九年级数学上册第1课时 相似三角形中特殊线段的性质
北师大版九年级数学上册《相似三角形的性质》第1课时示范公开课教学课件
如图，已知△ABC ∽△A'B'C'，△ABC 与△A'B'C'的相似比为k；点D、E在BC边上，点D'、E'在B'C'边上. (2)若 ，则 等于多少？
证明：∵ △ABC∽△A′B′C′，则∠B'=∠B， 而 ∴ ，即 ∴△ABE∽△A'B'E'. ∴
相似三角形的性质
相似三角形对应线段的比等于相似比.
相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.
教科书 第108页习题4.11 第3、4题
4.7 相似三角形的性质第1课时
准备好了吗？一起去探索吧！
相似三角形 的性质
1.经历探索相似三角形中对应线段的比值与相似比的关系的过程，理解相似三角形的性质.2.熟练掌握相似三角形的性质：对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.3.能利用相似三角形的性质解决一些实际问题.4.通过探索相似三角形性质的过程，进一步体验由特殊到一般的归纳思想和方法，感悟转化的思想，积累数学活动经验.
对应高的比对应中线的比对应角平分线的比
都等于相似ห้องสมุดไป่ตู้.
相似三角形的性质
如图，已知△ABC ∽△A'B'C'，△ABC 与△A'B'C'的相似比为k；点D、E在BC边上，点D'、E'在B'C'边上. (1)若 ，则 等于多少？
∴ △ABD∽△A'B'D'.
∴
类似的，我们可以得到其余两组对应边上的高的比也等于相似比．
D′
D
对应高的比都等于相似比.
上册 4.7第1课时 相似三角形中特殊线段的性质-2020秋九年级北师大版数学全一册作业课件
假使活着本身是失败毁灭伤感和贫困。那么死了也便是幸福和咏叹生命的歌曲。 君子坦荡荡，小人常戚戚。——《论语》 当你知道迷惑时并不可怜，当你不知道迷惑时，才最可怜。
太阳虽有黑点，却在奋力燃烧中树立了光辉的形象。 没有所谓失败，除非你不再尝试。 路，是自己走出来的；机会是自己创造出来的。 当你的朋友向你倾吐胸襟的时候，你不要怕说出心中的“否”，也不要瞒住心中的“可”。 儿童应该受到良好的教育，这是一般做父母的人的责任，也是他们关心的事，而且国家的幸福与繁荣也靠儿童具有良好的教育。——洛克 把子弟的幸福奠定在德行与良好的教养上面，那才是唯一可靠的和保险的办法。——洛克 人们结成友谊的原因很多，有出于自然的，也有出于契约的，有出于自身利益的，也有出于共同志趣的。 情执是苦恼的原因，放下情执，你才能得到自在。与委屈说出来，别人就容易接受。
读书以过目成诵为能，最是不济事。 生气是拿别人做错的事来惩罚自己。 许多人缺少的不是美，而是自信的气质。 过而不改，是谓过已。——《论语·卫灵公》 奋斗的路上，时间总是过得很快，目前的困难和麻烦是很多，但是只要不忘初心，脚踏实地一步一步的朝着目标前进，最后的结局交给时间来 定夺。 当你飞黄腾达的时候，你的朋友知道你是谁；当你穷困潦倒的时候，你才知道你的朋友是谁。 若现在就觉得失望无力，未来那么远你该怎么扛。
新北师大版九年级数学上册第四章4.7相似三角形的性质第1课时相似三角形对应线段的比教学设计2
4・7•第1课时相似三角形中的对应线段之比教学日标:（一）知识目标：经历探索相似三角形屮对应线段比值与相似比的关系的过程，理解相似三角形的性质。
利用相似三角形的性质解决一些实际问题.（二）能力目标：培养学生的探索精神和合作意识；通过运用相似三角形的性质，增强学生的应用意识.在探索过程中发展学生类比的数学思想及全面思考的思维品质.（三）情感与价值观目标：在探索过程中发展学生积极的情感、态度、价值观，体现解决问题策略的多样性•三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第一环节：探究相似三角形对应高的比・；第二环节：类比探究相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比；第三环节：学以致用（相似三角形性质的应用）；第四环节：课堂小结（初步升华所学内容）；第五环节：布置作业。
第一环节：探究相似三角形对应高的比.引入语：在前面我们学习了相似三角形的定义和判定条件，知道相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
那么，在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将研究相似三角形的其他性质. 内容：探究活动一：（投影片）在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题.如图，小王依据图纸上的AABC,以1：2的比例建造了模型房梁厶AB z C z,CD和CD Z分别是它们的立柱。
