3.1不等关系与不等式(第一课时)

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3.1不等关系与不等式(一)

生活中的不等关系：
实例1：某天的天气预报报道，最高气温 32℃，最低气温26℃.
实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则xA< xB. 实例3：若一个数是非负数，则这个数大于或等于零.
生活中的不等关系：
实例4：两点之间线段最短.
实例5：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. 实例6：限速 40 km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车速度 v 不超过 40 km/h.
x 2.5 0.2 x 20 8 0.1
或 2.5 0.1n 8 0.2n 20
比较两种表示
例3 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm 钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？
3.1 不等关系与不等式(一)
思考1：
回忆初中学过的不等式，比较“不等关系”与“不等式”有何异同.
不等关系强调的是关系.用符号“<” “>” “≤” “≥ ”和“≠”表示. 不等式就是用不等号将两个代数式连结起来所成的式子.如﹣7 <﹣5，3 + 4 > 1 + 4， 2x ≤ 6，a + 2 ≥ 0，3 ≠ 4，0 ≤ 5 等.
生活中的不等关系：
实例7：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量 f 应不少于2.5%蛋白质的含量 p 应不少于2.3%.
思考2：
如何用我们学过的知识来表示这些不等关系？
应用示例
例1 设点A与平面的距离为d，B为平面上的任意一点，则d ≤ |AB|.
例2 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.根据市场调若单价每提高 0.1元，销售量就可能相应减少2000本.若把提价后杂志的定价设为 x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？

不等关系和不等式

a 与n b 的大
n
a ＞ b ＞0

n
n
a ＞ b (n∈N*)
a ≤ n b ，即
证明：用反证法，假定
n
n n 或 a b ， a b
n
根据乘方性质，得 (n a )n (n b )n 或(n a )n (n b )n
即：a<b或a=b，
这都与a>b矛盾，因此
n
a b
n
ac 2)a>b,b>c ____________
思考6：如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac与bd的大小关系如何？为什么？性质6：a＞b＞0，c＞d＞0
ac＞bd
(乘法法则)
思考7：如果a＞b＞0，n∈N*，那么an与bn的大小关系如何？
性质7：a＞b＞0
n＞bn (n∈N*) a
（乘方法则）
思考8：如果a＞b＞0，n∈N*，那么n 小关系如何？（开方法则）性质8：
=(x－1)2+1，因为(x－1)2≥0，所以(x2－x)－(x－2)>0，因此x2－x>x－2.例 2 已知 x＜1，试比较 x－1 与 2x －2x 的大小．
3
2
若去掉x<1这条件，结果还一样吗？
探究：不等式的基本性质
思考1：若甲的身材比乙高，则乙的身材比甲矮，反之亦然.从数学的观点分析，这里反映了一个不等式性质。
性质1：如果a > b，那么b < a，如果b < a，那么a > b．(对称性)
思考2：若甲的身材比乙高，乙的身材比丙高，那么甲的身材与丙的有什么大小关系？性质2：如果a > b，且b > c，那么a > c．(传递性) 即：a > b，b > c a > c．

不等关系与不等式(第一课时)教案

3．1 不等关系与不等式（第一课时）大冶一中柯尊胜一、教学目标（1）通过实例，明确不等量关系的存在．通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法．（2）学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；在实际问题中抽象出不等关系，培养学生的抽象思维能力，正确运用数学语言的表述能力；通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯．二．教学的重点与难点重点：用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题．理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值．理解不等式的基本性质，并能用以解决简单的数学问题。

难点：用不等式（组）正确表示出不等关系．三、教学方法以广泛的相关事例为指导，辅以信息技术手段，采用问题式引导探究，并与讲解演练相结合，在实例中抽象，在抽象中提升。

四、教学基本流程创设情景，由实例引入新课用不等式表示不等关系不等式的基本性质及简单应用小结，用不等式表示不等关系、不等式基本性质五、教学过程实际问题中的不等关系引例1 今天的天气预报说：明天早晨最低温度为7℃，明天白天的最高温度为13℃；引例2 限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是：．引例3 某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2．5%，蛋白质的含量p应不少于2．3%，用不等式可以表示为________．几何中的不等关系1、两点间直线段最短。

2、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边。

3. 设点A 与平面α的距离为d ，B 为平面α上的任意一点，则d 与两点的距离|AB|是什么关系？实数的基本不等关系1、正数大于零、负数小于零；2、非负数大于或小于零、非正数不大于零；3、实数的平方不小于零，实数的绝对值大于或等于零；4、“同号积为正，异号积为负。

3.1不等关系与不等式(两课时)

