2.4弦切角的性质
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人教版高中数学第二讲2.4弦切角的性质
A．2 B．3 C．4 D．5 解析：由弦切角必备的三个条件：顶点在圆上，一边 与圆相交，一边与圆相切可知．
图中的弦切角有：∠ACE，∠BCD，∠ACD，∠BCE， 共 4 个．
答案：C
4．AB 切⊙O 于 A 点，圆周被 AC 所分成的优弧与 劣弧之比为 3∶1，则夹劣弧的弦切角∠BAC＝________．
因为 AB 为⊙O 的直径， 所以∠ACB＝90°. 所以∠B＝90°－∠BAC＝90°－56°＝34°. 又因为 EF 与⊙O 相切于点 C，由弦切角定理， 得∠ECA＝∠B＝34°. 答案：34°
类型 1 利用弦切角定理求角、证明角相等(互动探 究)
[典例 1] 如图所示，AB 是圆 O 的直径，直线 CD 与⊙O 相切于点 C，过点 A 作 AD⊥CD，点 D 为垂足．
解析：因为优弧与劣弧之比为 3∶1， 所以劣弧所对的圆心角为 90°，所对的圆周角为 45°. 故由弦切角定理可知， 弦切角∠BAC＝45°. 答案：45°
5．如图所示，AB 为⊙O 的直径，直线 EF 切⊙O 于 点 C，若∠BAC＝56°，则∠ECA＝________．
解析：连接 BC(如图)，
1．直线与圆相切是一种重要的、特殊的位置关系， 在与弦切角相关的证明题目中，重点是用好弦切角的定 义和定理．
2．要能在图形中准确地识别弦切角，并能正确应用 弦切角定理及其推论．弦切角是我们证明角相等的又一 个重要依据，常常与圆周角、圆心角性质联合起来证明 或求解相关问题．
3．利用弦切角性质来证明两个角相等，再利用三角 形相似证比例中项，是一种较常见的思路．
证明：∠DAC＝∠BAC. 解析：连接 BC(如图)，
因为 AB 为⊙O 的直径， 所以∠ACB＝90°.
图中的弦切角有：∠ACE，∠BCD，∠ACD，∠BCE， 共 4 个．
答案：C
4．AB 切⊙O 于 A 点，圆周被 AC 所分成的优弧与 劣弧之比为 3∶1，则夹劣弧的弦切角∠BAC＝________．
因为 AB 为⊙O 的直径， 所以∠ACB＝90°. 所以∠B＝90°－∠BAC＝90°－56°＝34°. 又因为 EF 与⊙O 相切于点 C，由弦切角定理， 得∠ECA＝∠B＝34°. 答案：34°
类型 1 利用弦切角定理求角、证明角相等(互动探 究)
[典例 1] 如图所示，AB 是圆 O 的直径，直线 CD 与⊙O 相切于点 C，过点 A 作 AD⊥CD，点 D 为垂足．
解析：因为优弧与劣弧之比为 3∶1， 所以劣弧所对的圆心角为 90°，所对的圆周角为 45°. 故由弦切角定理可知， 弦切角∠BAC＝45°. 答案：45°
5．如图所示，AB 为⊙O 的直径，直线 EF 切⊙O 于 点 C，若∠BAC＝56°，则∠ECA＝________．
解析：连接 BC(如图)，
1．直线与圆相切是一种重要的、特殊的位置关系， 在与弦切角相关的证明题目中，重点是用好弦切角的定 义和定理．
2．要能在图形中准确地识别弦切角，并能正确应用 弦切角定理及其推论．弦切角是我们证明角相等的又一 个重要依据，常常与圆周角、圆心角性质联合起来证明 或求解相关问题．
3．利用弦切角性质来证明两个角相等，再利用三角 形相似证比例中项，是一种较常见的思路．
证明：∠DAC＝∠BAC. 解析：连接 BC(如图)，
因为 AB 为⊙O 的直径， 所以∠ACB＝90°.
2.4 弦切角的性质 教学课件(人教A版选修4-1)
知能达标演练
课后习题解答
【考题2】 (2012·辽宁高考)如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点， 过A作两圆的切线分别交两圆于 C， D两点，连结 DB并延长交 ⊙O于点E.
证明
(1)AC·BD＝AD·AB； (2)AC＝AE.
课前探究学习
课堂讲练互动
知能达标演练
课后习题解答
证明
(1)由 AC 与圆 O′相切于点 A， 得∠CAB＝∠ADB；
课前探究学习 课堂讲练互动 知能达标演练 课后习题解答
反思感悟
(1)弦切角是很重要的与圆相交的角．其主要功能是协
调与圆相关的各种角，如圆心角、圆周角等，是连接圆与三角形
全等、三角形相似及与圆相关的各种直线位置关系的桥梁．
(2)弦切角定理经常作为工具，进行三角形相似的证明，然后利用 三角形相似进一步确定相应边之间的关系，在圆中证明比例式或 等积式，常常需要借助于三角形相似处理． (3)弦切角定理有时还与圆周角定理等知识综合运用，它们不但在
课前探究学习
课堂讲练互动
知能达标演练
课后习题解答
解
如图所示，连接 BD.
