第03讲智趣问题教师版

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第03讲充分条件与必要条件(教师版)-2023年新高一(初升高)暑期数学衔接(新人教版)

第03讲充分条件与必要条件【学习目标】1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系【基础知识】一、“⇒”及“⇔”的含义“⇒”是推断符号,p⇒q即如果p成立,那么q一定成立,“⇔”表示“等价”,如“p⇔q”指的是“如果p,那么q”,同时有“如果q,那么p”,或者说“从p推出q”,同时可“从q 推出p”.二、充分条件与必要条件1.如果p⇒q,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件；2.如果p⇒q,但q⇏p,则p是q的充分不必要条件；3.如果p⇒q,且q⇒p,则p是q的充要条件；4.如果q⇒p,且p⇏q,则p是q的必要不充分条件；5.如果p⇏q,且q⇏p,则p是q的既不充分也不必要条件．6.充分条件与必要条件的理解充分条件:说条件是充分的,也就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的.“有之必成立,无之未必不成立”.必要条件:必要就是必须,必不可少.“有之未必成立,无之必不成立”7.从集合角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A＝{x|p(x)},B＝{x|q(x)},则关于充分条件、必要条件又可以叙述为(1)若A⊆B,则p是q的充分条件；(2)若A⊇B,则p是q的必要条件；(3)若A＝B,则p是q的充要条件；(4)若A B,则p是q的充分不必要条件；(5)若A B,则p是q的必要不充分条件；(6)若A B且A⊉B,则p是q的既不充分也不必要条件．三、判断充分条件、必要条件的注意点1.明确条件与结论.2.判断若p,则q 是否成立时注意利用等价命题.3.可以用反例说明由p 推不出q,但不能用特例说明由p 可以推出q.四、充要条件一定要分清谁是条件谁是结论,注意下面两种叙述方式的区别：1.p 是q 的充分条件；2.p 的充分条件是q .五、充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：1.把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．2.要注意区间端点值的检验．六、充要条件的证明策略1.要证明一个条件p 是否是q 的充要条件,需要从充分性和必要性两个方向进行,即证明两个命题“若p,则q”为真且“若q,则p”为真.2.在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明,证明p 与q 的解集是相同的,证明前必须分清楚充分性和必要性,即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.【基础知识】考点一：充分条件与必要条件的判断例1．(2020-2021学年广东省梅州市梅江区梅州中学高一上学期第一次段考)“三角形的某两条边相等”是“三角形为等边三角形”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】三角形的某两条边相等则三角形是等腰三角形，不一定是等边三角形，所以充分性不成立；三角形为等边三角形则其三边相等，能得到三角形的任意两边也是相等的，所以必要性成立.故选B.考点二：与充分条件必要条件命题真假的判断例2．(多选)(2022学年广东省广州市越秀区高一上学期期末)下列四个命题中为真命题的是()A ．“2x >”是“3x <”的既不充分也不必要条件B ．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件C ．关于x 的方程()200++=≠ax bx c a 有实数根的充要条件是240b ac =-≥△D ．若集合A B ⊆，则x A ∈是x B ∈的充分不必要条件【答案】AC【解析】{|2}{|3}x x x x >⊄<且{|3}{|2}x x x x <⊄>，所以A 正确；正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，所以“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分不必要条件，故B 错误；一元二次方程有实根则0≥ ，反之亦然，故C 正确；当集合A =B 时，应为充要条件，故D 不正确.故选AC.考点三：根据充分条件与必要条件求参数范围例3．(2022学年上海市奉贤区致远高级中学高一上学期期中)设:13x α≤<，:x m β<，若α是β的充分条件，则实数m 的取值范围是_______.【答案】3m ≥【解析】由已知可得{}{}13x x x x m ≤<⊆<，所以，3m ≥.考点四：充分条件与必要条件的推理例4．(2022学年安徽省A10联盟高一上学期期中联考)已知p 是r 的充分不必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，下列命题正确的是()A ．r 是q 的必要不充分条件B ．r 是s 的充要条件C ．r 是s 的充分不必要条件D ．q 是s 的充要条件【答案】BD 【解析】由题意得，p r ⇒，r p ⇒，q r ⇒，r s ⇒，s q ⇒，所以q s ⇔，s r ⇔，q r ⇔，所以r 是s 的充要条件，q 是s 的充要条件，r 是q 的充要条件，故选BD.【真题演练】1．(2020-2021学年重庆市青木关中学高一上学期12月月考)“260x x --=”是“3x =”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为260x x --=，故可得2x =-或3，若260x x --=，则不一定有3x =，故充分性不满足；若3x =，则一定有260x x --=，故必要性成立，综上所述：“260x x --=”是“3x =”的必要不充分条件.故选B .2.(2022学年安徽省蚌埠第三中学高一下学期开学测试)设P ：3x <，q ：13x -<<，则p 是q 成立的()A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】B【解析】由3x <不能推出13x -<<，例如2x =-，但13x -<<必有3x <，所以p ：3x <是q ：13x -<<的必要不充分条件.故选B.3.(2022学年辽宁省抚顺市抚顺县高中高一上学期10月月考)下列说法正确的是()A ．3x >是5x >的充分不必要条件B ．1x ≠±是1x ≠的充要条件C ．若q p ⇒，则p 是q 的充分条件D ．一个四边形是矩形的充分条件是它是平行四边形【答案】B【解析】A.由()5,+∞ ()3,+∞，所以3x >是5x >的必要不充分条件，故A 错误；B.1x ≠±时，则1x ≠，反过来也成立，所以1x ≠±是1x ≠的充要条件，故B 正确；C.q p ⇒，则p 是q 的必要条件，故C 错误；D.矩形是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形，所以一个四边形是矩形的必要条件是它是平行四边形，故D 错误.故选B4.(多选)(2022学年浙江省宁波市金兰教育合作组织高一上学期期中联考)已知集合{}3A x x =≤，集合{}1B x x m =≤+，能使A B ⊆成立的充分不必要条件有()A ．0m >B ．1m >C ．3m >D ．4m >【答案】CD 【解析】由A B ⊆得13m +≥，即2m ≥，故能使A B ⊆成立的充分不必要条件有CD.故选CD.5.(2022学年湖北省武汉市水果湖高中高一上学期10月月考)若“x k <或3x k >+”是“41x -<<”的必要不充分条件，则实数k 的值可以是()A ．8-B ．5-C ．1D ．4【答案】ACD【解析】若“x k <或3x k >+”是“41x -<<”的必要不充分条件，所以34k +≤-或1k ³，所以7k ≤-或1k ³.故选ACD6.(2022学年湖北省高一上学期期末调考)若命题p 是命题“:0q xy >”的充分不必要条件，则p 可以是___________.(写出满足题意的一个即可)【答案】0x >，0y >(答案不唯一).【解析】因为当0,0x y >>时，0xy >一定成立，而当0xy >时，可能0,0x y >>，可能0,0x y <<，所以0,0x y >>是0xy >的充分不必要条件，故答案为：0,0x y >>(答案不唯一)7.(2022学年江西省丰城市第九中学高一上学期第一次月考)给出下列命题：①已知集合{240A xx =-<∣，且}N x ∈，则集合A 的真子集个数是4；②“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件；③“1a <”是“方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”的必要不充分条件④设,a b ∈R ，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件其中所有正确命题的序号是__________．【答案】③④【解析】①{|22,N}{0,1}A x x x =-<<∈=，故真子集个数为2213-=个，错误；②由256(6)(1)0x x x x --=-+=，可得6x =或1x =-，故“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，错误；③由2()f x x x a =++开口向上且对称轴为12x =-，只需(0)0f a =<即可保证原方程有一个正根和一个负根，故“1a <”是“方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，正确；④当0a ≠，0b =时，0ab ≠不成立；当0ab ≠时，0a ≠且0b ≠，故“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件，正确.故答案为③④8.(2022学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高一上学期期末)已知非空集合{}|1614P x a x a =-≤≤-，{}|25Q x x =-≤≤．(1)若3a =，求()P Q ⋂R ð；(2)若“x P ∈”是“x Q ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解析】(1)由已知{|24}P x x =≤≤，R {|2P x x =<ð或4}x >，所以R (){|22P Q x x =-≤< ð或45}x <≤＝[)(]2,24,5- ；(2)“x P ∈”是“x Q ∈”的充分不必要条件，则1261451614a a a a -≥-⎧⎪-≤⎨⎪-≤-⎩，解得131956a ≤≤，所以a 的范围是1319,56⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【过关检测】1.(2022学年湖南省长沙市望城区金海学校高一上学期期中)“2x ＝”是“240x ﹣＝”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题，将2x ＝代入240x ﹣＝，等式成立，所以“2x ＝”是“240x ﹣＝”的充分条件；求解240x ﹣＝，得到2x ±＝，故“2x ＝”是“240x ﹣＝”的不必要条件；故选A2.使“0＜x ＜4”成立的一个必要不充分条件是()A ．x ＞0B ．x ＜0或x ＞4C ．0＜x ＜3D ．x ＜0【答案】A【解析】设p:0＜x ＜4，所求的命题为q ，则原表述可以改写为q 是p 的必要不充分条件，即q 推不出p ，但p ⇒q .，显然由:0＜x ＜4，能推出x ＞0，推不出x ＜0或x ＞4、0＜x ＜3、x ＜0，故选A3.(2022学年湖南省益阳市箴言中学高一上学期10月月考)设,x y R ∈，则“1x ≠或1y ≠”是“2x y +≠”的()A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件【答案】B【解析】若“1x ≠或1y ≠”则“2x y +≠”为真，等价于若“2x y +=”则“1x =且1y =”为真，显然该命题为假，∴“1x ≠或1y ≠”推不出“2x y +≠”，反之，若“2x y +≠”，则“1x ≠或1y ≠”为真，等价于若“1x =且1y =”则“2x y +=”为真，显然成立，∴“2x y +≠”可推出“1x ≠或1y ≠”，∴“1x ≠或1y ≠”是“2x y +≠”的必要非充分条件，故选B4.(2022学年福建省福州市闽侯县一中学高一上学期月考)在△ABC 中，AB 2+BC 2=AC 2是△ABC 为直角三角形的()条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】A 【解析】在△ABC 中，若AB 2+BC 2=AC 2，，则90B ∠=︒，即△ABC 为直角三角形，若△ABC 为直角三角形，推不出90B ∠=︒，所以AB 2+BC 2=AC 2不一定成立，综上，AB 2+BC 2=AC 2是△ABC 为直角三角形的充分不必要条件，故选A5．(多选)(2020-2021学年湖北省十堰市城区普高协作体高一上学期期中)p 是q 的必要条件的是()A ．:325,:235p x q x +>-->-B ．:2,2,:p a b q a b ><>C ．p ：四边形的两条对角线互相垂直平分，q ：四边形是正方形D ．:0p a ≠，q ：关于x 的方程1ax =有唯一解【答案】CD【解析】对于A ，:3251p x x +>⇒>，:2351q x x -->-⇒<，∴p 推不出q ，q 推不出p ，p 是q 既不充分也不必要条件；对于B ，:2,2:p a b q a b ><⇒>；当1,0a b ==时，满足a b >但q 推不出p ，故p 是q 的充分不必要条件；对于C ，若“两条对角线互相垂直平分”成立推不出“四边形是正方形”；反之，若“四边形是正方形”成立⇒“两条对角线互相垂直平分”成立，故p 是q 的必要条件；对于D ，:0:p a q ≠⇔关于x 的方程1ax =有唯一解，故p 是q 的充分必要条件.故选CD.6.(多选)设全集为U ，在下列选项中，是B A ⊆的充要条件的有()A ．A B A = B ．()U A B Ç=ÆðC ．()()U U A B Í痧D ．()U A B U È=ð【答案】BCD 【解析】由Venn 图可知，B ，C ，D 都是B A ⊆的充要条件，故选BCD ．7.(多选)已知p ，q 都是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，则()A ．p 是q 的充分条件B ．p 是s 的必要条件C ．r 是q 的必要不充分条件D ．s 是q 的充要条件【答案】AD【解析】由已知得：p r s q ⇒⇒⇒；q r s ⇒⇒.p ∴是q 的充分条件；p 是s 的充分条件；r 是q 的充要条件；s 是q 的充要条件.故选AD8.下列命题：①“2x >且3y >”是“5x y +>”的充要条件；②当0a ≠时，“240b ac -<”是“方程20ax bx c ++=有解”的充要条件；③“1x =或2x =-”是“方程220x x +-=”的充要条件．其中正确的序号为______．【答案】③【解析】①2x >且3y >时，5x y +>成立，反之不一定成立，如0x =，6y =，所以“2x >且3y >”是“5x y +>”的充分不必要条件，故①错误；②方程有解的充要条件是240b ac -≥，故②错误；③当1x =或2x =-时，方程220x x +-=一定成立，反过来，方程220x x +-=成立时，1x =或2x =-，故③正确．9．已知集合{|1A x x =<-，或{}2}|23x B x a x a >=≤≤+，，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则实数a 的取值范围是___________．【答案】()(),41,-∞-+∞U 【解析】∵“x A ∈”是x B ∈”的必要条件，∴B A ⊆，当B =∅时，23a a >+，则3a >；当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，由图可知3231a a a +>⎧⎨+<-⎩或3222a a a +>⎧⎨>⎩，解得4a <-或13a <£，综上可得，实数a 的取值范围为()(),41,-∞-+∞U ．10.(2022学年贵州省毕节市金沙县高一10月月考)已知集合{}13A x x =-<<，{}12B x x x x =<<，其中1x ，()212x x x <是关于x 的方程22210x x a --+=的两个不同的实数根.(1)是否存在实数a ，使得“x A ∈”是“x B ∈”的充要条件？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求a 的取值范围.【解析】(1)假设存在满足条件的实数a ，则B A =，即11x =-，23x =.因为1x ，2x 是关于x 的方程22210x x a --+=的两个不同的实数根，所以2131a -⨯=-+，即24a =，解得2a =±，即当2a =±时，“x A ∈”是“x B ∈”的充要条件.(2)由题意可知，关于x 的方程22210x x a --+=的两根分别为1a -和1a +.因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，所以B A .当11a a ->+，即0a <时，{}11B x a x a =+<<-，则11,13,a a +>-⎧⎨-<⎩解得20a -<<；当11a a -<+，即0a >时，{}11B x a x a =-<<+，则11,13,a a ->-⎧⎨+<⎩解得02a <<.综上，a 的取值范围是{20a a -<<或}02a <<.。

奥数一年级教案第03讲智趣问题教师版

第三讲智趣问题1有10个小朋友在玩“猫捉老鼠”的游戏，现在已经捉到了5人，还有几个人没有被捉到？4个一个捉的人一只船上坐着一家人，数一数，有3个爸爸、3个儿子，他们至少有几人？4人,曾祖父,祖父,爸爸,儿子。

房间的桌子上有10支刚刚点燃的蜡烛，风从窗户吹进来，吹灭了2支蜡烛。

过了一会，又有1支蜡烛被风吹灭。

把窗户关起来以后，再没有蜡烛被风吹灭。

最后还剩几只蜡烛？2根，灭了不会死的小明和小亮同买一本书，小明缺1元5角，小亮缺1元3角，如果用两人的钱合买这本书，钱正好。

这本书的价钱是多少？他们各自带了多少钱？2块8，两人的和为价格小猴与小兔去摘桃，小猴摘下15个桃，当小猴将自己的桃分3个给小兔子时，它俩的桃就一样多，你知道小兔子摘了多少个桃？9个。

多6个。

+3 -3 一样多一个正方形有4个角，剪去1个角，还剩几个角？个个教室里有8台吊扇，下课了，兵兵随手关掉了5台，这时，教室里还有几台电风扇？8个如果每个人的步行速度相同，4个人一起从甲地走到乙地，需要25分钟，那么，8个人一起从甲地走到乙地，需要多少时间？25分钟小猴看到一辆旅游观光列车（如下图），便数了数他有多少个轮子。

