【配套K12】[学习]2018年秋九年级数学上册 第1章 一元二次方程 1.2 一元二次方程的解法
2018年秋九年级数学上册第1章一元二次方程练习题(附答案)
2018年秋九年级数学上册第1章一元二次方程练习题（附答案）第1章一元二次方程本章中考演练 1．[2017•南京] 若方程(x －5)2＝19的两个根为a和b，且a>b，则下列结论中正确的是( ) A．a是19的算术平方根 B．b是19的平方根 C．a－5是19的算术平方根 D．b＋5是19的平方根 2．[2017•扬州] 一元二次方程x2－7x－2＝0的实数根的情况是( ) A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 3．[2017•苏州] 若关于x的一元二次方程x2－2x＋k＝0有两个相等的实数根，则k的值为( ) A．1 B．－1 C．2 D．－2 4．[2017•无锡] 某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是( ) A．20% B．25% C．50% D．62.5% 图1－Y－1 5．2016•徐州图1－Y－1是由三个边长分别为6，9和x的正方形所组成的图形．若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是( ) A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或6 6．[2017•常州] 已知x＝1是关于x的方程ax2－2x＋3＝0的一个根，则a＝________． 7．2016•泰州若方程2x－4＝0的解是关于x的方程x2＋mx＋2＝0的一个根，则m的值为________． 8．2016•盐城方程x－2x＝1的正根为________． 9．[2017•淮安] 若关于x 的一元二次方程x2－x＋k＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________． 10．[2017•泰州] 方程2x2＋3x－1＝0的两个根为x1，x2，则1x1＋1x2的值等于________． 11．[2017•南京] 已知关于x的方程x2＋px＋q＝0的两个根分别是－3和－1，则p＝________，q＝________． 12．2016•南京设x1，x2是方程x2－4x ＋m＝0的两个根，且x1＋x2－x1x2＝1，则x1＋x2＝________，m＝________．图1－Y－2 13．2016•无锡如图1－Y－2，矩形ABCD的面积是15，边AB的长比AD的长大2，则AD的长是________． 14．[2017•镇江] 已知实数m满足m2－3m＋1＝0，则代数式m2＋19m2＋2的值等于________． 15．2016•南通平面直角坐标系xOy中，已知点(a，b)在直线y＝2mx＋m2＋2(m＞0)上，且满足a2＋b2－2(1＋2bm)＋4m2＋b＝0，则m＝________． 16．解方程：(1)2016•淄博x2＋4x－1＝0；(2)[2017•丽水] (x－3)(x－1)＝3；(3)2016•山西2(x－3)2＝x2－9.17．2016•泰州随着互联网的迅速发展，某购物网站的年销售额从2013年的200万元增长到2015年的392万元．求该购物网站平均每年销售额增长的百分率．18．2015•淮安水果店张阿姨以每千克2元的价格购进某种水果若干千克，然后以每千克4元的价格出售，每天可售出100千克．通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低0.1元，每天可多售出20千克．为保证每天至少售出260千克，张阿姨决定降价销售． (1)若将这种水果每千克的售价降低x元，则每天的销售量是________千克(用含x的代数式表示)； (2)销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨应将每千克的售价降至多少元？19．[2017•十堰] 已知关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2. (1)求实数k的取值范围； (2)若x1，x2满足x12＋x22＝16＋x1x2，求实数k的值．20．[2017•盐城] 某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒.2014年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒． (1)2014年这种礼盒的进价是多少元/盒？ (2)若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，则年增长率是多少？ 1．C [解析] ∵方程(x－5)2＝19的两个根为a和b，∴x－5是19的平方根，即a－5与b－5均为19的平方根．又∵a>b，∴a－5是19的算术平方根．故选C. 2．A 3．A [解析] ∵方程有两个相等的实数根，∴b2－4ac＝(－2)2－4k＝0，化简得4－4k＝0，解得k＝1.故选A. 4．C [解析] 设平均每月的增长率是x，则2(1＋x)2＝4.5，解得x1＝0.5，x2＝－2.5(舍去)，所以平均每月的增长率是50%. 5．D [解析] 将图形按如图方式补全为矩形，根据题意，得x(9－x)＝6×3，x2－9x ＋18＝0，解得x1＝3，x2＝6，故选D. 6．－1 [解析] 将x＝1代入方程ax2－2x＋3＝0，得a－2＋3＝0，解得a＝－1. 7．－3 [解析] ∵2x－4＝0，∴x＝2，∴4＋2m＋2＝0，∴m＝－3.故答案为－3. 8．2 [解析] 去分母，得x2－2＝x，整理，得x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2，经检验，x1＝－1，x2＝2是原方程的根．∵x ＞0，∴x＝2.故答案为2. 9．k＜－34 [解析] ∵方程x2－x＋k＋1＝0有两个不相等的实数根，∴b2－4ac＞0，即(－1)2－4×1×(k ＋1)＞0，解得k＜－34. 10．3 [解析] x1＋x2＝－ba＝－32，x1x2＝ca＝－12，∴1x1＋1x2＝x2＋x1x1x2＝3. 11．4 3 [解析] ∵方程x2＋px＋q＝0的两个根分别是－3和－1，∴p＝－(－3－1)＝4，q＝(－3)×(－1)＝3.故答案为4，3. 12．4 3 [解析] 由根与系数的关系，得x1＋x2＝4，x1x2＝m，则x1＋x2－x1x2＝4－m＝1，∴m ＝3.故答案为4，3. 13．3 [解析] 设AD＝x，则AB＝2＋x，则x(x ＋2)＝15，解得x1＝3，x2＝－5(舍去)．故答案为3. 14．9 [解析] 由m2－3m＋1＝0可得m2＝3m－1，则m2＋19m2＋2＝(3m－1)＋19（3m －1）＋2＝(3m－1)＋193m＋1＝（9m2－1）＋193m＋1＝9（3m－1）＋183m＋1＝9（3m＋1）3m＋1＝9.故答案为9. 15.3－1 [解析] ∵点(a，b)在直线y＝2mx＋m2＋2(m＞0)上，∴b＝2am＋m2＋2，即b－2＝2am＋m2.∵a2＋b2－2(1＋2bm)＋4m2＋b＝0，∴a2＋b2－2－4bm＋4m2＋b＝0，∴a2＋b2－4bm＋4m2＋2am＋m2＝0，∴(a＋m)2＋(b－2m)2＝0，∴a＝－m，b＝2m，∴2m－2＝－2m2＋m2，解得m＝－1±3.∵m＞0，∴m＝3－1. 16．解：(1)方法一：x2＋4x－1＝0. ∵b2－4ac＝42＋4＝20>0，∴x＝－4±202＝－2±5. ∴x1＝－2＋5，x2＝－2－5. 方法二：x2＋4x－1＝0，x2＋4x＝1，∴x2＋4x＋4＝1＋4，∴(x＋2)2＝5，∴x＝－2±5，∴x1＝－2＋5，x2＝－2－5.(2)(x－3)(x－1)＝3. 去括号，得x2－4x＋3＝3. 移项、合并同类项，得x2－4x＝0. 因式分解，得x(x－4)＝0. 解得x1＝0，x2＝4.(3)原方程可化为2(x－3)2＝(x＋3)(x－3)， 2(x－3)2－(x＋3)(x －3)＝0， (x－3)[2(x－3)－(x＋3)]＝0， (x－3)(x－9)＝0，∴x －3＝0或x－9＝0，∴x1＝3，x2＝9. 17．解：设该购物网站平均每年销售额增长的百分率为x. 由题意，得200(1＋x)2＝392，∴(1＋x)2＝1.96，即1＋x＝±1.4，∴x1＝0.4，x2＝－2.4(不合题意，舍去)．答：该购物网站平均每年销售额增长的百分率为40%. 18．解：(1)每天的销售量是100＋200x千克． (2)根据题意，得(2－x)(100＋200x)＝300，即2x2－3x＋1＝0，解得x1＝1，x2＝12. 当x＝1时，每天的销量为300千克；当x＝12时，每天的销量为200千克．因为要保证每天至少售出260千克，所以x2＝12不合题意，应舍去．当x＝1时，每千克的售价为4－1＝3(元)．答：销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨应将每千克的售价降至3元． 19．解：(1)∵关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2，∴(2k －1)2－4(k2－1)＝－4k＋5≥0，∴k≤54. (2)由题意可知x1＋x2＝－(2k－1)，x1•x2＝k2－1，∵x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1•x2＝16＋x1x2，∴(x1＋x2)2＝16＋3x1x2，∴[－(2k－1)]2＝16＋3(k2－1)，即k2－4k－12＝0，∴(k－6)(k＋2)＝0，∴k1＝6，k2＝－2. ∵k≤54，∴k＝－2. 20．解：(1)设2014年这种礼盒的进价是x元/盒．由题意，得3500x＝2400x－11，解得x＝35. 经检验，x ＝35是原方程的解且符合题意．答：2014年这种礼盒的进价是35元/盒． (2)设年增长率为y.由(1)得2014年售出礼盒的数量为3500÷35＝100(盒)，2016年礼盒的进价是35－11＝24(元/盒)．∴(60－35)×100(1＋y)2＝(60－24)×100，解得y1＝0.2，y2＝－2.2(不符合题意，舍去)．答：年增长率是20%.。
九年级数学上册第1章一元二次方程1.2一元二次方程的解法第3课时用配方法解一元二次方程(二次项系数
2018年秋九年级数学上册第1章一元二次方程1.2 一元二次方程的解法第3课时用配方法解一元二次方程（二次项系数不为1）同步练习（新版）苏科版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋九年级数学上册第1章一元二次方程1.2 一元二次方程的解法第3课时用配方法解一元二次方程（二次项系数不为1）同步练习（新版）苏科版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第1章一元二次方程1 .2 第3课时用配方法解一元二次方程（二次项系数不为1)知识点 1 用配方法把方程转化为（x＋m)2＝n的形式1。
把方程2x2－4x－2＝0的二次项系数化为1，得________＝0。
移项，得________．配方,得________，即(________）2＝________．2．把方程3x2－12x－18＝0配方，化为(x＋m）2＝n的形式应为（）A．(x－4)2＝6 B．(x－2）2＝4C．(x－2）2＝10 D．(x－2）2＝03．将一元二次方程2x2＋4 错误!x＋1＝0的左边配方成(x＋m）2的形式之后，右边的常数应该是( ）A．1 B.错误! C。
错误! D。
错误!4．用配方法解下列方程时，配方有误的是（)A．x2－2x－98＝0化为（x－1）2＝99B．x2－6x＋4＝0化为（x－3）2＝5C．4x2＋6x＋1＝0化为错误!错误!＝错误!D．3x2－4x－2＝0化为错误!错误!＝错误!5．代数式2x2＋8x－7配方后得____________．6．用配方法解一元二次方程2x2＋3x＋1＝0，变形为（x＋h）2＝k，则h＝________，k＝________．知识点 2 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程7．用配方法解方程：2x2＋4x－12＝0。
配套K122018年秋九年级数学上册第1章二次函数1.2二次函数的图象第2课时二次函数y=a(x_m
[1.2 第2课时二次函数y＝a(x－m)2＋k(a≠0)的图象及特征]一、选择题1．抛物线y＝(x－1)2－2的顶点坐标是( )A．(－1，－2) B．(－1，2)C．(1，－2) D．(1，2)2．2017·滨州将抛物线y＝2x2向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的函数表达式为链接学习手册例1归纳总结( )A．y＝2(x－3)2－5 B．y＝2(x＋3)2＋5C．y＝2(x－3)2＋5 D．y＝2(x＋3)2－53．如图K－3－1所示，在平面直角坐标系中，抛物线的函数表达式为y＝－2(x－m)2－k，则下列结论正确的是( )图K－3－1A．m>0，k>0 B．m<0，k>0C．m<0，k<0 D．m>0，k<04．在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x＝－2的是( )A．y＝(x＋2)2 B．y＝2x2－2C．y＝－2x2－2 D．y＝2(x－2)25．2017·丽水将函数y＝x2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A(1，4)的方法是链接学习手册例1归纳总结( )A．向左平移1个单位 B．向右平移3个单位C ．向上平移3个单位D ．向下平移1个单位6．如图K －3－2，抛物线y ＝x 2与直线y ＝x 相交于点A ，沿直线y ＝x 平移该抛物线，使得平移后的抛物线的顶点恰好为点A ，则平移后抛物线的函数表达式是( )图K －3－2A ．y ＝(x ＋1)2－1 B ．y ＝(x ＋1)2＋1 C ．y ＝(x －1)2＋1 D ．y ＝(x －1)2－17．2017·盐城如图K －3－3，将函数y ＝12(x －2)2＋1的图象沿y 轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A (1，m )，B (4，n )平移后的对应点分别为点A ′，B ′.若曲线段AB 扫过的面积为9(图中的阴影部分)，则新图象的函数表达式是( )图K －3－3A ．y ＝12(x －2)2－2B ．y ＝12(x －2)2＋7C ．