∵AC 为⊙O 的切线，∴∠ADE＝∠ABD. ∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABD， AD BD BD 2 DE 1 ∴ AE ＝DE，即DE＝1，∴BD＝2. DE 1 ∵BE 为⊙O 的直径，∴∠BDE＝90° ，∴tan∠ABD＝BD＝2. ∵∠F＋∠BEF＝90° ，∠ABD＋∠BEF＝90° ， 1 ∴∠ABD＝∠F，∴tan∠F＝tan∠ABD＝ . 2
②一边和圆相切(一边所在直线为圆的切线)；
③一边和圆相交(一边为圆的过切点的弦)． 三者缺一不可，例如图中，∠CAD很像弦切角，但它不是弦切 角，因为 AD 与圆相交， ∠ BAE 也不一定是弦切角，只有已知 AE切圆于点A，才能确定它是弦切角．
2.4弦切角的性质
C
E
O
(2)圆心o在△ABC的内部 作⊙o的直径CP,则 ∠PCE= ∠PAC= 90 ° ∵∠BCE= ∠PCE-∠PCB O = 90°-∠PCB. Ｂ Ａ ∠BAC= ∠PAC-∠PAB P = 90°-∠PAB. 而∠PAB= ∠PCB ∴∠BCE= ∠BAC
C Ｅ
(3)圆心0在△ABC的外部, 作⊙O的直径CP,那么 Ｅ C ∠PCE= ∠PAC= 90 ° ∵∠BCE= ∠PCE+∠PCB O = 90°+∠PCB. Ａ ∠BAC= ∠PAC+∠PAB Ｂ P = 90°+∠PAB. 而∠PAB= ∠PCB 综上所述， ∴∠BCE= ∠BAC 猜想成立。
1.弦切角:顶点在圆上，一边与圆相交， 另一边与圆相切的角叫做弦切角。
下面五个图中的∠BAC是不是弦切角？ C B
×
C
A × B B
A
C
C
√
A
× B C
× A
A
B
2.弦切角定理
弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
D Ｃ Ｏ Ａ
m
Ｂ
几何语言:
BA切⊙O于A
AC是圆O的弦
∠BAC= ∠ADC
例1.如图已知AB是⊙O的直径,AC是弦, 直线CE和⊙O切于点C,AD⊥CE,垂足为D 求证:AC平分∠BAD. 思路一:
线段PA、PB、PC、PD之间有什么关系？
证明:连接AD、BC.
D
图1
则由圆周角定理的推论可得:∠A＝∠C. ∴Rt△APD∽Rt△CPB.
B
A
P C
O
探究2:将图１中的AB向上（或向下）平移,使AB不再是
直径（如图２），结论（１）还成立吗？
2.4_弦切角的性质
切于⊙O于C,若∠BAC=56°，则
o 34 ∠ECA =＿ 。
A E O
C
F
B
2、如图，AB是⊙O 的直径，AC是弦， 直线CE和⊙O 切于点C，AD⊥CE，垂足 为D，若 ∠ACD = 400 ，则∠BAC=
B
O A
50º 。
E
C
D
练一练
3、如图，经过⊙O上的点T的切线 和弦AB的延长线相交于点C。 说明： ∠ATC = ∠TBC D
E
D
常用模型： ∴ ∠EAC=∠EAD . △BAC∽△BDA!
5.EF切⊙O于点C,过弦AB的两端点 A、B分别作AE⊥AB,BF⊥AB,OC交AB于点D.求 2 E 证:(1)CE· CF=AD· DB;(2)CD =AE· BF.
C
F
证明:连结AC,BC. ∴∠ECA=∠CBA, ∠FCB=∠CAB. 又∵ AE⊥AB,BF⊥AB, ∴四点A,D,C,E共圆;四点A,D,C,E共圆; ∴ ∠ADC=∠CFB, ∴ △ADC∽△CFB . ∵EF是⊙O 的切线，
B O A P B O A P B D O A
图3 图2 图1
思考
图2，图3的情况怎么 证明?试着口述证明它们.
C
弦切角定理
弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.
