【状元之路】高中数学统计单元测评文大纲人教版

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【状元之路】高中数学数列45 文大纲人教版

【状元之路】高中数学数列45 文大纲人教版对应学生书P 195一、选择题1．各项都是正数的等比数列{a n }中，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 4＋a 5a 3＋a 4的值为( )A.5－12 B.5＋12C.1－52D.5－12或5＋12解析：设{a n }的公比为q (q ＞0)．由a 3＝a 2＋a 1，得q 2－q －1＝0，解得q ＝1＋52.则a 4＋a 5a 3＋a 4＝q ＝1＋52.答案：B2．某工厂总产值月平均增长率为p ，则年平均增长率为( ) A ．p B ．12p C ．(1＋p )12D ．(1＋p )12－1解析：设1月份产值为1，年平均增长率为x ，依题意，得 1＋p 12[1－1＋p12]1－1＋p ＝1－1＋p 121－1＋p(1＋x )，∴x ＝(1＋p )12－1. 答案：D3．某人为了观看2010年南非足球世界杯，从2006年起，每年的5月1日到银行存入a 元的定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到2010年的5月1日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱(元)的总数为( )A ．a (1＋p )4B ．a (1＋p )5C.a p[(1＋p )4－(1＋p )]D.a p[(1＋p )5－(1＋p )]解析：依题意，可取出钱的总数为a (1＋p )4＋a (1＋p )3＋a (1＋p )2＋a (1＋p )＝a ·1＋p [1－1＋p 4]1－1＋p ＝a p[(1＋p )5－(1＋p )]．答案：D4．在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝( ) A ．2n ＋1－2 B ．3n C ．2nD ．3n－1解析：因数列{a n }为等比数列，则a n ＝2qn －1，因数列{a n ＋1}也是等比数列，则(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)⇒a n ＋12＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2⇒a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1⇒a n (1＋q 2－2q )＝0⇒q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n .答案：C5．抛物线y ＝(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1与x 轴交点分别为A n 、B n (n ∈N *)，以|A n B n |表示该两点的距离，则|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A 2 010B 2 010|的值是( )A.2 0092 010 B.2 0102 011 C.2 0112 012D.2 0122 013解析：令y ＝0，则(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1＝0. 设两根分别为x 1、x 2.则x 1＋x 2＝2n ＋1n 2＋n ，x 1·x 2＝1n 2＋n .∴|A n B n |＝|x 2－x 1|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝1n 2＋n ＝1n －1n ＋1. ∴|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A n B n | ＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1＝n n ＋1. ∴|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A 2 010B 2 010|＝2 0102 011.答案：B6．数列{a n }中，a n ＝3n －7(n ∈N *)，数列{b n }满足b 1＝13，b n －1＝27b n (n ≥2且n ∈N *)，若a n ＋log k b n 为常数，则满足条件的k 值( )A ．唯一存在，且为13B ．唯一存在，且为3C ．存在，且不唯一D ．不一定存在解析：依题意，得b n ＝b 1·(127)n －1＝13·(13)3n －3＝(13)3n －2.∴a n ＋log k b n ＝3n －7＋log k (13)3n －2＝3n －7＋(3n －2)log k 13＝(3＋3log k 13)n －7－2log k 13.若a n ＋log k b n 是常数，则3＋3log k 13＝0.即log k 3＝1，∴k ＝3. 答案：B7．(2010·北京海淀区)已知f (x )为偶函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，当－2≤x ≤0时，f (x )＝2x ，若n ∈N *，a n ＝f (n )，则a 2 010＝( )A ．2 010B ．4 C.14D ．－4解析：由f (x )为偶函数，得0≤x ≤2时f (x )＝2－x. 又f (2＋x )＝f (2－x )，∴f (x )的图像关于x ＝2对称．又f (x )的图像还关于x ＝0对称， ∴f (x ＋4)＝f (x )，∴a n ＋4＝a n .∴a 2 010＝a 4×502＋2＝a 2＝f (2)＝f (－2)＝2－2＝14.答案：C8．(2009·湖北)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：图1图2他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A ．289B ．1 024C ．1 225D ．1 378解析：观察三角形数：1,3,6,10，…记该数列为{a n }，则a 1＝1，a 2＝a 1＋2，a 3＝a 2＋3，…，a n ＝a n －1＋n∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n －1)＋(1＋2＋3＋…＋n )⇒a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.观察正方形数：1,4,9,16，…，记该数列为{b n }，则b n ＝n 2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n 都为正整数的只有 1 225. 答案： C 二、填空题9．已知等比数列{a n }中，a 2＞a 3＝1，则使不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1a n ≥0成立的最大自然数n 是__________．解析：∵a 2＞a 3＝1，∴0＜q ＝a 3a 2＜1，a 1＝1q2＞1.⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1a n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n＝a 11－q n 1－q－1a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1q n 1－1q＝a 11－q n 1－q－q 1－q n a 11－q q n≥0. ∴a 11－q n 1－q ≥q 1－q n a 11－q q n.∵0＜q ＜1，∴a 12≥1qn －1.∴q 4≤qn －1.∴4≥n －1，n ≤5，∴n 的最大值为5. 答案：510．(2009·上海)已知函数f (x )＝sin x ＋tan x ，项数为27的等差数列{a n }满足a n ∈(－π2，π2)，且公差d ≠0，若f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 27)＝0，则当k 等于______时，f (a k )＝0. 解析：由于f (x )＝tan x ＋sin x ，显然该函数为奇函数．因为a n ∈(－π2，π2)(n ＝1,2,3，…，27)，且f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 27)＝0，可以得出等差数列{a n }的这27项在0的两侧对称分布，所以处在中间位置的a 14＝0⇒f (a 14)＝0.答案：1411．某医院近30天每天因患甲型H1N1流感而入院就诊的人数依次构成数列{a n }，已知a 1＝1，a 2＝2，且满足a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则该医院30天内因患甲型H1N1流感而入院就诊的人数共有__________．解析：当n 为偶数时，由题意，得a n ＋2－a n ＝2，此时为等差数列；当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝0，此时为常数列．所以该医院30天内因患甲型H1N1流感而入院就诊的人数总和为S 30＝15＋15×2＋15×142×2＝255. 答案：25512．在各项均为正数的数列{a n }中，S n 为前n 项和，na n ＋12＝(n ＋1)a n 2＋a n a n ＋1且a 3＝π，则tan S 4＝__________.解析：由na n ＋12＝(n ＋1)a n 2＋a n a n ＋1，可得(a n ＋a n ＋1)(na n ＋1－na n －a n )＝0. ∵数列{a n }各项都为正数，∴a n ＋a n ＋1＞0，∴na n ＋1－na n －a n ＝0. ∴a n a n ＋1＝n n ＋1. ∴a 3a 4＝34，a 4a 5＝45，…，a n －1a n ＝n －1n . 以上各式左、右两边分别相乘，得a 3a n ＝3n.∵a 3＝π，∴a n ＝n π3，∴S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝π3＋2π3＋3π3＋4π3＝10π3.∴tan S 4＝tan 10π3＝tan π3＝ 3.答案： 3 三、解答题13．(2010·福建)在数列{a n }中，a 1＝13，前n 项和S n 满足S n ＋1－S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n 以及前n 项和S n ；(2)若S 1，t (S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列，求实数t 的值．解析：(1)由S n ＋1－S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1，得a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1(n ∈N *)，又a 1＝13，故a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n (n ∈N *)．从而S n ＝13×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n (n ∈N *)． (2)由(1)可得，S 1＝13，S 2＝49，S 3＝1327.从而由S 1，t (S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列，得 13＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫49＋1327＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋49t ，解得t ＝2.14．(2010·安徽)设C 1，C 2，…，C n ，…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x 轴的正半轴上，且都与直线y ＝33x 相切．对每一个正整数n ，圆C n 都与圆C n ＋1相互外切，以r n 表示圆C n 的半径，已知{r n }为递增数列．(1)证明：{r n }为等比数列；(2)设r 1＝1，求数列{n r n}的前n 项和．解析：(1)将直线y ＝33x 的倾斜角记为θ，则有tan θ＝33， sin θ＝12.设C n 的圆心为(λn,0)，则由题意知r n λn ＝12，得λn ＝2r n .同理λn ＋1＝2r n ＋1.从而λn ＋1＝λn ＋r n ＋r n ＋1＝2r n ＋1.将λn ＝2r n 代入，解得r n ＋1＝3r n . 故{r n }为公比q ＝3的等比数列． (2)由于r 1＝1，q ＝3，故r n ＝3n －1，从而n r n＝n ·31－n.记S n ＝1r 1＋2r 2＋…＋n r n，则有S n ＝1＋2·3－1＋3·3－2＋…＋n ·31－n，①S n3＝1·3－1＋2·3－2＋…＋(n －1)·31－n＋n ·3－n.②①－②，得2S n 3＝1＋3－1＋3－2＋…＋31－n －n ·3－n＝1－3－n23－n ·3－n ＝32－⎝⎛⎭⎪⎫n ＋32·3－n .故S n ＝94－12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋32·31－n＝9－2n ＋3·31－n4.15．(2009·山东)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x＋r (b ＞0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图像上．(1)求r 的值； (2)当b ＝2时，记b n ＝n ＋14a n(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n . 解析：(1)由题意，S n ＝b n＋r ，当n ≥2时，S n －1＝bn －1＋r ，所以a n ＝S n －S n －1＝bn －1(b －1)．由于b ＞0，且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列．又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)，a 2a 1＝b ，即b b －1b ＋r＝b ，解得r ＝－1.(2)由(1)知，n ∈N *，a n ＝(b －1)bn －1＝2n －1，所以b n ＝n ＋14×2n －1＝n ＋12n ＋1.T n ＝222＋323＋424＋…＋n ＋12n ＋1，①12T n ＝223＋324＋…＋n 2n ＋1＋n ＋12n ＋2，② ①－②，得12T n ＝222＋123＋124＋…＋12n ＋1－n ＋12n ＋2 ＝12＋123×1－12n －11－12－n ＋12n ＋2＝34－12n ＋1－n ＋12n ＋2.。