试写出AABC与厶A z B z C的对应边之间的关系，对应角之间的关系。
ΔACD与湘似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比。
如果CD二1.5cm,那么模型房的房梁立柱有多高？据此，你可以发现相似三角形怎样的性质？ZA=ZA,,ZB=ZB,,ZACB=Δλ!C,B,(2)ΔJ6ZM∆J z C,D,：CD丄ABcD丄川刃Λ,AADC=ZADC'=90°・・・ZA=ZA Z・・・△力GM△川CD,(两个角分别相等的两个三角形相似).AC AD CDI**A1C1~A,D'~C1D12(3)・CD=L5cmC,D,2ΛC z D z=3Cm（4）相似三角形对应高的比等于相似比目的：通过学生熟悉的建筑模型房入手，激发学生学习兴趣，层层设问，引发学生思维层层递进，从相似三角形的最基本性质展开研究•使学生明确相似比与对应高的比的关系.效果：通过层层设问，引导学生剥开问题的表面看到了相似三角形的性质：对应高的比等于相似比第二环节：类比探究相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比过渡语：刚才我们利用相似的判定与基本性质得到了相似三角形中一种特殊线段的关系，即对应高的比等于相似比，相似三角形中除了高是特殊线段，还有哪些特殊线段？它们也具有特殊关系吗？下面让我们一起探究:内容：探究活动二：（投影片）如图：已知-,,相似比为k,AD平分ZBAC,AD'平分BC、Bt的中点。
数学相似三角形的知识点归纳
数学相似三角形的知识点归纳数学相似三角形的知识点归纳数学是人们认识自然、认识社会的重要工具。
它是一门古老而崭新的科学，是整个科学技术的基础。
随着社会的发展、时代的变化，以及信息技术的发展，数学在社会各个方面的应用越来越广泛，作用越来越重要。
以下是店铺整理的数学相似三角形的知识点归纳，希望帮助到您。
数学相似三角形的知识点归纳篇1本章有以下几个主要内容：一、比例线段1、线段比，2、成比例线段，3、比例中项————黄金分割，4、比例的性质：基本性质；合比性质；等比性质（1）线段比：用同一长度单位度量两条线段a，b，把他们长度的比叫做这两条线段的比。
（2）比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果线段a，b的比等于线段c，d的比，那么，这四条线段叫做成比例线段。
简称比例线段。
（3）比例中项：如果a：b=b：c，那么b叫做a，c的比例中项（4）黄金分割：把一条线段分成两条线段，如果较长线段是全线段和较短线段的比例中项，那么这种分割叫做黄金分割。
这个点叫做黄金分割点。
顶角是36度的等腰三角形叫做黄金三角形宽和长的比等于黄金数的矩形叫做黄金矩形。
（5）比例的性质基本性质：内项积等于外项积。
（比例=====等积）。
主要作用：计算。
合比性质，主要作用：比例的互相转化。
等比性质，在使用时注意成立的条件。
二、相似三角形的判定平行线等分线段——————平行线分线段成比例————————平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所截线段对应成比例——————（预备定理）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所截三角形与原三角形相似——————相似三角形的判定：类比于全等三角形的判定。
三、相似三角形的性质1、定义：相似三角形对应角相等对应边成比例。
2、相似三角形对应线段（对应角平分线、对应中线、对应高等）的比等于相似比3、相似三角形周长的比等于相似比4、相似三角形面积的比等于相似比的平方四、图形的位似变换1、几何变换：平移，旋转，轴对称，相似变换2、相似变换：把一个图形变成另一个图形，并保持形状不变的几何变换叫做相似变换。
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知识点 2 相似三角形对应中线的比等于相似比 例2 求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似 比．(要求：先画出图形，再根据图形写出已知、求证和证明 过程)
【思路点拨】画出图形，写出已知、求证，依据 D 是 AB 的中点，D′是 A′B′的中点，即可得到AA′DD′＝AA′BB′，根据 △ ABC∽△A′B′C′，即可得到AA′BB′＝AA′CC′，∠A′＝∠A，进而 得出△ A′C′D′∽△ACD，可得CC′DD′＝AA′CC′＝k.
求证：AA′DD′＝k.
