理论力学-虚位移原理PPT课件
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第十四章虚位移原理.ppt
非定常约束：约束方程中显含时间
y
x
v
y
vt
x
x y cot vt
固执约束：双面约束
非固执约束：单面约束
A
x
l
刚性杆
y
B
x2 y2 l2
A
x
l
绳子
y
B
x2 y2 l2
2、虚位移
（1）定义 在给定瞬时，质点或质点系在约束所允许的情况下， 可能发生的任何无限小的位移称为质点或质点系的虚位移。
纯滚动约束 δWN FR δrA FR 0 0
不可伸长柔索或轻质杆约束
A
δWN FNA δrA FNB δrB
FNA δrA FNA δrB 0
§14－2 虚位移原理
虚位移原理也称为虚功原理，指的是：
对于具有理想约束的质点系，其平衡的充要条件是：作用 于质系的主动力在质点系任一虚位移上所作虚功的和等于零。
满足此式，不论刚体、变形体还是质点系必定平衡。它 是质点系平衡的最普遍方程。所以，也称为静力学普遍方程。
应用虚位移原理的优越性：
1．应用范围广。既适用不变质点系，也适用可变质点系（包 括变形体）。在静力学里，建立的平衡条件，对于刚体的平 衡是必要和充分的，但对于变形体来说，就不一定总是充分 的。但变形体只要满足虚位移原理就一定平衡。它适用于任 意质点系。
即 δW 0
或
Fi δri 0
或
Fxiδxi Fyiδyi Fziδzi 0
原理推导
Fi FNi 0
Fi
Mi
FNi δri
FFi i δδririFFNiNi δrδi ri 0 0
对于理FFFFFi想ii iiF约δδδ iδδr束rriiirrF，δiiir有iF0Fd0NiirFidFNδirNrFiiFiδNNriδii0rδidr0iFri0Ni00d ri 0
第十四章理论力学PPT教学课件
2、运动分析：
虚位移（按虚
速度对应法分析）；
rrBA
BP AP
3、建立动力学关系：虚位移原理；
F A δrAF B δrB0
4、求解：
FAFBtan
2020/12/12
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例14-2
已知：如图所示曲柄压榨机构中，M=50Nm，
OA=r，
BD=DC=ED=l， ； A
若杆重均不计、
B
忽略各处摩擦， E
W F r
（2）集中力偶的虚功： W M
2）约束力：
（1）光滑面、光滑铰链、固定端等约束力的功：
2020/12/12
s
F
做功均为零；
8
（2）滑动摩擦力的功： A、静滑动摩擦力的功：为零； 如：只滚不滑；
Fs
B、动滑动摩擦力的功：不为零； 4、理想约束：
1）做功为零的约束称为理想约束：光滑面、光滑铰 链、静滑动摩擦力等；
且机构在图示 求位：置求平压衡榨.力 P。
o M
D C
P
2020/12/12
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PPT教学课件
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15
第十四章 虚位移原理
虚位移原理 一种用动力学的原理求解静 力学问题的方法；
§14-1 约束 · 虚位移 · 虚功
一、几个基本概念：
1、自由度：空间物体在三维空间内自由运 动的程度；
2、完全自由的物体在三维空间内的自由度：
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1
完全自由的物体在空间可以沿三根独立的坐标
轴做移动运动、同时还可以绕三根坐标轴做转动运
故，非完全自由的物体的自由度为：6-约 束方程的个数。
理论力学虚位移原理 ppt课件
虚位移原理
虚位移原理——建立独立于牛顿力学体系的质点系平衡条件。
牛顿力学体系——矢量力学。描述的力学量都用矢量表示 如：矢径，速度，加速度，角速度， 角加速度，力，力偶等。 分析力学体系——标量力学。描述的物理量为标量。如广义坐标， 能量，功等。
虚位移原理以分析力学为基础，建立系统平衡的充要条件， 比牛顿力学建立的平衡条件具有更广泛的意义。 本章仅仅阐述虚位移原理在求解静力平衡问题中的应用。事实 上，虚位移原理建立的平衡准则还应用于动力学建立质点系统运动 与受力的关系、固体力学中物体变形的分析等。
2 2 2 2
1
M 1 ( x1 , y1 , z1 )
M 2 ( x2 , y 2 , z 2 )
z2 0
系统自由度 k 3 2 4 2 取广义坐标
2
X
质点的直角坐标:
x1 l1 cos1 y1 l1 sin 1