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单元测评(十三)测试内容：统计测试时间：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．对于一组数据x i (i ＝1,2,3，…，n )，如果将它们改变为x i ＋c (i ＝1,2,3，…，n )，其中c ≠0.则下面的结论中正确的是( )A ．平均数与方差均不变B ．平均数变了，方差保持不变C ．平均数不变，而方差变了D ．平均数与方差均发生了变化解析：平均数从x 变为x ＋c ，由方差公式s 2＝1n i ＝1n (x i －x )2，x i 变成x i ＋c ，x 变为x ＋c ，故方差不变．答案：B2．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案．使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1,2，…，270，并将整个编号依次分为10段．如果抽得号码有下列四种情况：①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；②5,9,100,107,111,121,180,190,200,265；③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254；④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.关于上述样本的下列结论中，正确的是( )A ．②、③都不能为系统抽样B ．②、④都不能为分层抽样C ．①、④都可能为系统抽样D ．①、③都可能为分层抽样解析：对于系统抽样应在1～27,28～54,55～81,82～108,109～135,136～162,163～189,190～216,217～243,244～270中各抽一个号码．对于分层抽样应在1～108抽取4个号，109～189抽取3个号，190～270抽取3个号．答案：D3．在样本的频率分布直方图中，一共有n 个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其余n －1个小矩形面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数是( )A ．20B ．25C ．32D ．40解析：由已知，中间一组的频率为15，故频数为160×15＝32.答案：C4．当前，国家正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张的问题．已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户，若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，现采用分层抽样的方法决定各社区户数，则甲社区抽取户数为( )A ．40B ．30C ．20D ．36解析：由分层抽样的性质，甲社区应抽取的户数为360×90810＝40.答案：A5．某学院有四个饲养房，分别养有18,54,24,48只白鼠供实验用．某项实验需抽取24只，你认为最合适的抽样方法为( )A ．在每个饲养房各抽取6只B ．把所有白鼠都加上编有不同号码的颈圈，用随机取样法确定24只C ．在四个饲养房分别随手提出3,9,4,8只D ．先确定这四个饲养房应分别抽取3,9,4,8只样品，再由各饲养房自己加号码颈圈，用简单随机取样法确定各自捕出的对象解析：A 中，对四个饲养房平均摊派，但由于各饲养房所养数量不一，反而造成了各个个体入选的可能性不相等，是错误的方法；B 中，保证了各个体入选的可能性相等，但由于没有注意到白鼠处在四个不同环境会产生不同差异，不如采用分层抽样可靠性高，且统一编号、统一选择加大了工作量；C 中，总体采用了分层抽样，但在每个层次中没有考虑到个体的差异(如健壮程度，灵活程度)，看似随机，实则各个个体被抽到的可能性不等．故选D.答案：D6．为了研究大学生就业后的收入问题，一个研究机构调查了在已经就业且工作满两年的10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如图所示)．为了分析其收入与学历、职业、性别等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出200人作进一步调查，其中月收入低于1 500元的称为低收入者，高于3 000元的称为高收入者，则应在低收入者和高收入者中分别抽取的人数是( )A ．1 000,2 000B ．40,80C ．20,40D ．10,20解析：低收入者的频率是0.000 2×500＝0.1，故从低收入者中抽取200×0.1＝20人；高收入者的频率是(0.000 3＋0.000 1)×500＝0.2，故从高收入者中抽取200×0.2＝40(人)．故选C.答案：C7．某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重(单位：kg)数据进行整理后分为五组，并绘制频率分布直方图(如图所示)．根据一般标准，高三男生的体重超过65 kg属于偏胖，低于55 kg属于偏瘦．已知图中从左到右第一、第三、第四、第五小组的频率分别为0.25、0.20、0.10、0.05，第二小组的频数为400，则该校高三年级的男生总数和体重正常的频率分别为( )A．1 000,0.50 B．800,0.50C．800,0.60 D．1 000,0.60解析：第二小组的频率为0.40，所以该校高三年级的男生总数为4000.40＝1 000(人)；体重正常的频率为0.40＋0.20＝0.60，故选D.答案：D8．根据《道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80 mg/100 mL(不含80)之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80 mg/100 mL(含80)以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾校证，并处500元以上2 000元以下罚款．据《法制晚报》报道，8月15日至8月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28 800人，如图是对这28 800人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为( )A．2 160 B．2 880C．4 320 D．8 640解析：由直方图可以看出“醉酒驾车的人”的频率为(0.01＋0.005)×10＝0.15，那么，“醉酒驾车的人数”为0.15×28 800＝4 320.答案：C9．某商场在五一促销活动中，对5月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为( )A．6万元B．8万元C．10万元D．12万元解析：据频率分布直方图可知9时至10时销售额所占频率为0.1，故由其销售额为2.5万元，可得销售总额为2.5÷0.1＝25(万元)，而11时至12时的销售额所占频率为0.40，故其销售额为25×0.4＝10(万元)．答案：C10．统计某校1 000名学生的数学水平测试成绩，得到样本频率分布直方图如图所示，若满分为100分，规定不低于60分为及格，则及格率是( )A．20% B．25%C．6% D．80%解析：由频率分布直方图可知，不及格的频率为(0.005＋0.015)×10＝0.2，则及格的频率为0.8，因此，及格率为80%，故选D.本题主要考查频率分布直方图的知识，考查考生的数据处理能力和运算求解能力．观察频率分布直方图，从中找出60分以上的人数的频率，问题便可解决．答案：D11．有一组数据个数为50的样本数据分组，各组的频数如下：[12.5,15.5)，3；[15.5,18.5)，8；[18.5,21.5)，9；[21.5,24.5)，11；[24.5,27.5)，10；[27.5,30.5)，5；[30.5，33.5)，4.根据累积频率分布，估计小于30的数据大约占( )A．10% B．92%C．5% D．30%解析：小于30的数据大约占1－450＝92%.答案：B12．城市交通已经成为日益突出的社会问题，为了缓解交通高峰的压力，某市政府采取了错时上下班的措施．下表是新华路在采取措施前后每30 min通过的汽车量：时间段采取措施前交通流量/辆采取措施后交通流量/辆6：30～7：00 2 000 1 8007：00～7：30 2 500 2 2007：30～8：00 3 000 2 5008：00～8：30 1 800 2 3008：30～9：00 1 700 2 0009：00～9：30 1 600 1 800对从6：30到9：30这个时间段内，采取措施后下列正确的选项是( )A．采取措施后平均车流量减少B．采取措施后平均车流量增加C．采取措施后车流量的方差大于采取措施前D．采取措施后车流量的方差小于采取措施前解析：由于x前＝2 100辆，x后＝2 100辆，所以汽车的平均车流量没有变化．由于对样本数据和平均值缩小相同的比例不影响结果，故可将数据均缩小为原数据的1%.s2前≈24.7，s2后≈6.7.故选D.答案：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为__________．解析：由题意，可得x＋y＝20，①(x－10)2＋(y－10)2＝8，②即x＋y＝20，x2＋y2＝208，将①式平方，得x2＋y2＋2xy＝400，将②式代入，得2xy＝192.故|x－y|＝x2＋y2－2xy＝208－192＝16.答案：414．新华高级中学共有高一、高二、高三三个年级的学生2 000名，先采用分层抽样的方法从中抽取一个样本，已知高一年级的学生小明被抽到的概率是120，高三年级被抽到的人数是30，则该学校高三年级的人数是__________．解析：由于分层抽样是等概率的，故学校是按照120的概率抽取学生的，高三年级被抽取了30人，则高三年级的学生人数是30×20＝600.答案：60015．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)．由图中数据可知a＝__________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为__________．解析：∵小矩形的面积等于频率，∴除[120,130)外的频率和为0.700，∴a＝1－0.70010＝0.030.由题意知，身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]的学生分别为30人、20人、10人，∴由分层抽样可知抽样比为1860＝310，∴在[140,150]中选取的学生应为3人．答案：0.030 316．用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组应抽出的号码为126，则第一组中用抽签方法确定的号码是__________．解析：126除以8的余数为6，故在第一组中抽取的号码为6.答案：6三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．(本小题满分10分)一个总体中的1 000个个体的编号分别为0,1,2，…，999，并依次将其分为10个小组，组号为0,1,2，…，9，要用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0组随机抽取的号码为x，则第k组中抽取的号码的后两位数为x＋33k的后两位数．(1)当x＝24时，写出所抽取样本的10个号码；(2)若所抽取样本的10个号码其中一个的后两位数是87，求x的取值集合．解析：(1)当x＝24时，由规则可知所抽取的样本中的10个号码依次为24,157,290,323,456,589,622,755,888,921 ；(2)当k＝0,1,2，…，9时，33k的值依次为0,33,66,99,132,165,198,231,264,297；又抽取样本的10个号码其中一个的后两位数是87，从而x可以为87,54,21,88,55,22,89,56,23,90，所以x的取值范围是{21,22,23,54,55,56,87,88,89,90}．18．(本小题满分12分)某地区教研部门要对高三期中数学练习进行调研，考察试卷中某道填空题的得分情况．已知该题有两空，第一空答对得3分，答错或不答得0分；第二空答对得2分，答错或不答得0分．第一空答对与否与第二空答对与否是相互的．从所有试卷中随机抽取1 000份，其中该题的得分组成容量为1 000的样本，统计结果如下表：第一空得分情况得分 0 3 人数198802第二空得分情况得分 0 2 人数698302(1)求样本试卷中该题的平均得分，并据此估计整个地区中该题的平均得分；(2)这个地区的一名高三学生因故未参加考试，如果这名学生参加考试，对于该填空题，以样本中各种得分情况的频率(精确到0.1)作为该同学相应的各种得分情况的概率．试求该同学第一空得分不低于第二空得分的概率．解析：(1)设样本试卷中该题的平均得分为x ，则由表中数据，可得x ＝0×198＋3×802＋0×698＋2×3021 000＝3.01，据此可估计整个地区中该题的平均得分为3.01分．(2)依题意，第一空答对的概率为8021 000≈0.8，第二空答对的概率为3021 000≈0.3，记“第一空答对\”为事件A ，“第二空答对\”为事件B ，则“第一空答错\”为事件A ，“第二空答错\”为事件B .若要使第一空得分不低于第二空得分，则A 发生或A 与B 同时发生，故P (A )＋P (A ·B )＝0.8＋(1－0.8)×(1－0.3)＝0.94. 答：该同学第一空得分不低于第二空得分的概率为0.94.19．(本小题满分12分)某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：初一年级初二年级初三年级女生 373 xy 男生377370z已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19. (1)求x 的值；(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？ (3)已知y ≥245，z ≥245，求初三年级中女生比男生多的概率．解析：(1)由x2 000＝0.19，解得x ＝380.(2)初三年级人数为y ＋z ＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500.设应在初三年级抽取m 人，则m 500＝482 000，解得m ＝12.(3)设初三年级女生比男生多的事件为A ，初三年级女生和男生数记为数对(y ，z )，由(2)知y ＋z ＝500，(y ，z ∈N ，y ≥245，z ≥245)，则基本事件总数有(245,255)，(246,254)，(247,253)，(248,252)，(249,251)，(250,250)，(251,249)，(252,248)，(253,247)，(254,246)，(255,245)，共11个．而事件A 包含的基本事件有(251,249)，(252,248)，(253,247)，(254,246)，(255,245)，共5个． ∴P (A )＝511.20．(本小题满分12分)某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．(1)估计这次测试数学成绩的平均分；(2)假设在[90,100]分数段的学生的数学成绩都不相同，且都在94分以上，现用简单随机抽样的方法，从95,96,97,98,99,100这6个数中任取2个数，求这两个数恰好是在[90,100]分数段的两个学生的数学成绩的概率．解析：(1)利用组中值估算抽样学生的平均分为45f 1＋55f 2＋65f 3＋75f 4＋85f 5＋95f 6＝45×0.05＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝72，所以估计这次考试的平均分是72分．(2)从95,96,97,98,99,100中抽2个数的全部可能的基本结果有(95,96)，(95,97)，(95,98)，(95,99)，(95,100)，(96,97)，(96,98)，(96,99)，(96,100)，(97,98)，(97,99)，(97,100)，(98,99)，(98,100)，(99,100)，共15种结果．如果这两个数恰好是两个学生的成绩，那么这两个学生的成绩在[90,100]分数段，而[90,100]分数段的人数是0.005×10×80＝4.不妨设这4个人的成绩是95,96,97,98，则事件A ＝“2个数恰好是两个学生的成绩”，包括的基本结果有：(95,96)，(95,97)，(95,98)，(96,97)，(96,98)，(97,98)，共6种基本结果．∴P(A)＝615＝2 5.21．(本小题满分12分)在对一种半径是1.40 cm的圆形机械部件加工中，为了了解加工的情况，从中抽取100个部件，测得其实际半径，将所得数据分组如下表：分组频数[1.30,1.34) 4[1.34,1.38)25[1.38,1.42)30[1.42,1.46)29[1.46,1.50)10[1.50,1.54) 2合计100(1)完成频率分布表，并画出频率分布直方图；(2)估计部件半径落在[1.38,1.50)中的概率及半径小于1.40的概率是多大；(3)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间[1.30,1.34)的中点值是1.32)作为代表．据此，估计部件半径的平均值．解析：(1)频率分布表如下：分组频数频率[1.30,1.34)40.04[1.34,1.38)250.25[1.38,1.42)300.30[1.42,1.46)290.29[1.46,1.50)100.10[1.50,1.54)20.02合计100 1.00频率分布直方图如图所示．(2)部件半径落在[1.38,1.50)中的概率约为0.30＋0.29＋0.10＝0.69，部件半径小于1.40的概率约为0.04＋0.25＋12×0.30＝0.44.(3)部件半径的平均值约为1．32×0.04＋1.36×0.25＋1.40×0.30＋1.44×0.29＋1.48×0.10＋1.52×0.02＝1.408 8.22．(本小题满分12分)某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[50,60)，第二组[60,70)，…，第五组[90,100]．下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数；(2)从测试成绩在[50,60)∪[90,100]内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m，n，求事件“|m－n|＞10”的概率．解析：(1)由直方图知，成绩在[60,80)内的人数为50×10×(0.018＋0.040)＝29.所以该班在这次数学测试中成绩合格的有29人．(2)由直方图知，成绩在[50,60)的人数为50×10×0.004＝2.设成绩为x，y，成绩在[90,100]的人数为50×10×0.006＝3.设成绩为a，b，c，若m，n∈[50,60)时，只有xy一种情况；若m，n∈[90,100]时，有ab，bc，ac三种情况；若m，n分别在[50,60)和[90,100]内时，有a b cx xa xb xc yyaybyc共有6种情况．所以基本事件总数为10种．事件“|m －n |＞10”所包含的基本事件个数有6种， ∴P (|m －n |＞10)＝610＝35.。

【状元之路】高中数学排列、组合和二项式定理单元测评文大纲人教版 (1)

单元测评(十一)测试内容：排列、组合和二项式定理测试时间：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有( )A．8种B．12种C．16种D．20种解析：应用分步乘法计数原理．第一步考虑正方体有三对平行的底面，有3种选法；第二步从剩下的四个底面中任选一个，有4种选法．这样构成的3个面有2个面不相邻，共3×4＝12(种).答案：B2．在(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)的展开式中，含x4的项的系数是( )A．－15 B．85C．－120 D．274解析：本题可通过选括号(即5个括号中4个提供x，其余1个提供常数)的思路来完成．故含x4的项的系数为(－1)＋(－2)＋(－3)＋(－4)＋(－5)＝－15.答案：A3．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为( )A．320 B．340C．360 D．400解析：A29A15－A11A18A15＝360－40＝320.答案：A4．在一次晚会上，每个男人与另一个人握手，但他的妻子除外，而女宾之间不握手，若有13对夫妇参加，则这26人之间的握手次数是( )A．185 B．234C．246 D．312解析：共有C226－C213－13＝234.答案：B5．(1＋ax＋by)n展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243，不含y的项的系数绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为( )A．a＝2，b＝－1，n＝5B．a＝－2，b＝－1，n＝6C．a＝－1，b＝2，n＝6D．a＝1，b＝2，n＝5解析：不含x 的项的系数的绝对值为(1＋|b |)n ＝243＝35，不含y 的项的系数的绝对值为(1＋|a |)n＝32＝25，∴n ＝5，⎩⎪⎨⎪⎧1＋|b |＝3，1＋|a |＝2.答案：D6．将一四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，若只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为( )A ．240种B ．300种C ．360种D ．420种解析：共5种颜色，则D 点有5种选择，C 点有4种选择，P 点有3种选择．然后对A 点颜色进行分类．①若A 与C 同色，则B 有3种被选颜色．②若A 与C 异色，A 有2种被选颜色，B 有2种． ∴共有N ＝C 15C 14C 13×(3＋2×2)＝420(种). 答案：D7．五人排成一排，甲与乙不相邻，且甲与丙也不相邻的不同排法有( ) A ．60种 B ．48种 C ．36种D ．24种解析：可考虑采用插空法．第一步可先让其他两个先排，共有两种排法，第二步可分两类：一类是若三人互不相邻，只需三人排在三个空中即可，共有A 33种方法，另一类是乙、丙两个相邻，则采用捆绑法，将乙丙视为1人同甲排在三个空中的两个．然后乙、丙两人再排，共有A 23A 22种方法，故完成这件事共有2×(A 33＋A 23A 22)＝36(种)不同的排法．答案：C 8．若(x －123x)n展开式的第四项为常数项，则展开式中各项系数的和是( )A.132B.116C ．16D ．32答案：A9．已知(1－3x )9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|等于( ) A ．29B ．49C ．39D ．1解析：则赋值法解决二项展开式中的“系数和”问题．令x ＝－1，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝49.答案：B10．南京大学某专业2006年的5名应届大学毕业生志愿去乌鲁木齐、西安和银川三个城市工作，若全部将5名大学生任意安排到这三个城市的方法数为n ，而每个城市至少安排一名大学生的方法数为m ，则m n等于( )A.8081B.2027C.1080D.5081解析：由题知去三个城市的人数为(1,1,3)或(1,2,2)． ∴分组时共有C 25C 23＋C 35C 12A 22A 33＝150，即m ＝150. 当任意分配时有n ＝35种，∴m n ＝1503＝5081. 答案：D11．设a n 是(3－x )n的展开式中x 一次项的系数(n ＝2,3,4，…)，则32a 2＋33a 3＋34a 4＋…＋318a 18的值为( ) A ．15 B ．16 C ．17 D ．18解析：.令r2＝1，得r ＝2.∴a n ＝C 2n ·3n －2.∴3na n＝3nC n ·3＝9×2n n －＝18n －1－18n. ∴32a 2＋33a 3＋34a 4＋…＋318a 18＝18－182＋182－183＋…＋1817－1818＝17. 答案：C12．将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字填在如图的九个空格中，要求每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大，当3、4固定在图中的位置，填写空格的方法数为( )A.4种 C ．9种D ．12种解析：如图所示，根据题意，1、2、9三个数字的位置是确定的，余下的数中，5只能在a 、c 位置，8只能在b 、d 位置，依(a ，b ，c ，d )顺序，具体有(5,8,6,7)，(5,6,7,8)，(5,7,6,8)，(6,7,5,8)，(6,8,5,7)，(7,8,5,6)，合计6种，故选B.答案：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．(x 2－x －2)6的展开式中x 2的系数为__________．解析：(x 2－x －2)6＝(x ＋1)6·(x －2)6则展开式中x 2项的系数为C 26(－2)6＋C 16·C 16(－2)5＋C 26(－2)4＝48.答案：4814．若(x ＋2)n＝x n＋…＋ax 3＋bx 2＋cx ＋2n(n ∈N ，且n ≥3)，且a ∶b ＝3∶2，则n ＝__________.解析：∵a b ＝C n －3n ·2n －3C n －2n ·2n －2＝C 3n ·2n －3C 2n ·2n －2＝C 3n C 2n ·2＝32，∴n ＝11. 答案：1115．二项式(1＋sin x )n的展开式中，末尾两项的二项式系数之和为7，且二项式系数最大的一项的值为52，则x 在(0,2π)内的值为__________．解析：由已知可得C n －1n ＋C nn ＝n ＋1＝7，即得n ＝6.二项式系数最大的一项为C 36·sin 3x ＝20sin 3x ＝52，解得sin x ＝12，又x ∈(0,2π)，∴x ＝π6或5π6.答案：π6或5π616．从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字中，选出两个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的四位数，这样的四位数共有__________个．解析：没选0时，则有C 24·C 25·A 44＝1 440(个)．选0时，则有C 14C 25A 13A 33＝720(个)．故共有1 440＋720＝2 160(个)这样的四位数．答案：2 160三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．(本小题满分10分)某校数学课外活动小组有高一学生10人，高二学生8人，高三学生7人．(1)选其中1人为总负责人，有多少种不同的选法？ (2)每年级各选1名组长，有多少种不同的选法？(3)推选出其中2人去外校参观学习，要求这2人来自不同年级，有多少种不同的选法？解析：(1)若从高一学生中选，则有10种不同选法；若从高二学生中选，则有8种不同选法；若从高三学生中选，则有7种不同选法；所以由分类计数原理共有10＋8＋7＝25(种)不同选法．(2)三个年级分别有10种，8种，7种不同选法，由分步计数原理共有10×8×7＝560(种)不同选法．(3)选法可分三类：一类是1人选自高一，1人选自高二，有10×8＝80(种)选法；第二类是1人选自高一，1人选自高三，有10×7＝70(种)选法；第三类是1人选自高二，1人选自高三，有8×7＝56(种)选法．所以共有80＋70＋56＝206(种)不同选法．18．(本小题满分12分)(1＋2x )n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．解析：T k ＋1＝C k n (2x )k ，由题意，有C 5n ·25＝26C 6n ，∴n ＝8. ∴(1＋2x )8展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48·(2x )4＝1 120x 4.设第k 项的系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C k8·2k≥C k －18·2k －1，C k8·2k ≥C k ＋18·2k ＋1⇒⎩⎪⎨⎪⎧8！·2k ！－k ！≥8！k －！－k ＋！8！k ！－k ！≥8！·2k ＋！－k －！⇒⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋k ，k ＋－k ⇒⎩⎪⎨⎪⎧k ≤6，k ≥5⇒5≤k ≤6.∵k ∈N ，∴k ＝5，或k ＝6.∴系数最大的项为T 6＝1 792x 5，T 7＝1 792x 6.19．(本小题满分12分)已知一组抛物线y ＝12ax 2＋bx ＋1，其中a 为2,4,6,8中任取的一个数，b 为1,3,5,7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在直线x ＝1交点处的切线恰好相互平行的情况有多少种？解析：∵y ′＝ax ＋b ， ∴y ′|x ＝1＝a ＋b ，若a ＋b ＝5有两条抛物线，从中取出两条，有C 22种取法．若a ＋b ＝7有三条抛物线，从中取出两条，有C 23种取法．若a ＋b ＝9有四条抛物线，从中取出两条，有C 24种取法．若a ＋b ＝11有三条抛物线，从中取出两条，有C 23种取法．若a ＋b ＝13有两条抛物线，从中取出两条，有C 22种取法．由分类加法计数原理知任取两条，它们在与直线x ＝1交点处的切线恰发平行的情形共有C 22＋C 23＋C 24＋C 23＋C 22＝14(种)．20．(本小题满分12分)设ABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点A 处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一，若在5次之内跳到D 点则停止跳动；若5次之内不能到达D 点，则跳完5次也停止跳动．那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共有多少种？解析：如图，青蛙不可能经过跳1次、2次或4次到达D 点，故青蛙的跳法只有下列两类情况：①青蛙跳3次到达D 点，有2种跳法；②青蛙一共跳5次后停止，这时，前3次的跳法(一定不到达D 点，只有来回跳跃)有23－2种，后两次的跳法有22种，故青蛙一共跳5次的跳法有(23－2)·22＝24(种)．由①②知青蛙共有2＋24＝26种不同跳法．21．(本小题满分12分)(1)已知k ，n ∈N *且k ≤n ，求证：k C k n ＝n C k －1n －1.(2)已知数列{a n }满足a n ＝n ·2n －1(n ∈N *)，是否存在等差数列{b n }，使a n ＝∑k ＝1nb k C kn 对一切n ∈N *成立？并证明你的结论．解析：(1)k C kn ＝k ·n ！k ！n －k ！＝nn －！k －！n －－k －！＝n ·C k －1n －1. (2)a n ＝n ·2n －1＝n ·(1＋1)n －1＝n ·C 0n －1＋n ·C 1n －1＋n ·C 2n －1＋…＋n ·C n －1n －1， ∵k C k n ＝n C k －1n －1，∴上式＝1·C 1n ＋2·C 2n ＋3·C 3n ＋…＋n ·C nn . 又a n ＝b 1·C 1n ＋b 2·C 2n ＋…＋b n ·C nn ， ∴1·C 1n ＋2·C 2n ＋3·C 3n ＋…＋n ·C nn ＝b 1·C 1n ＋b 2·C 2n ＋…＋b n ·C nn ，∴b k ＝k ，∴b k －1＝k －1，b k －b k －1＝1与k 无关．∴等差数列{b n }存在．22．(本小题满分12分)已知(3x ＋x 2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x －1)n的展开式的二项式系数和大992，求⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2n 的展开式中：(1)二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项．解析：根据二项式系数的性质，列方程求解n .系数绝对值最大问题需要列不等式组求解．由题意知，22n－2n ＝992，即(2n －32)(2n＋31)＝0. ∴2n＝32，解得n ＝5.(1)由二项式系数的性质知，⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 10的展开式中第6项的二项式系数最大．即T 6＝C 510·(2x )5·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 5＝－8 064.(2)设第r ＋1项的系数的绝对值最大， ∵T r ＋1＝C r10·(2x )10－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r C r 10·210－r·x10－2r，∴⎩⎪⎨⎪⎧C r10·210－r≥C r －110·211－r，C r 10·210－r ≥C r ＋110·210－r －1.得⎩⎪⎨⎪⎧C r10≥2C r －110，2C r 10≥C r ＋110，即⎩⎪⎨⎪⎧11－r ≥2r ，r ＋－r ，解得83≤r ≤113.∵r ∈Z ，∴r ＝3，故系数的绝对值最大的是第4项，T 4＝－C 310·27·x 4＝－15 360x 4.。