500x 600y 4000
y 3x
x≥0,y≥0 上面三个不等关系，是“且”的关系，要同时满足的话，用不等式组表示为：
数学应用
问题3.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成 500mm和600mm的两种规格。按照生产的要求， 600mm的钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍, 写出满足上述所有不等关系的不等式.
数学应用
问题1：设点A与平面α的距离为d, B为平面α上任意一点，则
d与线段AB的关系？
A
d≤|AB|
d

B
数学应用
问题2.某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
∴
(a b) (b c) 0
ac 0
∴
ac
由定理1，定理2可以表示为如果
c b且b a
那么
ca
不等式的性质
性质3.如果
a b，那么 a c b c
不等式的可加性
(即a b a c b c)
证明： ∵
∴
(a c) (b c) a b 0
证明:ac-bc=( a-b )c 因为 a >b 所以 a-b>0, 根据同号相乘得正,异号相乘得负,得当c>0时,(a-b)c>0, 即 ac>bc 当c<0 时,(a-b)c<0, 即 ac<bc
不等式的性质
性质5：如果
a b 且 c d ，那么
ac bd
不等式的同向可加性

3.1不等式与不等关系1

性质8:如果a>b>0, 那么n
a b ,(n∈N,n≥2).
n
开方法则
c c 已知a > b > 0,c < 0, 求证 > .(课本P83) a b
1 证明: a b 0, ab 0, 0. ab
1 1 于是 a b , ab ab 1 1 c c 即 . 由c 0, 得 a b b a
f 2.5% p 2.3%
一 .新课引入
问题1：设点A与平面α的距离为d,
d
A
B为平面α上任意一点，则
d≤|杂志原以每本2.5元的价格销售,可以销售出8 万本.据市场调查，若单价每提高0.1元,销售量就可以相应减少200本,若把提价后杂志的定价设为X元,怎样用不等式表示销售的总收入仍比低于20万元呢？
性质1:如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么a>b.即
abba
性质2:如果a>b,b>c,那么a>c.即
(对称性) (传递性)
（可加性）
a b, c 0 ac bc a b, c 0 ac bc
a b, b c a c
性质3:如果a>b,那么a+c>b+c.即
x 2.5 (8 0.2) x 20 0.1
问题3:某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成
500mm和600mm两种.按照生产的要求，
600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的 3倍. 写出满足上述所有不等关系的不等式?
500 x 600 y 4000; 3x y; x 0; y 0.
二、重难点讲解

高一数学不等关系与不等式课件新人教版

5m 5m 5m 5m
( L 10)(W 10) 350, L 4W L 0
问题3、某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高 0.1元销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
思考(1 )销售量减少了多少? (2)现在销售量是多少? (3)销售总收入为多少?
x 2.5 0.2万本 0.1
x 2. 5 8 0 .2 0.1
x 2.5 (8 0.2)x万元 0.1
解：若杂志的定价为x元，则销售量减少：
x 2.5 0.2万本因此，销售总收入为： 0.1
第三章
不等式
• 3.1不等关系与不等式 • 3.2一元二次不等式及其解法 • 3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 • 3.4基本不等式
3.1 不等关系与不等式(第一课时)
一.生活中的不等关系
(1)中国“神舟七号”宇宙飞船的飞行速度不小于第一宇宙速度 ,且小于第二宇宙速度 (2)《铁路旅行常识》规定:旅客每人免费携带物品 ------杆状物不超过200cm, 重量不得超过20kg (3)我们班的数学成绩高于平行班的成绩
x 2.5 (8 0.2)x万元用不等式表示为： 0.1
x 2.5 (8 0.2) x 20 0.1
问题4.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm的两种规格。按照生产的要求，600mm的钢管的数量不能超过 500mm钢管的3倍请思考:(1)找出两种规格的钢管的数量满足的不等关系. (2)用不等式（组）表示上述不等关系. 分析：假设截得500mm的钢管x根，截得 600mm的钢管y根。根据题意，应当有什么样的不等关系呢？ (1)截得两种钢管的总长度不能超过4000mm； (2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm 的钢管数量的3倍； (3)截得两种钢管的数量都不能为负.

