高二年级《数学》期终试卷
2023-2024学年河北省部分高中高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河北省部分高中高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线l ：2x +√3y −1=0的斜率为（ ） A ．−2√33B ．−√32C ．2√33D ．√322．若方程x 2+y 2+4x +2y ﹣m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣5）B ．（﹣5，+∞）C ．（﹣∞，5）D ．（5，+∞）3．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 29+y 25=1的左、右焦点，P 是椭圆E 上一点，若|PF 1|＝2，则|PF 2|＝（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且PD →=3DC →，则BD →在AC →方向上的投影向量为（ ）A ．34AC →B ．−23AC →C ．−34AC →D ．23AC →5．若圆O 1：x 2+y 2＝25与圆O 2：（x ﹣7）2+y 2＝r 2（r ＞0）相交，则r 的取值范围为（ ） A ．[2，10]B ．（2，10）C ．[2，12]D ．（2，12）6．若A （2，2，1），B （0，0，1），C （2，0，0），则点A 到直线BC 的距离为（ ） A ．2√305B ．√305C ．2√55D ．√557．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 作双曲线C 的其中一条渐近线l 的垂线，垂足为A （第一象限），并与双曲线C 交于点B ，若FB →=BA →，则l 的斜率为（ ） A ．2B ．1C ．12D ．−748．已知实数x ，y 满足2x ﹣y +2＝0，则√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8的最小值为（ ） A ．3√13B ．10+√13C ．108D ．117二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，则（ ）A ．BC →−A 1A →=AD 1→B ．BC →−A 1A →=2AD 1→C ．EF →=12A 1C 1→D ．EF →=A 1C 1→10．在同一直角坐标系中，直线l ：y ＝mx +1与曲线C ：x 2+my 2＝1的位置可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是椭圆E 上一点，且|PF 1|=43|PF 2|，cos ∠PF 2F 1=35，则下列结论正确的有（ ） A ．椭圆E 的离心率为57B ．椭圆E 的离心率为45C ．PF 1⊥PF 2D ．若△PF 1F 2内切圆的半径为2，则椭圆E 的焦距为1012．苏州博物馆（图一）是地方历史艺术性博物馆，建筑物的顶端可抽象为如图二所示的上、下两层等高的几何体，其中上层EFGH ﹣NPQM 是正四棱柱，下层底面ABCD 是边长为4的正方形，E ，F ，G ，H 在底面ABCD 的投影分别为AD ，AB ，BC ，CD 的中点，若AF =√5，则下列结论正确的有（ ）A ．该几何体的表面积为32+8√2+4√6B ．将该几何体放置在一个球体内，则该球体体积的最小值为36πC ．直线CP 与平面ABF 所成角的正弦值为√63D ．点M 到平面BFG 的距离为√63三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知点N 是点M （3，3，4）在坐标平面Oxz 内的射影，则|ON →|= ． 14．若双曲线C ：x 2m+1+y 2m 2−m−2=1的实轴长与虚轴长相等，则m ＝ ．15．过点M(√3，0)作圆C ：x 2+（y ﹣1）2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为 ．16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AM ＝2MB ，N 为DD 1的中点，记平面CMN 与平面ADD 1A 1的交线为l ，则直线l 与直线AC 1所成角的余弦值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知直线l 1：x +ay ﹣a +2＝0与l 2：2ax +（a +3）y +a ﹣5＝0． （1）当a ＝1时，求直线l 1与l 2的交点坐标； （2）若l 1∥l 2，求a 的值．18．（12分）如图，在正四棱锥P ﹣ABCD 中，E ，F 分别为P A ，PC 的中点，DG →=2GP →． （1）证明：B ，E ，G ，F 四点共面．（2）记四棱锥P ﹣BEGF 的体积为V 1，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为V 2，求V 1V 2的值．19．（12分）已知P 是圆C ：x 2+y 2＝12上一动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足PQ →=2PM →，记点M 的轨迹为E ． （1）求E 的方程；（2）若A ，B 是E 上两点，且线段AB 的中点坐标为(−85，25)，求|AB |的值．20．（12分）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB 的长为16米，最大高度CD 的长为4米，以C 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立直角坐标系． （1）求该圆弧所在圆的方程；（2）若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体）21．（12分）如图，在斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，△ABC 是边长为2的等边三角形，M ，Q 分别为AC ，A 1B 1的中点，且MQ ⊥AB ． （1）证明：MC 1⊥AB ．（2）若BB 1＝4，MQ =√15，求平面MB 1C 1与平面MC 1Q 夹角的余弦值．22．（12分）如图，已知F 1(−√10，0)，F 2(√10，0)分别是双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，P(−2√103，√63)是E 上一点． （1）求E 的方程．（2）过直线l ：x ＝1上任意一点T 作直线l 1，l 1与E 的左、右两支相交于A ，B 两点．直线l 1关于直线l 对称的直线为l 2（与l 1不重合），l 2与E 的左、右两支相交于C ，D 两点．证明：∠ABD ＝∠ACD ．2023-2024学年河北省部分高中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线l ：2x +√3y −1=0的斜率为（ ） A ．−2√33B ．−√32C ．2√33D ．√32解：将l 的方程转化为y =−2√33x +√33，则l 的斜率为−2√33． 故选：A ．2．若方程x 2+y 2+4x +2y ﹣m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣5）B ．（﹣5，+∞）C ．（﹣∞，5）D ．（5，+∞）解：因为方程x 2+y 2+4x +2y ﹣m ＝0表示一个圆，所以42+22+4m ＞0，解得m ＞﹣5． 故选：B ．3．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 29+y 25=1的左、右焦点，P 是椭圆E 上一点，若|PF 1|＝2，则|PF 2|＝（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：椭圆E ：x 29+y 25=1，可知a ＝3，因为P 是椭圆E 上一点，所以|PF 1|+|PF 2|＝2a ＝6，所以|PF 2|＝6﹣|PF 1|＝4． 故选：D ．4．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且PD →=3DC →，则BD →在AC →方向上的投影向量为（ ）A ．34AC →B ．−23AC →C ．−34AC →D ．23AC →解：因为P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，故以A 为坐标原点，AB ，AC ，P A 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，令AB ＝a ，AC ＝b ，P A ＝c ，则A （0，0，0），B （a ，0，0），C （0，b ，0），D(0，34b ，14c)， 则AC →=(0，b ，0)，BD →=(−a ，34b ，14c)，所以BD →在AC →方向上的投影向量为AC →⋅BD →|AC →|⋅AC →|AC →|=34b 2|b|⋅AC →|b|=34AC →．故选：A ．5．若圆O 1：x 2+y 2＝25与圆O 2：（x ﹣7）2+y 2＝r 2（r ＞0）相交，则r 的取值范围为（ ） A ．[2，10]B ．（2，10）C ．[2，12]D ．（2，12）解：∵O 1与O 2相交， ∴|r ﹣5|＜|O 1O 2|＜|r +5|， 又|O 1O 2|＝7，∴|r ﹣5|＜7＜|r +5|，解得2＜r ＜12． 故选：D ．6．若A （2，2，1），B （0，0，1），C （2，0，0），则点A 到直线BC 的距离为（ ） A ．2√305B ．√305C ．2√55D ．√55解：由题意得，BA →=(2，2，0)，BC →=(2，0，−1)，则BA →在BC →上的投影向量的模为|BA →⋅BC →||BC →|=√5，则点A 到直线BC 的距离为√|BA →|2−(|BA →⋅BC →||BC →|)2=√(√8)2−(4√5)2=2√305． 故选：A ．7．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 作双曲线C 的其中一条渐近线l 的垂线，垂足为A （第一象限），并与双曲线C 交于点B ，若FB →=BA →，则l 的斜率为（ ）A ．2B ．1C ．12D ．−74解：由已知直线l 的方程为y =b ax ，即bx ﹣ay ＝0，点F （c ，0），则|FA|=|bc|√b +(−a)2=b ，因为FB →=BA →，所以B 为线段AF 的中点，则|BF|=b2， 设双曲线C 的左焦点为F 1，则|BF 1|=2a +b2， 在△BFF 1中，由余弦定理可得：cos ∠BFF 1=|BF|2+|FF 1|2−|BF 1|22|BF||FF 1|=b 24+4c 2−(2a+b 2)22×b2×2c=2b−ac， 又cos ∠BFF 1=bc ，所以a ＝b ，故l 的斜率为1， 故选：B ．8．已知实数x ，y 满足2x ﹣y +2＝0，则√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8的最小值为（ ） A ．3√13B ．10+√13C ．108D ．117解：√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8=√(x −9)2+y 2+√(x −2)2+(y −2)2， 该式表示直线l ：2x ﹣y +2＝0上一点到P （9，0），Q （2，2）两点距离之和的最小值． 而P ，Q 两点在l 的同一侧，设点P 关于l 对称的点P ′（x 0，y 0），则{y 0−0x 0−9=−122×x 0+92−y 0+02+2=0，解得{x 0=−7y 0=8，∴P ′（﹣7，8），故√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8≥|P′Q|=√(−7−2)+(8−2)2=3√13． 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，则（ ）A ．BC →−A 1A →=AD 1→B ．BC →−A 1A →=2AD 1→C ．EF →=12A 1C 1→D ．EF →=A 1C 1→解：BC →−A 1A →=AD →+AA 1→=AD 1→，A 正确，B 不正确，又因为EF →=12A 1C 1→，故C 正确，D 不正确． 故选：AC ．10．在同一直角坐标系中，直线l ：y ＝mx +1与曲线C ：x 2+my 2＝1的位置可能是（ ）A ．B ．C ．D ．解：A ．取m ＝1，则直线l ：y ＝x +1与曲线C ：x 2+y 2＝1满足图中的位置关系，因此A 正确； B ．联立{y =mx +1x 2+my 2=1，化为（1+m 3）x 2+2m 2x +m ﹣1＝0，若直线l ：y ＝mx +1与曲线C ：x 2+my 2＝1有交点，则Δ＝4m 4﹣4（1+m 3）（m ﹣1）＝m 3﹣m +1＞0． 由曲线C ：x 2+my 2＝1结合图形，则0＜1m ＜1，∴m ＞1，满足Δ＞0，因此B 正确；C ．由曲线C ：x 2+my 2＝1结合图形，则0＜1m ＜1，∴m ＞1，直线l 与椭圆应该有交点，因此C 不正确；D ．由图可知：直线l 经过点（1，0），则m ＝﹣1，联立{y =−x +1x 2−y 2=1，化为x ＝1，y ＝0，即直线l 与双曲线的交点为（1，0），因此D 正确． 故选：ABD ．11．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是椭圆E 上一点，且|PF 1|=43|PF 2|，cos ∠PF 2F 1=35，则下列结论正确的有（ ） A ．椭圆E 的离心率为57B ．椭圆E 的离心率为45C ．PF 1⊥PF 2D ．若△PF 1F 2内切圆的半径为2，则椭圆E 的焦距为10解：A 、B 选项，由椭圆的定义得，|PF 1|+|PF 2|＝2a ，已知|PF 1|=43|PF 2|，解得|PF 1|=87a ，|PF 2|=67a ，由cos ∠PF 2F 1=|PF 2|2+|F 1F 2|2−|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|=4c 2−47a 2247ac=35， 整理得5a 2+18ac ﹣35c 2＝0，即（a +5c ）（5a ﹣7c ）＝0，则a ＝﹣5c （舍去）或a =75c ，即c a=57，故椭圆E 的离心率为57，故A 正确，B 不正确；C 选项，由a =75c ，得|F 1F 2|=2c =107a ，则|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2，故PF 1⊥PF 2，故C 正确； D 选项，由PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2内切圆的半径为2，得2c ＝2a ﹣4，因为a =75c ，所以c ＝5，即椭圆E 的焦距为10，故D 正确． 故选：ACD ．12．苏州博物馆（图一）是地方历史艺术性博物馆，建筑物的顶端可抽象为如图二所示的上、下两层等高的几何体，其中上层EFGH ﹣NPQM 是正四棱柱，下层底面ABCD 是边长为4的正方形，E ，F ，G ，H 在底面ABCD 的投影分别为AD ，AB ，BC ，CD 的中点，若AF =√5，则下列结论正确的有（ ）A ．该几何体的表面积为32+8√2+4√6B ．将该几何体放置在一个球体内，则该球体体积的最小值为36πC ．直线CP 与平面ABF 所成角的正弦值为√63D ．点M 到平面BFG 的距离为√63解：设F ，G 在平面ABCD 的投影分别为AB ，BC 的中点R ，S ，由于AF =√5，AB ＝4，所以F 到平面ABCD 的距离为FR =√AF 2−(12AB)2=1， 由于上、下两层等高，所以P 到平面ABCD 的距离为2，又FG =RS =12AC =2√2，由于GS ＝FR ＝1，BS =RB =12×4=2 所以BG =GC =√GS 2+BS 2=√5=BF =AF ，所以△AFB ≌△BGC ，同理可得△CDH ≌△ADE ≌△AFB ≌△BGC ，△BFG ≌△CHG ≌△DEH ≌△AEF ， 则点B 到FG 的距离为√BF 2−(12FG)2=√(√5)2−(√2)2=√3，则△ABF 的面积为12AB ⋅FR =12×4×1=2，△BFG 的面积为12×2√2×√3=√6，故该几何体的表面积4×2+4×√6+4×4+2√2×2√2+2√2×4=32+8√2+4√6，故A 正确； 将该几何体放置在一个球体内，要使该球体体积最小，则球心在该几何体上下底面中心所连直线上， 且A 、B 、C 、D ，N 、P 、Q 、M 均在球面上，设球心到下底面ABCD 的距离为x ， 由于四边形MNPQ 为边长为2√2的正方形，四边形ABCD 为边长为4的正方形， 则其对角线长度分别为4，4√2，则(2√2)2+x 2=22+(2−x)2，解得x ＝0，则该球体的半径为2√2，体积为4π3×(2√2)3=64√2π3，故B 错误；以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则C （4，4，0），P （2，0，2），B （4，0，0），F （2，0，1），G （4，2，1），M （2，4，2），CP →=(−2，−4，2)，BF →=（﹣2，0，1），BG →=(0，2，1)，BM →=（﹣2，4，2）， 平面ABF 的一个法向量为m →=（0，1，0），则cos ＜CP →，m →＞=−42√6=−√63，设直线CP 与平面ABF 所成角为θ，则sinθ=|cos ＜CP →，m →＞|=√63，故直线CP 与平面ABF 所成角的正弦值为√63，故C 正确； 设平面BFG 的法向量为n →=(x 1，y 1，z 1)，则{n →⋅BF →=−2x 1+z 1=0n →⋅BG →=2y 1+z 1=0，令x 1＝1，得n →=（1，﹣1，2）， 则点M 到平面BFG 的距离为|n →⋅BM →||n →|=222=√63，故D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知点N 是点M （3，3，4）在坐标平面Oxz 内的射影，则|ON →|= 5 ． 解：由题可知，N （3，0，4），则ON →=(3，0，4)，∴|ON →|=√32+42=5． 故答案为：5．14．若双曲线C ：x 2m+1+y 2m 2−m−2=1的实轴长与虚轴长相等，则m ＝ 1 ．解：由题可知（m +1）+（m 2﹣m ﹣2）＝0，解得m ＝1或m ＝﹣1（舍去），∴m ＝1． 故答案为：1．15．过点M(√3，0)作圆C ：x 2+（y ﹣1）2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为 √3x −y =0 ．解：圆C ：x 2+（y ﹣1）2＝1①，则圆心C （0，1）， 以C （0，1），M （√3，0）为直径的圆的方程为：(x −√32)2+(y −12)2=1②，①﹣②可得，√3x −y =0，故直线AB 的方程为√3x −y =0． 故答案为：√3x −y =0．16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AM ＝2MB ，N 为DD 1的中点，记平面CMN 与平面ADD 1A 1的交线为l ，则直线l 与直线AC 1所成角的余弦值为7√111111．解：设I ∩AA 1＝P ，连接NP ，MP ，直线NP 即为直线l ．易证得MP ∥CN ，由AM ＝2MB ，N 为DD 1的中点，得AP =13AA 1，以D 为坐标原点，DA ．DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝6，则得：N （0，0，3），P （6，0，2），A （6，0，0），C 1（0，6，6）， NP →=（6，0，﹣1），AC 1→=（﹣6，6，6）， 所以得：|cos ＜NP →，AC 1→＞|=|NP →⋅AC 1→||NP →|⋅|AC 1→|=37×63=7√111111，故直线与直线 AC 1 所成角的余弦值为7√111111．故答案为：7√111111． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知直线l 1：x +ay ﹣a +2＝0与l 2：2ax +（a +3）y +a ﹣5＝0． （1）当a ＝1时，求直线l 1与l 2的交点坐标； （2）若l 1∥l 2，求a 的值． 解：（1）因为a ＝1，所以l 1：x +y +1＝0，l 2：2x +4y ﹣4＝0，即x +2y ﹣2＝0， 联立{x +y +1=0x +2y −2=0解得{x =−4y =3，故直线l 1与l 2的交点坐标为（﹣4，3）．（2）因为l 1∥l 2，所以2a 2﹣a ﹣3＝0，解得a ＝﹣1或a =32， 当a ＝﹣1时，l 1与l 2重合，不符合题意． 当a =32时，l 1与l 2不重合，符合题意． 故a =32．18．（12分）如图，在正四棱锥P ﹣ABCD 中，E ，F 分别为P A ，PC 的中点，DG →=2GP →． （1）证明：B ，E ，G ，F 四点共面．（2）记四棱锥P ﹣BEGF 的体积为V 1，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为V 2，求V 1V 2的值．解：（1）证明：因为E ，F 分别为P A ，PC 的中点， 所以BE →=12BA →+12BP →，BF →=12BC →+12BP →， 所以BG →=BD →+DG →=BD →+23DP →=BD →+23(BP →−BD →)=13BD →+23BP →=13BA →+13BC →+23BP →=23(12BA →+12BP →)+23(12BC →+12BP →)=23BE →+23BF →， 故B ，E ，G ，F 四点共面；（2）由正四棱锥的对称性知，V 1＝2V E ﹣PBG ，V 2＝2V A ﹣PBD ， 设点E 到平面PBG 的距离为d 1，点A 到平面PBD 的距离为d 2，由E 是P A 的中点得d 2＝2d 1， 由DG →=2GP →得S △PBD ＝3S △PBG ，所以V 1V 2=V E−PBG V A−PBD=13S △PBG ⋅d 113S △PBD ⋅d 2=16．19．（12分）已知P 是圆C ：x 2+y 2＝12上一动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足PQ →=2PM →，记点M 的轨迹为E ． （1）求E 的方程；（2）若A ，B 是E 上两点，且线段AB 的中点坐标为(−85，25)，求|AB |的值． 解：（1）设M （x ，y ），则Q （x ，0）， 因为PQ →=2PM →，则P （x ，2y ）， 因为P 在圆C 上，所以x 2+（2y ）2＝12， 故E 的方程为x 212+y 23=1．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若A ，B 是E 上两点，则{x 1212+y 123=1x 2212+y 223=1， 两式相减得x 12−x 2212+y 12−y 223=0，即y 1−y 2x 1−x 2=−x 1+x 24(y 1+y 2)．因为线段AB 的中点坐标为(−85，25)，所以y 1−y 2x 1−x 2=−x 1+x 24(y 1+y 2)=1，所以k AB ＝1，则直线AB 的方程为y ＝x +2．联立方程组{y =x +2x 212+y 23=1，整理得5x 2+16x +4＝0，其中Δ＞0， 则x 1+x 2=−165，x 1x 2=45， |AB|=√1+12√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√225． 20．（12分）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB 的长为16米，最大高度CD 的长为4米，以C 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立直角坐标系． （1）求该圆弧所在圆的方程；（2）若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体）解：（1）由圆的对称性可知，该圆弧所在圆的圆心在y轴上，由图形可得A（﹣8，0），B（8，0），D（0，4），设该圆的半径为r米，则r2＝82+（r﹣4）2，解得r＝10，圆心为（0，﹣6），故该圆弧所在圆的方程为x2+（y+6）2＝100．（2）设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米，则(d2)2+(6+1.6)2=102，解得d=2√42.24．若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度为4×2.5+3×0.5=11.5＜2√42.24．隧道能并排通过4辆该种汽车；若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度为5×2.5+4×0.5=14.5＞2√42.24，故该隧道不能并排通过5辆该种汽车．综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车．21．（12分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，M，Q分别为AC，A1B1的中点，且MQ⊥AB．（1）证明：MC1⊥AB．（2）若BB1＝4，MQ=√15，求平面MB1C1与平面MC1Q夹角的余弦值．（1）证明：因为△A1B1C1是等边三角形，Q为A1B1的中点，所以C1Q⊥A1B1，又AB∥A1B1，所以C1Q⊥AB，因为MQ⊥AB，C1Q∩MQ＝Q，所以AB⊥平面MC1Q，又MC1⊂平面C1MQ，所以MC1⊥AB；（2）解：取AB靠近点A的四等分点N，连接MN，NQ，易证得MN∥C1Q，则MN⊥AB，且MN=√32，由BB 1＝4，得QN =3√72，因为MQ =√15，所以MQ 2+MN 2＝QN 2， 即MQ ⊥MN ，又MQ ⊥AB ，从而MQ ⊥平面ABC ，以M 为坐标原点，MN 所在直线为x 轴，MQ 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则M （0，0，0），B 1（0，1，√15），C 1（−√3，0，√15）， 则MB 1→=（0，1，√15），MC 1→=（−√3，0，√15）， 设平面MB 1C 1的法向量为m →=（x ，y ，z ），则有{m →⋅MB 1→=y +√15z =0m →⋅MC 1→=−√3x +√15z =0，令z ＝1，得m →=(√5，−√15，1)，由图可知，n →=（0，1，0）是平面MC 1Q 的一个法向量，设平面MB 1C 1与平面MC 1Q 的夹角为θ，则cosθ=|m →⋅n →||m →||n →|=√1521=√357．22．（12分）如图，已知F 1(−√10，0)，F 2(√10，0)分别是双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，P(−2√103，√63)是E 上一点． （1）求E 的方程．（2）过直线l ：x ＝1上任意一点T 作直线l 1，l 1与E 的左、右两支相交于A ，B 两点．直线l 1关于直线l 对称的直线为l 2（与l 1不重合），l 2与E 的左、右两支相交于C ，D 两点．证明：∠ABD ＝∠ACD ．解：（1）∵F 1(−√10，0)，F 2(√10，0)分别是双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，P(−2√103，√63)是E 上一点，∴{a 2+b 2=10409a2−69b2=1，解得a 2＝4，b 2＝6，∴E 的方程为x 24−y 26=1．（2）证明：设T （1，m ），由题意得直线l 1的斜率存在且不等于0， 设直线l 的方程为y ﹣m ＝k （x ﹣1），则直线l 2的方程为y ﹣m ＝﹣k （x ﹣1）， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）， 联立方程组{y −m =k(x −1)x 24−y 26=1，整理得（3﹣2k 2）x 2+（4k 2﹣4km ）x ﹣2k 2+4km ﹣2m 2﹣12＝0，Δ＝（4k 2﹣4km ）2﹣（12﹣8k 2）（﹣2k 2+4km ﹣2m 2﹣12）＝﹣72k 2﹣48km +24m 2+144＞0， 则x 1+x 2=4k 2−4km 2k 2−3，x 1x 2=2k 2−4km+2m 2+122k 2−3，|AT |=√1+k 2|x 1−1|，|BT |=√1+k 2|x 2﹣1|，|CT |=√1+k 2|x 3﹣1|，|DT |=√1+k 2|x 4﹣1|， ∴|AT ||BT |＝（1+k 2）|（x 1﹣1）（x 2﹣1）|＝（1+k 2）|x 1x 2﹣（x 1+x 2）+1| ＝（1+k 2）|2k 2−4km+2m 2+122k 2−3−4k 2−4km 2k 2−3+1|＝（1+k 2）|2m 2+92k 2−3|，同理，|CT ||DT |＝（1+k 2）|2m 2+92k 2−3，∴|AT||DT|=|CT||BT|，∴△ACT ∽△DBT ，∴∠ABD ＝∠ACD ．。
北京市西城区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题含答案
2025届高二第二学期期中数学试题（答案在最后）一、单选题1.在等差数列{}n a 中，若45615aa a ++=，则28a a +=（）A.6B.10C.7D.5【答案】B 【解析】【分析】由等差数列的性质可得：462852a a a a a +=+=，代入可得55a =，而要求的值为52a ，代入可得．【详解】由等差数列的性质可得：462852a a a a a +=+=所以45615a a a ++=，即5315a =，55a =，故28522510a a a +==⨯=，故选：B ．2.已知数列{}n a 的通项公式为n a ＝n 2－n －50，则－8是该数列的()A.第5项B.第6项C.第7项D.非任何一项【答案】C 【解析】【分析】令8n a =-，解出正整数n 即为数列的第几项.【详解】由题意，令8n a =-，解得7n =或6-（舍），即为数列的第7项.故选C.【点睛】本题考查数列通项公式的应用，熟练掌握数列的基本性质，n 为数列的项数.3.《九章算术》之后，人们进一步地用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾（注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织420尺布，则第2天织的布的尺数为A.16329B.16129C.8115D.8015【答案】A【解析】【详解】设公差为d ,由题意可得：前30项和30S =420=30×5+30292⨯d ,解得d =1829.∴第2天织的布的尺数=5+d =16329.故选A.4.如图，函数y＝f(x)在A，B 两点间的平均变化率等于()A.-1B.1C.-2D.2【答案】A 【解析】【分析】根据平均变化率的概念求解.【详解】易知()13f =，()31f =，因此()()31131f f -=--，故选A【点睛】求平均变化率的一般步骤：①求自变量的增量△x=x 2-x 1，②求函数值的增量△y=f （x 2）-f （x 1），③求函数的平均变化率()()2121f x -f x y =x x -x ∆∆.5.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，若22a =，5646a a a +=，则5(a =)A.4B.10C.16D.32【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，建立方程关系求出公比即可．【详解】由6546a a a +=得260q q +-=，解得2q =，从而352216a a =⋅=．故选C ．【点睛】本题主要考查等比数列通项公式的应用，建立方程关系求出公比是解决本题的关键．6.李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次．已知5月1日李明分别去了这四家超市配送，那么整个5月他不用去配送的天数是（）A.12B.13C.14D.15【答案】B【解析】【分析】由题意将剩余天数编号，转化条件得李明每逢编号为3、4、6、7的倍数时要去配送，利用分类加法即可得解.【详解】将5月剩余的30天依次编号为1，2，3⋅⋅⋅30，因为甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次，且5月1日李明分别去了这四家超市配送，所以李明每逢编号为3的倍数的那天要去甲超市配送，每逢编号为4的倍数的那天要去乙超市配送，每逢编号为6的倍数的那天要去丙超市配送，每逢编号为7的倍数的那天要去丁超市配送，则李明去甲超市的天数编号为：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30，共10天；李明去乙超市但不去甲超市的天数编号为：4、8、16、20、28，共5天；李明去丙超市但不去甲、乙超市的天数编号不存在，共0天；李明去丁超市但不去甲、乙、丙超市的天数编号为：7、14，共2天；+++=，所以李明需要配送的天数为1050217-=.所以整个5月李明不用去配送的天数是301713故选：B.【点睛】本题考查了计数原理的应用，考查了逻辑推理能力、转化化归思想与分类讨论思想，关键是对于题目条件的转化与合理分类，属于中档题.7.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A.fB.C. D.【答案】D 【解析】【详解】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈，又1a f =，则7781a a q f ===故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n N ≠∈）或1n n aq a -=（*0,2,q n n N ≠≥∈），数列{}n a 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n N ≥∈），则数列{}n a 是等比数列.8.已知等比数列{}n a 公比为q ，其前n 项和为n S ，若3S 、9S 、6S 成等差数列，则3q 等于（）A.1B.12-C.12-或1 D.1-或12【答案】B 【解析】【分析】因为3S 、9S 、6S 成等差数列，所以9632S S S +=，显然1q ≠，代由等比数列的前n 项和公式化简即得所求【详解】因为3S 、9S 、6S 成等差数列，所以9632S S S +=，显然1q ≠，由等比数列的前n 项和公式有()()()9631112111111a q a q a q q q q---=+---，化简得9632q q q =+，又0q ≠，所以6321q q =+解得312q =-或31q =（舍），故312q =-，故选：B.9.等比数列{}n a 中，12a =，84a =，函数128()()()()f x x x a x a x a =---，则(0)f '=A.62 B.92 C.122 D.152【答案】C 【解析】【分析】将函数看做x 与()()()128x a x a x a --⋅⋅⋅-的乘积，利用乘法运算的求导法则，代入0x =可求得()1280f a a a '=⋅⋅⋅；根据等比数列性质可求得结果.【详解】()()()()128f x x a x x a x a --⋅''=⎡⋅-⎤⎣⎦⋅()()()()()()128128x a x a x a x a x a x a x x ''=+--⋅⋅⋅---⋅⋅⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-()()()()()()128128x x a x a x a x a x a x a --⋅⋅⋅---⋅⋅'=+⎡⎤-⎡⎤⎣⎦⎣⎦⋅()1280f a a a '∴=⋅⋅⋅又18273645a a a a a a a a ===()()441218082f a a '∴===本题正确选项：C【点睛】本题考查导数运算中的乘法运算法则的应用，涉及到等比数列性质应用的问题，关键是能够将函数拆解为合适的两个部分，从而求解导数值时直接构造出数列各项之间的关系.10.设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数,x y R ∈，都有()()()f x f y f x y =+，若112a =，()()n a f n n N +=∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 的取值范围是()A.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.1[,2]2 D.1[,1]2【答案】A 【解析】【分析】根据f （x ）•f （y ）＝f （x +y ），令x ＝n ，y ＝1，可得数列{a n }是以12为首项，以12为等比的等比数列，进而可以求得S n ，进而S n 的取值范围．【详解】∵对任意x ，y ∈R ，都有f （x ）•f （y ）＝f （x +y ），∴令x ＝n ，y ＝1，得f （n ）•f （1）＝f （n +1），即()()11n n f n a a f n ++==f （1）12=，∴数列{a n }是以12为首项，以12为等比的等比数列，∴a n ＝f （n ）＝（12）n ，∴S n 11122112n ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-1﹣（12）n ∈[12，1）．故选A ．【点睛】本题主要考查了等比数列的求和问题，解题的关键是根据对任意x ，y ∈R ，都有f （x ）•f （y ）＝f （x +y ）得到数列{a n }是等比数列，属中档题．二、填空题（共5小题；共10分）11.已知{}n a 是等差数列，若171,13a a ==，则4a =_______.【答案】7【解析】【分析】根据等差数列的性质，直接计算结果.【详解】1742a a a +=，所以17472a a a +==.故答案为：712.已知函数2()42f x x x =-+，且0()2f x '=，那么0x 的值为_____．【答案】3【解析】【分析】求导得()24f x x '=-，进而由0()2f x '=可得结果.【详解】由2()42f x x x =-+得()24f x x '=-，则00()242f x x '=-=，解得03x =.故答案为：3.13.n S 是正项等比数列{}n a 的前n 和，318a =，326S =，则1a =______．公比q =______．【答案】①.2②.3【解析】【分析】讨论公比q 的取值，联立方程组即可解出答案.【详解】当1q =时，333S a ≠，不满足题意，故1q ≠；当1q ≠时，有()2131181261a q a q q⎧=⎪-⎨=⎪-⎩，解之得：123a q =⎧⎨=⎩.故答案为：2；3.【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，属于基础题.熟练掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式是解本题的基础.14.将一个边长为6的正方形铁片的四角截去四个边长为x 的小正方形，做成一个无盖方盒.当方盒的容积V 取得最大值时，x 的值为_________.【答案】1【解析】【分析】由题可得该方盒的容积()32424+36V x x x x =-，03x <<，利用导数判断其单调性可求出最值.【详解】由题可得03x <<，可知该方盒的底面是一个边长为62x -，则该方盒的容积()()23262424+36V x x x x x x =-⋅=-，03x <<，()()()21248+361213V x x x x x '∴=-=--，则当()0,1x ∈时，()0V x '>，()V x 单调递增，当()1,3x ∈时，()0V x '<，()V x 单调递减，∴当1x =时，()()max 116V x V ==，故当方盒的容积V 取得最大值时，x 的值为1.故答案为：1.15.小明用数列{a n }记录某地区2019年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k 天下过雨时，记a k ＝1，当第k 天没下过雨时，记a k ＝﹣1（1≤k ≤31）；他用数列{b n }记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k 天有雨时，记b k ＝1，当预报第k 天没有雨时，记b k ＝﹣1（1≤k ≤31）；记录完毕后，小明计算出a 1b 1+a 2b 2+…+a 31b 31＝25，那么该月气象台预报准确的的总天数为_____；若a 1b 1+a 2b 2+…+a k b k＝m ，则气象台预报准确的天数为_____（用m ，k 表示）.【答案】①.28②.2m k +【解析】【分析】根据题意得到a k b k ＝1表示第k 天预报正确，a k b k ＝﹣1表示第k 天预报错误，从而得到2m kx +=，根据25m =得到该月气象台预报准确的的总天数.【详解】依题意，若1k k a b =（131k ≤≤），则表示第k 天预报正确，若1k ka b =-（131k ≤≤），则表示第k 天预报错误，若1122k ka b a b a b m +++=⋯，假设其中有x 天预报正确，即等式的左边有x 个1，()k x -个1-，则()x k x m --=，解得2m kx +=，即气象台预报准确的天数为2m k+；于是若1122313125a b a b a b ++⋯=+，则气象台预报准确的天数为3125282+=.故答案为：28，2m k+.【点睛】本题考查数列的实际应用，考查化归与转化的能力，属于中档题.三、解答题16.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且35a =-，424S =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最小值．【答案】（1）211n a n =-（2）25-【解析】【分析】（1）根据等差数列通项公式和前n 项和公式列方程组求解可得；（2）利用通项公式确定数列的负数项，可得5S 最小，然后由求和公式可得.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由条件得11254624a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得192a d =-⎧⎨=⎩，所以()921211n a n n =-+-=-．【小问2详解】由（1）知211n a n =-，令2110n a n =-≤，得 5.5n ≤，所以数列{}n a 的前5项和5S 是n S 的最小值，即()()51min 5105921025n S S a d ==+=⨯-+⨯=-．17.已知在直三棱柱111ABC A B C -中，1901BAC AB BB ∠=︒==，，直线1B C 与平面ABC 成30︒的角．（1）求三棱锥11C AB C -的体积；（2）求二面角1B B C A --的余弦值．【答案】（1）6（2）33【解析】【分析】（1）根据侧棱与底面垂直可得130B CB ∠=，由此求得底面三角形各边长；根据线面垂直的判定可证得AB ⊥平面1ACC ，得到三棱锥11B ACC -的高为11A B ；利用等体积法1111C AB C B ACC V V --=，根据三棱锥体积公式求得结果；（2）以A 为原点建立空间直角坐标系，根据二面角的空间向量求法可求得结果.【详解】（1） 三棱柱为直三棱柱1BB ∴⊥平面ABC ，1AA ⊥底面ABC 1B C ∴与底面ABC 所成角为1B CB ∠130B CB ∴∠=11AB BB ==BC ∴=AC ∴=1AA ⊥ 底面ABC ，AB ⊂平面ABC 1AB AA ∴⊥又90BAC ∠= ，即AB AC ⊥，1,AA AC ⊂平面1ACC ，1AA AC A= AB ∴⊥平面1ACC ，又11//AB A B 11A B ∴⊥平面1ACC 1111111111113326C AB C B ACC ACC V V S A B --∆∴==⋅=⨯=（2）以A为原点，可建立如图所示空间直角坐标系则()0,1,0B ，()10,1,1B，)C，()0,0,0A )1,0BC ∴=-，()10,0,1BB = ，()10,1,1AB =，)AC =设平面1BB C 的法向量()1111,,n x y z =11111100BC n y BB n z ⎧⋅=-=⎪∴⎨⋅==⎪⎩ ，令11x =，则1y =，10z=()1n ∴=设平面1AB C 的法向量()2222,,n x y z =12222200AB n y z AC n ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅==⎪⎩ ，令21y =，则21z =-，20x =()20,1,1n ∴=-121212cos ,3n n n n n n ⋅∴<>==二面角1B B C A --为锐角∴二面角1B B C A --的余弦值为3【点睛】本题考查立体几何中三棱锥体积的求解、空间向量法求解二面角的问题；求解三棱锥体积的常用方法为等体积法，将所求三棱锥转化为高易求的三棱锥，结合三棱锥体积公式求得结果.18.已知函数()3f x x ax b =++的图象是曲线C ，直线1y kx =+与曲线C 相切于点()1,3．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的递增区间；（3）求函数()()23F x f x x =--在区间[]0,2上的最大值和最小值．【答案】（1）()33f x x x =-+；（2）,3⎛-∞- ⎝⎭，3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭；（3）()F x 的最大值为2，最小值为2-【解析】【分析】（1）将切点坐标代入切线方程可得k ，根据切点处的导数等于切线斜率可得a ，再将切点坐标代入曲线方程即可求得曲线方程；（2）求导，解不等式()0f x '>即可；（3）求导，解方程()0F x '=，然后列表求极值，比较极值和端点函数值大小即可得解.【小问1详解】因为切点为()1,3，所以13k +=，得2k =．因为()23f x x a ='+，所以()132f a ='+=，得1a =-．则()3f x x x b =-+．由()13f =得3b =．所以()33f x x x =-+．【小问2详解】由()33f x x x =-+得()231f x x ='-．令()2310f x x -'=>，解得3x <-或3x >．所以函数()f x的递增区间为,3∞⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，,3∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭．【小问3详解】()()323,33F x x x F x x '=-=-，令()2330F x x -'==，得1211x x =-=，．列表：x 0()0,11()1,22()F x '-0+()F x 0递减极小值递增2因为()()()12,00,22F F F =-==，所以当[]0,2x ∈时，()F x 的最大值为2，最小值为2-．19.已知函数()ln f x x x a =--．（1）若()0f x ≥，求a 的取值范围；（2）证明：若()f x 有两个零点1x ，2x ，则121x x <．