第20章 平行四边形的判定知识点
平行四边形的判定知识点
平行四边形的判定知识点
平行四边形的判定知识点
读书使学生认识丰富多彩的世界，获取信息和知识，拓展视野。
接下来小编为大家精心准备了平行四边形的判定知识点，希望大家喜欢!
1.定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形
2.平行四边形的性质
(1)平行四边形的对边平行且相等;
(2)平行四边形的邻角互补，对角相等;
(3)平行四边形的对角线互相平分;
3.平行四边形的判定
平行四边形是几何中一个重要内容，如何根据平行四边形的性质，判定一个四边形是平行四边形是个重点，下面就对平行四边形的五种判定方法，进行划分：
第一类：与四边形的对边有关
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;
第二类：与四边形的对角有关
(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形;
第三类：与四边形的对角线有关
(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形
常见考法。
第20章 平行四边形的判定
第20章平行四边形的判定（1）平行四边形是中心对称图形，具有两组对边分别平行且相等、对角相等及邻角互补、两条对角线互相平分等特征．（2）平行四边形的判定方法有：有5种方法①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形；⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．（3）矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们除了具有平行四边形的所有特征外，还具有以下性质：矩形：四个角都是直角、对角线互相平分且相等．菱形：四条边都相等、对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角．正方形：四条边都相等、四个角都是直角、对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角（具有矩形、菱形的所有特征）．（4）矩形、菱形、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形；矩形、菱形都有两条对称轴，而正方形有四条对称轴，它们的对称中心都是对角线的交点．（5）矩形、菱形、正方形的判定方法有：分别有3 3 2 种方法①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③两条对角线相等的平行四边形是矩形；④有一组邻边相等的平行四边形是菱形；⑤有四条边相等的四边形是菱形；⑥两条对角线垂直的平行四边形是菱形；⑦有一组邻边相等的矩形是正方形；⑧有一个角是直角的菱形是正方形．（6）有且只有一组对边平行的四边形叫做梯形，这组平行的边叫做梯形的上底与下底，不平行的两边叫做梯形的腰，两腰相等的梯形叫做等腰梯形，有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．（7）等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是过两底中点的直线，它有以下性质：①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形的两条对角线相等．（8）等腰梯形的判定方法有：①两腰相等的梯形是等腰梯形②同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；③两条对角线相等的梯形是等腰梯形．．例1（补充）已知：如图，ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：BE=DF．分析：证明BE=DF，可以证明两个三角形全等，也可以证明四边形BEDF是平行四边形，比较方法，可以看出第二种方法简单．例2（教材P96例3）已知：如图ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F是AC 上的两点，并且AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．分析：欲证四边形BFDE是平行四边形可以根据判定方法2来证明．（证明过程参看教材）问；你还有其它的证明方法吗？比较一下，哪种证明方法简单．例3（补充）已知：如图，A′B′∥BA，B′C′∥CB，C′A′∥AC．求证：(1) ∠ABC＝∠B′，∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′；(2) △ABC的顶点分别是△B′C′A′各边的中点．六、随堂练习1．已知：ABCD中，点E、F分别在CD、AB上，DF∥BE，EF交BD于点O．求证：EO=OF．1．（选择）下列条件中能判断四边形是平行四边形的是（）．（A）对角线互相垂直（B）对角线相等（C）对角线互相垂直且相等（D）对角线互相平分2．已知：如图，△ABC，BD平分∠ABC，DE∥BC，EF∥BC，求证：BE=CF五、例习题分析例1（补充）已知：如图，ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：BE=DF．分析：证明BE=DF，可以证明两个三角形全等，也可以证明四边形BEDF是平行四边形，比较方法，可以看出第二种方法简单．证明：∵例2（补充）已知：如图，ABCD中，E、F分别是AC上两点，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形BEDF是平行四边形．分析：因为BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，所以BE∥DF．