1 , 2
x2 l1 cos1 l2 cos(1 2 )
B
v f ( x, t )
0 当v=0时，约束方程 x
或
xA
当v=C（常数）时，约束方程
C x
或 x Ct A
当v=f（x，t）不可积分函数时，约束方程
f ( x, t ) x
PPT课件 5
约束的分类
几何约束：只限制质点的几何位置的约束。 运动约束：约束方程包含质点坐标（对时间）的导数。
自由度数 k 3 2 1 5
广义坐标，取
x1 , y1 , z1 , ,
PPT课件
8
一般地，具有n个质点的系统中每一个质点用矢径表示为
ri ri (q1 , q2 , , qk )
虚位移原理——建立独立于牛顿力学体系的质点系平衡条件。
牛顿力学体系——矢量力学。描述的力学量都用矢量表示 如：矢径，速度，加速度，角速度， 角加速度，力，力偶等。 分析力学体系——标量力学。描述的物理量为标量。如广义坐标， 能量，功等。
虚位移原理以分析力学为基础，建立系统平衡的充要条件， 比牛顿力学建立的平衡条件具有更广泛的意义。 本章仅仅阐述虚位移原理在求解静力平衡问题中的应用。事实 上，虚位移原理建立的平衡准则还应用于动力学建立质点系统运动 与受力的关系、固体力学中物体变形的分析等。
2 2 2 2
1
M 1 ( x1 , y1 , z1 )
M 2 ( x2 , y 2 , z 2 )
z2 0
系统自由度 k 3 2 4 2 取广义坐标
2
X
质点的直角坐标:
x1 l1 cos1 y1 l1 sin 1
1 , 2
x2 l1 cos1 l2 cos(1 2 )
B
v f ( x, t )
0 当v=0时，约束方程 x
或
xA
当v=C（常数）时，约束方程
C x
或 x Ct A
当v=f（x，t）不可积分函数时，约束方程
f ( x, t ) x
PPT课件 5
约束的分类
几何约束：只限制质点的几何位置的约束。 运动约束：约束方程包含质点坐标（对时间）的导数。
自由度数 k 3 2 1 5
广义坐标，取
x1 , y1 , z1 , ,
PPT课件
8
一般地，具有n个质点的系统中每一个质点用矢径表示为
ri ri (q1 , q2 , , qk )
《虚位移原理》课件
05
虚位移原理的局限性
刚体假设的局限性
刚体假设忽略了物体的形变，这在许多实 际情况下是不适用的。
对于弹性体或流体等需要考虑形变的场合 ，刚体假设可能导致误差。
刚体假设限制了虚位移原理的应用范围， 只能用于分析刚体系统的平衡问题。
虚位移假设的局限性
1
虚位移是指不会引起外力矩的位移，但实际系统 中往往存在摩擦力、粘滞力等阻力，这些阻力可 能阻碍虚位移的发生。
展望
学科发展动态
介绍与《虚位移原理》相关的学
科发展动态，如最新研究成果、
学术热点等。
01
应用前景
02 探讨《虚位移原理》在未来的应
用前景，如工程领域、科学研究
等。
学习方法建议
针对《虚位移原理》的学习，给
出进一步深入学习的方法和建议
03
。
互动与交流
04 鼓励学习者之间以及学习者与教
师之间的互动与交流，共同促进优设计等。动力学问题中的虚位移原理
在动力学问题中，虚位移原理可 以用来研究物体的运动规律和受
力情况。
通过分析物体的受力情况和虚位 移，可以计算物体的加速度和速 度，进一步了解物体的运动规律
。
动力学问题中的虚位移原理在航 天工程、车辆工程、机器人等领 域有着广泛的应用，如卫星轨道
计算、车辆动力学分析等。
虚位移原理的应用场景
机械系统
在机械系统中，如机器、 机构等，当分析其平衡状 态时，可以利用虚位移原
理来计算约束反力。
建筑结构
在建筑结构中，如桥梁、 高层建筑等，当分析其静 力平衡时，可以利用虚位 移原理来计算内力和位移
。
化学反应
在化学反应中，当分析反 应平衡时，可以利用虚位 移原理来计算反应热和反
理论力学PPT课件第8章 虚位移原理与能量法共83页
2020/4/19
6
几何静力学存在的缺陷：
2020/4/19
1. 对可变系，必要非充分 2. 拆开研究，未知力多
7
虚位移原理的基本思想：
F1 a
F2 b
o
几何静力学的平衡方程
MO 0
F1aF2b0
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8
F1
a
b
F2
o
功能原理的方程
d T d W F 1 a F 2 b 0
i1,2,,3n(质 点 数 ） fj (xi，t) 0
j1,2,,s(约 束 数 )
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定常约束的例子——单摆
x2 + y2 = l2
约束方程中不显含时间t.