【状元之路】2020届高中数学函数2-6文大纲人教版

对应学生书P171一、选择题1． (2020 ·安徽 ) 设abc＞0，二次函数 f ( x)＝ ax2＋ bx＋ c 的图像可能是()分析：由 A， C， D 知，f (0) ＝c＜0.b∵ abc＞0，∴ ab＜0，∴对称轴x＝－2a＞0，知A、C错误，D切合要求．b由 B 知f (0) ＝c＞ 0，∴ab＞ 0，∴x＝－2a＜0， B 错误．答案： D2．已知二次函数y＝ x2－2ax＋1在区间(2,3) 内是单一函数，则实数 a 的取值范围是()A．a≤2，或a≥3B．2≤a≤3C．a≤－ 3，或a≥－ 2 D．－ 3≤a≤－ 2分析：因为二次函数的图像张口向上，对称轴为x＝ a，若使其在区间(2,3) 内是单一函数，则需所给区间在对称轴的同一侧，即a≤2，或 a≥3.答案： A2 2 ＋的解的个数是 ()3．方程 | x－ 2x| ＝a＋ 1( a∈R)A． 1 B． 2 C． 3 D． 4＋2＞ 1. 2 2y＝分析：∵ a∈R，∴ a ＋1 而 y＝| x －2x|的图像如图，∴y＝| x －2x|的图像与a2＋1的图像总有两个交点．∴方程有两个解．答案： B2 2x＋1 是偶函数，则在区间 ( －∞，0] 上，f ( x) 是() 4．若函数f ( x) ＝ ( m－ 1) x＋( m－ 1)A．增函数B．减函数C．常数函数D．可能是增函数，也可能是常数函数2 2分析：∵ f ( x)＝( m－1) x ＋( m－1) x＋1是偶函数，∴f (－x)＝ f ( x) ? m＝±1.当 m＝1时， f ( x)＝1， f ( x)为常数函数．当 m＝－1时， f ( x)＝－2x2＋1，在 ( －∞， 0] 上为增函数．答案： D5．已知函数f ( x) ＝x2－ 4x，x∈[1,5] ，则函数 f ( x)的值域是()A． [ －4，＋∞ ) B． [ － 3,5]C． [ －4,5] D． ( － 4,5]分析：∵函数 f ( x)＝ x2－4x 图像的对称轴的方程为x＝2，∴函数 f ( x)＝ x2－4x， x∈[1,5]的最小值为f (2) ＝－ 4，最大值为 f (5) ＝ 5.∴其值域为[ － 4,5] ．答案： C6．“a＝1”是“函数 f ( x)＝ x2－2ax＋3在区间[1 ，＋∞ ) 上为增函数”的( )A．充足不用要条件 B ．必需不充足条件C．充要条件 D ．既不充足也不用要条件分析：若函数 f ( x)＝ x2－2ax＋3在区间[1，＋∞)上为增函数，则有a≤1，故“ a＝1”是“函数 f ( x)＝ x2－2ax＋3在区间[1 ，＋∞ ) 上为增函数”的充足不用要条件．答案： A7． (2020 ·北京市西城区) 设f ( x)＝ x2＋ bx＋ c，且 f (－1)＝ f (3) ，则 ( )A．f (1) C．f (1) ＞ c＞ f (－1)＞ f (－1)＞ cB．f (1)D．f (1)＜ c＜ f (－1)＜ f (－1)＜ c分析：由 f (－1)＝ f (3) ，得－b2＝－1＋32＝ 1，所以b＝－2，则2f(x)＝x＋bx＋c在区( 1,1) f (1) f (0) f (1) f (0)c f (1) 答案： B2 2A．0≤a≤1B．0≤a≤2c f (1). ()C ．－ 2≤ a ≤0D ．－ 1≤ a ≤0分析： f ( x ) ＝－ x 2－ 2ax ＝－ ( x ＋ a ) 2＋ a 2.若 f ( x ) 在 [0,1] 上的最大值是 a 2，则 0≤－ a ≤1，即－ 1≤ a ≤0，应选 D.答案： D二、填空题9．对于 x 的方程21，另一个大于 1，则实数 m 2mx － 2x － 3m －2＝ 0 的两个实根一个小于的取值范围是 __________ ．221，分析：设 f ( x ) ＝ 2mx －2x － 3m －2，方程 2mx － 2x － 3m － 2＝ 0 的两个实根，一个小于 1 的充要条件是m ＞ 0， m ＜ 0，解得 m ＞ 0，或 m ＜－ 4.另一个大于 f1 ＜0，或f 1 ＞ 0，答案： m ＞ 0，或 m ＜－ 410．当 x ∈(1,2) 时，不等式 x 2＋ mx ＋4＜ 0 恒建立，则 m 的取值范围是 __________．分析：方法一：∵x 2＋＋4＜ 0 在 (1,2) 上恒建立，mx即＜－(x4x ∈(1,2) 恒建立．＋ ) 对mx4令 y ＝x ＋ x ，则其在 (1,2) 上是减函数，4∴ 4＜ y ＜ 5，即－ 5＜－ ( x ＋ x ) ＜－ 4.∴ m ≤－ 5.方法二：令 f ( x ) ＝ x 2＋ mx ＋4，f 1 ≤0， m ＋5≤0，如下图，只要≤0，即解得 m ≤－ 5. 该方法表现了二次函数f 22m ＋8≤0，图像的优胜性．注意到纵截距为4，减少分类议论．前者为分别变量法，后者为数形联合法．两种方法都是研究参数问题的常用方法．答案： ( －∞，－ 5]11．函数 y ＝ x ＋ 2 x 在区间 [0,4] 上的最大值 M 与最小值 N 的和 M ＋ N ＝__________.分析：令 t ＝ x ∈[0,2] ，则 y ＝t 2＋ 2t ＝ t ( t ＋ 2) ，在 t ∈[0,2] 上递加．∴当 t ＝ 0 时， N ＝ 0；当 t ＝ 2 时， M ＝ 8.∴M ＋N ＝8.答案： 812．已知函数 f ( x ) ＝ log 2( x 2－ ax ＋ 3a ) ，对于随意 x ≥2，当 Δx ＞ 0 时，恒有 f ( x ＋Δx )＞f ( x ) ，则实数 a 的取值范围是 __________ ．分析：∵当＞ 0 时，恒有 f ( x ＋) ＞ ( x ) ，则fx ＋ Δx － fx ＞ 0，ΔxΔx fΔx∴当 x ≥2时， f ( x ) 为增函数．2a∴二次函数 g ( x ) ＝ x － ax ＋3a 图像的对称轴 2≤2.∴ a ≤4. 又 g ( x ) ＞ 0 在 [2 ，＋∞ ) 上恒建立， ∴ g ( x ) min ＝ g (2) ＞ 0.∴ a ＞－ 4.综上，－ 4＜ a ≤4.答案：－ 4＜ a ≤4三、解答题13．已知对于随意实数x ，二次函数 f ( x ) ＝ x 2－ 4ax ＋ 2a ＋ 12( a ∈R)的值都是非负的，求函数 g ( a ) ＝ ( a ＋ 1)(| a － 1| ＋2) 的值域．分析：由条件知≤0，即 ( － 4a ) 2－4(2 a ＋12) ≤0.3解得：－ 2≤ a ≤2.3①当－ 2≤ a ＜ 1 时，g ( a ) ＝( a ＋ 1)( － a ＋ 3) ＝－ a 2＋ 2a ＋3＝－ ( －1) 2＋4.a9∴由二次函数图像，可知－≤ g ( a ) ＜ 4.4②当 1≤ a ≤2时， g ( a ) ＝( a ＋ 1) 2， ∴当 a ＝ 1 时， g ( a ) min ＝ 4，当 a ＝2 时， g ( a ) max ＝9. ∴4≤ g ( a ) ≤9.9综上所述， g ( a ) 的值域为 [ － 4， 9] ．14．已知函数 f ( x ) ＝ ax 2＋bx ＋ c ( a ＞0， b ∈R ， c ∈R)．f x ， x ＞ 0，(1) 若函数 f ( x ) 的最小值是 f ( － 1) ＝ 0，且 c ＝ 1，F ( x ) ＝x 求 F (2)－ f ， x ＜ 0，＋F ( － 2) 的值；(2) 若 a ＝ 1， c ＝ 0，且 | f ( x )| ≤1在区间 (0,1] 恒建立，试求 b 的取值范围．b分析： (1) 由已知 c ＝ 1，a － b ＋ c ＝0，且－ 2a ＝－ 1，解得 a ＝ 1， b ＝2.2∴ f ( x ) ＝ ( x ＋ 1) .∴ F ( x ) ＝－x ＋ 12， x ＞ 0，x ＋ 1 2，＜0.x∴ F (2) ＋F ( － 2)＝(2 ＋1)2＋ [ －( －2＋1) 2] ＝8.(2) f ( x ) ＝ x 2＋ bx ，原命题等价于－ 1≤ x 2＋ bx ≤1在 (0,1] 上恒建立，11即 b ≤ x － x ，且 b ≥－ x － x 在 (0,1]上恒建立．又 1－ x 的最小值为 0，－ 1－ x 的最大值为－ 2，xx∴－ 2≤ b ≤0.15．(2020 ·潍坊模拟 ) 设 f ( x ) ＝ x 2 ＋bx ＋ c ( b 、c 为常数 ) ，方程 f ( x ) ＝x 的两个实根为x 1，x 2 且知足 x 1＞0， x 2－ x 1＞ 1.(1) 求证： b 2＞ 2( b ＋ 2c ) ．(2) 若 0＜ t ＜ x 1，比较 f ( t ) 与 x 1 的大小．分析： (1) 方程 f ( x ) ＝ x ，即 x 2＋ ( b －1) x ＋ c ＝0，它的两个实根为 x 1、 x 2，则x 1＋ x 2＝－ b － 1 ，1 2＝ .x x c∴(x 1－ x 2) 2＝ ( x 1＋ x 2) 2－ 4x 1x 2＝[ － ( b － 1)] 2－ 4c ＝ b 2－2b ＋ 1－ 4c .又 x 2－ x 1＞1，则 b 2－2b ＋ 1－ 4c ＞ 1，即 b 2＞ 2( b ＋ 2c ) ．(2) 设 f ( x ) － x ＝ ( x － x 1)( x －x 2) ，即 f ( x ) ＝ ( x － x 1)( x － x 2) ＋x ，∴ f ( t ) － x 1＝ ( t －x 1)( t － x 2) ＋t － x 1＝ ( t －x 1)( t － x 2＋ 1) ，又 0＜t ＜ x 1， x 2－ x 1＞ 1，∴ t － x 1＜0， t － x 2 ＋1＜ x 1－ x 2＋1＜ 0.所以 f ( t ) － x 1＞ 0，即 f ( t ) ＞ x 1.。

