18盘点求曲线围成封闭图形面积的几种思想(宋书华)

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利用定积分求曲线围成的面积

12.9 利用定积分求曲线围成的面积武汉外国语学校汪家硕一．复习回顾：当f(x )0时，由y = f ( x) 、x = a、x = b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方。

2.牛顿—莱布尼茨公式定理(微积分基本定理)如果f (x)是区间［a,b］上的连续函数，并且F'(x) = f (x)，则．曲线围成的面积1.设f和g是区间［a,b］上的连续函数且对任意的x［a,b］有f(x )g(x)，则直线x=a和直线x=b以及曲线间围成的面积可以表示为：b b bf (x)dx -g(x)dx =f (x)-g(x)dx a a a例1.求抛物线y=x2和直线y=2x所围成的区域面积。

解：先求出P点坐标。

y= x2x = 0解方程组y = x x=0y= 2x x = 2P点的坐标是(2,4) 。

2所求的面积= 2x - x2dx = x20=4-8=4b1.定积分的几何意义：当f(x )0时，积分f(x)dx在几何上表示由y= f(x)、x=a、a3 33例3 例2．计算曲线y = x 2 +1和y = 4 - x 2 ，以及直线x =1和x = -1所围成的区域面积。

f (x )-g (x )dx + g (x )- f (x )dx + f (x )-g (x )dx + g (x )-f (x )dx ac1 c2 c 3例3：求 f (x )= x 3和g (x )= x 所围成的封闭区域面积。

解：当 f (x )= g (x )时图像的交点，即 x 3 = x x 3 - x = 0 x ( x 2 -1) = 0x = 0或 1解：所求面积=-11 (x2 +1)dx = 3-2x 2dx =-1 3x -2x 3 3-1 14 32.前面的例题都是一个曲线总在另外一个曲线的上方，如果它们交叉会是什么结考虑区间[a ,c 1],[c 1,c 2],[c 2,c 3],[c 3,b ]，阴影部分面积可以表示为：例 4 ：求阴影部分的面积。

小升初数学拔高之曲线型面积解题思路

ⅠⅡ ⅢⅣ
A
BC
DE
【例5】(★★★)祖冲之杯竞赛试题如图，ABCD是一个长为4，宽为3，对角线长为5的正方形，它绕C点按顺时针方向旋转90°，分别求出四边扫过图形的面积.
A
B
D
C
滚圆问题
4、滚圆问题绕圆心的旋转圈数＝圆心走过的距离÷圆周长
3
【例6】(★★★) 如图所示，大圆周长是小圆周长的n(n＞1)倍，当小圆在大圆内侧(外侧)作无滑动的滚动一圈后又回到原来的位置，小圆绕自己的圆心转动了几周？
【家长评价】 ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________.
4
知识大总结
1. 基本公式， ⑴ 圆的周长，面积 ⑵ 扇形，弯角，谷子，圆环.
2. 常用方法 ⑴ 割补、旋转、平移. ⑵ 关于旋转，中心，旋转连线.
3. 关于滚圆绕圆心的旋转圈数＝圆心走过的距离÷圆周长
【今日讲题】例4，例5，例6
【讲题心得】 _________________________________________________ ____________________________________.
二轮复习——曲线型面积解题思路
本讲主线 1、常用方法 2、关于旋转
1、基本曲线公式
2、常用方法：曲线型面积第一类：割补、平移、等积变换；曲线型面积第二类：分割、去杂；曲线型面积第三类：容斥原理.
割补法【例1】(★★)
如图，4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心.如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？