小猴一个一个地数，啊！一共有12个轮子。

小朋友，小猴数的对吗？24个小丽用同样多的钱分别买了3支铅笔和2本练习本，铅笔贵，还是练习本贵？废话，当然是本子贵。

11爸爸买了3个皮球，两个红的，一个黄的。

哥哥和妹妹都想要。

爸爸叫他们背对着背坐着，爸爸给哥哥塞了个红的，给妹妹塞了个黄的，把剩下的一个球藏在自己背后。

爸爸让他们猜他手里的球是什么颜色的，谁猜对了，就把球给谁。

那么，谁一定能猜对呢?解答：妹妹，只有一个颜色了2、有两个数，它们的和是9，差是1，这两个数是多少？解答：4和53、5个小朋友下棋，每人都要与其他两人各下一盘，他们共要下多少盘？解答：10 4+3+2+1=104、一天，一家人中2个妈妈、2个女儿一同去公园玩，他们至少有几个人？解答：3个人。

08春小学五年级第03讲典型应用题(一) 系统复习班教师版

关于植树的路线，有封闭与不封闭两种路线.1.不封闭路线例：如图① 若题目中要求在植树的线路两端都植树，则棵数比段数多1.如上图把总长平均分成5段，但植树棵数是6棵.全长、棵数、株距三者之间的关系是：棵数=段数+1=全长÷株距+1全长=株距×（棵数-1）株距=全长÷（棵数-1）② 如果题目中要求在路线的一端植树，则棵数就比在两端植树时的棵数少1，即棵数与段数相等.全长、棵数、株距之间的关系就为：全长=株距×棵数；棵数=全长÷株距；株距=全长÷棵数.③ 如果植树路线的两端都不植树，则棵数就比②中还少1棵.棵数=段数-1=全长÷株距-1.如右图所示.段数为5段，植树棵数为4棵.株距=全长÷（棵数+1）.2.封闭的植树路线例如：在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵数等于分成的段数.如右图所示.棵数=段数=周长÷株距.有些植树问题，从表面上看并没有出现“植树”情节，但题意反映的是植树问题的基本数量关系．我们要认真读题，分析.【例1】晶晶上楼，从第一层走到第三层需要走36级台阶．如果从第一层走到第六层需要走多少级台阶?(各层楼之间的台阶数相同)【分析】题意的实质反映的是一线段上的点数与间隔数之间的关系．线段示意图如下：解：①每相邻两层楼之间有多少级台阶?36÷(3-1)=18(级)②从第一层走到第六层共多少级台阶?18×(6-1)=90(级)答：从第一层走到第六层需要走90级台阶．【例2】有三根木料，打算把每根锯成3段，每锯开一处需用3分钟，全部锯完需要多少分钟?【分析】求锯的次数属植树问题思路．一根木料锯成了3段，只要锯3-1=2次，锯3根木料要2×3=6次，问题随之可求．解：①一根木料要锯成3段，共要锯多少次?3-1=2(次)②锯开三根木料要多少次?2×3=6(次)③锯三根木料要多少时间?3×6=18(分钟)综合算式：3×[(3-1)×3]=18(分钟)或3×(3-1)×3=18(分钟)答：全部锯完要18分钟．【例3】从甲地到乙地每隔45米安装一根电线杆，加上两端共53根；现在改成每隔60米安装一根电线杆．求可余下多少根电线杆?【分析】该题含植树问题、相差关系两组数量关系.解：①从甲地到乙地距离多少米?45×(53-1)=2340(米)②间隔距离变化后，甲乙两地之间安装多少根电线杆?2340÷60+1=40(根)③可余下多少根电线杆?53-40=13(根)综合算式：53-[45×(53-1)÷60+1]=13(根)答：可余下13根电线杆．【拓展】在某校周长400米的环形跑道上，每隔8米插一面红旗，然后在相邻两面红旗之间每隔2米插一面黄旗，应准备红旗______面，黄旗______面．【分析】40O ÷8=50 （红旗）8÷2-1=3 3×50=150 （黄旗）【例4】园林工人要在周长300米的圆形花坛边等距离地栽上树.他们先沿着花坛的边每隔3米挖一个坑，当挖完30个坑时，突然接到通知：改为每隔5米栽一颗树.这样，他们还要挖多少个坑才能完成任务？【分析】这道题的关键就在之间每3米一个，已经挖的坑，和后来改成5米挖一个坑，有多少个是重复不需要挖的，那么一步一步分析如下：（1）从第1个坑到第30个坑，共有多长？（30-1）×3=87（米）（2）改为“每5米栽一棵树”，有多少坑仍然有用？87÷15=5 (12)5+1=6（个）（3）改为“每5米栽一棵树”，一共应挖多少个坑？300÷5=60（个）（4）还要挖多少个？60-6=54（个）答：还要挖54个才能完成任务.解题要点：对于鸡兔同笼问题，应先假设，然后把假设情形与事实情形作比较，得出两种情形下总数的差.然后找到出现这个“差”的原因是经过假设，每份数增加了.最后根据这个因果关系列式，求出份数.【例5】（1）在一个笼子里有鸡和兔共8只，鸡兔共22只脚．问鸡和兔各有多少只?【分析】鸡和兔共8只，就是说鸡、兔一共有8个头，每只鸡有2只脚，每只兔有4只脚．这是一道古代的“鸡兔同笼问题”．根据题意画出图，可用图示法解答．解：(1)先画出8个头，用“〇”表示：(2)每个头的下面画出两只脚：把8只全看做是鸡，共画了16只脚，比题中给出的脚少了22-16=6只脚．(3)再给每只鸡添上两只脚使鸡变成兔，边画边数，画够22只脚：答：笼子里有5只鸡，3只兔．（2）今有鸡兔共居一笼，已知鸡头与兔头共35个，鸡脚与兔脚共94只，问鸡兔各几只?【分析】方法一：从已知的35个头，可知鸡兔共35只；又知鸡一只有2只脚，兔一只有’4只脚，假设笼中全是鸡，那么笼中共有(2×35)=70只脚，实际上笼中有94只脚，多出(94—70)=24只脚，什么原因?因为我们把笼中的兔都当作了鸡，每只兔少算了2只脚，所以笼中兔应有(24÷2)=12只，那么鸡有(35—12)=23只．综合算式：(94—2×35)÷(4—2)=12(只)，35—12=23(只)方法二：还可假设笼中都是兔，则35只兔有(4×35)=140只脚，这比笼中实际脚的只数多(140—94)=46只，原因是把鸡都算作了兔，每只鸡多算了2只脚，总共多算了46只脚，所以鸡应该有(46÷2)=23只，兔有(35—23)=12只．综合算式：(4×35—94)÷(4—2)=23(只)，35—23=12(只)方法三：还可以这样假设；假设笼中每个动物砍掉2只脚，则鸡无脚，每只兔只剩下2只脚，笼还剩的脚共有(94—2×35)=24只，所以有24÷(4—2)=12只兔，所以鸡有35—12=23只．答：笼中有12只兔，23只鸡．【例6】鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只.问：鸡、兔各多少只?【分析】假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零.这样鸡脚比兔脚多200只，而实际上只多20只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多200—20=180(只).现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4+2=6(只)，而180÷6=30，因此有兔子30只，鸡100—30=70(只).【例7】（1）某次数学竞赛，共有20道题，每道题做对得5分，没做或做错都要扣3分，小聪得了60分，他做对了_______道题.【分析】20道题全对应该得20×5=100分，还有100+60=40（分）没有得.做错(5×20-60 ) ÷(5+3)=5(道)因此，做对的20-5=15(道).（2）春风小学3名云参加数学竞赛，共10道题，答对一道题得10分，答错一道题扣3分，这3名同学都回答了所有的题，小明得了87分，小红得了74分，小华得了9分，他们三人一共答对了_____道题.【分析】三人共得87+74+9=170(分)，比满分10×10×3=300(分)少300-170=130(分)因此三个人共做错：130÷(10+3)=10(道)题，共答对了30-10=20(道)题【例8】有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，两对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀），求蜻蜓有多少只？【分析】这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题.观察数字特点，蜻蜓、蝉都是6条腿，只有蜘蛛8条腿.因此，可先从腿数入手，求出蜘蛛的只数.我们假设三种动物都是6条腿，则总腿数为 6×18=108（条），所差 118-108=10（条），必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的.所以，应有（118-108）÷（8-6）=5（只）蜘蛛.这样剩下的18-5=13（只）便是蜻蜓和蝉的只数.再从翅膀数入手，假设13只都是蝉，则总翅膀数1×13=13（对），比实际数少 20-13＝7（对），这是由于蜻蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀计算所差，这样蜻蜓只数可求7÷（2-1）=7（只）.盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况．分配不足时，称之为“亏”，分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少分，则物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，则物品就不足(也就是亏)，凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题”．盈亏问题的一般思维方法是比较法．一般解法是：(盈+亏)÷两次分配数的差=人数物品数可由其中一种分法和人数求出.也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种情况，都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题”.【例9】王老师去买儿童小提琴，若买7把，则所带的钱差110元；若买5把，则所带的钱还差30元.则儿童小提琴多少钱一把?王老师带了多少钱?【分析】本题在购物的两个方案中，每一个方案都出现钱不足的情况，买7把小提琴差110元，买5把小提琴差30元.从买7把变成买5把，少买了7—5=2(把)提琴，而钱的差额减少了110—30=80(元)，即80元钱可以买2把小提琴，可见小提琴的单价为每把40元.王老师带了40×7-110=170元钱.【例10】某校安排学生宿舍，如果每间住5人则有14人没有床位；如果每间住7人，则多出4个床位，问宿舍几间?住宿生几人?【分析】由已知条件每间5人少14个床位每间7人多4个床位比较两次分配的方案，可以看出，由于第二种方案比第一种每间多住(7—5)=2人，一共要多出(14+4)=18个床位，根据两种方案每间住的人数的差和床位差，可以求出宿舍间数，然后根据已知条件可求出住宿生人数．解：(4+14)÷(7—5)＝9(间)5×9+14=59(人)，或7×9—4=59(人)答：有宿舍9间，住宿生59人．【例11】有一批笔记本奖给三好生，如果每人发5本就多12本；如果每人发8本就多3本．问有多少本笔记本?【分析】由题意可知，第一次每人发5本，多出12本；第二次每人发8本就多出3本，这两次分配结果相差(12—3)=9本，这是因为两次分配中每人所发本数相差(8—5)=3本，多少人就相差9本呢?9÷3=3(人)，再求出一共有多少本笔记本．解：(12—3)÷(8—5)=9÷3=3(人)5×3+12=27(本)答：有27本笔记本．【例12】有若干个苹果和若干个梨.如果按每1个苹果配2个梨分堆，那么梨分完时还剩2个苹果；如果按每3个苹果配5个梨分堆，那么苹果分完时还剩1个梨.苹果和梨各有多少个?【分析】容易看出这是一道盈亏应用题，但是盈亏总额与两次分配数之差很难找到.原因在于第一种方案是1个苹果“搭配”2个梨，第二种方案是3个苹果“搭配”5个梨.如果将这两种方案统一为1个苹果“搭配”若干个梨，那么问题就好解决了.将原题条件变为“1个苹果搭配2个梨，缺4个梨；1个苹果搭配5/3个梨，多1个梨”，此时盈亏总额为4+1=5(个)梨，两次分配数之差为2-5/3=1/3(个)梨.所以有苹果(4+1)÷（2-5/3）=15(个)，有梨15×2—4=26(个).【附1】一个圆形花坛，周长是180米.每隔6米种一棵芍药花，每相邻的两棵芍药花之间均匀地栽两棵月季花.问可栽多少棵芍药？多少棵月季？两棵月季之间的株距是多少米？【分析】 ①在圆形花坛上栽花，是封闭路线问题，其株数=段数.② 由于相邻的两棵芍药花之间等距的栽有两棵月季，则每6米之中共有3棵花，且月季花棵数是芍药的2倍.解：共可栽芍药花：180÷6＝30（棵）共种月季花：2×30＝60（棵）两种花共：30+60=90（棵）两棵花之间距离：180÷90=2（米）相邻的花或者都是月季花或者一棵是月季花另一棵是芍药花，所以月季花的株距是2米或4米. 答：种芍药花30棵，月季花60棵，两棵月季花之间距离为2米或4米.【附2】马路的一边每相隔9米栽有一棵柳树.张军乘汽车5分钟共看到501棵树.问汽车每小时走多少千米？【分析】张军5分钟看到501棵树意味着在马路的两端都植树了；只要求出这段路的长度就容易求出汽车速度.解：5分钟汽车共走了：9×（501-1）=4500（米），汽车每分钟走：4500÷5=900（米），汽车每小时走：900×60=54000（米）=54（千米）列综合式：9×（501-1）÷5×60÷1000=54（千米）答：汽车每小时行54千米.【附3】现有大小油桶50个，每个大桶可装油4千克，每个小桶可装油2千克，大桶比小桶共多装油20千克，问大小桶各多少个?分析与解答一：假设50个油桶都是大桶，则共装油(4×50)=200千克，而这小桶所装油则为0．这样大桶比小桶多装200千克，比条件所给的差数多了(200—80)=180千克，若在50个大桶中把一部分大桶换成小桶，则每拿一个大桶换成小桶，大桶装的油就减少4千克，而小桶共装的油就增加2千克，那么大桶比小桶多装的数量就减少(4+2)=6千克，那么该把多少个大桶换成小桶才符合题意呢?解： (4×50—20)÷(4+2)=180÷6=30(个)(小桶)50—30=20(个) (大桶)分析与解答二：这道题也可以用另外一种假设；每个大桶比每个小桶多装2千克，如果大小桶同样多，大桶要比小桶共多装20千克，则应该大小桶各20÷(4—2)=10个，现在共有50个桶，在剩下的(50—10×2)=30个桶中，大小桶应装同样多的油，而每个大桶装的油是每个小桶装的(4÷2)=2倍，那么在这30个桶中，应该有[30÷(1+2)]=10个大桶，(30—10)=20个小桶；所以可求出50个桶中，有大小桶各多少个．解：20÷(4—2)=10(个)(50—10×2)÷(1+2)=10(个) (大桶)10+10=20(个) (大桶共有)50一20=30(个) (小桶共有)答：有大桶20个，小桶30个．【附4】100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍.问：大、小和尚各有多少人？【分析】本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得.如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解.假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300－140＝160（个）.现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少3——1＝2（个），因为160÷2＝80，故小和尚有80 人，大和尚有100－80＝20（人）.【附5】东东从家去学校，如果每分走80米，结果比上课提前6分到校，如果每分走50米，则要迟到3分，那么东东家到学校的路程是______米．【分析】这道题看似行程问题，实质却可以用盈亏问题来解.先求出东东从家到学校路上要用多长时间，根据已知，(80×6＋50×3)÷(80—50)＝630÷30＝21(分钟)，然后可求东东家离校的路程为：80×(21—6)＝1200(米)．【附6】有两次自然测验，第一次24道题，答对1题得5分，答错（包含不答）1题倒扣1分；第二次15道题，答对1题8分，答错或不答1题倒扣2分，小明两次测验共答对30道题，但第一次测验得分比第二次测验得分多10分，问小明两次测验各得多少分？【分析】法一：如果小明第一次测验24题全对，得5×24=120（分）.那么第二次只做对30-24=6（题）得分是8×6-2×（15-6）=30（分）.两次相差120-30=90（分）.比题目中条件相差10分，多了80分.说明假设的第一次答对题数多了，要减少.第一次答对减少一题，少得5+1=6（分），而第二次答对增加一题不但不倒扣2分，还可得8分，因此增加8+2=10分.两者两差数就可减少6+10=16（分）.（90-10）÷（6+10）=5（题）.因此，第一次答对题数要比假设（全对）减少5题，也就是第一次答对19题，第二次答对30-19=11（题）.第一次得分5×19-1×（24- 9）=90.第二次得分8×11-2×（15-11）=80.法二：答对30题，也就是两次共答错24+15-30=9（题）.第一次答错一题，要从满分中扣去5+1=6（分），第二次答错一题，要从满分中扣去8+2=10（分）.答错题互换一下，两次得分要相差6+10=16 （分）.如果答错9题都是第一次，要从满分中扣去6×9.但两次满分都是120分.比题目中条件“第一次得分多10分”，要少了6×9+10.因此，第二次答错题数是（6×9+10）÷（6+10）=4（题）.第一次答错 9-4=5（题）.第一次得分 5×（24-5）-1×5=90（分）.第二次得分 8×（15-4）-2×4=80（分）.1. 有一条公路长900米，在公路的一侧从头到尾每隔10米栽一根电线杆，可栽多少根电线杆？【分析】要以两棵电线杆之间的距离作为分段标准.公路全长可分成若干段.由于公路的两端都要求栽杆，所以电线杆的根数比分成的段数多1.解：以10米为一段，公路全长可以分成900÷10＝90（段）共需电线杆根数：90+1=91（根）答：可栽电线杆91根.2. 小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只.问：小梅家的鸡与兔各有多少只？【分析】假设16只都是鸡，那么就应该有2×16＝32（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况多了44-32＝12（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了.如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了2只.因此只要算出12里面有几个2，就可以求出兔的只数.解：有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只），有鸡16-6＝10（只）.答：有6只兔，10只鸡.3. 小明妈妈养鸡兔若干只，已知鸡比兔多13只，鸡的脚比兔的脚多16只，问妈妈养鸡兔各几只?【分析】如果每只兔砍去2只脚，则鸡比兔要多出(2×13)=26只脚，实际上只多出16只脚，相差(26—16)=10只脚，这就是砍去的兔脚，每只兔砍去2只脚，从而可求出兔的只数．解： (2×13—16)÷2’=10÷2=5(只) (兔)5+13=18(只) (鸡)答：小明妈妈养兔5只，养鸡18只．4. 小朋友分糖果，若每人分3粒则剩2粒；若每人分5粒则少6粒.问：有多少个小朋友？多少粒糖果？【分析】（6＋2）÷（4-2）＝4（人），3×4＋2＝14（粒）.答：有4个小朋友，14粒糖果.5. 一张数学试卷，只有25道选择题，做对一题得4分，做错一题倒扣1分，如不做，不得分也不扣分，若某同学得了78分，那么他做对______题，做错______题，不做______题.【分析】78÷4=19.5>19，就是说小明至少做对20道题，假设他做对21题，即使其余4题全做错了，也应得21×4-4×1=80(分) >78(分)，所以小明做对20题，从而易知小明3题不做，做错2道题.答案为20，2，3.断箭不相信自己的意志，永远也做不成将军.春秋战国时代，一位父亲和他的儿子出征打战.父亲已做了将军，儿子还只是马前卒.又一阵号角吹响，战鼓雷鸣了，父亲庄严地托起一个箭囊，其中插着一只箭.父亲郑重对儿子说："这是家袭宝箭，配带身边，力量无穷，但千万不可抽出来.那是一个极其精美的箭囊，厚牛皮打制，镶着幽幽泛光的铜边儿，再看露出的箭尾.一眼便能认定用上等的孔雀羽毛制作.儿子喜上眉梢，贪婪地推想箭杆、箭头的模样，耳旁仿佛嗖嗖地箭声掠过，敌方的主帅应声折马而毙.果然，配带宝箭的儿子英勇非凡，所向披靡.当鸣金收兵的号角吹响时，儿子再也禁不住得胜的豪气，完全背弃了父亲的叮嘱，强烈的欲望驱赶着他呼一声就拔出宝箭，试图看个究竟.骤然间他惊呆了.一只断箭，箭囊里装着一只折断的箭.我一直刳着只断箭打仗呢！儿子吓出了一身冷汗，仿佛顷刻间失去支柱的房子，轰然意志坍塌了.结果不言自明，儿子惨死于乱军之中.拂开蒙蒙的硝烟，父亲拣起那柄断箭，沉重地啐一口道："不相信自己的意志，永远也做不成将军."把胜败寄托在一只宝箭上，多么愚蠢，而当一个人把生命的核心与把柄交给别人，又多么危险！比如把希望寄托在儿女身上；把幸福寄托在丈夫身上；把生活保障寄托在单位身上…… 温馨提示：自己才是一只箭，若要它坚韧，若要它锋利，若要它百步穿杨，百发百中，磨砺它，拯救它的都只能是自己.。

