第二章 统计学基础回顾

分布的加法定理。 关于 χ 2 分布的加法定理。设 X 1, X 2, L, Xk 是相互 独立的随机变量， 独立的随机变量，且 Xi ~ χ 2 ( n), i = 1, 2, L , k ，则
Xi ~ χ 2 (n1 + n 2 + L + nk ) ∑
i =1
k
分布与N 分布与N（0，1）分布之间有如下关系：设 分布之间有如下关系： X 1, X 2,L, Xn 是相互独立的随机变量，并且 是相互独立的随机变量， Xi ~ N (0,1), i = 1, 2,L, n ，则
三、变异系数 如果两组数据的计量单位相同， 如果两组数据的计量单位相同，且均 值一样， 值一样，可以利用标准差来比较两组数据 的离散程度。但是两组数据的计量单位不 的离散程度。但是两组数据的计量单位不 同或均值不同时， 同或均值不同时，就不能直接比较两组数 据的标准差来分析两组数据的离散程度。 据的标准差来分析两组数据的离散程度。 由此引入变异系数V： 由此引入变异系数 ：
−∞ < x < ∞
式中， 为随机变量X的均值 的均值； 式中，µ 为随机变量 的均值；σ 2 为随机变量 X的方差。 的方差。 的方差 µ ，方差为 σ 2 的正态 通常对具体均值为 概率分布，记为N( 概率分布，记为 µ , σ 2)。 。 一般来说，正态分布的密度曲线是以 µ 一般来说， 为中心， 的两侧呈对称的形状， 为中心，在 µ 的两侧呈对称的形状，曲线的 形状像一个钟的剖面，故称为钟形曲线。 形状像一个钟的剖面，故称为钟形曲线。σ 越大，密度曲线的峰度越低； 越小， 越大，密度曲线的峰度越低； 越小，密度曲 σ 线的峰度越高。 取何值， 线的峰度越高。无论参数 µ 和 σ 取何值，密 度曲线下所覆盖的面积均等于1。 度曲线下所覆盖的面积均等于 。正态分布的 密度曲线见图2-4（ 密度曲线见图 （P19）。 ）。 µ σ µ σ 正态分布曲线下， 正态分布曲线下，位于 µ ±σ ， ±2 ， ±3 之间的面积分别约占总面积68.26%,95.45% 之间的面积分别约占总面积 和99.73%，如图 （P20）所示。 ，如图2-5（ ）所示。
样本方差为 样本方差为：
2
1 S = ∑(xi −x) n−1 i=1
n
2
样本标准差为 样本标准差为：
S=
1 ∑ ( xi − x) n − 1 i =1
n
2
例如：有两组数据（ ， ， ， ， ） 例如：有两组数据（4，6，8，10，12） （6，7，8，9，10 ） ， ， ， ，
都是8，说明两组数据都是以8为中 它们的均值 x 都是 ，说明两组数据都是以 为中 计算可知， 心。计算可知，第一组数据的方差比第二组的要 说明第一组数据相对均值8来说比较分散 来说比较分散， 大，说明第一组数据相对均值 来说比较分散， 而第二组数据相对均值8来说比较集中 来说比较集中。 而第二组数据相对均值 来说比较集中。 需要注意的是：方差带单位没有意义， 需要注意的是：方差带单位没有意义，标准 差带上单位才有实际意义。 差带上单位才有实际意义。
S V = X
例如：两组数据（ ， ， ， ， ） 例如：两组数据（4，5，6，7，8）与 （40，50，60，70，80）的标准差分别是 ， ， ， ， ） 1.58和15.8，如果仅从标准差来看显然第 和 ， 二组数据分散程度较大。 二组数据分散程度较大。但是由于两组数 据的均值不同，分别为6和 ， 据的均值不同，分别为 和60，单纯由标准 差来判断数据的分散程度就不合适。 差来判断数据的分散程度就不合适。 当我们计算出两组数据的变异系数时， 当我们计算出两组数据的变异系数时， 得到V都是 得到 都是0.26.比较而言，两组数据的分 比较而言， 都是 比较而言 散程度就是相同的了。 散程度就是相同的了。
χ
2
∑X
i =1
n
2 i
~ χ ( n)
2
三、t分布
相互独立， 设 X ~ N (0,1), Y ~ χ 2 (n) ,X与Y相互独立，则随机 与 相互独立 变量
X t= Y /n
遵从n个自由度的 分布 遵从 个自由度的t分布，记为 个自由度的 分布，
X t= ~ t ( n) Y /n
t分布的数学期望和方差如下： 分布的数学期望和方差如下： 分布的数学期望和方差如下 当n>2时 时
一、总体与样本 1.总体：在一个统计问题中，通常把所要调 总体： 总体 在一个统计问题中， 查研究的事物及现象的全体称为总体。 查研究的事物及现象的全体称为总体。 2.个体：把组成总体的每个元素（成员）称 个体： 个体 把组成总体的每个元素（成员） 为个体。 为个体。 3.总体的容量：一个总体中所含的个体的数 总体的容量： 总体的容量 量称为总体的容量。 量称为总体的容量。 例如： 例如：要研究某城市居民的家庭收入 状况， 状况，那么这个城市所有家庭的收入状况 是研究的总体， 是研究的总体，而每个家庭的收入状况就 是个体。 是个体。