曲线面积极限

曲线面积极限曲线面积是指一个曲线所围成的面积，是微积分学中的一个重要概念。

在微积分学中，曲线面积的计算利用了极限的概念。

这篇文章将对曲线面积和极限的关系进行具体探讨。

曲线面积的计算源自于欧几里得几何学中的面积概念。

在欧几里得几何学中，面积是由平面上的两个相交的直线围成的四边形的面积开始定义的。

随着时间的推移，欧几里得几何学中的面积定义不断被完善和推广。

在微积分学中，面积概念就被推广到曲线面积的计算上。

在微积分学中，曲线面积通常可以通过求解定积分来计算。

如果已经知道曲线的解析式，那么可以通过求解定积分来计算曲线所围成的面积。

但是，对于一些比较复杂的曲线，例如抛物线和椭圆等，定积分的求解是非常困难的。

为了解决这个问题，我们可以利用微积分学中的极限概念来计算曲线面积。

极限是微积分学中一个重要的概念，用于描述某个变化过程中的趋势和极限状态。

在曲线面积的计算中，我们可以将曲线分成多条直线段，然后估算每一条直线段所围成的矩形面积，最后通过将估算出来的矩形面积累加起来来估算整个曲线所围成的面积。

具体来说，我们将曲线分成n个小段，每个小段的长度为Δx。

然后，我们在每一小段的端点处取一个点，将曲线段近似为一条直线段。

这样，每个小段所围成的矩形面积就可以近似为Δx乘以曲线上对应点的函数值。

将所有小段所围成的矩形面积累加起来，就可以得到整个曲线所围成的面积的估计值。

如果我们让n趋近于无穷大，即使得小段长度Δx越来越小，那么通过这种方法得到的估算值就会越来越精确。

最后，我们可以将这个极限值作为曲线实际所围成的面积的近似值，即：S = lim(n→∞)ΣΔx·f(xi)这里，S表示曲线所围成的面积，f(x)是曲线上对应点的函数值，xi表示每个小段的端点。

需要注意的是，这种方法只能用于估算比较简单的曲线面积，例如直线段、抛物线等。

对于复杂的曲线，使用这种方法将会比较困难。

此外，在计算曲线面积时，还需要对小段长度Δx的选取进行一定的考虑，以保证估算出来的面积能够趋近于实际的面积。

利用定积分求曲线围成的面积资料

利用定积分求曲线围成的面积12.9 利用定积分求曲线围成的面积武汉外国语学校汪家硕一．复习回顾：1.定积分的几何意义：当()0f x ≥时，积分()ba f x dx ⎰在几何上表示由()y f x =、x a =、xb =与x 轴所围成的曲边梯形的面积。

当()0f x ≤时，由()y f x =、x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方。

2.牛顿—莱布尼茨公式定理（微积分基本定理）如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且'()()F x f x =，则()()()ba f x dx Fb F a =-⎰二．曲线围成的面积1.设f 和g 是区间[,]a b 上的连续函数且对任意的[,]x a b ∈有()()f x g x ≥，则直线x a =和直线x b =以及曲线间围成的面积可以表示为：()()()()b b ba a a f x dx g x dx f x g x dx -=-⎰⎰⎰例1.求抛物线2y x =和直线2y x =所围成的区域面积。

⎰b a f (x )dx =⎰c a f (x )dx +⎰b c f (x )dx 。

解：先求出P 点坐标。

解方程组22y x y x⎧=⎨=⎩ ⇒ 02x x =⎧⎨=⎩ ∴ P 点的坐标是(2,4)。

所求的面积= 22322008424333x x x dx x ⎡⎤-=-=-=⎢⎥⎣⎦⎰ 例1例2．计算曲线21y x =+和24y x =-，以及直线1x =和1x =-所围成的区域面积。

解：所求面积=11132221112144(1)32333x x x dx x dx x ---⎡⎤--+=-=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰例22.前面的例题都是一个曲线总在另外一个曲线的上方，如果它们交叉会是什么结果？考虑区间112233[,],[,],[,],[,]a c c c c c c b ，阴影部分面积可以表示为：123123()()()()()()()()c c c ba c c c f x g x dx g x f x dx f x g x dx g x f x dx -+-+-+-⎰⎰⎰⎰例3：求3()f x x =和()g x x =所围成的封闭区域面积。

