第二章 模糊控制理论基础知识

第二章 模糊控制理论基础知识2.1 模糊关系一、模糊关系R ~所谓关系R ，实际上是A 和B 两集合的直积A ×B 的一个子集。

现在把它扩展到模糊集合中来，定义如下：所谓A ，B 两集合的直积A ×B={(a,b)|a ∈A ，b ∈B} 中的一个模糊关系R ~，是指以A ×B 为论域的一个模糊子集，其序偶(a,b)的隶属度为),(~b a Rμ，可见R ~是二元模糊关系。

若论域为n 个集合的直积，则A 1×A 2×A 3×……A n 称为n 元模糊关系R ~，它的隶属函数是n 个变量的函数。

例如，要求列出集合X={1,5,7,9,20}“序偶”上的“前元比后元大得多”的关系R ~。

因为直积空间R=X ×X 中有20个“序偶”，序偶(20,1)中的前元比后元大得多，可以认为它的隶属度为1，同理认为序偶(9,5)的隶属于“大得多”的程度为0.3，于是我们可以确定“大得多”的关系R ~为R ~=0.5/(5,1)+ 0.7/(7,1)+ 0.8/(9,1)+ 1/(20,1)+ 0.1/(7,5)+0.3/(9,5)+ 0.95/(20,5)+ 0.1/(9,7)+0.9/(20,7)+ 0.85/(20,9)综上所述，只要给出直积空间A ×B 中的模糊集R ~的隶属函数),(~b a R μ，集合A 到集合B 的模糊关系R ~也就确定了。

由于模糊关系，R ~实际上是一个模糊子集，因此它们的运算完全服从第一章所述的Fuzzy 子集的运算规则，这里不一一赘述了。

一个模糊关系R ~，若对∀x ∈X ，必有),(~x x R μ=1，即每个元素X 与自身隶属于模糊关系R ~的隶属度为1。

称这样的R ~为具有自返性的模糊关系。

一个模糊R ~，若对∀x ，y ∈X ，均有),(~y x Rμ=),(~x y Rμ 即(x,y)隶属于Fuzzy 关系R ~和(y,x)隶属于Fuzzy 关系R ~的隶属度相同，则称R ~为具有对称性的Fuzzy 关系。

一个模糊关系R ~，若对∀x,y,z ∈X ，均),(~z x Rμ>min[),(~y x R μ,),(~z y Rμ] 则称R ~为具有传递性的Fuzzy 关系。

论域A ×B 为有限集时，模糊关系R ~可以用模糊矩阵R ~表示。

二、模糊矩阵例如有一组学生组成集合xx={王二，张三，李四}规定他们可以选学英、日、德、法四种外语中的任意几门，设这四门外语课组成的集合为yy={英,日,德,法}个Fuzzy 关系R ~如表2-2所示：把上述R ~写矩阵形式，即得：R ~=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡0 0 0.65 0.870 0.950 0 0.85 0 0 0.80称此矩阵为“模糊矩阵”。

其中每一个元素是在[0,1]闭区间取值。

这是普通关系矩阵的扩展。

设A={a 1,a 2,……a n }，B={b 1,b 2,……b n }，则模糊矩阵可写成R ~=(r ij )= ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nm n3n2n12m 2322211m 131211r r r r r r r r r r r r式中0< r ij <1；i=1,2,…，n ；j=1,2…，m 。

r ij 表示集合A 中第i 个元素和集合B 中第j 个元素组成的序偶隶属于Fuzzy 关系R ~的程度。

2.2模糊矩阵一、模糊关系矩阵的运算定义1：设Fuzzy 矩阵A ~=[a ij ]和B ~=[bij]，若有 C ij =∨[a ij ，b ij ]= a ij ∨b ij ，则C ~=[C ij ]为Fuzzy 矩阵的并A ~和B ~，记作C ~=A ~∪B ~定义2：设Fuzzy 矩阵A ~=[a ij ]和B ~=[b ij ]，若有C ij =∧[a ij ，b ij ]= a ij ∧b ij ，则称C ij =[c ij ]为Fuzzy 矩阵A ~和B ~的交，记作C ~=A ~∩B ~例1：已知：A ~=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0.8 0.40.3 0.5，B ~=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0.7 0.30.5 0.8求A ~∪B ~及A ~∩B ~。

解：A ~∪B ~=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∨∨∨∨0.70.8 0.30.40.50.3 0.80.5=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0.8 0.40.5 0.8A ~∩B ~=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∨∨∨∨0.70.8 0.30.40.50.3 0.80.5=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0.7 0.30.3 0.5定义3：设Fuzzy 矩阵A ~=[a ij ]，则[1-a ij ]称为A ~的补矩阵，记作A ~。

例2：已知A ~=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0.2 0.30.4 0.8，求A ~。

解：A ~=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0.2-1 0.3-10.4-1 0.8-1 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡0.8 0.70.6 0.2定义4：若有Fuzzy 矩阵A ~∩B ~，且A ~=[a ij ]，B ~=[b ij ]， 令C ~=A ~·B ~且C ~中的元素为C ij =][1kj ik nk b a V ∧=则称C ~为Fuzzy 矩阵A ~和B ~的积。

例3：已知A ~=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0.3 0.50.7 0.8，B ~=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0.9 0.60.4 0.2，求A ~·B ~。

解A ~·B ~=()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧0.90.3 0.40.5 0.60.3 0.20.50.90.7 0.40.8 0.60.7 0.20.8=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0.4 0.30.7 0.6 工理 B ~·A ~=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0.6 0.70.3 0.4可见，一般地说，A ~·B ~≠B ~·A ~。

