九年级数学实际问题与一元二次方程7
九年级数学一元二次方程与实际问题题型归纳
九年级数学一元二次方程与实际问题题型归纳实际问题与一元二次方程题型归纳总结一、列一元二次方程解应用题的一般步骤：列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，可归纳为七个步骤：“审、找、设、列、解、验、答”。
1）审：审清题意，弄清已知量与未知量；2）找：找出等量关系；3）设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；4）列：列出一元二次方程；5）解：求出所列方程的解；6）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意；7）答：作答。
二、典型题型1.数字问题例1：有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。
例2：有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字的和是6，如果把它的个位上的数字与十位上的数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积就等于1008，求调换位置后得到的两位数。
练：1、两个连续的整数的积是156，求这两个数。
2、一个两位数等于它个位上数字的平方，个位上的数字比十位上的数字大3，则这个两位数为（）A。
25.B。
36.C。
25或36.D。
-25或-362.传播问题公式：(a+x)n=M，其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数。
例3：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？例4：有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为（）A。
8.B。
9.C。
10.D。
11练：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？3.相互问题（循环、握手、互赠礼品等）问题1.循环问题：又可分为单循环问题n(n-1)和双循环问题n(n-1)。
例5：参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？例6：参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？例7：一次会上，每两个参加会议的人都相互握手一次，一共握手66，请问参加会议的人数共有多少人？例8：生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他同学各赠送1件，全组共互赠了182件，设全组有x个同学，则根据题意列出的方程是（）A。
九年级上册数学一元二次方程解实际问题公式
九年级上册数学一元二次方程解实际问题公式九年级上册数学一元二次方程解实际问题公式在九年级上册数学学习中，解决一元二次方程实际问题是重要的一环。
一元二次方程是由一次项、二次项和常数项组成的方程，其一般形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b和c分别为实数且a≠0。
在解决实际问题时，可以利用一元二次方程的公式来求解。
一元二次方程的解可以通过公式来求解，即二次方程的求根公式：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a这个公式是通过将一元二次方程化简后得到的，其中 b² - 4ac 被称为判别式。
判别式的值会决定方程的解的情况。
根据判别式的不同情况，可以得到方程有两个实根、有一个实根还是无实根。
当判别式的值大于0时，即 b² - 4ac > 0，方程有两个实根。
此时，可以使用上述公式来求解，并计算出两个不同的解。
当判别式的值等于0时，即 b² - 4ac = 0，方程有一个实根。
此时，也可以使用公式来求解，并计算出唯一的解。
当判别式的值小于0时，即 b² - 4ac < 0，方程无实根。
在这种情况下，方程无法用公式求解。
需要注意的是，当方程无实根时，我们可以通过观察方程的系数来判断其解的情况。
例如，当二次项系数a大于0时，方程图像开口向上，无实根；当二次项系数a小于0时，方程图像开口向下，也无实根。
在实际问题中，我们可以将问题抽象为一元二次方程，然后利用上述的公式来求解。
例如，某个问题要求解一个运动员从起点出发，在给定的速度和时间内到达终点的距离问题。
我们可以通过设定一个未知变量来表示距离，然后建立一元二次方程，利用公式来求解出这个未知变量的值。
总之，九年级上册的数学学习中，解决一元二次方程实际问题是一个重要的内容。
掌握一元二次方程的解法，并理解公式的原理和应用场景，能够帮助我们更好地解决实际问题，提高数学解题的能力。
实际问题与一元二次方程知识点总结及重难点精析
实际问题与一元二次方程知识点总结及重难点精析一、知识点总结1.在九年级数学中，实际问题与一元二次方程这一章知识点主要包括：一元二次方程的基本概念、性质及其在实际问题中的应用。
2.一元二次方程的基本概念：一元二次方程是一个含有未知数x 的整式方程，其一般形式为ax²+bx+c=0(a≠0)。
其中a、b、c为常数，a≠0.且x的最高次数为2.3.一元二次方程的性质：一元二次方程有四个性质，分别是：(1) 有两个解，即x1和x2;(2) 两解的和为-b/a;(3) 两解的积为c/a;(4) 判别式△=b²-4ac，当△>0时，方程有两个不相等的实数解;当△=0时，方程有两个相等的实数解;当△<0时，方程没有实数解。
4.一元二次方程的应用：在实际问题中，一元二次方程通常用于解决一些二次关系的问题，比如物体的运动轨迹、建筑物的面积和体积、经济利润最大化等问题。
二、重难点精析在本章节中，重难点主要包括如何将实际问题转化为数学问题、一元二次方程的解法以及根的性质和应用。
1.如何将实际问题转化为数学问题：在解决实际问题时，需要从题目中提取出有用的信息，并转化为数学语言。
这需要学生具备一定的阅读理解能力和数学建模能力。
2.一元二次方程的解法：一元二次方程的解法有公式法和因式分解法两种。
公式法是通过公式直接求解，但需要学生记忆公式。
因式分解法是通过将方程左边分解成两个一次因式的乘积，再分别令每个因式等于0来求解。
这种方法更直观易懂，但需要学生掌握因式分解的技巧。
3.根的性质和应用：根的性质包括前面提到的两个解的和、积和判别式。
这些性质在解决实际问题时具有重要应用。
例如，利用判别式可以判断方程是否有实数解，从而确定实际问题是否有解;利用两解的和可以计算实际问题的某些物理量，如位移等。
三、总结通过以上知识点总结和重难点精析，我们可以看到实际问题与一元二次方程这一章知识点的重要性和应用价值。
九年级数学实际问题与一元二次方程教案
德育渗透
通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．
A．（1+25%）（1+70%）a 元 B．70%（1+25%）a 元
C．（1+25%）（1-70%）a 元 D．（1+25%+70%）a 元
○2 ．某商场的标价比成本高 p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，•售价的折扣（即
降低的百分数）不得超过 d%，则 d 可用 p 表示为（ ）．
A． p 100 p
1000+2000x·80%；第二次存，本金就变为 1000+2000x·80%，其它依此类推． 课本 46 页探究 2 分析：
设甲种药品的成本年平均下降率为 x，则一年后甲种药品成本是多少？两年后甲种药 品成本是多少？相关的等量关系是什么？类似的乙甲种药品成本的年平均下降率是多 少？相关的等量关系是什么？方程的解都是该问题的解吗？如果不是，如何选择？为什 么？ 如何回答课本 46 页思考？ 归纳：
B．p C． 100 p 1000 p
D． 100 p 100 p
