e范围是（）A．（1，8] B．C．D．（2，3]8．（5分）下列四个图中，函数y=的图象可能是（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）=的两个极值点分别为x1，x2，且x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），点P（m，n）表示的平面区域为D，若函数y=log a（x+4）（a＞1）的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围为（）A．（1，3] B．（1，3）C．（3，+∞）D．[3，+∞）10．（5分）如图所示，等边△ABC的边长为2，D为AC中点，且△ADE也是等边三角形，将△ADE绕看A点顺时针转到到AD与AB重合的过程中，•的最大值是（）A．B．C．D．二、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分）11．（5分）已知向量=（x2﹣1，2+x），=（x，1），若∥，则x=．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM 的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为9π，则p=．13．（5分）设集合P={1，2，3，4，5}，对任意k∈P和正整数m，记f（m，k）=[m]，其中，[a]表示不大于a的最大整数，若f（m，k）=19，则m k=．选做题（共1小题，每小题5分，满分5分）14．（5分）如图，AB是半圆O的直径，P在AB的延长线上，PD与半圆O相切于点C，AD⊥PD．若PC=4，PB=2，则CD=．选做题（共1小题，每小题5分，满分5分）15．（5分）设极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合．已知曲线C1的极坐标方程是：ρcos（θ+）=m，曲线C2参数方程为：（θ为参数），若两曲线有公共点，则实数m的取值范围是．选做题（共1小题，每小题0分，满分0分）16．不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为．三、解答题（共6小题，满分75分）17．（13分）已知=（2cosx+2sinx，1），=（cosx，﹣y），且⊥．（1）将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的单调增区间；（2）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C对应的边长，若f（）=3，且a=2，b+c=4，求△ABC 的面积．18．（13分）已知动圆过定点A（2，0），且在y轴上截得的弦长|MN|=4．（Ⅰ）求动圆圆心C的轨迹方程；（Ⅱ）若过点（1，0）的直线l交圆心C的轨迹于点A，B，且|AB|=5，求直线AB的方程．19．（13分）已知函数f（x）=﹣x3+mx在（0，1）上是增函数（1）求实数m的取值集合A．（2）当m取值集合A．中的最小值时，定义数列{a n}；满足a1=3，且a n＞0，，求数列{a n}的通项公式（3）若b n=na n，数列{b n}的前n项和为S n，求证：S n．20．（12分）已知函数f（x）=（x2﹣2x）•lnx+ax2+2（1）当a=﹣1时，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）设函数g（x）=f（x）﹣x﹣2，若函数g（x）有且仅有一个零点时，求a的值．21．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）短轴长为2，左右焦点分别为F1，F2，c为半焦距．若以F2为圆心，b﹣c为半径作圆F2，P为椭圆上的动点，过P作此圆的切线l，切点为T．（1）当l经过原点时，l的斜率为﹣，求椭圆的方程．（2）若|PT|的最小值不小于（a﹣c），圆F2与x轴的右焦点为C，过点C作斜率为k（k＞0）的直线m 与椭圆交于A，B两点．与圆F2交于另一点D两点，若O在以AB为直径的圆上，求|CD|的最大值．22．（12分）用e，f，g三个不同的字母组成一个含有n+1（n∈N+）个字母的字符串，要求由字母e开始，相邻两个字母不能相同，例如n=1时，排出的字符串为ef，eg：n=2时，排出的字符串是efe，ege，efg，egf，…在这种含有n+1个字母的字符串中，记排在最后一个的字母仍然是e的字符串的个数为a n．（1）求a1，a2，a3；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：++…++＜（n≥2）尼尔基第一中学2017-2018学年高三上学期12月月考试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）设集合U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，4}，B={2，3，6}，则A∪（∁U B）=（）A．{1，2，3，4，} B．{1，2，4，5} C．{1，3，4，5} D．{1，3，4，6}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：根据全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的并集即可．解答：解：∵集合U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，4}，B={2，3，6}，∴∁U B={1，4，5}，则A∪（∁U B）={1，3，4，5}，故选：C．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（5分）已知tan（π﹣α）=，则=（）A．B．C．﹣D．﹣考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：直接利用诱导素化简已知条件，所求表达式化为正切函数的形式，代入求解即可．解答：解：tan（π﹣α）=﹣tanα=，∴tanα=﹣则===．故选：C．点评：本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值，基本知识的考查．3．（5分）“a=2”是“直线y=﹣ax+2与y=垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：直线与圆．分析：当a=2时两直线的斜率都存在，故只要看是否满足k1•k2=﹣1即可．利用直线的垂直求出a的值，然后判断充要条件即可．解答：解：当a=2时直线y=﹣ax+2的斜率是﹣2，直线y=的斜率是2，满足k1•k2=﹣1∴a=2时直线y=﹣ax+2与y=垂直，直线y=﹣ax+2与y=垂直，则﹣a•a=﹣1，解得a=±2，“a=2”是“直线y=﹣ax+2与y=垂直”的充分不必要条件．故选A．点评：本题通过逻辑来考查两直线垂直的判定，必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查基本知识的应用．4．（5分）已知函数，当x=a时，y取得最小值b，则a+b=（）A．﹣3 B．2 C．3 D．8考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：将，转化为y=（x+1+）﹣5，再利用基本不等式求解即可．解答：解：∵x＞﹣1，∴x+1＞0，∴=（x+1）+﹣5≥2﹣5=1，当且仅当x=2时取等号．∴a=2，b=1，∴a+b=3．故选C．点评：本题考查基本不等式，凑“积为定值”是关键，属于中档题．5．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，a n+1﹣2a n=0，b n=log2a n，那么数列{b n}的前10项和等于（）A．130 B．120 C．55 D．50考点：数列递推式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得，可得数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式即可得到a n，利用对数的运算法则即可得到b n，再利用等差数列的前n项公式即可得出．解答：解：在数列{a n}中，a1=2，a n+1﹣2a n=0，即，∴数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴=2n．∴=n．∴数列{b n}的前10项和=1+2+…+10==55．故选C．点评：熟练掌握等比数列的定义、等比数列的通项公式、对数的运算法则、等差数列的前n项公式即可得出．6．（5分）动点P（cosθ，sinθ）（θ∈R）关于直线y=x﹣2的对称点是P′，则|PP′|的最大值（）A．2﹣2 B．+1 C．2D．2+2考点：与直线关于点、直线对称的直线方程；两点间的距离公式．专题：直线与圆．分析：利用点到直线的距离公式，余弦函数的值域，求出点P到直线y=x﹣2的距离d的最大值，再乘以2，即得所求．解答：解：要使|PP′|最大，只要点P到直线y=x﹣2的距离d最大，而d==，故d的最大值为=1+，故|PP′|=2d的最大值为2+2，故选：D．点评：本题主要考查一个点关于直线的对称点的定义，点到直线的距离公式，余弦函数的值域，体现了转化的数学思想，属于基础题．7．（5分）点P是双曲线（a＞0，b＞0）左支上的一点，其右焦点为F（c，0），若M为线段FP 的中点，且M到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率e范围是（）A．（1，8] B．C．D．（2，3]考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：直接利用双曲线的定义，结合三角形的中位线定理，推出a，b，c的关系，求出双曲线的离心率．解答：解：设双曲线的左焦点为F1，因为点P是双曲线（a＞0，b＞0）左支上的一点，其右焦点为F（c，0），若M为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为，由三角形中位线定理可知：OM=PF1，PF1=PF﹣2a，PF≥a+c．所以，1．故选B．点评：本题是中档题，考查双曲线的基本性质，找出三角形的中位线与双曲线的定义的关系，得到PF≥a+c．是解题的关键．8．（5分）下列四个图中，函数y=的图象可能是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：根据四个选择项判断函数值的符号即可选择正确选项．解答：解：当x＞0时，x+1＞1，故（x+1）10＞1，从而ln（x+1）10＞0，∴，即y＞0，排除A、B两项；当﹣2＜x＜﹣1时，﹣1＜x+1＜0，∴0＜（x+1）10＜1，∴ln（x+1）10＜0，∴，∴y＞0，排除D项．故选：C．点评：本题考查函数的图象及函数性质．作为选择题用排除法，特殊值法比较容易．解有关图象题目，要考虑定义域、值域、单调性、奇偶性以及特殊点的函数值．9．（5分）已知函数f（x）=的两个极值点分别为x1，x2，且x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），点P（m，n）表示的平面区域为D，若函数y=log a（x+4）（a＞1）的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围为（）A．（1，3] B．（1，3）C．（3，+∞）D．[3，+∞）考点：简单线性规划；复合命题的真假．专题：数形结合；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：求出函数f（x）的导函数，由原函数的两个极值点分别在（0，1），（1，+∞）内列式得到m，n的关系，作出可行域，由函数y=log a（x+4）（a＞1）的图象上存在区域D内的点得到对数不等式，求解不等式得实数a的取值范围．解答：解：∵函数f（x）=的两个极值点分别为x1，x2，且x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），∴的两根x1，x2满足0＜x1＜1＜x2，则x1+x2=﹣m，x1x2=＞0，，即n+3m+2＜0，∴﹣m＜n＜﹣3m﹣2，作平面区域如图：∴m＜﹣1，n＞1．∵y=log a（x+4）（a＞1）的图象上存在区域D内的点，∴log a（﹣1+4）＞1，即，∵a＞1，∴lga＞0，∴1g3＞lga．解得1＜a＜3．故选：B．点评：本题考查了利用导数研究函数的极值，考查了简单的线性规划，体现了数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题．10．（5分）如图所示，等边△ABC的边长为2，D为AC中点，且△ADE也是等边三角形，将△ADE绕看A点顺时针转到到AD与AB重合的过程中，•的最大值是（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：设∠BAD=θ，（0≤θ≤），则∠CAE=θ，则=（﹣）•（﹣）将其展开，运用向量的数量积的定义，再由两角和差的余弦公式，化简得到﹣2cosθ，再由余弦函数的性质，即可得到范围．解答：解：设∠BAD=θ，（0≤θ≤），则∠CAE=θ，则=（﹣）•（﹣）=﹣﹣+=1×1×cos﹣1×2×cos（﹣θ）﹣2×1×cos（+θ）+2×2×cos=﹣2（cosθ+sinθ+cosθ﹣sinθ）=﹣2cosθ，由于0≤θ≤，则≤cosθ≤1，则≤﹣2cosθ≤．故选A．点评：本题考查平面向量的数量积的定义，考查三角函数的化简和求最值，考查运算能力，属于中档题．二、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分）11．（5分）已知向量=（x2﹣1，2+x），=（x，1），若∥，则x=．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：直接由向量共线的坐标表示列式求解x的值．解答：解：∵=（x2﹣1，2+x），=（x，1），由∥，得（x2﹣1）﹣x•（2+x）=0，解得：．故答案为：．点评：平行问题是一个重要的知识点，在2015届高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若=（a1，a2），=（b1，b2），则⊥⇔a1a2+b1b2=0，∥⇔a1b2﹣a2b1=0．是基础题．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM 的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为9π，则p=4．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值．解答：解：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径∵圆面积为9π，∴圆的半径为3又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=，∴=3∴p=4故答案为：4．点评：本题考查抛物线的简单性质，考查圆与圆锥曲线的综合，考查学生的计算能力，属于基础题．13．（5分）设集合P={1，2，3，4，5}，对任意k∈P和正整数m，记f（m，k）=[m]，其中，[a]表示不大于a的最大整数，若f（m，k）=19，则m k=64．考点：进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：根据新的定义列式，然后根据[a]表示不大于a的最大整数进行求解，计算出发m，k值后，可得答案．解答：解：若m＞n，则f（m，k）＞f（n，k），若k＞t，则f（m，k）＞f（m，t），由于f（m，k）=19＞7，故m＞2，当m=3，k=3时，则f（3，3）=[3]=[3]+[3]+[3]+[3]+[3]=4+3+3+2+2=14＜19，当m=4，k=3时，则f（4，3）=[4]=[4]+[4]+[4]+ [4]+[4]=5+4+4+3+3=19，故m=4，k=3时，f（m，k）=19，则m k=64，故答案为：64点评：本题主要考查了合情推理，解题的关键是读懂新的定义，同时考查了计算能力，属于中档题．选做题（共1小题，每小题5分，满分5分）14．（5分）如图，AB是半圆O的直径，P在AB的延长线上，PD与半圆O相切于点C，AD⊥PD．若PC=4，PB=2，则CD=．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；直线与圆．分析：由PD与半圆O相切于点C及切割线定理得PC2=PB•PA，OC⊥PD．再利用AD⊥PD得到OC∥AD．利用平行线分线段成比例即可得出．解答：解：设圆的半径为R．连接OC．∵PD与半圆O相切于点C，∴PC2=PB•PA，OC⊥PD．．∵PC=4，PB=2，∴42=2×（2+2R），解得R=3．又∵AD⊥PD，∴OC∥AD．∴．∴，解得CD=．故答案为．点评：熟练掌握圆的切线的性质、切割线定理、平行线分线段成比例定理是解题的关键．选做题（共1小题，每小题5分，满分5分）15．（5分）设极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合．已知曲线C1的极坐标方程是：ρcos（θ+）=m，曲线C2参数方程为：（θ为参数），若两曲线有公共点，则实数m的取值范围是[﹣1，3]．考点：直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．专题：计算题．分析：将两曲线方程化为直角坐标方程，根据题意可得圆心到直线的距离小于或等于半径，即，由此求得实数m的取值范围．解答：解：将两曲线方程化为直角坐标方程，得C1：，C2：（x﹣2）2+y2=4．因为两曲线有公共点，所以，圆心到直线的距离小于或等于半径，即，解得﹣1≤m≤3，故m∈[﹣1，3]，故答案为：[﹣1，3]．点评：本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，得到，是解题的关键．选做题（共1小题，每小题0分，满分0分）16．不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由于|x﹣1|+|x+2|表示数轴上的x对应点到1和﹣2 的距离之和，而﹣3和 2对应点到1和﹣2 的距离之和正好等于5，由此求得所求不等式的解集．解答：解：由于|x﹣1|+|x+2|表示数轴上的x对应点到1和﹣2 的距离之和，而﹣3和 2对应点到1和﹣2 的距离之和正好等于5，故不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞），故答案为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）．点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于中档题．三、解答题（共6小题，满分75分）17．（13分）已知=（2cosx+2sinx，1），=（cosx，﹣y），且⊥．（1）将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的单调增区间；（2）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C对应的边长，若f（）=3，且a=2，b+c=4，求△ABC 的面积．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；正弦定理；余弦定理．