推论:
(同圆或等圆中)如果两个弦切角所夹的 弧相等,那么这两个弦切角也相等。
回顾及说明：
(1).由上述定理的发现和证明过程可以看到，对一 个图形进行适当的变化，往往能够发现几何中的一些有 价值的结论.另外,猜想的证明渗透了： ①分类思想、②运动变化(特殊化)思想和③化归 思想，你能从中体会这些思想方法吗？ (2).弦切角定理的引入方法：采用了图形变化的方 法，将内接四边形变化为它的极端情形，即三角形.由 “圆内接四边形的外角等于它的内角的对角”去猜想 “弦切角对于它所夹的弧对的圆周角”.
o 34 ∠ECA =＿ 。
A E O
C
F
B
2、如图，AB是⊙O 的直径，AC是弦， 直线CE和⊙O 切于点C，AD⊥CE，垂足 为D，若 ∠ACD = 400 ，则∠BAC=
B
O A
50º 。
E
C
D
练一练
3、如图，经过⊙O上的点T的切线 和弦AB的延长线相交于点C。 说明： ∠ATC = ∠TBC D
E
D
常用模型： ∴ ∠EAC=∠EAD . △BAC∽△BDA!
5.EF切⊙O于点C,过弦AB的两端点 A、B分别作AE⊥AB,BF⊥AB,OC交AB于点D.求 2 E 证:(1)CE· CF=AD· DB;(2)CD =AE· BF.
C
F
证明:连结AC,BC. ∴∠ECA=∠CBA, ∠FCB=∠CAB. 又∵ AE⊥AB,BF⊥AB, ∴四点A,D,C,E共圆;四点A,D,C,E共圆; ∴ ∠ADC=∠CFB, ∴ △ADC∽△CFB . ∵EF是⊙O 的切线，
B O A P B O A P B D O A
图3 图2 图1
思考
图2，图3的情况怎么 证明?试着口述证明它们.
C
弦切角定理
弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.
推论:
(同圆或等圆中)如果两个弦切角所夹的 弧相等,那么这两个弦切角也相等。
回顾及说明：
(1).由上述定理的发现和证明过程可以看到，对一 个图形进行适当的变化，往往能够发现几何中的一些有 价值的结论.另外,猜想的证明渗透了： ①分类思想、②运动变化(特殊化)思想和③化归 思想，你能从中体会这些思想方法吗？ (2).弦切角定理的引入方法：采用了图形变化的方 法，将内接四边形变化为它的极端情形，即三角形.由 “圆内接四边形的外角等于它的内角的对角”去猜想 “弦切角对于它所夹的弧对的圆周角”.
2.4 弦切角的性质 课件(人教A选修4-1)(2)
[读教材·填要点] 1．弦切角 顶点在圆上，一边和圆 相交 ，另一边和圆 相切 的角叫
弦切角．
2．弦切角定理 弦切角等于 它所夹的弧所对的圆周角 ．
[小问题·大思维] 1．一边和圆相交，另一边和圆相切的角是弦切角吗？ 提示：不一定．弦切角必须同时具备三点： ①顶点在圆上；②一边和圆相交；③一边和圆相切． 2．弦切角与它所夹的弧所对的圆心角之间有什么关系？
∴∠DAC＝∠CAB.
法二： 如图， 延长 BO 交⊙O 于 E， 连接 AE，则∠CAE＝90° . 又∵AD⊥CE，∴∠DAC＝∠E. ∵AB 是⊙O 的切线， ∴∠CAB＝∠E. ∴∠DAC＝∠CAB.
法三：如图，连接OA. ∵AB切⊙O于A，∴OA⊥AB.
∴∠CAB与∠OAC互余．
又∵AD⊥OB， ∴∠DAC与∠ACO互余． ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO. ∴∠DAC＝∠CAB.
[考题印证] (2012· 辽宁高考)如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点， 过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长
交⊙O于点E.证明：
(1)AC· BD＝AD· AB； (2)AC＝AE.
[命题立意]
本题主要考查弦切角定理，考查学生综合
运用所学知识，分析问题并解决问题的能力．
证明：(1)由 AC 与⊙O′相切于 A， 得∠CAB＝∠ADB， 同理∠ACB＝∠DAB， 所以△ACB∽△DAB. AC AB 从而AD＝BD， 即 AC· BD＝AD· AB. (2)由 AD 与⊙O 相切于 A，得∠AED＝∠BAD， 又∠ADE＝∠BDA，得 AE AD △EAD∽△ABD.从而AB＝BD， 即 AE· BD＝AD· AB. 结合(1)的结论，AC＝AE.
解决此类问题的关键是把握弦切角的三个要素：
弦切角．
2．弦切角定理 弦切角等于 它所夹的弧所对的圆周角 ．
[小问题·大思维] 1．一边和圆相交，另一边和圆相切的角是弦切角吗？ 提示：不一定．弦切角必须同时具备三点： ①顶点在圆上；②一边和圆相交；③一边和圆相切． 2．弦切角与它所夹的弧所对的圆心角之间有什么关系？
∴∠DAC＝∠CAB.
法二： 如图， 延长 BO 交⊙O 于 E， 连接 AE，则∠CAE＝90° . 又∵AD⊥CE，∴∠DAC＝∠E. ∵AB 是⊙O 的切线， ∴∠CAB＝∠E. ∴∠DAC＝∠CAB.