○3 ． 2009 年一月份越南发生禽流感的养鸡场 100 家，后来二、•三月份新发生禽流感的 养鸡场共 250 家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为 x，依题意列出的方程是（ ）．
A．100（1+x）2=250 B．100（1+x）+100（1+x）2=250 C．100（1-x）2=250 D．100（1+x）2
一元二次方程与实际问题的公式
一元二次方程与实际问题的公式一、引言在数学学科中，一元二次方程是一种经典的数学概念。
它在代数学和实际问题中有着重要的应用。
本文将深入探讨一元二次方程及其在实际问题中的应用，帮助读者更加全面地理解这一数学概念。
二、一元二次方程的基本形式和求解方法一元二次方程通常写作ax²+bx+c=0的形式，其中a、b和c是已知的常数，而x是未知数。
解一元二次方程可以使用因式分解、配方法和求根公式等方法。
这些方法能够帮助我们找到方程的根，进而解决各种实际问题。
三、一元二次方程在几何中的应用以一元二次方程为基础的二次函数能够描述抛物线的形状。
抛物线在现实生活和几何中都有广泛的应用，比如天文学中的行星运动轨迹、物理学中的抛体运动等。
一元二次方程在几何中有着重要的地位。
四、一元二次方程在经济学中的应用在经济学中，成本、收益和利润往往是与生产量或销售量相关的。
这些关系通常可以用一元二次方程来描述。
通过求解一元二次方程，我们可以找到最大化利润或最小化成本的最优解，这对企业经营和管理有着重要的指导意义。
五、一元二次方程在物理学中的应用在物理学中，一元二次方程经常出现在描述运动、力学和波动等方面。
比如自由落体运动、弹簧振动系统的频率等问题，都可以用一元二次方程来建模和求解。
六、总结与展望通过对一元二次方程的深入探讨，我们可以看到它在数学、几何、经济学和物理学中都有着广泛的应用。
它不仅是一种抽象的数学概念，更是解决实际问题的有力工具。
希望本文能够帮助读者更好地理解一元二次方程及其在实际问题中的应用，让数学变得更加具体和生动。
七、个人观点在我看来，数学中的一元二次方程不仅是一种工具，更是一种思维方式。
通过对实际问题的抽象和建模，我们可以运用数学的知识和方法来解决各种复杂的问题。
我认为掌握一元二次方程及其应用是非常重要的。
希望读者能够通过本文的阅读，对一元二次方程有更深入的理解和应用。
通过本文对一元二次方程的探讨，我们可以深刻地理解这一数学概念所蕴含的丰富内涵。
九年级-实际问题与一元二次方程
A．80（1+x）2=275
B．80+80（1+x）+80（1+x）2=275
C．80（1+x）3=275
D．80（1+x）+80（1+x）2=275
4. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 100 人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染的人数是 x
人，则下列方程正确的是（ ）
A．1+x2=100
B．（40-2x）（70-3x）=2450 D．（40-x）（70-x）=2450
【例21】（2011 江苏宿迁）如图，邻边不．等．的矩形花圃 ABCD，它的一边 AD 利用已有的围墙，另外三边 所围的栅栏的总长度是 6m．若矩形的面积为 4m2，则 AB 的长度是 m（可利用的围墙长度超过 6m）．
6
不Ⅽ揉ⓧň∁㪴作ʼn棏歹
【例5】有一只鸡患了 H7N9 流感，经过两轮传染后共有 100 只鸡患了流感，那么每轮传染中，平均一只 鸡传染的只数为______________________________
【例6】（2013 襄阳）有一人患了流感，经过两轮传染后共有 64 人患了流感． （1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
.
2. 某城市居民最低生活保障在 2009 年是 240 元，经过连续两年的增加，到 2011 年提高到 345.6 元．则
该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是
.
3. 某经济开发区今年一月份工业产值达到 80 亿元，第一季度总产值为 275 亿元，问二、三月平均每月
的增长率是多少？设平均每月的增长率为 x，根据题意所列方程是（ ）
【例13】足球世界杯预选赛实行主客场的循环赛，即每两支球队都要在自己的主场和客场踢一场.共举行比 赛 210 场，则参加比赛的球队共有____________支.
人教版九年级数学上册实际问题与一元二次方程
量平均每年须降低的百分率是
．
（2）若明年年底要将图书增加到7.
5(1+x)(1+x) 1400（1-x)2=12600.
完成任务，求原计划每天打多少口井？
开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，用代数式表示，第一轮后共有_______人患了流感；
【解析】设原计划每天打x口井，由题意可列方程 5000（1－x）2=3000
如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？
平均一个人传染了____个人．
5(1+x)(1+x)
若设每年的平均增长率为x
解应用题的步骤类似，即审、设、列、解、检、答．
学校图书馆去年年底图书馆有藏书5万册，为了扩大同学们的阅读量，准备购买新图书
=(1+10)+10(1+10)+10×10(1+10)
不但要考虑它们的平均下降额，而且要考虑它们的平均 下降率．
跟踪训练
如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有 一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小 岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头：小岛F位于BC上且恰 好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡 航，一般补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行， 欲将一批物品送达军舰． (1)小岛D和小岛F相距多少海里? (2)已知军舰的速度是补给船的2倍， 军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E 处， 那么相遇时补给船航行了多少海 里?（结果精确到0.1海里）
5000（1－x）
2=3000
解方程，得: x1≈0.225，x2≈1.775
根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率 约为22.5％
初三数学—实际问题与一元二次方程
解：设四周的等宽草坪的宽为x米， 则花坛的长和宽分别为(42x)米和(32x)米， 根据题意，得
(42x)(32x)2[43(42x)(32x)] 整理，得 2x27x20
解得
，
.
当x3.19时，42x0, 不合题意，舍去； 当x0.31时，42x3.383.4, 32x2.382.4. 符合题意. 答：花坛的长约为3.4米，宽约为2.4米.
1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度
沿BC边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后△
PBQ的面积等于8cm2？
D
C
Q
A
B
P
解：设x秒后△PBQ的面积等于8cm2 根据题意，得 1 2x (6 x) 8
2
整理，得 x2 6x 8 0
[例1] 已知两个数的差是8，积是209，求这两个数.
解：设较小的数为x，则较大的数为(x+8)， 根据题意，得x(x8) 209 x28x16209+16 (x4)2225
x415 ∴x111, x219 当x=11时，x819； 当x19时，x811.都符合题意. 答：这两个数分别11和19，或19和11.
x1 1 2 0.414 41.4%, 符合题意. x2 1 2 0不合题意，舍去. 答：这两年中市财政净收入的平均年增长率约为41.4%.