由两曲线y=sinx和y=cosx所围成的封闭图形的面积为．题目和参考答案

由两曲线y=sinx（x∈[0，2π]）和y=cosx（x∈[0，2π]）所围成的封闭图形
的面积为
．
考点：定积分在求面积中的应用
专题：计算题,导数的概念及应用
分析：求出图象的交点坐标，根据定积分的几何意义，所求面积为S=∫π40（cosx-sinx）dx+∫5π4π4（sinx-cosx）dx+∫2π5π4（cosx-sinx）dx，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．解答：解：由y=sinx（x∈[0，2π]）和y=cosx（x∈[0，2π]），可得交点坐标为（π4，22），（5π4，22），
∴由两曲线y=sinx（x∈[0，2π]）和y=cosx（x∈[0，2π]）所围成的封闭图形的面积为
S=∫π40（cosx-sinx）dx+∫5π4π4（sinx-cosx）dx+∫2π5π4（cosx-sinx）dx
=（sinx+cosx）|π40-（sinx+cosx）|5π4π4+（sinx+cosx）|2π5π4=22．
故答案为：22．
点评：本题求曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题．。

在直角坐标系下平面曲线围成图形面积的定积分计算方法及技巧

在直角坐标系下平面曲线围成图形面积的定积分计
算方法及技巧
定积分计算方法：
1. 将曲线围成的图形分解为多个小的矩形，每个矩形的面积可以用定积分计算；
2. 将曲线围成的图形分解为多个三角形，每个三角形的面积可以用定积分计算；
3. 将曲线围成的图形分解为多个椭圆，每个椭圆的面积可以用定积分计算；
4. 将曲线围成的图形分解为多个圆，每个圆的面积可以用定积分计算；
5. 将曲线围成的图形分解为多个抛物线，每个抛物线的面积可以用定积分计算；
技巧：
1. 将曲线围成的图形分解为多个小的矩形，每个矩形的面积可以用定积分计算，但是要注意，矩形的边长不能太大，否则会导致计算结果的误差；
2. 将曲线围成的图形分解为多个三角形，每个三角形的面积可以用定积分计算，但是要注意，三角形的边长不能太大，否则会导致计算结果的误差；
3. 将曲线围成的图形分解为多个椭圆，每个椭圆的面积可以用定积分计算，但是要注意，椭圆的长轴和短轴不能太大，否则会导致计算结果的误差；
4. 将曲线围成的图形分解为多个圆，每个圆的面积可以用定积分计算，但是要注意，圆的半径不能太大，否则会导致计算结果的误差；
5. 将曲线围成的图形分解为多个抛物线，每个抛物线的面积可以用定积分计算，但是要注意，抛物线的顶点不能太大，否则会导致计算结果的误差。