法三：如图，连接OA. ∵AB切⊙O于A，∴OA⊥AB.
∴∠CAB与∠OAC互余．
又∵AD⊥OB， ∴∠DAC与∠ACO互余． ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO. ∴∠DAC＝∠CAB.
[考题印证] (2012· 辽宁高考)如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点， 过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长
交⊙O于点E.证明：
(1)AC· BD＝AD· AB； (2)AC＝AE.
[命题立意]
本题主要考查弦切角定理，考查学生综合
运用所学知识，分析问题并解决问题的能力．
证明：(1)由 AC 与⊙O′相切于 A， 得∠CAB＝∠ADB， 同理∠ACB＝∠DAB， 所以△ACB∽△DAB. AC AB 从而AD＝BD， 即 AC· BD＝AD· AB. (2)由 AD 与⊙O 相切于 A，得∠AED＝∠BAD， 又∠ADE＝∠BDA，得 AE AD △EAD∽△ABD.从而AB＝BD， 即 AE· BD＝AD· AB. 结合(1)的结论，AC＝AE.
解决此类问题的关键是把握弦切角的三个要素：
2.4 弦切角的性质 课件(人教A选修4-1)
5．如图，AD是△ABC的角平分线，
经过点A、D的 ⊙O和BC切于D，
且AB、AC与⊙O相交于点E、F， 连接DF，EF. (1)求证：EF∥BC； (2)求证：DF2＝AF· BE.
证明：(1)∵⊙O切BC于D，
∴∠CAD＝∠CDF.
∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠CAD. 又∵∠BAD＝∠EFD， ∴∠EFD＝∠CDF. ∴EF∥BC.
1. 弦切角定理
(1)文字语言叙述： 弦切角等于它 所夹的弧 所对的圆周角． (2)图形语言叙述： 如图，AB与⊙O切于A点，则∠BAC＝ ∠D .
[说明]
弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半，
圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，圆心
角的度数等于它所对弧的度数．
[例 1]
AC (2010· 新课标全国卷)如图，已知圆上的弧 ＝
利用弦切角定理进行计算、证明，要特别注意弦
切角所夹弧所对的圆周角，有时与圆的直径所对的圆
周角结合运用，同时要注意根据题目的需要可添加辅 助线构成所需要的弦切角．
1．如图所示，AB、CB分别切⊙O于D、E，找出图中
所有弦切角．
解：∠ADE、∠BDE、∠CED、∠BED是弦切角．
2. 如图，AB是⊙O的弦，CD是经过⊙O上的点M的切线， 求证：
3．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，直线 CD 与⊙O 相切于点 C，AC 平分∠DAB. (1)求证：AD⊥CD； (2)若 AD＝2，AC＝ 5，求 AB 的长．
解：(1)证明：如图，连接 BC. ∵直线 CD 与⊙O 相切于点 C， ∴∠DCA＝∠B. ∵AC 平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠CAB. ∴∠ADC＝∠ACB. ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90° . ∴∠ADC＝90° ，即 AD⊥CD.
人教版高中数学选修4-1《2.4弦切角的性质》
D 化归 A
B
A C
弦切角
E
C
E
∵∠DAC=∠DCE=90° 且 ∠DAB=∠DCB ∴∠BAC= 90°+ ∠DAB = 90°+ ∠DCB = ∠BCE ∴∠BAC = ∠BCE
弦切角性质定理：
弦切角等于它所夹的弧 对的圆周角．
例题分析
例1：如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线 CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足为D. 求证： AC平分∠BAD． 分析： 要证AC平分∠BAD 即证∠1＝∠2 可证这两角所在的直角三 角形相似。 于是连结BC，得Rt△ACB
2.4弦切角的性质
复习回顾
下图圆中的∠BAC和∠BOC分别是什么角？
圆周角
圆周角定理 : 圆上一条弧所 对的圆周角等于其所对圆心 角的一半.
A
圆心角
O B
C
p
B
A
p
B A
p
B
A
p
B
A
p
B
A
p B
A
p
B
A
概念解读：
顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的 p 角叫做弦切角。(如∠BPA)
B O 1
∟
2
A D
E
C
由弦切角性质 ∠ACD＝∠B ，故结论得证
解：连结BC ∵ AD⊥CE， AB是⊙O的 直径 ∴∠BCA=∠ADC=90°
B O 1 2 D A
又∵CD与圆相切
由弦切角性质∠ACD=∠ABC ∴RT△ACB ~ RT△ADB
E
C
∴∠1=∠2
∴AC平分∠BAD
思路二： 连结OC
B O
3
高二数学人教A版选修4-1课件：2.4 弦切角的性质
1.如图,圆 O 的直径 AB=6,C 为圆周上一点,BC=3,过点 C 作圆的切线
l,过 A 作 l 的垂线 AD,垂足为 D,则线段 CD 的长为
.
