人教A版高中数学必修四第二章2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示及平面向量的坐标运算
人教a版必修4学案：2.3.2—2.3.2平面向量的正交分解(含答案)
2.3.2—2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算自主学习知识梳理1．平面向量的坐标表示(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量，叫做把向量正交分解． (2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个____________i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝________，则__________叫做向量a 的坐标，__________叫做向量的坐标表示．(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A (x ，y )，则OA →＝________，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝______.2．平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝____________，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a －b ＝________________，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．(3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝__________，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．自主探究已知直角坐标系内两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把向量AB →按向量a ＝(m ，n )平移至A ′B ′→的位置．求：(1)点A ′，B ′的坐标；(2)向量A ′B ′→的坐标．对点讲练知识点一 平面向量的坐标运算例1 已知平面上三点A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)，求(1)AB →－AC →；(2)AB →＋2BC →；(3)BC →－12AC →.回顾归纳 (1)已知两点求向量的坐标时，一定要注意是终点坐标减去起点坐标；(2)向量的坐标运算最终转化为实数的运算．变式训练1 已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求：(1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b .知识点二 平面向量的坐标表示例2 已知a ＝(－2,3)，b ＝(3,1)，c ＝(10，－4)，试用a ，b 表示c .回顾归纳 待定系数法是最基本的数学方法之一，它的实质是先将未知量设出来，再利用方程或方程组求解，把一个向量用其他两个向量表示，这是常用方法．变式训练2 设i 、j 分别是与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，a ＝i －(2m －1)j ，b ＝2i ＋m j (m ∈R )，已知a ∥b ，求向量a 、b 的坐标．知识点三 平面向量坐标的应用例3 已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，求顶点D 的坐标．回顾归纳 向量的坐标运算是几何与代数的统一，几何图形的法则是代数运算的直观含义，坐标运算是图形关系的精确表示，二者的法则互为补充，要充分利用这一点，有效解决问题．变式训练3 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7)，(4,6)，(1，－2)，求第四个顶点的坐标．1. 在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系．关系图如图所示：2．向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同.课时作业一、选择题1．已知a －12b ＝(1,2)，a ＋b ＝(4，－10)，则a 等于( )A ．(－2，－2)B ．(2,2)C ．(－2,2)D ．(2，－2)2．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →等于( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3,5) D ．(2,4)3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( ) A ．－2,1 B ．1，－2 C ．2，－1 D ．－1,24．已知M (3，－2)，N (－5，－1)且MP →＝12MN →则点P 的坐标为( )A ．(－8,1) B.⎝⎛⎭⎫1，32 C.⎝⎛⎭⎫－1，－32 D ．(8，－1) 5．向量AB →＝(7，－5)，将AB →按向量a ＝(3,6)平移后得向量A ′B ′→，则A ′B ′→的坐标形式为( )A ．(10,1)B ．(4，－11)C ．(7，－5)D ．(3,6)二、填空题6．已知四边形ABCD 为平行四边形，其中A (5，－1)，B (－1，7)，C (1,2)，则顶点D 的坐标为________．7．已知A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2,0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD →，则x ＋y ＝________.8．若向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等，其中A (1,2)，B (3，2)，则x ＝________.三、解答题9．已知A (1,2)、B (3,2)，a ＝(x ＋3，x －3y －4)，若a ＝AB →，求实数x 的值．10．已知▱ABCD 中，A (－1,2)，B (3,0)，C (5,1)．求顶点D 及对角线交点M 的坐标．2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2．3.3 平面向量的坐标运算答案知识梳理1．(1)互相垂直 (2)单位向量 x i ＋y j 有序数对(x ，y ) a ＝(x ，y ) (3)(x ，y ) (x 2－x 1，y 2－y 1)2．(1)(x 1＋x 2，y 1＋y 2) (2)(x 1－x 2，y 1－y 2) (3)(λx ，λy ) 自主探究解 (1)设A ′(x ′1，y ′1)，B ′(x ′2，y ′2) AA ′→＝a ，BB ′→＝a ，∴(x ′1－x 1，y ′1－y 1)＝(m ，n )．∴A ′(x 1＋m ，y 1＋n )．同理可得：B ′(x 2＋m ，y 2＋n )． (2)∵A ′(x 1＋m ，y 1＋n )，B ′(x 2＋m ，y 2＋n )．∴A ′B ′→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)或A ′B ′→＝AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)． 对点讲练例1 解 ∵A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)． ∴AB →＝(0,6)－(2，－4)＝(－2,10)， AC →＝(－8,10)－(2，－4)＝(－10,14)， BC →＝(－8,10)－(0,6)＝(－8,4)．∴(1)AB →－AC →＝(－2,10)－(－10,14)＝(8，－4)． (2)AB →＋2BC →＝(－2,10)＋2(－8,4)＝(－18,18)．(3)BC →－12AC →＝(－8,4)－12(－10,14)＝(－3，－3)变式训练1 解 (1)2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a －3b ＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)． (3)12a －13b ＝12(－1,2)－13(2,1) ＝⎝⎛⎭⎫－12，1－⎝⎛⎭⎫23，13＝⎝⎛⎭⎫－76，23. 例2 解 设c ＝x a ＋y b ，则(10，－4)＝x (－2,3)＋y (3,1) ＝(－2x ＋3y,3x ＋y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧10＝－2x ＋3y ，－4＝3x ＋y ， 解得x ＝－2，y ＝2，∴c ＝－2a ＋2b . 