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（1）由数量积为0可得方程，由三角函数的公式化简可得f（x），再由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，可得单调递增区间；（2）结合（1）可得f（）=1+2sin（A+）=3，进而可得A=，由余弦定理可得bc=4，代入面积公式S=，计算可得答案．解答：解：（1）由题意可得（2cosx+2sinx）cosx﹣y=0，即y=f（x）=（2cosx+2sinx）cosx=2cos2x+2sinxcosx=1+cos2x+sin2x=1+2sin（2x+），由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，故f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z（2）由（1）可知f（x）=1+2sin（2x+），故f（）=1+2sin（A+）=3，解得sin（A+）=1故可得A+=，解得A=，由余弦定理可得22=b2+c2﹣2bccosA，化简可得4=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=16﹣3bc，解得bc=4，故△ABC的面积S===点评：本题考查三角函数的性质和余弦定理的应用，涉及向量的垂直的判断，属基础题．18．（13分）已知动圆过定点A（2，0），且在y轴上截得的弦长|MN|=4．（Ⅰ）求动圆圆心C的轨迹方程；（Ⅱ）若过点（1，0）的直线l交圆心C的轨迹于点A，B，且|AB|=5，求直线AB的方程．考点：轨迹方程．专题：综合题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设圆心C（x，y），点C到y轴的距离为d，则d=|x|，利用勾股定理求动圆圆心C的轨迹方程；（Ⅱ）分类讨论，设直线AB的方程为y=k（x﹣1）（k≠0）与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合|AB|=5，求直线AB的方程．解答：解：（Ⅰ）设圆心C（x，y），点C到y轴的距离为d，则d=|x|由即（x﹣2）2+y2=4+|x|2化简得y2=4x，即为所求轨迹方程．（Ⅱ）焦点F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）．若AB⊥x轴，则|AB|=2p=4＜5，所以直线AB的斜率k存在．设直线AB的方程为y=k（x﹣1）（k≠0）由消去y得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0|AB|=∴k=±2所以直线AB的方程为y=2（x﹣1）或y=﹣2（x﹣1）．点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查直线与抛物线的位置关系，正确运用韦达定理是关键．19．（13分）已知函数f（x）=﹣x3+mx在（0，1）上是增函数（1）求实数m的取值集合A．（2）当m取值集合A．中的最小值时，定义数列{a n}；满足a1=3，且a n＞0，，求数列{a n}的通项公式（3）若b n=na n，数列{b n}的前n项和为S n，求证：S n．考点：利用导数研究函数的单调性；数列的函数特性；数列的求和；数列递推式．专题：导数的综合应用；等差数列与等比数列．分析：（1）先求出导数f′（x），再由条件得f′（x）=﹣3x2+m≥0在（0，1）上恒成立，分离出m后再求出m的范围；（2）由（1）求出m的值，代入f′（x）后，再代入进行化简得到=3，结论即得到证明；（3）根据（2）求出b n，再由通项公式的特点，利用错位相减法求出S n，由表达式就可以证明结论．解答：解：（1）由题意得f′（x）=﹣3x2+m，∵f（x）=﹣x3+mx在（0，1）上是增函数，∴f′（x）=﹣3x2+m≥0在（0，1）上恒成立，即m≥3x2，得m≥3，故所求的集合A为[3，+∞）；（2）由（1）得，m=3，∴f′（x）=﹣3x2+3，∵，a n＞0，∴=3a n，即=3，∴数列{a n}是以3为首项和公比的等比数列，故a n=3n；（3）由（2）得，b n=na n=n•3n，∴S n=1•3+2•32+3•33+…+n•3n①3S n=1•32+2•33+3•34+…+n•3n+1②①﹣②得，﹣2S n=3+32+33+…+3n﹣n•3n+1=﹣n•3n+1化简得，S n=＞．点评：本题是有关函数和数列的综合题，考查了函数单调性与导数关系，等比数列的定义应用，以及错位相减法求出S n，考查了分析问题和解决问题的能力．20．（12分）已知函数f（x）=（x2﹣2x）•lnx+ax2+2（1）当a=﹣1时，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）设函数g（x）=f（x）﹣x﹣2，若函数g（x）有且仅有一个零点时，求a的值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：（1）当a=﹣1时，求函数的导数，根据导数的几何意义即可求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）构造函数，求函数的导数，判断函数的极值即可得到结论．解答：解：（1）当a=﹣1时，f（x）=（x2﹣2x）•lnx﹣x2+2，则f′（x）=（2x﹣2）lnx+（x﹣2）﹣2x，∴f′（1）=﹣3，f（1）=1，则f（x）在（1，f（1））处的切线方程为3x+y﹣4=0；（2）由g（x）=f（x）﹣x﹣2=0，得（x2﹣2x）•lnx+ax2+2=x+2，即a=，设h（x）=，则h′（x）=，令t（x）=1﹣x﹣2lnx，则t′（x）=﹣1﹣=，∵t′（x）＜0，t（x）在（0，+∞）上是减函数，t（1）=h'（1）=0，∴当0＜x＜1时，h′（x）＞0，当x＞1时，h′（x）＜0，即h（x）的最大值为h（1）=1，∴若函数g（x）有且仅有一个零点时，则a=1．点评：本题主要考查导数的综合应用，考查导数的几何意义以及函数单调性与导数之间的关系，考查学生的运算能力．21．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）短轴长为2，左右焦点分别为F1，F2，c为半焦距．若以F2为圆心，b﹣c为半径作圆F2，P为椭圆上的动点，过P作此圆的切线l，切点为T．（1）当l经过原点时，l的斜率为﹣，求椭圆的方程．（2）若|PT|的最小值不小于（a﹣c），圆F2与x轴的右焦点为C，过点C作斜率为k（k＞0）的直线m 与椭圆交于A，B两点．与圆F2交于另一点D两点，若O在以AB为直径的圆上，求|CD|的最大值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题意可得==，从而解出a，b，c；从而求椭圆的方程；（2）由题意可得直线m的方程为y=k（x﹣1），联立方程得到，从而可得（a2k2+1）x2﹣2a2k2x+a2k2﹣a2=0；由韦达定理，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=，x1x2=；则由OA⊥OB得•=0，即x1x2+y1y2==0，从而可得k=a；利用两点间的距离公式求解即可．解答：解：（1）当l经过原点时的斜率为﹣，故==，解得，c=；故a2=b2+c2=1+=；故椭圆方程为+y2=1；（2）由题意，点Q的坐标为（1，0），则得直线m的方程为y=k（x﹣1），联立方程组得，（a2k2+1）x2﹣2a2k2x+a2k2﹣a2=0；设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=，x1x2=；代入直线方程得y1y2=，x1x2+y1y2=；由题意OA⊥OB，所以•=0，所以x1x2+y1y2==0，所以k=a，直线m方程为ax﹣y﹣a=0，圆心F2（c，0）到直线m的距离d=．CD2=4[（b﹣c）2﹣d2]=；|CD|==2=2，根据题意可设切线长|PT|=，所以当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，而|PF2|min=a﹣c，所以≥（a﹣c）；．所以0＜≤，从而解得≤，解得，c≥；所以≤c＜1，所以≤2c+1＜3；则|CD|∈（0，]．所以当c=时，|CD|max=．点评：本题考查了圆锥曲线与直线的应用，化简很复杂，属于难题．22．（12分）用e，f，g三个不同的字母组成一个含有n+1（n∈N+）个字母的字符串，要求由字母e开始，相邻两个字母不能相同，例如n=1时，排出的字符串为ef，eg：n=2时，排出的字符串是efe，ege，efg，egf，…在这种含有n+1个字母的字符串中，记排在最后一个的字母仍然是e的字符串的个数为a n．（1）求a1，a2，a3；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：++…++＜（n≥2）考点：数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知条件能求出a1，a2，a3的值．（2）由a n﹣1的构成方式入手，由e开头，n个字符组成的相邻两个字母不能相同的字符串的数目为2n﹣1个，由已知得a n+2﹣a n=2n，由此能求出a n=．（3）当n为偶数时，＜，由此利用分类讨论思想能证明++…++＜（n≥2）．解答：（1）解：由已知得n=1时，排出的字符串为ef，eg，∴a1=0；：n=2时，排出的字符串是efe，ege，efg，egf，∴a2=2；n=3时，efge，egfe，efeg，egef，∴a3=2．（2）解：由a n﹣1的构成方式入手，由e开头，n个字符组成的相邻两个字线不能相同的字符串的数目为2n﹣1个，这2n﹣1个字符串由三类构成，①，e，…，e，个数为a n﹣1，②e，…，f，③e，…，g，其中后两数的字符串的和为a n个，∴a n﹣1+a n=2n﹣1（n≥2），由a n﹣1+a n=2n﹣1（n≥2），得，，作差，得a n+2﹣a n=2n，当n为偶数时，，，…，，∴a n=，当n为奇数时，a n=2n﹣1﹣a n﹣1=，∴a n=．（3）证明：当n为偶数时，＜⇔＜⇔⇔2n•2n+1＜（2n+2）（2n+1﹣2）⇔0＜2n+1﹣4，∵0＜2n+1﹣4成立，∴＜．当n为奇数时，++…++＜=＜，当n为偶数时，，++…++＜=＜，∴++…++＜（n≥2）．点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．。
尼尔基第一中学2017-2018学年高三12月月考理数试题 Word版含解析 (2)
内蒙古呼伦贝尔市尼尔基第一中学2017-2018学年高三12月月考理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.已知集合{}23|1,|1213nM x N n n Z x ⎧⎫=<=≤≤∈⎨⎬⎩⎭且，则N M = （ ）A ．{}2,3B ．{}3C ．⎡⎣D ．[)2,+∞ 【答案】A考点：集合的交集．2.已知随机变量X 服从正态分布(3,1)N ，且(21)(5)P c P X c X <+=>+，则c =（ ） A ．43-B ．-1C ．0D ．4 【答案】C 【解析】试题分析：因为(21)(5)P X c P X c <+=>+，由正态分布的对称性知，=21X c +与=5X c +关于对称轴3X =对称，从而21+5=23c c ++⨯，所以0c =，故选C ． 考点：正态分布．3.已知复数()z x yi x y R =+∈、，且有11xyi i=+-，则z =（ ）A ．5B ．3 D 【答案】B 【解析】试题分析：因为(1)112x x i yi i +==+-，所以(1)2(1)x i yi +=+，从而2,1x y ==，z =B ． 考点：复数的运算．4.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 且支出在[)20,60元的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[)50,60元的学生有30人，则n 的值为（ ）A ．100B ．1000C ．90D ．900 【答案】A考点：频率分布直方图．5.已知椭圆2222135x y m n +=和双曲线2222123x y m n -=有公共焦点，则双曲线的渐近线方程是（ ）A ．2x y =±B ．2y x =±C ．4x y =±D ．4y x =± 【答案】D 【解析】试题分析：由题意知椭圆焦距和双曲线焦距相等，所以22223523m n m n -=+，即228m n =，所以双曲线的渐近线方程是y x ===，故选D ． 考点：1、椭圆的几何性质；2、双曲线的几何性质．6.在区间(0,1)内任取两个数,x y ，则满足2y x ≥概率是（ ） A ．34 B ．14 C ．12 D ．23【答案】B 【解析】试题分析：由题意，01,01x y <<<<，所以基本事件空间是边长为1的正方形面积，满足2y x ≥的事件区域是三角形区域，所以1u Ω=，1111224A u =⨯⨯=，根据几何概型得：14A u P u Ω==，故选B ． 考点：几何概型．7.右图是某实心机械零件的三视图，则该机械零件的体积为（ ）A ．362π+B ．365π+C ．368π+D ．3620π+ 【答案】A考点：三视图．8.《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus ）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把120 个面包分成5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的7倍，则最 少的那份有（ ）个面包． A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】C 【解析】试题分析：设每个人由少到多的顺序得到面包数分别为12345,,,,a a a a a ，因为每个人所得的面包成等差数列，设公差为d ，则有1120510a d =+ ①；又最大的三份之和是较小的两份之和的7倍，得到：1111208a a d ++=⨯②，联立①②解得12a =，故选C ．考点：1、等差数列的概念；2、等差数列的通项公式．9.若实数,x y 满足条件120y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A ．-1B ．-2C ．52-D ．72- 【答案】D考点：线性规划．10.执行右图所示框图，若输入6,4n m ==，则输出的p 等于（ ）A ．120B ．240C ．360D ．720 【答案】C考点：程序框图．【易错点晴】本题主要考查的是程序框图，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件“4k <”，否则很容易出现错误．在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可． 考点：程序框图．11.已知函数())cos()sin()cos()2f x x x x x πππ=--++-图像上的一个最低点为A ，离A最近的两个最高点分别为B 与C ，则AB AC =（ ）A ．299π+B ．299π-C ．244π+D ．244π-【答案】D【解析】考点：1、诱导公式；2、二倍角的正弦、余弦公式；3、两角和正弦公式；4、正弦型函数图象与性质；5、向量的数量积．【思路点晴】本题主要考查的是向量的数量积、诱导公式、二倍角的正弦、余弦公式、两角和正弦公式及正弦型函数的图象与性质，属于难题．解题时一定要注意三角函数化简要准确，得到正弦型函数之后，充分考虑周期，对称性等性质．在求向量的数量积时，注意平面几何的运用，通过直角三角形的处理，求得AM及1cos MAE AM∠=，再利用2AB AM = ，cos cos 2BAC MAE ∠=∠进行处理．12.已知函数42421()()1x kx f x k R x x ++=∈++，若对任意三个实数a 、b 、c ，均存在一个以()f a 、()f b 、 ()f c 为三边之长的三角形，则k 的取值范围是（ ）A ．24k -<<B ．142k -<<C ．21k -<≤D ．112k -<≤ 【答案】B 【解析】试题分析：当0x ≠时，4224242221(k 1)1()()111111x kx x k f x k R x x x x x x++--=∈=+=+++++++，令2211t x x =++，则3t ≥，所以①10k -=时， 即1k = ，()()()1f a f b f c ===，满足题意； ②10k ->时，当0x ≠时，111113k k y t --<=+≤+，又0x =时，(0)1f =，所以11()13k f x -≤≤+，所以2(1)2()()23k f a f b -≤+≤+，11()13k f c -≤≤+，由()()f(c)f a f b +>恒成立，所以11+23k -<，所以14k <<；③10k -<时，111113k k y t --+≤=+<，所以11()13k f x -+≤≤，2(1)2()()23k f a f b -+≤+≤，11()13k f c -+≤≤，由题意，2(1)213k -+>，所以112k >>-，综上故142k -<<， 故选B ．考点：1、函数的值域；2、基本不等式；3三角形的性质；4、分类讨论．【方法点晴】本题主要考查的是利用基本不等式研究函数的值域及根据值域研究构成三角形的问题，属于难题．本题需要将均存在一个以()f a 、()f b 、()f c 为三边之长的三角形，转化为任意两边之和大于第三边，即()()f(c)f a f b +>，然后利用()()f a f b +的最小值大于f(c)的最大值，所以这类问题重点转化为函数最值及恒成立问题，难度较大．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知曲线2()ln(1)f x x a x =++在原点处的切线方程为y x =-，则a =________． 【答案】-1考点：导数的几何意义．14.已知51(1)(1)x x-+的展开式中(15)r x r Z r ∈-≤≤且的系数为0，则r =________． 【答案】2 【解析】试题分析：由二项式展开式的通项知：51(1)(1)x x-+的通项为1551(1)()r rr r r C x C x x x--=-，所以51(1)(1)x x-+ 的展开式为0011102233244355555C ()C ()C ()C ()C ()x x x x x x x x x x --+-+-+-+-5545C ()x x +-，因为2355C C =，所以展开式中不含有2x 的项，所以答案应填：2．考点：二项式定理．15.设ABC ∆内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ．若ABC ∆的面积为2，AB 且cos sin b a C c A =+，则ABC ∆中最长边的长为________．【答案】4考点：1、正弦定理；2、三角形的面积公式；3、两角差的正弦公式；4、余弦定理．【方法点晴】本题主要考查的是正弦定理、余弦定理，两角和正弦公式和三角形面积公式，属于难题题．解题时一定要注意角的范围，否则很容易失分．当确定角A 后，充分使用这一条件，得出bc =22c b +=+43A ππ=<，必定不是最大角，从而a 不是最大边． 16.如右图所示，一个酒杯的轴截面是一条抛物线的一部分，它的方程是：[]22,0,10x y y =∈．在 杯内放一个清洁球，要使清洁球能擦净酒杯的底部，则清洁球的最大半径为________．