【状元之路】2020届高中数学函数2-10文大纲人教版

对应学生书P179一、选择题1．某物体一天中的温度T(单位：℃)是时间t (单位：h)的函数： T( t )＝t 3－3t ＋60(℃)，t ＝0表示正午12： 00，后来t 取正当，则下午 3 时温度为( )A．8 ℃B．78 ℃C．112 ℃D．18 ℃分析：由题意，下午 3 时，t＝ 3，∴T(3) ＝78 ℃.答案： B2．假如在此后若干年内，我国公民经济生产总值都控制在均匀每年增添9%的水平，那么要达到公民经济生产总值比1995 年翻两番的年份大概是 ( )( 参照数据： lg2 ＝ 0.301 0 ， lg3 ＝0.477 1 ， lg109 ＝2.037 4 ，lg0.09 ＝－ 2.954 3)A． 2020 年B． 2020 年C． 2020 年D． 2020 年分析：设 1995 年总值为，经过x 年翻两番，则 a ·(1 ＋ 9%)x＝ 4 . ∴＝ 2lg2 ≈16.a a x lg1.09答案： B3．某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20 元，B种方式是月租0 元．一个月在当地内打出电话时间t (min)与所需电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话150 min 时，这两种方式电话费相差( )A．10元 B ．20元 C ．30 元D. 40 3元分析：设两种话费相差为Δs，依据几何关系，可得Δs＝Δs′.又Δs′＝10，∴Δs＝10.答案： A4．我国为了增强对烟酒生产的宏观管理，除了应收税收外，还征收附带税，已知某种酒每瓶售价为70 元，不收附带税时，每年大概销售100 万瓶；若每销售100 元国家要征附加税x 元 ( 叫做税率x%)，则每年销售量将减少10x 万瓶，假如要使每年在此项经营中所收取的附带税额许多于112 万元，则x 的最小值为( )A． 2 B． 6 C． 8 D． 9x分析：依题意，有(100 －10x) ×70×100≥112，∴ 2≤x≤8.答案： A5．汽车经过启动、加快行驶、匀速行驶、减速行驶以后泊车，若把这一过程中汽车的行驶行程 s 看作时间 t 的函数，其图像可能是()分析：画出曲线的切线，其切线的斜率的意义为速度．由图中切线斜率的变化规律，可知选 A.答案： A6．(2020 ·上海模拟 ) 国家规定个人稿费纳税方法是：不超出800元的不纳税；超出800 元而不超出 4 000 元的按超出800 元部分的 14%纳税；超出 4 000 元的按所有稿酬的11%纳税．已知某人第一版一本书，共纳税420 元，这个人应得稿费( 扣税前 ) 为 () A．2800 元 B．3000 元 C ．3800 元 D．3818 元解析：设扣税前应得稿费为 x 元，则应纳税额为分段函数，由题意，得y ＝x－800 ×14% x≤800，800＜x≤4 000 ，)11%·x x＞4 000 .假如稿费为 4 000 元应纳税448 元，现知某人共纳税420 元，所以稿费应在800～ 4 000 元之间，∴(x－800)×14%＝420，∴ x＝3 800(元)．答案： C7．(2020 ·陕西 ) 某学校要召开学生代表大会，规定各班每 10 人选举一名代表，当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表．那么，各班可选举代表人数y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数y＝[ x]([ x]表示不大于 x 的最大整数)能够表示为()A．y＝x B．y＝x＋ 3 1010C．y＝x＋4 x＋5 10 D．y＝10分析：由题意，可用特别值法求解，当x＝17时，A选项错误，当x＝16时，x＋4＝102，x＋5B.＝ 2，所以 C、 D 选项错误，应选10答案： B8． (2020 ·宁波市模拟) 某农贸市场销售西红柿，当价钱上升时，供应量相应增添，而需求量相应减少，详细结果以下表：表 1 市场供应表单价 ( 元 /kg) 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4供应量 (1 000 kg) 50 60 70 75 80 90 表 2 市场需求表单价 ( 元 /kg) 4 3.4 2.9 2.6 2.3 2需求量 (1 000 kg) 50 60 65 70 75 80 依据以上供应的信息，市场供需均衡点( 即供应量和需求量相等时的单价)大概为( ) A．2.3 元/ 千克B．2.5 元/ 千克C．2.7 元/ 千克D．2.9 元/ 千克分析：以 x 轴为西红柿市场供应量和需求量，y 轴为价钱，在同一坐标系中作出供应关系和需求关系的失散点，再分别连成折线，两图像的订交点即为均衡点，由图可知均衡点价格大概为 2.7 元/ 千克 .答案： C二、填空题9． (2020 ·浙江) 某商家一月份至五月份累计销售额为 3 860 万元，展望六月份销售额为 500 万元，七月份销售额比六月份递加x%，八月份销售额比七月份递加x%，九、十月份销售总数与七、八月份销售总数相等．若一月份至十月份销售总数起码达7 000 万元，则x 的最小值是__________ ．分析：由题意，得23860 ＋ 500＋ [500(1 ＋x%)＋ 500(1 ＋x%) ] ×2≥7000 ，化简，得 ( x%)2＋3·x%－0.64 ≥0，解得 x%≥0.2，或 x%≤－3.2(舍去)．故 x≥20，即 x 的最小值为20.答案： 2010．为了保证信息安全，传输一定使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理以下：加密发送解密明文――→ 密文――→密文――→ 明文已知加密密钥为y＝ a x－2( x 为明文、 y 为密文)，假如明文“3”经过加密后获取密文为“6”，再发送，接收方经过解密获取明文“3”，若接收方接到密文为“14”，则原发的明文是 __________．分析：依题意， y＝ a x－2.当 x＝3时， y＝6，故6＝ a3－2，解得 a＝2.所以加密密钥为y＝2x－2，所以，当 y＝14时，由14＝2x－2，解得 x＝4.答案： 411．(2020 ·绍兴模拟 ) 一位设计师在边长为 3 的正方形ABCD中设计图案，他分别以A，3B， C， D为圆心，以 b(0＜ b≤2)为半径画圆，由正方形内的圆弧与正方形边上线段( 圆弧端点在正方形边上的连线) 组成了丰富多彩的图形，则这些图形中实线部分总长度的最小值为__________．分析：由题意实线部分的总长度为l ＝ 4(3－2b) ＋2πb＝(2 π－ 8) ＋ 12，对于b的一b l次函数的一次项系数 2π－ 8＜ 0，故l 对于 b 为单一减函数，所以，当 b 取最大值时， l 取3 3得最小值，联合图形，知 b 的最大值为2，代入上式得 l 最小＝(2π－8)×2＋12＝3π.答案： 3π12．如图是一份统计图表，依据此图表获取的以下说法中，正确的选项是__________ ．①这几年人民生活水平逐年获取提升；②人民生活费收入增添最快的一年是2000 年；③生活价钱指数上升速度最快的一年是2001 年；④固然 2002 年生活费收入增添迟缓，但因为生活价钱指数也略有降低，因此人民生活有较大的改良．分析：由题意，“生活费收入指数”减去“生活价钱指数”的差是逐年增大的，故①正确；“生活费收入指数”在2000～ 2001 年最陡，故②正确；“生活价钱指数”在2001～ 2002 年上升速度不是最快的，故③不正确；因为“生活价钱指数”略呈降落趋向，而“生活费收入指数”曲线奉上升趋向，故④正确．答案：①②④三、解答题13．经市场检查，某城市的一种小商品在过去的近 20 天内的销售量 ( 件 ) 与价钱 ( 元) 均为时间 t ( 天 ) 的函数，且销售量近似知足( ) ＝80－2 ( 件 ) ，价钱近似知足 f ( t ) ＝20－ 1 | tg t t 2 － 10|( 元)．(1) 试写出该种商品的日销售额y 与时间 t (0 ≤ t ≤20) 的函数表达式；(2) 求该种商品的日销售额 y 的最大值与最小值．1分析： (1) y ＝ g ( t ) f ( t ) ＝(80 － 2t )(20 － 2| t － 10|)＝ (40 － t )(40 －| t － 10|)30＋ t 40－ t ，0≤ t ＜10，＝50－ t，10≤ t ≤20.40－ t(2) 当 0≤ t ＜ 10 时， y 的取值范围是 [1 200,1 225] ，在 t ＝5 时， y 获得最大值为 1 225 ；当 10≤ t ≤20 时， y 的取值范围是 [600,1 200] ，当 t ＝20 时， y 获得最小值为 600.则第 5 天，日销售额 y 获得最大值为 1 225 元；第 20 天，日销售额 y 获得最小值为 600 元．14．以下图，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM上， D 点在AN 上，且对角线MN过C 点，已知| AB | ＝ 3 m ，|AD | ＝ 2 m.(1) 要使矩形 AMPN 的面积大于 32 m 2，则 AN 的长度应在什么范围内？(2) 当 AN 的长度是多少时，矩形 AMPN 的面积最小？并求出最小值．分析：设 AN 的长为 x m( x ＞ 2) ，| DN | | DC | 3x 由 | AN | ＝ | AM | ，得 | AM | ＝ x －2.3x 2∴ S 矩形 AMPN ＝ | AN | ·|AM |＝ x －2.3x 2(1) 由 S矩形AMPN ＞ 32，得 x － 2＞ 32，28又 x ＞2，于是 3x － 32x ＋64＞ 0，解得 2＜ x ＜ 3，或 x ＞ 8，即长的取值范围为 8(2， )∪(8，＋∞)．AN 3(2) y＝3x2＝ 3 x－2 2＋12 x－2 ＋ 12x－2 x－2＝ 3( －2)＋12＋12≥23x－ 2 ·12＋12x x－ 2 x－2＝ 24，12 3x2当且仅当 3( x－2) ＝x－2，即 x＝4 时， y＝x－2获得最小值24.∴当 AN的长度是 4 m 时，矩形AMPN的面积最小，最小值为 24 m2.15． (2020 ·广州模拟 ) 跟着 2020 年国际经济的复苏，我市某公司决定从甲、乙两种产品中选择一种进行投资生产，打入国际市场．已知投资生产这两种产品的相关数据以下表：( 单位：万美元 )项目年固定成本每件产品成本每件产品销售价每年可最多类型生产的个数甲产品20 a 10 200乙产品40 8 18 120 此中年固定成本与年生产的件数没关， a 为常数，且3≤ a≤8.此外，年销售 x 件乙产品时需上交0.05 x2万美元的特别关税．*(1) 写出该厂分别投资生产甲、乙两产品的年收益y1、y2与生产相应产品的件数x( x∈N) 之间的函数关系；(2)分别求出投资生产这两种产品的最大收益；(3)怎样决定投资可获最大年收益．*分析： (1) y1＝ (10 －a) x－20(1 ≤x≤200，x∈N) ，2*y2＝－0.05 x ＋10x－40(1≤ x≤120， x∈N)．(2)∵10－a＞ 0，故y1为对于x的增函数，∴ x＝200时， y 获取最大年收益S ＝(1 980－200a)万美元，1 1y2＝－0.05(2≤*x－100)＋460(1 x≤120， x∈N)．∴ x＝100时， y2获取最大收益S2＝460万美元．(3)S1－ S2＝200(7.6－ a)，故当3≤ a≤7.6时，S1＞ S2，投资生产200件甲产品可获最大年收益 .。