需再证明BE=DF，这需要证明△ABE与△CDF全等，由角角边即可．证明：、．1．（选择）在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）．（A）AB∥CD，AD=BC （B）∠A=∠B，∠C=∠D（C）AB=CD，AD=BC （D）AB=AD，CB=CD2．已知：如图，AC∥ED，点B在AC上，且AB=ED=BC，找出图中的平行四边形，并说明理由．3．已知：如图，在ABCD中，AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线．求证：四边形AFCE是平行四边形．七、课后练习1．判断题：(1)相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形；()(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；()(3)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；()(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；()(5)对角线相等的四边形是平行四边形；()(6)对角线互相平分的四边形是平行四边形．()2．延长△ABC的中线AD至E，使DE=AD．求证：四边形ABEC是平行四边形．3．在四边形ABCD中，(1)AB∥CD；(2)AD∥BC；(3)AD＝BC；(4)AO＝OC；(5)DO＝BO；(6)AB＝CD．选择两个条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的共有_______2．已知：三角形的各边分别为8cm 、10cm和12cm ，求连结各边中点所成三角形的周长．3．如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，（1）若EF=5cm，则AB= cm；若BC=9cm，则DE= cm；（2）中线AF与DE中位线有什么特殊的关系？证明你的猜想．七、课后练习1．（填空）一个三角形的周长是135cm，过三角形各顶点作对边的平行线，则这三条平行线所组成的三角形的周长是cm．2．（填空）已知：△ABC中，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，如果△DEF的周长是12cm，那么△ABC的周长是cm．3．已知：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．。
平行四边形知识点总结及分类练习题
平行四边形知识点总结及分类练习题一、知识点总结平行四边形是几何学中一个重要的概念，其性质和判定方法对于理解几何学中的其他问题有着至关重要的作用。
以下是对平行四边形知识点的总结：1、定义：平行四边形是一个四边形，其中相对的两边平行且相等。
可以用符号“▭”表示。
2、性质：1)对边平行：平行四边形的对边平行且相等。
2)对角相等：平行四边形的对角相等，邻角互补。
3)平行四边形的面积等于其底乘高。
3.判定方法：1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
4)对角线互相平分的四边形是平行四边形。
5)邻角互补的四边形是平行四边形。
4.特殊平行四边形：矩形、菱形和正方形都是特殊的平行四边形，它们分别具有以下性质：1)矩形：对角线相等，四个角都是直角。
2)菱形：对角线垂直且平分，四边相等。
3)正方形：对角线垂直且相等，四个角都是直角。
二、分类练习题1、选择题：1)下列哪个条件可以判定一个四边形为平行四边形？A.一组对边相等，一组对角相等B.一组对边平行，另一组对边相等C.一组对角相等，另一组对边平行D.一组对角相等，一组邻角互补答案：(C)一组对角相等，另一组对边平行。
因为一组对角相等，另一组对边平行的四边形可以由一组对边平行，另一组对边相等的四边形经过平移得到，因此选项C正确。
其他选项都不满足平行四边形的定义或判定方法。
2)下列哪个条件可以判定一个四边形为矩形？A.三个内角都是直角B.对角线相等且互相平分C.对角线互相垂直且平分D.一组对边平行且相等，一组邻角互补答案：(B)对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
因为矩形的定义是对角线相等的平行四边形，而对角线相等且互相平分的四边形是平行四边形，因此选项B正确。
其他选项分别是矩形的定义或判定方法的一部分，但不足以单独判定一个四边形为矩形。
特殊平行四边形知识点总结及题型一、平行四边形的性质：1、平行四边形的对边平行且相等；2、平行四边形的对角相等；3、平行四边形的对角线互相平分。
初二数学平行四边形知识点归纳
初二数学平行四边形知识点归纳一、平行四边形的定义与性质。
1. 定义。
- 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形用符号“▱”表示，例如平行四边形ABCD记作“▱ABCD”。
2. 性质。
- 边的性质。
- 平行四边形的两组对边分别平行且相等。
即AB∥CD，AD∥BC，AB = CD，AD = BC。
- 角的性质。
- 平行四边形的两组对角分别相等，邻角互补。
即∠A = ∠C，∠B = ∠D，∠A+∠B = 180°，∠B + ∠C=180°等。
- 对角线的性质。
- 平行四边形的对角线互相平分。
即若AC、BD是▱ABCD的对角线，则AO = CO，BO = DO（O为AC、BD交点）。
二、平行四边形的判定。
1. 边的判定。
- 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定）。
- 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
即若AB = CD，AD = BC，则四边形ABCD是平行四边形。
