《二倍角的三角函数》课件
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二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
意向转换，逆用公式，应用时要对公式特点有一个整体
感知．主要逆用形式：2sinαcosα＝sin2α；cosα＝s2isni2nαα；
cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝cos2α；
2tanα 1－tan2α
＝tan2α.
[例2] 求下列各式的值：
(1)cosπ5cos25π；
＝1＋c2os2β－cos2β[sin2α＋12(1－2sin2α)]
＝1＋c2os2β－12cos2β＝12.
解法三：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)
原式＝
1－cos2α 2
1－cos2β ·2
＋
1＋cos2α 2
1＋cos2β ·2
－
1 2
cos2α·cos2β
＝
1 4
(1＋cos2α·cos2β－cos2α－cos2β)＋
[例3] 化简：sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－12cos2αcos2β.
[解析] 解法一：(从“角”入手，复角化单角) 原式＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－12(2cos2α－1)(2cos2β－1) ＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－12(4cos2α·cos2β－2cos2α－2cos2β ＋1) ＝sin2α·sin2β－cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β－12
自主预习 阅读教材P132－135回答下列问题． 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下表
三角函数
公式
正弦 in2α＝ 2sinαcosα
余弦
cos2α＝cos2α－sin2α ＝ 2cos2α－1 ＝ 1－2sin2α
正切
2tanα tan2α＝ 1－tan2α
二倍角公式课件
描述
通过二倍角公式，我们可以将一个角 度的三角函数值转化为两个较小角度 的三角函数值的组合，从而简化计算 过程。
二倍角公式的推导过程
推导
二倍角公式的推导主要基于三角函数的加法定理和倍角公式。通过将一个角度的三角函数值表示为两个较小角度的三 角函数值的和或差，再利用三角函数的加法定理进行化简，最终得到二倍角公式。
02
03
04
题目一
计算sin(45°)的值。
答案解析
通过二倍角公式，可以将45° 转换为2×22.5°，然后利用已 知的三角函数值进行计算。
题目二
求cos(135°)的值。
答案解析
利用二倍角公式，将135°转 换为2×67.5°，然后利用已知
的三角函数值进行计算。
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二倍角公式ppt课件
目录
• 二倍角公式的定义 • 二倍角公式的形式 • 二倍角公式的扩展 • 二倍角公式的应用 • 总结与回顾
01
二倍角公式的定义
Chapter
什么是二倍角公式
定义
二倍角公式是三角函数中一系列用于 计算二倍角度Leabharlann 正弦、余弦和正切的 公式。举例
二倍角公式中最常用的有正弦二倍角 公式、余弦二倍角公式和正切二倍角 公式。
二倍角公式的应用场景
应用领域
二倍角公式在数学、物理、工程等领域都有广泛的 应用。例如，在求解振动问题、波动问题、电磁学 问题等过程中，常常需要用到二倍角公式来化简角 度或计算相关量。
举例说明
在求解振动问题时，常常需要用到正弦二倍角公式 来计算振幅、频率等参数；在求解波动问题时，需 要用到余弦二倍角公式来计算波速、波长等参数； 在求解电磁学问题时，需要用到正切二倍角公式来 计算电场强度、磁场强度等参数。
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
二 化简三角函数式
【例3】 化简下列各式： (1)1s－inα2csoins2αα； (2)1－1tanθ2－1＋1tanθ2. 【分析】 本题主要考查二倍角公式和三角恒等变形与代 数恒等变形能力，重点考查逆用公式的能力．
1 【解】 (1)1s－inα2csoins2αα＝2csoisn22αα＝12tan2α. (2)解法1：原式＝1＋tan1θ2－－tan12θ2－tanθ2
∴定义域不关于原点对称．
∴原函数不具有奇偶性.
cos4π＋x＝sin2π－π4＋x
＝sinπ4－x＝153，
120 ∴原式＝1659＝2143.