【答案】（1）(],1∞-；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求导，分别解不等式()0f x '>，()0f x '<即可；（2）设12x x <，结合（1）可知1201x x <<<，构造函数()()1g x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用导数判断单调性即可得()()1221f x f x f x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，结合()f x 在()0,1上单调递减即可得证.【小问1详解】由题意知函数()f x 的定义域为()0,∞+，解()10x f x x -'=>得1x >，解()10x f x x-'=<得01x <<，所以函数()f x 在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以()()min 11f x f a ==-，又()0f x ≥，所以10a -≥，解得1a ≤，所以a 的取值范围为(],1∞-．【小问2详解】不妨设12x x <，则由（1）知1201x x <<<，2101x <<，构造函数()()112ln g x f x f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，则()()22211210x g x x x x-=+-=≥'，所以函数()g x 在()0,∞+上单调递增，所以当1x >时，()()10g x g >=，即当1x >时，()1f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()()1221f x f x f x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，又()f x 在()0,1上单调递减，所以12101x x <<<，即121x x <．20.已知椭圆2222:1(0)x y a b a b ω+=>>过点(2,0)A -，且2a b =.（1）求椭圆ω的方程；（2）设O 为原点，过点(1,0)C 的直线l 与椭圆ω交于P ，Q 两点，且直线l 与x 轴不重合，直线AP ，AQ 分别与y 轴交于M ，N 两点.求证：||||OM ON ⋅为定值.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题可得2a =，进而得出1b =，即可得出椭圆方程；（2）先考虑直线斜率不存在时，可得1||||=3OM ON ⋅，当斜率存在时，设出直线方程，联立直线与椭圆，得出韦达定理，得出直线AP 的方程，可表示出M 坐标，同理表示出N 的坐标，进而利用韦达定理可求出||||OM ON ⋅.【详解】解：（1）因为椭圆ω过点(2,0)A -，所以2a =.因为2a b =，所以1b =.所以椭圆ω的方程为2214x y +=.（2）当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为1x =.不妨设此时3(1,2P ，(1,)2Q -，所以直线AP的方程为2)y x =+，即M .直线AQ 的方程为(2)6y x =-+，即(0,)3N -.所以1||||=3OM ON ⋅.当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，由22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(41)8440k x k x k +-+-=.依题意，0∆>.设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则2122841k x x k +=+，21224441k x x k -=+.又直线AP 的方程为11(2)2y y x x =++，令0x =，得点M 的纵坐标为1122M y y x =+，即112(0,)2y M x +.同理，得222(0,)2y N x +.所以||||=OM ON ⋅12124(2)(2)y y x x ++212124(1)(1)(2)(2)k x x x x --=++2121212124[()1]2()4k x x x x x x x x -++=+++2222222224484(1)41414416+44141k k k k k k k k k --+++=-+++22222224(44841)44+16164k k k k k k k --++=-++221236k k =13=.综上，||||OM ON ⋅为定值，定值为13.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.21.约数，又称因数.它的定义如下：若整数a 除以整数()0m m ≠得到的商正好是整数而没有余数，我们就称a 为m 的倍数，称m 为a 的约数．设正整数a 共有k 个正约数，即为1a ，2a ，L ，1k a -，()12k k a a a a <<⋅⋅⋅<．（1）当4k =时，若正整数a 的k 个正约数构成等比数列，请写出一个a 的值；（2）当4k ≥时，若21a a -，32a a -，L ，1k k a a --构成等比数列，求正整数a 的所有可能值；（3）记12231k k A a a a a a a -=+++ ，求证：2A a <．【答案】（1）8a =（答案不唯一）；（2）12k a a -=，中2a 为质数；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据定义得11a =，然后取公比为2即可得8a =；（2）根据约数定义分析其规律，然后化简3212112k k k k a a a a a a a a -----=--可得232321a a a a a ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭，由2a 是整数a 的最小质因数可得232a a =，进而可得公比，然后可求a ；（3）利用()11i k ia a a i k +-=≤≤变形得22212112k k k k a a a A a a a a a a ---=++⋅⋅⋅+，然后利用裂项相消法结合放缩放即可得证.【小问1详解】由题意可知，11a =，当4k =时,正整数a 的4个正约数构成等比数列，取公比为2得：1，2，4，8为8的所有正约数，即8a =．【小问2详解】根据约数定义可知，数列{}n a 中，首尾对称的两项之积等于a ，即()11i k i a a a i k +-=≤≤，所以11a =，k a a =，12k a a a -=，23k a a a -=，因为4k ≥，依题意可知3212112k k k k a a a a a a a a -----=--，所以3222123aa a a a a a a a a a --=--，化简可得()()2232231a a a a -=-，所以232321a a a a a ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭，因为3a *∈N ，所以3221a a a a *-∈-N ，因此可知3a 是完全平方数．由于2a 是整数a 的最小质因数，3a 是a 的因子，且32a a >，所以232a a =，所以，数列21a a -，32a a -，L ，1k k a a --的公比为2322222121a a a a a a a a --==--，所以2132a a a a --，，L ，1k k a a --为21a -，222a a -，L ，1222k k a a ---，所以()124k a a k -=≥，其中2a 为质数．【小问3详解】由题意知1i k i a a a +-=（1i k ≤≤），所以22212112k k k k a a a A a a a a a a ---=+++ ，因为21121212111a a a a a a a a -≤=-，L ，1111111k k k k k k k ka a a a a a a a -----≤=-，所以22212112k k k k a a a A a a a a a a ---=++⋅⋅⋅+212112111k k k k a a a a a a a ---⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭2212231111111111k k k a a a a a a a a a a -⎛⎫⎛⎫≤-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为11a =，k a a =，所以1111ka a -<，所以22111k A a a a a ⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭，即2A a <．【点睛】关键点睛：本题关键在于根据约数定义分析其性质，抓住11,k a a k ==，()11i k i a a a i k +-=≤≤，以及2a 为质数即可求解.。
2024年苏州市高二下学期期中考试数学试题
高二期中调研试卷数学2024.04注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本卷共6页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第11题）、填空题（第12题~第14题）、解答题（第15题~第19题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回，2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．9(1)x −展开式中3x 的系数为（ ）A ．504B ．84C ．84−D ．504− 2．已知1x =是函数()()210x ax bx f x b e+=+≠的极值点，则实数a 的值为（ ） A ．1− B ．0 C ．1 D ．无数多个3．一只蚂蚁从点A 出发沿着水平面的网格线爬行到点B ，再由点B 沿着长方体的棱爬行至顶点C 处，则它可以爬行的不同最短路径条数有（ ）A ．40B ．60C ．80D ．1204．若随机变量X 满足()1P X c ==，其中c 为常数，则()D X =（ ）A ．0B ．14C ．12D ．15．如图，圆C 与直角三角形AOB 的两直角边相切，射线OP 绕点O 由OA 逆时针匀速旋转到OB 的过程中，所扫过的圆内阴影部分而积S 关于时间t 的函数的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．6．小明和小华进行乒乓球比赛，比赛规则是：若其中一人连续赢两局，则比赛结束，已知每局比赛结果相互独立，且每局小明赢的概率为0.6（没有平局），则在已知比赛是第三局结束条件下，小明获胜的概率为（ ）A ．0.6B ．0.4C ．0.36D ．0.1447．记()()()()()()()()()01021321sin ,,,,,x n n f x e x f x f x f x f x f x f x f x f x +′′′′===== ，n N ∈，则()20240f =（ ）A ．5082B ．5072−C ．0D ．50728．将1，2，3…，9这九个正整数，填在如图所示的九宫格里，九宫格的中间填5，四个角填偶数，其余位置填奇数，则每一横行、每一坚列以及两条对角线上3个数字的和都等于15的概率为（ ）A ．13 B ．16 C ．172 D ．1144二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
北京市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含答案
北京市2023—2024学年第一学期期中阶段练习高二数学（答案在最后）2023.11班级____________姓名____________学号____________本试卷共3页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效.一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置．．．．．．．．．．．．．．．．．.1.已知(1,3),(3,5)A B --，则直线AB 的斜率为（）A.2 B.1C.12D.不存在【答案】A 【解析】【分析】由斜率公式，可求出直线AB 的斜率.【详解】由(1,3),(3,5)A B --，可得35213AB k --==--.故选：A.2.圆222430x y x y +-++=的圆心为（）．A.(1,2)-B.(1,2)- C.(2,4)- D.(2,4)-【答案】A 【解析】【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，从而可求出其圆心坐标.【详解】由222430x y x y +-++=，得22(1)(2)2x y -++=，所以圆心为(1,2)-，故选：A3.一个椭圆的两个焦点分别是()13,0F -，()23,0F ，椭圆上的点P 到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（）A.2216428x y += B.221167x y += C.221169x y += D.22143x y +=【答案】B 【解析】【分析】利用椭圆的定义求解即可.【详解】椭圆上的点P 到两焦点的距离之和等于8，故28,4a a ==，且()13,0F -，故2223,7c b a c ==-=，所以椭圆的标准方程为221167x y +=.故选：B4.任意的k ∈R ，直线13kx y k -+=恒过定点（）A.()0,0 B.()0,1 C.()3,1 D.()2,1【答案】C 【解析】【分析】将直线方程整理成斜截式，即可得定点.【详解】因为13kx y k -+=，即()31y k x =-+，所以直线13kx y k -+=恒过定点()3,1.故选：C.5.已知圆221:1C x y +=与圆222:870C x y x +-+=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（）A.相离B.相交C.内切D.外切【答案】D 【解析】【分析】求出两圆的圆心和半径，得到12124C C r r ==+，得到两圆外切.【详解】圆221:1C x y +=的圆心为()10,0C ，半径为11r =，圆()22222:87049C x y x x y +-+=⇒-+=，故圆心()24,0C ，半径为23r =，则12124C C r r ==+，所以圆1C 与圆2C 的位置关系是外切.故选：D6.过点1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l 与圆2214x y +=有公共点，则直线l 的倾斜角取值范围是（）A.π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.2π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.π22π,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.5π,π6⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】利用直线与圆的位置关系及倾斜角与斜率的关系计算即可.【详解】易知圆的半径为12，圆心为原点，当倾斜角为π2时，即直线l 方程为12x =-，此时直线l 与圆相切满足题意；当斜率存在时，不妨设直线l方程为122y k x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则圆心到其距离为12d =≤，解不等式得33k ≤-，所以直线l 的倾斜角取值范围为π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：A7.“1a =-”是“直线1:430l ax y +-=与直线()2:320l x a y +-+=平行的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】求出当12l l //时实数的值，再利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】当12l l //时，()34a a -=，即2340a a --=，解得1a =-或4.当1a =-时，直线1l 的方程为430x y -+=，直线2l 的方程为420x y -+=，此时12l l //；当4a =时，直线1l 的方程为304x y +-=，直线2l 的方程为20x y ++=，此时12l l //.因为{}1-{}1,4-，因此，“1a =-”是“直线1:430l ax y +-=与直线()2:320l x a y +-+=平行”的充分不必要条件.故选：A.8.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，12AA AD AB ===，2BAD π∠=，113BAA A AD π∠=∠=，则11AB AD ⋅=（）A.12B.8C.6D.4【答案】B 【解析】【分析】根据空间向量加法的运算性质，结合空间向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.【详解】()()21111111AB AD AB AA AD AA AB AD AB AA AD AA AA ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+ 211110222228,22AB AD ⇒⋅=+⨯⨯+⨯⨯+= 故选：B9.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ABC 的顶点()2,0A ，()1,2B ，且AC BC =，则△ABC 的欧拉线的方程为（）A.240x y --=B.240x y +-=C.4210x y ++=D.2410x y -+=【答案】D 【解析】【分析】由题设条件求出AB 垂直平分线的方程，且△ABC 的外心、重心、垂心都在垂直平分线上，结合欧拉线的定义，即垂直平分线即为欧拉线.【详解】由题设，可得20212AB k -==--，且AB 中点为3(,1)2，∴AB 垂直平分线的斜率112AB k k =-=，故垂直平分线方程为131()12224x y x =-+=+，∵AC BC =，则△ABC 的外心、重心、垂心都在垂直平分线上，∴△ABC 的欧拉线的方程为2410x y -+=.故选：D10.曲线33:1C x y +=.给出下列结论:①曲线C 关于原点对称;②曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1;③曲线C 只经过2个整点(即横､纵坐标均为整数的点).其中,所有正确结论的序号是A.①② B.②C.②③D.③【答案】C 【解析】【分析】将(),x y --代入，化简后可确定①的真假性.对x 分成0,0,01,1,1x x x x x <=<<=>等5种情况进行分类讨论，得出221x y +≥，由此判断曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1.进而判断出②正确.对于③，首先求得曲线C 的两个整点()()0,1,1,0，然后证得其它点不是整点，由此判断出③正确.【详解】①，将(),x y --代入曲线33:1C x y +=，得331x y +=-，与原方程不相等，所以曲线C 不关于原点对称，故①错误.②，对于曲线33:1C x y +=，由于331y x =-，所以y =，所以对于任意一个x ，只有唯一确定的y和它对应.函数y =是单调递减函数.当0x =时，有唯一确定的1y =；当1x =时，有唯一确定的0y =.所以曲线C 过点()()0,1,1,0，这两点都在单位圆上，到原点的距离等于1.当0x <时，1y >，所以221x y +>>.当1x >时，0y <，所以221x y +>>.当01x <<时，01y <<，且()()()()223322221110x y x y x y x x y y -+=+-+=-+-<，所以221x y +>>.综上所述，曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1，所以②正确.③，由②的分析可知，曲线C 过点()()0,1,1,0，这是两个整点.由331x y +=可得()331x y -=-，当0x ≠且1x ≠时，若x 为整数，31x -必定不是某个整数的三次方根，所以曲线C 只经过两个整点.故③正确.综上所述，正确的为②③.故选：C【点睛】本小题主要考查根据曲线方程研究曲线的性质，属于中档题.二、填空题：本大题共5小题，共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上．．．．．．．．．．．．．．．.11.已知空间()2,3,1a = ，()4,2,b x =- ，a b ⊥ ，则b ＝_____．【答案】【解析】【分析】根据空间向量的垂直，根据数量积的坐标表示，建立方程，结合模长公式，可得答案.【详解】由a b ⊥ ，且()2,3,1a = ，()4,2,b x =- ，则860a b x ⋅=-++=r r ，解得2x =，故b =r.故答案为：12.已知过点(0,2)的直线l 的方向向量为(1,6)，点(,)A a b 在直线l 上，则满足条件的一组,a b 的值依次为__________．【答案】1；8【解析】【分析】根据方向向量设出直线l 的方程，再由点(0,2)求出其方程，从而得出62b a =+，即可得出答案.【详解】直线l 的方向向量为(1,6)，可设直线l 的方程为60x y C -+=因为点(0,2)在直线l 上，所以2C =，即直线l 为620x y -+=所以620a b -+=，即62b a =+可取1a =，则8b =故答案为：1；813.在正方体ABCD A B C D -''''中，E 是C D ''的中点，则异面直线DE 与AC 所成角的余弦值为______.【答案】10【解析】【分析】利用正方体的特征构造平行线，利用勾股定理及余弦定理解三角形即可.【详解】如图所示，取A B ''的中点F ，易得//AF DE ，则FAC ∠或其补角为所求角，不妨设正方体棱长为2，则,3,AF FC FC AC '====，由余弦定理知：222cos 210AF AC FC FAC AF AC +-∠==⋅，则FAC ∠为锐角，即异面直线DE 与AC 所成角.故答案为：1010.14.将一张坐标纸对折，如果点()0,m 与点()()2,22m m -≠重合，则点()4,1-与点______重合.【答案】()1,2--【解析】【分析】先求线段AB 的中垂线方程，再根据点关于直线对称列式求解即可.【详解】已知点()0,A m 与点()2,2B m -，可知线段AB 的中点为1,122mm M ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，且212AB mk m -==--，则线段AB 的中垂线的斜率1k =，则线段AB 的中垂线方程为1122m m y x ⎛⎫⎛⎫-+=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即20x y -+=，设点()4,1-关于直线20x y -+=的对称点为(),a b ，则114412022b a a b -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩，解得12a b =-⎧⎨=-⎩，所以所求点为()1,2--.故答案为：()1,2--.15.给定两个不共线的空间向量a 与b，定义叉乘运算：a b ⨯ .规定：（i ）a b ⨯ 为同时与a，b垂直的向量；（ii ）a，b ，a b ⨯三个向量构成右手系（如图1）；（iii ）sin ,a b a b a b ⨯=.如图2，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，14AA =.给出下列四个结论：①1AB AD AA ⨯= ；②AB AD AD AB ⨯=⨯；③()111AB AD AA AB AA AD AA +⨯=⨯+⨯ ；④()11111ABCD A B C D V AB AD CC -=⨯⋅.其中，正确结论的序号是______________.【答案】①③④【解析】【分析】由新定义逐一核对四个选项得答案．【详解】解： ||||||sin902214AB AD AB AD ⨯=︒=⨯⨯=，且1AA 分别与,AB AD 垂直，∴1AB AD AA ⨯= ，故①正确；由题意，1AB AD AA ⨯= ，1AD AB A A ⨯=，故②错误；AB AD AC +=，∴11|()|||41AB AD AA AC AA +⨯=⨯=⨯= 且1()AB AD AA +⨯ 与DB 共线同向， 1||2418AB AA ⨯=⨯⨯= ，1AB AA ⨯ 与DA 共线同向，1||2418AD AA ⨯=⨯⨯= ，1AD AA ⨯ 与DB共线同向，11||AB AA AD AA ∴⨯+⨯= 11AB AA AD AA ⨯+⨯ 与DB共线同向，故③正确；11()||||||sin90cos022416AB AD CC AB AD CC ⨯=⨯⨯︒⨯︒=⨯⨯=，故④成立．故答案为：①③④．三、解答题：本大题共6题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，并把答案．．．写在答题纸中相应位置上．．．．．．．．．．．.16.在平面直角坐标系中，已知(3,9),(2,2),(5,3)A B C -，线段AC 的中点M ；（1）求过M 点和直线BC 平行的直线方程；（2）求BC 边的高线所在直线方程．【答案】（1）3170x y -+=（2）30x y +=【解析】【分析】（1）根据(3,9),(2,2),(5,3)A B C -，求得点M 的坐标，和直线直线BC 的斜率，写出直线方程；（2）根据13BC k =，得到BC 边的高线的斜率，写出直线方程；【小问1详解】解：因为(3,9),(2,2),(5,3)A B C -，所以()1,6M ，13BC k =，所以过M 点和直线BC 平行的直线方程为()1613y x -=-，即3170x y -+=；【小问2详解】因为13BC k =，所以BC 边的高线的斜率为-3，所以BC 边的高线所在直线方程()933y x -=-+，即30x y +=17.如图，在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1BB 的中点.（1）求证：1//BC 平面1AED ；（2）求点1A 到平面1AED 的距离；（3）直线1AA 与平面1AED 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）43（3）23【解析】【分析】（1）证明出四边形11ABC D 为平行四边形，可得出11//BC AD ，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点1A 到平面1AED 的距离；（3）利用空间向量法可求得直线1AA 与平面1AED 所成角的正弦值.【小问1详解】证明：在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB C D 且11AB C D =，故四边形11ABC D 为平行四边形，则11//BC AD ，因为1BC ⊄平面1AED ，1AD ⊂平面1AED ，因此，1//BC 平面1AED .【小问2详解】解：以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()10,0,2A 、()0,2,1E 、()12,0,2D ，所以，()10,0,2AA = ，()12,0,2AD = ，()0,2,1AE = ，设平面1AED 的法向量为(),,n x y z = ，则122020n AD x z n AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取2z =-，可得()2,1,2n =- ，所以，点1A 到平面1AED 的距离为143AA n d n⋅== .【小问3详解】解：因为11142cos ,233AA n AA n AA n ⋅<>===⨯⋅ ，因此，直线1AA 与平面1AED 所成角的正弦值为23.18.已知圆C 的圆心在直线20x y -=上，且与x 轴相切于点()1,0.（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 直线:0l x y m -+=交于A ，B 两点，____，求m 的值.从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：圆C 被直线l 分成两段圆弧，其弧长比为2:1；条件②：2AB =；条件③：90ACB ∠=︒.【答案】（1）()()22124x y -+-=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用几何关系求出圆心的坐标即可；（2）任选一个条件，利用选择的条件，求出圆心到直线的距离，然后列方程求解即可.【小问1详解】设圆心坐标为(),C a b ，半径为r .由圆C 的圆心在直线20x y -=上，知：2a b =.又 圆C 与x 轴相切于点()1,0，1a ∴=，2b =，则02r b =-=.∴圆C 圆心坐标为()1,2，则圆C 的方程为()()22124x y -+-=【小问2详解】如果选择条件①：120ACB ∠=°，而2CA CB ==，∴圆心C 到直线l 的距离1cos 60d CA =⨯= ，则1d ==，解得1m +或1+.如果选择条件②和③：AB =，而2CA CB ==，∴圆心C 到直线l 的距离d =，则d ==，解得1m =-或3.如果选择条件③：90ACB ∠=︒，而2CA CB ==，∴圆心C 到直线l 的距离cos 45d CA ⨯== ，则d ==，解得1m =-或3.19.如图，四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面ABP ，,90,2,3,BC AD PAB PA AB AD BC m ∠=︒==== ，E 是PB 的中点．（1）证明：AE ⊥平面PBC ；（2）若二面角C AE D --的余弦值是33，求m 的值；（3）若2m =，在线段A 上是否存在一点F ，使得PF CE ⊥．若存在，确定F 点的位置；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）1（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）推导出⊥BC 平面PAB ．,AE BC AE PB ⊥⊥．由此能证明AE ⊥平面PBC ;（2）建立空间直角坐标系A xyz -，利用向量法能求出m 的值;（3）设()()0,0,03F t t ≤≤，当2m =，()0,0,2C ，()()2,0,,1,1,2PF t CE ==-- ，由PF CE ⊥知，0PF CE ⋅= ,220,1t t --==-，这与03t ≤≤矛盾,从而在线段AD 上不存在点F ，使得PF CE ⊥．【小问1详解】证明：因为AD ⊥平面PAB ，BC AD ∥,所以⊥BC 平面PAB ,又因为AE ⊂平面PAB ，所以AE BC ⊥．在PAB 中，PA AB =，E 是PB 的中点，所以AE PB ⊥．又因为BC PB B = ,,BC PB ⊂平面PBC ,所以AE ⊥平面PBC ．【小问2详解】因为AD ⊥平面PAB ，,AB PA ⊂平面PAB ，所以,AD AB AD PA ⊥⊥,又因为PA AB ⊥,所以如图建立空间直角坐标系A xyz -．则()()()()()()0,0,0,0,2,0,0,2,,1,1,0,2,0,0,0,0,3A B C m E P D ,则()0,2,AC m = ，()1,1,0AE = ，设平面AEC 的法向量为 =s s ．则00AC n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即200y mz x y +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y =-，2z m =，故21,1,n m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．因为AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以AD PB ⊥,又AE PB ⊥,,,AD AE A AD AE ⋂=⊂平面AED ,所以PB ⊥平面AED ．又因为()2,2,0PB =- ，所以取平面AED 的法向量为()2,2,0PB =-所以cos ,3n PB n PB n PB⋅== ，3=，解得21m =．又因为0m >，所以1m =；【小问3详解】结论：不存在．理由如下：证明：设()()0,0,03F t t ≤≤．当2m =时，()0,0,2C ，()()2,0,,1,1,2PF t CE =-=-- ，由PF CE ⊥知0PF CE ⋅= ,220,1t t --==-，这与03t ≤≤矛盾,所以在线段AD 上不存在点F ，使得PF CE ⊥．20.已知圆()22:1C x a y -+=与直线1y x --=交于M 、N 两点，点P 为线段MN 的中点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为13-.（1）求a 的值及MON △的面积；（2）若圆C 与x 轴交于,A B 两点，点Q 是圆C 上异于,A B 的任意一点，直线QA 、QB 分别交:4l x =-于,R S 两点.当点Q 变化时，以RS 为直径的圆是否过圆C 内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）12,2MON a S =-=（2）()4-【解析】【分析】（1）先确定直线OP 的方程，联立直线方程求得P 点坐标，利用垂径定理及两直线垂直的斜率关系计算可得a ，再根据点到直线的距离公式、弦长公式计算求面积即可；（2）设QA 方程，含参表示QB 方程，求出,R S 坐标，从而求出以RS 为直径的圆的方程，利用待定系数法计算即可.【小问1详解】由题知：直线OP 方程为13y x =-，则由113y x y x =--⎧⎪⎨=-⎪⎩，得到3212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即31,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 点P 为线段MN 的中点，MN PC ∴⊥，即1021132MN PC k k a -⋅=-⨯=-+，2a ∴=-，即圆心−2,0；C ∴到直线=1y x --距离为2d ==，MN ∴==，又O 到直线=1y x --的距离为22，MN 边上的高为22.11222MON S ∴=⨯= .【小问2详解】由上可知()()3,0,1,0A B --,不妨设直线QA 的方程为()3y k x =+，其中0k ≠，在直线QA 的方程中，令4x =-，可得()4,R k --，因为QA QB ⊥，则直线QB 的方程为()11y x k =-+，在直线QB 的方程中，令4x =-，可得3y k =，即点34,S k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则线段RS 的中点为234,2k F k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径平方为2232k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以，以线段MN 为直径的圆的方程为()2222233422k k x y k k ⎛⎫⎛⎫-+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()2223430k x y y k -++--=，由()2430031x y x ⎧+-=⎪=⎨⎪-<<-⎩，解得40x y ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，因此，当点Q 变化时，以RS 为直径的圆恒过圆C内的定点()4-+.21.已知{}1,2,,n S = ，A S ⊆，{}12,T t t S =⊆，记{}(),1,2i i A x x a t a A i ==+∈=，用X 表示有限集合X 的元素个数.（1）若4n =，12A A =∅ ，分别指出{}1,2,3A =和{}1,2,4A =时，集合T 的情况（直接写出结论）；（2）若6n =，12A A =∅ ，求12A A ⋃的最大值；（3）若7n =，4A =，则对于任意的A ，是否都存在T ，使得12A A =∅ 说明理由.【答案】（1）{}1,4（2）10（3）不一定存在，理由见解析【解析】【分析】（1）由已知得12t t a b -≠-，其中,a b A ∈，当{}1,2,3A =时，12t t ，相差3；由此可求得T ，当{}1,2,4A =时，同理可得；（2）若6n =，12A A =∅ ，{}123456S =,,,,,，当{}2,3,4,5,6A =时，则12t t ，相差5，所以{}1,6T =，A 中至多有5个元素，所以12,A A 也至多有5个元素，求出12,A A 得出结果；（3）举反例{}1,2,5,7A =和{}{}1,2,3,4,1,6A T ==，根据题意检验即可说明.【小问1详解】若12A A =∅ ，则12t t a b -≠-，其中,a b A ∈，否则12t a t b +=+，12A A ⋂≠∅，若4n =，当{}1,2,3A =时，211-=，312-=，所以121,2t t -≠，则1t ，2t 相差3，因为1,2,3,4S =，{}12,T t t S =⊆，所以{}1,4T =；当{}1,2,4A =时，211-=，422-=，413-=，所以121,2,3t t -≠，因为1,2,3,4S =，{}12,T t t S =⊆，所以T 不存在；【小问2详解】若6n =，12A A =∅ ，{}123456S =,,,,,，当A S =时，211-=，514-=，523-=，716-=，72=5-，752-=，所以A S ≠，121,2,3,4,5t t -≠，所以T 不存在；所以A 中至多有5个元素；当{}2,3,4,5,6A =时，321-=，422-=，523-=，624-=，所以121,2,3,4t t -≠，则1t ，2t 相差5，所以{}1,6T =；{}(),1,2i i A x x a t a A i ==+∈=，所以{}1345,6,7A =,,，{}28910,11,12A =,,，{}12345,6,7,8910,11,12A A = ,,,,.因为A 中至多有5个元素，所以1A ，2A 也至多有5个元素，所以12A A ⋃的最大值为10.【小问3详解】不一定存在，理由如下：例如{}1,2,5,7A =，则211-=514-=，523-=，716-=，72=5-，752-=，则1t ，2t 相差不可能1，2，3，4，5，6，这与{}{}12,1,2,3,4,5,6,7T t t =⊆矛盾，故不都存在T ；例如{}{}1,2,3,4,1,6A T ==，不妨令121,6t t ==，则{}{}122,3,4,5,7,8,9,10A A ==，满足12A A =∅ .【点睛】关键点点睛：对于新定义问题，要充分理解定义，并把定义进行转化为已知的知识点或结论，方便解题.。
2023-2024学年山东省普高联考高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省普高联考高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知点A （3，2，3），B （1，1，4），则A 、B 的中点的坐标为（ ） A ．(1，12，−12)B ．(2，32，72)C ．（4，3，7）D ．(−1，−12，12)2．已知直线l 1：2x +2y ﹣5＝0，l 2：4x +ny +1＝0，若l 1∥l 2，则n 的值为（ ） A ．﹣6B ．6C ．4D ．﹣43．过点A （1，1）的直线l 与圆M ：x 2+y 2﹣6x ＝0相交的所有弦中，弦长最短为（ ） A ．5B ．2C ．√5D ．44．已知空间四边形OABC ，其对角线是OB ，AC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝3GN ，用基底向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →应是（ ） A ．OG →=18OA →+38OB →+38OC →B ．OG →=18OA →−38OB →+38OC →C ．OG →=16OA →+13OB →+13OC →D ．OG →=16OA →−13OB →+13OC →5．已知实数x ，y 满足方程x 2+y 2﹣2x ＝0，则y+1x+1的最大值是（ ）A ．34B ．43C ．0D ．126．战国时期成书《经说》记载：“景：日之光，反蚀人，则景在日与人之间”．这是中国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧．在平面直角坐标系xOy 中，一条光线从点（2，3）射出，经y 轴反射后与圆x 2﹣6x +y 2+4y +12＝0相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．−43或−34B ．17C ．57D ．567．已知中心在原点，半焦距为4的椭圆x 2m 2+y 2n 2=1(m ＞0，n ＞0，m ≠n)被直线方程2x ﹣y +9＝0截得的弦的中点横坐标为﹣4，则椭圆的标准方程为（ ） A ．x 28+y 24=1 B ．x 232+y 216=1C ．x 28+y 24=1或y 28+x 24=1D ．x 232+y 216=1或y 232+x 216=18．苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度AB ＝100米，拱高OP ＝10米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP 相距30米的支柱MN 的高度是（ ）米．（注意：√10取3.162）A ．6.48B ．4.48C ．2.48D ．以上都不对二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．空间直角坐标系中，已知O （0，0，0），OA →=(−1，2，1)，OB →=(−1，2，−1)，OC →=(2，3，−1)，则（ ） A ．|AB →|=2B ．△ABC 是直角三角形C ．与OA →平行的单位向量的坐标为(√66，−√63，−√66)D ．{OA →，OB →，OC →}可以作为空间的一组基底10．在如图所示的三棱锥O ﹣ABC 中，OA ＝OC ＝OB ＝1，OA ⊥面OBC ，∠BOC =π3，下列结论正确的为（ ）A ．直线AB 与平面OBC 所成的角为45° B ．二面角O ﹣BC ﹣A 的正切值为√33C ．O 到面ABC 的距离为√217D ．异面直线OC ⊥AB11．已知直线l ：kx ﹣y +2k ＝0（k ∈R ）和圆O ：x 2+y 2＝8，则（ ） A ．直线l 恒过定点（2，0）B ．存在k 使得直线l 与直线l 0：x ﹣2y +2＝0垂直C ．直线l 与圆O 相交D ．若k ＝1，则圆O 上到直线l 的距离为√2的点有四个12．已知抛物线y 2＝4x ，焦点F ，过点P （1，1）作斜率互为相反数的两条直线分别交抛物线于A ，B 及C ，D 两点．则下列说法正确的是（ ） A ．抛物线的准线方程为x ＝﹣1 B ．若|AF |＝5，则直线AP 的斜率为1 C ．若PA →=3BP →，则直线AB 的方程为y ＝xD ．∠CAP ＝∠BDP三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．过P （﹣1，a ）、Q （a +1，4）两点的直线的倾斜角为45°，那么实数a ＝ ．14．a →=(1，−1，2)，b →=(−2，1，0)，c →=(−3，1，k)，若a →，b →，c →共面，则实数k ＝ ． 15．古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的方法．如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的顶点和轴都重合），已知两个圆锥的底面直径均为4，侧面积均为2√5π．记过两个圆锥轴的截面为平面α，平面α与两个圆锥侧面的交线为AC ，BD ．已知平面β平行于平面α，平面β与两个圆锥侧面的交线为双曲线C 的一部分，且C 的两条渐近线分别平行于AC ，BD ，则该双曲线C 的离心率为 ．16．如图，已知菱形ABCD 中，AB ＝2，∠BAD ＝120°，E 为边BC 的中点，将△ABE 沿AE 翻折成△AB 1E （点B 1位于平面ABCD 上方），连接B 1C 和B 1D ，F 为B 1D 的中点，则在翻折过程中，AE 与B 1C 的夹角为 ，点F 的轨迹的长度为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知点A （1，2，﹣1），B （2，k ，﹣3），C （0，5，1），向量a →=(−3，4，5)． （1）若AB →⊥a →，求实数k 的值；（2）求向量AC →在向量a →方向上的投影向量．18．（12分）已知△ABC 的顶点A （5，1），B （1，3），C （4，4）． （1）求AB 边上的高所在直线的方程； （2）求△ABC 的外接圆的方程．19．（12分）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为BB 1上一点，已知BM ＝2，CD ＝3，AD ＝4，AA 1＝5．（1）求直线A 1C 和平面ABCD 的夹角； （2）求点A 到平面A 1MC 的距离．20．（12分）已知定点A （1，﹣2），点B 为圆（x +1）2+（y +4）2＝4上的动点． （1）求AB 的中点C 的轨迹方程；（2）若过定点P(12，−2)的直线l 与C 的轨迹交于M ，N 两点，且|MN|=√3，求直线l 的方程．21．（12分）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成．C ，E ，D ，G 在同一平面内，且CG＝DG ．（1）证明：平面BFD ⊥平面BCG ；（2）若直线GC 与平面ABG 所成角的正弦值为√105，求平面BFD 与平面ABG 所成角的余弦值．22．（12分）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）：步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一定点，记为F；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F（即折叠后图中的点A与点F重合）；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE的交点为P；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕．现取半径为4的圆形纸片，设点F到圆心E的距离为2√3，按上述方法折纸．以线段EF的中点为原点，线段EF所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，记动点P的轨迹为曲线C．（1）求C的方程；（2）设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为轨迹C上异于A，B，的动点，设PB交直线x＝4于点T，连结AT交轨迹C于点Q．直线AP、AQ的斜率分别为k AP、k AQ．（ⅰ）求证：k AP•k AQ为定值；（ⅱ）证明直线PQ经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标．