高中数学必修五《不等关系与不等式》优秀教学设计

3.1不等关系与不等式（第一课时）【教学目标】1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景。

2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法。

3．情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。

【教学重点】1．用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题。

2．理解不等式或不等式组对于刻画不等关系的意义和价值。

【教学难点】1．用不等式(组)准确地表示不等关系。

2．用不等式(组)解决简单的含有不等关系的实际问题。

【方法手段】1．采用探究法，按照阅读、思考、交流、分析，抽象归纳出数学模型，从具体到抽象再从抽象到具体的方法进行启发式教学。

2．教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用。

3．设计教典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极性。

【教学过程】一、课题导入章头图是一幅山峦重叠起伏的壮观画面，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然的引入新课。

引导学生想生活中的例子和学过的数学中的例子。

在老师的引导下，学生会说出很多个例子来。

即活跃了课堂气氛，又激发了学生学习数学的兴趣。

通过实例的引导让学生感受生活中人们经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。

而且在数学中，我们用不等式来表示不等关系。

二、学生自由阅读、探究并回答相关问题阅读课本72页问题1，2，3．问题1：设点A 与平面α的距离为d ，B 为平面α上的任意一点，则||d AB ≤．问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。

据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。

若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 2.5(80.2)0.1x x --⨯ 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 2.5(80.2)200.1x x --⨯≥．问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种．按照生产的要求，600mm 的数量不能超过500mm 钢管的3倍。

§3.1.1不等关系与不等式(一)

浓度为 b m ,
am
bm b 可以证明成立. am a
你能证明吗？预习下一节内容，给出证明.
2013-1-21 重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@ 16
§3.1.1不等关系与不等式(一)
小结 1. 两实数间的大小与两数之差有如下关系:
a>ba–b>0 a=ba–b=0 a<ba–b<0
根据两个正数的和仍是正数,得
(a b) (b c) 0, 即a c 0,
推论: 由a b, 且b c a c.
2013-1-21 重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@ 12
a c.
§3.1.1不等关系与不等式(一)
不等式的性质
性质3:
3
§3.1.1不等关系与不等式(一)
问题2 :某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以销售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本，若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？分析:若杂志的定价为x元，则销售的总收入为
x 2.5 （8 0.2）x 万元。 0.1
4 x y 10 18 x 15 y 66 x 0 y 0
2013-1-21 重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@ 7
§3.1.1不等关系与不等式(一)
练习3、某年夏天，我国遭受特大洪灾，灾区学生小李家中经济发生困难，为帮助小李解决开学费用问题，小李所在班级学生（小李除外）决定承担这笔费用。若每人承担12元人民币，则多余84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出 40元以上。问该班共有多少人？这笔开学费用共多少元？分析：设该班除小李外共有x人，这笔开学费用共 y元，则：

3.1不等式与不等关系课(共32张PPT)

探究点1
不等式的性质
（对称性) (1)a > b b < a; (传递性) (2)a > b,b > c a > c；
(可加性) (3) a > b a + c > b + c；
由性质（3）可得：
a + b > c a + b +( - b )> c +( - b ) a > c - b .
解：因为15 < b < 36,所以 - 36 < -b < -15. 又因为12 < a < 60,所以12 - 36 < a - b < 60 - 15，所以 - 24 < a - b < 45. 1 1 1 12 a 60 因为 < < ,所以 < < ， 36 b 15 36 b 15 1 a 所以 < < 4. 3 b
2.某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量 f应不少于2.5％，蛋白质的含量p应不少于2.3％，
f≥2.5% 写成不等式组为 p≥2.3% .
【即时练习】某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120km/h.
行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不
等式表示为( B )
A．v≤120 (km/h)或 d≥10 (m)
2.设M=x2，N=x-1，则M与N的大小关系为 ( A ) A．M>N C．M<N B．M=N D．与x有关
【解析】 ∵M－N＝x2－(x－1)＝x2－x＋1 1 3 ＝x －x＋＋ 4 4
2
12 3 ＝(x－ ) ＋ >0. 2 4 ∴M>N.

§3.1.1不等关系与不等式(第一课时)