变式训练2 解 ∵a 与b 共线，∴存在实数λ，使得a ＝λb ，即i －(2m －1)j ＝λ(2i ＋m j )．又i 、j 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ＝1，λm ＝－(2m －1).∴m 2＝－2m ＋1，即m ＝25. ∴a ＝i ＋15j ，b ＝2i ＋25j .故a ＝⎝⎛⎭⎫1，15，b ＝⎝⎛⎭⎫2，25. 例3 解 设D (x ，y )．则AB →＝(4,1)， DC →＝(5－x,6－y )，由AB →＝DC →得⎩⎪⎨⎪⎧5－x ＝46－y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝5. ∴顶点D 的坐标为(1,5)．变式训练3 解 不妨设A (3,7)，B (4,6)，C (1，－2)．第四个顶点为D (x ，y )．则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形有以下三种情形．(1)当平行四边形为ABCD 时，AB →＝DC →， 设点D 的坐标为(x ，y )，∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x ，y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ＝1，－2－y ＝－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1. ∴D (0，－1)； (2)当平行四边形为ABDC 时， 仿(1)可得D (2，－3)；(3)当平行四边形为ADBC 时，仿(1)可得D (6,15)． 综上所述，第四个顶点的坐标可能为 (0，－1)，(2，－3)或(6,15)． 课时作业 1．D2．B [∵AC →＝AB →＋AD →， ∴AD →＝AC →－AB →＝(－1，－1)． ∴BD →＝AD →－AB →＝(－3，－5)．]3．D [由⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝2.]4．C [设P (x ，y )，由(x －3，y ＋2)＝12(－8,1)，∴x ＝－1，y ＝－32.]5．C [A ′B ′→与AB →方向相同且长度相等，故A ′B ′→＝AB →＝(7，－5)．] 6．(7，－6)解析 ∵AD →＝BC →，∴(x －5，y ＋1)＝(2，－5)． ∴x ＝7，y ＝－6. 7.112解析 ∵AC →＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)， BD →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)，又2BD →＝AC →，即(2x －4,2y －6)＝(－1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＝－1，2y －6＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝4，∴x ＋y ＝112.8．－1解析 ∵A (1,2)，B (3,2)，∴AB →＝(2,0)．又∵a ＝AB →，它们的坐标一定相等． ∴(x ＋3，x 2－3x －4)＝(2,0)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝2，x 2－3x －4＝0， ∴x ＝－1. 9．解 AB →＝(3,2)－(1,2)＝(2,0)．∵a ＝AB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝2x －3y －4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－53，∴x ＝－1.10．解 设D (x D ，y D )，M (x M ，y M )． ∵A (－1,2)，B (3,0)，C (5,1)． ∴BC →＝(5,1)－(3,0)＝(2,1)．∵四边形ABCD 为平行四边形，M 为对角线的中点．∴AD →＝BC →，AM →＝MC →. 即(x D ＋1，y D －2)＝(2,1)(x M ＋1，y M －2)＝(5－x M,1－y M ) ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x D ＋1＝2y D －2＝1， ⎩⎪⎨⎪⎧x M ＋1＝5－x M y M －2＝1－y M ∴⎩⎪⎨⎪⎧x D ＝1y D ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧x M ＝2y M ＝32∴D (1,3)，M ⎝⎛⎭⎫2，32.。
人教A版高中数学必修四课件 第二章 2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3平面向量的坐标运算课件
(
A
)
前置学习
1→ → → 2．已知向量OA＝(3，－2)，OB＝(－5，－1)，则向量 AB的坐 2 标是
1 A. －4，2 1 B. 4，－2
(
A
)
C. (－8,1)
D. (8,1)
→ → → 解析 ∵AB＝OB－OA＝(－8,1)，
1 1→ － 4 ， ∴2AB＝ 2.
答
易知：a＝(4,1)，b＝(－5,3)，c＝(1,1)， → → OD＝a＋b＝(－1,4)，BA＝a－b＝(9，－2)， → OF＝a－3c＝(1，－2)．
问题 2 一般地，设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，试写出 a＋b，a －b，λa，λa＋μb 的坐标． 答 ∵a＝(x1，y1)＝x1i＋y1j，b＝(x2，y2)＝x2i＋y2j. ∴a＋b＝(x1i＋y1j)＋(x2i＋y2j)
探究点一
平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个 单位向量 i、j 作为基底．对于平面内的任一向量 a，由平面 向量基本定理可知，有且只有一对实数 x，y，使得 a＝xi＋ yj.我们把有序数对(x，y)叫做向量 a 的坐标，记作 a＝(x，y)， 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标， y 叫做 a 在 y 轴上的坐标． 显 然有，i＝
＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j ＝(x1＋x2，y1＋y2)；
a－b＝(x1i＋y1j)－(x2i＋y2j) ＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j ＝(x1－x2，y1－y2)；
λa＝λ(x1i＋y1j)＝(λx1)i＋(λy1)j＝(λx1，λy1)； λa＋μb＝λ(x1i＋y1j)＋μ(x2i＋y2j)
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算课件新人教A版必修4 (2)
变式训练1
在平面直角坐标系中 ,|a|= 4,且 a 如图所示,则 a 的坐标为 ( A.(2√3,2) B.(2,- 2√3) C.(-2,2√3) D.(2√3,-2)
)
解析:设 a=(x,y),则 x=|a|cos y=-|a|sin 30°=-4× =-2. 故 a=(2√3,-2). 答案:D
做一做 2 已知������������=(2,-3),则点 A 的坐标为( ) A.(2,3) B.(2,-3) C.(-3,2) D.(3,-2) 解析:������������的起点为原点 O,则������������的坐标与终点 A 的坐标相同. 答案:B
4.平面向量的坐标运算 设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y 2),λ∈R,则有下表: 文字描述 两个向量和的坐标分别等于这两 加法 个向量相应坐标的和 两个向量差的坐标分别等于这两 减法 个向量相应坐标的差 实数与向量的积的坐标等于用这 数乘 个实数乘原来向量的相应坐标 一个向量的坐标等于表示此向量 向量坐 的有向线段的终点的坐标减去始 标公式 点的坐标 符号表示 a+b=(x1+x2,y 1+y2) a-b=(x1-x2,y 1-y2) λa=(λx1,λy1) 已知 A(x1,y1),B(x2,y2),则 ������������ =(x2-x1,y2-y 1)
2 1
√3 30°=4× =2√3, 2
探究二平面向量的坐标运算 【例 2】 (1)已知平面上三个点 A(4,6),B(7,5),C(1,8),求������������ , ������������ , ������������ + 1 ������������ , ������������ − ������������ ,2������������ + ������������ ; (2)已知 a=(1,2),b=(-3,4),求向量 a+b,a-b,3a-4b 的坐标. 分析:(1)先计算出������������ , ������������ 的坐标,再进行向量的线性运算; (2)直接利用向量的坐标运算.