解析:∵直线 l 是圆 O 的切线, ∴∠ACD=∠ABC, ∠BCE=∠BAC. 又 AB 是直径,∴AC⊥BC. ∵BC=3,AB=6,
∴∠ABC=60°.∴AC=3 3.
证明:连接 DF,如图所示,
∵AD 是∠BAC 的平分线,∴∠BAD=∠DAC. ∵∠EFD=∠BAD,∴∠EFD=∠DAC. ∵BC 切☉O 于 D,∴∠FDC=∠DAC. ∴∠EFD=∠FDC.∴EF∥BC. 当已知条件中出现圆的切线时,借助于弦切角定理,常用角的关系 证明两条直线平行:(1)内错角相等,两条直线平行;(2)同位角相等,两条 直线平行;(3)同旁内角互补,两条直线平行等.证题时可以根据图形与已 知合理地选择.
☉O,AD⊥AC,∠C=32°,∠B=110°,则∠BAD=
.
错解:∵AD⊥AC, ∴∠BAD 是弦切角. ∴∠BAD=∠C.
又∠C=32°,∴∠BAD=32°.
错因分析:错解中,误认为∠BAD 是弦切角,其实不然,虽然 AD⊥AC,但 AD 不是切线.
正解:∵∠C+∠B+∠BAC=180°, ∴∠BAC=180°-∠C-∠B=38°.
∴∠ACE=∠ABC.
∴∠ACE=∠BCD.
(2)∵∠ECB=∠CDB,∠EBC=∠BCD, ∴△BDC∽△ECB.∴BBCE = CBDC, 即 BC2=BE×CD.
5.如图,AB 是半圆 O 的直径,C 是圆周上一点(异于点 A,B),过点 C 作 圆 O 的切线 l,过点 A 作直线 l 的垂线 AD,垂足为点 D.AD 交半圆于 点 E.求证:CB=CE.
《2.4弦切角的性质》课件1-优质公开课-人教A版选修4-1精品
第二讲
直线与圆的位置关系
2.4 弦切角的性质
1．理解弦切角的定义． 2．掌握弦切角的性质定理，并能应用它们进行简 单的计算和证明．
相交 、另一边和 1．弦切角的定义：顶点在圆上，一边和圆__________ 相切 的角叫做弦切角． 圆________
2．弦切角的性质定理： _______________________________________________________. 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 3． 在⊙O 的直径 CB 延长线上取一点 A，AP 与⊙O 相切于点 P，
例3
证明：如图，连接 BD.
►变式训练
答案：∠C＝∠CAB
1．直线与圆相切是一种重要的、特殊的位置关系，在与弦切角 相关的证明题目中，重点是用好弦切角的定义和定理． 2．同学们要能在图形中准确地识别弦切角，并能正确应用弦切 角定理及其推论． 它给我们提供了证明角相等的又一个重要依据， 常 常与圆周角、圆心角性质联合应用来证明、求解． 3．利用弦切角性质来证明两个角相等，再利用三角形相似证比 例中项，是一种较常见的题型．
⇒△ACE∽△ABC⇒ ∠CAE＝∠CAB
⇒∠ACD＝∠B
AC AE 2 ＝ ⇒ AC ＝AB· AE. AB AC 点评： 此题主要是利用弦切角的性质去证明两个角相等， 再利用 三角形相似证比例中项，这样的类型题较常见．
►变式训练
1． PC 与⊙O 相切于 C 点， 割线 PAB 过圆心 O， 则 PC2 是 PA· PB 的________倍．
3 , 且∠APB＝30° ，AP＝ 3，则 CP＝________.
题型1
比例式证明
例1 已知 MN 是⊙O 的切线，点 A 为切点，MN 平行于弦 CD，弦
直线与圆的位置关系
2.4 弦切角的性质
1．理解弦切角的定义． 2．掌握弦切角的性质定理，并能应用它们进行简 单的计算和证明．
相交 、另一边和 1．弦切角的定义：顶点在圆上，一边和圆__________ 相切 的角叫做弦切角． 圆________
2．弦切角的性质定理： _______________________________________________________. 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 3． 在⊙O 的直径 CB 延长线上取一点 A，AP 与⊙O 相切于点 P，
例3
证明：如图，连接 BD.
►变式训练
答案：∠C＝∠CAB
1．直线与圆相切是一种重要的、特殊的位置关系，在与弦切角 相关的证明题目中，重点是用好弦切角的定义和定理． 2．同学们要能在图形中准确地识别弦切角，并能正确应用弦切 角定理及其推论． 它给我们提供了证明角相等的又一个重要依据， 常 常与圆周角、圆心角性质联合应用来证明、求解． 3．利用弦切角性质来证明两个角相等，再利用三角形相似证比 例中项，是一种较常见的题型．
⇒△ACE∽△ABC⇒ ∠CAE＝∠CAB
⇒∠ACD＝∠B
AC AE 2 ＝ ⇒ AC ＝AB· AE. AB AC 点评： 此题主要是利用弦切角的性质去证明两个角相等， 再利用 三角形相似证比例中项，这样的类型题较常见．
►变式训练
1． PC 与⊙O 相切于 C 点， 割线 PAB 过圆心 O， 则 PC2 是 PA· PB 的________倍．
3 , 且∠APB＝30° ，AP＝ 3，则 CP＝________.