13
解法二：原式＝scionsπ24π＋＋2xx ＝2sinπ4c＋osx4π·＋coxs4π＋x＝2sinπ4＋x. ∵sinπ4－x＝cos4π＋x＝153，且0<x<4π， ∴π4＋x∈π4，π2，
(4)原式＝2sin20°cos22s0in°2co0s°40°cos80° ＝2sin40°4csoins4200°°cos80° ＝2sin88s0in°2co0s°80°＝s8isni1n6200°°＝18.
规律技巧 解答此类题目一方面要注意角的倍数关系，另 一方面要注意函数名称的转化方法，同角三角函数的关系及诱 导公式是常用方法.
三 给值化简求值
【例4】，0<x<
π 4
，求
cos2x cos4π＋x
的
【分析】 解答本题可先化简所求式子，由化简的结果再
去寻求条件得出结论，或直接寻求条件，分析与所求式子的联
系，灵活求解．
【解】 解法一：∵x∈0，4π，∴4π－x∈0，4π. ∵sinπ4－x＝153，∴cos4π－x＝1123. 又cos2x＝sin2π－2x ＝2sinπ4－xcos4π－x ＝2×153×1123＝112609，
二倍角的三角函数_课件
42－12＝
2 4.
3．若sinα2＝ 33，则cosα＝( )
A．－23
B．－13
C．13 [答案] C
D．23
[解析]
本题考查了余弦的二倍角公式．因为sin
α 2
＝
3 3
，
所以cosα＝1－2sin2α2＝1－2( 33)2＝13.
4．函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是________，最大值
由题意得
sinα2－cosα2
2＝
1 5
，即1－sinα＝
1 5
，
得sinα＝45.而450°<α<540°，
∴cosα＝－35，∴tanα2＝1－sicnoαsα＝1－4－35＝2. 5
[规律总结]
利用半角公式求tan
α 2
的值时，为避免讨论，
一般尽量采用半角正切公式的有理式tan
α 2
＝
sinα 1＋cosα
(2)要使 f(x)≥32，只需 22sin(2x＋π4)≥0， 即 sin(2x＋π4)≥0， 由 2kπ≤2x＋π4≤2kπ＋π(k∈Z)得， kπ－π8≤x≤kπ＋38π，k∈Z， 又 x∈[0，π]，∴0≤x≤38π或78π≤x≤π. 故使不等式 f(x)≥32(x∈[0，π])成立的 x 的取值范围是[0，38π] ∪[78π，π]．
2．半角公式 (1)sinα2＝±____1_－__2c_o_s_α_.
1＋cosα (2)cosα2＝±_______2____. (3)tanα2＝_±____11_－＋__ccoo_ss_αα_＝___1_＋_s_icn_oα_s_α___＝___1_－s_i_cno_αs_α____. 在这些公式中，根号前面的符号由α2所在象限相应的三角函 数值的符号确定，如果α2所在象限无法确定，则应保留根号前面 的正、负两个符号．
高中数学第三章三角恒等变换3.2二倍角的三角函数第1课时二倍角的三角函数课件苏教版必修
解析答案
π 5π (2)sin12sin 12 ；
π π 2sin12cos12 π 5π π π 解 sin 12sin 12＝sin 12cos 12＝ 2 π sin 6 1 ＝ 2 ＝4.
解析答案
1 3 (3)sin 50° ＋cos 50° .