y ＝12(x －2)2－5D ．y ＝12(x －2)2＋4二、填空题8．抛物线y ＝－(x －8)2＋3的开口方向________，对称轴为直线________，顶点坐标为________．9．如图K －3－4，对称轴平行于y 轴的抛物线与x 轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为________．图K－3－410．若二次函数y＝2x2的图象向左平移2个单位后，得到函数y＝2(x＋h)2的图象，则h＝________．11．将一条抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线的函数表达式为y＝2x2，则原抛物线的函数表达式为______________.12.2017·上海已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为(0，－1)，那么这个二次函数的表达式可以是________．(只需写一个)13．已知二次函数y＝a(x－h)2＋k(a>0)，其图象过点A(0，2)，B(8，3)，则h的值可以是________(写出一个即可)．三、解答题14．已知抛物线y＝(x－1)2－1.(1)求该抛物线的对称轴、顶点坐标；(2)选取适当的数据填入下表，并在图K－3－5中的直角坐标系内描点画出该抛物线．图K－3－515．二次函数图象的顶点坐标是(－2，4)，与x轴的一个交点坐标是(－3，0)．(1)求该二次函数的表达式；(2)根据抛物线的对称性，请直接写出抛物线与x轴的另一个交点坐标为________；(3)请你给出一种平移方案，使平移后的抛物线经过原点．16．已知一条抛物线与抛物线y＝2(x－3)2＋1关于x轴对称，求这条抛物线的函数表达式.17．如图K －3－6，抛物线y ＝a (x －1)2＋4与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，过点C 作CD ∥x 轴交抛物线的对称轴于点D ，连结BD .已知点A 的坐标为(－1，0)．(1)求该抛物线的函数表达式； (2)求梯形COBD 的面积．图K －3－6思维拓展如图K －3－7所示，已知直线y ＝－12x ＋2与抛物线y ＝a (x ＋2)2相交于A ，B两点，点A 在y 轴上，M 为抛物线的顶点．(1)请直接写出点A 的坐标及该抛物线的函数表达式；(2)若P 为线段AB 上一个动点(A ，B 两端点除外)，连结PM ，设线段PM 的长为l ，点P 的横坐标为x ，请求出l 2与x 之间的函数表达式，并直接写出自变量x 的取值范围．图K－3－7详解详析【课时作业】 [课堂达标] 1．[答案] C 2．[答案] A3．[解析] D ∵抛物线y ＝－2(x －m)2－k 的顶点坐标为(m ，－k)，由图可知抛物线的顶点坐标在第一象限，∴m ＞0，k<0.4．[解析] A 二次函数y ＝(x ＋2)2的图象的对称轴为直线x ＝－2，A 正确；二次函数y ＝2x 2－2的图象的对称轴为直线x ＝0，B 错误；二次函数y ＝－2x 2－2的图象的对称轴为直线x ＝0，C 错误；二次函数y ＝2(x －2)2的图象的对称轴为直线x ＝2，D 错误．5．[答案] D6．[解析] C ∵抛物线y ＝x 2与直线y ＝x 相交于点A ，∴x 2＝x ，解得x 1＝1，x 2＝0(舍去)，∴A(1，1)，∴平移后抛物线的函数表达式为y ＝(x －1)2＋1.7．[解析] D 如图，连结AB ，A ′B ′，则S 阴影＝S 四边形ABB′A′.由平移可知，AA ′＝BB′，AA ′∥BB ′，所以四边形ABB′A′是平行四边形．分别延长A′A，B ′B 交x 轴于点M ，N.因为A(1，m)，B(4，n)，所以MN ＝4－1＝3.因为S ▱ABB′A′＝AA′·MN，所以9＝3AA′，解得AA′＝3，即沿y 轴向上平移了3个单位，所以新图象的函数表达式为y ＝12(x －2)2＋4.8．[答案] 向下 x ＝8 (8，3) 9．[答案] 直线x ＝2 10．[答案] 211．[答案] y ＝2(x ＋1)2－3[解析] 因为一条抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线的函数表达式为y ＝2x 2，所以将抛物线y ＝2x 2向左平移1个单位，向下平移3个单位即可得到原抛物线，其函数表达式为y ＝2(x ＋1)2－3.12．[答案] 答案不唯一，形如y＝ax2－1(a>0)即可13．[答案] 答案不唯一，如314．解：(1)∵抛物线的函数表达式是y＝(x－1)2－1，∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，顶点坐标为 (1，－1)．(2)列表：15．解：(1)设二次函数的表达式为y＝a(x＋2)2＋4.把(－3，0)代入得a＋4＝0，解得a＝－4，所以二次函数的表达式为y＝－4(x＋2)2＋4.(2)(－1，0)(3)答案不唯一，如向右平移3个单位或向右平移1个单位或向上平移12个单位等．16．解：∵抛物线y＝2(x－3)2＋1的顶点坐标是(3，1)，抛物线y＝2(x－3)2＋1关于x轴对称的图象的顶点坐标为(3，－1)，∴这条抛物线的函数表达式为y＝－2(x－3)2－1.17．解：(1)将A(－1，0)代入y＝a(x－1)2＋4中，得0＝4a＋4，解得a＝－1，则抛物线的函数表达式为y＝－(x－1)2＋4.(2)对于抛物线的函数表达式y＝－(x－1)2＋4，令x＝0，得到y＝3，即OC＝3.∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴CD＝1.又∵A(－1，0)，∴B(3，0)，即OB ＝3， 则S 梯形COBD ＝（1＋3）×32＝6.[素养提升]解：(1)把x ＝0代入y ＝－12x ＋2，得y ＝2，即点A 的坐标是(0，2)．把点A(0，2)代入y ＝a(x ＋2)2，得a ＝12，∴抛物线的函数表达式是y ＝12(x ＋2)2.(2)如图，P 为线段AB 上任意一点，连结PM ，过点P 作PD⊥x 轴于点D ， 点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，－12x ＋2， 则在Rt △PDM 中，PM 2＝DM 2＋PD 2，即l 2＝(－2－x)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋22＝54x 2＋2x ＋8，x 的取值范围是－5<x<0.。
九年级数学上册第一章一元二次方程教材参考答案
第1页：第一章一元二次方程已知一块矩形草地的长比宽多12米，面积为540平方米，你能求出这块草地的长和宽吗？学完本章知识后，我们就可以解决上述问题了。
第2页1.1建立一元二次方程模型动脑筋 问题一 如图1-1所示，某住宅区内有一栋建筑，占地为一边长为35米的正方形。
现打算拆除建筑并在其正中间铺上一面积为900平方米的正方形草坪，使四周留出的人行道的宽度相等，问人行道的宽度为多少米？分析 我们可以建立方程的模型来计算人行道的宽度，如图1-2所示，设人行道的宽度为x 米，则草坪的边长为_35-2x 米.根据题意,可以列出方程()9002352=-x ① 方程①通过移项, 可以写成()9002352--x =0 ② .问题二 小明和小亮分别从家里出发骑车去学校,在离学校还有1千米处第一次相遇,此时他们的骑车速度分别为3米每秒和2米每秒.小明继续以3米每秒的速度匀速前进;而小亮则逐渐加快速度,以0.01米每二次方秒的加速度匀加速前进.已知匀加速运动求路程s 的公式是205.0at t v s +=,其中t 是时间,0v 是初速度的大小,a 是加速度的大小.你能算出经过多长时间他们再次相遇吗?第3页 分析 设经过t 秒小明和小亮相遇,则在这段时间,小明骑车行驶的路程为3t 米. 小亮骑车行驶的路程为2t+0.5×0.01×t 2_米.问题中的等量关系是小明行驶的路程 __ = __小亮行驶的路程__ .由此可列出方程t t t 301.05.022=⨯⨯+.③ 方程③可以写成0201.02=-⨯t t ④说一说 观察方程②和④,它们有什么共同点?(1)它们分别含有几个未知数?(2)它们分别是x 和t 的几次多项式? 从方程式②和④中受到启发,如果一个方程通过整理可以使右边为0,而左边是只含有一个未知数的二次多项式,那么这样的方程叫做一元二次方程,它的一般形式是02=++c bx ax ,（c b a ,,,是已知数，0≠a ）其中a ,b ,c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项.例将方程3x （x 一1）=5（x +2）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数、常数项.解 去括号，得32x 一3x =5x +10。
【配套K12】[学习]2018年秋九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程
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21.2.2 公式法解一元二次方程一、学习目标：1、理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念；2、会熟练应用公式法解一元二次方程；3、理解化归思想.二、学习重难点：重点：用公式法解一元二次方程难点：理解化归思想.探究案三、合作探究活动内容1：小组合作问题1：用配方法解方程24630x x --=问题2：用配方法解方程20ax bx c ++=分析归纳:活动内容2：典例解析例2（1）2x 2+5x-3=0； （2）; （3）; （4）(2)(13)6x x --=解:活动内容3：知识归纳：___________________叫做一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母__________表示它，即__________________．一元二次方程根的情况与判别式的关系（1）（2）（3）概括写出用公式法解一元二次方程的基本步骤：随堂检测1.一元二次方程x 2+2x+4=0的根的情况是 （ ）A.有一个实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.没有实数根2.方程x2-3x+1=0的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C. 没有实数根D.只有一个实数根3.下列一元一次方程中，有实数根的是 ( )A.x2-x+1=0B.x2-2x+3=0C.x2+x-1=0D.x2+4=04.关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根，则下列结论正确的是( )A.当k=1/2时，方程两根互为相反数B.当k=0时，方程的根是x=-1C.当k=±1时，方程两根互为倒数D.当k≤1/4时，方程有实数根5.若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有实数根，则m的取值范围是 ( )A.m＜1B. m＜1且m≠0C.m≤1D. m≤1且m≠06.用公式法解下列方程：(1) x2 + x – 6 = 0 ; (2) ；(3) 3x2– 6x – 2 = 0 ; (4) 4x2 - 6x = 0 ;(5) x2 + 4x + 8 = 4x + 11 ; (6) x(2x – 4) =5 - 8x .课堂小结通过本节课的学习在小组内谈一谈你的收获，并记录下来：我的收获___________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________参考答案随堂检测1.D2.A3.C4.D5.D6.(1)(2)(3)(4)(5)(6)。
2018年秋九年级数学上册第1章一元二次方程1.2一元二次方程的解法第5课时一元二次方程的根的判别式同步练习
第1章 一元二次方程1．2 第5课时 一元二次方程根的判别式知识点 1 判断一元二次方程的根的情况1．[2017·常德] 一元二次方程3x 2－4x ＋1＝0的根的情况为( ) A ．没有实数根 B ．只有一个实数根 C ．有两个相等的实数根 D ．有两个不相等的实数根2．下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的是( ) A ．(x －1)2＝0 B ．x 2＋2x －19＝0 C ．x 2＋4＝0 D ．x 2＋x ＋1＝03．已知一元二次方程：①x 2＋2x ＋3＝0；②x 2－2x －3＝0.下列说法正确的是( ) A ．①②都有实数根B ．①无实数根，②有实数根C ．①有实数根，②无实数根D ．①②都无实数根4．不解方程，判断下列方程根的情况．(1)3x 2－6x －2＝0; (2)x 2－8x ＋17＝0.知识点 2 应用根的判别式求字母的值或取值范围5．[2017·德阳] 已知关于x 的方程x 2－4x ＋c ＋1＝0有两个相等的实数根，则常数c 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．36．[2017·通辽] 若关于x 的一元二次方程(k ＋1)x 2＋2(k ＋1)x ＋k －2＝0有实数根，则k 的取值范围在数轴上的表示正确的是( )图1－2－27．若关于x 的一元二次方程x 2＋a ＝0没有实数根，则实数a 的取值范围是________．8．教材练习第2题变式若关于x 的方程x 2－6x ＋m ＝0有两个相等的实数根，则实数m ＝________．9．已知关于x 的方程x 2＋(1－m)x ＋m24＝0有两个不相等的实数根，则m 的最大整数值是________．10．已知关于x的一元二次方程kx2－6x＋9＝0，则当k为何值时，这个方程：(1)有两个不相等的实数根？(2)有两个相等的实数根？(3)没有实数根？11．若关于x的一元二次方程(m－2)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是( ) A．m≤3 B．m＜3C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠212．[2016·海安学业水平测试] 为了说明命题“当b＜0时，关于x的一元二次方程x2＋bx＋2＝0必有实数根”是假命题，可以举的一个反例是( )A．b＝2 B．b＝3C．b＝－2 D．b＝－313．若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y ＝kx＋b的大致图像可能是( )图1－2－314．