第15章.列分式方程解应用题讲义

列分式方程解应用题讲义湖北襄阳秦本洲列分式方程与列整式方程一样，注意找出应用题中数量间的相等关系，设好未知数，列出方程．不同之处是：所列方程是分式方程的，解方程时必须进行检验，既要检验其是否为所列方程的解，还要检验是否符合题意，即满足实际意义．列分式方程解应用题的一般步骤是：审、设、列、解、验、答。

设未知数要巧妙，没有固定模式，有时直接设未知数较为复杂，需要间接设未知数，要根据题目条件的优越性和解答的便捷性，设出恰当的未知数，如下面第7、9、15、20题。

在解完方程并检验后，需要进一步求出所要回答的量。

解分式方程可能会产生增根，所以必须检验解出得整式方程的更是不是分式方程的根，不是的要做说明，并舍去，有时解出的根是所列方程的根，但不符合题意，不符合题意的根，作出必要的说明，并舍去，如下面第8题。

梳理数量关系的方法：（1）先用列式法，套用常用的数量关系；（2）属排比类型的数量关系，如果较为复杂，可用列表法；（3）行程问题、工程问题等一般可画线段图分析；（4）与算术、不等式、函数相结合的题目,要牵引相关知识与方法配合解答，如：以下第16、17、18、21、22、23、24、25、26 题。

难点：审题，梳理数量关系，挖掘等量关系。

重点：列方程，解方程。

笔者在今年疫情期间，做2017至2109年全国各地中考试题300多套，发现许多分式方程应用题命题科学，可供现行八年级下学期师生使用，对九年级中考备考也有较高价值，所以，我分类精心编成讲义，发给各位老师和同学，期待各位同仁指正。

一、行程问题1.(19年襄州模拟三）从甲地到乙地有两条公路，一条是全长600km的普通公路，另一条是全长480km的高速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45km/h，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间．1---解：设客车由高速公路从甲地到乙地需x小时，则走普通公路需2x小时，根据题意得：，解得x＝4经检验，x ＝4原方程的根，答：客车由高速公路从甲地到乙地需4时．2.（2019年绥化）甲、乙两辆汽车同时从A 地出发，开往相距200km 的B 地，甲、乙两车的速度之比是4:5，结果乙车比甲车早30分钟到达B 地，则甲车的速度为 /km h ．2---{答案}80{解析}找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设甲车的速度为/xkm h ，则乙车的速度为5/4xkm h ， 依题意，得：200200305604x x -=， 解得：80x =， 经检验，80x =是原方程的解，且符合题意． 3.(18年扬州）京沪铁路是我国东部沿海地区纵贯南北的交通大动脉，全长1462km ，是我国最繁忙的铁路干线之一.如果从北京到上海的客车速度是货车速度的2倍，客车比货车少用6h ，那么货车的速度是多少？（精确到0.1/km h ）3--解：设货车的速度为h xkm /由题意得8.1216214621462≈⇒=-x xx 经检验8.121≈x 是该方程的解答：货车的速度是8.121千米/小时.4.(18年昆明）甲、乙两船从相距300km 的A 、B 两地同时出发相向而行，甲船从A 地顺流航行180km 时与从B 地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h ，若甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h ，则求两船在静水中的速度可列方程为（ ）A ．= B ．= C ．= D ．=4--解：设甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h ，则求两船在静水中的速度可列方程为：=． 4---A ．5.(17年谷城模拟）已知A ，B 两地相距160km ，一辆汽车从A 地到B 地的速度比原来提高了25%，结果比原来提前0.4h到达，这辆汽车原来的速度是km/h．5---解：设这辆汽车原来的速度是xkm/h，由题意列方程得：，解得：x=80经检验，x=80是原方程的解，所以这辆汽车原来的速度是80km/h．故答案为：80．6.(17年通辽）一汽车从甲地出发开往相距240km的乙地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后比原来的速度加快，比原计划提前24min到达乙地，求汽车出发后第1小时内的行驶速度．6--解：设汽车出发后第1小时内的行驶速度是x千米/小时，根据题意可得：=+，解得：x=120，经检验得：x=120是原方程的根，答：汽车出发后第1小时内的行驶速度是120千米/小时．7.（2019年威海）小明和小刚约定周末到某体育馆打羽毛球，他们两家到体育公园的距离分别是1200米，3000米。

小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍.若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发。