§3.1.1不等关系与不等式（第一课时）教学重点：理解不等式的意义，建立适当的不等式（组）表示不等关系．教学难点：如何从具体问题情境中抽象出数学模型并建立不等式．教学过程：一、设置情境，引发思考学生辅助学习素材1．视频：（1）国庆50周年阅兵式；（2）祖国大地山川秀美；（3）道路限速路标；（4）天平测质量；（5）跷跷板游戏．【制作提示】用数学的眼光看世界，认识世界，感受现实世界中相等关系与不等关系普遍存在，感受数学之美，增强用数学的意识．等量关系体现了数学的对称美、统一美、和谐美、平衡美，不等关系则如同仙苑奇葩呈现出数学的奇异美、层次美．2．你还能举出哪些更多的不等关系的实例？3．你能否用所学过的哪种数学知识来表示和研究这些不等关系？二、提出问题，激发探究学生活动：尝试用适当的不等式表示下列问题中所蕴含的不等关系：1．设点A与平面的距离为d，B为平面上的任意一点，表示d与|AB|之间的不等关系．2．某种杂志原以每本世纪末2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本．若把提价后杂志的定价设为x元，使销售总收入不低于20万元应怎样表示？3．小圆的半径为r，大圆的半径为R，两圆的圆心距离为d，若两圆相交，则d应满足什么关系？4．学习素材中蕴含不等关系的表示．建构数学：把生活中的具体问题转化成数学问题，并用恰当的数学模型（不等式）表示出来即为本节课的核心问题．其具体步骤为：实际问题：不等关系→（抽象概括）→数学问题：不等式数学模型：不等式→（刻画）→实际问题：不等关系三、巩固结论，尝试应用〖例1〗某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍，怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？〖问题〗（1）本例涉及哪几个变量？（2）哪句话中体现了不等关系？〖例2〗某单位计划10月份组织员工到泰山旅游，人数估计在10~25人之间．甲、乙两旅行社的服务质量相同，且组织到泰山旅游的价格都是每人200元，甲旅行社表示可给予每位旅客七五折优惠；乙旅行社表示先免去一位旅客的旅游费用，其余游客八折优惠．问该单位怎样选择，使其支付的旅游费用较少？〖问题〗（1）若有10人，应选择哪家旅行社？（2）满足什么条件，选择甲旅行社更优惠？（3）满足什么条件，选择乙旅行社更优惠？（4）你对解决本例中的问题有什么想法？〖例3〗由下表给出了甲、乙、丙三种食物的维生素含量及其成本．现欲将三种食物混合成100kg的食品，要使混合食品中至少含有35000单位的维生素A 和40000单位的维生素B，设甲、乙两种食物各取x kg、y kg，那么x、y应满怎样的关系？〖问题〗（1）从这段话中可以抽象出哪几种不等关系？（2）混合食品有哪几中成分组成，含量各为多少？（3）各成分中的维生素A和维生素B的含量又是多少？四、反思小结，理论升华（1）解决实际问题的常规步骤：实际问题：不等关系→（抽象概括）→数学问题：不等式数学模型：不等式→（刻画）→实际问题：不等关系（2）一个重要数学模型：不等关系．【反馈练习】（只列出不等关系，不求解）（1）a与b的和是非负数；（2）某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m”；（3）在一个面积为350m2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长Ｌ大于宽Ｗ的4倍．（4）有一个两位数大于50而小于60，其个位数字比十位数字大2．试用不等式表示上述关系，并求出这个两位数（用a、b分别表示这个两位数的十位数字和个位数字）．（5）某种植物适宜生长在温度在18°～20°的山区，已知山区海拔每升高100米，气温下降0.55°．现测得山脚下的平均温度为22°，试问该植物种植在山区多高处较为适宜？（6）某市政府准备投资1800万元兴办一所中学,经调查,班级数量以20到30个为宜，每个初、高中班硬件配置分别为28万元与58万元，该学校的规模(初、高中班级数量）所满足的条件是什么？五、布置作业1．书面作业：教材P83习题3．1 A组第4、5题B组第3题2．课外思考：b克糖水中有a克糖（b>a>0），若再加入m克（m>0）糖，则糖水更甜了，为什么？你能否用不等式的知识给出合理的解释？。