- 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
例如AB∥CD且AB = CD，则四边形ABCD是平行四边形。
2. 角的判定。
- 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
即若∠A = ∠C，∠B = ∠D，则四边形ABCD是平行四边形。
3. 对角线的判定。
- 对角线互相平分的四边形是平行四边形。
若AO = CO，BO = DO，则四边形ABCD 是平行四边形。
三、平行四边形的面积。
1. 面积公式。
- 平行四边形的面积 = 底×高，即S = ah（a为底边长，h为这条底边对应的高）。
例如在▱ABCD中，若以AB为底，AB边上的高为h，则S▱ABCD=AB×h。
2. 等底等高的平行四边形面积关系。
- 等底等高的平行四边形面积相等。
如果有▱ABCD和▱EFGH，AB = EF，且它们对应的高相等，那么S▱ABCD = S▱EFGH。
四、特殊的平行四边形（矩形、菱形、正方形）与平行四边形的关系。
特殊四边形的知识点、定义、性质、判定
特殊四边形知识点总结一．正确理解定义（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．（2）表示方法：用“□”表示平行四边形，例如：平行四边形ABCD 记作“□ABCD ”，读作“平行四边形ABCD ”． 2．熟练掌握性质：平行四边形的有关性质和判定都是从 边、角、对角线 三个方面的特征进行简述的． （1）角：对角相等，邻角互补； （2）边：对边分别平行且相等； （3）对角线：对角线互相平分；（4）面积：①S ==⨯底高ah ；②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形．（5）平行四边形不是轴对称图形。
3．平行四边形的判别方法①定义判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
②方法2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
③方法3：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
④方法4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
⑤方法5：一组平行且相等的四边形是平行四边形。
二、几种特殊平行四边形的有关概念（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：① 平行四边形； ② 一个角是直角，两者缺一不可．（2）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：① 平行四边形；② 一组邻边相等，两者缺一不可．（3）正方形：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形．三、几种特殊四边形的有关性质（1）矩形： ①边：对边平行且相等；②角：四个角都是直角； ③对角线：对角线互相平分且相等；④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）． ⑤面积S =长×宽；A BD OC AD B CO【注意：矩形具有平行四边形的一切性质】（2）菱形：①边：四条边都相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角； ④对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2条）． ⑤面积S =底×高=对角线乘积的一半；【注意：菱形具有平行四边形的一切性质】（3）正方形：①边：四条边都相等；②角：四角相是直角；③对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450； ④对称性：轴对称图形（4条）．⑤面积S =边长×边长=对角线乘积的一半；【注意：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质】四、几种特殊四边形的判定方法（1）矩形的判定： ①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形； ③有三个角是直角的四边形。
2023年人教版八年级下册数学_ 平行四边形的判定1 第1课时 同步典型例题精讲课件
6
C.1∶2∶1∶2
D.1∶1∶2∶2
7
解析：由题意，得∠A与∠C是对角，∠B与∠D是对角.当∠A＝∠C，
8
∠B＝∠D时，四边形ABCD是平行四边形，故选项A，B，D不符合
9
题意，选项C符合题意.
第1课时 平行四边形的判定1
STEP1 知识理解与运用
返回目录
1
7.在下列条件中，不能确定四边形ABCD为平行四边形的是( D )
1
2.小红同学周末在家做家务，不慎把家里的一块
2
平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了
3
能从玻璃店配到一块与原来相同的玻璃，他应
4
该带去玻璃店的是( B )
5
A.①② B.②④ C.②③ D.①③
返回目录
6
7
解析：只有②④两块角的两边互相平行，且中间部分相连，角的两边
8
的延长线的交点就是平行四边形的顶点.
STEP1 知识理解与运用
返回目录
1
知识点四 对角线互相平分
2
8.如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列能判定四边
3
形ABCD是平行四边形的是( D )
4
A.AO＝OC，AC＝BD
5
B.BO＝OD，AC＝BD
6
C.AO＝BO，CO＝DO
D.AO＝OC，BO＝OD
7
8
解析：∵AC，BD是四边形ABCD的对角线，AO＝OC，BO＝OD，
6
∴四边形为平行四边形.