求小明和小刚两人的速度。

7--解：设小明步行的速度是x米/分钟，则小刚骑自行车的速度是3x米/分钟1200300043x x=+解之，得x=50经检验x=50是原方程的解。

当x=5时，3x=3×50=150答：小明和小刚两人的速度分别为50米/分钟，150米/分钟。

8.（19年宜宾）甲、乙两辆货车分别从A、B两城同时沿高速公路向C城运送货物.已知A、C两城相距450千米，B、C两城的路程为440千米，甲车比乙车的速度快10千米/千米，甲车比乙车早半小时到达C城.求两车的速度.{解析}设乙车的速度为x千米/小时，则甲车的速度为(x+10)千米/小时，根据等量关系“甲车所花的时间=乙车所花时间-0.5”列方程求解．{答案}解：设乙车的速度为x千米/小时，则甲车的速度为(x+10)千米/小时，根据题意，得450 x+10=440x-0.5解这个方程，得x 1=80，x 2=-110(舍去)经检验x=80是原方程的根，答：甲车的速度为90千米/小时。

乙车的速度为80千米/小时.9.(18年东营）小明和小刚相约周末到雪莲大剧院看演出，他们的家分别距离剧院1200m 和2000m ，两人分别从家中同时出发，已知小明和小刚的速度比是3：4，结果小明比小刚提前4min 到达剧院．求两人的速度．9--解：设小明的速度为3x 米/分，则小刚的速度为4x 米/分， 根据题意得：﹣=4， 解得：x=25，经检验，x=25是分式方程的根，且符合题意，∴3x=75，4x=100．答：小明的速度是75米/分，小刚的速度是100米/分．10.(18年樊城模拟）早晨，小明步行到离家900米的学校去上学，到学校时发现眼镜忘在家中，于是他立即按原路步行回家，拿到眼镜后立即按原路骑自行车返回学校．已知小明步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多10分钟，小明骑自行车速度是步行速度的3倍．（1）求小明步行速度（单位：米/分）是多少；（2）下午放学后，小明骑自行车回到家，然后步行去图书馆，如果小明骑自行车和步行的速度不变，小明步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从学校到家时间的2倍，那么小明家与图书馆之间的路程最多是多少米？10--解：（1）设小明步行速度为x 米/分，则x 900=x3900+10 两边同乘3x ，3×900=900+30x∴x=60经检验，x=60是原方程的解。