【状元之路】2020届高中数学数列4-4文大纲人教版

对应学生书193 P一、选择题1．数列 { a n} 的前n项和为S n，若a n＝n1，则 S5等于( ) n＋1A． 15 1D.1 B.6C.306分析：∵ a ＝ 1 1 1＋ 1 ＝－＋1，n n n n n5 1 2 3 4 5 1－ 1 1－1 1－1 1－1 1－ 1 1 5∴ S ＝ a ＋a ＋ a ＋ a ＋ a ＝＋2 3 ＋＋4＋5 6＝1－＝.2 3 4 5 6 6 答案： B2．若S＝1－ 2＋3－4＋＋ ( －1) · n，则 S ＋ S ＋ S 等于( ) n n－ 1 17 33 50A．1 B．－1 C．0 D．2n＋12 分析： S n＝n为奇数，n－2n为偶数.故 S17＝9，S33＝17， S50＝－25， S17＋ S33＋ S50＝1. 答案： A3．设函数f (x) ＝xmax的导函数′()＝2x＋ 1，则数列 {1 *n项和＋}( ∈N) 的前f xf n n是()n n＋2A.n＋1 B.n＋1n n＋1 C.n－1 D. nm－ 1分析：∵ f ′(x)＝ mx＋a＝2x＋1，∴ m＝2， a＝1.∴ f ( x)＝ x2＋ x＝ x( x＋1)．1 1 1 1∴f n ＝n n＋1＝n－n＋1.1 1 1 1 1∴ S n＝1－2＋2－3＋＋n－n＋1 1n＝1－n＋1＝n＋1.答案： A4．已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ n 2－ 4n ＋ 2，则 | a 1 | ＋ | a 2| ＋＋ | a 10| ＝ () A ． 66 B ． 65 C ． 61D ． 56分析：当 n ＝ 1 时， a 1＝ S 1＝－ 1；当 n ≥2时， a n ＝ n － n － 1S S＝ n 2－ 4n ＋ 2－ [( n － 1) 2－ 4( n － 1) ＋ 2]＝ 2n －5.∴ 2＝－1， 3＝ 1， 4＝ 3，，a 10＝15.aaa∴| 1| ＋|a 2| ＋＋ |a 10|＝ 1＋ 1＋ 8× 1＋15 ＝ 2＋ 64＝ 66.a2答案： A5．设 a n ＝－ n 2＋ 17n ＋ 18，则数列 { a n } 从首项到第几项的和最大 ()A ． 17B ． 18C ．17 或 18D ． 19分析：令 a n ≥0，得 1≤ n ≤18. ∵ a 18＝ 0，a 17 ＞0， a 19＜ 0，∴从首项到第 18 项或第 17 项的和最大．答案： C6．数列 1,1 ＋2,1 ＋ 2＋4，， 1＋ 2＋ 22＋＋ 2 n － 1，的前 n 项和 S n ＞ 1 020 ，那么 n的最小值是 ()A ． 7B ． 8C ． 9D ． 10n2n －11－ 2n分析：∵1＋ 2＋2＋＋ 2＝＝2－1，n＋ 2 2n2－ 2n ＋1n ＋ 1∴S ＝(2 ＋＋ 2 ) － n ＝ 1－ 2 － n ＝ 2 －2－ n .若 S n ＞ 1 020 ，则 2n ＋1－ 2－ n ＞ 1 020 ，∴ n ≥10.答案： D7．(2020 ·北京东城模拟 ) 设直线 nx ＋ ( n ＋1) y ＝*2( n ∈N ) 与两坐标轴围成的三角形面积为 S n ，则 S 1＋S 2＋＋ S 2 008 的值为 ()2 0052 006A.2 006 B.2 007 2 0072 008 C.2 008D.2 009分析：直线与x 轴交于2，与y 轴交于2，n ， 0 0，n ＋11 22 1 1 1∴ S n ＝ 2× n × ＋ 1＝n n ＋1 ＝－＋ 1.nnn1 1 11 1∴原式＝ 1－ 2 ＋ 2－3＋＋2 008 －2 00912 008＝1－2 009 ＝2 009.答案： D8．(2020 ·大连模拟 ) 设{ a n } 为各项均是正数的等比数列， S n 为 { a n } 的前 n 项和，则 ()46B.a46A.a＝a＞aS 4S 6 S 4 S 6 a 4a 6a 4 a 6C. ＜D.≤SSSS4646a 4 a 6 1 1分析：当 q ＝ 1 时，有－＝－＞0；464 6S Sa 4 a 61 31－ q151－ q当 q ≠1时，有－＝ a q－ a qS S a1－q4a61 1－ q46131－ q 2q 31－ q ＝ q (1 －q ) 1－ q 41－ q6＝1＋ q2·1－ q 6＝q 3 1－ q231－ q 31＋ q1＋ q＝q 3＞ 0，1＋ q 2 1＋ q 31＋ q ＋q 2a 4 a 6因此S 4 ＞S 6.答案： B二、填空题1 119． S n ＝22－ 1＋ 42－ 1＋＋ 2n2－ 1＝ __________.分析：通项 n ＝ 1 2＝1a2n － 1 2n － 12n ＋ 1111＝2 2n －1－2n ＋ 1n11 1 1111－＋－＋＋－∴S ＝23 352n － 1 2n ＋ 111n＝21－2n ＋ 1 ＝2n ＋ 1.n答案：2n ＋ 110．设 { a n } 是等差数列，{ b n } 是各项都为正数的等比数列，且a 1＝b 1＝ 1， a 3＋b 5＝ 19，a 5＋b 3＝ 9，则数列 { a n b n } 的前 n 项和 S n ＝ __________.分析：由条件易求出an＝，n ＝ 2 n －1 ( n*，∈N )n bn12n －1∴ S ＝1×1＋2×2 ＋3×2＋＋ n ×2 ，①2n － 1n2S n ＝1×2＋2×2 ＋＋ ( n －1) ×2 ＋ n ×2. ②由①－②，得－ 1 2n －1 nn＝1＋ 2＋2 ＋＋ 2 － ×2.Sn∴ S n ＝ 2n ( n － 1) ＋ 1.n＋1答案： 2 ( n － 1)11．在数列 { a n } 中， a n ＝12n2，则数列 { b n } 的前 n 项和＋＋＋，又 b n ＝a a n ＋ 1n ＋1n ＋ 1n n ＋ 1为__________ ．n n ＋ 12n分析：∵ a ＝n ＋ 1＝ 2，nn＝81－ 1∴ b＋ 1＝8 nn ＋ 1 .n n∴ 1 ＋ 2＋＋b nbb1 1 1 1 18n＝ 81－ 2＋ 2－ 3＋＋ n －n ＋ 1 ＝＋1.n8n答案： n ＋ 12*a 1 a 2 a n12．若数列 { a n } 是正项数列，且 a 1＋ a 2＋＋ a n ＝ n＋3n ( n ∈N ) ，则 2 ＋ 3 ＋＋ n ＋ 1 ＝ __________.分析：令 n ＝ 1，得 a 1＝ 4，∴ a 1＝ 16.当 n ≥2时，a 1＋ a 2＋＋a n －1＝ ( n － 1) 2＋ 3( n － 1) ，与已知式相减，得a n ＝ ( n 2＋ 3n ) － ( n － 1) 2－ 3( n － 1) ＝ 2n ＋ 2.∴ a n ＝ 4( n ＋ 1) 2.＝1 时， a 1 合适 a n .n∴ n ＝ 4( ＋ 1) 2，∴a n＝4 ＋4.ann ＋ 1 na 1 a 2an 8＋ 4n ＋ 4 2n＝2n ＋ 6n .∴ 2 ＋ 3 ＋＋ n ＋ 1＝22答案： 2n ＋ 6n13． (2020 ·山东 ) 已知等差数列 { a n } 知足： a 3＝ 7， a 5＋ a 7＝ 26， { a n } 的前 n 项和为 S n .(1) 求 a n 及 S n ；1*(2) 令 b n ＝ a n 2－ 1( n ∈N ) ，求数列 { b n } 的前 n 项和 T n .分析： (1) 设等差数列 { a n } 的公差为 d .a 1＋ 2d ＝ 7，a 1＝ 3，由于 a 3＝7， a 5＋ a 7＝26，因此解得2a 1＋ 10d ＝26，d ＝ 2.n＝ 2n ＋ 1，故 a ＝ 3＋ 2( n － 1) n － 1nn2S ＝ 3n ＋2×2＝ n ＋ 2n .(2) 由 (1) 知 a ＝ 2n ＋ 1.n进而 b ＝11 2112＝＝ ×n a n － 12n ＋1－ 1 4 n n ＋11 1 1 ＝ 4× n － n ＋ 1，n1 1－1＋1－1＋＋1－ 1进而 T ＝4× 2 2 3n n ＋ 11 1n ＝ 4× 1－n ＋ 1 ＝ 4 n ＋ 1.nnn.即数列 { b } 的前 n 项和 T ＝ 4 n ＋ 114． (2020 ·海口市调研 ) 设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且 a 1＝ 1， S n ＝ na n － 2n ( n － 1) ．(1) 求 a 2， a 3， a 4，并求出数列 { a n } 的通项公式；1(2) 设数列 {} 的前 n 项和为 T n ，试求 T n 的取值范围．a n a n ＋ 1分析： (1) 由 S n ＝ na n － 2n ( n －1) ，得 a n ＋1＝ S n ＋1－ S n ＝ ( n ＋1) a n ＋ 1－na n － 4n .即 a n ＋1－ a n ＝ 4.故数列 { a n } 是以 1 为首项， 4 为公差的等差数列．*通项公式 a n ＝ 4n －3( n ∈N ) ．a 2＝ 5， a 3＝9， a 4＝ 13.n1 ＋ 1 ＋＋1(2) ∵T ＝ a aa aa a1 2 2 3 n n ＋ 11111＝＋＋9×13 ＋＋4n －34n ＋ 11×55×9＝ 1 1－ 1＋ 1－ 1＋1－ 1＋＋ 1 －1455 99 134 － 34 ＋ 1nn1 1－ 1 1 ＝ 4 ＋ 1 ＜ .4n 4 1 又易知 T n 单一递加，故T n ≥ T 1＝ .51n1n1 ， 1进而 5≤T ＜ 4，即 T 得取值范围是 5 4.15．(2020 ·石家庄市质检一 ) 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，a 1＝ 1，S n ＝ 2S n － 1＋ n ，( n ≥2，*n ∈N ) ．(1) 求数列 { a n } 的通项公式；a n ＋1(2) 若 b n ＝， T n ＝ b 1＋ b 2＋＋ b n ，证明： T n ＜ 1.a n a n ＋ 1分析： (1) ∵ a 1＝ 1 且 a 1＋ a 2＝2a 1＋ 2，∴ a 2＝ 3，依题意： S n ＝ 2S n －1＋ n ，S n － 1＝2S n － 2＋( n － 1) ， ( n ≥3)两式相减得n－ n －1＝ 2(n － 1－ n －2) ＋ 1，( n ≥3)S S SS即 a n ＝ 2a n －1＋ 1，( n ≥3)a n ＋ 1＝ 2( a n － 1＋1) ， ( n ≥3)可得 a n ＋1＝ ( a 2＋1) ×2n －2，∴ a n ＝ 2n － 1( n ≥2) ，又 a 1＝ 1 也切合上式，因此∴ a n ＝ 2n－ 1.a ＋ 1n n ＋1－n2 2－ 12 － 1(2) b n ＝ n＝ nn ＋ 1 ＝ n －1 n ＋1，a n a n ＋ 1 2 － 1 2 － 1 2 2 － 111＝ 2n － 1－2n ＋ 1－1，T n ＝ b 1＋ b 2＋＋ b n1 1 11 1＝ 1－3＋ 3－ 7＋＋ 2n － 1－2n ＋ 1－ 11＝ 1－2n ＋ 1－ 1，n ＋11 1∵2≥4，∴ 0＜ 2n ＋ 1－ 1≤ 3，∴ T n ＜ 1.。

【状元之路】2020届高中数学函数2-7文大纲人教版

对应学生书 P173一、选择题1．已知f ( x) ＝2x＋2 －x，若 f ( a)＝3，则 f (2 a)＝()A． 5 B． 7 C． 9 D． 11分析：∵ f ( x) ＝2x＋ 2－x， f ( a) ＝3，∴2a＋ 2－a＝3，f(2 a) ＝ 22a＋ 2－2a＝ (2 a＋ 2－a) 2－ 2＝ 9－2＝ 7.答案： B答案： AA．P＜Q＜R B．R＜P＜QC．Q＜P＜R D．R＜Q＜P答案： B4．设函数 f ( x)＝ a－| x|( a>0，且 a≠1)， f (2)＝4，则()A．f ( － 2)> f ( －1)C．f (1)> f (2)分析：由 a－2＝4， a>0，得1 －| x|＝2 | x | .∴ f ( x)＝2B．f ( － 1)> f ( － 2)D．f ( － 2)> f (2) 1a＝2.又∵ | － 2|>| －1| ，| －2||－1|，即 f ( － 2)> f ( － 1) ．∴2 >2 答案： A5．设函数 f ( x ) ＝ax 2＋ bx ＋c ( a ＞ 0) 知足 f (1 －x ) ＝ f (1 ＋x ) ，则 f (2 x ) 与 f (3 x ) 的大小关系是( )xxA ． f (3 ) ＞ f (2 )xxB ． f (3 ) ＜ f (2 )分析：∵ f ( x ) 知足 f (1 －x ) ＝ f (1 ＋x ) ，∴ f ( x ) 图像对于直线 x ＝1 对称．又 a ＞0，f ( x ) 的图像张口向上，当 xxxxx ＜ 0 时， 2 ＜1,3 ＜ 1,2 ＞3 ，且 f ( x ) 为减函数，故f (2 x ) ＜ f (3 x ) ；当 x ＞0 时， 2x ＞ 1， 3x ＞ 1,3 x ＞ 2x ，且 f ( x ) 为增函数，故 f (3 x ) ＞ f (2 x ) ；当 x＝ 0 时， f (3 x ) ＝ f (2 x ) ，故 f (3 x ) ≥f (2 x ) ．答案： C1 a1 b6．已知实数 a 、b 知足等式 2 ＝ 3 ，以下五个关系式：① 0＜ b ＜ a ；② a ＜ b ＜0；③0＜ a ＜ b ；④ b ＜ a ＜ 0；⑤ a ＝ b .此中不行能建立的关系式有 ()A ．1个B． 2 个C ．3个D ．4个分析：画出函数 y ＝ 1 x 和 y ＝ 1 x23的图像，如下图．12由1a＝ 1 b 联合图像，可得 a ＜＜0，或＞＞ 0，或 a ＝＝ 0.2 3b a b b答案： B7．函数 f ( x ) ＝ | x| · a x ( a ＞1) 的图像的大概形状是 ()xa x x＞0 ，分析：由f(x)＝－a x x＜0 ，可知选 B. 答案： B8． (2020 ·山东济宁模拟) 若对于x的方程x x4＝ 0 有解，则实数 a 的取9 ＋ (4 ＋a) ·3＋值范围是 ( )A． ( －∞，－ 8) ∪[0 ，＋∞ ) B． ( －∞，－4) C． [ －8,4) D． ( －∞，－8]分析：∵－(4 ＋a) ＝ 3 x 4＋ x≥4，∴a≤－8.3答案： D二、填空题9．已知 ( a2＋a＋ 2) x＞ ( a2＋a＋ 2) 1－x，则x的取值范围是__________．2 1 2 7分析：∵ a ＋ a＋2＝( a＋2)＋4＞ 1，且 ( a2＋a＋ 2) x＞ ( a2＋a＋ 2) 1－x，1∴ x＞1－ x，∴ x＞2.1答案： x＞2答案：－ 2311．方程 2 － x 2的实数解的个数为 __________ ．＋ x ＝3分析：分别作出函数 f ( x)＝3－2－x与函数 g( x)＝ x2的图像，∵ x＝0，f ( x)＝2， g( x)＝0，∴从图像上能够看出它们有2 个交点．答案： 212．已知 f ( x ) ＝ a x ( a ＞ 1) ，g ( x ) ＝ b x ( b ＞ 1) ，当 f ( x 1) ＝ g ( x 2 ) ＝ 2 时，有 x 1＞ x 2，则 a 、b 的大小关系是 __________ ．分析： x 1＝ log a 2＞ x 2＝ log b 2＞ 0，∴ log 2a ＜log 2b .答案： a ＜ b三、解答题x113．已知函数 f ( x ) ＝ 2 － 2| x| .(1) 若 f ( x ) ＝ 2，求 x 的值；tf (2 t ) ＋ mf ( t ) ≥0对于 t ∈[1,2] 恒建立，务实数 m 的取值范围． (2)若2分析： (1) 当 x ＜ 0 时， f ( x ) ＝ 0；x1当 x ≥0时， f ( x ) ＝ 2 － 2x .x1由条件，可知 2 －2x ＝ 2，即 22x －2·2x － 1＝ 0，又 2x ＞ 0，解得 2x ＝ 1＋ 2. ∴ x ＝ log 2(1 ＋ 2) ．t2t1t1(2) 当 t ∈[1,2] 时， 2 (2 － 22t ) ＋ m (2 －2t ) ≥0，即 m (2 2t －1) ≥－ (2 4t － 1) ．2t2t＋ 1) ．∵2 － 1＞0，∴ m ≥－ (2 ∵ t ∈[1,2] ，∴－ (1 ＋ 22t ) ∈[ － 17，－ 5] ．故 m 的取值范围是 [ － 5，＋∞ ) ．14．已知函数 f ( x ) ＝ 3 xaxx的定义域为 [0,1] ．， f ( a ＋ 2) ＝ 18， g ( x ) ＝λ·3 － 4(1) 求 a 的值；(2) 若函数 g ( x ) 在区间 [0,1] 上是单一递减函数，务实数λ 的取值范围．分析： (1) 由已知得 a ＋2a＝2? a ＝ log 32.3 ＝18? 3xx(2) 此时 g ( x ) ＝λ·2－ 4 ，设 0≤ x 1＜ x 2≤1，因为 g ( x ) 在区间 [0,1] 上是单一减函数，因此 g ( x 1) － g ( x 2) ＝(2 x 1－ 2x 2)( λ － 2x 2－ 2x 1) ＞ 0 恒建立，即 λ＜ 2x 2＋ 2x 1 恒建立．因为 2x 2＋ 2x 1＞ 20 ＋20＝ 2，因此，实数 λ 的取值范围是 λ≤2.2915．已知函数知足 f ( c ) ＝8.(1) 求常数 c 的值；2(2) 解不等式 f ( x ) ＞ 8 ＋ 1.分析： (1) 依题意 0＜ c ＜1，∴ c 2＜ c .2 9 39 1∵ f ( c) ＝，∴ c ＋ 1＝， c ＝ .882(2) 由 (1) 得由 f ( x ) ＞ 2＋1，得81122 1当 0＜x ＜ 2时， 2x ＋ 1＞ 8 ＋ 1，∴ 4 ＜ x ＜2；1当 2≤ x ＜ 1 时， 2－ 4x ＋ 1＞2 1 58 ＋ 1，∴ 2≤ x ＜8.综上，可知2 54 ＜ x ＜ 8.2 25∴ f ( x ) ＞8 ＋1 的解集为 { x |4 ＜ x ＜ 8} ．。

