2019届人教A版(理科数学) 几何概型单元测试

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2019高中数学必修二(人教A版)模块综合测试含解析

人教版高中数学必修精品教学资料模块综合试题时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1．下列命题正确的是( )A ．四条线段顺次首尾连接,所得的图形一定是平面图形B ．一条直线和两条平行直线都相交,则三条直线共面C ．两两平行的三条直线一定确定三个平面D ．和两条异面直线都相交的直线一定是异面直线解析：此题主要考查三个公理及推论的应用,两条平行线确定一个平面,第三条直线与其相交,由公理1可知,这三条直线共面,故B 正确．答案：B2．已知直线(a －2)x ＋ay －1＝0与直线2x ＋3y ＋5＝0平行,则a 的值为( )A ．－6B ．6C ．－45D.45解析：由题意可知两直线的斜率存在,且－a －2a ＝－23,解得a ＝6. 答案：B3．圆台侧面的母线长为2a,母线与轴的夹角为30°,一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的面积之和是( )A ．3πa 2B ．4πa 2C ．5πa 2D ．6πa 2解析：设圆台上底面半径为r,则下底面半径为2r,如图所示,∠ASO ＝30°,在Rt △SA ′O ′中,r SA ′＝sin30°,∴SA ′＝2r.在Rt △SAO 中,2rSA ＝sin30°, ∴SA ＝4r.∴SA －SA ′＝AA ′, 即4r －2r ＝2a,r ＝a.∴S ＝S 1＋S 2＝πr 2＋π(2r)2＝5πr 2＝5πa 2. 答案：C4．若直线l 过点A(3,4),且点B(－3,2)到直线l 的距离最远,则直线l 的方程为( )A．3x－y－5＝0 B．3x－y＋5＝0 C．3x＋y＋13＝0 D．3x＋y－13＝0 解析：当l⊥AB时,符合要求．∵k AB＝4－23＋3＝13,∴l的斜率为－3,∴直线l的方程为y－4＝－3(x－3),即3x＋y－13＝0.答案：D5．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为()A. 3 B．2C. 6 D．2 3解析：直线方程为y＝3x,圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝4,圆心(0,2)到直线y＝3x的距离d＝|3×0－2|(3)2＋(－1)2＝1.故所求弦长l＝222－12＝2 3.答案：D6．如图,在三棱锥S－ABC中,G1,G2分别是△SAB和△SAC的重心,则直线G1G2与BC的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．以上都有可能题图答图解析：连接SG1，SG2并延长分别交AB于点M，交AC于点N.∵SG1G1M＝SG2G2N，∴G1G2∥MN.∵M，N分别为AB，AC的中点，∴MN∥BC.故G1G2∥BC.答案：B7．棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应的截面面积分别为S1，S2，S3，则() A．S1<S2<S3B．S3<S2<S1C．S2<S1<S3D．S1<S3<S2解析：设棱锥的底面面积为S.由截面的性质，可知SS1＝⎝⎛⎭⎪⎫2121＝14S；SS2＝212＝12S；⎝⎛⎭⎪⎫SS33＝213＝134S，故S1<S2<S3.答案：A8．在圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中，若D2＝E2>4F，则圆的位置满足()A．截两坐标轴所得弦的长度相等B．与两坐标轴都相切C．与两坐标轴相离D．上述情况都有可能解析：在圆的方程中令y＝0得x2＋Dx＋F＝0.∴圆被x轴截得的弦长为|x1－x2|＝D2－4F.同理得圆被y轴截得的弦长为E2－4F＝D2－4F.故选A.答案：A9．在如图所示的空间直角坐标系O－xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②解析：由三视图可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形(三个顶点坐标分别是(0,0,2)，(0,2,0)，(0,2,2))且内有一虚线(一直角顶点与另一直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图在底面射影是一个斜三角形，三个顶点坐标分别是(0,0,0)，(2,2,0)，(1,2,0)，故俯视图是②.故选D.答案：D10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是正方形ADD1A1和正方形ABCD的中心，G是CC1的中点，设GF，C1E与AB所成的角分别为α，β，则α＋β等于( )A ．120°B ．90°C ．75°D ．60°解析：根据异面直线所成角的定义知α＋β＝90°. 答案：B11．已知点P(x ，y)是直线kx ＋y ＋4＝0(k>0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点．若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为( )A. 2B.212 C ．2 2 D ．2 解析：圆心C(0,1)到l 的距离d ＝5k 2＋1. ∴四边形面积的最小值为2(12×1×d 2－1)＝2，∴k 2＝4，即k ＝±2.又k>0，∴k ＝2. 答案：D12．在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B －AC －D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为( )A.125π12B.125π9C.125π6D.125π3 解析：取AC 的中点O.由O 到各顶点距离相等，知O 是球心．设外接球的半径为R ，则2R ＝5，R ＝52.故外接球的体积V 球＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫523＝125π6.答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．经过两条直线2x ＋y ＋2＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线方程为________．解析：由方程组⎩⎨⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，得交点A(－2,2)．因为所求直线垂直于直线3x －2y ＋4＝0，故所求直线的斜率k ＝－23.由点斜式得所求直线方程为y －2＝－23(x ＋2)，即2x ＋3y －2＝0.答案：2x ＋3y －2＝014．长方体被一平行于棱的平面截成体积相等的两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，则长方体的体积为________．解析：由三视图可知这个长方体的长、宽、高分别为3,4,4，所以长方体的体积为3×4×4＝48.答案：4815．侧棱长为a的正三棱锥P－ABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．解析：侧棱长为a的正三棱锥P－ABC其实就是棱长为a的正方体的一角，所以球的直径就是正方体的对角线，所以球的半径为3a，2该球的表面积为3πa2.答案：3πa216．若⊙O1：x2＋y2＝5与⊙O2：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．解析：由题知O1(0,0)，O2(m,0)，且5<|m|<35，又O1A⊥AO2，＝4. 则有m2＝(5)2＋(25)2＝25，得m＝±5.故|AB|＝2×5×205答案：4三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知直线l平行于直线3x＋4y－7＝0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程．解：设l：3x＋4y＋m＝0.当y＝0时，x＝－m；3当x ＝0时，y ＝－m4.∵直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为24， ∴12·|－m 3|·|－m 4|＝24. ∴m ＝±24.∴直线l 的方程为3x ＋4y ＋24＝0或3x ＋4y －24＝0.18．(12分)已知一个组合体的三视图如图所示，请根据具体的数据，计算该组合体的体积．解：由三视图可知此组合体的结构为：上部是一个圆锥，中部是一个圆柱，下部也是一个圆柱，由题图中的尺寸可知：上部圆锥的体积V 圆锥＝13π×22×2＝8π3，中部圆柱的体积V 圆柱＝π×22×10＝40π，下部圆柱的体积V ′圆柱＝π×42×1＝16π，故此组合体的体积V ＝8π3＋40π＋16π＝176π3.19．(12分)求过点A(－2，－4)且与直线l ：x ＋3y －26＝0相切于点B(8,6)的圆的方程．解：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心C(－D 2，－E2)．∴k CB ＝6＋E 28＋D 2.∵k CB ·k l ＝－1，∴6＋E 28＋D 2·(－13)＝－1.①又有(－2)2＋(－4)2－2D －4E ＋F ＝0，② 82＋62＋8D ＋6E ＋F ＝0，③所以解①②③可得D ＝－11，E ＝3，F ＝－30. ∴所求圆的方程为x 2＋y 2－11x ＋3y －30＝0.20．(12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，△PAB 是正三角形，四边形ABCD 是矩形，且平面PAB ⊥平面ABCD ，PA ＝2，PC ＝4.(1)若点E 是PC 的中点，求证：PA ∥平面BDE ；(2)若点F 在线段PA 上，且FA ＝λPA ，当三棱锥B －AFD 的体积为43时，求实数λ的值．解：(1)证明：如图(1)，连接AC ，设AC ∩BD ＝Q ，连接EQ.因为四边形ABCD 是矩形，所以点Q 是AC 的中点．又点E 是PC 的中点，则在△PAC 中，中位线EQ ∥PA ，又平面BDE ，平面BDE ，所以PA ∥平面BDE.(2)依据题意可得：PA ＝AB ＝PB ＝2，取AB 中点O ，连接PO.所以PO ⊥AB ，且PO ＝ 3.又平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，平面PAB ，则PO ⊥平面ABCD(如图(2))；作FM ∥PO 交AB 于点M ，则FM ⊥平面ABCD.因为四边形ABCD 是矩形，所以BC ⊥AB.同理，可证BC ⊥平面PAB ，平面PAB ，则△PBC 是直角三角形．所以BC ＝PC 2－PB 2＝2 3.则直角三角形ABD 的面积为S △ABD ＝12AB·AD ＝2 3.所以43＝V B －AFD ＝V F －ABD ＝13S △ABD ·FM ＝233FM`FM ＝233.由FM ∥PO ，得FM PO ＝FA PA ＝2333＝＝23.21．(12分)如图，在直角梯形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，AB<CD ，SD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ＝a ，SD ＝2a.(1)求证：平面SAB ⊥平面SAD.(2)设SB 的中点为M ，当CD AB 为何值时，能使DM ⊥MC ？请给出证明．解：(1)证明：∵∠BAD ＝90°，∴AB ⊥AD.又∵SD ⊥平面ABCD ，平面ABCD ，∴SD ⊥AB.又∵SD ∩AD ＝D ，∴AB ⊥平面SAD.又∵平面SAB ，∴平面SAB ⊥平面SAD.(2)当CD AB ＝2时，能使DM ⊥MC.证明：连接BD，∵∠BAD＝90°，AB＝AD＝a，∴BD＝2a，∠BDA＝45°，∴SD＝BD.又∵M为SB的中点，∴DM⊥SB.①设CD的中点为P，连接BP，∴DP∥AB，且DP＝AB.故四边形ABPD是平行四边形．∴BP∥AD.故BP⊥CD.因而BD＝BC.又∵∠BDC＝90°－∠BDA＝45°，∴∠CBD＝90°，即BC⊥BD.又∵BC⊥SD，BD∩SD＝D，∴BC⊥平面SBD.又∵平面SBD，∴DM⊥BC.②由①②知DM⊥平面SBC，又∵平面SBC，∴DM⊥MC.22．(12分)如图，已知圆心坐标为(3，1)的圆M与x轴及直线y ＝3x 分别相切于A ，B 两点，另一圆N 与圆M 外切，且与x 轴及直线y ＝3x 分别相切于C ，D 两点．(1)求圆M 与圆N 的方程；(2)过点B 作直线MN 的平行线l ，求直线l 被圆N 截得的弦的长度．解：(1)∵点M 的坐标为(3，1)，∴M 到x 轴的距离为1，即圆M 的半径为1，则圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝1.设圆N 的半径为r ，连接MA ，NC ，OM ，则MA ⊥x 轴，NC ⊥x 轴，由题意知：M ，N 点都在∠COD 的平分线上，∴O ，M ，N 三点共线．由Rt △OAM ∽Rt △OCN 可知，OM ON ＝MA NC ，即23＋r ＝1r ＝3，则OC ＝33，则圆N 的方程为(x －33)2＋(y －3)2＝9.(2)由对称性可知，所求的弦长等于过A 点与MN 平行的直线被圆N 截得的弦的长度，此弦的方程是y ＝33(x －3)，即x －3y －3＝0，圆心N到该直线的距离d＝3，2则弦长为2r2－d2＝33.。

2019届人教A版(理科数学) 集合单元测试

（1）集合一、选择题1．已知集合A＝{－2,0,2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，则A∩B＝()A．∅B．{2}C．{0} D．{－2}[解析]因为B＝{x|x2－x－2＝0}＝{－1,2}，A＝{－2,0,2}，所以A∩B＝{2}，故选B.[答案] B2．(2017·天津卷)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C ＝()A．{2} B．{1,2,4}C．{1,2,4,6} D．{x∈R|－1≤x≤5}[解析]A∪B＝{1,2,4,6}，(A∪B)∩C＝{1,2,4}，故选项B符合．[答案] B3．(2018·郑州质检)已知集合M＝{x|x2<1}，N＝{x|2x>1}，则M∩N＝()A．∅B．{x|0<x<1}C．{x|x<0} D．{x|x<1}[解析]依题意得M＝{x|－1<x<1}，N＝{x|x>0}，M∩N＝{x|0<x<1}，选B.[答案] B4．(2018·广东省惠州高三调研)已知全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为()A．{0,1,2} B．{0,1}C．{1,2} D．{1}[解析]因为A∩B＝{2,3,4,5}，而题图中阴影部分为A∩(∁U B)，所以阴影部分所表示的集合为{1}．故选D.[答案] D5．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2[解析] 根据题意，集合{1，a ＋b ，a}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，又∵a≠0，∴a ＋b ＝0，即a ＝－b ，∴ba＝－1，b ＝1.故a ＝－1，b ＝1，则b －a ＝2.故选C. [答案] C6．(2017·山西大学附中模拟)给出下列四个结论：①{0}是空集；②若a ∈N ，则－a ∉N ；③集合A ＝{x |x 2－2x ＋1＝0}中有两个元素；④集合B ＝{x ∈Q ⎪⎪⎭⎬⎫6x∈N 是有限集．其中正确结论的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3[解析] 对于①，{0}中含有元素0，不是空集，故①错误；对于②，比如0∈N ，－0∈N ，故②错误；对于③，集合A ＝{x |x 2－2x ＋1＝0}＝{1}中有一个元素，故③错误；对于④，当x ∈Q 且6x ∈N 时，6x 可以取无数个值，所以集合B ＝{x ∈Q ⎪⎪⎭⎬⎫6x ∈N 是无限集，故④错误．综上可知，正确结论的个数是0.故选A.[答案] A7．已知集合P ＝{x ∈R|1≤x ≤3}，Q ＝{x ∈R|x 2≥4}，则P ∪(∁R Q)＝( ) A ．[2,3] B ．(－2,3]C ．[1,2)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：由于Q ＝{x|x ≤－2或x ≥2}，∁R Q ＝{x|－2＜x ＜2}，故得P ∪(∁R Q)＝{x|－2＜x ≤3}．选B.答案：B8．(2017·江西鹰潭二模)已知集合A ＝{－2，－1,0,1,2,3}，集合B ＝{x |y ＝4－x 2}，则A ∩B 等于( )A ．[－2,2]B ．{－1,0,1}C ．{－2，－1,0,1,2}D ．{0,1,2,3}[解析] 由B 中y ＝4－x 2，得4－x 2≥0，解得－2≤x ≤2，即B ＝[－2,2]．因为A ＝{－2，－1,0,1,2,3}，所以A ∩B ＝{－2，－1,0,1,2}，故选C.[答案] C9．设全集U ＝R ，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪x －1x －2＞0，B ＝{x ∈R|0＜x ＜2}，则(∁U A)∩B ＝( )A ．(1,2]B ．[1,2)C ．(1,2)D ．[1,2][解析] 依题意得∁U A ＝{x|1≤x≤2}，(∁U A)∩B ＝{x|1≤x ＜2}＝[1,2)，选B. [答案] B10．设集合A ＝[－1,2)，B ＝{x |x 2－ax －1≤0}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1,1) B ．[－1,2) C ．[0,3)D.⎣⎡⎭⎫0，32 [解析] 设f (x )＝x 2－ax －1，由题意得f (x )≤0的解集为A 的子集．若B ＝∅，则Δ＝(－a )2－4×(－1)＝a 2＋4<0，显然无解；若B ≠∅，则根据二次函数的图象可得⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≥0，f (2)>0，－1<a2<2，Δ＝a 2＋4>0，即⎩⎪⎨⎪⎧(－1)2－a ×(－1)－1≥0，22－2a －1>0，－2<a <4，解得0≤a <32.综上可知，实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，32.故选D. [答案] D11．(2017·江西临川一中期中)已知集合A ＝{2,0,1,4}，B ＝{k |k ∈R ，k 2－2∈A ，k －2∉A }，则集合B 中所有的元素之和为( )A ．2B ．－2C ．0D. 2[解析] 若k 2－2＝2，则k ＝2或k ＝－2，当k ＝2时，k －2＝0，不满足条件，当k ＝－2时，k －2＝－4，满足条件；若k 2－2＝0，则k ＝±2，显然满足条件；若k 2－2＝1，则k ＝±3，显然满足条件；若k 2－2＝4，得k ＝±6，显然满足条件．所以集合B 中的元素为－2，±2，±3，±6，所以集合B 中的元素之和为－2，故选B.[答案] B12．设A 、B 是两个非空数集，定义运算A ×B ＝{x |x ∈A ∪B ，且x ∉A ∩B }，已知A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝2x ，x >0}，则A ×B ＝( )A ．[0,1]∪(2，＋∞)B ．[0,1)∪[2，＋∞)C ．[0,1]D ．[0,2][解析] 由题意得A ＝{x |2x －x 2≥0}＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y >1}，所以A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝(1,2]，所以A ×B ＝[0,1]∪(2，＋∞)．故选A.[答案] A 二、填空题13．(2017·江苏卷)已知集合A ＝{1,2}，B ＝{a ，a 2＋3}．若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为．[解析] 因为a 2＋3≥3，所以由A ∩B ＝{1}得a ＝1，即实数a 的值为1. [答案] 114．若集合A ＝{x|(a －1)x 2＋3x －2＝0，x ∈R}有且仅有两个子集，则实数a 的值为．[解析] 由题意知，方程(a －1)x 2＋3x －2＝0，x ∈R ，有一个根，∴当a ＝1时满足题意，当a ≠1时，Δ＝0，即9＋8(a －1)＝0，解得a ＝－18.[答案] 1或－ 1815．(2018·江苏扬州质检)已知集合M ＝{x |－1<x <1}，N ＝{x ⎪⎪⎭⎬⎫x x －1≤0，则M ∩N＝ .[解析] 由N 中不等式变形得x (x －1)≤0，且x －1≠0，解得0≤x <1，即N ＝{x |0≤x <1}，又因为M ＝{x |－1<x <1}，所以M ∩N ＝{x |0≤x <1}．[答案] {x |0≤x <1}16．若集合A ＝{x|－2≤x ≤5}，B ＝{x|m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ⊆A ，则由m 的可取值组成的集合为．[解析] 当m ＋1>2m －1，即m<2时，B ＝∅，满足B ⊆A ；若B ≠∅，且满足B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1 ≥－2，2m －1≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≥－3，m ≤3，∴2≤m ≤3.故m<2或2≤m ≤3，即所求集合为{m|m ≤3}． [答案] {m|m ≤3}。