一道面积题的多种解法

一道面积题的多种解法作者：咸伟志来源：《数学教学通讯·中等教育》2014年第06期摘要：面积问题，从小学到中学乃至大学的学习与考试中一直在出现，它是数学最基本的问题之一. 本论文主要讲解了一道面积问题的初等解法和高等解法，并将这些解法进行了比较，做出了小结.关键词：面积问题；初等解法；高等解法笔者在《挑战智力水平的150趣题》（皮埃尔·贝洛凯著）一书中，看到一道求面积的题，题目如下：曲尽其妙■曲线图形比直线图形更加微妙.你能不能计算出图1中那个曲边正方形的面积？这个曲边正方形是由四条以大正方形顶点为圆心的四分之一圆弧所围成的，正方形的边长是1.■图1在此笔者给出所想到的三种解法：■初等解法1.？摇初中解法首先明确：S曲边正方形=S大正方形-4（S1+S2）（？鄢）.这里S1表示底部“山形”图形■的面积；S2表示“锥形”图形■的面积.事实上，如图2所示，易证：△ABC是等边三角形，且C点以上的阴影部分和C点以下的阴影部分是全等的.所以S1=S矩DEGF-■S圆-S△ABC=1×1-■-■-■=1-■-■.结合图1，可知：S2=S正方形-■S圆-2S1=1-■-2×1-■-■=-1+■+■.将S1和S2代入（*）中，得S曲边正方形=1-■+■.2.？摇高中解法如图3所示，S曲边正方形=S正方形EFGH+4S3？摇（**）.■图3这里S3表示图中阴影部分的面积，且S3=S扇形GAH-S△GAH. 易知：∠GAH=30°，故S 扇形GAH=■，S△GAH=■AG·AH·sin30°=■，从而S3=■-■.S正方形EFGH=GH2，在△GAH中，根据余弦定理，有：GH2=AG2+AH2-2·AG·AH·cos30°=2-■.将S3和S正方形EFGH代入（**）式，得S曲边正方形=1-■+■.■高等解法许多省市在高中数学教材中，已添加了定积分和其几何意义的相关内容，以下内容便展示了利用这一高等方法求解此题的过程.■图4如图4所示，建立平面直角坐标系，可知：S曲边正方形=4S4. 这里S4就是图中的阴影部分，即⊙B：x+■2+y+■2=1在第一象限的面积. 令y=0，得与x轴正半轴的交点为■，0.故S4=■■-■dx=■■dx-■.查积分表可知：■■dx=■·■+■arcsin■+C，再利用牛顿-莱布尼兹公式，得：S4=■■+■arcsinx+■■-■=■-■+■. 所以S曲边正方形=4S4=1-■+■.■小结面积问题，在从小学到中学乃至大学的学习与考试中一直在出现，它是数学最基本的问题之一，也是最具趣味性的数学问题. 它最能让人直观地理解数学，因为这类问题一般都具有图形的优美性、对称性和规律性.一道好的面积问题，应能体现数学的思想与方法，其求解绝不是仅仅利用已知的面积公式，往往还需要综合运用数学知识，需要拥有科学的思维方法和清晰的思维层次，甚至有时需要把握有限与无限、特殊与一般、变形与化归以及形式多样的转换策略.对于这道题的求解，初等解法显得比较巧妙，因为他们都关注到了图中的等边三角形及特殊的角度，很好地运用了“割补法”这一求解面积最基本的变形转换策略，并结合了其他的一些数学知识. 初中解法运用图形的全等和整体减去部分（即“割”）的方法，高中解法运用了余弦定理和整体加部分（即“补”）的方法.高等解法则运用了定积分的几何意义进行求解，相对而言，计算量大、比较繁琐，显得有些“大材小用”了，且定积分求解面积是一种模式化“公式性”的方法，不能很好地体现数学的思维性与灵活性. 但值得注意的是，所给的三种方法都考虑到了图形的对称性.很多时候，高等方法并无优越性，反而是初等方法能以其简单清晰的思路、巧妙的过程给人以深刻.。

小学数学必会图形求面积的10个方法!图文并茂,太神奇了!

小学数学必会图形求面积的10个方法！图文并茂，太神奇了！01小学数学学过的几何图形有三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形，这些几何图形一般称为基本图形或规则图形，我们的面积及周长都有相应的公式直接计算。

如下表：实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算。

一般我们称这样的图形为不规则图形。

那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。

例1：如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米求阴影部分的面积。

一句话：阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形（△ABG、△BDE、△EFG）的面积之和。

例2：如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积。

一句话：因为△ABE、△ADF与四边形AECF 的面积彼此相等，都等于正方形ABCD面积的三分之一，也就是12厘米.解：S△ABE=S△ADF=S四边形AECF=12在△ABE中，因为AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2，∴△ECF的面积为2×2÷2=2。