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非定常约束的例子——偏心转子的周期运动
如果已知转子的转动规律(例如以等角速度 旋转)，
这种转动规律就是对系统的约束，约束方程为：
F 1 a F 2 b 0
0 F1aF2b0
利用动能定理可以得到与几何静力学完全相同的平衡条件。
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9
§ 8.1 约束及其分类
一. 位形空间与约束 质点系内各质点的 3n个坐标的集合，定义为质点系的位形。
建立抽象的3n维正交欧氏空间（x1,x2, …x3n), 称为 质点系的位形空间。
虚位移原理研究受约束的质点、质点系、刚体、 刚体系统在力系作用下的平衡规律。是研究非自由质 点系平衡问题的最一般的原理，又称分析静力学。
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2
几何静力学存在的缺陷：
F
E
γ L2
W
B L3 C W3
M W2
L1 αA
虚位移原理1-39页PPT精品文档
F1aF2b0 （a）
s1a tgs2btg
F1与F2在相应位移上的功之和：
F1S1F2S2 0
（b）
（b）
条件（a）和条件（b）是等价的
猜想： 力平衡条件
虚位移
虚功
力在微小位移中所作的功来建立
虚位移原理
虚位移原理
用动力学方法建立受约束质点系平衡条件
由 伯 努 利（Bornoulli，1717)提出的 由 拉格朗日（Lagrange，1764)完善的
(c)FNi 0即约束点上约束力的合力为零，如铰链连接；
(d)
n
FNi
ri
0即虚功之和即为零。如连接两质点的无重刚性杆。
i1
二、虚位移原理（虚功原理）
具有双侧、定常、理想约束的质点系，在给定位置平衡的充要 条件是：所有主动力在质点系任何虚位移中的元功之和等于零。
w n Fi ri 0
f j x 1 ,y 1 , z 1 , , x n ,y n , z n , x 1 ,y 1 , z 1 , , x n ,y n , z n , t 0
j1,2,,s s为系统中的约束数目
5、应用实例 1.单面非完整约束应用实例---齿轮啮合 2.单面非完整约束应用实例---摩擦系统 3.单面几何约束应用实例----悬挂结构
i1
n
w (F xixiF yiyiF zizi)0 —解析式
i 1
证明：
（1）必要性
Fi FNi0
命题：如质点系平衡，则上式成立。
（ F iF N ） i r i 0
n(F i F N )i r inF ir inF Nir i 0
理论力学--虚位移原理 ppt课件
用类似求微分的方法求虚位移的投影：
zi zi (q1, q2 , , qk )
xi
xi q1
q1
xi q2
q2
xi qk
qk
yi
yi q1
q1
yi q2
q2
yi qk
qk
zi
zi q1
q1
zi q2
q2
完整、双面、定常约束
r FRi
r ri
0
质点开始运动
r Fi
rri
r FNi
rri
0
因
r FNi
问题：具有理想约束的质点系， 在给定位置保持平衡，则所 有主动力在系统的任何虚位移上所作的虚功之和是多少？
平衡时主动力的虚功
rr
之和为零
平衡：Fi FNi 0 (i 1,L , n)
n
r (Fi
r FNi
)
•
r ri
0
i 1
r ri
r Fi
i
n
r Fi
•
r ri
n
r FNi
研究 该平衡问题
图示杠杆平衡，求F1与F2关系
平衡条件：
MC(F) 0
F1a F2b 0 （a）
能否研究诸力做功，而得到平衡条件？
动力学分析方法
构造“功”：假定系统运动了微小角度
则： s1 a tan
s2 b tan
1
F a F b 0 （a）
理论力学PPT课件第8章虚位移原理与能量法
理论力学ppt课件第8章虚位移原理与能量法
目录
虚位移原理 能量法 拉格朗日方程 哈密顿原理 最小作用量原理
01
CHAPTER
虚位移原理
03
与实际位移的区别
实际位移会改变系统的能量和状态，而虚位移不会。
01
虚位移