7
8
9
第1课时 平行四边形的判定1
STEP1 知识理解与运用
返回目录
1
知识点三 两组对角分别相等
新人教版初中数学——特殊的平行四边形-知识点归纳及中考典型题解析
新人教版初中数学——特殊的平行四边形知识点归纳及中考题型解析一、矩形的性质与判定1．矩形的性质：（1）四个角都是直角；（2）对角线相等且互相平分；（3）面积=长×宽=2S△ABD=4S△AOB．（如图）2．矩形的判定：（1）定义法：有一个角是直角的平行四边形；（2）有三个角是直角；（3）对角线相等的平行四边形．二、菱形的性质与判定1．菱形的性质：（1）四边相等；（2）对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角；（3）面积=底×高=对角线乘积的一半．2．菱形的判定：（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形；（2）对角线互相垂直的平行四边形；（3）四条边都相等的四边形．三、正方形的性质与判定1．正方形的性质：（1）四条边都相等，四个角都是直角；（2）对角线相等且互相垂直平分；（3）面积=边长×边长=2S△ABD=4S△AOB．2．正方形的判定：（1）定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形；（2）一组邻边相等的矩形；（3）一个角是直角的菱形；（4）对角线相等且互相垂直、平分．四、联系（1）两组对边分别平行；（2）相邻两边相等；（3）有一个角是直角；（4）有一个角是直角；（5）相邻两边相等；（6）有一个角是直角，相邻两边相等；（7）四边相等；（8）有三个角都是直角．五、中点四边形（1）任意四边形所得到的中点四边形一定是平行四边形.（2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形.（3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形.（4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形.考向一矩形的性质与判定1．矩形除了具有平行四边形的一切性质外，还具有自己单独的性质，即：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等．2．利用矩形的性质可以推出直角三角形斜边中线的性质，即在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．3．矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形．典例1 如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠BAO=55°，则∠AOD等于A．105°B．110°C．115°D．120°【答案】B【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA=O B．∴∠BAO=∠ABO=55°．∴∠AOD=∠BAO+∠ABO=55°+55°=110°．故选B．典例2 如图，矩形ABCD的对角线AC与数轴重合（点C在正半轴上），AB=5，BC=12，点A表示的数是–1，则对角线AC、BD的交点表示的数A．5.5 B．5 C．6 D．6.5【答案】A【解析】连接BD交AC于E，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴190,2B AE AC ∠==，∴13AC=，∴AE=6.5，∵点A表示的数是−1，∴OA=1，∴OE=AE−OA=5.5，∴点E表示的数是5.5，即对角线AC、BD的交点表示的数是5.5；故选A.1．如图，四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是A ．AB =BC B ．AC 垂直BD C ．∠A =∠C D ．AC =BD2．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC BD 、交于点O ，并且6015DAC ADB ∠=︒∠=︒，，点E 是AD 边上一动点，延长EO 交于BC 点F ，当点E 从点D 向点A 移动过程中（点E 与点D ，A 不重合），则四边形AFCE 的变化是A ．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形B ．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形C ．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形D ．平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形考向二 菱形的性质与判定1．菱形除了具有平行四边形的一切性质外，具有自己单独的性质，即：菱形的四条边都相等； 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 2．菱形的判定：四条边都相等的四边形是菱形； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．典例3 菱形具有而平行四边形不具有的性质是 A ．两组对边分别平行 B ．两组对边分别相等 C ．一组邻边相等D ．对角线互相平分【答案】C【解析】根据菱形的性质及平行四边形的性质进行比较，可发现A，B，D两者均具有，而C只有菱形具有平行四边形不具有，故选C．【名师点睛】有一组邻边相等的平行四边形是菱形.典例4如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且满足AO=CO，请你添加一个适当的条件_____________，使四边形ABCD成为菱形．（只需添加一个即可）【答案】BO=DO（答案不唯一）【解析】四边形ABCD中，AC、BD互相垂直，若四边形ABCD是菱形，需添加的条件是：AC、BD 互相平分（对角线互相垂直且平分的四边形是菱形）．