控制系统中连续域—离散化设计_非常全

D( s)
s =0
= D( z )
z =1
D(e
(3) 应用
jωT
)
ω=
ωs
2
=0
这种方法使用方便， ① 这种方法使用方便，且有一定的精度和前述一些好的 特性，工程上应用较为普遍。 特性，工程上应用较为普遍。 这种方法的主要缺点是高频特性失真严重， ② 这种方法的主要缺点是高频特性失真严重，主要用于 低通环节的离散化，不宜用于高通环节的离散化。 低通环节的离散化，不宜用于高通环节的离散化。
u (t ) = ∫ e(t )dt
0 t
T [e(k ) + e(k − 1)] 2 T −1 U ( z ) = z U ( z ) + [ E ( z ) + z −1 E ( z )] 2 u ( k ) = u ( k − 1) +
T (1 + z −1 ) U ( z) 2 1 D( z ) = = = 2 ( z − 1) E ( z) 1 − z −1 T ( z + 1)
1 De ( jω ) ≈ D (e jωT )Te − jωT / 2 = D (e jωT )e − jωT / 2 T
De ( s ) = Ddc ( s )e
− sT / 2
e − sT / 2 ≈
1 1 + sT / 22
连续域-离散化设计的步骤如下： 连续域-离散化设计的步骤如下：
第1步：根据系统的性能，选择采样频率，并设计抗混叠前 步 根据系统的性能，选择采样频率， 置滤波器。 置滤波器。 第2步：考虑ZOH的相位滞后，根据系统的性能指标和连续 步 考虑 的相位滞后， 的相位滞后 域设计方法，设计数字控制算法等效传递函数D 域设计方法，设计数字控制算法等效传递函数 dc(s)。 。 离散化， 第3步：选择合适的离散化方法，将Ddc(s)离散化，获得脉 步 选择合适的离散化方法， 离散化 冲传递函数D(z)，使两者性能尽量等效。 冲传递函数 ，使两者性能尽量等效。 第4步：检验计算机控制系统闭环性能。若满足指标要求， 步 检验计算机控制系统闭环性能。若满足指标要求， 进行下一步；否则，重新进行设计。 进行下一步；否则，重新进行设计。
计算机实现算法D(z)的计算表示：D (e 的计算表示： 计算机实现算法 的计算表示 D/A的频率特性： G ( jω ) = T 的频率特性： 的频率特性 等效连续 传递函数
jωT
1 T
)
sin(ωT / 2) − jωT / 2 e ≈ Te − jωT / 2 ωT / 2
设计时常近似为： 设计时常近似为：
图5-1计算机控制系统典型组成 计算机控制系统典型组成 A/D输出与输入关系： 输出与输入关系： 输出与输入关系 系统低通且 1 ∞ R ( jω ) = ∑ R ( jω + jnω s ) 采样频率较高 T n =−∞
*
R *( jω ) ≈
1 R ( jω ) T
R * ( jω ) / R ( jω ) ≈
8
3.双线性变换法（突斯汀-Tustin变换法） 双线性变换法（突斯汀 变换法） 双线性变换法 变换法
(1)离散化公式 D( z ) = D( s) 离散化公式
实质： 实质：将梯形面积 近似代替积分 进行z变换， 进行 变换，得 变换
s= 2 z −1 T z +1
D ( s ) = U ( s ) / E ( s ) = 1/ s
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5
连续域—离散化设计 连续域 离散化设计 数字PID控制器设计 数字 控制器设计 控制系统z平面设计性能指标要求 控制系统 平面设计性能指标要求 z平面根轨迹设计 平面根轨迹设计 w’变换及频率域设计 变换及频率域设计
1
5.1.1 设计原理和步骤
• 实质是将数字控制器部分看成是一个整体，其输入和输出都是模拟量， 实质是将数字控制器部分看成是一个整体，其输入和输出都是模拟量， 因而可等效为连续传递函数D 因而可等效为连续传递函数 e(s)。 。
变换， 做z变换，得 变换
U ( z ) = z U ( z ) + TE ( z )