【状元之路】2020届高中数学数列4-2 文大纲人教版

对应学生书P 189一、选择题1．已知等差数列{a n }的前13项之和为39，则a 6＋a 7＋a 8等于( )A ．6B ．9C ．12D ．18解析：由S 13＝13a 1＋a 132＝13a 7＝39，得a7＝3.∴a 6＋a 7＋a 8＝3a 7＝9.答案：B2．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为( )A ．12B ．8C ．6D ．4解析：由等差数列性质，知a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32，∴a 8＝8.∴m ＝8.答案：B3．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n 、T n ，已知S n T n ＝7n n ＋3，则a 5b 5等于( ) A ．7B.23C.278D.214 解析：a 5b 6＝2a 52b 5＝a 1＋a 9b 1＋b 9＝92a 1＋a 992b 1＋b 9＝S 9T 9＝214. 答案：D 4．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为( )A. 3B ．± 3C ．－33D ．－ 3解析：由等差数列的性质，得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π，∴a 7＝4π3.∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan 8π3＝tan 2π3＝－ 3. 答案：D 5．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为( ) A ．4B ．6C ．8D ．10解析：由a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80，得a 6＝16.∴a 7－12a 8＝2a 7－a 82＝a 62＝8. 答案：C6．各项均不为零的等差数列{a n }中，若a n 2－a n －1－a n ＋1＝0(n ∈N *，n ≥2)，则S 2 009等于( )A ．0B ．2C ．2 009D ．4 018 解析：a n 2＝a n －1＋a n ＋1＝2a n ，a n ≠0，∴a n ＝2.∴S n ＝2n ，S 2 009＝2×2 009＝4 018.答案：D7．(2020·福建)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：设等差数列的公差为d ，则由a 4＋a 6＝－6，得2a 5＝－6，得a 5＝－3.又∵a 1＝－11，∴－3＝－11＋4d ，∴d ＝2.∴S n ＝－11n ＋n n －12×2＝n 2－12n ＝(n －6)2－36，故当n ＝6时S n 取最小值. 答案：A8．(2020·山东临沂二模)等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－2 008，S 2 0072 007－S 2 0052 005＝2，则S 2 008的值为( )A ．－2 006B ．2 006C ．－2 008D ．2 008解析：S nn ＝na 1＋n n －12d n ＝a 1＋(n －1)d2，∴{S n n }为以a 1为首项，以d 2为公差的等差数列． ∴S 2 0072 007－S 2 0052 005＝2×d2＝2，∴d ＝2. ∴S 2 008＝2 008×(－2 008)＋2 008×2 0072×2＝－2 008. 答案：C二、填空题9．(2020·陕西)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则{a n }的通项a n ＝__________.解析：由a 6＝12，有a 1＋5d ＝12.①由S 3＝12，有3a 1＋3d ＝12.②联立①②两式，有a 1＝d ＝2，故a n ＝2n (n ∈N *)．答案：2n (n ∈N *)10．(2020·全国Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝72，则a 2＋a 4＋a 9＝__________.解析：∵S 9＝72＝9a 1＋a 92，∴a 1＋a 9＝16.∵a 1＋a 9＝2a 5，∴a 5＝8.∴a 2＋a 4＋a 9＝a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝24.答案：2411．在等差数列{a n }中，满足3a 4＝7a 7，且a 1＞0，S n 是数列{a n }前n 项的和．若S n 取得最大值，则n ＝__________.解析：设公差为d ，由题设，得3(a 1＋3d )＝7(a 1＋6d )，解得d ＝－433a 1＜0. 解不等式a n ＞0，即a 1＋(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－433a 1＞0，得n ＜374.则n ≤9.当n ≤9时，a n ＞0. 同理，可得当n ≥10时，a n ＜0.故当n ＝9时，S n 取得最大值.答案：912．已知f (3x )＝4x log 23＋233，则f (2)＋f (4)＋f (8)＋…＋f (28)的值等于__________．解析：∵f (3x )＝4x log 23＋233，∴f (3x )＝4log 3x ＋233.∴f (x )＝4log 2x ＋233.而f (2n )＝4log 22n ＋233＝4n ＋233，∴f (2)＋f (4)＋…＋f (28)＝(4×1＋233)＋(4×2＋233)＋…＋(4×8＋233)＝4×(1＋2＋…＋8)＋233×8＝2 008.答案：2 008三、解答题13．(2020·陕西)已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列．(1)求数列{a n }的通项；(2)求数列{2a n }的前n 项和S n .解析：(1)由题设，知公差d ≠0.由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列，得1＋2d 1＝1＋8d 1＋2d. 解得d ＝1，或d ＝0(舍去)．故{a n }的通项a n ＝1＋(n －1)×1＝n .(2)由(1)知，2a n ＝2n .由等比数列前n 项和公式，得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n ＝21－2n 1－2＝2n ＋1－2.14．(2020·浙江)设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.(1)若S 5＝5，求S 6及a 1；(2)求d 的取值范围．解析：(1)由题意，知S 6＝－15S 5＝－3，a 6＝S 6－S 5＝－8，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 5a 1＋10d ＝5，a 1＋5d ＝－8，解得a 1＝7.故S 6＝－3，a 1＝7.(2)因为S 5S 6＋15＝0，所以(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0，即2a 12＋9da 1＋10d 2＋1＝0，故(4a 1＋9d )2＝d 2－8，所以d 2≥8.故d 的取值范围为d ≤－22，或d ≥2 2.15．(2020·石家庄市质检一)已知公差不为零的等差数列{a n }前n 项和为S n (n ∈N *)，若a 4是a 3，a 7的等比中项，且S 8＝32.(1)求数列{a }的通项公式；(2)若b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，n ＝1，2a n ，n ≥2.求数列{b n }的前n 项和T n . 解析：(1)由题意⎩⎪⎨⎪⎧ a 42＝a 3a 7，S 8＝32，设公差为d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d 2＝a 1＋2d a 1＋6d ，8a 1＋28d ＝32⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－3，d ＝2， ∴a n ＝－3＋(n －1)×2＝2n －5.(2)b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1 n ＝1，22n －5 n ≥2. 当n ＝1时，T 1＝1，当n ≥2时，T n ＝1＋2－1＋2…＋22n －5＝4n －1＋56， T 1＝1＝41－1＋56， ∴T n ＝4n －1＋56 (n ∈N * )．。

【状元之路】2020届高中数学函数2-5文大纲人教版

对应学生书 P169一、选择题1．设函数 f ( x ) ＝ log a x ( a ＞0，且 a ≠1) 知足 f (9) ＝ 2，则 f －1(log 92) 等于 ()A. 2 B ．2 C ．－2 D ．－ 2答案： A2．若函数 y ＝f ( x － 1) 的图像与函数 y ＝ ln x ＋ 1 的图像对于直线y ＝ x 对称，则 f ( x )＝()A ． e 2x － 12xC2x ＋ 12x ＋2B ．e ． e D ． e分析：由函数 y ＝ f ( x － 1) 的图像与函数 y ＝ln x ＋1 的图像对于直线 y ＝ x 对称，可知y ＝ f ( x － 1) 与 y ＝ln x ＋1 互为反函数．由 y ＝ lnx ＋1? ln x ＝ y － 1?x ＝ e y － 12y － 2? x ＝e，2x －22 x －2，故 f ( x ) 2x所以 y ＝ e ? y ＝ f ( x － 1) ＝ e ＝ e .答案： B3．若函数 f ( x ) 的反函数为 f －1( x ) ，则函数 f ( x － 1) 与 f －1( x － 1) 的图像可能是 ()分析：由于 y ＝ f ( x ) 的图像与 y ＝ f －1( x ) 的图像对于直线 y ＝x 对称，而 y ＝ f ( x －1) 的图像是把 y ＝f ( x ) 的图像向右平移一个单位长度获得的，y ＝ f －1( x － 1) 的图像是把 y ＝ f －1( x )的图像向右平移一个单位长度获得的，所以联合图像可知答案是A.答案： A4．已知函数 f (x x ＋3f － 1x ) 是 f (x ) 的反函数，若＝ 16( 、＋f －1( ) ＋) ＝ 2 ，(∈R )，则mnm nmf －1( n ) 的值为 ()A ．－2B． 11C ． 4D ．10x ＋ 3( y ＞0)2－12－ 1分析：设 y ＝2 ，则有 x ＋ 3＝ log y ，可得 f ( x ) ＝log x － 3( x ＞ 0) ．于是 f ( m )＋f － 1( n) ＝ log 2m＋ log 2n－ 6＝ log 2mn－ 6＝－ 2.答案： A5．设函数f ( x) ＝ log ( x＋b)( a＞ 0，a≠1) 的图像过点 (2,1) ，其反函数的图像过点(2,8) ，a则 a＋ b 等于()A．3B．4C．5D．6分析：∵函数y＝ f ( x)的图像过点(2,1)，∴l og a(2 ＋b) ＝ 1，∴a＝b＋2. ①又函数 y＝ f ( x)的反函数的图像过点(2,8)，∴l og a(8 ＋b) ＝2. ∴a2＝ 8＋b. ②由①②，得a＝3， b＝1.∴ a＋ b＝4.答案： B6．若函数y＝f ( x)的反函数为y＝f －1( x)，则函数y＝ f ( x－1)与函数 y＝ f －1( x－1)的图像()A．对于直线y＝ x 对称B．对于直线y＝ x－1对称C．对于直线y＝ x＋1对称D．对于直线y＝1对称分析：函数 y＝ f ( x)与其反函数 y＝ f －1( x)对于 y＝ x 对称，则经过图像平移可推知函数y＝ f ( x－1)与函数 y＝ f －1( x－1)的图像对于 y＝ x－1对称．答案： Bx － xe － e)7．函数y＝的反函数 (2A．是奇函数，它在 (0 ，＋∞ ) 上是减函数B．是偶函数，它在 (0 ，＋∞ ) 上是减函数C．是奇函数，它在 (0 ，＋∞ ) 上是增函数D．是偶函数，它在 (0 ，＋∞ ) 上是增函数分析：函数与其反函数有同样的单一性和奇偶性，所以只须考察函数y＝e x－ e－x2 的奇偶性与单一性，易知此函数是奇函数，且在(0 ，＋∞ ) 上是增函数，∴应选 C.答案： C8．已知方程f ( x) ＝ 3－x仅有一解x1，方程f－1( x) ＝ 3－x仅有一解x2，则x1＋x2的值为()A．2B ．3C．4 D．5－1分析： f ( x)与 y＝3－x 的交点为( x1,3－ x1)．则 f( x) 与y＝ 3－x的交点为 (3 －x1，x1) ．答案： B二、填空题x 2＋1 x ≥0 ，9．函数 y ＝ 2x ＜ 0的反函数是 __________．x分析：由 y ＝ x 2＋ 1( x ≥0) ，得 x ＝y － 1，且 y ≥1，故 y ＝－ 1( x ≥1) ．x222由 y ＝ x ( x ＜ 0) ，得 x ＝ y ( y ＜ 0) ，故 y ＝ x ( x ＜0) ．x 2＋ 1 x ≥0 ，∴函数 y ＝ 2x ＜0的反函数为xx － 1x ≥1 ， y ＝ 2x ＜ 0 .xx － 1≥1 ，x答案： y ＝ 2x ＜0x－1－ 1＋6] ·[f － 110．设 f ( x ) ＝log ( x ＋ 6) 的反函数为 f ( x ) ，若 [ f ( m )( n ) ＋ 6] ＝ 27，则 f ( m3＋ n ) ＝ __________.分析： f －1( x ) ＝ 3x － 6， [ f － 1( m ) ＋6] ·[f －1( n ) ＋ 6] ＝ 3m · 3 n ＝ 3m ＋n ＝ 27， m ＋ n ＝ 3， f ( m＋ n ) ＝ f (3) ＝ 2.答案： 211．已知函数 y ＝f ( x ) 是奇函数，当 x ≥0时，f ( x ) ＝ 3x － 1，设 f ( x ) 的反函数是 y ＝ g ( x ) ，则 g ( － 8) ＝ __________.分析：当 x ＜ 0 时，－ x ＞0， f ( －x ) ＝ 3－x － 1.又 ∵ f ( x ) 是奇函数，∴ f ( － x ) ＝－ f ( x ) ，即－ f ( x ) ＝ 3－x－1. ∴ f ( x ) ＝ 1－ 3－x .3x － 1x ≥0 ， ∴ f (x )＝1－3－ xx ＜ 0 ，log 3 x ＋1x ≥0 ， ∴ f －1( x ) ＝1－ xx ＜ 0 ，－ log 3∴ f －1( － 8) ＝ g ( － 8) ＝－ log 3(1 ＋8)＝－ log 332＝－ 2.答案：－ 212．设函数 y ＝ f ( x ) 存在反函数 y ＝ f －1( x ) ，且函数 y ＝ x －f ( x ) 的图像过点 (1,2) ，则函数 y ＝ f －1( x ) － x 的图像必定过点 __________．分析：由 y ＝ x － f ( x ) 过点 (1,2) ，得 f (1) ＝－ 1，即函数 y ＝ f ( x ) 的图像过点 (1 ，－ 1) ，所以反函数 y ＝ f －1( x ) 的图像过点 ( － 1,1) ，代入 y ＝ f －1( x ) － x 得 y ＝ f －1( － 1) － ( －1) ＝1 ＋1＝ 2，即此函数图像过点 ( － 1,2).答案： ( － 1,2)三、解答题13．已知函数 f ( x ) ＝ log 2(2 x ＋ 1) ．(1) 求证：函数 f ( x ) 在 ( －∞，＋∞ ) 内单一递加；(2) 记 f － 1x 的方程 f －1上有解，( x ) 为函数 f ( x ) 的反函数．若对于 ( x ) ＝ m ＋ f ( x ) 在 [1,2] 求 m 的取值范围．2x 1＋ 1分析： (1) 任取 x 1 ＜x 2，则 f ( x 1) － f ( x 2) ＝log 2(2 x 1＋ 1) － log 2(2 x 2＋1) ＝ log 22x 2＋ 1. ∵ 1＜ 2, 0＜2 1＋ 1＜ 2 2＋ 1， x x x x2x 1＋ 12x 1＋ 1 ∴0＜ 2＋1 ＜ 1，∴ log 2 2 ＜ 0. 2x2x ＋ 1 ∴ f ( x 1) ＜f ( x 2) ，即函数 f ( x ) 在 ( －∞，＋∞ ) 上单一递加．(2) 方法一：∵ f －1( x ) ＝ log 2(2 x － 1)( x ＞ 0) ， ∴m ＝ f －1( x ) － f ( x ) ＝log 2(2 x － 1) － log 2(2 x ＋ 1)x－1 22＝ log 22x ＋1＝ log 2(1 － 2x ＋ 1) ．222 当 1≤ x ≤2时， ≤ x ＋ 1 ≤ ，5 2 3 1 2 3∴ 3≤1－ 2x ＋ 1≤ 5，∴ m 的取值范围是 [log1 33， log5] ．2 2方法二：由已知，得f －1( x ) ＝ log 2(2 x － 1) ，解方程 log 2(2 x － 1) ＝m ＋ log 2(2 x ＋ 1) ，得2m ＋ 1x ＝ log 2 1－ 2m .2m ＋ 113∵ 1≤ x ≤2，∴ 1≤log 2( 1－2m ) ≤2，解得 log 23≤ m ≤log 25.1 322∴ m 的取值范围是 [log 3， log5] ．ax． 14． (2020 ·上海春 ) 已知函数 f ( x ) ＝ log (8 － 2 )( a ＞ 0，且 a ≠1) (1) 若函数 f ( x ) 的反函数是其自己，求 a 的值；(2) 当 a ＞ 1 时，求函数 y ＝ f ( x ) ＋ f ( － x ) 的最大值．分析： (1) 函数 f ( x ) 的反函数f －1( x ) ＝ log 2(8 － a x ) ．由题意，可得 log a (8 － 2x ) ＝ log 2(8 － a x ) ，∴ a ＝ 2.(2) 由题意，可知 8－ 2x ＞ 0，解得 x ＜3.则 y ＝f ( x ) ＋ f ( － x ) 的定义域为 ( － 3,3) ．f ( x ) ＋f a (8 － 2 x a － x a － 8(2 x ＋ 2 －x)] ．( － x ) ＝log ) ＋ log (8 －2 ) ＝log [65 x－ x时，等号建立．∵2＋ 2 ≥2，当 x ＝ 0∴ 0＜ 65－ 8(2 x ＋ 2－x ) ≤49.当 a ＞1 时，函数 y ＝ f ( x ) ＋ f ( － x ) 在 x ＝ 0 处获得最大值 log a 49.x－ 115．已知 f ( x ) ＝ 2 ，设 f ( x ) 的反函数为 f( x ) ．(1) 若对于 x 的方程 f －1( ax ) · f －1( ax 2) ＝ f －1(16) 的解都在区间 (0,1) 内，务实数 a 的范围；(2) 若函数 f －1a在区间 [2 ，＋∞ ) 上单一递加，求正实数a 的范围．x ＋－3x分析：∵ f ( x ) ＝2x ，∴ f －1( x ) ＝ log 2x .(1) 原方程化为 log 2 ( ax ) ·log 2( ax 2) ＝ log 216? (log 2a ＋ log 2x ) ·(log 2a ＋ 2log 2x ) ＝4?2log 2＋ 3log 2 log2－4＝ 0.2 x 2＋ log 2aa x令 log 2x ＝ t ＜ 0，22∴方程 2t ＋ (3log 2a ) t ＋ log 2 a －4＝ 0 的根为负数．＝9log22≥0，2a － 8 log 2 a － 43∴t 1＋ t 2＝－ 2log 2a ＜ 0，1 2＞ 0.t 1· t 2＝log 2 a － 42即 log 2a ＞ 2，∴ a ＞4.∴ a 的范围是 (4 ，＋∞ ) ．(2) ∵ f －1 x ＋ a － 3 ＝log2 x ＋ a －3 在 [2 ，＋∞ ) 上单一递加，xxa∴ g ( x ) ＝ x ＋ x －3 在 [2 ，＋∞ ) 上恒为正且单一递加，a∴ g (2) ＝ 2＋ 2－3＞ 0，即 a ＞2，且当 2≤ x 1＜ x 2 时，x 1x 2－ a 恒有 g ( x 2) － g ( x 1) ＝( x 2－ x 1)＞ 0 建立．x 1x 2∵ x 2－ x 1＞0， x 1x 2＞ 4，∴ a ≤4，又∵ a＞2，∴ a 的范围为(2,4]．。