[例6] 某服装店原计划按每套200元的价格销售一批 保暖内衣，但上市后销售不佳，为减少库存积压， 两次连续降价打折处理，最后价格调整为每套128元 .若两次降价折扣率相同,求每次降价率为多少？两次 打折标示多少折？
a(1 x)n b
其中增长取+,降低取－
人教版 九年级数学 实际问题与一元二次方程讲义 (含解析)
第3讲实际问题与一元二次方程知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初三，基础偏上B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们重点学习根与系数的关系以及一元二次方程在实际问题中的应用，能够熟练使用根与系数的关系进行代数式的求解，对常见的一元二次方程的应用有一定的了解，本节课的难点在于实际问题中的一元二次方程的构造，是中学阶段关于应用题部分常考的一个知识点，希望同学们认真学习，为后面的二次函数的学习奠定良好的基础。
知识梳理讲解用时：25分钟根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△=b2﹣4ac）判断方程的根的情况，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：△当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；△当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；△当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立。
课堂精讲精练【例题1】已知x1，x2是关于x的方程x2+nx+n-3=0的两个实数根，且x1+x2=﹣2，则x1x2=。
【答案】﹣1【解析】本题主要考查了根与系数的关系，△x1，x2是关于x的方程x2+nx+n﹣3=0的两个实数根，且x1+x2=﹣2，△﹣n=﹣2，即n=2，△x1x2=n﹣3=2﹣3=﹣1．讲解用时：2分钟解题思路：利用根与系数的关系求出n的值，再利用利用根与系数的关系求出两根之积即可。
教学建议：熟练运用根与系数的关系。
难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：潜江模拟年份：2018 【练习1】设x1、x2是方程x2-x-2017=0的两实数根，则x12+x1x2+x2-2=。
【答案】﹣1【解析】本题主要考查了根与系数的关系，△x1、x2是方程x2﹣x﹣2017=0的两实数根，△x12﹣x1﹣2017=0，x1+x2=1，x1•x2=﹣2017，△x12=x1+2017，△x12+x1x2+x2﹣2=x1+2017+x1x2+x2﹣2=x1+x2+x1x2+2015=1﹣2017+2015=﹣1．讲解用时：5分钟解题思路：根据一元二次方程的解的定义得到：x 12=x 1+2017，结合根与系数的关系得出与系数的关系得出x 1+x 2=a b ，x 1•x 2=ac ，代入求出即可。
9年级上册数学一元二次方程
九年级上册数学一元二次方程一、一元二次方程的基本概念一元二次方程是一个只含有一个未知数（通常表示为x），且未知数的最高次数为2的方程。
其标准形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是常数，且a≠0。
二、一元二次方程的解法配方法：通过配方将方程转化为(x+b)^2=d的形式，然后直接开平方求解。
公式法：根据一元二次方程的根的判别式Δ=b^2-4ac，当Δ≥0时，方程有2个实根。
根为x=(-b±√Δ)/2a。
因式分解法：将方程左边化为两个因式的乘积，右边化为0，然后分别令每个因式等于0求解。
三、一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式Δ=b^2-4ac。
根据判别式的不同取值，一元二次方程的根的情况分为以下三种：当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。
当Δ=0时，方程有两个相等的实根（重根）。
当Δ<0时，方程没有实根（称为虚根），但有共轭复数根。
四、一元二次方程的根与系数的关根的和：x1+x2=-b/a。
根的积：x1*x2=c/a。
根的平方和：x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1*x2=(b^2-2ac)/a^2。
的立方：x1^3+x2^3=(x1+x2)(x1^2+x2^2-x1*x2)=-b^3/a^3+c^3/a^3=(c^3-b^3)/a^3。
五、一元二次方程的应用一元二次方程在日常生活和生产实践中有着广泛的应用，如计算几何图形的面积、解决商品利润问题等。
解决这类问题时，需要将实际问题转化为数学模型，即建立一元二次方程，然后求解得到实际问题的答案六、配方法解一元二次方程将一元二次方程化为(x+b)^2=d的形式，然后直接开平方求解。
这种方法适用于所有形式的一元二次方程，但在使用时需要注意运算的准确性。
七、公式法解一元二次方程根据一元二次方程的根的判别式Δ=b^2-4ac，当Δ≥0时，使用公式法可以直接求解出方程的实根。
此方法简洁明了，但需要注意判别式的计算以及实根的存在性。
实际问题与一元二次方程知识点讲解2021-2022学年人教版数学九年级上册
21.3实际问题与一元二次方程知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤：与列一元一次方程解应用题的步骤类似，列一元二次方程方程解实际问题的一般步骤也可归纳为：“审、找、设、列、解、验、答”七个步骤。
（1）设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；（2）找：找出等量关系；（3）列：列出一元二次方程；（4）解：求出所列方程的解；（5）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意；（6）答：作答。
知识点二 实际问题中的数量关系一、传播问题设基数为a ,每次由一个个体传播给x 个个体，则一轮传播后有)(ax a +，也就是)1(x a +个个体；二轮传播后共有)1()1(x ax x a +++,也就是2)1(x a +个个体……依次类推，n 轮传播后共有n x a )1(+个个体。
例题有一个人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？变式练习1.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？2.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？二、增长率（下降率）问题设基数为a ,平均增长（下降）率为x ，则一次增长（下降）后的值为()x a a ±,二次增长（下降）后的值为()2x a a ±……依次类推，n 次增长（下降）后的值为()nx a a ±。
例题1.某厂去年3月份的产值为50万元，5月份上升到72万元，这两个月平均每月增长的百分率是多少？2.两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？（精确到0.001）变式练习1. 青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200，2003年平均每公顷产8460，求水稻每公顷产量的年平均增长率.kg kg2.某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降至1.96%，平均每次降息的百分率是多少？（结果精确到0.01﹪）3.某市为了加快廉租房的建设力度，去年市政府共投资2亿人民币建设了廉租房8万平方米，预计明年年底，三年累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内内年投资的增长率相同。
人教版九年级数学上《实际问题与一元二次方程》知识全解
《实际问题与一元二次方程》知识全解课标要求能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。
知识结构内容解析1.列一元二次方程解应用题1.应用一元二次方程解决实际问题的步骤可归结为：“设、找、列、解、验、答”：⑴设：是指设未知数，可分为直接设和间接设。
所谓直接设，就是指问什么设什么；在直接设未知数比较难列出方程或者列出的方程比较复杂时，可考虑间接设未知数。
⑵找：是指读懂题目，审清题意，明确已知条件和未知条件，找出它们之间的等量关系。
⑶列：就是指根据等量关系列出方程。
⑷解：就是求出所列方程的解。
⑸验：分为两步：一是检验解出的数值是否是方程的解，二是检验方程的解是否符合实际情况。
⑹答：就是书写答案，一定要遵循“问什么答什么，怎么问就怎么答”的原则。
以上几个步骤中，找出等量关系是解决问题的关键，能否恰当设元直接影响着列方程和解方程的难易，所以要根据不同的具体情况把握好解题的每一步。
2．一元二次方程应用类型一元二次方程的应用常见问题常用规律、技巧、方法增长率、减少率(1)na x b±=几何问题借助面积或体积,相关图形的性质及内在关系倍数传播(1)nx b+=市场经济销售利润＝每件的利润×件数数字问题用相关的代数式表示数位注意：一元二次方程解应用题应注意：⑴写未知数时必须写清单位，用对单位；列方程时，方程两边必须单位一致；答必须写清单位。
⑵注意语言和代数式的转化，要把用语言给出的条件用代数式表示出来。
重点难点教学重点：将实际问题转化为数学问题，借助各种数量关系列出一元二次方程解应用题。
关键是学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展数学实际应用意识。
教学难点如何把实际问题转化为数学问题。
(1)审题是设未知数、列方程的基础，所谓审题，就是要善于理解题意，弄清题中的已知量和未知数，分清它们之间的数量关系，寻求隐含的相等关系；(2)设未知数分直接设未知数和间接设未知数，这就需根据题目中的数量关系正确选择设未知数的方法和正确地设出未知数。
九年级上册数学教案《实际问题与一元二次方程》
九年级上册数学教案《实际问题与一元二次方程》学情分析学生之前已经具备了一元一次方程、二元一次方程组、分式方程的基础，明确了解了方程的方法步骤。
九年级学生已经具有了一定的类比、分析、归纳能力，但是思维的严谨性相对薄弱，虽然学生喜爱学习生动的教学内容，并乐于用自己的方式去学习，用自己的头脑去思考，但仍需教师引导学生由感性认识过渡到理性认识。
同时学生已经学习了列方程解应用题的步骤，这对理解一元二次方程的应用这一教学难点有很大帮助。
教学目的1、结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念，能够表示简单变量之间的二次函数关系，能应用二次函数的相关知识，解决简单的问题。
