江苏省南通市天星湖中学苏教版高中数学必修一学案2.1.2 函数的表示方法(2) Word版缺答案

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y＝________．
目链
接
答案：82，x，40≤≤x≤x<84，，
24－2x，8<x≤12.
2．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲
线 y＝f(x)，另一种是平均价格曲线 y＝g(x)[如 f(2)＝3 是指开始买卖后
2 小时的即时价格为 3 元；g(2)＝3 表示 2 个小时内的平均价格为 3
中小学精编教育课件
2．1.2 函数的表示方法
题型一函数的表示方法
例 1 由于学校实行寄宿制，为了方便同学们的日常生活，设立
了洗衣服务处，专为同学们提供洗床单、被罩等大件衣物的服务，规
定洗一次床单、被罩(不超过 2 件)付费 2 元．如果每洗超过 5 次，则
栏
给予一次免费洗的机会．
目链
接
(1)试填写下表：
栏目
(2)已知 f( x＋1)＝x＋2 x，求 f(x)，f(x＋1)，f(x2)；
链接
(3)已知 fx＋x 1＝x2x＋2 1＋1x，求 f(x)；
(4)已知 3f(x)＋2f(－x)＝x＋3，求 f(x)．
分析：(1)由已知，f(x)是二次函数，所以可设 f(x)＝ax2＋bx＋
k
.
综上得 f(x)的表达式为：
k（x＋2）（x＋4），x∈[－3，－2），
kx（x＋2），x∈[－2，0），
栏目
f(x)＝ x（x－2），x∈[0，2]，
链接
（x－2）k（x－4），x∈（2，3].
5．已知函数 f(x)满足条件：f(x)＋2f1x＝x，求 f(x)．
洗衣次数/ 13579
次
费用/元
(2)洗衣次数和洗衣费用谁是谁的函数？说说你的看法．

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 2.1.2 函数的表示方法》0

2.1.2 函数的表示方法一【学习要求】1会用列表法、图象法、解析法表示一些具体的函数；2会根据具体条件求函数的解析式；3会在不同情境中用不同形式表示函数．【学法指导】学习函数的表示方法，不仅是研究函数的性质和应用的需要，而且是为加深函数概念的理解．通过根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，感受函数与生活实际联系的密切性，通过求函数解析式加深对数学思想方法的理解，提高分析问题、解决问题的能力填一填：知识要点、记下疑难点1列表法：通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法．2图象法：如果图形F是函数＝f的图象，则图象上的任一点的坐标，都满足函数关系＝f，反之，满足函数关系＝f的点，都在图象F上．这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法．3解析法：如果在函数＝f∈A中，f是用代数式或解析式来表达的，这种方法叫做解析法研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境] 语言是沟通人与人之间的联系的，同样的祝福又有着不同的表示方法．例如，简体中文中的“生日快乐！”用繁体中文为：生日快樂！英文为：Ha Birthda！…，那么对于函数，又有什么不同的表示方法呢？探究点一函数的表示方法问题1 在初中学习的函数有哪几种常用的表示法？答：解析法、图象法、列表法．问题2列表法是如何定义的？答：通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法．答：定义域为{1953,1964,1982,1990,2021}，值域为{,,,,}．问题4 图象法是如何定义的？答：如果图形F是函数＝f的图象，则图象上的任一点的坐标，都满足函数关系＝f，反之，满足函数关系＝f的点，都在图象F上．这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法．问题5我们在作函数＝2＋1的图象时，先列表，后描点作图．这实际上就是函数的列表法表示和图象法表示，而＝2＋1这种表示方法叫做解析法．你能给解析法下个定义吗？答：如果在函数＝f ∈A中，f是用代数式或解析式来表达的，这种方法叫做解析法．也称为公式法．问题6 三种表示函数的方法各有哪些优缺点？答：1用解析法表示函数的关系．优点：简捷明了．能从解析式清楚看到两个变量之间的全部相依关系，并且适合于进行理论分析和推导计算；缺点：在求对应值时，有时要做较复杂的计算2用列表法表示函数关系．优点：对于表中自变量的每一个值，可以不通过计算，直接把函数值找到，查询时很方便；缺点：表中不能把所有的自变量与函数对应值全部列出，而且从表中看不出变量间的对应规律．3用图象法表示函数关系．优点：形象直观，可以形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质，把抽象的函数概念形象化；缺点：从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值．例1某种笔记本的单价是5元，买∈{1,2,3,4,5}个笔记本需要元．试用函数的三种表示法表示函数＝f．解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}．用解析法可将函数＝f表示为＝5，∈{1,2,3,4,5}．用列表法可将函数＝f表示为笔记本数 1 2 3 4 5钱数 5 10 15 2021 5用图象法可将函数＝f表示为下图．小结：本例题的两个变量之间的函数关系用解析法、列表法、图象法都能表示，但并不是所有的函数都能用三种方法表示，能用解析法表示的一般也能用另两种方法表示，能用列表法或图象法表示的不一定能用解析法表示，也就是说有些函数的关系找不到一个等式来表示．跟踪训练1 用列表法画出函数＝错误!的图象．解：在这个函数的定义域内，从0开始适当地取若干个的值：0,,1,,2,,3,,4,,5，…算出对应的函数值，列出函数的对应值表精确到：0 1 2 3 4 5 …0 1 2 …以这11个有序数对，为坐标，在直角坐标系中画出所对应的11个点，由这些点连成的一条光滑曲线就是函数＝错误!的图象．例2：设是任意一个实数，是不超过的最大整数，试问和之间是否是函数关系？如果是，画出这个函数的图象．解：对每一个实数，都可以写成等式：＝＋α，其中是整数，α是一个小于1的非负数，例如：＝6＋,6＝6＋0，－＝－2＋，－＝－13＋，…，由此可以看到，对于任一个实数，都有唯一确定的值与它对应，所以说和之间是函数关系．这个“不超过的最大整数”所确定的函数记为＝[]．这个函数的定义域是实数集R，值域是整数集Z例如，当＝6时，＝[6]＝6；当＝π时，＝[π]＝3；当＝－时，＝[－]＝－2函数的图象如下图所示．小结：函数的图象不仅可以是一段光滑的曲线，还可以是若干条线段，甚至是一些孤立的点．，求f1，f2，f3，f4，f5．跟踪训练2 已知函数＝fn，满足f0＝1，且fn＝nfn－1，n∈N＋解：因为f0＝1，所以f1＝1·f1－1＝1·f0＝1，f2＝2·f2－1＝2·f1＝2，f3＝3·f3－1＝3·f2＝6，f4＝4·f4－1＝4·f3＝24，f5＝5·f5－1＝5·f4＝12021究点二换元法求函数的解析式问题已知函数fg的解析式求f的解析式通常用什么方法？这种方法的具体做法是怎样的？答：通常用换元法．即令g＝t，反解出，然后代入fg中求出ft，即求出了f．例3 已知f2－1＝4－2＋1，求f．解：因为f2－1＝4－2＋1＝2－12＋2－1＋1，所以f＝2＋＋1 ≥－1．小结：1此法是把所给函数的解析式，通过配方、凑项等方法使之变形为关于“自变量”的表示式，然后以代替“自变量”，即得所求函数解析式．2已知fg是关于的函数，求f的解析式，通常令g＝t，由此能解出＝ht，将＝ht代入fg中，求得ft的解析式，再用替换t，便得f的解析式．跟踪训练3 已知f错误!＝3－，求f的解析式．解: 令错误!＝t，则t≥0，且＝t2＋1，所以ft＝3－t2＋1＝2－t2，即f＝2－2≥0练一练：当堂检测、目标达成落实处＝f的图象与一直线＝a的交点个数为A．必有一个 B．一个或两个C．至多一个 D．可能两个以上解析：由函数的定义，知对于定义域内的任意一个，都有唯一一个f值与之对应．所以，当a不在函数定义域内时，直线＝a与函数＝f的图象没有交点，所以选C1＋错误!＝错误!－1，则f＝__________解析：设1＋错误!＝tt≠1，则＝错误!，∴ft＝错误!－1＝t－2t≠1．∴f＝－2≠1．＋1＝2－3＋2，求f．解：因为f＋1＝2－3＋2＝＋12－5＋1＝＋12－5＋1＋6，所以f＝2－5＋6课堂小结：1如何作函数的图象一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表描出图象，并在画图象的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点、分段函数的区间端点等．2如何求函数的解析式求函数的解析式的关键是理解对应法则f的本质与特点对应法则就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法．。