【答案】1 【解析】试题分析：设小球截面球心)b （0，，抛物线上任意点)x y （，，则点到圆心距离的平方是222()r x y b =+-2222222(1)y y by b y b y b =+-+=+-+，当2r 的最小值在(0,0)处取得时，小球触及杯底，即y 0=时二次函数取最小值，所以对称轴y 10b =-≤，解得：01b <≤，所以球的半径最大值为1，所以答案应填：1．考点：1、圆的性质；2、抛物线的的性质．【方法点晴】本题主要考查的是二次函数单调性的应用、抛物线的性质及圆与圆锥曲线的的综合，属于难题．解题时要把球与酒杯底部相切，转化为抛物线上动点到球心距离的最小值在抛物线顶点取得，进而转化为二次函数的最小值在0y =处取得，从而二次函数对称轴在0y =左侧，求出圆的圆心范围，从而得出半径的最大值，注意转化的数学思想在解题中的应用．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该 地区调查了500位老人，结果如下面表中所示：（1）请根据上表的数据，估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否在出错的概率不超过1%的前提下，认为该地老年人是否需要帮助与性别有关？并说明理由； （3）根据（2）的结论，你能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老 年人的比例？并说明理由．附：独立性检验卡方统计量22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++为样本容量，独立性检验临界值表为：【答案】（1）15%；（2）有关，理由见解析；（3）分层抽样较好，理由见解析．试题解析：（1）调查的500位老年人中有75位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估计值为15%．（2）22500(5022525200)5006.6352502507542551K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯， 所以在犯错误的概率不超过1%的前提下认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．（3）由于（2）的结论知，该地区的老年人 是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男，女的比例，再把老年人分成男女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好． 考点：1、22⨯列联表；2、独立性检验；3、分层抽样．18.（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13(1),n n S a n Z +-=-∈． （1）求出数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足13()2n na b n a -= ，若n b t ≤对于任意正整数n 都成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）13()2n n a -=；（2）43t ≥．（2）有已知可求得211122(),(3)33nnn n n nb n b b n----=-=-，所以max234()3nb b b===，则43t≥．考点：1、数列的递推关系；2、等比数列的通项；3、作差比较大小；4、恒成立问题．19.（本题满分12分）我国政府对PM2.5采用如下标准：某市环保局从一年365天的市区PM2.5监测数据中，随机抽取10天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．（1）求这10天数据的中位数；（2）从这10天数据中任取4天的数据，记ξ为空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列和期望；（3）以这10天的数据来估计这一年365天的空气质量情况，并假定每天之间的空气质量相互不影响．记η为这一年中空气质量达到一级的天数，求η的平均值．【答案】（1）41；（2）见解析；（3）146天．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分所以44 1.610E ξ⨯== ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 （III ）一年中每天空气质量达到一级的概率为25，由2(365,)5B η ，得到23651465E η=⨯=（天），一年中空气质量达到一级的天数平均为146天． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：1、茎叶图；2、样本的数字特征（中位数）；3、二项分布；4、分布列、期望．20.（本小题满分12分）已知直线1y x =+被圆2232x y +=截得的弦长恰与椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长相等，椭圆C 的离心率e = （1）求椭圆C 的方程；（2）已知过点1(0,)3M -的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使 得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出点T 的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2212x y +=；（2）存在一个定点(0,1)T ．T．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分此时以AB为直径的圆恒过定点(0,1)当直线l 的斜率不存在，与y 轴重合，以AB 为直径的圆为221x y +=也过点(0,1)T ．综上可知，在坐标平面上存在一个定点(0,1)T ，满足条件． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分解法二：若直线l 与y 轴重合，则以AB 为直径的圆为221x y +=，若直线l 垂直于y 轴，则以AB 为直径的圆为22116()39x y ++=， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 由22221116()39x y x y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩，由此可知所求点T 如果存在，只能是(0,1)． ．．．．．7分 事实上点(0,1)T 就是所求的点，证明如下：当直线l 的斜率不存在，即直线l 与y 轴重合时，以AB 为直径的圆为221x y +=，过点(0,1)T ；考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、圆的几何性质；4、向量的数量积．【思路点晴】本题主要考查的是椭圆的标准方程和直线与圆锥曲线的位置关系及定点的存在型问题，属于难题．解题时的突破点在于以AB 为直径的圆恒过定点T ，利用圆的几何性质知TA TB ⊥ ，从而只需计算0TA TA ⋅= 恒成立，进入常规直线与圆锥曲线位置关系的计算即可，同时一定要注意直线的斜率是否存在，否则很容易出现错误．21.（本小题满分12分）已知存在实数,,a b c 和,,αβγ使得32()f x x ax bx c =+++()()()x x x αβγ=---．（1）若1a b c ===-，求222αβγ++的值；（2）当11()32αβγαβ-=>+且时，若存在实数,m n 使得()()2f m x f m x n ++-=对任意x R ∈恒成 立，求()f m 的最值．【答案】（1）3；（2）最大值486，无最小值． 【解析】 试题分析：（1）当1a b c ===-时，32()1()()()f x x x x x x x αβγ=---=---，展开，对应项系数相等，所以1αβγ++=，1αββγγα++=-，从而2222()2()3αβγαβγαββγγα++=++-++=；（2）由题意知()y f x =关于(,)m n 中心对称，所以m 取两个极值点的平均值，即3a m =-，则有 [][][]22()()()()()33331(2)(2)(2)2713()23()116()271(32)(31)(16)27a a a a f m f t t t αβγβγααγβαβγγβγβγβ=-=------=+-+-+-=---+--=-+-其中11()26t γβαβ=->-=，令()(32)(31)(16)g t t t t =-+-，则2()9(1861)g t t t '=---，所以()g t 在1(6上递增，在)+∞上递减．由此可求出max 211()(276486f mg ==，()f m 无最小值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：1、利用导数研究函数的最值；2多项式的性质；3、函数图像的中心对称性；4换元法．【方法点晴】本题主要考查的是多项式恒等、函数图象的中心对称性质、利用导数研究函数的最值，属于难题．本题最大特点在于运算，利用多项式恒等得,,a b c 与,,αβγ关系，222αβγ++变形为2()αβγ++与αββγγα++的形式，求解，而第二问根据中心对称的性质处理m ，对()()3a f m f =-进行大量变形，换元后利用导数求最值，对思维能力，运算能力要求较高．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）（原创）如右图，圆1O 与圆2O 内切于点A ，其半径分别为3与2，圆1O 的 弦AB 交圆2O 于点C （1O 不在AB 上），AD 是圆1O 的一条直径．（1）求AC AB的值；（2）若BC =，求2O 到弦AB 的距离．【答案】（1）23；（2）１．考点：1、圆的直径的性质；2、平行线判定与性质；3、直角三角形中角的三角函数．23.（本小题满分10分）在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为1242x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），再 以原点为极点，以x 正半轴为极轴建立坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标 系中圆C 的方程为4sin ρθ=．（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 将于点A 、B ，若点M 的坐标为(2,1)-，求MA MB +的值．【答案】（1）22(2)4x y +-=；（2）考点：1、极坐标方程与直角坐标方程的互化；2、参数方程与普通方程的互化；3、参数的几何意义．24.（本小题满分10分）（原创）已知函数()21,f x x x R =-∈．（1）解不等式()1f x x <+；（2）若对于,x y R ∈，有111,2136x y y --≤+≤．求证：()1f x <． 【答案】（1）02x <<；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）利用绝对值的性质()()f x a a f x a <⇔-<<求解即可；（2）将21x -用1x y --和21y +表示出来，得：()212(1)(21)f x x x y y =-=--++，再利用绝对值的性质a b a b +≤+证明． 试题解析：（1）()1121102f x x x x x <+⇔-<-<+⇔<<．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）()212(1)(21)f x x x y y =-=--++115212121366x y y ≤--++≤⨯+=<，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 考点：1、绝对值不等式； 2、绝对值不等式的性质．。
2018年内蒙古呼伦贝尔市尼一中高考数学三模试卷(理科)Word版含解析
2018年内蒙古呼伦贝尔市尼一中高考三模试卷（理科数学）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={y|0≤y＜2，y∈N}，B={x|x2﹣4x﹣5≤0，x∈N}，则A∩B=（）A．{1} B．{0，1} C．[0，2）D．∅2．已知复数z=，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．设Sn 为等差数列{an}的前n项和，若a2017=S2017=2017，则首项a1=（）A．﹣2014 B．﹣2015 C．﹣2016 D．﹣20174．在区间[0，1]内随机取两个数分别为a，b，则使得方程x2+2ax+b2=0有实根的概率为（）A．B．C．D．5．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=（）A．4 B．5 C．2 D．36．给出下列四个命题：①若x∈A∩B，则x∈A或x∈B；②∀x∈（2+∞），都有x2＞2x；③若a，b是实数，则a＞b是a2＞b2的充分不必要条件；④“∃x0∈R，x2+2＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+2≤3x”；其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．等比数列{an }的公比q＞0，已知a2=1，an+2+an+1=6an则{an}的前4项和S4=（）A．﹣20 B．15 C．D．8．函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=sinωx的图象，只需把y=f（x）的图象上所有点（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度9．在平行四边形ABCD中，，则|=（）A．B．C．D．10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．27 C．D．，P分别为双曲线的右焦点与右支上11．已知点F2的一点，O为坐标原点，若2|，且，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．设函数f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx，记g（x）=，若函数g（x）至少存在一个零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，e2+] B．（0，e2+] C．（e2+，+∞] D．（﹣e2﹣，e2+]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知，则a= ．14．不等式组表示的平面区域为Ω，直线y=kx﹣1与区域Ω有公共点，则实数k的取值范围为．15．某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是．16．巳知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（0，+∞）时，都有不等式f（x）+xf'（x）＞0成立，若，则a，b，c的大小关系是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且+=．（1）求b的值；（2）若cosB+sinB=2，求a+c的取值范围．18．五一期间，某商场决定从2种服装、3种家电、4种日用品中，选出3种商品进行促销活动．（1）试求选出3种商品中至少有一种是家电的概率；（2）商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销，即在该商品现价的基础上将价格提高60元，规定购买该商品的顾客有3次抽奖的机会：若中一次奖，则获得数额为n元的奖金；若中两次奖，则获得数额为3n元的奖金；若中三次奖，则共获得数额为 6n元的奖金．假设顾客每次抽奖中奖的概率都是，请问：商场将奖金数额n最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利？19．如图，在四棱锥P﹣ABCD．中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证；平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．20．已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆，离心率，且椭圆过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）椭圆左，右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，则△F1AB的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．21．已知函数 f （x ）=2lnx+x 2﹣ax ． （Ⅰ）当a=5时，求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是曲线y=f （x ）图象上的两个相异的点，若直线AB 的斜率k ＞1恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）设函数f （x ）有两个极值点x 1，x 2，x 1＜x 2且x 2＞e ，若f （x 1）﹣f （x 2）≥m 恒成立，求实数m 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．将圆为参数）上的每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得到曲线C ．（1）求出C 的普通方程；（2）设直线l ：x+2y ﹣2=0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=|x|+|x ﹣3|． （1）解关于x 的不等式f （x ）﹣5≥x ；（2）设m ，n ∈{y|y=f （x ）}，试比较mn+4与2（m+n ）的大小．2018年内蒙古呼伦贝尔市尼一中高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={y|0≤y＜2，y∈N}，B={x|x2﹣4x﹣5≤0，x∈N}，则A∩B=（）A．{1} B．{0，1} C．[0，2）D．∅【考点】1E：交集及其运算．【分析】化简集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={y|0≤y＜2，y∈N}={0，1}，B={x|x2﹣4x﹣5≤0，x∈N}={x|﹣1≤x≤5，x∈N}={0，1，2，3，4，5}，则A∩B={0，1}．故选：B．2．已知复数z=，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数z===，则复数z在复平面内对应的点位于第一象限．故选：A．3．设Sn 为等差数列{an}的前n项和，若a2017=S2017=2017，则首项a1=（）A．﹣2014 B．﹣2015 C．﹣2016 D．﹣2017 【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】根据等差数列的求和公式即可求出．【解答】解：S2017==2017，∴a1+a2017=2，∴a1=﹣2015，故选：B4．