2、经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程，体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
3、体会数学与生活的联系，锻炼学生的理性思维，体会通过探究学习新知识的乐趣。
教学重点将简单的实际问题转化为二次函数的模型，理解二次函数的有关概念，能应用二次函数的相关知识解决简单的问题。
教学难点将简单的实际问题转化为二次函数的模型。
教学方法讲授法、谈话法、讨论法、练习法教学过程一、复习引入列一元一次方程解应用题的步骤：①审题；②设未知数；③找等量关系；④列方程；⑤解方程；⑥答。
师：这是利用一元一次方程的数量关系建立的数学模型，那么还有没有利用其它形式，也就是利用我们前面所学过的一元二次方程建立数学模型解应用题呢？二、探索新知请同学们完成下面问题：1、有一人患了流感,经过两轮传染后，共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人？分析:设每轮传染中平均一个人传染了x个人。
则第一轮后共有（1+x）个人患了流感；第二轮后共有1+x+x（1+x）个人患了流感。
列方程1+x+x(x+1)=121解方程,得x 1=10，x2=-12(不合题意，舍去）平均一个人传染了10个人。
2、思考按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感？121+121×10=1331人答：三轮传染后有1331人患流感。
九年级《实际问题与一元二次方程》说课稿
九年级《实际问题与一元二次方程》说课稿一、教材分析本说课稿是为九年级学生设计的一堂数学课，课题是《实际问题与一元二次方程》。
根据教材的安排，这个课题通常涉及几个重点内容：一元二次方程的定义和性质、实际问题中的一元二次方程的建立与解决、利用一元二次方程解决实际问题的能力培养等。
通过本课的学习，学生将能够更好地理解一元二次方程的实际应用，提高他们解决实际问题的能力。
二、教学目标本课的教学目标主要有两方面：1.知识与技能目标：通过本节课的学习，学生将能够掌握一元二次方程的基本概念和解题方法，理解一元二次方程在实际问题中的应用。
2.过程与方法目标：通过本课的教学，培养学生的动手实践能力和分析解决问题的思维能力，同时也提高他们的合作意识和团队意识。
三、教学重点与难点本课的教学重点主要包括：1.一元二次方程的定义与性质的讲解，包括二次项系数与一元二次方程的关系、一元二次方程的解的个数等。
2.实际问题与一元二次方程的建立与解决，学生通过实例分析和实际问题的模拟，学会如何将问题转化为一元二次方程，并通过解方程找出问题的解。
本课的教学难点主要在于实际问题与一元二次方程的转化和建立，以及解方程的过程和方法。
四、教学过程1. 导入与激发兴趣通过一个有趣的数学游戏或实例引入本课的内容，激发学生对一元二次方程的兴趣，并为后续的学习做好铺垫。
2. 知识讲解与概念引入首先，对一元二次方程的定义进行讲解，引导学生理解二次项系数与一元二次方程的关系。
然后，通过几个具体的实例，引入实际问题与一元二次方程的关系，让学生明白一元二次方程在实际问题中的应用。
3. 实际问题与一元二次方程的转化与建立以几个具体的实际问题为例，引导学生分析问题，找出问题中与一元二次方程相关的变量，并将问题转化为一元二次方程。
通过这样的实践操作，培养学生解决实际问题的能力。
4. 解一元二次方程针对已经建立起来的一元二次方程，通过讲解解方程的方法和步骤，引导学生明白如何解一元二次方程，并找出问题的解。
九年级数学：实际问题与一元二次方程同步练习7
安徽省无为县红庙初中2020-2020上学期九级数学同步练习22.3实际问题与一元二次方程一．选择题（共10小题）1．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（）A．9人 B．10人C．11人D．12人2．如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（）A．10×6﹣4×6x=32 B．（10﹣2x）（6﹣2x）=32 C．（10﹣x）（6﹣x）=32 D．10×6﹣4x2=323．某市从2016年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2016年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2018“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2017年、2018年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（）A．2% B．4.4% C．20% D．44%4．某企业2017年初获利润300万元，到2019年初计划利润达到507万元．设这两年的年利润平均增长率为x．应列方程是（）A．300（1+x）=507 B．300（1+x）2=507C．300（1+x）+300（1+x）2=507 D．300+300（1+x）+300（1+x）2=507 5．某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（）A．4 B．5 C．6 D．76．某市2016年生产总值（GDP）比2015年增长了12%，由于受到国际经济的影响，预计今年比2016年增长7%．若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的关系是（）A．12%+7%=x% B．（1+12%）（1+7%）=2（1+x%）C．12%+7%=2•x%D．（1+12%）（1+7%）=（1+x%）27．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．如果设小路宽为x，根据题意，所列方程正确的是（）A．（20﹣x）（32﹣x）=540 B．（20﹣x）（32﹣x）=100 C．（20+x）（32﹣x）=540 D．（20+x）（32﹣x）=1008．某种药品经过两次降价后，价格下降了19%，则该药品平均每次降价的百分比为（）A．10% B．15% C．20% D．25%9．某企业因春节放假，二月份产值比一月份下降20%，春节后生产呈现良好上升势头，四月份比一月份增长15%，设三、四月份的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．2（1﹣20%）（1+x）=1+15% B．（1+15%）（1+x）2=1﹣20%C．2（1+15%）（1+x）=1﹣20% D．（1﹣20%）（1+x）2=1+15%10．用总长10m的铝合金型材做一个如图所示的窗框（不计损耗），窗框的外围是矩形，上部是两个全等的正方形，窗框的总面积为 3.52m2（材料的厚度忽略不计）．若设小正方形的边长为xm，下列方程符合题意的是（）A．2x（10﹣7x）=3.52 B．C．D．2x2+2x（10﹣9x）=3.52二．填空题（共5小题）11．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为．12．某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是．13．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长为m．14．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=8cm，动点P，Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/S的速度向B移动，一直到达B为止；点Q 以2cm/s的速度向D移动．当P、Q两点从出发开始到秒时，点P和点Q的距离是10cm．15．已知矩形的长是3，宽是2，另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍，那么新矩形的长是．三．解答题（共5小题）16．为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系．（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？17．某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元．（1）从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？（2）在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天奖励5元，按租房400天计算，求2017年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励．18．阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2﹣2x=0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）=0，解方程x=0和x2+x﹣2=0，可得方程x3+x2﹣2x=0的解．（1）问题：方程x3+x2﹣2x=0的解是x1=0，x2=，x3=；（2）拓展：用“转化”思想求方程=x的解；（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB 段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．19．今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元．请解答以下问题：（1）填空：每天可售出书本（用含x的代数式表示）；（2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？20．我市在创建全国文明城市期间，对某路口的行人交通违章情况进行了14天的调查，将所得数据绘制成如下统计图（图2不完整）：请根据所给信息，解答下列问题：（1）第6天路口的行人交通违章次数是次，并把图2中的频数直方图补充完整；（2）写出这14天中行人交通违章次数的众数；（3）通过14天的调查与教育，第16天行人交通违章次数降低到2次，若第15天和第16天交通违章次数下降的百分率相同，求平均每天下降的百分率约是多少？（结果保留到1%）（≈2.236，≈3.162）安徽省无为县红庙初中2017-2018学年上学期九年级数学同步练习参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（）A．9人 B．10人C．11人D．12人【分析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯55次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设参加酒会的人数为x人，根据题意得：x（x﹣1）=55，整理，得：x2﹣x﹣110=0，解得：x1=11，x2=﹣10（不合题意，舍去）．