2019届人教A版(理科数学) 立体几何单元测试

1．[2016新课标Ⅰ卷理如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π【答案】A2．[2017新课标Ⅱ卷理已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A BC D 【答案】C【名师点睛】平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0,]2，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．3．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】对于B ，易知AB ∥MQ ，则直线AB ∥平面MNQ ；对于C，易知AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；对于D，易知AB∥NQ，则直线AB∥平面MNQ．故排除B，C，D，选A．【名师点睛】本题主要考查线面平行的判定定理以及空间想象能力，属容易题．证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面．4．现有2个正方体，3个三棱柱，4个球和1个圆台，从中任取一个几何体，则该几何体是旋转体的概率为A．110B．25C．12D．710【答案】C5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中面积最大的侧面的面积为A BC D．3【答案】B【解析】本题主要考查三视图.由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，其中底面是边长为1的正方形，高为1，直观图如下图所示，其中平面ADE ⊥平面BCDE ，四个侧面面积分别为12，最大B.6．已知A ．若,m m n α∥∥，则n α∥B m n ∥C ．若,m m n α⊥∥，则n α∥D n α∥【答案】B7．已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，接球的球心到平面AB ．1C D 【答案】A【解析】因为三棱锥S —ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，SA =SB =SC ，∴S 在平面ABC 上的射影为AB 中点H ，∴SH ⊥平面ABC . ∴SH 上任意一点到A 、B 、C 的距离相等. ∵SH ，CH =1，在平面SHC内作SC的垂直平分线MO与SH交于O，则O为三棱锥S—ABC的外接球球心.SO OH=∴=，即为O与平面ABC的距离.故选A.8．[2017天津卷理已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为___________．【答案】9 2π【名师点睛】求多面体的外接球的表面积或体积的问题常用的方法有：①三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；②直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；学③如果多面体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点即球心．9．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于__________3cm.【答案】6+1.5π【解析】本题主要考查空间几何体的三视图、体积，考查了空间想象能力.由三视图可知，该几何体是一个组合体，左边是一个底面直角边长为2的等腰直角三角形、高是3的直三棱柱，右边是一个底面半径为1、高是3的圆柱的一半，所以该几何体的体积V =211223π136 1.5π22⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+.10．已知正方体1111ABCD A B C D -的一个面A 1B 1C 1D 1A 、B 、C 、D 四个顶点都在此半球面上，则正方体1111ABCD A B C D -的体积为__________.【答案】11．[2017新课标Ⅰ卷理如图，在四棱锥P −ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=.（1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ；（2）若P A =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角A PB C --的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）（2）在平面PAD 内作PF AD ⊥，垂足为F ，由（1）可知，AB ⊥平面PAD ，故AB PF ⊥，可得PF ⊥平面ABCD .学以F 为坐标原点，FA 的方向为x 轴正方向，||AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -.由（1）及已知可得A，P，B，(C .所以(PC =-，(2,0,0)CB =，2(PA =，(0,1,0)AB =. 设(,,)x y z =n 是平面PCB 的法向量，则0,0,PC CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,0,x y ⎧+=⎪=可取(0,1,=-n . 设(,,)x y z =m 是平面PAB 的法向量，则0,0,PA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m即0,0.x z y -=⎪=⎩可取(1,0,1)=m .则cos ,||||⋅==<>n m n m n m ，所以二面角A PB C --的余弦值为. 【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面： ①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.12．[2017北京卷理如图，在四棱锥P−ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M在线段PB 上，PD//平面MAC ，PA =PD ，AB =4．（1）求证：M 为PB 的中点；（2）求二面角B −PD −A 的大小；（3）求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）π3；（3. 【解析】（1）设,AC BD 交点为E ，连接ME . 因为PD ∥平面MAC ，平面MAC 平面PDB ME =，所以PD ME ∥.学因为ABCD 是正方形，所以E 为BD 的中点，所以M 为PB 的中点.设平面BDP 的法向量为(,,)x y z =n ，则00BD PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即44020x y x -=⎧⎪⎨=⎪⎩.令1x =，则1y =，z =.于是=n .平面PAD 的法向量为(0,1,0)=p ，所以1cos ,||||2⋅==<>n p n p n p .由题知二面角B PD A --为锐角，所以它的大小为3π.【名师点睛】本题涉及立体几何中的线面平行与垂直的判定与性质，全面考查立体几何中的证明与求解，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；利用空间向量解决立体几何问题是一种常见且有效的方法，要注意建立适当的空间直角坐标系以及运算的准确性.13．如图1，在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD =60°，将△BCD 沿对角线BD 折起到BC D '△的位置，使平面BC D '⊥平面ABD ，E 是BD 的中点，F A ⊥平面ABD ，且F A 2.（1）求证：F A ∥平面BC D '；（2）求平面ABD 与平面FBC '所成角的余弦值；（3）在线段AD 上是否存在一点M ，使得C M '⊥平面FBC '？若存在，求AMAD的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析；（23）线段AD 上不存点M ，使得C M '⊥平面FBC '. 【解析】（1）∵BC C D ''=，E 为BD 的中点， ∴C E '⊥BD ，学又平面BC D '⊥平面ABD ，且平面BC D '∩平面ABD =BD ， ∴C E '⊥平面ABD ， ∵F A ⊥平面ABD ， ∴F A ∥C E '，而C E '⊂平面BC D '，F A ⊄平面BC D '， ∴F A ∥平面BC D '.（2）以DB所在直线为x轴，AE所在直线为y轴，EC'所在直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系.'⊥平面FBC'.（3）线段AD上不存点M，使得C M证明如下：'⊥平面FBC'，假设在线段AD上存在M(x，y，)，使得C M(x，)=λ0)，∴x=−λ，y=0.FBC'的一个法向量，==.∴线段AD上不存在点M，使得C M。

高中数学人教A版(2019)选择性必修一空间向量与立体几何单元测试

高中数学人教A 版（2019）选择性必修一空间向量与立体几何单元测试一、单选题(共8题；共16分)1．（2分）已知点 A(−3,1,−4) ， B(3,−5,10) ，则线段 AB 的中点 M 的坐标为（）A ．(0,−4,6)B ．(0,−2,3)C ．(0,2,3)D ．(0,−2,6)2．（2分）如果向量 a⃗ =(2,−1,3) ， b ⃗ =(−1,4,2) ， c ⃗ =(1,−1,m) 共面，则实数 m 的值是（） A ．-1 B ．1 C ．-5 D ．53．（2分）已知O ，A ，B ，C 为空间不共面的四点，且向量 a ⃗ = OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，向量 b ⃗ = OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则不能与 a ⃗ ,b ⃗ 构成空间的一个基底的是（） A ．OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B ．OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C ．OC ⃗⃗⃗⃗⃗D ．OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 或 OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 4．（2分）已知向量 a ⃗ =(0，3，3) 和 b⃗ =(−1，1，0) 分别是直线 l 和 m 的方向向量，则直线 l 与 m 所成的角为( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π25．（2分）若向量 a ⃗ =(1，λ，1) ， b⃗ =(2，−1，−2)，且 a ⃗ 与 b ⃗ 的夹角余弦为 √26，则λ等于（） A ．−√2B ．√2C ．−√2 或 √2D ．26．（2分）如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，B 1E ＝ 14A 1B 1，则 BE → 等于( )A ．(0，14，−1)B ．(−14，0，1)C ．(0，−14，1)D ．(14，0，−1)7．（2分）设 x,y ∈R ，向量 a ⃗ =(x,1,1) ， b ⃗ =(1,y,1) ， c ⃗ =(2,−2,2) ，且 a ⃗ ⊥c ⃗ ， b ⃗ //c ⃗ ，则 |a+b⃗ |= （） A ．2√2 B ．3 C ．√5 D ．48．（2分）已知正四面体 D −ABC 的各棱长为1，点 E 是 AB 的中点，则 EC⇀⋅AD ⇀ 的值为（） A ．14B ．−14C ．√34D ．−√34二、多选题(共4题；共12分)9．（3分）已知M(-1，1，3)，N(-2，-1，4)，若M ，N ，O 三点共线，则O 点坐标可能为（）A ．(3，5，-2)B ．(-4，-5，6)C ．( −52， 12 ， −2 )D ．(0，3，2)10．（3分）空间直角坐标系中，下列说法正确的是（）A ．点 P(1,2,3) 关于坐标平面 xOy 的对称点的坐标为 (−1,2,−3)B ．点 Q(1,0,2) 在平面 xOz 面上C ．z =1 表示一个与坐标平面 xOy 平行的平面D ．2x +3y =6 表示一条直线11．（3分）在长方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中， AB =AD =2 ， AA 1=3 ，以D 为原点， DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（）A ．B 1 的坐标为(2，2，3)B ．BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2，0，3)C ．平面 A 1BC 1 的一个法向量为(-3，3，-2)D ．二面角 B −A 1C 1−B 1 的余弦值为 √221112．（3分）设动点 P 在正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 的对角线 BD 1 上，记 D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λD 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 当 ∠APC 为钝角时，则实数可能的取值是（） A ．12B ．23C ．13D ．1三、填空题(共4题；共4分)13．（1分）如图所示，在正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，点 E 为线段 AB 的中点，点 F 在线段 AD 上移动，异面直线 B 1C 与 EF 所成角最小时，其余弦值为 .14．（1分）如图,在三棱柱ABC−A1B1C1中,所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则点B1到平面ABC1的距离为.15．（1分）如图，二面角α−l−β为135°，A∈α，B∈β，过A，B分别作l的垂线，垂足分别为C，D，若AC=1，BD=√2，CD=2，则AB的长度为.16．（1分）四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD=1，AB=3，G是△ABC的重心，则PG与面P AB所成角θ的正弦值为.四、解答题(共6题；共65分)17．（10分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的多面体中，四边形ABCD是矩形，AB=2，AD=√6，EA⊥平面ABCD，FD//EA，EA=12FD=√2.（1）（5分）求证：BE//平面CDF；（2）（5分）求二面角C−EF−D的余弦值. 18．（10分）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC−A1B1C1,底面是等腰直角三角形，AB=2，∠ACB=90°,侧棱BB1=2，D,E分别是CC1，A1B的中点.（1）（5分）求平面AED与平面AEC1的夹角的余弦.（2）（5分）求AC1与平面ADE所成角的余弦值.19．（10分）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1，E，F分别是AC和AB上动点，且AE=BF.（1）（5分）求证：B1E⊥C1F；（2）（5分）若AE=2EC，求二面角A1−EF−A的平面角的余弦值.20．（10分）如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，AB=1,AD=AS=2，P是棱SD上一点，且SP=12PD.（1）（5分）求直线AB与CP所成角的余弦值；（2）（5分）求二面角A−PC−D的余弦值．21．（10分）如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，BC=BD=1,AB=√2，直线CC1与平面A1BD所成角的正弦值为√33.（1）（5分）求点C1到平面A1BD的距离；（2）（5分）求平面A1BD与平面C1BD的夹角的余弦值.22．（15分）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB=AP，E 为棱PB的中点. （1）（5分）求直线PD与CE所成角的余弦值；（2）（5分）求直线CD与平面ACE所成角的正弦值；（3）（5分）求二面角E−AC−P的余弦值.答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：因为点 A(−3,1,−4) ， B(3,−5,10) ，线段 AB 的中点 M 的坐标为 (0,−2,3) ，故选B.【分析】利用中点坐标公式求解即可.2．【答案】B【解析】【解答】由于向量 a ⃗ =(2,−1,3) ， b ⃗ =(−1,4,2) ， c ⃗ =(1,−1,m) 共面，设 c ⃗ =xa ⃗ +yb ⃗ ，可得 {2x −y =1−x +4y =−13x +2y =m，解得 { x =37y =−17m =1. 故答案为：B.【分析】由向量的共线定理代入数值计算出结果即可。

2019届人教A版(理科数学) 选考模块单元测试

2019届人教A 版（理科数学）选考模块单元测试滚动检测七一、选择题1.(2017广东省茂名市高考一模)设i 为虚数单位,复数(2-i ) =1+i ,则的共轭复数z 在复平面中对应的点在( ).A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】∵(2-i ) =1+i ,∴(2+i )(2-i ) =(2+i )(1+i ), ∴ =1+3i5. 则的共轭复数z =15-35i 在复平面中对应的点 15,-35在第四象限.故选D.【答案】D2.(2017黑龙江省大庆市高考二模)已知α,β是两个不同的平面,l ,m ,n 是不同的直线,下列命题不正确的是( ).A.若l ⊥m ,l ⊥n ,m ⊂α,n ⊂α,则l ⊥αB.若l ∥m ,l ⊄α,m ⊂α,则l ∥αC.若α⊥β,α∩β=l ,m ⊂α,m ⊥l ,则m ⊥βD.若α⊥β,m ⊥α,n ⊥β 则m ⊥n【解析】若l ⊥m ,l ⊥n ,m ⊂α,n ⊂α,不能推出l ⊥α,缺少条件m 与n 相交,故A 不正确. 【答案】A3.(2017河北省张家口市高考模拟)已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的六个顶点都在球O 的球面上,且侧棱AA 1⊥平面ABC ,若AB=AC=3,∠BAC=2π,AA 1=8,则球的表面积为( ).A.36πB.64πC.100πD.104π【解析】∵AB=AC=3,∠BAC=2π3,∴BC= 9+9-2×3×3× -12=3 3,∴△ABC 的外接圆直径2r=3 332=6,∴r=3.∵AA1⊥平面ABC,AA1=8,∴该三棱柱的外接球的半径R=32+822=5,∴该三棱柱的外接球的表面积为S=4πR2=4π×52=100π.故选C.【答案】C4.(2017黑龙江省双鸭山市联考)已知点P是圆x2+y2=4上的动点,A,B,C是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点,且AB·BC=0,则|PA+PB+PC|的最小值为().A.4B.5C.6D.7【解析】∵AB·BC=0,∴AB⊥BC,即∠ABC=90°,∴AC为△ABC外接圆的直径.设坐标原点为O,则PA+PB+PC=PO+OA+PO+OB+PO+OC=3PO+OB.∵P是圆x2+y2=4上的动点,∴|PO|=2,∴|PA+PB+PC|=|3PO+OB|≥3|PO|-|OB|=5,当OP与OB反向共线时,取得最小值.故选B.【答案】B5.(2017陕西模拟)执行如图所示的程序框图,则输出a的值为().A.9B.121C.130D.17021【解析】模拟执行程序,可得a=1,b=2,c=3,满足条件c<2016;a=2,b=9,c=11,满足条件c<2016;a=9,b=121,c=130,满足条件c<2016;a=121,b=16900,c=17021,不满足条件c<2016,退出循环,输出a的值为121.故选B.【答案】B6.(2017河北石家庄联考)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为().A.143B.5 C.163D.6【解析】由三视图可知几何体是由直三棱柱ABD-EFG和四棱锥C-BDGF组合而成,直观图如图所示,直三棱柱的底面是一个直角三角形,两条直角边分别是1、2,高是2,∴几何体的体积V=V三棱柱ABD-EFG+V四棱锥C-BDGF=V三棱柱ABD-EFG+V三棱锥C-DFG+V三棱锥C-BDF=V三棱柱ABD-EFG+V三棱锥F-CDG+V三棱锥F-BDC=1×1×2×2+1×1×2×2×2+1×1×2×2×2=14.故选A.【答案】A7.(2017江西省上高二中、丰城中高考模拟)在考试测评中,常用难度曲线图来检测题目的质量,一般来说,全卷得分高的生,在某道题目上的答对率也应较高,如图所示的是某次数测试压轴题的第1、2问得分难度曲线图,第1、2问满分均为6分,图中横坐标为分数段,纵坐标为该分数段的全体考生在第1、2问的平均难度,则下列说法正确的是().A.此题没有考生得12分B.此题第1问比第2问更能区分生数成绩的好与坏C.分数在[40,50)的考生此大题的平均得分大约为4.8分D.全体考生第1问的得分标准差小于第2问的得分标准差【解析】由图中横坐标为分数段,纵坐标为该分数段的全体考生在第1、2问的平均难度,分数越高的同 ,第1问得分越高,说明此题第1问比第2问更能区分生数成绩的好与坏,故选B .【答案】B8.(2017河北省张家口市高考模拟)已知点P (x ,y )满足|x|-1≤y ≤ 1-|x |2,O 为坐标原点,则使|PO|≥ 22的概率为( ).A.ππ+2B.ππ+4C.2π+1D.2π+2【解析】点P (x ,y )满足的区域如图所示,面积为12π+12×2×1=π+22,使|PO|≥ 22成立的区域如图中阴影部分,面积为π+22-π×1=1,∴所求概率为1π+22=2,故选D.【答案】D9.(2017四川省南充市高考二诊)某校开设5门不同的数选修课,每位同可以从中任选1门或2门课习,若甲、乙、丙三位同选择的课没有1门是相同的,则不同的选法共有( ).A.330种B.420种C.510种D.600种【解析】由题意,若都选1门,有A 53=60种;若有1人选2门,则有C 31C 52A 32=180种;若有2人选2门,则有C 32C 52C 32=90种,故共有60+180+90=330种,故选A.【答案】A10.(2017山西省晋中市高考一模)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,过点F 1且垂直于x 轴的直线与该双曲线的左支交于A 、B 两点,AF 2、BF 2分别交y 轴于P 、Q 两点,若△PQF 2的周长为12,则ab 取得最大值时该双曲线的离心率为( ).A. 2B. 3C.2 2D.2 33【解析】由题意,△ABF 2的周长为24,∵|AF 2|+|BF 2|+|AB|=24,∵|AF 2|+|BF 2|-|AB|=4a ,|AB|=2b 2a ,∴4b 2a=24-4a ,∴b 2=a (6-a ). 令y=a 2b 2,则y=a 2b 2=a 3(6-a ),∴y'=2a 2(9-2a ),当0<a<4.5时,y'>0, 当a>4.5时,y'<0.∴当a=4.5时,y=a 2b 2取得最大值,此时ab 取得最大值,b=3 3,∴c=3 3,∴e=c =2 3,故选D.【答案】D 二、填空题11.(2017江西九江联考)已知 a=1π∫ -11( 1-x 2+sin x )d x ,则二项式 2x -ax2 9的展开式中的常数项为 .【解析】a=1∫ -11( 1-x 2+sin x )d x=1(∫ -11 1-x 2d x+∫ -11sin x d x )=1×1×π×12+1×(-cos x ) -11=1,则二项式 2x -a 2 9= 2x -129,通项公式T r+1=C 9r(2x )9-r -12 r=(-1)r 29-2r C 9r x 9-3r ,令9-3r=0,解得r=3.∴展开式中的常数项为-23C 93=-672.【答案】-67212.(2017贵州模拟)黔东南州雷山西江千户苗寨,是目前中国乃至全世界最大的苗族聚居村寨,每年来自世界各地的游客络绎不绝.假设每天到西江苗寨的游客人数ξ是服从正态分布N (2000,10000)的随机变量.则每天到西江苗寨的游客人数超过2100的概率为 .(参考数据:若ξ服从N (μ,δ2),有P (μ-δ<ξ≤μ+δ)=0.6826,P (μ-2δ<ξ≤μ+2δ)=0.9544,P (μ-3δ<ξ≤μ+3δ)=0.9974)【解析】∵服从正态分布N (μ,σ2)的随机变量在区间(μ-σ,μ+σ)内取值的概率为0.6826,随机变量ξ服从正态分布N (2000,10000),∴每天到西江苗寨的游客人数超过2100的概率为12×(1-0.6826)=0.1587.【答案】0.158713.(2017河北衡水中调研)在公元前3世纪,古希腊欧几里得在《几何原本》里提出:“球的体积(V )与它的直径(D )的立方成正比”,此即V=kD 3,欧几里得未给出k 的值.17世纪日本数家们对求球的体积的方法还不了解,他们将体积公式V=kD 3中的常数k 称为“立圆率”或“玉积率”.类似地,对于等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)、正方体也可利用公式V=kD 3求体积(在等边圆柱中,D表示底面圆的直径;在正方体中,D 表示棱长).假设运用此体积公式求得球(直径为a ),等边圆柱(底面圆的直径为a ),正方体(棱长为a )的“玉积率”分别为k 1,k 2,k 3,那么k 1∶k 2∶k 3= .【解析】∵V 1=43πR 3=43π a 2 3=π6a 3,∴k 1=π6.∵V 2=a πR 2=a π a 2 2=π4a 3,∴k 2=π4. ∵V 3=a 3,∴k 3=1, ∴k 1∶k 2∶k 3=π6∶π4∶1.【答案】π6∶π4∶114.(2017新疆乌鲁木齐高考三诊) 校拟安排六位老师5 月1日至5月3日值班,要求每人值班一天,每天安排两人,则王老师不值5月2日的班,李老师不值5月3日的班的概率为 .【解析】六位老师值班每天安排两人的排法有C 62C 42C 22=90种,满足要求的排法有:第一类情况,王老师和李老师在同一天值班,则只能排在5月1号,有C 42=6种;第二类情况,王老师和李老师不在同一天值班,有3C 42A 22=36种,故共有42种.因此所求事件的概率P=4290=715.【答案】71515.(2017江西九江十校联考)已知直线y=k x +1 与曲线y= x 恰有两个不同的交点,记k 的所有可能取值构成集合A ;P (x ,y )是椭圆x 2+y 2=1上一动点,点P 1(x 1,y 1)与点P 关于直线y=x+1对称,记y 1-1的所有可能取值构成集合B ,若随机从集合A ,B 中分别取出一个元素λ1,λ2,则λ1>λ2的概率是 .【解析】∵y= x ,∴x=y 2(y ≥0),代入y=k x +14 得y=k y 2+14 ,整理得ky 2-y+k 4=0,直线y=k x+14与曲线y=x恰有两个不同的交点,等价为ky2-y+k4=0有两个不同的非负根,即Δ=1-k2>0,且12k>0,k>0,解得0<k<1,∴A={k|0<k<1}.P1(x1,y1)关于直线y=x+1的对称点为P(y1-1,x1+1),P是椭圆x 216+y29=1上一动点,∴-4≤y1-1≤4,即-1≤y1-14≤1.设b=y1-14,则-1≤b≤1,∴B={b|-1≤b≤1}.若随机从集合A,B中分别取出一个元素λ1,λ2,则λ1>λ2等价为0<λ1<1, -1≤λ2≤1,λ1>λ2,其可行域如图阴影部分所示,则λ1>λ2的概率是34.【答案】34三、解答题16.(2017湖南长沙二模)专家研究表明,PM2.5是霾的主要成分,在研究PM2.5形成原因时,某研究人员研究了PM2.5与燃烧排放的CO 2、NO 2、CO 、O 2等物质的相关关系.下图是某地某月PM2.5与CO 和O 2相关性的散点图.(1)根据上面散点图,请你就CO ,O 2对PM2.5的影响关系做出初步评价.(2)根据有关规定,当CO 排放量低于100 μg/m 3时CO 排放量达标,反之为CO 排放量超标;当PM2.5值大于200 μg/m 3时雾霾严重,反之雾霾不严重.根据PM2.5与CO 相关性的散点图填写下面2×2列联表,并判断有多大的把握认为“雾霾是否严重与CO 排放量有关”:(3)我们知道雾霾对交通影响较大.某市交通部门发现,在一个月内,当CO 排放量分别是60,120,180时,某路口的交通流量(单位:万辆)依次是800,600,200,而在一个月内,CO 排放量是60,120,180的概率依次是p ,q 2,q 12<p <1 ,求该路口一个月的交通流量期望值的取值范围. 附:K 2=n (ad -bc )2.【解析】(1)根据散点图知,CO 对PM2.5有正相关关系,而O 2对PM2.5没有相关关系.(2)列联表如下:由表中数据可知k=30×(13×10-2×5)2=80≈8.889>6.635,故有99 的把握认为“雾霾是否严重与CO 排放量有关”. (3)设交通流量为X ,则可得如下分布列:因为 p +q2+q =1,12<p <1,所以EX=800×p+600×12q+200×q=14003p+10003∈ 17003,800 , 即该路口一个月的交通流量期望值在17003万辆到800万辆之间.17.(2017辽宁大连联考)已知直角梯形ABCD 中,AD ⊥DC ,AD ⊥AB ,△CDE 是边长为2的等边三角形,AB=5.沿CE 将△BCE 折起,使B 至B'处,且B'C ⊥DE ,再将△ADE 沿DE 折起,使A 至A'处,且平面A'DE ⊥平面CDE ,△B'CE 和△A'DE 在平面CDE 的同侧.(1)求证:B'C ⊥平面CDE ;(2)求平面B'A'D 与平面CDE 所成的锐二面角的余弦值.【解析】(1)在直角梯形ABCD 中,由△CDE 是边长为2的等边三角形,AB=5,得AD= 3,BC=2 3,CE=2,BE=4, 所以BC 2+CE 2=(2 3)2+22=16=BE 2.即B'C ⊥CE ,又B'C ⊥DE ,DE ∩CE=E ,所以B'C ⊥平面CDE.(2)如图,以C 为原点,CE ,CB'所在直线为y 轴, 轴,建立空间直角坐标系, 则C (0,0,0),B'(0,0,2 3),D ( 3,1,0),E (0,2,0).作A'H ⊥DE ,因为平面A'DE ⊥平面CDE ,所以A'H ⊥平面CDE ,且A'H= 32.在平面图形中,可求得H34,74,0 ,所以A'34,74, 32.易知平面CDE 的一个法向量n 1=(0,0,1).设平面B'A'D 的法向量为n 2=(x ,y , ),且B 'D =( 3,1,-2 3),B 'A ' = 34,74,-3 32.由 n 2·B 'D =0,n 2·B 'A ' =0,得 3x +y-2 3 =0, 34x +74y-3 32 =0, 取y=2,得x=4 3, = 3,所以n 2=4 3,2, 3 . 所以cos <n 1,n 2>=n 1·n 2|n 1 n 2|=31× 4 33 2+22+( 3)2=3 3737. 所以平面B'A'D 与平面CDE 所成的锐二面角的余弦值为3 37. 18.(2017贵阳八校联考)已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的一个焦点与抛物线C 2:y 2=2px (p>0)的焦点F 重合,且点F 到直线x-y+1=0的距离为 2,C 1与C 2的公共弦长为2 . (1)求椭圆C 1的方程及点F 的坐标;(2)过点F 的直线l 与C 1交于A ,B 两点,与C 2交于C ,D 两点,求1|AB |+1|CD |的取值范围. 【解析】(1)由抛物线C 2:y 2=2px (p>0)的焦点为F p 2,0 ,得c=p 2.由点F到直线x-y+1=0的距离为2,得d=2=2,即c=1,p=2,即F(1,0),所以y2=4x.设C1与C2的公共弦端点为(m,n),(m,-n)(m,n>0),则2n=26,可得n=6,m=32,将点32,6代入椭圆C1的方程,可得94a2+6b2=1,且a2-b2=1,解得a=3,b=22,即椭圆C1的方程为x29+y28=1.(2)设过点F的直线l的方程为x=my+1,代入抛物线C2的方程y2=4x,可得y2-4my-4=0,由弦长公式可得|CD|=1+m22+16=4(1+m2),将直线l的方程x=my+1代入椭圆C1的方程,可得(8m2+9)y2+16my-64=0,由弦长公式可得|AB|=1+m2·-16m8m2+92+2568m2+9=48(1+m2)8m2+9,可得1|AB|+1|CD|=14(1+m2)+8m2+948(1+m2)=16+1348(1+m2).由1+m2≥1,得0<132≤13,即有1|AB|+1|CD|的取值范围为16,716.19.(2017陕西榆林一模)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1:x=a+a cosφ,y=a sinφ(φ为参数,a>0),曲线C2:x=b cosφ,y=b+b sinφ(φ为参数,b>0).在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线l:θ=α ρ≥0,0≤α≤π2与C1交于O、A两点,与C2交于O、B两点.当α=0时,|OA|=1;当α=π2时,|OB|=2.(1)求a,b的值;(2)求2|OA|2+|OA|·|OB|的最大值.【解析】(1)由曲线C1:x=a+a cosφ,y=a sinφ(φ为参数,a>0),化为普通方程为(x-a)2+y2=a2,其极坐标方程为ρ2=2aρcos θ,即ρ=2a cos θ,由题意可得当θ=0时,|OA|=ρ=1,∴a=12.曲线C2:x=b cosφ,y=b+b sinφ(φ为参数,b>0),化为普通方程为x2+(y-b)2=b2,其极坐标方程为ρ=2b sin θ,由题意可得当θ=π2时,|OB|=ρ=2,∴b=1.(2)由(1)可得C1,C2的方程分别为ρ=cos θ,ρ=2sin θ.∴2|OA|2+|OA|·|OB|=2cos2θ+2sin θcos θ=sin 2θ+cos 2θ+1=2sin2θ+π4+1,∵2θ+π4∈π4,5π4,∴2sin(2θ+π4)+1的最大值为2+1,当2θ+π4=π2,即θ=π8时取到最大值.20.(2017四川师大附中高考二模)已知函数f(x)=|x+5|-|x-1|(x∈R).(1)求不等式f(x)≤x的解集;(2)记函数f(x)的最大值为k,若lg a+lg(2b)=lg(a+4b+k),试求ab的最小值.【解析】(1)当x≤-5时,f(x)=-(x+5)+(x-1)≤x⇒-6≤x≤-5.当-5<x<1时,f(x)=(x+5)+(x-1)≤x⇒-5<x≤-4,当x≥1时,f(x)=(x+5)-(x-1)≤x⇒x≥6,综上,不等式的解集为{x|-6≤x≤-4或x≥6}.(2)由f(x)=|x+5|-|x-1|≤|x+5-x+1|=6,得k=6,由lg a+lg(2b)=lg(a+4b+k),得2ab=a+4b+6,得2ab≥4ab+6,故ab-2ab-3≥0,即(ab-3)(ab+1)≥0,解得ab≥3,故ab≥9.所以ab的最小值为9.。