数学好玩第3课时优化(Word教案)2023-2024学年四年级数学下册同步备课(北师大版)

数学好玩第3课时优化（Word教案）2023-2024学年四年级数学下册同步备课（北师大版）教学目标：1. 理解并掌握优化问题的基本概念和方法。

2. 能够运用优化方法解决实际问题，提高解决问题的能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力和创新意识。

教学内容：1. 优化问题的基本概念。

2. 优化方法及应用。

3. 实际问题的优化解决。

教学步骤：一、导入（5分钟）1. 教师通过生活中的实例，引导学生思考如何使事情变得更好，从而引出优化的概念。

2. 学生分享自己的优化经验，激发学生对优化问题的兴趣。

二、优化问题的基本概念（10分钟）1. 教师讲解优化问题的定义，即在一定条件下，寻找最优解的过程。

2. 学生通过例题，理解优化问题的基本要素，如目标函数、约束条件等。

三、优化方法及应用（15分钟）1. 教师介绍常见的优化方法，如线性规划、整数规划、非线性规划等。

2. 学生通过实例，学习如何运用优化方法解决实际问题，如最短路径问题、最大收益问题等。

四、实际问题的优化解决（10分钟）1. 教师给出一些实际问题，引导学生运用所学优化方法进行解决。

2. 学生分组讨论，共同寻找最优解，并展示解题过程和结果。

五、课堂小结（5分钟）1. 教师引导学生回顾本节课所学内容，总结优化问题的基本概念和方法。

2. 学生分享自己在解决实际问题中的收获和体会。

六、作业布置（5分钟）1. 教师布置课后作业，巩固本节课所学内容。

2. 学生完成作业，进一步巩固优化问题的解决方法。

教学评价：1. 学生能够理解并掌握优化问题的基本概念和方法。

2. 学生能够运用优化方法解决实际问题，提高解决问题的能力。

3. 学生在解决实际问题的过程中，能够展现出逻辑思维能力和创新意识。

备注：本节课所需教材为北师大版四年级数学下册，教师可根据实际情况进行调整。

需要重点关注的细节是“优化方法及应用”。

这个部分是本节课的核心，涉及到优化问题的解决方法，是学生在学习过程中必须掌握的关键内容。

第03讲含参数一元一次不等式(组)(教师版)A4

含参数一元一次不等式（组）含参数一元一次不等式（组）一．含参一元一次不等式（组）含字母系数的一次不等式（组）：未知数的系数含有字母或常数项含有字母一次不等式（组）．任何一个含有字母系数的一元一次不等式都可以化为ax b >的一般形式，在这个形式中：若0a >，那么ax b >的解为b x a >；若0a <，那么ax b >的解为b x a<；若0a =，则当0b ≥时，ax b >无解，当0b <时，ax b >的解为任何实数．一．考点：含参的一元一次方程（组）．二．重难点：参数与解集之间的关系，整数解问题，不等式与方程综合．三．易错点：注意参数取值范围导致的变号问题．知识图谱知识精讲三点剖析题模精讲题模一：解含参一元一次不等式（组）例1.1.1 已知23a ≠，解关于x 的不等式()()14321a x a x ++<-- 【答案】当23a >时，不等式的解为523x a <-；当23a <时，不等式的解为523x a >- 【解析】原不等式化为：()()13214a x a x +--<-- ()325a x -<-，因为23a ≠，所以320a -≠，即32a -为正数或负数.（1）当320a ->时，即23a >时，不等式的解为523x a <-；（2）当320a -<，即23a <时，不等式的解为523x a >- 例1.1.2 解下列关于x 的不等式组：()23262111x a x x x +⎧->⎪⎨⎪+>-⎩；【答案】 13a >时，32x a >+；13a ≤时，3x > 【解析】原不等式组可化为323x a x >+⎧⎨>⎩．当323a +>，即13a >时，不等式组的解集为32x a >+．当323a +≤，即13a ≤时，不等式组的解集为3x > 题模二：参数与解集之间的关系例1.2.1 例若关于x 的不等式组3(2)224x x a x x --<⎧⎪⎨+>⎪⎩有解，则实数a 的取值范围是__________．【答案】 4a >【解析】由3(2)2x x --<得2x >，由24a x x +>得12x a <，因为不等式组有解，所以122a >，解得4a >．题模三：整数解问题例1.3.1 已知关于x 的不等式40x a -≤只有四个正整数解1、2、3、4，求正数a 的取值范围．【答案】 1620a ≤<【解析】解不等式得4a x ≥又因为有且只有4个正整数解，故45a <⨯且44a ≥⨯1620a ∴≤<例1.3.2 已知不等式组221x a x b ->⎧⎨+<⎩的整数解只有5、6，求a 和b 的范围【答案】 23a ≤<，1315b <≤【解析】解不等式组得212x a b x >+⎧⎪⎨-<⎪⎩，因为整数解只有5、6，所以425a ≤+<，1672b -<≤，故23a ≤<，1315b <≤．题模四：不等式与方程的综合例1.4.1 已知2310a x -+=，32160b x --=，且4a b ≤≤，求x 的取值范围．【答案】 23x -≤≤【解析】由2310a x -+=可得312x a -=，由32160b x --=可得2163x b +=，又因为4a b ≤≤，所以31216423x x -+≤≤，解得23x -≤≤．例1.4.2 求使方程组24563x y m x y m +=+⎧⎨+=+⎩的解x 、y 都是正数的m 的取值范围．【答案】 572m << 【解析】解原方程组得725x m y m =-+⎧⎨=-⎩，由x 、y 都是正数可得70250m m -+>⎧⎨->⎩，解得572m <<例 1.4.3 已知非负数x 、y 、z 满足123234x y z ---==，设345w x y z =++，求w 的最大值与最小值．【答案】最大值1063，最小值19 【解析】设123234x y z k ---===，则21x k =+，23y k =-，43z k =+，所以1426w k =+，又因为x 、y 、z 都是非负数，所以210230430k k k +≥⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩，解得1223k -≤≤，当23k =时，w 取最大值1063，当12k =-时，w 取最小值19随堂练习随练1.1 已知不等式424233x x a +<-（x 是未知数）的解也是不等式12162x -<的解，求a 的取值范围．【答案】 7a ≥-【解析】由12162x -<得1x >-，由424233x x a +<-得6x a >+，由题意得61a +≥-，故7a ≥- 随练1.2 若关于x 的不等式0mx n ->的解集是15x <，则关于x 的不等式()m n x n m +>-的解集是（） A ． 23x <- B ． 23x >- C ． 23x < D ． 23x > 【答案】A 【解析】该题考查的是含参的不等式．∵关于x 的不等式0mx >的解集是15x <，， ∴0m <，15n m =， ∴解关于x 的不等式()m n x n m +>-得，n m x n m -<+， ∴55253n x n n -<=-+，故答案是A ．随练1.3 已知a 、b 为常数，解关于x 的不等式22ax x b ->+ 【答案】2a >时，()212b x a +>- 2a <时，()212b x a +<-2a =时，①如果10b +≥，不等式无解；②如果10b +<，则不等式的解为任何实数【解析】原不等式可化为()()221a x b ->+，（1）当20a ->，即2a >时，不等式的解为()212b x a +>-；（2）当20a -<，即2a <时，不等式的解为()212b x a +<-；（3）当20a -=，即2a =时，有①：如果10b +≥，不等式无解；②如果10b +<，则不等式的解为任何实数．随练1.4 当k 满足___________时，方程组24x y k x y +=⎧⎨-=⎩中x 大于1，y 小于1 【答案】 13k -<<【解析】由24x y k x y +=⎧⎨-=⎩可得22x k y k =+⎧⎨=-⎩，所以2121k k +>⎧⎨-<⎩，解得13k -<<．随练1.5 若关于x 的不等式423202x x x a ++⎧>⎪⎪⎨+⎪<⎪⎩的解集为x ＜2，则a 的取值范围是____．【答案】 a≤-2【解析】本题考查了不等式的性质、解一元一次不等式（组）的应用，关键是能根据不等式的解集得出关于a 的不等式，题目比较好，难度不大．根据不等式的性质求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律得出-a≥2，求出即可． 423202x x x a ++⎧>⎪⎪⎨+⎪<⎪⎩①②，解不等式①得：x ＜2，解不等式①得：x ＜-a ，①不等式组的解集是x ＜2，①-a≥2，①a≤-2，故答案为：a≤-2随练1.6 已知方程组3951x y a x y a +=+⎧⎨-=+⎩的解都为正数（1）求a 的取值范围（2）化简454a a +--【答案】（1）544a -<<（2）51a + 【解析】先把a 看作常数，解方程组得454x a y a =+⎧⎨=-+⎩，由方程组的解都为正数可得45040a a +>⎧⎨-+>⎩，解得544a -<<，由45040a a +>⎧⎨-+>⎩可得4545a a +=+，44a a -=-，故45451a a a +--=+随练1.7 若关于x 的不等式0721x m x ⎧-<⎨-≤⎩的整数解共有4个，则m 的取值范围是（）A ． 6＜m ＜7B ． 6≤m ＜7C ． 6≤m ≤7D ． 6＜m ≤7【答案】D 【解析】本题是一道较为抽象的中考题，利用数轴就能直观的理解题意，列出关于m 的不等式组，再借助数轴做出正确的取舍．首先确定不等式组的解集，先利用含m 的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于m 的不等式，从而求出m 的范围．由（1）得，x ＜m ，由（2）得，x≥3，故原不等式组的解集为：3≤x ＜m ，①不等式的正整数解有4个，①其整数解应为：3、4、5、6，①m 的取值范围是6＜m≤7．故选D ．随练1.8 已知关于x 的不等式组4(1)23617x x x a x -+>⎧⎪-⎨-<⎪⎩有且只有三个整数解，求a 的取值范围．【答案】 1≤a ＜2【解析】解不等式4（x -1）+2＞3x ，得：x ＞2，解不等式x -1＜67x a -，得：x ＜7-a ， ①此不等式组有且只有三个整数解，①这三个整数解为3，4，5，①5＜7-a≤6，解得1≤a ＜2．①实数a 的取值范围是1≤a ＜2．随练1.9 已知2310a x -+=，32160b x --=，且4a b ≤<，求x 的取值范围．【答案】 23x -<≤【解析】由2310a x -+=可得312x a -=，由32160b x --=可得2163x b +=，又因为4a b ≤<，所以31216423x x -+≤<，解得23x -<≤自我总结拓展1 若关于x 的不等式21a x ->的解集是1x <，则a 的值是（）A ． 1a =B ． 1a >C ． 1a <D ． 1a =-【答案】A【解析】该题考查的是含参数的不等式．∵21a x ->，∴21x a <-，∵1x <，∴211a -=，解得1a =．故答案是A ．拓展2 10．（3分）（2016•江西校级模拟）已知关于x 的不等式组1x a x ⎧>⎨>⎩的解集为x ＞1，则a 的取值范围是_____________．【答案】 a ≤1【解析】由关于x 的不等式组1x a x ⎧>⎨>⎩的解集为x ＞1，得 a ≤1，拓展3 若关于x 的不等式组232x a x a >+⎧⎨<-⎩无解，则a 的取值范围是__________．能力拓展【答案】 2a ≤【解析】由题意可知232a a +≥-，解得2a ≤拓展4 若不等式组200x b x a -≥⎧⎨+≤⎩的解集为3≤x ≤4，则不等式ax+b ＜0的解集为____．【答案】 x ＞32【解析】200x b x a -≥⎧⎨+≤⎩①② ①解不等式①得：x≥2b ，解不等式①得：x≤-a ，①不等式组的解集为：2b ≤x≤-a ， ①不等式组200x b x a -≥⎧⎨+≤⎩的解集为3≤x≤4， ①2b =3，-a=4， b=6，a=-4， ①-4x+6＜0，x ＞32，故答案为：x ＞32拓展5 如果方程组32335x y k x y +=+⎧⎨+=⎩的解为x 、y ，且9k ≤时，求x y -的取值范围【答案】 8x y -≤【解析】由原方程组可得()222x y k -=-，所以1x y k -=-，由9k ≤得8x y -≤拓展6 若关于x 的不等式组430x x m -≥⎧⎨≥⎩有2个整数解，则m 的取值范围是（） A ． 1m >- B ． 0m ≥ C ． 10m -<≤ D ． 10m -≤≤【答案】C【解析】该题考察的是一元一次不等式组的整数解．解不等式430x -≥得43x ≤，故不等式组的解集为：43m x ≤≤，因为不等式组只有2个整数解，所以这两个整数解为：0，1，因此实数m 的取值范围是10m -<≤．故选答案是C ．拓展7 关于x 的不等式组232x a x a <+⎧⎨≥-⎩只有非负数解，求a 的取值范围．【答案】 223a ≤< 【解析】 232320a a a +>-⎧⎨-≥⎩． 223a ∴≤<拓展8 适当选择a 的取值范围，使1.7x a <<的整数解：（1）x 只有一个整数解（2）x 一个整数解也没有【答案】（1）23a <≤（2）1.72a <≤【解析】（1）由1.7x a <<，x 只有一个整数解，即2x =，得到23a <≤；（2）由1.7x a <<，x 一个整数解也没有得到1.72a <≤．拓展9 已知关于x ，y ，z 的方程组212325x y z x y z -+=⎧⎨+-=⎩满足524x y ≥⎧⎨≤<⎩，求3S x y z =+-的取值范围．【答案】 41115S ≤< 【解析】解方程组得到417527z x z y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，根据题意415752247z z -⎧≥⎪⎪⎨-⎪≤<⎪⎩，解得1665z ≤<，而5S z =+．。