解
1 3 ＋ 2 sin 50° cos 50° ＋ 3sin 50° 22cos 50° 原式＝ sin 50° ＝ cos 50° 1 × 2sin 50° cos 50° 2
π 2π (1)cos 5cos 5 ；
解 π π 2π 2sin 5cos5cos 5 π 2π cos5cos 5 ＝ π 2sin 5
2π 2π 2π 2π 4π sin 5 cos 5 2sin 5 cos 5 sin 5 1 ＝ ＝ π ＝ π π ＝4. 2sin 5 4sin 5 4sin5
解析答案
类型三 化简问题
例3 1＋sin 4α－cos 4α 化简： . 1＋sin 4α＋cos 4α
1－cos 4α＋sin 4α 解 原式＝ 1＋cos 4α＋sin 4α
2sin22α＋2sin 2αcos 2α ＝ 2cos22α＋2sin 2αcos 2α 2sin 2αcos 2α＋sin 2α ＝ ＝tan 2α. 2cos 2αcos 2α＋sin 2α
解析 f(x)＝cos 2x＋4sin x＝1－2sin2x＋4sin x
＝－2sin2x＋4sin x＋1＝－2(sin x－1)2＋3.
当sin x＝1时，f(x)max＝3；
当sin x＝－1时，f(x)min＝－5.
解析答案
1
2
3
4
5
解
新教材高中数学第4章三角恒等变换3二倍角的三角函数公式 二倍角公式课件北师大版必修第二册
＝4sin
30°cos 10°－cos 30°sin 2sin 10°cos 10°
10°＝4ssiinn2200°°＝4.
(5)原式＝2sin
20°·cos 20°·cos 40°·cos 2sin 20°
80°
＝2sin
40°·cos 4sin
40°·cos 20°
80°＝2sin88s0in°·2s0in°80°＝s8isnin16200°°＝18.
关键能力•攻重难
题型探究
题型一
利用二倍角公式给角求值问题
例 1 求下列各式的值：
(1)sin
π 12cos
1π2；(2)1－2sin2750°；(3)1－2tatnan125105°0°；
(4)sin110°－cos 130°；(5)cos 20°cos 40°cos 80°.
[分析] 观察角的特点 → 寻求角的联系 → 选择公式 → 化简求值
第四章 三角恒等变换
§3 二倍角的三角函数公式
3.1 二倍角公式
课程标准
核心素养
通过推导二倍角公式以及三角恒等 能从两角和的正弦公式推导出倍角
变换,重点提升数学抽象、逻辑推 的正弦、余弦、正切公式.
理、数学运算素养.
必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基
必备知识•探新知
基础知识 知识点1 二倍角的正弦、余弦及正切公式
思考2：如何证明“缩角升幂公式”？ 提示：因为sin2α＋cos2α＝1, 所以cos 2α＝cos2α－sin2α ＝cos2α－(1－cos2α)＝2cos2α－1； cos 2α＝cos2α－sin2α ＝(1－sin2α)－sin2α＝1－2sin2α.
基础自测
二倍角的三角函数PPT优秀课件
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
当
时
ta n()
tantan
1tantan
1
2
tan tan
2
（
2
k
且
4
k 2
，
k
z）
04.03.2020
彬县中学
5
抽象概括
si2 n2sin co ;s S2
co 2 sc2 o ssi2 n C2
cos22cos21 变换，即可将
cos21cos2
2
“二次式”与 “一次式”互 化.
04.03.2020
彬县中学
9
典例解析
• 例1：已知 ta n1,求 ta2 n的.值
2
• 解：ta2 n 1 2tta a 2 n n 3 4.
• 例2：设是第二象限角c， os已 知 0.6, 求sin2,co2s和tan2的值 .
126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。――[怀特曼] 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。――[G.K.Chesteron]
128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。――[马克吐温] 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。――[约翰·鲁斯金]
当
时
ta n()
tantan
1tantan
1
2
tan tan
2
（
2
k
且
4
k 2
，
k
z）
04.03.2020
彬县中学
5
抽象概括
si2 n2sin co ;s S2
co 2 sc2 o ssi2 n C2
cos22cos21 变换，即可将
cos21cos2
2
“二次式”与 “一次式”互 化.
04.03.2020
彬县中学
9
典例解析
• 例1：已知 ta n1,求 ta2 n的.值
2
• 解：ta2 n 1 2tta a 2 n n 3 4.