高中数学人教A版必修4：第二章 2.3 2.3.2 & 2.3(1).3 平面向量的正交分解及坐标表示
A．(5,3)
B．(4,3)
C．(8,3)
D．(0，－1)
答案：C
()
2019年7月10日
你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
7
3．若向量 AB＝(1,2)， BC ＝(3,4)，则 AC ＝
()
A．(4,6)
B．(－4，－6)
C．(－2，－2)
D．(2,2)
答案：A
4．若点M(3,5)，点N(2,1)，用坐标表示向量 MN ＝______.
[活学活用]
1．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝
A．(7,3)
B．(7,7)
C．(1,7)
D．(1,3)
解析：选A ∵2b＝2(－2,1)＝(－4,2)，
∴a－2b＝(3,5)－(－4,2)＝(7,3)．
2019年7月10日
你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
()
16
2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)， MP ＝12 MN ，则P点坐标 为______．
你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
4
[点睛] (1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有 关，而与它们的具体位置无关．
(2)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因 此向量在平移前后，其坐标不变．
2019年7月10日
你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
5
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
2019年7月10日
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12
平面向量的坐标运算
[典例] (1)已知三点A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，则向
量3 AB＋2CA＝________，BC －2 AB＝________.
人教A版数学高二必修4讲义 2.3.2、3平面向量的正交分解及坐标表示 运算
2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算内容要求 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示(重点).2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则(重点).3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来(易错点)．知识点1平面向量的坐标表示1．平面向量的正交分解：把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量．2．基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．3．坐标：对于平面内的一个向量a，有且仅有一对实数x，y，使得a＝x i＋y j，则有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标．4．坐标表示：a＝(x，y)．5．特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．【预习评价】思考根据下图写出向量a，b，c，d的坐标，其中每个小正方形的边长是1．答案a＝(2,3)，b＝(－2,3)，c＝(－3，－2)，d＝(3，－3)知识点2平面向量的坐标运算设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：文字描述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差a－b＝(x1－x2，y1－y2)数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标λa＝(λx，λy)重要结论一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1) 【预习评价】已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则2a－b＝________．解析2a－b＝2(2,4)－(－1,1)＝(5,7)．答案(5,7)题型一平面向量的坐标表示【例1】如图，在直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，OA→＝a，AB→＝b.四边形OABC为平行四边形．(1)求向量a，b的坐标；(2)求向量BA→的坐标；(3)求点B的坐标．解(1)作AM⊥x轴于点M，则OM＝OA·cos 45°＝4×22＝22，AM＝OA·sin 45°＝4×22＝22，∴A(22，22)，故a＝(22，22)．∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，∴∠COy＝30°.又OC＝AB＝3．∴C⎝⎛⎭⎫－32，323，∴AB→＝OC→＝⎝⎛⎭⎫－32，323，即b＝⎝⎛⎭⎫－32，323．(2)BA →＝－AB →＝⎝⎛⎭⎫32，－323． (3)OB →＝OA →＋AB →＝(22，22)＋(－32，323)＝⎝⎛⎭⎫22－32，22＋332．∴点B 的坐标为(22－32，22＋332)．规律方法 求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．(2)求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．【训练1】 已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为( ) A ．(2,0) B ．(－3,6) C ．(6,2)D ．(－2,0)解析 MN →＝－3a ＝－3(1，－2)＝(－3,6)， 设N (x ，y )，则MN →＝(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －5＝－3，y ＋6＝6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.答案 A题型二 平面向量的坐标运算【例2】 (1)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4)D ．(1,4)解析 设C (x ，y )，则AC →＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，即x ＝－4，y ＝－2，故C (－4， －2)，则BC →＝(－7，－4)，故选A ． 答案 A(2)若A ，B ，C 三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求AB →＋2BC →，BC →－12AC →的坐标．解 因为AB →＝(－2,10)，BC →＝(－8,4)，AC →＝(－10,14)，所以AB →＋2BC →＝(－2,10)＋2(－8,4)＝(－18,18)，BC →－12AC →＝(－8,4)－12(－10,14)＝(－8,4)－(－5,7)＝(－3，－3)．规律方法 平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．【训练2】 已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求下列向量的坐标： (1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b ．解 (1)2a ＋3b ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a －3b ＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)． (3)12a －13b ＝(－12，1)－(23，13)＝(－76，23).方向1 由相等的向量求参数的值【例3-1】 已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．解析 m a ＋n b ＝(2m ，m )＋(n ，－2n )＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，所以m －n ＝－3． 答案 －3方向2 向量运算与平面几何的综合应用【例3-2】 已知平面上三点的坐标分别为A (－2,1)，B (－1,3)，C (3,4)，求点D 的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点．解 设D 点的坐标为（x,y ）当平行四边形为ABCD 时，由AB →＝(1,2)，DC →＝(3－x,4－y )，且AB →＝DC →，得D (2,2)．当平行四边形为ACDB 时，由AB →＝(1,2)，CD →＝(x －3，y －4)，且AB →＝CD →，得D (4,6)． 当平行四边形为ACBD 时，由AC →＝(5,3)，DB →＝(－1－x,3－y )，且AC →＝DB →，得D (－6,0)， 故D 点坐标为(2,2)或(4,6)或(－6,0)．规律方法 坐标形式下向量相等的条件及其应用 (1)条件：相等向量的对应坐标相等．(2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标．【训练3】 已知A (2,4)，B (－4,6)，若AC →＝32AB →，BD →＝43BA →，则CD →的坐标为________．解析 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则(x 1－2，y 1－4)＝32(－6,2)＝(－9,3)，则x 1＝－7，y 1＝7，(x 2＋4，y 2－6)＝43(6，－2)＝(8，－83)，∴x 2＝4，y 2＝103，则CD →＝(11，－113)．答案 (11，－113)课堂达标1．已知点A (－2,1)，B (3，－2)，则BA →的坐标是( ) A ．(－5,3) B ．(5，－3) C ．(－5，－3)D ．(5,3)解析 BA →＝(－2,1)－(3，－2)＝(－5,3)． 答案 A2．若AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,2)，则CB →等于( ) A ．(4,3) B ．(－4，－3) C ．(－4,3)D ．(4，－3) 解析 CB →＝AB →－AC →＝(3,5)－(－1,2)＝(4,3)． 答案 A3．