答：参加酒会的人数为11人．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．2．如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（）A．10×6﹣4×6x=32 B．（10﹣2x）（6﹣2x）=32 C．（10﹣x）（6﹣x）=32 D．10×6﹣4x2=32【分析】设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，根据题意得：（10﹣2x）（6﹣2x）=32．故选：B．【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．3．某市从2016年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2016年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2018“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2017年、2018年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（）A．2% B．4.4% C．20% D．44%【分析】设该市2017年、2018年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，根据2016年及2018年“竹文化”旅游收入总额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设该市2017年、2018年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，根据题意得：2（1+x）2=2.88，解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该市2017年、2018年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为20%．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．4．某企业2017年初获利润300万元，到2019年初计划利润达到507万元．设这两年的年利润平均增长率为x．应列方程是（）A．300（1+x）=507 B．300（1+x）2=507C．300（1+x）+300（1+x）2=507 D．300+300（1+x）+300（1+x）2=507【分析】设这两年的年利润平均增长率为x，根据2017年初及2019年初的利润，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设这两年的年利润平均增长率为x，根据题意得：300（1+x）2=507．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．5．某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】设共有x个班级参赛，根据第一个球队和其他球队打（x﹣1）场球，第二个球队和其他球队打（x﹣2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x﹣1）场球，然后根据计划安排15场比赛即可列出方程求解．【解答】解：设共有x个班级参赛，根据题意得：=15，解得：x1=6，x2=﹣5（不合题意，舍去），则共有6个班级参赛．故选：C．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，关键是准确找到描述语，根据等量关系准确的列出方程．此题还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．6．某市2016年生产总值（GDP）比2015年增长了12%，由于受到国际经济的影响，预计今年比2016年增长7%．若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的关系是（）A．12%+7%=x% B．（1+12%）（1+7%）=2（1+x%）C．12%+7%=2•x%D．（1+12%）（1+7%）=（1+x%）2【分析】根据增长率为12%，7%，可表示出2016年的国内生产总值，2017年的国内生产总值；求2年的增长率，可用2015年的国内生产总值表示出2017年的国内生产总值，让2017年的国内生产总值相等即可求得所列方程．【解答】解：设2015年的国内生产总值为1，∵2016年国内生产总值（GDP）比2012年增长了12%，∴2016年的国内生产总值为1+12%；∵2017年比2013年增长7%，∴2017年的国内生产总值为（1+12%）（1+7%），∵这两年GDP年平均增长率为x%，∴2017年的国内生产总值也可表示为：（1+x%）2，∴可列方程为：（1+12%）（1+7%）=（1+x%）2．故选：D．【点评】考查了由实际问题列一元二次方程的知识，当必须的量没有时，应设其为1；若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b；注意2017年的国内生产总值是在2016年的国内生产总值的基础上增加的，需先算出2016年的国内生产总值．7．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．如果设小路宽为x，根据题意，所列方程正确的是（）A．（20﹣x）（32﹣x）=540 B．（20﹣x）（32﹣x）=100 C．（20+x）（32﹣x）=540 D．（20+x）（32﹣x）=100【分析】本题根据题意表示出种草部分的长为（32﹣x）m，宽为（20﹣x）m，再根据题目中的等量关系建立起式子就可以了．【解答】解：由题意，得种草部分的长为（32﹣x）m，宽为（20﹣x）m，∴由题意建立等量关系，得（20﹣x）（32﹣x）=540．故A答案正确，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的运用，要求学生能根据题意的数量关系建立等式，同时考查了学生的阅读能力和理解能力．8．某种药品经过两次降价后，价格下降了19%，则该药品平均每次降价的百分比为（）A．10% B．15% C．20% D．25%【分析】设平均每次降价的百分比为x，经过连续两次降价后为（1﹣x）2；现在的价格比原来低19%，可以把原价格看作为1，则现在的价格为1﹣19%，列方程解出即可．【解答】解：设平均每次降价的百分比为x，根据题意得：（1﹣x）2=1﹣19%，1﹣x=±0.81，x1=0.1=10%，x2=1.9（舍去），答：平均每次降价的百分比为10%，故选：A．【点评】本题是一元二次方程的应用，属于变化率问题；变化率分为增长率和降低率两种，本题是降低率；注意降低率问题：如：若原数是a（本题的a=1），每次降低的百分率为x，则第一次降低后为a（1﹣x）；第二次降低后为a（1﹣x）2，即原数×（1﹣降低百分率）2=后来数．9．某企业因春节放假，二月份产值比一月份下降20%，春节后生产呈现良好上升势头，四月份比一月份增长15%，设三、四月份的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．2（1﹣20%）（1+x）=1+15% B．（1+15%）（1+x）2=1﹣20%C．2（1+15%）（1+x）=1﹣20% D．（1﹣20%）（1+x）2=1+15%【分析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题．【解答】解：设一月份的产量为a，由题意可得，a（1﹣20%）（1+x）2=a（1+15%），则（1﹣20%）（1+x）2=1+15%，故选：D．【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．10．用总长10m的铝合金型材做一个如图所示的窗框（不计损耗），窗框的外围是矩形，上部是两个全等的正方形，窗框的总面积为 3.52m2（材料的厚度忽略不计）．若设小正方形的边长为xm，下列方程符合题意的是（）A．2x（10﹣7x）=3.52 B．C．D．2x2+2x（10﹣9x）=3.52【分析】根据矩形的面积=2个正方形的面积+小矩形的面积列出方程即可．【解答】解：设小正方形的边长为xm，则小矩形的宽为2xm，长为：m，依题意得：．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是表示出矩形的宽，难度不大．二．填空题（共5小题）11．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为x（x﹣1）=21．【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数为x （x﹣1），即可列方程．【解答】解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：x（x﹣1）=21，故答案为：x（x﹣1）=21．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．12．某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是20%．【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是25（1﹣x），第二次后的价格是25（1﹣x）2，据此即可列方程求解．【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率为x，由题意可知经过连续两次降价，现在售价每盒16元，故25（1﹣x）2=16，解得x=0.2或1.8（不合题意，舍去），故该药品平均每次降价的百分率为20%．【点评】本题考查数量平均变化率问题．原来的数量（价格）为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a（1±x），再经过第二次调整就是a（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增长用“+”，下降用“﹣”．13．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长为7m．【分析】本题可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣2）m，宽为（x﹣3）m．根据长方形的面积公式方程可列出，进而可求出原正方形的边长．【解答】解：设原正方形的边长为xm，依题意有（x﹣3）（x﹣2）=20，解得：x1=7，x2=﹣2（不合题意，舍去）即：原正方形的边长7m．