高中数学_不等关系与不等式教学设计学情分析教材分析课后反思

教学设计:高中数学人教A版必修五第三章第一节§3.1不等关系与不等式（第一课时）【教学目标】一知识技能1通过具体问题情境,感受到现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系.2会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.二过程与方法通过大量的现实世界和日常生活中例子,使学生感受到不等关系确实处处存在:同时也让学生去认真思考如何用不等式表示现实中的不等关系.三情感、态度与价值观1培养学生数形结合的思想:2培养学生严谨科学的态度:3培育学生的爱国情感和创新意识:4在参与观察、实验、猜想、证明等活动中发展演绎推理能力,培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的科学探究能力.【教学重点】用不等式（组）表示实际问题中的不等关系,并用不等式（组）研究含有不等关系的问题.理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值.【教学难点】用不等式（组）正确表示出不等关系.【教学方法】通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系.【教学手段】多媒体辅助教学．【教学过程】一创设情境,导入课题课前循环播放一组庐山照片,启发学生想到了苏轼的诗:“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”.二新授过程,形成认识（一）不等关系:1 诗人苏轼有两句著名的诗句“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”,从正面看庐山,它是一道横长的山岭:从侧面看庐山,它是一座高耸的山峰.你再从不同距离、不同高度去看吧,呈现在你眼前的庐山,都是各种互不相同的形象.标注:相对于庐山优美的风景,四川西部山区却是经常有洪灾发生,都江堰就是水利工程的一个典型代表.公元前256年,秦国人李冰作为蜀首,奉命治理岷江,李冰先用了3年的时间勘察水情、调查地形,制订了一整套凝聚着人类智慧与科学的治水方案.）标注:利用ppt播放《都江堰》的视频.让学生通过视频找出里面存在的不等关系,并随时记录在练习本上.（学生回答后出示答案:山区地势高低不同,内江、外江地势高低不同、水量不同、沙石不同（80%外江）,水只有高出飞沙堰时,通过飞沙堰流出,有分洪和排沙的作用……）德育教育:都江堰建成后,成都平原的粮食产量成倍增长,这也为秦国统一中国奠定了物质基础.都江堰的设计和改造,最大程度的尊重和保护了自然,即使是2000多年后的今天,仍是水利专家追求的生态水利建设的最高境界.李冰用了3年时间攀登了700多里山路勘察水情、调查地形,他的坚韧不拔的毅力,科学严谨的治学精神, 我们就要应用到学习和生活中.2 （过渡:古代科学家凭借他们坚韧不拔的毅力充分利用了各种不等关系,创造了一个又一个的人类奇迹,在刚刚过去的奥运会上,我国奥运健儿摘金夺银,也取得了巨大的成绩,叶诗文就是其中的一个典型代表.）标注:2012年,伦敦奥运会上16岁的叶诗文以4分28秒43的成绩破世界纪录获得400米女子混合泳冠军,为中国摘得伦敦奥运会第四枚金牌. 随后,在200米女子混合泳的半决赛、决赛中,两次打破奥运会纪录,以2分07秒57夺冠,成为奥运会双冠王,创造中国泳坛历史.德育教育:叶诗文只有16岁,比我们同学都还小,就取得了如此大的成绩,不过同学们也不要不好意思,你们在很多方面比叶诗文还要强.练习1:观察图中存在的不等关系.叶诗文叶诗文与罗切特成绩比较标注:主要看红框中的两个数字和两人的总成绩.德育教育:通过两人成绩的比较,叶诗文在最后50m甚至超过了男子世界冠军的成绩,尽管西方媒体对此提出质疑,但最终的结论证明,她的成绩就是她努力训练的结果,如果要进一步改变西方媒体对中国人的看法,还需要同学们的拼搏努力.（过渡:我们再次回到我国古代）3 材料1:中国最早的一部数学著作——《周髀算经》中记载着在公元前1100年左右,我国古代数学家就已经发现了勾股定理.这比古希腊数学家毕达哥拉斯发现的时间早了500多年.德育教育:这足以说明我们的祖先早已经具有了超人的智慧.世界上最早对勾股定理进行证明的,是我国三国时期吴国的数学家赵爽.赵爽创制了一幅弦图,用形数结合的方法证明了勾股定理.德育教育:中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位.尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法,更具有科学创新的重大意义.当代中国数学家吴文俊曾经说过“在中国的传统数学中,数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的......十七世纪笛卡儿解析几何的发明,正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续.”请同学们在赵爽的弦图中寻找一些不等关系.学生口答:直角三角形的三边不等,三个角不等,大小正方形的边长不等……,更重要的是要总结出222+≥.老师要说明这个公式a b ab非常重要,我们以后还要继续学习.练习2:请同学们自己举出现实世界和日常生活中存在的一些不等关系.（二）用不等式表示不等关系（过渡:通过刚才大量的图表和事实,我们可以感受到现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,其中有很多是可以用不等式表示的.）