证明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B′. ∵AD 是△ ABC 的高，A′D′是△ A′B′C′的高，∴∠ADB ＝∠A′D′B′＝90°， ∴△ABD∽△A′B′D′，∴AA′DD′＝AA′BB′＝k.
【归纳总结】证明文字叙述题，首先要画出图形，写出 已知、求证， 然后分析证明思路，写出证明过程．
第四章 图形的相似
相似三角形的性质
第1课时
教学目标
理解相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应 中线的比与相似比的关系，会运用它求相关线段的长．(重点)
课前预习
(一)知识探究 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线 的比都等于 相似比 ．
(二)预习反馈
1. 如果两个相似三角形对应边的比为 4∶5，那么它们对
例题精讲 知识点 1 相似三角形对应高的比等于相似比
例1 求证：相似三角形对应高的比等于相似比．(请根据 题意画出图形，写出已知、求证，并证明)
【思路点拨】先根据题意画出图形，写出已知、求证， 再借助三角形相似加以证明．
解：已知：如图，△ ABC∽△A′B′C′，相似比为 k，AD 是△ ABC 的高，A′D′是△ A′B′C′的高．
新北师大版九年级数学上册第四章4.7相似三角形的性质第1课时相似三角形对应线段的比教学设计1
第四章图形的相似7相似三角形的性质第1课吋相似三角形中的对应线段之比（续表）【课堂引入】1.前而我们学习了相似三角形的有关知识.问题1什么叫相似三角形？问题2如何判定两个三角形相似？ 问题3相似三角形有何性质？问题4想一想：一个三角形有三条重要的线段，你们知道是哪三条吗？如果两个三角形相似，那么这些对应线段有什么关系呢？2.在生活屮，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题.如图4_7_7,小王依据图纸上的AABC,以1：2的比例建造了模型房的房梁AA ，B Z C',CD 和LD ,分别是它们的立柱.图4一7—7问题1试写出AABC 与AA'B Z C ,的对应边之间的关系和对应角之间的关系.问题2AACD 与Z ∖A'C ,D ,相似吗？为什么？如果相似,指出它们的相似比.活动创设 情境 导入 新课活动二：实践 探究 交流新 知问题3如果CD=I.5cm,那么模型房的房梁立柱有多高？问题4据此，你可以发现相似三角形具有怎样的性质？【探究1】如图4一7—8,已知△ΛBC^ΔA,B,C,,相似比为k,AD平分ZBAC,A z D,平分ZB'A,C,,E,E'分别为BC,B,C Z的中点.试探究AD与A，D Z的比值关系.AE图4一7—8通过学生小组合作探究，类比前面的探究过程，在导学案上至少证明其中一个结论，完成后再展示说明，学生之间互相补充，教师适时点评.【探究2】我们己经得到了相似三角形中特殊线段的关系，如果把角平分线、中线变为对应角的三等分线、四等分线、…、n 等分线，对应边的三等分线、四等1.回顾前面所学内容，加深学生对所学知识的理解，通过设问，激发学生的学习兴趣，为学习新知识做准备，让学生明确本节课学习的内容.重点让学生回顾理解三角形中的三条重要的线段中线、高线和角平分线的特征•2.从生动有趣的问题情景出发，釆用递进式的提问，通过己学的知识來解决，学生主动获取了部分知识，同时也激发了学生学习新知识的欲望.L通过学生小组合作探究，类比前面的探究过程，引发学生的主动探究意识，培养合作交流能力，发展学生的类比思维能力与归纳总结能力.2.通过比较培与A'B' D,E, C分线、…、n等分线,那么它们也具有特殊关系吗？下面请同学们独立探索以下问题：AB>b DE CV E,Γ)∙D图4一7—9如图4一7—9,已知△ABC^ΔA,B,C,,ZXABC与△A'B,C,的相似比为k,点D,E在BC边上，点D z,E'在B'C,边上.(1)若ZBAD=IZBAC,ZB'A,D,=IZB y A'C f,AD则亍下厂等于多少？］ 1 AF 养了学生观察、思考、类比、判断的能力.有了前面探索的基础，学生完全有能力独立完成探究2的探索，在探索过程屮，发展学生类比探究的能力与独立解决问题的能力，培养学生全面思。