[2016·河北] a，b，c为常数，且(a－c)2>a2＋c2，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是( )A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．有一个根为015．若关于x的一元二次方程2x(kx－4)－x2＋6＝0没有实数根，则k的最小整数值是________．16．已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋m－2＝0.(1)求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；(2)当方程的一个根为－2时，求方程的另一个根．17．已知：关于x 的方程x 2＋2mx ＋m 2－1＝0. (1)不解方程，判别方程的根的情况； (2)若方程的一个根为3，求m 的值．18．已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2－1＝0有两个不相等的实数根． (1)求m 的取值范围；(2)当m 取最小整数值时，用合适的方法求该方程的解．19．已知关于x 的一元二次方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋k ＝0. (1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)若△ABC 的两边AB ，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值．详解详析1．D 2.B3．B [解析] 方程①的判别式b 2－4ac ＝4－12＝－8<0，则方程①没有实数根；方程②的判别式b 2－4ac ＝4＋12＝16>0，则方程②有两个不相等的实数根． 故选B .4．解：(1)3x 2－6x －2＝0， a ＝3，b ＝－6，c ＝－2， b 2－4ac ＝(－6)2－4×3×(－2)＝60＞0，因此方程3x 2－6x －2＝0有两个不相等的实数根．(2)x 2－8x ＋17＝0， a ＝1，b ＝－8，c ＝17， b 2－4ac ＝(－8)2－4×1×17＝－4＜0，因此方程x 2－8x ＋17＝0无实数根．5．D [解析] 一元二次方程有两个相等的实数根，则判别式为0，即(－4)2－4(c ＋1)＝0，则可得c ＝3.6．A [解析] ∵关于x 的一元二次方程(k ＋1)x 2＋2(k ＋1)x ＋k －2＝0有实数根，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1≠0，[2（k ＋1）]2－4（k ＋1）（k －2）≥0， 解得k ＞－1.故选A . 7．a ＞08．9 [解析] ∵方程有两个相等的实数根，∴(－6)2－4m ＝0，∴m ＝9.故答案为9.9． [解析] 根据题意，得(1－m)2－4×m 24＞0，解得m ＜12，所以m 的最大整数值为0.10．解：(1)∵关于x 的一元二次方程kx 2－6x ＋9＝0有两个不相等的实数根，∴⎩⎪⎨⎪⎧k≠0，（－6）2－4×9k>0，解得k ＜1且k≠0，∴当k ＜1且k≠0时，方程有两个不相等的实数根．(2)∵关于x 的一元二次方程kx 2－6x ＋9＝0有两个相等的实数根，∴⎩⎪⎨⎪⎧k≠0，（－6）2－4×9k＝0， 解得k ＝1，∴当k ＝1时，方程有两个相等的实数根．(3)∵关于x 的一元二次方程kx 2－6x ＋9＝0没有实数根，∴⎩⎪⎨⎪⎧k≠0，（－6）2－4×9k<0， 解得k ＞1，∴当k ＞1时，方程没有实数根．11．D [解析] ∵关于x 的一元二次方程(m －2)x 2＋2x ＋1＝0有实数根，∴m －2≠0且22－4×(m－2)×1≥0， 解得m≤3且m≠2，∴m 的取值范围是m≤3且m≠2.故选D . 12．C13．B [解析] ∵x 2－2x ＋kb ＋1＝0有两个不相等的实数根，∴b 2－4ac ＝4－4(kb ＋1)＞0，解得kb ＜0.由A 项中的图像可知k ＞0，b ＞0，即kb ＞0，故A 项不正确； 由B 项中的图像可知k ＞0，b ＜0，即kb ＜0，故B 项正确； 由C 项中的图像可知k ＜0，b ＜0，即kb ＞0，故C 项不正确； 由D 项中的图像可知k<0，b ＝0，即kb ＝0，故D 项不正确． 故选B .14． B [解析] 由(a －c)2>a 2＋c 2得出－2ac ＞0，因此a≠0，b 2－4ac ＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故选B .15．216．解：(1)证明：b 2－4ac ＝m 2－4×1×(m－2)＝m 2－4m ＋8＝(m －2)2＋4.∵(m －2)2≥0，∴(m －2)2＋4＞0，即b 2－4ac ＞0，∴无论m 取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根． (2)∵此方程的一个根为－2， ∴4－2m ＋m －2＝0，∴m ＝2，∴一元二次方程为x 2＋2x ＝0， 解得x 1＝－2，x 2＝0， ∴方程的另一个根为0.17．解：(1)因为b 2－4ac ＝4m 2－4(m 2－1)＝4＞0，所以原方程有两个不相等的实数根．(2)将x ＝3代入原方程，得9＋6m ＋m 2－1＝0，解得m ＝－2或m ＝－4. 所以m 的值是－2或－4.18．解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根，∴b 2－4ac ＝(2m ＋1)2－4(m 2－1)＝4m ＋5>0， 解得m>－54.(2)∵m 取最小整数值，∴m ＝－1.当m ＝－1时，原方程为x 2－x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝1.19．解析] (1)先计算出b 2－4ac ，然后根据判别式与0的大小关系即可得到结论； (2)先利用公式法求出方程的解，当边AB ，AC 的长与两根分别相等时，利用△ABC 为等腰三角形这个条件，再在AB ＝BC ，AB ＝AC ，或AC ＝BC 的情况下，求出相应的k 的值．解：(1)证明：∵b 2－4ac ＝[－(2k ＋1)]2－4(k 2＋k)＝1＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根．(2)一元二次方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋k ＝0的解为x ＝2k ＋1±12，即x 1＝k ，x 2＝k ＋1.令AB ＝k ，AC ＝k ＋1.当AB ＝BC 时，k ＝5，此时三角形的三边长为5，5，6，能构成等腰三角形； 当AB ＝AC 时，k ＝k ＋1，无解，此种情况不存在；当AC ＝BC 时，k ＋1＝5，解得k ＝4，此时三角形的三边长为4，5，5，能构成等腰三角形．∴k 的值为5或4.。
2018年秋九年级数学上册第1章一元二次方程1.2一元二次方程的解法第4课时用公式法解一元二次方程同步练习新
第1章 一元二次方程1 .2 第4课时 用公式法解一元二次方程知识点 1 一元二次方程的求根公式1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根由方程的各项系数________确定的，其求根公式是__________，方程存在解的条件是______________．2．用公式法解一元二次方程3x 2＝2x －3时，首先要确定a ，b ，c 的值，下列叙述正确的是( )A ．a ＝3，b ＝2，c ＝3B ．a ＝－3，b ＝2，c ＝3C ．a ＝3，b ＝2，c ＝－3D ．a ＝3，b ＝－2，c ＝33．用求根公式解一元二次方程2y 2－4y －1＝0，其中b 2－4ac 的值是( )A ．8B ．12C ．20D ．24知识点 2 用公式法解一元二次方程4．用公式法解一元二次方程－x 2＋3x ＝1.解：把这个方程化为一般形式为x 2－3x ＋1＝0.∵a ＝________，b ＝________，c ＝________，∴b 2－4ac ＝________，∴x ＝________，∴x 1＝________，x 2＝________．5．用公式法解方程3x 2－5x ＋1＝0，正确的是( )A ．x ＝－5±136B ．x ＝－5±133C ．x ＝5±136D ．x ＝5±1336．[2016·沈阳] 一元二次方程x 2－4x ＝12的根是( )A ．x 1＝2，x 2＝－6B ．x 1＝－2，x 2＝6C ．x 1＝－2，x 2＝－6D ．x 1＝2，x 2＝67．若代数式x 2－6x ＋5的值是12，则x 的值为( )A ．7或－1B ．1或－5C ．－1或－5D ．不能确定8．已知代数式7x(x ＋5)＋10的值与9x －9的值互为相反数，则x ＝________．9．用公式法解下列方程：(1)x 2＋4x －1＝0； (2)x 2－13x ＋40＝0；(3)2x 2－3x ＋4＝0; (4)23t 2＝2t －1；(5)3y 2＋1＝2 3y; (6)5x 2－5x －6＝0.10．解方程x 2＝－3x ＋2时，有一名同学的解答过程如下：解：∵a＝1，b ＝3，c ＝2，b 2－4ac ＝32－4×1×2＝1>0，∴x ＝－b±b 2－4ac 2a ＝－3± 12×1＝－3±12， 即x 1＝－2，x 2＝－1.请你分析以上解答有无错误，若有错误，请写出正确的解题过程．11．如果x 2－4x ＋5＝(x ＋1)0，那么x 的值为( )A ．2或－1B ．0或1C ．2D ．－112．一元二次方程x 2－2x －6＝0，其中较大的一个根为x 1，下列最接近x 1的范围是( )A ．3＜x 1＜4B ．3＜x 1＜3.5C ．3.5＜x 1＜3.7D ．3.7＜x 1＜413．三角形两边的长分别为3和6，第三边的长是方程x 2－13x ＋36＝0的根，则三角形的周长为________．14．解方程：(x －1)2－2(x －1)－3＝0.15．已知一元二次方程x 2－2x －54＝0的某个根也是一元二次方程x 2－(k ＋2)x ＋94＝0的根，求k 的值．16．已知一个矩形的相邻两边长分别为2m －1和m ＋3，若此矩形的面积为30，求这个矩形的周长．17．若x 2＋mx ＋15＝(x ＋5)(x ＋n)，试解关于x 的方程nx 2＋mx ＋1＝0.18．已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2－2mx ＋m ＋1＝0.(1)求出此方程的根；(2)当m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？详解详析1．a ，b ，c x ＝－b±b 2－4ac 2ab 2－4ac≥0 2．D 3.D4．1 －3 1 5 3±523＋523－52 5．C6．B [解析] 方程整理得x 2－4x －12＝0，用公式法解得x 1＝－2，x 2＝6.7． A [解析] x 2－6x ＋5＝12，x 2－6x ＋5－12＝0，x 2－6x －7＝0，∴x ＝6±82， 解得x 1＝－1，x 2＝7.故选A .8.－22±35379．解：(1)∵a＝1，b ＝4，c ＝－1，b 2－4ac ＝42－4×1×(－1)＝20>0，∴x ＝－4±202，∴x ＝－2±5， 即x 1＝－2＋5，x 2＝－2－ 5.(2)∵a＝1，b ＝－13，c ＝40，b 2－4ac ＝(－13)2－4×1×40＝9，∴x ＝13±92＝13±32， ∴x 1＝8，x 2＝5.(3)∵a＝2，b ＝－3，c ＝4，b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×4＝－23＜0，∴原方程无实数根．(4)整理，得2t 2－6t ＋3＝0.∵a ＝2，b ＝－6，c ＝3，b 2－4ac ＝(－6)2－4×2×3＝12＞0，∴t ＝－（－6）±122×2＝3±32， 即t 1＝3＋32，t 2＝3－32. (5)移项，得3y 2－2 3y ＋1＝0.∵a ＝3，b ＝－2 3，c ＝1，b 2－4ac ＝(－2 3)2－4×3×1＝0， ∴y ＝－（－2 3）±02×3＝33， 即y 1＝y 2＝33. (6)∵a＝5，b ＝－5，c ＝－6，b 2－4ac ＝()－52－4×5×(－6)＝125>0，∴x ＝－（－5）±1252×5＝5±5 510， 即x 1＝3 55，x 2＝－2 55. 10．解：解答有错误，正确的解题过程如下：方程整理，得x 2＋3x －2＝0.这里a ＝1，b ＝3，c ＝－2.∵b 2－4ac ＝9＋8＝17，∴x ＝－3±172， 即x 1＝－3＋172，x 2＝－3－172. 11．C 12.C 13.1314．解：把x －1作为整体看成一个未知数．∵a ＝1，b ＝－2，c ＝－3，b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16＞0，∴x －1＝2±162， ∴x 1＝4，x 2＝0.15．解：对于方程x 2－2x －54＝0， ∵a ＝1，b ＝－2，c ＝－54， ∴b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×(－54)＝9>0， ∴x ＝2±92×1， ∴x 1＝52，x 2＝－12. 把x 1＝52代入x 2－(k ＋2)x ＋94＝0， 解得k ＝75； 把x 2＝－12代入x 2－(k ＋2)x ＋94＝0， 解得k ＝－7.即k 的值为75或－7. 16．解：由题意，得(2m －1)(m ＋3)＝30，则2m 2＋5m －33＝0， 解得x 1＝－112(舍去)，x 2＝3. 所以这个矩形的相邻两边长分别为5和6，故这个矩形的周长为22.17．解：由(x ＋5)(x ＋n)＝x 2＋(n ＋5)x ＋5n ，得x 2＋mx ＋15＝x 2＋(n ＋5)x ＋5n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝n ＋5，5n ＝15， 解得m ＝8，n ＝3，代入方程nx 2＋mx ＋1＝0，得3x 2＋8x ＋1＝0.∵a ＝3，b ＝8，c ＝1，b 2－4ac ＝64－12＝52>0，∴x ＝－8±526＝－4±133， 即x 1＝－4＋133，x 2＝－4－133. 18．解：(1)根据题意，得m ≠1.b 2－4ac ＝(－2m)2－4(m －1)(m ＋1)＝4，则x ＝2m±22（m －1）， ∴x 1＝2m ＋22（m －1）＝m ＋1m －1，x 2＝1.(2)由(1)知，x 1＝m ＋1m －1＝1＋2m －1. ∵方程的两个根都为正整数，∴2m －1是正整数． 又∵m 为整数，∴m －1＝1或m －1＝2，∴m ＝2或m ＝3.即当m 为2或3时，此方程的两个根都为正整数．。