2018-2019学年苏教版必修一2.1.2函数的表示方法学案

2．1.2函数的表示方法学习目标 1.掌握函数的三种表示方法：列表法、解析法、图象法(重点)；2.会根据不同的需要选择恰当方法表示函数(难点)；3.掌握分段函数，并能简单应用(重点)．预习教材P33－34，完成下面问题：知识点一函数的三种表示方法(1)函数的三种表示方法各有什么优、缺点？(2)任何一个函数都可以用解析法、列表法、图象法三种形式表示吗？提示(1)三种表示方法的优、缺点比较：(2)不一定．并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∈Q ，1，x ∈∁R Q .列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段．知识点二分段函数在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的解析表达式，这样的函数通常叫做分段函数．【预习评价】某市规定出租车收费标准：起步价(不超过2 km)为5元．超过2 km 时，前2 km 依然按5元收费，超过2 km 部分，每千米收1.5元．按此规定乘坐出租车行驶任意一段路程，是否都有一个唯一的收费额与之对应？收费额y 元是行驶里程x km 的函数吗？当x ∈[0,2]时的计费方法与x ∈(2，＋∞)时计费方法一样吗？提示因为任一行驶里程x 都对应唯一的收费额y ，故y 是x 的函数；但由于起步价的规定，x ∈[0,2]时，y ＝5，x ∈(2，＋∞)时，y ＝5＋(x －2)×1.5.计费方法不一样．题型一列表法表示函数【例1】已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出则f (g (1))的值为________________．解析 ∵g (1)＝3，∴f (g (1))＝f (3)＝1.f(g(x))与g(f(x))与x相对应的值如下表所示.∴f(g(x))>g(f(x))的解为x答案1 2规律方法解决此类问题关键在于弄清每个表格表示的函数．对于f(g(x))这类函数值的求解，应从内到外逐层解决，而求解不等式，则可分类讨论或列表解决．【训练1】下列表格中的x与y能构成函数的是________(填正确的序号)．①②③④解析①②中数0都有2个数值和它对应，④中任一个自然数都有3个数值与之对应．③正确．答案 ③题型二待定系数法求函数解析式【例2】 (1)已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝4x －1，求f (x )； (2)已知f (x )是二次函数，且满足f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ，求f (x )．解 (1)∵f (x )是一次函数，∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (f (x ))＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b .又∵f (f (x ))＝4x －1，∴a 2x ＋ab ＋b ＝4x －1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.∴f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1. (2)∵f (x )是二次函数， ∴设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，得c ＝1，由f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－ax 2－bx －1＝2x . 左边展开整理得2ax ＋a ＋b ＝2x ，由恒等式原理知⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋1.规律方法 (1)对于特征已明确的函数一般用待定系数法求解析式．(2)若所求函数为一次函数，通常设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)；若为反比例函数，通常设为f (x )＝kx (k ≠0)；若为二次函数，则解析式有以下三种：①一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；②两根式y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，其中x 1，x 2是二次函数图象与x 轴交点的横坐标；③顶点式y ＝a (x ＋b 2a )2＋4ac －b 24a (a ≠0)，其中顶点坐标为(－b 2a ，4ac －b24a )．解题时需依据条件灵活选用．【训练2】已知二次函数f (x )满足f (0)＝1，f (1)＝2，f (2)＝5，求该二次函数的解析式．解设二次函数的解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a ＋b ＋c ＝2，4a ＋2b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝1，故f (x )＝x 2＋1.题型三换元法(或配凑法)求函数解析式【例3】求下列函数的解析式： (1)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝1＋x 2x 2＋1x ，求f (x )； (2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )．解 (1)方法一 (换元法)令t ＝1＋x x ＝1x ＋1，则t ≠1.把x ＝1t －1代入f ⎝⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝1＋x 2x 2＋1x ，得 f (t )＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫1t －12⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －12＋11t －1＝(t －1)2＋1＋(t －1)＝t 2－t ＋1. ∴所求函数的解析式为f (x )＝x 2－x ＋1，x ∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．方法二 (配凑法)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝1＋x 2＋2x －2x x 2＋1x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x 2－1＋x －x x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x 2－1＋xx ＋1，∴f (x )＝x 2－x ＋1.又∵1＋x x ＝1x ＋1≠1，∴所求函数的解析式为f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)． (2)方法一 (换元法)令x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝(t －1)2，∴f (t )＝(t －1)2＋2t －2＝t 2－1.∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．方法二 (配凑法)∵x ＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1. 又∵x ＋1≥1， ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．规律方法 (1)换元法的应用：当不知函数类型求函数解析式时，一般可采用换元法．所谓换元法，即将“x ＋1”换成另一个字母“t ”，然后从中解出x 与t 的关系，再代入原式中求出关于“t ”的函数关系式，即为所求函数解析式，但要注意换元前后自变量取值范围的变化情况．(2)配凑法的应用：对于配凑法，通过观察与分析，将右端的式子“x ＋2x ”变成含有“x ＋1”的表达式．这种解法对变形能力、观察能力有较高的要求．【训练3】已知函数f (x ＋1)＝x 2－2x ，则f (x )＝________.解析方法一 (换元法)令x ＋1＝t ，则x ＝t －1，可得f (t )＝(t －1)2－2(t －1)＝t 2－4t ＋3，即f (x )＝x 2－4x ＋3.方法二 (配凑法)因为x 2－2x ＝(x 2＋2x ＋1)－(4x ＋4)＋3＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3，所以f (x ＋1)＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3，即f (x )＝x 2－4x ＋3. 答案 x 2－4x ＋3【例4】 (1)若f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，则f (f (－2))＝________.(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x ＋1，x ≤1，－x ，x >1，若f (x )＝2，则x ＝________.解析 (1)因为－2<0，所以f (－2)＝－(－2)＝2，所以f (f (－2))＝f (2)＝22＝4.(2)依题意得当x ≤1时，3x ＋1＝2，所以x ＝13，当x >1时，－x ＝2，x ＝－2(舍去)，故x ＝13. 答案 (1)4 (2)13【迁移1】已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2＜x ＜2，2x －1，x ≥2.(1)求f (－5)，f (－3)，f [f (－52)]的值； (2)若f (a )＝3，求实数a 的值．解 (1)由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，f (－3)＝(－3)2＋2(－3)＝3－2 3. ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－52＋1＝－32，而－2<－32<2，∴f [f (－52)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－3＝－34.(2)当a ≤－2时，a ＋1＝3，即a ＝2＞－2，不合题意，舍去；当－2＜a ＜2时，a 2＋2a ＝3，即a 2＋2a －3＝0， ∴(a －1)(a ＋3)＝0，得a ＝1，或a ＝－3， ∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a ＝1符合题意；当a ≥2时，2a －1＝3，即a ＝2符合题意．综上可得，当f (a )＝3时，a ＝1，或a ＝2.【迁移2】已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2，－1≤x ≤1，1，x ＞1或x ＜－1.(1)画出f (x )的图象；(2)若f (x )≥14，求x 的取值范围； (3)求f (x )的值域．解 (1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．(2)由于f (±12)＝14，结合此函数图象可知，使f (x )≥14的x 的取值范围是(－∞，－12]∪[12，＋∞)．(3)由图象知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0,1]，当x ＞1或x ＜－1时，f (x )＝1.所以f (x )的值域为[0,1]．【迁移3】如图所示，已知底角45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7 cm ，腰长为2 2 cm ，当垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l 把梯形分成两部分，令BF ＝x ，试写出左边部分的面积y 关于x 的函数解析式，并画出大致图象．解过点A ，D 分别作AG ⊥BC ，DH ⊥BC ，垂足分别是G ，H .因为四边形ABCD 是等腰梯形，底角为45°，AB ＝2 2 cm ，所以BG ＝AG ＝DH ＝HC ＝2 cm ，又BC ＝7 cm ，所以AD ＝GH ＝3 cm. (1)当点F 在BG 上，即x ∈[0,2]时，y ＝12x 2；(2)当点F 在GH 上，即x ∈(2,5]时，y ＝x ＋x －22×2＝2x －2； (3)当点F 在HC 上，即x ∈(5,7]时， y ＝S 五边形ABFED ＝S 梯形ABCD －S Rt △CEF ＝12(7＋3)×2－12(7－x )2 ＝－12(x －7)2＋10.综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2，x ∈[0，2]，2x －2，x ∈(2，5]，－12(x －7)2＋10，x ∈(5，7].图象如图所示．规律方法当目标函数在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．课堂达标1．已知函数f (x )由下表给出，则f (f (3))＝________.解析由题设给出的表知f (3)＝4，则f (f (3))＝f (4)＝1.答案 12．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )的解析式为________．解析设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋b ＋5a ＝2x ＋17，所以a ＝2，b ＝7，所以f (x )＝2x ＋7.答案 f (x )＝2x ＋73．已知函数f (x )的定义域A ＝{x |0≤x ≤2}，值域B ＝{y |1≤y ≤2}，下列选项中，能表示f (x )的图象的只可能是________．解析根据函数的定义，观察图象，对于①，②，值域为{y |0≤y ≤2}，不符合题意，而③中当0≤x ＜2时，一个自变量x 对应两个不同的y ，不是函数．故填④. 答案 ④4．如果f (1x )＝x 1－x，则当x ≠0,1时，f (x )＝________. 解析方法一令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f (1x )＝x 1－x，则有f (t )＝1t1－1t ＝1t －1，即f (x )＝1x －1.方法二 ∵x ≠0,1，∴f (1x )＝x 1－x ＝11x－1，故f (x )＝1x －1.答案 1x －15．已知f (x )为二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的表达式．解设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∵f (0)＝c ＝0，∴f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ，f (x )＋x ＋1＝ax 2＋bx ＋x ＋1＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1.又f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12，b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .课堂小结1．函数三种表示法的优缺点2．描点法画函数图象的步骤：(1)求函数定义域；(2)化简解析式；(3)列表；(4)描点；(5)连线．3．求函数解析式常用的方法有(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消元法等.。