∴小明步行速度为60米/分。

（2）设图书馆与家路程为y 米，由60y 《60900-10 ∴y 《600答：小明家与图书馆之间的路程最多是600米。

二、工程进度及承包问题11.(2019西藏）绿水青山就是金山银山，为了创造良好的生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树600棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵树是原计划的2倍，结果提前4天完成任务，则原计划每天种树多少棵？11--解：设原计划每天种树x 棵． 由题意，得﹣＝4解得，x ＝75经检验，x ＝75是原方程的解．答：原计划每天种树75棵．12.(17年宜宾）用A 、B 两种机器人搬运大米，A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运20袋大米，A 型机器人搬运700袋大米与B 型机器人搬运500袋大米所用时间相等．求A 、B 型机器人每小时分别搬运多少袋大米．12--解：设A 型机器人每小时搬大米x 袋，则B 型机器人每小时搬运（x ﹣20）袋， 依题意得： =， 解这个方程得：x=70经检验x=70是方程的解，所以x ﹣20=50．答：A 型机器人每小时搬大米70袋，则B 型机器人每小时搬运50袋．13.(19年樊城模拟）为落实政府“保护汉江”的绿色发展理念，我市持续推进汉江岸线保护，还汉江水清岸绿的自然生态原貌. 某工程队负责对一面积为33000平方米的非砂石码头进行拆除，回填土方和复绿施工，为了缩短工期，该工程队增加了人力和设备，实际工作效率比原计划和每天提高了20%，结果提前11天完成任务，求实际平均每天施工多少平方米？13--解：设实际平均每天施工x 米，列方程得：112.133********=-xx 去分母，得：x 2.111330002.133000⨯=-⨯解之：x=500经检验x=500是原方程得解，且符合题意∴1.2x=600答：实际平均每天施工600平方米.14.(18年泰州）为了改善生态环境，某乡村计划植树4000棵．由于志题者的支援，实际工作效率提高了20%，结果比原计划提前3天完成，并且多植树80棵，原计划植树多少天？14--解：设原计划每天种x棵树，则实际每天种（1+20%）x棵，依题意得：﹣=3解得x=200，经检验得出：x=200是原方程的解．所以=20．答：原计划植树20天．15.（2018年威海市）某自动化车间计划生产480个零件，当生产任务完成一半时，停止生产进行自动化程序软件升级，用时20分钟，恢复生产后工作效率比原来提高了，结果完成任务时比原计划提前了40分钟，求软件升级后每小时生产多少个零件？15--解：设软件升级前每小时生产x个零件，则软件升级后每小时生产（1+）x个零件，根据题意得：﹣=+，解得：x=60，经检验，x=60是原方程的解，且符合题意，∴（1+）x=80．答：软件升级后每小时生产80个零件．16.(18年樊城二模）在某市实施城中村改造的过程中，“旺鑫”拆迁工程队承包了一项10000m2的拆迁工程．由于准备工作充分，实际拆迁效率比原计划提高了25%，提前2天完成了任务，请解答下列问题：（1）求“旺鑫”拆迁工程队现在平均每天拆迁多少m2；（2）为了尽量减少拆迁给市民带来的不便，在拆迁工作进行了2天后，“旺鑫”拆迁工程队的领导决定加快拆迁工作，将余下的拆迁任务在5天内完成，那么“旺鑫”拆迁工程队平均每天至少再多拆迁多少m2？16---解：（1）设“旺鑫”拆迁工程队现在平均每天拆迁x m2．由题意，得﹣=2，解得x=1000，经检验，x=1000是原方程的解并符合题意．（1+25%）×1000=1250（m2）．答：设“旺鑫”拆迁工程队现在平均每天拆迁1250 m2．（2）设“旺鑫”拆迁工程队现在平均每天拆迁y m2．由题意，得5（1250+y）≥10000﹣2×1250解得y≥250．答：“旺鑫”拆迁工程队平均每天至少再多拆迁250m2．17.（2019年青岛）甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的 1.5 倍，两人各加工 600 个这种零件，甲比乙少用 5 天．（1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是 150 元和 120 元，现有 3000 个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过 7800 元，那么甲至少加工了多少天？17-- 解：（1）设乙每天加工x个零件，则甲每天加工1.5x个零件，根据题意，得60060051.5x x-=，解这个方程，得x＝40.经检验，x＝40是原分式方程的根.1.5x＝1.5×40＝60.答：甲每天加工60个零件，乙每天加工40个零件.（2）设甲加工了x天，根据题意，得150x＋30006012040x-⨯≤7800，解这个不等式，得x≥40.答：甲至少加工了40天.18.(2019郴州）某小微企业为加快产业转型升级步伐，引进一批 A，B 两种型号的机器．已知一台 A型机器比一台 B 型机器每小时多加工 2 个零件，且一台 A 型机器加工 80 个零件与一台 B 型机器加工 60 个零件所用时间相等．（1）每台 A，B 两种型号的机器每小时分别加工多少个零件？（2）如果该企业计划安排 A，B 两种型号的机器共 10 台一起加工一批该零件，为了如期完成任务，要求两种机器每小时加工的零件不少于 72 件，同时为了保障机器的正常运转，两种机器每小时加工的零件不能超过 76 件，那么 A，B 两种型号的机器可以各安排多少台？18--解：（1）设一台A型号机器每小时加工x个零件，则一台B型机器每小时加工（x －2）个零件，根据80602x x=-，解得x＝8经检验x＝8是原方程的解，所以A型机器每小时加工零件8个，B型机器每小时加工零件6个；（2）设A型号机器安排y台，则B型号机器安排（10－y）台，依题意，可得 72≤8y＋6（10－y）≤76解得 6≤y ≤8即y 的可取值为：6，7，8所以A ，B 两种型号的机器可以作如下安排：① A 型号机器6台，B 型号机器4台；② A 型号机器7台，B 型号机器3台；③ A 型号机器8台，B 型号机器2台．三、市场经济问题19.(18年南京）刘阿姨到超市购买大米，第一次按原价购买，用了105元.几天后，遇上这种大米8折出售，她用140元又买了一些，两次一共购买了40kg.这种大米的原价是多少？19--解：设这种大米的原价为每千克x 元， 根据题意，得105140400.8x x+=. 解这个方程，得7x =.经检验，7x =是所列方程的解答：这种大米的原价为每千克7元.20.(19年襄城模拟）列方程解应用题：某商店在2017年至2019年期间销售一种玩具,2017年该商店用2200元购进了这种玩具并且全部售完;2019年这种玩具每个的进价是2017年的一半,且该商店用2100元购进的玩具数比2017年的玩具数多100个.那么,2017年这种玩具每个的进价是多少元?20--解：设2019年进价为每个x 元，2017年进价为每个2x 元，列方程得： xx 210010022200=+ 去分母得:1100+100x=2100解之，得：x=10经检验x=10是原方程得解，且符合题意∴2x=20答：2017年的进价为每个20元。