2023-2024学年山东省普高联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知点A （3，2，3），B （1，1，4），则A 、B 的中点的坐标为（ ） A ．(1，12，−12)B ．(2，32，72)C ．（4，3，7）D ．(−1，−12，12)解：因为A （3，2，3），B （1，1，4），所以中点M(3+12，2+12，3+42)=(2，32，72)． 故选：B ．2．已知直线l 1：2x +2y ﹣5＝0，l 2：4x +ny +1＝0，若l 1∥l 2，则n 的值为（ ） A ．﹣6B ．6C ．4D ．﹣4解：因为l 1∥l 2，所以42=n 2≠1−5⇒n =4．故选：C ．3．过点A （1，1）的直线l 与圆M ：x 2+y 2﹣6x ＝0相交的所有弦中，弦长最短为（ ） A ．5B ．2C ．√5D ．4解：将A （1，1）代入x 2+y 2﹣6x ，得到12+12﹣6×1＜0，所以点A 在圆内， 再根据x 2+y 2﹣6x ＝0可得圆心坐标M （3，0），可知当l 与AM 垂直时，弦长最小， 因为AM =√5，即最短弦长为的一半为√32−(√5)2=2，所以最短弦长为2×2＝4． 故选：D ．4．已知空间四边形OABC ，其对角线是OB ，AC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝3GN ，用基底向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →应是（ ）A ．OG →=18OA →+38OB →+38OC →B ．OG →=18OA →−38OB →+38OC →C ．OG →=16OA →+13OB →+13OC →D ．OG →=16OA →−13OB →+13OC →解：∵OG →=OM →+MG →=OM →+34MN →=OM →+34(MO →+OC →+CN →)=OM →+34MO →+34OC →+34×12CB →=14OM →+34OC →+38(OB →−OC →)=18OA →+38OB →+38OC → 故选：A ．5．已知实数x ，y 满足方程x 2+y 2﹣2x ＝0，则y+1x+1的最大值是（ ）A ．34B ．43C ．0D ．12解：C 的方程x 2+y 2﹣2x ＝0可化为（x ﹣1）2+y 2＝1， 它表示圆心（1，0），半径为1的圆，y+1x+1表示圆上的点与点P （﹣1，﹣1）的连线的斜率k ， 设过圆上点与点P （﹣1，﹣1）的直线方程为y +1＝k （x +1）， 则圆心（1，0）到直线y +1＝k （x +1）的距离d =|2k−1|√k +1≤1，可得0≤k ≤43，即最大值为43，故选：B ．6．战国时期成书《经说》记载：“景：日之光，反蚀人，则景在日与人之间”．这是中国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧．在平面直角坐标系xOy 中，一条光线从点（2，3）射出，经y 轴反射后与圆x 2﹣6x +y 2+4y +12＝0相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．−43或−34B ．17C ．57D ．56解：根据题意，设B 与点（2，3）关于y 轴的对称，则B 的坐标为（﹣2，3）， 则反射光线经过点B ，且与圆x 2﹣6x +y 2+4y +12＝0相切，设反射光线所在直线的方程为：y﹣3＝k（x+2），即kx﹣y+2k+3＝0，圆x2﹣6x+y2+4y+12＝0的标准方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝1，则圆心为（3，﹣2），半径r＝1，由圆心（3，﹣2）到反射光线的距离等于半径可得：√1+k2=1，即12k2+25k+12＝0，解得k=−43或k=−34．故选：A．7．已知中心在原点，半焦距为4的椭圆x2m2+y2n2=1(m＞0，n＞0，m≠n)被直线方程2x﹣y+9＝0截得的弦的中点横坐标为﹣4，则椭圆的标准方程为（）A．x28+y24=1B．x232+y216=1C．x28+y24=1或y28+x24=1D．x232+y216=1或y232+x216=1解：设直线2x﹣y+9＝0与椭圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，由{x12m2+y12n2=1x22 m2+y22n2=1，得(x1+x2)(x1−x2)m2+(y1+y2)(y1−y2)n2=0，得k=y1−y2x1−x2=−n2m2×x1+x2y1+y2=2，弦的中点坐标是M（﹣4，1），直线AB的斜率k＝2，所以n2m2=12，m2=2n2，又m2﹣n2＝16，所以m2＝32，n2＝16，椭圆的标准方程为x232+y216=1．故选：B．8．苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度AB＝100米，拱高OP＝10米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP相距30米的支柱MN的高度是（）米．（注意：√10取3.162）A．6.48B．4.48C．2.48D．以上都不对解：以O为原点，以AB所在直线为x轴，以OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设圆心坐标（0，a），P（0，10），A（﹣50，0），则圆拱所在圆的方程为x 2+（y ﹣a ）2＝r 2， ∴{(10−a)2=r 2(−50)2+a 2=r 2，解得a ＝﹣120，r 2＝16900， ∴圆的方程为x 2+（y +120）2＝16900．将x ＝﹣30代入圆方程，得：900+（y +120）2＝16900， ∵y ＞0，∴y =40√10−120≈40×3.162﹣120＝6.48． 故选：A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．空间直角坐标系中，已知O （0，0，0），OA →=(−1，2，1)，OB →=(−1，2，−1)，OC →=(2，3，−1)，则（ ） A ．|AB →|=2B ．△ABC 是直角三角形C ．与OA →平行的单位向量的坐标为(√66，−√63，−√66)D ．{OA →，OB →，OC →}可以作为空间的一组基底 解：因为OA →=(−1，2，1)，OB →=(−1，2，−1)，所以AB →=OB →−OA →=(0，0，−2)，所以|AB →|=2，选项A 正确； 又因为OC →=(2，3，−1)，所以BC →=OC →−OB →=(3，1，0)， 所以AB →⋅BC →=0，所以△ABC 是直角三角形，选项B 正确； 因为|OA →|=√1+4+1=√6， 所以与OA →平行的单位向量的坐标为：±OA →|OA →|=±(√66，−√63，−√66)，选项C 错误； 假设OA →，OB →，OC →共面，则存在唯一的有序数对（x ，y ）使OA →=xOB →+yOC →，即（﹣1，2，1）＝x （﹣1，2，﹣1）+y （2，3，﹣1）＝（﹣x +2y ，2x +3y ，﹣x ﹣y ）， 所以{−1=−x +2y 2=2x +3y 1=−x −y ，此方程组无解，故OA →，OB →，OC →不共面，故可作为空间一组基底，选项D 正确． 故选：ABD ．10．在如图所示的三棱锥O ﹣ABC 中，OA ＝OC ＝OB ＝1，OA ⊥面OBC ，∠BOC =π3，下列结论正确的为（ ）A ．直线AB 与平面OBC 所成的角为45° B ．二面角O ﹣BC ﹣A 的正切值为√33C ．O 到面ABC 的距离为√217D ．异面直线OC ⊥AB解：选项A ，因为OA ⊥面OBC ，故∠ABO 为直线AB 与平面OBC 所成的角， 又OA ＝OC ＝OB ＝1，所以tan ∠ABO ＝1，故直线AB 与平面OBC 所成的角是45°，故A 正确； 选项B ，取BC 中点为D ，连接OD ，AD ，因为OA ＝OB ＝OC ＝1，OA ⊥平面OBC ，∠BOC =π3，所以AB =AC =√2，BC =1，OD ⊥BC ，AD ⊥BC ， 因为OD ∩AD ＝D ，所以BC ⊥平面AOD ，故∠ODA 为二面角O ﹣BC ﹣A 的平面角，则tan ∠ODA =OA OD =2√33， 故二面角O ﹣BC ﹣A 的正切值为2√33，故B 错误；选项C ，因为AB =AC =√2，BC =1，所以AD =√72，设O 到面ABC 的距离为h ，则由V A ﹣OBC ＝V O ﹣ABC ，可得：13×√34×1=13×12×√72×ℎ，解得ℎ=√217，故C 正确；选项D ，若OC ⊥AB ，又OC ⊥OA ，且AB ∩OA ＝A ，则OC ⊥面OAB ， 则有OC ⊥OB ，与∠BOC =π3矛盾，故D 错误．故选：AC ．11．已知直线l ：kx ﹣y +2k ＝0（k ∈R ）和圆O ：x 2+y 2＝8，则（ ） A ．直线l 恒过定点（2，0）B ．存在k 使得直线l 与直线l 0：x ﹣2y +2＝0垂直C ．直线l 与圆O 相交D ．若k ＝1，则圆O 上到直线l 的距离为√2的点有四个解：由直线l ：kx ﹣y +2k ＝0，整理成k （x +2）﹣y ＝0，则直线恒过定点（﹣2，0），故A 错误； 若直线l ：kx ﹣y +2k ＝0与直线l 0：x ﹣2y +2＝0垂直， 则k +2＝0，解得k ＝﹣2，故B 正确；因为（﹣2）2+0＝4＜8，所以定点（﹣2，0）在圆O ：x 2+y 2＝8内部， 所以直线l 与圆O 相交，故C 正确； 当k ＝1时，直线l 化为x ﹣y +2＝0， 圆心O 到直线的距离d =|2|√2=√2，圆O 半径2√2， 因为d ＜r 且d =12r ，所以圆O 到直线l 距离为√2的点有三个，故D 错误．故选：BC ．12．已知抛物线y 2＝4x ，焦点F ，过点P （1，1）作斜率互为相反数的两条直线分别交抛物线于A ，B 及C ，D 两点．则下列说法正确的是（ ） A ．抛物线的准线方程为x ＝﹣1 B ．若|AF |＝5，则直线AP 的斜率为1 C ．若PA →=3BP →，则直线AB 的方程为y ＝xD ．∠CAP ＝∠BDP解：对于选项A ：因为抛物线方程为y 2＝4x ，可得该抛物线的准线方程为x ＝﹣1，故选项A 正确； 对于选项B ：不妨设A （x 0，y 0），因为|AF |＝5，所以x 0+p2=x 0+1=5，x 0=4，解得y 0＝±4， 又P （1，1），则直线AP 的斜率为4−14−1=1或−4−14−1=−53，故选项B 错误； 对于选项C ：不妨设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），因为P （1，1），所以BP →=(1−x 2，1−y 2)，PA →=(x 1−1，y 1−1)， 因为PA →=3BP →，所以{3(1−x 2)=x 1−13(1−y 2)=y 1−1，得{x 1=4−3x 2y 1=4−3y 2．因为y 12=4x 1，所以(4−3y 2)2=4(4−3x 2)，即3y 22−8y 2=−4x 2， 因为y 22=4x 2，所以4y 22−8y 2=0，y 2=0或y 2＝2，当y 2＝0时，x 2＝0，解得x 1＝4，y 1＝4； 当y 2＝2时，x 2＝1，解得x 1＝1，y 1＝﹣2，此时直线AB 的斜率不存在，直线CD 的斜率为0，不符合题意；则A （4，4），B （0，0），此时直线AB 的方程为y ＝x ，故选项C 正确． 对于选项D ：易知直线AB ，CD 的斜率存在，不妨设直线AB ：y ＝k （x ﹣1）+1， 则直线CD ：y ＝﹣k （x ﹣1）+1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）， 联立{y =k(x −1)+1y 2=4x ，即{x =1k (y −1)+1y 2=4x，消去x 并整理得y 2−4k y +4k −4=0，因为P （1，1）在抛物线内部，所以Δ＞0， 由韦达定理得y 1+y 2=4k ，y 1y 2=4k−4，因为|AP|=√1+1k 2|y 1−1|，|BP|=√1+1k2|y 2−1|， 所以|AP|⋅|BP|=(1+1k 2)|(y 1−1)(y 2−1)|=(1+1k2)|y 1y 2−(y 1+y 2)+1| =(1+1k 2)|4k −4−4k +1|=3(1+1k2)， 同理得|CP|⋅|DP|=3[1+1(−k)2]=3(1+1k 2)，所以|AP |•|BP |＝|CP |•|DP |，即|AP||DP|=|CP||BP|，又∠CP A ＝∠BPD ，所以△APC ∽△BPD ，则∠CAP ＝∠BDP ，故选项D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．过P （﹣1，a ）、Q （a +1，4）两点的直线的倾斜角为45°，那么实数a ＝ 1 ． 解：过P （﹣1，a ）、Q （a +1，4）两点的直线的倾斜角为45°， 则k PQ ＝tan45°＝1，又k PQ =4−aa+2=1⇒a =1． 故答案为：1．14．a →=(1，−1，2)，b →=(−2，1，0)，c →=(−3，1，k)，若a →，b →，c →共面，则实数k ＝ 2 ． 解：因为a →，b →，c →共面，所以存在x ，y ∈R ，使得c →=xa →+yb →， 又因为a →=(1，−1，2)，b →=(−2，1，0)，c →=(−3，1，k)， 所以（﹣3，1，k ）＝x （1，﹣1，2）+y （﹣2，1，0）， 所以{−3=x −2y1=−x +y k =2x ，解得x ＝1，y ＝2，k ＝2．故答案为：2．15．古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的方法．如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的顶点和轴都重合），已知两个圆锥的底面直径均为4，侧面积均为2√5π．记过两个圆锥轴的截面为平面α，平面α与两个圆锥侧面的交线为AC ，BD ．已知平面β平行于平面α，平面β与两个圆锥侧面的交线为双曲线C 的一部分，且C 的两条渐近线分别平行于AC ，BD ，则该双曲线C 的离心率为 √5 ．解：以AC ，BD 的交点在平面β内的射影为坐标原点，两圆锥的轴在平面β内的射影为y 轴，在平面β内与x轴垂直的直线为x轴，建立平面直角坐标系．根据题意可设双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）．∵两个圆锥的底面直径均为4，则底面半径为2，又侧面积均为2√5π，∴一个圆锥的母线长为√5．则双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，即ba=2．∴双曲线的离心率为e=ca=√c2a2=√a2+b2a2=√1+(ba)2=√5．故答案为：√5．16．如图，已知菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝120°，E为边BC的中点，将△ABE沿AE翻折成△AB1E （点B1位于平面ABCD上方），连接B1C和B1D，F为B1D的中点，则在翻折过程中，AE与B1C的夹角为90°，点F的轨迹的长度为π2．解：在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，E为边BC的中点，所以AE⊥BC，在翻折过程中，有AE⊥B1E，AE⊥CE，因为B1E∩CE＝E，B1E、CE⊂平面B1CE，所以AE⊥平面B1CE，又B1C⊂平面B1CE，所以AE⊥B1C，即AE与B1C的夹角为90°；分别取AB ，AB 1的中点M 和N ，连接EM ，EN ，FN ，因为N ，F 分别为AB 1和B 1D 的中点， 所以FN =12AD ，FN ∥AD ，又E 为BC 的中点，所以CE =12BC =12AD ，CE ∥AD ，所以FN ＝CE ，FN ∥CE ，所以点F 的轨迹与点N 的轨迹相同，即从点M 到点N 的轨迹，因为AE ⊥平面B 1CE ，所以点B 1的轨迹是以E 为圆心，BE 为半径的圆， 所以点N 的轨迹是以AE 的中点为圆心，BE 2为半径的圆， 所以点N 的轨迹长度为12×2π×BE2=π×12=π2，即点F 的轨迹长度为π2．故答案为：90°，π2．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知点A （1，2，﹣1），B （2，k ，﹣3），C （0，5，1），向量a →=(−3，4，5)． （1）若AB →⊥a →，求实数k 的值；（2）求向量AC →在向量a →方向上的投影向量．解：（1）由题意，AB →=(1，k −2，−2)，a →=(−3，4，5)， 因为AB →⊥a →，所以AB →⋅a →=0，即﹣3+4k ﹣8﹣10＝0，得k =214． （2）由题意，AC →=(−1，3，2)，a →=(−3，4，5)，所以向量AC →在向量上a →上的投影向量为：(AC →⋅a →|a →|)a →|a →|=3+12+10√9+16+253√210，2√25，√22)=(−32，2，52)．18．（12分）已知△ABC 的顶点A （5，1），B （1，3），C （4，4）． （1）求AB 边上的高所在直线的方程；（2）求△ABC 的外接圆的方程． 解：（1）∵A （5，1），B （1，3）， ∴直线AB 的斜率k AB =1−35−1=−12， ∴AB 边上的高所在直线的斜率为2， ∵AB 边上的高所在直线过点C （4，4），∴AB 边上的高所在直线的方程为y ﹣4＝2（x ﹣4），即2x ﹣y ﹣4＝0． （2）∵CA →=(1，−3)，CB →=(−3，−1)， ∴CA →⋅CB →=0，即△ABC 为以角C 为直角的直角三角形， 故△ABC 的外接圆以AB 中点（3，2）为圆心，|AB|2=12√(1−5)2+(3−1)2=√5为半径，∴△ABC 的外接圆的方程为（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝5．19．（12分）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为BB 1上一点，已知BM ＝2，CD ＝3，AD ＝4，AA 1＝5．（1）求直线A 1C 和平面ABCD 的夹角； （2）求点A 到平面A 1MC 的距离．解：（1）依题意：AA 1⊥平面ABCD ，连接AC ，则A 1C 与平面ABCD 所成夹角为∠A 1CA ，∵AA 1＝5，AC =√32+42=5， ∴△A 1CA 为等腰三角形， ∴∠A 1CA =π4，∴直线A 1C 和平面ABCD 的夹角为π4，（2）（空间向量），如图建立坐标系，则A （0，0，0），C （3，4，0），A 1（0，0，5），M （3，0，2）， ∴AC →=（3，4，0），A 1C →=（3，4，﹣5），MC →=（0，4．﹣2）， 设平面A 1MC 的法向量n →=（x ，y ，z ），由{n →⋅A 1C →=3x +4y −5z =0n →⋅MC →=4y −2z =0，可得n →=（2，1，2）， ∴点A 到平面A 1MC 的距离d =|AC →⋅n →||n →|=3×2+4×1√2+1+2=103．20．（12分）已知定点A （1，﹣2），点B 为圆（x +1）2+（y +4）2＝4上的动点． （1）求AB 的中点C 的轨迹方程；（2）若过定点P(12，−2)的直线l 与C 的轨迹交于M ，N 两点，且|MN|=√3，求直线l 的方程．解：定点A （1，﹣2），点B 为圆（x +1）2+（y +4）2＝4上的动点． （1）设点C 的坐标为（x ，y ），则点B 的坐标为（2x ﹣1，2y +2）， ∵点B 为圆（x +1）2+（y +2）2＝4上的动点，∴（2x ﹣1+1）2+（2y +2+4）2＝4，即x 2+（y +3）2＝1， ∴AB 的中点C 的轨迹方程为x 2+（y +3）2＝1；（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y+2=k(x−12 )，∵圆的半径r＝1且|MN|=√3，∴圆心到直线的距离d=1 2，∴d=|1−k2|√1+k=12，解得k=34，∴直线l的方程为y+2=34(x−12)，即6x﹣8y﹣19＝0；当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1 2，此时|MN|=√3，满足条件；综上，直线l的方程为x=12或6x﹣8y﹣19＝0．21．（12分）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成．C，E，D，G在同一平面内，且CG＝DG．（1）证明：平面BFD⊥平面BCG；（2）若直线GC与平面ABG所成角的正弦值为√105，求平面BFD与平面ABG所成角的余弦值．解：（1）证明：如图，连接CE，DG，因为该几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成，CG＝DG，所以∠ECD＝∠DCG＝45°，所以∠ECG＝90°，所以CE⊥CG，因为BC∥EF，BC＝EF，所以四边形BCEF 为平行四边形， 所以BF ∥CE ， 所以BF ⊥CG ，因为BC ⊥平面ABF ，BF ⊂平面ABF ， 所以BC ⊥BF ，因为BC ，CG ⊂平面BCG ，BC ∩CG ＝C ， 所以BF ⊥平面BCG ， 因为BF ⊂平面BFD ， 所以平面BFD ⊥平面BCG ．（2）如图，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，设AF ＝2，AD ＝t ，则A （0，0，0），B （0，2，0），F （2，0，0），D （0，0，t ），G （﹣1，1，t ），C （0，2，t ），则AB →=(0，2，0)，AG →=(−1，1，t)，GC →=(1，1，0)， 设平面ABG 的一个法向量为m →=(x ，y ，z)， 则{m →⋅AB →=0，m →⋅AG →=0，所以{m →⋅AB →=(x ，y ，z)⋅(0，2，0)=2y =0m →⋅AG →=(x ，y ，z)⋅(−1，1，t)=−x +y +tz =0，令z ＝1，y ＝0，x ＝t ，所以m →=(t ，0，1)，记直线GC 与平面ABG 所成的角为θ，则sinθ=|cos〈GC →，m →〉|=|GC →⋅m →||GC →||m →|=|t|√2×√t +1=√105，解得t ＝2（负值舍去），即AD ＝2，设平面BFD 的一个法向量为n →=(x′，y′，z′)，FB →=(−2，2，0)，FD →=(−2，0，2)，则{n →⋅FB →=0n →⋅FD →=0即{−2x ′+2y ′=0−2x′+2z′=0，令x ′＝1，则n →=(1，1，1)， 所以cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →||n →|=√2+1⋅√1+1+1=35×3=√155，所以平面BFD 与平面ABG 所成角的余弦值为√155． 22．（12分）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）： 步骤1：设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一定点，记为F ；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F （即折叠后图中的点A 与点F 重合）； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE 的交点为P ； 步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕．现取半径为4的圆形纸片，设点F 到圆心E 的距离为2√3，按上述方法折纸．以线段EF 的中点为原点，线段EF 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy ，记动点P 的轨迹为曲线C ． （1）求C 的方程；（2）设轨迹C 与x 轴从左到右的交点为点A ，B ，点P 为轨迹C 上异于A ，B ，的动点，设PB 交直线x ＝4于点T ，连结AT 交轨迹C 于点Q ．直线AP 、AQ 的斜率分别为k AP 、k AQ ． （ⅰ）求证：k AP •k AQ 为定值；（ⅱ）证明直线PQ 经过x 轴上的定点，并求出该定点的坐标．解：（1）因为|PE|+|PF|=|PA|+|PE|=4＞|EF|=2√3， 所以点P 的轨迹是以E ，F 为焦点，且长轴长2a ＝4的椭圆， 焦距2c =|EF|=2√3， 此时b 2＝a 2﹣c 2＝1， 则轨迹C 方程为x 24+y 2=1；（2）证明：（i ）不妨设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），T （4，m ）， 由题可知A （﹣2，0），B （2，0），第21页（共21页） 则k AP =y 1x 1+2，k AQ =k AT =m−04−(−2)=m 6， 因为k BP =k BT =y 1x 1−2=m 2， 所以m =2y 1x 1−2， 所以k AP ⋅k AQ =y 1x 1+2⋅m 6=y 1x 1+2⋅y 13(x 1−2)=y 123(x 12−4)，① 因为点P 在椭圆上，所以x 124+y 12=1，② 联立①②，解得k AP •k AQ =−112， 故k AP •k AQ 为定值；（ii ）证明：不妨设直线PQ 的方程为x ＝ty +n ，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），联立{x =ty +nx 24+y 2=1，消去x 并整理得（t 2+4）y 2+2tny +n 2﹣4＝0， 由韦达定理得{y 1+y 2=−2tn t 2+4y 1y 2=n 2−4t 2+4， 由（i ）知k AP ⋅k AQ =−112， 即y 1x 1+2⋅y 2x 2+2=y 1y 2(ty 1+n+2)(ty 2+n+2)=−112， 整理得n 2−44n 2+16n+16=−112， 解得n ＝1或n ＝﹣2（舍去），所以直线PQ 的方程为x ＝ty +1，故直线PQ 经过定点（1，0）．。
2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学试题含解析
2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：沪教版2020必修第三册第十~十一章。
5．难度系数：0.72。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．不重合的两个平面最多有条公共直线【答案】1【解析】根据平面的位置关系可知，不重合两平面平行或相交，当相交时，有且只有一条公共直线.故答案为：12．已知球的表面积是16π，则该球的体积为.3．空间中一个角∠A的两边和另一个角∠B的两边分别平行，若∠A=，则∠B=;【答案】【解析】如图，若角∠A 的两边和角∠B 的两边分别平行，且方向相同，则∠A 与∠B 相等此时70B A ∠=∠=︒；②当角∠A 的两边和角∠B 的两边分别平行，且一边方向相同另一边方向相反，则∠A 与∠B 互补，此时180110B A ∠=︒-∠=︒.故答案为70︒或110︒.4．如图，正三棱柱的底面边长为2，高为1，则直线1B C 与底面ABC 所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）.5．在空间中，给出下面四个命题，其中真命题为．（填序号）①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直；②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则αβ∥；③若直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，则l α⊥；④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线．【答案】③【解析】①过平面α外两点可确定一条直线，当这条直线垂直于平面α时，有无数个平面垂直于平面α，故①错误；②若三点在平面α同侧，则αβ∥；若三点在平面α两侧，则α与β相交，故②错误；③直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，则l 垂直于平面α内两条相交直线，由线面垂直的判定定理可得l α⊥，故③正确；④两条异面直线在同一个平面内的射影有可能是两条相交直线，也可能是两条平行直线，还可能是一个点和一条直线，故④错误；故答案为：③6．正四棱锥P －ABCD 的所有棱长均相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与P A 所成角的余弦值为.连接AC 交BD 于O 点，连接OE ，则OE 因为⊥PO 面ABCD ，所以PO DB ⊥，又因为所以直在角三角形EOB 中，设PA a =，则故答案为：33.7．如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为6m 的正ABC V ，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是m .【答案】35【解析】解：由题意得：圆锥的底面周长是6π，则66180n ππ=，解得：180n ︒=可知圆锥侧面展开图的圆心角是180︒，如图所示：则圆锥的侧面展开图中：()3m AP =，6(m)AB =，90BAP ︒∠=所以在圆锥侧面展开图中：()223635m BP =+=故答案为：358．已知一球体刚好和圆台的上、下底面及侧面都相切，且圆台上底面的半径为2，下底面的半径为1，则该圆台的侧面积为．【答案】9π【解析】圆台的轴截面如下图示：截面中圆为内切球的最大圆，且2AF DF AG DH ====，1BE CE BG CH ====，所以3AB CD ==，而上下底面周长分别为4π、2π，故该圆台的侧面积为13(2π4π)9π2⨯⨯+=.故答案为：9π9．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的体积为3，P ，Q ，R 分别为侧棱1AA ，1BB ，1CC 上的点，且1AP CR AA +=，则Q ACRP V -=.则111332Q ACRP V d S d -=⋅⋅=⋅⋅⋅设三棱柱111ABC A B C -的体积故答案为：1.10．已知大小为π6的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到另一个面的距离为．11．正方形ABCD 中，E ，F 分别为线段AB ，BC 的中点，连接DE ，DF ，EF ，将ADE V ，CDF V ，BEF △分别沿DE ，DF ，EF 折起，使A ，B ，C 三点重合，得到三棱锥O DEF -，则该三棱锥外接球半径R 与内切球半径r 的比值为．【答案】26【解析】在正方形ABCD 中，,AD AE CD ⊥12．空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面α：A，B，C，D中有三个点到的距离相同，另一个点到α的距离是前三个点到α的距离的2倍，这样的平面α的个数是___________个【答案】32【解析】首先取3个点相等，不相等的那个点由4种取法；然后分3分个点到平面α的距离相等，有以下两种可能性：（1）全同侧，这样的平面有2个；（2）不同侧，必然2个点在一侧，另一个点在一侧，1个点的取法有3种，并且平面过三角形两个点边上的中位线，考虑不相等的点与单侧点是否同侧有两种可能，每种情况下都唯一确定一个平面，故共有6个，⨯=个，所有这两种情况共有8个，综上满足条件的这样的平面共有4832故答案为：32二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)13．下列几何体中，多面体是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】A选项中的几何体是球，是旋转体；B选项中的几何体是三棱柱，是多面体；C 选项中的几何体是圆柱，旋转体；D 选项中的几何体是圆锥，是旋转体.故选B.14．已知两个平面α、β，在下列条件下，可以判定平面α与平面β平行的是（）．A ．α、β都垂直于一个平面γB ．平面α内有无数条直线与平面β平行C ．l 、m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥βD ．l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β【答案】D【解析】对于A ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B 都与平面ABCD 垂直，但这两个平面不平行，所以A 错误，对于B ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，平面11AAC C 中所有平行于交线1AA 的直线都与平面11AA B B 平行，但这两个平面不平行，所以B 错误，对于C ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，,M N 分别为11,A B AB 的中点，则1,MN BB 在平面11AA B B 内，且都与平面11AAC C 平行，但这两个平面不平行，所以C 错误.对于D ，因为l 、m 是两条异面直线，所以将这两条直线平移到共面α时，一定在α内形成两条相交直线，由面面平行的判定定理可知，该结论正确．故选：D15．将3个1212⨯的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图1）；将这6部分接于一个边长为六边形边上（如图2），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是（）A ．17282B ．864C ．576D ．2【答案】B【解析】折成的多面体如图①所示，将其补形为正方体，如图②，所求多面体体积为正方体的一半，又依题易求得正方体的边长为12，故3112864,2V =⨯=故选：B.16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱BC 的中点，F 是侧面11BCC B 上的动点，且1A F ∥平面1AD E ．设1A F 与平面11BCC B 所成的角为1,A F α与1AD 所成的角为β，那么下列结论正确的是（）A ．α的最小值为arctan2,β的最小值为arctan3B ．α的最小值为arctan3,β的最大值为2πC ．α的最小值大于arctan2,β的最小值大于arctan3D ．α的最大值小于arctan3,β的最大值小于2π设正方体的棱长为2，因为MN GE ∥，且MN ⊄MN ∴∥平面1AEGD ；同理1A N ∥平面1AEGD ，且∴平面1A MN ∥平面AEGD ∵11A B ⊥面11BB C C ，所以又1AD MN ，所以1A F 与1AD 所成的角为111tan A B B Fα∴=；当F 为MN 中点时，此时当F 与M 或N 重合时，此时2tan 22α∴≤≤，arctan2对于β，当F 为MN 中点时，当F 与M 或N 重合时，β()221252A F ⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭tan 3β∴=，tan 3β∴≥，arctan 3β≤≤又arctan3 1.4≈，arctan2故选：A.三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)17．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为1DD 的中点.(1)求证：直线1BD //平面PAC ；(2)求异面直线1BD 与AP 所成角的大小.【解析】（1）设AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点，连接PO ，（1分)∵P 是1DD 的中点，∴1//PO BD ，(3分)又∵PO ⊂平面PAC ，1⊄BD 平面PAC ，∴直线1BD //平面PAC ；(6分)（2）由(1)知，1//PO BD ，∴APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角，(8分)∵PA PC =12AO AC ==且PO AO ⊥，∴1sin2AO APO AP ∠==．又(0,90]APO ∠∈︒︒，∴30APO ∠=︒故异面直线1BD 与AP 所成角的大小为30︒．(14分)18．如图，在圆柱中，底面直径AB 等于母线AD ，点E 在底面的圆周上，且AF D E ⊥，F 是垂足．(1)求证：AF DB ⊥；(2)若圆柱与三棱锥D ABE -的体积的比等于3π，求直线DE 与平面ABD 所成角的大小．【解析】（1）证明：根据圆柱性质，DA ⊥平面ABE ，因为EB ⊂平面ABE ，所以DA EB ⊥，又因为AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上，所以AE EB ⊥，因为AE DA A ⋂=且,AE DA ⊂平面DAE ，所以EB ⊥平面DAE ，(2分)又因为AF ⊂平面DAE ，所以EB AF ⊥，因为AF D E ⊥，且EB DE E =I ，且,EB DE ⊂平面DEB ，所以AF ⊥平面DEB ，又因为DB ⊂平面DEB ，所以AF DB ⊥．(6分)（2）解：过点E 作EH AB ⊥，H 是垂足，连接DH ，根据圆柱性质，平面ABD ⊥平面ABE ，且平面ABD ⋂平面ABE AB =,且EH ⊂平面ABE ，所以EH ⊥平面ABD ，因为DH ⊂平面ABD ，所以DH 是ED 在平面ABD 上的射影，从而EDH ∠是DE 与平面ABD 所成的角，(8分)设圆柱的底面半径为R ，则2DA AB R ==，所以圆柱的体积为32πV R =，且21233D ABEABE R V AD S EH -=⋅=⋅ ，由:3πD ABE V V -=，可得EH R =，可知H 是圆柱底面的圆心，且AH R =，且DH =，在直角EDH 中，可得tan EH EDH DH ∠==EDH ∠=(14分)19．如图，将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD ⊥平面CBD ，AE ⊥平面ABD ，且2AE(1)求证：直线EC 与平面ABD 没有公共点；(2)求点C 到平面BED 的距离.【解析】（1）取BD 的中点F ，连接CF 、AF ，如图，依题意，在BCD △中，,BC CD BC CD =⊥，则CF BD ⊥，而平面ABD ⊥平面CBD ，平面ABD ⋂平面CBD BD =，CF ⊂平面CBD ，于是得CF ⊥平面ABD ，且2CF =因为AE ⊥平面ABD ，且2AE =//AE CF ，且AE CF =，从而得四边形AFCE 为平行四边形，//EC AF ，(4分)又AF ⊂平面ABD ，EC ⊂/平面ABD ，则//EC 平面ABD ，所以直线EC 与平面ABD 没有公共点；(6分)（2）因为CF ⊥平面ABD ，AF ⊂平面ABD ，所以CF AF ⊥，因为BD AF ⊥，BD CF F = ，,BD CF ⊂平面,CBD 所以AF ⊥平面,CBD 因为//,EC AF ，于是得EC ⊥平面CBD ，因为AE ⊥平面ABD ，,AB AD ⊂平面ABD ，所以,AE AB AE AD ⊥⊥，(8分)因为EC AF ==EB ED =，则等腰BED 底边BD 上的高2h ==，12BED S BD h =⋅= ，而2BCD S =，设点C 到平面BED 的距离为d ，由C BED E BCD V V --=得1133BED BCD S d S EC ⋅=⋅ ，即2=，解得1d =，所以点C 到平面BED 的距离为1(14分)20．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是菱形，底面,AC BD O PAC = △是边长为2的等边三角形，PB =PD ，AP =4AF（1）求证：PO ⊥底面ABCD （2）求直线CP 与OF 所成角的大小.（3）在线段PB 上是否存在点M ，使得//CM 平面BDF ？如果存在，求BMBP的值；如果不存在，请说明理由.【解析】（1）因为底面ABCD 是菱形，且AC BD O = ，所以O 为AC ，BD 中点，在PBD △中，PB =PD ，可得PO ⊥BD ，因为在PAC 中，PA =PC ，O 为AC ，BD 中点，所以PO ⊥AC ，(3分)又因为AC ⋂BD =O ，所以PO ⊥底面ABCD .(4分)（2）连接OF ，取AP 中点为E ，连接OE ，因为底面ABCD 是菱形，AC ⋂BD =O ，由O 为AC 中点，且E 为AP 中点，AP =4AF ，所以F 为AE 中点，所以CP //OE .，故∠EOF 为直线CP 与OF 所成的角，(8分)又由PAC 为等边三角形，且E 为中点，所以∠EOF =30o .(10分)（3）存在，13BM BP =，连接CE ，ME ，因为AP =4AF ，E 为AP 中点，所以13EF FP =，又因为13BM BP =，所以在PFB △中，EF BMFP BP =，即EM //BF ，(12分)因为EM ⊄平面BDF ，BF ⊂平面BDF ，所以EM //平面BDF ，由（2）知EC //OF ，因为EC ⊄平面BDF ，OF ⊂平面BDF ，所以EC //平面BDF ，因为EC ⋂EM =E ，所以平面EMC //平面BDF ，因为CM ⊂平面EMC ，所以CM //平面BDF .(18分)21．在棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，E 为11B C 的中点．过AE 的截面与棱111,BB AC 分别交于点F ，G．(1)若F 为1BB 的中点，试确定点G 的位置，并说明理由；(2)在（1）的条件下，求截面AGEF 与底面ABC 所成锐二面角的正切值；(3)设截面AFEG 的面积为0S ，AEG △面积为1S ，AEF △面积为2S ，当点F 在棱1BB 上变动时，求2012S S S 的取值范围．【解析】（1）在平面11BCC B 内延长1CC ，FE 相交于点P ，则P ∈平面AGEF ，又1P CC ∈⊂平面11ACC A ，则有平面AGEF 平面11ACC A AG =，P AG ∈，即A ，G ，P 三点共线．(2分)因为E 为11B C 的中点，F 为1BB 的中点，所以11112PC B F CC ==，所以113PC PC =，又因为1//GC AC ，所以1113GC PC AC PC ==，所以111112333GC AC A C ===，即点G 为棱11AC 上靠近点1C 的三等分点．(4分)（2）在平面11BCC B 内延长CB ，EF 相交于点Q ，连接AQ ，则平面AGEF 平面ABC AQ =，在平面11ACC A 内作GM AC ⊥于点M ，则GM ⊥平面ABC ，又AQ ⊂平面ABC ，所以G M AQ ⊥，在平面ABC 内作MN AQ ⊥于点N ，连接GN ，又,GM MN ⊂平面GMN ，GM MN M ⋂=，所以AQ ⊥平面GMN ，GN ⊂平面GMN ，所以AQ GN ⊥，所以GNM ∠为截面AGEF 与底面ABC 所成锐二面角的平面角．(6分)在AQC 中，作CH AQ ⊥于点H ，11BQ C E ==，2AC =，3CQ =，60AC B ∠= ，12222ABC S =⨯⨯⨯=△AQC S =由余弦定理2222cos 4967AQ AC CQ AC CQ ACQ =+-⋅⋅∠=+-=，则AQ122AQC S AQ CH ==⋅ ，可得3217CH =，所以237MN CH ==，又22G M AA ==，所以21tan 3GM GNM MN ∠==，故截面AGEF 与底面ABC (10分)（3）设1GC m =，则[]0,1m ∈，2PG mGA m=-．设PGE 的面积为S ，所以12S m S m=-，又因为21S S S =+，所以1222S m S -=，且1221,122S m S -⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，故()22120121212212S S S S SS S S S S S +==++，令12S t S =，则1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，(11分)设()112,12g t t t t ⎛⎫⎡⎤=++∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，当12112t t ≤<≤时，()()()()121212121212111t t g t g t t t t t t t t t --=+--=-，120t t -<，120t t >，1210t t -<，则()()120g t g t ->，即()()12g t g t >，所以()12g t t t =++在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()()min 14g t g ==，()max 1922g t g ⎛⎫== ⎪，所以()94,2g t ⎡⎤∈⎢⎥，。
高二期中考试_数学试卷
一、选择题（本大题共20小题，每小题5分，共100分）1. 已知函数f(x) = 2x - 3，若f(2) = a，则a的值为（）A. 1B. 3C. 5D. 72. 若a，b，c是等差数列，且a + b + c = 9，a^2 + b^2 + c^2 = 27，则ab + bc + ca的值为（）A. 9B. 15C. 18D. 213. 已知等比数列{an}的公比为q，若a1 = 1，a2 + a3 = 8，则q的值为（）A. 2B. 4C. 1/2D. 1/44. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，若f(x)在x = 1处取得极值，则该极值为（）A. 0B. 1C. -1D. -25. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10 = 100，S20 = 300，则公差d的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 46. 已知函数f(x) = |x - 2| + |x + 1|，则f(x)的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 47. 若等比数列{an}的公比为q，若a1 = 2，a3 = 8，则q的值为（）A. 2B. 4C. 1/2D. 1/48. 已知函数f(x) = (x - 1)^2，若f(x)在x = 2处取得极值，则该极值为（）A. 0B. 1C. -1D. -29. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10 = 100，S20 = 300，则公差d的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 410. 已知函数f(x) = |x - 2| + |x + 1|，则f(x)的最大值为（）A. 1B. 2C. 3D. 411. 若等比数列{an}的公比为q，若a1 = 1，a2 + a3 = 8，则q的值为（）A. 2B. 4C. 1/2D. 1/412. 已知函数f(x) = (x - 1)^2，若f(x)在x = 2处取得极值，则该极值为（）A. 0B. 1C. -1D. -213. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10 = 100，S20 = 300，则公差d的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 414. 已知函数f(x) = |x - 2| + |x + 1|，则f(x)的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 415. 若等比数列{an}的公比为q，若a1 = 2，a3 = 8，则q的值为（）A. 2B. 4C. 1/2D. 1/416. 已知函数f(x) = (x - 1)^2，若f(x)在x = 2处取得极值，则该极值为（）A. 0B. 1C. -1D. -217. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10 = 100，S20 = 300，则公差d的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 418. 已知函数f(x) = |x - 2| + |x + 1|，则f(x)的最大值为（）A. 1B. 2C. 3D. 419. 若等比数列{an}的公比为q，若a1 = 1，a2 + a3 = 8，则q的值为（）A. 2B. 4C. 1/2D. 1/420. 已知函数f(x) = (x - 1)^2，若f(x)在x = 2处取得极值，则该极值为（）A. 0B. 1C. -1D. -2二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）21. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c的图像开口向上，且顶点坐标为(1, -2)，则a，b，c的值分别为______。