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6、海纳百川有容乃大；壁立千仞无欲则刚。 4、告诉你一个宝藏的地点，它就在你的生命里。 29、要测量一个人真实的个性，只须观察他认为无人发现时的所作所为。 10.时间的跨度不过是一次遇见和告别，短的是三两行情诗，长的是用一生陪伴。而我往时间里看一眼，只能看见你，当我看你一眼，便看见 整片后使用了自己的脚踏坏了我们想得之于天上的东西。 32.有志者事竟成。 2、欲穷千里目，更上一层楼。 6、海纳百川有容乃大；壁立千仞无欲则刚。 11、生活呆以是甜的，也可以是苦的，但不能是没味的。你可以胜利，也可以失败，但你不能屈服。 6、昂着头出征，夹着尾巴回家，是庸驽而又好战的人的常态。 1、开启高考成功之门，钥匙有三。其一：勤奋的精神;其二：科学的方法;其三：良好的心态。 13、作家当然必须挣钱才能生活，写作，但是他决不应该为了挣钱而生活，写作。 7. 明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。 7、不要自卑，你不比别人笨;不要自满，别人不必你笨。 13、敢于向黑暗宣战的人，心里必须充满光明。 8. 天空吸引你亮翅飞翔，海洋召唤你扬帆启航，高山激励你奋勇攀登，平原等待你信马由疆。前路漫漫踏歌行，心生双翼待时飞。愿你鹏程 万里，前途无量。
九年级数学相似三角形知识点总结及例题讲解
1. 平行线分线段成比例定理
例.
已知 l 1∥ l 2∥ l 3,
A Dl
B El
: 三条平行线截两条直线
1 2
, 所得的 对应线段成比 .
C
Fl
可得 AB
DE AB 或
DE 等.
BC EF AC DF
2. 推论 : 平行于三角形一边的直线截其它两边
3
( 或两边的延长线 ) 所得的对应线段成比例 .
注意 ：(1) 此性质的证明运用了“设 k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．
(2) 应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．
(3)
可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．
知识点三：黄金分割
1） 定义 ：在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC（AC＞BC ），如果 AC AB
ad bc
（两外项的积等于两内项积）
2. 反比性质：
ac bd
bd a c ( 把比的前项、后项交换 )
3. 更比性质 ( 交换比例的内项或外项 ) ：
ac bd
a b ，(交换内项 ) cd d c ，(交换外项 ) ba d b ．(同时交换内外项 ) ca
4. 合比性质
a
：
c
bd
ab b
cd （分子加（减）分母 , 分母不变）
例 4、矩形 ABCD 中， BC=3AB ， E、F，是 BC 边的三等分点，连结 AE 、 AF 、AC ，问图中是否存在非全 等的相似三角形？请证明你的结论。
二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式
例 5、△ ABC 中，在 AC 上截取 AD ，在 CB 延长线上截取 BE ，使 AD=BE ，求证： DF AC=BC FE
相似三角形中对应线段的性质课件
，点 S 在 AB 边上，BC = 60 cm，AD = 40 cm，四边形 PQRS 是正方形.
(2) 求正方形 PQRS 的边长.
解：∵△ASR∽△ABC，
∴
=
,
A
设正方形 PQRS 的边长为 x cm，则 AE = ( 40 – x ) cm，
∴
. 解得 x = 24 .
答：正方形 PQRS 的边长为 24 cm.
定理：类似三角形对应高的比，对应角平分线的
比，对应中线的比都等于类似比.
A
B
F
A′
D E
C
B′ F′ D′ E′
C′
4.7.1 类似三角形中对应线段的性质
符号语言：
符号语言：
∵△ABC∽△A′B′C′，
∵△ABC∽△A′B′C′，
且AD⊥BC ，A′D′⊥B′C′ ；
且 BF = FC，B′F′ = F′C′，
2. 两个类似三角形的一组对应角平分线的长分别是 2 cm 和 5 cm，求这
两个三角形的类似比. 在这两个三角形的一组对应中线中，如果较短的
中线是 3 cm，那么较长的中线多长？
解：∵这两个三角形的类似比是 2 : 5，较短的中线是 3 cm，
∴较长的中线为 3 × = 7.5 cm.
4.7.1 类似三角形中对应线段的性质
等于多少？
解：由“两边成比例且夹角相等的两个
三角形类似”，可知△ABE∽△A′B′E′，
于是
=
= k ( k > 0 ).