2019届人教A版(理科数学) 立体几何、解析几何单元测试

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________分卷I一、选择题(共12小题,每小题4.0分,共48分)1.一座楼房由若干个房间组成，该楼的三视图如图所示．则该楼中最高一层的那个房间在大楼的位置是()A．右前上方B．左前上方C．右后上方D．左后上方2.直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为()A． 1B． 2C． 3D． 43.在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论中不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC4.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．πa2B．πa2C．πa2D．5πa25.方程Ax＋By＋C＝0表示倾斜角为钝角的直线，则必有()A．AB＞0B．AB＜0C．BC＞0D．BC＜06.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是()A．12πB．24πC．32πD．48π7.针对柱、锥、台、球，给出下列命题①如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体；②如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体；③如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体；④如果一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台．其中正确的是()A．①②B．③C．③④D．①③8.垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是() A．x＋y－＝0B．x＋y＋1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋y＋＝09.已知直线的点斜式方程是y－2＝3(x＋1)，那么此直线的斜率为()A．B．C． 2D． 310.已知球的体积与其表面积的数值相等，则此球的半径为()A． 4B． 3C． 2D． 111.空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有()A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBC12.已知点A(1,2)，B(2,1)，则线段AB的垂直平分线的方程是()A．x＋y－3＝0B．x－y＋1＝0C．x－y＝0D．x＋y＝0分卷II二、填空题(共4小题,每小题4.0分,共16分)13.经过两直线11x＋3y－7＝0和12x＋y－19＝0的交点，且与A(3，－2)，B(－1,6)等距离的直线的方程是________．14.已知两圆C1：x2＋y2＋4x－2ny＋n2－5＝0，C2：x2＋y2－2nx＋2y＋n2－3＝0，则C1与C2外离时n的取值范围是________，C1与C2内含时n的取值范围是________．15.如果实数x，y满足(x－2)2＋y2＝4，那么(x－6)2＋(y－3)2的最大值为____________．16.直线y＝3x－2在y轴上的截距为________．三、解答题(共6小题,每小题9.0分,最后一题11分，共56分)17.已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，求k的取值范围．18.写出下列各圆的标准方程：(1)圆心在原点，半径是3；(2)圆心在点C(3,4)，半径是；(3)圆心在点C(1,3)，并且和直线3x－4y－7＝0相切．19.设圆C1的方程为(x＋2)2＋(y－3m－2)2＝4m2，直线l的方程为y＝x＋m＋2.(1)求C1关于l的对称的圆C2的方程；(2)当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．20.画出如图所示几何体的三视图.21.如图所示，在四棱锥V－ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，侧面三角形VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.求面VAD与面VDB所成的二面角的平面角的正切值．22.若直线y＝kx＋2与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1有两个不同的交点，求k的取值范围．答案解析1.【答案】C【解析】由该楼的正视图知该楼中最高一层的那个房间在大楼的右侧，由该楼的侧视图知该楼中最高一层的那个房间在大楼的后方，由该楼的俯视图知该楼中最高一层的那个房间在大楼的上方，∴该楼中最高一层的那个房间在大楼右后上方．故选C.2.【答案】D【解析】将圆化为标准方程得(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心坐标为(1,2)，半径为，圆心到直线的距离d＝＝1，则直线被圆截得的弦长为22＝4.3.【答案】C【解析】可画出对应图形，如图所示，则BC∥DF，又DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A成立；由AE⊥BC，PE⊥BC，BC∥DF，知DF⊥AE，DF⊥PE，∴DF⊥平面PAE，故B成立；又DF⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面PAE，故D成立．4.【答案】B【解析】由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知AP＝×a＝a，OP＝a，所以球的半径R＝OA满足R2＝2＋2＝a2，故S球＝4πR2＝πa2.5.【答案】A【解析】由于直线的倾斜角为钝角，则直线的斜率为负数，由直线的一般式方程Ax＋By＋C＝0，可得斜率k＝－<0，化简得AB>0，故选A.6.【答案】D【解析】由几何体的三视图可知，其直观图如图所示，将其补成一个正方体可发现该四棱锥外接球的球心为SB的中点，球的半径R＝SB＝＝2，∴S＝4π·(2)2＝48π.球故选D.7.【答案】B【解析】①不正确，因为球也是三视图完全相同的几何体；②不正确，因为一个横放在水平位置的圆柱，其正视图和俯视图都是矩形；③正确；④不正确，因为有些四棱台的正视图和侧视图也都是等腰梯形．故选B.8.【答案】A【解析】因为所求直线l(设斜率为k)垂直于直线y＝x＋1，所以k·1＝－1，所以k＝－1，设直线l 的方程为y＝－x＋b(b＞0)，即x＋y－b＝0，所以圆心到直线的距离为＝1，所以b＝.9.【答案】D【解析】直线的方程y－2＝3(x＋1)，由点斜式方程的特征可知斜率k＝3，故选D.10.【答案】B【解析】设球的半径为r，则球的体积为，球的表面积为4πr2.因为球的体积与其表面积的数值相等，所以＝4πr2，解得r＝3.故选B.11.【答案】D【解析】∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD⊂平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC.12.【答案】C【解析】设线段AB的垂直平分线为l，∵点A(1,2)，B(2,1)，∴AB的斜率k＝＝－1，AB的中点坐标为(，)，即(，)．∵直线l经过AB的中点与AB垂直，∴直线l的斜率k1＝＝1，可得l的方程为y－＝1×(x－)，化简得x－y＝0.即线段AB的垂直平分线的方程是x－y＝0.故选C.13.【答案】7x＋y－9＝0或2x＋y＋1＝0【解析】两直线11x＋3y－7＝0和12x＋y－19＝0的交点坐标是(2，－5)，AB的中点为(1,2)，所求方程是7x＋y－9＝0；AB的斜率是－2，所以所求方程是2x＋y＋1＝0.故所求直线方程是7x＋y－9＝0或2x＋y＋1＝0.14.【答案】(－∞，－5)∪(2，＋∞)(－2，－1)【解析】圆心分别是C1(－2，n)，C2(n，－1)，半径分别是r1＝3，r2＝2，C1C2＝＝.外离时，5，即n2＋3n－10＞0，解得n＜－5或n＞2；内含时，1，即n2＋3n＋2＜0，解得－2＜n＜－1.15.【答案】49【解析】圆(x－2)2＋y2＝4的圆心为，半径为2，点与点的距离d＝5，所以圆上的点到的最大距离为5＋2＝7，所以(x－6)2＋(y－3)2的最大值为49.16.【答案】－2【解析】∵直线y＝3x－2中，常数项b＝－2，∴直线y＝3x－2在y轴上的截距为－2.17.【答案】由题意知，需满足它在y轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则得k≥，所以，k的取值范围是.【解析】18.【答案】(1)由于圆心在原点，半径是3，所以圆的标准方程为(x－0)2＋(y－0)2＝32，即x2＋y2＝9.(2)由于圆心在点C(3,4)，半径是，所以圆的标准方程是(x－3)2＋(y－4)2＝()2，即(x－3)2＋(y－4)2＝5.(3)设圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝r2，由圆心到直线的距离等于圆的半径，所以r＝＝.因此所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝.【解析】19.【答案】(1)圆C1的圆心为C1(－2,3m＋2)，设C1关于直线l的对称点为C2(a，b)，则解得∴圆C2的方程为(x－2m)2＋(y－m)2＝4m2.(2)由消去m得a－2b＝0，即圆C2的圆心在定直线x－2y＝0上．设直线y＝kx＋b与圆系中的所有圆都相切，则＝2|m|，即(－4k－3)m2＋2(2k－1)bm＋b2＝0.∵直线y＝kx＋b与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m值都成立，所以有解得所以C2所表示的一系列圆的公切线方程为y＝－x.【解析】20.【答案】图(1)为正六棱柱，可按棱柱的三视图画法画出；图(2)为一个圆锥与一个圆台的组合体，按圆锥、圆台的三视图法画出它们的组合形状.三视图如图所示.【解析】21.【答案】∵底面四边形ABCD是正方形，∴AB⊥AD.又∵平面VAD⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，且平面VAD∩平面ABCD＝AD，∴AB⊥平面VAD.如图所示，取VD的中点E，连接AE，BE.∵△VAD是正三角形，∴AE⊥VD，AE＝AD.∵AB⊥平面VAD，∴AB⊥VD.又∵AE∩AB＝A，∴VD⊥平面ABE.∴BE⊥VD.因此∠AEB就是所求二面角的平面角，于是tan∠AEB＝.【解析】22.【答案】由直线y＝kx＋2与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1有两个不同的交点可得直线与圆相交，故圆心到直线的距离小于圆的半径，即＜1，解得k∈(0，)．【解析】。

2019届人教A版(理科数学) 集合单元测试

2019届人教A版（理科数学）集合单元测试1． (理)(2018·南昌市一模)已知全集U＝R，集合A＝{x|y＝lg x}，集合B＝{y|y＝x＋1}，那么A∩(∁U B)＝( )A．∅B．(0,1]C．(0,1) D．(1，＋∞)解析：C [由题意知，集合A＝{x|y＝lg x}＝{x|x＞0}＝(0，＋∞)，B＝(y|y＝x＋1)＝{y|y≥1}＝[1，＋∞)，所以∁U B＝(－∞，1)，所以A∩(∁U B)＝(0,1)．故选C.]1． (文)(2018·南昌市一模)已知全集U＝R，集合A＝{x|x＞2}，B＝{1,2,3,4}，那么(∁U A)∩B＝( )A．{3,4} B．{1,2,3}C．{1,2} D．{1,2,3,4}解析：C [因为全集U＝R，集合A＝{x|x＞2}，所以∁U A＝{x|x≤2}，又B＝{1,2,3,4}，所以(∁U A)∩B＝{1,2}．故选C.]2． (理)(2018·肇庆市模拟)已知集合A＝{x|lg x>0}，B＝{x|x≤1}，则( ) A．A∩B≠∅B．A∪B＝RC．B⊆A D．A⊆B解析：B [由B＝{x|x≤1}，且A＝{x|lg x>0}＝(1，＋∞)，∴A∪B＝R.]2． (文)(2018·石家庄市模拟)设集合M＝{－1,1}，N＝{x|x2－x<6}，则下列结论正确的是( )A．N⊆M B．N∩M＝∅C．M⊆N D．M∩N＝R解析：C [N＝{x|x2－x<6}＝{x|－2<x<3}．，选C.]3．(2018·张家口市模拟)如图，I为全集，M、P、S是I的三个子集，则阴影部分所表示的集合是( )A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪SC．(M∩P)∩∁I S D．(M∩P)∪∁I S解析：C [图中的阴影部分是M∩P的子集，不属于集合S，属于集合S的补集，即是∁I S 的子集，则阴影部分所表示的集合是(M ∩P )∩∁I S .故选C.]4． (文 )(2018·怀化市二模)已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝{(x ，y )|y ＝x 2}，则A ∩B 为( )A ．(0,1)B ．{0,1}C ．{(0,1)}D ．{(0,0)，(1,1)}解析：D [联立A 与B 中的方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x y ＝x2，消去y 得x ＝x 2，解得x ＝0或x ＝1.把x ＝0代入得y ＝0；把x ＝1代入得y ＝1，∴方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1，所以A ∩B ＝{(0,0)，(1,1)}．故选D.]4． (理 )已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．[1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：C [因为P ∪M ＝P ，所以M ⊆P ，即a ∈P ，得a 2≤1，解得－1≤a ≤1，所以a 的取值范围是[－1,1]．]5．已知A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax －2＝0}，若A ∩B ＝B ，则实数a 的值为( ) A ．0或1或2 B ．1或2 C ．0D ．0或1解析：A [由题意A ＝{1,2}，当B ≠∅时，∵B ⊆A ，∴B ＝{1}或{2}．当B ＝{1}时，a ·1－2＝0，解得a ＝2；当B ＝{2}时，a ·2－2＝0，解得a ＝1.当B ＝∅时，a ＝0.故a 的值为0或1或2.]6．已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈ }，则A ∩B ＝ .解析：A 、B 都表示点集，A ∩B 即是由A 中在直线x ＋y －1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．答案：{(0,1)，(－1,2)}7．已知集合A ＝{x |4≤2x≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是 .解析：集合A ＝{x |4≤2x ≤16}＝{x |22≤2x ≤24}＝{x |2≤x ≤4}＝[2,4]，因为A ⊆B ，所以a ≤2，b ≥4，所以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]8．对于集合M 、N ，定义M －N ＝{x |x ∈M 且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )．设A ＝{y |y ＝3x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－(x －1)2＋2，x ∈R }，则A ⊕B ＝ .解析：由题意得A ＝{y |y ＝3x，x ∈R }＝{y |y >0}，B ＝{y |y ＝－(x －1)2＋2，x ∈R }＝{y |y ≤2}，故A －B ＝{y |y >2}，B －A ＝{y |y ≤0}，所以A ⊕B ＝{y |y ≤0，或y >2}．答案：(－∞，0]∪(2，＋∞)9．已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a 的值． (1)9∈(A ∩B )； (2){9}＝A ∩B .解：(1)∵9∈(A ∩B )，∴9∈A 且9∈B . ∴2a －1＝9或a 2＝9. ∴a ＝5或a ＝－3或a ＝3. 经检验a ＝5或a ＝－3符合题意． ∴a ＝5或a ＝－3.(2)∵{9}＝A ∩B ，∴9∈A 且9∈B ，由(1)知a ＝5或a ＝－3.当a ＝－3时，A ＝{－4，－7,9}，B ＝{－8,4,9}，此时A ∩B ＝{9}；当a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4,9}，此时A ∩B ＝{－4,9}，不合题意． ∴a ＝－3.10．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }． (1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解：由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}． (1)∵A ∩B ＝[0,3]， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3，∴m ＝2.(2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}， ∵A ⊆∁R B ，∴m －2>3或m ＋2<－1，即m >5或m <－3.因此实数m 的取值范围是{m |m >5或m <－3}．[能力提升组]11． (理 )设集合U ＝R ，A ＝{x |x ＝3k ＋1，k ∈N}，B ＝{x |x ≤5，x ∈Q }(Q 为有理数集)，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{1,3,4,5}B ．{2,4,5}C ．{2,5}D ．{1,2,3,4,5}解析：B [∵集合A ＝{x |x ＝3k ＋1，k ∈N}，∴A ＝{2，7，10，13，4，19，22，5，…}，∵B ＝{x |x ≤5，x ∈Q }，题中Venn 图阴影部分表示A 、B 两集合的交集，∴A ∩B ＝{2,4,5}，∴图中阴影部分表示的集合为{2,4,5}．故选B.]11． (文 )集合U ＝R ，A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x <2}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |x ≤1}解析：B [易知A ＝(－1,2)，B ＝(－∞，1)，∴∁U B ＝[1，＋∞)，A ∩(∁U B )＝[1,2)．因此阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )＝{x |1≤x <2}．]12．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P Q ＝{ | ＝a ÷b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{－1,0,1}，Q ＝{－2,2}，则集合P Q 中元素的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：B [当a ＝0时，无论b 取何值，＝a ÷b ＝0；当a ＝－1，b ＝－2时，＝(－1)÷(－2)＝12；当a ＝－1，b ＝2时，＝(－1)÷2＝－12；当a ＝1，b ＝－2时，＝1÷(－2)＝－12；当a ＝1，b ＝2时，＝1÷2＝12.故P Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，－12，该集合中共有3个元素．]13．已知集合A ＝{x ∈R x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＋n ＝ .解析：A ＝{x ∈R x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}，由A ∩B ＝(－1，n )可知m <1，则B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.所以m ＋n ＝0. 答案：014．已知集合A ＝{x |1＜x ＜3}，集合B ＝{x |2m ＜x ＜1－m }． (1)当m ＝－1时，求A ∪B ； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}，则A ∪B ＝{x |－2<x <3}． (2)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＞2m ，2m ≤1，1－m ≥3，解得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]． (3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；②若2m ＜1－m ，即m ＜13时，需⎩⎪⎨⎪⎧m ＜13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜13，2m ≥3，得0≤m ＜13或∅，即0≤m ＜13.综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．。