在区间[0，1]内随机取两个数分别为a，b，则使得方程x2+2ax+b2=0有实根的概率为（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是在区间[0，1]上任取两个数a 和b，写出事件对应的集合，做出面积，满足条件的事件是关于x的方程x2+2ax+b2=0有实数根，根据二次方程的判别式写出a，b要满足的条件，写出对应的集合，做出面积，得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，∵试验发生包含的事件是在区间[0，1]上任取两个数a和b，事件对应的集合是Ω={（a，b）|0≤a≤1，0≤b≤1}对应的面积是sΩ=1满足条件的事件是关于x的方程x2+2ax+b2=0有实数根，即4a2﹣4b2≥0，∴a≥b，事件对应的集合是A={（a，b）|0≤a≤1，0≤b≤1，a≥b}对应的图形的面积是sA=，∴根据等可能事件的概率得到P=．故选C．5．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=（）A．4 B．5 C．2 D．3【考点】E8：设计程序框图解决实际问题．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a，A，S的值，当S=时，满足条件S≥10，退出循环，输出n的值为4，从而得解．【解答】解：模拟执行程序，可得a=1，A=1，S=0，n=1S=2不满足条件S≥10，执行循环体，n=2，a=，A=2，S=不满足条件S ≥10，执行循环体，n=3，a=，A=4，S=不满足条件S ≥10，执行循环体，n=4，a=，A=8，S=满足条件S ≥10，退出循环，输出n 的值为4． 故选：A ．6．给出下列四个命题：①若x ∈A ∩B ，则x ∈A 或x ∈B ； ②∀x ∈（2+∞），都有x 2＞2x ；③若a ，b 是实数，则a ＞b 是a 2＞b 2的充分不必要条件； ④“∃x 0∈R ，x 02+2＞3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2+2≤3x”； 其中真命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】2K ：命题的真假判断与应用．【分析】由元素与集合间的关系判断①；举例说明②③错误；真直接写出特称命题的否定判断④．【解答】解：①若x ∈A ∩B ，则x ∈A 且x ∈B ，故①错误； ②当x=4时，x 2=2x ，故命题∀x ∈（2+∞），都有x 2＞2x 错误；③当a=2，b=﹣4时，满足a ＞b ，此时a 2＜b 2，则a ＞b 是a 2＞b 2的不充分条件，故③错误； ④“∃x 0∈R ，x 02+2＞3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2+2≤3x”，故④正确． ∴其中真命题的个数是1个． 故选：A ．7．等比数列{a n }的公比q ＞0，已知a 2=1，a n+2+a n+1=6a n 则{a n }的前4项和S 4=（ ）A ．﹣20B ．15C ．D ．【考点】89：等比数列的前n 项和．【分析】本题关键是把式子变形解出q ，（注意舍根）代入等比数列钱n 项和公式可解．【解答】解：由题意a n+2+a n+1=6a n ，即，同除以a n （a n ≠0）得q 2+q ﹣6=0，解得q=2，或q=﹣3（q ＞0，故舍去），==所以，所以S4故选C8．函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=sinωx的图象，只需把y=f（x）的图象上所有点（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由=可求得ω，再由ω+φ=π可求得φ，从而可得到f（x）=sin（ωx+φ）的解析式，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可得到答案．【解答】解：∵=，∴T=π=（ω＞0），∴ω=2；又×2+φ=π，∴φ=．∴f（x）=sin（2x+），∴f（x﹣）=sin[2（x﹣）+]=sin2x，∴为了得到y=sinωx的图象，只需把y=f（x）的图象上所有点向右平移个单位．故选D．9．在平行四边形ABCD中，，则|=（）A．B．C．D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】如图，取AE的中点G，连接BG，由题意可得=，再根据向量的三角形法则和向量的模以及向量的数量积公式计算即可．【解答】解：如图，取AE的中点G，连接BG∵=， =，∴====，∴=，∴||2=|﹣|2=﹣2•+=52﹣2×5×1×+1=20，∴||=||=2，故选：B10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．27 C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】作出棱锥直观图，则每个面都是直角三角形，代入数据计算即可．【解答】解：作出几何体的直观图如图所示： 其中PB ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，由三视图可知AB=3，PB=AC=3，∴BC=PA=6，∴S △ABC ==，S △PAB ==，S △PAC ==9，S △PBC ==9，∴S 表面积=++9+9=27．故选：D ．11．已知点F 2，P 分别为双曲线的右焦点与右支上的一点，O 为坐标原点，若2|，且，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】KC ：双曲线的简单性质．【分析】方法一：由题意可知：则M 为线段PF 2的中点，则M （，），根据向量数量积的坐标运算，即可求得x=2c ，利用两点之间的距离公式，即可求得y=c ，利用双曲线的定义，即可求得a=（﹣1）c ，利用双曲线的离心率公式即可求得该双曲线的离心率．方法二：由题意可知：2=+，则M 为线段PF 2的中点，根据向量的数量积，求得cos∠OF 2M ，利用余弦定理即可求得丨OM 丨，根据三角形的中位线定理及双曲线的定义丨PF 1丨﹣丨PF 2丨=2a ，a=（﹣1）c ，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：设P （x ，y ），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），由题意可知：2=+，则M 为线段PF 2的中点，则M （，），则=（c ，0），=（，），则•=×c=解得：x=2c ，由丨丨=丨丨=c ，即=c ，解得：y=c ，则P （2c ， c ），由双曲线的定义可知：丨PF 1丨﹣丨PF 2丨=2a ，即﹣=2a ，a=（﹣1）c ，由双曲线的离心率e==，∴该双曲线的离心率，故选D ．方法二：由题意可知：2=+，则M 为线段PF 2的中点，则OM 为△F 2F 1P 的中位线，•=﹣•=﹣丨丨•丨丨cos ∠OF 2M=，由丨丨=丨丨=c ，则cos ∠OF 2M=﹣，由正弦定理可知：丨OM 丨2=丨丨2+丨丨2﹣2丨丨丨丨cos ∠OF 2M=3c 2，则丨OM 丨=c ，则丨PF 1丨=2，丨PF 2丨=丨MF 2丨=2c ，由双曲线的定义丨PF 1丨﹣丨PF 2丨=2a ，a=（﹣1）c ，由双曲线的离心率e==，∴该双曲线的离心率，故选D ．12．设函数f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx，记g（x）=，若函数g（x）至少存在一个零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，e2+] B．（0，e2+] C．（e2+，+∞] D．（﹣e2﹣，e2+]【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】由题意先求函数的定义域，再化简为方程x3﹣2ex2+mx﹣lnx=0有解，则m==﹣x2+2ex+，求导求函数m=﹣x2+2ex+的值域，从而得m的取值范围．【解答】解：∵f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx的定义域为（0，+∞），又∵g（x）=，∴函数g（x）至少存在一个零点可化为函数f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx至少有一个零点；即方程x3﹣2ex2+mx﹣lnx=0有解，则m==﹣x2+2ex+，m′=﹣2x+2e+=﹣2（x﹣e）+；故当x∈（0，e）时，m′＞0，当x∈（e，+∞）时，m′＜0；则m=﹣x2+2ex+在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，故m≤﹣e2+2•e•e+=e2+；又∵当x→0时，m=﹣x2+2ex+→﹣∞，+故m≤e2+；故选A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知，则a= 2 ．【考点】67：定积分．【分析】先化简被积函数，再根据定积分的计算法则计算即可．【解答】解： =sinxdx=﹣cosx|=﹣（cosπ﹣cos0）=2，故答案为：214．不等式组表示的平面区域为Ω，直线y=kx﹣1与区域Ω有公共点，则实数k的取值范围为[3，+∞）．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出题中不等式组对应的平面区域，得到如图所示的△ABC及其内部．因为直线y=kx ﹣1经过定点M（0，﹣1），所以当直线y=kx﹣1与区域有公共点时，直线的位置应界于AM、CM之间，由此算出直线CM的斜率并加以观察即可得到实数k的取值范围．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图所示的△ABC及其内部，即为区域Ω其中A（0，1），B（0，3），C（1，2）∵直线y=kx﹣1经过定点M（0，﹣1），∴当直线y=kx﹣1与区域Ω有公共点时，它的位置应界于AM、CM之间（含边界）∵直线CM的斜率k==3∴直线y=kx﹣1斜率的最小值为3，可得实数k的取值范围为[3，+∞）故答案为：[3，+∞）15．某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是．【考点】CC ：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】基本事件总数n==15，由此利用对立事件概率计算公式能求出在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率．【解答】解：某校高三年级要从5名男主和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），在男生甲被选中的情况下，基本事件总数n==15，在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率：p=1﹣=．故答案为：．16．巳知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ∈（0，+∞）时，都有不等式f （x ）+xf'（x ）＞0成立，若，则a ，b ，c 的大小关系是 c ＞a ＞b ．【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；3L ：函数奇偶性的性质．【分析】根据题意，令g （x ）=xf （x ），则a=g （40.2），b=g （log 43），c=f （log 4），由函数的奇偶性定义分析可得g （x ）为偶函数，对g （x ）求导可得g′（x ）＞0，即g （x ）在（0，+∞）上为增函数，比较可得|log 4|＞|40.2|＞|log 43|，结合函数的单调性分析可得答案．【解答】解：根据题意，令g （x ）=xf （x ），则a=g （40.2），b=g （log 43），c=f （log 4）有g （﹣x ）=（﹣x ）f （﹣x ）=（﹣x ）[﹣f （x ）]=xf （x ），则g （x ）为偶函数， 又由g′（x ）=（x ）′f（x ）+xf'（x ）=f （x ）+xf'（x ）， 又由当x ∈（0，+∞）时，都有不等式f （x ）+xf'（x ）＞0成立，则当x ∈（0，+∞）时，有g′（x ）＞0，即g （x ）在（0，+∞）上为增函数，分析可得|log 4|＞|40.2|＞|log 43|，则有c ＞a ＞b ； 故答案为：c ＞a ＞b ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且+=．（1）求b的值；（2）若cosB+sinB=2，求a+c的取值范围．【考点】HP：正弦定理．【分析】（1）应用正弦、余弦定理化简+=，即可求出b的值；（2）根据cosB+sinB=2与平方关系sin2B+cos2B=1，求得sinB、cosB，从而求得B的值，再由正弦定理求得a=sinA，c=sinC；利用A+B+C=π求得C=﹣A，且0＜A＜；再利用三角恒等变换求a+c=sinA+sinC的取值范围．【解答】解：（1）△ABC中， +=，∴+=，∴=，解得b=；（2）∵cosB+sinB=2，∴cosB=2﹣sinB，∴sin2B+cos2B=sin2B+=4sin2B﹣4sinB+4=1，∴4sin2B﹣4sinB+3=0，解得sinB=；从而求得cosB=，∴B=；由正弦定理得====1，∴a=sinA，c=sinC；由A+B+C=π得A+C=，∴C=﹣A ，且0＜A ＜；∴a+c=sinA+sinC=sinA+sin （﹣A ）=sinA+sin cosA ﹣cos sinA=sinA+cosA=sin （A+），∵0＜A ＜，∴＜A+＜，∴＜sin （A+）≤1，∴＜sin （A+）≤，∴a+c 的取值范围是（，]．18．五一期间，某商场决定从2种服装、3种家电、4种日用品中，选出3种商品进行促销活动．（1）试求选出3种商品中至少有一种是家电的概率；（2）商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销，即在该商品现价的基础上将价格提高60元，规定购买该商品的顾客有3次抽奖的机会：若中一次奖，则获得数额为n 元的奖金；若中两次奖，则获得数额为3n 元的奖金；若中三次奖，则共获得数额为 6n 元的奖金．假设顾客每次抽奖中奖的概率都是，请问：商场将奖金数额n 最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利？【考点】CH ：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）设选出的3种商品中至少有一种是家电为事件A ， 利用对立事件的概率求出A 的概率值；（2）设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量ξ， 写出ξ的所有可能取值，求出对应的概率值，计算数学期望， 利用数学期望值列不等式，求出奖金数额n 的最高值．【解答】解：（1）设选出的3种商品中至少有一种是家电为事件A ，从2种服装、3种家电、4种日用品中，选出3种商品，一共有种不同的选法，选出的3种商品中，没有家电的选法有种，所以选出的3种商品中至少有一种是家电的概率为；（2）设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量ξ，其所有可能的取值为0，n，3n，6n；（单元：元）ξ=0表示顾客在三次抽奖都没有获奖，所以，同理；；；顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是，由，解得n≤64，所以n最高定为64元，才能使促销方案对商场有利．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD．中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证；平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定；MI：直线与平面所成的角．【分析】（I）通过证明AC⊥平面PBC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面EAC⊥平面PBC．（ II）如图，以C为原点，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，设P（0，0，a）（a＞0），求出面PAC的法向量=（1，﹣1，0），设=（x，y，z）为面EAC的法向量，利用•=•=0，求出=（a，﹣a，﹣2），利用向量的数量积求解，即可得到直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【解答】解：（I）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB=2，AD=CD=2，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ II）解：如图，以C为原点，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．设P（0，0，a）（a＞0），则E（，﹣，），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣=（1，1，0），=（0，0，a），=（，﹣，），取=（1，﹣1，0），则•=•=0，为面PAC的法向量．设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则•=•=0，即取x=a，y=﹣a，z=﹣2，则=（a，﹣a，﹣2），依题意，|cos＜，＞|===，则a=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣于是=（1，﹣1，﹣2），=（1，1，﹣1）．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|===，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣20．已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆，离心率，且椭圆过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）椭圆左，右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，则△F1AB的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设椭圆方程，由题意列关于a，b，c的方程组求解a，b，c的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设y1＞0，y2＜0，设△F1AB的内切圆的径R，则△F1AB的周长=4a=8， =（|AB|+|F1A|+|F1B|）R=4R，因此最大，R就最大．设直线l的方程为x=my+1，与椭圆方程联立，从而可表示△F1AB的面积，利用换元法，借助于导数，即可求得结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为．则，解得：a2=4，b2=3．