故答案为：BO=DO（答案不唯一）．3．已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为A．45°，135°B．60°，120°C．90°，90°D．30°，150°4．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形．考向三正方形的性质与判定1．正方形的性质=矩形的性质+菱形的性质．2．正方形的判定：以矩形和菱形的判定为基础，可以引申出更多正方形的判定方法，如对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．证明四边形是正方形的一般步骤是先证出四边形是矩形或菱形，再根据相应判定方法证明四边形是正方形．典例5面积为9㎝2的正方形以对角线为边长的正方形面积为A．18㎝2B．20㎝2C．24㎝2D．28㎝2【答案】A【解析】∵正方形的面积为9cm2，∴边长为3cm，∴根据勾股定理得对角线长cm，∴以=2=18cm2.故选A．典例6如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=4，把△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△ADE，过点C作CF⊥AE于F，DE交CF于G，则四边形ADGF的周长是A．8 B．C．D．【答案】D【解析】如图，连接AG，∵∠B=90°，AB=BC=4，∴∠CAB=∠ACB=45°，AC，∵把△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△ADE，∴AD=AB=4，∠EAD=∠CAB=45°，∴∠FAB=90°，CD=AC﹣AD﹣4，∵∠B=90°=∠FAB，CF⊥AE，∴四边形ABCF是矩形，且AB=BC=4，∴四边形ABCF是正方形，∴AF=CF=AB=4=AD，∠AFC=∠FCB=90°，∴∠GCD =45°，且∠GDC =90°，∴∠GCD =∠CGD =45°，∴CD =GD ﹣4，∵AF =AD ，AG =AG ，∴Rt △AGF ≌Rt △AGD （HL ），∴FG =GD ﹣4，∴四边形ADGF 的周长=AF +AD +FG +GD ﹣﹣，故选D ．5．如图，在正方形ABCD 内一点E 连接BE 、CE ，过C 作CF ⊥CE 与BE 延长线交于点F ，连接DF 、DE ．CE =CF =1，DE ，下列结论中：①△CBE ≌△CDF ；②BF ⊥DF ；③点D 到CF 的距离为2；④S 四边形DECF +1．其中正确结论的个数是A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，在正方形ABCD 中，,2BE FC CF FD ==，AE 、BF 交于点G ，下列结论中错误的是A ．AE BF ⊥B ．AE BF =C ．43BG GE =D ．ABGCEGF S S=四边形考向四 中点四边形1．中点四边形一定是平行四边形；2．中点四边形的面积等于原四边形面积的一半．典例7如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是A．当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形【答案】D【解析】A．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC=BD时，存在EF=FG=GH=HE，故四边形EFGH为菱形，故A正确；B．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC⊥BD时，存在∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°，故四边形EFGH为矩形，故B正确；C．如图所示，当E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点时，若EF∥HG，EF=HG，则四边形EFGH 为平行四边形，故C正确；D．如图所示，当E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点时，若EF=FG=GH=HE，则四边形EFGH 为菱形，故D错误，故选D．7．顺次连接下列四边形的四边中点所得图形一定是菱形的是A．平行四边形B．菱形C．矩形D．梯形8．如图，我们把依次连接任意四边形ABCD各边中点所得四边形EFGH叫中点四边形．若四边形ABCD的面积记为S1，中点四边形EFGH的面积记为S2，则S1与S2的数量关系是A．S1=3S2B．2S1=3S2C．S1=2S2D．3S1=4S21．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB=30°，AB=4，则OC=A．5 B．4 C．3.5 D．32．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知∠AOD=120°，AC=16，则图中长度为8的线段有A．2条B．4条C．5条D．6条3．如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若沿折痕EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF 的长为A．158B．154C．152D．154．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=8 cm，BD=6 cm，则菱形的高为A．485cm B．245cm C．125cm D．105cm5．如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是A．108°B．72°C．90°D．100°6．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE=CF．