2019届高考数学人教A版一轮复习单元质检九含解析精品

单元质检九解析几何(时间:100分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2017浙江,2)椭圆=1的离心率是()A. B. C. D.2.到直线3x-4y+1=0的距离为3,且与此直线平行的直线方程是()A.3x-4y+4=0B.3x-4y+4=0或3x-4y-2=0C.3x-4y+16=0D.3x-4y+16=0或3x-4y-14=03.与圆x2+(y-2)2=1相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有()A.2条B.3条C.4条D.6条4.抛物线y2=8x的焦点到双曲线=1的渐近线的距离为()A.1B.C. D.5.已知椭圆=1(a>b>0)与双曲线=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率是()A.B.C.D.6.过点A(0,3),被圆(x-1)2+y2=4截得的弦长为2的直线方程是()A.y=-x+3B.x=0或y=-x+3C.x=0或y=x+3D.x=07.若直线x-y+2=0与圆C:(x-3)2+(y-3)2=4相交于A,B,则的值为()A.-1B.0C.1D.108.将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则()A.对任意的a,b,e1>e2B.当a>b时,e1>e2;当a<b时,e1<e2C.对任意的a,b,e1<e2D.当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e29.设双曲线=1的两条渐近线与直线x=分别交于A,B两点,F为该双曲线的右焦点.若60°<∠AFB<90°,则该双曲线的离心率的取值范围是()A.(1,)B.(,2)C.(1,2)D.(,+∞)10.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线-y2=1的左顶点为A,若双曲线一条渐近线与直线AM平行,则实数a=()A. B. C.3 D.911.已知抛物线y2=2px(p>0)与双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于两点A,B(A,B异于原点),抛物线的焦点为F.若双曲线的离心率为2,|AF|=7,则p=()A.3B.6C.12D.4212.已知椭圆E:=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B 两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是() A. B.C. D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2017北京,文12)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则的最大值为.14.(2017山东,文15)在平面直角坐标系xOy中,双曲线=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.15.(2017天津,文12)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A,若∠F AC=120°,则圆的方程为.16.若关于x,y的方程=1所表示的曲线C,给出下列四个命题:①若C为椭圆,则1<t<4;②若C为双曲线,则t>4或t<1;③曲线C不可能是圆;④若C表示椭圆,且长轴在x轴上,则1<t<.其中正确的命题是.(把所有正确命题的序号都填在横线上)三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.18.(12分)已知圆心在x轴上的圆C过点(0,0)和(-1,1),圆D的方程为(x-4)2+y2=4.(1)求圆C的方程;(2)由圆D上的动点P向圆C作两条切线分别交y轴于A,B两点,求|AB|的取值范围.19.(12分)已知A,B是抛物线W:y=x2上的两个点,点A的坐标为(1,1),直线AB的斜率为k(k>0).设抛物线W的焦点在直线AB的下方.(1)求k的取值范围;(2)设C为W上一点,且AB⊥AC,过B,C两点分别作W的切线,记两切线的交点为D,判断四边形ABDC是否为梯形,并说明理由.20.(12分)已知椭圆C1:=1(a>b>0)与椭圆C2:+y2=1有相同的离心率,经过椭圆C2的左顶点作直线l,与椭圆C2相交于P,Q两点,与椭圆C1相交于A,B两点.(1)若直线y=-x经过线段PQ的中点M,求直线l的方程:(2)若存在直线l,使得,求b的取值范围.21.(12分)已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0).(1)若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2,求双曲线的方程;(2)以原点O为圆心,c为半径作圆,该圆与双曲线在第一象限的交点为A,过A作圆的切线,斜率为-,求双曲线的离心率.22.(12分)(2017天津,文20)已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),△EF A的面积为.(1)求椭圆的离心率;(2)设点Q在线段AE上,|FQ|=c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PM∥QN,且直线PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.①求直线FP的斜率;②求椭圆的方程.答案：1.B解析:e=,故选B.2.D解析:设所求直线方程为3x-4y+m=0,由=3,解得m=16或m=-14.即所求直线方程为3x-4y+16=0或3x-4y-14=0.3.C解析:过原点与圆x2+(y-2)2=1相切的直线有2条;斜率为-1且与圆x2+(y-2)2=1相切的直线也有2条,且此两条切线不过原点,由此可得与圆x2+(y-2)2=1相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有4条.4.A解析:抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),其到双曲线=1的渐近线x±y=0的距离d==1.5.D解析:由题意可知2n2=2m2+c2,又m2+n2=c2,所以m=.因为c是a,m的等比中项,所以c2=am,代入m=,解得e=.6.B解析:当弦所在的直线斜率不存在时,即弦所在直线方程为x=0;此时被圆(x-1)2+y2=4截得的弦长为2.当弦所在的直线斜率存在时,设弦所在直线l的方程为y=kx+3,即kx-y+3=0.因为弦长为2,圆的半径为2,所以弦心距为=1.由点到直线距离公式得=1,解得k=-.综上所述,所求直线方程为x=0或y=-x+3.7.B解析:依题意,圆心C(3,3)到直线x-y+2=0的距离为,从而易得cos∠ACB=,即∠ACB=45°,所以∠ACB=90°,所以=0,故选B.8.D解析:由条件知=1+=1+,当a>b时,,则,所以e1<e2.当a<b时,,则,所以e1>e2.所以,当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e2.9.B解析:双曲线=1的两条渐近线方程为y=±x,当x=时,y=±,所以不妨令A,B.因为60°<∠AFB<90°,所以<k FB<1,即<1,即<1.所以<1,即1<e2-1<3,故<e<2.10.A解析:由题意可知,抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-4,则p=8,所以点M(1,4).因为双曲线-y2=1的左顶点为A(-,0),所以直线AM的斜率为.由题意得,解得a=.11.B解析:因为双曲线的离心率为2,所以e2==4,即b2=3a2,所以双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=±x,代入y2=2px(p>0),得x=p或x=0,故x A=x B=p.又因为|AF|=x A+p+=7,所以p=6.12.A解析:如图,取椭圆的左焦点F1,连接AF1,BF1.由椭圆的对称性知四边形AF1BF是平行四边形,则|AF|+|BF|=|AF1|+|AF|=2a=4.故a=2.不妨设M(0,b),则,即b≥1.所以e=.因为0<e<1,所以0<e≤.故选A.13.6解析:(方法一)设P(cos α,sin α),α∈R,则=(2,0),=(cos α+2,sin α),=2cos α+4.当α=2kπ,k∈Z时,2cos α+4取得最大值,最大值为6.故的最大值为6.(方法二)设P(x,y),x2+y2=1,-1≤x≤1,=(2,0),=(x+2,y),=2x+4,故的最大值为6.14.y=±x解析:抛物线x2=2py的焦点F,准线方程为y=-.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|+|BF|=y1++y2+=y1+y2+p=4|OF|=4·=2p.所以y1+y2=p.联立双曲线与抛物线方程得消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0.所以y1+y2==p,所以.所以该双曲线的渐近线方程为y=±x.15.(x+1)2+(y-)2=1解析:∵抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,由题意可设圆C的方程为(x+1)2+(y-b)2=1(b>0),则C(-1,b),A(0,b).∵∠F AC=120°,∴k AF=tan 120°=-,直线AF的方程为y=-x+.∵点A在直线AF上,∴b=.则圆的方程为(x+1)2+(y-)2=1.16.②解析:若C为椭圆,则有4-t>0,t-1>0,且4-t≠t-1,解得1<t<4,且t≠,所以①不正确;若C为双曲线,则有(4-t)(t-1)<0,解得t>4或t<1,所以②正确;若t=时,该曲线表示圆,所以③不正确;若C表示椭圆,且长轴在x轴上,则4-t>t-1>0,解得1<t<,所以④错误.17.解:(1)由得圆心C(3,2).又因为圆C的半径为1,所以圆C的方程为(x-3)2+(y-2)2=1.显然切线的斜率一定存在,设所求圆C的切线方程为y=kx+3,即kx-y+3=0,则=1,所以|3k+1|=,即2k(4k+3)=0.所以k=0或k=-.所以所求圆C的切线方程为y=3或y=-x+3,即y=3或3x+4y-12=0.(2)由圆C的圆心在直线l:y=2x-4上,可设圆心C为(a,2a-4),则圆C的方程为(x-a)2+[y-(2a-4)]2=1.又因为|MA|=2|MO|,所以设M(x,y),则=2,整理得x2+(y+1)2=4.设方程x2+(y+1)2=4表示的是圆D,所以点M既在圆C上又在圆D上,即圆C和圆D有交点,所以2-1≤≤2+1,解得a的取值范围为.18.解:(1)过两点(0,0)和(-1,1)的直线的斜率为-1,则线段AB的垂直平分线方程为y-=1×,整理得y=x+1.取y=0,得x=-1.所以圆C的圆心坐标为(-1,0),半径为1,所以圆C的方程为(x+1)2+y2=1.(2)设P(x0,y0),A(0,a),B(0,b),则直线P A方程为,整理得(y0-a)x-x0y+ax0=0.因为直线P A与圆C相切,可得=1,化简得(x0+2)a2-2y0a-x0=0.同理可得PB方程(x0+2)b2-2y0b-x0=0,所以a,b为方程(x0+2)x2-2y0x-x0=0的两根,所以|AB|=|a-b|===2,令t=x0+2∈[4,8],则|AB|=2,求得|AB|min=,|AB|max=.|AB|的取值范围是.19.解:(1)抛物线y=x2的焦点为.由题意,得直线AB的方程为y-1=k(x-1),令x=0,得y=1-k,即直线AB与y轴相交于点(0,1-k).因为抛物线W的焦点在直线AB的下方,所以1-k>,解得k<.因为k>0,所以0<k<.即k的取值范围是.(2)结论:四边形ABDC不可能为梯形.理由如下:假设四边形ABDC为梯形.由题意,设B(x1,),C(x2,),D(x3,y3),联立方程消去y,得x2-kx+k-1=0,由根与系数的关系,得1+x1=k,所以x1=k-1.同理,得x2=--1.对函数y=x2求导,得y'=2x,所以抛物线y=x2在点B处的切线BD的斜率为2x1=2k-2,抛物线y=x2在点C处的切线CD的斜率为2x2=--2.由四边形ABDC为梯形,得AB∥CD或AC∥BD.若AB∥CD,则k=--2,即k2+2k+2=0,因为方程k2+2k+2=0无解,所以AB与CD不平行.若AC∥BD,则-=2k-2,即2k2-2k+1=0,因为方程2k2-2k+1=0无解,所以AC与BD不平行.所以四边形ABDC不是梯形,与假设矛盾.因此四边形ABDC不可能为梯形.20.解:(1)设P(-2,0),Q(x,y),则线段PQ的中点M为,则=0,即x+y=2.联立解得所以直线l的方程为y=0或y-0=(x+2),化为x-4y+2=0.(2)由题意,得椭圆C2:+y2=1的离心率e=.设2c是椭圆C1:=1(a>b>0)的焦距,则.由a2=b2+c2,可得a=2b,c=b,椭圆C1的方程可化为x2+4y2=4b2.设直线l的方程为y=k(x+2),P(x3,y3),Q(x4,y4),A(x1,y1),B(x2,y2).联立消去y,得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0,所以x3+x4=,x3x4=,|PQ|=.联立消去y得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4b2=0,所以x1+x2=,x1x2=,|AB|==.因为,所以||=3||,即3×.所以b2=1+∈(1,9],即b∈(1,3].所以b的取值范围是(1,3].21.解:(1)双曲线=1的渐近线方程为y=±x,由双曲线的一条渐近线方程为y=x,可得=1,解得a=b.因为c==2,所以a=b=.由此可得双曲线方程为=1.(2)设A的坐标为(m,n),可得直线AO的斜率满足k=,即m=n.①因为以点O为圆心,c为半径的圆的方程为x2+y2=c2,所以将①代入圆的方程,得3n2+n2=c2,解得n=c,m=c.将点A代入双曲线方程,得=1,化简得c2b2-c2a2=a2b2.又因为c2=a2+b2,所以上式化简整理得c4-2c2a2+a4=0.两边都除以a4,整理得3e4-8e2+4=0,解得e2=或e2=2.因为双曲线的离心率e>1,所以该双曲线的离心率e=(负值舍去).22.解:(1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得(c+a)c=.又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.又因为0<e<1,解得e=.所以,椭圆的离心率为.(2)①依题意,设直线FP的方程为x=my-c(m>0),则直线FP的斜率为.由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为=1,即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,可解得x=,y=,即点Q的坐标为.由已知|FQ|=c,有,整理得3m2-4m=0,所以m=,即直线FP的斜率为.②由a=2c,可得b=c,故椭圆方程可以表示为=1.由①得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立消去y,整理得7x2+6cx-13c2=0,解得x=-(舍去)或x=c.因此可得点P,进而可得|FP|=,所以|PQ|=|FP|-|FQ|==c.由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP.因为QN⊥FP,所以|QN|=|FQ|·tan∠QFN=,所以△FQN的面积为|FQ||QN|=,同理△FPM的面积等于,由四边形PQNM的面积为3c,得=3c,整理得c2=2c,又由c>0,得c=2.所以,椭圆的方程为=1.。