• 例2：设是第二象限角c， os已 知 0.6, 求sin2,co2s和tan2的值 .
126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。――[怀特曼] 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。――[G.K.Chesteron]
128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。――[马克吐温] 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。――[约翰·鲁斯金]
第三章 §3 第一课时 二倍角的三角函数
解：(1)∵sin 38π＝sinπ2－π8＝cos π8，
∴sin
π 8sin
38π＝sin
π 8cos
π8＝12·2sin
π8cosπ8＝12sin 4π＝
2 4.
(2)∵cos275°＝cos2(90°－15°)＝sin215°，
∴cos215°－cos275°＝cos215°－sin215°＝cos 30°＝ 23.
∴cos 2x＝13. ∵x∈π2，π，∴2x∈(π，2π)．
∴sin
2x＝－2 3
2 .
∴sin
4x＝2sin
2xcos
2x＝－4
9
2 .
∴cos 4x＝2cos22x－1＝2×19－1＝－79.
∴tan
4x＝csions
44xx＝4 7
2 .
法二：(变结构求值)
由 sinπ4＋xsinπ4－x＝16，
＝sin 22.5°·(－cos 22.5°)
＝－12sin
45°＝－
2 4.
答案：－
2 4
考点一 给角求值
[典例] 求下列各式的值： (1)sin1π2cos1π2；(2)1－2sin2750°； (3)1－2tatann125105°0°；(4)sin110°－cos 310°； (5)cos 20°cos 40°cos 80°.
(2)
原
式
＝
1＋tan θ－1－tan θ 1－tan θ1＋tan θ
＝
tan θ＋tan θ 1－tan2θ
＝
1－2tatannθ2θ＝tan 2θ.
[类题通法] 三角函数式化简的四个方向
三 角 函 数 式 的 化 简 有 四 个 方 向 ， 即 分 别 从 “ 角 ”“ 函 数 名”“幂”“形”着手分析，消除差异．
高考总复习数学两角和与差及二倍角的三角函数公式ppt课件
2tanα
sin2α＝___2_s_in_α_c_o_s_α___；tan2α＝____1_－__t_a_n_2α__.
3．降次公式
1＋cos2α
1－cos2α
cos2α＝_______2_____；sin2α＝________2____.
5
4．辅助角公式 asinx＋bcosx＝ a2＋b2sin(x＋φ)． 其中 cosφ＝ a2a＋b2，sinφ＝ a2b＋b2， tanφ＝ba，角 φ 称为辅助角．
8
考点 1 三角函数式的化简 例 1：已知函数 f(x)＝sincoxs＋2xπ4. (1)求函数 f(x)的定义域； (2)若 f(x)＝43，求 sin2x 的值．
9
解：(1)由题意，sinx＋π4≠0，∴x＋π4≠kπ(k∈Z)． 即 x≠kπ－π4 (k∈Z)．
函数 f(x)的定义域为xx≠kπ－π4，k∈Z
1－sin2B＝－
3 ＝－3 10
10 10 .
20
∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB
＝－2
5
5×－3 1010－
55×
1100＝
2 2.
又∵π2<A<π，π2<B<π，
∴π<A＋B<2π，∴A＋B＝74π.
21
【方法与技巧】通过求角的某种三角函数值来求角，在选 取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数； ②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是
即ffxxmmainx＝＝－2＋1＋a＋a＋1，1， ∴2a＋3＝3，即 a＝0.
14
考点 2 三角函数式的求值
例 2：化简求值：(1)tan15°； (2)1t－an4ta2n°4＋2°ttaann1188°°； (3)11－＋ttaann1155°°； (4)tan20°＋tan40°＋ 3tan20°tan40°. 解：(1)体会正用公式：tan15°＝tan(60°－45°)＝ 1t＋an6ta0n°6－0°ttaann4455°°＝1＋3－13＝2－ 3. (2)体会逆用公式：1t－an4ta2n°4＋2°ttaann1188°°＝tan(42°＋18°)＝tan60° ＝ 3.又Biblioteka α为第二象限角，∴sinα＝2
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
两边式子中角间的倍角关系，先用倍角公式统一角，再用
同角三角函数基本关系式等完成证明．
跟踪训练 2
化简：11＋ ＋ssiinn
2θ－cos 2θ＋cos
2θ 2θ.