∴椭圆方程为；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨y1＞0，y2＜0，设△F1AB的内切圆的半径R，则△F 1AB 的周长=4a=8，（|AB|+|F 1A|+|F 1B|）R=4R ，因此最大，R 就最大，由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为x=my+1，由，得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9=0，．则=，令，则m 2=t 2﹣1，∴=，令f （t ）=3t+，则f′（t ）=3﹣，当t ≥1时，f′（t ）≥0，f （t ）在[1，+∞）上单调递增，有f （t ）≥f （1）=4，≤3，即当t=1，m=0时，≤3，由=4R ，得R max =，这时所求内切圆面积的最大值为．故直线l ：x=1，△F 1AB 内切圆面积的最大值为．21．已知函数 f （x ）=2lnx+x 2﹣ax ． （Ⅰ）当a=5时，求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是曲线y=f （x ）图象上的两个相异的点，若直线AB 的斜率k ＞1恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）设函数f （x ）有两个极值点x 1，x 2，x 1＜x 2且x 2＞e ，若f （x 1）﹣f （x 2）≥m 恒成立，求实数m 的取值范围．【考点】6D ：利用导数研究函数的极值；6B ：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）当a=5时，f （x ）=2lnx+x 2﹣5x ．求导，利用导数的正负求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）由题意可知：k=＞1，＞0，构造函数，确定函数的单调性，分离参数，即可求实数a 的取值范围；（Ⅲ）f （x 1）﹣f （x 2）=（2lnx 1+x 12﹣ax 1）﹣（2lnx 2+x 22﹣ax 2）=﹣x 12+2lnx 12，令x 12=x ，则0＜x ＜，g （x ）=﹣x ﹣2lnx ，求导，确定函数的单调性，求最值，即可求实数m 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=5时，f （x ）=2lnx+x 2﹣5x ．求导，f′（x ）==，（x ＞0），令f′（x ）＞0，解得：x ＞2或0＜x ＜，令f′（x ）＜0，解得：＜x ＜2，∴f （x ）的单调递增区间（0，），（2，+∞）；f （x ）的单调递减区间（，2）；（Ⅱ）由题意可知：k=＞1，∴＞0，令g （x ）=f （x ）﹣x ，则g （x ）在（0，+∞）上单调递增， ∴g′（x ）=f′（x ）﹣1≥0，∴﹣1≥0在（0，+∞）上恒成立，∴a ≤2x+﹣1在（0，+∞）上恒成立，∵2x+≥4，x=1时取等号， ∴a ≤3；（Ⅲ）∵x 1+x 2=，x 1x 2=1，∴a=2（x 1+x 2），x 2=，∴f （x 1）﹣f （x 2）=（2lnx 1+x 12﹣ax 1）﹣（2lnx 2+x 22﹣ax 2）=﹣x 12+2lnx 12，令x 12=x ，则0＜x ＜，g （x ）=﹣x ﹣2lnx ，∴g′（x ）=﹣＜0，∴g （x ）在（0，）上单调递减，∴g （x ）＞g （）=﹣4，∴m ≤﹣4．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．将圆为参数）上的每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得到曲线C ．（1）求出C 的普通方程；（2）设直线l ：x+2y ﹣2=0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程． 【考点】QH ：参数方程化成普通方程．【分析】（1）求出C 的参数方程，即可求出C 的普通方程；（2）求出P 1（2，0），P 2（0，1），则线段P 1P 2的中点坐标为，所求直线的斜率k=2，可得直线方程，即可求出极坐标方程．【解答】解：（1）设（x 1，y 1）为圆上的任意一点，在已知的变换下变为C 上的点（x ，y ），则有，∵，∴；（2）解得：，所以P 1（2，0），P 2（0，1），则线段P 1P 2的中点坐标为，所求直线的斜率k=2，于是所求直线方程为．化为极坐标方程得：4ρcosθ﹣2ρsinθ﹣3=0，即．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x|+|x﹣3|．（1）解关于x的不等式f（x）﹣5≥x；（2）设m，n∈{y|y=f（x）}，试比较mn+4与2（m+n）的大小．【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式．【分析】（1）分类讨论，即可解关于x的不等式f（x）﹣5≥x；（2）由（1）易知f（x）≥3，所以m≥3，n≥3，利用作差法，即可比较mn+4与2（m+n）的大小．【解答】解：（1）…得或或，解之得或x∈ϕ或x≥8，所以不等式的解集为…（2）由（1）易知f（x）≥3，所以m≥3，n≥3…由于2（m+n）﹣（mn+4）=2m﹣mn+2n﹣4=（m﹣2）（2﹣n）…且m≥3，n≥3，所以m﹣2＞0，2﹣n＜0，即（m﹣2）（2﹣n）＜0，所以2（m+n）＜mn+4…。
尼尔基第一中学2017-2018学年高三12月月考数学(理)试题 Word版含答案
内蒙古呼伦贝尔市尼尔基第一中学2017-2018学年高三12月月考数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1. 已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |0<x <9，x ∈R}和B ＝{x |－4<x <4，x ∈Z}关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所表示集合中的元素共有( ) A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．无穷多个2. 在公差不为零的等差数列{}n a 中，23711220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a = 则268log ()b b 的值为 （ ）A ．2B ．4C ．8D ．13. 与曲线1492422=+y x 共焦点，且与曲线1643622=-y x 共渐近线的双曲线方程为（ ） A ．191622=-x y B ．191622=-y x C ．116922=-x y D ．116922=-y x 4. 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝5x＋m (m 为常数)，则f (－log 57)的值为( ) A ．4B ．－4C ．6D ．－65. 设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是( ) A ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0) B ．－x 0是－f (x )的极小值点 C ．－x 0是f (－x )的极小值点 D ．－x 0是－f (－x )的极小值点6. “20<≤a ”是“ax 2＋2ax ＋1＞0的解集是实数集R”的( ) A ．充分而非必要条件 B ．必要而非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 7. 设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＞0，x ＋m ＜0，y －m ＞0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2.求得m 的取值范围是( )A ． ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13C ． )1,(--∞D ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－538. 定义在R 上的函数)(x f 的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0成中心对称，且对任意的实数x 都有)23()(+-=x f x f ，f (－1)＝1，f (0)＝－2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝( )A ．0B ．－2C ．1D ．－49. 已知某几何体的三视图(单位： cm)如图所示，则该几何体的体积是( ) A ．84 cm3B ．92 cm3C ．100 cm 3D ．108 cm 310. 已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点P 在双曲线上且不与顶点重合，过F 2作∠F 1PF 2的角平分线的垂线，垂足为A .若|OA |＝b ，则该双曲线的离心率为( )． A ．215+ B ．3 C ． 2 D ．13+11. 已知△ABC 中，BC ＝1，AB ＝3，AC ＝6，点P 是△ABC 的外接圆上的一个动点，则BP →·BC →的最大值是（ ）． A.2 B.3 C. 2 D. 13+12. 已知点E 为平行四边形ABCD 的边AB 上一点，2AE EB =，*()n F n N ∈为边DC 上的一列点，连接n AF 交BD 于n G ，点*()n G n N ∈满足11(32)3n n n n n G D a G A a G E +=-+，其中数列{}n a 是首项为1的正项数列，则4a 的值为（ ）A ．45B ．51C ．53D ．61 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13. 已知全集U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是集合U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a 1∈A ，则a 2∈A ；②若a 3∉A ，则a 2∉A ；③若a 3∈A ，则a 4∉A .则集合A ＝________.(用列举法表示)14. 若双曲线122=-y x 的右支上一点(,)P a b 到直线y x =的距离为2，则a b +的值是 。
尼尔基第一中学2018-2019学年高二上学期期初数学试卷(理科) Word版含解析
尼尔基第一中学2018-2019学年高二上学期期初数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共60分）1．椭圆的短轴长为（）A．4 B．5 C．6 D．82．双曲线的一条渐近线方程为（）A．y=2x B．C．y=4x D．3．抛物线y=6x2的焦点坐标为（）A．（0，）B．（，0）C．（0，）D．（，0）4．下列命题：①如果x=y，则sinx=siny；②如果a＞b，则a2＞b2；③A，B是两个不同定点，动点P满足|PA|+|PB|是常数，则动点P的轨迹是椭圆．其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．35．椭圆4x2+y2=1的离心率为（）A．B．C． D．6．过（2，2）点与双曲线x2有共同渐近线的双曲线方程为（）A．x2B．C． D．7．“点P到两条坐标轴距离相等”是“点P的轨迹方程为y=|x|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．不充分不必要条件8．椭圆的焦距为6，则m的值为（）A．m=1 B．m=19 C．m=1 或 m=19 D．m=4或m=169．双曲线的渐近线斜率为±2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．或D．或10．过椭圆C：（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B．且点B在x轴上射影恰好为右焦点F，若，则椭圆C的离心率取值范围是（）A．（）B．（，1）C．（）D．（）11．直线y=x﹣1与圆及抛物线依次交于A，B，C，D四点，则|AB|+|CD|=（）A．6 B．8 C．7 D．912．椭圆（a＞b＞0），F（c，0）为椭圆右焦点，A为椭圆左顶点，且b2=ac，P为椭圆上不同于A的点，则使•=0的点P的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．0二、填空题（每题5分共20分）13．离心率为的椭圆C：（a＞b＞0），P∈C，且P到椭圆的两个焦点距离之和为16，则，椭圆C的方程为．14．抛物线C：y2=16x，C与直线l：y=x﹣4交于A，B两点，则AB中点到y轴距离为．15．已知椭圆+=1（a＞b＞0），过P（﹣a，0）作圆x2+y2=b2的切线，切点为A，B，若∠APB=120°，则椭圆的离心率为．16．已知椭圆，A，B是椭圆的左，右顶点，P是椭圆上不与A，B重合的一点，PA、PB的倾斜角分别为α、β，则= ．三、解答题（满分70分，解答时要写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤）17．已知椭圆，一组平行直线的斜率是．（1）这组直线何时与椭圆相交？（2）当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上．18．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，上顶点为M，且△MF1F2为面积是1的等腰直角三角形．（1）求椭圆E的方程；（2）若直线l：y=﹣x+m与椭圆E交于A，B两点，以AB为直径的圆与y轴相切，求m的值．19．已知点P是椭圆16x2+25y2=1600上一点，且在x轴上方，F1，F2是椭圆的左，右焦点，直线PF2的斜率为．（1）求P点的坐标；（2）求△PF1F2的面积．20．曲线C：y2=12x，直线l：y=k（x﹣4），l与C交于两点A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）求x1x2+y1y2；（2）若，求直线l的方程．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心Q在椭圆C上，点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围．尼尔基第一中学2018-2019学年高二上学期期初数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）1．椭圆的短轴长为（）A．4 B．5 C．6 D．8【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆，焦点在y轴上，则a=5，b=4，则短轴长2b=8．【解答】解：由椭圆，焦点在y轴上，则a=5，b=4，则短轴长2b=8，故选D．2．双曲线的一条渐近线方程为（）A．y=2x B．C．y=4x D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线方程求解渐近线方程即可．【解答】解：双曲线的渐近线方程为：y=±2x．故选：A．3．抛物线y=6x2的焦点坐标为（）A．（0，）B．（，0）C．（0，）D．（，0）【考点】抛物线的简单性质．【分析】将抛物线y=6x2转化成标准方程为：x2=y，则焦点在y轴的正半轴上，由抛物线的性质可知：2p=，则=，即可求得抛物线的焦点坐标．【解答】解：由抛物线y=6x2的标准方程为：x2=y，焦点在y轴的正半轴上，由抛物线的性质可知：2p=，则=，∴焦点坐标为（0，），故选：C．4．下列命题：①如果x=y，则sinx=siny；②如果a＞b，则a2＞b2；③A，B是两个不同定点，动点P满足|PA|+|PB|是常数，则动点P的轨迹是椭圆．其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据三角函数的定义，可判断①；举出反例，可判断②；根据椭圆的定义，可判断③．【解答】解：①如果x=y，则sinx=siny为真命题；②如果a=1，b=﹣1，则a＞b，但a2=b2为假命题；③A，B是两个不同定点，动点P满足|PA|+|PB|是常数，则动点P的轨迹是椭圆或线段，为假命题．故选：B．5．椭圆4x2+y2=1的离心率为（）A．B．C． D．【考点】椭圆的标准方程．【分析】椭圆4x2+y2=1可化为椭圆+y2=1，求出a，b，c，即可求出椭圆的离心率．【解答】解：椭圆4x2+y2=1可化为椭圆+y2=1，∴a=1，b=，c=，∴e==．故选C．6．过（2，2）点与双曲线x2有共同渐近线的双曲线方程为（）A．x2B．C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】要求的双曲线与双曲线x2﹣=1有共同的渐近线，可设要求的双曲线的标准方程为：x2﹣=λ．把点（2，2）代入可得λ，即可得出．【解答】解：∵要求的双曲线与双曲线x2﹣=1有共同的渐近线，∴可设要求的双曲线的标准方程为：x2﹣=λ．把点（2，2）代入可得：λ=4﹣1=3，∴要求的双曲线的标准方程为：．故选C．7．“点P到两条坐标轴距离相等”是“点P的轨迹方程为y=|x|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．不充分不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】设动点的坐标为（x，y），结合与两坐标轴距离即可求得轨迹方程．【解答】解：设动点P（x，y），则它到两坐标轴x，y距离的分别为|y|，|x|，∴到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是|x|=|y|，故y=|x|是|x|=|y|的必要不充分条件，故选：B．8．椭圆的焦距为6，则m的值为（）A．m=1 B．m=19 C．m=1 或 m=19 D．m=4或m=16【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的焦距为6，即2c=6，则c=3，c2=9，由当焦点在x轴上，则0＜m ＜10，则c2=10﹣m，当焦点在y轴上，则m＞10，则c2=m﹣10，即可求得m的值．【解答】解：由椭圆的焦距为6，即2c=6，则c=3，c2=9由当焦点在x轴上，则0＜m＜10，则c2=10﹣m，则m=1，当焦点在y轴上，则m＞10，则c2=m﹣10，解得：m=19，故选C．9．双曲线的渐近线斜率为±2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．或D．或【考点】双曲线的简单性质．【分析】讨论m＞0，m＜0，判断双曲线焦点位置，由双曲线渐近线方程和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：当m＞0时，双曲线焦点在x轴上，由题意可得=2，即b=2a，c==a，即e==；当m＜0时，双曲线焦点在y轴上，由题意可得=，即b=a，c==a，即e==．故选：C．10．过椭圆C：（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B．且点B在x轴上射影恰好为右焦点F，若，则椭圆C的离心率取值范围是（）A．（）B．（，1）C．（）D．（）【考点】椭圆的简单性质．【分析】F（c，0），把x=c代入椭圆方程可得： +=1，解得y=±．B，可得k==±（1﹣e），利用，解出即可得出．【解答】解：F（c，0），把x=c代入椭圆方程可得： +=1，解得y=±．∴B，∴k==±=±（1﹣e），∵，∴，解得．则椭圆C的离心率取值范围是．故选：A．