高中数学人教a版(2019)必修第二册《立体几何初步》测试卷

人教A 版（2019）必修第二册《第八章立体几何初步》2022年最热同步卷一．选择题（共15小题）1．如图，在四面体A B C D ，2A BC D ==，2A CB D ==，B CA D ==E ，F 分别是A D ，B C中点．若用一个与直线E F 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为( )A B 2C ．3D ．322．下列说法正确的是( )A ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B ．一个直角三角形绕其一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥C ．棱锥的所有侧面都是三角形D ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台3．已知直角三角形的两直角边分别为1则该几何体的体积为( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．π4．如图，某粮仓（粮仓的底部位于地面上）是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆锥高的2倍，且圆锥的母线长是4，侧面积是4π，则制作这样一个粮仓的用料面积为()A ．(4)π+ B ．(4)π+ C ．(4)πD ．(4)π+5．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45︒的等腰梯形，已知直观图O A B C '''的面积为4，则该平面图形的面积为()A B ．C ．D ．6．如图所示是水平放置的三角形的直观图，点D 是B C 的中点，且2A BB C ==，A B ，B C分别与y '轴、x '轴平行，则A C D ∆在原图中的对应三角形的面积为()A ．2B ．1C ．2D ．87．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中2B C A B ==，则原平面图形的面积为()A 2B ．C ．1D ．8．用斜二测画法画水平放置的边长为2的正方形所得的直观图的面积是( )A 2B C ．D ．9．已知正四棱锥PA B C D-的高为，且2A B=，则正四棱锥P A B C D-的侧面积为()A ．B ．4C ．D ．10．已知圆锥的母线长为5，高为4，则这个圆锥的表面积为( )A ．21πB ．24πC ．33πD ．39π11．已知一个球的半径为3．则该球内接正六棱锥的体积的最大值为( )A ．1B 2C ．1D 212．由华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥（底面是正方形，侧棱长都相等的四棱锥），四个侧面由673块玻璃拼组而成，塔高21米，底宽34米，则该金字塔的体积为()A ．38092mB ．34046mC ．324276mD ．312138m13．蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点A，B ，C ，D ，满足5A B C D ==，6B D AC ==，7A DB C ==，则该鞠的表面积为( )A ．55πB ．60πC ．63πD ．68π14．已知四棱锥SA B C D-的所有顶点都在半径为(R R 为常数）的一个球面上，底面A B C D是正方形且球心O 到平面A B C D 的距离为1，若此四棱锥体积的最大值为6，则球O 的体积等于( )A ．323πB ．8πC ．16πD ．163π15．如图：正三棱锥A B C D-中，30B A D ∠=︒，侧棱2A B=，B D 平行于过点C 的截面11C BD ，则截面11C B D 与正三棱锥AB C D-侧面交线的周长的最小值为()A ．2B ．C ．4D ．二．填空题（共10小题）16．若把圆心角为120︒，半径为6的扇形卷成圆锥，则该圆锥的底面半径是，侧面积是．17．如图为A B O ∆水平放置的直观图，其中2O D B D A D ''=''=''，且//B D y''轴由图判断原三角形中A B ，O B ，B D ，O D 由小到大的顺序是．18．某水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形，它是底角为45︒，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的周长为．19．已知正四面体SA B C-的棱长为16转动，则该长方体的长和宽形成的长方形的面积的最大值为． 20．如图，在四棱锥PA B C D-中，P A⊥平面A B C D ，底面A B C D 是直角梯形，//A BC D，A B A D⊥，2C DA DB ===，3P A =，若动点Q 在P A D∆内及边上运动，使得C QD B Q A∠=∠，则三棱锥QA B C-的体积最大值为．21．如图，在三棱锥P A B C-中，P A⊥平面A B C ，A CB C⊥，2A B=，A P=，则三棱锥PA B C-的外接球的体积为．22．如图，圆锥的底面直径2A B=，母线长3V A=，点C 在母线V B 上，且1V C=，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是．23．在棱长为4的正方体1111A B C DA B C D -中，E ，F 分别是B C 和11C D 的中点，经过点A ，E，F 的平面把正方体1111A B C DA B C D -截成两部分，则截面与11B C C B 的交线段长为． 24．棱长为2的正方体1111A B C DA B C D -中，异面直线1B D 与C D 所成的角的正切值是，点D 到平面1A C D 的距离为． 25．在三棱锥PA B C-中，P A⊥平面A B C ，45P B A∠=︒，60P B C∠=︒，则A B C ∠为．三．解答题（共5小题）26．如图所示，在边长为6的正三角形A B C 中，E ，F 依次是A B ，A C 的中点，A DB C⊥，E H B C⊥，F GB C⊥，D ，H ，G 为垂足，若将A B D ∆绕A D 旋转一周，求阴影部分形成的几何体的表面积．27．如图，已知P A⊥平面A B C D ，A B C D 为矩形，M 、N 分别为A B 、P C 的中点，P A A D=，2A B =，A D=．（1）求证：平面M P C ⊥平面P C D ；（2）求三棱锥BM N C-的高．28．已知长方体1111A B C D A B C D -，1A A =，22A BB C ==，E 为棱A B 的中点，F 为线段1D C 的中点．（1）求异面直线E F 与1A D 所成角的余弦值；（2）求直线1A D 与平面D E F 所成角的正弦值．29．已知A B C ∆，直线mA C⊥，mB C⊥，求证：mA B⊥．30．如图所示，正方形A B C D 与直角梯形A D E F 所在平面互相垂直，90A D E ∠=︒，//A F D E，22D E D A A F ===．（1）求证：A C ⊥平面B D E ；（2）求证：//A C平面B E F ；（3）若A C 与B D 相交于点O ，求四面体B O E F 的体积．人教A 版（2019）必修第二册《第八章立体几何初步》2022年最热同步卷参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．如图，在四面体A B C D ，2A BC D ==，2A CB D ==，B CA D ==E ，F 分别是A D ，B C中点．若用一个与直线E F 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为( )AB 2C ．3D ．32【分析】证明E FB C⊥，E FA D⊥，得出截面四边形与A D ，B C 都平行，从而截面为矩形，设Q 为截面与A C 的交点，A Q A Cλ=，用λ表示出截面的面积，根据二次函数性质求出最大值．【解答】解：连接A F ，D F ，2A B A C B D C D ====，F 是B C 的中点，B C A F∴⊥，B CD F⊥，又A FD F F=，B C ∴⊥平面A D F ，又E F⊂平面A D F ，A D ⊂平面A D F ，B C E F∴⊥，B CA D⊥，又B CA D ==2A F D F ∴==，F是A D 的中点，E F A D∴⊥，E F ⊥平面α，//B C α∴，//A D α，设α与棱锥的截面多边形为M N P Q ，则////B C P Q M N ，////A DM Q P N，又B CA D⊥，故P QM Q⊥，∴截面四边形M N P Q 是矩形，设(01)A Q A Cλλ=<<，则P Q B Cλ=，1M Q C Q A DA Cλ==-，P Q ∴=，)Q Mλ=-，∴截面矩形M N P Q 的面积为2136(1)6()22λλλ-=--+，∴当12λ=时，截面面积取得最大值32．故选：D ．【点评】本题考查了平面的性质，考查线面平行与垂直的性质，属于中档题． 2．下列说法正确的是()A ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B ．一个直角三角形绕其一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥C ．棱锥的所有侧面都是三角形D ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台【分析】举反例判断A ，B ，D 错误，根据棱锥侧棱交于一点判断C ．【解答】解：对于A ，棱台的上下底面互相平行，侧面都是四边形，但棱台不是棱柱，故A 错误；对于B ，当旋转轴为直角边时，所得几何体为圆锥，当旋转轴为斜边时，所得几何体为两个圆锥的组合体，故B 错误；对于C ，由于棱锥的所有侧棱都交于一点，故棱锥的侧面都是三角形，故C 正确；对于D ，当平面与棱锥的底面不平行时，截面与棱锥底面间的几何体不是棱台，故D 错误．故选：C ．【点评】本题考查了空间几何体的结构特征，属于基础题．3．已知直角三角形的两直角边分别为1则该几何体的体积为()A ．4πB ．3πC ．2πD ．π【分析】几何体的体积是由上下两个圆锥的体积组成的，它们的底面半径相同，都是直角三角形斜边上的高，利用圆锥体积公式，即可求得结论．【解答】解：如图，1A C =，BC =2A B=，斜边的高为：122⨯÷=，以A C 为母线的圆锥体积213()32A Oπ=，以B C 为母线的圆锥体积213()32B Oπ=，∴绕斜边旋转一周形成的几何体的体积等于213()322A B ππ=．故选：C ．【点评】本小题主要考查圆锥的体积公式以及几何旋转体的知识等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力，得到这个立体图形是由两个圆锥组成，以及圆锥体积公式求出是解决问题的关键．4．如图，某粮仓（粮仓的底部位于地面上）是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆锥高的2倍，且圆锥的母线长是4，侧面积是4π，则制作这样一个粮仓的用料面积为()A ．(4)π+ B ．(4)π+ C ．(4)πD ．(4)π+【分析】设圆锥的母线为l ，底面半径为r ，高为h ；根据题意列方程求出r 的值，再计算圆柱和圆锥的侧面积之和．【解答】解：设圆锥的母线为l ，底面半径为r ，高为h ；所以4r lππ=，解得1r =，h ==又圆柱的侧面积为22r hπ⋅=，所以制作这样一个粮仓的用料面积为(4)π+．故选：D ．【点评】本题考查了圆柱与圆锥的侧面积计算问题，也考查了空间想象能力，是基础题． 5．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45︒的等腰梯形，已知直观图O A B C '''的面积为4，则该平面图形的面积为()A B ．C ．D ．【分析】结合S =原图直观图，可得答案．【解答】解：由已知直观图O A B C '''的面积为4，∴原来图形的面积4S=⨯=，故选：C ．【点评】本题考查的知识点是斜二测画法，熟练掌握水平放置的图象S =原图观图，是解答的关键．6．如图所示是水平放置的三角形的直观图，点D 是B C 的中点，且2A BB C ==，A B ，B C分别与y '轴、x '轴平行，则A C D ∆在原图中的对应三角形的面积为()A 2B ．1C ．2D ．8【分析】求出直观图面积后，根据S S =原图直观图可得答案．【解答】解：三角形的直观图中点D 是B C 的中点，且2A B B C ==，A B ，B C 分别与y '轴、x '轴平行，122452A B C S s in ∴=⨯⨯⨯︒=直观图，又4S S ===原图直观图，A C D∴∆在原图中的对应三角形的面积为：122S =原图．故选：C ．【点评】本题考查的知识点是平面图形的直观图，其中熟练掌握原图面积与直观图面积关系公式S S =原图直观图是解答本题的关键．7．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中2B C A B ==，则原平面图形的面积为()A 2B ．C ．1D ．【分析】先确定直观图中的线段长，再确定平面图形中的线段长，从而求得平面图形的面积．【解答】解：直观图中，45A D C∠=︒，2A BB C ==，D CB C⊥，A D ∴=4D C=，∴原来的平面图形上底长为2，下底为4，高为∴该平面图形的面积为1(24)12+⨯=．故选：C ．【点评】本题考查了斜二测画法直观图与平面图形的面积计算问题，是基础题． 8．用斜二测画法画水平放置的边长为2的正方形所得的直观图的面积是( )A 2B C ．D ．【分析】根据斜二测画法所得的直观图是平面图形，原面积与直观图的面积比为1，由此求出直观图的面积．【解答】解：水平放置的正方形的面积与斜二测画法所得的直观图是一个四边形，两者面积之比为1，由边长为2的正方形的面积为4，所以这个四边形的直观图面积为4÷=．故选：B ．【点评】本题考查了斜二测画法中水平放置的平面图形与原图形面积比问题，是基础题．9．已知正四棱锥PA B C D-的高为，且2A B=，则正四棱锥PA B C D-的侧面积为()A ．B ．4C ．D ．【分析】利用勾股定理计算侧面三角形的高，再计算侧面积．【解答】解：设P 在底面A B C D 上的射影为O ，则O 为底面正方形A B C D 的中心，取C D 的中点E ，连接O E ，则112O EA B ==，P E ∴==，P C P D=，P E C D∴⊥，∴正四棱锥PA B C D-的侧面积为14422P C DS ∆=⨯⨯⨯=，故选：D ．【点评】本题考查棱锥的结构特征与侧面积计算，属于基础题． 10．已知圆锥的母线长为5，高为4，则这个圆锥的表面积为( )A ．21πB ．24πC ．33πD ．39π【分析】首先根据勾股定理求得底面半径，则可以得到底面周长，然后利用扇形的面积公式即可求解．【解答】解：圆锥的母线长为5，高为4，底面半径是：3，则底面周长是6π，则圆锥的侧面积是：165152ππ⨯⨯=，底面积为9π，则表面积为15924πππ+=．故选：B ．【点评】考查了圆锥的计算．正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 11．已知一个球的半径为3．则该球内接正六棱锥的体积的最大值为( )A ．1B 2C ．1D 2【分析】过P 作P M ⊥底面A B C D E F ，取O 为球心，设A B a=，P Mh=，求解直角三角形可得226a h h=-，求出正六棱锥的底面积，代入棱锥体积公式，再由基本不等式求最值．【解答】解：如图，过P 作P M⊥底面A B C D E F ，取O 为球心，设A Ba=，P Mh=，在R t D O M ∆中，222(3)3ha-+=，226a h h∴=-，(06)h <<，∴正六棱锥的体积为2116322Vh=⨯⨯⨯23122(6)(122)()12443h h hh h h h ++-=-=⋅-=…当且仅当122hh=-，即4h=时上式等号成立．故该球名为如果获得六棱锥的体积的最大值为1．故选：C ．【点评】本题考查球内接多面体体积最值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、训练利用基本不等式求最值等基础知识，是中档题．12．由华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥（底面是正方形，侧棱长都相等的四棱锥），四个侧面由673块玻璃拼组而成，塔高21米，底宽34米，则该金字塔的体积为()A ．38092mB ．34046mC ．324276mD ．312138m【分析】由题意可得正四棱锥的底面边长与高，代入棱锥体积公式求解．【解答】解：如图，四棱锥P A B C D-，P O⊥底面A B C D ，21P Om=，34A Bm=，则3134342180923P A B C DV m-=⨯⨯⨯=，故选：A ．【点评】本题考查棱锥体积的求法，是基础的计算题．13．蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点A，B ，C ，D ，满足5A B C D ==，6B D AC ==，7A DB C ==，则该鞠的表面积为( )A ．55πB ．60πC ．63πD ．68π【分析】扩展几何体为长方体，求解外接球的半径，然后求解该“鞠”的表面积．【解答】解：因为A BC D=，B DA C=，A DB C=，所以可以把A ，B ，C ，D 四点放到长方体的四个顶点上，则该长方体的体对角线就是“鞠”的直径．设该长方体的长、宽、高分别为x ，y ，z ， “鞠”的半径为R ，则2222(2)R x y z=++．因为2225x y+=，2236x z+=，2249y z+=，所以21105584R ==，所以2455SR ππ==．故选：A ．【点评】本题考查空间几何体的外接球的表面积的求法，考查转化思想以及计算能力． 14．已知四棱锥SA B C D-的所有顶点都在半径为(R R 为常数）的一个球面上，底面A B C D是正方形且球心O 到平面A B C D 的距离为1，若此四棱锥体积的最大值为6，则球O 的体积等于( )A ．323πB ．8πC ．16πD ．163π【分析】当此四棱锥体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥，根据该四棱锥的最大体积为6，确定球的半径为R ，从而可求球的体积．【解答】解：如图，可得A C =2A BA C ==，此四棱锥的体积最大值212(1)(1)(1)633A B C D V S R RR =+=-+= 整理可得：3219R RR +--=，即可得2(2)(35)0RRR -++=．解得2R=．则球O 的体积等于343233Rππ=，故选：A ．【点评】本题考查球内接多面体，球的表面积，解题的关键是确定球的半径，再利用公式求解．15．如图：正三棱锥AB C D-中，30B A D ∠=︒，侧棱2A B=，B D 平行于过点C 的截面11C BD ，则截面11C B D 与正三棱锥AB C D-侧面交线的周长的最小值为()A ．2B ．C ．4D ．【分析】首先，展开三棱锥，然后，两点间的连接线C C '即是截面周长的最小值，然后，求解其距离即可．【解答】解：把正三棱锥AB C D-的侧面展开，两点间的连接线C C '即是截面周长的最小值．正三棱锥AB C D-中，30B A D∠=︒，所以A CA C ⊥'，2A B=，C C ∴'=∴截面周长最小值是C C '=．故选：D ．【点评】本题重点考查了空间中的距离最值问题，属于中档题．注意等价转化思想的灵活运用．二．填空题（共10小题）16．若把圆心角为120︒，半径为6的扇形卷成圆锥，则该圆锥的底面半径是 2 ，侧面积是．【分析】根据圆锥底面的周长等于扇形的弧长，列方程求出圆锥的底面半径．利用扇形的面积求出圆锥的侧面积．【解答】解：设圆锥底面的半径为r ，则120226360r ππ=⨯⨯，解得2r=，所以该圆锥的底面半径是2．圆锥的侧面积是2120612360S ππ=⋅⋅=圆锥侧．故答案为：2，12π．【点评】本题考查了圆锥的侧面展开图是扇形的应用问题，是基础题． 17．如图为A B O ∆水平放置的直观图，其中2O D B D A D ''=''=''，且//B D y''轴由图判断原三角形中A B ，O B ，B D ，O D 由小到大的顺序是O D B D A B B O<<< ．【分析】利用直观图，求出原图对应的边长，写出结果即可．【解答】解：设22A D ''=，则直观图的平面图形为：A B =B O=4B D=，2O D=．原三角形中A B ，B O ，B D ，O D 由小到大的顺序O D B D A B B O<<<．故答案为：O DB D A B B O<<<．【点评】本题考查斜二测平面图形的直观图的画法，以及数据关系，基本知识的考查． 18．某水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形，它是底角为45︒，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的周长为4+【分析】根据题意画出图形，结合图形得出原来的平面图形的上底与下底、高和腰长，即可求出它的周长．【解答】解：根据题意画出图形，如图所示；原来的平面图形是直角梯形，上底是1，下底是1+2=，所以它的周长是1214+++=++．故答案为：4+【点评】本题考查了平面图形的直观图的画法与应用问题，是基础题19．已知正四面体SA B C-的棱长为1，如果一个高为6的长方体能在该正四面体内任意转动，则该长方体的长和宽形成的长方形的面积的最大值为 124．【分析】计算棱锥内切球的半径，令长方体体对角线长小于或等于内切球的直径，根据基本不等式求出长方体底面积的最大值．【解答】解：设S 在平面A B C 上的射影为O ，则O 为A B C ∆的中心，延长A O 交B C 于D ，则D 为B C 的中点，正四面体棱长为1，2A D ∴=，233A OA D ==，3S O ∴==，∴正四面体的体积为11113322312S A B C A B C V S S O -∆==⨯⨯⨯=，表面积为144122A B C S S ∆==⨯⨯⨯=表，设正四面体SA B C-的内切球半径为R ，则1312R ⨯=，解得12R=设长方体的长和宽分别为x ，y ，=626R =，22112xy ∴+…，221224xy x y +∴剟，当且仅当12xy ==时取等号．故答案为：124【点评】本题考查棱锥与球的位置关系，考查基本不等式的应用，属于中档题． 20．如图，在四棱锥PA B C D-中，P A⊥平面A B C D ，底面A B C D 是直角梯形，//A BC D，A B A D⊥，2C DA DB ===，3P A =，若动点Q 在P A D∆内及边上运动，使得C QD B Q A∠=∠，则三棱锥QA B C-的体积最大值为 3 ．【分析】证明A BQ A⊥，C DQ D⊥，由C Q DB Q A∠=∠，结合C DB=，可得Q DA=，由平面解析几何知识求得Q 到A D 建立的最大值，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：底面A B C D 是直角梯形，//A B C D，A BA D⊥，C DA B∴⊥，又P A ⊥平面A B C D ，P A ⊂平面P A D ，∴平面P A D ⊥平面A B C D ，则A B⊥平面P A D ，C D⊥平面P A D ，连接Q A ，Q D ，则A B Q A⊥，C DQ D⊥，由C Q DB Q A∠=∠，得tan tan C Q DB Q A∠=∠，则A B C D Q AQ D=，2C D B=，Q D A=，2A D =，在平面P A D 内，以D A 所在直线为x 轴，D A 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则(1,0)D -，(1,0)A ，设(,)Q x y ，由Q DA=，得222Q D Q A=，即2222(1)2(1)2xyx y++=-+，整理得：22610x y x +-+=，取1x =，可得2y=，得Q 在P A D ∆内距离A D 的最大值为2，此时Q 在P A 上，11222A B C S A B A D ∆=⨯⨯=⨯⨯=，∴三棱锥QA B C -的体积最大值为1233V =⨯=．3【点评】本题考查多面体体积最值的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．21．如图，在三棱锥P A B C-中，P A⊥平面A B C ，A CB C⊥，2A B=，A P=，则三棱锥PA B C-的外接球的体积为 92π ．【分析】以A C ，B C ，P A 为长宽高构建长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P A B C-的外接球，由此能求出三棱锥PA B C-的外接球的体积．【解答】解：在三棱锥PA B C-中，P A⊥平面A B C ，A CB C⊥，∴以A C ，B C ，P A 为长宽高构建长方体，则长方体的外接球就是三棱锥PA B C-的外接球，∴三棱锥P A B C-的外接球的半径1322R=⋅=，∴三棱锥PA B C-的外接球的体积为：334439()3322S Rπππ==⨯=．故答案为：92π．【点评】本题考查三棱锥的外接球的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题． 22．如图，圆锥的底面直径2A B=，母线长3V A=，点C 在母线V B 上，且1V C=，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【解答】解：由题意知，底面圆的直径为2，故底面周长等于2π，设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为α，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，23πα=，解得：23πα=， 23A V A π∴∠'=，则13π∠=，过C 作C FV A⊥，C为V B 的三等分点，3B V =，1V C ∴=， 160∠=︒，30V C F ∴∠=︒，12F V ∴=，22234C FC V V F∴=-=，3A V =，12F V =，52A F ∴=，在R t A F C ∆中，利用勾股定理得：2227A C A FF C=+=，则A C=【点评】考查了平面展开-最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 23．在棱长为4的正方体1111A B C DA B C D -中，E ，F 分别是B C 和11C D 的中点，经过点A ，E，F 的平面把正方体1111A B C D A B C D -截成两部分，则截面与11B C C B 的交线段长为103．【分析】首先利用平行线的相交的应用和成比例问题的应用，求出C P 的长，进一步利用勾股定理的应用求出结果．【解答】解：如图所示：过点F 作//F H A E交11A D 于H ，易知11D H=，所以点H 为11A D 的四等分点，所以11114D H A D =过点E 作//E PA H交1C C 于点P ，则△1A A H P C E ∆∽，所以11A A C P A HC E=，解得83C P=．所以截面与11B C C B的交线段长为103P E ==．故答案为：103．【点评】本题考查的知识要点：截面的交线，平行线成比例，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题， 24．棱长为2的正方体1111A B C DA B C D -中，异面直线1B D 与C D点D 到平面1A C D 的距离为．【分析】以D 为原点，D A 为x 轴，D C 为y 轴，1D D 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线1B D 与C D 所成的角的正切值和点D 到平面1A C D 的距离．【解答】解：以D 为原点，D A 为x 轴，D C 为y 轴，1D D 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(2B ，2，0)，1(0D ，0，2)，(0C ，2，0)，(0D ，0，0)，1(2B D =-，2-，2)，(0C D=，2-，0)，设异面直线1B D 与C D 所成角为θ，则11||c o s ||||1243B D CD B D C D θ===，sin θ∴==，s in ta n c o s θθθ==∴异面直线1B D 与C D(2A ，0，0)，(2A C=-，2，0)，1(2A D =-，0，2)，(2A D=-，0，0)，设平面1A C D 的法向量(n x=，y ，)z ，则1220220n A C x y n A D x z ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩，取1x=，得(1n =，1，1)，∴点D 到平面1A C D的距离为||2||33n A D dn ===．3【点评】本题考查异面直线所成角的正切值、点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 25．在三棱锥P A B C-中，P A ⊥平面A B C ，45P B A ∠=︒，60P B C ∠=︒，则A B C ∠为4π．【分析】作P M B C⊥于点M ，连接A M ，设A Bx=，由已知可求P A x=，利用勾股定理可求P B =，利用三角函数的定义可求2B M =，由已知利用线面垂直的判定和性质可得B M A M⊥，进而可求c o s 2B M A B CA B∠==，结合A B C ∠为三角形内角，可求A B C∠的值．【解答】解：如图，作P M B C⊥于点M ，连接A M ，设A B x=，因为在三棱锥P A B C-中，P A⊥平面A B C ，45P B A∠=︒，60P B C ∠=︒，所以P Ax=，P B==，因为60P B C ∠=︒，P MB C⊥，所以12c o s 22B M P B P B C x=∠==，因为P A ⊥平面A B C ，B M⊂平面A B C ，所以B M A P⊥，又P MB C⊥，P MA P P=，所以B M ⊥平面P A M ，又AM⊂平面P A M，所以B M A M⊥，所以2c o s 2x B M A B CA Bx∠===，由于A B C ∠为三角形内角，所以4A B C π∠=．故答案为：4π．【点评】本题主要考查了勾股定理，三角函数的定义，线面垂直的判定和性质在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，作辅助线P M B C⊥于点M 是解题的关键，属于中档题．三．解答题（共5小题）26．如图所示，在边长为6的正三角形A B C 中，E ，F 依次是A B ，A C 的中点，A DB C⊥，E H B C⊥，F GB C⊥，D ，H ，G 为垂足，若将A B D ∆绕A D 旋转一周，求阴影部分形成的几何体的表面积．【分析】所得几何体为圆锥中挖去一个圆柱，然后利用公式求出即可．【解答】解：所形成几何体是一个圆锥挖去一个圆柱，由题意可知圆柱的底面半径为322，圆锥底面半径为3，母线为6，所以32222S π=⨯⨯=圆柱侧，233627S πππ=⨯+⨯⨯=圆锥表，所以所求几何体的表面积为272SS S π=+=+圆锥表圆柱侧．【点评】本题主要考查旋转体的表面积计算，属于基础题． 27．如图，已知P A⊥平面A B C D ，A B C D 为矩形，M 、N 分别为A B 、P C 的中点，P A A D=，2A B =，A D=．（1）求证：平面M P C ⊥平面P C D ；（2）求三棱锥BM N C-的高．【分析】（1）取P D 中点为G ，连接N G ，A G ，M 、N 分别为A B 、P C 的中点，证明A M N G是平行四边形，//M N A G，推出//M N平面P A D ，得到//M NA G，证明A GP C⊥，A G P D⊥，推出A G⊥平面P D C ，得到M N⊥平面P D C ，然后证明平面M P C ⊥平面P C D ，（2）利用B M N CN M B CV V --=，转化求解点B 到平面M N C 的距离．【解答】（1）证明：取P D 中点为G ，连接N G ，A G ，M 、N 分别为A B 、P C 的中点，//N G C D∴，12N GC D=，//A MC D，12A MC D=，A M N G ∴是平行四边形，//M NA G，A G ⊂平面P A D ，M N ⊂/平面P A D ，//M N ∴平面P A D//M N A G∴，P M M C ==，N 为P C 中点，M N P C∴⊥，即A GP C⊥， G为P D 的中点，A P A D=，A G P D∴⊥，且P DPC P=，A G ⊥平面P D C ，M N ∴⊥平面P D C ，M N ⊂平面M P C ，∴平面M P C⊥平面P C D ，（2）解：1132B M N CN M B C M B CV V S P A--∆==，1222M B C S B C B M ∆==1222M N CS M N N C ∆==，则点B 到平面M N C 的距离为122hP A ==．【点评】本题考查平面与平面垂直以及直线与平面平行的判断定理的应用，空间点线面距离的求法，等体积法的应用，是中档题． 28．已知长方体1111A B C D A B C D -，1A A =，22A BB C ==，E 为棱A B 的中点，F 为线段1D C 的中点．（1）求异面直线E F 与1A D 所成角的余弦值；（2）求直线1A D 与平面D E F 所成角的正弦值．【分析】（1）以D 为原点，以D A 、D C 、1D D 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．利用向量法能求出异面直线E F 与1A D 所成角的余弦值．（2）求出面D E F 的法向量，利用向量法能求出直线1A D 与平面D E F 所成角的正弦值．【解答】解：（1）以D 为原点，以D A 、D C 、1D D 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．则(1E ，1，0)，(0F ，12，(1A ，0，0)，1(0D ，0则(1E F=-，0，)2，1(1A D =-，0，直线E F 与1A D 所成角为θ，则115||c o s 14||||744EF A D E F A D θ===．故异面直线E F 与1A D 14．（2）(1D E=，1，0)，(0D F=，12，1(1A D =-，0，设面D E F 的法向量为(nx=，y ，)z ，则0302D E n x y D F n y ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，令2z=，可得(3,2)n=-，设直线1A D与平面D E F 所成角为θ，则11||3s in 20||||410A D n A D n θ===，所以直线1A D 与平面D E F 20．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值、线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 29．已知A B C ∆，直线mA C⊥，mB C⊥，求证：mA B⊥．【分析】根据线面垂直的判定定理证明m ⊥平面A B C ，再得出m A B⊥．【解答】证明：m A C⊥，mB C⊥，A C ⊂平面A B C ，B C⊂平面A B C ，且A C B CC =，m ∴⊥平面A B C ，又A B ⊂平面A B C ， m A B∴⊥．【点评】本题考查了线面垂直的判定定理，线面垂直的性质，属于基础题．30．如图所示，正方形A B C D 与直角梯形A D E F 所在平面互相垂直，90A D E ∠=︒，//A F D E，22D E D A A F ===．（1）求证：A C ⊥平面B D E ；（2）求证：//A C平面B E F ；（3）若A C 与B D 相交于点O ，求四面体B O E F 的体积．【分析】（1）由已知利用平面与平面垂直的性质可得E D A C⊥，再由四边形A B C D 是正方形，得A CB D⊥，利用直线与平面垂直的判定可得A C⊥平面B D E ；（2）取E B 中点G ，连接O G ，F G ，证明A O G F 为平行四边形，可得//A C F G，再由直线与平面平行的判定可得//A C 面E FB ；（3）证明A B⊥平面A D E F ，求出三棱锥B D E F-的体积，结合O 为B D 的中点，可得四面体B O E F 的体积．【解答】证明：（1）平面A B C D⊥平面A D E F ，平面A B C D ⋂平面A D E FA D=E D A D ⊥，E D⊂平面A D E F ，E D ∴⊥面A B C D ，得E D A C⊥，又四边形A B C D 是正方形，A C B D∴⊥，又B DE D D=，A C ∴⊥平面B D E ；证明：（2）取E B 中点G ，连接O G ，F G ，O，G 分别为B D ，B E 的中点，//O GD E∴，12O GD E=，又//A F D E，12A F D E=，//A F O G ∴且A FO G=，则四边形A O G F 为平行四边形，得//A CF G，A C ⊂/平面E F B ，F G ⊂平面E F B ，//A C ∴面E FB ；解：（3）平面A B C D⊥平面A D E F ，A B A D⊥，A B ∴⊥平面A D E F ．//A F D E，90A D E ∠=︒，22D ED A A F ===，D E F∴∆的面积为122D E FS E D A D ∆=⨯⨯=，∴四面体B D E F 的体积11422333D E F VS A B ∆=⨯=⨯⨯=，又O 是B D 中点，∴12O D E F B D E FV V --=，则1223B O E FB D E F V V -==．【点评】本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．。