2023-2024学年湖南省长沙二中高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年湖南省长沙二中高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．已知集合M ＝{x |（x ﹣2）（x ﹣6）＜0}，N ＝{x |1＜x ＜5}，则M ∩N ＝（ ） A ．{x |2＜x ＜5}B ．{x |1＜x ＜5}C ．{x |2＜x ＜6}D ．{x |1＜x ＜6}2．已知复数z 满足（1+i ）z ＝3+5i ，则|z |＝（ ） A ．2B ．3C ．4D ．√173．国家射击运动员甲在某次训练中10次射击成绩（单位：环）：7，6，9，7，4，8，9，10，7，5，则这组数据第70百分位数为（ ） A ．7B ．8C ．8.5D ．94．过点（4，0）的直线l 与圆x 2+y 2﹣4x ﹣8y +16＝0相切，则直线l 的方程为（ ） A ．3x +4y ﹣12＝0或y ＝0 B ．3x +4y ﹣12＝0或x ＝4C ．4x +3y ﹣12＝0或y ＝0D ．4x +3y ﹣12＝0或x ＝45．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥P ﹣ABCD 是阳马，P A ⊥平面ABCD ，且PM →=2MC →，若AB →=a →，AD →=b →，AP →=c →，则BM →=（ ）A ．13a →+23b →−13c → B ．23a →+23b →−12c →C ．−13a →+23b →−12c →D ．−13a →+23b →+13c →6．已知圆锥的侧面积是16π，其侧面展开图是顶角为π2的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A ．2√15π3B ．4√15π3C ．8√15π3D ．16√15π37．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为√34的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．238．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 是AC 中点，点P 在线段A 1C 1上，若直线OP 与平面A 1BC 1所成的角为θ，则sin θ的取值范围是（ ）A ．[√23，√33]B ．[13，12]C ．[√34，√33]D ．[14，13]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．已知函数f(x)=sin(2x +2π3)，则（ ） A ．f （x ）的最小正周期为π B ．f （x ）的图象关于直线x =7π12对称 C ．f(x +π3)是偶函数D ．f （x ）的单调递减区间为[kπ−π12，kπ+5π12](k ∈Z)10．已知三条直线2x ﹣3y +1＝0，4x +3y +5＝0，mx ﹣y ﹣1＝0能构成三角形，则实数m 的取值可能为（ ） A ．2B ．−43C ．−23D ．4311．如图，两条异面直线a ，b 所成的角为60°，在直线a ，b 上分别取点A ，O 和点C ，B ，使AO ⊥OC ，OC ⊥CB ．已知AO ＝4，CB ＝3，AB ＝7，则线段OC 的长为（ ）A ．6B ．8C ．2√3D ．√312．已知双曲线C ：x 28−y 24=1的左、右顶点分别为A ，B ，P 是C 上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A ．C 的渐近线方程为y =±√22xB ．若直线y ＝kx 与双曲线C 有交点，则|k|≥√22C ．点P 到C 的两条渐近线的距离之积为83D ．当点P 与A ，B 两点不重合时，直线P A ，PB 的斜率之积为2 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知点A （1，2），B （3，4），则线段AB 的垂直平分线的方程是 ． 14．已知cos(π4−α)=√210，α∈(π2，π)，则cos α＝ ．15．如图，棱长为1的正方体A 1A 2A 3A 4﹣A 5A 6A 7A 8的八个顶点分别为A 1，A 2，⋯，A 8，记正方体12条棱的中点分别为A 9，A 10，⋯，A 20，6个面的中心为A 21，A 22，⋯，A 26，正方体的中心为A 27．记m j =A 1A →7⋅A 1A →j ，j ∈{1，2，…，27}，其中A 1A 7是正方体的体对角线．则m 1+m 2+…+m 27＝ ．16．已知椭圆C ：x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 为C 上任意一点，N 为圆E ：（x ﹣5）2+（y﹣4）2＝1上任意一点，则|MN |﹣|MF 1|的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）为配合创建全国文明城市，某市交警支队全面启动路口秩序综合治理，重点整治机动车不礼让行人的行为．经过一段时间的治理，从市交警队数据库中调取了10个路口的车辆违章数据，根据这10个路口的违章车次的数量绘制如图所示的频率分布直方图，统计数据中凡违章车次超过30次的路口设为“重点路口”．（1）根据直方图估计这10个路口的违章车次的中位数；（2）现从“重点路口”中随机抽取两个路口安排交警去执勤，求抽出来的路口中有且仅有一个违章车次在（40，50]的概率．18．（12分）已知函数F(x)=log a (1−x 2)(a ＞0，且a ≠1）． （1）判断函数F （x ）的奇偶性，并说明理由； （2）若F(m +1)＞F(12−2m)，求m 的取值范围．19．（12分）已知圆C ：（x +1）2+（y ﹣2）2＝25，直线l ：（2+a ）x +（1+a ）y +a ＝0． （1）求证：直线l 恒过定点；（2）直线l 被圆C 截得的弦长何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时a 的值以及最短弦长． 20．（12分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且3acosC +√3csinA =3b ． （1）求A ；（2）若a ＝2，且△ABC 为锐角三角形，求△ABC 周长的取值范围．21．（12分）如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1＝2，AB ＝1．点D ，E ，F 分别在棱AA 1，BB 1，CC 1上，A 1D =CF =23，BE ＝1．M 为AC 中点，连接BM ． （1）证明：BM ∥平面DEF ；（2）点P 在棱BB 1上，当二面角P ﹣DF ﹣E 为30°时，求EP 的长．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）经过点A （2，0），且右焦点为F （√3，0）．（1）求C 的标准方程；（2）过点（1，0）且斜率不为0的直线l 与C 交于M ，N 两点，直线x ＝4分别交直线AM ，AN 于点 E ，F ，以EF 为直径的圆是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．2023-2024学年湖南省长沙二中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．已知集合M ＝{x |（x ﹣2）（x ﹣6）＜0}，N ＝{x |1＜x ＜5}，则M ∩N ＝（ ） A ．{x |2＜x ＜5}B ．{x |1＜x ＜5}C ．{x |2＜x ＜6}D ．{x |1＜x ＜6}解：因为M ＝{x |（x ﹣2）（x ﹣6）＜0}＝{x |2＜x ＜6}，N ＝{x |1＜x ＜5}， 所以M ∩N ＝{x |2＜x ＜5}． 故选：A ．2．已知复数z 满足（1+i ）z ＝3+5i ，则|z |＝（ ） A ．2B ．3C ．4D ．√17解：复数z =3+5i1+i =(3+5i)(1−i)(1+i)(1−i)=8+2i2=4+i ，有|z|=√17． 故选：D ．3．国家射击运动员甲在某次训练中10次射击成绩（单位：环）：7，6，9，7，4，8，9，10，7，5，则这组数据第70百分位数为（ ） A ．7B ．8C ．8.5D ．9解：将10次射击成绩按照从小到大顺序排序为：4，5，6，7，7，7，8，9，9，10， 因为10×70%＝7，所以第70百分位数为8+92=8.5，故选：C ．4．过点（4，0）的直线l 与圆x 2+y 2﹣4x ﹣8y +16＝0相切，则直线l 的方程为（ ） A ．3x +4y ﹣12＝0或y ＝0 B ．3x +4y ﹣12＝0或x ＝4C ．4x +3y ﹣12＝0或y ＝0D ．4x +3y ﹣12＝0或x ＝4解：圆x 2+y 2﹣4x ﹣8y +16＝0化为标准方程为（x ﹣2）2+（y ﹣4）2＝4，得圆心（2，4），半径为2， 当直线l 的斜率不存在时，直线l ：x ＝4，此时直线l 与圆x 2+y 2﹣4x ﹣8y +16＝0相切，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣4），即kx ﹣y ﹣4k ＝0， 圆心（2，4）到直线l 的距离为d =√k +1=√k +1，由相切得d ＝r ＝2， 所以√k 2+1=2，平方化简得k =−34，求得直线方程为3x +4y ﹣12＝0，综上，直线l 的方程为3x +4y ﹣12＝0或x ＝4． 故选：B ．5．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥P ﹣ABCD 是阳马，P A ⊥平面ABCD ，且PM →=2MC →，若AB →=a →，AD →=b →，AP →=c →，则BM →=（ ）A ．13a →+23b →−13c → B ．23a →+23b →−12c →C ．−13a →+23b →−12c →D ．−13a →+23b →+13c →解：PM →=2MC →，则PM →=23PC →， 若AB →=a →，AD →=b →，AP →=c →，则BM →=BP →+PM →=BP →+23PC →=AP →−AB →+23(AC →−AP →)=13AP →+23AC →−AB → =13AP →+23(AB →+AD →)−AB →=13AP →−13AB →+23AD → =−13a →+23b →+13c →．故选：D ．6．已知圆锥的侧面积是16π，其侧面展开图是顶角为π2的扇形，则该圆锥的体积为（ ）A ．2√15π3B ．4√15π3C ．8√15π3D ．16√15π3解：设圆锥母线长为a ，底面半径为r ，侧面积是16π，则π•r •a ＝16π，有ar ＝16， 侧面展开图顶角为π2=2πr a，有a ＝4r ，解得r ＝2，a ＝8，则圆锥的高ℎ=√a 2−r 2=√82−22=2√15， 故V =13Sℎ=13πr 2ℎ=13⋅π⋅22⋅2√15=8√15π3． 故选：C ．7．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为√34的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．23解：由题意可知：A （﹣a ，0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）， 直线AP 的方程为：y =√34（x +a ），由∠F 1F 2P ＝120°，|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，则P （2c ，√3c ）， 代入直线AP ：√3c =√34（2c +a ），整理得：a ＝2c ， ∴离心率e =ca =12． 故选：C ．8．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 是AC 中点，点P 在线段A 1C 1上，若直线OP 与平面A 1BC 1所成的角为θ，则sin θ的取值范围是（ ）A ．[√23，√33]B ．[13，12]C ．[√34，√33]D ．[14，13]解：设正方体棱长为1，A 1PA 1C 1=λ（0≤λ≤1）．以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1为坐标轴建立空间直角坐标系， 则O （12，12，0），P （1﹣λ，λ，1），∴OP →=（12−λ，λ−12，1），∵易证DB 1⊥平面A 1BC 1，∴DB 1→=（1，1，1）是平面A 1BC 1的一个法向量． ∴sin θ＝|cos ＜OP →，DB 1→＞|=1√3√2(λ−12)2+1，当λ=12时sin θ取得最大值√33，当λ＝0或1时，sin θ取得最小值√23． 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．已知函数f(x)=sin(2x +2π3)，则（ ） A ．f （x ）的最小正周期为π B ．f （x ）的图象关于直线x =7π12对称 C ．f(x +π3)是偶函数D ．f （x ）的单调递减区间为[kπ−π12，kπ+5π12](k ∈Z)解：对于A ，由三角函数的性质，可得f （x ）的最小正周期为T =2π2=π，所以A 正确； 对于B ，当x =7π12时，可得f(7π12)=sin(2×7π12+2π3)=sin 11π6≠±1， 所以f （x ）的图象不关于直线x =7π12对称，所以B 错误； 对于C ，由f(x +π3)=sin[2(x +π3)+2π3]=sin(2x +4π3)，此时函数f(x +π3)为非奇非偶函数，所以C 错误； 对于D ，令π2+2kπ≤2x +2π3≤3π2+2kπ，k ∈Z ，解得kπ−π12≤x ≤kπ+5π12，k ∈Z ，即函数的递减区间为[kπ−π12，kπ+5π12]，k ∈Z ，所以D 正确． 故选：AD ．10．已知三条直线2x ﹣3y +1＝0，4x +3y +5＝0，mx ﹣y ﹣1＝0能构成三角形，则实数m 的取值可能为（ ） A ．2B ．−43C ．−23D ．43解：因为三条直线2x ﹣3y +1＝0，4x +3y +5＝0，mx ﹣y ﹣1＝0能构成三角形， 所以直线mx ﹣y ﹣1＝0与2x ﹣3y +1＝0，4x +3y +5＝0都不平行， 且直线mx ﹣y ﹣1＝0不过2x ﹣3y +1＝0与4x +3y +5＝0的交点，直线mx ﹣y ﹣1＝0与2x ﹣3y +1＝0，4x +3y +5＝0都不平行时，m ≠23，且m ≠−43， 联立{2x −3y +1=04x +3y +5=0，解得{x =−1y =−13， 即直线2x ﹣3y +1＝0与4x +3y +5＝0的交点坐标为(−1，−13)， 代入直线mx ﹣y ﹣1＝0中，得m =−23，结合题意可知m ≠−23， 对照各个选项，可知实数m 的取值可以为2或43，故选：AD ．11．如图，两条异面直线a ，b 所成的角为60°，在直线a ，b 上分别取点A ，O 和点C ，B ，使AO ⊥OC ，OC ⊥CB ．已知AO ＝4，CB ＝3，AB ＝7，则线段OC 的长为（ ）A ．6B ．8C ．2√3D ．√3解：因为AB →=AO →+OC →+CB →，平方得AB →2=(AO →+OC →+CB →)2=AO →2+OC →2+CB →2+2AO →⋅OC →+2OC →⋅CB →+2CB →⋅AO →． 因为a ，b 所成的角为60°，所以〈CB →，AO →〉=60°或〈CB →，AO →〉=120°．当〈CB →，AO →〉=60°时，AO →⊥OC →，OC →⊥CB →， 代入数据可得：72=42+OC →2+32+2×4×3×12， 所以OC →2=12，所以|OC →|=2√3；当〈CB →，AO →〉=120°时，AO →⊥OC →，OC →⊥CB →， 代入数据可得：72=42+OC →2+32−2×4×3×12， 所以OC →2=36，所以|OC →|=6．综上所述，|OC →|=2√3或|OC →|=6，即OC 的长为6或2√3． 故选：AC ．12．已知双曲线C ：x 28−y 24=1的左、右顶点分别为A ，B ，P 是C 上任意一点，则下列说法正确的是（ ）A ．C 的渐近线方程为y =±√22xB ．若直线y ＝kx 与双曲线C 有交点，则|k|≥√22C ．点P 到C 的两条渐近线的距离之积为83D ．当点P 与A ，B 两点不重合时，直线P A ，PB 的斜率之积为2 解：双曲线C ：x 28−y 24=1，则a =2√2，b =2， 对于A ，C 的渐近线方程为y =±b a x =±√22x ，A 正确； 对于B ，由双曲线的渐近线方程为y =±√22x 可知， 若直线y ＝kx 与双曲线C 有交点，则|k|＜√22，B 错误； 对于C ，设点P （x ，y ），则x 28−y 24=1⇒x 2−2y 2=8，点P 到C 的两条渐近线的距离之积为√2y|√12+(√2)2√2y|√12+(√2)2=|x 2−2y 2|3=83，C 正确；对于D ，易得A(−2√2，0)，B(2√2，0)，设P （x ，y ），则y 2=4(x 28−1)(x ≠±2√2)， 所以直线P A ，PB 的斜率之积为x+2√2×x−2√2=y 2x 2−8=4(x 28−1)x 2−8=12，D 错误．故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知点A （1，2），B （3，4），则线段AB 的垂直平分线的方程是 x +y ﹣5＝0 ． 解：因为A （1，2），B （3，4），所以线段AB 的中点为（2，3），垂直平分线的斜率k =1−k AB =−1，所以线段AB 的垂直平分线的方程为y ﹣3＝﹣（x ﹣2），即x +y ﹣5＝0． 故答案为：x +y ﹣5＝0．14．已知cos(π4−α)=√210，α∈(π2，π)，则cos α＝ −35 ． 解：因为cos(π4−α)=√210，又α∈(π2，π)， 所以π4−α∈(−3π4，−π4)，所以sin(π4−α)=−√1−cos(π4−α)2=√1−150=−7√210， cosα=cos[π4−(π4−α)]=cos π4cos(π4−α)+sin π4sin(π4−α) =√22×√210+√22×(−7√210)=−35． 故答案为：−35．15．如图，棱长为1的正方体A 1A 2A 3A 4﹣A 5A 6A 7A 8的八个顶点分别为A 1，A 2，⋯，A 8，记正方体12条棱的中点分别为A 9，A 10，⋯，A 20，6个面的中心为A 21，A 22，⋯，A 26，正方体的中心为A 27．记m j =A 1A →7⋅A 1A →j ，j ∈{1，2，…，27}，其中A 1A 7是正方体的体对角线．则m 1+m 2+…+m 27＝812．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1（0，0，0），A 2（1，0，0），A 3（1，1，0），A 4（0，1，0），A 5（0，0，1），A 6（1，0，1），A 7（1，1，1），A 8（0，1，1）， 设向量A 1A j →=(x ，y ，z)，而A 1A 7→=(1，1，1)， 故m j =A 1A j →⋅A 1A 7→=x +y +z ，故m 1+m 2+…+m 27表示各点的坐标和的和，现各点的横坐标之和为X ，纵坐标之和为Y ，竖坐标之和为Z ， 根据对称性可得X =Y =Z =1×9+12×9+0×9=272， 故m 1+m 2+⋯+m 27=3×272=812， 故答案为：812．16．已知椭圆C ：x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 为C 上任意一点，N 为圆E ：（x ﹣5）2+（y﹣4）2＝1上任意一点，则|MN |﹣|MF 1|的最小值为 4√2−5 ． 解：如图，M 为椭圆C 上任意一点，N 为圆E ：（x ﹣5）2+（y ﹣4）2＝1上任意一点， 则|MF 1|+|MF 2|＝4，|MN |≥|ME |﹣1（当且仅当M 、N 、E 共线时取等号）， ∴|MN |﹣|MF 1|＝|MN |﹣（4﹣|MF 2|）＝|MN |+|MF 2|﹣4≥|ME |+|MF 2|﹣5≥|EF 2|﹣5， ∵F 2（1，0），E （5，4），则|EF 2|=√(5−1)2+(4−0)2=4√2， ∴|MN |﹣|MF 1|的最小值为：4√2−5． 故答案为：4√2−5．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）为配合创建全国文明城市，某市交警支队全面启动路口秩序综合治理，重点整治机动车不礼让行人的行为．经过一段时间的治理，从市交警队数据库中调取了10个路口的车辆违章数据，根据这10个路口的违章车次的数量绘制如图所示的频率分布直方图，统计数据中凡违章车次超过30次的路口设为“重点路口”．（1）根据直方图估计这10个路口的违章车次的中位数；（2）现从“重点路口”中随机抽取两个路口安排交警去执勤，求抽出来的路口中有且仅有一个违章车次在（40，50]的概率．解：（1）由频率分布直方图可知，该中位数为30+0.10.4×(40−30)=32.5；（2）由频率分布直方图可知，违章车次在（30，40]的路口有10×0.04×10＝4个，设为a，b，c，d，违章车次在（40，50]的路口有10×0.02×10＝2个，A，B，现从“重点路口”中随机抽取两个路口安排交警去执勤，共有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB，AB，共15个，其中抽出来的路口中有且仅有一个违章车次在（40，50]的事件为：aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB，共8个，故抽出来的路口中有且仅有一个违章车次在（40，50]的概率为：815．18．（12分）已知函数F(x)=log a(1−x2)(a＞0，且a≠1）．（1）判断函数F（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若F(m+1)＞F(12−2m)，求m的取值范围．解：（1）F（x）为偶函数，理由如下：由1﹣x2＞0得﹣1＜x＜1，即函数F（x）的定义域为（﹣1，1），可知F（x）的定义域关于原点中心对称．又F(−x)=log a(1−x2)=F(x)，故F（x）为偶函数；（2）因为F（x）为偶函数，所以不等式F(m+1)＞F(12−2m)即F(|m+1|)＞F(|12−2m|)，由复合函数的单调性可知，当a＞1时，y＝log a t在（0，+∞）上单调递增，而t＝1﹣x2在（0，1）上单调递减，故F（x）在（0，1）内单调递减，则F（x）在（﹣1，0）内单调递增；当0＜a ＜1时，y ＝log a t 在（0，+∞）上单调递减，而t ＝1﹣x 2在（0，1）上单调递减，故F （x ）在（0，1）内单调递增，则F （x ）在（﹣1，0）内单调递减；（i ）当a ＞1时，由已知有{−1＜m +1＜1−1＜12−2m ＜1|m +1|＜|12−2m|，解得−14＜m ＜−16；（ii ）当0＜a ＜1时，由已知有{ −1＜m +1＜1−1＜12−2m ＜1|m +1|＞|12−2m|，解得−16＜m ＜0，故当a ＞1时，m 的取值范围为(−14，−16)；当0＜a ＜1时，m 的取值范围为(−16，0)． 19．（12分）已知圆C ：（x +1）2+（y ﹣2）2＝25，直线l ：（2+a ）x +（1+a ）y +a ＝0． （1）求证：直线l 恒过定点；（2）直线l 被圆C 截得的弦长何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时a 的值以及最短弦长． 解：（1）直线l ：（2+a ）x +（1+a ）y +a ＝0，即a （x +y +1）+（2x +y ）＝0， 联立{x +y +1=02x +y =0，解得{x =1y =−2，所以不论a 取何值，直线l 必过定点P （1，﹣2）；（2）由C ：（x +1）2+（y ﹣2）2＝25，知圆心C （﹣1，2），半径为5．当直线l 过圆心C 时，直线被圆截得的弦长最长， 当直线l ⊥CP 时，直线被圆截得的弦长最短． 直线l 的斜率为k =−2+a1+a ，k CP =−2−21−(−1)=−2， 有−2+a1+a ⋅(−2)=−1，解得a =−53． 此时直线l 的方程是x ﹣2y ﹣5＝0．圆心C（﹣1，2）到直线x﹣2y﹣5＝0的距离为d=|−1−4−5|5=2√5，所以最短弦长是2√r2−d2=2√25−20=2√5．20．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且3acosC+√3csinA=3b．（1）求A；（2）若a＝2，且△ABC为锐角三角形，求△ABC周长的取值范围．解：（1）由已知和正弦定理得3sinAcosC+√3sinCsinA=3sinB，又sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+sin C cos A，∴√3sinCsinA=3sinCcosA，又sin C≠0，∴√3sinA=3cosA，有tanA=√3，又A∈（0，π），∴A=π3；（2）∵a＝2，且A=π3，∴由正弦定理有bsinB =csinC=2sinπ3=4√33，从而b=4√33sinB，c=4√33sinC，∵sinC=sin(A+B)=sin(π3+B)，∴b+c=4√33[sinB+sin(π3+B)]=4√33(32sinB+√32cosB)=4sin(B+π6)，又△ABC为锐角三角形，有B∈(0，π2)，且A+B=π3+B∈(π2，π)，∴B∈(π6，π2)，∴B+π6∈(π3，2π3)，有sin(B+π6)∈(√32，1]，故b+c∈(2√3，4]，从而△ABC周长的取值范围为(2+2√3，6]．21．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝2，AB＝1．点D，E，F分别在棱AA1，BB1，CC1上，A1D=CF=23，BE＝1．M为AC中点，连接BM．（1）证明：BM∥平面DEF；（2）点P 在棱BB 1上，当二面角P ﹣DF ﹣E 为30°时，求EP 的长．（1）证明：取DF 中点N ，连接EN ，MN ， 又M 为AC 中点，所以MN 为梯形ADFC 的中位线， 所以MN ∥AD ，MN =AD+CF2=1， 又BE ∥AD ，故MN ∥BE ，且MN ＝BE ， 故四边形BMNE 为平行四边形，则BM ∥NE ， 因为NE ⊂平面DEF ，BM ⊄平面DEF ， 故BM ∥平面DEF ；（2）解：以M 为坐标原点，BM 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴，MN 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系M ﹣xyz ，如图所示：则D(0，−12，43)，E(√32，0，1)，F(0，12，23)，设P(√32，0，a)， 可得DE →=(√32，12，−13)，DF →=(0，1，−23)，DP →=(√32，12，a −43)， 设平面DEF的法向量为n 1→=(x 1，y 1，z 1)，则n 1→⊥DE →，n 1→⊥DF →，则有{n 1→⋅DE →=0n 1→⋅DF →=0，即{√32x 1+12y 1−13z 1=0y 1−23z 1=0， 取z 1＝3，则y 1＝2，x 1＝0，得n 1→=(0，2，3)， 设平面PDF的法向量为n 2→=(x 2，y 2，z 2)，由n 2→⊥DP →，n 2→⊥DF →，则有{n 2→⋅DP →=0n 2→⋅DF →=0，即{√32x 2+12y 2+(a −43)z 2=0y 2−23z 2=0， 取z 2＝3，则y 2＝2，x 2=2√3−2√3a ，得n 2→=(2√3−2√3a ，2，3)，由二面角P ﹣DF ﹣E 为30°，得|n 1→⋅n 2→||n 1→|⋅|n 2→|=√32， 即√13⋅√12a 2−24a+25=√32，解得a =1±√136， 故|EP|=√136．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）经过点A （2，0），且右焦点为F （√3，0）．（1）求C 的标准方程；（2）过点（1，0）且斜率不为0的直线l 与C 交于M ，N 两点，直线x ＝4分别交直线AM ，AN 于点 E ，F ，以EF 为直径的圆是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 解：（1）由题意知，a ＝2，c =√3， 所以b 2＝a 2﹣c 2＝4﹣3＝1， 所以C 的标准方程为x 24+y 2=1．（2）设直线l 的方程为x ＝ty +1，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 联立{x =ty +1x 24+y 2=1，得（t 2+4）y 2+2ty ﹣3＝0， 所以y 1+y 2=−2t t 2+4，y 1y 2=−3t 2+4， 因为A （2，0），所以直线AM 的方程为y =y1x 1−2（x ﹣2），令x ＝4，则y E =2y 1x 1−2，即E （4，2y 1x 1−2），同理可得，F （4，2y 2x 2−2），由对称性知，若定点存在，则定点在x 轴上，设为P （x 0，0），则PE →⋅PF →=0， 所以（4﹣x 0，2y 1x 1−2）•（4﹣x 0，2y 2x 2−2）＝0，即（4﹣x 0）2+2y 1x 1−2•2y 2x 2−2=0， 因为（x 1﹣2）（x 2﹣2）＝（ty 1﹣1）（ty 2﹣1）＝t 2y 1y 2﹣t （y 1+y 2）+1＝t 2•（−3t 2+4）﹣t （−2t t 2+4）+1=4t 2+4， 所以（4﹣x 0）2+4⋅(−3t 2+4)4t 2+4=0，即（4﹣x 0）2＝3，所以x0＝4±√3，故以EF为直径的圆过定点，定点坐标为（4−√3，0）或（4+√3，0）．。
2023-2024学年山东省青岛市即墨区高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省青岛市即墨区高二（上）期中数学试卷一、单项选择题。
本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．写出数列1，23，45，87，169，…的一个通项公式a n ＝（ ）A ．2n2n−1B ．2n−12n−1C ．2n2n+1D ．2n−12n+12．某学校有学生1000人，其中男生600人，女生400人，现按分层抽样从中随机选择200人，则其中女生为（ ） A ．70人B ．80人C ．90人D ．100人3．已知在等差数列{a n }中，a 4+a 8＝20，a 7＝12，则a 5＝（ ） A ．4B ．6C ．8D ．104．一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，设A 1＝{1，2，3，4}，A 2＝{1，2，3，5}，A 3＝{1，6，7，8}，则（ ） A ．A 1与A 2互斥B ．A 1与A 3相互对立C ．A 1与A 2相互独立D ．P （A 1A 2A 3）＝P （A 1）P （A 2）P （A 3）5．设S n 是数列{a n }的前n 项和，a n ＞0，a 1＝8，log 2a n+1−log 2a n =−1，S k =312，则k ＝（ ） A ．5B ．6C ．7D ．86．某同学参与了自媒体《数学的维度》栏目约稿启事，为了估计投稿人数N ，随机了解到6个投稿回执编号，从小到大依次为2，5，12，68，100，126，这6个编号把区间[0，N ]分成7个小区间，可以用前6个区间的平均长度估计整个区间的平均长度，进而求得投稿人数的估计值为（ ） A ．139B ．141C ．147D ．1507．天气预报元旦假期甲地降雨的概率为0.4，乙地降雨的概率为0.3，假定这段时间内两地是否降雨相互独立，则这段时间甲乙两地至少有一个降雨的概率为（ ） A ．0.58B ．0.82C ．0.12D ．0.428．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 23＞0，S 24＜0，则下列结论正确的是（ ） A ．数列{a n }是递增数列B ．a 13＞0C ．当S n 取得最大值时，n ＝13D ．|a 13|＞|a 12|二、多项选择题。
2023-2024学年北京市大兴区高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市大兴区高二（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．直线的斜率为﹣1，其倾斜角的大小是（ ） A ．30°B ．45°C ．90°D ．135°2．已知两个向量a →=(1，−1，2)，b →=(2，m ，n)，且a →∥b →，则m +n ＝（ ） A ．2B ．3C ．4D ．63．某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（ ） A ．至多一次中靶 B ．两次都中靶 C ．只有一次中靶 D ．两次都没中靶4．点P （0，1）到直线x ﹣y ﹣1＝0的距离等于（ ）A ．√22B ．1C ．√2D ．25．圆x 2+（y +2）2＝1关于点（1，0）中心对称的圆的方程为（ ） A ．（x +2）2+y 2＝2 B ．（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝1 C ．（x +2）2+（y +2）2＝1D ．（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝26．“a ＝﹣1”是“直线l 1：x ﹣ay +1＝0和直线l 2：ax +（a +2）y +1＝0（a ∈R ）垂直”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知两点M （﹣2，0），N （0，2），则以线段MN 为直径的圆的方程为（ ） A ．x 2+y 2﹣2x +2y ＝0 B ．x 2+y 2+2x ﹣2y ﹣6＝0 C ．x 2+y 2+4x ﹣4y ＝0D ．x 2+y 2+2x ﹣2y ＝08．在空间直角坐标系中，已知A （1，0，0），B （0，1，0），C （0，0，1），若点P （x ，1，1）在平面ABC 内，则x ＝（ ） A ．﹣1B ．0C ．√2D ．19．如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，F 为线段BC 1的中点，E 为线段A 1C 1上的动点，则下列四个结论正确的是（ ）A ．存在点E ，使EF ∥BDB ．三棱锥B 1﹣ACE 的体积随动点E 变化而变化C ．直线EF 与AD 1所成的角不可能等于60° D ．存在点E ，使EF ⊥平面AB 1C 1D10．如图，已知两点A （4，0），B （0，4），从点P （2，0）射出的光线经直线AB 反射后射到直线OB 上，再经直线OB 反射后射到P 点，则光线所经过的路程PM +MN +NP 等于（ ）A ．2√10B ．6C ．3√3D ．2√5二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11．直线2x +y ﹣1＝0的一个方向向量为 ．12．在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，已知OA →=(1，−1，1)，OB →=(2，0，−1)，AC →=CB →，则OC →的坐标为 ．13．已知等腰三角形ABC 的顶点为A （4，2），底边的一个端点为B （5，3），则底边的另一个端点C 的轨迹方程为 ．14．甲、乙二人进行射击游戏，甲、乙射击击中与否是相互独立事件，规则如下：若射击一次击中，则此人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击．已知甲、乙二人射击一次击中的概率均为13，且第一次由甲开始射击，则前2次射击中甲恰好击中1次的概率是 ；第3次由甲射击的概率是 ．15．在平面直角坐标系中，定义P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）两点间的直角距离为d （P ，Q ）＝|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|，如图BC ̂是圆A ：（x ﹣1）2+y 2＝1当x ≥32时的一段弧，D 是BĈ与x 轴的交点，将BC ̂依次以原点O 为中心逆时针旋转60°五次，得到由六段圆弧构成的曲线．则d （C ，D ）＝ ．若点P 为曲线上任一点，则d （O ，P ）的最大值为 ．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（10分）已知△ABC 中，点A （﹣1，0），点B （2，0），点C(0，√3)． （1）求边AC 上的高所在直线的方程； （2）求∠BAC 角平分线所在直线的方程．17．（15分）有3个相同的球，分别标有数字1，2，3，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用（x ，y ）表示试的样本点，其中x 表示第一次取出球的数字，y 表示第二次取出球的数字．设事件A ＝“第一次取出的球的数字是1”，事件B ＝“两次取出的球的数字之和是4”． （1）写出这个试验的样本空间；（2）分别求出P （A ），P （B ），P （AB ）的值； （3）判断事件A 和事件B 是否相互独立，并说明理由．18．（15分）在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，E 是DC 的中点．以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系． （1）写出DB 1→在平面ADD 1A 1上的投影向量的坐标； （2）求点B 1到平面AED 1的距离；（3）求直线DB 1与平面AED 1所成角的正弦值．19．（15分）已知圆C 经过点A （0，2）和点B （1，3），且圆心C 在直线x ﹣y ﹣1＝0上． （1）求圆C 的方程；（2）若线段DE 的端点D 的坐标是（4，3），端点E 在圆C 上运动，求线段DE 的中点M 的轨迹方程． 20．（15分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AA 1＝AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D ，E 分别是A 1B 1，CC 1的中点． （1）求证：C 1D ⊥A 1B ； （2）求证：C 1D ∥平面A 1BE ；（3）在棱CC 1上是否存在一点P ，使得平面P AB 与平面A 1BE 的夹角为60°？若存在，求CP CC 1的值；若不存在，请说明理由．21．（15分）已知直线l 1，l 2的方程分别是l 1：x ＝0，l 2：3x ﹣4y ＝0，点A 的坐标为(1，a)(a ＞34)．过点A 的直线l 的斜率为k ，且与l 1，l 2分别交于点M ，N （M ，N 的纵坐标均为正数）． （1）若k ＝﹣1，且A 为线段MN 中点，求实数a 的值及△AON 的面积； （2）是否存在实数a ，使得1|OM|+1|ON|的值与k 无关？若存在，求出所有这样的实数a ；若不存在，说明理由．2023-2024学年北京市大兴区高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．直线的斜率为﹣1，其倾斜角的大小是（ ） A ．30°B ．45°C ．90°D ．135°解：设直线的倾斜角为α，则tan α＝﹣1， ∵0°≤α＜180°，∴α＝135°． 故选：D ．2．已知两个向量a →=(1，−1，2)，b →=(2，m ，n)，且a →∥b →，则m +n ＝（ ） A ．2B ．3C ．4D ．6解：因为a →∥b →，所以b →=λa →，λ∈R ，故（2，m ，n ）＝λ（1，﹣1，2），即{2=λm =−λn =2λ，解得{m =−2n =4，m +n ＝2．故选：A ．3．某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（ ） A ．至多一次中靶 B ．两次都中靶 C ．只有一次中靶D ．两次都没中靶解：连续射击两次中靶的情况如下：①两次都中靶，②只有一次中靶，③两次都没中靶； 设事件P ：至少一次中靶，则P ＝{①，②}，A 选项：事件A ：至多一次中靶，则A ＝{②，③}，P ∩A ＝{②}，不互斥，不对立，B 选项：事件B ：两次都中靶，则B ＝{①}，P ∩B ＝{①}，不互斥，不对立，C 选项：事件C ：只有一次中靶，则C ＝{②}，P ∩C ＝{②}，不互斥，不对立，D 选项：事件D ：两次都没中靶；则D {③}，P ∩D ＝∅，且P ∪D ＝{①，②，③}，互斥且对立， 故选：D ． 4．点P （0，1）到直线x ﹣y ﹣1＝0的距离等于（ ）A ．√22B ．1C ．√2D ．2解：点P （0，1）到直线x ﹣y ﹣1＝0的距离等于√12+(−1)2=√2．故选：C ．5．圆x 2+（y +2）2＝1关于点（1，0）中心对称的圆的方程为（ ） A ．（x +2）2+y 2＝2 B ．（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝1 C ．（x +2）2+（y +2）2＝1D ．（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝2解：圆x 2+（y +2）2＝1，圆心（0，﹣2），半径为1， 设（0，﹣2）关于（1，0）对称的对称点为C （x ，y ）， 则{x +0=2y −2=0，解得{x =2y =2，则C （2，2）， 故所求圆的方程为（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝1． 故选：B ．6．“a ＝﹣1”是“直线l 1：x ﹣ay +1＝0和直线l 2：ax +（a +2）y +1＝0（a ∈R ）垂直”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：当直线l 1：x ﹣ay +1＝0和直线l 2：ax +（a +2）y +1＝0（a ∈R ）垂直时， 有1×a +（﹣a ）（a +2）＝0，即a 2+a ＝0，解得a ＝﹣1或a ＝0，所以“a ＝﹣1”是“直线l 1：x ﹣ay +1＝0和直线l 2：ax +（a +2）y +1＝0（a ∈R ）垂直”的充分而不必要条件． 故选：A ．7．已知两点M （﹣2，0），N （0，2），则以线段MN 为直径的圆的方程为（ ） A ．x 2+y 2﹣2x +2y ＝0 B ．x 2+y 2+2x ﹣2y ﹣6＝0 C ．x 2+y 2+4x ﹣4y ＝0D ．x 2+y 2+2x ﹣2y ＝0解：因为M （﹣2，0），N （0，2）的中点为M （﹣1，1）， MN =√22+22=2√2，即MN 2=√2，所以以线段MN 为直径的圆的方程为（x +1）2+（y ﹣1）2＝2， 化简得x 2+y 2+2x ﹣2y ＝0． 故选：D ．8．在空间直角坐标系中，已知A （1，0，0），B （0，1，0），C （0，0，1），若点P （x ，1，1）在平面ABC 内，则x ＝（ ） A ．﹣1B ．0C ．√2D ．1解：已知A （1，0，0），B （0，1，0），C （0，0，1），P （x ，1，1）， 则AP →=(x −1，1，1)，AB →=(−1，1，0)，AC →=(−1，0，1)， 若点P 在平面ABC 内，则有AP →=mAB →+nAC →，m ，n ∈R ， 即（x ﹣1，1，1）＝（m ﹣n ，m ，n ）， 则{x −1=−m −n 1=m 1=n ，解得x ＝﹣1． 故选：A ．9．如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，F 为线段BC 1的中点，E 为线段A 1C 1上的动点，则下列四个结论正确的是（ ）A ．存在点E ，使EF ∥BDB ．三棱锥B 1﹣ACE 的体积随动点E 变化而变化C ．直线EF 与AD 1所成的角不可能等于60° D ．存在点E ，使EF ⊥平面AB 1C 1D解：对于A ，因为 BD ∥B 1D 1，E 在线段A 1C 1上运动，当E 为A 1C 1的中点时，EF 与B 1D 1相交，其余情况下，EF 与B 1D 1为异面直线，不可能平行，故A 错误；对于B ，V B 1−ACE =V E−AB 1C ，而点E 所在的线段A 1C 1与平面AB 1C 平行，故点E 到平面AB 1C 的距离保持不变，故三棱锥B 1﹣ACE 的体积为定值，故B 错误；对于C ，当点E 为A 1C 1中点时，△C 1EF 为等边三角形，此时∠EFC 1＝60°，而AD 1∥BC 1，故此时EF 与AD 1所成的角为 60°，故C 错误；对于D ，当点E 为A 1C 1中点时，EF ∥A 1B ，而A 1B ⊥AB 1，故EF ⊥AB 1，由三垂线定理可得，EF ⊥AD ，故EF ⊥平面AB 1C 1D ，故D 正确； 故选：D ．10．如图，已知两点A （4，0），B （0，4），从点P （2，0）射出的光线经直线AB 反射后射到直线OB 上，再经直线OB 反射后射到P 点，则光线所经过的路程PM +MN +NP 等于（ ）A ．2√10B ．6C ．3√3D ．2√5解：由题意知y ＝﹣x +4的点A （4，0），点B （0，4）则点P （2，0）设光线分别射在AB 、OB 上的M 、N 处，由于光线从点P 经两次反射后又回到P 点， 根据反射规律，则∠PMA ＝∠BMN ；∠PNO ＝∠BNM ．作出点P 关于OB 的对称点P 1，作出点P 关于AB 的对称点P 2，则： ∠P 2MA ＝∠PMA ＝∠BMN ，∠P 1NO ＝∠PNO ＝∠BNM ， ∴P 1，N ，M ，P 2共线， ∵∠P 2AB ＝∠P AB ＝45°， 即P 2A ⊥OA ；PM +MN +NP ＝P 2M +MN +P 1N ＝P 1P 2＝2√10；故选：A ．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．直线2x +y ﹣1＝0的一个方向向量为 （1，﹣2）（答案不唯一） ． 解：直线2x +y ﹣1＝0的法向量为（2，1）， 则其一个方向向量为（1，﹣2）． 故答案为：（1，﹣2）（答案不唯一）．12．在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，已知OA →=(1，−1，1)，OB →=(2，0，−1)，AC →=CB →，则OC →的坐标为 (32，−12，0) ．解：因为AC →=CB →，所以OC →−OA →=OB →−OC →， 所以OC →=12(OA →+OB →)，又OA →=(1，−1，1)，OB →=(2，0，−1)， 所以OC →=12(1+2，−1+0，1−1)=(32，−12，0)． 