D( z ) = U ( z ) / E ( z ) = T /(1 − z −1 )
s与z之间的变换关系 与 之间的变换关系
−1
比较
s = (1 − z −1 ) / T
向后差分(矩形积分 图5-3向后差分 矩形积分 法 向后差分 矩形积分)法
(2) 主要特性
– 该方法本质上仍为双线性变换法，因此具有双线性变换法的各种特 该方法本质上仍为双线性变换法， 但由于采用了频率预修正， 性。但由于采用了频率预修正，故可以保证在处连续频率特性与离 散后频率特性相等， 散后频率特性相等，即满足
平面与z平面映射关系 ① s平面与 平面映射关系 平面与 稳定， ②若D(s)稳定，则D(z) 稳定 不一定稳定[改进方法是 不一定稳定 改进方法是 适当减少采样周期T 。 适当减少采样周期 ]。
s=
z = 1 + Ts
平移放大关系
z −1 T
向前差分法的映射关系图
(3) 应用
由于这种变换的映射关系畸变严重，不能保证 由于这种变换的映射关系畸变严重，不能保证D(z)一定 一定 稳定，或者如要保证稳定，要求采样周期较小，所以应用较少。 稳定，或者如要保证稳定，要求采样周期较小，所以应用较少。
s与z之间的变换关系 与 之间的变换关系
比较
2 ( z − 1) s= T ( z + 1)
图5-9 梯形积分法
T s 2 z= T 1− s 2 1+
9
3.双线性变换法 双线性变换法
(2)主要特性 主要特性
① s平面与 平面映射关系 平面与z平面映射关系 平面与
– 当σ=0（s平面虚轴 映射为 平面 平面虚轴)映射为 （ 平面虚轴 映射为z平面 的单位圆周。 的单位圆周。 – 当σ> 0（s右半平面），映射到 右半平面），映射到z （ 右半平面），映射到 平面单位圆外 。 – 当σ< 0（s左半平面），映射到 左半平面），映射到z （ 左半平面），映射到 平面单位圆内 。
ωA =
2 ω T tan D T 2
当采样频率较高
ωDT
足够小ຫໍສະໝຸດ Baidu
ωA ≅
2 ω DT = ωD T 2
图5-12双线性变换的频率关系 双线性变换的频率关系
图5-11双线性变换的频率关系 双线性变换的频率关系
11
3. 双线性变换法
(2)主要特性 主要特性
④变换前后，稳态增益不变。 变换前后，稳态增益不变。 双线性变换后D(z)的阶次不变， 的阶次不变， ⑤双线性变换后 的阶次不变 且分子、分母具有相同的阶次。 且分子、分母具有相同的阶次。 并有下式成立： 并有下式成立：
3
5.1.2 各种离散化方法
• 最常用的表征控制器特性的主要指标： 最常用的表征控制器特性的主要指标：
– – – – – – 零极点个数； 零极点个数； 系统的频带； 系统的频带； 稳态增益； 稳态增益； 相位及增益裕度； 相位及增益裕度； 阶跃响应或脉冲响应形状； 阶跃响应或脉冲响应形状； 频率响应特性。 频率响应特性。
改进设计的途径有： 改进设计的途径有： – 选择更合适的离散化方法。 选择更合适的离散化方法。 – 提高采样频率。 提高采样频率。 – 修正连续域设计，如增加稳定裕度指标等。 修正连续域设计，如增加稳定裕度指标等。
变为数字算法， 第5步：将D(z)变为数字算法，在计算机上编程实现。 步 变为数字算法 在计算机上编程实现。
实质： 实质：将连续域中的微分 用一阶向前差分替换 变换， 做z变换，得 变换
s= z −1 T
D ( s ) = U ( s ) / E ( s ) = 1/ s
du (t ) / dt = e(t )
du (t ) / dt = {u[( k + 1)T ] − u ( kT )}/ T
E ( z ) = ( z − 1)U ( z ) / T
等效离散
D(s)
D(z)
• 数值积分法
一阶向后差法 一阶向前差法 双线性变换法及修正双线性变换法
离散化方法
• 零极点匹配法 • 保持器等价法 • z变换法 脉冲响应不变法) 变换法(脉冲响应不变法 变换法 脉冲响应不变法
4
1. 一阶向后差分法
(1)离散化公式 离散化公式
D( z ) = D( s )