11．直线y=x ﹣1与圆及抛物线依次交于A ，B ，C ，D 四点，则|AB|+|CD|=（ ）A ．6B ．8C ．7D ．9【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】根据抛物线的性质，可得|AD|=x 1+x 2+2，|BC|为圆直径1，进而得到答案．【解答】解：圆的圆心和抛物线的焦点（1，0），直线y=x ﹣1经过（1，0），由得：x 2﹣6x+1=0，故|AD|=x 1+x 2+2=8，圆的半径为，故直径|BC|=1，故|AB|+|CD|=|AD|﹣|BC|=7， 故选：C ． 12．椭圆（a ＞b ＞0），F （c ，0）为椭圆右焦点，A 为椭圆左顶点，且b 2=ac ，P 为椭圆上不同于A 的点，则使•=0的点P 的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．0【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆a ，b ，c ，可得F ，A 的坐标，设P （x ，y ），根据•=0和点P 在椭圆上，解得即可得到交点个数．【解答】解：由题意可知：椭圆（a ＞b ＞0），焦点在x 轴上，设P （x ，y ），则F （c ，0），A （﹣a ，0），由=（﹣a﹣x，﹣y），=（c﹣x，﹣y），由•=0，则（﹣a﹣x）（c﹣x）+y2=0，﹣ac+（a﹣c）x+x2+y2=0，由P在椭圆上，y2=b2（1﹣），∴﹣ac+（a﹣c）x+x2+b2（1﹣）=0，由b2=ac，∴（1﹣）x2+（a﹣c）x=0解得：x=0，x=﹣a，∴当x=0时，y=±b，当x=﹣a时，y=0，∵P为椭圆上不同于A的点，∴P点的坐标为（0，b）或（0，﹣b），∴使•=0的点P的个数为2个，故选：C．二、填空题（每题5分共20分）13．离心率为的椭圆C：（a＞b＞0），P∈C，且P到椭圆的两个焦点距离之和为16，则，椭圆C的方程为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知：椭圆C：（a＞b＞0），焦点在x轴上，F1，F2为椭圆的左右焦点，由椭圆的定义可知：丨PF1丨+丨PF2丨=2a=16，即a=8，则椭圆的离心率e==，解得：c=6，则b2=a2﹣c2=64﹣36=28，即可求得椭圆C的方程．【解答】解：由椭圆C：（a＞b＞0），焦点在x轴上，F1，F2为椭圆的左右焦点，由椭圆的定义可知：丨PF1丨+丨PF2丨=2a=16，即a=8，由椭圆的离心率e==，解得：c=6，则b2=a2﹣c2=64﹣36=28，∴椭圆C的方程：，故答案为：．14．抛物线C：y2=16x，C与直线l：y=x﹣4交于A，B两点，则AB中点到y轴距离为12 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】把直线与抛物线的方程联立，消去y得到一个关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出两根之和x1+x2，即可求出AB中点到y轴距离．【解答】解：把直线方程与抛物线方程联立得，消去y得到x2﹣24x+16=0，利用根与系数的关系得到x1+x2=24，∴AB中点到y轴距离为12，故答案为：12．15．已知椭圆+=1（a＞b＞0），过P（﹣a，0）作圆x2+y2=b2的切线，切点为A，B，若∠APB=120°，则椭圆的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意画出图形，根据∠APB=120°，得∠APO=60°，由此能够得到a、b的关系，进一步得到椭圆C的离心率．【解答】解：如图，∵∠APB=120°，∴∠A PO=60°，∴=sin60°=，∴e=．故答案为：．16．已知椭圆，A ，B 是椭圆的左，右顶点，P 是椭圆上不与A ，B 重合的一点，PA 、PB 的倾斜角分别为α、β，则=．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设P （x 0，y 0），可得=1﹣，k PA •k PB ==﹣=﹣tan α•tan β.==，即可得出．【解答】解：设P （x 0，y 0），则+=1，∴=1﹣，则k PA •k PB ====﹣=﹣tan α•tan β．∴====．故答案为：．三、解答题（满分70分，解答时要写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤）17．已知椭圆，一组平行直线的斜率是．（1）这组直线何时与椭圆相交？（2）当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上． 【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）设出平行直线的方程：y=x+m ，代入椭圆方程，消去y ，由判别式大于0，可得m 的范围；（2）运用中点坐标公式和参数方程，消去m ，即可得到所求的结论．【解答】解：（1）设一组平行直线的方程为y=x+m ， 代入椭圆方程，可得9x 2+4（x 2+3mx+m 2）=36， 即为18x 2+12mx+4m 2﹣36=0， 由判别式大于0，可得 144m 2﹣72（4m 2﹣36）＞0，解得﹣3＜m ＜3，则这组平行直线的纵截距在（﹣3，3），与椭圆相交；（2）证明：由（1）直线和椭圆方程联立，可得 18x 2+12mx+4m 2﹣36=0，即有x 1+x 2=﹣m ，截得弦的中点为（﹣m ， m ），由，消去m ，可得y=﹣x ．则这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线y=﹣x 上．18．已知椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，上顶点为M ，且△MF 1F 2为面积是1的等腰直角三角形．（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线l ：y=﹣x+m 与椭圆E 交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆与y 轴相切，求m 的值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可得M ，F 1，F 2的坐标，由等腰直角三角形得a 2=1，b=c ，以及a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，进而得到椭圆方程；（2）设A （x 1，y 1）B （x 2，y 2），联立直线方程和椭圆方程，消去y ，得到x 的方程，运用判别式大于0和韦达定理，可得AB 中点坐标，运用弦长公式可得|AB|，AB 为直径的圆与y 轴相切可得半径r=|AB|=|m|， 解方程即可得到m 的值．【解答】解：（1）由题意可得M （0，b ），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），由△MF 1F 2为面积是1的等腰直角三角形得a 2=1，b=c ， 且a 2﹣b 2=c 2，解得，则椭圆E 的方程为；（2）设A （x 1，y 1）B （x 2，y 2），联立，即有△=16m 2﹣12（2m 2﹣2）＞0，即为﹣＜m ＜，x 1+x 2=，x 1x 2=，可得AB 中点横坐标为，|AB|=•=•=，以AB 为直径的圆与y 轴相切，可得半径r=|AB|=，即为=，解得m=±∈（﹣，），则m 的值为±．19．已知点P 是椭圆16x 2+25y 2=1600上一点，且在x 轴上方，F 1，F 2是椭圆的左，右焦点，直线PF 2的斜率为．（1）求P 点的坐标； （2）求△PF 1F 2的面积． 【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）将椭圆转化成标准方程：由椭圆的焦点在x 轴上，a=10，b=8，c==6，P 点的坐标为（x 0，y 0），代入椭圆方程，由直线的斜率公式可知：，即可求得P 点坐标；（2）由△PF 1F 2的面积S=丨F 1F 2丨•丨y 0丨，将丨F 1F 2丨=12，代入即可求得△PF 1F 2的面积．【解答】解：（1）由椭圆16x 2+25y 2=1600，转化成标准方程：，则椭圆的焦点在x轴上，a=10，b=8，c==6，∴椭圆的焦点坐标为：F 1（﹣6，0），F 2（6，0），焦距丨F 1F 2丨=12， 设P 点的坐标为（x 0，y 0），由P 点在椭圆上，且直线PF 2的斜率为．则，消去y 0，得16+25[﹣4（x 0﹣6）]2=1600，整理得：16×76﹣48×12×25x 0+25×48×36﹣1600=0，化简得 19﹣225x 0+650=0，解得：x 0=5或x 0=，当x 0=时，y 0＜0故舍去把x 0=5，代=﹣4入，解得：y 0=4，∴P 点的坐标为（5，4），（2）△PF 1F 2的面积S=丨F 1F 2丨•丨y 0丨=×12×4=24，△PF 1F 2的面积24．20．曲线C ：y 2=12x ，直线l ：y=k （x ﹣4），l 与C 交于两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． （1）求x 1x 2+y 1y 2；（2）若，求直线l 的方程．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）由，联立消y ，利用韦达定理求解即可．（2）由（1）知x 1+x 2=，x 1x 2=16，利用弦长公式求出直线的斜率，即可求解直线方程．【解答】解：（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）由联立消y 得[k （x ﹣4）]2=12x 即k 2x 2﹣（8k 2+12）x+16k 2=0，∴x 1x 2=16 y 1y 2=k （x 1﹣4）．k （x 2﹣4）=k 2[x 1x 2﹣4（x 1+x 2）+16] 所以x 1x 2+y 1y 2=（1+k 2）x 1x 2﹣4k 2（x 1+x 2）+16k 2=（1+k 2）×16﹣4k 2（）+16k 2=16+16k 2﹣32k 2﹣48+16k 2=﹣32（2）由（1）知x 1+x 2=，x 1x 2=16，代入弦长公式得4=即4==，∴42k 4=（12k 2+9）（k 2+1），即14k 4=（4k 2+3）（k 2+1），整理有10k4﹣7k2﹣3=0，∴k2=1，∴k=1或k=﹣1，∴直线l方程为y=x﹣4或y=﹣x﹣421．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心Q在椭圆C上，点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）求得圆Q的圆心，代入椭圆方程，运用两点的距离公式，解方程可得a，b的值，进而得到椭圆方程；（2）讨论两直线的斜率不存在和为0，求得三角形MAB的面积为4；设直线y=kx+，代入圆Q的方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得M的坐标，求得MP的长，再由直线AB的方程为y=﹣x+，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，由三角形的面积公式，化简整理，由换元法，结合函数的单调性，可得面积的范围．【解答】解：（1）圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心为（2，），代入椭圆方程可得+=1，由点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为，即有=，解得c=2，即a2﹣b2=4，解得a=2，b=2，即有椭圆的方程为+=1；（2）当直线l 1：y=，代入圆的方程可得x=2±，可得M 的坐标为（2±，），又|AB|=4，可得△MAB 的面积为×2×4=4；设直线y=kx+，代入圆Q 的方程可得，（1+k 2）x 2﹣4x+2=0，可得中点M （，），|MP|==，设直线AB 的方程为y=﹣x+，代入椭圆方程，可得：（2+k 2）x 2﹣4kx ﹣4k 2=0，设（x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得x 1+x 2=，x 1x 2=，则|AB|=•=•，可得△MAB 的面积为S=•••=4，设t=4+k 2（5＞t ＞4），可得==＜=1，可得S ＜4，且S ＞4=综上可得，△MAB 的面积的取值范围是（，4）．。
内蒙古呼伦贝尔市高三上学期期中数学试卷(理科)
内蒙古呼伦贝尔市高三上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二下·彭州期中) 若复数Z满足Z（i﹣1）=2i（i为虚数单位），则为（）A . 1+iB . 1﹣iC . ﹣1+iD . ﹣1﹣i2. （2分）(2017·鹰潭模拟) “Z= ﹣（其中i是虚数单位）是纯虚数．”是“θ= +2kπ”的（）条件．A . 充分不必要B . 必要不充分C . 充要D . 既不充分也不必要3. （2分） (2016高一上·佛山期中) 将函数f（x）=log3x的图象关于直线y=x对称后，再向左平移一个单位，得到函数g（x）的图象，则g（1）=（）A . 9B . 4C . 2D . 14. （2分）函数与函数的交点的横坐标所在的大致区间是（）A . （1，2）B . （2，3）C .D . （e，+∞）5. （2分）(2018·全国Ⅱ卷文) 为计算 ,设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入（）A .B .C .D .6. （2分）若函数，则函数在区间上的单调增区间为（）A .B .C . ,0）D .7. （2分）已知数列的首项不等于0，其前n项的和为，且，则（）A . 0B .C . 1D . 28. （2分） (2017高一上·孝感期末) 已知，则 =（）A . 2B .C . 1D .9. （2分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象如图所示，若方程f（x）=m在区间[0，π]上有两个不同的数解x1、x2 ，则x1+x2的值为（）A .B .C .D . 或10. （2分）如图，F1、F2是双曲线 =1（a＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线交于点A、B，若△ABF2为等边三角形，则△BF1F2的面积为（）A . 8B . 8C . 8D . 1611. （2分）若偶函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上是增函数，则（）A . f（﹣）＜f（﹣1）＜f（2）B . f（2）＜f（﹣）＜f（﹣1）C . f（2）＜f（﹣1）＜f（﹣3 ）D . f（﹣1）＜f（﹣）＜f（2）12. （2分） (2016高二下·宝坻期末) 已知函数f（x）=|mx|﹣|x﹣n|（0＜n＜1+m），若关于x的不等式f （x）＜0的解集中的整数恰有3个，则实数m的取值范围为（）A . 3＜m＜6B . 1＜m＜3C . 0＜m＜1D . ﹣1＜m＜0二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）若函数y=2tan（2ax﹣）的最小正周期为，则a=________．14. （1分） (2016高三上·烟台期中) 平面向量与的夹角为60°，| |=1， =（3，0），|2 + |________．15. （2分）(2017·杭州模拟) 已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是________；几何体的体积是________．16. （1分）已知tanα=2，则 =________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分）(2017·潮南模拟) 已知△ABC和△A1B1C1满足sinA=cosA1 ， sinB=cosB1 ， sinC=cosC1 ．（1）求证：△ABC是钝角三角形，并求最大角的度数；（2）求sin2A+sin2B+sin2C的最小值．18. （10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．19. （10分） (2015高三上·来宾期末) 进入冬季以来，我国北方地区的雾霾天气持续出现，极大的影响了人们的健康和出行，我市环保局对该市2015年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为（5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图．（1）求a的值；（2）如果空气质量指数不超过15，就认定空气质量为“特优等级”，则从今年的监测数据中随机抽取3天的数值，其中达到“特优等级”的天数为X．求X的分布列和数学期望．20. （10分）(2019·和平模拟) 设椭圆（）的左、右焦点为，右顶点为，上顶点为．已知．（1）求椭圆的离心率；（2）设为椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过原点的直线与该圆相切，求直线的斜率．21. （15分）(2014·湖北理) π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数．（1）求函数f（x）= 的单调区间；（2）求e3 ， 3e ，eπ ，πe ，3π ，π3这6个数中的最大数和最小数；（3）将e3 ， 3e ，eπ ，πe ，3π ，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．22. （10分）(2018·广州模拟) 已知曲线的极坐标方程为，直线，直线．以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系．（1）求直线，的直角坐标方程以及曲线的参数方程；（2）已知直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，求的面积．23. （5分）(2017·资阳模拟) 已知函数f（x）=|x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x+8）≥10﹣f（x）；（Ⅱ）若|x|＞1，|y|＜1，求证：f（y）＜|x|•f（）．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、。
高三数学-【数学】内蒙古重点中学2018届高三上学期期