【配套K12】[学习]2018年秋九年级数学上册 第1章 一元二次方程 1.2 一元二次方程的解法
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第1章一元二次方程1．2 第6课时用因式分解法解一元二次方程知识点用因式分解法解一元二次方程1．用因式分解法解方程5(x＋3)－2x(x＋3)＝0，可将其化为两个一元一次方程：____________、____________求解，其解为x1＝________，x2＝________．2．我们解一元二次方程3x2－6x＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x(x－2)＝0，从而得到两个一元一次方程：3x＝0或x－2＝0，进而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2.这种解法体现的数学思想是( )A．转化思想 B．函数思想C．数形结合思想 D．公理化思想3．方程(y－1)2＝y－1的解是( )A．y＝1 B．y1＝1，y2＝2C．y＝2 D．y1＝0，y2＝14．一元二次方程x(x－3)＝3－x的解是( )A．x＝－1 B．x＝3C．x1＝1，x2＝3 D．x1＝－1，x2＝35．方程(x＋1)(x－2)＝x＋1的解是( )A．x＝2 B．x＝3C．x1＝－1，x2＝2 D．x1＝－1，x2＝36．一元二次方程4x2－12x＝0的解是____________．7．方程x(x－2)＝x的解是______________．8．方程2(x－2)2＝x2－4的解是____________．9．已知数轴上A，B两点对应的数分别是一元二次方程(x＋1)(x－2)＝0的两个根，则A，B两点间的距离是________．10．用因式分解法解下列方程：(1)x2＋16x＝0；(2)(3x＋2)2－4x2＝0；(3)2x(x＋3)－3(x＋3)＝0；(4)x(2x－5)＝4x－10；(5)(x－1)2＋2x(x－1)＝0；(6)(x－5)2－2(x－5)＋1＝0.11．教材例8(2)变式当x为何值时，代数式x－3的值与x(x－3)的值的差为0.12．下列四个方程：(1)x2－25＝0；(2)y2＝3y；(3)(x＋1)2－4(x＋1)＋4＝0；(4)x2＋2x＋1＝0.其中能用因式分解法求解的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．413．定义一种新运算：a♣b＝a(a－b)．例如，4♣3＝4×(4－3)＝4.若x♣2＝3，则x的值是( )A．x＝3 B．x＝－1C．x1＝3，x2＝1 D．x1＝3，x2＝－114．若关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两根为x1＝－1，x2＝2，则将多项式x2＋bx＋c分解因式的结果为________．15．用合适的方法解方程：(1)(2x－1)2＝9；(2)(x－5)(3x－2)＝10；(3)x2＋6x＝1; (4)(2x－3)(x＋1)＝x＋1.16．小红、小亮两名同学一起解方程x(2x－5)＋4(5－2x)＝0.小红是这样解的：先将方程变形为x(2x－5)－4(2x－5)＝0，移项，得x(2x－5)＝4(2x －5)，方程两边同除以(2x－5)，得x＝4.小亮看后说小红的解法不对，请你判断小红的解法是否正确，若不正确，请说明理由，并给出正确的解法．17．[2017·湘潭] 由多项式乘法：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．(1)尝试：分解因式：x2＋6x＋8＝(x＋________)·(x＋________)；(2)应用：请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.18．阅读题例，解答后面的问题：解方程：x2－|x－1|－1＝0.解：①当x－1≥0，即x≥1时，原方程化为x2－(x－1)－1＝0，则x2－x＝0，解得x1＝0(不合题意，舍去)，x2＝1；②当x－1＜0，即x＜1时，原方程化为x2＋(x－1)－1＝0，则x2＋x－2＝0，解得x1＝1(不合题意，舍去)，x2＝－2.综上所述，原方程的解是x＝1或x＝－2.依照上面的解法，解方程：x2＋2|x＋2|－4＝0.详解详析1．5－2x ＝0 x ＋3＝0 52－3 [解析] 把方程5(x ＋3)－2x(x ＋3)＝0化为(5－2x)(x ＋3)＝0，则5－2x ＝0或x ＋3＝0.2．A3．B [解析] 把y －1看成一个整体，移项、提取公因式，得(y －1)(y －2)＝0， ∴y 1＝1，y 2＝2.4．D [解析] 原方程可化为x(x －3)＋(x －3)＝0，∴(x －3)(x ＋1)＝0，∴x －3＝0或x ＋1＝0，∴x 1＝3，x 2＝－1.5．D [解析] 原方程可化为(x ＋1)(x －2)－(x ＋1)＝0，∴(x ＋1)(x －2－1)＝0，即(x ＋1)(x －3)＝0，∴x ＋1＝0或x －3＝0，∴x 1＝－1，x 2＝3.故选D .6．x 1＝0，x 2＝37．x 1＝0，x 2＝3 [解析] 原方程可化为x(x －2)－x ＝0，x(x －2－1)＝0，∴x ＝0或x －3＝0，解得x 1＝0，x 2＝3.8．x 1＝2，x 2＝69．3 [解析] 因为(x ＋1)(x －2)＝0，所以x ＋1＝0或x －2＝0，解得x 1＝－1，x 2＝2，所以A ，B 两点间的距离是|2－(－1)|＝3.故答案是3.10．解：(1)原方程可变形为x(x ＋16)＝0，∴x ＝0或x ＋16＝0，∴x 1＝0，x 2＝－16.(2)原方程可变形为(3x ＋2－2x)(3x ＋2＋2x)＝0，即(x ＋2)(5x ＋2)＝0，∴x ＋2＝0或5x ＋2＝0，∴x 1＝－2，x 2＝－25. (3)原方程可化为(x ＋3)(2x －3)＝0，∴x ＋3＝0或2x －3＝0，∴x 1＝－3，x 2＝32. (4)原方程可变形为x(2x －5)－2(2x －5)＝0，即(2x －5)(x －2)＝0，∴2x －5＝0或x －2＝0，∴x 1＝52，x 2＝2. (5)分解因式，得(x －1)(x －1＋2x)＝0，∴x －1＝0，x －1＋2x ＝0，∴x 1＝1，x 2＝13. (6)分解因式，得[(x －5)－1]2＝0，∴x 1＝x 2＝6.11．解：根据题意，得x －3－x(x －3)＝0，方程变形为(x －3)(1－x)＝0.∴x －3＝0或1－x ＝0，∴x 1＝3，x 2＝1，即当x 为3或1时，代数式x －3的值与x(x －3)的值的差为0.12．D13．D [解析] ∵x ♣2＝3，∴x(x －2)＝3，整理，得x 2－2x －3＝0，(x －3)(x ＋1)＝0，x －3＝0或x ＋1＝0，∴x 1＝3，x 2＝－1.故选D .14．(x ＋1)(x －2)15．解：(1)开平方，得2x －1＝3或2x －1＝－3，解得x 1＝2，x 2＝－1.(2)整理，得3x 2－17x ＝0，∴x(3x －17)＝0.∴x ＝0或3x －17＝0，解得x 1＝0，x 2＝173. (3)∵x 2＋6x ＝1，∴x 2＋6x ＋9＝1＋9，即(x ＋3)2＝10，则x ＋3＝±10，∴x ＝－3±10，即x 1＝－3＋10，x 2＝－3－10.(4)原方程变形为(x ＋1)(2x －3－1)＝0，即2(x ＋1)(x －2)＝0，∴x ＋1＝0或x －2＝0，解得x 1＝－1，x 2＝2.16．解：小红的解法不正确．理由：方程两边同除以(2x －5)时，她认为2x －5≠0，事实上，2x －5可以为零，这样做，会导致丢根．正确解法如下：x(2x －5)＋4(5－2x)＝0，x(2x －5)－4(2x －5)＝0，(2x －5)(x －4)＝0，∴2x －5＝0或x －4＝0，∴x 1＝52，x 2＝4. 17．解：(1)∵8可以分解为2与4的积，且2与4的和为6，满足十字相乘的形式，故填2，4.(2)x 2－3x －4＝0，(x －4)(x ＋1)＝0，即x －4＝0或x ＋1＝0，∴x 1＝4，x 2＝－1.18．[解析] 根据题中所给的材料把绝对值符号内的x ＋2分两种情况讨论(x ＋2≥0和x ＋2＜0)，去掉绝对值符号后再解方程．解：①当x ＋2≥0，即x≥－2时，原方程化为x 2＋2(x ＋2)－4＝0，则x 2＋2x ＝0，x(x ＋2)＝0，解得x 1＝0，x 2＝－2；②当x＋2＜0，即x＜－2时，原方程化为x2－2(x＋2)－4＝0，则x2－2x－8＝0，(x－4)(x＋2)＝0，解得x1＝4(不合题意，舍去)，x2＝－2(不合题意，舍去)．综上所述，原方程的解是x＝0或x＝－2.[点评] 从题中所给材料找到解题方法是解题的关键．注意在去掉绝对值符号时要针对符号内的代数式的正负性分情况讨论．。
2018年秋九年级数学上册第1章一元二次方程1.2一元二次方程的解法第1课时
第1章一元二次方程1．2 第1课时用直接开平方法解一元二次方程知识点 1 利用开平方的条件判断方程解的情况1．用直接开平方法解关于x的一元二次方程(x－5)2＝m－7时需开平方，因此被开方数m－7是一个________数，即m－7≥0，∴当m的取值范围是________时，方程(x－5)2＝m－7有解．知识点 2 用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的一元二次方程2．解方程：x2－25＝0.解：移项，得x2＝________．∵x是________的平方根，∴x＝________，即x1＝________，x2＝________．3．教材例1(2)变式方程9x2＋1＝2的解是x1＝________，x2＝________．知识点 3 用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(m≠0，p≥0)的一元二次方程4. 一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x ＋6＝4，则另一个一元一次方程是( )A．x－6＝－4 B．x－6＝4C．x＋6＝4 D．x＋6＝－45．解方程：12(3－2x)2－3＝0.解：移项，得12(3－2x)2＝________．两边都除以12，得(3－2x)2＝________．∵3－2x是________的平方根，∴3－2x＝________，即3－2x＝________或3－2x＝________，∴x1＝________，x2＝________．6．教材例2变式方程2(1＋m)2＝24的解为x1＝________，x2＝________．7．解方程：(1)(x－1)2－3＝0; (2)(2x－1)2－16＝0；(3)4(1－2x)2＝9; (4)3(x－5)2－75＝0.8．若方程x2－m＝0的根是有理数，则m的值可能是( )A．－9 B．3 C．－4 D．49．2016·深圳给出一种运算：对于函数y＝x n，规定y′＝nx n－1.例如：若函数y＝x4，则y′＝4x3.已知函数y＝x3，则方程y′＝12的根是( )A．x1＝4，x2＝－4 B．x1＝2，x2＝－2C．x1＝x2＝0 D．x1＝2 3，x2＝－2 310．若(x2＋y2－1)2＝4，则x2＋y2＝________．11．已知三角形两边的长分别为3和6，第三边的长是一元二次方程(x－5)2－4＝0的根，试求三角形的周长．12．若关于x的方程(x＋m)2＝k(k≥0)的两个根是2和3，则关于x的方程(x＋m－2)2＝k(k≥0)的根是( )A．2或3 B．－2或－3C．4或5 D．－4或－5p，q表示p，q两数中较小的数，13．[2017·河北] 对于实数p，q，我们用符号min{}（x－1）2，x2＝1，则x＝如min{1，2}＝1.因此min{}－2，－3＝________；若min{}________．详解详析1．非负 m≥72．25 25 ±5 5 －53.13 －134．D [解析] 将方程(x ＋6)2＝16两边直接开平方，得x ＋6＝±4，则x ＋6＝4或x ＋6＝－4.故选D .5．3 14 14 ±12 12 －12 54 746．2 3－1 －2 3－17．解：(1)移项，得(x －1)2＝3.∵(x－1)是3的平方根，∴x －1＝±3，即x 1＝1＋3，x 2＝1－ 3.(2)移项，得(2x －1)2＝16.开平方，得2x －1＝±4.当2x －1＝4时，x ＝52；当2x －1＝－4时，x ＝－32.∴x 1＝52，x 2＝－32. (3)方程变形为(2x －1)2＝94. ∵(2x －1)是94的平方根， ∴2x －1＝±32，即x 1＝54，x 2＝－14. (4)移项，得3(x －5)2＝75，∴(x －5)2＝25，∴x －5＝5或x －5＝－5，解得x 1＝10，x 2＝0.8． D [解析] 先移项，把方程化为x 2＝m.因为x 是有理数，所以m 必须大于或等于0且是某个有理数的平方，据此即可对各个选项进行判断．9．B 10.311．解：由方程(x －5)2－4＝0，得x ＝3或x ＝7.根据三角形的三边关系，知3，6，3不能构成三角形；3，6，7能构成三角形． 故该三角形的周长为3＋6＋7＝16.12．C13．－ 3 2或－1。
配套K122018年秋九年级数学上册 第1章 一元二次方程 1.3 一元二次方程的根与系数的关系同步