故答案为：(32，−12，0)．13．已知等腰三角形ABC 的顶点为A （4，2），底边的一个端点为B （5，3），则底边的另一个端点C 的轨迹方程为 x 2+y 2﹣8x ﹣4y +18＝0（x ﹣y ﹣2≠0或除去点（3，1），（5，3）） ．解：设底边的另一个端点C 的坐标为（x ，y ），则√(4−x)2+(2−y)2=√(4−5)2+(2−3)2， 化简可得x 2+y 2﹣8x ﹣4y +18＝0，因为A ，B ，C 三点构成三角形，所以三点不共线且B ，C 不重合， 当A ，B ，C 三点共线时，k AB =3−25−4=1，由直线的点斜式可得y ﹣2＝1×（x ﹣4），化简可得x ﹣y ﹣2＝0，所以点C 的轨迹方程为x 2+y 2﹣8x ﹣4y +18＝0（x ﹣y ﹣2≠0或除去点（3，1），（5，3））． 故答案为：x 2+y 2﹣8x ﹣4y +18＝0（x ﹣y ﹣2≠0或除去点（3，1），（5，3））．14．甲、乙二人进行射击游戏，甲、乙射击击中与否是相互独立事件，规则如下：若射击一次击中，则此人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击．已知甲、乙二人射击一次击中的概率均为13，且第一次由甲开始射击，则前2次射击中甲恰好击中1次的概率是29；第3次由甲射击的概率是59．解：第一空：前2次射击中甲恰好击中1次只有一种情况：第1次甲击中，第2次甲未击中，故概率是13×23=29；第二空：第3次由甲射击有两种情况是：第1次甲击中，第2次甲还击中；第1次甲未击中，第2次乙也未击中， 故概率是13×13+23×23=59．故答案为：29；59．15．在平面直角坐标系中，定义P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）两点间的直角距离为d （P ，Q ）＝|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|，如图BC ̂是圆A ：（x ﹣1）2+y 2＝1当x ≥32时的一段弧，D 是BĈ与x 轴的交点，将BC ̂依次以原点O为中心逆时针旋转60°五次，得到由六段圆弧构成的曲线．则d （C ，D ）＝ 1+√32．若点P 为曲线上任一点，则d （O ，P ）的最大值为1+√3+2√22．解：由图可得，点D （2，0），C(32，√32)，∴d(C ，D)=|2−32|+|0−√32|=1+√32； 根据对称性，只需讨论点P 在第一象限的情况：当点P 在CD 上时，设∠P AD ＝θ，θ∈[0，π3]，则P （1+cos θ，sin θ），∴d(O ，P)=|1+cosθ|+|sinθ|=1+cosθ+sinθ=1+√2sin(θ+π4)≤1+√2（当且仅当θ=π4时取等号）；当点P 不在CD 上时，所在圆的圆心坐标E(12，√32)，设∠PEC ＝α，α∈[0，2π3]， 可得P(12+cosα，√32+sinα)，cosα∈[−12，1]，sin α∈[0，1]， ∴d(O ，P)=|12+cosα|+|√32+sinα|=12+cosα+√32+sinα=1+√32+√2sin(α+π4)≤1+√3+2√22， （当且仅当α=π4时取等号）．综上所述，d （O ，P ）的最大值为1+√3+2√22．故答案为：1+√32，1+√3+2√22． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（10分）已知△ABC 中，点A （﹣1，0），点B （2，0），点C(0，√3)． （1）求边AC 上的高所在直线的方程； （2）求∠BAC 角平分线所在直线的方程． 解：（1）∵点A （﹣1，0），点C(0，√3)， ∴边AC 所在直线斜率k AC =√3，∴边AC上的高所在直线BD的斜率k=−√33，且过点B（2，0）．∴边AC上的高所在直线的方程为y=−√33(x−2)．（2）由k AC=√3得∠BAC＝60°，∴∠BAC角平分线的倾斜角为30°，∴∠BAC角平分线所在直线AE的斜率k1=tan30°=√33．又∵∠BAC角平分线AE过点A（﹣1，0），∴∠BAC角平分线所在直线的方程为y=√33(x+1)．17．（15分）有3个相同的球，分别标有数字1，2，3，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用（x，y）表示试的样本点，其中x表示第一次取出球的数字，y表示第二次取出球的数字．设事件A＝“第一次取出的球的数字是1”，事件B＝“两次取出的球的数字之和是4”．（1）写出这个试验的样本空间；（2）分别求出P（A），P（B），P（AB）的值；（3）判断事件A和事件B是否相互独立，并说明理由．解：（1）依题意试验的样本空间为：Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）}；（2）因为A＝{（1，1），（1，2），（1，3）}，Β＝{（1，3），（2，2），（3，1）}，所以P(A)=n(A)n(Ω)=39=13，P(B)=n(B)n(Ω)=39=13．因为AB＝{（1，3）}，所以P(AB)=n(AB)n(Ω)=19；（3）因为P(A)P(B)=13×13=19=P(AB)，所以事件A和事件B相互独立．18．（15分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝CC1＝1，E是DC的中点．以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．（1）写出DB 1→在平面ADD 1A 1上的投影向量的坐标；（2）求点B 1到平面AED 1的距离；（3）求直线DB 1与平面AED 1所成角的正弦值．解：（1）依题意：D （0，0，0），B 1（1，2，1），A 1（1，0，1），所以DB 1→=(1，2，1)，因为在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1⊥平面ADD 1A 1，所以DB 1→在平面ADD 1A 1上的投影向量为DA 1→，坐标为（1，0，1）．（2）由题意知，D 1（0，0，1），A （1，0，0），E （0，1，0），所以AE →=(−1，1，0)，AD 1→=(−1，0，1)．设平面AED 1的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AE →=−x +y =0n →⋅AD 1→=−x +z =0，令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，所以n →=(1，1，1)是平面AED 1的一个法向量，因为AB 1→=(0，2，1)，所以B 1到平面AED 1的距离为|AB 1→⋅n →||n →|=√3=√3．（3）设直线DB 1与平面AED 1所成角为θ，则sinθ=|cos〈DB 1→，n →〉|=|DB 1→⋅n →||DB 1→||n →|=3×6=2√23． 即直线DB 1与平面AED 1所成角的正弦值是2√23． 19．（15分）已知圆C 经过点A （0，2）和点B （1，3），且圆心C 在直线x ﹣y ﹣1＝0上．（1）求圆C 的方程；（2）若线段DE 的端点D 的坐标是（4，3），端点E 在圆C 上运动，求线段DE 的中点M 的轨迹方程．（1）解：设圆C 的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0（D 2+E 2﹣4F ＞0），故圆心为(−D 2，−E 2)，由题意得{4+2E +F =01+9+D +3E +F =0−D 2−(−E 2)−1=0，解得{D =−4E =−2F =0， 所以圆C 的方程为x 2+y 2﹣4x ﹣2y ＝0；（2）设点M 的坐标是（x ，y ），点E 的坐标是（x 0，y 0）．因为点D 的坐标是（4，3），且M 是线段DE 的中点， 所以x =x 0+42，y =y 0+32． 故x 0＝2x ﹣4，y 0＝2y ﹣3． ①因为点E 在圆C 上运动，所以点E 的坐标满足圆C 的方程，即x 02+y 02−4x 0−2y 0=0． ②把①代入②，得（2x ﹣4）2+（2y ﹣3）2﹣4（2x ﹣4）﹣2（2y ﹣3）＝0，整理，得(x −3)2+(y −2)2=54．20．（15分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AA 1＝AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D ，E 分别是A 1B 1，CC 1的中点．（1）求证：C 1D ⊥A 1B ；（2）求证：C 1D ∥平面A 1BE ；（3）在棱CC 1上是否存在一点P ，使得平面P AB 与平面A 1BE 的夹角为60°？若存在，求CP CC 1的值；若不存在，请说明理由．解：（1）证明：因为在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥平面ABC ．又∠ACB ＝90°，所以CC 1⊥AC ，CC 1⊥CB ，AC ⊥CB ．故AC ，CB ，CC 1两两垂直．以C 为原点，AC ，CB ，CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则C 1（0，0，2），D （1，1，2），A 1（2，0，2），B （0，2，0），E （0，0，1），A （2，0，0），C （0，0，0），所以C 1D →=(1，1，0)，A 1B →=(−2，2，−2)．因为C 1D →⋅A 1B →=1×(−2)+1×2+0×(−2)=0，所以C 1D →⊥A 1B →，即C 1D ⊥A 1B ．（2）证明：设平面A 1BE 的法向量为n →=(x ，y ，z)，因为A 1B →=(−2，2，−2)，A 1E →=(−2，0，−1)，则{n →⋅A 1B →=0n →⋅A 1E →=0，所以{−2x +2y −2z =0−2x −z =0，取x ＝1，则y ＝﹣1，z ＝﹣2． 所以n →=(1，−1，−2)是平面A 1BE 的一个法向量．因为C 1D →⋅n →=1×1+1×(−1)+0×(−2)=0，所以C 1D →⊥n →．又因为C 1D ⊄平面A 1BE ，所以C 1D ∥平面A 1BE ．（3）设点P 满足，CP →=λCC 1→(0≤λ≤1)，则AP →=AC →+CP →=AC →+λCC 1→=(−2，0，2λ)．设平面P AB 的一个法向量为m →=(x 0，y 0，z 0)，因为AB →=(−2，2，0)，AP →=(−2，0，2λ)则{m →⋅AB →=0m →⋅AP →=0，所以{−2x 0+2y 0=0−2x 0+2λz 0=0，取z 0＝1，则x 0＝λ，y 0＝λ． 所以m →=(λ，λ，1)是平面P AB 的一个法向量．由（1）得，n →=(1，−1，−2)是平面A 1BE 的一个法向量，则平面P AB 与平面A 1BE 的夹角就是m →与n →的夹角或其补角．若平面P AB 与平面A 1BE 的夹角为60°，则cos60°=|cos〈m →，n →〉|=|m →⋅n →||m →||n →|=2√2λ+1×√6=12， 解得λ=√306∈[0，1]．所以，在棱CC 1上存在点P ，使得平面P AB 与平面A 1BE 的夹角为60°， 此时CPCC 1=√306． 21．（15分）已知直线l 1，l 2的方程分别是l 1：x ＝0，l 2：3x ﹣4y ＝0，点A 的坐标为(1，a)(a ＞34)．过点A的直线l 的斜率为k ，且与l 1，l 2分别交于点M ，N （M ，N 的纵坐标均为正数）．（1）若k ＝﹣1，且A 为线段MN 中点，求实数a 的值及△AON 的面积；（2）是否存在实数a ，使得1|OM|+1|ON|的值与k 无关？若存在，求出所有这样的实数a ；若不存在，说明理由．解：（1）∵直线 l 过点A （1，a ），且斜率为k ，∴直线l 的方程为y ＝k （x ﹣1）+a ， ∵直线l 与l 1，l 2分别交于点M ，N ，∴k ≠34，由{x =0y =k(x −1)+a，解得{x =0y =a −k，即M （0，a ﹣k ）， 由{3x −4y =0y =k(x −1)+a ，解得{x =4k−4a 4k−3y =3k−3a 4k−3，即N(4k−4a 4k−3，3k−3a 4k−3)， 又∵M ，N 的纵坐标均为正数， ∴{a −k ＞03k−3a 4k−3＞0，即{a −k ＞04k −3＜0， ∵a ＞34，k ＜34，若k ＝﹣1时，M （0，a +1），N(4+4a 7，3+3a 7)， 又∵点A 为线段MN 中点，∴{4+4a 7=2a +1+3+3a 7=2a 解得a =52， ∴M(0，72)，N(2，32)，∴△AON 的面积S =12×12×72×2=74． （2）假设存在满足题意的a ，使得1|OM|+1|ON|的值与k 无关，由（1）知：M （0，a ﹣k ），N(4k−4a 4k−3，3k−3a 4k−3) 且{a −k ＞04k −3＜0， 因此|OM |＝a ﹣k ，|ON|=5a−5k 3−4k ， ∴1|OM|+1|ON|=1a−k +3−4k 5a−5k =4(2−k)5(a−k)，∵2﹣k ＞0，∴当a ＝2时，1|OM|+1|ON|为定值45， ∴存在实数a ＝2，使得1|OM|+1|ON|的值与k 无关．。
2023-2024学年湖北省部分高中联考协作体高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年湖北省部分高中联考协作体高二（上）期中数学试卷一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1．空间任意四个点A 、B 、C 、D ，则DA →+CD →−CB →等于（ ） A ．DB →B ．AC →C ．AB →D ．BA →2．已知空间向量a →=(1，2，−3)，则向量a →在坐标平面Oxy 上的投影向量是（ ） A ．（0，2，3）B ．（0，2，﹣3）C ．（1，2，0）D ．（1，2，﹣3）3．若{a →，b →，c →}构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ） A ．2a →−b →，a →+b →−c →，7a →+5b →+3c →B ．2a →+b →，a →+b →+c →，7a →+5b →+3c →C ．2a →+b →，a →+b →+c →，6a →+2b →+4c →D ．2a →−b →，a →+b →−c →，6a →+4b →+2c →4．一入射光线经过点M （2，6），被直线l ：x ﹣y +3＝0反射，反射光线经过点N （﹣3，4），则反射光线所在直线方程为（ ） A ．2x ﹣y +13＝0B ．6x ﹣y +22＝0C ．x ﹣3y +15＝0D ．x ﹣6y +27＝05．已知直线l 1：（3+m ）x +4y ＝5﹣3m ，l 2：2x +（5+m ）y ＝8平行，则实数m 的值为（ ） A ．﹣7 B ．﹣1C ．﹣1或﹣7D ．1336．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的一条弦所在的直线方程是x ﹣y +5＝0，弦的中点坐标是M （﹣4，1），则椭圆的离心率是（ ） A ．12B ．√22C ．√32D ．√557．已知F 是椭圆C ：x 23+y 22=1的右焦点，P 为椭圆C 上一点，A （1，2√2），则|P A |+|PF |的最大值为（ ） A ．4+√2B ．4√2C ．4+√3D ．4√38．已知空间中三个点A （1，1，0）、B （0，1，1），C （0，3，0）组成一个三角形，分别在线段AB 、AC ，BC 上取D 、E 、F 三点，当△DEF 周长最小时，直线CD 与直线BE 的交点坐标为（ ） A ．（23，2，23）B ．（49，119，49）C ．（79，2，79）D ．（59，139，59）二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
2023-2024学年湖北省孝感市高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年湖北省孝感市高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．若复数z 满足2z −z =3+12i ，其中i 为虚数单位，z 是z 的共轭复数，则复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ）A ．一B ．二C ．三D ．四 2．已知向量a →=（﹣1，2），b →=（3，4），c →=2a →−λb →，若c →⊥b →，则实数λ＝（ ）A ．−25B ．12C ．−12D ．25 3．甲、乙两人独立地破译某个密码，如果每人译出密码的概率均为0.4，则密码被破译的概率为（ ）A ．0.36B ．0.48C ．0.64D ．0.544．经过点（1，3）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ）A ．x +y ＝4B ．y ＝x +2C ．y ＝3x 或x +y ＝4D ．y ＝3x 或y ＝x +25．关于空间中两条不同的直线m ，n 与两个不同的平面α，β，下列说法正确的是（ ）A ．若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m ∥nB ．若m ⊥α，n ⊥β，α∥β，则m ⊥nC ．若n ∥α，m ⊥n ，α⊥β，则m ∥βD ．若n ⊥α，m ∥n ，α∥β，则m ⊥β6．东寺塔和西寺塔为昆明市城中古景，分别位于昆明市南面的书林街和东寺街，一东一西隔街相望，距今已有1100多年历史，在二月的梅花和烟雨中，“双塔烟雨”成为明清时的“昆明八景”之一．东寺塔基座为正方形，塔身有13级，塔顶四角立有四只铜皮做成的鸟，俗称金鸡，所以也有“金鸡塔”之称．如图，从东到西的公路上有相距80（单位：m ）的B 、A 两个观测点，在A 点测得塔在北偏东60°的点D 处，在B 点测得塔在北偏西30°，塔顶C 的仰角为45°，则塔的高度CD 约为（ ）A ．40mB ．37mC ．35mD ．23m7．已知圆C ：x 2+y 2﹣2x ＝0，直线l ：x +y +1＝0，P 为l 上的动点，过点P 作圆C 的两条切线P A 、PB ，切点分别A 、B ，当|PC |•|AB |最小时，直线AB 的方程为（ ）A ．x +y ＝0B ．x ﹣y ＝0C ．2x ﹣2y +1＝0D ．2x +2y +1＝08．如图，棱长为2的长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段B 1D 1上动点（包括端点）．则以下结论正确的为（ ）A ．三棱锥P ﹣A 1BD 中，点P 到面A 1BD 的距离为定值4√33B ．过点P 平行于面A 1BD 的平面被正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1截得的多边形的面积为3√3C ．当点P 为B 1D 1中点时，三棱锥P ﹣A 1BD 的外接球体积为11√11π3 D ．直线P A 1与面A 1BD 所成角的正弦值的范围为[√33，√63] 二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分）9．已知事件A ，B ，且P （A ）＝0.5，P （B ）＝0.2，则下列结论正确的是（ ）A ．如果B ⊆A ，那么P （AB ）＝0.5 B ．如果A 与B 互斥，那么P （AB ）＝0C ．如果A 与B 相互独立，那么P(AB)=0.4D ．如果A 与B 相互独立，那么P （AB ）＝010．已知圆O ：x 2+y 2＝4，过点M （﹣1，0）直线l 与圆O 交于P ，Q 两点．下列说法正确的是（ ）A ．|PQ |的最小值为2√2B ．PO →⋅PQ →∈[6，8]C ．OP →⋅OQ →的最小值为﹣4D ．线段PQ 中点的轨迹为圆11．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，点D 是BB 1的中点，AA 1＝AB ＝4，AC ＝2，∠BAC ＝60°，点P 为侧面AA 1C 1C （含边界）上一点，BP ∥平面ADC 1，则下列结论正确的是（ ）A ．BC ⊥AC 1B ．直线C 1D 与直线A 1C 所成角的余弦值是2√55 C ．点A 1到平面AC 1D 的距离是√3D ．线段BP 长的最小值是8√55 12．已知F 为椭圆C ：x 24+y 22=1的左焦点，直线l ：y ＝kx （k ≠0）与椭圆C 交于A 、B 两点，AE ⊥x 轴，垂足为E ，BE 与椭圆C 的另一个交点为P ，则（ ）A ．1|AF|+4|BF|的最小值为2B ．△ABE 的面积的最大值为√2C ．直线BE 的斜率为k 2D ．∠P AB 为直角 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．已知有8个样本数据分别为4，7，8，10，12，15，20，22，则估计该组数据的总体的第三四分位数为 ．14．已知圆C 1：x 2+y 2＝4和圆C 2：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝4，若点P （a ，b ）（a ＞0，b ＞0）在两圆的公共弦上，则1a +9b 的最小值为 ． 15．如图，在矩形ABCD 中，已知AB ＝2AD ＝6，E 是AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE ，连接A 1C ．当三棱锥A 1﹣CDE 的体积取得最大值时，此时三棱锥A 1﹣CDE 外接球的体积为 ．16．设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的焦点为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，且∠F 1PF 2=π3，若△F 1PF 2的外接圆和内切圆的半径分别为R ，r ，当R ＝4r 时，椭圆的离心率为 ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量为n ）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，已知得分在[50，60），[90，100]的频数分别为8，2．（1）求样本容量n 和频率分布直方图中的x ，y 的值；（2）估计本次竞赛学生成绩的众数、中位数、平均数．18．（12分）法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名．对△ABC而言，若其内部的点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CP A＝120°，则称P为△ABC的费马点．如图所示，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，设P为△ABC的费马点，且满足∠PBA＝45°，P A＝2．（1）求△P AC的面积；（2）求PB的长度．19．（12分）在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝DC，E是SC的中点．（1）证明：SA∥平面BDE；（2）若点G在棱SC上，且SG：GC＝2：1，在棱SB上求一点H使得AH∥平面BDG．20．（12分）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆．已知平面直角坐标系中A（﹣2，0），B（1，0）且|P A|＝2|PB|．（1）求点P的轨迹方程；（2）若点P在（1）的轨迹上运动，点M为AP的中点，求点M的轨迹方程；（3）若点P（x，y）在（1）的轨迹上运动，求t=y+4x−6的取值范围．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面P AB⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，P A＝BC＝3，AB ＝AD＝2，PB=√13．E为PD中点，点F在PC上，且PC＝3FC．（1）求证：AB ⊥平面P AD ；（2）求二面角F ﹣AE ﹣D 的余弦值；（3）线段AC 上是否存在点Q ，使得DQ ∥平面F AE ？说明理由．22．（12分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)过点M(√3，12)，点A 为下顶点，且AM 的斜率为√32． （1）求椭圆E 的方程；（2）如图，过点B （0，4）作一条与y 轴不重合的直线，该直线交椭圆E 于C 、D 两点，直线AD ，AC 分别交x 轴于H ，G 两点，O 为坐标原点．求证：|OH ||OG |为定值，并求出该定值．2023-2024学年湖北省孝感市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．若复数z 满足2z −z =3+12i ，其中i 为虚数单位，z 是z 的共轭复数，则复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ）A ．一B ．二C ．三D ．四解：设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），由2z −z =3+12i ，得2a +2bi ﹣a +bi ＝a +3bi ＝3+12i ，∴a ＝3，b ＝4．则复数z 在复平面内对应的点的坐标为（3，4），所在的象限是第一象限． 故选：A ．2．已知向量a →=（﹣1，2），b →=（3，4），c →=2a →−λb →，若c →⊥b →，则实数λ＝（ ）A ．−25B ．12C ．−12D ．25解：由于知向量a →=（﹣1，2），b →=（3，4），c →=2a →−λb →=（﹣2﹣3λ，4﹣4λ），由于c →⊥b →，故：3×（﹣2﹣3λ）+4×（4﹣4λ）＝0，解得λ=25．故选：D ．3．甲、乙两人独立地破译某个密码，如果每人译出密码的概率均为0.4，则密码被破译的概率为（） A ．0.36 B ．0.48 C ．0.64 D ．0.54解：甲乙都不能译出密码的概率为P 1＝（1﹣0.4）×（1﹣0.4）＝0.36，故密码被破译的概率为1﹣P 1＝0.64．故选：C ．4．经过点（1，3）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ）A ．x +y ＝4B ．y ＝x +2C ．y ＝3x 或x +y ＝4D ．y ＝3x 或y ＝x +2解：当直线过原点时，由于斜率为3−01−0=3，故直线方程为y ＝3x ；当直线不过原点时，设方程为x a +y −a =1，把点（1，3）代入可得a ＝﹣2，故直线的方程为y ＝x +2，故选：D ．5．关于空间中两条不同的直线m ，n 与两个不同的平面α，β，下列说法正确的是（ ）A ．若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m ∥nB ．若m ⊥α，n ⊥β，α∥β，则m ⊥nC．若n∥α，m⊥n，α⊥β，则m∥βD．若n⊥α，m∥n，α∥β，则m⊥β解：根据题意，依次分析选项：对于A，直线m、n可以平行、相交，也可以异面，A错误；对于B，若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n，B错误；对于C，若n∥α，m⊥n，α⊥β，则m可以与平面β相交，C错误；对于D，若n⊥α，m∥n，则m⊥α，又由α∥β，则m⊥β，D正确．故选：D．6．东寺塔和西寺塔为昆明市城中古景，分别位于昆明市南面的书林街和东寺街，一东一西隔街相望，距今已有1100多年历史，在二月的梅花和烟雨中，“双塔烟雨”成为明清时的“昆明八景”之一．东寺塔基座为正方形，塔身有13级，塔顶四角立有四只铜皮做成的鸟，俗称金鸡，所以也有“金鸡塔”之称．如图，从东到西的公路上有相距80（单位：m）的B、A两个观测点，在A点测得塔在北偏东60°的点D 处，在B点测得塔在北偏西30°，塔顶C的仰角为45°，则塔的高度CD约为（）A．40m B．37m C．35m D．23m解：从东到西的公路上有相距80（单位：m）的B、A两个观测点，在A点测得塔在北偏东60°的点D 处，在B点测得塔在北偏西30°，则∠DAB＝90°﹣60°＝30°，∠DBA＝90°﹣30°＝60°，则∠ADB＝90°，又|AB|＝80，则|BD|＝40，又在B点测得塔顶C的仰角为45°，则∠CBD＝45°，则|CD|＝|BD|＝40，则塔的高度CD约为40m．故选：A．7．已知圆C：x2+y2﹣2x＝0，直线l：x+y+1＝0，P为l上的动点，过点P作圆C的两条切线P A、PB，切点分别A 、B ，当|PC |•|AB |最小时，直线AB 的方程为（ ）A ．x +y ＝0B ．x ﹣y ＝0C ．2x ﹣2y +1＝0D ．2x +2y +1＝0 解：化圆C 为（x ﹣1）2+y 2＝1，则圆心C （1，0），半径r ＝1．∵四边形P ACB 面积S =12|PC |•|AB |＝2S △P AC ＝|P A |•|AC |＝2|P A |＝2√PC 2−4，∴要使|PC |•|AB |最小，则需|PC |最小，此时PC 与直线l 垂直，则直线PC 的方程为y ＝x ﹣1，联立{y =x −1x +y +1=0，解得P （0，﹣1）． 则以PC 为直径的圆的方程为（x −12）²+（y +12）²=12．则两圆方程相减可得直线AB 的方程为x +y ＝0．故选：A ．8．如图，棱长为2的长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段B 1D 1上动点（包括端点）．则以下结论正确的为（ ）A ．三棱锥P ﹣A 1BD 中，点P 到面A 1BD 的距离为定值4√33B ．过点P 平行于面A 1BD 的平面被正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1截得的多边形的面积为3√3C ．当点P 为B 1D 1中点时，三棱锥P ﹣A 1BD 的外接球体积为11√11π3 D ．直线P A 1与面A 1BD 所成角的正弦值的范围为[√33，√63] 解：对于A 中，由题意可得：BB 1∥DD 1且BB 1＝DD 1∴BB 1D 1D 为平行四边形，则BD ∥B 1D 1，且B 1D 1⊄平面A 1BD ，BD ⊂平面A 1BD ， ∴B 1D 1∥平面A 1BD ，又P 为线段B 1D 1上，则点P 到平面A 1BD 的距离为定值，设点P 到面A 1BD 的距离为h ，△A 1BD 为等边三角形，∴S △A 1BD =12×2√2×2√2×√32=2√3， ∵V P−A 1BD =V A 1−PBD ，∴13×2√3×ℎ=13×√2×12×2√2×2，解得ℎ=2√33，∴A 错误； 对于B 中，过点P 平行于平面A 1BD 的平面被正方体所截的截面为△B 1D 1C ， 此时三角形B 1D 1C 为边长为2√2的等边三角形，其面积为12×2√2×2√2×√32=2√3，∴B 不正确； 设直线P A 1与平面A 1BD 所成角为θ，则sinθ=ℎA 1P =2√33A 1P ， ∵A 1P ∈[√2，2]，则sinθ∈[√33，√63]，∴D 正确； 对于C 中，当点P 为B 1D 1中点时，则A 1P ⊥B 1D 1，∵BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，A 1P ⊂平面A 1B 1C 1D 1，∴A 1P ⊥BB 1，又BB 1∩B 1D 1＝B 1，BB 1，B 1D 1⊂平面BB 1D 1D ，∴A 1P ⊥平面BB 1D 1D ，设△PBD 的外接圆圆心为O 1，半径为r ，三棱锥P ﹣A 1BD 的外接球的球心O ，半径为R ，连接OO 1，O 1B ，OB ，则OO 1⊥平面PBD ，且OO 1=12A 1P =√22，对于△PBD ，则PB =PD =√6，BD =2√2，∴cos ∠BPD =PB 2+PD 2−BD 22PB⋅PD=13， 则sin ∠BPD =√1−cos 2∠BPD =2√23，∵2r =BD sin∠BPD =3，则r =32，∴R 2=r 2+OO 12=114，即R =√112， 则三棱锥P ﹣A 1BD 的外接球的体积为43πR 3=11√11π6，∴C 错误．故选：D ．二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分）9．已知事件A ，B ，且P （A ）＝0.5，P （B ）＝0.2，则下列结论正确的是（ ）A ．如果B ⊆A ，那么P （AB ）＝0.5B ．如果A 与B 互斥，那么P （AB ）＝0C ．如果A 与B 相互独立，那么P(AB)=0.4D ．如果A 与B 相互独立，那么P （AB ）＝0解；对于A ，由B ⊆A 得A ∩B ＝B ，则P （AB ）＝P （A ∩B ）＝P （B ）＝0.2，A 错； 对于B ，由A 与B 互斥得A ∩B ＝∅，则P （AB ）＝P （A ∩B ）＝P （∅）＝0，B 对； 对于CD ，A 与B 相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.8=0.4，P （AB ）＝P （A ）P （B ）＝0.5×0.2＝0.1，故C 对D 错；故选：BC ．10．已知圆O ：x 2+y 2＝4，过点M （﹣1，0）直线l 与圆O 交于P ，Q 两点．下列说法正确的是（） A ．|PQ |的最小值为2√2 B ．PO →⋅PQ →∈[6，8]C ．OP →⋅OQ →的最小值为﹣4D ．线段PQ 中点的轨迹为圆解：对于选项A ：由题意可知，当l ⊥x 轴时，|PQ |最小，所以|PQ |的最小值为2×√4−1=2√3，故选项A 错误；对于选项B ：设N 是PQ 的中点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，PO →⋅PQ →=|PO →|⋅|PQ →|⋅cos∠OPQ =|PQ →|⋅|PN →|=12|PQ →|2，∵|PQ →|的最小值为2√3，最大值为4，∴PO →⋅PQ →∈[6，8]，故选项B 正确；对于选项C ：当直线l 的斜率为0时，OP →⋅OQ →=2×2×cosπ=−4，当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为x ＝my ﹣1，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 联立方程{x =my −1x 2+y 2=4，消去x 得（m 2+1）y 2﹣2my ﹣3＝0， ∴y 1+y 2=2m m 2+1，y 1y 2=−3m 2+1， ∴OP →⋅OQ →=(m 2+1)y 1y 2−m(y 1+y 2)+1=−3(m 2+1)−2m 2m 2+1+1=−4m 2−2m 2+1=−4+2m 2+1∈(−4，−2]，∴OP →⋅OQ →∈[−4，−2]，∴OP →⋅OQ →的最大值为﹣2，当且仅当m ＝0，即l ：x ＝﹣1时取等号，故选项C 正确； 对于选项D ：由于MN ⊥ON ，则点N 在以MO 为直径的圆上，圆心为(−12，0)，半径为12，∴点N 的轨迹方程为(x +12)2+y 2=14，即线段PQ 中点的轨迹为圆，故选项D 正确． 故选：BD ．11．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，点D 是BB 1的中点，AA 1＝AB ＝4，AC ＝2，∠BAC ＝60°，点P 为侧面AA 1C 1C （含边界）上一点，BP ∥平面ADC 1，则下列结论正确的是（ ）A ．BC ⊥AC 1B ．直线C 1D 与直线A 1C 所成角的余弦值是2√55C ．点A 1到平面AC 1D 的距离是√3D ．线段BP 长的最小值是8√55解：直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，C 1C ⊥BC ， 在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝2，∠BAC ＝60°，可得BC 2＝AB 2+AC 2﹣2AB •AC •cos60°＝16+4﹣2×4×2×12=12， 所以AC 2+BC 2＝12＝AB 2，可得AC ⊥BC ，结合AC ∩C 1C ＝C ，可知BC ⊥平面AA 1C 1C ，所以BC ⊥AC 1，故A 正确；由前面的分析，可知CA 、CB 、CC 1两两垂直，可知CA →⋅CB →=CB →⋅CC 1→=CC 1→⋅CA →=0，而A 1C →=A 1A →+AC →=−CA →−AA 1→=−CA →−CC 1→，C 1D →=C 1B 1→+B 1D →=CB →−12CC 1→，所以A 1C →⋅C 1D →=(−CA →−CC 1→)⋅(CB →−12CC 1→)=−CA →⋅CB →+12CA →⋅CC 1→−CC 1→⋅CB →+12CC 1→2=12CC 1→2=12×42=8，结合|A 1C →|=√42+22=2√5，|C 1D →|=√12+22=4， 可得cos ＜A 1C →，C 1D →＞=A 1C →⋅C 1D →|A 1C →|⋅|C 1D →|=825×4=√55，所以直线C 1D 与直线A 1C 所成角的余弦值是√55，故B 不正确；根据A 1C 1＝AC ＝2，AA 1＝4，可知D 到平面AA 1C 1的距离等于BC =2√3，可得V D−AA 1C 1=13×12×2×4×2√3=8√33，AD =√16+4=2√5，AC 1=√16+4=2√5，DC 1=√4+12=4， 所以S △AC 1D =12×4×√20−4=8，设A 1到平面AC 1D 的距离为h ， 可得13×8×ℎ=8√33，解得h =√3，即点A 1到平面AC 1D 的距离是√3，故C 正确；分别取CC 1、AC 的中点G 、H ，连接BG ，BH ，GH ，可得BG ∥DC 1，GH ∥AC 1， 又因为BG ⊄平面AC 1D ，DC 1⊂平面AC 1D ，所以BG ∥平面AC 1D ，同理GH ∥平面AC 1D ， 结合BG ∩GH ＝G ，可得平面BGH ∥平面AC 1D ，所以BP ∥平面AC 1D ， 因此，P 点的轨迹为线段GH ，因为BH =√12+1=√13，GH =√4+1=√5，BG =√12+4=4， 所以cos ∠BHG =2×√13×√5=√6565，可得sin ∠BHG =√1−165=8√6565． 所以S △BGH =12×√13×√5×8√6565=4， 设B 到GH 的距离为d ，由等面积法可得：12×√5d =4，即d =8√55，可得线段BP 长的最小值是8√55，故D 正确．故选：ACD ．12．已知F 为椭圆C ：x 24+y 22=1的左焦点，直线l ：y ＝kx （k ≠0）与椭圆C 交于A 、B 两点，AE ⊥x 轴，垂足为E ，BE 与椭圆C 的另一个交点为P ，则（ ） A ．1|AF|+4|BF|的最小值为2B ．△ABE 的面积的最大值为√2C ．直线BE 的斜率为k 2D ．∠P AB 为直角解：对于A ：因为O 为AB 的中点，O 也是FF 2的中点， 所以AFBF 2为平行四边形，所以BF ＝AF 2， 所以AF +BF ＝AF +AF 2＝2a ＝4， 所以1AF+4BF=14（1AF+4BF）（AF +BF ）=14（5+BF AF +4AF BF ）≥14（5+4）=94，故A 错误； 对于B ：设A （m ，n ），B （﹣m ，﹣n ），E （m ，0），P （x 1，y 1）， 因为A 在椭圆上，所以m 24+n 22=1≥2√m 2n 28，即mn ≤√2，所以S =12•m •2n ＝mn ≤√2，当且仅当m =√2，n ＝1时取等号，故B 正确； 对于C ：因为k ＝k OA =n m ，所以k BE =n 2m =k2，故C 正确； 对于D ：因为A ，P 在椭圆上，所以m 24+n 22=1，x 124+y 122=1，两式相减得n 2−y 12m 2−x 12=−12，即(n+y 1)(n−y 1)(m+x 1)(m−x 1)=−12，即k PB •k P A =−12，所以k 2•k P A =−12，所以k •k P A ＝﹣1，所以∠P AB 为直角，故D 正确， 故选：BCD ．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．已知有8个样本数据分别为4，7，8，10，12，15，20，22，则估计该组数据的总体的第三四分位数为 17.5 ．解：由题意，数据的总体的第三四分位数即第75百分位数，又样本数据有8个， 所以8×75%＝6，所以第三四分位数为15+202=17.5．故答案为：17.5．14．已知圆C 1：x 2+y 2＝4和圆C 2：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝4，若点P （a ，b ）（a ＞0，b ＞0）在两圆的公共弦上，则1a+9b 的最小值为 8 ．解：由题意，两圆的方程相减，可得x +y ＝2， ∵点P （a ，b ）（a ＞0，b ＞0）在两圆的公共弦上， ∴a +b ＝2，∴1a+9b =12（1a +9b）（a +b ）=12（10+b a +9a b ）≥12(10+6)=8， 当且仅当ba=9a b ，即b ＝3a 时，取等号，1a+9b的最小值为8，故答案为8．15．如图，在矩形ABCD 中，已知AB ＝2AD ＝6，E 是AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE ，连接A 1C ．当三棱锥A 1﹣CDE 的体积取得最大值时，此时三棱锥A 1﹣CDE 外接球的体积为 36π ．解：因为三棱锥A 1﹣CDE 的底面积S △CDE ＝9为定值，故当高最大值时，体积最大，又因为DE =CE =3√2，且△A 1DE 为等腰直角三角形，取DE 中点为F ， 连接A 1F ，故A 1F ⊥DE ，且A 1F =3√22，所以当A 1F ⊥平面DEBC 时，三棱锥A 1﹣CDE 的高最大为3√22， 可知DE 2+CE 2＝CD 2，即∠CED ＝90°，则△DEC 为等腰直角三角形，所以球心O 在平面DEBC 的投影为DC 中点G ，且△DEC 的外接圆半径为r ＝3， 设OG ＝h ，则FG =12EC =3√22， 由题意可得{R 2=ℎ2+9R 2=92+(3√22−ℎ)2，解得{R =3ℎ=0， 所以三棱锥A 1﹣CDE 外接球的体积为V =43πR 3=36π． 故答案为：36π． 16．设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的焦点为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，且∠F 1PF 2=π3，若△F 1PF 2的外接圆和内切圆的半径分别为R ，r ，当R ＝4r 时，椭圆的离心率为 23．解：△F 1PF 2的外接圆的半径R ，由正弦定理2R =|F 1F 2|sin∠F 1PF 2=2c sin π3，所以R =2√33c ， 又由于R ＝4r ，所以r =√36c ，在△F 1PF 2中，由余弦定理可得|F 1F 2|2＝|PF 1|2+|PF 2|2﹣2|PF 1||PF 2|•cos ∠F 1PF 2，而∠F 1PF 2=π3， 所以4c 2＝4a 2﹣3|PF 1||PF 2|，所以可得：|PF 1||PF 2|=43（a 2﹣c 2），由三角形的面积相等可得：12（|PF 1|+|PF 2|+|F 1F 2|）•r =12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2，所以（2a +2c ）r =43（a 2﹣c 2）•√32， 所以2（a +c ）√36c =43（a 2﹣c 2）•√32， 整理可得：c ＝2（a ﹣c ）＝0，即3c ＝2a ，解得e =23， 故答案为：23．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量为n ）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，已知得分在[50，60），[90，100]的频数分别为8，2．（1）求样本容量n 和频率分布直方图中的x ，y 的值； （2）估计本次竞赛学生成绩的众数、中位数、平均数．解：（1）由频率分布直方图得[50，60）的频率为0.016×10＝0.16， ∵得分在[50，60），[90，100]的频数分别为8，2． ∴n =80.016×10=50，y =2n×10=2500=0.004， ∴x ＝[1﹣（0.016+0.04+0.01+0.004）×10]÷10＝0.03． （2）估计本次竞赛学生成绩的众数为：70+802=75，∵[50，70）的频率为：（0.016+0.03）×10＝0.46，[70，80）的频率为：0.04×10＝0.4，∴中位数为：70+0.5−0.460.4×10=71，平均数为：55×0.16+65×0.3+75×0.4+85×0.1+95×0.04＝70.6．18．（12分）法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名．对△ABC而言，若其内部的点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CP A＝120°，则称P为△ABC的费马点．如图所示，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，设P为△ABC的费马点，且满足∠PBA＝45°，P A＝2．（1）求△P AC的面积；（2）求PB的长度．解：（1）由已知可得∠P AB＝180°﹣120°﹣45°＝15°，∴∠P AC＝45°﹣15°＝30°，在△P AC中，∠PCA＝180°﹣120°﹣30°＝30°，∴P A＝PC＝2，∴△P AC的面积S=12P A•PC•sin∠P AC=12×2×2×√32=√3．（2）∵sin15°＝sin（45°﹣30°）=√22×√32−√22×12=√6−√24，sin45°=√22，∴在△P AB中，由正弦定理PBsin15°=PAsin45°，可得PB=2sin15°sin45°=2×√6−√24√22=√3−1．19．（12分）在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝DC，E是SC的中点．（1）证明：SA∥平面BDE；（2）若点G在棱SC上，且SG：GC＝2：1，在棱SB上求一点H使得AH∥平面BDG．解：（1）证明：连接AC交BD于O，连接EO，由题意得：在△SAC中，EO∥SA，又EO⊂平面EDB，SA⊄平面EDB，∴SA∥平面EDB；（2）连接AC交BD于O，连接GO，取SG的中点F，连接AF，则根据题意可得G为FC的中点，又O为AG中点∴AF∥OG，取SB的中点H，连接FH，则FH∥GB，又AF∩FH＝F，∴平面AFH∥平面BDG，又AH⊂平面AFH，∴AH∥平面BDG，∴当点H为棱SB的中点时，AH∥平面BDG．20．（12分）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆．已知平面直角坐标系中A（﹣2，0），B（1，0）且|P A|＝2|PB|．（1）求点P的轨迹方程；（2）若点P在（1）的轨迹上运动，点M为AP的中点，求点M的轨迹方程；（3）若点P（x，y）在（1）的轨迹上运动，求t=y+4x−6的取值范围．（1）设P（x，y），|P A|＝2|PB|．则（x+2）2+y2＝4[（x﹣1）2+y2]，化简得：x2﹣4x+y2＝0，故点P的轨迹方程为x2﹣4x+y2＝0；（2）设M（a，b），因为点M为AP的中点，所以点P的坐标为（2a+2，2b），将P（2a+2，2b）代入x2﹣4x+y2＝0中，得到a2+b2＝1，所以点M的轨迹方程为x2+y2＝1；（3）因为点P（x，y）在（1）的轨迹上运动，所以x2﹣4x+y2＝0，变形为（x﹣2）2+y2＝4，即点P（x，y）为圆心为（2，0），半径为2的圆上的点，则t=y+4x−6表示的几何意义为圆上一点与（6，﹣4）连线的斜率，当过（6，﹣4）的直线与圆相切时，取得最值，设y+4＝k（x﹣6），则由点到直线距离公式可得：√1+k2=2，解得k=−4−√73或−4+√73，故t=y+4x−6的取值范围是[−4−√73，−4+√73]．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面P AB⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，P A＝BC＝3，AB ＝AD＝2，PB=√13．E为PD中点，点F在PC上，且PC＝3FC．（1）求证：AB⊥平面P AD；（2）求二面角F﹣AE﹣D的余弦值；（3）线段AC上是否存在点Q，使得DQ∥平面F AE？说明理由．（1）证明：在△P AB中，∵P A＝3，AB＝2，PB=√13，∴PA 2+AB 2=32+22=(√13)2=PB 2． ∴∠P AB ＝90°，即AB ⊥P A ．又∵AB ⊥AD ，在平面P AD 中，P A ∩AD ＝A ， ∴AB ⊥平面P AD ；（2）解：∵平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，AB ⊥AD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴AD ⊥平面P AB ，得AD ⊥P A ，已证AB ⊥P A ，且已知AB ⊥AD ，∴以A 为坐标原点，分别以AD 、AB 、AP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则D （2，0，0），P （0，0，3），C （3，2，0）．AP →=(0，0，3)，AD →=(2，0，0)，AC →=(3，2，0)，CP →=(−3，−2，3)， ∵E 为PD 中点，∴AE →=12(AP →+AD →)=(1，0，32)．由PC ＝3FC 知，AF →=AC →+CF →=AC →+13CP →=(3，2，0)+(−1，−23，1)=(2，43，1)．设平面AEF 的法向量为n →=(x ，y ，z)，由{n →⋅AE →=x +32z =0n →⋅AF →=2x +43y +z =0，令z ＝2，得n →=(−3，3，2)．又AB ⊥平面P AD ，∴平面P AD 的法向量为AB →=(0，2，0)． ∴cos〈n →，AB →〉=n →⋅AB→|n →||AB →|=3×22×9+9+4=3√2222，由题知，二面角F ﹣AE ﹣D 为锐角， ∴二面角F ﹣AE ﹣D 的余弦值为3√2222； （3）解：设Q 是线段AC 上一点，则存在λ∈[0，1]使得AQ →=λAC →． ∵AC →=(3，2，0)，DA →=(−2，0，0)，∴DQ →=DA →+AQ →=DA →+λAC →=(3λ−2，2λ，0)．∵DQ ⊄平面AEF ，∴要使DQ ∥平面AEF ，则DQ →⋅n →=0，即（3λ﹣2，2λ，0）•（﹣3，3，2）＝0．即（3λ﹣2）×（﹣3）+2λ×3+0×2＝0．解得λ＝2． ∵λ＝2∉[0，1]，∴线段AC 上不存在Q ，使得DQ ∥平面AEF ．22．（12分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)过点M(√3，12)，点A 为下顶点，且AM 的斜率为√32．（1）求椭圆E 的方程；（2）如图，过点B （0，4）作一条与y 轴不重合的直线，该直线交椭圆E 于C 、D 两点，直线AD ，AC 分别交x 轴于H ，G 两点，O 为坐标原点．求证：|OH ||OG |为定值，并求出该定值．（1）解：∵椭圆过点M(√3，12)，点A 为下顶点，坐标为（0，﹣b ），又AM 的斜率为√32，则有：{ 3a 2+14b2=112+b 3=√32，解得a ＝2，b ＝1．故求椭圆E 的方程为x 24+y 2=1．（2）证明：由题意知，直线BC 的斜率存在，设直线BC ：y ＝kx +4，由{x 24+y 2=1，y =kx +4整理得，（1+4k 2）x 2+32kx +60＝0．设D （x 1，y 1），C （x 2，y 2），则x 1+x 2=−32k 1+4k2，x 1x 2=601+4k2．Δ＝（32k ）2﹣4（1+4k 2）×60＝16（4k 2﹣15）＞0，得|k|＞√152．因为A （0，﹣1），直线AD 的方程为y =y 1+1x 1x −1，令y ＝0，解得x =x1y 1+1， 则H(x 1y 1+1，0)，同理可得G(x2y 2+1，0)， ∴|OH||OG|=|x 1y 1+1||x 2y 2+1|=|x 1x 2(kx 1+5)(kx 2+5)|=|x 1x 2k 2x 1x 2+5k(x 1+x 2)+25| =|601+4k2k 2⋅601+4k2+5k(−32k 1+4k2)+25|=|6060k 2−160k 2+25(1+4k 2)|=125．（定值）。