解
方法一
原式＝11－ ＋ccooss
2θ＋sin 2θ＋sin
22θθ＝22csoins22θθ＋＋22ssiinn
θcos θcos
θ θ
二倍角的正弦、余弦、正切公式
1．倍角公式
1
(1)S2α：sin 2α＝ 2sin αcos α
，sin
α 2cos
α2＝
2sin α
；
(2)C2α：cos 2α＝ cos2α－sin2α ＝ 2cos2α－1 ＝ 1－2sin2α ；
2tan α (3)T2α：tan 2α＝ 1－tan2α .
2．倍角公式常用变形 (1)s2isnin2αα＝ cos α ，2sicnos2αα＝ sin α ；
跟 解踪原训式练＝3 scion已sπ24π知＋＋2sxixn＝π4－2sxin＝π4c＋o15s3x，4πc＋o0s<xxπ4<＋π4x，＝求2csoicnsoππ4s4＋＋2xxx.的值． ∵sinπ4－x＝cos4π＋x＝153，且 0<x<4π，
∴π4＋x∈π4，π2，
∴sinπ4＋x＝
1－cos2π4＋x＝1123，
(2)cos 3α＝cos(2α＋α)＝cos 2αcos α－sin 2αsin α ＝(2cos2α－1)cos α－2sin2αcos α ＝(2cos2α－1)cos α－2(1－cos2α)cos α ＝2cos3α－cos α－2cos α＋2cos3α ＝4cos3α－3cos α.
4.3二倍角的三角函数公式(教学课件)-高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册
2tan
sin
（3）注意多种方法的应用；（4）由式子结构，可运用 2＝1−tan2和tan 2 ＝1+cos 求解.
高中数学
必修第二册
北师大版
1−2cos2
解：（1）原式＝
2
8
−cos
＝
2
4
2
＝- 4 .
（2）原式＝tan 300°＝tan（360°-60°）＝-tan 60°＝- 3.
π
< 4 + < 2π.
3
π
π
4
π
4
∵cos( 4 + )＝5，∴sin( 4 + )＝ − 1 − cos 2 ( 4 + )＝-5，∴tan( 4 + )＝-3.
π
π
π
9
7
又-cos( 2 + 2)＝-cos2( 4 + )＝-[2cos 2 ( 4 + ) − 1]＝1-2 × 25＝25.
π
3
7π
5π
，∴
4
3
π
π
π
< 4 + < 2π，∴sin( 4 + ) < 0.
4
又cos( 4 + )＝5，∴sin( 4 + )＝− 5.
π
π
π
π
sin 2+2sin2 2sin cos +2sin2 2sin cos (cos +sin ) sin 2· 2(sin 4 cos +cos 4 sin ) −cos( 2 +2)sin( 4 +)
9
4
sin
（3）注意多种方法的应用；（4）由式子结构，可运用 2＝1−tan2和tan 2 ＝1+cos 求解.
高中数学
必修第二册
北师大版
1−2cos2
解：（1）原式＝
2
8
−cos
＝
2
4
2
＝- 4 .
（2）原式＝tan 300°＝tan（360°-60°）＝-tan 60°＝- 3.
π
< 4 + < 2π.
3
π
π
4
π
4
∵cos( 4 + )＝5，∴sin( 4 + )＝ − 1 − cos 2 ( 4 + )＝-5，∴tan( 4 + )＝-3.
π
π
π
9
7
又-cos( 2 + 2)＝-cos2( 4 + )＝-[2cos 2 ( 4 + ) − 1]＝1-2 × 25＝25.