第03讲移多补少与等量代换(教师版)-二升三暑期数学奥数培优讲义

一、移多补少与等量代换（三上）1. 移多补少：做移多补少的题目，最好的办法就是借助画线段图，画图能给人一种直观的感觉，帮助我们理清数量关系．2. 等量代换：用一些数量去代替与之有相等关系的另一些数量，注意往往从较大的数量开始代换．使用等量代换时，学会从问题开始分析．本讲主要介绍移多补少和等量代换，这一讲是为后面的和差倍问题做铺垫的，同学们一定要认真学习．一、移多补少1、（1）第一行比第二行多_________个．（2）第一行给第二行___________个才能使第一行与第二行一样多．（2）第一行给第二行___________个才能使第一行比第二行多2个．（2）第一行给第二行___________个才能使第二行比第一行多2个．【答案】（1）6个（2）3个（3）2个（4）4个【解析】（1）第一行有10个，第二行有4个，所以第一行比第二行多1046−=个．第3讲移多补少与等量代换二升三暑期知识点课堂例题前言1（2）第一行比第二行多6个，给1差2，则给623÷=个才能使第一行与第二行一样多．（3）开始第一行比第二行多6个，后来第一行比第二行多2个，差值减少624−=个．给1差2，则给422÷=个才能使第一行与第二行多2个．（4）开始第一行比第二行多6个，后来第一行比第二行少2个，差值减少628+=个．给1差2，则给824÷=个才能使第二行与第一行多2个．2、小高和墨莫分别有一些巧克力，小高比墨莫多10块．（1）小高给墨莫8块，这时谁的巧克力多？多几块？（2）小高给墨莫多少块才能使两人的巧克力一样多？（3）要让墨莫的巧克力比小高多4块，需要谁给谁巧克力？给几块？【答案】（1）墨莫，多6块（2）5（3）小高给墨莫，7块【解析】（1）小高比墨莫多10块，小高给墨莫8块，给1差2，墨莫比小高多82106×−=块．（2）小高比墨莫多10块，给1差2，小高给墨莫1025÷=块，能使两人的巧克力一样多．（3）小高比墨莫多10块，要让墨莫的巧克力比小高多4块，根据给1差2，小高要给墨莫()10427+÷=块．3、开始时卡利娅比萱萱多30张卡片，每次卡莉娅给萱萱3张．（1）给几次才能使两人的卡片一样多？（2）给几次才能使萱萱比卡莉娅多12张？【答案】（1）5（2）7【解析】（1）卡利娅比萱萱多30张卡片，根据给1差2，卡利亚需要给萱萱30215÷=张两人的卡片一样多．而每次卡莉娅给萱萱3张，所以需要给1535÷=次，才能使两人的卡片一样多．（2）卡利娅比萱萱多30张卡片，根据给1差2，卡利亚需要给萱萱()3012221+÷=张，才能使萱萱比卡莉娅多12张．而每次卡莉娅给萱萱3张，所以需要给2137÷=次，才能使萱萱比卡莉娅多12张．4、灰太狼和红太狼分糖果，一开始灰太狼有1020块糖，红太狼有1000块糖，要想让红太狼的糖比灰太狼多30块，谁给谁糖果？给几块？【答案】灰太狼给红太狼，25块【解析】开始灰太狼比红太狼多1020100020+=块．根−=块，后来红太狼的糖比灰太狼多30块，差值增加203050据给1差2，灰太狼需要给红太狼50225÷=块．二、等量代换5、体重大比拼：（1）4只小狗＝8只小猫，那么5只小狗等于多少只小猫的体重？（2）2只小狗＝4只小猫，1只小猫＝2只鸭子，那么12只小狗等于多少只鸭子的体重？（3）3只小狗＝4只小兔，5只小兔＝7只小鸡，那么12只小狗加上4只小兔等于多少只小鸡的体重？【答案】（1）10（2）48（3）28【解析】（1）4狗＝8猫，则1狗＝2猫，则5狗＝10猫．（2）2狗＝4猫，则12狗＝24猫；1猫＝2鸭，则24猫＝48鸭．那么12狗＝48鸭．（3）3狗＝4兔，则15狗＝20兔；5兔＝7鸡，则20兔＝28鸡．那么15狗＝28鸡．因为3狗＝4兔，所以15狗＝12狗4兔，12只小狗加上4只小兔等于28只小鸡的体重．6、1只兔子的重量加上1只猴子的重量等于8只鸡的重量，3只兔子的重量等于9只鸡的重量，那么1只猴子的重量等于多少只鸡的重量？【答案】5【解析】3只兔子的重量等于9只鸡的重量，那么1只兔子的重量等于3只鸡的重量．1只兔子的重量加上1只猴子的重量等于8只鸡的重量，所以1只猴子的重量等于5只鸡的重量．7、已知所有大鸭子的重量均相等，所有小鸭子的重量均相等．3只大鸭子和2只小鸭子共重32千克，4只大鸭子和3只小鸭子共重44千克，请问2只大鸭子和1只小鸭子共重多少千克？【答案】【解析】3只大鸭子和2只小鸭子共重32千克，4只大鸭子和3只小鸭子共重44千克，相减可得，1只大鸭子和1只小鸭子共重443212−=千克．3只大鸭子和2只小鸭子共重32千克，1只大鸭子和1只小鸭子共重12千克，相减可知，2只大鸭子和1只小鸭子共重321220−=千克．8、体重大比拼：（1）1头大象=3头长颈鹿，1头长颈鹿=2头犀牛，那么6头大象的体重等于多少头犀牛的体重？（2）2头大象=3头长颈鹿，7头犀牛=5头长颈鹿，那么10头大象加20头长颈鹿等于多少头犀牛的体重？【答案】（1）36（2）49【解析】（1）1头长颈鹿=2头犀牛，则3头长颈鹿=6头犀牛；1头大象=3头长颈鹿，那么1头大象=6头犀牛，所以6头大象的体重等于6636×=头犀牛的体重．（2）2头大象=3头长颈鹿，则10头大象=15头长颈鹿；7头犀牛=5头长颈鹿，则21头犀牛=15头长颈鹿，所以10头大象=21头犀牛．7头犀牛=5头长颈鹿，则28头犀牛=20头长颈鹿，所以10头大象加20头长颈鹿等于212849+=头犀牛的体重．1、阿呆和阿瓜分糖果，开始时阿呆有14个，阿瓜有4个．后来阿呆给了阿瓜6个，这时谁的糖果多？多几个？【答案】阿瓜，多2个【解析】开始阿呆比阿瓜多14410−=个，后来阿呆给了阿瓜6个，给1差2，这时阿瓜比阿呆多，多62102×−=个．2、一开始田鼠爸爸比田鼠妈妈多11块宝石，要让爸爸比妈妈多3块宝石，需要爸爸给妈妈多少块宝石？【答案】4【解析】现在田鼠爸爸比田鼠妈妈多11块宝石，要使爸爸比妈妈多3块宝石，根据给1差2，需要爸爸给妈妈()11324−÷=块宝石．3、刘老师有两盒糖果，红盒比蓝盒多30粒糖，每次从红盒取5粒糖放到蓝盒，取几次后两盒糖的粒数就同样多？【答案】3【解析】红盒比蓝盒多30粒糖，红盒给蓝盒30215÷=粒，两盒糖的粒数就同样多．每次从红盒取5粒糖放到蓝盒，所以取1553÷=次后两盒糖的粒数同样多．4、胡老师有一些高思杀卡片，曹老师有一些水浒杀卡片，胡老师给曹老师6张后，（1）胡老师还比曹老师多2张，那么之前谁的卡片多？多多少张？（2）曹老师比胡老师多40张，那么之前谁的卡片多？多多少张？【答案】（1）（2）随堂练习【解析】（1）胡老师给曹老师6张差值减少6212×=张，胡老师还比曹老师多2张，所以原来胡老师比曹老师多12214+=张．（2）胡老师给曹老师6张差值增加6212×=张，曹老师比胡老师多40张，所以原来曹老师比胡老师多401228−=张．5、7头大象和10头长颈鹿重量相等，那么40头长颈鹿和多少头大象重量相等？【答案】28【解析】7象＝10鹿，那么40头长颈鹿＝7428×=头大象的重量．6、4只狗的重量等于9只鸡的重量，那么16只狗的重量等于__________只鸡的重量．【答案】36【解析】16只狗是4只狗的4倍，所以16只狗的重量等于()916436×÷=只鸡的重量．7、2只狗的重量等于7只鸡的重量，那么6只狗的重量等于__________只鸡的重量．【答案】21【解析】6只狗是2只狗的3倍，那么6只狗的重量等于()76221×÷=只鸡的重量．8、3只狗的重量等于6只鸭子的重量，那么4只狗的重量等于__________只鸭子的重量．【答案】83只狗=6只鸭子，所以1只狗等于632÷=只鸭子，则4只狗的重量等于248×=只鸭子的重量．1、师傅和两个徒弟一起组装零件，师傅组装3个零件与大徒弟组装2个零件所用的时间相同，而大徒弟组装3个零件与小徒弟组装1个零件所用的时间相同．请问：小徒弟组装4个零件的时间师傅能组装几个零件？【答案】18个【解析】由题意得，小徒弟组装4个的时间，大徒弟能组装4312×=个零件．又大徒弟每次组装2个的时间，师傅可以组装3个，所以师傅一共能装122318÷×=个零件．2、阿呆有20个西瓜，阿瓜有48个西瓜，阿瓜给阿呆________个西瓜后，阿瓜和阿呆的西瓜数相等．【答案】14【解析】阿呆有20个西瓜，阿瓜有48个，阿瓜比阿呆多482028−=个，根据给1差2，阿瓜给阿呆28214÷=个西瓜后，阿瓜和阿呆的西瓜数相等．3、小高给萱萱28个苹果后，小高比萱萱少2个，之前两人差________个．【答案】54【解析】小高给萱萱28个苹果，差值减少28256×=．小高比萱萱少2个，所以之前两人差56254−=个．4、1只大象=3只河马，2只河马=3只斑马，那么9只斑马等于________只大象．【答案】2课后作业1只大象=3只河马，则2只大象=6只河马；2只河马=3只斑马，则6只河马=9只斑马．所以9只斑马等于2只大象．5、用3个鹅蛋可换9个鸡蛋，2个鸡蛋可换4个鸽子蛋，用5个鹅蛋能换________个鸽子蛋．【答案】30【解析】3个鹅蛋可换9个鸡蛋，则6个鹅蛋可换18个鸡蛋；2个鸡蛋可换4个鸽子蛋，则18个鸡蛋可换36个鸽子蛋，所以6个鹅蛋换36个鸽子蛋，1个鹅蛋换6个鸽子蛋，5个鹅蛋换30个鸽子蛋．6、4瓶水全倒出来能装满3碗，5杯水正好装满2瓶，那么装满3碗要________杯水．【答案】10【解析】5杯水正好装满2瓶，则10杯水正好装满4瓶；4瓶水全倒出来能装满3碗，所以10杯水正好装满3碗．7、1只狗的重量等于3只猫的重量，那么4只狗的重量等于__________只猫的重量．【答案】12【解析】 4只狗是1只狗的4倍，所以4只狗的重量等于()34112×÷=只猫的重量．8、1只狗的重量等于2只猫的重量，那么5只狗的重量等于__________只猫的重量．【答案】10【解析】5只狗是1只狗的5倍，所以5只狗的重量等于()25110×÷=只猫的重量．。

九年级上册：第03讲_含参的一元二次方程(教师版)

第03讲_含参的一元二次方程知识图谱含参的一元二次方程知识精讲二．一元二次方程的整数根如果一元二次方程2三点剖析一．考点：含参的一元二次方程．二．重难点：含参的一元二次方程判别式与解的关系，含参一元二次方程的特殊解问题．三．易错点：1．含参一元二次方程如果参数没有明确取值范围必须要分类讨论；2．含参一元二次方程的特殊解问题要注意参数是整数，正整数，负整数，还是有理数等限制条件．判别式与解的关系例题1、已知关于x 的方程kx 2+（1-k ）x-1=0，下列说法正确的是（）A.当k=0时，方程无解B.当k=1时，方程有一个实数解C.当k=-1时，方程有两个相等的实数解D.当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解．【答案】C【解析】关于x 的方程kx 2+（1-k ）x-1=0，A 、当k=0时，x-1=0，则x=1，故此选项错误；B 、当k=1时，x 2-1=0方程有两个实数解，故此选项错误；C 、当k=-1时，-x 2+2x-1=0，则（x-1）2=0，此时方程有两个相等的实数解，故此选项正确；D 、由C 得此选项错误．故选：C ．例题2、解方程：mx 2－（2m ＋1）x ＋m ＋1＝0．【答案】当m ＝0时，x ＝1当m ≠0时，11m x m+=，x 2＝1【解析】暂无解析例题3、已知关于x 的一元二次方程（a ﹣2）x 2+2ax+a+3=0有实数根，（1）求a 的取值范围；（2）当a 取最大数值时，解此一元二次方程．【答案】（1）a ≤6且a ≠2．（2）x 1=x 2=﹣32．【解析】（1）∵关于x 的一元二次方程（a ﹣2）x 2+2ax+a+3=0有实数根，∴()()()22024230a a a a -≠⎧⎪⎨∆=--+≥⎪⎩，解得：a ≤6且a ≠2．（2）当a=6时，原方程为4x 2+12x+9=（2x+3）2=0，解得：x 1=x 2=﹣32．随练1、已知关于x 的方程（a ﹣1）x 2﹣2x+1=0有实数根，则a 的取值范围是．【答案】a ≤2【解析】∵关于x 的方程（a ﹣1）x 2﹣2x+1=0有实数根，∴△≥0，即4﹣4（a ﹣1）≥0得，a≤2，且a ﹣1≠0，a≠1；∴a 的取值范围为a≤2且a≠1．当a=1时为一元一次方程，方程有一根．综上所知a 的取值范围为a≤2．故答案为：a≤2．随练2、已知0a >，b a c >+，判断关于x 的方程20ax bx c ++=的根的情况，并给出必要的说明？【答案】见解析【解析】（1）当0c >时，0a >，b a c >+从而22()b a c >+，22()0b a c -+>，224()0b ac a c --->，∴224()0b ac a c ->-≥，即0∆>，原方程必有两个不等实根；（2）当0c =时，由0,a b a c a >>+=，得0,0,0b ac >=∆>；（3）当0c <时，由0a >，得0ac <，240b ac ∆=->．综合⑴、⑵、⑶，得关于x 的方程总有两个不等的实根随练3、解关于x 的方程：2222(1)(1)(1)a x x a x a x -+--=-【答案】当220210a a a ⎧-=⎪⎨-+≠⎪⎩时，方程为一元一次方程的解为0x =或2x =；当20a a -≠时，方程为一元二次方程，()()10ax a ax x a ----=，11a x a +=，21ax a =-【解析】化为一般式：()()()2222210a a x a x a a ---++=当220210a a a ⎧-=⎪⎨-+≠⎪⎩时，方程为一元一次方程的解为0x =或2x =；当20a a -≠时，方程为一元二次方程，()()10ax a ax x a ----=，11a x a +=，21ax a =-特殊解问题例题1、已知关于x 的方程220mx x m--=（m ≠0）（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两个实数根都是整数，求整数m 的值．【答案】（1）见解析（2）1m =-或1m =【解析】（1）证明：∵m ≠0，∴220mx x m--=是关于x 的一元二次方程．∵22(1)4()m m∆=---，……………………………………………1分=9＞0.∴方程总有两个不相等的实数根．………………………………2分（2）解：由求根公式，得x =．∴12x m =，21x m=-.……………………………………………………4分∵方程的两个实数根都是整数，且m 是整数，∴1m =-或1m =．………………………………………………………5分例题2、已知关于的一元二次方程22240x x k ++-=有两个不相等的实数根。