系统在平衡状态下的一种假设的、微小的位移，不改变系统的内能。
02
特点
虚位移是约束允许的、可以无限接近的、无穷小且不改变系统能量的位移。
虚位移概念
虚位移原理
对于一个处于平衡状态的完整系统，所有主动力在虚位移上所做的功之和等于零。
表述公式
$ΣF_{i}δr_{i} = 0$
解释
该公式表示系统在平衡状态下，主动力在任意虚位移上所做的功之和为零。
虚位移原理的表述
判断系统平衡状态
通过计算主动力在虚位移上所做的功之和，如果结果为零，则系统处于平衡状态。
哈密顿量是系统的总动能和总势能之和，加上约束条件的势能。
该原理适用于完整约束和非完整约束系统，是经典力学中最基本的原理之一。
哈密顿原理的表述
哈密顿原理与拉格朗日方程的关系
01
哈密顿原理和拉格朗日方程是经典力学中两个重要的基本原理，它们之间存在密切的联系。
02
拉格朗日方程是从哈密顿原理推导出来的，描述了系统运动状态随时间的变化规律。
哈密顿原理是更一般的原理，可以推导出拉格朗日方程，也可以推导出其他形式的运动方程。
03
哈密顿原理在经典力学中有着广泛的应用，例如在分析力学、振动分析、稳定性分析等领域。
在振动分析中，哈密顿原理可以用来描述振动系统的能量分布和传播规律。
哈密顿原理的应用实例
在分析力学中，哈密顿原理可以用来求解约束系统的运动轨迹和运动状态。
目录
虚位移原理 能量法 拉格朗日方程 哈密顿原理 最小作用量原理
01
CHAPTER
虚位移原理
03
与实际位移的区别
实际位移会改变系统的能量和状态，而虚位移不会。
01
虚位移
系统在平衡状态下的一种假设的、微小的位移，不改变系统的内能。
02
特点
虚位移是约束允许的、可以无限接近的、无穷小且不改变系统能量的位移。
虚位移概念
虚位移原理
对于一个处于平衡状态的完整系统，所有主动力在虚位移上所做的功之和等于零。
表述公式
$ΣF_{i}δr_{i} = 0$
解释
该公式表示系统在平衡状态下，主动力在任意虚位移上所做的功之和为零。
虚位移原理的表述
判断系统平衡状态
通过计算主动力在虚位移上所做的功之和，如果结果为零，则系统处于平衡状态。
哈密顿量是系统的总动能和总势能之和，加上约束条件的势能。
该原理适用于完整约束和非完整约束系统，是经典力学中最基本的原理之一。
哈密顿原理的表述
哈密顿原理与拉格朗日方程的关系
01
哈密顿原理和拉格朗日方程是经典力学中两个重要的基本原理，它们之间存在密切的联系。
02
拉格朗日方程是从哈密顿原理推导出来的，描述了系统运动状态随时间的变化规律。
哈密顿原理是更一般的原理，可以推导出拉格朗日方程，也可以推导出其他形式的运动方程。
03
哈密顿原理在经典力学中有着广泛的应用，例如在分析力学、振动分析、稳定性分析等领域。
在振动分析中，哈密顿原理可以用来描述振动系统的能量分布和传播规律。
哈密顿原理的应用实例
在分析力学中，哈密顿原理可以用来求解约束系统的运动轨迹和运动状态。
理论力学第十六章虚位移原理优秀课件
Fi + FNi = 0 Fi · ri + FNi · ri =0 ∑Fi · ri + ∑FNi · ri = 0 理想约束 ∑FNi · ri = 0
∑Fi · ri = 0
Fi mi FNi
ri
m2
m1
Fi ——主动力 FNi——约束反力 ri——虚位移
§16-4 虚位移原理
∑Fi · ri = 0
dr ——实位移 r ——虚位移
M dre
dr
r
M1
2. 虚 功
质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功——虚功。
W = F· r W = M·
3. 理想约束
质点或质点系的约束反力在虚位移上所作的虚功等于零，我 们把这种约束系统称为理想约束。
∑FNi · ri = 0
§16-4 虚位移原理
例 题 1 已知：OA=r , AB=l, 不计各杆质量。
求： 平衡时F与M 间的关系。
rA
解： 取系统为研究对象
A
∑Fi · ri = 0
M
O
WF M FrB 0
由运动学关系可知： rA rB
rA
r
rB
F
B
WF
M
FrB
(M r
F )rA
0
F M /r
例 题2
已知：菱形边长为 a , 螺距为 h，顶角为 2 ，主动力偶为 M.