已知平面向量a ＝(－2,0)，b ＝(－1，－1)，则12a －2b 等于( )A ．(1,2)B ．(－1，－2)C ．(－1,2)D ．(1，－2)解析 12a －2b ＝(－1,0)－(－2，－2)＝(1,2)．答案 A4．已知点A (2,1)，B (－2,3)，且AC →＝12AB →，则点C 的坐标为________.解析 设C (x ，y )，则(x －2，y －1)＝12(－4,2)＝(－2,1)，∴x ＝0，y ＝2． 答案 (0,2)5．已知A (2,0)，a ＝(x ＋3，x －3y －5)，若a ＝OA →，其中O 为原点，求x ，y 的值．解 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝2，x －3y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.课堂小结1．在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系．关系图如图所示．2．向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同．3．向量坐标形式的计算，要牢记公式，细心计算，防止符号错误．基础过关1．给出下面几种说法： ①相等向量的坐标相同；②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标； ③一个坐标对应于唯一的一个向量；④平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应． 其中正确说法的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解析 由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误． 答案 C2．已知AB →＝(5，－3)，C (－1,3)，CD →＝2AB →，则点D 坐标是( ) A ．(11,9) B ．(4,0) C ．(9,3)D ．(9，－3)解析 设D (x ，y )，则(x ＋1，y －3)＝(10，－6)，∴x ＝9，y ＝－3，即点D 的坐标是(9，－3)．答案 D3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( ) A ．－2,1 B ．1，－2 C ．2，－1D ．－1,2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝2.答案 D4．在平行四边形ABCD 中，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则AD →＝________(用坐标表示)． 解析 AD →＝AC →－AB →＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)． 答案 (－1，－1)5．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为________． 解析 ∵AB →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)， ∴与AB →同方向的单位向量为A B →|AB →|＝⎝⎛⎭⎫35，－45． 答案 ⎝⎛⎭⎫35，－45 6．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，求λμ的值．解 以向量a 和b 的交点为原点建立平面直角坐标系，则a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)，根据c ＝λa ＋μb ⇒(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，有－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解之得λ＝－2且μ＝－12，故λμ＝4．7．已知点A (3，－4)与B (－1,2)，点P 在直线AB 上，且|AP →|＝2|PB →|，求点P 的坐标． 解 设P 点坐标为(x ，y )，|AP →|＝2|PB →|． 当P 在线段AB 上时，AP →＝2PB →． ∴(x －3，y ＋4)＝2(－1－x,2－y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－2－2x ，y ＋4＝4－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝0.∴P 点坐标为(13，0)．当P 在线段AB 延长线上时，AP →＝－2PB →． ∴(x －3，y ＋4)＝－2(－1－x,2－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝2＋2x ，y ＋4＝－4＋2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝8.综上所述，点P 的坐标为(13，0)或(－5,8)．能力提升8．向量AB →＝(7，－5)，将AB →按向量a ＝(3,6)平移后得向量A ′B ′→，则A ′B ′→的坐标形式为( )A ．(10,1)B ．(4，－11)C ．(7，－5)D ．(3,6)解析 A ′B ′→与AB →方向相同且长度相等， 故A ′B ′→＝AB →＝(7，－5)． 答案 C9．已知a ＝(3，1)，若将向量－2a 绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b ，则b 的坐标为( )A ．(0,4)B ．(23，－2)C ．(－23，2)D ．(2，－23)解析 ∵a ＝(3，1)，∴－2a ＝(－23，－2)， 易知向量－2a 与x 轴正半轴的夹角α＝150°(如图)．向量－2a 绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b ，在第四象限，与x 轴正半轴的夹角β＝30°，∴b ＝(23，－2)，故选B ．答案 B10．若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c ＝________(用a ，b 表示)．解析 设c ＝x a ＋y b ，即(－1,2)＝(x ，x )＋(y ，－y )＝(x ＋y ，x －y )，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－1，x －y ＝2，解得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝－32，所以c ＝12a －32b ．答案 12a －32b11．已知A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2,0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD →，则x ＋y ＝________． 解析 ∵AC →＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)， BD →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)， 又2BD →＝AC →，即(2x －4,2y －6)＝(－1,2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＝－1，2y －6＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝4，∴x ＋y ＝112．答案11212．已知点A (－1,2)，B (2,8)及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C ，D 和CD →的坐标．解 设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由题意可得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)， DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)． ∵AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，∴(x 1＋1，y 1－2)＝13(3,6)＝(1,2)，(－1－x 2,2－y 2)＝－13(－3，－6)＝(1,2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4和⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.∴C ，D 的坐标分别为(0,4)和(－2,0)， ∴CD →＝(－2，－4)．13．(选做题)已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，及OP →＝OA →＋tAB →． (1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第二象限？ (2)四边形OABP 能为平行四边形吗？若能，求t 值；若不能，说明理由． 解 (1)OP →＝OA →＋tAB →＝(1,2)＋t (3,3) ＝(1＋3t,2＋3t )，若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0， ∴t ＝－23．若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0， ∴t ＝－13．若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t >0，∴－23<t <－13．高中数学打印版校对完成版本 (2)OA →＝(1,2)，PB →＝OB →－OP →＝(3－3t,3－3t )． 若四边形OABP 为平行四边形， 则OA →＝PB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，该方程组无解． 故四边形OABP 不能成为平行四边形．。
人教A版高中数学高一必修4第二章2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
j
x
o iB
对于该平面内的任一向量 a， 有且只有一对实数x、y，可使
a = xi + y j.
i =（1，0） j =（0，1） 0 =（0，0）
这样，平面内的任一向量 a 都可由x，y唯 一确定，我们把（x,y）叫做向量 a 的（直角）
坐标，记作
a (x, y) ①
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在y轴上的
F1 G F2
重力 G产生两个效果，一是木块受平行于 斜面的力的作用F1，沿斜面下滑；一是木块产 生垂直于斜面的压力 F2.也就是说，重力G 的
效果等价于F1和F2 得合力效果，即 G F1 F2.