数学【暑期精英强化课程】第1册 PD第03讲应用题综合(上) 教师版

第三讲应用题综合（上）1、掌握利用文氏图进行辅助分析比较复杂包含与排除的问题。

清楚文氏图每一部分的含义。

2、掌握利用抽屉原理对一些较复杂问题进行说明。

3、培养学生发现数学中的美，激发学员学习探索的意识。

有重叠部分的若干对象的计数问题。

能利用文氏图进行辅助分析，弄清文氏图中每部分的含义；结合文氏图理解两个对象和三个对象的容斥原理；灵活处理具有一些不确定性的计数问题，以及其他形式酌重复计数问题。

抽屉原理：把多于n个的苹果放进n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。

四年级一班第二小组一共12人，其中5人会打乒乓球，8人会下象棋，3人既会打乒乓球又会下象棋，那么这个小组中，既不会打乒乓球又不会下象棋的有几人？【解析】此题可以画图分析，5＋8＝13（人），这里重复加了一次既会打乒乓球又会下象棋的3人，所以会打乒乓球和会下象棋的人数为13－3＝10（人），则剩下的12－10＝2（人）就是这个小组中既不会打乒乓球又不会下象棋的人数。

解答：2人。

任意写一个由数字1、2组成的六位数，从这个六位数中任意截取相邻两位，可得一个两位数，请证明：在从各个不同位置上截取的所有两位数中，一定有两个相等。

【解析】一个六位数截取相邻两位，有5种不同的截取方法，截取后得到的5个两位数都由数字1，2组成。

由数字1，2组成的两位数一共有4种不同的数，根据抽屉原理，截取得到的5个数必有两个相等。

某大学有外语老师120名，其中教英语的有50名，教日语的有45名，教法语的有40名，有15名既教英语又教日语，有10名既教英语又教法语，有8名既教日语又教法语，有4名教英语，日语和法语三门课，讲演者：得分：讲演者：得分：则不教三门课的外语教师有多少名？【解析】14名。

此题是三个集合的容斥问题，可以画图分析。

至少教英，日，法三门课其中一门的外语教师有50＋45＋40－10－8－4＝106(名），不教这三门课的教师有120－106＝14（名）。

2021年小学一年级数学·思维拓展第03讲火柴算式大比拼教师版

第03讲火柴算式大比拼通过火柴棒算式的游戏，进一步认识火柴棒游戏的多样性；全面提高学生的想象力、思维力、推理力；在游戏中锻炼孩子勤于思考，乐于创造的精神。

改变指定数量的火柴棒使算式成立。

熟练掌握数字转换的同时，学着找特殊数字作为切入点。

教师：火柴棒；学生：火柴棒、价标纸。

熟悉两种数字的摆放方式，学着从数量关系上判断数字的变化；根据数量要求移动符号或数字，使算式改变；摸索典型的火柴算术题方法。

通过今天的学习，你又发现了哪些能够运用估算来解决的问题呢？在购物时、检验准确计算时，都能用到估算。

观察力记忆力想象力欢迎大家来到火柴算式竞技场，今天我们将要进行一场特殊的比拼。

比赛规则为：根据要求移动一定数量的火柴棒，使原本错误的算式变正确。

在进行游戏之前，让我们先结合讨论问题来认识一下数字的两种摆放方式。

两种摆放方式所使用的火柴棒数量，哪些一样，哪些不一样？符号与符号之间，符号与数字之间，是否也能进行转换？【分析】熟练掌握两种火柴棒数字的摆放方式，回答讨论问题。

比一比看谁摆放得又快又准。

【解答】某些数字之间能通过增加或减少火柴棒的数量达到相互转换。

熟记这些火柴棒的特点，是进行游戏的首要前提。

观察力想象力分析力首先，袋鼠老师将会给参加比赛的选手，每人分发一份火柴棒。

你准备好了吗？比赛开始，第一关：移动1根火柴棒，使算式成立。

要使算式成立可以从哪些方面来考虑？选择改变得数可行吗？为什么？【分析】左边得数为13，太大。

若将左边的一根火柴棒移到右边，右边会得数太大。

猜测移动需在左边进行，且为运算符号的变化。

【解答】【温馨提示】在移动火柴棒之前，要认真观察算式。

明确算式中哪边大，哪边小，再来猜想从何着手。

观察力分析力计算力袋鼠老师说道：“刚才的游戏不过是个热身。

接下来大家开动脑筋，一起来完成我为大家设置的问题吧！”比赛第二关：移动1根火柴棒，使下面的数字不论横着、竖着的三个数字之和都相等。

你可发现某些横排或竖排的计算结果已经相同？当结果悬殊较大时，怎么办？【分析】1+4+5=10；1+6+3=10；5+2+3=10；这三组数的和已经为10，而4+8+6=18；1+6+1=8；一个和大8，一个和小2。

第03讲全等三角形(4个知识点+7大题型+18道强化训练)(教师版) 24-25学年八年级数学上册

第03讲全等三角形（4个知识点+7大题型+18道强化训练）课程标准学习目标1.认识全等图形，理解全等图形的概念与特征；2.能欣赏有关的图案，并能指出其中的全等图形；3.全等图形的概念和特征，认识全等图形。

4. 理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边，对应角. 5.掌握并能运用全等三角形的性质。

1.认识全等图形，理解全等图形的概念与特征；2.能欣赏有关的图案，并能指出其中的全等图形；3.全等图形的概念和特征，认识全等图形。

4. 理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边，对应角.5. 掌握并能运用全等三角形的性质。

知识点 1：全等图形全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。

（一）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。

（二）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。

（三）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。

【即学即练1】1．（24-25八年级上·全国·假期作业）找出下列各组图中的全等图形（）A．②和⑥B．②和⑦C．③和④D．⑥和⑦【答案】C【分析】本题考查了全等图形的定义，直接根据全等图形的定义判断即可．【详解】解：∵图形②和图形⑥不能够完全重合，故A选项不符合题意；∵图形②和图形⑦不能够完全重合，故B选项不符合题意；∵图形③和图形④能够完全重合，故C选项符合题意；∵图形⑥和图形⑦不能够完全重合，故D选项不符合题意；故选：C．知识点2：全等多边形（1）定义：能够完全重合的两个多边形叫做全等多边形.相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角.（2）性质：全等多边形的对应边相等，对应角相等.（3）判定：边、角分别对应相等的两个多边形全等.【即学即练2】2．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期中）下列各组图形中，属于全等图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查了全等图形．根据全等图形的定义（能够完全重合的两个图形叫做全等形）逐项判断即可得．【详解】解：A、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；B、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；C、两个图形能够完全重合，是全等图形，则此项符合题意；D、两个图形的形状不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；故选：C．知识点3：全等三角形（一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

四年级下册数学教案-数学好玩第3课时《优化》北师大版

四年级下册数学教案-数学好玩第3课时《优化》北师大版一、教学目标1. 让学生通过观察、操作、实践，感受优化问题的存在，体会优化思想在实际生活中的应用。

2. 使学生掌握简单的优化策略，提高解决问题的能力。

3. 培养学生合作、交流、分享的学习习惯，激发学生学习数学的兴趣。

二、教学内容1. 优化问题的引入2. 优化策略的学习3. 实践活动：优化问题解决三、教学过程1. 导入：通过生活中的优化现象，引发学生对优化问题的思考，激发学生的学习兴趣。

2. 新课导入：教师提出一个优化问题，引导学生观察、思考，并尝试解决。

3. 探究活动：学生分组讨论，共同探究优化策略。

每组分享自己的优化策略，全班交流、讨论，总结出最优策略。

4. 拓展活动：教师提供一些生活中的优化问题，引导学生运用所学策略解决问题，提高学生的实际操作能力。

5. 总结与反思：教师引导学生回顾本节课的学习内容，总结优化策略的应用，并进行自我评价。

6. 课后作业：布置一些与优化相关的实际问题，让学生在课后进行思考和实践。

四、教学评价1. 观察学生在课堂上的参与程度，了解学生对优化问题的兴趣和积极性。

2. 评价学生在探究活动中的合作、交流、分享情况，了解学生解决问题的能力。

3. 检查课后作业的完成情况，了解学生对优化策略的掌握程度。

五、教学建议1. 教师应注重引导学生观察生活中的优化现象，激发学生的学习兴趣。

2. 在教学过程中，教师应关注学生的参与程度，鼓励学生积极思考、主动探究。

3. 教师应提供丰富的实践机会，让学生在实际操作中掌握优化策略。

4. 教师应注重培养学生的合作、交流、分享能力，提高学生的综合素质。

六、教学资源1. 教材：北师大版《数学好玩》四年级下册2. 教学课件：优化问题相关的图片、视频、动画等3. 教学工具：白板、投影仪、计算机等七、教学时间1课时（40分钟）通过本节课的学习，学生将初步了解优化问题的存在，学会运用简单的优化策略解决实际问题，提高解决问题的能力。

第03讲二项式定理 (精讲)(教师版)

0,1,2,n ），(a n n a C b a 10+n n a C b 211+-0,1,2,n ),项的系数是指该项中除变量外的常数部分0,1,2,n )叫做二项展开式的通项通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等①对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等：n n a x ++，256n a +=+，0122C 2C 2C 2C n n n n n n +++++=C nn ++=（C ．151rrx ⎛⎫- ⎪⎝⎭=；12rrx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭已知正整数8n ≥，若),2,8，(n n a x n ++12nn na -++的值88a x ++，(821a +⋅⋅⋅+=-0388a x ++，求导得：788a x ++，87802a ++= 同类题型归类练上海中学东校高二期末）（1）设200200a x ++①展开式中各二项式系数的和； 200a ++的值．1）①20021）①展开式中各二项式系数的和为得：0200a a a +++=得：2000(1)a =-200a ++=20222022a x ++2022a ++；52021a +；22022a a ++；2022a ++2022132-(3)，得012022a a a a ++++=，得0132021a a a a -+-+-+)52021a +=5202113a -+=. ）相当于求展开式2022的系数和，令202220223a ++=.）展开式中二项式系数和是0120222022202220222022C C C C +++=展开式中偶数项的二项系数和是5202120222022CC++=))20222022012022R a a x a x ++++∈两边分别求导得：()220211222022R a a x a x =+++∈，得1222022a a a ++++重庆长寿·高二期末）二项式的展开式()6中，中间项的系数为展开式的中间项为C T =88a x ++8a ++；68a a +. (1)255(2)32895 ，则01a =. 018(1a a a +++=()8801802a a a a a ++=+++-=-1，则0123456a a a a a a a -+-+-+2C n n n ++=C nn ++=D ．16)2243n+==5，所以()151011=--()()()()011415015114141515151515C 101C 101C 101C 11=⨯⨯-+⨯⨯-+⋅⋅⋅+⨯⨯-+⨯-- ()()()011401511414151515C 101C 101C 1012=⨯⨯-+⨯⨯-+⋅⋅⋅+⨯⨯--，所以S 除以10的余数为8．故选：D ．同类题型归类练1．（2022·山东·临沭县教育和体育局高二期中）1223310101010101010180808080(1)8080k k kC C C C -+-++-++除以78的余数是（） A ．1- B ．1 C ．87- D ．87【答案】B【详解】因为()()101223310101010101010108180C 80C 80C 10C 90C 18079kk k -+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+=-=所以()1010012210101010101079178C C 8C 8C 7787=+=+++⋅⋅⋅+，除了第一项之外，其余每一项都含有78的倍数，所以原式除以78的余数为1. 故选:B ．2．（2022·北京大兴·高二期末）化简1221010101010C 2C 2C 2++⋅⋅⋅+等于（）A ．1021-B ．1031-C ．1021+D ．1031+【答案】B【详解】由0112210101010100001011C 2+C 2C 2..(12).3C 2=+=+++，所以112210*********0C 2C 2...3C 21+=++-.故选：B3．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）数列{}n a 中，11a =，121n n a a +=+，012345515253545556C C C C C C a a a a a a +++++的值为（） A ．761 B ．697 C ．518D ．454【答案】D【详解】解：因为()112221n n n a a a ++=+=+，又11a =，所以{}1n a +以2为首项，2为公比的等比数列，所以11222n nn a -+=⨯=，所以21n n a =-，则012345515253545556C C C C C C a a a a a a +++++()01223344556012345555555555555C 2C 2C 2C 2C 2C 2C C C C C C =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-+++++ 又01223344556555555C 2C 2C 2C 2C 2C 2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯()0011223344555555552C 2C 2C 2C 2C 2C 2=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯5222()2n rr r r rn C x x -=，102222n n x-，其系数为222n ，221·2n n nC---=，其系数为222n n nC --，2242221224n n n --==，所以6n =，所以展开式中二项式系数最大的项为36，即为展开式的第42022·山西师范大学实验中学高二阶段练习）在(1(n n a x ++255n a ++=D ．n n a x ++，2n a ++=的展开式中，通项为：r T +，则常数项对应的系数为：0a ，即01a =， 21255n n a ++=-=，解得：8=，展开式中二项式系数最大为：则二项式系数最大的项为：。

北师大版三年级上册小学数学第8单元认识小数_第03讲_一位小数的加减法(教师版讲义)

5.4
5.4
+ 2.3
+ 7.6
7.7
【解析】5.4＋2.3＝7.7
5.4
13.0
5.4＋7.6＝13
5.4
+ 2.3
+ 7.6
7.7
13.0
30.0－3.2＝26.8
30.0 − 3.2
26.8
30.0－3.2＝26.8
30.0 − 3.2
26.8
43.6－26.8＝16.8
43.6 − 26.8
【解析】3.2−1.8=1.4 1.5+9=10.5 2−0.8=1.2 6.2−4.5=1.7
随练 2、画一画，算一算． 3.2－0.5＝
【答案】画图略 2.7 【解析】画图略 2.7
随练 3、用竖式计算．
元角
元角
2. 5
1 7. 6
+ 5. 6
− 8. 2
元角 9. 2 − 3. 6
元角 7. 4 + 5. 8
元角
.
−
. 答：________．
.
【答案】12.4+7.2=19.6（元）（1）①7，19，4，2，6，19.6
12 4
②4，72， + 7 2 ，196，19.6
19 6 1 2. 4
③ + 7. 2 ，买两盒茶叶共花 19.6 元．
1 9. 6
1 2. 4
（2）12.4-7.2=5.2（元）， − 7. 2 ，一盒龙井比一盒毛尖贵 5.2 元．
典型例题（1）买一个
和一支，一共多少钱？
比贵多少钱？
（2）
比贵多少钱？
名师学堂（1）理解题意．1 个

一年级上册数学讲义-思维训练：第03讲动脑筋大PK(解析版)全国通用

第03讲动脑筋大PK教学目标：1.通过让学生动手操作，在一多对应的基础上体验更进一步的置换游戏；2.在用大小不同杯子称量一定量水的过程中，学会运用简单加减法，提高计算速度；3.一系列的动脑筋题目帮孩子开拓思维。