内蒙古重点中学2018届高三上学期期中考试数学注意事项：1.本卷共150分，考试时间120分钟 2.将答案写在答题卡的相应位置一、选择题（12 小题，每小题 5 分）1.设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则U AB =ð( )A ．{|01}x x ≤<B ．{|1}x x >C ．{|0}x x <D ． {|01}x x <≤2.)()1()1(x f x x xf +=+，则)25(f 的值是A. 0B.21 C. 1 D. 253.已知等比数列｛｝中，＝a ，＝b （m ∈N ※）则等于（ ）A. B. C. D. 3b －2a4.设m M 和分别表示函数1cos 312-=x y 的最大值和最小值，则等于m M +( ) A ．32B ．35-C ．34- D ．2-5.已知A （2，1），B （6，7），将向量向量（2，3）平移后得到一个新向量，那么下面各向量中能与 垂直的是（ ）A 、（-3，-2）B 、1123（，） C 、（-4，6） D 、（0，-2）6.不等式的解集为（ ）A.(-∞,-1) (1,+ ∞)B.(- ∞,-2) (2,+ ∞)C. (-1,1)D. (-2,2)7.四面体A —BCD 的四个顶点都在半径为2的球面上，且AB 、AC 、AD 两两垂直，则ABC S ∆+ABD S ∆+ACD S ∆的最大值为（ ）A 、8B 、6C 、4D 、238.经过圆0222=++y x x的圆心C ，且与直线x+y ＝0垂直的直线方程是（ ）A ．01=--y x B. 01=+-y x C.01=-+y x D. 01=++y x9.顶点在原点，对称轴是坐标轴，且经过点（4，－2）的抛物线方程是（ ）（A ）2y = x （B ）2x =－8 y （C ）2y =－x 或 2x =8 y （D ）2y =x 或2x =－8 y10.在40根纤维中，有12根的长度超过30mm ，从中任取一根，取到长度超过30mm 的纤维的概率是（ ） A ．4030 B ．4012 C ．3012 D ．以上都不对 11.设c b a ,,三数成等比数列，而y x ,分别为b a ,和c b ,的等差中项，则=+ycx a （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．不确定12.已知函数2()()f x x x a a R =++∈，若()f m <0，则(1)f m +的符号是A ．(1)0f m +≥B ．(1)0f m +≤C ．(1)0f m +>D ．(1)0f m +<二、填空题（ 4 小题，每小题 4 分） 13.若集合)(log },|,|,0{)}lg(,,{228y x y x xy xy x +=则= .14.在数列{}n a 中，)()1(1,2,1*221N n a a a a n n n ∈-+=-==+，则.__________10=S15.下左程序运行后输出的结果为_______________.16.在由数字0、1、2、3、4、5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有 。
内蒙古2017_2018学年高一数学上学期期中试题理
2017------2018学年第一学期期中考试高一年级理科数学试题本试卷满分为150分，考试时间为120分钟第一卷（选择题 共60分）一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。
每小题5分，共60分）1.已知全集{}1,2,3,4U =，集合{}{}1,2,2,3P Q ==，则()U P C Q 等于（ ）A.{}1B. {}1,2,4C. {}2,3D.{}2,3,42. 设 1.50.90.4814,8,2a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ）A.c a b >>B. b a c >>C.a b c >>D.a c b >>3.若01,1a b <<<-，则函数()x f x a b =+的图象一定不过的象限是（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4. 函数(1)()lg x f x -=的定义域是（ ）A.()1,2B.[)1,2C.(]1,2D.[]1,25.如果函数2()2(1)2f x x a x =+-+ 在区间(,4)-∞上是单调递减函数，那么实数a 的取值范围是（ ）A.[)3,+∞B.(],3-∞-C.[)3,-+∞D.(],3-∞6.函数2(14,)y x x x x Z =--≤≤∈的值域是（ ）A.[]0,12B.1,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.{}0,2,6,12 D.{}2,3,12 7.已知函数1()4x f x a -=+的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是（ ）A.(1,5)B.(1,4)C.(0,4)D.(4,0)8.已知幂函数2223(1)m m y m m x --=--，当(0,)x ∈+∞时为减函数，则实数m 的值为（ ）A. 1-B. 2C.12-或9.函数222log x x y -+=的图象（ ）A.关于原点对称B. 关于直线y x =对称C. 关于y 轴对称D.关于x 轴对称10.下列函数，在定义域中既是奇函数又是增函数的是（ ）A.1y x =+B.3y x =-C.1y x= D.y x x = 11.若函数(1)()log x x af x a +=+在[]0,1上的最大值与最小值的和为a ，则a 的值为（ ） A. 14 B. 12C. 2D. 4 12.若定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x ，满足()()x f x g x e +=，则()g x 等于（ ）A. x x e e --B.1()2x x e e -+C. 1()2x x e e --D. 1()2x x e e -- 第 Ⅱ 卷（非选择题 共90分）二、填空题（每小题5分，共20分.）13.定义{}|M N x x M x N-=∈∉且若{}{}1,3,5,7,9,2,3,5M N ==，则M N -= ____________ 14．已知函数1()(4)()2(1)(4)x x f x f x x ⎧≥⎪=⎨⎪+<⎩，则(3)f =___________15.已知2()3f x ax bx a b =+++为偶函数，且定义域为[]1,2a a -，则____,____a b == 16.若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在(0,)x ∈+∞内是增函数，又(3)0f -=则()0xf x <解集为__________三.解答题（共70分）17.（10分）计算20.520371037(1).(2)0.1(2)392748π--++-+ 3221846666(2).(1log )log log log ⎡⎤-+⋅÷⎣⎦18. （12分）已知{}{}24,,21,5,1,9.A x x B x x =--=--若{}9,A B =求x 的值。
内蒙古呼伦贝尔市数学高三上学期理数期中考试试卷
内蒙古呼伦贝尔市数学高三上学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高三上·东湖期中) 设集合，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高二上·诸暨月考) 已知，是平面内的两条直线，是空间中的一条直线.则“直线且”是“ ”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集，命题P：∀x∈A，2x∈B，则命题P的否定是（）A . ∃x∈A，2x∈BB . ∃x∉A，2x∉BC . ∃x∈A，2x∉BD . ∀x∉A，2x∉B4. （2分）下列函数中，是奇函数且在区间内单调递减的函数是（）A .B .C .D . y=tanx5. （2分） (2017高三上·宜宾期中) 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cos2B+3cos（A+C）+2=0，，那么△ABC周长的最大值是（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高一下·惠来期中) 已知| |=5，| |=1．若=λ 且与的方向相反，则λ=（）A . 5B . ﹣5C .D .7. （2分）已知﹣2，a1 ， a2 ，﹣8成等差数列，﹣2，b1 ， b2 ， b3 ，﹣8成等比数列，则等于（）A .B .D . 或-8. （2分） (2018高二上·扶余月考) 在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若， = ， = .则下列向量中与相等的向量是（）A .B .C .D .9. （2分）由直线与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为（）A .B . 1C .D .10. （2分） (2018高二上·六安月考) 设点(a,b)为区域内任意一点，则使函数f(x)=在区间[ ，+ ）上是增函数的概率为（）A .B .C .11. （2分）(2018·中原模拟) 已知函数，若在区间上存在，使得，则的取值不可能为（）A . 1B . 2C . 3D . 412. （2分） (2015高二上·葫芦岛期末) 下列命题中错误的是（）A . 命题“若x2﹣5x+6=0则x=2”的逆否命题是“若x≠2则x2﹣5x+6≠0”B . 命题“已知x、y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1是真命题”C . 已知命题p和q，若p∨q为真命题，则命题p与q中必一真一假D . 命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p：∀x0∈R，x02+x0+1≥0二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一下·湖北期中) 如图，在△ABC中，已知∠BAC= ，| |=2，| |=3，点D 为边BC上一点，满足 +2 =3 ，点E是AD上一点，满足 =2 ，则| |=________．14. （1分）已知点（2，5）和（8，3）是函数y=﹣k|x﹣a|+b与y=k|x﹣c|+d的图象仅有的两个交点，那么a+b+c+d的值为________15. （1分）把长为12cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形最小的面积之和是________．16. （1分） (2019高一上·石河子月考) 已知是奇函数，且，则________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （5分）如图，已知A（1，1），B（5，4），C（2，5），设向量是与向量垂直的单位向量．（1）求单位向量的坐标；（2）求向量在向量上的投影；（3）求△ABC的面积S△AB C ．18. （10分） (2016高一上·温州期末) 已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，且A≠ ．（1）化简；（2）若角A满足sinA+cosA= ．（i）试判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形，并说明理由；（ii）求tanA的值．19. （10分）设fn(x)=x+x2+x...+xn-1, n N, n≥2。
内蒙古高一数学上学期期中试题理(new)
2017-—--——2018学年第一学期期中考试高一年级理科数学试题本试卷满分为150分，考试时间为120分钟第一卷（选择题 共60分)一、选择题（在下列各题的四个选项中,只有一项是符合题意的。
每小题5分，共60分）1。
已知全集{}1,2,3,4U =，集合{}{}1,2,2,3P Q ==，则()U P C Q 等于（ )A 。
{}1B 。
{}1,2,4 C. {}2,3 D 。
{}2,3,42。
设 1.50.90.4814,8,2a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则( ）A 。
c a b >> B. b a c >> C 。
a b c >> D 。
a c b >>3.若01,1a b <<<-，则函数()x f x a b =+的图象一定不过的象限是（ )A 。
第一象限 B.第二象限 C 。
第三象限 D 。
第四象限4. 函数(1)()lg x f x -=的定义域是（ )A 。
()1,2 B.[)1,2 C 。
(]1,2 D.[]1,25.如果函数2()2(1)2f x x a x =+-+ 在区间(,4)-∞上是单调递减函数，那么实数a 的取值范围是（ ）A.[)3,+∞B.(],3-∞-C.[)3,-+∞D.(],3-∞6.函数2(14,)y x x x x Z =--≤≤∈的值域是( ）A 。
[]0,12 B.1,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C 。
{}0,2,6,12 D.{}2,3,12 7。
已知函数1()4x f x a -=+的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是（ ）A.(1,5)B.(1,4) C 。
(0,4) D.(4,0)8.已知幂函数2223(1)m m y m m x --=--，当(0,)x ∈+∞时为减函数，则实数m 的值为( )A. 1- B 。
2 C 。
12-或 D9。
函数222log x x y -+=的图象（ ）A 。
内蒙古呼伦贝尔市数学高三上学期理数期中考试试卷
内蒙古呼伦贝尔市数学高三上学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二下·长春月考) 命题“ ”的否定是（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高二上·长春月考) 设命题，命题，则下列命题中为真命题的是（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高一上·郑州月考) 定义在R上的函数满足，当时，，则函数在上有（）A . 最小值B . 最大值C . 最大值D . 最小值4. （2分） (2018高一上·徐州期中) 下列所示的图形中，可以作为函数的图像是（）.A .B .C .D .5. （2分） (2015高二下·克拉玛依期中) 根据定积分的几何含义，（）．A . ＞B . ＜C . ≤D . =6. （2分） (2018高二下·保山期末) 《算法统宗》是中国古代数学名著.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“竹筒容米”就是其中一首：家有八節竹一莖，为因盛米不均平；下頭三節三生九，上梢三節貯三升；唯有中間二節竹，要将米数次第盛；若是先生能算法，也教算得到天明！大意是：用一根8节长的竹子盛米，每节竹筒盛米的容积是不均匀的.下端3节可盛米3.9升, 上端3节可盛米3升.要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米,中间两节可盛米多少升.由以上条件,要求计算出这根八节竹筒盛米的容积总共为（）升.A . 9.0B . 9.1C . 9.2D . 9.37. （2分） (2016高一上·万全期中) 在下列区间中函数f（x）=2x﹣4+3x的零点所在的区间为（）A . （1，2）B .C .D .8. （2分）已知圆的半径为2，是圆上两点且，是一条直径，点在圆内且满足，则的最小值为（）A . －2B . －1C . －3D . －49. （2分） (2019高三上·泸县月考) “ ”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件10. （2分）已知函数f（x）=4 sin（ωx+ ）（ω＞0）在平面直角坐标系中的部分图象如图所示，若∠ABC=90°，则ω=（）A .B .C .D .11. （2分） (2020高二下·西安期中) 已知不等式对一切恒成立，则实数m的取值范围为（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·宿州模拟) 函数的图象大致为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2016高一上·黄浦期中) 定义集合运算“*”：A×B={（x，y）|x∈A，y∈B}，称为A，B两个集合的“卡氏积”．若A={x|x2﹣2|x|≤0，x∈N}，b={1，2，3}，则（a×b）∩（b×a）=________．14. （1分）已知向量=（， 1），=（0，﹣1），=（k，）．若-2与共线，则k=________15. （1分） (2016高一上·江阴期中) 已知函数f（x）=log3x+x﹣5的零点x0∈[a，b]，且b﹣a=1，a，b∈N* ，则a+b=________．16. （2分）(2019高三上·浙江期末) 在中，内角所对的边分别是 .若，，则 ________，面积的最大值为________.三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2019高二上·辽阳期末) 已知，且，设函数在上单调递增；函数在上的最小值大于 .（1）试问是的什么条件？为什么？（2）若命题为假，命题为真，求的取值范围.18. （10分） (2019高三上·株洲月考) 已知数列前项和，点在函数的图象上.（1）求的通项公式；（2）设数列的前项和为，不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围.19. （5分）函数的部分图象如图所示，求（Ⅰ）函数f（x）的解析式；（Ⅱ）函数y=Acos（ωx+ϕ）的单调递增区间．20. （10分） (2018·唐山模拟) 设.（1）证明：在上单调递减；（2）若，证明： .21. （10分） (2019高二下·鹤岗月考) 已知点是椭圆上的一点，、为椭圆的两焦点，若，试求：（1）椭圆的方程；（2）的面积．22. （10分） (2020·淮南模拟) 已知函数，在区间有极值．（1）求的取值范围；（2）证明：．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