π
3
7π
5π
，∴
4
3
π
π
π
< 4 + < 2π，∴sin( 4 + ) < 0.
4
又cos( 4 + )＝5，∴sin( 4 + )＝− 5.
π
π
π
π
sin 2+2sin2 2sin cos +2sin2 2sin cos (cos +sin ) sin 2· 2(sin 4 cos +cos 4 sin ) −cos( 2 +2)sin( 4 +)
9
4
5.5.1 第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式(课件)
数学 必修 第一册 A
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第五章 三角函数
2．二倍角的余弦公式的运用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．二倍角的常用形
式：
①1＋cos
2α
＝2cos2α，
②
cos2α
＝
1＋cos 2
2α
，
③
1
－
cos
2α＝2sin2α，④sin2α＝
1－cos 2α 2.
数学 必修 第一册 A
地活用公式．主要形式有：1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2,1＋cos
2α＝2cos2α，cos2α＝1＋c2os
2α，sin2α＝1－c2os
2α .
数学 必修 第一册 A
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第五章 三角函数
随堂本课小结
1．对“二倍角”应该有广义的理解 运用二倍角公式，首先要准确把握“二倍角”这个概念，明确“倍角”的相对性， 它指的是两个角的一个“倍数”关系，不仅仅指 2α 是 α 的二倍角，还可以指α2是α4的 二倍角等．
数学 必修 第一册 A
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第五章 三角函数
探究二 二倍角公式的灵活运用问题
求下列各式的值： (1)－23＋43cos2 15°＝________. (2)tan1π2－tan11π2＝________. (3)cos 20°cos 40°cos 80°＝________. 解析 (1)原式＝23(2cos215°－1)＝23cos 30°＝ 33.
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)
(3)要使 T2α 有意义，需要 α≠±π4＋kπ 且 α≠π2＋kπ(k∈Z)．(
)
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1 s in 2 c o s 2
.
【解析】(1)∵tanα= ∴cosα=
co s
2
1 2
,α∈(0,
2
2
)
1 ta n + 1
2
=
cos sin + c o s
2 2
=
=
2 5
5
∴
s i n 2 c o s -s i n sin 2 co s2
1 4
=
s i n -c o s sin co s
=1
可知sinα-cosα=sinαcosα, ∴1-sin2α= sin22α
∴sin2α=2 2 -2或sin2α=-2-2 2 (舍去). 答案：2 2 -2
三、解答题（每题8分，共16分） 7.已知sin(
4
-α )sin(
1
)
(B)
1 4 1 16
(C) 1
8
(D)
【解题提示】
【解析】选D.原式= = =
sin 4 0 c o s4 0 c o s8 0 4 sin 2 0
° ° °
2 sin 2 0 co s2 0 co s4 0 co s8 0 2 sin 2 0
°
°
°
°
°
°
1 2
=
sin 8 0 co s8 0 8 sin 2 0
5 4
,得cos2θ= ,
10
9 10
,
5 4 ,得sin2θ= 1
∴sin4θ+cos4θ=(
答案：4 1
50
9 10
)2+(
1 10
) 2=
82 100
=
41 50
6.若
1 co s
-
1 sin 1 -
=1,则sin2α =_______________.
1 sin
【解析】由
co s
°
°
°
sin 1 6 0 1 6 sin 2 0
° °
=
1 16
.
二、填空题（每题4分，共8分） 5.（2010·长沙高一检测）若cos2θ =45,则sin4θ +cos4θ 的 值是____________________. 【解析】由cos2θ=2cos2θ-1= 由cos2θ=1-2sin2θ=
【解析】选B.1-2sin222.5°=cos45°=
.