吉林省四平市2023-2024学年高二下学期期中质量监测数学试题含答案
四平市2023-2024学年度第二学期期中质量监测高二数学试题（答案在最后）全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5.本卷主要考查内容：选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数()23cos f x x x=+的导函数是（）A.()6sin f x x x '=+B.()6sin f x x x '=-C.()3sin f x x x'=- D.()3sin f x x x'=+【答案】B 【解析】【分析】利用导数的运算法则即可求解.【详解】()()()23cos 6sin f x x x x x '''=+=-.故选：B.2.5(2)x -的展开式中3x 的系数为（）A.40-B.20- C.20D.40【答案】D 【解析】【分析】写出展开式的通项，即可计算可得.【详解】因为5(2)x -展开式的通项为()515C 2rr rr T x -+=-（05r ≤≤且N r ∈），所以5(2)x -的展开式中3x 的系数为225C (2)40⨯-=.故选：D3.某学校广播站有6个节目准备分2天播出，每天播出3个，其中学习经验介绍和新闻报道两个节目必须在第一天播出，谈话节目必须在第二天播出，则不同的播出方案共有（）A.108种B.90种C.72种D.36种【答案】A 【解析】【分析】先确定第一天和第二天播放的节目，然后再确定节目的播放顺序，利用分步乘法计数原理可得结果.【详解】第一步，从无限制条件的3个节目中选取1个，同学习经验介绍和新闻报道两个节目在第一天播出，共有1333C A 18=种；第二步，某谈话节目和其他剩余的2个节目在第二天播出，有33A 6=种播出方案，综上所述，由分步乘法计数原理可知，共有186108⨯=种不同的播出方案.故选：A4.已知*0,x n ≠∈N ，则“8n =”是“312nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中存在常数项”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】计算二项展开式中存在常数项的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【详解】若8n =，则8312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的常数项为()626381C 2112x x ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭；若312nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中存在常数项，设二项式的通项为()33411=C22C rn rrn r r n r r nn T x x x ---+⎛⎫⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，且存在常数项，则340n r -=，34nr =，r 为整数，所以n 能被4整除.所以“8n =”是“312nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中存在常数项”的充分不必要条件.故选：A.5.已知曲线2ln y x x =-在点A 处的切线与直线20x y +-=垂直，则点A 的横坐标为（）A.2-B.1-C.2D.1【答案】D 【解析】【分析】设点()00,A x y ，根据题意可得()01f x '=，从而求得0x .【详解】设()2ln f x x x =-，点()00,A x y ，则()12f x x x='-，由在点A 处的切线与直线20x y +-=垂直可得()01f x '=，即00121x x -=，又00x >，01x ∴=.故选：D6.已知函数()()22e xf x x ax a =++，若()f x 在2x =-处取得极小值，则a 的取值范围是（）A.()4,+∞ B.[)4,+∞ C.[)2,+∞ D.()2,+∞【答案】A 【解析】【分析】利用求导得到导函数的零点2a-和2-，就参数a 分类讨论，判断函数()f x 的单调性，即可分析判断，确定参数a 的范围.【详解】由题意得，()()()()()()222e 4e 242e 22e x x x xf x x ax a x a x a x a x a x ⎡⎤=++++=+++=++⎣⎦'，由()0f x '=可得，2ax =-或2x =-，①若22a -=-，即4a =时，()()222e 0x f x x =+≥'，显然不合题意；②若22a -<-，即4a >时，当2ax <-或2x >-时，()0f x '>，即()f x 在(,2a -∞-和(2,)-+∞上单调递增；当22a x -<<-，()0f x '<，()f x 在(,2)2a--上单调递减，故()f x 在2x =-处取得极小值，符合题意；③若22a ->-，即4a <时，当<2x -或2x a >-时，()0f x '>，即()f x 在(,2)-∞-和(,)2a -+∞上单调递增；当22a x -<<-，()0f x '<，()f x 在(2,)2a--上单调递减，故()f x 在2x =-处取得极大值，不符题意.综上所述，当4a >时，()f x 在2x =-处取得极小值，故a 的取值范围是()4,∞+.故选：A.7.若()()()()23416321241811N x x x x =+-+-+-+-，则N =（）A.()41x - B.()41+x C.()43x - D.()43x +【答案】B 【解析】【分析】利用二项式定理可得答案.【详解】()()()()23416321241811N x x x x =+-+-+-+-413222334444(1)C (1)2C (1)2C (1)22x x x x =-+-⋅+-⋅+-⋅+4(12)x =-+4(1)x =+.故选：B8.若函数()21ln 32f x x ax =++在区间()1,4内存在单调减区间，则实数a 的取值范围是（）A.1,16⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B.()1,1,16⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭C.(),1-∞- D.()0,1【答案】A 【解析】【分析】对()f x 求导，分0a ≥和a<0两种情况，结合()f x 在区间()1,4内存在单调减区间，求出a 的取值范围即可.【详解】()21ln 32f x x ax =++，()211ax f x ax x x+'=+=，当0a ≥时，()0f x ¢>，不符合题意；当0a <时，令()0f x '<，解得x >()f x 在区间()1,4内存在单调减区间，∴4<，解得116a <-.∴实数a 的取值范围是1,16⎛⎫-∞-⎪⎝⎭.故选：A .二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.A ，B ，C ，D ，E 五个人并排站在一起，下列说法正确的是（）A.若A ，B 不相邻，有72种排法B.若A ，B 不相邻，有48种排法C.若A ，B 相邻，有48种排法D.若A ，B 相邻，有24种排法【答案】AC 【解析】【分析】求得A ，B 不相邻时的排法总数判断选项AB ；求得A ，B 相邻时的排法总数判断选项CD.【详解】A ，B ，C ，D ，E 五个人并排站在一起，若A ，B 不相邻，则先让C ，D ，E 自由排列，再让A ，B 去插空即可，则方法总数为3234A A 72=（种）.则选项A 判断正确；选项B 判断错误；A ，B ，C ，D ，E 五个人并排站在一起，若A ，B 相邻，则将A ，B “捆绑”在一起，视为一个整体，与C ，D ，E 自由排列即可，则方法总数为2424A A 48=（种）.则选项C 判断正确；选项D 判断错误.故选：AC10.在62x⎛⎝的展开式中，下列命题正确的是（）A.偶数项的二项式系数之和为32B.第3项的二项式系数最大C.常数项为60D.有理项的个数为3【答案】AC 【解析】【分析】根据题意，由二项式展开式的通项公式以及二项式系数的性质，代入计算，对选项逐一判断，即【详解】偶数项的二项式系数之和为152232n -==，故A 正确；根据二项式，当3r =时36C 的值最大，即第4项的二项式系数最大，故B 错误()()36662166C 21C 2r r rr rr r r T x x---+⎛==-⋅⋅⋅ ⎝，令3602r -=，4r =，∴4256C 260T =⋅=，故C 正确；362r -为整数时，0,2,4,6r =，故有理项的个数为4，故D 错误.故选：AC ．11.已知函数()ln xxf x e =,则下列说法正确的是（）A.()f x 有且仅有一个极值点B.()f x 有且仅有两个极值点C.当01x <<时，()f x 的图象位于x 轴下方D.存在0x ，使得()01f x e=【答案】AC 【解析】【分析】利用导数与极值、最值的关系求解即可.【详解】由题意知，()1ln xxx f x e -'=,令()1ln h x x x =-,()211h x x x '=--,易得()h x 在()0,∞+上单调递减,又()110h =>,()12ln 202h =-<，所以()01,2x ∃∈,使得()00h x =，所以当00x x <<时,()0f x '>，当0x x >时,()0f x '<，故()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x ∞+上单调递减，所以()f x 有且仅有一个极值点.故A 正确,B 错误;当01x <<时,ln 0x <，e 0x >,所以()0f x <,故C 正确;所以()()0000max 0ln 11ex x x f x f x e x e ===<,故D 错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.三名学生分别从计算机、英语两学科中选修一门课程，不同的选法有___________种.【答案】8【解析】【分析】利用分步加法计数原理计算即得.【详解】依题意，可由三名学生依次选修课程，故分三步完成，由分步乘法计数原理知，不同的选法有322228⨯⨯==（种）.故答案为：8.13.函数()ln f x x x =-的单调减区间为___________.【答案】(]0,1【解析】【分析】首先求出函数的定义域为()0,∞+，再求出()f x '，令()0f x '≤，解不等式即可求解.【详解】函数()ln f x x x =-的定义域为()0,∞+，且()111x f x x x-'=-=，令()0f x '≤，即10x x-≤，解不等式可得01x <≤，所以函数的单调递减区间为(]0,1.故答案为：(]0,1【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，解题的关键是求出导函数，属于基础题.14.已知函数()f x 的导函数()f x '满足()()f x f x '>在R 上恒成立，则不等式()()23e 21e 10x f x f x --->的解集是______.【答案】2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据已知关系式可构造函数()()xf xg x =e，可知()g x 在R 上单调递增，将所求不等式转化为()()211g x g x ->-，利用单调性可解不等式求得结果.【详解】令()()x f x g x =e ，则()()()0ex f x f x g x '-'=>，所以()g x 在R 上单调递增，由()()23e 21e 10xf x f x --->，得()()211>1e21ex xf x f x ----，即()()211g x g x ->-，又()g x 在R 上单调递增，所以211x x ->-，解得23x >.所以不等式()()23e 21e 10xf x f x --->的解集是2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭.故答案为：2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：此类问题要结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而解不等式即可.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.（1）求值：2222310C C C +++ ;（2）解方程：32213A 2A 6A x x x +=+．【答案】（1）165；（2）5x =【解析】【分析】（1）利用组合数性质计算可得原式等于311C 165=；（2）由排列数计算公式可得(32)(5)0x x --=，可得5x =.【详解】（1）因为11C C C m m m n nn -+=+，所以11C C C m m m n n n -+-=，原式()()()()333333333345410911103C C C C C C C C C ++++-+=--- 31111109C 165123⨯⨯===⨯⨯；（2）因为32213A 2A 6A x x x +=+，所以!(1)!!326(3)!(1)!(2)!x x x x x x +⨯=⨯+⨯---，化简可得(32)(5)0x x --=，同时3x ≥，解得5x =.16.已知二项式nx⎛- ⎝的展开式中，所有项的二项式系数之和为a ，各项的系数之和为b ，32a b +=（1）求n 的值；（2）求其展开式中所有的有理项．【答案】（1）4（2）42135,54,81T x T x T x-===【解析】【分析】（1）先利用题给条件列出关于n 的方程，解之即可求得n 的值；（2）利用二项展开式的通项公式即可求得其展开式中所有的有理项．【小问1详解】因为2,(2)n n a b ==-，所以2(2)32n n +-=，当n 为奇数时，此方程无解，当n 为偶数时，方程可化为2232n ⨯=，解得4n =；【小问2详解】由通项公式3442144C (3)C rrr r r r r T x x--+=⋅=-⋅，当342r -为整数时，1r T +是有理项，则0,2,4r =，所以有理项为0442214422143454(3)C ,(3)C 54,(3)C 81T x x T x x T xx --=-==-==-=．17.为庆祝3.8妇女节，某中学准备举行教职工排球比赛，赛制要求每个年级派出十名老师分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛．（1）高二年级一共有多少不同的分组方案？（2）若甲，乙两位男老师和丙，丁，戊三位女老师组成的队伍顺利夺得冠军，在领奖合影时从左到右站成一排，丙不宜站最右端，丁和戊要站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？【答案】（1）120种；（2）36种.【解析】【分析】（1）利用分类加法计数原理，结合平均分组问题列式计算.（2）按相邻问题及有位置限制问题，利用分步乘法计数原理列式计算即得.【小问1详解】两组都是3女2男的情况有326422C C 60 A ⋅=（种）：一组是1男4女，另一组是3男2女的情况有1446C C 60⋅=（种），所以总情况数为6060120+=（种），故一共有120种不同的分组方案.【小问2详解】视丁和戊为一个整体，与甲、乙任取1个站最右端，有13C 种，再排余下两个及丙，有33A 种，而丁和戊的排列有22A 种，所以不同排列方式的种数是132332C A A 36=.18.已知函数()()2212ln 2f x a x x ax a =-++∈R ．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）32y =（2）答案见解析【解析】【分析】(1)代入1a =，求出'(1),(1)f f 即可求得切线方程；(2)函数求导'(2)()()x a x a f x x+-=，对a 分类讨论，进而求得单调性.【小问1详解】当1a =时，()212ln 2f x x x x =-++，'2()1f x x x =-++，所以'3(1)2110,(1)2f f =-++==，曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为32y =.【小问2详解】22'2(2)()()x ax a x a x a f x x x+-+-==，①当0a =时，'()0f x x =>，所以函数在(0,)+∞上单调递增；②当0a >时，令'()0f x =，则12x a =-(舍)或2x a =，'()0,0f x x a <<<，当(0,)x a ∈时，函数()f x 单调递减；'()0,f x x a >>，当(,)x a ∈+∞时，函数()f x 单调递增.③当0a <时，令'()0f x =，则12x a =-或2x a =(舍)，'()0,02f x x a <<<-，当(0,2)x a ∈-时，函数()f x 单调递减；'()0,2f x x a >>-，当(2,)x a ∈-+∞时，函数()f x 单调递增.综上所述：当0a =时，函数在(0,+∞)上单调递增；当0a >时，当(0,)x a ∈时，函数()f x 单调递减当(,)x a ∈+∞时，函数()f x 单调递增；当0a <时，当(0,2)x a ∈-时，函数()f x 单调递减；当(2,)x a ∈-+∞时，函数()f x 单调递增19.已知函数()ln 32a f x ax x =--，其中0a ≠.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()10xf x +≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）[)2,+∞.【解析】【分析】（1）利用导数，讨论a 的符号判断函数单调性；（2）问题转化为1ln 3102ax x x x ⎛⎫--+≥ ⎪⎝⎭恒成立，取1x =，有310a -+≥，可得2a ≥，构造函数利用导数求最小值证明1ln 02x x ->，则12ln 30x x x --+≥恒成立，通过构造函数利用导数求最小值证明.【小问1详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()2122a x a f x a x x -'=-=，①当0a >时，()0f x '<解得102x <<，()0f x ¢>解得12x >，此时函数()f x 的减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，②当0a <时，()0f x ¢>解得102x <<，()0f x '<解得12x >，此时函数()f x 的增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭；【小问2详解】不等式()10xf x +≥可化为2ln 3102a ax x x x --+≥，由2ln 3102a ax x x x --+≥恒成立，取1x =，有310a -+≥，可得2a ≥，又由2ln 3102a ax x x x --+≥可化为1ln 3102ax x x x ⎛⎫--+≥ ⎪⎝⎭，令()1ln 2g x x x =-，有()121122x g x x x -'=-=，令()0g x '<解得102x <<，()0g x '>解得12x >此时函数()g x 的减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，有()111111ln ln 20222222g x g ⎛⎫≥=-=+> ⎪⎝⎭，可得1ln 02x x ->，可得211ln 2ln 2ln 22ax x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-≥-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下面证明22ln 310x x x x --+≥，即证明12ln 30x x x --+≥，令()12ln 3h x x x x =--+，有()()()222221111212x x x x h x x x x x+---'=--==，令()0h x '<解得01x <<，()0h x '>解得1x >，可得函数()h x 的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞，有()()120310h x h ≥=--+=，可得不等式22ln 310x x x x --+≥成立，所以若()10xf x +≥恒成立，则实数a 的取值范围为[)2,+∞.。
2023-2024学年江苏省南京市高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省南京市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，它们的产量之比为2：3：5，用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本．若样本中A 型号的产品有20件，则样本容量n 为（ ） A ．50B ．80C ．100D ．2002．已知复数z 0＝3+i ，其中i 为虚数单位，复数z 满足zz 0＝3z +z 0，则z ＝（ ） A ．1﹣3iB ．1+3iC ．3+iD ．3﹣i3．已知圆C 1：x 2+y 2﹣x ﹣ay ＝0与圆C 2：x 2+y 2﹣2x ﹣4y +2＝0的公共弦所在直线与x 轴垂直，则实数a 的值为（ ） A ．﹣4B ．﹣2C ．2D ．44．《数书九章》天池测雨：今州郡都有天池盆，以测雨水．但知以盆中之水为得雨之数．不知器形不同，则受雨多少亦异，未可以所测，便为平地得雨之数，即平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积．假令器形为圆台，盆口径（直径）一尺四寸，底径（直径）六寸、深一尺二寸，接雨水深六寸（一尺等于十寸），则平地降雨量为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．已知cos x +sin x =√23，则sin2xcos(x−π4)=（ ）A ．−716B ．−7√26C ．−76D ．−736．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为其右支上一点，连接PF 1交y 轴于点Q ，若△PQF 2为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．√57．在平面直角坐标系xOy 中，P 为直线3x +4y +1＝0上一点．若向量a →=（3，4），则向量OP →在向量a →上的投影向量为（ ） A ．−15B ．（−35，−45）C ．（−325，−425）D ．无法确定8．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）．若∀x ∈R ，f （x ）≤f （π3），且f （x ）在（0，π）上恰有1个零点，则实数ω的取值范围为（ ） A ．（0，32]B ．（34，32]C ．（34，94]D ．（32，94]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某研究小组依次记录下10天的观测值：26，28，22，24，22，78，32，26，20，22，则（ ） A ．众数是22 B ．80百分位数是28C ．平均数是30D ．前4个数据的方差比最后4个数据的方差小10．声音是由物体的振动产生的声波，一个声音可以是纯音或复合音，复合音由纯音合成，纯音的函数解析式为y ＝A sin ωx ．设声音的函数为φ（x ），音的响度与φ（x ）的最大值有关，最大值越大，响度越大；音调与φ（x ）的最小正周期有关，最小正周期越大声音越低沉．假设复合音甲的函数解析式是f （x ）＝sin x +12sin2x ，纯音乙的函数解析式是g （x ）=32sin ωx （ω＞0），则下列说法正确的有（ ） A ．纯音乙的响度与ω无关 B ．纯音乙的音调与ω无关C ．若复合音甲的音调比纯音乙的音调低沉，则ω＞1D ．复合音甲的响度与纯音乙的响度一样大11．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），D （x 3，y 3）为抛物线C 上的任意三点（异于O 点），FA →+FB →+FD →=0→，则下列说法正确的有（ ） A ．设A ，B 到直线x ＝﹣1的距离分别为d 1，d 2，则d 1+d 2＜AB B ．F A +FB +FD ＝6 C ．若F A ⊥FB ，则FD ＝ABD ．若直线AB ，AD ，BD 的斜率分别为k AB ，k AD ，k BD ，则1k AB+1k AD+1k BD=012．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝8，AD ＝6，点E 是正方形BCC 1B 1内部或边界上异于点C 的一点，则下列说法正确的有（ ） A ．若D 1E ∥平面ABB 1A 1，则E ∈C 1CB ．设直线D 1E 与平面BCC 1B 1所成角的最小值为θ，则tan θ=2√23C ．存在E ∈BB 1，使得∠D 1EC ＞π2D ．若∠D 1EC =π2，则EB 的最小值为3√5−3 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点M （2，√3）和N （4，0），点Q 在x 轴上．若直线MQ 与直线MN 的夹角为90°，则点Q 的坐标为 ．14．在△ABC 中，AB ＝3√6，∠ABC ＝45°，∠BAC ＝75°，D 是射线BC 上一点，且CD ＝10，则AD＝ ．15．某商场为了促销，每天会在上午和下午各举办一场演出活动，两场演出活动相互独立．每个时段演出的概率分别如下：若某顾客打算第二天11：00抵达商场并逛3.5小时后离开，则他当天能观看到演出的概率为 ． 16．已知向量a →=（1，√3），b →=（1，0），|a →−c →|=12，则向量b →，c →最大夹角的余弦值为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知函数f （x ）＝sin x cos x ﹣sin 2x +t （x ∈R ）的最大值为√22． （1）求f （x ）的解析式； （2）若∀x ∈[π12，π2]，f （x ）﹣m ≤0，求实数m 的最小值．18．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的圆心在l ：x ﹣2y ＝0上，且圆C 与x 轴相切，直线l 1：x ﹣ay ＝0（a ∈R ），D （6，0）．（1）若直线l 1与圆C 相切，求a 的值；（2）若直线l 1与圆C 相交于A ，B 两点，将圆C 分成的两段弧的弧长之比为1：3，且DA ＝DB ，求圆C 的方程．19．（12分）如图，一个质地均匀的正二十面体骰子的各面上标有数字0～9这10个数字（相对的两个面上的数字相同），抛掷这个骰子，并记录下朝上一面（与地面或桌面平行）的数字．记事件A 1为“抛两次，两次记录的数字之和大于16”，记事件A 2为“抛两次，两次记录的数字之和为奇数”，事件A 3为“抛两次，第一次记录的数字为奇数”． （1）求P （A 1），P （A 2）；（2）判断事件A 1A 2与事件A 3是否相互独立，并说明理由．20．（12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，AB →•AC →=b 2−12ab ． （1）求角C 的大小； （2）若△ABC 的面积为√32，且CM →=2MB →，AN →=3NM →，求|CN →|的最小值． 21．（12分）如图，在所有棱长都等于1的三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ABB 1=π2，∠B 1BC =π3． （1）证明：A 1C 1⊥B 1C ；（2）求直线BC 与平面ABB 1A 1所成角的大小．22．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，且焦距为2√3，椭圆C 的上顶点为B ，且BF 1→•BF 2→=−2． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过点A （2，﹣1），且与椭圆C 交于M ，N 两点（不与B 重合），直线BM 与直线BN 分别交直线x ＝4于P ，Q 两点．判断是否存在定点G ，使得点P ，Q 关于点G 对称，并说明理由．2023-2024学年江苏省南京市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，它们的产量之比为2：3：5，用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本．若样本中A 型号的产品有20件，则样本容量n 为（ ） A ．50B ．80C ．100D ．200解：由题意可知，n •22+3+5=20，解得n ＝100．故选：C ．2．已知复数z 0＝3+i ，其中i 为虚数单位，复数z 满足zz 0＝3z +z 0，则z ＝（ ） A ．1﹣3iB ．1+3iC ．3+iD ．3﹣i解：z 0＝3+i ，zz 0＝3z +z 0， 则z （z 0﹣3）＝z 0， 故z =3+ii=1−3i ． 故选：A ．3．已知圆C 1：x 2+y 2﹣x ﹣ay ＝0与圆C 2：x 2+y 2﹣2x ﹣4y +2＝0的公共弦所在直线与x 轴垂直，则实数a 的值为（ ） A ．﹣4B ．﹣2C ．2D ．4解：圆C 1：x 2+y 2﹣x ﹣ay ＝0与圆C 2：x 2+y 2﹣2x ﹣4y +2＝0， 两个方程相减，得到公共弦所在直线方程为：x +（4﹣a ）y ﹣2＝0， 公共弦所在直线与x 轴垂直，则4﹣a ＝0，a ＝4． 故选：D ．4．《数书九章》天池测雨：今州郡都有天池盆，以测雨水．但知以盆中之水为得雨之数．不知器形不同，则受雨多少亦异，未可以所测，便为平地得雨之数，即平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积．假令器形为圆台，盆口径（直径）一尺四寸，底径（直径）六寸、深一尺二寸，接雨水深六寸（一尺等于十寸），则平地降雨量为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4解：如图，由题意可知，天池盆上底面半径为7寸，下底面半径为3寸，高为12寸． ∵积水深6寸，∴水面半径为12（7+3）＝5寸，则盆中水的体积为13π×6×（32+52+3×5）＝98π（立方寸）．∴平地降雨量等于98ππ×72=2（寸）．故选：B ．5．已知cos x +sin x =√23，则sin2xcos(x−π4)=（ ）A ．−716B ．−7√26C ．−76D ．−73解：因为cos x +sin x =√23，两边平方得1+2sin x cos x =29，即sin2x =−79， 又cos （x −π4）=√22（cos x +sin x ）=√22×√23=13，则sin2x cos(x−π4)=−7913=−73．故选：D ． 6．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为其右支上一点，连接PF 1交y 轴于点Q ，若△PQF 2为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．√5解：设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝2x ， ∴|PF 1|﹣|PF 2|＝x ＝2a ，在△PF 1F 2中，由余弦定理可得4c 2＝16a 2+4a 2﹣2×4a ×2a ×12， ∴c =√3a ， ∴e =ca =√3． 故选：B ．7．在平面直角坐标系xOy 中，P 为直线3x +4y +1＝0上一点．若向量a →=（3，4），则向量OP →在向量a →上的投影向量为（ ） A ．−15B ．（−35，−45）C ．（−325，−425） D ．无法确定解：设OP →=(x ，y)，由于点P 是直线3x +4y +1＝0上任意一点， 则OP →⋅a →=3x +4y =−1，a →=（3，4），则|a →|=√32+42=5，故向量OP →在向量a →上的投影向量为：OP →⋅a →|a →|×a→|a →|=−125a →=(−325，−425)．故选：C ．8．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）．若∀x ∈R ，f （x ）≤f （π3），且f （x ）在（0，π）上恰有1个零点，则实数ω的取值范围为（ ） A ．（0，32]B ．（34，32]C ．（34，94]D ．（32，94]解：由于∀x ∈R ，f （x ）≤f （π3），故f(π3)=sin(π3ω+φ)=1，整理得π3ω+φ=π2+2kπ，（k ∈Z ），所以φ=π2+2kπ−π3ω（k ∈Z ）， 由于ω＞0，0＜x ＜π； 所以−π3ω＜ωx −π3ω＜2π3ω，由于f （x ）在（0，π）上恰有1个零点， 所以{−3π2≤−π3ω＜−π20＜2π3ω≤π2，无解； {−π2≤−π3ω＜0π2＜2π3ω≤3π2，解得34＜ω≤32． 故实数ω的取值范围为(34，32]． 故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某研究小组依次记录下10天的观测值：26，28，22，24，22，78，32，26，20，22，则（ ）A ．众数是22B ．80百分位数是28C ．平均数是30D ．前4个数据的方差比最后4个数据的方差小解：把这组数据按从小到大的顺序排列为：20，22，22，22，24，26，26，28，32，78； 所以这组数据的众数是22，选项A 正确； 80百分位数是12×（28+32）＝30，选项B 错误；平均数是110×（20+22+22+22+24+26+26+28+32+78）＝30，选项C 正确；前4个数据是20，22，22，22，平均数是21.5，方差是14×（2.25+0.25+0.25+0.25）=34；后4个数据是26，28，32，78，平均数是41，方差是14×（225+169+81+1369）＞34；选项D 正确．故选：ACD ．10．声音是由物体的振动产生的声波，一个声音可以是纯音或复合音，复合音由纯音合成，纯音的函数解析式为y ＝A sin ωx ．设声音的函数为φ（x ），音的响度与φ（x ）的最大值有关，最大值越大，响度越大；音调与φ（x ）的最小正周期有关，最小正周期越大声音越低沉．假设复合音甲的函数解析式是f （x ）＝sin x +12sin2x ，纯音乙的函数解析式是g （x ）=32sin ωx （ω＞0），则下列说法正确的有（ ） A ．纯音乙的响度与ω无关 B ．纯音乙的音调与ω无关C ．若复合音甲的音调比纯音乙的音调低沉，则ω＞1D ．复合音甲的响度与纯音乙的响度一样大解：音的响度与φ（x ）的最大值有关，最大值越大，响度越大，响度与A 有关，A 正确； 音调与φ（x ）的最小正周期有关，T =2πω，即音调与ω有关，B 错误； C 项，音调与φ（x ）的最小正周期有关，最小正周期越大声音越低沉， 若复合音甲的音调比纯音乙的音调低沉，则复合音甲的周期比纯音乙的周期大， 又复合音甲的周期为2π，则对于g （x ），需ω＞1，正确；D 项，若f （x ）＝sin x +12sin2x 其最大值为32，必有sin x ＝1，sin2x ＝1，这样的x 是不存在的，则复合音甲的响度与纯音乙的响度不会一样大，错误． 故选：AC ．11．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），D （x 3，y 3）为抛物线C 上的任意三点（异于O 点），FA →+FB →+FD →=0→，则下列说法正确的有（ ） A ．设A ，B 到直线x ＝﹣1的距离分别为d 1，d 2，则d 1+d 2＜ABB ．F A +FB +FD ＝6C ．若F A ⊥FB ，则FD ＝ABD ．若直线AB ，AD ，BD 的斜率分别为k AB ，k AD ，k BD ，则1k AB+1k AD+1k BD=0解：A 中，由题意可得d 1+d 2＝F A +FB ≤AB ，当A ，F ，B 三点共线时取等号，所以A 不正确； B 中，因为FA →+FB →+FD →=0→，则（x 1﹣1）+（x 2﹣1）+（x 3﹣1）＝0，即x 1+x 2+x 3＝3， 所以F A +FB +FC ＝x 1+1+x 2+1+x 3+1＝x 1+x 2+x 3+3＝6，所以B 正确； C 中，若F A ⊥FB ，则FA →•FB →=0，且F A 2+FB 2＝AB 2，又因为FA →+FB →+FD →=0→，则FD →2＝（−FA →−FB →）2=FA →2+FB →2+2FA →•FB →=FA →2+FB →2=AB →2，即FD ＝AB ，所以C 正确；D 中，由FA →+FB →+FD →=0→，则y 1+y 2+y 3＝0，x 12=y 124，x 22=y 224，x 3=y 324， 则1k AB+1k AD+1k BD=x 1−x 2y 1−y 2+x 1−x 3y 1−y 3+x 2−x 3y 2−y 3=y 124−y 224y 1−y 2+y 124−y 324y 1−y 3+y 224−y 324y 2−y 3=2(y 1+y 2+y 3)4=0，所以D 正确．故选：BCD ．12．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝8，AD ＝6，点E 是正方形BCC 1B 1内部或边界上异于点C 的一点，则下列说法正确的有（ ） A ．若D 1E ∥平面ABB 1A 1，则E ∈C 1CB ．设直线D 1E 与平面BCC 1B 1所成角的最小值为θ，则tan θ=2√23C ．存在E ∈BB 1，使得∠D 1EC ＞π2D ．若∠D 1EC =π2，则EB 的最小值为3√5−3解：因为长方体中，平面AA 1B 1B ∥平面DD 1C 1C ，故D 1E ⊂平面DD 1C 1C ， 又点E 是正方形BCC 1B 1内部或边界上异于点C 的一点，所以E ∈C 1C ，故A 正确；在长方体中，D 1C 1⊥平面BB 1C 1C ，所以∠B 1EC 1即为θ，此时tanθ=B 1C 1C 1E =8C 1E ≥862=2√23， 当且仅当E 与B 重合时取等号，故B 正确；不妨设BE ＝x ，则CE 2＝x 2+36，D 1E 2=(x −6)2+100，在三角形D 1EC 中，由余弦定理得cos ∠D 1EC =CE 2+D 1E 2−D 1C22CE⋅D 1E=x 2+36+(x−6)22√x 2+36⋅√(x−6)+1000，故C 错误；因为∠D 1EC =π2，所以E 在以D 1C 为直径的球上．设D 1C 中点为M ，则M 为球心． 此时M 到面BB 1C 1C 的距离为4，又因为球直径为6，所以面BB 1C 1C 被球截得的圆的半径为3，且M 与CC 1中点N 所在直线垂直面BB 1C 1C ， 即E 在以CC 1中点N 为圆心，3为半径的圆上．又BN =√62+32=3√5，因此EB 最小值为3√5−3，故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点M （2，√3）和N （4，0），点Q 在x 轴上．若直线MQ 与直线MN 的夹角为90°，则点Q 的坐标为 （12，0） ．解：设Q （a ，0），则MQ 的斜率k 1=√3−02−a=√32−a，因为直线MN 的斜率k 2=√3−02−4=−√32，且直线MQ 与MN 互相垂直，所以k 1k 2=√32−a ⋅(−√32)=−1，解得a =12，故点Q 的坐标为（12，0）．故答案为：（12，0）．14．在△ABC 中，AB ＝3√6，∠ABC ＝45°，∠BAC ＝75°，D 是射线BC 上一点，且CD ＝10，则AD ＝ 14 ．解：在三角形ABC 中，因为∠ABC ＝45°，∠BAC ＝75°，所以∠ACB ＝60°， 则由正弦定理可得：ACsin∠ABC=AB sin∠ACB，即AC =3√6⋅√22√32=6，在三角形ACD 中，∠ACD ＝180°﹣∠ACB ＝120°，则由余弦定理可得：AD =√AC 2+CD 2−2AC ⋅CD ⋅cos∠ACD =√196=14． 故答案为：14．15．某商场为了促销，每天会在上午和下午各举办一场演出活动，两场演出活动相互独立．每个时段演出的概率分别如下：若某顾客打算第二天11：00抵达商场并逛3.5小时后离开，则他当天能观看到演出的概率为 49．解：若某顾客打算第二天11：00抵达商场并逛3.5小时后离开， 则能在11；00﹣14；30看演出，故上午能看演出的概率为13，记为P （A ）=13，下午能看演出的概率为16，记为P （B ）=16，他当天能观看到演出的概率P ＝P （A ）P （B ）+P （A ）P （B ）+P （A ）P （B ） =13×13+13×56+23×16=49． 故答案为：49．16．已知向量a →=（1，√3），b →=（1，0），|a →−c →|=12，则向量b →，c →最大夹角的余弦值为 √15−√38．解：根据题意设c →=(x ，y)，可得a →−c →=(1−x ，√3−y)，所以|a →−c →|2=(1−x)2+(√3−y)2=14，设向量b →，c →夹角为θ，则cosθ=b →⋅c →|b →||c →|=x1×√x +y =√x 2x 2+y 2=√11+(y x)2， 设k =y x ，得y ＝kx ，代入(1−x)2+(√3−y)2=14，整理得(1+k 2)x 2−(2+2√3k)x +154=0， 由Δ≥0，得(2+2√3k)2−4(1+k 2)×154≥0，即3k 2−8√3k +11≤0，解得4√3−√153≤k ≤4√3+√153， 所以当k =4√3+√153时，(y x )2有最大值7+8√53，此时cos θ有最小值√18+8√53=√912(6+25)=3√12(√5+1)=√15−√38，由于θ∈[0，π]，可知cos θ最小时角θ最大，所以b →、c →最大夹角的余弦值为√15−√38． 故答案为：√15−√38． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知函数f （x ）＝sin x cos x ﹣sin 2x +t （x ∈R ）的最大值为√22． （1）求f （x ）的解析式；（2）若∀x ∈[π12，π2]，f （x ）﹣m ≤0，求实数m 的最小值．解：（1）f （x ）＝sin x cos x ﹣sin 2x +t =12sin2x −1−cos2x 2+t =√22sin （2x +π4）−12+t ≤√22−12+t =√22， 当2x +π4=π2+2k π，k ∈Z ，即x =π8+k π，k ∈Z 时取等号； 解得t =12， 即f （x ）=√22sin （2x +π4）；（2）∀x ∈[π12，π2]，所以2x +π4∈[512π，34π]，所以sin （2x +π4）∈[√22，1]， 即f （x ）∈[12，√22]， 因为f （x ）﹣m ≤0，所以m ≥f （x ）max =√22．即实数m 的最小值为√22．18．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的圆心在l ：x ﹣2y ＝0上，且圆C 与x 轴相切，直线l 1：x ﹣ay ＝0（a ∈R ），D （6，0）．