二、模糊关系的应用例1：某家中子女与父母的长像相似的关系R ~为用模糊矩阵表示为R ~ =⎥⎦⎤⎢⎣⎡0.6 0.10.2 0.8该家中父母与祖父母的长像相似的关系S ~为 用Fuzzy 矩阵表示为S ~ =⎥⎦⎤⎢⎣⎡0 0.10.7 0.5而Fuzzy 矩阵的积R ~·S ~为R ~·S ~=()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧00.6 0.70.1 0.10.6 0.50.100.2 0.70.8 0.10.2 0.50.8=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0.1 0.10.7 0.5把R ~·S ~Fuzzy 矩阵改写Fuzzy 关系为这一例子说明，Fuzzy2.3 模糊逻辑在本世纪三十年代末期，数理逻辑已开始用于开关电路设计。

四十年代末，数理逻辑和布尔代数已成为电子计算机科学的基础理论之一，这是因为电子计算机具有二值逻辑的特点。

在二值逻辑中，一个可以判断真假的句子称为命题，如果命题为真，其真值为“1”；否则，若命题为假，其真值为“0”。

然而，在现实生活中存在着大量的模糊判断，如“甲个子很高”，“乙很年轻”等。

随着科学技术的进步，人们在研究复杂大系统时，由于其结构复杂，且要涉及大量的参数与变量，这些都具有模糊性特点，所以二值逻辑在这些系统中就不够用了。

为此人们开始研究多值逻辑和连续值逻辑。

模糊逻辑是多值逻辑的发展，又是模糊推理的基础。

一、二值逻辑在二值逻辑中，一个命题只能是“真”或“假”，两者必居其一。

例如“北京在中国”是真；“二加三等于六”是假。

如果把两个或两个以上的单命题联合起来，就构成一个复命题，设P，Q为两个单命题，则复命题的构成方式有下列几种。

（1）并：表示为P∨Q，用以表示“或”的关系。

（2）交：表示为P∧Q，用以表示“与”、“及”、“且”的关系。

P、Q两命题结合后得到的真值表如表2-3所示：）。

（3）否定：命题P的否定记作P（P（4）蕴涵：蕴涵是用来表示“若…，则…”。

即命题P的成立，即可推出命题Q也成立，以P→Q表示。

（5）等价：它表示两个命题的真假相同，以←→表示。

二、连续值逻辑和模糊逻辑在多值逻辑中，如N值逻辑，逻辑值可以取0，1，2，…，N-1个。

我们规定，Fuzzy 命题P的逻辑值V（P）=X是在[0,1]连续闭区间内任意取值。

因此，将研究Fuzzy命题的逻辑称为连续性逻辑。

由于它主要用来研究Fuzzy集的隶属函数，所以也称为Fuzzy逻辑。

连续逻辑运算规则如下：逻辑并：X∨Y=max(X,Y)逻辑交：X∧Y=min(X,Y)否 定：X =1-X限界差：X ○-Y=0∨（X-Y ） 界限和：X ○+Y=1∧（X+Y ） 界限积：X ⊙Y=0∨（X+Y-1） 蕴涵：X →Y=1∧（1-X+Y ）等价：X ←Y=（1-X+Y ）∧（1-Y+X ）通常，一个模糊逻辑公式常称为Fuzzy 函数，由于Fuzzy 函数是在[0,1]区间任意取值，所以在处理Fuzzy 函数中，以解析法为处理手段，与二值逻辑处理方法相比较，难度较大。

最恰当的办法是在[0,1]闭区间上把Fuzzy 函数变量x 分成有限个等级，采用多值逻辑的方法来处理Fuzzy 的逻辑问题。

例如，将[0,1]闭区间分为n 个等级如下： 第一级 a 1<x<1 第二级 a 2<x<a 1 ……第n 级 0<x< a n-1 其中0<a n-1<…<a 2<a 1<1在讨论现实问题时，我们常把闭区间分成十个相等等分，让隶属函数)(x 在集合 μ=（0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1）上取值。

这样，Fuzzy 变量的逻辑值也对应有11种，我们可以用处理多值逻辑的办法来处理Fuzzy 集X 和Y 的隶属函数的逻辑运算。

例如x ∧y ，x ∧y ，x ∨y 的逻辑运算，其真值表如表2-4、2-5、表2-6所示表2-5表2-6三、模糊函数与模糊变量综上所述，我们可以在[0,1]闭区间上将Fuzzy函数分成n个有限等级，再采用多值逻辑方法来处理Fuzzy函数的问题。

为简明易懂，我们以n=2为例加以分析。

第一级a1<x<1，第二级0<x<a1。

假定给出Fuzzy函数表达式为：f(x,y,z)= x·y·z∨x·y∨x·y·z试问，当Fuzzy函数的定义和基本公式，方法如下：根据f(x,y,z)>a1，必须有x·y·z≥a1（3-1）或x·y≥a1（3-2）或x·y·z≥a1（3-3）对式（3-1）分解如下：x ≥a 1与y ≥a 1与z ≥a 1其中，y ≥a 1可写成y ≤1-a 1以此类推，可得满足f(x,y,z)的x,y,z 的范围为：第一组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤≥1111a z a y a x第二组⎩⎨⎧-≤-≤1111a y a x第三组⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤-≤111111a z a y a x与上述相反，若已知Fuzzy 变量的范围，也可以推出Fuzzy 函数的表达式。