【状元之路】2020届高中数学 7不等式单元测评文大纲人教版.doc

单元测评(七)测试内容：不等式测试时间：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．若a ＞0＞b,0＞c ＞d ，则下列不等式中成立的是( ) A ．a ＋c ＜b ＋d B ．a －d ＜b －c C ．ac ＜bdD.a d ＞b c解析：特殊值验证法，不妨令a ＝1，b ＝－1，c ＝－2，d ＝－3，验证，C 正确．答案：C2．二次函数f (x )的图像如图所示，则f (x －1)＞0的解集为( ) A ．(－2,1) B ．(0,3) C ．(－1,2)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析：由图可知f (x )＞0的解集是{x |－1＜x ＜2}．因f (x －1)的图像是由f (x )的图像向右平移一个单位长度得到的，故f (x －1)＞0的解集为{x |0＜x ＜3}．答案：B3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3 x ≥0，1x ＋1x ＜0，则不等式f (x )＞1的解集为( )A ．{x |x ＜0，或x ＞2}B ．{x |x ＞2，或x ＜0，且x ≠－1}C ．{x |－1＜x ＜0，或x ＞2}D ．{x |x ＜－2，或－1＜x ＜0，或x ＞2}解析：由不等式f (x )＞1，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2－3＞1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，1x ＋1＞1，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＜－2，或x ＞2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，xx ＋1＜0，等价于x ＞2，或－1＜x ＜0. 答案：C4．若x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝1＋(x ＋y )，则( ) A ．x ＋y 有最大值(1＋2)2B ．x ＋y 有最小值(1＋2)2C ．x ＋y 有最小值2＋2 2D ．x ＋y 有最大值2＋2 2 解析：1＋(x ＋y )＝xy ≤(x ＋y2)2,1＋(x ＋y )≤x ＋y24，∴(x ＋y )2≥4(x ＋y )＋4，(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0. 令x ＋y ＝t ，则t 2－4t －4≥0，方程两根t ＝4±322＝2±22，∴t ≥2＋22，t ≤2－22(舍去)．∴x ＋y 有最小值2＋2 2. 答案：C5．设a 、b ∈R ，已知命题p ：a 2＋b 2≤2ab ；命题q ：(a ＋b2)2≤a 2＋b 22，则p 是q 成立的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：命题p ：(a －b )2≤0⇔a ＝b ；命题q ：(a －b )2≥0.显然，p ⇒q ，但q /⇒p ，则p 是q 的充分不必要条件．答案：B6．已知a ＞b ＞1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg(a ＋b2)，则( )A ．R ＜P ＜QB ．P ＜Q ＜RC ．Q ＜P ＜RD ．P ＜R ＜Q解析：由a ＞b ＞1，不妨取a ＝100，b ＝10，则P ＝2，Q ＝32，R ＝lg(100＋102)＞lg 100×10＝32.则P ＜Q ＜R . 答案：B7．设a ＞0，b ＞0.若2是4a 与2b的等比中项，则2a ＋1b的最小值为( )A ．2 2B ．4C ．8D ．9 解析：由题意，知22a ·2b＝2⇒2a ＋b ＝1，则2a ＋1b ＝22a ＋ba＋2a ＋b b ＝5＋2b a ＋2ab≥9，当且仅当2b a ＝2ab时取等号．答案：D 8．不等式x ＋1x －2≥0的解集是( ) A ．{x |≤－1，或x ≥2} B ．{x |x ≤－1，或x ＞2} C ．{x |－1≤x ≤2}D ．{x |－1≤x ＜2}解析：原不等式转化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －2≥0，x －2≠0⇒x ≤－1，或x ＞2.答案：B9．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 均成立，则( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12解析：∵(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )，∴不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，即(x －a )(1－x －a )＜1对任意实数x 成立，即使x 2－x －a 2＋a ＋1＞0对任意实数x 成立．∴Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)＜0，解得－12＜a ＜32.答案：C10．设函数若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝0，则关于x 的不等式f (x )≤1的解集为( )A ．(－∞，－3]∪[－1，＋∞)B ．[－3，－1]C ．[－3，－1]∪(0，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (－4)＝f (0)，故对称轴为x ＝－b2＝－2，∴b ＝4.又f (－2)＝4－8＋c ＝0，∴c ＝4. 令x 2＋4x ＋4≤1，有－3≤x ≤－1；当x ＞0时，f (x )＝－2≤1显然成立．故不等式的解集为[－3，－1]∪(0，＋∞). 答案：C11．若0＜a 1＜a 2,0＜b 1＜b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( ) A ．a 1b 1＋a 2b 2 B ．a 1a 2＋b 1b 2 C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.12解析：a 1a 2＋b 1b 2≤(a 1＋a 22)2＋(b 1＋b 22)2＝12，a 1b 1＋a 2b 2－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)b 1－(a 1－a 2)b 2＝(a 2－a 1)(b 2－b 1)≥0，∴a 1b 1＋a 2b 2≥a 1b 2＋a 2b 1.∵1＝(a 1＋a 2)(b 1＋b 2)＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 1b 2＋a 2b 1≤2(a 1b 1＋a 2b 2)，∴a 1b 1＋a 2b 2≥12.答案：A12．已知f (x )＝32x－(k ＋1)·3x＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，22－1) C ．(－1,22－1)D ．(－22－1,22－1)解析：由f (x )＞0，得32x －(k ＋1)·3x ＋2＞0，解得k ＋1＜3x ＋23x ，而3x＋23x ≥22，∴k ＋1＜22，k ＜22－1.故选B.答案：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．当0＜x ＜2时，函数y ＝x (2－x )的最大值为__________．解析：∵0＜x ＜2，∴2－x ＞0.∴x (2－x )≤(x ＋2－x2)2＝1，等式成立条件是x ＝2－x ，∴x ＝1. 答案：114．若二次函数y ＝f (x )的图像经过原点，且1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4，则f (－2)的范围为__________．解析：因为y ＝f (x )的图像经过原点，所以可设y ＝f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)．于是⎩⎪⎨⎪⎧1≤f－1≤2，3≤f 1≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，3≤a ＋b ≤4.(*)不等式组(*)变形得⎩⎪⎨⎪⎧2≤2a －2b ≤44≤2a ≤6⇒6≤4a －2b ≤10⇒6≤f (－2)≤10.其中等号分别在⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1与⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1时成立，且⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1与⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1满足(*)，所以f (－2)的取值范围是[6,10]．答案：[6,10]15．若a ，b ，c 为Rt △ABC 的三边，其中c 为斜边，那么a n ＋b n 与c n (其中n ∈N *，且n ＞2)的大小关系是__________．解析：△ABC 为直角三角形，且c 为斜边，则c 2＝a 2＋b 2. ∴c ＞a ＞0，c ＞b ＞0. 即0＜ac ＜1,0＜b c＜1.当n ＞2时，(a c )n ＋(b c )n ＜(a c )2＋(b c )2＝a 2＋b 2c2＝1.即a n＋b n＜c n. 答案：a n＋b n＜c n16．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为__________．解析：因为x ＞a ，所以2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a＋2a ≥22x －a ·2x －a＋2a ＝2a ＋4，即2a ＋4≥7，所以a ≥32，即a 的最小值为32.答案：32三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．(本小题满分10分)已知不等式kx 2－2x ＋6k ＜0(k ≠0)． (1)若不等式的解集为{x |x ＜－3，或x ＞－2}，求k 的值； (2)若不等式的解集为∅，求k 的取值范围．解析：(1)由题知方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根为x 1＝－3，x 2＝－2.∴2k ＝－3＋(－2)，∴k ＝－25. (2)由于k ≠0，要使不等式解集为∅，只需⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，Δ≤0.即⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，1－6k 2≤0，解得k ≥66.18．(本小题满分12分)当x ＜32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值，并求出此时x 的值．解析：∵x ＜32，∴2x －3＜0，y ＝x ＋82x －3＝12(2x －3)＋82x －3＋32. ∵3－2x 2＋83－2x ≥2 3－2x 2·83－2x＝4， ∴2x －32＋82x －3≤－4. ∴y ＝x ＋82x －3≤－4＋32＝－52，当且仅当2x －32＝82x －3，即x ＝－12，或x ＝72时，取等号．∵x ＜32，∴x ＝－12.故当x ＝－12时，函数y ＝x ＋82x －3取得最大值－52.19．(本小题满分12分)已知不等式x 2＋px ＋1＞2x ＋p . (1)如果不等式当|p |≤2时恒成立，求x 的范围； (2)如果不等式当2≤x ≤4时恒成立，求p 的范围．解析：(1)不等式可化为(x －1)p ＋(x －1)2＞0.令f (p )＝(x －1)p ＋(x －1)2，它是关于p 的一次函数，定义域为[－2,2]，由一次函数的单调性，知⎩⎪⎨⎪⎧f－2＝x －1x －3＞0，f 2＝x －1x ＋1＞0.解得x ＜－1，或x ＞3.即x 的取值范围是{x |x ＜－1，或x ＞3}． (2)不等式可化为(x －1)p ＞－x 2＋2x －1. ∵2≤x ≤4，∴x －1＞0. ∴p ＞－x 2＋2x －1x －1＝1－x .由于不等式当2≤x ≤4时恒成立，故p ＞(1－x )max . 而2≤x ≤4，(1－x )max ＝－1，于是p ＞－1. 故p 的范围是{p |p ＞－1}．20．(本小题满分12分)某工厂统计资料显示，产品次品率p 与日产量x (单位：件，x ∈N *,1≤x ≤98)的关系如下：x 1 2 3 4 … 98 p299149297148…1又知每生产一件正品盈利a (a 为正常数)元，每生产一件次品就损失a2元．(1)将该厂日盈利额T (元)表示成日产量x 的函数； (2)为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少件． (参考数据3≈1.73) 解析：(1)依题意，可知p ＝2100－x(1≤x ≤98，且x ∈N *)．日产量x 件中次品有xp 件，正品有(x －px )件，日盈利额T ＝a (x －px )－a 2px ＝a (x －3x100－x)(1≤x ≤98，且x ∈N *)．(2)设t ＝100－x ，则x ＝100－t (t ∈N *,2≤t ≤99)，T ＝a [100－t －3100－tt]＝a [103－(t ＋300t)]．设f (t )＝t ＋300t ，t ∈N *，则f ′(t )＝1－300t2.当2≤t ≤17时，f ′(t )＜0，即f (t )在[2,17]上是减函数．当18≤t ≤99时，f ′(t )＞0，即f (t )在[18,99]上是增函数．又f (17)＝58917，f (18)＝1043，f (17)＜f (18)，∴当t ＝17，即x ＝83时，T 取最大值．故日产量为83件时，日盈利额取最大值．21．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，设向量a ＝(sin x,2)，b ＝(2sin x ，12)，c ＝(cos2x,1)，d ＝(1,2)，当x ∈[0，π]时，求不等式f (a·b )＞f (c·d )的解集．解析：设f (x )的二次项系数为m ，其图像上两点A (1－x ，y 1)、B (1＋x ，y 2)．∵1－x ＋1＋x2＝1，f (1－x )＝f (1＋x )，∴y 1＝y 2.由x 的任意性，知f (x )的图像关于直线x ＝1对称．∵a·b ＝(sin x,2)·(2sin x ，12)＝2sin 2x ＋1≥1，c·d ＝(cos2x,1)·(1,2)＝cos2x ＋2≥1，当m ＞0时，f (x )在x ≥1上是增函数，∴f (a·b )＞f (c·d )⇔f (2sin 2x ＋1)＞f (cos2x ＋2)⇔2sin 2x ＋1＞cos2x ＋2⇔1－cos2x ＋1＞cos2x ＋2⇔2cos2x ＜0⇔cos2x ＜0⇔2k π＋π2＜2x ＜2k π＋3π2，k ∈Z.∵0≤x ≤π，∴π4＜x ＜3π4.当m ＜0时，f (x )在x ≥1上是减函数．同理，可得0≤x ＜π4，或3π4＜x ≤π.综上，f (a·b )＞f (c·d )的解集为当m ＞0时，{x |π4＜x ＜3π4}；当m ＜0时，{x |0≤x ＜π4，或3π4＜x ≤π}．22．(本小题满分12分)已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．解析：方法一：因为a ，b ，c 均为正数，由均值不等式，得方法二：因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式，得a 2＋b 2≥2ab ， b 2＋c 2≥2bc ， c 2＋a 2≥2ac .从而a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac .①同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1ac.②故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥ab ＋bc ＋ac ＋3ab ＋3bc ＋3ac≥6 3.③故原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2＝(bc )2＝(ac )2＝3时，③式等号成立．故当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原等式等号成立．。