内容概述：1.能够灵活的运用20以内的计算；2.了解简单的置换游戏；3.幼升小模拟题。

知识储备：能够掌握20以内加减计算。

教学过程：【环节一：牛刀小试】场景：今天袋鼠老师带着大家来到了侏罗纪晚期的博物馆，熊猫胖胖突然惊呼：“这是什么龙啊？它怎么好像对着我在笑！”袋鼠老师上前一看解释道：“胖胖啊，这是上龙，上龙是一种已灭绝海生爬行动物，属于上龙科，生存于侏罗纪晚期。

上龙是一种大型掠食性动物，以鱼类、鱿鱼、以及其他海生爬行动物为食。

.”只见博物馆的上龙突然一笑，带大家坐上了飞船来到了侏罗纪晚期。

爱吃鱼的迷你猫在河边遇到上龙，迷你猫拿出了两个杯子，一个是5ml一个是2ml，在河里盛了些水，想考考上龙能否用这两个杯子称出如下重量的水呢？小朋友你们会吗？想要3ml的水需要怎么做？列式：想要1ml的水需要怎么做？列式：想要7ml的水需要怎么做？解析部分：1、结合场景解题过程如下：学生试着读题，说一说题目的意思，并观察图片说一说两个杯子上的数字在本题起了什么作用，教师举例：现有5ml和2ml的杯子，根据要求需要3ml的水，想一想5ml/2ml与3ml之间的数学关系，让学生说出5-2=3，教师引导如果直接盛满5ml的水，如何利用2ml的杯子，得到3ml的水，用装满5ml的水倒入2m的水杯，5ml剩下的水杯内的水就是3ml；2、本题的重点：学生通过已有的计算经验与生活进行结合；3、本题的难点：学生能够明白本题抽象的概念；4、对于新生给予的建议：教师先让学生说一说条件与问题的数字关系，先让其试着列出算出，再教师讲解完再复述一下原理；5、哈佛案例的体现：学生通过讨论说一说如何将本题与计算进行结合。

6、学习本题的必要性：将计算与生活进行结合，让学生学以致用。

北师大版四年级数学下册数学好玩第3课时优化

需要烙3张饼；平底锅每次最多只能烙2张饼，两面都要烙，每面需要3分。
方法一：
1正
1反
3分
3分
烙一张饼需要3＋3＝6（分），烙三张饼需要 6×3＝18（分）。
需要烙3张饼；平底锅每次最多只能烙2张饼，两面都要烙，每面需要3分。
方法二： 3×4＝12（分）
1正 2正
1反 2反
3正
3反
3分
锅里必须每次总有（ 2 ）张饼，别让锅（有空余），这样才能使烙的次数（最少），用的时间（最短），也最合理。
烙饼。如果要烙4张饼、5张饼呢？
烙饼。
烙4张饼
6分
6分
12分
烙饼。
烙5张饼
6分
9分
15分
2张饼 3张饼
4张饼 5张饼 ......
6分 9分
12分 15分
你发现了什么？
每多烙一张饼，时间就增加3分，用饼数乘烙
3分
3分
3分
需要烙3张饼；平底锅每次最多只能烙2张饼，两面都要烙，每面需要3分。
实际上妈妈只用了9分就将3张饼烙好了，你知道她用的什么方法吗？
1正 2正
3分
1反 3正
3分
2反 3反
3分
第一次第二次第三次
1号 2号 3号正正
反
正
反反
3×3＝9（分）
用时 3分 3分 3分
列表表示更清楚。
义务教育北师大版四年级下册
数学好玩
第 3 课时优化
情境导入
妈妈口渴了，我来给妈妈沏杯茶吧！
沏茶的顺序是怎样的呢？沏茶。
沏茶的过程中有什么事情可以同时做？想一想，说一说。

第03讲平面向量基本定理及其拓展(爪子定理)(高阶拓展)(教师版) 2025年高考数学一轮复习学案

第03讲平面向量基本定理及其拓展（“爪子定理”）（高阶拓展）（3类核心考点精讲精练）1. 5年真题考点分布2. 命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分【备考策略】1.理解平面向量基本定理及其意义2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示3.掌握基底的概念及灵活表示未知向量4.会综合应用平面向量基本定理求解【命题预测】本节一般考查平面向量数量积基本定理的基底表示向量、在平面几何图形中的应用问题，易理解，易得分，需重点复习。

1.平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．（1）．基底e 1，e 2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．（2）基底给定，同一向量的分解形式唯一．　2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．应用平面向量基本定理应注意的问题(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组．(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减运算或数乘运算.3. 形如AD xAB y AC =+uuu r uuu r uuu r条件的应用（“爪子定理”）“爪”字型图及性质：（1）已知,AB AC uuu r uuu r 为不共线的两个向量，则对于向量AD uuu r，必存在,x y ，使得AD xAB y AC =+uuu r uuu r uuu r 。