苏教版数学高一必修1学案 2.1.2函数的表示方法

2．1．2函数的表示方法1．在实际情境中，会根据不同的要求选择恰当的方法表示函数．2．理解同一函数可以用不同的方法表示．1．函数的表示方法(1)列表法：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法．(2)解析法：用等式来表示两个变量之间函数关系的方法，这个等式通常叫做函数的解析表达式，简称解析式．(3)图象法：用图象来表示两个变量之间函数关系的方法．1．列表法表示函数的优点在于不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值．这种方法常应用到实际生产和生活中．2．图象法表示函数的优点是通过图象可以直接观察出函数的变化趋势．气象台应用自动记录仪器描绘温度随时间变化的曲线，工厂的生产图象及股市走向图等，就是用图象法表示函数关系的．3．用解析法表示函数关系的优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值．【做一做1－1】客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了0．5 h，然后以80km/h的速度匀速行驶1 h到达丙地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是__________．答案：③【做一做1－2】某种杯子每只0．5元，买x只，所需钱数为y元，分别用列表法、图象法、解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数．解：(1)列表法：(2)图象法(如下图)．(3)解析法：y＝0．5x，x∈{1,2,3,4}．2．分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数通常叫做分段函数．分段函数是一个函数而不是几个函数．生活中有很多可以用分段函数描述实际问题的模型，如出租车的计费、个人所得税纳税额等．分段函数的图象由几个不同部分组成，作分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出．分段函数的定义域应为各段上自变量取值的并集，如函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<x <1，x ，x ≥1的定义域为{x |x ＞0}．分段函数定义域是各段自变量取值集合的并集，值域是各段函数值集合的并集，在作图时，要特别注意每段端点的虚实．【做一做2】在实际问题中，常常使用表格，有些表格描述了两个变量的函数关系，比如，国内跨省市之间邮寄信函，每封信函的质量和对应邮资如下表：解：图象如图．解析式为：0.80,020,1.60,2040,2.40,4060,3.20,6080,4.00,80100.m m M m m m <≤⎧⎪<≤⎪⎪=<≤⎨⎪<≤⎪<≤⎪⎩1．如何求函数解析式？剖析：对于基本初等函数，通过待定系数法求之，即利用方程思想．对于实际应用问题，通常是研究自变量、函数与其他量之间的等量关系，从而将函数用自变量和其他量之间的关系表示出来，但不要忘记确定自变量的取值范围．如已知等腰三角形的周长为12，则底边长x 与腰长y 之间的函数关系是y ＝6－12x ，其中x ∈(0,6)．2．如何理解分段函数？剖析：(1)分段函数的表达式是分段表示的，即函数与自变量的关系不是只满足一个式子，而是在不同范围内有不同的对应法则，这样的函数关系是分段函数．(2)分段函数的定义域应为各段上自变量取值的并集，这一点与函数y ＝x －1＋1＋x 的定义域的求法不相同．(3)作分段函数的图象时，特别注意端点处点的虚实，如函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0的图象为(4)分段函数的表示法是解析法的一种形式．函数y ＝⎩⎨⎧22－6x ，0<x <11，－44，x ≥11不能写成y ＝22－6x,0＜x ＜11或y ＝－44，x ≥11．分段函数的表达式因其特点可以分成两个或两个以上的不同表达式，所以其图象也是由几部分组成的，可以是由光滑的曲线段组成，也可以是孤立的点或几段线段组成；求分段函数的函数值的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一区间，就用哪一区间上的解析式．题型一求函数解析式【例1】(1)已知函数f (x ＋1)＝x 2－3x ＋2，求f (x )； (2)已知f (x ＋4)＝x ＋8x ，求f (x 2)；(3)已知函数y ＝f (x )满足2f (x )＋1()f x＝2x ，x ∈R 且x ≠0，求f (x )； (4)已知一次函数f (x )满足f ［f (x )］＝4x －1，求f (x )．分析：求解析式的方法较多，如配凑法、换元法、方程法、待定系数法等，关键在于弄清对于“x ”而言，“f ”是怎样的对应法则，至于选择什么符号表示自变量没有关系．要特别注意正确确定中间变量的取值范围，如(2)中设x ＋4＝t ≥4，否则就不能正确确定f (x )的定义域．解：(1)方法一(换元法)：令t ＝x ＋1，则x ＝t －1，代入得f (t )＝(t －1)2－3(t －1)＋2， ∴f (t )＝t 2－5t ＋6，即f (x )＝x 2－5x ＋6．方法二(配凑法)：∵f (x ＋1)＝x 2－3x ＋2＝(x ＋1)2－5x ＋1＝(x ＋1)2－5(x ＋1)＋6， ∴f (x )＝x 2－5x ＋6．(2)方法一(配凑法)：∵f (x ＋4)＝x ＋8x ＝(x ＋4)2－16，∴f (x )＝x 2－16(x ≥4)． ∴f (x 2)＝x 4－16(x ≤－2，或x ≥2)．方法二(换元法)：设x ＋4＝t ≥4，则x ＝t －4，x ＝(t －4)2， ∴f (t )＝(t －4)2＋8(t －4)＝t 2－16． ∴f (x )＝x 2－16(x ≥4)．∴f (x 2)＝x 4－16(x ≤－2，或x ≥2)． (3)(方程法)∵x ∈R ，且x ≠0，由2f (x )＋1()f x＝2x ，① 将x 换成1x ，则1x换成x ，得12()f x＋f (x )＝2x ．②①×2－②，得3f (x )＝4x －2x ，即f (x )＝4x 3－23x．(4)(待定系数法)∵f (x )是一次函数， ∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f ［f (x )］＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x －1．∴⎩⎨⎧a 2＝4，ab ＋b ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－13或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝1.∴f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1．反思：对于已知f ［g (x )］的表达式，求f (x )的表达式的问题，一般方法是换元法，即设g (x )＝t ，解出用t 表示x 的表达式，代入求得f (x )的解析式．在用换元法解这类题时，特别要注意正确确定中间变量t 的取值范围．若题目中已知函数f (x )的函数类型，一般采用待定系数法，如第(4)小题，由于已知函数f (x )是一次函数，故可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)．题型二分段函数的图象与应用【例2】试作出函数y ＝|x －1|和y ＝|x －1|＋|x ＋2|的图象．分析：y ＝|x －1|＝⎩⎨⎧x －1，x ≥1，1－x ，x <1，y ＝|x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x ≤－2，3，－2<x <1，2x ＋1，x ≥1.解：y ＝|x －1|的图象如图(1)． y ＝|x －1|＋|x ＋2|的图象如图(2)．反思：画带绝对值符号的简单函数的图象的基本方法是先求函数的定义域，然后化简函数解析式，就是去绝对值符号．(1)带一个绝对值符号的函数，根据绝对值的意义去绝对值符号．(2)带两个或两个以上绝对值符号的问题，常用“零点分段法”去绝对值符号，从而把函数写成分段函数的形式，然后作图．如本题(2)，令x －1＝0，得x ＝1；令x ＋2＝0，得x ＝－2．－2和1把数轴分成三部分(如下图所示)．【例3】设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )＞f (1)的解集是__________．解析：因f (1)＝12－4×1＋6＝3，所以原不等式可化为f (x )＞3．作出原函数的图象，如下图所示．再作出直线y ＝3，其交点坐标分别为(－3,3)，(1,3)和(3,3)，从图象观察即得．答案：(－3,1)∪(3，＋∞)反思：作为填空题，可利用数形结合的方法求解不等式，此方法直观、简洁、准确．题型三实际应用问题【例4】通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果表明，用f (x )表示学生掌握和接受概念的能力，f (x )的值越大，表示接受的能力越强，x 表示提出和讲授概念的的讲授时间(单位：分钟)，可有以下的公式：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.1x 2＋2.6x ＋43，0<x ≤10，59，10<x ≤16，－3x ＋107，16<x ≤30.(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？ (2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？(3)一道数学难题，需要55的接受能力以及13分钟的讲授时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题？解：(1)开讲10分钟后，学生的接受能力值为59，达到最强，并维持6分钟． (2)f (5)＝－0.1×52＋2.6×5＋43＝53.5； f (20)＝－3×20＋107＝47，所以开讲后5分钟学生的接受能力比开讲后20分钟强一些．(3)当0＜x ≤10时，f (x )＝－0．1x 2＋2．6x ＋43＝－0．1(x －13)2＋43＋16．9，f (x )ma x ＝f (10)＝59．令55≤f (x )≤59，解得6≤x ≤10．所以6≤x ≤10时，f (x )∈［55,59］，即开讲后10分钟里，学生只有后4分钟接受能力在55以上，然后有6分钟接受能力维持在59；当16＜x ≤30时，f (x )＝－3x ＋107．令f (x )≥55，解得x ≤523，即在这段时间里，学生只有43分钟接受能力维持在55以上．综上所述，开讲后学生共有4＋6＋43＝343分钟接受能力在55以上，故老师不能在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题．反思：实际问题往往都有一个陌生的情境，它需要我们仔细阅读题意．如果题中给的数量比较多，可以逐个理解和研究，然后把实际问题转化为数学问题，建立函数关系进行求解．1设函数f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ≤1，x 2＋x －2，x >1，则1(2)f f ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值为__________．解析：因为f (2)＝22＋2－2＝4，所以1f (2)＝14，1(2)f f ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝1()4f ＝1－21()4＝1516．答案：15162某城市出租车按如下方法收费：起步价6元，可行3 km(含3 km)，3 km 后到10 km(含10 km)每走1 km 加价0.5元，10 km 后每走1 km 加价0.8元，某人坐出租车走了12 km ，他应交费______元．解析：把收费y 元看成所走路程x km 的函数，当0＜x ≤3时，应交6元；当3＜x ≤10时，应交6＋(x －3)×0.5＝4.5＋0.5x (元)；当x ＞10时，应交4.5＋0．5×10＋(x －10)×0．8＝1.5＋0.8x (元)． ∴当x ＝12时，y ＝1.5＋0．8×12＝11.1(元)．答案：11.13某客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100千米，票价是每千米0．5元，如果超过100千米，超过部分按每千米0．4元定价，则客运票价y (元)与行程数x (千米)之间的函数关系式是__________．解析：根据行程是否大于100千米来求出解析式，由题意，得当0＜x ≤100时，y ＝0.5x ，当x ＞100时，y ＝100×0.5＋(x －100)×0.4＝10＋0.4x ．答案：y ＝⎩⎨⎧0.5x ，0<x ≤100，10＋0.4x ，x >100已知函数h (x )＝f (x )＋g (x )，其中f (x )是x 的正比例函数，g (x )是x 的反比例函数，1()163h =＝16，h (1)＝8，求h (x )及其定义域．分析：本题中已知函数的模型，用待定系数法求解析式．解：设f (x )＝k 1x (k 1≠0)，g (x )＝k 2x (k 2≠0)，则h (x )＝k 1x ＋k 2x．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k 13＋3k 2＝16，k 1＋k 2＝8.解得123,5k k ⎧⎨⎩＝，＝．所以h (x )＝3x ＋5x，定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．5已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x >0，1，x ＝0，－1x，x <0.(1)画出函数的图象； (2)求f (1)，f (－1)的值．分析：分别作出f (x )在x ＞0，x ＝0，x ＜0各段上的图象，合在一起得函数的图象．解：(1)如图所示．(2)f (1)＝12＝1，f (－1)＝－1－1＝1．。