连接AE，BF，AE与BF 交于点G．下列结论错误的是A．AE=BF B．∠DAE=∠BFCC．∠AEB+∠BFC=90°D．AE⊥BF7．如图，矩形ABCD中将其沿EF翻折后，D点恰落在B处，∠BFE=65°，则∠AEB=____________.8．如图，P为正方形ABCD内一点，且BP=2，PC=3，∠APB=135°，将△APB绕点B顺时针旋转90°得到△CP′B，连接PP′，则AP=_______．9．如图，在ABCD中，AB=6，BC=8，AC=10．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）求BD的长．10．如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D．（1）求证：BE=CF；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．11．如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；（3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形．直接写出答案，不需说明理由．1．下列命题正确的是A．有一个角是直角的平行四边形是矩形B．四条边相等的四边形是矩形C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形D．对角线相等的四边形是矩形2．如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是(2,0)，(0,1)，点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于AB．C．D．203．如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC=12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF=9的点P的个数是A．0 B．4 C．6 D．84．如图，正方形ABCD中，点E.F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC=4，DE=AF=1，则GF的长为A．135B．125C．195D．1655．如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE．折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上．若5DE ，则GE的长为__________．6．如图，把某矩形纸片ABCD沿EF、GH折叠（点E、H在AD边上，点F、G在BC边上），使得点B、点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A 点，D点的对称点为D点，若FPG，A EP90△的面积为1，则矩形ABCD的面积等于__________.△的面积为4，D PH7．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE=3，则菱形的周长为__________．8．如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE=CF，AF与BE相交于点G．（1）求证：BE=AF；（2）若AB=4，DE=1，求AG的长．9．已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）求证：四边形AECF是矩形．10．如图，在菱形ABCD中，点E.F分别为A D．CD边上的点，DE=DF，求证：∠1=∠2．11．如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF=BE．求证：AF=CE．12．如图，四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD．求证：四边形ABCD是矩形．13．如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD 的对角线BD上．（1）求证：BG=DE；（2）若E为AD中点，FH=2，求菱形ABCD的周长．1．【答案】D【解析】结合选项可知，添加AC=BD，∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，∴四边形ABCD是矩形，故选D．2．【答案】A【解析】点E从D点向A点移动过程中，当∠EOD<15°时，四边形AFCE为平行四边形，当∠EOD=15°时，AC⊥EF，四边形AFCE为菱形，当15°<∠EOD <75°时，四边形AFCE 为平行四边形， 当∠EOD =75°时，∠AEF =90°，四边形AFCE 为矩形， 当75°<∠EOD <105°时，四边形AFCE 为平行四边形，故选A ． 3．【答案】B【解析】如图，由题意知AB =BC =AC ，∵AB =BC =AC ，∴△ABC 为等边三角形，即60B ∠=︒，根据平行四边形的性质，18060120.BAD ∠=-=︒︒︒故选B ．4．【解析】∵DE ∥AC ，DF ∥AB ， ∴四边形AEDF 为平行四边形， ∴∠FAD =∠EDA ，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠EAD =∠FAD ，∴∠EAD =∠EDA ， ∴AE =ED ，∴四边形AEDF 是菱形． 5．