材料2: 观察下表,请同学们说出x、y、z的范围.2010 39.8 10.3 3.02011 47.2 9.2 3.3德育教育:这个表格隐含着的信息很多,2011年GDP是2006年的2倍还多,说明我国经济发展速度很快；另外,据统计我国1978年国民生产总值为3600亿元,而2011年国民生产总值为47.2万亿元,是1978年的130倍左右,这不仅仅是一个不等关系,更是一个巨大的增长,同时这也是改革开放的重大成就,所以我们只有坚持改革开放,才有可能取得如此大的成就.假设以后我国每年的经济增长率按8%计算,那么多少年后GDP总量将超过130万亿元？答案: 47.21.08130x>,解得14x≥,所以到2025年,我国的GDP将超过130万亿元.德育教育:如果按照现在美国的经济总量和发展速度计算,到2025年我国将超过美国,成为世界第一经济大国.到那时同学们已经是而立之年,各个事业有成!有的已经是著名的企业家,有的成了科学家,有的成了党政岗位上的重要领导人……但是这一切美好的前景都是建立在同学们努力拼搏的基础之上的.练习3:观察以下图形,写出图片中蕴含的不等关系:（过渡:食品中有不等关系,那么市场中有没有不等关系.）例1 某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就可能相应减少2000本.若把提价后杂志的定价设为x 元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？（总收入＝单价×销售量）答案:2.58*0.2200.1x x -⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭例2 某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 的两种.按照生产的要求,600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？解:设截得500mm 钢管x 根,截得600mm 钢管y 根,则:三检测反馈,巩固知识1用不等式表示右图的不等关系:德育教育:我们在过马路的时候,一定要注意安全,要走人行横道,500600400030x y x y x y +≤⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩要走斑马线；如果我们以后开车,也一定按照要求行驶,看看图中,车多人乱,确实很危险!我们应该切实注意自己和他人的安全.（2）某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中的脂肪含量 f 应不少于2.5%,蛋白质的含量 p 应不少于2.3%．答案: 2.5%2.3%f p ≥⎧⎨≥⎩（3）如图,在一个面积为3502m 的矩形地基上建造一个仓库,四周是绿地.仓库的长L 大于宽W 的4倍.【归纳小结】（过渡:请同学自己总结本节课所学内容,先小组讨论,再请一个同学典型发言.）1通过同学们的总结,我们可以发现古今中外日常生活时时、事事、处处都存在着各种不等关系,通过我们的慧眼要发现并利用这些关系,就会取得超出前人的更大的成就.2 我们要善于利用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.【作业】1．P75习题3.1A 组第4、5题:2．课外探究:（1）有一个两位数大于50而小于60,其个位数字比十位数字大(10)(10)3504L W L W++=⎧⎨≥⎩2.试用不等关系表示上述关系,并求出这个两位数（用a和b分别表示两位数的个位数字和十位数字）.（2）一辆汽车原来每天行驶x km,如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km,那么8天内它的行程就超过2200 km,写出不等式为_______________:如果它每天行驶的路程比原来少12 km,那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间,用不等式表示为_______________.不等式学情分析高中数学新授课是对数学概念、定理、公式与性质的学习,课上不仅仅要让学生掌握一些基本的数学结论,更重要的是要让学生理解数学问题是怎样提出来的,概念是如何在具体背景中形成的,结论是怎样探索和猜测到的. 要充分利用数学的科学性和严谨性,让学生尊重知识,崇尚科学,坚定科学信念,学会科学思想方法,同时教师要更加关注学生在数学学习中所表现出来的情感、态度、价值观.树立一切为了“每一位学生的发展”的新课程理念,不但要关注每一位学生的数学学习,而且要关注每一位学生的道德生活和人格养成,发展学生的创新意识.只有在创新、求活的发展变化中才能真正提高学生的数学素养,培养学生的创新精神与个性品质.高中数学教材中,有丰富的爱国主义教育素材,在教学中应当适时地、自然地利用它们对学生进行思想教育,会达到事半功倍的效果.高中生正处于世界观逐渐形成的阶段,为了让学生有一个正确的世界观,用辩证唯物主义思想去认识世界,教师在讲授相应新课的同时,适时地、恰当地渗透些辩证唯物主义思想教育,不仅有利于学生对数学知识的深刻理解和对数学方法的熟练掌握,更重要的是有助于学生形成良好的思维品质和科学的世界观.不等式效果分析在课堂上应用的一个材料是有关都江堰工程的介绍，这一中国历史上的壮举，通过视频的形式让学生从视觉、听觉上得到冲击，探究、发现其中的不等关系的同时，也感悟中华文明的伟大与魅力，感悟中国人民的智慧与创新，同时激发学生学习李冰父子勤劳、坚毅、勇于创造的精神。