2019届人教A版(理科数学) 数学归纳法单元测试

专题层级快练(四十七)1．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n(n －3)条时，第一步检验第一个值n 0等于( )A ．1B ．2C ．3D ．0答案 C解析边数最少的凸n 边形是三角形．2．(2017·山东德州一模)用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n ＋2＝2n ＋3－1，在验证n ＝1时，左边的式子为( ) A ．1 B ．1＋2 C ．1＋2＋22 D ．1＋2＋22＋23答案 D解析当n ＝1时，左边＝1＋2＋22＋23.故选D.3．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案 B解析 1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12>12764，整理得2n >128，解得n>7.∴初始值至少应取8.4．设f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n －1(n ∈N *)，那么f(n ＋1)－f(n)等于( )A.13n ＋2B.13n ＋13n ＋1C.13n ＋1＋13n ＋2D.13n ＋13n ＋1＋13n ＋2答案 D5．用数学归纳法证明34n ＋1＋52n ＋1(n ∈N )能被8整除时，当n ＝k ＋1时，对于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1可变形为( )A ．56·34k ＋1＋25(34k ＋1＋52k ＋1) B ．34·34k ＋1＋52·52k C ．34k ＋1＋52k＋1D ．25(34k ＋1＋52k ＋1)解析因为要使用归纳假设，必须将34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1分解为归纳假设和能被8整除的两部分．所以应变形为56·34k ＋1＋25(34k ＋1＋52k ＋1)． 6．若数列{a n }的通项公式a n ＝1（n ＋1）2，记c n ＝2(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算c 1，c 2，c 3的值，推测c n ＝__________．答案n ＋2n ＋1解析 c 1＝2(1－a 1)＝2×(1－14)＝32，c 2＝2(1－a 1)(1－a 2)＝2×(1－14)×(1－19)＝43，c 3＝2(1－a 1)(1－a 2)(1－a 3)＝2×(1－14)×(1－19)×(1－116)＝54，故由归纳推理得c n ＝n ＋2n ＋1. 7．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的自然数n 都有：(S n －1)2＝a n S n . (1)求S 1，S 2，S 3；(2)猜想S n 的表达式并证明．答案 (1)S 1＝12，S 2＝23，S 3＝34 (2)S n ＝nn ＋1，证明略解析 (1)由(S 1－1)2＝S 12，得S 1＝12；由(S 2－1)2＝(S 2－S 1)S 2，得S 2＝23；由(S 3－1)2＝(S 3－S 2)S 3，得S 3＝34.(2)猜想：S n ＝n n ＋1. 证明：①当n ＝1时，显然成立；②假设当n ＝k(k ≥1且k ∈N *)时，S k ＝kk ＋1成立．则当n ＝k ＋1时，由(S k ＋1－1)2＝a k ＋1S k ＋1，得S k ＋1＝12－S k＝12－k k ＋1＝k ＋1k ＋2. 从而n ＝k ＋1时，猜想也成立．综合①②得结论成立．8．已知函数f(x)＝x －sinx ，数列{a n }满足：0<a 1<1，a n ＋1＝f(a n )，n ＝1，2，3，…，证明：0<a n ＋1<a n <1.解析先用数学归纳法证明0<a n <1，n ＝1，2，3，…. ①当n ＝1时，由已知，结论成立． ②假设当n ＝k 时结论成立，即0<a k <1. 因为0<x<1时，f ′(x)＝1－cosx>0，所以f(x)在(0，1)上是增函数．又f(x)在[0，1]上连续，从而f(0)<f(a k )<f(1)，即0<a k ＋1<1－sin1<1. 故当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知，0<a n <1对一切正整数都成立．又因为0<a n <1时，a n ＋1－a n ＝a n －sina n －a n ＝－sina n <0，所以a n ＋1<a n . 综上所述0<a n ＋1<a n <1.9．(2018·保定模拟)已知f(x)＝x －32x 2，设0＜a 1＜12，a n ＋1＝f(a n )，n ∈N ＋，证明：a n ＜1n ＋1.答案略证明 (1)当n ＝1时，0＜a 1＜12，不等式a n ＜1n ＋1成立；因a 2＝f(a 1)＝－32(a 1－13)2＋16≤16<13，故n ＝2时不等式也成立．(2)假设n ＝k(k ≥2)时，不等式a k ＜1k ＋1成立，因为f(x)＝x －32x 2的对称轴为x ＝13，知f(x) 在(－∞，13]上为增函数，所以由a k ＜1k ＋1≤13，得f(a k )＜f(1k ＋1)．于是有a k ＋1＜1k ＋1－32·1（k ＋1）2＋1k ＋2－1k ＋2＝1k ＋2－k ＋42（k ＋1）2（k ＋2）＜1k ＋2.所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．根据(1)、(2)可知，对任何n ∈N ＋，不等式a n ＜1n ＋1成立． 10．已知数列{a n }的各项都是正数，且满足：a 0＝1，a n ＋1＝12a n ·(4－a n )，(n ∈N )．证明：a n <a n ＋1<2，(n ∈N )．证明方法一：用数学归纳法证明： (1)当n ＝0时，a 0＝1，a 1＝12a 0(4－a 0)＝32，所以a 0<a 1<2，命题正确．(2)假设n ＝k 时命题成立，即a k －1<a k <2. 则当n ＝k ＋1时，a k －a k ＋1 ＝12a k －1(4－a k －1)－12a k (4－a k ) ＝2(a k －1－a k )－12(a k －1－a k )(a k －1＋a k )＝12(a k －1－a k )(4－a k －1－a k )．而a k －1－a k <0，4－a k －1－a k >0，所以a k －a k ＋1<0. 又a k ＋1＝12a k (4－a k )＝12[4－(a k －2)2]<2.所以n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)可知，对一切n ∈N 时有a n <a n ＋1<2. 方法二：用数学归纳法证明：(1)当n ＝0时，a 0＝1，a 1＝12a 0(4－a 0)＝32，所以0<a 0<a 1<2.(2)假设n ＝k 时有a k －1<a k <2成立，令f(x)＝12x(4－x)，f(x)在[0，2]上单调递增，所以由假设有f(a k －1)<f(a k )<f(2)．即12a k －1(4－a k －1)<12a k (4－a k )<12×2×(4－2)．也即当n ＝k ＋1时，a k <a k ＋1<2成立．所以对一切n ∈N ，有a k <a k ＋1<2.11．在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *)．(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论； (2)证明：1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n <512.答案 (1)a 2＝6，a 3＝12，a 4＝20，b 2＝9，b 3＝16，b 4＝25，a n ＝n(n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2，证明略 (2)略解析 (1)由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a n ＋12＝b n b n ＋1.由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25. 猜测a n ＝n(n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2. 用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上可得结论成立． ②假设当n ＝k 时，结论成立，即a k ＝k(k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2.那么当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k(k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)， b k ＋1＝a k ＋12b k＝(k ＋2)2.所以当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②，可知a n ＝n(n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数都成立． (2)1a 1＋b 1＝16<512. 当n ≥2时，由(1)知a n ＋b n ＝(n ＋1)(2n ＋1)>2(n ＋1)·n. 故1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n<16＋12(12×3＋13×4＋…＋1n （n ＋1）) ＝16＋12(12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1) ＝16＋12(12－1n ＋1)<16＋14＝512.1．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n ＞1324的过程中，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是________．答案1（2k ＋1）（2k ＋2）解析不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1（2k ＋1）（2k ＋2），故填1（2k ＋1）（2k ＋2）.2．用数学归纳法证明：对任意的n ∈N *，11×3＋13×5＋…＋1（2n －1）（2n ＋1）＝n 2n ＋1. 答案略解析 (1)当n ＝1时，左边＝11×3＝13，右边＝12×1＋1＝13，左边＝右边，所以等式成立．(2)假设当n ＝k(k ∈N *且k ≥1)时等式成立，即有11×3＋13×5＋…＋1（2k －1）（2k ＋1）＝k 2k ＋1，则当n ＝k ＋1时，11×3＋13×5＋…＋1（2k －1）（2k ＋1）＋1（2k ＋1）（2k ＋3）＝k 2k ＋1＋1（2k ＋1）（2k ＋3）＝k （2k ＋3）＋1（2k ＋1）（2k ＋3）＝2k 2＋3k ＋1（2k ＋1）（2k ＋3）＝k ＋12k ＋3＝k ＋12（k ＋1）＋1，所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对一切n ∈N *等式都成立．3．(2017·湖北宜昌一中模拟)已知函数f(x)＝13x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，a n ＋1≥f ′(a n＋1)．试比较11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n 与1的大小，并说明理由．答案11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n<1 解析 ∵f ′(x)＝x 2－1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)， ∴a n ＋1≥(a n ＋1)2－1.∵函数g(x)＝(x ＋1)2－1＝x 2＋2x 在区间[1，＋∞)上单调递增，于是由a 1≥1，得a 2≥(a 1＋1)2－1≥22－1，进而得a 3≥(a 2＋1)2－1≥24－1＞23－1. 由此猜想：a n ≥2n －1.下面用数学归纳法证明这个猜想： ①当n ＝1时，a 1≥21－1＝1，结论成立； ②假设n ＝k(k ≥1且k ∈N *)时结论成立，即a k ≥2k －1，则当n ＝k ＋1时，由g(x)＝(x ＋1)2－1在区间[1，＋∞)上单调递增知， a k ＋1≥(a k ＋1)2－1≥22k －1≥2k ＋1－1，即n ＝k ＋1时，结论也成立．由①、②知，对任意n ∈N *，都有a n ≥2n －1. 即1＋a n ≥2n ， ∴11＋a n ≤12n .∴11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n ≤12＋122＋123＋…＋12n ＝1－(12)n ＜1.。

2019届人教A版(理科数学) 解析几何初步、不等式单元测试

第Ⅰ卷（共19题，满分100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．设a ，b ，c ∈R 且a b >，则下列不等式成立的是（）．A ．22a b >B ．a c b c >C ．11a b< D ．c a c b -<-【答案】D 【解析】∵a b >， ∴a b -<-， ∴c a c b -<-，故选D ．2．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，60B ∠=︒，2c =，b =，则C ∠=（）．A ．45︒B ．135︒C ．45︒或135︒D ．无解【答案】A【解析】根据正弦定理sin sin sin a b cA B C==，将60B ∠=︒，2c =，b =代入，2sin C =，解得sin C =．又∵c b <，∴c B ∠<∠，即60c ∠<︒，∴45c ∠=︒，故选A ．3．若等差数列{}n a 中，33a =，则{}n a 的前n 向和5S 等于（）．A ．10B ．15C ．20D ．30【答案】B 【解析】1553()55152a a S a +⨯===，故选B ．4．已知直线l 过点(1,2)P -，且与以(2,3)A --，(3,0)B 为端点的线段相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（）．A ．12,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B 1,52⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1(,2],5⎡⎫--+⎪⎢⎣⎭U ∞∞D ．1,[5,)2⎛⎤--+ ⎥⎝⎦U ∞∞【答案】D【解析】直线AP 的斜率32521AP k --==-+，直线BP 的斜率021312BP k -==-+，若直线l 与线段AB 相交，则直线l 斜率的取值范围是[)1,5,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦．故选D ．5．若110a b<<，则下列结论正确的是（）．A ．a b >B ．ab b <C ．2b aa b+<-D ．22a b >【答案】A 【解析】∵110a b<<， ∴0a <，0b <，0ab >， ∴ab ab a b<即b a <，所以A 是正确的，故选A ．6．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*21()n S n n =-∈N ，则2017a 的值为（）．A ．2B ．3C ．2017D ．4033【答案】A【解析】∵21n S n =-，∴201720172016220171(220161)2a S S =-=⨯--⨯-=，故选A ．7．若不等式210x kx ++<的解集为空集，则k 的取值范围是（）．A ．(,2][2,)--+U ∞∞B ．(2,2)-C ．[]2,2-D ．(,2)(2,)--+U ∞∞【答案】C【解析】∵不等式210x kx ++<的解集为空集， ∴240k ∆=-≤，解得22k -≤≤， ∴k 的取值范围是[2,2]-，故选C ．8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足100S >，110S <，则下列数值最大的是（）．A ．4SB ．5SC ．6SD ．7S【答案】B【解析】∵1101011056()105()5()02a a S a a a a +⨯==+=+>，∴560a a +>，11111()11112a a S +⨯==，60a <， ∴60a <， ∴50a >，60a <，∴当5n =时n S 最大，即5S 最大，故选B ．9．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，且2()a c a c b =+-，则角A =（）．A ．π6B ．π4C ．π3D ．3π4【答案】C【解析】由题可知，2sin sin sin B A C =，故2b ac =，又∵2()a c a c b =+-，可得222a b c bc =+-，由余弦定理可得，2221cos 222b c a bc A bc bc +-===， ∴π3A =，故选C ．10．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元，设该设备使用了*()n n ∈N 年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于（）．A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】B【解析】设第n 年的运营费用为n a ，由题知{}n a 是首项及公差均为2的等差数列，则n 年的运营总费用2(1)222n n n S n n n -=+⨯=+，记n 年后的盈利总额为()w n ，则22()119109(5)16n w n n S n n n =--=-+-=--+．因此，当5n =时，()w n 最大值为16，故选B ．二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）11．若实数a ，b 满足02a <<，01b <<，则a b -的取值范围是__________．【答案】(1,2)- 【解析】∵01b <<， ∴10b -<-<，又∵02a <<， ∴12a b -<-<，故a b -的取值范围是(1,2)-．12．数列{}n a 的通项为1(1)n a n n =+，则数列{}n a 的前n 项和n S =__________．【答案】1n n + 【解析】111(1)1n a n n n n ==-++，∴1231n n n S a a a a a -=+++++，111111111111223341111n n n n n n n =-+-+-+-+-=-=-+++．13．已知直线1:(2)20l x a y +--=，2:(2)10l a x ay -+-=，若12l l ⊥，则a =__________．【答案】2或1-【解析】由12l l ⊥，可得1(2)(2)0a a a ⨯-+-⨯=，即220a a --=，解得2a =或1a =-．14．已知数列{}n a 满足1112(2,)n n n n a a --=∈N ≥，且313a =，则1a =__________；数列{}n a 的通项公式为__________．【答案】1-123n - 【解析】由题可知，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以11a 为首项，以2为公差的等差数列，所以3111(31)2a a =+-⨯，解得11a =-， 111(1)223n n n a a =+-⨯=-，所以123n a n =-．15．在平面直角坐标系中，不等式组101010x y x ax y +-⎧⎪-⎨⎪-+⎩≥≤≥，（a 为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为__________．【答案】3【解析】直线10ax y -+=过点(0,1)，作出可行域可知可行域为一个三角形，该三角形的面积为1(1)122a ⨯+⨯=，解得3a =．16．在ABC △中，若22tan tan a Ab B=，则ABC △的形状为__________．【答案】等腰三角形或直角三角形【解析】原式化为22sin sin cos sin cos sin 2sin 2sin cos sin sin cos A A B A BA B B A B B A=⇒=⇒=， ∴22A B =或22πA B A B +=⇒=或π2A B +=，故ABC △是等腰三角形或直角三角形．三、解答题（本大题共3小题，共36分，写出必要的解答过程） 17．求下列关于x 的不等式的解集：（Ⅰ）2113x x--≥．（Ⅱ）(2)01x x x +>⎧⎪⎨<⎪⎩．（Ⅲ）(1)()()x x a a -->∈R ．【答案】见解析【解析】解：（I ）2121341100333x x x x x x---⇔-⇔---≥≥≥， ∴(34)(3)0x x --≤且30x -≠，∴433x <≤，不等式的解集为433x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭≤．（II ）(2)02001||111x x x x x x x +><->⎧⎧⇔⇔<<⎨⎨<-<<⎩⎩或，【注意有文字】∴不等式组的解集为(0,1)．（III ）当1a >时，(1)()0x x a -->，x a >或1x <；当1a =时，2(1)()0(1)01x x a x x -->⇔->⇒≠；当1a <时，(1)()0x x a -->，1x >或x a <，综上所述，当1a >时，不等式的解集为{|x x a >或}1x <，当1a =时，不等式的解集为{}|1x x ≠，当1a <时，不等式的解集为{|1x x >或}x a <．18．在ABC △中，2π3C ∠=，6a =．（Ⅰ）若14c =，求sin A 的值．（Ⅱ）若ABC △的面积为，求c 的值．【答案】见解析【解析】解：（1）在ABC △中，由正弦定理得：sin sin a cA C=，即sin b A =，∴sin A =．（Ⅱ）∵1sin 2ABC S ab C ===△ ∴2b =．由余弦定理得：22212cos 436226522c a b ab c ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，∴c ==19．已知数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，满足210S a +=，312a =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式．（Ⅱ）是否存在正整数n ，使得2017n S >？若存在，求符合条件的n 的最小值；若不存在，说明理由．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）解：设数列{}n a 的公比为q ， ∵210S a +=， ∴1120a a q +=， ∴20q +=，2q =-，又∵23112a a q ==，∴13a =， ∴13(2)n n a -=⨯-．（Ⅱ）结论：存在正整数n ，便得2017n S >，符合条件的n 的最小值为11．理由如下：由（1）可知31(2)1(2)1(2)nn n S ⎡⎤⨯--⎣⎦==----，令2017n S >，即1(2)2017n -->，整理得(2)2016n -<-，当n 为偶数时，原不等式无解；当n 为奇数时，原不等式等价于22016n >，解得11n ≥；综上所述，满足2017n S >的正整数n 的最小值为11．第Ⅱ卷（共7题，满分50分）四、选择题、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）20．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若4a =，π3A =，则该三角形面积的最大值是（）． A．B．C．D．【答案】D【解析】由余弦定理得：222222cos 2a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=+--=≥， ∴16bc ≤，∴11sin 1622S bc A =⨯=≤，故选D ．21．已知3n n x x +=，*21()n n n x x x n ++=-∈N ，若11x =，2(1,0)x a a a =≠≤则数列{}n x 的前2016项的和2016S 为（）．A ．1344B ．1342C ．672D ．671【答案】A【解析】依题意，31x a =-，411x x ==，故数列{}n x 是以3为周期的周期数列，且123112x x x a a ++=+-+=，故20161232016123672()1344S x x x x x x x =++++=++=，故选A ．22．已知1230a a a >>>，则使得2(1)1(1,2,3)i a x i -<=都成立的x 的取值范围是（）．A ．110,a ⎛⎫⎪⎝⎭B ．120,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．310,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．320,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由2(1)1i a x -<，解得111i a x -<-<，解得20ix a <<，因为1230a a a >>>，所以123222a a a <<，故120x a <<，故选B ．23．已知正实数x ，y 满足1x y +=，则①22x y +的最小值为__________；②若14a x y +≥恒成立，则实数a 的取值范围是__________．【答案】12(],9-∞【解析】①222222()11()2()2()422x y x y x y xy x y x y ++=+-+-⨯=+=≥， ∴22x y +的最小值为12． ②14a x y +≤恒成立，则14a x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤最小值，∵14144()559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++= ⎪⎝⎭≥， ∴14x y+的最小值为9， ∴9a ≤，故实数a 的取值范围是(],9-∞．24．将如图所示的三角形数阵中所有的数按从上至下，从左至右的顺序排列成数列11a ，21a ，22a ，31a ，32a ，L 若所得数列构成一个等差数列，且112a =，3312a =，则 ①数阵中的数ii a 可用i 表示为__________．②若(1)(1)(2)(2)mn m n m n a a a +++++=，则m n +的值为__________．【答案】21i +5【解析】①不妨设等差数列11a ，21a ，22a ，31a ，32a 记为{}nb ，则由112a =，3312a =可得12b =，公差2d =，故2n b n =，而ii a 可为等差数列{}n b 中的第(1)1232i i i +++++=个， ∴2(1)2(1)2ii i i a i i i i +=⨯=+=+． ②根据题意可得，2123(1)2[123(1)]2mn m na b m n m m n ++++-+==++++-+=-+，∴2(1)(1)(1)(1)2(1)m n a m m n ++=+-+++，2(2)(2)(2)(2)2(2)m n a m m n ++=+-+++，再由(1)(1)(2)(2)mn m n m n a a a +++++=可得：2222(1)(1)2(1)(2)(2)2(2)m m n m m n m m n -+++-+++=+-+++，化简可得23420m m n --+=，因为0n >，∴2340m m --<，解得14m -<<， ∴1m =，2，3，再由0m n >≥，可得32m n =⎧⎨=⎩，故5m n +=．五、解答题（本大题共2小题，共25分，写出必要的解答过程）25．已知函数22()(0)x x af x x x++=>．（Ⅰ）当0a >时，求函数()f x 的最小值．（Ⅱ）若对任意[1,)x ∈+∞，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）22()2x x a af x x x x++==++，(0)x >， ∵0a >，0x >，∴()22a f x x x =++=+≥，当且仅当ax x=，即x =“=”成立，故当x =()f x的最小值为2+．（2）()2(1)a f x x x x =++≥，2()x a f x x-'=，当1a ≤时，()0f x '>，()f x 在[)1,+∞递增，min ()(1)30f x f a ==+>，解得31a -<≤；当1a >时，令()0f x '>，解得x >()0f x '<，解得1x <≤， ∴()f x在⎡⎣递减，在)+∞递增，∴()20f x f =>≥成立，综上所述，实数a 的取值范围为(3,)-+∞．26．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且满足*233()n n S a n =-∈N ，等差数列{}n b 的前n 项和为n T ，且51334b b +=，39T =．（Ⅰ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式．（Ⅱ）若数列{}n c 的通项公式为n n n c a b =，问是否存在互不相等的正整数m ，k ，r 使得m ，k ，r 成等差数列，且m c ，k c ，r c 成等比数列？若存在，求出m ，k ，r ；若不存在，说明理由．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）由233()n n S a n +=-∈N 可得：当1n =时，13a =；当2n ≥时，233n n S a =-，11233n n S a --=-，两式相减得：1233n n n a a a -=-， ∴13(2)n n a a n -=≥，∴数列{}n a 是以3为首项，3为公比的等差数列， ∴3n n a =．设等差数列{}n b 的公差为d ，根据题意得， 1121634,339b d b d +=⎧⎨+=⎩解得112b d =⎧⎨=⎩，∴21n b n =-．（Ⅱ）由（Ⅰ）可以知道(21)3n n n n C a b n ==-⋅，假设存在互不相等的正整数m ，k ，r 便得m ，k ，r 成等差数列，且m C ，k C ，r C 成等比数列，则2k m r C C C =，即22(21)3(21)(21)3k m r k m r +-⋅=--⋅，由m ，k ，r 成等差数列得2k m r =+，所以233k m r +=，所以2(21)(21)(21)k m r -=--，即244142()1k k mr m r -+=-++，又2k m r =+，所以2k mr =，即22m r mr +⎛⎫= ⎪⎝⎭，即2()0m r -=，即m r =，这与m r ≠矛盾，故不存在满足条件的正整数m ，k ，r ，便得m ，k ，r 成等差数列，且m C ，k C ，r C 成等比数列．。

