河海大学 材料力学第八章 杆类构件静力学设计第五节

极限曲线和许用极限曲线 极限应力圆 t 极限曲线 单向压缩
许用极限曲线
t s uO
纯剪切
s u+
s
[su-]
s
O
[su+ ]
单向拉伸
简化的许用极限曲线
简化：用单向拉、压的极限应力圆代替一组极限应力 圆，并用这两个圆的公切线代替包络线作为极限曲线 [s ] 经推导，得强度条件： s 1 s 3 [s ] [s ]
1 s r4 [(s 1 s 2 )2 (s 2 s 3 )2 (s 3 s 1 )2 ] 2 [s ] s rM s 1 s 3 [s ]
说明： 相当应力没有任何物理意义。(为表示方便引进的量)
六、强度理论的选用 (1)一般情况
脆性材料:第一强度理论或莫尔强度理论；
屈服判据：vd = (vd) u
1 [(s 1 s 2 )2 (s 2 s 3 )2 (s 3 s 1 )2 ] s s 2
强度条件:
1 [(s 1 s 2 )2 (s 2 s 3 )2 (s 3 s 1 )2 ] [s ] 2
适用情况: 能很好地描述碳素钢、合金钢；铜、镍、铝的屈服 优点： 全面考虑了三个主应力的影响，比较合理，比最大切 应力理论更符合实验结果。计算结果偏于经济。 缺点：形式较复杂。
四、莫尔强度理论
莫尔强度理论是通过莫尔应力圆表述的。 1、通过试验，确定在不同的主应力比值(s1/s3 )下失 效时的主应力值(s10、s30) ； 2、根据s10、s30 作失效时的应力圆(极限应力圆)； 包括单向拉伸、单向压缩、纯切应力状态 3、作这些应力圆的包络线(envelope)，得两根曲线 ——极限曲线 4、失效判据——任何应力状态所对应的应力圆，如 果与上述极限曲线相接触，材料便产生屈服或剪断。 5、将各种应力状态下失效时的s10、s30 除以相同的 安全系数，得到许用极限曲线
[s ] 莫尔强度理论的强度条件: s 1 s 3 [s ] [s ] 说明： (1)当[su+ ]=[su- ] 时, 退化为最大切应力理论强度条件， 因此这一理论可看作是最大切应力理论的推广。 (2)对于处理抗拉、压强度不等的脆性材料失效问题有 其独到之处，这是其它理论所不能代替的。 (3)适用范围： (a)脆性材料的剪断破坏； 铸铁轴向受压时剪断面并不和横截面成45°。 (b)可用于岩石、土壤等材料。 (c)也适用抗拉、压强度相等的塑性材料。 缺点：同样没有考虑s2对失效的影响。
(5) 选用强度理论；
(6)求出sr，进行强度计算。
例:已知铸铁构件上危险点的应力状态如图所示，材 料的[s ]=35MPa ，试校核该点处的强度。 (1)求出主应力; s1 = 28MPa sx=10MPa s2 = 2MPa 10MPa sy=20MPa s3 = 0 A tx= －12MPa 12MPa s x s y 2 2 s s x s y ( ) t s 2 2 28MPa (2) 选用强度理论； =15±13 = 2MPa 铸铁二向受拉 按第一强度理论计算 (3)求出sr，进行强度校核 sr1 = s1 = 28MPa <[s ]
(+) 7
62.55
(kN) (2)危险截面 截面E, A(B), C(D) (3) 危险点 7 (–) 截面E上: a、b两点(smax) 207 210 截面A上: c点(tmax) M图 65 截面C上: d、e点(s、t都较大) (kN· m) 需对各危险点都进行强度计算!!! (+)
1 n vd [(s 1 s 2 )2 (s 2 s 3 )2 (s 3 s 1 )2 ] 6E 1 n 2 ( v d )u ss 3E 1 [(s 1 s 2 )2 (s 2 s 3 )2 (s 3 s 1 )2 ] s s 2
2 、形状改变比能理论(第四强度理论)
2、最大拉应变理论(第二强度理论) (Maximum Tensile-Strain Criterion) 认为最大拉应变是引起材料脆性断裂的主要因素。