令系统有任意一组虚位移
系统的总虚功为
δ ri (i 1,2,,n)
(Fi FNi miai ) δri 0
i
(i 1,2,, n)
(Fi FNi miai ) δri 0
i
利用理想约束条件
虚位移原理 哈工大理论力学课件
C M3
B
M2
D
M
A
解：
3
C
M 3 rC
3
Fs B 2 M 2
rC
M
r
A
虚功方程
－Fs rC cos 45 M M 22 M33 0
虚位移之间的关系 2 R＝ 2R rC＝ 4R
rC r 3 R 3R 3 R
Fs
2 4R
(M
M2)
虚位移原理习题课
一、求主动力之间的关系
FBx(2l sin k0l cos k03l cos F3l cos 0
解得
FBx
3 2
F
cot
k 0
cot
例15-3
已知：如图所示椭圆规机构中,连杆AB长为l,滑块Ａ,Ｂ与杆
重均不计,忽略各处摩擦,机构在图示位置平衡.
求：主动力FA与FB 之间的关系。
解:
(1)
给虚位移
rA, rB ,
Fi ri 0
由
FA rA
FBrB
0
rB cos rA sin ( rA, rB 在
A
,B
连线上投影相等)
代入虚功方程,有
FA rB cot FB rB
即 FA FB tan
——直接法（几何法）
(2) 用解析法. 建立坐标系如图.
Fxi xi Fyi yi Fzi zi 0
WN WNi FNi ri 0
光滑固定面约束、光滑铰链、无重刚杆，不可伸长 的柔索、固定端、轮子只滚不滑等约束为理想约束.
§ 15-2 虚位移原理
设质点系处于平衡,有
Fi FNi 0
即
Fi
ri
FNi
ri
B
M2
D
M
A
解：
3
C
M 3 rC
3
Fs B 2 M 2
rC
M
r
A
虚功方程
－Fs rC cos 45 M M 22 M33 0
虚位移之间的关系 2 R＝ 2R rC＝ 4R
rC r 3 R 3R 3 R
Fs
2 4R
(M
M2)
虚位移原理习题课
一、求主动力之间的关系
FBx(2l sin k0l cos k03l cos F3l cos 0
解得
FBx
3 2
F
cot
k 0
cot
例15-3
已知：如图所示椭圆规机构中,连杆AB长为l,滑块Ａ,Ｂ与杆
重均不计,忽略各处摩擦,机构在图示位置平衡.
求：主动力FA与FB 之间的关系。
解:
(1)
给虚位移
rA, rB ,
Fi ri 0
由
FA rA
FBrB
0
rB cos rA sin ( rA, rB 在
A
,B
连线上投影相等)
代入虚功方程,有
FA rB cot FB rB
即 FA FB tan
——直接法（几何法）
(2) 用解析法. 建立坐标系如图.
Fxi xi Fyi yi Fzi zi 0
WN WNi FNi ri 0
光滑固定面约束、光滑铰链、无重刚杆，不可伸长 的柔索、固定端、轮子只滚不滑等约束为理想约束.