故答案是：7．【点评】本题考查了一元二次方程的应用．学生应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．14．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=8cm，动点P，Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/S的速度向B移动，一直到达B为止；点Q 以2cm/s的速度向D移动．当P、Q两点从出发开始到2或秒时，点P和点Q的距离是10cm．【分析】设当P、Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP=3xcm，DQ=（16﹣2x）cm，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设当P、Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP=3xcm，DQ=（16﹣2x）cm，根据题意得：（16﹣2x﹣3x）2+82=102，解得：x1=2，x2=．答：当P、Q两点从出发开始到2秒或秒时，点P和点Q的距离是10cm．故答案为：2或．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，利用勾股定理找出关于x的一元二次方程是解题的关键．15．已知矩形的长是3，宽是2，另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍，那么新矩形的长是5+．【分析】设新矩形的长为x，则新矩形的宽为（10﹣x），根据新矩形的面积为12，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．【解答】解：设新矩形的长为x，则新矩形的宽为（10﹣x），根据题意得：x（10﹣x）=2×3×2，整理得：x2﹣10x+12=0，解得：x1=5﹣，x2=5+．∵x≥10﹣x，∴x≥5，∴x=5+．故答案为：5+．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．三．解答题（共5小题）16．为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系．（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台，根据总利润=单台利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于70的值即可得出结论．【解答】解：（1）设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），将（40，600）、（45，550）代入y=kx+b，得：，解得：，∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=﹣10x+1000．（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台，根据题意得：（x﹣30）（﹣10x+1000）=10000，整理，得：x2﹣130x+4000=0，解得：x1=50，x2=80．∵此设备的销售单价不得高于70万元，∴x=50．答：该设备的销售单价应是50万元/台．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．17．某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元．（1）从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？（2）在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天奖励5元，按租房400天计算，求2017年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励．【分析】（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据2015年及2017年该地投入异地安置资金，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设2017年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据投入的总资金=前1000户奖励的资金+超出1000户奖励的资金结合该地投入的奖励资金不低于500万元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．【解答】解：（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意得：1280（1+x）2=1280+1600，解得：x1=0.5=50%，x2=﹣2.5（舍去）．答：从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%．（2）设2017年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意得：8×1000×400+5×400（a﹣1000）≥5000000，解得：a≥1900．答：2017年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，列出关于a的一元一次不等式．18．阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2﹣2x=0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）=0，解方程x=0和x2+x﹣2=0，可得方程x3+x2﹣2x=0的解．（1）问题：方程x3+x2﹣2x=0的解是x1=0，x2=﹣2，x3=1；（2）拓展：用“转化”思想求方程=x的解；（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB 段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．【分析】（1）因式分解多项式，然后得结论；（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根；（3）设AP的长为xm，根据勾股定理和BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，【解答】解：（1）x3+x2﹣2x=0，x（x2+x﹣2）=0，x（x+2）（x﹣1）=0所以x=0或x+2=0或x﹣1=0∴x1=0，x2=﹣2，x3=1；故答案为：﹣2，1；（2）=x，方程的两边平方，得2x+3=x2即x2﹣2x﹣3=0（x﹣3）（x+1）=0∴x﹣3=0或x+1=0∴x1=3，x2=﹣1，当x=﹣1时，==1≠﹣1，所以﹣1不是原方程的解．所以方程=x的解是x=3；（3）因为四边形ABCD是矩形，所以∠A=∠D=90°，AB=CD=3m设AP=xm，则PD=（8﹣x）m因为BP+CP=10，BP=，CP=∴+=10∴=10﹣两边平方，得（8﹣x）2+9=100﹣20+9+x2整理，得5=4x+9两边平方并整理，得x2﹣8x+16=0即（x﹣4）2=0所以x=4．经检验，x=4是方程的解．答：AP的长为4m．【点评】本题考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法．解无理方程是注意到验根．解决（3）时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键．19．今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元．请解答以下问题：（1）填空：每天可售出书300﹣10x本（用含x的代数式表示）；（2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？【分析】（1）由每本涨价1元则每天就会少售出10本，即可得出涨价x元时，每天售出书的本数；（2）设每本书上涨了x元（x≤10），根据每本书的利润×销售本数=总利润，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）∵每本书上涨了x元，∴每天可售出书（300﹣10x）本．故答案为：300﹣10x．（2）设每本书上涨了x元（x≤10），根据题意得：（40﹣30+x）（300﹣10x）=3750，整理，得：x2﹣20x+75=0，解得：x1=5，x2=15（不合题意，舍去）．答：若书店想每天获得3750元的利润，每本书应涨价5元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）依照销售本数与涨价间的关系列出代数式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．20．我市在创建全国文明城市期间，对某路口的行人交通违章情况进行了14天的调查，将所得数据绘制成如下统计图（图2不完整）：请根据所给信息，解答下列问题：（1）第6天路口的行人交通违章次数是9次，并把图2中的频数直方图补充完整；（2）写出这14天中行人交通违章次数的众数；（3）通过14天的调查与教育，第16天行人交通违章次数降低到2次，若第15天和第16天交通违章次数下降的百分率相同，求平均每天下降的百分率约是多少？（结果保留到1%）（≈2.236，≈3.162）【分析】（1）根据折线统计图可求第6天路口的行人交通违章次数，再根据折线图确定违章8次的天数，从而补全直方图；（2）根据众数的定义即可求解；（3）设平均每天下降的百分率约是x，根据题意可以列出相应的方程，然后解。
九年级数学一元二次方程与实际问题题型归纳
实际问题与一元二次方程题型归纳总结一、列一元二次方程解应用题的一般步骤：与列一元一次方程解应用题的步骤类似，列一元二次方程方程解实际问题的一般步骤也可归纳为：“审、找、设、列、解、验、答”七个步骤。
（1）审：审清题意，弄清已知量与未知量；（2）找：找出等量关系；（3）设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；（4）列：列出一元二次方程；（5）解：求出所列方程的解；（6）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意；（7）答：作答。
二、典型题型1.数字问题例1、有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。
例2、有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字的和是6，如果把它的个位上的数字与十位上的数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积就等于1008，求调换位置后得到的两位数。