sb / E
(假设单向拉伸直到断裂仍可用胡克定律计算应变) 断裂判据: 1 = u s1－n(s2+s3) = sb
强度条件: s1－n(s2+s3) ≤ [s ]
塑性材料:第三或第四强度理论。 (2)例外 三向拉伸(三向拉应力相近):第一强度理论; (塑性、脆性材料都呈现断裂失效) 三向压缩(三向压应力相近):第三或第四强度理论； (塑性、脆性材料都呈现屈服失效)
七、应用强度理论进行强度计算的步骤 (1)确定危险截面;
(2)确定危险点;
(3)确定危险点单元体应力状态; (4)求出主应力s1、s2 、s3;
适用情况: (1)混凝土或石料等脆性材料轴向受压时，如在试验机与 试块的接触面上添加润滑剂，则试块沿垂直于压力的方 向开裂，与这一理论相符; (2)铸铁在拉压二向应力，且压应力较大的情况下，试验 结果也与这一理论相接近。
三、解释屈服失效的强度理论 屈服准则(criterion for yield of materials) 1 、最大切应力理论(第三强度理论) (Maximum Shear-Stress Criterion) 法国工程师、科学家库仑1773年提出剪断准则。 ——应用于建立土的破坏条件。 1864年特雷斯卡(Tresca)挤压实验研究屈服，将剪断 准则发展为屈服准则(Tresca准则) 。 认为最大切应力是引起材料屈服的主要因素。 屈服判据： tmax = tu tmax = ss /2 s1－s3 = ss 强度条件: s1－s3 ≤ [s ]
1 、最大切应力理论(第三强度理论) 屈服判据： s1－s3 = ss 强度条件: s1－s3 ≤ [s ] 适用情况: 可以较为满意地解释低强化塑性材料(退火钢)的屈服 现象(例如低碳钢拉伸屈服); 优点： 形式简单，概念明确，且计算结果偏于安全，故在工 程中广泛应用 缺点：没有考虑中间主应力对屈服的影响。
[s ] 莫尔强度理论的强度条件: s 1 s 3 [s ] [s ]
德国工程师莫尔1882年提出，但当时没有引起注意; 1900年重新提出, 并作了详尽的论述。两篇论文在德 国发表; 1905、1913年又作了补充和进一步论证; 在历史上被认为是“一个极大的进步”。
五、强度理论统一形式的强度条件 相当应力: sr 强度条件统一形式: sr≤ [s ] sr1=s1 sr2= s1－n(s2+s3) sr3= s1－s3
20MPa
安全!
例:钢制零件危险点的应力状态如图所示，试计算此 应力状态下的相当应力。 (1)计算主应力; s1 s s 1 2 s 2 s2 = 0 s 4t A s3 s 2 2
t
s r 3 s 2 4t 2 s r 4 s 2 3t 2
(2) 选用强度理论； 钢二向拉、压 按第三、四强度理论计算 (3)计算sr
同一构件中的三个点的应力状态，哪一个是危险点？
复杂应力状态下的主要问题 (1)材料将发生什么形式的失效？ (2)何时发生失效？ (3)失效时的应力(极限应力)是多少？ (4)怎样建立失效判据以及相应的设计准则？
s2 s1 s3
材料在确定的应力状态 (主应力 s1, s2, s3 )下失效时，不仅与各 个主应力的大小有关，而且与 它们的比值有关。
平面应力状态下第三、第四强度理论的几何表示 (非零主应力为: s '，s '' ) 形状改变比能理论 最大切应力理论 A 0.577ss 0.5ss C B C'
s ''
ss
ss
D' D
O
s' ss
纯切应力状态
ss
四、莫尔强度理论
(Mohr criterion)——莫尔准则 莫尔(Mohr)，德国 最大切应力是引起材料剪切破坏的主要因素，但同一 截面上的正应力也起作用。 试验结果表明：某些拉、压强度不等的脆性材料 (铸铁、混凝土)在某些应力状态下(例如单向压缩)， 也可能发生屈服或剪断。但第三、第四强度理论与这 些材料的试验结果不相符合。 因为如材料沿某一截面有错动趋势时，该截面上将 产生内摩擦力阻止这一错动。这一摩擦力的大小与该 截面上的正应力有关，当正应力为压时，摩擦力就大； 当为拉时，摩擦力就小。因此，剪断并不一定发生在 切应力最大的面上。