§ 15-2 虚位移原理
设质点系处于平衡,有
Fi FNi 0
即
Fi
ri
FNi
ri
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1. 完整约束和非完整约束
y
A
完整约束
约束方程：
x
yA r
xA r
约束类型
第六章 虚位移原理
§6-2 约束和约束方程
约束类型
1. 完整约束和非完整约束
约束方程：
x r( s ic n o s s i)n 0
y r( s is n in c o) s0
非完整约束
x，y、z 为球心坐标。 θ、φ、ψ 为欧拉角。
可能位移 — 约束允许的位移，用Δr表示，它只需满足约束 条件。 虚位移也可表述为：
定常约束情况下的可能位移，非定常情况下假想约束
“冻结”时的可能位移，用r表示。
以后我们改称系统的位置为位形。
第六章 虚位移原理
§6-2 约束和约束方程
约束实例
曲面
图示质点A在曲面上运动，质点A的约束方程就是曲面的 曲面方程：
z
f(x,y,z)0
A（x, y, z)
z
y
x
x
y
第六章 虚位移原理
§6-2 约束和约束方程
约束类型
三、约束的类型
按照约束对质点系运动限制的不同情况，可将约束分类如下：
1.完整约束和非完整约束
其约束方程的一般形式为
zn;x 1 ,y 1 ,z 1 ,..x .n,;y n,z n;t)0 (j1,2,...s,)
式中n为系统中质点的个数，s为约束方程的数目。
●显含坐标对时间的导数的约束方程是微分方程，如果这方程不可积分 成有限形式，则相应的约束称为非完整约束（或非全定约束）只要质点系 中存在一个非完整约束，这个系统便称为非完整系统。
一、约束 对非自由质点系的位置、速度之间预先加入的
限制条件，称为约束。 二、约束方程
约束对质点系运动的限制可以通过质点系中各质 点的坐标和速度以及时间的数学方程来表示。这种方 程称为约束方程。
第六章 虚位移原理
§6-2 约束和约束方程
约束实例
球面摆
点M被限制在以固定点O为球 y 心、l为半径的球面上运动。 如取固定参考系Oxyz，则点M的
动力学
虚位移原理
西北工业大学 支希哲 朱西平 侯美丽
第六章 虚位移原理
动力学
第 六 章
虚 位 移 原 理
第理六论章力学虚位移原理
§6–1 概 述 §6–2 约束和约束方程 §6–3 虚位移·自由度 §6–4 虚功·理想约束 §6–5 虚位移原理 §6– 6 广义坐标·广义坐标形式的
虚位移原理
目录
§6-1 概 述
第六章 虚位移原理
§6-1 概 述
虚位移原理是质点系静力学的普遍原理，它将 给出任意质点系平衡的充要条件，这和刚体静力学 的平衡条件不同，在那里给出的刚体平衡的充要条 件，对于任意质点系的平衡来说只是必要的，但并 不是充分的（参阅刚化原理）。
第六章 虚位移原理
§6-1 概 述
非自由质点系的平衡，可以理解为主动力通过约束的 平衡。约束的作用在于：
而虚位移原理则将利用后一种情况，他通过主动力在 约束所许可的位移上的表现（通过功的形式）来给出质点 系的平衡条件。
因此，在虚位移原理中，首先要研究加在质点系上的 各种约束，以及约束所许可的位移的普遍性质。
第六章 虚位移原理
§6-2 约束和约束方程
约束与约束方程 约束的类型
第六章 虚位移原理
§6-2 约束和约束方程
●如果约束方程可以积分成有限形式，则这样的约束称为完整约束。方 程中不显含坐标对时间的导数的约束为几何约束。当然，几何约束也属于 完整约束。几何约束的一般形式为：
fj(x 1 ,y 1 ,z 1 ;.x .n ,.y n ;,z n ;t) 0 (j1,2,..s.),
第六章 虚位移原理
§6-2 约束和约束方程
约束类型
● 由不等式表示的约束称为单面约束（或可离约束）。
x2y2z2l2
● 由等式表示出的约束称为双面约束（或不可离约束）。
第六章 虚位移原理
§6-2 约束和约束方程
约束类型
3．双面约束和单面约束
x2y2z2l2
第六章 虚位移原理
双面约束
§6-2 约束和约束方程
约束类型
3．双面约束和单面约束
x2y2z2l2
第六章 虚位移原理