题型1
比例式证明
例1 已知 MN 是⊙O 的切线，点 A 为切点，MN 平行于弦 CD，弦
2.4 弦切角的性质 课件(人教A选修4-1)(2)
[读教材·填要点] 1．弦切角 顶点在圆上，一边和圆 相交 ，另一边和圆 相切 的角叫
弦切角．
2．弦切角定理 弦切角等于 它所夹的弧所对的圆周角 ．
[小问题·大思维] 1．一边和圆相交，另一边和圆相切的角是弦切角吗？ 提示：不一定．弦切角必须同时具备三点： ①顶点在圆上；②一边和圆相交；③一边和圆相切． 2．弦切角与它所夹的弧所对的圆心角之间有什么关系？
解决此类问题的关键是把握弦切角的三个要素：
(1)顶点在圆上(顶点为圆切线的切点)；
(2)一边和圆相切(一边所在直线为圆的切线)；
(3)一边和圆相交(一边为圆的过切点的弦)．
三者缺一不可，例如上图中，∠CAD很像弦切角， 但它不是弦切角，因为AD与圆相交，∠BAE也不一定是 弦切角，只有已知AE切圆于点A，才能确定它是弦切角．
[考题印证] (2012· 辽宁高考)如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点， 过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长
交⊙O于点E.证明：
(1)AC· BD＝AD· AB； (2)AC＝AE.
[命题立意]
本题主要考查弦切角定理，考查学生综合
运用所学知识，分析问题并解决问题的能力．
证明：(1)由 AC 与⊙O′相切于 A， 得∠CAB＝∠ADB， 同理∠ACB＝∠DAB， 所以△ACB∽△DAB. AC AB 从而AD＝BD， 即 AC· BD＝AD· AB. (2)由 AD 与⊙O 相切于 A，得∠AED＝∠BAD， 又∠ADE＝∠BDA，得 AE AD △EAD∽△ABD.从而AB＝BD， 即 AE· BD＝AD· AB. 结合(1)的结论，AC＝AE.
提示：弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半．
[研一题] [例1] 如图，AB、CB分别切⊙O于D、
弦切角．
2．弦切角定理 弦切角等于 它所夹的弧所对的圆周角 ．
[小问题·大思维] 1．一边和圆相交，另一边和圆相切的角是弦切角吗？ 提示：不一定．弦切角必须同时具备三点： ①顶点在圆上；②一边和圆相交；③一边和圆相切． 2．弦切角与它所夹的弧所对的圆心角之间有什么关系？
解决此类问题的关键是把握弦切角的三个要素：
(1)顶点在圆上(顶点为圆切线的切点)；
(2)一边和圆相切(一边所在直线为圆的切线)；
(3)一边和圆相交(一边为圆的过切点的弦)．
三者缺一不可，例如上图中，∠CAD很像弦切角， 但它不是弦切角，因为AD与圆相交，∠BAE也不一定是 弦切角，只有已知AE切圆于点A，才能确定它是弦切角．
[考题印证] (2012· 辽宁高考)如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点， 过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长
交⊙O于点E.证明：
(1)AC· BD＝AD· AB； (2)AC＝AE.
[命题立意]
本题主要考查弦切角定理，考查学生综合
运用所学知识，分析问题并解决问题的能力．
证明：(1)由 AC 与⊙O′相切于 A， 得∠CAB＝∠ADB， 同理∠ACB＝∠DAB， 所以△ACB∽△DAB. AC AB 从而AD＝BD， 即 AC· BD＝AD· AB. (2)由 AD 与⊙O 相切于 A，得∠AED＝∠BAD， 又∠ADE＝∠BDA，得 AE AD △EAD∽△ABD.从而AB＝BD， 即 AE· BD＝AD· AB. 结合(1)的结论，AC＝AE.
提示：弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半．
[研一题] [例1] 如图，AB、CB分别切⊙O于D、
高中数学2.4弦切角的性质课件新人教A版选修4-1
思考 1 你对弦切角是怎样理解的?
提示:弦切角的特点 :(1)顶点在圆上 ;(2)一边与圆相交;(3)另一边与圆相 切. 弦切角定义中的三个条件缺一不可.如图①②③④中的角都不是弦切 角.图①中,缺少“顶点在圆上 ”的条件; 图②中,缺少“一边和圆相交”的条件; 图③中,缺少“一边和圆相切”的条件 ;图④中,缺少 “顶点在圆上”和 “另一边 和圆相切”两个条件.