第1章 一元二次方程*1.3 一元二次方程的根与系数的关系知识点 1 一元二次方程根与系数关系的直接应用1．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x ＝0的两根，则x 1＋x 2的值是( ) A ．0 B ．2 C ．－2 D ．42．[2017·怀化] 若x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x －3＝0的两个根，则x 1·x 2的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－33．[2016·金华] 若一元二次方程x 2－3x －2＝0的两根为x 1，x 2，则下列结论中正确的是( )A ．x 1＝－1，x 2＝2B ．x 1＝1，x 2＝－2C ．x 1＋x 2＝3D ．x 1＝x 2＝24．[2016·溧水区一模] 已知方程x 2－6x ＋k ＝0的一个根是2，则它的另一个根是________．知识点 2 利用根与系数的关系求值5．教材例题变式已知x 1，x 2是一元二次方程3x 2＋2x －6＝0的两个根，则x 1－x 1x 2＋x 2的值是( )A ．－43 B.83 C ．－83 D.436. [2016·苏州中考预测卷二] 已知x 1，x 2是方程x 2－3x －2＝0的两个实数根，则(x 1－1)(x 2－1)的值为( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－87．若关于x 的方程x 2＋(a ＋1)x ＋a ＝0的两根互为倒数，则a ＝________．8．若关于x 的一元二次方程x 2＋(k ＋3)x ＋k ＝0的一个根是－2，则另一个根是________． 9．教材“尝试与交流”变式如果一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个根分别是2＋3和2－3，求a ，b 的值．10．已知关于x 的方程x 2－6x ＋k ＝0的两个根分别是x 1，x 2，且1x 1＋1x 2＝3，求k 的值．11．已知关于x的方程x2＋x＋n＝0有两个实数根－2，m，求m，n的值．12．[2017·绵阳] 若关于x的方程2x2＋mx＋n＝0的两个根是－2和1，则n m的值为( ) A．－8 B．8 C．16 D．－1613．已知实数x1，x2满足x1＋x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程是( ) A．x2－7x＋12＝0 B．x2＋7x＋12＝0C．x2＋7x－12＝0 D．x2－7x－12＝014．[2017·仙桃] 若α，β为方程2x2－5x－1＝0的两个实数根，则2α2＋3αβ＋5β的值为( )A．－13 B．12 C．14 D．1515．设x1，x2是方程x2＋3x－3＝0的两个实数根，则x2x1＋x1x2的值为( )A．5 B．－5 C．1 D．－116．设x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的两根，利用根与系数的关系求下列各式的值：(1)(x1＋1)(x2＋1)；(2)x12x2＋x1x22；(3)x12＋x1x2＋2x1.17．已知关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0.(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；(2)若方程两实数根分别为x1，x2，且满足5x1＋2x2＝2，求实数m的值．18．[2017·绥化] 已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－4＝0.(1)当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？(2)若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值．19．设x1，x2是方程x2－x－2018＝0的两实数根，求x13＋2019x2－2018的值．详解详析1．B 2.D3．C [解析] ∵方程x 2－3x －2＝0的两根为x 1，x 2， ∴x 1＋x 2＝－ba ＝3，x 1·x 2＝c a＝－2，∴C 选项正确．故选C. 4．45．D 6.B7．1 [解析] 设已知方程的两根分别为m ，n . 由题意，得m 与n 互为倒数，即mn ＝1. 又∵mn ＝a ，∴a ＝1.8．1 [解析] 把x ＝－2代入方程，得4－2(k ＋3)＋k ＝0，解得k ＝－2.所以原方程为x 2＋x －2＝0.设另一个根为x 1，则－2x 1＝－2，所以x 1＝1.9．解：根据根与系数的关系可知(2＋3)＋(2－3)＝－a ，(2＋3)×(2－3)＝b ， ∴a ＝－4，b ＝1.10．∵关于x 的方程x 2－6x ＋k ＝0的两个根分别是x 1，x 2， ∴x 1·x 2＝k ，x 1＋x 2＝6. ∵1x 1＋1x 2＝3，∴x 1＋x 2x 1x 2＝3，∴6k＝3，∴k ＝2.经检验，k ＝2是此分式方程的解．11．∵关于x 的方程x 2＋x ＋n ＝0有两个实数根－2，m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2m ＝n ，－2＋m ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－2， 即m ，n 的值分别是1，－2. 12．C 13.A 14.B15．B [解析] 由已知，得x 1＋x 2＝－3，x 1·x 2＝－3，则原式＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2＝（－3）2－2×（－3）－3＝－5.故选B.16．解：∵x 1，x 2是方程2x 2＋4x －3＝0的两根， ∴x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝－32.(1)原式＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝－32－2＋1＝－52.(2)原式＝x 1x 2(x 1＋x 2)＝－32×(－2)＝3.(3)∵x 1是方程2x 2＋4x －3＝0的一个根， ∴2x 12＋4x 1－3＝0，∴x 12＋2x 1＝32，∴x 12＋x 1x 2＋2x 1＝32－32＝0.17．解：(1)∵方程x 2－4x ＋m ＝0有实数根，∴b 2－4ac ＝(－4)2－4m ≥0，∴m ≤4.(2)∵方程x 2－4x ＋m ＝0的两实数根为x 1，x 2， ∴x 1＋x 2＝4.①又∵5x 1＋2x 2＝2，②联立①②解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2，x 2＝6，∴m ＝x 1·x 2＝－2×6＝－12. 18．解：(1)∵方程x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2－4＝0有两个不相等的实数根，∴(2m ＋1)2－4(m 2－4)＝4m ＋17＞0， 解得m ＞－174.∴当m ＞－174时，方程有两个不相等的实数根．(2)设方程的两根分别为a ，b .根据题意，得a ＋b ＝－2m －1，ab ＝m 2－4.∵2a ，2b 为边长为5的菱形的两条对角线的长，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝(－2m －1)2－2(m 2－4)＝2m 2＋4m ＋9＝52＝25， 解得m ＝－4或m ＝2. ∵a ＞0，b ＞0，∴a ＋b ＝－2m －1＞0，ab ＝m 2－4>0， ∴m ＝－4.19．解：由题意可知x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝－2018，且x 12－x 1－2018＝0，∴x 12＝x 1＋2018，①将①式两边同时乘x 1，得x 13＝x 12＋2018x 1.②将①代入②，得x 13＝2019x 1＋2018.∴x 13＋2019x 2－2018＝2019x 1＋2018＋2019x 2－2018＝2019(x 1＋x 2)＝2019.。
【配套K12】[学习]2018年秋九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程 21.3 实际问题与一元
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21.3实际问题与一元二次方程第1课时一、学习目标：1、会根据具体问题（按一定传播速度传播问题、数字问题等）中的数量关系列一元二次方程并求解；2、能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理；3、进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.二、学习重难点：重点：列一元二次方程解决传播速度传播问题、数字问题等难点：握列方程解应用题的步骤和关键探究案三、合作探究复习引入列方程解应用题的一般步骤是什么？活动1：小组合作问题1参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手10次,有多少人参加聚会?归纳总结：列一元二次方程解应用题的一般步骤:活动2：合作探究有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?变式训练某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少个小分支？活动3：拓展延伸列一元二次方程解应用题时，一般的解题步骤和要注意问题归纳如下：归纳：你能说说本节课所研究的“传播问题”的基本特征吗？解决此类问题的关键步骤是什么？随堂检测1. 两个正数的差是2，它们的平方和是52，则这两个数是( )A.2和4B.6和8C.4和6D.8和102.有一根月季，它的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，设每个枝干长出x个小分支，根据题意可列方程为（）A.1+x+x(1+x)=73B.1+x+x2=73C.1+x2 =73D.(1+x)2=733. 一个两位数，它的两个数字之和为6，把这两个数字交换位置后所形成的两位数与原两位数的积是1008，求原来的两位数.4.甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？5.要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排15场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?6. 某种电脑病毒传播非常快，如果有一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染。
2018年秋九年级数学上册 第1章 一元二次方程 1.2 一元二次方程的解法 第2课时 用配方法解一
第1章 一元二次方程1 .2 第2课时 用配方法解一元二次方程(二次项系数为1)知识点 1 用配方法把方程转化为(x ＋m )2＝n 的形式1．用配方法解方程x 2－6x ＝16时，应在方程两边同时加上( )A ．3B ．9C ．6D ．362．[2017·舟山] 用配方法解方程x 2＋2x －1＝0时，配方结果正确的是( )A ．(x ＋2)2＝2B ．(x ＋1)2＝2C ．(x ＋2)2＝3D ．(x ＋1)2＝33．将一元二次方程x 2－6x －3＝0化成(x ＋a)2＝b 的形式，则b 等于( )A ．－4B ．4C ．－12D ．124．若将方程x 2＋6x ＝7化为(x ＋m)2＝16，则m ＝________．5．若把一元二次方程x 2－ax ＋47＝0配方后，变为(x －7)2＝2，则a ＝________．知识点 2 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程6．一元二次方程a 2－4a －7＝0的解为________．7．教材例3变式若a ，b 为方程x 2－4(x ＋1)＝1的两根，且a ＞b ，则a b＝________．8．解方程：x 2＋6x ＝－3.解：在方程x 2＋6x ＝－3的两边都加上9，得x 2＋6x ＋9＝6，即(________)2＝6.直接开平方，得________，所以x ＝________，即x 1＝________，x 2＝________．9．用配方法解下列方程：(1)y 2－2y ＝3； (2)x 2－6x －6＝0；(3)x 2＋9＝6x; (4)x 2－23x －89＝0.10．当x 取什么值时，代数式x 2－1的值与2x ＋1的值相等？11．如果方程x 2－6x ＋q ＝0可以配方成(x －p )2＝7的形式，那么x 2－6x ＋q ＝2可以配方成( )A ．(x －p )2＝5B ．(x －p )2＝9C ．(x －p ＋2)2＝9D ．(x －p ＋2)2＝512．用配方法解关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0，此方程可变形为( )A ．(x ＋m 2)2＝4n －m 24B ．(x ＋m 2)2＝m 2－4n 4C ．(x ＋m 2)2＝m 2－4n 2D ．(x ＋m 2)2＝4n －m 2213．若关于x 的一元二次方程x 2＋(k －1)x ＋16＝0的左边恰好是一个完全平方式，则k ＝________．14．若x ＝0是一元二次方程(m －2)x 2＋3x ＋m 2＋2m －8＝0的解，则m ＝________．15．王洪同学在解方程x 2－2x －1＝0时是这样做的：解：方程x 2－2x －1＝0变形为x 2－2x ＝1，第一步∴x (x －2)＝1，第二步∴x ＝1或x －2＝1，第三步∴x 1＝1，x 2＝3.第四步(1)王洪的解法从第________步开始出现错误；(2)请你选择适当的方法，正确解此方程．16．已知实数a ，b 满足(a 2＋b 2)2－8(a 2＋b 2)－9＝0，求a 2＋b 2的值．17．已知当x ＝2时，二次三项式x 2－2mx ＋8的值等于4，那么当x 为何值时，这个二次三项式的值是9?18．对于多项式x 2－3x ＋194，无论x 取何值，计算出的多项式的值总为正数，你能说明其中的道理吗？你知道当x 取何值时，多项式的值最小吗？最小值是多少？详解详析1．B 2.B3．D [解析] ∵x 2－6x －3＝0，∴x 2－6x ＝3，∴x 2－6x ＋9＝3＋9，即(x －3)2＝12，∴b ＝12.4．3 [解析] 在方程x 2＋6x ＝7的两边同时加上一次项系数一半的平方，得 x 2＋6x ＋32＝7＋32，整理，得(x ＋3)2＝16，所以m ＝3.5．146．a 1＝2＋11，a 2＝2－117．－58．x ＋3 x ＋3＝± 6 －3± 6 －3＋ 6－3－ 69．解：(1)配方，得y 2－2y ＋1＝3＋1，即(y －1)2＝4.两边开平方，得y －1＝±2，所以y 1＝3，y 2＝－1.(2)移项、配方，得(x －3)2＝15.两边开平方，得x －3＝±15，所以x 1＝3＋15，x 2＝3－15.(3)移项，得x 2－6x ＋9＝0，即(x －3)2＝0，解得x 1＝x 2＝3. (4)移项，得x 2－23x ＝89.