2 2 j sin(ω DT / 2) 2 ω T = = j tan D T 2 cos(ω DT / 2) T 2
图5-10 双线性变换映射关系
2 ω DT ω A = tan T 2
10
3.双线性变换法 双线性变换法
(2)主要特性 主要特性 频率畸变： ③频率畸变：双线性变换的一对一映
射，保证了离散频率特性不产生频 率混叠现象，但产生了频率畸变。 率混叠现象，但产生了频率畸变。
s= 1− z −1 T
D ( s ) = U ( s ) / E ( s ) = 1/ s
du (t ) / dt = e(t )
实质： 实质：将连续域中的微分 用一阶向后差分替换
du (t ) / dt = [u ( kT ) − u[(k − 1)T ]] / T
u ( kT ) = u[( k − 1)T ] + Te( kT )
T T s 1 + σ + 2 = 2 z= T T 1 − s 1 − σ − 2 2 1+
2 ωT j 2
j
ωT
s = σ + jω
T ωT 1 + σ + 2 2 2 z = 2 2 T ωT 1 − σ + 2 2
比较
D ( z ) = U ( z ) / E ( z ) = T /( z − 1)
s与z之间的变换关系 与 之间的变换关系
图5-7 向前差分矩形积分法
z − 1 1 − z −1 s= = T Tz −1 z = 1 + Ts
7
2.一阶向前差分法 2.一阶向前差分 一阶向前差分法
(2)主要特性 主要特性
1 z= 1 − sT
5
1. 一阶向后差分法
(2)主要特性 主要特性 平面与z平面映射关系 ① s平面与 平面映射关系 平面与
– 当σ=0 （s平面虚轴）， 平面虚 平面虚轴）， 平面虚轴），s平面虚 轴映射到z平面为该小圆的圆周 平面为该小圆的圆周。 轴映射到 平面为该小圆的圆周。 – 当σ> 0（s右半平面），映射到 右半平面），映射到z （ 右半平面），映射到 平面为上述小圆的外部。 平面为上述小圆的外部。 – 当σ< 0（s左半平面），映射到 左半平面），映射到z （ 左半平面），映射到 平面为上述小圆的内部。 平面为上述小圆的内部。
2 2
稳定， ②若D(s)稳定，则D(z)一定稳定 稳定 一定稳定 z域角频率为ωD 域角频率为
s域角频率 域角频率
s=
2 ( z − 1) T ( z + 1)
2 1 − e − jω DT 2 e jω DT / 2 − e− jωDT / 2 = jω A = ω − jω DT T 1+ e T e jωDT / 2 + e− j D T / 2
D( s)
s =0
= D( z )
z =1
(3) 应用
由于这种变换的映射关 系畸变严重，变换精度较低。 系畸变严重，变换精度较低。 所以，工程应用受到限制， 所以，工程应用受到限制， 用得较少。 用得较少。
图5-4 向后差分法的映射关系
6
2. 一阶向前差分法 一阶向前差分法
(1)离散化公式 D( z ) = D( s) 离散化公式
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4. 修正双线性变换
解决“ 问题的方法。 解决“双线性变换产生频率轴非线性畸变 ”问题的方法。 (1)离散化方法 离散化方法
D( z ) = D( s )
ω1 z −1 s= tan(ω1T / 2) z +1
ω1是设计者选定的
特征角频率
依据连续域与双线性变换后频率的非线性关系， 依据连续域与双线性变换后频率的非线性关系，首先修 正原连续域传递函数，然后再进行双线性变换的结果。 正原连续域传递函数，然后再进行双线性变换的结果。
1 1 1 (1 + Ts) z= = + 1 − Ts 2 2 (1 − Ts )
s = σ + jω
1 1 (1 + σ T ) 2 + (ωT ) 2 z− = 2 4 (1 − σ T ) 2 + (ωT ) 2
2
稳定， ②若D(s)稳定，则D(z)一定稳定 稳定 一定稳定 变换前后，稳态增益不变。 ③变换前后，稳态增益不变。 ④离散后控制器的时间响应与频率响 应，与连续控制器相比有相当大的 畸变。 畸变。