（1）若直线l 1与圆C 相切，求a 的值；（2）若直线l 1与圆C 相交于A ，B 两点，将圆C 分成的两段弧的弧长之比为1：3，且DA ＝DB ，求圆C 的方程．解：（1）因为圆C 的圆心在l ：x ﹣2y ＝0上，所以设圆心C （2m ，m ）， 由直线l 1与圆C 相切，所以√1+a 2=|m |，显然m ≠0，所以√1+a 2=1，解得a =34；（2）因为直线l 1与圆C 相交于A ，B 两点，将圆C 分成的两段弧的弧长之比为1：3， 所以可得√1+a 2=√22|m |，所以√1+a 2=√22，整理得a 2﹣8a +7＝0，解得a ＝7或a ＝1， 又DA ＝DB ，所以D 在AB 的垂直平分线上，又AB 的垂直平分线过圆心， 所以m−02m−6×1a=−1，当a ＝7时，m−02m−6=−7，解得m =145，所以圆C 的方程为（x −285）2+（y −145）2=19625，当a ＝1，m−02m−6=−1，解得m ＝2，所以圆C 的方程为（x ﹣4）2+（y ﹣2）2＝4．综上所述：圆C 的方程为（x −285）2+（y −145）2=19625或（x ﹣4）2+（y ﹣2）2＝4．19．（12分）如图，一个质地均匀的正二十面体骰子的各面上标有数字0～9这10个数字（相对的两个面上的数字相同），抛掷这个骰子，并记录下朝上一面（与地面或桌面平行）的数字．记事件A 1为“抛两次，两次记录的数字之和大于16”，记事件A 2为“抛两次，两次记录的数字之和为奇数”，事件A 3为“抛两次，第一次记录的数字为奇数”． （1）求P （A 1），P （A 2）；（2）判断事件A 1A 2与事件A 3是否相互独立，并说明理由．解：（1）第一次抛出数字为a i ，第二次抛出数字为b i ，用数对（a i ，b i ）表示， 则所有的基本事件为（0，0），（0，1），……，（9，9）共100个，事件A 1包括（8，9），（9，8），（9，9）共3个基本事件，所以P(A 1)=3100．事件A 2表示抛出骰子两次，一次为奇数，另一次为偶数，则共有C 21C 51C 51=50个基本事件，可得P(A 2)=50100=12； （2）根据题意，可得P(A 1A 2)=2100=150，P(A 3)=C 51C 101100=12，且P(A 1A 2A 3)=1100，P(A 1A 2)P(A 3)=150×12=1100，所以P （A 1A 2A 3）＝P （A 1A 2）P （A 3）成立，可知A 1A 2与A 3相互独立．20．（12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，AB →•AC →=b 2−12ab ． （1）求角C 的大小；（2）若△ABC 的面积为√32，且CM →=2MB →，AN →=3NM →，求|CN →|的最小值．解：（1）因为AB →⋅AC →=b 2−12ab ，所以bcosA =b 2−12ab ，由余弦定理得bc ×b 2+c 2−a 22bc =b 2−12ab ， 化简得b 2+a 2−c 22ab =12，所以cosC =12，因为C 为△ABC 内角，所以C =π3．（2）因为S △ABC =12absinC =√32，所以ab ＝2， 因为CM →=2MB →，AN →=3NM →，所以CN →=CA →+AN →=CA →+34AM →=CA →+34(CM →−CA →)=14CA →+34CM →=14CA →+12CB →，从而|CN →|2=(14CA →+12CB →)2=116b 2+14a 2+14CA →⋅CB →， =116b 2+14a 2+14≥2√116b 2×14a 2+14=34， 当且仅当116b 2=14a 2，即a ＝1，b ＝2时取等号，所以|CN →|的最小值为√32． 21．（12分）如图，在所有棱长都等于1的三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ABB 1=π2，∠B 1BC =π3． （1）证明：A 1C 1⊥B 1C ；（2）求直线BC 与平面ABB 1A 1所成角的大小．（1）证明：连接AB 1，在△ABB 1中，∠ABB 1=π2，AB ＝BB 1＝1， 所以AB 1=√2，在△BCB 1中，∠B 1BC =π3，BC ＝BB 1＝1， 所以B 1C ＝1，所以在△ACB 1中，AB 1=√2，B 1C ＝1，AC ＝1，所以AB 12=AC 2+B 1C 2，所以AC ⊥B 1C ，又因为在三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1 中，AC ∥A 1C 1，所以A 1C 1⊥B 1C ， （2）解：连接AB 1，A 1B 交于点O ，连接BC 1，连接CO ．在边长都为1的正方形A 1ABB 1中，O 是AB 1的中点，又因为B 1C ＝AC ＝1，所以CO ⊥AB 1， 因为四边形B 1BCC 1边长都为1，所以B 1C ⊥BC 1，由（1）知B 1C ⊥A 1C 1，又因为A 1C 1∩BC 1＝C 1，A 1C 1，BC 1⊂平面A 1BC 1，所以B 1C ⊥平面 A 1BC 1因为A 1B ⊂平面A 1BC 1，所以B 1C ⊥A 1B ，因为在边长都为1的四边形A 1ABB 1中，A 1B ⊥AB 1，又因为AB 1∩B 1C ＝B 1，AB 1，B 1C ⊂平面AB 1C ，所以A 1B ⊥平面 AB 1C ， 因为CO ⊂平面AB 1C ，所以CO ⊥A 1B ，又因为A 1B ∩AB 1＝O ， A 1B ，AB 1⊂平面A 1ABB 1，所以CO ⊥平面A 1ABB 1， 所以∠CBO 为直线BC 与平面ABB 1A 1所成的角．在边长都为1的四边形A 1ABB 1中，∠ABB 1=π2，所以BO =√22． 因为BC ＝1，所以cos ∠CBO =√22，所以∠CBO =π4， 所以直线BC 与平面ABB 1A 1所成角的大小为π4．22．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，且焦距为2√3，椭圆C 的上顶点为B ，且BF 1→•BF 2→=−2． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过点A （2，﹣1），且与椭圆C 交于M ，N 两点（不与B 重合），直线BM 与直线BN 分别交直线x ＝4于P ，Q 两点．判断是否存在定点G ，使得点P ，Q 关于点G 对称，并说明理由． 解：（1）已知椭圆C 的焦距为2√3， 所以2c ＝2√3，①因为椭圆C 的上顶点为B ，且BF 1→•BF 2→=−2， 所以b 2﹣c 2＝﹣2，② 又a 2＝b 2+c 2，③联立①②③，解得a ＝2，b ＝1， 则椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；（2）不妨设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣2）﹣1，M （x 1，y 1） N （x 2，y 2），联立{y =k(x −2)x 24+y 2=1，消去y 并整理得（4k 2+1）x 2﹣8k （2k +1）x +16k （k +1）＝0， 由韦达定理得x 1+x 2=8k(2k+1)4k 2+1，x 1x 2=16k(k+1)4k 2+1，易知直线BM 的方程为y =y 1−1x 1x +1， 所以y P =4(y 1−1)x 1+1， 同理得y Q =4(y 2−1)x 2+1， 则y P +y Q =4(y 1−1)x 1+1+4(y 2−1)x 2+1 =2+4[2k −2(k +1)x 1+x2x 1x 2]=2+4[2k −2(k +1)8k(2k+1)16k(k+1)]=−2，故存在G （4，﹣1），使得P ，Q 关于点G （4，﹣1）对称．。
南京师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷(解析版)
南京师大附中2023—2024学年度第1学期高二年级期中考试数学试卷注意事项：1.本试卷共4页，包括单选题（第1题～第8题）、多选题（第9题～第12题）、填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）四部分.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.2.答题前，请务必将自己的姓名、班级、学号写在答题纸的密封线内.试题的答案写在答题纸上相应题目的答题区域内.考试结束后，交回答题纸.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若连续抛两次骰子得到的点数分别是m ，n ，则点(),P m n 在直线26x y −=上的概率是（）A.13B.14C.112 D.118【答案】C 【解析】【分析】利用古典概型及直线方程计算即可.【详解】由题意可知抛掷两次骰子得出的点数有()()()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,1,2,2，()()()()()()()()()()()()()()2,3,2,4,2,5,2,6,3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6,4,1,4,2,4,3,4,4,()()()()()()()()()()()()()()4,5,4,6,5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6,6,1,6,2,6,3,6,4,6.5,6,6共36种结果，即点(),P m n 有36个.而满足在26x y −=上的有()()()4,2,5,4,6,63种，故其概率为313612=.故选：C2.设m 为实数，已知直线1l ：220mx y +−=，2l ：()5350x m y +−−=，若12//l l ，则m =（ ）A.5− B.2C.2或5− D.5或2−【答案】D 【解析】【分析】根据两直线平行的充要条件得到方程，求出m 的值，再代入检验即可.【详解】因为直线1l ：220mx y +−=与直线2l ：()5350x m y +−−=平行， 所以()325m m −=×，解得2m =−或5m =，当2m =−时直线1l ：10x y −+=与直线2l ：10x y −−=平行，符合题意； 当5m =时直线1l ：5220x y +−=与直线2l ：5250x y +−=平行，符合题意. 综上可得：2m =−或5m =. 故选：D3. 若双曲线22221x y a b −=（0a >，0b >）的右焦点(),0F c，则b c =（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】利用点到直线的距离公式及双曲线的性质计算即可.【详解】易知双曲线22221x y a b−=的一条渐近线为b y x a =，故(),0F c到其距离为d b ==，所以b c =. 故选：A4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点()3,0A ，动点(),P x y 满足2PA PO=，则动点P 的轨迹与圆()()22111x y −+−=的位置关系是（ ）A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切【答案】C 【解析】【分析】利用已知条件列出方程，化简可得点P 的轨迹方程为圆，再判断圆心距和半径的关系即可得解.【详解】由2PAPO=，得2PA PO =，()2214x y ++=， 表示圆心为(1,0)−，半径为2R =的圆，圆()()22111x y −+−=的圆心为(1,1)为圆心，半径1r =，，满足2121−<<+，所以两个圆相交. 故选：C.5. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若634S S =，则96S S =（ ） A.32B. 4C.94D.116【答案】C 【解析】【分析】由已知条件利用等差数列前n 项和公式推导出12d a =，由此能求出96S S 的值 【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， ∵等差数列{}n a 前n 项和为n S ，634S S =， ∴11656243232a d a d×+=×+，整理得12d a =， ∴1916119899369265615462a d S a d S a d a d ×++===×++．故选：C .6. 已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若12OA OB ⋅=−,则抛物线C 的方程为（ ） A. x 2＝8y B. x 2＝4y C. y 2＝8xD. y 2＝4x的【答案】C 【解析】 【分析】设抛物线方程为22,(0)y px p =>,直线方程为2px my =+再联立,利用韦达定理表示12OA OB ⋅=− 进而求得抛物线方程即可.【详解】由题意,设抛物线方程为22,(0)y px p =>,直线方程为2p x my =+,联立222y px p x my ==+消去x 得2220y pmy p −−=,显然方程有两个不等实根.设A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2）,则y 1＋y 2＝2pm ,y 1y 2＝－p 2,得222221212121223444y y p OA OB x x y y y y p p p ⋅=+=+=−=− , 故23124p −=−得p ＝4（舍负）,即抛物线C 的方程为y 2＝8x . 故选：C【点睛】本题主要考查了联立直线与抛物线方程利用韦达定理求解平面向量数量积的问题,属于中等题型.7. 设m 为正实数，椭圆C ：22213x y m+=长轴的两个端点是1A ，2A ，若椭圆C 上存在点P 满足12012A PA ∠=°，则m 的取值范围是（ ） A. ][()0,19,∞∪+ B. (][)0,13,∪+∞C. ([)4,+∞D. ([)9,+∞【答案】B 【解析】【分析】当P 位于短轴的端点时，12A PA ∠取最大值，要使椭圆上存在点P 满足12012A PA ∠=°，则此时12120A PA ∠≥°，则160A PO ∠≥°，讨论焦点在x 轴和在y 轴上两种情况即可求解.【详解】因为m 为正实数，则若椭圆焦点在x 轴上，即203m <<，即0m <<则当P 位于短轴的端点时，12A PA ∠取最大值，要使椭圆上存在点P 满足12012A PA ∠=°，则此时12120A PA ∠≥°，则160A PO ∠≥°，则1tan tan 60A PO ∠≥ ，解得01m <≤；若椭圆焦点在y 轴上，即23m >，即m >时，则当P 位于短轴的端点时，12A PA ∠取最大值，要使椭圆上存在点M 满足12012A PA ∠=°，则此时12120A PA ∠≥°，则160A PO ∠≥°，则1tan tan 60A PO ∠≥ ，解得3m ≥， 综上，m 的取值范围是(][)0,13,∪+∞ 故选：B.8. 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作ABC ，满足5AB AC ==且()1,3B −，()4,2C −，若ABC 的“欧拉线”与圆M ：()2223x y r −+=（0r >）相切，则下列结论正确的是（ ）A. 圆M 上点到直线10x y −+=的最小距离为B. 圆M 上点到直线10x y −+=的最大距离为C. 点P 在圆M 上，当PBA ∠最小时，PB =D. 点P 在圆M 上，当PBA ∠最大时，PB =【答案】C 【解析】【分析】先根据定义确定ABC 的“欧拉线”方程，再根据直线与圆相切求出圆M ，由圆与直线的位置关系及平行线的距离一一判定选项即可.【详解】由题意可知BC =所以ABC 是以A 为顶点的等腰三角形，则其欧拉线为BC 的中垂线，易知32114BC k +==−−−，BC 的中点为31,22，故ABC 的“欧拉线”方程为：13122y x y x −=−⇒=−，可设(),1A a a −，由51AB AC a ==⇒=−或4a =， 即()1,2−−A 或()4,3A ，又圆M ：()2223x y r −+=，可知圆心()3,0M ，根据圆M 与欧拉线相切可得()3,0M 到1y x =−的距离为d r ==，即圆M ：()2232x y −+=，对于A 、B 选项，显然10x y −+=与1y x =−平行，两平行线的距离为d ，故圆M 上的点到10x y −+=的距离最大为2r d +，最小值为d =故A 、B 均错误；对于C 、D 选项，易知当点P 为直线PB 与圆M 的切点时PBA ∠取得最值，此时PB =，故D 错误，C 正确.故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知一组样本数据2，4，4，5，7，8，则这组数据的（ ） A. 极差为6 B. 众数为4C. 方差为4D. 中位数为5【答案】ABC 【解析】【分析】根据平均数、方差、众数、中位数的定义计算可得. 【详解】依题意这组数据的众数为4，极差为826−=，中位数为454.52+=，平均数为()124457856+++++=， 所以方差为()()()()()()222222125454555758546−+−+−+−+−+−=. 故选：ABC10. 下列化简正确的是（ ）A. 1sin75cos754°°=B.1cos 4040sin 802°+°=°C. 1sin10cos 20cos 408°°°= D. tan1052°=−【答案】ACD 【解析】【分析】利用二倍角公式、诱导公式、两角和的正切公式，结合特殊角的三角函数值依次判断即可. 【详解】对于A ，根据二倍角的正弦公式可得111sin75cos752sin75cos75sin150224°°=⋅°°=°=，A 正确；对于B ，1cos 4040sin 30cos 40cos30sin 40sin 70sin 802°+°=°°+°°=°≠°， 所以B 错误；对于C ，8cos10sin10cos 20cos 40sin 801sin10cos 20cos 408cos108sin 808°°°°°°°°===°°，所以C 正确；对于D ，()tan 60tan 45tan105tan 604521tan 60tan 45+°=+°===−−， 所以D 正确； 故选：ACD11. 若抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，其准线与x 轴交于点A .过点F 作直线l 与抛物线交于点,M N ，且MF FN λ=（1λ>），直线AM 与抛物线的另一交点为E （点E 在点M 的左边）.下列结论正确的是（ ） A. 直线lB. tan MAF ∠C. MAF NAF ∠=∠D. AE AN =【答案】CD 【解析】【分析】设直线l 的方程为2px my =+，()()1122,,,M x y N x y ，根据MF FN λ= （1λ>），可得12,y y 的关系，联立方程，利用韦达定理求出1212,y y y y +，进而可求出12,y y ，从而可求出m ，即可判断A ；求出M 点的坐标即可判断B ；根据0AM AN k k +=是否成立即可判断C ；根据C 选项结合抛物线的对称性即可判断D. 【详解】,0,,022p p F A−， 设直线l 的方程为2px my =+，()()1122,,,M x y N x y ， 则1122,,,22p p MF x y FN x y=−−=−，因为MF FN λ=（1λ>），所以121222p p x x y y λλ −=− −= ，所以()121212p x x y y λλλ=+−=− ， 联立222p x my y px=+ = 得2220y pmy p −−=，则21212,2y y pm y y p +==−， 所以()12212y y y pm λ+=−=，所以2122,11pm pm y y λλλ==−−−， 所以2122211pm pm y y p λλλ=−⋅=−−−，解得1m =即直线l的斜率为，故A 错误； 由121pm y λλ=−−，得()()()()222222222112241212422211p m p y pm p x ppλλλλλλλλλ−⋅−=====−−，由1m =，得121p y λλ =−⋅=± −即,2p M λ ±，所以MA k ==，故B 错误；1212121222AM AN y y y y k k pp my p my p x x +=+=+++++()()()()()22121212122220my y p y y mp mp my p my p my p my p ++−+==++++， 所以AM AN k k =−，所以直线,AM AN 关于x 轴对称，所以MAF NAF ∠=∠，故C 正确；由题意可得,E N 都在M 的左侧，且直线,AM AN 关于x 轴对称， 根据抛物线的对称性可得AE AN =，故D 正确. 故选：CD.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式； （5）代入韦达定理求解12. 已知曲线C：12yx +是双曲线，下列说法正确的是（ ） A. 直线0x =是曲线C 的一条渐近线 B. 曲线CC. (为曲线C 的其中一个焦点D. 当t 为任意实数时，直线l ：yx t =+与曲线C 恒有两个交点【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，根据对勾函数的性质判断；B选项根据对勾函数的性质得到y x =是双曲线的另外一条渐近线，然后联立123y x yx ==+得到顶点坐标，即可得到实轴长；C选项，根据渐近线的特点得.到虚轴长，即可得到焦距，然后求焦点坐标即可；D 选项，根据渐近线的性质判断.【详解】根据对勾函数的性质可得0x =是双曲线的一条渐近线，故A 正确； 当x →+∞时，双曲线的方程趋近于y x =，所以y x =是双曲线的另外一条渐近线，倾斜角为30°，所以y =是双曲线的一条对称轴，联立123y x y x ==+得32x y = =或32x y==−，所以点32和32−，故B 错； 如图，设双曲线的一个焦点为F ，过双曲线的一个顶点A 作AB垂直y =交0x =于点B ， 30AOB ∠=°，OA =2，焦距为4，即2OF =，所以(F ，故C 正确；因为y x =，0x =为渐近线方程，所以yx t =+与双曲线有两个交点，故D 正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：对勾函数(),0by ax a b x=+>的渐近线方程：0x =；y bx =. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 过直线4250x y ++=与3290x y −+=的交点，且垂直于直线210x y ++=的直线方程是______. 【答案】11202x y −+= 【解析】【分析】首先求出两直线的交点坐标，设所求直线方程为20x y n −+=，代入交点坐标求出n 的值，即可得解.【详解】由42503290x y x y ++= −+= ，解得232x y =− =，所以直线4250x y ++=与3290x y −+=的交点为32,2−， 设所求直线方程为20x y n −+=，则()32202n ×−−+=，解得112n =， 所以所求直线方程为11202x y −+=. 故答案为：11202x y −+= 14. 已知椭圆2212516x y +=的右焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴上方．若线段PF 的中点M 在以原点O 为圆心，||OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______________．【答案】−. 【解析】【分析】设椭圆得左焦点为F ′，连接,OM PF ′，根据线段PF 的中点M 在以原点O 为圆心，||OF 为半径的圆上，可得OMOF c ==，从而可求得,PF PF ′，在PFF ′ ，利用余弦定理求得PFF ′∠的余弦值，从而可得出答案.【详解】解：设椭圆得左焦点F ′，连接,OM PF ′，由椭圆2212516x y +=得，5,4,3a b c ===， 则()()3,0,3,0F F ′−，26FF c ′==，210PF PF a ′+==， 因为点M 在以原点O 为圆心，||OF 为半径的圆上， 所以3OM OF c ===，因为,O M 分别为,FF PF ′得中点，所以26PF OF ′==，所以104PF PF ′=−=， 所以1636361cos 2463PFF+−′∠==××，则sin PFF ′∠ 为所以tan PFF =′∠，因为点P 在椭圆上且在x 轴上方，则直线PF 的倾斜角与PFF ′∠互补，所以直线PF 的斜率−.故答案为：−.15. 设ω是正实数，已知函数()sin cos f x x x ωω=−在区间()0,π上恰有两个零点，则ω的取值范围是______. 【答案】59,44【解析】【分析】先用辅助角公式化简函数式，再根据三角函数的性质计算即可.【详解】由()πsin cos 4f x x x x ωωω=−−，由()πππ0,π,π444x x ωω∈⇒−∈−−， 因为函数()sin cos f x x x ωω=−在区间()0,π上恰有两个零点， 则π59ππ2π,444ωω <−≤⇒∈ 故答案为：59,4416. 双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线22:14x C y −=的左焦点为F ，过双曲线C 右支上任意一点作其切线l ，过点F 作直线l 的垂线，垂足为H ，则点H 的轨迹方程为______.【答案】224(x y +=其中x > 【解析】【分析】由双曲线的光学性质，得到AH 为12F AF ∠的平分线，延长FH 交2AF 于点E ，根据中位线的性质，得到222111()()222OH F E AE AF AF AF a ==−=−=，结合圆的定义和双曲线的几何性质，即可求解.【详解】由双曲线22:14x C y −=，可得2a =，其右焦点为2F ，且渐近线方程为12y x =±，设双曲线C 右支上任意一点A ，过点F 作直线l 的垂线，垂足为H ， 则过点A 的切线为AH ，根据双曲线的光学性质，可得AH 为12F AF ∠的平分线，延长FH ，设FH 的延长线与2AF 的延长线交于点E ，如图所示， 则AH 垂直平分FE ，即点H 为FE 的中点，又因为O 的中点，所以222111()()2222OH F E AE AF AF AF a ==−=−==， 可得点H 2为半径的圆， 可得点H 的轨迹方程为224x y +=，联立方程组22124y x x y =± +=，可得x =， 因为A 在双曲线的右支上，且AH 为双曲线的切线，则12AH k ≥， 所以点H 的轨迹方程为224(x y +=其中x >. 故答案为：224(x y +=其中x >.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 某中学举办科技文化节活动，报名参加数学史知识竞赛的同学需要通过两轮选拔.第一轮为笔试，若笔试不合格则不能进入下一轮选拔；若笔试合格，则进入第二轮现场面试.最终由面试合格者代表年级组参加全校的决赛，两轮选拔之间相互独立.现有甲、乙、丙三名学生报名参加本次知识竞赛，假设甲、乙、丙三名考生笔试合格的概率分别是23，12，34，面试合格的概率分别是12，23，13. （1）求甲、乙两位考生中有且只有一位学生获得决赛资格的概率； （2）求三人中至少有一人获得决赛资格的概率. 【答案】（1）49. （2）23. 【解析】【分析】（1）设事件A 表示“甲考生获得决赛资格”，设事件B 表示“乙考生获得决赛资格”，根据题意可判断两事件相互独立.先根据两轮选拔之间相互独立求出()P A 、()P B ；再根据互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率计算公式即可求出结果.（2）设事件C 表示“丙考生获得决赛资格”，由题意可知事件A 、B 、C 相互独立.借助对立事件的概率计算公式可得结果. 【小问1详解】设事件A 表示“甲考生获得决赛资格”，设事件B 表示“乙考生获得决赛资格”，由题意可知事件A 、B 相互独立.因为两轮选拔之间相互独立 所以()211323P A =×=，()121233P B =×=. 则甲、乙两位考生中有且只有一位学生获得决赛资格的概率为：()()()()()()()111141133339P P AB AB P AB P AB P A P B P A P B =+=+=+=×−+−×=所以甲、乙两位考生中有且只有一位学生获得决赛资格的概率49. 【小问2详解】设事件C 表示“丙考生获得决赛资格”，由题意可知事件A 、B 、C 相互独立. 则()314431P C =×=. 因为事件“三人中至少有一人获得决赛资格”的对立事件是“三人都没有获得决赛资格” 所以三人中至少有一人获得决赛资格的概率为()()()()11121111113343P P ABC P A P B P C =−=−=−−−−= 所以三人中至少有一人获得决赛资格的概率23. 18. 设等差数列{}n a 前n 项和为n S .已知262a a +=，918S =−. （1）求n a ；（2）当n 为何值时，n S 最小？并求此最小值.【答案】（1）133na n =− （2）8，4 【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由262a a +=，918S =−求解； （2）由()()()1233,71223312323,82nn n n S n n n n n −≤ =−= −≥ ，分7n ≤，8n ≥，利用二次函数的性质求解. 【小问1详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，又262a a +=，918S =−， 所以11262,93618a d a d +=+=−， 解得110,3a d ==−，所以()11133n a a n d n =+−=−；的【小问2详解】由（1）得()()()1233,71223312323,82nn n n S n n n n n −≤ =−= −≥ ， 当7n ≤时，()2132352923322624n T n n n =−=−−+， 当13,N n n ≤≤∈时，n T 递增，当47,N n n ≤≤∈时，n T 递减，又1710,7T T ==， 所以n T 的最小值为7；当8n ≥时，()2132352932322624n T n n n =−=−−，n T 在[8,)+∞上递增，又84T =， 所以n T 的最小值为4， 综上：n S 的最小值为4.19. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且满足()sin sin sin sin b B C a A c C −=−. （1）求角A 的值；（2）若a =，且ABC的面积为ABC 的周长. 【答案】（1）π3（2）6+ 【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行边角互换，然后利用余弦定理求A ；（2）根据三角形面积公式得到8bc =，根据余弦定理得到2220b c +=，然后求周长即可. 【小问1详解】由正弦定理得()22b bc a c −=−，整理得222b c a bc +−=，所以2221cos 222b c a bc A bc bc +−===， 因为()0,πA ∈，所以π3A =. 【小问2详解】因为ABC的面积为1sin 2bc A=，则8bc =， 由余弦定理得22112cos 22b c A bc+−==，则2220b c +=， 所以()222236b c b c bc +=++=，则6b c +=， 所以ABC的周长为6+.20. 已知抛物线C ：22y px =()0p >的焦点为F ，点()2,A a 在抛物线C 上，且3AF =. （1）求抛物线C 的方程，并写出焦点坐标；（2）过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，若点()1,1B −满足90MBN ∠=°，求直线l 的方程.【答案】（1）24y x =，焦点为()1,0F（2）220x y −−=【解析】【分析】（1）首先表示出抛物线的准线方程，根据抛物线的定义及焦半径公式求出p ，即可求出抛物线方程；（2）设直线l 的方程为1x my =+，()11,M x y 、()22,N x y ，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，由0BM BN ⋅=得到方程，解得即可. 【小问1详解】抛物线C ：22y px =()0p >准线方程为2px =−， 因为点()2,A a 在抛物线C 上，且3AF =， 所以232pAF =+=，解得2p =， 所以抛物线方程为24y x =，焦点为()1,0F . 【小问2详解】由（1）可知抛物线的焦点()1,0F ，显然直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为1x my =+，()11,M x y 、()22,N x y ， 的由214x my y x =+ =，消去x 整理得2440y my −−=，所以216160m ∆=+>，则124y y m +=，124y y =−， 所以()21212242x x m y y m +=++=+，()()()2121212121111x x my my m y y m y y =++=+++=，又()1,1B −，所以()111,1BM x y =+− 、()221,1BN x y =+− ， 因为90MBN ∠=°，所以()()()()211211110BM BN x x y y ⋅=+++−−=，即()()12121212110x x x x y y y y ++++−++=， 即214214410m m +++−−+=，解得12m =， 所以直线l 的方程为112x y =+，即220x y −−=.21. 已知椭圆C ：22154x y +=和圆O ：229x y +=，点P 是圆O 上的动点，过点P 作椭圆的切线1l ，2l 交圆O 于A ，B .（1）若点P 的坐标为()0,3，证明：直线12l l ⊥； （2）求线段AB 的长. 【答案】（1）证明见解析 （2）6 【解析】【分析】（1）设切线方程为3ytx =+，联立方程，再根据Δ0=结合韦达定理证明121t t =−即可； （2）分过点P 的一条切线斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，联立方程，再根据Δ0=结合韦达定理证明12l l ⊥即可得出答案. 【小问1详解】由题意切线的斜率存在，设切线方程为3ytx =+， 联立223154ytx x y =+ +=，消y 得(225430250t x tx +++=， 则()222900100544004000t t t ∆=−+=−=， 所以121t t =−，即121l l k k ⋅=−， 所以12l l ⊥； 【小问2详解】设(),P m n ，则229m n +=，椭圆C ：22154x y +=2，当过点P的一条切线斜率不存在时，不妨取这条切线方程为x =此时m =229n +=，解得2n =±，而直线2y =±与椭圆C 相切，所以当过点P 的一条切线斜率不存在时，12l l ⊥，当过点P的切线斜率存在时，则m ≠，设切线方程为()y nk x m −=−， 联立()22154y n k x m x y −=− += ，消y 得()()()22254105200k x k n km x n km ++−+−−=， 则()()()2222100205440k n km k n km ∆=−−+−−= ， 化简得()2225240m k mnk n −++−=， 所以()2221222249451555m n m k k m m m−−−−====−−−−， 所以12l l ⊥，综上所述，12l l ⊥，所以线段AB 为圆O 的直径， 所以6AB =.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22. 已知点()2,1A ，()2,1B −在双曲线C ：2212x y −=上，过点()0,3D −作直线l 交双曲线于点E ，F （不与点A ，B 重合）.证明：（1）记点(0,2P +，当直线l 平行于x 轴，且与双曲线的右支交点为E 时，P ，A ，E 三点共线； （2）直线AE 与直线BF 的交点在定圆上，并求出该圆的方程.【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析；()2225x y +−=.【解析】【分析】（1）根据题意求出点E 坐标，求出直线AE 、AP 的斜率相等，得证.（2）根据题意可求出BGA ∠为定值，AB 也为定值，所以G 在过,A B 的圆上，根据条件确定圆心和半径即可.【小问1详解】由题意，当直线l 平行于x 轴时，l 方程为=3y −，且与双曲线的右支交点为E ，则()22313)2x E −−=⇒−， AE的斜率AE k == AP的斜率AP AE k k =， 所以P ，A ，E 三点共线.【小问2详解】由题知直线EF 斜率存在，且过()0,3D −，设:3EF y kx =−，()()1122,,,E x y F x y 与双曲线2212x y −=联立得： ()221212200k x kx −+−=，2120−≠k 且280160k ∆=−> 则1212222012,2121k x x x x k k =+=−−， 设直线AE 与直线BF 的交点为G ，斜率分别为12,k k ， 则()()()()()211212121221121212121114281622tan 111124412122y y k x x x k k x x BGA y y k k k x x k x x x x x −−−−+−+−+−∠===−−++−+++++⋅+−2122128481681224248412k k x k k k x k −−+−−==−+−+−，tan 2sin BGA BGA ∠=−⇒∠ 在BGA △中，sin BGA ∠，AB 4=， 由正弦定理得BGA △外接圆半径2sin AB R BGA ==∠，所以G 在过,A BH ， 因为()2,1A ，()2,1B −，H 在线段AB 的中垂线上， 所以H 在y 轴上，设(0,),1H t t >， 则由()()2222151132AB R t t t =+−⇒=+−⇒=或0=t 舍， 所以定圆方程为()2225x y +−=.。
天津市2023-2024学年高二上学期期中数学试卷含答案
第Ⅰ卷（答案在最后）注意事项：1．每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共12题，每题5分，共60分。
在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
一、单选题(每题5分，共60分）1．直线的倾斜角为（）A．B．C．D．2．已知向量，，且，则的值为（）A．4B．-4C．5D．-53．如图，在平行六面体中，，分别在棱和上，且，．若，则（）A．B．0C．D．4．已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（）A．1B．3C．9D．815．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆短轴的一个端点，且，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．已知椭圆，直线l：（），直线l与椭圆的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．不确定7．在日常生活中，可以看见很多有关直线与椭圆的位置关系的形象，如图，某公园的一个窗户就是长轴长为4米，短轴长为2米的椭圆形状，其中三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段，则该窗户的最短的竖直窗棂的长度为（）A．B．C．2D．38．如图，在正方体中，为的中点，则异面直线与所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°9．椭圆的弦被平分，则此弦所在的直线方程为（）A．B．C．D．10．已知圆心在轴上的圆与直线相切，且截直线所得的弦长为，则圆的方程为（）A．B．或C．D．或11．已知圆：，过直线：上一点P向圆作切线，切点为Q，则的最小值为（）A．5B．C．D．12．设分别是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，若在直线上存在点P，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．第ⅠⅠ卷二．填空题（每题5分，共30分）13．圆与圆的公共弦所在的直线方程为．14．已知点，则直线的斜率的大小为.15．过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为. 16．已知椭圆的三个顶点构成等边三角形，则椭圆的离心率是. 17．椭圆上的点P到直线的最大距离是,距离最大时点P坐标为.18.在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，若圆上存在动点满足，则的取值范围是．三．解答题（共60分）19.已知直线和圆．(1)判断直线与圆的位置关系；若相交，求直线被圆截得的弦长；(2)求过点且与圆相切的直线方程．20.在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点．(1)求直线与平面所成角的正弦值；(2)求直线FC到平面的距离．21.设椭圆的左右顶点分别为,左右焦点.已知，.(1)求椭圆方程及离心率.(2)若斜率为1的直线交椭圆于A,B两点，与以为直径的圆交于C,D两点.若,求直线的方程.22.．已知椭圆：：的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为.，是椭圆的两个焦点.(1)求椭圆的方程；(2)设为E的左顶点，过点作两条互相垂直的直线分别与E交于两点，证明：直线经过定点，并求这个定点的坐标．(3)设是椭圆上一点，直线与椭圆交于另一点，点满足：轴且，求证：是定值.参考答案：1．D【分析】利用直线斜截式可得其斜率，再利用斜率与倾斜角的关系即可得解.【详解】依题意，设直线的倾斜角为，则，因为的斜率为，所以，则.故选：D.2．C【分析】向量垂直时，数量积等于零，向量数量积用坐标进行表示即可.【详解】因为向量，，且，所以，即，则，故选：C.3．D【分析】根据题意，结合向量加法与数乘运算，即可求解.【详解】因为．所以，，，故．故选：D.4．A【分析】根据条件，利用椭圆标准方程中长半轴长a，短半轴长b，半焦距c的关系列式计算即得.【详解】由椭圆的一个焦点坐标为，则半焦距c=2，于是得，解得，所以的值为1.故选：A5．C【分析】根据余弦定理即可求解.【详解】由题意可知，，在中，由余弦定理得，化简得，则，所以，故选：C.6．C【分析】由题得直线过定点（0，1），而该定点在椭圆内部，所以直线和椭圆相交.【详解】由题意知l：（）恒过点，因为，所以点（0,1）在椭圆内部，所以直线l与椭圆相交．故选：C7．B【分析】根据题意，建立坐标系得椭圆的标准方程为，再结合题意计算即可得答案.【详解】解：根据题意，建立如图所示的坐标系，因为窗户就是长轴长为4米，短轴长为2米的椭圆形状，所以椭圆的标准方程为，因为其中三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段，所以当时，，所以最短窗棂的长度为．故选：B8．D【分析】连接，由已知条件可证得平面，从而可得，由此可得答案【详解】连接，则，因为平面，在平面内，所以，因为，所以平面，因为在平面内，所以，所以异面直线与所成的角为，故选：D【点睛】此题考查求异面直线所成的角，属于基础题9．D【分析】设以A（4，﹣2）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（x1，y1），F（x2，y2），A（4，2）为EF中点，得到x1+x2＝8，y1+y2＝﹣4，利用点差法能够求出中点弦所在的直线方程．【详解】设以为中点的椭圆的弦与椭圆交于，，∵为中点，∴，，把，分别代入椭圆中，得则①－②得，∴，∴，∴以为中点的椭圆的弦所在的直线的方程为，整理得，.故选：D【点睛】本题考查椭圆的中点弦所在的直线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意点差法的合理运用．10．C【分析】由题意设圆的标准方程为，由圆与直线相切得，在由圆截直线的弦长为得，联立解出即可解决问题.【详解】由题设所求圆的圆心为，半径为，标准方程为因为圆与直线相切，所以有圆心到该直线的距离为半径，即：，也即①又圆截直线的弦长为，设圆的圆心为到直线的距离为，所以，由有②联立①②可得：，所以所求得圆的标准方程为故选：C.11．C【分析】当圆心与点P的距离最小，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PQ最小.【详解】如图所示：记圆心到直线：的距离为，则.因为，所以当直线与CP垂直，即时，最小，故.故选：C12．D【分析】利用中垂线的性质列出关于的方程，再转化为关于的方程即可.【详解】由题知，如图所示：设P，F1（－c，0），F2（c，0），由线段PF1的中垂线过点F2得｜PF2｜＝｜F1F2｜，即＝2c，得m2＝4c2－＝－＋2a2＋3c2≥0，即3c4＋2a2c2－a4≥0，得3e4＋2e2－1≥0，解得e2≥，又0＜e＜1，所以≤e＜1.故选：D.13．【分析】两式相减，即可得到两圆公共弦所在的直线方程.【详解】联立，两式相减得.故答案为：14．1【分析】根据两点式求斜率公式即可求解.【详解】直线的斜率为，则直线的斜率为.故答案为：1.15．【分析】方法一：由题意得椭圆的焦点坐标为，，由椭圆定义得，求出即可；方法二：设所求椭圆的标准方程为，由题中条件，列出方程组求解即可；方法三：由条件设所求椭圆的标准方程为，将点P的坐标代入，求解即可.【详解】方法一：由题意得.因此所求椭圆的焦点坐标为，.由椭圆定义得，即，所以.故所求椭圆的标准方程为.方法二：因为所求椭圆与椭圆的焦点相同，所以其焦点在x轴上，且.设所求椭圆的标准方程为，则①.又点在所求椭圆上，所以，即②.由①②得，，故所求椭圆的标准方程为.方法三：由条件设所求椭圆的标准方程为.将点P的坐标代入，得，解得或（舍去）.故所求椭圆的标准方程为.故答案为：.16．【分析】首先确定三个顶点的位置，再根据几何关系，建立方程，即可求离心率.【详解】因为，所以三个顶点应是两个短轴端点，一个长轴端点，即，即，则，得.故答案为：22.第一个空3分，第二个空2分【分析】设与平行且与椭圆相切的直线方程为，联立直线方程和椭圆方程，由判别式等于0求得c的值，把椭圆上的点到直线的最大距离转化为与椭圆的相切的的直线和其平行线间的距离.【详解】设直线与椭圆相切．由消去x整理得.由得.当时符合题意(舍去)．即x+2y+=0与椭圆相切,椭圆上的点到直线的最大距离即为两条平行线之间的距离:【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线和椭圆的关系，体现了数学转化思想方法，解答本题的关键是理解椭圆上的点到直线的最大距离，与这条直线和它平行且与椭圆的相切的直线间的距离的关系.18．【分析】设，根据点到点的位置关系化简可得，再根据圆与圆的位置关系求解即可.【详解】设，因为动点满足，所以，化简得．又动点在圆上，所以圆与圆有公共点，所以，解得．故答案为：19．(1)相交，截得的弦长为2.（6分）(2)或.（7分）【分析】（1）利用点到直线的距离公式以及直线与圆的位置关系求解；（2）利用直线与圆相切与点到直线的距离公式的关系求解.【详解】（1）由圆可得，圆心,半径，圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，直线被圆截得的弦长为.（2）若过点的直线斜率不出在，则方程为，此时圆心到直线的距离为，满足题意；若过点且与圆相切的直线斜率存在，则设切线方程为，即，则圆心到直线的距离为，解得，所以切线方程为，即，综上，过点且与圆相切的直线方程为或.20．(1)；（7分）(2).（8分）【分析】（1）以为原点，所在的直线分别为轴建立空间坐标系，用向量法求出线面角的正弦值作答.（2）由（1）的坐标系，利用向量法求线面距离作答.【详解】（1）在正方体中，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间坐标系，则，，，，，，，于是，，，设平面的法向量为，则，令，得，令直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值是.（2）由（1）知，，，显然，即，而平面，平面，于是平面，因此直线到平面的距离等于点到平面的距离，而点到平面的距离为，所以直线FC到平面的距离是.21.（1）（7分）(2)（8分）22.【详解】（1）由题意可得，得，，椭圆；（4分）（2）由（1）知：；当直线斜率存在时，设，，，由得：，则，解得：，，，，，即，，即，整理可得：，或；当时，直线恒过点，不合题意；当时，直线，恒过定点；当直线斜率不存在且恒过时，即，由得：，，满足题意；综上所述：直线恒过定点.（6分）（3）由题意可得，，设，，，则，由，可得，；直线的方程为，得，与椭圆方程联立，可得，所以，即有，所以．所以，是定值．，从计算出，最后即可证明定值.（6分）。