§8-5 复杂应力状态下的强度理论和设计准则
一、强度理论概念
单向应力状态和纯切应力状态下的强度条件(设 计准则)是直接通过试验建立的 。
s
F
F
t
t
T K T
复杂应力状态的强度条件(设计准则) 能通过试验建 立吗？ 首先：危险点在哪儿？ 50 A 20 20 120 B 40 120 20 C 80
2 、形状改变比能理论(第四强度理论)
(criterion of strain-energy density corresponding to distortion) ——米泽斯准则
米泽斯(R.von Mises) 1913年 认为形状改变比能是引起材料屈服的主要因素。 屈服判据： vd = (vd) u
——第十二章 交变应力。
1、最大拉应力理论(第一强度理论) (Maximum Tensile-Stress Criterion) 兰金(W.J.M.Rankine)，英国 认为最大拉应力是引起材料脆性断裂的主要因素。 断裂判据: s1 = sb 强度条件: s 1 [s ]
sb
n
适用情况: (1)铸铁等脆性材料, 单向、二向、三向拉伸和扭转断裂; (2)有压应力, 但最大压应力值不超过s1。 缺点: (1)没有考虑其它两个主应力对断裂的影响; (2)不适用于无拉应力的状态(单向、双向、三向压缩等)。
sr3= s1－s3 s 2 4t 2
s r4
1 2 2 2 s 2 3t 2 [(s 1 s 2 ) (s 2 s 3 ) (s 3 s 1 ) ] 2
例:简支梁 l =2m, a = 0.3m, q =10kN/m, F =200kN, [s] =160MPa。试选择合适的工字钢型号。 b 解:(1)作M、FQ 图 F a a F q e FA=FB=210kN z B A E c C MC =62.55 kN· m D l FA FB d ME =65 kN· m a y 210 FQ 图 207
例如:脆性材料在三向等压的应力状态下会产生明显的塑性变形； 塑性材料在三向拉伸的应力状态下也会发生主应力值各不相同。
复杂应力状态下, 对每一种材料针对每一种主应力比 值的应力状态进行实验，从而建立强度条件显然是 不现实的; 而且对于某些应力状态(三向等拉)在技术 上也难以实现。 如何来建立失效判据以及相应的设计准则？
材料的失效一定存在某些原因和规律。
对于复杂应力状态下的强度条件，是根据一定的试 验结果，对失效现象加以观察、分析和归纳，寻找 失效的规律，从而对失效的原因作一些假说。这些 假说通常就称为强度理论 。
强度理论：关于材料失效原因与失效规律的假说。 强度理论认为：无论何种应力状态，也无论何种材料， 只要失效形式相同，则失效原因就是相同的，且这个 原因是应力、应变或变形能等中的一种。 这样，造成失效的原因就与应力状态无关，从而便可 由简单应力状态的实验结果，来建立复杂应力状态的 强度条件。 大量实验(常温、静载)表明，尽管材料强度失效现象 比较复杂，但主要的还是两种，即屈服和断裂。 因此, 可以通过简单的实验(如:轴向拉伸实验)的实验 结果, 去预测材料在不同应力状态下何时失效，从而 建立材料在一般应力状态下的失效判据和设计准则。
二、解释断裂失效的强度理论 断裂失效 (failure by fracture or rupture):
(1)无裂纹结构或构件的突然断裂；
——脆性材料制成的零部件 (2)具有裂纹(crack)构件的突然断裂； ——脆性材料制成的零部件脆性、塑性材料制成的 零部件(断裂力学:本章第八节有简单介绍)
(3)构件的疲劳断裂(fatigue fracture)。