在物理中，力是一个向量，力的合成就 是向量的加法运算.力也可以分解，任何一 个大小不为零的力，都可以分解成两个不同 方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向 量中来，就会形成一个新的数学理论.
课堂练习
a 1.若向量 =（1，-2）的终点在原点，那么
这个向量的始点坐标是 （-1，2） ．
2.若将向量a (2，1) 围绕原点按逆时针方
向旋转
π 得到向量 4
b
，则 b
的坐标为
（
2 2
，3
2 2
）.
3.已知点A(8,2)，点B(3,5) ，将 沿x轴
向左平移5个单位得到向量 A，B 则
CD CD __(-_5_， _3__)_ .
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫
做把向量正交分解.如图，向量 i, j 是两个互相垂
直的单位向量，向量 a 与 i 的夹角是30°，
且 a 4，以向量 i, j 为基底，向量 a如何表示？
B
P
a 2 3i 2j
人教A版高中数学必修四2-3-2、3 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算
[分析] 利用平行四边形法则或三角形法则．
[解析] O→A＝6i＋2j，O→B＝2i＋4j，A→B＝－4i＋2j，
它们的坐标表示为：
→ OA
＝(6,2)，
→ OB
＝(2,4)，
→ AB
＝(－
4,2)．
规律总结：向量的坐标表示实质上是向量的代数表示， 引入向量的坐标表示后，可使向量运算代数化，将数和形紧 密结合起来，从而使许多几何问题的证明转化为数量运算．
3．若点 O 是平行四边形 ABCD 的中心，A→B＝4e1，B→C＝
6e2，则 3e2－2e1 等于( )
→ A.AO
→ B.CO
→ C.BO
→ D.DO
[答案] C
4．e1、e2 是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量
中，不能作为一组基底的是( )
A．e1 和 e1＋e2
B．e1－2e2 和 e2－2e1
规律总结：向量的坐标表示实质上就是用实数表示向 量，因此，向量的坐标运算就可以转化为实数的运算.
命题方向 3 向量的直角坐标运算 若向量|a|＝|b|＝1，且 a＋b＝(1,0)，求 a 与 b 的
坐标． [分析 1] 利用定义解题．
[解法 1] 设 a＝(m，n)，b＝(p，q)，则有
m2＋n2＝1， p2＋q2＝1，
[解析] 解法一：设点 P 的坐标为(x，y)． 则A→P＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)． A→B＋λA→C＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)] ＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3,1)＋(5λ，7λ) ＝(3＋5λ，1＋7λ)， ∵A→P＝A→B＋λA→C， ∴(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)． ∴xy－ －23＝ ＝31＋ ＋57λλ ，∴xy＝ ＝54＋ ＋57λλ ，
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示新人教A版必修4(2021年整理)
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2。
3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2．3。
3 平面向量的坐标运算题号1234567891011得分答案一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分）1．已知M(2，3）,N（3，1）,则错误!的坐标是( )A．(2，－1） B．(－1，2)C．(－2，1) D．(1，－2）2．在平面直角坐标系中，|a|＝2018，a与x轴的正半轴的夹角为错误!,则向量a的坐标是（)A．（1009错误!，1009错误!)B．(－1009错误!，1009错误!)C．（1009,1009错误!）D．（1009错误!,1009）→的坐标是（)3．如图L2。
38所示，向量MN图L2.3。
8A．(1,1） B．(－1,－2)C．(2，3) D．（－2，－3)4．若向量a＝(1，1)，b＝（－1，1)，c＝(4，2)，则c＝（）A．3a－b B．3a＋bC．－a＋3b D．a＋3b5．已知点A(1，3)，B（4，－1）,则与向量错误!同方向的单位向量为（)A.错误!B.错误!C。
错误! D.错误!6．设向量a＝（1，－3），b＝（－2，4），若表示向量4a，3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c等于（)A．(1，－1) B．（－1，1）C．（－4，6) D．（4,－6)7．已知向量错误!与a＝(3，－4）的夹角为π，且|错误!｜＝2｜a|，若A点的坐标为(－1，2)，则B点的坐标为( ）A．(－7，10） B．(7,10)C．(5，－6） D．（－5，6)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（2,3)，点B的坐标为(6,5），O为坐标原点，则错误!＝________,错误!＝________．9．若向量错误!＝（1，－2），错误!＝(－3，4),则错误!错误!＝________．10．已知错误!＝（1,2),错误!＝(－3，－4）,则错误!＝__________．11．在△ABC中,点P在BC上，且错误!＝2错误!，点Q是AC的中点，若错误!＝(4，3）,错误!＝(1,5)，则错误!＝________．三、解答题(本大题共2小题，共25分)12．(12分）已知点A(3,－4)与点B（－1，2)，点P在直线AB上，且|错误!｜＝2｜错误!｜,求点P的坐标．13．(13分）已知a＝（1，1)，b＝(1,－1），将下列向量表示成x a＋y b的形式．（1）p＝（2，3)；（2)q＝(－3，2）．1．B ［解析] 错误!＝（2，3）－（3,1)＝（－1,2）．2．C ［解析] 设a＝(x，y），则x＝2018cos错误!＝1009，y＝2018sin错误!＝1009错误!，故a＝(1009，10093）．3．D [解析] 由图知，M(1,1)，N（－1,－2）,则错误!＝(－1－1，－2－1）＝(－2，－3）．4．A [解析］设c＝x a＋y b，则错误!解得错误!∴c＝3a－b。
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算课件3新人教A版必修4
=(2,1).
(2)设点A(x,y)，则x＝ | OA | cos 60＝4 3cos 60＝2 3，
y＝ OA sin 60＝4 3sin 60＝6， 即 A 2 3,6 ， 所以
OA＝ 2 3,6 .
【方法技巧】平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进 行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的 坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
(x1+x2，y1+y2)； ①a+b= _______________ (x1-x2，y1-y2) ； ②a-b= _____________ (λx1，λy1) ③λa= ____________.
(2)重要结论：已知向量 y2)，则 的起点A(x1，y1)，终点B(x2，
(x2-x1，y2-y1) = _____________.