配方，得x 2－23x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝89＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＝1.两边开平方，得x －13＝±1，所以x 1＝43，x 2＝－23.10．解：根据题意，得x 2－1＝2x ＋1，即x 2－2x ＝2.配方，得x 2－2x ＋1＝2＋1， 即(x －1)2＝3. 开方，得x －1＝±3，解得x ＝1±3，∴当x ＝1±3时，代数式x 2－1的值与2x ＋1的值相等．11．B [解析] ∵x 2－6x ＋q ＝0，∴x 2－6x ＝－q ，∴x 2－6x ＋9＝－q ＋9，∴(x －3)2＝9－q .根据题意，得p ＝3，9－q ＝7，∴p ＝3，q ＝2，则x 2－6x ＋q ＝2即方程x 2－6x ＋2＝2，∴x 2－6x ＝0，∴x 2－6x ＋9＝9，∴(x －3)2＝9，即(x －p )2＝9.12．B13．9或－714．－415．解：(1)王洪的解法从第三步开始出现错误．(2)x 2－2x ＝1，x 2－2x ＋1＝1＋1，(x －1)2＝2， x －1＝±2，∴x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2.16．解：令x ＝a 2＋b 2.则原方程可化为x 2－8x －9＝0.配方，得(x －4)2＝25，解得x 1＝－1，x 2＝9.又∵a 2＋b 2≥0，∴a 2＋b 2＝9.17．解：把x ＝2代入x 2－2mx ＋8＝4，得4－4m ＋8＝4，∴m ＝2.把m ＝2代入x 2－2mx ＋8＝9，得x 2－4x ＋8＝9，即x 2－4x ＝1，配方，得(x －2)2＝5，∴x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5.即当x 等于2＋5或2－5时，这个二次三项式的值是9. 18． [解析] 多项式x 2－3x ＋194可配方变形为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋52，而⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322≥0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋52≥52， 故当x ＝32时，原多项式有最小值，为52. 解：x 2－3x ＋194＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋52. ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322≥0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋52≥52， 故对于多项式x 2－3x ＋194，无论x 取何值，计算出的多项式的值总为正数，当x ＝32时，多项式的值最小，最小值为52.。
2017_2018学年九年级数学上册第一章一元二次方程第1讲_第14讲讲义新版苏科版201902151127
第1讲一元二次方程新知新讲题一：下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由．(1)3x+2=5x；(2)x2 = 4；(3)x2 x+2)2．题二：将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：(1)6y2 = y；(2)(x2)(x+3)=8；(3)(x+3)(3x4)=(x+2)2．金题精讲题一：关于x的方程mx m+1+3x=6是一元二次方程，求m的值．题二：已知关于x的方程(a+8)x2 +2x+3+a=0是一元二次方程，则a_______．题三：关于x的方程(m x2 +nx+m=0，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方程？第2讲一元二次方程的根新知新讲题一：下面哪些数是方程2x2 +10x+12=0的根？-4，，，，0，1，2，3，4．金题精讲题一：已知方程5x2 +mx6=0的一个根是x=3，则m的值为________．题二：如果x=2是方程x2-m=0的一个根，求m的值和方程的另一个根．题三：你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？(1)x264=0；(2)3-27x2 =0；(3)4(1-x)2-9=0．题四：若x=1是关于x的一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)的一个根，求代数式2010(a+b+c)的值．第3讲解一元二次方程——直接开方法新知新讲题一：用直接开方法解下列方程．(1)x2-16=0；(2)4x2-25=0．题二：解下列方程．(1)(2x 2 = 49；(2)3(x 2 ．金题精讲题一：解下列方程．(1)(x +2)(x ；(2)x 2 +6x +9=2；(3)x 2 +2x +1=0；(4)4x 2 x +9=0．第4讲 解一元二次方程——配方法新知新讲配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法称为配方法．题一：(1)x 2+8x +_____=(x +_____)2(2)x 2-10x +_____=(x -_____)2 (3)x 232-x +_____=(x -_____)2配方法的步骤：(1)化二次项系数为(2)移项：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项(3)方程两边各加上 的平方，使方程变形为2()(0)x m n n +=≥的形式(4)用直接开方法求方程的解题二：解下列方程．(1)x 2 x ；(2)3x 2 x +4=0．金题精讲题一：解下列方程．(1)2x 2 +1=3x ；(2)x (x + 4)=8x +12．第5讲 解一元二次方程——公式法（一）新知新讲题一：解方程：2x 2-x -1=0金题精讲题一：解下列方程.(1)2102x += (2)4x 2-3x +2=0第6讲 解一元二次方程——公式法（二）新知新讲题一：解方程：23x +=(2)(13)6x x --=金题精讲题一：m 取什么值时，方程22(21)40x m x m +++-=有两个相等的实数解．题二：关于x 的一元二次方程 2210kx x +-= 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．题三：无论p 为何值，方程2(3)(2)0x x p ---=总有两个不相等的实数根？试证明？第7讲 解一元二次方程——因式分解法（一）新知新讲因式分解法：题一：解下列方程：(1)(2)20x x x -+-=；(2)221352244x x x x --=-+．金题精讲题一：解下列方程：(1)241210x -=；(2)3(21)42x x x +=+；(3)22(4)(52)x x -=-．第8讲 解一元二次方程——因式分解法（二）因式分解：一提，二套，三十字题一：解下列方程：(1)2(2)24x x -=-(2)23x -=-新知新讲十字相乘：2()()()x a b x ab x a x b -++=--题一：解下列方程：(1)x 2-3x -4=0(2)x 2-7x +6=0(3)x 2+4x -5=0金题精讲 题一：今年初，湖北武穴市发生禽流感，某养鸡专业户在禽流感后，打算改建养鸡场，建一个面积为150m2的长方形养鸡场．为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长a m ，另三边用竹篱围成，如果篱笆的长为35m ，问鸡场长与宽各为多少？（其中a ≥20m）第9讲 一元二次方程综合金题精讲题一：若关于x 的方程()2310m m xx -+-=是一元二次方程，则m 的值是________．题二：解方程：2230x x --=题三：若关于x 的方程231)0ax a x a --+=有实根，则a 的取值范围是什么？第10讲 一元二次方程根与系数关系金题精讲题一：求方程22430x x +-=的两根的和与两根的积．题二：已知方程22530x x --=的一个根是3，不解方程求这个方程的另一个根．题三：已知方程23580x x +-=的两根x 1，x 2，利用根与系数的关系求11(1)x x +12(3)(2)(2)x x --212(4)()x x -第11讲 一元二次方程根与系数关系习题训练金题精讲题一：若关于x 的方程22(2)(2)10m x m x ---+=的两个根互为倒数，则m =______．题二：已知21a a =-，21b b =-，且a ≠b ，求(a b 的值．题三：关于x 的方程2230x x m -+=，当_______时，方程有两个正数根；当_______时，方程有一个正根，一个负根；当_______时，方程有一个根为0．第12讲 一元二次方程的应用（一）金题精讲题一：某厂生产一种旅行包，每个旅行包的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部旅行包的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过550个．(1)设销售商一次订购量为x 个，旅行包的实际出厂单价为y 元，写出当一次订购量超过100个时，y 与x 的函数关系式．(2)求当销售商一次订购多少个旅行包时，可使该厂获得利润6000元？（售出一个旅行包的利润=实际出厂单价成本）第13讲 一元二次方程的应用（二）金题精讲题一：一辆汽车以20m /s 的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m 后停车．(1)从刹车到停车用了多少时间？(2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？(3)刹车后汽车滑行到15m 时约用了多少时间？题二：一个小球以5m /s 的速度开始向前滚动，并且均匀减速，滚动10m 后小球停下来．(1)小球滚动了多少时间？(2)平均每秒小球的运动速度减少多少？(3)小球滚动到5m 时约用了多少时间？第14讲一元二次方程的应用（三）金题精讲题一：一块长和宽分别为40cm，28cm的矩形铁皮，在它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的364cm2．求截去的小正方形的边长．题二：某工厂一种产品2014年的产量是100万件，计划2016年产量达到121万件．假设2014年到2016年这种产品产量的年增长率相同．（1）求2014年到2016年这种产品产量的年增长率；（2）2015年这种产品的产量应达到多少万件？题三：某项工作，甲、乙两组合作8天可以完成，已知甲组单独完成全部工作所需时间比乙组单独完成全部工作所需时间少12天，问单独完成全部工作甲组、乙组各需多少天？讲义参考答案第1讲 一元二次方程新知新讲题一：(2)，因为(1)(3)中的x 只有一次项没有二次项．题二：(1)6y 2－y =0，二次项系数为6，一次项系数为－1，常数项为0； 或者－6y 2+y =0，二次项系数为－6，一次项系数为1，常数项为0；(2)x 2+x －14=0，二次项系数为1，一次项系数为1，常数项为－14；(3)2x 2+x －16=0，二次项系数为2，一次项系数为1，常数项为－16． 金题精讲题一：1．题二：≠－8．题三：当m ≠3时，关于x 的方程(m x 2 +nx +m =0为一元二次方程； 当30m n =⎧⎨≠⎩时，关于x 的方程(m x 2 +nx +m =0为一元一次方程． 第2讲 一元二次方程的根新知新讲 题一：，．金题精讲 题一：．题二：4，．题三：(1)18x =，2x =8；(2)113x =，213x =-；(3)112x =-，252x =．题四：0．第3讲 解一元二次方程——直接开方法新知新讲题一：(1)1x =-4，2x =4；(2)152x =，252x =-．题二：(1)15x =，22x =-；(2)11x =，21x =-． 金题精讲题一：(1)13x =-，23x =；(2)13x =，23x =-；(3)12x x ==1；(4)12x x ==32．第4讲 解一元二次方程——配方法 新知新讲题一：(1)16，4；(2)25，5；(3)916，34．题二：(1)1x =1，21x =-；(2)方程无实数解．金题精讲题一：(1)1x =1，2x =12；(2)1x =6，2x =2．第5讲 解一元二次方程——公式法（一）新知新讲题一：1x =1，212x =-．金题精讲题一：(1)12x x ==(2)方程无解．第6讲 解一元二次方程——公式法（二）新知新讲题一：12x x ==；方程无实数根．金题精讲题一：174 -．题二：1k>-且0k≠．题三：∵(x－3)(x－2)－p2=0，∴x2－5x+6－p2=0，∴a=1，b=－5，c=6﹣p2，∴△=25－4(6－p2)=1+4p2，∵p2≥0，∴4p2≥0，∴1+4p2＞0，即△＞0，∴无论p取何值，方程(x－3)(x－2)－p2=0总有两个不相等的实数根．第7讲解一元二次方程——因式分解法（一）新知新讲题一：(1)11x=-，22x=；(2)11 2x=，21 2x=-．金题精讲题一：(1)111 2x=，211 2x=-；(2)12 3x=，21 2x=-；(3)11x=，23x=．第8讲解一元二次方程——因式分解法（二）题一：(1)x1=2，x2=4；(2)x1=x2新知新讲题一：(1)x1=1-，x2=4；(2)x1=1，x2=6；(3)x1=1，x2=5-．金题精讲题一：长15m，宽10m或长20m，宽7.5m．第9讲一元二次方程综合金题精讲题一：2．题二：3，1．题三：12a≤．第10讲一元二次方程根与系数关系金题精讲题一：2，32-．题二：12-．题三：(1)58；(2)739；(3)143；(4)1219．第11讲一元二次方程根与系数关系习题训练金题精讲题一：1．题三：98m<≤；0m<；0m=．第12讲一元二次方程的应用（一）金题精讲题一：(1)y=-0.02x+62，(100<x≤550)；(2)500．第13讲一元二次方程的应用（二）金题精讲题一：(1)2.5s；(2)8m/s；．题二：(1)4s；(2)1.25m/s；(3)(4-．第14讲一元二次方程的应用(三) 金题精讲题一：7cm．题二：10%；110．题三：12，24。
[K12配套]2018年秋九年级数学上册第1章一元二次方程1.4用一元二次方程解决问题第1课时面积问题与平均增长率