2 =
=
������������ . ������������
又 BD=CD,∴
������������ . ������������
点评 已知直线与圆相切,证明线段成比例时,常先利用弦切角定
理和圆周角定理获得角相等,再通过三角形相似得到成比例线段.
探究一
探究二
探究三
探究三 易错辨析
易错点:忽视弦切角的一边是切2° ,∠ B=110° ,则∠ BAD= .
角与弧 的关系
∠AOB 的度数 =AB的度数
∠ACB 的度数= AB
2
1
∠ACB 的度数= AC的度数
2
1
的度数
探究一
探究二
探究三
探究一 弦切角定理
在使用弦切角定理时,关键是要弄清哪个角是弦切角,这样才能正确解 决问题.
探究一
探究二
探究三
【典型例题 1】 如图,AD 是☉ O 的切线,AC 是☉ O 的弦,过 C 作 AD 的 垂线,垂足为 B,CB 与☉O 相交于点 E,AE 平分∠CAB,且 AE=2,求△ABC 各 边的长.
四
弦切角的性质
课程目标 1.理解弦切角的概念,会判断弦切角. 2.掌握弦切角定理的内容,并能利用它解决有关 问题.
学习脉络
2.4 弦切角的性质 课件(人教A选修4-1)(2)
[研一题]
[例3] 如图，梯形ABCD内接于
⊙O，DC∥AB，AB＝AC，过A点作
⊙O的切线与CD的延长线交于E.求证：
AD2＝ED· EC. 分析：本题考查弦切角定理，圆内接四边形、相似三 角形等知识的综合应用，解答本题可转化为证明△EAD∽ △ECA.
证明：AE切⊙O于点A， ∴∠EAC＝∠B(弦切角定理)， ∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B， ∴∠EAC＝∠ACB， ∴AE∥BC，又∵DC∥AB， ∴四边形ABCE是平形四边形，∴∠E＝∠B. ∵梯形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADE＝∠B，∴∠ADE＝∠E， ∴AD＝AE. ∵EA切⊙O于A，∴∠EAD＝∠ACE， 又∵∠E＝∠E，∴△EDA∽△EAC， ∴EA2＝ED· EC， ∴AD2＝ED· EC.
法四：如图，过C作⊙O的切线交AB于G
∵AB是⊙O的切线， ∠CAG＝∠ACG， 又∵OC⊥CG，AD⊥OB， ∴CG∥AD.
∴∠ACG＝∠DAC，即∠DAC＝∠CAB.
[悟一法] (1)由弦切角定理可直接得到角相等，在与弦切角
有关的几何问题中，往往还需要借助其它几何知识来
综合解答，由弦切角得到的角相等只是推理论证中的 一个条件． (2)借助弦切角定理和圆的其他性质(如等弧所对的 弦相等)以及三角形有关知识我们可以得到特殊三角形
[读教材·填要点] 1．弦切角 顶点在圆上，一边和圆 相交 ，另一边和圆 相切 的角叫
弦切角．
2．弦切角定理 弦切角等于 它所夹的弧所对的圆周角 ．
[小问题·大思维] 1．一边和圆相交，另一边和圆相切的角是弦切角吗？ 提示：不一定．弦切角必须同时具备三点： ①顶点在圆上；②一边和圆相交；③一边和圆相切． 2．弦切角与它所夹的弧所对的圆心角之间有什么关系？
2.4弦切角的性质2.5 与圆有关的比例线段
7 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
1.弦切角:顶点在圆上，一边与圆相交， 另一边与圆相切的角叫做弦切角。
下面五个图中的∠BAC是不是弦切角？ C B
×
C
× A B A B
C
× A
C
√
A
× B C
A
B
8 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
2.弦切角定理
D O E
A
C
CD•AE=AC•CE ⑵ 同理 BD•AE=AB•BE ⑶ 因为AC=AB,由 ⑵⑶ 可得 BE•CD=BD•CE ⑷
图⑴
24 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
问题2 在图(1)中,使线段AC绕A旋转,得到图(2),
其中EC交圆于G,DC交圆于F,此时又能推出哪些 结论? B
B E D A C O D A F G O E
图⑴
C
图⑵
探究2: 猜想并可证明 △ADC∽△ ACE ⑸ 同样可得⑵⑶⑷
25 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
证明如下:
∵AB²=AD•AE,而AB=AC,
∴AC²=AD•AE,即
AC AD AE AC
B
E
D F G C O
D C P A(C.P) A B P A B C D
PB=PC· PD P在圆上:PA=PC=0, 仍有 PA· P在圆外:易证△PAD∽△PCB
PA PD . PC PB
故PA· PB=PC· PD
15 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
2.割线定理 从圆外一点引圆的两条割 线，这一点到每条割线与圆的交点的两 条线段长的积相等. PA· PB=PC· PD D
2.4弦切角的性质
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(1)证明：∵BE 切⊙O 于点 B， ∴∠ABE=ACB. 又 AD∥BC， ∴∠EAB=∠ABC，∴△EAB∽△ABC， AE AB ∴ = ，∴AB2=AEBC AB BC (2)解析：由(1)知△EAB∽△ABC， BE AB ∴ = . AC BC 又 AE∥BC， EF BE AB EF ∴ = ，∴ = . AF AC BC AF 又 AD∥BC， ∴ AB = CD ，∴AB=CD. 金品质 高追求 我们让你更放心！ 5 • EF 30 15
答案：∠AFB、∠AFC、∠DFC、∠DFB
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7． 如图所示， 已知 AB 与⊙O 相切于点 M， 且 MC = MD ， 1 且 MC 、 MD 为 圆 周 长 ， 则 ∠AMC=__________ ， 4 ∠BMC=________，∠MDC=________，∠MOC=________.