2.（2010·大庆高一检测）下列各式中，值为
1 2
的是(
)
(A)sin15°cos15°
(B)cos2
1 2
12
-sin2
6
12
(C)
1 2
cos
(D)
ta n 2 2 .5
2
1 - ta n 2 2 .5
【解析】选D.sin15°cos15°=
∴cosθ=
∴
1 2
.又∵0<θ≤
1 2
,
≤cosθ<1,即
≤
a+1 a -1
<1,
解得:a≤-3.
,
∴cos2α= 又0<α<
2
.
,∴0<2α<π,
7 3
∴sin2α=
.
8.（2010·衡水高一检测）（1）已知α 为锐角，且 tanα =
1 2
,求
sin 2 c o s - sin sin 2 c o s 2
的值.
(2)化简： 1 s in 2 - c o s 2
4
+α )=
2 6
(0<α <
2
)，求
sin2α 的值.
【解析】∵sin(
=cos(
4
4
-α)=cos［
2
-(
4
-α)］
+α),
4
∴sin(
=
1 2
-α)sin(
4
2 3
4
+α)=sin(
1 2
4
+α)cos(
1 2
4
+α)
2 6
sin［2(
+α)］=
sin(
2
+2α)=
cos2α=
1 2
tan45°=
.
3.（2010·马鞍山高一检测）已知f(tanx)=tan2x，则f(2)等 于( (A) 4 (C)2 3
) (B)
4 5
(D)-
4 3
【解题提示】 【解析】选D.由题意可知tanx=2,
∴tan2x=
2 ta n x 1 - ta n x
2
=
4 1 -4
=-
4 3
.
4.cos20°cos40°cos60°cos80°的值为( (A) 2
2 s i n c o s -s i n 2 sin co s co s2
2
=
2
=
2 c o s -1 2 co s co s2
2
=
1 2 co s
=
5 4
.
(2)原式
=
sin 2 + 2 sin sin 2 + 2 co s
2
=
2 sin (c o s + sin ) 2 c o s (sin + c o s )
cos2
12
1 2
sin30°=
1 4
;
-sin2
12
=cos
6
=Hale Waihona Puke 3 2;1 2
1 2
cos
6
=
1 2
+
1 2
3 2
=
2 4
3
=
2+ 3 2
;
ta n 2 2 .5
2
=
1 2
1
2 ta n 2 2 .5
1 - ta n 2 2 .5
2 1 - ta n 2 2 2 .5
=
学习目标定位
基础自主学习
典例精析导悟
课堂基础达标
知能提升作业
一、选择题（每题4分，共16分） 1.（2010·福建高考）计算1-2sin222.5°的结果等于( )
1
2
（A） 2
（C）
3 3
（B） 2
（D）
3 2
2 2
=tanα.
9.（10分）已知θ 是三角形中的一个最小的内角，且 acos2
2
+sin2
2
-cos2
2
-asin2
2
=a+1,求a的取值范围.
【解析】将原式变形： a(cos2
2
-sin2
a+1 a -1
2
)-(cos2
2
-sin2
3
2
)=a+1,
即（a-1）cosθ=a+1,显然a≠1,
.
【解析】(1)∵tanα= ∴cosα=
co s
2
1 2
,α∈(0,
2
2
)
1 ta n + 1
2
=
cos sin + c o s
2 2
=
=
2 5
5
∴
s i n 2 c o s -s i n sin 2 co s2
1 4
=
s i n -c o s sin co s
=1
可知sinα-cosα=sinαcosα, ∴1-sin2α= sin22α
∴sin2α=2 2 -2或sin2α=-2-2 2 (舍去). 答案：2 2 -2
三、解答题（每题8分，共16分） 7.已知sin(
4
-α )sin(
1
)
(B)
1 4 1 16
(C) 1
8
(D)
【解题提示】
【解析】选D.原式= = =
sin 4 0 c o s4 0 c o s8 0 4 sin 2 0
° ° °
2 sin 2 0 co s2 0 co s4 0 co s8 0 2 sin 2 0
°
°
°
°
°
°
1 2
=
sin 8 0 co s8 0 8 sin 2 0
5 4
,得cos2θ= ,
10
9 10
,
5 4 ,得sin2θ= 1
∴sin4θ+cos4θ=(
答案：4 1
50
9 10
)2+(
1 10
) 2=
82 100
=
41 50
6.若
1 co s
-
1 sin 1 -
=1,则sin2α =_______________.