单面约束
§6-3 虚位移·自由度
虚位移 自由度
第六章 虚位移原理
§6-3 虚位移·自由度
虚位移
一、虚位移
质点或质点系在给定瞬时不破坏约束而为约束所许可 的任何微小位移，称为质点或质点系的虚位移。
真实位移 —实际发生的位移，用dr表示，它同时满足动力学 方程、初始条件和约束条件。
一方面阻挡了受约束的物体沿某些方向的位移，这时该 物体受到约束反力的作用；而另一方面，约束也容许物体 有可能沿另一些方向获得位移。
当质点系平衡时，主动力与约束反力之间，以及主动 力与约束所许可位移之间，都存在着一定的关系。这两种 关系都可以作为质点系平衡的判据。
第六章 虚位移原理
§6-1 概 述
刚体静力学利用了前一种情况，通过主动力和约束力 之间的关系表出刚体的平衡条件。
坐标x，y，z满足方程
x2y2z2l2
这就是加于球面摆的约束方程。
x φ
o
θl
z
M
第六章 虚位移原理
§6-2 约束和约束方程
约束实例
曲柄连杆机构
y
这个质点系的约束方程可表示成
xA 2yA 2 r2
(x B x A )2 (y B y A )2 l2
A
r
l
B
Oφ
x
yB 0
式中xA，yA和xB，yB分别为A，B两点的直角坐标。上述方程表明这四 个坐标并非都独立。可以消去其中的某三个，从而只剩下一个独立坐标， 这一坐标完全确定了此质点系的位置。
(j1,2,..,.s)
● 如果约束方程中含时间t，这种约束称为非定常约束或不 稳定约束。
第六章 虚位移原理
§6-2 约束和约束方程
约束类型
2.定常约束和非定常约束
x2 y2 l02
x 2y 2 (l vt)2
0
0
定常约束
第六章 虚位移原理
非定常约束
§6-2 约束和约束方程
3．双面约束和单面约束
第六章 虚位移原理
§6-2 约束和约束方程
1. 完整约束和非完整约束
约束类型
第六章 虚位移原理
非完整约束
§6-2 约束和约束方程
约束类型
2.定常约束和非定常约束
● 如果约束方程中不含时间t，这种约束称为定常约束或稳 定约束。
定常约束一般形式为
fj(x1, y1,z1;...xn;,yn,zn;x 1,y 1,z 1,..xn.,y;n,zn;)0
y
A
完整约束
约束方程：
x
yA r
xA r
约束类型
第六章 虚位移原理
§6-2 约束和约束方程
约束类型
1. 完整约束和非完整约束
约束方程：
x r( s ic n o s s i)n 0
y r( s is n in c o) s0
非完整约束
x，y、z 为球心坐标。 θ、φ、ψ 为欧拉角。
可能位移 — 约束允许的位移，用Δr表示，它只需满足约束 条件。 虚位移也可表述为：
定常约束情况下的可能位移，非定常情况下假想约束
“冻结”时的可能位移，用r表示。
以后我们改称系统的位置为位形。
第六章 虚位移原理
§6-2 约束和约束方程
约束实例
曲面
图示质点A在曲面上运动，质点A的约束方程就是曲面的 曲面方程：
z
f(x,y,z)0
A（x, y, z)
z
y
x
x
y
第六章 虚位移原理
§6-2 约束和约束方程
约束类型
三、约束的类型
按照约束对质点系运动限制的不同情况，可将约束分类如下：
1.完整约束和非完整约束
其约束方程的一般形式为
zn;x 1 ,y 1 ,z 1 ,..x .n,;y n,z n;t)0 (j1,2,...s,)
式中n为系统中质点的个数，s为约束方程的数目。
●显含坐标对时间的导数的约束方程是微分方程，如果这方程不可积分 成有限形式，则相应的约束称为非完整约束（或非全定约束）只要质点系 中存在一个非完整约束，这个系统便称为非完整系统。
一、约束 对非自由质点系的位置、速度之间预先加入的
限制条件，称为约束。 二、约束方程
约束对质点系运动的限制可以通过质点系中各质 点的坐标和速度以及时间的数学方程来表示。这种方 程称为约束方程。
第六章 虚位移原理
§6-2 约束和约束方程
约束实例
球面摆
点M被限制在以固定点O为球 y 心、l为半径的球面上运动。 如取固定参考系Oxyz，则点M的
动力学
虚位移原理
西北工业大学 支希哲 朱西平 侯美丽