2023-2024学年江苏省苏州市高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省苏州市高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．直线3x +y ﹣2＝0的方向向量为（ ） A ．（﹣1，3）B ．（1，3）C ．（﹣3，1）D ．（3，1）2．等差数列{a n }中，若2a 3+a 9＝18，则a 2+3a 6的值为（ ） A ．36B ．24C ．18D ．93．与直线3x ﹣4y +5＝0关于y 轴对称的直线方程是（ ） A ．3x +4y ﹣5＝0B ．3x +4y +5＝0C ．3x ﹣4y +5＝0D ．3x ﹣4y ﹣5＝04．经过原点和点（3，﹣1）且圆心在直线3x +y ﹣5＝0上的圆的方程为（ ） A ．（x ﹣5）2+（y +10）2＝125 B ．（x +1）2+（y ﹣2）2＝5C ．（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝5D ．(x −53)2+y 2=2595．设{a n }是公差不为0的无穷等差数列，则“{a n }为递减数列”是“存在正整数N 0，当n ＞N 0时，a n ＜0”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知点P （4，3），点Q 在x 2+y 2＝4的圆周上运动，点M 满足PM →=MQ →，则点M 的运动轨迹围成图形的面积为（ ） A ．πB ．2πC ．3πD ．4π7．等比数列{a n }，满足a 1+a 2+a 3+a 4+a 5＝3，a 12+a 22+a 32+a 42+a 52=15，则a 1﹣a 2+a 3﹣a 4+a 5的值是（ ）A ．3B ．√5C ．−√5D ．58．过点P （2，0）作圆x 2+y 2﹣4y ＝1的两条切线，设切点分别为A ，B ，则△P AB 的面积为（ ） A ．3√158B ．√152C ．5√158D ．√15二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对得5分，选对但不全得2分，选错或不答得0分，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 9．已知直线l ：x +my +m ＝0，若直线l 与连接A （﹣3，2），B （2，1）两点的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角可以是（ ） A ．2π3B ．π2C ．π4D ．π610．设S n ，T n 分别是等差数列{a n }和等比数列{b n }的前n （n ∈N *）项和，下列说法正确的是（ ）A ．若a 15+a 16＞0，a 15+a 17＜0，则使S n ＞0的最大正整数n 的值为15B ．若T n =5n +c （c 为常数），则必有c ＝﹣1C ．S 5，S 10﹣S 5，S 15﹣S 10必为等差数列D ．T 5，T 10﹣T 5，T 15﹣T 10必为等比数列11．已知等比数列{a n }的公比为q ，前n （n ∈N *）项和为S n ，前n （n ∈N *）项积为T n ，若a 1=132，T 5＝T 6，则（ ） A ．q ＝2B ．当且仅当n ＝6时，T n 取得最小值C ．T n ＝T 11﹣n （n ∈N *，n ＜11）D ．S n ＞T n 的正整数n 的最大值为1112．已知圆C ：x 2+y 2＝4，圆M ：x 2+y 2﹣8x ﹣6y +m ＝0（ ） A ．若m ＝8，则圆C 与圆M 相交且交线长为165B ．若m ＝9，则圆C 与圆M 有两条公切线且它们的交点为（﹣3，﹣4） C ．若圆C 与圆M 恰有4条公切线，则m ＞16D ．若圆M 恰好平分圆C 的周长，则m ＝﹣4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卡相应的位置上．13．若{a n }是公差不为0的等差数列，a 2，a 4，a 8成等比数列，a 1＝1，S n 为{a n }的前n （n ∈N *）项和，则1S 1+1S 2+⋯+1S 10的值为 ．14．平面直角坐标系xOy 中，过直线l 1：7x ﹣3y +1＝0与l 2：x +4y ﹣3＝0的交点，且在y 轴上截距为1的直线l 的方程为 ．（写成一般式）15．如图，第一个正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的面积是1，取正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1各边的中点A 2，B 2，C 2，D 2，E 2，F 2，作第二个正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2，然后取正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2各边的中点A 3，B 3，C 3，D 3，E 3，F 3，作第三个正六边形，依此方法一直继续下去，则前n 个正六边形的面积之和为 ．16．已知实数a ，b ，c 成等差数列，在平面直角坐标系xOy 中，点A （4，1），O 是坐标原点，直线l ：ax +2by +3c ＝0．若直线OM 垂直于直线l ，垂足为M ，则线段|AM |的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知直线l 1：2x ﹣（a ﹣1）y ﹣2＝0，l 2：（a +2）x +（2a +1）y +3＝0（a ∈R ）． （1）若l 1⊥l 2，求实数a 的值； （2）若l 1∥l 2，求l 1，l 2之间的距离．18．（12分）已知等差数列{a n }，前n （n ∈N *）项和为S n ，又a 2＝4，S 9＝90． （1）求数列{a n }的通项公式a n ；（2）设b n ＝|9﹣a n |，求数列{b n }的前n 项和T n ． 19．（12分）已知数列{a n }的首项a 1=23，且满足a n−1=2a na n +1． （1）求证：数列{1a n−1}为等比数列；（2）设b n =(−1)n−1a n，求数列{b n }的前2n 项和S 2n ．20．（12分）如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ＝8，AB ，CD 间的距离为4，以线段AB 的中点为坐标原点O ，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，记经过A ，B ，C ，D 四点的圆为圆M ． （1）求圆M 的标准方程；（2）若点E 是线段AO 的中点，P 是圆M 上一动点，满足PO →•PE →≥24，求动点P 横坐标的取值范围．21．（12分）平面直角坐标系xOy 中，直线l ：3x +2y ﹣13＝0，圆M ：x 2+y 2﹣12x ﹣8y +48＝0，圆C 与圆M 关于直线l 对称，P 是直线l 上的动点． （1）求圆C 的标准方程；（2）过点P 引圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，设线段AB 的中点是Q ，是否存在定点H ，使得|QH |为定值，若存在，求出该定点H 的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（12分）记首项为1的递增数列为“W ﹣数列”．（1）已知正项等比数列{a n }，前n （n ∈N *）项和为S n ，且满足：a n +2＝2S n +2． 求证：数列{a n }为“W ﹣数列”；（2）设数列{b n }(n ∈N ∗)为“W ﹣数列”，前n （n ∈N *）项和为S n ，且满足∑b i 3=S n 2(n ∈N ∗)ni=1．（注：∑b i 3=b 13+b 23+⋯+b n 3ni=1） ①求数列{b n }的通项公式b n ； ②数列{c n }(n ∈N ∗)满足c n =b n33bn，数列{c n }是否存在最大项？若存在，请求出最大项的值，若不存在，请说明理由．（参考数据：√2≈1.41，√33≈1.44）2023-2024学年江苏省苏州市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1．直线3x+y﹣2＝0的方向向量为（）A．（﹣1，3）B．（1，3）C．（﹣3，1）D．（3，1）解：根据直线方程3x+y﹣2＝0，可得直线的斜率为﹣3，所以直线的一个方向向量为（1，﹣3），又（1，﹣3）＝﹣（﹣1，3），所以（﹣1，3）也是直线的一个方向向量．故选：A．2．等差数列{a n}中，若2a3+a9＝18，则a2+3a6的值为（）A．36B．24C．18D．9解：设等差数列{a n}的公差为d，2a3+a9＝18，则2（a1+2d）+a1+8d＝3a1+12d＝18，即a1+4d＝6，a2+3a6＝a1+d+3（a1+5d）＝4a1+16d＝4（a1+4d）＝4×6＝24．故选：B．3．与直线3x﹣4y+5＝0关于y轴对称的直线方程是（）A．3x+4y﹣5＝0B．3x+4y+5＝0C．3x﹣4y+5＝0D．3x﹣4y﹣5＝0解：令x＝0，则y=54，可得直线3x﹣4y+5＝0与y轴的交点(0，54)．令y＝0，可得x=−53，可得直线3x﹣4y+5＝0与x轴的交点(−53，0)，此点关于y轴的对称点为(53，0)．∴与直线3x﹣4y+5＝0关于y轴对称的直线经过两点：(0，54)，(53，0)．其方程为：x53+y54=1，化为：3x+4y﹣5＝0．故选：A．4．经过原点和点（3，﹣1）且圆心在直线3x+y﹣5＝0上的圆的方程为（）A．（x﹣5）2+（y+10）2＝125B．（x+1）2+（y﹣2）2＝5C．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5D．(x−53)2+y2=259解：设圆心C（a，5﹣3a），则由所求的圆经过原点和点（3，﹣1），即√a 2+(5−3a)2=√(a −3)2+(5−3a +1)2，求得a =53，可得圆心为（53，0），半径为√a 2+(5−3a)2=53，故圆的方程为（x −53）2+y 2=259． 故选：D ．5．设{a n }是公差不为0的无穷等差数列，则“{a n }为递减数列”是“存在正整数N 0，当n ＞N 0时，a n ＜0”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：因为{a n }是公差不为0的无穷等差数列，若“{a n }为递减数列”，可得{a n }的通项公式为一次函数且一次项系数小于0，一定有a n ＜0，即“{a n }为递减数列”是“存在正整数N 0，当n ＞N 0时，a n ＜0”的充分条件；若“存在正整数N 0，当n ＞N 0时，a n ＜0”，设通项公式为a n ＝pn +q ，则p ＜0，n ∈N +， 即{a n }为递减数列，所以“{a n }为递减数列”是“存在正整数N 0，当n ＞N 0时，a n ＜0”的必要条件， 综上所述：“{a n }为递减数列”是“存在正整数N 0，当n ＞N 0时，a n ＜0”的充要条件． 故选：C ．6．已知点P （4，3），点Q 在x 2+y 2＝4的圆周上运动，点M 满足PM →=MQ →，则点M 的运动轨迹围成图形的面积为（ ） A ．πB ．2πC ．3πD ．4π解：设M （x ，y ），点P （4，3），点M 满足PM →=MQ →， 可得Q （2x ﹣4，2y ﹣3）， 点Q 在x 2+y 2＝4的圆周上运动， 可得（2x ﹣4）2+（2y ﹣3）2＝4， 即（x ﹣2）2+（y −32）2＝1，点M 的运动轨迹是以（2，32）为圆心，1为半径的圆，点M 的运动轨迹围成图形的面积为π． 故选：A ．7．等比数列{a n }，满足a 1+a 2+a 3+a 4+a 5＝3，a 12+a 22+a 32+a 42+a 52=15，则a 1﹣a 2+a 3﹣a 4+a 5的值是（ ）A ．3B ．√5C ．−√5D ．5解：设数列{a n }的公比为q ，且q ≠1，则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=a 1(1−q 5)1−q=3①，a 12+a 22+a 32+a 42+a 52=a 12(1−q 10)1−q 2=15②∴②÷①得a 12(1−q 10)1−q 2÷a 1(1−q 5)1−q=a 1(1+q 5)1+q=5，∴a 1﹣a 2+a 3﹣a 4+a 5=a 1(1+q 5)1+q=5． 故选：D ．8．过点P （2，0）作圆x 2+y 2﹣4y ＝1的两条切线，设切点分别为A ，B ，则△P AB 的面积为（ ） A ．3√158B ．√152C ．5√158D ．√15解：由题设，圆的标准方程为x 2+（y ﹣2）2＝5， 圆心为C （0，2），半径r =√5，所以|CP|=2√2，如图所示，切点分别为A ，B ，则|BP|=|AP|=√8−5=√3， 所以sin ∠BPC =|BC||CP|=√52√2，cos ∠BPC =|BP||CP|=32√2，又∠BP A ＝2∠BPC ，所以sin ∠BP A ＝sin2∠BPC ＝2sin ∠BPC cos ∠BPC =2√52√2×32√2=√154，所以S △PAB =12|BP||AP|sin∠BPA =12×√3×√3×√154=3√158． 故选：A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对得5分，选对但不全得2分，选错或不答得0分，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 9．已知直线l ：x +my +m ＝0，若直线l 与连接A （﹣3，2），B （2，1）两点的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角可以是（ ） A ．2π3B ．π2C ．π4D ．π6解：直线l ：x +my +m ＝0，即x +（y +1）m ＝0，故直线l 过定点C （0，﹣1）， A （﹣3，2），B （2，1）， 则k AC =2−(−1)−3−0=−1，k BC =1−(−1)2−0=1， 直线AC 的倾斜角为3π4，直线BC 的倾斜角为π4，直线l 与连接A （﹣3，2），B （2，1）两点的线段总有公共点， 则直线l 的倾斜角范围为[π4，3π4]．故选：ABC ．10．设S n ，T n 分别是等差数列{a n }和等比数列{b n }的前n （n ∈N *）项和，下列说法正确的是（ ） A ．若a 15+a 16＞0，a 15+a 17＜0，则使S n ＞0的最大正整数n 的值为15 B ．若T n =5n +c （c 为常数），则必有c ＝﹣1 C ．S 5，S 10﹣S 5，S 15﹣S 10必为等差数列D ．T 5，T 10﹣T 5，T 15﹣T 10必为等比数列解：令{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝dn +（a 1﹣d ）， 所以{a 15+a 16=2a 1+29d ＞0a 15+a 17=2a 1+30d ＜0，故−292d ＜a 1＜−15d ，且d ＜0，使S n =na 1+n(n−1)2d =d 2n 2+(a 1−d2)n ＞0， 则0＜n ＜1−2a1d ， 而29＜−2a 1d＜30， 即1−2a 1d∈(30，31)，故0＜n ≤30， 所以使S n ＞0的最大正整数n 的值为30，故A 错；令{b n }的公比为q 且q ≠0，则T n =b 1(1−q n )1−q =b 11−q −b 1⋅q n1−q =5n +c （公比不能为1），所以{q =5b 11−q=−1，即c ＝﹣1，故B 对；根据等差、等比数列片段和的性质知：S 5 S 10﹣S 5，S 15﹣S 10必为等差数列，T 5，T 10﹣T 5，T 15﹣T 10必为等比数列，C 、D 对． 故选：BCD ．11．已知等比数列{a n }的公比为q ，前n （n ∈N *）项和为S n ，前n （n ∈N *）项积为T n ，若a 1=132，T 5＝T 6，则（ ）A ．q ＝2B ．当且仅当n ＝6时，T n 取得最小值C ．T n ＝T 11﹣n （n ∈N *，n ＜11）D ．S n ＞T n 的正整数n 的最大值为11 解：根据题意，依次分析选项：对于A ，若T 5＝T 6，则a 6=T6T 5=1，又由a 1=132，则q 5=a6a 1=32，则q ＝2，A 正确；对于B ，由A 的结论，当1≤n ≤5时，a n ＜1，a 6＝1，当n ＞6时，a n ＞1，故当n ＝5或6时，T n 取得最小值，B 错误；对于C ，由A 的结论，a 6＝1，则有a n a 12﹣n ＝（a 6）2＝1， 当n ＜6时，11﹣n ＞n ，则有T 11−n T n =a n +1a n +2……a 10﹣n a 11﹣n ＝1，即T n ＝T 11﹣n ，同理：当6≤n ＜11时，也有T n ＝T 11﹣n ， 故T n ＝T 11﹣n （n ∈N *，n ＜11）成立，C 正确； 对于D ，若S n ＞T n ，即a 1(1−q n )1−q＞a 1a 2a 3……a n ，即2n −125＞2n 2−11n 2，当n ＝12时，S 12=212−125=27−132，T 12＝26，此时S n ＞T n ，D 错误．故选：AC ．12．已知圆C ：x 2+y 2＝4，圆M ：x 2+y 2﹣8x ﹣6y +m ＝0（ ） A ．若m ＝8，则圆C 与圆M 相交且交线长为165B ．若m ＝9，则圆C 与圆M 有两条公切线且它们的交点为（﹣3，﹣4） C ．若圆C 与圆M 恰有4条公切线，则m ＞16D ．若圆M 恰好平分圆C 的周长，则m ＝﹣4解：对于A ，m ＝8时，圆M ：（x ﹣4）2+（y ﹣3）2＝17，则M （4，3），半径r =√17． 而圆C ：x 2+y 2＝4中C （0，0），半径r ＝2，所以|CM |=√42+32=5， 故√17−2＜|CM|＜√17+2，即两圆相交，此时相交弦方程为4x +3y ﹣6＝0， 所以C （0，0）到4x +3y ﹣6＝0的距离d =65，故相交弦长为2×√22−(65)2=165，故A 正确； 对于B ，当m ＝9时，圆M ：（x ﹣4）2+（y ﹣3）2＝16，则M （4，3），半径r ＝4， 类似于A 的分析，可得4﹣2＜|CM |＜4+2，故两圆相交，故B 错误；对于C ，若圆C 与圆M 恰有4条公切线，则两圆相离，可得|CM |＞r +r ′＝2+r ， 而圆M ：（x ﹣4）2+（y ﹣3）2＝25﹣m ，即r =√25−m ，所以{25−m ＞02+√25−m ＜5，解得16＜m ＜25，故C 错误；对于D ，若圆M 恰好平分圆C 的周长，则相交弦所在直线必过C （0，0），两圆方程相减，可得相交弦方程为8x +6y ﹣m ﹣4＝0，将点代入可得m ＝﹣4，故D 正确． 故选：AD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卡相应的位置上．13．若{a n }是公差不为0的等差数列，a 2，a 4，a 8成等比数列，a 1＝1，S n 为{a n }的前n （n ∈N *）项和，则1S 1+1S 2+⋯+1S 10的值为2011．解：设数列{a n }是公差d 不为0的等差数列，a 2，a 4，a 8成等比数列，a 1＝1， 故(a 1+3d)2=(a 1+d)(a 1+7d)，整理得（1+3d ）2＝（1+d ）（1+7d ），解得d ＝1； 故a n ＝1+（n ﹣1）＝n ， 所以S n =1+2+3+...+n =n(n+1)2， 故1S n=2n(n+1)=2(1n −1n+1)；所以1S 1+1S 2+⋯+1S 10=2(1−12+12−13+...+110−111)=2×1011=2011．故答案为：2011．14．平面直角坐标系xOy 中，过直线l 1：7x ﹣3y +1＝0与l 2：x +4y ﹣3＝0的交点，且在y 轴上截距为1的直线l 的方程为 9x +5y ﹣5＝0 ．（写成一般式）解：联立{7x −3y +1=0x +4y −3=0，解得x =531，y =2231，即直线l 1，l 2的交点（531，2231），由题意设l 的方程为：y ＝kx +1，即2231=531k +1，即k =−95，所以直线l 的方程为y =−95x +1， 即9x +5y ﹣5＝0． 故答案为：9x +5y ﹣5＝0．15．如图，第一个正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的面积是1，取正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1各边的中点A 2，B 2，C 2，D 2，E 2，F 2，作第二个正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2，然后取正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2各边的中点A 3，B 3，C 3，D 3，E 3，F 3，作第三个正六边形，依此方法一直继续下去，则前n 个正六边形的面积之和为 4[1−(34)n ] ．解：由题设知：后一个正六边形与前一个正六边形的边长比值为√32， 故它们面积比为34， 所以前n 个正六边形的面积是首项为1，公比为34的等比数列， 所以前n 个正六边形的面积之和S =1−(34)n 1−34=4[1﹣（34）n ]． 故答案为：4[1﹣（34）n ]． 16．已知实数a ，b ，c 成等差数列，在平面直角坐标系xOy 中，点A （4，1），O 是坐标原点，直线l ：ax +2by +3c ＝0．若直线OM 垂直于直线l ，垂足为M ，则线段|AM |的最小值为 √2 ．解：因为实数a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a +c ，所以直线l ：ax +2by +3c ＝0为ax +（a +c ）y +3c ＝0，整理得a （x +y ）+c （y +3）＝0，令{x +y =0y +3=0，解得x ＝3，y ＝﹣3， 即直线l 过定点（3，﹣3），设该点为点P ，如图所示，因为OM ⊥l ，所以点M 在以OP 为直径的圆上，该圆的圆心为Q （32，−32），半径为r =12|OP |=3√22， 所以|AM |≥|AQ |﹣r =√(4−32)2+(1+32)2−3√22=√2，当且仅当A ，M ，Q 三点共线时，等号成立， 所以线段|AM |的最小值为√2．故答案为：√2．四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知直线l1：2x﹣（a﹣1）y﹣2＝0，l2：（a+2）x+（2a+1）y+3＝0（a∈R）．（1）若l1⊥l2，求实数a的值；（2）若l1∥l2，求l1，l2之间的距离．解：（1）因为l1⊥l2，可得2（a+2）﹣（a﹣1）（2a+1）＝0，即2a2﹣3a﹣5＝0，解得a＝﹣1或a=−5 2；（2）因为l1∥l2，则2（2a+1）＝（a+2）[﹣（a﹣1）]，且﹣2（2a+1）＝﹣（a﹣1）×3＝0，解得：a＝0或a＝﹣5（舍），所以直线l1的方程为：2x+y﹣2＝0，直线l2的方程：2x+y+3＝0．所以l1，l2之间的距离d=|−2−3|√2+1=√5．18．（12分）已知等差数列{a n}，前n（n∈N*）项和为S n，又a2＝4，S9＝90．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）设b n＝|9﹣a n|，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）等差数列{a n}，前n（n∈N*）项和为S n，又a2＝4，S9＝90．设首项为a1，公差为d，所以{a1+d=49a1+9×82d=90，解得{a1=2d=2．故a n＝2n；（2）由（1）得：b n＝|9﹣a n|＝|9﹣2n|；当n≤4时，T n=7+9−2n2⋅n=8n−n2，当n≥5时，T n＝（b1+b2+b3+b4）﹣（b5+b6+...+b n）＝32﹣（8n﹣n2）＝n2﹣8n+32．故T n={8n−n2(n≤4的正整数)n2−8n+32(n≥5的正整数)．19．（12分）已知数列{a n}的首项a1=23，且满足a n−1=2a na n+1．（1）求证：数列{1a n−1}为等比数列；（2）设b n=(−1)n−1a n，求数列{b n}的前2n项和S2n．证明：（1）因为a n+1=2a n a n +1，a 1=23，所以a n ≠0， 所以1a n+1=a n +12a n =12a n +12，所以1a n+1−1=12a n −12， 因为a 1=23，1a 1−1=12≠0，1a n+1−11a n −1=12， 所以{1a n −1}是以12为首项，12为公比的等比数列； （2）S 2n =1a 1−1a 2+1a 3−1a 4+⋯+1a 2n−1−1a 2n=(1a 1−1)−(1a 2−1)+(1a 3−1)−(1a 4−1)+⋯+(1a 2n−1−1)−(1a 2n−1)． 又{1a n −1}是以12为首项，−12为公比的等比数列， 所以S 2n =12[1−(−12)2n ]1−(−12)=1−(12)2n 3=4n−13×4n ． 20．（12分）如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ＝8，AB ，CD 间的距离为4，以线段AB 的中点为坐标原点O ，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，记经过A ，B ，C ，D 四点的圆为圆M ．（1）求圆M 的标准方程；（2）若点E 是线段AO 的中点，P 是圆M 上一动点，满足PO →•PE →≥24，求动点P 横坐标的取值范围．解：（1）如图，因为AB ＝2CD ＝8，AB ，CD 间的距离为4，所以A （﹣4，0），B （4，0），C （2，4），D （﹣2，4），则经过A ，B ，C ，D 四点的圆即经过A ，B ，C 三点的圆，又AB 中垂线方程为x ＝0，BC 中点为（3，2），k BC =0−44−2=−2， 所以BC 的中垂线方程为y −2=12(x −3)，即y =12x +12，联立{x =0y =12x +12，得圆心坐标M(0，12)， 则MB =√(4−0)2+(0−12)2=√652，所以圆M 的标准方程为x 2+(y −12)2=654；（2）由已知可得E （﹣2，0），设圆M 上一点P （x ，y ），则PO →=(−x ，−y)，PE →=(−2−x ，−y)，因为PO →⋅PE →≥24，所以﹣x （﹣2﹣x ）+（﹣y ）（﹣y ）≥24，即x 2+y 2+2x ﹣24≥0，所以P 点在圆（x +1）2+y 2＝25上及其外部，联立{x 2+y 2−y −16=0x 2+y 2+2x −24=0， 解得x 1＝2，x 2＝4，所以两圆交点恰为B （4，0），C （2，4），结合图形，当圆M 上一点纵坐标为12时，横坐标为x 3=√652＞4，所以点P 横坐标的取值范围是[2，√652]．21．（12分）平面直角坐标系xOy 中，直线l ：3x +2y ﹣13＝0，圆M ：x 2+y 2﹣12x ﹣8y +48＝0，圆C 与圆M 关于直线l 对称，P 是直线l 上的动点．（1）求圆C 的标准方程；（2）过点P 引圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，设线段AB 的中点是Q ，是否存在定点H ，使得|QH |为定值，若存在，求出该定点H 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）圆M ：（x ﹣6）2+（y ﹣4）2＝4，圆心M （6，4），设圆心C （x 0，y 0），由圆C 与圆M 关于直线l ：3x +2y ﹣13＝0对称，所以{y 0−4x 0−6=233×x 0+62+2×y 0+42−13=0，即{3y 0=2x 03x 02+y 0=0， 解得{x 0=0y 0=0，所以C （0，0），又r ＝2， 故圆C 的方程为x 2+y 2＝4；（2）因为P 是直线l 上的动点，设P(2t ，132−3t)， P A ，PB 分别与圆C 切于A ，B 两点，所以CA ⊥P A ，CB ⊥PB ， 所以A ，B 在以PC 为直径的圆N 上，圆N 的方程x(x −2t)+y[y −(132−3t)]=0， 即x 2+y 2−2tx +(3t −132)y =0，又AB 为圆C 与圆N 的公共弦，由{x 2+y 2−4=0x 2+y 2−2tx +(3t −132)y =0， 作差可得AB 的方程为2tx −(3t −132)y −4=0，即t(2x −3y)+132y −4=0， 令{2x −3y =0132y −4=0，得{x =1213y =813， 设T(1213，813)，则直线AB 过定点T(1213，813)， 又Q 是AB 中点，所以CQ ⊥AB ，所以Q 点是在以CT 为直径的圆上，所以存在点H （613，413）是CT 的中点，使得QH 为定值．22．（12分）记首项为1的递增数列为“W ﹣数列”．（1）已知正项等比数列{a n }，前n （n ∈N *）项和为S n ，且满足：a n +2＝2S n +2． 求证：数列{a n }为“W ﹣数列”；（2）设数列{b n }(n ∈N ∗)为“W ﹣数列”，前n （n ∈N *）项和为S n ，且满足∑b i 3=S n 2(n ∈N ∗)ni=1．（注：∑b i 3=b 13+b 23+⋯+b n 3n i=1） ①求数列{b n }的通项公式b n ；②数列{c n }(n ∈N ∗)满足c n =b n 33b n ，数列{c n }是否存在最大项？若存在，请求出最大项的值，若不存在，请说明理由．（参考数据：√2≈1.41，√33≈1.44）证明：（1）设正项等比数列{a n }的公比为q （q ＞0），因为a n +2＝2S n +2，则a n +3＝2S n +1+2，两式相减得a n +3﹣a n +2＝2a n +1， 即a n+1(q 2−q −2)=a n+1(q −2)(q +1)=0因为a n ＞0，q ＞0，所以q ＝2，a n +2＝2S n +2中，当n ＝1时，有a 3＝2a 1+2，即4a 1＝2a 1+2，解得a 1＝1， 因此数列{a n }为“W ﹣数列”；解：（2）①因为∑b i 3=S n 2(n ∈N ∗)ni=1所以b 13=b 12，得又{b n }为“W ﹣数列”， 所以b 1＝1，且b n +1＞b n ，所以{b n }各项为正数，当n ≥2，∑b i 3=S n 2n i=1①，∑b i 3=S n−12n−1i=1②，①一②得：b n 3=S n 2−S n−12，即b n 3=(S n −S n−1)(S n +S n−1)，所以b n 2=S n +S n−1③，从而b n+12=S n+1+S n ④，④﹣③得：b n+12−b n 2=b n+1+b n ， 由于{b n }为“W ﹣数列”，必有b n +1+b n ＞0，所以b n +1﹣b n ＝1，（n ≥2），又由③知b 22=S 2+S 1，即b 22=2b 1+b 2，解得b 2＝2或b 2＝﹣1（舍）；所以b 2﹣b 1＝1，故b n+1−b n =1(n ∈N ∗)，所以{b n }是以1为首项，公差是1的等差数列，所以b n ＝n ；②c n =n 33n ＞0，所以c n+1c n =13(n+1n)3＜1， 整理得n √33−1≈2.27，所以当n ≥3时，c n +1＜c n ，即c 3＞c 4＞c 5＞⋯，又c 1=13，c 2=89，c 3=1，所以{c n }中存在最大项，为c 3＝1．。
2023-2024学年江苏省苏州中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省苏州中学高二（上）期中数学试卷一、单选题（每题5分，共8题。
选对得5分，选错或不选得0分） 1．已知直线l 的方程为x +√3y −1=0，则直线的倾斜角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．已知等差数列{a n }满足4a 3＝3a 2，则{a n }中一定为零的项是（ ） A ．a 6B ．a 4C ．a 10D ．a 12 3．在等比数列{a n }中，a 2，a 10是方程x 2﹣6x +4＝0的两根，则a 3a 9a 6=（ ） A ．2B ．﹣2C ．﹣2或2D ．3±√54．直线l ：y ＝kx +1与圆O ：x 2+y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“|AB |=√2”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知圆x 2+y 2＝4上有四个点到直线y ＝x +b 的距离等于1，则实数b 的取值范围为（ ） A ．(−√2，√2)B ．[−√2，√2]C ．（﹣2，2）D ．（﹣1，1）6．某家庭打算为子女储备“教育基金”，计划从2021年开始，每年年初存入一笔专用存款，使这笔款到2027年底连本带息共有40万元收益．如果每年的存款数额相同，依年利息2%并按复利计算（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息），则每年应该存入约（ ）万元．（参考数据：1.027≈1.149，1.028≈1.172） A ．5.3B ．4.6C ．7.8D ．67．已知数列{a n }满足a 1=2，a n+1={a n +1，n 为奇数a n +3，n 为偶数，记b n ＝a 2n ﹣1，则（ ）A ．b 1＝3B ．b 2＝8C ．b n +1﹣b n ＝4D ．b n ＝4n +28．已知圆O ：x 2+y 2＝1，点P （x 0，y 0）是直线l ：3x +2y ﹣4＝0上的动点，若圆O 上总存在不同的两点A ，B ，使得直线AB 垂直平分OP ，则x 0的取值范围为（ ） A ．(0，2413)B ．(0，2413]C ．[−1013，2)D ．(−1013，2)二、多选题（每题5分，共4题。
上海市延安中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(无答案)
上海市延安中学2024学年第一学期期中考试高二年级 数学试卷（考试时间：90分钟 满分100分）一、填空题（第1-12题每题3分，共36分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分.）1.若点直线，且直线平面，则________.（填合适的符号）2.已知角的两边和角的两边分别平行且，则_________.3.棱锥的高为9，底面积为162，平行于底面的截面面积为32，则截得的棱台的高为_________.4.如果三棱锥的侧棱与底面所成角都相等，顶点在底面的射影在内，那么是的_____心.5.已知圆柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形，则该圆柱的表面积是______________.6.如图，在长方体中，，，则棱与平面的距离为__________.7.如图，在长方体中，，则直线与直线所成角的余弦值为______________.8.在各项均为正数的等比数列中，前项和为，满足，那么的取值范围是_____.9.在平面上画条直线，假设其中任意2条直线都相交，且任意3条直线都不共点，设条直线将平面分成了个区域。
那么条直线可把平面分成_____个区域10.已知用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正三角形（如图），则中边长与的边长相等的边上的高为_______________11.已知在直三棱柱中，底面为直角三角形，，，，A ∈a a ⊂αA ααβ60α= β=S ABC -S O ABC △O ABC △1111ABCD A B C D -8AB =16AA =11B C 11A BCD 1111ABCD A B C D -122BD CD AA ==1BC 11B D {}n a n n S 12lim n n S a ∞→+=1a n k ()f k 1k +()f k +ABC △A B C '''△ABC △A B C '''△111ABC A B C -90ACB ∠= 6AC =1BC CC ==是上一动点，则的最小值为___________.12.已知两个等比数列，，满足，，，，若满足条件的数列只有一个，则_____________.二、选择题（本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得3分，否则一律得零分）13.以下命题中真命题的是（ ）.A.所有侧面都是矩形的棱柱是长方体B.有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱C.侧棱垂直底面两条棱的棱柱是直棱柱D.各侧面都是全等的矩形的直棱柱是正棱柱14.已知，是空间两条不同的直线，是一个平面，以下结论中，正确的是（ ）.A.如果，，那么一定有B.如果，，那么一定有C.如果，，那么一定有D.如果，，那么一定有15.如图，正方体中，、、、分别为棱、、、的中点，连接、，对空间任意两点、，若线段与线段、都不相交，则称、两点可视，下列选项中与点可视的为（ ）.A.点B.点C.点D.点16.意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，P 1BC 1CP PA +{}n a {}n b ()10a a a =>111b a -=222b a -=333b a -={}n a a =1l 2l α1l α∥2l α∥12l l ∥12l l ⊥2l α⊥1l α⊥12l l ⊥2l α⊥1l α∥1l α⊥2l α∥12l l ⊥1111ABCD A B C D -P Q R S AB BC 1BB CD 1A S 1B D M N MN 1A S 1B D M N 1D P Q R B即，（n≥3，n ∈N ），此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2除后的余数构成一个新数列，则数列的前2026项的和为（ ）A.1350B.676C.1351D.1352三、解答题（共52分）特别注意：本卷解答题用空间坐标表示解题，一律不给分!17.（本题共5分）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为.若，用数学归纳法证明：.18.（本题共10分）已知是圆锥的顶点，是圆锥底面的直径，是底面圆周上一点，，，与底面所成角大小为，过点作截面、，截去部分后几何体如图所示.（1）求原来圆锥的侧面积；（5分）（2）求该几何体的体积.（5分）19.（本题共9分）如图，正四面体中，棱长为，的中点为.求：（1）二面角的大小；（4分）（2）点到平面的距离.（5分）20.（本题共14分）如图，在四棱柱中，四边形为直角梯形，，，.过点作平面，垂足为，，是的中点.121a a ==12n n n a a a --=+{}n b {}n b {}n a 1a d n n S 11a d ==()321,1n i n i aS n N n ==∈≥∑A BD C 2BD =1BC =AC 60 A ABC ACD P ABC -2PA M M BC P --P BMC 1111ABCD A B C D -ABCD AB CD ∥AB CD >90ABC ∠= 1C 1C O ⊥ABCD O OB OC =M 1CC（1）在四边形内，过点作，垂足为.①求证：平面平面；（3分）②判断，，，是否共面，并证明.（5分）（2）在棱上是否存在一点，使得平面?若存在，给出证明；若不存在，请说明理由.（6分）21.（本题共14分）已知数列满足，对任意正整数、都有.（1）求数列的通项公式；（3分）（2）数列满足，求数列的前项和；（5分）（3）在（2）中的，设，求数列中最小项的值.（6分）ABCD O OE AD ⊥E 1OEC ⊥11ADD A O E 1D 1C BC N 1AC ∥OMN {}n a 12a =m p m p m p a a a +=⋅{}()N,1n a n n ∈≥n a {}n b ()31223,121212121n n n b b b b a n N n =++++∈≥++++ {}n b n n B n B 2n n n B c ={}(),1n c n N n ∈≥。
天津市河东区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
天津市河东区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷一、单选题1．从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，则不同的挂法共有（ ） A ．9种B ．6种C ．5种D ．4种2．二项式7(12)x +的展开式的第4项的系数是（ ） A ．8B ．35C ．280D ．5603．某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如下表所示：如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是（ ） A ．815B ．59C ．23D ．16254．下列求导数的运算中正确的是（ ）A ．()2e 2e x x x x '=⋅B ．'=C ．()2[ln 21]21x x '-=- D ．()22ln21x x a '+=⋅+5．已知函数()πsin cos 4f x f x x ⎛⎫=- ⎪'⎝⎭，那么π4f ⎛⎫' ⎪⎝⎭的值为（ ）A1 B 1 C ．2 D ．26．已知随机变量X 的分布列如下表：若()1E X =，离散型随机变量Y 满足21Y X =-，则（ ） A ．0.4a =B ．0.2b =C ．()2E Y =D ．() 3.2D Y =7．已知函数3()1f x x x =-+，则（ ） A ．()f x 有三个极值点B ．()f x 有三个零点C ．点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线8．将一个边长为a 的正方形铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形，做成一个无盖方盒．若要使方盒的容积V 最大，则边长x 为（ ） A ．8aB ．6aC ．4aD ．2a9．设()0,1a ∈，若函数()(1)x xf x a a =++在()0,∞+上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎛ ⎝⎦C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．⎫⎪⎪⎣⎭二、填空题10．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则DX =．11．12⎫⎝的展开式的中间一项为. 12．函数()=2cos f x x x -在区间[]0,π上的最大值为.13．某校高三年级进行了一次高考模拟测试，这次测试的数学成绩()2~90,X N δ，且()600.1P X <=，规定这次测试的数学成绩高于120分为优秀．若该校有1200名高三学生参加测试，则数学成绩为优秀的人数是．14．从0，2，4，6中任取3个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成个没有重复数字的五位数．15．已知函数()21nn f x x x x =+++-L ，其中[)0,,N x n ∈+∞∈且2n ≥，则()2n f '=．三、解答题16．盒中有 4个球，分别标有数字1、1、2、3，从中随机取2个球． (1)求取到2个标有数字1的球的概率；(2)设X 为取出的2个球上的数字之和，求随机变量X 的分布列及数学期望．17．在nax⎛⎝的展开式中，所有项的二项式系数的和为128.(1)求n 的值；(2)若展开式中x 的系数为280-，求实数a 的值.18．已知函数()2ln 2f x x x ax a =+-∈R ,.(1)若函数()y f x =在1x =处取得极大值，求a 的值；(2)设()()()0,4a g x f x a x <=+-，试讨论函数()y g x =的单调性.19．设函数()3e ax bf x x x +=-，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-+．(1)求,a b 的值；(2)求()f x 的极值点的个数．。
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高二年级《数学》期末试卷
时间：80分钟 分值：100分 命题人：
一、填空题（4/×10＝40/） 1.（1）(111)2＝（ ）10
（2）(9)10＝（ ）2
2. 命题P ：三角形的内角和为180°，则 p ：____________
3. 仔细阅读下面的算法： 第一步：n=1, s=1 第二步：n=n+2,s=s ×n 第三步：n=n+2,s=s ×n 第四步：输出n,s
则n=____________，s=_____________
4. 程序框图的三种逻辑结构为_________，_________，__________
5. 阅读下列命题①二进制数的数码有0，1，2
②循环结构中必须有条件结构 ③数组就是用列举法表示的集合
④逻辑式1+A ＝1，其中真命题有________个
6. 已知数组a ＝（－1，3，x ），b ＝（0，2，3），若a ·b
＝0，则x=_______。
7. 工程进度优化的常用措施有：把“串联”工序改为_____________。
8. 条件结构中的判断框有______个进口，________个出口。
9. 做“西红杮蛋汤”有以下几道工序： A 破蛋（lmin ）
B.洗西红杮并切好（2min ）
C.水中放入西红杮加热至沸腾（5min ）
D.沸腾后倒入鸡蛋加热（1min ）
E.搅蛋（1min ）
做这道“西红柿蛋汤”最短需要 min
10.数据图示中的饼图计算圆心角度数，若比例数据为K ，则圆心角α=_______。
二、解答题：（12/×5=60/）
11．求下列逻辑式的运算结果。
（12/）
（1）1+0+1·1 （2）1·0+0+1·1
12. 已知数组a ＝（14，5，－8），b ＝（1，－6，4），c
＝（2，1，5） 计算：（1）2a －b +c （2）（a +b ）·c （12/）
13. 画出任意给定的三个正数，判断以这三个数为边长能否构成三角形算法的程序
框图。
（12/
）
的最短总工期。
14. 某顾客在超市购买了以下商品①娃哈哈苹果汁2瓶，单价10元/瓶；②大桥鸡
精数量3袋，单价5.30元/袋；③旺仔牛奶6杯，单价4.5元/杯；④儿童榨菜丝数
量8袋，单价1.3元/袋。
(1)试制作数据表格，并在表中明确反映商品的名称，数量，单价，应付款。
(2)求这几种商品的总价。
(3)若每种商品都打九折，则该顾客应付多少钱？(12/)
/。