2019届人教A版(理科数学) 立体几何单元测试

专题十一立体几何考点33：空间几何体的结构特征、三视图、直观图表面积和体积(1-8题,13-15题，17-19题)考点34：空间点、线、面的位置关系（9,10题）考点35：直线、平面平行的判定与性质(16,20题）考点36：直线、平面垂直的判定与性质（17-19,21,22题）考点37：与空间角和距离有关的计算（11,12题，20-22题）考试时间：120分钟满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I 卷（选择题）一、选择题1.如图,三棱锥V ABC -的底面ABC 是等腰直角三角形, AB BC =,侧面VAC 与底面垂直,已知其正视图的面积为3,则其侧视图的面积为( )A.B. 32C. 34D.2.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.4B.6C.20 3D.22 33某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( )A.10B.12C.14D.164.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.7B.15 2C.23 3D.47 65某几何体三视图如图1示,则此几何体的表面积为( )A.B.C.D.6.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为( )A. 1B.C.D. 27.如图,正方体1111ABCD A B C D 以顶点A 为球心, 2为半径作一个球,则图中球面与正方体的表面相交得到的两段弧长之和等于( )A. 56πB. 23πC. πD.76π8.如图为某几何体的三视图,求该几何体的内切球的表面积为( )A.14π B. 3π C. 4πD. 43π9.已知m ,n 是两条不同的直线, α,β,γ是三个不同的平面,下列命题中正确的是( )A.若m α⊥,m β⊥,则αβ⊥B.若αγ⊥,βγ⊥,则//αβC.若//m α,//m β,则//αβD.若m α⊥,//n α,则m n ⊥10.如图,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别是BC ,AD 的中点,将ABF ∆沿BF 所在直线进行翻折,将CDE ∆沿DE 所在直线进行翻折,在翻折过程中( )A.点A 与点C 在某一位置可能重合B.点A 与点CC.直线AB 与直线CD 可能垂直D.直线AF 与直线CE 可能垂直11.已知三棱柱111ABC A B C -,侧棱与底面垂直,1112AA AB BC ===,AB BC ⊥,点,,?P M N 分别是棱1111,,BB CC AC 的中点,则异面直线AP 与MN 所成角的余弦值为( )A.B.C.D.12.已知直二面角,,,l A AC l C αβα--∈⊥为垂足,,,B BD l D β∈⊥为垂足.若2,1AB AC BD ===,则D 到平面ABC 的距离等于( )A.B.C.D.二、填空题13.一个几何体的三视图如图所示(单位: m ),则该几何体的体积为 3m 。

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1．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E.(1)若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；(2)若OA＝3CE，求∠ACB的大小．解：(1)证明：如图，连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB.在Rt△AEC中，由已知得DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE.连接OE，则∠OBE＝∠OEB.又∠ACB＋∠ABC＝90°，所以∠DEC＋∠OEB＝90°，故∠OED＝90°，即DE是⊙O的切线．(2)设CE＝1，AE＝x.由已知得AB＝23，BE＝12－x2.由射影定理可得AE2＝CE·BE，即x2＝12－x2，即x4＋x2－12＝0.解得x＝3，所以∠ACB＝60°.2．如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．(1)证明：EF ∥BC ；(2)若AG 等于⊙O 的半径，且AE ＝MN ＝23，求四边形EBCF 的面积．解：(1)证明：由于△ABC 是等腰三角形，AD ⊥BC ，所以AD 是∠CAB 的平分线．又因为⊙O 分别与AB ，AC 相切于点E ，F ，所以AE ＝AF ，故AD ⊥EF .从而EF ∥BC .(2)由(1)知，AE ＝AF ，AD ⊥EF ，故AD 是EF 的垂直平分线．又EF 为⊙O 的弦，所以O 在AD 上．连接OE ，OM ，则OE ⊥AE .由AG 等于⊙O 的半径得AO ＝2OE ，所以∠OAE ＝30°. 因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形．因为AE ＝23，所以AO ＝4，OE ＝2.因为OM ＝OE ＝2，DM ＝12MN ＝3，所以OD ＝1.于是AD ＝5，AB ＝1033.所以四边形EBCF 的面积为12×⎝⎛⎭⎫10332×32－12×(23)2×32＝1633.3．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB ＝CE .(1)证明：∠D＝∠E;(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知CB＝CE得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．4．如图，P是⊙O外一点，P A是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC ＝2P A，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.证明：(1)连接AB ，AC . 由题设知P A ＝PD ，故∠P AD ＝∠PDA .因为∠PDA ＝∠DAC ＋∠DCA ，∠P AD ＝∠BAD ＋∠P AB ，∠DCA ＝∠P AB ，所以∠DAC ＝∠BAD ，从而BE ︵＝EC ︵. 因此BE ＝EC .(2)由切割线定理得P A 2＝PB ·PC .因为P A ＝PD ＝DC ，所以DC ＝2PB ，BD ＝PB . 由相交弦定理得AD ·DE ＝BD ·DC ，所以AD ·DE ＝2PB 2. 5．如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D .(1)证明：DB ＝DC ；(2)设圆的半径为1，BC ＝3，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径．解：(1)证明：连接DE ，交BC 于点G . 由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE .而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE . 又DB ⊥BE ，所以DE 为直径，则∠DCE ＝90°，由勾股定理可得DB ＝DC .(2)由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ，故DG 是BC 的中垂线，所以BG ＝32.设DE 的中点为O ，连接BO ，则∠BOG ＝60°. 从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°，所以CF ⊥BF ，故Rt △BCF 外接圆的半径等于32. 6．如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC ·AE ＝DC ·AF ，B ，E ，F ，C 四点共圆．(1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；(2)若DB ＝BE ＝EA ，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值．解：(1)证明：因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB ＝∠A ，由题设知BC F A ＝DCEA ，故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EF A ，所以∠CBA ＝∠CFE .因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以∠CBA ＋∠CFE ＝180°，所以∠CBA ＝ 90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．(2)连接CE ，因为∠CBE ＝90°，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE .由BD ＝BE ，有CE ＝DC ，又BC 2＝DB ·BA ＝2DB 2，所以CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2.而DC 2＝DB ·DA ＝3DB 2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12.7．如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，证明：(1)CD＝BC；(2)△BCD∽△GBD.证明：(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连接AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD.而∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，故△BCD∽△GBD.。

2019届一轮复习人教A版几何证明选讲单元测试

几何证明选讲是高考必考内容，主要考查相交弦定理、切割线定理、与圆有关的比例线段的计算与证明等，其中将相似三角形有关知识与相交弦定理、切割线定理相结合进行考查是高考考查的热点．常以解答题形式考查．相似三角形的判定与性质(1)判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．判定定理2：两边对应成比例并且夹角相等，两三角形相似．判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似．(2)性质定理1：相似三角形对应边上的高、中线、对应角平分线和它们周长的比都等于相似比．性质定理2：相似三角形的面积比等于相似比的平方．(3)推论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．判定两个三角形相似的四种常用方法(1)两角对应相等，两三角形相似；(2)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；(3)三边对应成比例，两三角形相似；(4)相似三角形的定义．[典例]如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，△ABC 的外接圆⊙O 的弦AE 交BC 于点D . 求证：△ABD ∽△AEB .(2)如图，已知⊙O 和⊙M 相交于A ，B 两点，AD 为⊙M 的直径，直线BD 交⊙O 于点C ，点G 为BD ︵的中点，连接AG 分别交⊙O ，BD 于点E ，F ，连接CE . ①求证：AG ·EF ＝CE ·GD ； ②求证：GF AG ＝EF 2CE2.[自主解答] (1)证明：因为AB ＝AC ，所以∠ABD ＝∠C .又因为∠C ＝∠E ，所以∠ABD ＝∠E . 又∠BAE 为公共角，所以△ABD ∽△AEB .(2)证明：①已知AD 为⊙M 的直径，连接AB ，可知∠ABD ＝90°，由弧BE 可得∠BCE ＝∠BAE ，∠CFE ＋∠BCE ＝∠AFB ＋∠BAE ＝90°，∠CEF ＝∠ABD ＝90°，由点G 为弧BD 的中点可知∠GAD ＝∠BAE ＝∠FCE ，故△CEF ∽△AGD ，所以有CE AG ＝EFGD，即AG ·EF ＝CE ·GD .②由①知∠DFG ＝∠CFE ＝∠ADG ，故△AGD ∽△DGF ，所以GF GD ＝DG AG ＝EF CE ，即GF AG ＝EF 2CE2.解答几何运算问题的三点注意(1)判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．(2)在证明角或线段相等时，要注意等量代换．(3)在证明线段的乘积相等时，通常用三角形相似或圆的切线定理．[变式训练]如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在BA 的延长线上．(1)若EC CB ＝13，ED DA ＝1，求DCAB的值； (2)若EF 2＝F A ·FB ，证明：EF ∥CD . 解：(1)∵A ，B ，C ，D 四点共圆， ∴∠EDC ＝∠EBF ，又∠AEB 为公共角， ∴△ECD ∽△EAB ，∴DC AB ＝EC EA ＝ED EB ，∴⎝⎛⎭⎫DC AB 2＝EC EA ·ED EB ＝EC EB ·ED EA ＝14×12＝18， ∴DC AB ＝24. (2)∵EF 2＝F A ·FB ，∴EF F A ＝FBFE，又∵∠EF A ＝∠BFE ，∴△F AE ∽△FEB ， ∴∠FEA ＝∠EBF ，又∵A ，B ，C ，D 四点共圆，∴∠EDC ＝∠EBF ，∴∠FEA ＝∠EDC ，∴EF ∥CD .1．圆的切线的性质及判定定理(1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．(2)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 2．弦切角的性质定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 3．直线与圆位置关系的“四定理”应用(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．处理与圆有关的比例线段的常见思路有： (1)利用相似三角形； (2)利用圆的有关定理；(3)利用平行线分线段成比例定理及推论； (4)利用面积关系等．[典例]如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE ︵＝AC ︵，DE 交AB 于点F ，且AB ＝2BP ＝4，(1)求PF 的长度；(2)若圆F 与圆O 内切，直线PT 与圆F 切于点T ，求线段PT 的长度． [自主解答](1)连接OC ，OD ，OE ，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系结合题中条件弧长AE 等于弧长AC 可得∠CDE ＝∠AOC ，又∠CDE ＝∠P ＋∠PFD ，∠AOC ＝∠P ＋∠OCP ，从而∠PFD ＝∠OCP ，故△PFD ∽△PCO ， ∴PF PC ＝PD PO，由割线定理知PC ·PD ＝P A ·PB ＝12，故PF ＝PC ·PD PO ＝124＝3.(2)若圆F 与圆O 内切，设圆F 的半径为r ，因为OF ＝2－r ＝1即r ＝1，所以OB 是圆F 的直径，且过P 点圆F 的切线为PT ，则PT 2＝PB ·PO ＝2×4＝8，即PT ＝2 2.注意“四定理”的应用(1)已知圆的切线时，第一要考虑切点和圆心的连线；第二应考虑弦切角定理；涉及线段成比例或线段的积时要考虑切割线定理．(2)相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例的计算与证明．在证明角或线段相等时，要注意等量代换．[变式训练]如图，AB ，CD 是半径为1的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，若PC ＝98，OP＝12，求PD 的长．解：(1)∵P 为AB 的中点，∴OP ⊥AB ，∴PB ＝r 2－OP 2＝32(r 为圆O 的半径)，又∵PC ·PD ＝P A ·PB ＝PB 2＝34，由PC ＝98，得PD ＝23.圆内接四边形的性质与判定定理 (1)性质：定理1：圆的内接四边形的对角互补．定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角． (2)判定：定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．[典例]如图，AB 是⊙O 的直径，G 是AB 延长线上的一点，GCD 是⊙O 的割线，过点G 作AG 的垂线，交直线AC 于点E ，交直线AD 于点F ，过点G 作⊙O 的切线，切点为H .(1)求证：C ，D ，E ，F 四点共圆； (2)若GH ＝6，GE ＝4，求EF 的长．[自主解答] (1)证明：连接DB (如图)， ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，在Rt △ABD 与Rt △AFG 中，∠ABD ＝∠AFE ，又∠ABD ＝∠ACD ，∴∠ACD ＝∠AFE ， ∴C ，D ，E ，F 四点共圆．(2)∵C ，D ，E ，F 四点共圆，∴GE ·GF ＝GC ·GD ，又GH 2＝GC ·GD ，所以GH 2＝GE ·GF ，又GH ＝6，GE ＝4，∴GF ＝9，EF ＝GF －GE ＝5.(1)在平面几何中求角的大小，经常考虑用三角形内角和定理及其推论． (2)在圆中求角的大小经常需要用与圆有关的角的定理． [变式训练] (2015·濮阳模拟)如图，圆周角∠BAC 的平分线与圆交于点D ，过点D 的切线与弦AC 的延长线交于点E ，AD 交BC 于点F .(1)求证：BC ∥DE ；(2)若D ，E ，C ，F 四点共圆，且弧AC 与弧BC 相等，求∠BAC . 解：(1)证明：DE 与圆相切， ∠EDC ＝∠EAD ，∠DCB ＝∠DAB ， AD 平分∠EAB ，∴∠EAD ＝∠DAB ，∴∠EDC ＝∠DCB ， ∴BC ∥DE .(2)弧AC 与弧BC 相等，设∠CAB ＝∠CBA ＝θ，∠DBC ＝∠CAD ＝12θ，∠EDA ＝∠DBA＝∠CBA ＋∠DBC ＝32θ，又∵D ，E ，C ，F 四点共圆，∴∠ACB ＝∠EDA ＝32θ，72θ＝π，∴∠BAC ＝2π7.1．如图在△ABC 中，AB ＝AC ，过点A 的直线与△ABC 的外接圆交于点P ，交BC 的延长线于点D .求证：∠ABP ＝∠D .证明：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，又∠ACB ＝∠APB ，∴∠ABC ＝∠APB ，又∠BAD ＝∠P AB ，∴△ABD ∽△APB ，即∠ABP ＝∠D .2．如图，AB 是⊙O 的直径，AD ⊥AB ，点F 是线段AD 上异于A 、D 的一点，且BD 、BF 与⊙O 分别交于点C 、E .求证：BC BE ＝BFBD.证明：连接AC ，EC ，∵∠BAC ＋∠ABC ＝90°，∠ABC ＋∠FDB ＝90°， ∴∠BAC ＝∠FDB ，又∠BAC ＝∠BEC ， ∴∠BEC ＝∠FDB ，又∠CBE ＝∠FBD ，∴△BCE∽△BFD，∴BCBE＝BFBD.3．如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：(1)∠MEN＋∠NOM＝180°；(2)FE·FN＝FM·FO.证明：(1)如图所示，因为M，N分别是弦AB，CD的中点，所以OM⊥AB，ON⊥CD，即∠OME＝90°，∠ENO＝90°，因此∠OME＋∠ENO＝180°.又四边形的内角和等于360°，故∠MEN＋∠NOM＝180°.(2)由(1)知，O，M，E，N四点共圆，故由割线定理即得FE·FN＝FM·FO.4．如图，已知AB是圆O的直径，AB＝4，EC是圆O的切线，切点为C，BC＝1.过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P.求OD.解：∵AB为直径，∴∠BCA＝90°.由OP ∥BC ，得OP ＝12BC ＝12，AC ＝16－1＝15，∴CP ＝P A ＝152. ∵EC 为⊙O 的切线，∴∠DCP ＝∠ABC ＝∠AOP . 又∵∠APO ＝∠CPD ，∴△DCP ∽△AOP ， ∴AP DP ＝OP PC， ∴DP ＝152，∴OD ＝152＋12＝8.5．如图，已知P A 与圆O 相切于点A ，经过点O 的割线PBC 交圆O 于点B 、C ，∠APC 的平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ，(1)证明：∠ADE ＝∠AED ； (2)若AC ＝AP ，求PCP A的值．解：(1)证明：∵P A 是切线，AB 是弦，∴∠BAP ＝∠C ，又∵∠APD ＝∠CPE ，∴∠BAP ＋∠APD ＝∠C ＋∠CPE . ∵∠ADE ＝∠BAP ＋∠APD ，∠AED ＝∠C ＋∠CPE . ∴∠ADE ＝∠AED .(2)由(1)知∠BAP ＝∠C ，又∠APC ＝∠BP A ， ∴△APC ∽△BP A ，PC P A ＝ACAB，∵AC ＝AP ，∠BAP ＝∠C ＝∠APC ，由三角形的内角和定理知：∠C ＋∠APC ＋∠P AC ＝180°，∵BC 是圆O 的直径，∴∠BAC ＝90°，∴∠C ＋∠APC ＋∠BAP ＝90°，∴∠C ＝∠APC ＝∠BAP ＝30°，在Rt △ABC 中，AC AB ＝3，∴PC P A ＝ 3. 6．如图，AB 切⊙O 于点B ，直线AO 交⊙O 于D ，E 两点，BC ⊥DE ，垂足为C .(1)证明：∠CBD ＝∠DBA ；(2)若AD ＝3DC ，BC ＝2，求⊙O 的直径．解：(1)证明：因为DE 为⊙O 直径，所以∠BED ＋∠EDB ＝90°.又BC ⊥DE ，所以∠CBD ＋∠EDB ＝90°，从而∠CBD ＝∠BED .又AB 切⊙O 于点B ，得∠DBA ＝∠BED ，所以∠CBD ＝∠DBA .(2)由(1)知BD 平分∠CBA ，则BA BC ＝AD CD＝3. 又BC ＝2，从而AB ＝3 2.所以AC ＝AB 2－BC 2＝4，所以AD ＝3.由切割线定理得AB 2＝AD ·AE ，即AE ＝AB 2AD＝6，故DE ＝AE －AD ＝3，即⊙O 的直径为3.7．已知圆内接△ABC 中，D 为BC 上一点，且△ADC 为正三角形，点E 为BC 的延长线上一点，AE 为圆O 的切线．(1)求∠BAE 的度数；(2)求证：CD 2＝BD ·EC .解：(1)在△EAB 与△ECA 中，因为AE 为圆O 的切线，所以∠EBA ＝∠EAC ，又∠E 公用，所以∠EAB ＝∠ECA .因为△ACD 为等边三角形，所以∠EAB ＝∠ECA ＝120°.(2)证明：因为AE 为圆O 的切线，所以∠ABD ＝∠CAE .因为△ACD 为等边三角形，所以∠ADC ＝∠ACD ，所以∠ADB ＝∠ECA ，所以△ABD ∽△EAC ，所以AD BD ＝EC CA，即AD ·CA ＝BD ·EC . 因为△ACD 为等边三角形，所以AD ＝AC ＝CD ，所以CD 2＝BD ·EC .8．如图：⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE ︵＝AC ︵，DE 交AB 于点F .(1)求证：O ，C ，D ，F 四点共圆；(2)求证：PF ·PO ＝P A ·PB .证明：(1)连接OC ，OE ，因为AE ︵＝AC ︵，所以∠AOC ＝∠AOE ＝12∠COE ，又因为∠CDE ＝12∠COE ，则∠AOC ＝∠CDE ，所以O ，C ，D ，F 四点共圆．(2)因为PBA 和PDC 是⊙O 的两条割线，所以PD ·PC ＝P A ·PB ，因为O ，C ，D ，F 四点共圆，所以∠PDF ＝∠POC ，又因为∠DPF ＝∠OPC ，则△PDF ∽△POC ，所以PD PO ＝PF PC，即PF ·PO ＝PD ·PC ，则PF ·PO ＝P A ·PB .。