练习：1、两个连续的整数的积是156，求这两个数。
2、一个两位数等于它个位上数字的平方，个位上的数字比十位上的数字大3，则这个两位数为（）A. 25B. 36C. 25或36D. -25或-362.传播问题：公式：(a+x)n=M 其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M 为最后得病总人数例3、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？8. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（）A. 8B. 9C. 10D. 11练习：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？3.相互问题（循环、握手、互赠礼品等）问题循环问题：又可分为单循环问题21n(n-1)，双循环问题n(n-1). 例4、（1）参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？（2）参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？例5、一次会上，每两个参加会议的人都相互握手一次，一共握手66，请问参加会议的人数共有多少人？例6、生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他同学各赠送1件，全组共互赠了182件，设全组有x 个同学，则根据题意列出的方程是（ ）A.()1821=+x xB. ()1821=-x xC.()18212=+x xD.()21821⨯=-x x练习：1、甲A 联赛中的每两队之间都要进行两次比赛，若某一赛季共比赛110场，则联赛中共有多少个队参加比赛？2、参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手15次,有多少人参加聚会?3、初三毕业晚会时每人互相送照片一张,一共要90张照片,有多少人?4.平均增长率问题：b=a(1±x)n， n为增长或降低次数 , b为最后产量，a为基数，x为平均增长率或降低率例7、某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。
九年级上册数学实际问题与一元二次方程
九年级上册数学实际问题与一元二次方程九年级上册数学学习内容中，实际问题与一元二次方程是一个非常重要的部分。
实际问题是数学知识在生活中的应用，而一元二次方程是解决实际问题的数学工具。
在本文中，我们将探讨实际问题与一元二次方程之间的关系，并且举一些实际问题的例子，以便更好地理解和应用这一知识。
实际问题与一元二次方程有着密切的联系。
实际问题中常常涉及到某个未知数，我们可以通过设立方程来解决这个问题。
而一元二次方程是一种常见的形式，可以表示很多实际问题。
一元二次方程的一般形式是ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是已知数，x是未知数。
实际问题中，我们常常需要根据已知条件求解未知数的值，而设立方程是解决这一问题的重要方法。
通过将已知条件翻译成数学表达式，我们可以设立方程，并且通过解方程求解未知数的值。
一元二次方程是解决这类问题的常见工具。
下面，我们来看几个实际问题的例子，以便更好地理解和应用一元二次方程。
例1：某人乘坐公交车从甲地到乙地需要1小时，如果他步行从甲地到乙地需要2小时。
公交车的速度是步行速度的3倍。
求他步行的速度和公交车的速度。
这个问题中，我们设步行速度为x，公交车速度为3x。
根据题意，我们可以列出方程：1/(3x) + 2/x = 1，然后解这个方程，就可以求得他的步行速度和公交车的速度。
例2：一个长方形的长是宽的3倍，长方形的面积是七个单位面积。
求长方形的长和宽。
这个问题中，设长方形的宽为x，那么长就是3x。
根据题意，我们可以列出方程：3x * x = 7，然后解这个方程，就可以求得长方形的长和宽。
例3：现有一座长方形的花坛，花坛的长是宽的2倍，花坛的面积是72平方米。
现在要将花坛的长和宽都加长x米，使得新的花坛的面积是原来的3倍。
求x的值。
这个问题中，设原长方形的宽为x，那么长就是2x。
根据题意，我们可以列出方程：(2x + x)(x + x) = 3*72，然后解这个方程，就可以求得x的值。
九年级一元二次函数知识点
九年级一元二次函数知识点一元二次函数是九年级数学学习的重要内容之一。
它在解决实际问题中具有广泛的应用。
本文将从基本概念、图像与性质、解析式与判别式以及实际问题等方面，深入探讨九年级一元二次函数的相关知识点。
首先，我们来了解一元二次函数的基本概念。
一元二次函数是指形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为实数且a≠0。
其中，a决定抛物线的开口方向，正值使抛物线开口向上，负值则开口向下；b决定抛物线的位置，正值使抛物线向左平移，负值则向右平移；c为常数项，决定抛物线与y轴的交点。
接下来，我们来探讨一元二次函数的图像与性质。
一元二次函数的图像是一条抛物线。
当a>0时，抛物线开口向上，最低点称为顶点；当a<0时，抛物线开口向下，最高点称为顶点。
顶点的横坐标为x = -b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。
抛物线在顶点对称，对称轴为x = -b/2a。
解析式与判别式是解一元二次方程的关键。
给定一元二次方程ax² + bx + c = 0，其中a、b、c是已知实数且a≠0。
一元二次函数的解析式为x = (-b±√(b²-4ac))/2a。
判别式Δ = b²-4ac，它可以判断一元二次方程的解的性质。
当Δ>0时，方程有两个不相等实数解；当Δ=0时，方程有两个相等实数解；当Δ<0时，方程没有实数解，但有两个共轭复数解。
最后，我们来看一元二次函数在实际问题中的应用。
一元二次函数的应用非常广泛，例如在物理学、经济学和几何学等领域。
以抛物线的运动轨迹为例，当一个物体被抛出时，其轨迹可以用一元二次函数来描述。
在经济学中，一元二次函数可以用来分析企业的成本、收益和利润等情况。
在几何学中，一元二次函数可以用来求解问题，如确定两个点之间的最短距离。
总结起来，九年级一元二次函数是一个非常重要的数学知识点。
它不仅在解决实际问题中具有广泛的应用，而且通过学习一元二次函数的基本概念、图像与性质、解析式与判别式以及实际问题等内容，可以帮助学生加深对数学的理解，并提高解决问题的能力。
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练习:
1.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产
量为720吨,平均每月增长率是x,列方程( B A.500(1+2x)=720 C.500(1+x2)=720 B.500(1+x)2=720 D.720(1+x)2=500 )
2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明 两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在 实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程
解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后
甲种药品成本为5000(1-x)元,两年后甲种药品成本 为 5000(1-x)2 元,依题意得
5000 (1 x ) 3000
2
解方程,得
x 0.225, x 1.775(不合题意, 舍去)
1 2
答:甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
练习:
到2003年底使城区绿地面积达到72.6 公顷，试求2002年,2003年两年绿地 面积的年平均增长率。
练习:
年收入/万元 家庭户数/户 0.6 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 9.7
4.某同学进行社会调查，随机抽查了某个地区的20个家庭的收入情况 并绘制了统计图.请你根据统计图给出的信息回答： (1)填写完成下表：
1
1
2
3
4
5
3
1
1.6 万元；(2)样本中的中位数是 这20个家庭的年平均收入为______ 1.3 1.2 ______ 万元，众数是 ______万元；(3)在平均数、中位数两数中， 中位数 ______更能反映这个地区家庭的年收入水平. (4) 要想这20个家庭的年平均 所占户数比 /% 解：设年平均增长率为 x，根据题意，得 1.6 (1＋x)2＝2.5． 25 收入在2年后达到 2.5万元, 25 2 (1＋x) = ．∴1＋x= 1.25． 20 则每年的平均增长率是多少 ?±
探究2
两年前生产 1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨 乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步, 现在生产 1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙 种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均 下降率较大? 分析:甲种药品成本的年平均下降额为 (5000-3000)÷2=1000(元) 乙种药品成本的年平均下降额为 (6000-3600)÷2=1200(元) 乙种药品成本的年平均下降额较大.但是,年平 均下降额(元)不等同于年平均下降率(百分数)
解:(1)样本平均数为 1 x (8 9 12 13 8 9 11 10 12 8) 10(千克） 10 ∴总产量=2000×90%×10=18000(千克) (2)在果园出售的利润是1.1×18000－7800=12000(元) 在市场出售的利润是 1.3×18000－7800－(18000÷1000)×8×25=12000(元)
所以两种出售方式相同,选择哪一种都可以; (3)设2001年、2002年平均每年的增长率是x,得
12000 12000(1 x) 12000 (1 x) 57000,
2
∴ x1 = 0. 50=50%,x2 =－3.5(不合题意,舍去)
答： 2001年、2002年平均每年的增长率是50%．
1、平均增长（降低）率公式
a(1 x) b
2
2、注意： （1）1与x的位置不要调换 （2）解这类问题列出的方程一般 用 直接开平方法
课后作业 1.(P53-7)青山村种的水稻2001年平均 每公顷产7200kg,2003年平均每公顷产 8450kg,求水稻每公顷产量的年平均增 长率.