高中数学第三章不等式 3.1 不等关系与不等式(第1课时)练习(含解析)新人教A版必修5-新人教

3.1《不等关系与不等式》（第1课时）一、选择题：1．设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M >NB ．M ＝NC ．M <ND ．与x 有关【答案】A【解析】 M －N ＝x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34>0，∴M >N .2．若a 1bB ．2a >2bC ．|a |>|b |D ．(12)a >(12)b 【答案】B【解析】 ∵a ab >ab 2B ．ab >a >ab 2C ．ab 2>ab >a D ．ab >ab 2>a 【答案】D【解析】 ∵－1b 2>0>b >－1，即b ab 2>a .故选D ．4．如果a 、b 、c 满足c ac B ．bc >ac C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )<0 【答案】C【解析】 ∵c 0，c <0.∴ab －ac ＝a (b －c )>0，bc －ac ＝(b －a )c >0，ac (a －c )<0，∴A、B 、D 均正确．∵b 可能等于0，也可能不等于0. ∴cb 2<ab 2不一定成立．5．已知：a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是( )A ．若a >b ，c >b ，则a >cB ．若a >－b ，则c －a <c ＋bC ．若a >b ，c <d ，则a c >bdD ．若a 2>b 2，则－a <－b【答案】B【解析】选项A ，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立；选项C 不满足倒数不等式的条件，如a >b >0，c <0<d时，不成立；选项D 只有a >b >0时才可以．否则如a ＝－1，b ＝0时不等成立，故选B ．6．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( )A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C ．1x 2＋1≤1 D．x ＋1x≥2 【答案】C【解析】 A 中x >0；B 中x ＝1时，x 2＋1＝2x ；C 中任意x ，x 2＋1≥1，故1x 2＋1≤1；D 中当x <0时，x ＋1x≤0.7．若a >b >0，c <d <0，则一定有( )A ．a c >b dB ．a c b cD ．a d 0，而ad －bc 的符号不能确定，所以选项A 、B 不一定成立.a d －b c ＝ac －bddc，dc >0，由不等式的性质可知ac <bd ，所以选项D 成立．本题也可以对实数a 、b 、c 、d 进行适当的赋值逐一排查．8．设a ＝sin15°＋cos15°，b ＝sin16°＋cos16°，则下列各式正确的是( )A ．a <a 2＋b 220，∴a 2＋b 22>ab ＝2sin60°×2sin61°＝3sin61°>2sin61°＝b ，故a 0，A －B ＝(1＋a 2)－(1－a 2)＝2a 2>0得A >B ， C －A ＝11＋a－(1＋a 2)＝－a a 2＋a ＋11＋a＝－a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋122＋341＋a>0，得C >A ，∴B <A <C ．二、填空题：10．若x ＝(a ＋3)(a －5)，y ＝(a ＋2)(a －4)，则x 与y 的大小关系是________．【答案】x ＜y【解析】x －y ＝(a ＋3)(a －5)－(a ＋2)(a －4)＝(a 2－2a －15)－(a 2－2a －8)＝－7＜0，∴x ＜y . 11．给出四个条件：①b ＞0＞a ，②0＞a ＞b ，③a ＞0＞b ，④a ＞b ＞0，能推得1a ＜1b成立的是________．【答案】①、②、④【解析】 1a ＜1b ⇔b －aab＜0，∴①、②、④能使它成立．12．a ≠2、b ≠－1、M ＝a 2＋b 2、N ＝4a －2b －5，比较M 与N 大小的结果为________．【答案】M ＞N【解析】 ∵a ≠2，b ≠－1，∴M －N ＝a 2＋b 2－4a ＋2b ＋5＝(a －2)2＋(b ＋1)2＞0，∴M >N . 三、解答题13．某矿山车队有4辆载重为10 t 的甲型卡车和7辆载重为6 t 的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．【答案】见解析【解析】设每天派出甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆．根据题意，应有如下的不等关系：(1)甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数． (2)车队每天至少要运360 t 矿石．(3)甲型车不能超过4辆，乙型车不能超过7辆．要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤910×6x ＋6×8y ≥3600≤x ≤40≤y ≤7，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤95x ＋4y ≥300≤x ≤40≤y ≤7.14.有粮食和石油两种物质，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输效果如下表：关系的不等式．【答案】见解析【解析】设需安排x 艘轮船和y 架飞机，则⎩⎪⎨⎪⎧300x ＋150y ≥2 000250 x ＋100 y ≥1 500x ≥0y ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋3y ≥405x ＋2y ≥30x ≥0y ≥0.15．设a >0，b >0且a ≠b ，试比较a a b b与a b b a的大小．【答案】见解析【解析】根据同底数幂的运算法则．a a b b a b b a ＝a a －b ·b b －a ＝(a b)a －b，当a >b >0时，ab >1，a －b >0，则(a b)a －b>1，于是a a b b>a b b a . 当b >a >0时，0<a b <1，a －b <0，则(a b)a －b>1，于是a a b b>a b b a.综上所述，对于不相等的正数a 、b ，都有a a b b>a b b a.。

3.1不等关系与不等式(1)