苏教版高中数学必修一2.1.2 函数的表示方法.docx

2.1.2 函数的表示方法课时目标 1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当方法表示函数．1．函数的三种表示法(1)列表法：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法．(2)解析法：用等式来表示两个变量之间函数关系的方法．(3)图象法：用图象表示两个变量之间函数关系的方法．2．分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，像这样的函数通常叫做分段函数．一、填空题1．一个面积为100 cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为________．2．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是________．3．如果f (1x )＝x 1－x，则当x ≠0时，f (x )＝________.4．已知f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )＝__________________________________.5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －5 (x ≥6)f (x ＋2) (x <6)，则f (3)＝_________________________________. 6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3 (x ≥9)f [f (x ＋4)] (x <9)，则f (7)＝________________________________. 7．一个弹簧不挂物体时长12 cm ，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例．如果挂上3 kg 物体后弹簧总长是13.5 cm ，则弹簧总长y (cm)与所挂物体质量x (kg)之间的函数关系式为________________________________．8．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f (1x)＋x ，则f (x )的解析式为____________． 9．已知f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，则f (x )的解析式为________．二、解答题10．已知二次函数f (x )满足f (0)＝f (4)，且f (x )＝0的两根平方和为10，图象过(0,3)点，求f (x )的解析式．11．画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f (0)、f (1)、f (3)的大小；(2)若x 1<x 2<1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小；(3)求函数f (x )的值域．能力提升12．在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d 是车速v (公里/小时)的平方与车身长S (米)的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为50公里/小时，车距恰好等于车身长，试写出d 关于v 的函数关系式(其中S 为常数)．13．设f (x )是R 上的函数，且满足f (0)＝1，并且对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的解析式．1．如何作函数的图象一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式(可能有的要表示为分段函数)，再列表描出图象，并在画图象的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点、分段函数的区间端点等．2．如何求函数的解析式求函数的解析式的关键是理解对应法则f 的本质与特点(对应法则就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．3．分段函数是一个函数而非几个函数．分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取区间端点处时函数的取值情况，以决定这些点的实虚情况．2．1.2 函数的表示方法作业设计1．y ＝50x(x>0) 解析由x ＋3x 2·y ＝100，得2xy ＝100. ∴y ＝50x(x>0)． 2．1解析由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错．3.1x －1解析令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f(1x )＝x 1－x，则有f(t)＝1t 1－1t＝1t －1. 4．2x －1解析由已知得：g(x ＋2)＝2x ＋3，令t ＝x ＋2，则x ＝t －2，代入g(x ＋2)＝2x ＋3，则有g(t)＝2(t －2)＋3＝2t －1.5．2解析 ∵3<6，∴f(3)＝f(3＋2)＝f(5)＝f(5＋2)＝f(7)＝7－5＝2.6．6解析 ∵7<9，∴f(7)＝f[f(7＋4)]＝f[f(11)]＝f(11－3)＝f(8)．又∵8<9，∴f(8)＝f[f(12)]＝f(9)＝9－3＝6.即f(7)＝6.7．y ＝12x ＋12 解析设所求函数解析式为y ＝kx ＋12，把x ＝3，y ＝13.5代入，得13.5＝3k ＋12，k ＝12. 所以所求的函数解析式为y ＝12x ＋12. 8．f(x)＝－x 2＋23x(x ≠0) 解析 ∵f(x)＝2f(1x)＋x ，① ∴将x 换成1x ，得f(1x )＝2f(x)＋1x.② 由①②消去f(1x )，得f(x)＝－23x －x 3，即f(x)＝－x 2＋23x(x ≠0)． 9．f(x)＝2x ＋83或f(x)＝－2x －8 解析设f(x)＝ax ＋b(a ≠0)，则f(f(x))＝f(ax ＋b)＝a 2x ＋ab ＋b.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4ab ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝83或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－8. 10．解设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)．由f(0)＝f(4)知⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝c ，f (4)＝16a ＋4b ＋c ，f (0)＝f (4)，得4a ＋b ＝0.①又图象过(0,3)点，所以c ＝3.②设f(x)＝0的两实根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a. 所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－b a )2－2·c a＝10. 即b 2－2ac ＝10a 2.③由①②③得a ＝1，b ＝－4，c ＝3.所以f(x)＝x 2－4x ＋3.11．解因为函数f(x)＝－x 2＋2x ＋3的定义域为R ，列表：x … －2 －1 0 1 2 3 4…y … －5 0 3 4 3 0 －5 …连线，描点，得函数图象如图：(1)根据图象，容易发现f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0，所以f (3)<f (0)<f (1)．(2)根据图象，容易发现当x 1<x 2<1时，有f (x 1)<f (x 2)．(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．12．解根据题意可得d ＝k v 2S . ∵v ＝50时，d ＝S ，代入d ＝k v 2S 中，解得k ＝12 500. ∴d ＝12 500v 2S . 当d ＝S 2时，可解得v ＝25 2. ∴d ＝⎩⎨⎧S 2 (0≤v <252)12 500v 2S (v ≥252). 13．解因为对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，所以令y ＝x ，有f (0)＝f (x )－x (2x －x ＋1)，即f (0)＝f (x )－x (x ＋1)．又f (0)＝1，∴f (x )＝x (x ＋1)＋1＝x 2＋x ＋1.。

苏教版高中数学必修一函数的概念和图象教案四

2.1.2 函数的表示方法（1）教学目标：1．进一步理解函数的概念，了解函数表示的多样性，能熟练掌握函数的三种不同的表示方法；2．在理解掌握函数的三种表示方法基础上，了解函数不同表示法的优缺点，针对具体问题能合理地选择表示方法；3．通过教学，培养学生重要的数学思想方法——分类思想方法．教学重点：函数的表示．教学难点：针对具体问题合理选择表示方法．教学过程：一、问题情境 1．情境．下表的对应关系能否表示一个函数：2．问题．如何表示一个函数呢？二、学生活动1．阅读课本掌握函数的三种常用表示方法； 2．比较三种表示法之间的优缺点． 3．完成练习三、数学建构 1．函数的表示方法：2．三种不同方法的优缺点：列表法—用列表来表示两个变量之间函数关系的方法解析法—用等式来表示两个变量之间函数关系的方法图象法—用图象来表示两个变量之间函数关系的方法3．三种不同方法的相互转化：能用解析式表示的，一般都能列出符合条件的表、画出符合条件的图，反之亦然；列表法也能通过图形来表示．四、数学运用（一）例题例1 购买某种饮料x 听，所需钱数为y 元．若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y 表示成x (x ∈{1， 2，3，4})的函数，并指出该函数的值域．跟踪练习：某公司将进货单价为8元一个的商品按10元一个销售，每天可卖出100个，若这种商品的销售价每个上涨1元，则销售量就减少10个．（1）列表：（2）图象：（3）解析式：将条件变换成：“某公司将进货单价为8元一个的商品按10元一个销售，每天可卖出110个”例2 如图，是一个二次函数的图象的一部分，试根据图象中的有关数据，求出函数f (x )的解析式及其定义域．（二）练习：1．1 nmile(海里)约为1854m ，根据这一关系，写出米数y 关于海里数x 的函数解析式．2．用长为30cm 的铁丝围成矩形，试将矩形的面积S(cm 2)表示为矩形一边长x (cm)的函数，并画出函数的图象．3．已知f(x)是一次函数，且图象经过(1，0)和(－2，3)两点，求f(x)的解析式．4．已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝9x－4，求f(x)的解析式．五、回顾小结1．函数表示的多样性；2．函数不同表示方法之间的联系性；3．待定系数法求函数的解析式．六、作业课堂作业：课本32页1，4，5．。