所以S△AEF=S四边形AECF-S△ECF=12-2=10（平方厘米）。

例3：两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。

如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积。

一句话：阴影部分面积=S△ABG-S△BEF，S△ABG和S△BEF都是等腰三角形。

总结：对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决。

02常用的基本方法1 相加法这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积。

曲线围成的面积公式

我们要找出曲线围成的面积的公式。

首先，我们需要了解曲线围成的面积的基本概念和计算方法。

曲线围成的面积可以通过定积分来计算。

定积分的基本思想是：对一个函数在某个区间上进行积分，这个积分的值就是该函数曲线与x轴、y轴以及区间边界围成的区域的面积。

假设我们有一个函数f(x)，并且我们想要计算它在区间[a, b] 上的曲线围成的面积。

那么，这个面积可以通过以下公式计算：
面积= ∫(f(x)) dx (从a 到b)
这个公式就是用来计算曲线围成的面积的。

计算结果为：面积= 0
所以，曲线f(x) = sin(x) 在区间[0, 2π] 上的曲线围成的面积是0。

封闭形面积的计算公式

封闭形面积的计算公式在数学中，封闭形是指一个具有有限个点的集合，这些点可以用线段连接起来，形成一个封闭的图形。

常见的封闭形包括圆、正方形、长方形、三角形等。

计算封闭形的面积是数学中非常基础的问题，而且也是非常重要的问题，因为面积是描述一个封闭形大小的重要指标。

在本文中，我们将介绍几种常见封闭形的面积计算公式，并且给出一些具体的计算例子。

圆的面积计算公式。

圆是最简单的封闭形之一，其面积计算公式为：\[ S = \pi r^2 \]其中，S表示圆的面积，π是一个数学常数，约等于3.14159，r表示圆的半径。

例如，如果一个圆的半径为5cm，那么其面积为：\[ S = \pi \times 5^2 = 25\pi \approx 78.54 \, cm^2 \]正方形的面积计算公式。

正方形是一个四边相等的封闭形，其面积计算公式为：\[ S = a^2 \]其中，S表示正方形的面积，a表示正方形的边长。

例如，如果一个正方形的边长为6cm，那么其面积为：\[ S = 6^2 = 36 \, cm^2 \]长方形的面积计算公式。

长方形是一个有两对边相等的封闭形，其面积计算公式为：\[ S = l \times w \]其中，S表示长方形的面积，l表示长方形的长度，w表示长方形的宽度。

例如，如果一个长方形的长度为8cm，宽度为4cm，那么其面积为：\[ S = 8 \times 4 = 32 \, cm^2 \]三角形的面积计算公式。

三角形是一个有三条边的封闭形，其面积计算公式为：\[ S = \frac{1}{2} \times b \times h \]其中，S表示三角形的面积，b表示三角形的底边长，h表示三角形的高。

例如，如果一个三角形的底边长为10cm，高为6cm，那么其面积为：\[ S = \frac{1}{2} \times 10 \times 6 = 30 \, cm^2 \]以上是几种常见封闭形的面积计算公式，这些公式在实际生活中都有着广泛的应用。