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第1章一元二次方程1.4 第1课时面积问题与平均增长率问题知识点 1 面积问题1．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图1－4－1)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形的边长．设原正方形空地的边长为x m，则可列方程为( )A．(x＋1)(x＋2)＝18 B．x2－3x＋16＝0C．(x－1)(x－2)＝18 D．x2＋3x＋16＝0图1－4－1图1－4－22．[2017·兰州] 王叔叔从市场上买了一块长80 cm，宽70 cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱，如图1－4－2，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为x cm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000 cm2的无盖长方体工具箱，根据题意列方程为( ) A．(80－x)(70－x)＝3000B．80×70－4x2＝3000C．(80－2x)(70－2x)＝3000D．80×70－4x2－(70＋80)x＝30003．在一幅长60 cm、宽40 cm的矩形风景画的四周镶一条宽度相同的金色边框，制成一幅面积是3500 cm2的矩形挂图，那么金色边框的宽为________cm.4．如图1－4－3，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12 m的住房墙，另外三边用25 m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1 m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80 m2?图1－4－3知识点 2 增长(降低)率问题5．[2017·衡阳] 中国“一带一路”倡议给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2015年人均年收入200美元，预计2017年人均年收入将达到1000美元．设2015年到2017年该地区居民人均年收入平均增长率为x，可列方程为( )A ．200(1＋2x)＝1000B ．200(1＋x)2＝1000C ．200(1＋x 2)＝1000D ．200＋2x ＝10006．2016·徐州模拟某种药品原价为35元/盒，经过连续两次降价后售价为26元/盒．设平均每次降价的百分率为x ，根据题意所列方程正确的是( )A ．35(1－x)2＝35－26B ．35(1－2x)＝26C ．35(1－x)2＝26D ．35(1－x 2)＝267．某商品的售价为100元，连续两次降价x%后售价降低了36元，则x 为( ) A ．8 B ．20 C ．36 D ．188．[2017·黑龙江] 原价100元的某商品，连续两次降价后售价为81元．若每次降价的百分率相同，则降价的百分率为________．9．2017·太原期中为积极响应国家提出的“大众创业，万众创新”号召，某市加大了对“双创”工作的支持力度．据悉，2015年该市此项拨款为1.5亿元，2017年的拨款达到2.16亿元，这两年该市对“双创”工作专项拨款的平均增长率为________．10．已知某工厂计划经过两年时间，把某种产品从现在的年产量100万台提高到121万台，那么平均每年增长的百分率是________；按此平均增长率，预计再经过两年，该工厂的年产量是________万台．11．某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率．12．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是( )A ．50(1＋x 2)＝196B ．50＋50(1＋x 2)＝196C ．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196D ．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝19613．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据时间和场地等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x 个队参赛，则x 满足的关系式为( )A .12x ()x ＋1＝28B .12x ()x －1＝28 C ．x ()x ＋1＝28 D ．x ()x －1＝28图1－4－414．如图1－4－4是某广场一角的矩形花草区，其长为40 m ，宽为26 m ，其间有三条等宽的路，一条直路，两条曲路，路以外的地方全部种上花草，要使花草的面积为864 m 2，则路的宽度为________m .15．[2017·襄阳] 受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”倡议等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高．据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元．(1)求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率；(2)若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，则该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？16．教材“问题1”变式李明准备进行如下操作实验：把一根长40 cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积和等于58 cm2，李明应该怎样剪这根铁丝？(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.你认为他的说法正确吗？请说明理由．17．[2017·烟台] 今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动．现需要购进100个某品牌的足球供学生使用．经调查，该品牌足球2015年的价格为200元/个，2017年的价格为162元/个．(1)求2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；(2)选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案：图1－4－5试问去哪个商场购买足球更优惠？详解详析1．C 2.C3．5 [解析] 设金色边框的宽为x cm，则整幅挂图的长为(2x＋60)cm，宽为(2x＋40)cm.依题意，得(2x＋60)(2x＋40)＝3500，整理，得x2＋50x－275＝0，解得x1＝5，x2＝－55(不符合题意，舍去)．4．解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m，则平行于住房墙的一边长为(26－2x)m.依题意，得x(26－2x)＝80.化简，得x2－13x＋40＝0.解这个方程，得x1＝5，x2＝8.当x＝5时，26－2x＝16>12(舍去)；当x＝8时，26－2x＝10<12.答：所围矩形猪舍的长为10 m，宽为8 m.5．B 6.C7.B8．10% [解析] 设每次降价的百分率是x.根据题意列方程，得100(1－x)2＝81，解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不符合题意，舍去)．故答案为10%.9．20% [解析] 设这两年该市对“双创”工作专项拨款的平均增长率为x.根据题意，得1.5(1＋x)2＝2.16，解得x1＝0.2，x2＝－2.2(舍去)．即这两年该市对“双创”工作专项拨款的平均增长率为20%.故答案为20%.10．10% 146.41 [解析] (1)设平均增长率为x，则100(1＋x)2＝121，解得x1＝0.1，x2＝－2.1(舍去)，故年平均增长率为10%；(2)又经过两年，其年产量为121×(1＋10%)2＝146.41(万台)．11．设这个增长率为x.依题意，得20(1＋x)2－20(1＋x)＝4.8，解得x1＝0.2，x2＝－1.2(不合题意，舍去).0.2×100%＝20%.答：这个增长率是20%.12．C[解析] 依题意，得八、九月份的产量分别为50(1＋x)万个，50(1＋x)2万个，∴50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196.13．B14．2 [解析] 设路的宽度是x m．根据题意，得(40－2x)(26－x)＝864，整理，得x2－46x＋88＝0，解得x＝2或x＝44(不合题意，舍去)．15．解：(1)设该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为x.根据题意，得2(1＋x)2＝2.88，解这个方程，得x1＝0.2，x2＝－2.2(不合题意，舍去).0.2×100%＝20%.答：该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为20%.(2)根据题意，得2.88×(1＋20%)＝3.456(万元)>3.4万元．答：该企业2017年的利润能超过3.4亿元．16．解：(1)设其中一个正方形的边长为x cm，则另一个正方形的边长为(10－x)cm.由题意，得x2＋(10－x)2＝58.解得x1＝3，x2＝7.4×3＝12(cm)，4×7＝28(cm)，∴李明应该把铁丝剪成12 cm和28 cm的两段．(2)李明的说法正确．理由如下：设其中一个正方形的边长为y cm，则另一个正方形的边长为(10－y)cm.由题意，得y2＋(10－y)2＝48，整理，得y2－10y＋26＝0.∵(－10)2－4×1×26＝－4＜0，∴此方程无实数根．即这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2，∴李明的说法是正确的．17．解：(1)设该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x.根据题意，得200(1－x)2＝162，解得x＝0.1或x＝1.9(舍去)．0．1×100%＝10%.答：2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%.(2)到A商场购买91个足球，赠送9个足球，共100个足球，总价为91×162＝14742(元)．到B商场购买，总价为100×162×0.9＝14580(元)．∵14580＜14742，∴去B商场购买合算．。
九年级数学上册 第1章 一元二次方程 1.4 用一元二次方程解决问题(3)
D
C
28cm2，则AP、PB、BQ、QC的长度
(chángdù)分别可用含x的代数式表示，从而
Rt △DAP 、 Rt △PBQ、
Q
Rt △QCD的面积也都可以用含x的代数
式表示，于是可以列出方程．
AP
B
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1.4 用一元二次方程解决问题（3）
解：设xs后△DPQ的面积等于28cm2，则
75km/h的速度在B处将可疑船只拦截．缉私艇从C处 到B处需航行多长时间？
分析：设缉私艇从C处到B A 处需航行xh，则AB＝60xkm，
BC＝75xkm．根据题意，可知
△ABC是直角三角形，利用(lìyòng)
勾股定理可以列出方程．
C
B北
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1.4 用一元二次方程解决问题（3）
初中 数学 (chūzhōng) 九年级(上册)
1.4 用一元二次方程解决问题(3)
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1.4 用一元二次方程解决问题（3）
【回顾(huígù)】
解应用题的一般(yībān)步骤．
第一步：设未知数(单位名称)； 第二步：列出方程(fāngchéng)；
第三步：解这个方程，求出未知数的值； 第四步：验(1)值是否符合实际意义；
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内容 总结 (nèiróng)
1.4 用一元二次方程解决问题(3)。1.4 用一元二次方程解决问题（3）。如图，海关缉私人员 驾艇在C处发现(fāxiàn)在正北方向30km的A处有一艘可疑船只，并测得它正以60km/h的速度向正东方
No 向航行．缉私艇随即以75km/h的速度在B处将可疑船只拦截．缉私艇从C处到B处需航行多长时间。解：
2018年秋九年级数学上册 第1章 一元二次方程 1.4 用一元二次方程解决问题 第2课时 市场营销