高中数学第二章函数 2.1.2 函数的表示方法学案苏教版必修1-苏教版高一必修1数学学案

2.1.2 函数的表示方法1．理解函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法)，会选择恰当的方法表示简单情境中的函数．(重点)2．了解简单的分段函数，能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 函数的表示方法阅读教材P33开头至例1，完成下列问题．函数的表示方法1．判断(正确的打“√” ，错误的打“×”)(1)任何一个函数都可以用列表法表示．( )(2)任何一个函数都可以用解析法表示．( )(3)有些函数能用三种方法来表示．( )【答案】(1)×(2)×(3)√2．某同学去商店买笔记本，单价5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元，试用三种方法表示函数y＝f (x)．【解】列表法：笔记本数x 1 2 3 4 5 钱数y510152025解析法：y ＝5x ，x ∈{1,2,3,4,5}．图象法：教材整理2 分段函数阅读教材P 34例2，例3，完成下列问题．1．在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数，通常叫做分段函数． 2．分段函数定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集．3．分段函数图象：画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象．分段函数是一个函数，因此应在同一坐标系中画出各段函数图象．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，x 2－1，x <0，则f (x )的定义域为________，值域为________．【解析】定义域为{x |x >0或x <0}＝{x |x ≠0}，当x >0时，f (x )>0，当x <0时，f (x )>－1，∴值域为{y |y >－1}．【答案】 {x |x ≠0} {y |y >－1}[小组合作型]求函数解析式求下列函数的解析式．(1)已知f (x )为一次函数，f (2x ＋1)＋f (2x －1)＝－4x ＋6，则f (x )＝________. (2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________.(3)已知f (x )为一次函数，且f (f (x ))＝4x －1，则f (x )＝________.(4)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ＞0，x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )的解析式为________．(5)若f ⎝⎛⎭⎪⎫x －2x ＝x 2＋4x2，则f (x )＝________.【精彩点拨】 (1)(3)(4)可以设出函数解析式，用待定系数法求解．(2)可以把x ＋1看作一个整体来求解．(5)可以把x －2x看作一个整体来求解．【自主解答】 (1)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)＋b ， f (2x －1)＝a (2x －1)＋b ，f (2x ＋1)＋f (2x －1)＝4ax ＋2b ＝－4x ＋6，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝－4，2b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，即函数f (x )的解析式为f (x )＝－x ＋3. (2)法一令x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝(t －1)2， ∴f (t )＝(t －1)2＋2t －12＝t 2－1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二 f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(3)设所求函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，所以f (f (x ))＝f (kx ＋b )＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x＋kb ＋b ＝4x －1，则⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝4，kb ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝1，所以f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1.(4)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧16－4b ＋c ＝c ，4－2b ＋c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝2，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2， x ＞0，x 2＋4x ＋2， x ≤0，(5)f ⎝⎛⎭⎪⎫x －2x ＝x 2＋4x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 2＋4，∴f (x )＝x 2＋4.【答案】 (1)－x ＋3 (2)x 2－1(x ≥1) (3)2x －13或－2x ＋1(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ＞0x 2＋4x ＋2，x ≤0 (5)x 2＋4求函数解析式的常用方法1．待定系数法：已知函数f (x )的函数类型，求f (x )的解析式时，可根据类型设出其解析式，将已知条件代入解析式，得到含待定系数的方程(组)，确定其系数即可．2．换元法：令t ＝g (x )，注明t 的范围，再求出f (t )的解析式，然后用x 代替所有的t 即可求出f (x )，一定要注意t 的范围即为f (x )中x 的范围．3．配凑法：已知f (g (x ))的解析式，要求f (x )时，可从f (g (x ))的解析式中拼凑出“g (x )”，即用g (x )来表示，再将解析式两边的g (x )用x 代替即可．4．代入法：已知y ＝f (x )的解析式求y ＝f (g (x ))的解析式时，可直接用新自变量g (x )替换y ＝f (x )中的x .[再练一题]1．(1)已知f (x )是一个正比例函数和一个反比例函数的和，且f (2)＝3，f (1)＝3，则f (x )＝________.(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝________.【解析】 (1)设f (x )＝k 1x ＋k 2x ，则⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝k 1＋k 2＝3，f 2＝2k 1＋k 22＝3⇒⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝1，k 2＝2，∴f (x )＝x ＋2x.(2)令t ＝x ＋1x (t ≠1)，则x ＝1t －1，∴f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －12＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －12＋(t －1)＝t 2－t ＋1，∴f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．【答案】 (1)x ＋2x(2)x 2－x ＋1(x ≠1)分段函数已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－2，x 2－2x ，－2<x <2，2x －1，x ≥2.(1)求f (－5)，f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52的值； (2)若f (a )＝3，求实数a 的值； (3)作出f (x )的图象，并求值域．【精彩点拨】 (1)先分析－5，－3，－52在哪一段上，再分别求值．(2)函数值为3的a ，应逐段分析讨论． (3)逐段作出图象并观察值域．【自主解答】 (1)f (－5)＝－5＋1＝－4，f (－3)＝(－3)2－2(－3)＝3＋2 3.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝⎛⎭⎪⎫－52＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫－322－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫214＝2·214－1＝192.(2)当a ≤－2时，f (a )＝a ＋1, 当a ＋1＝3时，则a ＝2(舍去)，当－2<a <2时，f (a )＝a 2－2a ＝3，∴a ＝－1或a ＝3(舍)，∴a ＝－1. 当a ≥2时，f (a )＝2a －1＝3，∴a ＝2.综上a＝－1或2.(3)由图可得f (x)的值域为R.1．分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求值．2．已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围；也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．3．求分段函数的定义域时，取各段自变量的取值范围的并集即可．求分段函数的值域时，要先求出各段区间内的值域，然后取其并集．[再练一题]2．例2中求f (x)与直线y＝b的交点个数．【解】当b<－1时，y＝b与y＝f (x)有一个交点；当－1≤b<0时，y＝b与y＝f (x)有两个交点；当0≤b<3时，y＝b与y＝f (x)有一个交点；当3≤b<8时，y＝b与y＝f (x)有两个交点；当b≥8时，y＝b与y＝f (x)有一个交点．[探究共研型]方程组法求解析式探究1 解二元一次方程组的主导思想是什么？【提示】主导思想是消元，常用的消元方法有代入消元和加减消元两种．探究2 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝4，①A －B ＝6，②【提示】法一(代入消元法)：由②得A ＝B ＋6，代入①得B ＋6＋B ＝4，∴B ＝－1，代入A ＝B ＋6，得A ＝5，∴A ＝5，B ＝－1.法二(加减消元法)：①＋②得2A ＝10，∴A ＝5， ①－②得2B ＝－2，∴B ＝－1.探究3 探究2中，每个等式右边如果是代数式，如⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝x 2，A －B ＝4x ，能求A ，B 吗？【提示】能求A ，B .仍可以采用上述两种方法．两式相加得2A ＝x 2＋4x ，∴A ＝x 2＋4x2，两式相减得2B ＝x 2－4x ，∴B ＝x 2－4x2.求解析式，(1)已知f (x )＋2f (－x )＝1x，求f (x )；(2)已知2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝3x ，求f (x )．【精彩点拨】将f (x )与f (－x )，f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x分别看作两个变量，构造这两个变量的方程组，通过解方程组求f (x )．【自主解答】 (1)∵f (x )＋2f (－x )＝1x，①用－x 替换x 得f (－x )＋2f (x )＝－1x，②②×2－①得3f (x )＝－2x －1x ＝－3x ，∴f (x )＝－1x.(2)∵2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，用1x替换x 得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋f (x )＝3x，消去f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x得3f (x )＝6x －3x，∴f (x )＝2x －1x.方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如：互为倒数⎝ ⎛⎭⎪⎫f x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，互为相反数(f (－x )，f (x ))的函数方程，通过对称构造一个对称方程组，解方程组即可．在构造对称方程时，一般用1x或－x 替换原式中的x 即可．[再练一题]3．已知f (x )满足f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋x ，则f (x )的解析式为________. 【解析】用1x替换x 得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )＋1x，代入上式得f (x )＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2f x ＋1x ＋x ，解得f (x )＝－23x －x3.【答案】 f (x )＝－23x －x31．已知函数f (3x ＋1)＝x 2＋3x ＋2，则f (10)＝________.【解析】令3x ＋1＝10，∴x ＝3，代入得f (10)＝32＋3×3＋2＝20. 【答案】 202．已知f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )＝________. 【解析】设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)， ∵2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k －b ＝5，k ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，b ＝－2，∴f (x )＝3x －2. 【答案】 3x －23．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >0，π，x ＝0，0，x <0，则f ( f (－3))等于________．【解析】由分段函数式可知f (f (－3))＝f (0)＝π. 【答案】 π4．已知x ≠0时，函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x2，则f(x )的表达式为____________．【解析】 ∵f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x2＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2，∴f (x )＝x 2＋2(x ≠0)．【答案】 f (x )＝x 2＋2(x ≠0)5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，0≤x ≤2，2x ，x >2.(1)求f (2)，f (f (2))的值； (2)若f (x 0)＝8，求x 0的值.【解】 (1)∵0≤x ≤2时，f (x )＝x 2－4，∴f (2)＝22－4＝0，f (f (2))＝f (0)＝02－4＝－4.(2)当0≤x 0≤2时，由x 20－4＝8，得x 0＝±23(舍去)；当x 0>2时，由2x 0＝8，得x 0＝4. ∴x 0＝4.。

高一数学苏教版必修1教学案：第2章2函数的概念和图像(2)

江苏省泰兴中学高一数学教学案(12)必修1_02 函数函数的概念和图像（2）班级姓名目标要求1．进一步理解函数的概念，加深对函数的认识；2．会求一些简单函数的定义域，会求一些抽象函数的定义域； 3．能解决常见的已知定义域求参数范围问题．重点难点重点：函数的定义域的求法．难点：抽象函数的定义域．课堂互动例1 求下列函数的定义域：（1）8|3|152)(2-+--=x x x x f ；（2）xy 11111++=；（3）f （x ）=x|x |)1x (0-+．总结：求函数的定义域的步骤：思考：求函数定义域的主要依据有哪些？变题1：函数8|3|22-++-=x ax x y 的定义域为),5(]3,11()11,(+∞----∞Y Y ，那么a 的值为．例2 已知函数32++=ax x y 的定义域为R ，则a 的取值范围是变题：已知函数23y ax ax =++R ，则a 的取值范围是例3 （1）已知函数()y f x =的定义域为[]2,4-，则()2f x -的定义域是。

（2）已知()f x x =()2f x +的定义域是．变题：已知函数()y f x =的定义域为()0,1，求()2f x 及1f x ⎛⎫⎪⎝⎭的定义域．例4 已知)32(+x f 的定义域为()0,1，求()f x 的定义域．变题1：已知函数)32(+x f 的定义域为()0,1，求()21y f x =+的定义域．变题2：若函数()1y f x =+的定义域为[]2,3-，求函数()()()g x f x f x =-+ 的定义域．课堂练习1、函数2211x x y =--________________2、若函数()f x 的定义域是0,1[], 则函数(21)f x -的定义域是___________．3、求下列函数的定义域：(1) ()13f x x =-； (2) 21()1xf x =-； (3) 1()1f x x x =+．学习反思1、函数()y f x =的定义域, 即集合()A x y f x ={|=}的求法主要是要考虑一些限制： (1)分式的分母不等于0； (2)偶次根式的被开方数大于或等于0； (3)实际问题的实际需要．2、已知()f x 的定义域为[]b a x ,∈,其复合函数[])(x g f 的定义域应由不等式 ______________________解出．3、已知[])(x g f 的定义域为[]b a x ,∈,则函数f(x)的定义域为．江苏省泰兴中学高一数学作业(12)班级姓名得分1、函数01x y x x+=-的定义域为2、已知函数2()56x f x x =-- 的定义域是A , 函数()16g x x x =+-的定义域是B , 则A 、B 的关系是 _______________。