容斥原理在曲线型面积中的应用

容斥原理在曲线型面积中的应用
容斥原理是组合数学中的一个基本原理，它用于计算至少在一个集合中的元素数量。

在几何学中，尤其是在计算曲线型面积时，容斥原理可以用来求解多个区域重叠部分的总面积。

在曲线型面积的应用中，容斥原理通常用于以下情况：
1. 多个区域的并集面积：当需要计算两个或多个曲线区域的并集面积时，这些区域可能会相互重叠。

直接计算每个区域的面积然后相加会导致重叠部分被重复计算。

使用容斥原理，可以先计算每个单独区域的面积，然后减去所有两两区域交集的面积，再加上所有三重交集的面积，依此类推，直到达到所需的精度。

2. 复杂图形的面积：对于包含多个相交曲线的复杂图形，直接计算整个图形的面积可能非常困难。

此时，可以将图形分解为不相交的部分，分别计算这些部分的面积，然后应用容斥原理来合并这些部分的面积。

3. 概率问题中的面积计算：在概率论中，容斥原理常用于计算多个事件并集的概率。

如果这些事件对应于平面上的曲线型区域，那么计算这些区域并集的面积就相当于计算这些事件并集的概率。

4. 数值积分：在数值积分中，尤其是使用蒙特卡洛方法时，容斥原理可以用来计算多个函数的重叠区域的积分值。

通过随机抽样和统计抽样点落在不同区域的次数，可以近似计算出各区域的面积，进而应用容斥原理得到并集区域的总面积。

在应用容斥原理时，需要注意的是，随着涉及的区域数量增加，计算交集的数量会急剧增加，这可能导致计算变得非常复杂。

因此，在实际应用中，通常会寻找简化计算的方法，例如利用对称性、特殊性质或者高效的算法来减少计算量。

封闭图形_精品文档

封闭图形封闭图形是几何学中一个重要的概念。

它是由一系列线段或曲线连接而成的图形，所有的线段或曲线的起始点和终点都能够相互连接，形成一个完全封闭的图形。

常见的封闭图形包括矩形、正方形、三角形、圆形等。

在几何学中，封闭图形具有许多重要的性质和特点。

首先，封闭图形的内部是有界的，它不会无限延伸。

这是因为封闭图形的每条线段或曲线都是有限的，而这些线段或曲线的起始点和终点能够相互连接，因此整个图形是有界的。

其次，封闭图形的边界是连续的。

这意味着封闭图形的边界是由一系列连续的线段或曲线组成的，每个线段或曲线的起始点和终点都能够相互连接，形成一个完整的边界。

这使得封闭图形的边界非常规整和光滑。

封闭图形还具有一些特殊的性质。

例如，所有的矩形都是封闭图形，矩形的边界是由四条直线段组成的，且所有的角都是直角。

另外，正方形也是一种封闭图形，它的边界是四条相等的直线段组成的，并且所有的角都是直角。

三角形是另一种常见的封闭图形。

在三角形中，边界由三条线段组成，且任意两条线段的和大于第三条线段的长度。

这个性质被称为三角形的三角不等式。

根据三角形的边长关系，我们可以将三角形分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形等不同类型。

圆形是最特殊的封闭图形之一。

圆形的边界是一条连续的曲线，且该曲线上的所有点到圆心的距离相等。

这个距离被称为圆的半径。

圆形具有许多特殊性质，例如，圆的直径是圆上任意两点间的最长距离，圆的周长等于圆周上任意一小段弧长的总和，圆的面积等于圆的半径平方乘以π。

封闭图形在我们日常生活中随处可见。

我们所接触到的建筑物、家具、器物等往往都是由各种各样的封闭图形组成的。

例如，一座房屋的平面图可以看作是由矩形、正方形、三角形等封闭图形组成的。

家具上的抽屉、桌面等也往往是由封闭图形构成的。

在工程设计和制造中，封闭图形的使用也非常广泛。

例如，在汽车制造中，车身往往由封闭的圆弧、曲面等图形组成，这些封闭图形不仅能提供美观的外观，还能提供加强结构、减少空气阻力等功能。

曲面封闭的概念

曲面封闭的概念曲面封闭是一个在几何学中常用的概念，用于描述一个曲面是否能够围成一个封闭的空间。

曲面是一个二维的几何对象，可以被描述为一个在三维空间中的曲线“滚动”而成。

一个曲面可以由多个曲线拼接而成，例如圆形可以被看作是由一个曲线在平面上旋转而成的曲面。

曲面在三维空间中可以有各种形状，如球面、圆柱面、圆锥面等等。

要判断一个曲面是否封闭，需要考虑曲面的形状以及是否将整个空间围成。

一个曲面被称为封闭的，是指它遵循以下两个条件：1. 曲面是一个连通的闭合曲线，这意味着曲面上的任意两点都可以通过曲面上的路径相连。

换句话说，曲面上的点可以通过曲面上的曲线移动而不离开曲面。

2. 曲面将整个空间划分为内部和外部两个部分，这意味着曲面内部的点是曲面的一部分，而曲面外部的点则不是曲面的一部分。

通过这两个条件，我们可以判断一个曲面是否封闭。

例如，球体就是一个封闭的曲面，因为它是一个连通的闭合曲线，并且球体将整个三维空间围成。

另外，立方体也是一个封闭的曲面，因为它是一个连通的闭合曲线，并且立方体将整个空间划分为内部和外部两个部分。

然而，并不是所有的曲面都是封闭的。

例如，圆盘就不是一个封闭的曲面，因为它只是一个平面上的闭合曲线，没有将整个空间围成。

同样，圆锥面也不是一个封闭的曲面，因为它只是一个从一点向外延伸的曲线，也没有将整个空间围成。

封闭的概念在几何学中具有广泛的应用。

它可以用于描述许多几何对象，如曲线、曲面、多面体等。

例如，在计算机图形学中，封闭曲面可以用于表示实体对象，方便进行渲染和模拟。

在流体力学中，封闭曲面可以用于描述流体的流动和压力分布。

总结来说，曲面封闭是一个描述曲面能否围成一个封闭空间的概念。

一个封闭曲面必须同时满足连通的闭合曲线和将整个空间划分为内部和外部两个部分的条件。

曲面封闭的概念在几何学的研究中具有重要意义，并在许多领域中有着广泛的应用。

18盘点求曲线围成封闭图形面积的几种思想(宋书华)