【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是正方形，∴BC =CD ，∠BCD =90°， ∵CF ⊥CE ，∴∠ECF =∠BCD =90°，∴∠BCE =∠DCF ，在△BCE 与△DCF 中，BC CDBCE DCF CE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△DCF （SAS ），故①正确；∵△BCE ≌△DCF ，∴∠CBE =∠CDF ，∴∠DFB =∠BCD =90°，∴BF ⊥ED ， 故②正确，过点D 作DM ⊥CF ，交CF 的延长线于点M ，∵∠ECF =90°，FC =EC =1，∴∠CFE =45°，∵∠DFM +∠CFB =90°，∴∠DFM =∠FDM =45°，∴FM =DM ，∴由勾股定理可求得：EF ，∵DE ，∴由勾股定理可得：DF =2，∵EF 2+BE 2=2BE 2=BF 2，∴DM =FM ∵△BCE ≌△DCF ，∴S △BCE =S △DCF ，∴S 四边形DECF =S △DCF +S △DCE =S △ECF +S △DEF =S △AFP +S △PFB =12B ． 6．【答案】C【解析】在正方形ABCD 中，AB =BC ，∠ABE =∠C =90，又∵BE =CF ，∴△ABE ≌△BCF （SAS ），∴AE =BF ，∠BAE =∠CBF ，∴∠FBC +∠BEG =∠BAE +∠BEG =90°，∴∠BGE =90°，∴AE ⊥BF ．故A 、B 正确； ∵CF =2FD ，∴CF :CD =2:3，∵BE =CF ，AB =CD ，32AB BE ∴=， ∵∠EBG +∠ABG =∠ABG +∠BAG =90°，∴∠EBG =∠BAG ， ∵∠EGB =∠ABE =90°，∴△BGE ∽△ABE ，32BG AB GE BE ∴==，故C 不正确, ∵△ABE ≌△BCF ，∴S △ABE =S △BFC ，∴S △ABE –S △BEG =S △BFC –S △BEG ，∴S 四边形CEGF =S △ABG ， 故D 正确．故选C ．7．【答案】C【解析】∵顺次连接任意四边形的四边中点所得图形一定是平行四边形， 当对角线相等时，所得图形一定是菱形，故选C ． 8．【答案】C【解析】如图，设AC 与EH 、FG 分别交于点N 、P ，BD 与EF 、HG 分别交于点K 、Q ， ∵E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，∴EF ∥AC ， 同理可证EH ∥BD ，∴△EBK ∽△ABM ，△AEN ∽△EBK ，1．【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴AC =BD ，OA =OC ，∠BAD =90°， ∵∠ADB =30°，∴AC =BD =2AB =8，∴OC =AC =4．故选B ． 2．【答案】D【解析】∵AC =16，四边形ABCD 是矩形， ∴DC =AB ，BO =DO =12BD ，AO =OC =12AC =8，BD =AC ， ∴BO =OD =AO =OC =8，∵∠AOD =120°，∴∠AOB =60°，∴△ABO 是等边三角形，∴AB =AO =8，∴DC =8，即图中长度为8的线段有AO 、CO 、BO 、DO 、AB 、DC 共6条，故选D ． 3．【答案】B【解析】如图，连接AF ．根据折叠的性质，得EF 垂直平分AC ，则设，则，在中，根据勾股定理，得，解得． 在中，根据勾股定理，得AC =5，则AO =2.5．12．AF CF =AF x =4BF x =-Rt △ABF 229(4)x x =+-258x =Rt △ABC在中，根据勾股定理，得 根据全等三角形的性质，可以证明则故选B ．4．【答案】B【解析】∵菱形ABCD 的对角线∴AC ⊥BD ，OA =AC =4 cm ，OB =BD =3 cm ，根据勾股定理，（cm ）．设菱形的高为h ，则菱形的面积，即，解得，即菱形的高为cm ．故选B ． 5．【答案】B【解析】如图，连接AP ，∵在菱形ABCD 中，∠ADC =72°，BD 为菱形ABCD 的对角线，∴∠ADP =∠CDP =12∠ADC =36°. ∵AD 的垂直平分线交对角线BD 于点P ，垂足为E ，∴PA =P D. ∴∠DAP =∠ADP =36°.∴∠APB =∠DAP +∠ADP =72°. 又∵菱形ABCD 是关于对角线BD 对称的，∴∠CPB =∠APB =72°.故选B.6．【答案】CRt △AOF 158，OF =，OE OF =154．EF=8cm 6cm AC BD ==，，12125AB ===12AB h AC BD =⋅=⋅15862h =⨯⨯245h =245【解析】∵AD//BC，∴∠DAE=∠AEB，∵BE=CF，AB=BC，∠ABE=∠BCF，∴△ABE≌△BCF，∴AE=BF，∠DAE=∠BFC，∵∠FBC+∠BFC=90°，∠AEB=∠BFC，∴∠FBC+AEB=90°，∴AE ⊥BF，所以A、B、D三个选项正确，∠AEB=∠BFC，故C选项错误，故选C.7．【答案】50°【解析】如图所示，由矩形ABCD可得AD∥BC，∴∠1=∠BFE=65°，由翻折得∠2=∠1=65°，∴∠AEB=180°–∠1–∠2=180°–65°–65°=50°．故答案为：50°．8．【答案】1【解析】∵△BP'C是由△BPA旋转得到，∴∠APB=∠CP'B=135°，∠ABP=∠CBP'，BP=BP'，AP=CP'，∵∠ABP+∠PBC=90°，∴∠CBP'+∠PBC=90°，即∠PBP'=90°，∴△BPP'是等腰直角三角形，∴∠BP'P=45°，∵∠APB=∠CP'B=135°，∴∠PP'C=90°，∵BP=2，∴PP，∵PC=3，∴CP，∴AP=CP′=1，故答案为1．9．【解析】（1）∵AB=6，BC=8，AC=10，∴AB2+BC2=AC2，∴∠ABC=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴ABCD是矩形．（2）∵四边形ABCD是矩形，∴BD=AC=10.10．【解析】（1）∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，在△ACF和△ABE中，AC ABCAF BAEAF AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACF≌△ABE，∴BE=CF.