江苏省南通市天星湖中学高中数学必修一学案2-1-2 函数

课题： §2.1.2 函数的表示方法（1）【学习目标】1．理解函数的概念，了解函数表示的多样性，能熟练掌握函数的三种不同的表示方法．2．在理解掌握函数的三种表示方法基础上，了解函数不同表示法的优缺点，针对具体问题能合理地选择表示方法．3．通过教学，培养学生重要的数学思想方法——分类思想方法．【学习重点】函数的表示．【学习难点】针对具体问题合理选择表示方法．【学习过程】一、问题情境情境．你知道有哪几种表示函数的方法？请举例说明．二、数学建构1、函数的表示方法：⑴列表法：用列表来表示两个变量之间的函数关系的方法，其优点是函数的与一目了然． ⑵解析法：用来表示两个变量之间的函数关系的方法，其优点是函数关系清楚，容易从求出其对应的，便于用解析式研究函数的性质．⑶图象法：用来表示两个变量之间的函数关系的方法，其优点是能直观地反映函数值随变化的趋势．注意：三种不同方法的相互转化：能用解析式表示的，一般都能列出符合条件的表、画出符合条件的图，反之亦然；列表法也能通过图形来表示．三、数学运用例1．⑴设函数32)(+=x x f ，函数33)(-=x x g ，求))(()),((x f g x g f ．⑵已知1)(2-=x x f ，⎩⎨⎧>-<-=)0(2),0(,1)(x x x x x g ，求))(()),((x f g x g f ．例2.（1）已知2()43f x x x =-+，求(1)f x +．（2）已知2(1)2f x x x +=-，求()f x ．（3）已知()x x f=，求()f x ．（4）已知21)1(22++=-x x x x f ，求)(x f ．例3．已知)(x f 为二次函数，且()()42112++=-++x x x f x f ，求)(x f ．例4．如果函数)(x f 满足方程x xf x f 2)1()(2=+，求)(x f 的解析式．例5．已知)12()()(,1)0(+--=-=b a b a f b a f f ，求)(x f 的解析式．四、课堂检测1.已知函数()[)⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈∞-∈=,0,0,,1)(2x x x x x f ，求)1(+x f ．2.（1）已知f (x +1)=x +2x ,求f (x )的解析式．（2）已知,)11(x xx f =+-求)(x f ．3. 已知已知)(x f 为一次函数，12)]([-=x x f f ，求)(x f 的解析式．4.已知)(x f 满足方程3)(x f +)2(x f -=x -1，求)(x f ．五、课后作业1.（1）已知函数⎩⎨⎧<≥=)0()0()(2x x x x x f ，则)]2([-f f =．（2）设函数3,(10)()((5)),(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则(5)f ＝． 2.直线a x =与函数12+=x y ，（R x ∈）的图像的公共点的个数为．3.设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f 则=))((x g f ，=))((x f g ．4.物体从静止开始下落，下落的距离与下落时间的平方成正比．已知开始下落的s 2内，物体下落了m 6.19，则开始下落的s 3内物体下落的距离是．5.函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤<-=)41()10(2)0()(2x x x x x x f 的定义域为．6.已知函数2x y =，它的值域为[]4,1，试写出满足条件的一个函数．7.（1）已知函数22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若a a f 求,3)(=．（2）已知⎩⎨⎧<-≥=-=)0.(1)0.()(,12)(2x x x x g x x f ，求[][])(,)(x f g x g f ．8.（1）已知()5122+=-x x f ，求()f x ．（2）已知f x xx x x 11)1(22++=+,求)(x f 的解析式．9.已知f （x ）=⎩⎨⎧<≥,0,0,0,1x x 解不等式2)(≤+x x xf ．。

高中数学 2.1.2函数的表示方法学案苏教版必修1

2.1.2 函数的表示方法一、教学目标：1.明确函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法），了解三种表示方法各自的优点，在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。

2.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。

二、学习过程：1、复习回顾（1）函数的三要素是、、。

（2）已知函数f(x)=112 x ，f(0)= 、f (x)的定义域是、f(x 1)= 。

（预习课本P 33--P 35）2、新知探究探究任务：函数的三种表示方法讨论：结合具体实例，说明三种表示方法及优缺点。

小结：解析法：。

优点：。

图象法：。

优点：。

列表法：。

优点：。

3、典型例题例1 购买某种饮料x 听，所需钱数为y 元．若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y 表示成x (x ∈{1，2，3，4})的函数，并指出该函数的值域．例2已知函数f(x)=∣x ∣，（1）求f(-2)、f(-1)、f(1)、f(2)、f(0)的值；（2）画出该函数的图像。

尝试：画函数 f(x)=∣x-2∣、 f(x)=∣x+2∣图像.讨论：上述三个函数的图像有何共同特征？函数f(x)=∣x-2∣、 f(x)=∣x+2∣图像与函数f(x)=∣x∣图像之间有何联系？例3 徐州市出租车汽车收费标准如下：在3km以内（含3km）路程按起步价7元收费，超过3km以外的路程按2元/km。

1．某乘客坐车，若路程是2km则车费元，若路程是5km则车费是元。

2．试写出收费额y关于路程x的关系式。

引伸：某乘客坐车付车费15元，则该乘客的乘车路程是 km.。

4、达标检测（1）．1海里约合1852米，根据这一关系，则米数y关于海里数x的函数解析式。

（2）．用长为30cm的铁丝围成矩形，将矩形面积s（cm2）表示为矩形一边长x（cm）的函数。

（3）．已知()()[)⎩⎨⎧+∞∈+∞-∈+=,0,120,,322xxxxxf，求f(0)，f[f(-1)]的值。

高中数学 212函数的表示方法教案苏教版必修1 教案

课题
2.1. 2函数的表示方法
总课时数
第节
教学目标
1.明确函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法），了解三种表示方法各自的优点，在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。
2.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。
教学重难点
函数的三种表示方法，
作函数的图像
教学参考
教材、教参、
例2 某市出租汽车收费标准如下：在3km以内(含3km)路程按起步价7元收费，超过3km以外的路程按2.4元/km收费．试写出收费额关于路程的函数解析式．
归纳：分段函数：在定义域内不同的部分上，有不同的解析表达式的函数通常叫做分段函数．
跟踪练习：某公司将进货单价为8元一个的商品按10元一个销售，每天可卖出100个，若这种商品的销售价每个上涨1元，则销售量就减少10个．
（1）列表：
（2）图象：
（3）解析式：
练习：
（1）画出函数f(x)＝的图象．
（2）若f(x)＝求f(－1)，f(0)，f(2)，f(f(－1))，f(f(0))，f(f( ))的值．
课外作业
课本35页习题1,3,4
教学小结
授课方法
讲练结合
教学辅助手段
多媒体
专用教室
教学过程设计
教
学
二Байду номын сангаас备课
一、问题情境
1．情境．
下表的对应关系能否表示一个函数：
x
1
3
5
7
y
－1
－3
0
0
2．问题．如何表示一个函数呢？
二、学生活动
1．阅读课本掌握函数的三种常用表示方法；
2．比较三种表示法之间的优缺点．

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 2.1.2 函数的表示方法》3

分段函数的图像与性质
【学习目标】：
1 了解分段函数的定义．
2 掌握分段函数的性质与应用．
3 利用分段函数的图象解决与之相关的零点问题．
4 能处理分段函数与其他知识点的交汇问题．
【活动方案】：
活动一：通过练习探索分段函数有哪几个解题策略
1函数,假设实数满足那么的值为_____．
2函数那么关于的不等式的解集是______________
3假设函数，且两个不同的实根，那么实数的取值范围是．
活动二：应用探索了的分段函数的解题策略解题
例1：实数a≠0，函数f＝错误!假设f1－a＝f1＋a，那么a的值为________．例2：是定义在上的奇函数，当时，，那么不等式的解集用区间表示为
变式：函数,那么满足不等式的的范围是_________
例3函数假设函数有三个零点，那么实数的取值范围是_ ．
变式:函数，方程恰有两个不同的实根，那么实数的取值范围是
活动三：反思归纳
活动四：课堂检测
＝错误!假设对于任意t∈R，ft≤t恒成立，那么实数的取值范围是________．
2设函数，假设的值域为R，是实数的取值范围是
3实数,函数,假设,那么实数的值为___
4函数，假设函数恰有三个不同的零点，那么实数的取值范围是
5 函数那么不等式的解集为。

苏教版高中数学必修1《函数的表示方法》导学案

2.1.2 函数的表示方法【学习目标】掌握函数的三种表示方法，理解同一个函数可以用不同的方法表示；了解分段函数，会作其图象，并能简单地应用；会用待定系数法、换元法求函数的解析式。

【学习重点】掌握函数的三种表示方法；会用待定系数法、换元法求函数的解析式。

【学习难点】会用待定系数法、换元法求函数的解析式；了解分段函数，会作其图象，并能简单地应用。

一、问题情境1.以下表格是我国1949-1999年人口数据年份 1949 1954 1959 1964 1969 1974 1976 1984 1989 1994 1999 人口 542 603 672 705 807 909 975 1035 1107 1177 12462.一物体从静止开始下落，下落的距离y （m ）与下落时间()s x 之间近似关系是29.4x y =。