3 3
, ,
等式组 x - y + 2 ≥0, 表示的平面区域的面积是
x ≤2, ( )
3 3
]上的面积相等 , 作出函数 y = - sin3 x + 1 ]上的图象 , 所求区域如图 3 所示 , 很快的
π 4 π
A 14 2 B 14 C12 2 D 12
我们发现 , 可将直线 y = 1 上方的一个小拱形移到直线 y = 1 下方 , 恰好使得下方图形构成一个矩形 , 故所求区域面积转化为求一个小拱形面积和一个矩形面积之和 , 由图中数据很快知所求面积为 π +
| x | + | y |中的 y, 方程不变 , 故知曲线关于 x 轴对称 ;
2 2
例 2 ( 05 年湖南卷第 15 题 ) 设函数 f ( x ) 的图象与直线 x = a, x = b及 x 轴所围成图形的面积称为函数 f ( x ) 在 [ a, b ]上的面积 , 已知函数 y = sin nx 在
| x | ≤y ≤ | x | + 1,
y ≤3,
积是
1 (答案 : 20 ) 例 3 求曲线 x + y = | x | + | y |所围成的图形
2 2
表示的平面区域的面积为
1 13 应用对称简化求解过程
1 (答案 : 5 )
1 12 巧“ 割补 ” 化难为易
的面积 1 (人教高二上册第 89 页第 9 题 ) 分析对于以方程形式给出的封闭曲线围成图形的面积问题 , 一般先从代数角度来研究曲线的方程 , 通常此类曲线都具有很强的对称性 , 利用图形的对称性可以简化我们的求解过程 , 达到事半功倍的效果 ! 解从方程角度看 , 用 - y 替代方程 x + y =

利用定积分求曲线围成的面积

12.9 利用定积分求曲线围成的面积武汉外国语学校汪家硕一．复习回顾：1.定积分的几何意义：当()0f x ≥时，积分()ba f x dx ⎰在几何上表示由()y f x =、x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形的面积。

当()0f x ≤时，由()y f x =、x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方。

2.牛顿—莱布尼茨公式定理（微积分基本定理）如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且'()()F x f x =，则二．曲线围成的面积1.设f 和g 是区间[,]a b 上的连续函数且对任意的[,]x a b ∈有()()f x g x ≥，则直线x a =和直线x b =以及曲线间围成的面积可以表示为：()()()()b b ba a a f x dx g x dx f x g x dx -=-⎰⎰⎰ 例1.求抛物线2y x =和直线2y x =所围成的区域面积。

解：先求出P 点坐标。

解方程组22y x y x⎧=⎨=⎩ ⇒ 02x x =⎧⎨=⎩ ∴ P 点的坐标是(2,4)。

所求的面积= 22322008424333x x x dx x ⎡⎤-=-=-=⎢⎥⎣⎦⎰ 例1 例2．计算曲线21y x =+和24y x =-，以及直线1x =和1x =-所围成的区域面积。

解：所求面积=例22.前面的例题都是一个曲线总在另外一个曲线的上方，如果它们交叉会是什么结果？考虑区间112233[,],[,],[,],[,]a c c c c c c b ，阴影部分面积可以表示为：例3：求3()f x x =和()g x x =所围成的封闭区域面积。