二、统计量 通过抽样或查统计年鉴得到的原始数据， 通过抽样或查统计年鉴得到的原始数据， 一般是杂乱无章的， 一般是杂乱无章的，很难从中直接看出有 价值的东西。因此， 价值的东西。因此，需要对原始数据进行 整理。画原始数据的散点图、饼图、直方 整理。画原始数据的散点图、饼图、 图等方法是直观表达数据的常见方式。 图等方法是直观表达数据的常见方式。统 计学中最主要的提取信息方式就是对原始 数据进行一定的运算，以算出某些代表性 数据进行一定的运算， 的数字。 的数字。 用以反映出数据某些方面的特征， 用以反映出数据某些方面的特征，这 种数字被称为统计量。用统计学语言表述 种数字被称为统计量。 就是：统计量是样本的函数， 就是：统计量是样本的函数，它不依赖任 何未知参数。 何未知参数。
二 、χ 分布
2
如果从标准正态分布N(0，1)的总体中 ， 的总体中 如果从标准正态分布 得 2 到的n个随机变量分别为 到的 个随机变量分别为 1,X2,…..XN时，则 xi 2 个随机变量分别为X ∑ χ 由 2 X ~ χ ( n) 得到的分布叫做自由度为n的 分布， 得到的分布叫做自由度为 的 分布， 记为 其数学期望和方差分别为： 其数学期望和方差分别为： E（X）=n，D(X)=2n （ ） ， 分布的概率密度曲线见图2-6。（ 。（p21） 分布的概率密度曲线见图 。（ ）
4.抽样：为了推断总体的某些特征，需要从 抽样：为了推断总体的某些特征， 抽样 总体中按一定的抽样技术抽取若干个体， 总体中按一定的抽样技术抽取若干个体， 将这一抽取过程称为抽样。 将这一抽取过程称为抽样。 样本： 5.样本：所抽取的部分个体称为样本。 样本 所抽取的部分个体称为样本。 6.样本容量：样本中所含个体的数量称为样 样本容量： 样本容量 本容量。 本容量。 例如：研究居民家庭收入时， 例如：研究居民家庭收入时，随机抽 户来进行调查， 户就是一个 取1000户来进行调查，这1000户就是一个 户来进行调查 户就是 样本，样本容量就是 就是1000. 样本，样本容量就是
V1=0
V1>0
V1<0
V2=3
V2>3
V2<3
五、累积频数分布
在社会经济调查中， 在社会经济调查中，经常得到的数 据时频数。 据时频数。例如家庭月收入按等级划 分时， 分时，我们就会得到每个等级的家庭 数，常常将这些数据列在表中或画成 直方图。 直方图。 读者可依收入等级从高到低画出 累积频数的直方图。 累积频数的直方图。 表2-1是家庭收入累积频数分布 表。
σ 在正态分布的概率密度中， =0， 在正态分布的概率密度中，当 µ =0， =1 我们称随机变量X遵从标准正态分布， 时，我们称随机变量X遵从标准正态分布，记 为 X ~ N (0,1) 。 关于正态分布的理论已很完善， 关于正态分布的理论已很完善，数学上 也易于处理。此外， 也易于处理。此外，当一个经济问题的模型 误差是由很多因素构成的时候， 误差是由很多因素构成的时候，总体的分布 与正态分布近似。所以， 与正态分布近似。所以，在计量经济学和一 些经济问题的建模研究合中常假定为正态分 另外，当总体概率分布为正态分布时， 布。另外，当总体概率分布为正态分布时， 作为从中抽出的样本， 作为从中抽出的样本，其统计量的抽样概率 分布， 分布、 分布等。因此， 分布有 χ 2 分布，t分布、F分布等。因此，正 态分布成为计量经济学乃至统计学中最重要 的概念。 的概念。
第二章 统计学基础回顾
2.1 统计数据的整理与描述 2.2 几种重要的概率分布 2.3 多元分布的基本概念 2.4 多元正态分布 2.5 参数估计 2.6 假设检验 思考与练习
2.1 统计数据的整理与描述
统计学是研究数据的方法论学科， 统计学是研究数据的方法论学科，统计数 据是统计学研究的主要内容。 据是统计学研究的主要内容。借助统计学 方法研究任何实际问题， 方法研究任何实际问题，首先要做的工作 是收集数据。 是收集数据。收集数据的一般方法是查阅 各种统计年鉴和报表， 各种统计年鉴和报表，再就是运用某种调 查方法获取研究问题的有关数据。 查方法获取研究问题的有关数据。抽样调 查获取数据的方式在我国方兴未艾。 查获取数据的方式在我国方兴未艾。对抽 样方法及其应注意的问题有兴趣者可参阅 参考文献[5]和 。 参考文献 和[6]。
家庭数 收入等级 频数 5000~6000 6001~7000 7001~8000 8001~9000 800 700 500 300 累积频数 800 1500 2000 2300
在社会经济研究中， 在社会经济研究中，洛伦兹曲线是累 积频数的典型应用。 积频数的典型应用。如果按收入从低到高 排列，个收入等级的家庭的累积数（ 排列，个收入等级的家庭的累积数（百分 比）为横坐标 ，与之相对应的收入的累积 百分比）为纵坐标， （百分比）为纵坐标，所得到的曲线就是 西方经济学中著名的洛伦兹曲线。 西方经济学中著名的洛伦兹曲线。在宏观 经济的收入差距研究中， 经济的收入差距研究中，就可运用这一描 述方法。 述方法。 关于累积频数的百分比曲线可拓宽到 衡量贫富差距的基尼系数。基尼系数理论 衡量贫富差距的基尼系数。 在中国当今的宏观经济研究中非常有用。 在中国当今的宏观经济研究中非常有用。