【状元之路】高中数学第二章统计单元测评(含解析) 新人教A版必修3

单元测评统计(时间：90分钟满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表A ．0.13B ．0.39C ．0. 52D ．0.64解析：由题意知频数在(10,40]的有13＋24＋15＝52. 故频率＝52100＝0.52.答案：C2．某大学教学系共有本科生5 000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4∶3∶2∶1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为( )A ．80B ．40C ．60D ．20解析：应抽取三年级的学生数为200×210＝40.答案：B3．(2013·湖南卷)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n ＝( )A ．9B ．10C ．12D ．13解析：由分层抽样的含义可得，60120＋80＋60＝3n ，所以n ＝13.答案：D4．甲、乙两名篮球运动员在某几场比赛中得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人在这几场比赛中得分的中位数之和是( )A.63 B．64C．65 D．66解析：甲、乙两人在这几场比赛中得分的中位数分别是36和27，则中位数之和是36＋27＝63.答案：A5．某题的得分情况如下：其中众数是A．37.0% B．20.2%C．0分D．4分解析：由于众数出现的频率最大，所以众数是0分．答案：C6．(2013·江西卷)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )A.08 B．07C．02 D．01解析：从左到右符合题意的5个数分别为：08,02,14,07,01，故第5个数为01.答案：D7．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( ) A ．92,2 B ．92,2.8 C ．93,2D ．93,2.8解析：去掉最高分95和最低分89后，剩余数据的平均数为x ＝90＋90＋93＋94＋935＝92，方差为s 2＝15×[(92－90)2＋(92－90)2＋(93－92)2＋(94－92)2＋(93－92)2]＝15×(4＋4＋1＋4＋1)＝2.8.答案：B8．(2013·辽宁卷)某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．60解析：由图知低于60分的频率为0.005×20＋0.01×20＝0.3，故总学生数为150.3＝50人，故选B.答案：B9．(2013·湖北卷)四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423；②y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648；③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493；④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578.其中一定不正确．．．的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④解析：当y 与x 正相关时，应满足斜率大于0；当y 与x 负相关时，应满足斜率小于0，故①④一定不正确．答案：D10．(2013·山东卷)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则7个剩余分数的方差为( ) A.1169 B.367 C ．36D.677解析：因为最低分为87，最高分为99，所以x ＝4，故剩余的7个分数为87,94,90,91,90,94,91，其方差s 2＝－2＋－2＋－2＋－27＝16＋18＋27＝367，故选B. 答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．临沂市2011年家具销售额y 万元与新建住宅面积x ×103 m 2呈线性相关，其回归方程为y ^＝1.190 3x ＋185.109 3，若当年新建成的住宅面积为350×103m 2，则当年的家具销售额约为__________万元．解析：当x ＝350时，y ^＝1.190 3×350＋185.109 3≈601.7万元．答案：601.712．为了解高一学生到学校阅览室阅读的情况，现采用简单随机抽样的方法，从高一的 1 500名同学中抽取50名同学，调查了他们在一学期内到阅览室阅读的次数，结果用茎叶图表示，如图所示，据此可估计该学期1 500名高一学生中，到阅览室阅读次数在[23,43)内的人数为__________.解析：由茎叶图可知在50名学生中，到阅览室阅读的次数在[23,43)内的人数为14，据此可以估计该学期1 500名高一学生中，到阅览室阅读次数在[23,43)内的人数为1450×1 500＝420.答案：42013．某校从参加高三年级期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的历史成绩(成绩均为整数且满分为100分)，把其中不低于50分的成绩分成五段[50,60)，[60,70)，…，[90,100]后，画出部分频率分布直方图(如图)，那么这60名学生中历史成绩在[70,80)的学生人数为__________．解析：历史成绩在[70,80)的频率是0.03×10＝0.3，则历史成绩在[70,80)的学生人数为0.3×60＝18.答案：1814．(2013·辽宁卷)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为__________．解析：设这5个班级参加的人数分别是a ，b ，c ，d ，e ，则(a －7)2＋(b －7)2＋(c －7)2＋(d －7)2＋(e －7)2＝5×4＝20，即5个完全平方数的和为20，则这五个平方数为0,1,1,9,9，所以这组数据中最大的是10.答案：10三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15． (12分)为了让学生了解环保，增强环保意识，某中学举行了一次环保知识竞赛，共有900名学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数，满分为100分)进行统计．请你根据下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题：(1)填充频率分布表中的空格；(2)不具体计算频率/组距，补全频率分布直方图．解：(1)40.08＝50，即样本容量为50.第五小组的频数为50－4－8－10－16＝12，第五小组的频率为1250＝0.24.又各小组频率之和为1，所以频率分布表中的四个空格应分别填12,0.24,50,1.(6分) (2)根据小长方形的高与频数成正比，设第一个小长方形的高为h 1，第二个小长方形的高为h 2，第五个小长方形的高为h 5.由等量关系得h 1h 2＝48，h 1h 5＝412，所以h 2＝2h 1，h 5＝3h 1.这样即可补全频率分布直方图如下：(12分)16．(12分)甲、乙两人在相同的条件下各射靶10次，每次射靶成绩(单位：环)如图所示．(1)填写下表：①从平均数和方差结合分析偏离程度； ②从平均数和中位数结合分析谁的成绩好些；③从平均数和命中9环以上的次数相结合看谁的成绩好些； ④从折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力．解：(1)乙的射靶环数依次为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.可知x 乙＝110(2＋4＋6＋8＋7＋7＋8＋9＋9＋10)＝7，所以填7，乙的射靶环数由小到大排列为：2,4,6,7,7,8,8,9,9,10.所以中位数为7＋82＝7.5；甲10次射靶环数从小到大排列为：5,6,6,7,7,7,7,8,8,9，所以中位数为7.于是填充后的表格如下表所示：(6分(2)①甲、乙的平均数相同：均为7，但s2甲＜s2乙，说明甲偏离平均数的程度小，而乙偏离平均数的程度大．②甲、乙平均水平相同，而乙的中位数比甲大，可预见乙射靶环数的优秀次数比甲的多，所以乙的成绩比甲好些．③甲、乙平均水平相同，而乙命中9环以上(包含9环)的次数比甲多2次，可知乙的射靶成绩比甲好．④从折线图上看，乙的成绩呈上升趋势，而甲的成绩在平均线上波动不大，说明乙的状态在提升，有潜力可挖．(12分)17．(12分)(2013·新课标全国卷Ⅰ)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.12．3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3．2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.22．7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？解：(1)设A药的观测数据的平均数为x，B药的观测数据的平均数为y. 由观测结果可得x＝120(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，y＝120(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1. 8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.由以上计算结果可得x＞y，因此可看出A药的疗效更好．(6分)(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有710的叶集中在茎2,3上，而B药疗效的试验结果有710的叶集中在茎0,1上，由此可看出A药的疗效更好．(12分)18．(14分)(2013·重庆卷)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑10i ＝1x i ＝80，∑10i ＝1y i ＝20，∑10i ＝1x i y i ＝184，∑10i ＝1x 2i ＝720.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y ＝bx ＋a 中，b ＝∑ni ＝1x i y i －n x －y－∑ni ＝1x 2i －n x2，a ＝y －b x ，其中x ，y 为样本平均值．线性回归方程也可写为y ^＝b ^x ＋a ^.解：(1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑ni ＝1x i ＝8010＝8，y ＝1n ∑ni ＝1y i ＝2010＝2.又l xx ＝∑ni ＝1x 2i －n x 2＝720－10×82＝80，l xy ＝∑ni ＝1x i y i －n x －y －＝184－10×8×2＝24，由此得b ＝l xy l xx ＝2480＝0.3，a ＝y －b x ＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回归方程为y ＝0.3x －0.4.(6分)(2)由于变量y 的值随x 的值增加而增加(b ＝0.3＞0)，故x 与y 之间是正相关．(10分) (3)将x ＝7代入回归方程可以预测家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．(14分)。

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对应学生书P 177一、选择题答案：C 2．函数y ＝e|ln x |－|x －1|的图像大致是( )解析：当x ≥1时，y ＝e ln x－(x －1)＝x －(x －1)＝1. 当0＜x ＜1时，y ＝e －ln x－(1－x )＝1x＋x －1＞21－1＝1.由图像，知选D.答案：D3．如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经3 min 漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H 是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H 与下落时间t (min)的函数关系表示的图像只可能是( )解析：由题意知液体是匀速漏入圆柱形桶中，随时间增大，H 的增速越来越大，故选B. 答案：B4．函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,16]，当a 变动时，函数b ＝g (a )的图像可以是( )解析：由图像知，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，－4≤a ≤0，故b ＝g (a )，即为b ＝4(－4≤a ≤0)，图像为B. 答案：B5．在函数y ＝|x |(x ∈[－1,1])的图像上有一点P (t ，|t |)，此函数图像与x 轴、直线x ＝－1及x ＝t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系图可表示为( )解析：当t ∈[－1,0]时，S 增速越来越平缓，当t ∈[0,1]时，增速越来越快，故选B. 答案：B解析：画出y＝f(x)的图像，再作其关于y轴对称的图像，得到y＝f(－x)的图像，再将y＝f(－x)的图像向右平移1个单位长度，得到函数y＝f[－(x－1)]＝f(1－x)的图像，故选C.答案：C7．(2010·潍坊市模拟)已知f(x)＝a x－2，g(x)＝log a|x|(a＞0，且a≠1)，若f(4)·g(－4)＜0，则y＝f(x)，y＝g(x)在同一坐标系内的大致图像是( )解析：据题意，由f(4)·g(4)＝a2×log a4＜0，得0＜a＜1，因此指数函数y＝a x(0＜a ＜1)的图像即可确定，而y＝log a|x|(0＜a＜1)的图像结合函数的奇偶性即可作出.答案：B8．(2010·天津市十二区县联考)已知函数y＝f(x)和y＝g(x)在[－2,2]的图像如下图所示，给出下列四个命题：①方程f[g(x)]＝0有且仅有6个根；②方程g[f(x)]＝0有且仅有3个根；③方程f[f(x)]＝0有且仅有5个根；④方程g[g(x)]＝0有且仅有4个根．其中正确的命题个数是( )A．4 B．3 C．2 D．1解析：由函数y＝f(x)在[－2,2]的图像可知，方程f(u)＝0有三个根，分别是u1＝0，u2∈(－2，－1)，u3∈(1,2)．由函数y＝g(x)的图像可知g(x)＝u i，i＝1,2,3均有两个根，所以(1)正确；同理方程g[f(x)]＝0有且仅有4个根，所以(2)错误；方程f[f(x)]＝0有且仅有5个根，所以(3)正确；方程g[g(x)]＝0有且仅有4个根，所以(4)正确，故选B.答案：B二、填空题9．已知直线y＝x＋m与函数y＝1－x2的图像有两个不同的交点，则实数m的取值范围是__________．解析：函数y＝1－x2的图像如下图所示，由图可知1≤m＜ 2.答案：1≤m＜ 210．当a＞1时，已知x1，x2分别是方程x＋a x＝－1和x＋log a x＝－1的解，则x1＋x2等于__________．解析：直接解方程很难，可以将方程变形为a x＝－1－x，log a x＝－1－x，转化为函数y＝a x，y ＝log a x ，y ＝－1－x 图像的交点．y ＝a x 与y ＝log a x 互为反函数且图像关于直线y ＝x 对称．又直线y ＝x 与直线y ＝－x －1互相垂直，故M 点为A ，B 的中点(如图)，∴x 1＋x 2＝2x M ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－x －1，得x ＝－12，∴x M ＝－12，∴x 1＋x 2＝－1.答案：－111．(2010·全国Ⅰ)若直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是__________．解析：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋a ，x ≥0，x 2＋x ＋a ，x ＜0，作出图像，如图所示．此曲线与y 轴交于(0，a )点，最小值为a －14，要使y ＝1与其有四个交点，只需a －14＜1＜a ，得1＜a ＜54.答案：1＜a ＜5412．已知f (x )是以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，且在[－1,3]内，关于x 的方程f (x )＝kx ＋k ＋1(k ∈R，k ≠－1)有四个根，则k 的取值范围是__________．解析：由题意，出f (x )在[－1,3]上的示意图如右：设y ＝k (x ＋1)＋1，∴y ＝k (x ＋1)＋1的图像过定点A (－1,1)．记B (2,0)，由图像知，方程有四个根，即函数y ＝f (x )与y ＝kx ＋k ＋1有四个交点，故k AB ＜k ＜0.∴－13＜k ＜0.答案：(－13，0)三、解答题13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5].(1)在如图给定的直角坐标系内，画出f (x )的图像；(2)写出f (x )的单调递增区间．解析：(1)函数f (x )的图像如图所示．(2)函数的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]．14．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，将y ＝f (x )的图像向左平移1个单位长度，再将图像上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y ＝g (x )的图像．(1)求g (x )的定义域；(2)令F (x )＝f (x －1)－g (x )，求F (x )的最大值．解析：(1)f (x )＝log 2(x ＋1)――→向左平移1个单位长度y ＝log 2(x ＋2)――→纵坐标伸长到原来的2倍y ＝2log 2(x ＋2)，即g (x )＝2log 2(x ＋2)，∴x ＋2＞0. ∴x ＞－2.∴定义域为(－2，＋∞)．(2)∵F (x )＝f (x －1)－g (x )＝log 2x －2log 2(x ＋2)＝log 2x x ＋22(x ＞0)＝log 2x x 2＋4x ＋4＝log 21x ＋4x＋4≤log 218＝－3，∴当x ＝2时，F (x )max ＝－3.15．已知函数f (x )＝|x －3|＋|x ＋1|. (1)作出y ＝f (x )的图像； (2)解不等式f (x )≤6.解析：(1)f (x )＝|x －3|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2x ≤－1，4 －1＜x ≤3，2x －2 x ＞3，图像如下图所示．(2)由f(x)≤6得，当x≤－1时，－2x＋2≤6，x≥－2，∴－2≤x≤－1；当－1＜x≤3时，4≤6成立；当x＞3时，2x－2≤6，x≤4，∴3＜x≤4.∴不等式f(x)≤6的解集为[－2,4]．另解(数形结合)：由下图可知，不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤4}．。

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