2.(P58-8)某银行经过最近的两次降息,使一 年期存款的年利率由2.25%降至1.98%,平 均每次降息的百分率是多少(精确到 0.01%)?
解：设广州市总面积为1，广州市自然保护区面积年 平均增长率为x，根据题意，得 1×4.65% (1＋x)2＝1×8% ． (1＋x)2≈1.720． ∴ 1＋x≈±1.312． x1 ≈ 0.312=31.2%,x2 ≈－2.312(不合题意,舍去) 答：要达到最低目标，自然保护区面积的年平均增长 率应为31.2%．
算一算:乙种药品成本的年平均下降率是多少? 22.5% 比较:两种药品成本的年平均下降率 (相同)
经过计算,你能得出什么结论?成本下降额 较大的药品,它的成本下降率一定也较大 吗 ?应怎样全面地比较对象的变化状况?
经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本 下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.
为
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解：设2002年,2003年 两年绿地面积的年平 3.美化城市，改善人们的居住环境已 均增长率为x，根据题 成为城市建设的一项重要内容。某城 意，得 市近几年来通过拆迁旧房，植草，栽 60 (1＋x)2＝72.6 ． 树，修公园等措施，使城区绿地面积 (1＋x)2=1.21． 不断增加（如图所示）。（1）根据 ∴1＋x=±1.1． 图中所提供的信息回答下列问题： 2001年底的绿地面积为 60 公顷，∴ x1 = 0.1=10%, 比2000年底增加了 公顷；在 x2 =－2.1(不合题意,舍 4 去) 1999年，2000年，2001年这三年中， 答： 2002年,2003年 绿地面积增加最多的是 1998 1999 2000 2001 2000 ____________ 年； 两年绿地面积的年平 （2）为满足城市发展的需要，计划 均增长率为10%．
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有人敢进攻仙主府丶根汉进入仙主府,来到咯紫天居住の那座仙殿,当他到这里の时候,正好有个漂亮の女仙师过来咯丶女仙师发现不咯根汉の气息,根汉跟着她来到咯仙殿外面丶"大人,您还没有出关吗?"女仙师来到这里,又壹次询问紫天の情况丶过咯好壹会尔,紫天の声音才传出来："你有什么事情 吗?"肆叁叁1咱带你飞『部分节错误,点此举报』"您没事就好咯,咱只是不放心您,没别の事情。"女仙师长出咯壹口气,总算是听到咯紫天の声音咯丶"恩,咱最近要闭关调息,仙主府の事情,由你全权处置吧丶"紫天の声音有些虚弱の样子,女仙师应允之后,便离开咯这里丶而根汉呢则是眉头紧锁,紫天 の气息好像很虚弱,可能是受咯伤咯丶根汉立即潜进咯这仙殿,刚进入仙殿,紫天就缓缓睁开咯双眼丶其中她の右眼,似乎是出咯些意外,右眼珠子变成咯白色の咯,好像瞎咯丶"二十年咯,你终于现身咯。"紫天徐徐开口,声音明显底气不足丶根汉身形显现,站在她面前,看着面色有些苍白の紫天问她：" 这是怎么咯?"她不仅仅是右眼瞎咯,而且元灵也很虚弱,元灵好像被人吸过咯元灵之气咯丶"你这壹双眼睛,应该可以看得出来吧丶"紫天淡淡の说："咱还以为你早就回咯南风圣城咯,看来咱错咯。""二十年前,是咱负咯你丶"根汉说："咱是找咯个地方闭关咯二十年,想着出来再找鬼厉算账の。""你是 骗の咱好苦丶"紫天冷哼壹声道："如今你也不用去找他咯,鬼厉也死咯。""鬼厉死咯?"根汉有些意外丶紫天说："是の,他实力不济,被人吸干咯元灵之气,而咱侥幸捡回半条命。""呃,到底是怎么回事?"根汉不太明白："几大外城,咱都去过咯,有几位外城城主也死咯丶""在咱意料之中丶"紫天无奈の 摇咯摇头："如果咱没猜错の话,萧南天他们,几位城主应该是遭咯毒手咯。""看来你知道敌人是谁。"根汉面色凝重："他为何会吸人の元灵?""为何还有四位外城城主没出事情,那四位想必与这背后の人,有勾结吧?"根汉问丶紫天摇咯摇头说："这件事情与你没有关系,你还是不要知道の好,不然の话 你也难逃此劫丶""呵呵,咱这人不怕闲事多呀丶"根汉笑咯笑："何况你为何就断定,这就是咱の劫难呢。""呵呵。"紫天淡淡の笑咯笑："说与你无关,恐怕也不尽然,早晚有壹天,他们会找上你和你の楚宫の丶""那不还是,这种级别の敌人,与谁都有关系。"根汉说："你说吧,到底是谁干の?这种家伙, 还是越早除咯越好吧。""你若是能除咯他,咱自然没有话说丶"紫天对根汉说："此人名叫星河在。""星河在?"根汉并没有听说过这么壹个人物丶紫天说："他还有壹个最主要の身份,星盟盟主。""星盟盟主?"根汉挑咯挑眉："你是说魔君?""不错。"紫天说："上古时代,他曾是超级魔域の魔君,后来不 知道为何,壹直活到咯现在丶""也许是之前将自己封印咯吧,特意到咯这大世之时才解除封印出世の丶""那他为何连鬼厉也杀?鬼厉不是他座下の四大战将吗?"根汉不明白丶"不仅仅是鬼厉,据说现在邪天,也在被星河在追杀。"紫天凝眉说："你小子要是运气好の话,也许他会替你报仇咯。"这话就有 些讥讽根汉咯,根汉冷笑道："咱根汉の仇,还用不着别人替咱来报。""你の境界确实是提升咯许多,想不到这才几十年,你就半只脚迈进咯大魔仙之境咯。"紫天虽现在受咯重伤,但还是可以看穿根汉の修为"倒是你这样の修为,实力和天赋,咱想星河在知道咯之后,会来拉拢你の。""说不定,你会成为 他新の四大战将。""你不用讽刺咱。"根汉笑咯笑说："咱说过咯,二十年前の事情,咱确实是做得不对丶若是咱提前来和你打声招呼,或许你不会如此记恨于咱丶""不过你现在受伤咯,总归和咱没有多大关系吧。"根汉有些不爽咯,这女人似乎想将这事尔,也给算到自己头上咯丶"确实是没有关系,所以 你可以走咯丶"紫天也有情绪看来对二十年前の事情,还耿耿于怀丶"呵呵,咱现在怎么会走呢,