第1章一元二次方程1.4 第2课时市场营销问题知识点市场营销问题1．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，则平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，则每盆应多植多少株？设每盆应多植x株，则可以列出的方程是( )A．(x＋3)(4－0.5x)＝15B．(x＋3)(4＋0.5x)＝15C．(x＋4)(3－0.5x)＝15D．(x＋1)(4－0.5x)＝152．某商店以每件16元的价格购进一批商品，物价局限定，每件商品的利润不得超过30%.若每件商品售价定为x元，则可卖出(170－5x)件，商店预期要盈利280元，那么每件商品的售价应定为( )A．20元 B．20.8元C．20元或30元 D．30元3．某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件，如果每件涨价1元，那么每星期少卖出10件．设每件涨价x元，则每星期的销量为__________件，此时，每件商品的利润为__________元．若使每星期的利润为1560元，则可得方程为________________________．4．小丽为校合唱队购买某种服装时，商场经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，那么单价为80元/件；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元/件．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元，则她购买了多少件这种服装？5．[2017·菏泽] 列方程解应用题：某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，则每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，则这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获得20000元的利润？6．某核桃专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20千克．若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2240元．(1)每千克核桃应降价多少元？(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？7．天山旅行社为吸引顾客组团去具有特殊地貌特征的黄果树风景区旅游，推出了如下收费标准：图1－4－6某单位组织员工去具有特殊地貌特征的黄果树风景区旅游，共支付给天山旅行社旅游费用27000元，则该单位这次共有多少名员工去具有特殊地貌特征的黄果树风景区旅游？8．某汽车销售公司5月份销售某型号汽车．当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元．根据市场调查，月销售量不会突破30台．(1)设当月该型号汽车的销售量为x辆(x≤30，且x正为整数)，实际进价为y万元/辆，求y与x之间的函数表达式；(2)已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润为45万元，那么该月需要售出多少辆汽车？(注：销售利润＝销售价－进价)9．某运动器材公司推出一款篮球，销售单价定为40元/个，在该篮球试销期间，为了鼓励消费者购买，公司推出了团购业务：一次购买这种篮球不超过10个时，每个按40元销售；若一次购买这种篮球超过10个，则每多购买一个，每个篮球的销售单价均降低0.5元，但团购数量不得超过40个．(1)当一次购买这种篮球40个时，销售单价为每个________元；当一次购买这种篮球________个时，销售单价恰好为每个35元．(2)某校一次购买这种篮球共付款900元，则该校购买了这种篮球多少个？10．学校为奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买某种奖品，他看到下表所示的关于该奖品的销售信息，便用1400元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数．详解详析1．A2．A [解析] 设每件商品的售价应定为x 元，则利润为(x －16)元．由题意，得(170－5x)(x －16)＝280，解得x 1＝20，x 2＝30.∵每件商品的利润不得超过30%，∴x ＝30不合题意，舍去．故选A .3．(150－10x) (10＋x) (150－10x)(10＋x)＝15604．[解析] 根据“一次性购买多于10件，每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元”表示出每件服装的单价，进而列方程求解即可．解：因为购买10件服装的总钱数为10×80＝800(元)＜1200元，所以小丽购买件数超过了10件．设小丽购买了x 件这种服装．根据题意，得[80－2(x －10)]x ＝1200，解得x 1＝20，x 2＝30.当x ＝20时，80－2×(20－10)＝60>50，符合题意；当x ＝30时，80－2×(30－10)＝40＜50，不合题意，舍去．答：她购买了20件这种服装．5．解：设销售单价为x 元．根据题意，得(x －360)[160＋2(480－x)]＝20000，整理，得x 2－920x ＋211600＝0，解得x 1＝x 2＝460.答：这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获得20000元的利润．6．解：(1)设每千克核桃应降价x 元．根据题意，得(60－x －40)(100＋x 2×20)＝2240. 解得x 1＝4，x 2＝6.答：每千克核桃应降价4元或6元．(2)为让利于顾客，每千克核桃应降价6元，即每千克核桃的售价为54元，54÷60＝0.9. 答：该店应按原售价的九折出售．7．解：设该单位这次共有x 名员工去具有特殊地貌特征的黄果树风景区旅游． 因为1000×25＝25000(元)<27000元，所以员工人数一定超过25人．可列方程[1000－20×(x－25)]x ＝27000.整理，得x 2－75x ＋1350＝0，解得x 1＝45，x 2＝30.当x 1＝45时，1000－20×(x－25)＝600<700，不符合题意，舍去；当x 2＝30时，1000－20×(x－25)＝900>700，符合题意．答：该单位这次共有30名员工去具有特殊地貌特征的黄果树风景区旅游．8．解：(1)①当0≤x≤5且x 为整数时，y ＝30；②当5＜x≤30且x 为整数时，y ＝30－0.1×(x －5)＝－0.1x ＋30.5.故y 与x 之间的函数表达式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧30（0≤x≤5且x 为整数）；－0.1x ＋30.5（5＜x≤30且x 为整数）. (2)若该月销售量低于5辆，则销售利润为(32－30)×5＝10(万元)＜45万元，因此销售量要多于5辆．设该月售出x(x>5)辆汽车，则由题意，得x[32－(－0.1x＋30.5)]＝45，解得x1＝15，x2＝－30(舍去)．答：该月需要售出15辆汽车．9． (1)25 20(2)设该校购买这种篮球x个．因为10×40＝400(元)＜900元，所以x＞10.根据题意，得[40－0.5×(x－10)]x＝900，解得x1＝30，x2＝60(舍去)．答：该校购买了这种篮球30个．10．解：∵30×40＝1200(元)＜1400元，∴奖品数超过了30件．设奖品数为x件，则每件奖品的价格为[40－(x－30)×0.5]元．根据题意，得x[40－(x－30)×0.5]＝1400，解得x1＝40，x2＝70.∵单价不得低于30元，∴x＝70不符合题意，舍去．答：王老师购买该奖品的件数为40件．。
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第1章 一元二次方程
1 .
2 第4课时 用公式法解一元二次方程
知识点 1 一元二次方程的求根公式
1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根由方程的各项系数________确定的，其求根
公式是__________，方程存在解的条件是______________．
2．用公式法解一元二次方程3x 2＝2x －3时，首先要确定a ，b ，c 的值，下列叙述正确
的是( )
A ．a ＝3，b ＝2，c ＝3
B ．a ＝－3，b ＝2，c ＝3
C ．a ＝3，b ＝2，c ＝－3
D ．a ＝3，b ＝－2，c ＝3
3．用求根公式解一元二次方程2y 2－4y －1＝0，其中b 2－4ac 的值是( )
A ．8
B ．12
C ．20
D ．24
知识点 2 用公式法解一元二次方程
4．用公式法解一元二次方程－x 2＋3x ＝1.
解：把这个方程化为一般形式为x 2－3x ＋1＝0.
∵a ＝________，b ＝________，c ＝________，
∴b 2－4ac ＝________，
∴x ＝________，
∴x 1＝________，x 2＝________．
5．用公式法解方程3x 2－5x ＋1＝0，正确的是( )
A ．x ＝－5±136
B ．x ＝－5±133
C ．x ＝5±136
D ．x ＝5±133
6．[2016·沈阳] 一元二次方程x 2
－4x ＝12的根是( )
A ．x 1＝2，x 2＝－6
B ．x 1＝－2，x 2＝6
C ．x 1＝－2，x 2＝－6
D ．x 1＝2，x 2＝6
7．若代数式x 2－6x ＋5的值是12，则x 的值为( )
A ．7或－1
B ．1或－5
C ．－1或－5
D ．不能确定
8．已知代数式7x(x ＋5)＋10的值与9x －9的值互为相反数，则x ＝________．
9．用公式法解下列方程：
(1)x 2＋4x －1＝0； (2)x 2－13x ＋40＝0；
(3)2x 2－3x ＋4＝0; (4)23
t 2＝2t －1；
(5)3y 2＋1＝2 3y; (6)5x 2－5x －6＝0.
10．解方程x 2＝－3x ＋2时，有一名同学的解答过程如下：
解：∵a＝1，b ＝3，c ＝2，
b 2－4a
c ＝32－4×1×2＝1>0，
∴x ＝－b±b 2
－4ac 2a ＝－3± 12×1＝－3±12
， 即x 1＝－2，x 2＝－1.
请你分析以上解答有无错误，若有错误，请写出正确的解题过程．
11．如果x 2－4x ＋5＝(x ＋1)0，那么x 的值为( )
A ．2或－1
B ．0或1
C ．2
D ．－1
12．一元二次方程x 2－2x －6＝0，其中较大的一个根为x 1，下列最接近x 1的范围是( )
A ．3＜x 1＜4
B ．3＜x 1＜3.5
C ．3.5＜x 1＜3.7
D ．3.7＜x 1＜4
13．三角形两边的长分别为3和6，第三边的长是方程x 2－13x ＋36＝0的根，则三角形
的周长为________．
14．解方程：(x －1)2－2(x －1)－3＝0.
15．已知一元二次方程x 2－2x －54＝0的某个根也是一元二次方程x 2－(k ＋2)x ＋94
＝0的根，求k 的值．
16．已知一个矩形的相邻两边长分别为2m－1和m＋3，若此矩形的面积为30，求这个矩形的周长．
17．若x2＋mx＋15＝(x＋5)(x＋n)，试解关于x的方程nx2＋mx＋1＝0.
18．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0.
(1)求出此方程的根；
(2)当m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
详解详析
1．a ，b ，c x ＝－b±b 2
－4ac 2a
b 2－4ac≥0 2．D 3.D
4．1 －3 1 5 3±52 3＋52 3－52 5．C
6．B [解析] 方程整理得x 2－4x －12＝0，用公式法解得x 1＝－2，x 2＝6.
7． A [解析] x 2－6x ＋5＝12，
x 2－6x ＋5－12＝0，
x 2－6x －7＝0，
∴x ＝6±82
， 解得x 1＝－1，x 2＝7. 故选A .
8.－22±3537
9．解：(1)∵a＝1，b ＝4，c ＝－1，
b 2－4a
c ＝42－4×1×(－1)＝20>0，
∴x ＝－4±202
，∴x ＝－2±5， 即x 1＝－2＋5，x 2＝－2－ 5.
(2)∵a＝1，b ＝－13，c ＝40，
b 2－4a
c ＝(－13)2－4×1×40＝9，
∴x ＝13±92＝13±32
， ∴x 1＝8，x 2＝5.
(3)∵a＝2，b ＝－3，c ＝4，
b 2－4a
c ＝(－3)2－4×2×4＝－23＜0，
∴原方程无实数根．
(4)整理，得2t 2－6t ＋3＝0.
∵a ＝2，b ＝－6，c ＝3，
b 2－4a
c ＝(－6)2－4×2×3＝12＞0，
∴t ＝－（－6）±122×2＝3±32
， 即t 1＝3＋32，t 2＝3－32
. (5)移项，得3y 2
－2 3y ＋1＝0.
∵a ＝3，b ＝－2 3，c ＝1，
b 2－4a
c ＝(－2 3)2－4×3×1＝0，
∴y ＝－（－2 3）±02×3＝33，
即y 1＝y 2＝
33. (6)∵a＝5，b ＝－5，c ＝－6，
b 2－4a
c ＝()－52
－4×5×(－6)＝125>0，
∴x ＝－（－5）±1252×5＝5±5 510
， 即x 1＝3 55，x 2＝－2 55
. 10．解：解答有错误，正确的解题过程如下：
方程整理，得x 2＋3x －2＝0.
这里a ＝1，b ＝3，c ＝－2.
∵b 2－4ac ＝9＋8＝17，
∴x ＝－3±172
， 即x 1＝－3＋172，x 2＝－3－172
. 11．C 12.C 13.13
14．解：把x －1作为整体看成一个未知数．
∵a ＝1，b ＝－2，c ＝－3，
b 2－4a
c ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16＞0， ∴x －1＝2±162
， ∴x 1＝4，x 2＝0.
15．解：对于方程x 2－2x －54
＝0， ∵a ＝1，b ＝－2，c ＝－54
， ∴b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×(－54
)＝9>0， ∴x ＝2±92×1
， ∴x 1＝52，x 2＝－12
. 把x 1＝52代入x 2－(k ＋2)x ＋94
＝0， 解得k ＝75
； 把x 2＝－12代入x 2－(k ＋2)x ＋94
＝0， 解得k ＝－7.
即k 的值为75
或－7. 16．解：由题意，得(2m －1)(m ＋3)＝30，
则2m 2
＋5m －33＝0，
解得x 1＝－112
(舍去)，x 2＝3. 所以这个矩形的相邻两边长分别为5和6，
故这个矩形的周长为22.
17．解：由(x ＋5)(x ＋n)＝x 2＋(n ＋5)x ＋5n ，得x 2＋mx ＋15＝x 2＋(n ＋5)x ＋5n ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝n ＋5，5n ＝15， 解得m ＝8，n ＝3，
代入方程nx 2＋mx ＋1＝0，
得3x 2＋8x ＋1＝0.
∵a ＝3，b ＝8，c ＝1，b 2－4ac ＝64－12＝52>0，∴x ＝－8±526＝－4±133
， 即x 1＝－4＋133，x 2＝－4－133
. 18．解：(1)根据题意，得m ≠1.
b 2－4a
c ＝(－2m)2－4(m －1)(m ＋1)＝4，
则x ＝2m±22（m －1）
， ∴x 1＝
2m ＋22（m －1）＝m ＋1m －1，x 2＝1.
(2)由(1)知，x 1＝m ＋1m －1＝1＋2m －1. ∵方程的两个根都为正整数，
∴2m －1
是正整数． 又∵m 为整数，
∴m －1＝1或m －1＝2，
∴m ＝2或m ＝3.
即当m 为2或3时，此方程的两个根都为正整数．。