则,,B C D 三点共线Û1x y +=当01x y <+<，则D 与A 位于BC 同侧，且D 位于A 与BC 之间当1x y +>，则D 与A 位于BC 两侧1x y +=时，当0,0x y >>，则D 在线段BC 上；当0xy <，则D 在线段BC 延长线上（2）已知D 在线段BC 上，且::BD CD m n =，则n m AD AB AC m n m n=+++uuu r uuu r uuu r 3、AD xAB y AC =+uuu r uuu r uuu r中,x y 确定方法（1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定,x y（2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程AD xAB y AC =+uuu r uuu r uuu r，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于,x y 的方程，再进行求解（3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于,x y 的方程，再进行求解B1．（2024高三·全国·专题练习）下列各组向量中，可以作为基底的是（）．A ．()10,0e =r，()21,2e =-r B ．()11,2e =-r ，()25,7e =r C ．()13,5e =r，()26,10e =r D ．()12,3e =-r，213,24e æö=-ç÷èør 【答案】B【分析】不共线的非零向量可以作为向量的基底.【详解】因为()11,2e =-r 与()25,7e =r不共线，其余选项中1e r 、2e r 均共线，所以B 选项中的两向量可以作为基底．故选：B【点睛】本题考查平面向量的基本定理及其意义，属于基础题.2．（2024高三·全国·专题练习）如果12,e e r r是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（）A ．1e r 与12e e +r r B ．122e e -r r 与122e e +r r C ．12e e +r r 与12e e -r r D ．123e e +r r 与1226e e +r r 【答案】D【分析】分别验证四个选项中的两向量是否共线即可选出正确答案.【详解】选项A 中，设121=e e e l +r r r，无解，则两向量不共线；选项B 中，设()12122=2e e e e l -+r r r r，则=11l l ìí=-î，无解，则两向量不共线；选项C 中，设()1212=e e e e l +-r r r r，则=11l l ìí=-î，无解，则两向量不共线；选项D 中，()121213262e e e e +=+r r r r，所以两向量是共线向量．故选:D .【点睛】本题考查了基底的涵义，考查了两向量是否共线的判定.本题的关键是判断两向量是否共线.3．（2023高三·福建·阶段练习）下列向量组中，可以用来表示该平面内的任意一个向量的是（）A ．()1,2a =r ，()0,0b =r B ．()1,2a =r，()1,2b =--r C ．()1,2a =r，()5,10b =r D ．()1,2a =r，()1,2b =-r 【答案】D【分析】根据平面向量基本定理可知，表示平面内的任意向量的两个向量不能共线，结合选项，即可判断.【详解】表示平面内的任意一个向量的两个向量不能共线，A.向量b r是零向量，所以不能表示平面内的任意向量，故A 错误；B.a b =-r r，两个向量共线，所以不能表示平面内的任意向量，故B 错误；C.5b a =r r，两个向量共线，所以不能表示平面内的任意向量，故C 错误；D.不存在实数l ，使b a l =r r，所以向量,a b r r 不共线，所以可以表示平面内的任意向量，故D 正确.故选：D1．（2023·陕西西安·一模）设R k Î，下列向量中，可与向量()1,1q =-r组成基底的向量是（）A ．(),b k k =rB ．(),c k k =--rC ．()221,1k d k =++u rD ．()221,1k e k =--r 【答案】C【分析】根据构成基地向量的条件不共线的两个非零向量解决.【详解】对于AB 项，若0k =时，()0,0b =r，()0,0c =r 不满足构成基向量的条件，所以AB 都错误；对于D 项，若1k =±时，()0,0e =r不满足构成基向量的条件，所以D 错误；对于C 项，因为2R,10k k "Î+¹，又因为()()()2211110k k +´--+´¹恒成立，说明d u r 与q r 不共线，复合构成基向量的条件，所以C 正确.故选：C2．（2023高三·全国·专题练习）设{}12,e e u r u u r为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（）A ．12e e +u r u u r 和12e e -u r u ur B ．1224e e +u r u u r 和2124e e -u u r u rC ．122e e +u r u u r 和1212e e +u r u u r D ．122e e -u r u u r 和2142e e +u u r u r【答案】C【分析】根据基底的概念确定正确答案.【详解】平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成，C 选项中，12121222e e e e æö+=+ç÷èøu r u u r u r u u r ，即122e e +u r u u r 和1212e e +u r u u r 为共线向量，所以它们不能作为基底.其它选项中的两个向量都没有倍数关系，所以可以作为基底.故选：C1．（2022·全国·高考真题）在ABC V 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==uuu r uuu r r r ，，则CB uuu r=（）A ．32m n-r r B ．23m n -+r r C ．32m n +r r D ．23m n +r r【答案】B【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =uuu r uuu r，即()2CD CB CA CD -=-uuu r uuu r uuu r uuu r ，所以CB uuu r =3232CD CA n m -=-uuu r uuu r r u r 23m n =-+r r ．故选：B ．2．（全国·高考真题）在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =uuu vA ．3144AB AC-uuuv uuu v B ．1344AB AC-uuuv uuu v C ．3144+AB AC uuuv uuu v D ．1344+AB AC uuuv uuu v 【答案】A【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BD =+uuu v uuu v uuu v，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+uuu v uuu v uuu v，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+uuu v uuu v uuu v ，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-uuu v uuu v uuu v，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v1113124444BA BA AC BA AC uuuv uuu v uuu v uuu v uuu v =++=+，所以3144EB AB AC =-uuu v uuu v uuu v，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.3．（2024·陕西安康·模拟预测）在ABC V 中，M 是AB 的中点，3,AN NC CM =uuu r uuu r 与BN 相交于点P ，则AP =uuu r（）A ．3155AB AC +uuu r uuu r B ．1355AB AC +uuur uuu r C ．1324AB AC +uuur uuu r D ．3142AB AC +uuur uuu r 【答案】B【分析】根据向量的线性运算、三点共线等知识列方程组，由此求得正确答案.【详解】设AP AB AC l m =+uuu r uuu r uuu r ，由M 是AB 的中点，得2AB AM =uuu r uuuu r，由3AN NC =uuu r uuu r，得43AC AN =uuu r uuu r ，所以2AP AM AC l m =+uuu r uuuu r uuu r，且43AP AB AN l m =+uuu r uuu r uuu r ，由CM 与BN 相交于点P 可知，点P 在线段CM 上，也在线段BN 上，由三点共线的条件可得21413l m l m +=ìïí+=ïî，解得1535l m ì=ïïíï=ïî，所以1355AP AB AC =+uuu r uuu r uuu r .故选：B1．（广东·高考真题）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC a =uuu v v ，BD b =uuu v v ，则AF =uuu vA ．1142a b+v v B ．2133a b+v vC ．1124a b+vv D ．1233a b+v v【答案】B【分析】利用平面几何知识求解【详解】如图，可知222()333AF AC CF AC CD AC AB AC AO OB =+=+=-=-+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r =2112112132232233AC AC BD a a b a b æöæö--=--=+ç÷ç÷èøèøuuu r uuu r uuu r r r r rr ，选B.【点睛】本题考查向量的运算及其几何意义，同时要注意利用平面几何知识的应用，2．（2024·山西吕梁·三模）已知等边ABC V 的边长为1，点,D E 分别为,AB BC 的中点，若3DF EF =uuu r uuu r ，则AF =uuu r （）A ．1526AB AC +uuur uuu r B ．1324AB AC +uuur uuu r C ．12AB AC+uuur uuu r D ．1322AB AC+r r 【答案】B【分析】取{},AC AB uuu r uuu r为基底，利用平面向量基本定理结合已知条件求解即可.【详解】在ABC V 中，取{},AC AB uuu r uuu r为基底，则2,,60AC AB AC AB ===ouuu r uuu r uuu r uuu r ，因为点,D E 分别为,AB BC 的中点，3DF EF =uuu r uuu r,所以1124DE AC EF ==uuu r uuu r uuu r ，所以()11132424AF AE EF AB AC AC AB AC =+=++=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r .故选：B.3．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）在ABC V 中，点M 是AB 的中点，N 点分AC 的比为:1:2,AN NC BN =与CM 相交于E ，设,AB a AC b ==uuu r uuu r r r ，则向量AE =uuu r（）A ．1132a b+r r B ．1223a b+rr C ．2155a b+rr D ．3455a b+rr【答案】C【分析】由三点共线性质以及平面向量基本定理解方程组即可得解.【详解】由题意,,B E N 三点共线，所以存在R l Î，使得()113AE AB AN AB AC l l l l -=+-=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，同理,,C E M 三点共线，所以存在R m Î，使得()112AE AC AM AC AB m m m m -=+-=+uuu r uuu r uuuu ruuu r uuu r，由平面向量基本定理可得1213m l lm -ì=ïïí-ï=ïî，解得21,55l m ==，所以2155AE a b =+uuu r rr .故选：C.1．（全国·高考真题）设D 为ABC V 所在平面内一点，且3BC CD =uuu r uuu r，则（）A. 1433AD AB AC =-+uuu r uuur uuu rB. 1433AD AB AC=-uuu r uuu r uuu rC. 4133AD AB AC =+uuu r uuu r uuu rD. 4133AD AB AC=-uuu ruuur uuu r 答案：A解析：由图可想到“爪字形图得：1344AC AB AD =+uuu r uuu r uuu r ，解得：1433AD AB AC=-+uuu r uuur uuu r 2. 如图，在ABC V 中，13AN NC =uuu r uuu r ，P 是BN 上的一点，若211AP mAB AC =+uuu r uuu r uuu r，则实数m 的值为（）A.911 B.511C.311D.211解：观察到,,B P N 三点共线，利用“爪”字型图，可得AP mAB nAN =+uuu r uuu r uuu r ，且1m n +=，由13AN NC =uuu r uuu r 可得14AN AC =uuu r uuu r ，所以14AP mAB nAC =+uuu r uuu r uuu r ，由已知211AP mAB AC =+uuu r uuu r uuu r 可得：12841111n n =Þ=，所以311m =答案：C3. 如图，在ABC V 中，13AN NC =uuu r uuu r ，P 是BN 上的一点，若211AP mAB AC =+uuu r uuu r uuu r，则实数m 的值为（）A.911 B.511C.311D.211解：观察到,,B P N 三点共线，利用“爪”字型图，可得AP mAB nAN =+uuu r uuu r uuu r ，且1m n +=，由13AN NC =uuu r uuu r 可得14AN AC =uuu r uuu r ，所以14AP mAB nAC =+uuu r uuu r uuu r ，由已知211AP mAB AC =+uuu r uuu r uuu r 可得：12841111n n =Þ=，所以311m =答案：C1．（2024·云南昆明·一模）在ABC V 中，点D 满足4AD DB =uuu r uuu r，则（）A ．1344CD CA CB=+uuu r uuu r uuu r B ．3144CD CA CB=+uuu r uuu r uuu r C ．1455CD CA CB =+uuu ruuu r uuu r D ．4155CD CA CB=+uuu ruuu r uuu r 【答案】C【分析】利用平面向量的加减法则，根据向量定比分点代入化简即可得出结果.【详解】如下图所示：易知()()4441455555CD CA AD CA AB CA AC CB CA CA CB CA CB =+=+=++=+-+=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ；即可得1455CD CA CB =+uuu r uuu r uuu r.故选：C2．（2024·广东广州·一模）已知在ABC V 中，点D 在边BC 上，且5BD DC =uuu r uuur ，则AD =uuu r（）A ．1566AB AC +uuur uuu r B ．1566AC AB +r r C ．1455AB AC +uuur uuu r D ．4155AB AC +uuur uuu r 【答案】A【分析】根据向量的线性运算即可.【详解】在ABC V 中，BC AC AB uuu r uuu r uuu r =-，又点D 在边BC 上，且5BD DC =uuu r uuur，则()55156666AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，故选：A.A ．13,22x y ==C ．13,22x y =-=-【分析】用向量的线性运算把向量AD uuu r分解成AD xAB y AC =+uuu r uuu r uuu r 形式即可得答案.【详解】∵3,2AD AB BD BD BC =+=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，∴()33132222AD AB BC AB AC AB AB AC =+=+-=-+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，故选：B ．【分析】分点内分与外分线段BC 讨论，再由向量的线性运算求解即可.【详解】当D 点在线段BC 上时，如图，()331313444444AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC a b ®®=+=+=+-=+=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，所以114334m n ==，当D 点在线段BC 的延长线上时，如图，()331313222222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC a b ®®=+=+=+-=-+=-+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，则112332m n -==-，故选：BC.1．（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量1e u r 、2e u ur ，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（）A ．122e e +u r u u r 和12e e -u r u u r B ． 123e e +u r u u r 和213e e +u ur u r C ． 123e e -u r u u r 和2126e e -u u r u r D ． 1e u r 和12e e +u r u u r 【答案】C【分析】根据平面向量共线定理，结合选项，进行逐一分析即可.【详解】对A ：不存在实数l ，使得()12122e e e e l +=-u r u u r u r u u r ，故122e e +u r u u r 和12e e -u r u u r不共线，可作基底；对B ：不存在实数l ，使得()122133e e e e l +=+u r u u r u u r u r，故123e e +u r u u r 和213e e +u ur u r 不共线，可作基底；对C ：对 123e e -u r u u r 和2126e e -u u r u r ，因为21,e e u r u u r是不共线的两个非零向量，且存在实数2-，使得()21122326e e e e =---u r u u u u r u rr ，故123e e -u r u u r 和2126e e -u u r u r共线，不可作基底；对D ：不存在实数l ，使得()112e e e l =+u r u r u u r ，故1e u r 和12e e +u r u u r 不共线，可作基底.故选：C.2．（2024·浙江绍兴·二模）已知四边形ABCD 是平行四边形，2EC BE =uuu r uuu r ，2DF FC =uuu r uuu r ，记AB a uuu r r=，AD b =uuu r r ，则EF =uuu r（）A ．1233a b -+r r B ．1233a b--r rC ．2133a b+r rD ．2133a b-r r 【答案】A【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算求解即得.【详解】在ABCD Y 中，2EC BE =uuu r uuu r ，2DF FC =uuu r uuu r ，AB a uuu r r=，AD b =uuu r r ，所以12123333EF CF CE CD CB a b =-=-=-+uuu r u ruuu uu r uuu u r r r r uu .故选：A3．（2024·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD 中，2,EB AE BF FC ==uuu r uuu r uuu r uuu r ，记,AB a AD b ==uuu r uuu r r r ，则EF =uuu r（）A ．2132a b-r r B ．2132a b+rr C ．1132a b+r r D ．1223a b+r r 【答案】B【分析】由向量的线性运算，用,AB AD uuu r uuu r 表示EFuuu r【详解】因为2,EB AE BF FC ==uuu r uuu r uuu r uuu r，则有211,322EB AB BF BC AD ===uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，所以2132EF EB BF a b =+=+uuu r uuu r r uur ru .故选：B ．4．（2024·山东济南·二模）在ABC V 中，E 为边AB 的中点，23BD BC =uuu r uuu r ，则DE =uuu r（）A ．1263AB AC -+uuu r uuu r B ．5163AB AC +uuur uuu r C ．1263AB AC+uuur uuu r D ．1263AB AC-uuur uuu r 【答案】D【分析】借助平面向量的线性运算及平面向量基本定理计算即可得解.【详解】因为E 为边AB 的中点，23BD BC =uuu r uuu r，所以()212131262233DE DB BE CB AB AB AC A C B AB A =+=-=---=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu u u uuu r uuu r uuu r u r r uu r u .故选：D.5．（2024·全国·模拟预测）已知等边三角形ABC 的边长为2，P 为ABC V 的中心，PE AC ^，垂足为E ，则PE =uuu r（）A ．1233AB AC -+uuur uuu r B ．1136AB AC-+uuu r uuu r C ．1163AB AC-+uuur uuu r D ．2133AB AC-+r r 【答案】B【分析】连接AP 并延长，交BC 于点D ，根据P 为ABC V 的中心，易得D 为BC 的中点，E 为AC 的中点，利用平面向量的线性运算求解.【详解】解：如图所示：连接AP 并延长，交BC 于点D ，因为P 为ABC V 的中心，所以D 为BC 的中点．又,PE AC E ^\为AC 的中点，1223PE AE AP AC AD \=-=-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，()1211123236AC AB AC AB AC =-´+=-+uuu r uuu r uuu r uuur uuu r ，故选：B ．6．（2024·陕西安康·模拟预测）在梯形ABCD 中，3,DC AB E =uuu r uuu r 为线段AD 的中点，2DF FC =uuu r uuu r ，则EF =uuu r （）A ．12BA BC-+uuu r uuu r B ．12BA BC-+uuur uuu r C ．1122BA BC-+uuur uuu r D ．32BA BC-+uuu r uuu r【答案】A【分析】先用向量和三角形减法法则得EF DF DE =-uuu r uuu r uuu r ，再对它们进行线性运算转化为5122EF BA BD -+=uuu r uuur uuu r ，此时继续找到3BD BC BA =+uuu r uuu r uuu r，从而可得结果.【详解】由图可得：EF DF DE =-uuu r uuu r uuu r，由2,DF FC E =uuu r uuu r 为线段AD 的中点可得，2312EF DC DA =-uuu r uuu r uuu r ，再由3DC AB =uuu r uuu r可得，()()215133222EF BA BA BD BA BD =´---=-+uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu r ，又因为3BD BC CD BC BA +==+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，代入得：()5113222EF BA BC BA BA BC =-++=-+uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuu r ，故选：A.7．（2024·四川·模拟预测）已知平行四边形ABCD 中，E 为AC 中点.F 为线段AD 上靠近点A 的四等分点，设AB a =uuu r r，AD b uuu r r =，则EF =uuu r （）A ．1142a b--r r B ．3142a b--rr C ．1124a b--r r D ．1324a b--r r 【答案】C【分析】利用向量的线性运算可得答案.【详解】如图所示，由题意可得AC AB AD a b =+=+uuu r uuu r uuu r rr ，而()111111242424EF EA AF CA AD a b b a b =+=+=-++=--uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r r r r r r ，故选：C.8．（2024·黑龙江·模拟预测）已知在梯形ABCD 中，//AB CD 且满足2AB DC =uuu r uuur，E 为AC 中点，F 为线段AB上靠近点B 的三等分点，设AB a =uuu r r，AD b uuu r r =，则EF =uuu r （）．A ．2132a b-r r B ．3146a b-rr C ．51122a b -rr D ．1126a b-r r【答案】C【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.【详解】如图所示，由题意可得1122AC AD DC AD AB b a =+=+=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r r r ，而121125123223122EF EA AF CA AB b a a a b æö=+=+=-++=-ç÷èøuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r r rr r r .故选：C ．9．（2024·广东汕头·三模）已知四边形ABCD 是平行四边形，2BE EC =uuu r uuu r ，DF FC =uuu r uuu r ，则EF =uuu r（）A ．1123AB AD -+uuur uuu r B ．1123AB AD --uuur uuu r C ．1132AB AD-+uuur uuu r D ．1132AB AD--uuur uuu r 【答案】A【分析】根据给定条件，利用向量的加法，结合共线向量求解即得.【详解】在ABCD Y 中，由2BE EC =uuu r uuu r ，DF FC =uuu r uuur ，得11113223EF EC CF BC CD AB AD =+=+=-+uuu r uuu r uuu r uuu u uu r uuu u r r uu r .故选：A10．（2024·广东佛山·模拟预测）在ABC V 中，,AB a AC b ==uuu r uuu r rr ，若2,2AC EC BC DC ==uuu r uuu r uuu r uuu r ，线段AD 与BE 交于点F ，则CF =uuu r（）A ．1233a b+r r B ．1233a b-rrC ．1233a b-+r r D ．1233a b--r r【答案】B【分析】根据中线性质得出23AF AD = r r，再由平面向量线性运算即可求得结果.【详解】如下图所示：由2,2AC EC BC DC ==uuu r uuu r uuu r uuu r可得,D E 分别为,BC AC 的中点，由中线性质可得23AF AD = r r，又()()1122AD AB AC a b =+=+uuu r uuu r uuu r r r ，所以()()211323AF a b a b =´+=+uuu r r r r r ，因此()112333CF CA AF b a b a b =+=-++=-uuu r uuu r uuu r r r rr r .故选：B一、单选题1．（2024·福建漳州·模拟预测）在ABC V 中，D 是边BC 上一点，且2,BD DC E =是AC 的中点，记,AC m AD n ==uuu r uuu r u r r ，则BE =uuu r（）A ．533n m-r u r B ．732n m-r u r C ．732m n-u r r D ．532m n-u r r 【答案】D【分析】根据平面向量的线性运算法则进行运算即可.【详解】1()2BE AE AB AC AC CB =-=-+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ()113322AC CD AC AD AC =--=---uuu r uuu r uuu ruuu r uuu r 553322AC AD m n =-=-uuu r uuu r r r ，故选：D ．2．（2024·辽宁·二模）已知平行四边形ABCD ，点P 在BCD △的内部（不含边界），则下列选项中，AP uuu r可能的关系式为（）A ．1355AP AB AD=+uuu r uuu r uuu r B ．1344AP AB AD=+uuu r uuu r uuu rC ．2334AP AB AD=+uuu r uuu r uuu rD ．2433AP AB AD=+uuu r uuu r uuu r【答案】C【分析】根据题意，设AP xAB y AD =+uuu r uuu r uuu r，结合平面向量的基本定理，逐项判定，即可求解.【详解】设(,R)AP xAB y AD x y =+Îuuu r uuu r uuu r，由平面向量的基本定理，可得：当1x y +=时，此时点P 在直线BD 上；当01x y <+<时，此时点P 在点A 和直线BD 之间；当12x y <+<时，此时点P 在点C 和直线BD 之间；当2x y +=时，此时点P 在过点C 且与直线BD 平行的直线上，对于A 中，由向量1355AP AB AD =+uuu r uuu r uuu r ，满足13155+<，所以点P 在ABD △内部，所以A 错误；对于B 中，由1344AP AB AD =+uuu r uuu r uuu r ，满足13144+=，所以点P 在BD 上，所以B 错误；对于C 中，由2334AP AB AD =+uuu r uuu r uuu r ，满足231234<+<，所以点P 可能在BCD △内部，所以C 正确；对于D 中，由2433AP AB AD =+uuu r uuu r uuu r ，满足24233+=，此时点P 在过点C 且与直线BD 平行的直线上，所以D错误.故选：C.3．（2023·湖南·一模）在ABC V 中，点D 满足2,AD DB E =uuu r uuu r 为BCD △重心，设,BC m AC n ==uuu r uuu r r r ，则AE uuu r可表示为（）A ．1233m n+r r B ．1233m n-+r rC ．5899m n-+r rD ．5899m n+r r 【答案】C【分析】根据向量的线性运算、三角形的重心等知识求得正确答案.【详解】()211211323333AE AC CE AC CD CB AC CB CA CB æö=+=+´´+=+++ç÷èøuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r .()2199n m =+×-+r r ()()158399n m m n -+×-=-+rrr r .故选：C4．（22-23高三上·全国·阶段练习）在平行四边形ABCD 中，2BE ED =uuu r uuu r ，2AF AC AB =+uuu r uuu r uuu r，若(),EF AB AD l m l m =+ÎR uuu r uuu r uuu r ，则lm=（）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】D【分析】根据向量的加减运算及数乘运算可得8133EF AB AD =+ r r r，从而得解.【详解】223AF AC AB AB AD AB AB AD =+=++=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，Q 22()AE AB BE AB ED AB AD AE =+=+=+-uuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r uuu r，\2331AE AD AB =+uuur uuu ruuu r ，\113283333EF AF AE AB AD AD AB AB AD =-=+--=+uuur uuu ruuur uuur uuu ruuu ruuu r uuu r uuu r ，Q EF AB AD l m =+uuu r uuu r uuu r，83l \=，13m =，8l m \=．故选：D ．5．（2024·内蒙古包头·一模）如图，在菱形ABCD 中，4AB =，60ABC Ð=o ，,E F 分别为,AB BC 上的点，3BE EA =uuu r uuu r ，3BF FC =uuu r uuu r．若线段EF 上存在一点M ，使得()12DM DC xDA x =+ÎR uuuu r uuu r uuu r ，则DM CA ×uuuu r uuu r 等于（）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】A【分析】以,BE BF uuu r uuu r 为基底可表示出BM uuuu r，由三点共线可构造方程求得x，将所求数量积化为()1324BA BC BA BC æö--×-ç÷èøuuur uuu r uuu r uuu r ，根据数量积的定义和运算律可求得结果.【详解】3BE EA =uuu r uuu r Q ，3BF FC =uuur uuu r ，43BA BE \=uuu r uuu r ，43BC BF =uuu r uuu r ，1112422233x DM DC xDA AB xCB BA xBC BE BF \=+=+=--=--uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu r ，()24133BM BD DM BA BC DM BE x BF \=+=++=+-uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r，,,E M F Q 三点共线，()241133x \+-=，解得：34x =，1324DM BA BC \=--uuuu r uuu r uuu r ，()221311324244DM CA BA BC BA BC BA BA BC BC æö\×=--×-=--×+ç÷èøuuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r 84cos 60122=--+=o .故选：A.6．（2024·河北衡水·模拟预测）在ABC V 中，D 是BC 的中点，直线l 分别与,,AB AD AC 交于点,,M E N ，且43AB AM =uuu r uuuu r ，2,AE ED AC AN l ==uuu r uuu r uuu r uuu r，则l =（）A ．85B ．53C ．74D ．52【答案】B【分析】根据向量运算法则，利用,AM AN uuuu r uuu r 表示AE uuu r，结合向量三点共线的定理列式运算求解.【详解】由2AE ED =uuu r uuu r，得()21144333393AE AD AB AC AM AN AM AN l l æö==+=+=+ç÷èøuuu r uuu r uuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu r .因为,,M E N 共线，所以4193l+=，解得53l =.故选：B.7．（2024·宁夏银川·模拟预测）在ABC V 中，2BD DC =uuu r uuu r，过点D 的直线分别交直线AB 、AC 于点E 、F ，且,AE mAB AF nAC ==uuu r uuu r uuu r uuu r，其中0m >，0n >，则2m n +的最小值为（）A ．2BC ．3D ．83【答案】C【分析】根据题意以,AB AC uuu r uuu r 为基底表示出AD uuu r ，再根据,,E F D 三点共线，利用共线定理可得12133m n+=，再由基本不等式即可求得2m n +的最小值为3.【详解】如下图所示：因为2BD DC =uuu r uuu r，易知()22123333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，又,AE mAB AF nAC ==uuu r uuu r uuu r uuu r，所以12123333AD AB AC AE AF m n +=+=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，易知,,E F D 三点共线，利用共线定理可得12133m n+=，又0m >，0n >，所以()1212245252223333333333m n m n m n m n n m æö+=++=+++³=´+=ç÷èø；当且仅当2233m nn m=，即1m n ==时，等号成立，所以2m n +的最小值为3.故选：C二、多选题8．（2024·河北廊坊·模拟预测）如图，在矩形ABCD 中，6,4,AB BC E ==是BC 的中点，F 是DC 上的一点，且2DF FC =，则下列说法正确的是（）A ．23AF AB AD=+uuu r uuu r uuu r B ．13AF AB AD=+uuu r uuu r uuu r C ．28AE AF ×=uuu r uuu rD ．32AE AF ×=uuu r uuu r【答案】AD【分析】利用向量加法法则运算判断AB ，先用加法法则求得12AE AB AD =+uuu r uuu r uuu r，再利用数量积的定义及运算律求解判断CD.【详解】2233D AF AD DF A C AB D AD =+==++uuu r uuu uuu r uuu r uuu r uuu u u r rr u ，故A 正确，B 错误；因为1122AE AB BE AB BC AB AD =+=+=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，所以1223AE AF AB AD AB AD æöæö×=+×+ç÷ç÷èøèøuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 22124824032233AD AB AD AB =++×=++=uuu r uuur uuu r uuu r ，故C 错误，D 正确.故选：AD.三、填空题9．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）如图，在ABC V 中，2,3,3AB AC AB AC ==×=uuu r uuu r，点D 是BC 的中点，点E 在边AC 上，3,AE AC BE =uuu r uuu r交AD 于点F ，设(),BF AB AC l m l m =+ÎR uuu r uuu r uuu r ，则l m += ；点G 是线段BC 上的一个动点，则BF FG ×uuu r uuu r的最大值为．【答案】12-/0.5- 98【分析】利用平面向量的基本定理计算即可得空一，利用平面向量数量积的运算律计算即可得空二.【详解】设,AF mAD BF nBE ==uuu r uuu r uuu r uuu r ，由题意可知112222m m AD AB AC AF AB AC =+Þ=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，133n BE AE AB AC AB BF AC nAB =-=-Þ=-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，则()1322n m m AF AB BF AC n AB AB AC =+=+-=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，因为AB AC 、不共线，所以有13223142n m m m n n ìì==ïïïïÞííïï=-=ïïîî，此时3131414424BF AC AB l l m m ì=-ïï=-ÞÞ+=-íï=ïîuuu r uuu r uuu r ；可设()[]()0,1BG k BC k AC AB k ==-Îuuu r uuu r uuu r uuu r ，则()2221334444k k BF FG k AC AB BF AC AB AC k AB AC AB BF æöéù×=--×-=-×+-ç÷ëûèøuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，92794168k =-£当C G 、重合时取得等号.故答案为：12-；98.10．（2024·天津·模拟预测）如图，在ABC V 中，2AB =，5AC =，3cos 5CAB Ð=，D 是边BC 上一点，且2BD DC =uuu r uuu r.若34BP AD =uuu r uuu r ，记(),PD AB AC l m l m =+ÎR uuu r uuu r uuu r ，则l m += ；若点P 满足BP uuu r 与AD uuu r共线，PA PC ^uuu r uuu r，则BP ADuuu r uuu r 的值为.【答案】34-/0.75- 34或316【分析】把2BD DC =uuu r uuu r 两边用,,AD AB AC uuu r uuu r uuu r 表示即可得解；利用共线向量建立BP uuu r ，AD uuu r之间的数乘关系，进而结合第一空把,PA PC uuu r uuu r 用,AB AC uuu r uuu r表示，利用垂直向量点积为零可得解．【详解】2BD DC =uuu r uuu r，∴()2AD AB AC AD -=-uuu r uuu r uuu r uuu r ，∴1233AD AB AC =+uuu r uuu r uuu r ，则()232312343433PD BD BP BC AD AC AB AB AC æö=-=-=--+ç÷èøu u u u u u uuu r uuu r uuu r uuu r u u r uuu r r uu r uu r 111126AB AC =-+uuur uuu r ，又PD AB AC l m =+uuu r uuu r uuu r ，∴111,126l m =-=，所以34l m +=-；∵BP uuu r 与AD uuu r共线，∴可设BP xAD =uuu r uuu r，x ÎR ，∵1233AD AB AC =+uuu r uuu r uuu r ，∴233x x BP AB AC =+uuu r uuu r uuu r，∴PA PB BA=+uuu r uuu r uuu r BP AB=--uuu r uuu r =2133x x AB AC æö-+-ç÷èøuuur uuu r ，PC PA AC =+uuu r uuu r uuu r =21133x x AB AC æöæö-++-ç÷ç÷èøèøuuur uuu r ，∴PA PC ×uuu r uuu r =222422111133333x x x x x AB AB AC AC æöæöæöæö+++-×--ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøuuur uuu r uuu r uuu r ，①∵32,5,cos 5AB AC CAB ==Ð=，∴24AB =uuu r，225AC =uuu r ，6AB AC ×=uuu r uuu r ，②把②代入①并整理得：∴2128829PA PC x x ×=--uuu r uuu r ，∵PA PC ^uuu r uuu r ，∴0PA PC ×=uuu r uuu r，∴21288209x x --=，解得：1233,416x x ==-，∴BP x AD=uuu r uuu r 34=或316，故BP ADuuu ruuu r 的值为34或316．故答案为：34-；34或316．1．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形ABCD ，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点（如图所示），设AB a =uuu r r ，AD b =uuu r r，则EF uuu r 等于（）A ．()12a b+r r B ．()12a b-r r C ．()12b a-r r D ．12a b+r r 【答案】A【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；【详解】连结AC ，则AC 为ABC V 的中位线，\111222EF AC a b ==+uuu r uuu r r r ，故选：A2．（全国·高考真题）在ABC V 中，AB c =uuu v v ，AC b =uuu v v ．若点D 满足2BD DC =uuu v uuu v ，则AD =uuu v（）A ．2133b c+v v B ．5233c b-v v C ．2133b c-v vD ．1233b c+v v【答案】A【详解】试题分析：，故选A ．3．（·全国·高考真题）在ABC V 中，D 是AB 边上一点.若12,3AD DB CD CA CB l ==+uuu r uuu r uuu ruuur uuu r ，则l 的值为（）A ．23B ．13C ．13-D ．23-【答案】A【分析】利用向量的加法的法则，以及其几何意义，把CD uuu r 化为1233CA CB +uuur uuu r ，和已知的条件作对比，求出l值．【详解】解：Q 12,3AD DB CD CA CB l ==+uuu ruuu r uuu ruuur uuu r，22()33CD CA AD CA AB CA CB CA =+=+=+-uuu ruuu ruuu ruuu ruuur uuu r uuu r uuuu r2133CA CB +=uur uuur ，23l \=，故选：A ．4．（全国·高考真题）ABC V 中，点D 在AB 上，CD 平分ACB Ð．若CB a =uuu v v ，CA b =uuuv v ，1=v a ，2b =v ，则CD =uuu vA ．1233a b+v v B ．2133a b+v vC ．3455a b+v vD ．4355a b+v v【答案】B【详解】如图所示，由题设条件知∠1＝∠2，∴BD DA＝CB CA＝12，∴BD uuu r ＝13BA uuu r ＝13(CA uuu r －CB uuu r )＝13b －13a ，∴CD uuu r ＝CB uuu r ＋BD uuu r ＝a ＋13b －13a ＝23a ＋13b .5．（安徽·高考真题）在ABCD Y 中，,,3AB a AD b AN NC ===uuu v v uuu v v uuu v uuu v ，M 为BC 的中点，则MN =uuuu v _______．（用a bvv 、表示）【答案】1144MN a b=-+r uuuu v r 【详解】解：343A =3()AN NC AN C a b ==+uuu r uuu r uuu r uuu r rr 由得，12AM a b =+uuuu r r r ，所以3111()()4244MN a b a b a b =+-+=-+uuuu r r r r r r r 。