=(x-5,2-y+2)=(4,6)，解得x=9,
2.已知四边形ABCD为平行四边形，O为对角线AC,BD的交点， =(3,7), =(－2,1)．求 的坐标．
【解析】因为 DB AB －AD =(－2,1)－(3,7)=(－5,－6)，
1 5 所以 OB DB (－ ,－3). 2 2
(2)定义坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理 (x_______ ，y) xi+yj 则有序数对 知，有且只有一对实数x，y，使得a=_____. 叫做向量a的坐标. (3)特殊向量的坐标：i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).
3.平面向量的坐标运算
人教新课标A版高一数学《必修4》2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
典型例题
例 1 a＝(x＋3y，2x＋y＋2)，b＝(y－2x＋1，3x－y＋7)， 若 a＝b，求实数 x，y 的值．
x＋3y＝y－2x＋1， 解：由题意，可列方程组 2x＋y＋2＝3x－y＋7. 3x＋2y＝1， x＝－1， 整理得 解得 x－2y＝－5， y＝2.
跟踪训练 1 以下命题： ①点 A 的坐标即为向量 OA的坐标； ②向量的坐标与向量所在位置无关； ③两向量起点与终点都不相同，所以两向量不相等； ④向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标． 其中正确命题的序号为________．
解析 ①②正确； ③中向量坐标与位置无关，故有可能是相等向量； ④中应为终点坐标减去始点坐标．
答案
①②
例 2 已知在边长为 1 的正方形 ABCD 中，AB 与 x 轴 正半轴成 30° 角． 求点 B、点 D、 AB 、 AD 的坐标．
解：由题知点 B、D 分别是 30° ，120° 角的终边与单位圆的交点． 设 B(x1，y1)，D(x2，y2)． 3 1 由三角函数的定义，得 x1＝cos 30° ＝ ，y1＝sin 30° ＝ ， 2 2
∴B
3 1 ， . 2 2
1 3 x2＝cos 120° ＝－2，y2＝sin 120° ＝2，
1 ∴D －2， ∴ AB ＝
3 . 2
1 3 1 3 ， ＝ . AD ， － ， 2 2 2 2
跟踪训练 2 已知点 O 是坐标原点， 点 A 在第一象限， | OA |＝4 3，∠xOA＝60° ， 求向量OA 的坐标.
解：设点 A(x，y)， 则 x＝4 3cos 60° ＝2 3，y＝4 3sin 60° ＝6， 即 A(2 3，6)，OA ＝(2 3，6)．
人教A版数学必修四第二章2.3.2《平面向量的正交分解及坐标表示》讲课课件(共23张PPT)
B
o
x
P(x2-x1,y2-y1)
例2．已知a=（2，1），b=（-3，4），
求a+b，a-b，3a+4b的坐标．
解： a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5） a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）
3a+4b=3（2，1）+4（-3，4） =（6，3）+（-12，16） =（-6，19）
x
概念理解
1．以原点O为起点作 OA a，点A的位置由谁确定?
由a 唯一确定
y
2．点A的坐标与向量a 的坐标的关系？ A(x, y)a
两者相同
ja
向量a 一 一 对 应坐标（x ，y） O i
x
3．两个向量相等的条件，利用坐标如何表示？
a b x1 x2且y1 y2
rr
r r r ur
uuur uuur uuur AB OB OA
Ay
(x2 , y2 ) (x1, y1)
(x2 x1, y2 y1)
B
o
x
任意一个向量的坐标等于表示此向量的有
向线段的终点的坐标减去始点的坐标.
思考：在上图中，如何确定坐标为(x2－x1，y2－y1)的
点P的位置？
Ay
向量 AB的坐标和以原点为始点、 点P为终点的向量的坐标OP相同.
2.3.2平面向量的正交分解 及坐标表示
新课
如图,光滑斜面
一.向量正交分解: 把一个向量分解为两个互相垂直
上一个木块受到 重力G的作用.
的向量
O
F1
F2
G
二.平面向量的坐标表示
取与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j 作为基底, 则对于平面内任一向量a ，由平面向量基本定理可知：
人教版高中数学高一A版必修4 2.3.2-3平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标
更上一层楼 基础•巩固1.若向量a =(3，2)，b =(0，-1)，则向量2b -a 的坐标是( )A.(3，-4)B.(-3，4)C.(3，4)D.(-3，-4) 思路分析:2b -a =2(0，-1)-(3，2)=(0，-2)-(3，2)=(-3，-4).答案:D2.设a =(-1，2)，b =(-1，1)，c=(3，-2)，用a 、b 作基底，可将向量c 表示为c =p a +q b ，则( )A.p=4，q=1B.p=1，q=-4C.p=0，q=4D.p=1，q=4思路分析:由(3，-2)=p(-1，2)+q(-1，1)=(-p-q ，2p+q)，所以⎩⎨⎧-=+=--.22,3q p q p .解得p=1，q=-4. 答案:B3.已知ABCD 中，AD =(3，7)，AB =(-2，3)，对角线AC 、BD 交于点O ，则CO 的坐标为( )A.(21-，5)B.(21，5)C.(21-，-5)D.(21，-5) 思路分析:如图所示，AC =AB +AD =(-2，3)+(3，7)=(1，10).∴=21=(21，5).∴=(-21，-5). 答案:C4.平面直角坐标系中，O 为坐标原点.已知两点A(3，1)，B(-1，3)，若点C 满足OC =αOA +βOB ，其中α、β∈R ，且α+β=1，则点C 的轨迹方程为( )A.3x+2y-11=0B.(x-1)2+(y-2)2=5C.2x-y=0D.x+2y-5=0思路分析:设C(x ，y)，=(x ，y)，由=α+β，∴=(x ，y)=α(3，1)+β(-1，3)=(3α-β，α+3β).∴⎩⎨⎧+=-=)2(.3)1(,3βαβαy x又∵α+β=1，β=1-α,代入①②得⎩⎨⎧+-=-=)4(.32)3(,14ααy x③+2×④整理得x+2y-5=0.这就是C 点的轨迹方程.答案:D5.已知边长为单位长的正方形ABCD ，若A 点与坐标原点重合，边AB 、AD 分别落在x 轴、y 轴的正向上，则向量2AB +3BC +AC 的坐标为_________.思路分析:根据题意建立坐标系如图.则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1).