3.右图是某城市在某一天24小时内的气温变化情况二、新知学习1．函数的三种表示方法；2．三种表示方法各自的特点。

三、例题分析例1．购买某种饮料x 听，所需钱数是y 元。

若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y 表示为x {}()4,3,2,1∈x 的函数，并指出该函数的值域。

例2.求下列函数的解析式（1）已知()x f 是一次函数，且()[]14-=x x f f ，求()x f ；（2）已知()x f 是二次函数，且满足()()()x x f x f f 21,10=-+=，求()x f 。

小结：例3.（1）已知函数()x f =y 满足()x x 21x f +=+，求()x f ；（2）已知函数()x f =y 满足21x 1-x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛x x ，求()x f 。

小结：例4. （1）的定义域和值域。

（2）。

高中数学 212(函数的表示方法1)教学案苏教版必修1 学案

函数表示方法(1)教学目标：1.进一步理解和掌握表示两个变量之间的函数关系的方法——列表法、解析法、图像法.2.能根据条件求出两个变量之间的函数解析式.3.培养抽象概括能力和解决问题的能力.教学重点：利用待定系数法、配凑法、换元法等求函数解析式教学难点：利用换元法求函数解析式。

课前预习1. 二次函数的形式：⑴一般式：____________________________()0,,,≠∈a R c b a ;⑵交点式：_______________________________________,其中21,x x 分别是)(x f 的图像与x 轴的两个交点的横坐标；⑶顶点式：_______________________________________,其中()11,y x 是抛物线顶点的坐标. 2. 已知函数类型，求函数解析式，常用待定系数法.例如：求二次函数解析式的基本步骤是：⑴______________________________________________________; ⑵______________________________________________________; ⑶______________________________________________________. 典型例题例1：⑴已知一次函数满足5)0(=f ，图像过点()1,2-，求)(x f ；⑵已知二次函数)(x g 满足5)1(,1)1(=-=g g ，图像经过原点，求)(x g ； ⑶已知二次函数)(x h 与x 轴的两个交点为()()0,3,0,2-，且3)0(-=h ，求)(x h ； ⑷已知二次函数)(x F ，求图像的顶点是)2,1(-,且经过原点.例2：函数)(x f 在闭区间[]2,1-上的图像如右图所示，求函数)(x f 的解析式.例3：⑴已知34)(2+-=x x x f ，求()1+x f ；⑵已知()x x x f 212-=+，求()x f ；⑶已知()x x x f21+=+，求()x f ；⑷已知2211xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，求()x f . 例4⑴已知函数()x f 是一次函数，若()[]59+=x x f f ,求()x f .⑵已知函数()x f 是二次函数，且()()342112+-=-++x x x f x f ,求()x f .课堂练习：1. 图像与x 轴的两个交点为()()0,5,0,2，且10)0(=f ；___________________________.2. 若()1232-=x x f ，则()x f 的解析式为3. 已知函数()13-=x x f ，()32+=x x g 则()[]x g f = ,()[]x f g =4. 若函数x x x x x f 112++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，则()x f = 课堂小结：。

高中数学 2.1.2函数的表示方法学案苏教版必修1-苏教版高一必修1数学学案

【金版学案】2015-2016年高中数学 2.1.2函数的表示方法学案苏教版必修11．表示函数的三种常用方法分别是解析法、图象法、列表法． 2．列表法就是用列表来表示两个变量之间函数关系的方法． 3．图象法就是用图象来表示两个变量之间函数关系的方法． 4．解析法就是用等式来表示两个变量之间函数关系的方法．5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，1x，x ＜0.若f (a )＞a ，则实数a 的取值范围是{a |a ≥0或a ＜－1}．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤1，－x ＋3，x ＞1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52等于(B )A.12B.32C.52D.927．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ＞0，π，x ＝0，0，x ＜0，则f (f (f (－1)))＝π＋1．8．已知f (2x －1)＝x 2(x ∈R )，f (x )的解析式为f (x )＝（x ＋1）24．,一、函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种． (1)解析法．优点：用解析法表示函数的优点，一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是通过解析式可求出任意一个自变量对应的函数值．(2)列表法．优点：列表法的优点是不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，这种表格常常应用到实际生产和生活中去．(3)图象法．优点：用图象法表示函数关系的优点，是能直观形象地表示出函数的变化情况．二、求函数解析式的常见题型与解题方法 (1)已知f (x )与g (x )，求f (g (x ))类型．这种题型一般用“代入法”求解，即把f (x )中的x 代换为g (x )，并运算化简即可． (2)已知f (h (x ))＝g (x )，求f (x )类型．这种题型一般用“换元法”或“配凑法”求解．用“换元法”，可设t ＝h (x )，并解得x ＝h －1(t )，然后代入g (x )中可得f (t )＝g (h －1(t ))，最后将t 换成x 便得f (x )＝g (h －1(x ))．使用换元法时，要留心换元前后的等价性．用“配凑法”时，要将g (x )配凑成h (x )的多项式，并以x 替换h (x )即可．(3)已知f (x )满足某个等式，这个等式除含有f (x )这个未知量外，还有其他未知量，如f (－x )，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 等．这种题型一般用“解方程组法”求解．求解的关键是根据已知的等式以代换的方式构造另一个关于f (x )的等式，并与已知的等式组成方程组，解该方程组即可求得f (x )．(4)已知f (x )的结构特征，求f (x )．这种题型一般用“待定系数法”求解，依据f (x )的结构特征设出f (x )的表达式，由已知条件列出关于f (x )中未知参数的方程组，解出方程组后代回f (x )即可．(5)已知f (x )的图象，求f (x )．这类题型一般用“数形结合”的方法求解．求解时，要紧紧抓住图象特征，并留心端点值的归属问题．(6)实际问题意义下函数解析式的求法．这种题型要通过仔细阅读题目，合理引入变量，将实际问题抽象归纳出函数的问题，从而建立起相应的函数关系式．三、分段函数理解分段函数应注意以下几点：(1)分段函数是生产生活中的重要函数模型，应用非常广泛．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，分段函数是一个函数，不是两个或多个函数，其本质是在定义域的不同区间，对应关系不同．(3)分段函数的每一段或者说区间，可以是等长的，也可以是不等长的．(4)画分段函数的图象时，要特别注意自变量取区间端点处的函数值情况，这也往往是判断图形是否为函数的图象的关键所在．基础巩固1．如图，在△AOB 中，点A (2，1)，B (3，0)，点E 在射线OB 上自O 开始移动．设OE ＝x ，过E 作OB 的垂线l ，记△AOB 在直线l 左边部分的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象是(D )解析：当0≤x ≤2时，S ＝14x 2，排除B 、C ；当2＜x ≤3时，S ＝12×3×1－12(x －3)2＝12(－x 2＋6x －6)；当x ＞3时，S ＝12×3×1＝32.2．某同学从家里赶往学校，一开始乘公共汽车匀速前进，在离学校还有少许路程时，改为步行匀速前进到校．下列图形纵轴表示该同学与学校的距离s ，横轴表示该同学出发后的时间t ，则比较符合该同学行进实际的是(D )解析：依题意：s 表示该同学与学校的距离，t 表示该同学出发后的时间，当t ＝0时，s 最远，排除A 、B ，由于汽车速度比步行快，因此前段迅速靠近学校，后段较慢．故选D.3．g (x )＝1－2x ，f (g (x ))＝1－x2x2(x ≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝(C )A ．1B ．3C ．15D ．30解析：由g (x )＝12得：1－2x ＝12⇒x ＝14，代入1－x2x2得：1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝15.4．定义两种运算：a ⊕b ＝a 2－b 2，a ⊗b ＝（a －b ）2，则函数f (x )＝2⊕x （x ⊗2）－2的解析式为(D )A ．f (x )＝4－x2x，x ∈[－2，0)∪(0，2]B ．f (x )＝x 2－4x ，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．f (x )＝－x 2－4x，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．f (x )＝－4－x2x，x ∈[－2，0)∪(0，2]解析：由题知2⊕x ＝4－x 2，x ⊗2＝（x －2）2，则f (x )＝4－x2（x －2）2－2，又4－x2≥0，∴－2≤x ≤2，则f (x )＝4－x 22－x －2＝－4－x2x，－2≤x ≤2，且x ≠0.5．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n －3，n ≥10，f （f （n ＋5）），n <10(n ∈N *)，则f (5)＝(D)A ．5B ．6C ．7D ．8解析：f (5)＝f [f (10)]＝f (7)＝f [f (12)]＝f (9)＝f [f (14)]＝f (11)＝11－3＝8.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x ，x ≤0，2，x >0，则方程f (x )＝x 的解的个数为________．解析：x >0时，x ＝f (x )＝2；x ≤0时，x 2＋3x ＝x ⇒x ＝0或－2. 答案：3个7．已知正方形的周长为x ，它的外接圆半径为y ，则y 关于x 的解析式是________．答案：y ＝28x 8．若f (x )＝x 2＋4x ＋3，f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24(a ，b 为常数)，则5a －b ＝________．解析：∵f (x )＝x 2＋4x ＋3， ∴f (ax ＋b )＝(ax ＋b )2＋4(ax ＋b )＋3 ＝a 2x 2＋(2ab ＋4a )x ＋b 2＋4b ＋3.又f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，2ab ＋4a ＝10，b 2＋4b ＋3＝24⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－7. ∴5a －b ＝2. 答案：29．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x ＝1－x 21＋x 2，求f (x )的解析式．解析：令1＋x 1－x ＝t ，则x ＝t －1t ＋1，∴f (t )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t ＋121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t ＋12＝2t t 2＋1，∴f (x )＝2xx 2＋1. 由于t ＝1＋x 1－x ＝－1＋21－x ≠－1，∴f (x )＝2xx 2＋1(x ≠－1)．10．已知二次函数满足f (3x ＋1)＝9x 2－6x ＋5，求f (x )．解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (3x ＋1)＝a (3x ＋1)2＋b (3x ＋1)＋c ＝9ax 2＋(6a ＋3b )x ＋a ＋b ＋c . ∵f (3x ＋1)＝9x 2－6x ＋5，∴9ax 2＋(6a ＋3b )x ＋a ＋b ＋c ＝9x 2－6x ＋5. 比较两端系数，得⎩⎪⎨⎪⎧9a ＝9，6a ＋3b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝8.∴f (x )＝x 2－4x ＋8.11．已知二次函数f (x )的图象经过A (0，2)，B (1，0)，C (3，2)三点，求f (x )的解析式．解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，把A ，B ，C 三点坐标代入得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＋b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝2⇒⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－3，c ＝2.∴f (x )＝x 2－3x ＋2. 能力提升12．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一位代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一位代表，那么各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为(B )A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410 D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510解析：当x ＝56时，y ＝5，排除C ，D ；当x ＝57时，y ＝6，排除A.∴只有B 正确．13．任取x 1、x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＞12[f (x 1)＋f (x 2)]，则f (x )在[a ，b ]上是凸函数，在以下图象中，是凸函数的图象是(D )解析：只需在图形中任取自变量x 1，x 2，分别标出它们对应的函数值及x 1＋x 22对应的函数值，并观察它们的大小关系即可．14．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧Cx，x <A ，CA ，x ≥A ，A ，C 为常数．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是(D )A ．75，25B ．75.16C ．60，25D ．60，16解析：：由条件可知，x ≥A 时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必须满足第一段分段函数，即f (4)＝C4＝30⇒C ＝60，f (A )＝60A＝15⇒A ＝16.15．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出：x 1 2 3 f (x )1 3 1x 1 2 3 g (x )321则f (g (1))的值为f g x g f x x 值是________ 解析：f (g (1))＝f (3)＝1，当x ＝1时，f (g (1))＝f (3)＝1，g (f (1))＝g (1)＝3，不满足；当x ＝2时，f (g (2))＝f (2)＝3，g (f (2))＝g (3)＝1，满足；当x ＝3时，f (g (3))＝f (1)＝1，g (f (3))＝g (1)＝1，不满足． ∴x ＝2. 答案：1 216．设函数f (x )＝⎩⎨⎧（x ＋1）2，x ＜1，4－x －1，x ≥1，则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围为________．解析：x ＜1时，f (x )≥1⇔(x ＋1)2≥1⇔x ≤－2或x ≥0⇔x ≤－2或0≤x ＜1；x ≥1时，f (x )≥1⇔4－x －1≥1⇔x －1≤3⇔x ≤10⇒1≤x ≤10.∴x ≤－2或0≤x ≤10. 答案：(－∞，－2]∪[0，10]17．定义运算a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b ，则对x ∈R ，函数f (x )＝x *(2－x )的解析式为f (x )＝________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤1，2－x ，x ＞1.18．某种商品在30天内每件的销售价格P (元)与时间t (天)的函数关系用图甲表示，该商品在30天内日销售量Q (件)与时间t (天)之间的关系如下表所示：(1)根据提供的图象(t 的函数解析式； (2)在所给平面直角坐标系(图乙)中，根据表中提供的数据描出实数对(t ，Q )的对应点，并确定一个日销售量Q 与时间t 的函数解析式；(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)．解析：(1)根据图象，每件的销售价格P 与时间t 的函数解析式为：P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20，0＜t ＜25，t ∈N ，－t ＋100，25≤t ≤30，t ∈N . (2)描出实数对(t ，Q )的对应点，如下图所示．从图象发现：点(5，35)，(15，25)，(20，20)，(30，10)似乎在同一条直线上，为此假设它们共线于直线l ：Q ＝kt ＋b .由点(5，35)，(30，10)确定出l 的解析式为Q ＝－t ＋40，通过检验可知，点(15，25)，(20，20)也在直线l 上．∴日销售量Q 与时间t 的一个函数解析式为Q ＝－t ＋40(0＜t ≤30，t ∈N )．(3)设日销售金额为y (元)，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋20t ＋800，0＜t ＜25，t ∈N ，t 2－140t ＋4 000，25≤t ≤30，t ∈N . 因此y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－（t －10）2＋900，0＜t ＜25，t ∈N ，（t －70）2－900，25≤t ≤30，t ∈N . 若0＜t ＜25(t ∈N )，则当t ＝10时，y max ＝900；若25≤t ≤30(t ∈N )，则当t ＝25时，y max ＝1 125. 因此第25天时销售金额最大，最大值为1 125元．。