数学四年级下册第三课优质课趣味解决问题的方法

数学四年级下册第三课优质课趣味解决问题的方法在数学四年级下册的第三课中，我们将学习有关趣味解决问题的方法。

本课旨在通过有趣的题目和解题思路培养学生的数学思维能力和创造力。

在这篇文章中，我们将探讨如何运用优质课教学来培养学生的趣味解决问题的能力。

首先，我们来了解一下什么是优质课。

优质课是指在教学过程中，教师通过科学的教学方法、充实的教育资源和合理的教学设计，使学生能够主动参与学习，激发学生学习的兴趣和动力，并且取得良好的教学效果。

在数学教学中，优质课尤为重要，因为它可以帮助学生更好地理解和应用数学知识。

那么，在解决数学问题时，如何培养学生的趣味性呢？一种方法是通过游戏化的学习活动。

例如，教师可以设计一些有趣的数学游戏，让学生在游戏中熟悉和运用数学知识。

这样的学习方式不仅能够激发学生的学习兴趣，还能够提高他们的解决问题的能力。

例如，教师可以设计一个数学迷宫游戏，让学生利用已学的数学知识解决迷宫中的问题。

通过这种趣味化的学习，学生能够更好地理解数学概念，并能够将其应用于解决实际问题。

另外，教师还可以通过案例教学的方式培养学生的趣味解决问题能力。

案例教学是一种以实际问题为基础的教学方法，通过向学生提供一系列解决实际问题的案例，引导学生分析和解决问题。

在数学教学中，教师可以选择与学生生活相关的问题来设计案例，让学生能够将数学知识应用于解决实际问题。

例如，在教学分数的概念时，教师可以给学生提供一些与分数相关的实际问题，如购物打折、制作食物比例等，让学生通过解决这些问题来理解和掌握分数的概念。

通过案例教学，学生不仅能够提高解决问题的能力，还能够培养他们的创造力和思维能力。

此外，教师还可以运用小组合作学习的方法来培养学生的趣味解决问题能力。

小组合作学习是指将学生分成小组，在小组中进行合作学习。

通过小组合作学习，学生可以相互交流和合作，解决问题。

在数学教学中，教师可以将学生分成小组，让他们一起探讨和解决数学问题。

数学好玩 (课件数学三年级上册北师大版

星期六
3和是45 10
1和和7 是相4等5 24
和是45
竖着看： 14-7=7， 21-14=7， 15-8=7， 22-15=7， 16-9=7， 23-16=7。
下面数比上面数多7。
斜着看： 7+15+23=45， 9+15+21=45，
横着看， 14+15+16=45，
它们的和相等。
日历中的规律
5 12 19 26
星期二
6 13 20 27
9月份
星期三
7 14 21 28
星期四 1 8 15 22 29
星期五 2 9 16 23 30
星期六 3 10 17 24
共同的休息日
我把每个人的休息日都写下来，再找出全家共同的休息日。
奇思的父亲是火车司机，每工作3天后休息1天。奇思的母亲是飞机乘务员，每工作1天后休息1天。奇思是周六、周日休息。你能找出全家共同的休息日吗？
日历中的规律
猜一猜，说一说。
星期日
4 11 18 25
星期一
5 12 19 26
星期二
6 13 20 27
9月份
星期三
7 14 21 28
星期四 1 8 15 22 29
星期五 2 9 16 23 30
星期六 3 10 17 24
竖着相邻的两个日期相差7， 37-7=30， 30÷2=15，那么15是小一些的日期，另一个就是22了。
4 -1 5
11
12
-7
18
19
25
26
6和是30 7
13
14
20和相等 21
27和是30 28

一年级第三讲智趣推理课后答案

智趣推理课后习题数海拾贝甲、乙、丙三位老师正在谈话，一位是生物老师，一位是外语老师，一位是语文老师．甲老师上课说汉语，丙老师是生物老师的哥哥，外语老师是优秀的女老师，那么，你判断一下，谁是生物老师呢？【答案】这道题在思维上有一些难度，老师要引导学生借助表格来进行分析．由“甲老师说汉语”可以判断出甲老师不是外语老师．由“丙老师是生物老师的哥哥”可知丙老师不是生物老师，并且丙老师是男老师．由“外语老师是优秀的女老师”可想到丙是男老师，丙不可能是外语老师，甲也不是外语老师，这样可以得出乙才是外语老师．因为丙不是生物老师，也不是外语老师，那么丙就是语文老师，甲就是生物老师．如下表：家庭作业：1.三个小朋友比大小，根据下面三句话，请你猜一猜，谁最大？谁最小？(1)芳芳比阳阳小3岁；(2)燕燕比芳芳大1岁；最大最小。

【答案】阳阳最大芳芳最小2.有四个皮球．蓝皮球比黄皮球大；蓝皮球比黑皮球小；黑皮球比红皮球小．请按照从大到小的顺序，把皮球排队．皮球，皮球，皮球，皮球．【答案】红皮球，黑皮球，蓝皮球，黄皮球．3.学校里的李老师、张老师、汪老师分别教小丽的语文、数学、外语．小丽说：“李老师不教语文，汪老师上课不说汉语．”你能根据小丽的话猜出这三位老师分别教什么吗？李老师教，张老师教，汪老师教．【答案】李老师教数学，张老师教语文，汪老师教外语4.甲、乙、丙三个小朋友赛跑．得第一名的不是甲，得第二名的不是丙，乙看见甲和丙都在自己的前面到达了终点．甲得了第名，乙得了第名，丙得了第名．【答案】甲得了第二名，乙得了第三名，丙得了第一名5.李明有三个叔叔；王叔叔、李叔叔、宋叔叔，他们有一个是教师，有一个是工人，还有一个是画家，已知：（1）王叔叔比教师年龄大；（2）李叔叔和教师不同岁；（3）王叔叔和画家是朋友．你猜他们是工人，教师，画家．【答案】王叔叔是工人，宋叔叔教师李叔叔画家．。

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第三讲智趣问题
1有10个小朋友在玩“猫捉老鼠”的游戏，现在已经捉到了5人，还有几个人没有被捉到？
4个一个捉的人
一只船上坐着一家人，数一数，有3个爸爸、3个儿子，他们至少有几人？
4人,曾祖父,祖父,爸爸,儿子。

房间的桌子上有10支刚刚点燃的蜡烛，风从窗户吹进来，吹灭了2支蜡
烛。

过了一会，又有1支蜡烛被风吹灭。

把窗户关起来以后，再没有蜡烛被风吹灭。

最后还剩几只蜡烛？
2根，灭了不会死的
小明和小亮同买一本书，小明缺1元5角，小亮缺1元3角，如果用两人的钱合买这本书，钱正好。

这本书的价钱是多少？他们各自带了多少钱？
2块8，两人的和为价格
小猴与小兔去摘桃，小猴摘下15个桃，当小猴将自己的桃分3个给小兔子时，它俩的桃就一样多，你知道小兔子摘了多少个桃？
9个。

多6个。

+3 -3 一样多
一个正方形有4个角，剪去1个角，还剩几个角？
个
个
教室里有8台吊扇，下课了，兵兵随手关掉了5台，这时，教室
里还有几台电风扇？
8个
如果每个人的步行速度相同，4个人一起从甲地走到乙地，需要25分钟，那么，8个人一起从甲地走到乙地，需要多少时间？
25分钟
小猴看到一辆旅游观光列车（如下图），便数了数他有多少个轮子。

小猴一个一个地数，啊！一共有12个轮子。

小朋友，小猴数的对吗？
24个
小丽用同样多的钱分别买了3支铅笔和2本练习本，铅笔贵，还是练习本贵？
废话，当然是本子贵。

11爸爸买了
3个皮球，两个红的，一个黄的。

哥哥和妹妹都想要。

爸爸叫他们背对着背坐
着，爸爸给哥哥塞了个红的，给妹妹塞了个黄的，把剩下的一个球藏在自己背后。

爸爸让他们猜他手里的球是什么颜色的，谁猜对了，就把球给谁。

那么，谁一定能猜对呢
?
解答：妹妹，只有一个颜色了
2、有两个数，它们的和是9，差是1，这两个数是多少？
解答：4
和5
3、5个小朋友下棋，每人都要与其他两人各下一盘，他们共要下多少盘？
解答：10 4+3+2+1=10
4、一天，一家人中2个妈妈、
2个女儿一同去公园玩，他们至少有几个人？
解答：3个人。

外祖母母亲女儿
5、鸭妈妈带着10只小鸭在小河里游泳，一会儿，2只小鸭上了岸；过了一会儿，又有2只小鸭上了岸。

这时河里还剩下多少只鸭子？
解答：7，包括妈妈
6、小明和小亮同买一本书，小明缺2元1角，小亮缺2元4角，如果用两人的钱合买这本书，钱正好。

这本书的价钱是多少？他们各自带了多少钱？
解答：4块5。

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