我们用数学符号“≠”，“>”，“<”， “≥”，“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系。含有这些不等号的式子叫做不等式。数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大。
x A O B
练习1：若需在长为4000mm圆钢上，截出长为698mm和518mm的两种毛坯，问怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组？
伟人所达到并保持着的高处，并不是一飞就到的，而是他们在同伴们都睡着的时候，一步步艰辛地向上攀爬的。
主备人：冯宗明王廷伟
审核人：牟必继
现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系，如： 1、今天的天气预报说：明天早晨最低温度为7℃，明天白天的最高温度为13℃；
7℃≤t≤13℃ 2、三角形ABC的两边之和大于第三边； AB+AC>BC或…… 3、a是一个非负实数。 a≥0
分析:
设698mm与 518mm分别x 与 y个
698 x 518 y 4000 x 0 y 0 x, y N
练习2 、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐 4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨。现有库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上进行生产。请用不等式组把此实例中的不等关系表示出来。 4 x y 10 分析:设分别生产甲．乙两种肥料为 x 吨 ,y 吨
（1）作差（2）变形（3）判号
（4）定论小结：作差法的步骤：（1）作差→（2）变形→ （3）判号→（4）定论其中，变形的方法有：配方法；因式分解法；分子有理化等。
因此x2－x>x－2.
作差法比较两个实数大小的基本步骤 (1)作差． (2)变形．将两个实数作差，作差后变形为： ①常数； ②几个平方和的形式； ③几个因式积的形式． (3) 判号．即判断差的符号是正、负还是零． (4) 定论．利用实数大小之间的关系得出结论．

3.1不等式与不等关系(第一课时)

典例讲评例2.若若
x≠2
2
或
2
y ≠ −1x ≠ 2
M = x + y − 4x + 2y , N = − 5
求证：求证：M
>N
Q 证明： M − N = x2 + y2 − 4x + 2y + 5 ----（1）作差（）
= x2 − 4x + 4 + y 2 + 2 y + 1
= ( x − 2) 2 + ( y + 1) 2 ------（2）变形（）又 x ≠ 2 或 y ≠ −1
课堂小结
3.用差比法”比较两个实数的大小， 3.用“差比法”比较两个实数的大小，一般分三步进行：作差→变形→定号→ 般分三步进行：作差→变形→定号结论. 其中变形的目的在于判断差式的符号，其中变形的目的在于判断差式的符号，常用的变形手段有因式分解、配方等. 用的变形手段有因式分解、配方等.
a
b
大数对应的点位于小数对应的点的右边
新知探究
a －b ＞0
⇔
a＞ ⇔a＞b
a－b=0
⇔a=b
新知探究
a －b ＜0 a －b ＞0 a－b=0 a －b ＜0
客观事实：（作差法比较大小的原理）客观事实：（作差法比较大小的原理）：（作差法比较大小的原理
a＜ ⇔ a ＜b
a＞ ⇔a＞b ⇔a=b a＜ ⇔ a＜b
ì f ³ 2.5% ï ï í ï p ³ 2.3% ï ï î
某种杂志原以每本2.5元的价格销售，某种杂志原以每本2.5元的价格销售， 2.5元的价格销售可以售出8万本.据市场调查，可以售出8万本.据市场调查，若单价每提高0.1 0.1元每提高0.1元，销售量就可能相应减少 2000本若把提价后杂志的定价设为x 2000本.若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入不低于20万元？ 20万元不低于20万元？

3.1不等关系和不等式

（3）a＞b a+c＞b+c（可加性）
a+c＞b+d （5）a＞b，c＞0 ac＞bc；
（4）a＞b，c＞d a＞b，c＜0 ac＜bc （6）a＞b＞0，c＞d＞0 （7）a＞b＞0
ac＞bd
(n∈N*)
an＞bn
n
（8）a＞b＞0
a ＞
n
b (n∈N*)
应用举例
例1
a－b＞0
a＞b
思考4：如果两个实数的差是负数，那么这两个实数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学语言描述这个原理？
a－b＜0
思考5：如果两个实数的差等于零，那么这两个实数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学语言描述这个原理？

a＜b
a－b=0
a=b
例题讲解
例1 某用户计划购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，使用资金不超过500元，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，用不等式组表示软件数x与磁盘数y应满足的条件.
知识探究(二)：比较实数大小的基本原理
思考1：实数可以比较大小，对于两个实数a，b，其大小关系有哪几种可能？
a＞b，a＝b，a＜b.
思考2：任何一个实数都对应数轴上的一个点，那么大数与小数所对应的点的相对位置关系如何？大数对应的点位于小数对应的点的右边
思考3：如果两个实数的差是正数，那么这两个实数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学语言描述这个原理？
2.比较法包括差比法和商比法.其中商比 a 法的理论依据是 1, b 0 a b 或
b
a 1, b 0 a b b
.
作业：
P75习题3.1A组：4，5. B组：3.