∴=(1，0)，=(0，1)，=(1，1).∴2+3BC +AC =(2，0)+(0，3)+(1，1)=(3，4).答案:(3，4)综合•应用6.若对n 个向量a 1，a 2，…，a n ，存在n 个不全为零的实数k 1，k 2，…，k n ，使得k 1a 1+k 2a 2+…+k n a n =0成立，则称向量a 1，a 2，…，a n 为“线性相关”.依此规定，能说明a 1=(1，0)，a 2=(1，-1)，a 3=(2，2)“线性相关”的实数k 1、k 2、k 3依次可以取_______.(写出一组数值即可，不必考虑所有情况)思路分析:据题意，可知k 1a 1+k 2a 2+k 3a 3=0，即k 1(1，0)+k 2(1，-1)+k 3(2，2)=(0，0).∴⎩⎨⎧=+-=++.02,0332321k k k k k 令k 2=2，则k 3=1，k 1=-4. 答案:-4，2，1 7.已知A(-1，2)，B(2，8)，=3，=-3，求点C 、D 和向量的坐标. 解：∵=(2，8)-(-1，2)=(3，6)， ∴=3=(9，18).∴OC =OA +AC =(-1，2)+(9，18)=(8，20)，即C 点坐标为(8，20).又=-3=-3(-3，-6)=(9，18)，∴DA OA OD -==(-1，2)-(9，18)=(-10，-16)，即D 点坐标为(-10，-16).CD=(-10，-16)-(8，20)=(-18，-36).8.如图2-3-23,已知O是△ABC内一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°.设OA=a，OB=b，OC=c，且|a|=2，|b|=1，|c|=3，试用a和b表示c.图2-3-23解：以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立如图所示直角坐标系.由||=2，∴=(2，0).由∠AOB=150°，根据三角函数的定义可求出B点坐标x B=1·cos150°=23-，y B=21，∴B(21,23-)，即=(21,23-).同理,∠AOC=150°+90°=240°，∴x C=3×cos240°=23-，y C=3×sin240°=233-.∴C(23-，233-)，即=(23-，233-).设=m+n，则(23-，233-)=m(2，0)+n(23-，21)，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-.21233,23223nnm解得⎩⎨⎧-=-=.33,3nm∴OBOAOC333--=c=-3a-33b.9.如图2-3-24，已知平面上三点A、B、C的坐标分别为(-2，1)、(-1，3)、(3，4)，求点D 的坐标，使得这四点能构成平行四边形的四个顶点.图2-3-24思路分析:本题没有指明所构成的平行四边形的顶点顺序，故应分三种情形分别求解.答案:(1)当平行四边形为ABCD 时，因为AD =BC ，所以，(4，1)=(x+2，y-1).所以x=2，y=2，即D(2，2). (2)当平行四边形为ACDB 时，因为=DC ，所以，(-1，-2)=(3-x ，4-y).所以x=4，y=6，即D(4，6). (3)当平行四边形为DACB 时，因为=，所以，(-2-x ，1-y)=(4，1).所以x=-6，y=0，即D(-6，0).回顾•展望10.已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及OP =OA +t AB ，求：(1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限?(2)四边形OABP 能否构成平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由.思路分析:首先把向量表示为坐标的形式，再利用点在x 轴上、y 轴上、第二象限内的特征，得到坐标的条件；要看四边形OABP 能否构成平行四边形，就要看能否找到t ，使=，即对边所在的直线平行.解:(1)t +==(1+3t ，2+3t).若P 在x 轴上，只需2+3t=0，所以t=32-.若P 在y 轴上，只需1+3t=0，所以t=-31. 若P 在第二象限，只需⎩⎨⎧>+<+.032,031t t ∴3132-<<-t . (2)因为=(1，2)，=(3-3t ，3-3t)，若OABP 为平行四边形，则=.由于⎩⎨⎧=-=-233,133t t 无解，故四边形OABP 不能构成平行四边形.。
高中数学人教A版必修4第二章2.3.2-2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示、坐标运算课件
A(x1, y1 )
y A(x1, y1 )
O
x
d
解：
C B
A
D
O
随堂练习
1、a=4,6,且a=2b,那么b的坐标是 B
A、(3,2) B、(2,3) C、(-3,-2) D、(-2,-3)
2、若向量a=x-2,3与向量b=1,y+2相等，那么 B
A、x=1,y=3
B、x=3,y=1
C、x=1,y=-3
D、x=5,y=-1
3、已知AB=x,y, B的坐标是-2,1,那么OA的坐标为 C
A、7,1 B、-7，-1 C、-7,1 D、7，-1
6、已知B的坐 标是m,n,AB 的坐标为(i,j),则点A
的坐标为 A
A、(m-i,n-j)
B、(i-m,j-n)
C、(m+i,n+j)
D、(m+n,i+j)
课堂总结:
1.向量的坐标的概念: 2.对向量坐标表示的理解:
(1)任一平面向量都有唯一的坐标; (2)向量的坐标与其起点、终点坐标的关系； (3)相等的向量有相等的坐标.
新课引入
正交分解
若两个不共线向量互相垂直时
F1
F2
G
G=F1+F2 G=GF与1+FF1,F2叫2有做什重么力关G系的?分解
把一个向量分解为两个互相垂 直的向量,叫做把向量正交分解
相等的向量坐标相同
y 5 b4 3 2 j1
-4 -3 -2 -1O -1
-2
c
-3
-4
-5
A2
aAA1来自i1 2 3 4 x复习 1.平面向量基本定理
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2.3.3 平面向量的坐标运算
例2．已知a=（2，1），b=（-3，4）， 求a+b，a-b，3a+4b的坐标．
解：
a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）； a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）； 3a+4b=3（2，1）+4（-3，4） =（6，3）+（-12，16） =（-6，19）
1 2
任意一个向量都可以用 e e 来表示呢？
⑴ 当a与e1或e2共线时 .