4.7.1 类似三角形中对应线段的性质
例 如图，AD 是△ABC 的高，点 P，Q 在 BC 边上，点 R 在 AC 边上，
上册 4.7第1课时 相似三角形中特殊线段的性质-2020秋九年级北师大版数学全一册作业课件
身体健康，学习进步！ 觉得自己做得到和做不到，其实只在一念之间。
对孩子来说，家长是一个活生生的人，一个榜样，一个他们看得见摸得着的英雄。——张海涛 世界上只有想不到的事，没有做不成的事；世界上只有想不通的人，没有走不通的路。 只有登上山顶
4.7第1课时相似三角形中特殊线段的性质-2024-2025学年九年级上册数学(北师大版)
二、核心素养目标
本节课旨在培养学生的பைடு நூலகம்下核心素养：
1.培养学生的几何直观能力，通过分析相似三角形中特殊线段的性质，使其能够形象地理解几何关系，提高解决问题的直观感知。
2.强化学生的逻辑推理能力，引导学生运用严密的逻辑推理证明相似三角形中特殊线段的性质，培养其推理的条理性和严谨性。
-对于角平分线的性质，学生可能难以理解角平分线如何将角等分，并且与相似三角形的比例关系联系起来。教师需要通过详细的步骤讲解和图示，帮助学生理解角平分线在相似三角形中的重要作用。
-在涉及高、中线等特殊线段的问题时，学生可能对它们的定义和性质混淆，难以区分它们在不同情况下的应用。教师需要通过对比教学，明确每种线段的特点和使用场景，并通过大量练习巩固学生的理解。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《相似三角形中特殊线段的性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要通过部分来了解整体的情况？”比如，我们如何通过测量三角形一边的中位线来推算整个三角形的面积。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索相似三角形中特殊线段的奥秘。
3.增强学生的数学建模能力，让学生在实际问题中运用相似三角形特殊线段的性质构建数学模型，提高解决实际问题的能力。
4.激发学生的数学抽象思维，通过对特殊线段性质的探究，使其学会从复杂问题中抽象出数学规律，形成数学概念。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握相似三角形中位线、角平分线、高、中线等特殊线段的性质。
九年级数学上册.相似三角形对应线段的性质(A)
1. 因材施教，注重创新 所讲授的每门课程应结合不同专业、不同知 识背景的学生来调整讲授的内容和方法。不仅重视知识的传授，更要重视 学生学习能力、分析和解决问题能力的培养，因为这些才是学生终生学习 的根本。 注重教学过程创新，不仅要体现在教学模式、教学方法方面， 更主要的是体现在内容的创新与扩充、实践环节的同步改革上。
科目 学习 目标
2020-2021学年
相似三角形对应线段的性质
数学
课题
相似三角形对应线段的性质
1、学会应用相似三角形的性质：对应高的比、对应中线的比、对应角平分
线的比
2、能用来解决简单的实际问题。。
重点：相似三角形的性质
难点：相似三角形性质的运用
【学习过程】 1、本节主要知识点：相似三角形的性质 （1） 相似三角形的对应角相等，对应边成比例； 相似三角形的对应高的比、对应角平 分线的比和对应中线的比都等于相似 比； 2、自主学习 例1：钳工小王准备按照比例尺为3∶4的图纸制作三角形零件，如图1，图 纸上的△ABC表示 该零件的横断面△A′B′C′，CD和C′D′分别是它们的 高.
1
1
⊥AD,垂足为E.当SR= 2 BC时，求DE的长，如果SR= 3 BC
备注（ 教师复 备栏及 学生笔 记
呢？
三、达标测评： AC 3
1．△ACD∽△A′C′D′，BD和B′D′是它们的对应中线，已知 A*C* 2 ，B′D′=4cm，求BD的长。
2 ．△ACD∽△A′C′D′，AD和A′D′是它们的对应角平分线，已知AD=8 cm，A′D′=3cm，求△ACD与△A′C′D′对应高的比。
2. 学高为师，身正为范 不但要有崇高的师德，还要有深厚而扎实的 专业知识。要做一名让学生崇拜的师者，就要不断的更新知识结构，拓宽 知识视野，自己不断的钻研学习，加强对教材的驾御能力才能提高自己的 教学方法，才能在学生心目中树立起较高的威信。因此，必须树立起终身 学习的观念，不断的更新知识、总结经验，取他人之长来补己之短，才能 使自己更加有竞争力和教育教学的能力，才能以己为范，引导学生保持对 知识的惊异与敏锐。