第六章 虚位移原理
动力学
第 六 章
虚 位 移 原 理
第理六论章力学虚位移原理
§6–1 概 述 §6–2 约束和约束方程 §6–3 虚位移·自由度 §6–4 虚功·理想约束 §6–5 虚位移原理 §6– 6 广义坐标·广义坐标形式的
虚位移原理
目录
§6-1 概 述
第六章 虚位移原理
§6-1 概 述
虚位移原理是质点系静力学的普遍原理，它将 给出任意质点系平衡的充要条件，这和刚体静力学 的平衡条件不同，在那里给出的刚体平衡的充要条 件，对于任意质点系的平衡来说只是必要的，但并 不是充分的（参阅刚化原理）。
第六章 虚位移原理
§6-1 概 述
非自由质点系的平衡，可以理解为主动力通过约束的 平衡。约束的作用在于：
而虚位移原理则将利用后一种情况，他通过主动力在 约束所许可的位移上的表现（通过功的形式）来给出质点 系的平衡条件。
因此，在虚位移原理中，首先要研究加在质点系上的 各种约束，以及约束所许可的位移的普遍性质。
第六章 虚位移原理
§6-2 约束和约束方程
约束与约束方程 约束的类型
第六章 虚位移原理
§6-2 约束和约束方程
●如果约束方程可以积分成有限形式，则这样的约束称为完整约束。方 程中不显含坐标对时间的导数的约束为几何约束。当然，几何约束也属于 完整约束。几何约束的一般形式为：
fj(x 1 ,y 1 ,z 1 ;.x .n ,.y n ;,z n ;t) 0 (j1,2,..s.),
第六章 虚位移原理
§6-2 约束和约束方程
约束类型
● 由不等式表示的约束称为单面约束（或可离约束）。
x2y2z2l2
● 由等式表示出的约束称为双面约束（或不可离约束）。
第六章 虚位移原理
§6-2 约束和约束方程
约束类型
3．双面约束和单面约束
x2y2z2l2
第六章 虚位移原理
双面约束
§6-2 约束和约束方程
约束类型
3．双面约束和单面约束
x2y2z2l2
第六章 虚位移原理
单面约束
§6-3 虚位移·自由度
虚位移 自由度
第六章 虚位移原理
§6-3 虚位移·自由度
虚位移
一、虚位移
质点或质点系在给定瞬时不破坏约束而为约束所许可 的任何微小位移，称为质点或质点系的虚位移。
真实位移 —实际发生的位移，用dr表示，它同时满足动力学 方程、初始条件和约束条件。
一方面阻挡了受约束的物体沿某些方向的位移，这时该 物体受到约束反力的作用；而另一方面，约束也容许物体 有可能沿另一些方向获得位移。
当质点系平衡时，主动力与约束反力之间，以及主动 力与约束所许可位移之间，都存在着一定的关系。这两种 关系都可以作为质点系平衡的判据。
第六章 虚位移原理
§6-1 概 述
刚体静力学利用了前一种情况，通过主动力和约束力 之间的关系表出刚体的平衡条件。
坐标x，y，z满足方程
x2y2z2l2
这就是加于球面摆的约束方程。
x φ
o
θl
z
M
第六章 虚位移原理
§6-2 约束和约束方程
约束实例
曲柄连杆机构
y
这个质点系的约束方程可表示成
xA 2yA 2 r2
(x B x A )2 (y B y A )2 l2
A
r
l
B
Oφ
x
yB 0
式中xA，yA和xB，yB分别为A，B两点的直角坐标。上述方程表明这四 个坐标并非都独立。可以消去其中的某三个，从而只剩下一个独立坐标， 这一坐标完全确定了此质点系的位置。
(j1,2,..,.s)
● 如果约束方程中含时间t，这种约束称为非定常约束或不 稳定约束。
第六章 虚位移原理
§6-2 约束和约束方程
约束类型
2.定常约束和非定常约束
x2 y2 l02
x 2y 2 (l vt)2
0
0
定常约束
第六章 虚位移原理
非定常约束
§6-2 约束和约束方程
3．双面约束和单面约束
第六章 虚位移原理
§6-2 约束和约束方程
1. 完整约束和非完整约束
约束类型
第六章 虚位移原理
非完整约束
§6-2 约束和约束方程
约束类型
2.定常约束和非定常约束
● 如果约束方程中不含时间t，这种约束称为定常约束或稳 定约束。
定常约束一般形式为
fj(x1, y1,z1;...xn;,yn,zn;x 1,y 1,z 1,..xn.,y;n,zn;)0