解：当()()f x g x =时图像的交点，即 3320(1)0x x x x x x =⇒-=⇒-=例3 例4：求阴影部分的面积。

例4 练习：1. 求阴影部分面积2.。

求平面图形的面积常用四法

求平面图形的面积常用四法1。

直接公式法当图形能够分割成几个直接可利用公式求面积的图形时，我们可直接用有关面积公式求解。

例1 已知弓形的弧的度数为240°，弧长是83π ，求弓形的面积．解：如图1，根据弧长公式有24081803O A ππ⋅= ．2O A ∴=2240283603OAmB S ππ⨯∴==扇形， 122sin 602O A B S ∆=⨯⨯= ， 83A m B S π∴=+弓形．说明：（1）弓形面积的计算；（2）弓形面积可以看成是扇形面积和三角形面积的分解和组合，实际应用时，要注意公式的选择。

2．和、差法对于求图形面积问题，计算时往往将所求图形的面积转化为规则图形的面积和或差，这是求面积的常用方法．例2 如图2，分别以边长为a 的三角形的顶点为圆心，a 为半径的三段圆弧所围成的图形(即图中的阴影部分)的面积为_______．分析：若将阴影面积看成三个弓形与一个三角形面积的和，计算比较麻烦．若将其看成三个扇形与两个三角形面积的差，则计算简便．解：22213232642S S S a π∆=-=⋅-=阴影扇形．3．等积转换法一个图形的面积不易或难以求出时，可改求与其面积相等的图形面积．例3 如图3，A 是半径为1的⊙O 外的一点，OA=2，AB 是⊙O 的切线，B 是切点，弦BC ∥OA ，连结AC ，则阴影部分的面积等于_______．解：连结OB 、OC ．∵BC ∥OA ，∴S △ABC =S △OBC ，∴S阴影=S扇形OBC ． ∵AB 是⊙O 的切线，∴∠BOA=90°，∵OB=1，OA=2，∴∠OBC=∠BOA=60°， ∴∠BOC=1(18060)602-= ，∴扇形OBC 是圆的16 ． ∴S阴影=S 扇形OBC =2166R ππ= ．4．割补法将一个图形的一部分割下来，而移放到其他合适位置上，从而构成易求面积的图形，这种求面积的方法叫做割补法．例4 如图4，△ABC 是等腰直角三角形，D 为AB 的中点，AB=2，扇形ADG 和BDH 分别是以AD 、BD 为半径的圆的14 ，求阴影部分的面积．分析：从表面上看图形异常繁杂，由于两扇形是同一圆的14 ，若将其中一个扇形割下来，补在另一个扇形的旁边，构成半圆，如图2，则阴影面积便容易求得．解：将扇形BDH 绕点D 按顺时针方向旋转180°变成图5，。

封闭曲线极坐标面积公式

封闭曲线极坐标面积公式
假设平面上一条简单封闭曲线由以下参数方程给出：
{x=f(t)y=g(t)(1)(1){x=f(t)y=g(t)
其中参数t t位于某个区间[a,b][a,b]上，即f(a)=f(b),g(a)=g(b)f(a)=f(b),g(a)=g(b)。

现在的问题是，求该封闭曲线围成的区域的面积。

通常的解决思路是使用Green公式：
∬D(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy=∮∂D Pdx+Qdy(2)(2)∬D(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy=∮∂DPdx+Qdy
它告诉我们面积分和线积分可以相互转化。

当∂Q∂x−∂P∂y=1∂Q∂x−∂P∂y=1时，左边就是求区域内的面积。

满足这样的P,Q P,Q有很多，如Q=x,P=0Q=x,P=0，那么
∬D dxdy=∮∂D xdy=∫ba f(t)g′(t)dt(3)(3)∬Ddxdy=∮∂Dxdy=∫abf(t)g′(t)dt
由此可见，换用不同的P,Q P,Q，可以构造出各种各样的计算面积的公式，其中，在很多情形会相对方便一些的公式是
∬D dxdy=12∮∂D−ydx+xdy=12∫ba[f(t)g′(t)−g(t)f′(t)]dt(4)(4)∬Ddxdy=12∮∂D−
ydx+xdy=12∫ab[f(t)g′(t)−g(t)f′(t)]dt
因为它对于过原点的直线的积分自动为0。

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