2019版高考数学(人教版A版)练习：第九章第三节几何概型 Word版含解析

课时规范练 A 组基础对点练1．(2018·武汉武昌区调研)在区间[0,1]上随机取一个数x ，则事件“log 0.5(4x －3)≥0”发生的概率为( ) A.34 B.23 C.13D.14解析：因为log 0.5(4x －3)≥0，所以0<4x －3≤1，即34<x ≤1，所以所求概率P ＝1－341－0＝14，故选D. 答案：D2.如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( ) A ．1－π4B.π2－1 C ．2－π2D.π4解析：由题意知，两个四分之一圆补成半圆，其面积为12×π×12＝π2，矩形面积为2，则所求概率为2－π22＝1－π4.答案：A3．在棱长为3的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，则点P 到正方体各面的距离都不小于1的概率为( ) A.127 B.2627 C.827D.18解析：正方体中到各面的距离都不小于1的点的集合是一个中心与原正方体中心重合，且棱长为1的正方体，该正方体的体积是V 1＝13＝1，而原正方体的体积为V ＝33＝27，故所求的概率P ＝V 1V ＝127.答案：A4．已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12，则ADAB ＝( )A.12B.14C.32D.74解析：由已知，点P 的分界点恰好是边CD 的四等分点，由勾股定理可得AB 2＝(34AB )2＋AD 2，解得(AD AB )2＝716，即AD AB ＝74，故选D.答案：D5．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )A.π2B.π4C.π6D.π8解析：由几何概型的概率计算公式可知，质点落在以AB 为直径的半圆内的概率P ＝半圆的面积长方形的面积＝12π2＝π4，故选B.答案：B6．在区间⎣⎡⎦⎤－12，12上随机取一个数x ，则cos πx 的值介于22与32之间的概率为( ) A.13 B.14 C.15D.16解析：区间⎣⎡⎦⎤－12，12的长度为1，满足cos πx 的值介于22与32之间的x ∈⎝⎛⎭⎫－14，－16∪⎝⎛⎭⎫16，14，区间长度为16，由几何概型概率公式得P ＝161＝16.答案：D7．为了测量某阴影部分的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷600个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此可以估计阴影部分的面积是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：由投掷的点落在阴影部分的个数与投掷的点的个数比得到阴影部分的面积与正方形的面积比为13，所以阴影部分的面积约为9×13＝3.答案：B8．如图所示，A 是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为( )A.12 B.32C.13D.14解析：当AA ′的长度等于半径长度时，∠AOA ′＝π3，A ′点在A 点左右都可取得，故由几何概型的概率计算公式得P ＝2π32π＝13.答案：C9.如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x ＜0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( ) A.16 B.14 C.38D.12解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0，B 点坐标为(1,0)，所以C 点坐标为(1,2)，D 点坐标为(－2,2)，A 点坐标为(－2,0)，故矩形ABCD 的面积为2×3＝6，阴影部分的面积为12×3×1＝32，故P ＝326＝14.答案：B10．(2018·商丘模拟)已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2P A →＝0，现将一粒豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( ) A.14 B.13 C.12D.23解析：如图所示，设点M 是BC 边的中点，因为PB →＋PC →＋2P A →＝0，所以点P 是中线AM 的中点，所以黄豆落在△PBC 内的概率P ＝S △PBC S △ABC ＝12，故选C.答案：C11．设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R)，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A.34＋12π B.12＋1π C.12－1πD.14－12π解析：复数|z |≤1对应的区域是以(1,0)为圆心，以1为半径的圆及其内部，图中阴影部分表示在圆内(包括边界)且满足y ≥x 的区域，该区域的面积为14π－12×1×1＝14π－12，故满足y ≥x 的概率为14π－12π×12＝14－12π，故选D. 答案：D12．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，b ，则事件“⎩⎪⎨⎪⎧3a －1>03b －1>0”发生的概率为( )A.49 B.19 C.23D.13解析：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤10≤b ≤1.该不等式组表示的区域为一个边长为1的正方形，其面积是1.⎩⎨⎧3a －1>03b －1>00≤a ≤10≤b ≤1表示的区域为一个边长为23的正方形，面积是49，所以所求概率为49.答案：A13．(2018·郑州模拟)若不等式x 2＋y 2≤2所表示的平面区域为M ，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，y ≥2x －6表示的平面区域为N ，现随机向区域N 内抛一粒豆子，则豆子落在区域M 内的概率为________．解析：作出不等式组与不等式表示的可行域如图所示，平面区域N 的面积为12×3×(6＋2)＝12，区域M 在区域N 内的面积为14π(2)2＝π2，故所求概率P ＝π212＝π24.答案：π2414．在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.解析：由几何概型知56＝m －(－2)6，解得m ＝3.答案：315．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1>0”发生的概率为________．解析：由题意知0≤a ≤1，事件“3a －1>0”发生时，a >13且a ≤1，取区间长度为测度，由几何概型的概率公式得其概率P ＝1－131＝23.答案：2316．已知函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－5,5]，若从区间[－5,5]内随机抽取一个实数x 0，则所取的x 0满足f (x 0)≤0的概率为________．解析：令x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2，由几何概型的概率计算公式得P ＝2－(－1)5－(－5)＝310.答案：310B 组能力提升练1．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点的概率为( ) A.78 B.34 C.12D.14解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则试验的全部结果构成的区域为正方形ABCD 及其内部．要使函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点，则必须有Δ＝4a 2－4(－b 2＋π)≥0，即a 2＋b 2≥π，其表示的区域为图中阴影部分．故所求概率P ＝S 阴影S 正方形＝3π24π2＝34.答案：B2．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A.12－1π B.1π C ．1－2πD.2π解析：设OA ＝OB ＝r ，则两个以r 2为半径的半圆的公共部分面积为2[14π·(r 2)2－12×(r2)2]＝(π－2)r 28，两个半圆外部的阴影部分的面积为14πr 2－[12π(r 2)2×2－(π－2)r 28]＝(π－2)r 28，所以所求概率为2×(π－2)r 2814πr 2＝1－2π.答案：C3．在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12”的概率，p 2为事件“xy ≤12”的概率，则( ) A ．p 1<p 2<12B ．p 2<12<p 1C.12<p 2<p 1 D ．p 1<12<p 2解析：如图，满足条件的x ，y 构成的点(x ，y )在正方形OBCA 内，其面积为1.事件“x ＋y ≤12”对应的图形为阴影△ODE ，其面积为12×12×12＝18，故p 1＝18<12，事件“xy ≤12”对应的图形为斜线表示部分，其面积显然大于12，故p 2>12，则p 1<12<p 2，故选D.答案：D4.在底和高等长的锐角三角形中有一个内接矩形，矩形的一边在三角形的底边上，如图，在三角形内任取一点，则该点落入矩形内的最大概率为( ) A.12 B.13 C.25D.34解析：设矩形长为x ，宽为y ，则x a ＝a －y a ，y ＝a －x ，S 矩形＝xy ＝x (a －x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a －x 22＝a 24，其概率的最大值为(S 矩形)max S △＝12.故选A.答案：A5.把半径为2的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在半径为2的圆内，现在往该圆内任投一点，此点落在星形内的概率为 ( )A.4π－1 B.2π C.4π－12D.12解析：星形弧半径为2，所以点落在星形内的概率为P ＝π×22－⎝⎛⎭⎫π×224－12×2×2×2×4π×22＝4π－1，故选A.答案：A6．已知A (2,1)，B (1，－2)，C ⎝⎛⎭⎫35，－15，动点P (a ，b )满足0≤OP →·OA →≤2，且0≤OP →·OB →≤2，则动点P 到点C 的距离大于14的概率为( )A ．1－5π64B.5π64 C ．1－π16D.π16解析：依题意有⎩⎪⎨⎪⎧0≤2a ＋b ≤2，0≤a －2b ≤2，目标函数⎝⎛⎭⎫a －352＋⎝⎛⎭⎫b ＋152>14表示以C ⎝⎛⎭⎫35，－15为圆心，半径为14的圆外．画出可行域如图所示，可行域的面积为45，可行域内的圆外面积为45－π16，故概率为45－π1645＝1－5π64.故选A.答案：A7．运行如图所示的程序框图，如果在区间[0，e]内任意输入一个x 的值，则输出的f (x )值不小于常数e 的概率是( )A.1e B ．1－1eC ．1＋1eD.1e ＋1解析：由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，0≤x ≤1，ln x ＋e ，1<x ≤e ，如图所示，当1<x ≤e 时，f (x )>e ，故输出的f (x )值不小于常数e 的概率是e －1e ＝1－1e，故选B.答案：B8. 在区间[1,5]和[2,4]分别取一个数，记为a ，b ，则方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为( ) A.12 B.1532 C.1732D.3132解析：∵x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32，∴a >b >0，a <2b .它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为P ＝S 阴影S 矩形＝1－12×(1＋3)×2＋12×12×12×4＝1532，故选B.答案：B9．已知O ，A ，B 三地在同一水平面内，A 地在O 地正东方向2 km 处，B 地在O 地正北方向2 km 处，某测绘队员在A ，B 之间的直线公路上任选一点C 作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O 地为一磁场，距离其不超过 3 km 的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是( ) A.12 B.22C ．1－32D ．1－22解析：在等腰直角三角形OAB 中，以O 为圆心，3为半径的圆截AB 所得的线段长为2，而|AB |＝22，故该测绘队员能够得到准确数据的概率是1－222＝1－22，故选D.答案：D10．一只昆虫在边长分别为5,12,13的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于2的地方的概率为________．解析：如图所示，该三角形为直角三角形，其面积为12×5×12＝30，阴影部分的面积为12×π×22＝2π，所以其概率为2π30＝π15.答案：π1511．(2018·南昌质检)在边长为2的正方形ABCD 中有一个不规则的图形M ，用随机模拟方法来估计不规则图形的面积．若在正方形ABCD 中随机产生了10 000个点，落在不规则图形M 内的点数恰有2 000个，则在这次模拟中，不规则图形M 的面积的估计值为________．解析：由题意，因为在正方形ABCD 中随机产生了10 000个点，落在不规则图形M 内的点数恰有2 000个，所以概率P ＝2 00010 000＝15.∵边长为2的正方形ABCD 的面积为4，∴不规则图形M 的面积的估计值为15×4＝45. 答案：4512．已知正方形ABCD 的边长为2，H 是边DA 的中点．在正方形ABCD 内部随机取一点P ，则满足|PH |<2的概率为________．解析：如图，设E ，F 分别为边AB ，CD 的中点，则满足|PH |<2的点P在△AEH ，扇形HEF 及△DFH 内，由几何概型的概率计算公式知，所求概率为14π(2)2＋12×1×1×22×2＝π8＋14. 答案：π8＋1413．若m ∈(0,3)，则直线(m ＋2)x ＋(3－m )y －3＝0与x 轴、y 轴围成的三角形的面积小于98的概率为________．解析：对于直线方程(m ＋2)x ＋(3－m )y －3＝0，令x ＝0，得y ＝33－m ；令y ＝0，得x ＝3m ＋2，由题意可得12·|3m ＋2|·|33－m |<98，因为m ∈(0,3)，所以解得0<m <2，由几何概型的概率计算公式可得，所求事件的概率是23. 答案：23。

人教版2019学年高中数学第三章概率3.3几何概型检测新人教A版必修3

均匀随机数的产生A 级基础坚固一、选择题1．以下对于几何概型的说法中，错误的选项是()A．几何概型是古典概型的一种，基本事件都拥有等可能性B．几何概型中事件发生的概率与它的地址或形状没关C．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无量多个D．几何概型中每个结果的发生都拥有等可能性剖析：几何概型和古典概型是两种不同样的概率模型．答案： A2．有以下四个游戏盘，将它们水平放稳后，向上面扔一颗小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()剖析：A 中奖概率为38， B 中奖概率为14， C 中奖概率为13， D 中奖概率为13.答案：A3．在400 毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出 2 毫升水样放到显微镜下察看，则发现大肠杆菌的概率为()A．B．C．D．答案：D4．在2016 年春节期间， 3 路公交车由原来的每15 分钟一班改为现在的每10 分钟一班，在车站停 1 分钟，则乘客抵达站台立刻乘上车的概率是()1119A.10B.9C. 11D.10剖析：记“乘客抵达站台立刻乘上车”为事件A，则 A 所占时间地区长度为 1 分钟，1而整个地区的时间长度为10 分钟，故由几何概型的概率公式，得P( A)＝ 10.答案： A5．在腰长为 2 的等腰直角三角形内任取一点，则该点到此三角形的直角极点的距离小于 1的概率为 ()πππ π A.16B.8 C.4D. 2剖析：该点到此三角形的直角极点的距离小于1，则此点落在以直角极点为圆心、1114ππ为半径的 4圆内．所以所求的概率为 1＝ 8 .2×2×2答案： B二、填空题116．已知函数 f ( x ) ＝ log 2x ， x ∈ 2，2 ，在区间2，2 上任取一点 x 0，则使 f ( x 0) ≥ 0的概率为 ________．剖析：欲使 f ( x ) ＝log x ≥0，2则x ≥ ，而 x ∈ 1，2 ，所以 x 0 ∈[1 ， 2] ，1 22－1 2进而由几何概型概率公式知所求概率P ＝1＝ 3.2－22答案： 37．已知正三棱锥-的底面边长为4，高为 3，在正三棱锥内任取一点，使得S ABCPP- ABC<1 S- ABC的概率是 ________.V2VP- ABC1S- ABC0 0 0VS-A0B0C0剖析：由 V <2V知，P 点在三棱锥 S - ABC 的中截面 A B C 的下方，P ＝ 1－ VS-ABC17＝ 1－ 8＝ 8.答案：788．有一根长度为 3 m 的绳子，拉直后在随意地址剪断，那么剪得的两段的长度都不小于 1 m 的概率是 ________．剖析：从每一个地址剪断都是一个基本事件，剪断地址能够是长度为 3 m 的绳子上的随意一点．如上图，记“剪得两段的长都不小于 1 m”为事件A.把绳子三均分，于是当剪断位1置处在中间一段上时，事件 A 发生．由于中间一段的长度等于绳长的3，于是事件A发生1的概率 P( A)＝3.答案：1 3三、解答题9．一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m、宽 20 m 的长方形，求现在海豚嘴尖离岸边不高出 2 m 的概率．解：以以下列图所示，四边形ABCD是长30 m、宽20 m的长方形．图中的阴影部分表示事件 A“海豚嘴尖离岸边不高出 2 m”．问题可化为求海豚嘴尖出现在阴影部分的概率．由于 S 长方形ABCD＝30×20＝600(m2)，S长方形A′B′C′D′＝(30－4)×(2 0－4)＝416(m2)，所以 S 阴影部分＝ S长方形ABCD－ S 长方形A′B′C′D′＝600－416＝184(m2)，18423依照几何概型的概率公式，得P( A)＝600＝75≈0.31.10. 如图，在等腰直角三角形ABC中，过直角极点C在∠ ACB内部作一条射线CM，与线段 AB交于点 M.求 AM<AC的概率．解：这是几何概型问题且射线CM在∠ ACB内部．在 AB上取 AC′＝ AC，∠ ACC′＝180°－ 45°＝ 67.5 °.2A＝{在∠ ACB内部作一条射 CM，与段 AB交于点 M，AM<AC}，所有可能果的地区角度 90°，事件A的地区角度 67.5 °，67.5 3所以 P(A)＝90＝4.B能力提升1． (2016 ·全国Ⅱ卷 ) 从区 [0 ， 1] 随机抽取2n个数x1，x2，⋯，x n，y1，y2，⋯，y n，组成 n 个数( x1， y1)，( x2， y2)，⋯，( x n， y n)，其中两数的平方和小于 1 的数共有 m个，用随机模的方法获取的周率π 的近似()4n2n4m2mA. mB. mC.nD. n答案： C2．已知直y＝ x＋ b 的横截距在[－2，3]内，直在y 上的截距 b 大于1的概率是 ________．剖析：所有的基本事件组成的区度3－( －2) ＝5，因直在y 上的截距 b 大于1，所以直横截距小于－1，所以“直在y 上的截距 b 大于1”包含的基本事件组成的区度－1－ ( － 2)1＝ 1，由几何概型概率公式得直在y 上的截距 b 大于1的概率 P＝5.答案：1 53.如所示，已知 AB是半 O的直径， AB＝8，M，N，P是将半周四均分的三个分点．(1)从 A， B， M， N， P 5个点中任取3个点，求3个点成直角三角形的概率；(2)在半内任取一点 S，求△ SAB的面大于8 2的概率．解：(1) 从A，B，M，N，P这 5 个点中任取 3 个点，一共能够组成10 个三角形：△ABM，△ABN，△ ABP，△ AMN，△ AMP，△ ANP，△ BMN，△ BMP，△ BNP，△ MNP，其中是直角三角形的只有△ ABM，△ ABN，△ ABP3个，所以组成直角三角形的概率为3 10 .(2)以以下列图所示，连结 MP，取线段 MP的中点 D，则 OD⊥MP.易求得 OD＝2 2.1当点 S 在线段 MP上时，S△ABS2×8＝8 2，＝2×2所以只有当点S 落在阴影部分时，△的面积才能大于 8，而S阴影＝S扇形 MOP－△SAB2SOMP 1π212＝4π － 8，所以由几何概型的概率公式得△SAB的面积大于8 2的＝2·2·4 －2×4 4π－ 8π －2概率为8π＝2π.。

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