5．如图所示，AB是⊙O的直径，直线EF切⊙O于B，C、 D为⊙O上的点，∠CBE＝40°， AD ＝ CD ，则∠BCD的度数 是( B ) A．110° B．115° C．120° D．135° 金品质•高追求 我们让你更放心！
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6．如图所示，AD切⊙O于点F，FB、FC为⊙O的两弦， 请列出图中所有的弦切角________________________．
，
分析：由 AB 于AC 与分别是两个弦切角∠DAB和
∠EAC所夹的弧，而 AB = AC ，连接BC，易证∠B=∠C， 于是得到∠DAB=∠EAC.
2019版数学人教A版选修4-1课件：2.4 弦切角的性质
第二页，编辑于星期日：点 四十六分。
-2-
四 弦切角的性质
1
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HISHI SHULI
Z 重难聚焦
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D典例透析
IANLI TOUXI
2
1.弦切角
顶点在圆上,一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角.
名师点拨弦切角可分为三类:(1)圆心在角的外部,如图①;(2)圆心在角
)
A.45° B.50° C.55° D.60°
解析:如图,∵AD为☉O的切线,
∴∠DAC=∠B=35°.
∵∠ACB=80°,
∴∠D=∠ACB-∠DAC=80°-35°=45°.
答案:A
第九页，编辑于星期日：点 四十六分。
-9-
四 弦切角的性质
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答案:B
第八页，编辑于星期日：点 四十六分。
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四 弦切角的性质
1
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D典例透析
IANLI TOUXI
2
【做一做2-2】 过圆内接△ABC的顶点A引☉O的切线交BC的延长线
于点D,若∠B=35°,∠ACB=80°,则∠D为 (
题型三
题型三
易错辨析
易错点:忽视弦切角的一边是切线致错
【例3】 如图,已知△ABC内接于☉O,AD⊥AC,∠C=32°,∠B=110°,则
∠BAD=
.
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§2.4 弦切角的性质
撰稿人：刘小颖教研组长：审核人：
班级：姓名：使用日期：
一、标学
1.理解弦切角的概念；
2.掌握弦切角定理及推论，并会运用它们解决有关问题；
二、互学（以小组为单位，相互交流合作，完成以下内容）
互学1弦切角的定义
1.提问：什么样的角是圆周角?
2.圆周角∠CAB，让射线AC绕点A旋转，产生无数个圆周角，当AC绕点A旋转至与圆相切时，停止旋转，得∠BAE.
思考：这时∠BAE还是圆周角吗?为什么?这些角有什么特点？
3. 弦切角定义：
顶点在，一边和圆，另一边和圆的角叫做弦切角.
4.判断下列各图形中的角是不是弦切角，并说明理由：(图7-133)
由此发现，弦切角可分为三类：
(1)圆心在角的外部；(2)圆心在角的一边上；(3)圆心在角的内部.
互学2 弦切角定理
★1、探究：
1.当弦切角一边通过圆心时，(如图7-135)
(1)弦切角∠CAB是多少度?为什么?
(2)∠CAB所夹弧所对的圆周角∠D是多少度?为什么?
(3)此时，弦切角与它所夹弧所对的圆周角有什么关系?
2.圆心在弦切角的外部和内部时，上述结论是否成立？
如图(1)，圆心O在∠CAB外；如图(2)，圆心O在∠CAB内
★★2、结论：
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的．
互学3 弦切角定理的应用
1.直线AB和圆切于点P，PC，PD为弦，指出图中所有的弦切角以及它们所夹的弧.(图1)
2.如图2，DE切⊙O于A，AB，AC是⊙O的弦，若AB＝AC，那么∠DAB和∠EAC是否相等?为什么?
3.如图3，AB为⊙O的直径，直线EF切⊙O于C，若∠BAC＝56°，则∠ECA＝度. 图1 图2 图3 图4
4.如图4，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足为D. 求证：AC平分∠BAD.
三、示学
四、用学：《课本》第34页习题2.4
五、评学。