1
1
2
2
e1
a 0e1 2 e2
e2 a
e1
a
e2
a 1 e1 0e2
⑵ 改变a的位置如下图两种情 况时， 怎样构造平行四边形 ？
设 e1 ,e2是同一平面内的两个不共线的向量，
a 是这一平面内的任一向量， 问：与 e1 ,e2 之间有怎样的关系？ a
M
e1
a
C
e2
A N
O
OM 1 e1 ON 2 e2
a OM ON 1 e1 2 e2
想一想
确定一对不共线向量e ， 后，是否平面内 e
D
a
M
C
A
N b
B
二、向量的夹角: 两个非零向量 a， b
B
a和 b
O b B
AOB 叫做向量
的夹角． 注意:同起点
b
O
a A
B b a O A
夹角的范围：(0 180 ) a a
A
0
B b
O
A
180
90
x
O
i
x
当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标
就是向量终点的坐标.
向量 a
一一对应
坐标(x,y)
两个向量相等，利用坐标如何表示？
a b x1 x2且y1 y2
例： 如图，用基底 i ，j 分别表示向量a、 b 、c 、d , 并求出它们的坐标 . y 解： AA AA 2i 3 j a A2 B 1 2 b a (2,3)
A
C
M
e1
e1 A a
N
O
a
M
e2
B
C
N
a 1 e1 2 e2 (1 0, 2 0)
O e 2
B
a 1 e1 2 e2 (1 0, 2 0)
再改变成如下情况，怎样构造平行四边形？ （3）
N
A
C
a
e1
三点共线.
5.平面向量的坐标运算
4.一个重要结论: 若OP mOA nOB,
且 m n 1.则A, B, P
例2:如图，等边三角形中，求
(1)AB与AC的夹角； (2)AB与BC的夹角。
'
C
C
注意:同起点
120
A
0
60
B
一个重要结论
OB 例3. 如图, OA、 不共线, 且 AP t AB ( t R ), 用 OA, OB 表示 OP .
OP (1 t )OA t OB
已知 结论： O、A、B三点不共线， 若点 P 在直线 AB 上， 则 OP mOA nOB, 且 m n 1.
解：a+b=( x1i + y1 j ) + ( x2 i + y2 j ) =（ x1 + x2 )i+（ y1+ y2 )j
即 同理可得 a + b ( x1 x2 , y1 y2 ) a - b ( x1 x2 , y1 y2 )
两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差
P B
O
A
三、平面向量的坐标表示
思考？
在平面里直角坐标系中，每 一个点都可用一对有序实数（它 的坐标）表示。对直角坐标平面 内的每一个向量，如何表示呢？
2.2.3平面向量的正交分解及坐标表示.
物理背景: 向量的 正交分解
三、平面向量的坐标表示
i,j为单位向量
y
yj j
O
基底 a 我们把(x,y)叫做向量 a 的
a 1 e1 2 e2
说明： 1、把不共线的非零向量 e1 , e2 叫做表示 这一平面内所有向量的一组基底.
2、基底不唯一，关键是不共线.
3、由定理可将任一向量 a 在给出基底 e1 , e2 的条件下进行分解.
4、基底给定时，分解形式唯一.
练习：下列说法是否正确？
1 3 x 2 4 y
x 2 y 2 顶点D的坐标为（ ， 2 2）
(1,2) ( 3 x,4 y )
小结
1.平面向量基本定理: a 1 e1 2 e2 2.向量的夹角: (0 180 )
3.平面向量的坐标表示: a xi +y j
已知平行四边形ABCD中,M,N分别是
BC,DC的中点且 AB a, AD b ，用 a, b
表示 AM, AN .
a
B
M N
C
解： AM AB BM A D b 1 AB BC 2 AN AD DN 1 1 1 AB AD AD DC AD AB 2 2 2 1 1 b a a b 2 2
a
b 2i 3 j (2,3)
c 2i 3 j (2,3)
j O c i
A
A1
x
d 2i 3 j (2,3)
d
2.3.3平面向量的坐标运算
平面向量的坐标运算
1.已知a ( x1 , y1 ) ，b ( x2 , y2 ) ，求a+b，a-b，λ a
1.在平面内只有一对基底. ×
2.在平面内有无数对基底. 3.零向量不可作为基底. 4.平面内不共线的任意一 对向量,都可作为基底.
√ √ √
例1.如图梯形ABCD中，AB // CD，AB 2CD， M 、N 是DC，BA中点， a， b , AD AB 试以a , b 为基底表示DC , BC , MN
2.3.3 平面向量的坐标运算
例3．已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的 坐标分别为（－2，1）、（ －1，3）、（3，4），求 顶点D的坐标． 解：设顶点D的坐标为（x，y）
( 1 2）， 1）（1， AB （ 3 2） DC ( 3 x ,4 y ) 由 AB DC，得
O e2 B
a 1 e1 2 e2 (1 0, 2 0)
M
一、平面向量基本定理:
如果 e1、 是同一平面内的两个不共线 e2
向量，那么对于这一平面内的任一向
量 a 有且只有一对实数 1、2此时称a向量 ,使
用基底e1,e2 线性表示。
其中e1，2 叫做表示这一平面内 e 所有向量的 一组基底 .
(直角)坐标，记作
i xi
x
正交单位 xi +y j a
a ( x, y)
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标， y叫做 a 在y轴上的坐标， (x,y)叫做向量的坐标表示.
三、平面向量的坐标表示
y
a
A
y
j
a xi +y j
OA xi +y j
2.3.3平面向量的坐标运算
2．已知 A( x1 , y1 )，B( x2 , y2 )．求 AB 解：AB OB OA ( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) ( x2 x1 , y2 y1 )
A( x1 , y1 )
y
B( x2 , y2 )
x
O
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 终点的坐标减去始点的坐标． a (x , y ) 若a ( x, y)则 实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的 向量的相应坐标．
复习:共线向量基本定理：
向量 b 与向量 a(a 0) 共线
当且仅当有唯一一个实数 使得
b a
定理的应用:
(1)有关向量共线问题:
(2)证明三点共线的问题: AB BC(BC 0) A、B、C三点共线 (3)证明两直线平行的问题:
AB CD AB // CD 直线AB // 直线CD AB与CD不在同一直线上