1 sin
【解析】由
co s
°
°
°
sin 1 6 0 1 6 sin 2 0
° °
=
1 16
.
二、填空题（每题4分，共8分） 5.（2010·长沙高一检测）若cos2θ =45,则sin4θ +cos4θ 的 值是____________________. 【解析】由cos2θ=2cos2θ-1= 由cos2θ=1-2sin2θ=
【解析】选B.1-2sin222.5°=cos45°=
.
2.（2010·大庆高一检测）下列各式中，值为
1 2
的是(
)
(A)sin15°cos15°
(B)cos2
1 2
12
-sin2
6
12
(C)
1 2
cos
(D)
ta n 2 2 .5
2
1 - ta n 2 2 .5
【解析】选D.sin15°cos15°=
∴cosθ=
∴
1 2
.又∵0<θ≤
1 2
,
≤cosθ<1,即
≤
a+1 a -1
<1,
解得:a≤-3.
,
∴cos2α= 又0<α<
2
.
,∴0<2α<π,
7 3
∴sin2α=
.
8.（2010·衡水高一检测）（1）已知α 为锐角，且 tanα =
1 2
,求
sin 2 c o s - sin sin 2 c o s 2
的值.
(2)化简： 1 s in 2 - c o s 2
4
+α )=
2 6
(0<α <
2
)，求
sin2α 的值.
【解析】∵sin(
=cos(
4
4
-α)=cos［
2
-(
4
-α)］
+α),
4
∴sin(
=
1 2
-α)sin(
4
2 3
4
+α)=sin(
1 2
4
+α)cos(
1 2
4
+α)
2 6
sin［2(
+α)］=
sin(
2
+2α)=
cos2α=
1 2
tan45°=
.
3.（2010·马鞍山高一检测）已知f(tanx)=tan2x，则f(2)等 于( (A) 4 (C)2 3
) (B)
4 5
(D)-
4 3
【解题提示】 【解析】选D.由题意可知tanx=2,
∴tan2x=
2 ta n x 1 - ta n x
2
=
4 1 -4
=-
4 3
.
4.cos20°cos40°cos60°cos80°的值为( (A) 2
2 s i n c o s -s i n 2 sin co s co s2
2
=
2
=
2 c o s -1 2 co s co s2
2
=
1 2 co s
=
5 4
.
(2)原式
=
sin 2 + 2 sin sin 2 + 2 co s
2
=
2 sin (c o s + sin ) 2 c o s (sin + c o s )
cos2
12
1 2
sin30°=
1 4
;
-sin2
12
=cos
6
=Hale Waihona Puke 3 2;1 2
1 2
cos
6
=
1 2
+
1 2
3 2
=
2 4
3
=
2+ 3 2
;
ta n 2 2 .5
2
=
1 2
1
2 ta n 2 2 .5
1 - ta n 2 2 .5
2 1 - ta n 2 2 2 .5
=
学习目标定位
基础自主学习
典例精析导悟
课堂基础达标
知能提升作业
一、选择题（每题4分，共16分） 1.（2010·福建高考）计算1-2sin222.5°的结果等于( )
1
2
（A） 2
（C）
3 3
（B） 2
（D）
3 2
2 2
=tanα.
9.（10分）已知θ 是三角形中的一个最小的内角，且 acos2
2
+sin2
2
-cos2
2
-asin2
2
=a+1,求a的取值范围.
【解析】将原式变形： a(cos2
2
-sin2
a+1 a -1
2
)-(cos2
2
-sin2
3
2
)=a+1,
即（a-1）cosθ=a+1,显然a≠1,