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内蒙古呼伦贝尔市尼尔基第一中学2018届高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知sin2α＜0，且cosα＞0，则α的终边落在( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．有下列四种变换方式：①向左平移，再将横坐标变为原来的；②横坐标变为原来的，再向左平移；③横坐标变为原来的，再向左平移；④向左平移，再将横坐标变为原来的；其中能将正弦曲线y=sinx的图象变为的图象的是( )A．①和②B．①和③C．②和③D．②和④3．已知||=1，||=2，=﹣，且⊥，则的夹角为( )A．30° B．60° C．120°D．150°4．设函数f（x）在x=x0处可导，则( )A．与x0，h都有关B．仅与x0有关而与h无关C．仅与h有关而与x0无关D．与x0、h均无关5．若函数f（x）=sin（x+ϕ）是偶函数，则ϕ可取的一个值为 ( ) A．ϕ=﹣πB．C．D．6．设x=，，z=，则x，y，z间的大小关系为( )A．y＜z＜x B．z＜x＜y C．x＜y＜z D．x＜z＜y7．点O在△ABC所在平面内，给出下列关系式：（1）；（2）；（3）；（4）．则点O依次为△ABC的( )A．内心、外心、重心、垂心B．重心、外心、内心、垂心C．重心、垂心、内心、外心D．外心、内心、垂心、重心8．设a为非零实数，则关于函数f（x）=x2+a|x|+1，x∈R的以下性质中，错误的是( ) A．函数f（x）一定是个偶函数B．函数f（x）一定没有最大值C．区间（Ⅱ）当x∈时，求函数f（x）的最大值及取得最大值时的x的值．18．已知向量，其中a＞0且a≠1，（1）当x为何值时，；（2）解关于x的不等式．19．在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点A处发现桃树顶端点C的仰角大小为45°，往正前方走4米后，在点B处发现桃树顶端点C的仰角大小为75°．（1）求BC的长；（2）若小明身高为1.70米，求这棵桃树顶端点C离地面的高度（精确到0.01米，其中）．20．（13分）已知a∈R，函数f（x）=xln（﹣x）+（a﹣1）x．（Ⅰ）若f（x）在x=﹣e处取得极值，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值g（a）．21．（14分）已知函数f（x），如果存在给定的实数对（a，b），使得f（a+x）•f（a﹣x）=b恒成立，则称f（x）为“S﹣函数”．（1）判断函数f1（x）=x，f2（x）=3x是否是“S﹣函数”；（2）若f3（x）=tanx是一个“S﹣函数”，求出所有满足条件的有序实数对（a，b）；（3）若定义域为R的函数f（x）是“S﹣函数”，且存在满足条件的有序实数对（0，1）和（1，4），当x∈时，f（x）的值域为，求当x∈时函数f（x）的值域．内蒙古呼伦贝尔市尼尔基第一中学2018届高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知sin2α＜0，且cosα＞0，则α的终边落在( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】三角函数值的符号．【专题】计算题．【分析】利用二倍角的正弦公式将已知sin2α＜0转化为α的三角函数的符号，根据α的正弦为负，余弦为正，判断出角α的终边的位置．【解答】解：∵sin2α＜0即2sinαcosα＜0又cosα＞0∴sinα＜0∴α的终边第四象限故选D【点评】判断角的终边的位置，一般先判断出角的三角函数的符号，根据三角函数的符号判断出角的终边所在的象限．2．有下列四种变换方式：①向左平移，再将横坐标变为原来的；②横坐标变为原来的，再向左平移；③横坐标变为原来的，再向左平移；④向左平移，再将横坐标变为原来的；其中能将正弦曲线y=sinx的图象变为的图象的是( )A．①和②B．①和③C．②和③D．②和④【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题．【分析】直接利用函数的图象的平移变换，由正弦曲线y=sinx的图象变为的图象，即可得到选项．【解答】解：正弦曲线y=sinx的图象向左平移，得到函数的图象，再将横坐标变为原来的，变为的图象；将正弦曲线y=sinx的图象横坐标变为原来的，得到函数y=sin2x的图象，再向左平移，变为的图象；故选A．【点评】本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意两种变换的方式的区别．3．已知||=1，||=2，=﹣，且⊥，则的夹角为( )A．30° B．60° C．120°D．150°【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】计算题．【分析】根据两个向量垂直写出两个向量的数量积为0，整理出要的结果是两个向量的数量积是1，这两个向量的夹角的余弦就可以通过用两个向量的数量积除以两个向量的模长的积表示．根据角的范围得到结果．【解答】解：∵=﹣，且⊥，∴（﹣）•=0，∴∴=1，∴cosθ==，∵θ∈∴θ=60°故选B．【点评】本题考查两个向量的数量积来表示两个向量的夹角，解决本题要注意的是求出两个向量的夹角的余弦值以后，注意写出夹角的范围，从而得到结果．4．设函数f（x）在x=x0处可导，则( )A．与x0，h都有关B．仅与x0有关而与h无关C．仅与h有关而与x0无关D．与x0、h均无关【考点】极限及其运算．【专题】计算题．【分析】利用导数与极限的关系和导数的定义可知f′（x0）=，由此进行判断．【解答】解：∵函数f（x）在x=x0处可导，∴可得f′（x0）=，∴此极限仅与x0有关而与h无关，故选B．【点评】此题主要考查极限极其运算，利用导数的定义进行求解，在平时的学习中要注意基础知识的积累．5．若函数f（x）=sin（x+ϕ）是偶函数，则ϕ可取的一个值为 ( ) A．ϕ=﹣πB．C．D．【考点】正弦函数的奇偶性．【专题】计算题．【分析】由题意函数是偶函数，利用诱导公式，函数必须化为余弦函数，初相为0，即可得到选项．【解答】解：函数f（x）=sin（x+ϕ）是偶函数，必须满足函数化为余弦函数，初相为0，即：f（x）=±cosx，所以B正确．故选B【点评】本题是基础题，考查三角函数的奇偶性，正确利用诱导公式化简是本题解答的关键，基本知识的考查．6．设x=，，z=，则x，y，z间的大小关系为( )A．y＜z＜x B．z＜x＜y C．x＜y＜z D．x＜z＜y【考点】不等式比较大小．【专题】计算题．【分析】根据对数的运用性质化简x，然后利用作差比较法可比较y与z的大小，从而得到三者大小关系．【解答】解：x==﹣2，=，z=＞0，∵﹣（）=2﹣=﹣＞0∴y＞z＞x故选D．【点评】本题主要考查了比较大小，以及对数式的化简，比较大小的常用方法就作差比较，属于基础题．7．点O在△ABC所在平面内，给出下列关系式：（1）；（2）；（3）；（4）．则点O依次为△ABC的( )A．内心、外心、重心、垂心B．重心、外心、内心、垂心C．重心、垂心、内心、外心D．外心、内心、垂心、重心【考点】三角形五心．【专题】压轴题．【分析】根据三角形五心的定义，结合向量数量积的几何意义，我们对题目中的四个结论逐一进行判断，判断出O点在△ABC中的特殊位置，即可得到答案．【解答】解：由三角形“五心”的定义，我们可得：（1）时，O为△ABC的重心；（2）时，O为△ABC的垂心；（3）时，O为△ABC的内心；（4）时，O为△ABC的外心；故选C【点评】本题考查的知识点是三角形的五心，三角形的“五心”是三角形中位置“特殊”的点，其性质常作用三角形性质的外延用于几何问题的证明，因此利用向量描述三角形五心的性质要求大家熟练掌握．8．设a为非零实数，则关于函数f（x）=x2+a|x|+1，x∈R的以下性质中，错误的是( ) A．函数f（x）一定是个偶函数B．函数f（x）一定没有最大值C．区间不是f（x）的单调递增区间，所以C项错误．（4）方程x2+ax+1=0，△=a2﹣4≥﹣4，此方称可能无解、一个解或者两个解，所以函数f （x）=x2+a|x|+1可能无零点、两个零点、或者四个零点．故选C．【点评】本题考查了二次函数的奇偶性，通过图象观察最值以及单调性，数形结合有助于我们的解题，形象直观．9．如果对于函数f（x）定义域内任意的两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），且存在两个不相等的自变量值y1，y2，使得f（y1）=f（y2），就称f（x）为定义域上的不严格的增函数，已知函数g（x）的定义域、值域分别为A、B，A=1，2，3，B⊆A，且g（x）为定义域A上的不严格的增函数，那么这样的g（x）共有( )A．3个B．7个C．8个D．9个【考点】函数单调性的性质；抽象函数及其应用．【专题】阅读型；分类讨论．【分析】根据本题所给的定义，以及函数的定义对所给的函数进行讨论，解决此题要分三类，三对一的对应，二对一的对应，一对一的对应三种来研究，进而得到答案．【解答】解：由题意，若函数g（x）是三对一的对应，则有{1，2，3}对应1；{1，2，3}对应2；{1，2，3}对应3三种方式，故此类函数有三种若函数是二对一的对应，则有{1，2}对1，3对2；；{1，2}对1，3对3，有两种1对1，{2，3}对2；1对1，{2，3}对3，有两种1对2，{2，3}对3，有一种若函数是一对一的对应，则1对1，2对2，3对3，共一种综上这样的g（x）共有3+2+2+1+1=9种故选D【点评】本题考查函数单调性的性质，求解本题的关键是正确理解所给的定义，结合函数定义中对应的思想，对可能的函数进行列举，得出可能函数的种数，本题比较抽象，解题时要注意对其情况分类讨论，不重不漏，本题易因为分类不清，或者考虑情况不严密出错．10．在某条件下的汽车测试中，驾驶员在一次加满油后的连续行驶过程中从汽车仪表盘得到如下信息：注：油耗=加满油后已用油量加满油后已行驶距离，可继续行驶距离=汽车剩余油量当前油耗，平均油耗=指定时间内的用油量指定时间内的行驶距离．从上述信息可以推断在10：00﹣11：00这1小时内( )①行使了80公里；②行使不足80公里；③平均油耗超过9.6升/100公里；④平均油耗恰为9.6升/100公里；⑤平均车速超过80公里/小时．( )A．①④ B．②③ C．②④ D．③⑤【考点】进行简单的合情推理；变化的快慢与变化率．【专题】应用题．【分析】根据油耗=，可继续行驶距离=，平均油耗=．可以算出实际用油为7.38．行驶距离为，和平均油耗和平均车速．【解答】解：实际用油为9.5×300﹣9.6×220=7.38．行驶距离，所以①错误，②正确．设L为已用油量，△L为一个小时内的用油量，S为已行驶距离，△S为一个小时内已行的距离，得L+△L=9.6S+9.6△S，9.5S+△L=9.6S+9.6△S，△L=0.1S+9.6△S，∴．所以③正确，④错误；因为行驶的时间为1小时，由②知平均车速不超过80公里/小时，故⑤错误．故选B．【点评】本小题主要考查变化的快慢与变化率、进行简单的合情推理等基础知识，考查学生的阅读能力和代入公式的计算能力．属于基础题．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）11．函数y=的定义域为，通过两角和的正切函数，直接求解即可．【解答】解：tan（α+β）=tan（α+β﹣π）=tan===1．故答案为：1．【点评】本题考查三角函数的角的变换的技巧，两角和的正切函数的应用，考查计算能力．14．给出下列四个命题：①如果命题“¬p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是真命题；②命题“若a=0，则a•b=0”的否命题是：“若a≠0，则a•b≠0”；③“”是“θ=30°”的充分不必要条件；④∃x0∈（1，2），使得成立；其中正确命题的序号为①、②、④．【考点】命题的否定；四种命题的真假关系．【专题】压轴题．【分析】逐一对四个命题的真假进行判断，即可得出答案．【解答】解：①若命题“¬p”为真命题，则p为假命题又∵命题“p或q”是真命题，那么命题q一定是真命题②若a=0，则a•b=0”的否命题是：“若a≠0，则a•b≠0也正确．③“”⇒“θ=30°”为假命题；“θ=30°”⇒“”为真命题∴”是“θ=30°”的必要不充分条件；故③错误．④将x0=1代入：成立将x0=2代入：成立由于函数y=在（1，2）上是连续的故函数y=在（1，2）上存在零点故∃x0∈（1，2），使得成立；故④正确故答案为：①、②、④【点评】判断含有逻辑连接词“或”“且”“非”的命题的真假：①必须弄清构成它的命题的真假；②弄清结构形式；③由真值表判断真假．15．设y=f（x）在（Ⅰ）∠ACE=∠BC D．（Ⅱ）BC2=BE•CD．【考点】圆的切线的判定定理的证明；弦切角．【专题】证明题．【分析】（I）先根据题中条件：“”，得∠BCD=∠ABC．再根据EC是圆的切线，得到∠ACE=∠ABC，从而即可得出结论．（II）欲证BC2=BE x CD．即证．故只须证明△BDC～△ECB即可．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以∠BCD=∠ABC．又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE=∠ABC所以∠ACE=∠BCD．（Ⅱ）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，所以△BDC～△ECB，故．即BC2=BE×CD．【点评】本题主要考查圆的切线的判定定理的证明、弦切角的应用、三角形相似等基础知识，考查运化归与转化思想．属于基础题．17．设函数f（x）=2sinxcosx﹣cos（2x﹣）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当x∈时，求函数f（x）的最大值及取得最大值时的x的值．【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）通过二倍角公式已经两角差的余弦函数化简表达式，然后应用两角差的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的系数，利用周期公式求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）根据x∈，利用（Ⅰ）求出2x﹣的范围，利用正弦函数的最大值直接求函数f（x）的最大值及取得最大值时的x的值．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=2sinxcosx﹣cos（2x﹣）=sin2x﹣（cos2xcos）=cos2x=sin（2x﹣），所以f（x）=sin（2x﹣）．函数f（x）的最小正周期为T==π．…（Ⅱ）因为x∈，所以2x﹣．所以，当2x﹣，即x=时，sin（2x﹣）=1，函数f（x）的最大值为1．…（13分）【点评】本题是中档题，考查二倍角公式与两角和与差的三角函数，函数的周期以及函数的最大值的求法，考查计算能力．18．已知向量，其中a＞0且a≠1，（1）当x为何值时，；（2）解关于x的不等式．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积的运算．【专题】计算题；分类讨论．【分析】（1）利用向量垂直的充要条件列出方程，解方程求出x的值．（2）利用向量模的平方等于向量的平方，将已知不等式平方展开，得到指数不等式；讨论底数与1的大小；利用指数函数的单调性求出解集．【解答】解：（1）因为，得a2x﹣a2=0，即a2x=a2．所以2x=2，即x=1，∴当x=1时，．（2）∵，∴，∴．所以a2x﹣a2＜0，即a2x＜a2．当0＜a＜1时，x＞1，当a＞1时，x＜1．综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为（1，+∞）；当a＞1时，不等式的解集为（﹣∞，1）．（14分）【点评】本题考查向量垂直的充要条件、考查向量模的性质：模的平方等于向量的平方、考查指数函数的单调性与底数与1的大小有关．19．在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点A处发现桃树顶端点C的仰角大小为45°，往正前方走4米后，在点B处发现桃树顶端点C的仰角大小为75°．（1）求BC的长；（2）若小明身高为1.70米，求这棵桃树顶端点C离地面的高度（精确到0.01米，其中）．【考点】解三角形的实际应用．【专题】计算题；应用题．【分析】（1）求出∠ACB，利用正弦定理直接求出BC即可．（2）通过直角三角形，利用两角和的正弦函数求出sin75°，然后求出这棵桃树顶端点C 离地面的高度．【解答】解：（1）在△ABC 中，∠CAB=45°，又∠DBC=75°则∠ACB=75°﹣45°=30°由正弦定理得到，，将 AB=4 代入上式，得到 BC=4（米）（2）在△CBD中，∠CDB=90°，BC=4，所以DC=4sin75°，因为sin75°=sin（45°+30°）=sin45°cos30°+cos45°sin30°=，则DC=2+2，所以CE=≈3.70+3.464≈7.16米．答：BC的长4米；这棵桃树顶端点C离地面的高度7.16米．【点评】本题考查正弦定理，两角和的正弦函数，三角形的求法，考查计算能力．20．（13分）已知a∈R，函数f（x）=xln（﹣x）+（a﹣1）x．（Ⅰ）若f（x）在x=﹣e处取得极值，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值g（a）．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．【专题】综合题．【分析】（I）先对函数y=f（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案．（II）先研究f（x）在区间上的单调性，再利用导数求解f（x）在区间上的最大值问题即可，故只要先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值即得．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=ln（﹣x）+a，由题意知x=﹣e时，f'（x）=0，即：f'（﹣e）=1+a=0，∴a=﹣1∴f（x）=xln（﹣x）﹣2x，f'（x）=ln（﹣x）﹣1令f'（x）=ln（﹣x）﹣1=0，可得x=﹣e令f'（x）=ln（﹣x）﹣1＞0，可得x＜﹣e令f'（x）=ln（﹣x）﹣1＜0，可得﹣e＜x＜0∴f（x）在（﹣∞，﹣e）上是增函数，在（﹣e，0）上是减函数，（Ⅱ）f'（x）=ln（﹣x）+a，∵x∈，∴﹣x∈，∴ln（﹣x）∈，①若a≥1，则f'（x）=ln（﹣x）+a≥0恒成立，此时f（x）在上是增函数，f max（x）=f（﹣e﹣1）=（2﹣a）e﹣1②若a≤﹣2，则f'（x）=ln（﹣x）+a≤0恒成立，此时f（x）在上是减函数，f max（x）=f（﹣e2）=﹣（a+1）e2③若﹣2＜a＜1，则令f'（x）=ln（﹣x）+a=0可得x=﹣e﹣a∵f'（x）=ln（﹣x）+a是减函数，∴当x＜﹣e﹣a时f'（x）＞0，当x＞﹣e﹣a时f'（x）＜0∴f（x）在（﹣∞，﹣e）上左增右减，∴f max（x）=f（﹣e﹣a）=e﹣a，（13分）综上：（14分）【点评】本小题主要考查函数的导数，单调性，利用导数求闭区间上函数的最值等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力，中档题．21．（14分）已知函数f（x），如果存在给定的实数对（a，b），使得f（a+x）•f（a﹣x）=b恒成立，则称f（x）为“S﹣函数”．（1）判断函数f1（x）=x，f2（x）=3x是否是“S﹣函数”；（2）若f3（x）=tanx是一个“S﹣函数”，求出所有满足条件的有序实数对（a，b）；（3）若定义域为R的函数f（x）是“S﹣函数”，且存在满足条件的有序实数对（0，1）和（1，4），当x∈时，f（x）的值域为，求当x∈时函数f（x）的值域．【考点】抽象函数及其应用．【专题】综合题．【分析】（1）假设是S﹣函数，列出方程恒成立，通过判断方程的解的个数判断出f1（x）不是，对于f2（x）对于列出方程恒成立．（2）据题中的定义，列出方程恒成立，通过两角和差的正切公式展开整理，令含未知数的系数为0，求出a，b．（3）利用题中的新定义，列出两个等式恒成立；将x用2+x代替，两等式结合得到函数值的递推关系；用不完全归纳的方法求出值域．【解答】解：（1）若f1（x）=x是“S﹣函数”，则存在常数（a，b），使得（a+x）（a﹣x）=b．即x2=a2﹣b时，对x∈R恒成立．而x2=a2﹣b最多有两个解，矛盾，因此f1（x）=x不是“S﹣函数”．若f2（x）=3x是“S﹣函数”，则存在常数a，b使得3a+x•3a﹣x=32a，即存在常数对（a，32a）满足．因此f2（x）=3x是“S﹣函数”（2）f3（x）=tanx是一个“S﹣函数”，设有序实数对（a，b）满足：则tan（a﹣x）tan（a+x）=b恒成立．当a=时，tan（a﹣x）tan（a+x）=﹣cot2（x），不是常数．因此，，则有．即（b•tan2a﹣1）tan2x+（tan2a﹣b）=0恒成立．即，当，时，tan（a﹣x）tan（a+x）=cot2（a）=1．因此满足f3（x）=tanx是一个“S﹣函数”的常数（a，b）=．（3）函数f（x）是“S﹣函数”，且存在满足条件的有序实数对（0，1）和（1，4），于是f（x）•f（﹣x）=1，f（1+x）•f（1﹣x）=4，即f（1+x）•f（1﹣x）=4⇔f（x）f（2﹣x）=4，x∈时，2﹣x∈，，∴x∈时，f（x）∈．（14分）．（16分）因此x∈时，f（x）∈，（17分）．综上可知当x∈时函数f（x）的值域为．（18分）【点评】本题考查理解题中的新定义、判断函数是否具有特殊函数的条件、利用新定义得到恒等式、通过仿写的方法得到函数的递推关系、考查利用归纳的方法得结论．。