122函数的表示方法探究学案(苏教版必修一).docx

1.2.2函数的表示方法第一课时函数的几种表示方法一、预习目标通过预习理解函数的表示二、预习内容1 .列表法：通过列出 ______ 与对应____________ 的表来表示_____________ 的方法叫做列表法2._______________ 图象法：以____________ 为横坐标，对应的_____ 为纵坐标的点的集合，叫做函数y=f (x)的图彖，这种用“图形”表示函数的方法叫做图彖法.3.解析法(公式法)：用________ 来表达函数y=f (x) (XG A)中的f (x),这种衣达函数的方法叫解析法，也称公式法。

4.分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着 ___________________ 这样的函数通常叫做____________ 0三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下而的表格中课内探究学案一、学习冃标1.掌握函数的三种主耍表示方法2.能选择恰当的方法表示具体问题中的函数关系3.会I出i简单函数的图像学习重难点：图像法、列表法、解析法表示函数二、学习过程表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.例如，s=60厂，2兀『,S=2创,y=a/+bx+c(aH 0),尸坂二^(x»2)等等都是用解析式表示函数关系的.优点：一是简明、全面地概括了变虽间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变虽的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.例如，学生的身高单位：厘米数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，银行里的利息表，列千吋刻表等等都是用列表法来表示函数关系的•公共汽车上的票价表优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课木中我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图彖，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的.优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋这样使得我们可以通过图象來研究函数的某些性质.三、例题讲解例1某种笔记本每个5元，买xe {1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y (元)，试写出以x为口变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图像.解：这个函数的定义域集合是{1,2,3,4},函数的解析式为y=5x, xW{l,2,3,4}.它的图象由4个孤立点A(l, 5) B(2, 10) C(3, 15) D20)组成，如图所示亠变式练习]设f(x + x~l) = x3 +x~3, g(x + x~') = x2 +x~2求九g(x)]。

高中数学：2.1《函数的表示方法(2)》教案(苏教版必修1)

用心爱心专心高中数学：2.1《函数的表示方法（2）》教案（苏教版必修1）1．掌握函数的概念，能正确求出函数的定义域、值域；2．领会题意正确地求出两个变量的函数关系；3．能解决简单的复合函数的解析式和定义域问题．自学评价1．下列函数中，与2(2)y x x=->相同的函数是（ D ） A ．2-=x y B ．2-=x y C ．22--=x x y D ．2)22(--=x x y 2．下列图象中，表示函数关系()y f x =的是（ A ）3．作出函数221,[1,3)y x x x =--∈-的图象。

解：2(1)2,[1,3)y x x =--∈-例1：（1）若设函数()f x =的定义域为，(1)f x += ，函数(1)y f x =+的定义域为。

（2）若函数()y f x =的定义域为[1,3)，则函数(1)y f x =+的定义域为。

解：（1）由10x -≥得1x ≥，∴()f x 的定义域为[1,)+∞，(1)f x +==，∴(1)y f x =+的定义域为[0,)+∞。

（2）从（1）的解决可以体会，（1）中函数(1)y f x =+的定义域实际可以由11x +≥求出。

从形式上看，函数()y f x =的定义域为[1,3)，即“f ”后面的“（）”内的范围为[1,3)，故(1)y f x =+的定义域应由113x ≤+<得到，即02x ≤<。

例2：如图实线部分，某电影院的窗户的上部呈半圆形，下部呈矩形。

已知窗户的外框的周长是l ，矩形的水平边的长是x ，求窗户的采光面的面积y 与x 的函数解析式，并指出函数的定义域。

【解】由题意AB x =，2CD x π=，22l x x AD π--=，∴2()2222x l x x y x ππ--=⋅+，即2482ly x x π+=+。

由问题的实际意义可知： AABCD x用心爱心专心0202x l x xπ>⎧⎪⎪⎨--⎪>⎪⎩，解得202l x π<<+。

苏教版数学高一《函数的表示方法》精品学案

执笔人：夏文秀审核人：2011年9月日第二章 2.1.2函数的表示方法（2）第4课时
【教师活动】
【教学目标】
1.进一步理解函数的表示方法的多段函数的表示，能根据实际问题列分段函数；
2.能较为准确地作出分段函数的图【教学重难点】
分段函数的图象、定义域和值域【教学准备】
多媒体
【教学活动】
1 问题情境
2 师生互动
3 建构数学
4 数学应用
5 课堂练习
【教学反思】【学生活动】
【学习目标】
1．理解分段函数的概念
2.能根据实际问题列出符合题意的分段函数，能较为准确数的图象
【课时安排】
1课时
【课前预习】
如何画函数的图像？
【课堂探究】
一．问题情境
函数f(x)＝|x|与f(x)＝x是同一函数么？区别在什么地方？二．师生互动
三．建构数学
1．分段函数的概念：
注意点：（1）
（2）
(3)
四．数学应用
例1.某市出租汽车收费标准如下：在3km以内(含3km)元收费，超过3km以外的路程按2.4元/km收费．试写出程的函数解析式．
例2.将函数f(x)＝| x＋1|＋| x－2|表示成分段函数的形式象，根据图象指出函数f(x)的值域．
【当堂练习】
1.书本第31页练习2。

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