（2）∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，∴∠AEB=∠ABE=45°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴BEBD=BE﹣DE1．11．【解析】（1）OE=OF，理由如下：因为CE平分∠ACB，所以∠1=∠2，又因为MN∥BC，所以∠1=∠3，所以∠3=∠2，所以EO=CO，同理，FO=CO，所以OE=OF．（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，理由如下：因为OE=OF，点O是AC的中点，所以四边形AECF是平行四边形，又因为CF平分∠BCA的外角，所以∠4=∠5，又因为∠1=∠2，所以∠1=∠2，∠2+∠4=11802⨯︒=90°，即∠ECF=90°，所以平行四边形AECF是矩形．（3）当△ABC是直角三角形时，即∠ACB=90°时，四边形AECF是正方形，理由如下：由（2）证明可知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，又因为∠ACB=90°，CE，CN分别是∠ACB与∠ACB的外角的平分线，所以∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=45°，所以AC⊥MN，所以四边形AECF是正方形．1．【答案】A【解析】A．有一个角为直角的平行四边形是矩形满足判定条件；B．四条边都相等的四边形是菱形，故B错误；C有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故C错误；对角线相等且相互平分的四边形是矩形，则D错误；故选A．【名师点睛】本题考查了矩形的判定，矩形的判定方法有：1.有三个角是直角的四边形是矩形；2.对角线互相平分且相等的四边形是矩形；3.有一个角为直角的平行四边形是矩形；4.对角线相等的平行四边形是矩形.2．【答案】C【解析】∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（2，0），（0，1），∴AO=2，OB=1，AC⊥BD，∴由勾股定理知：AB==，∵四边形ABCD为菱形，∴AB=DC=BC=AD∴菱形ABCD的周长为：C．【名师点睛】此题主要考查了菱形的性质，勾股定理以及坐标与图形的性质，得出AB的长是解题关键．3．【答案】D【解析】如图，过E点作关于AB的对称点E′，则当E′，P，F三点共线时PE+PF取最小值，∵∠EAP=45°，∴∠EAE′=90°，又∵AE=EF=AE′=4，∴PE+PF的最小值为E′F=，∵满足PE+PF∴在边AB上存在两个P点使PE+PF=9，同理在其余各边上也都存在两个P点满足条件，∴满足PE+PF=9的点P的个数是8，故选D．【名师点睛】本题主要考查了正方形的性质以及根据轴对称求最短路径，有一定难度，巧妙的运用求最值的思想判断满足题意的点的个数是解题关键.4．【答案】A【解析】正方形ABCD 中，∵BC =4， ∴BC =CD =AD =4，∠BCE =∠CDF =90°， ∵AF =DE =1，∴DF =CE =3，∴BE =CF =5，在△BCE 和△CDF 中，BC CD BCE CDF CE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△CDF （SAS ），∴∠CBE =∠DCF ， ∵∠CBE +∠CEB =∠ECG +∠CEB =90°=∠CGE ， cos ∠CBE =cos ∠ECG =BC CGBE CE=， ∴453CG =，CG =125，∴GF =CF ﹣CG =5﹣125=135， 故选A ．【名师点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，证明△BCE ≌△CDF 是解本题的关键． 5．【答案】4913【解析】如图，令AE 与BF 的交点为M . 在正方形ABCD 中，∠BAD =∠D =90︒，∴∠BAM +∠FAM =90︒， 在Rt ADE △中，13==A E ，∵由折叠的性质可得ABF GBF △≌△， ∴AB =BG ，∠FBA =∠FBG ， ∴BF 垂直平分AG ， ∴AM =MG ，∠AMB =90︒， ∴∠BAM +∠ABM =90︒， ∴∠ABM =∠FAM ，∴ABM EAD △∽△，∴AM AB DE AE = ，∴12513AM =，∴AM =6013，∴AG =12013，∴GE =13–120491313=. 【名师点睛】本题考查了正方形与折叠，勾股定理，等腰三角形的性质，以及三角形相似的判定和性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键.6．【答案】【解析】∵A 'E ∥PF ，∴∠A 'EP =∠D 'PH ，又∵∠A =∠A '=90°，∠D =∠D '=90°，∴∠A '=∠D '，∴△A 'EP ～△D 'PH ， 又∵AB =CD ，AB =A 'P ，CD =D 'P ，∴A 'P = D 'P ， 设A 'P =D 'P =x ，∵S △A 'EP ：S △D 'PH =4：1，∴A 'E =2D 'P =2x ，∴S △A 'EP =2112422A E A P x x x ''⨯⨯=⨯⨯==， ∵0x >，∴2x =，∴A 'P =D 'P =2，∴A 'E =2D 'P =4，∴EP ==∴1=2PH EP =112DH D H A P ''===，∴415AD AE EP PH DH =+++=+=+ ∴2AB A P '==，∴25)10ABCD S AB AD =⨯=⨯=矩形，【名师点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质，解题的关键是掌握矩形的性质、折叠的性质. 7．【答案】24【解析】∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB =BC =CD =AD ，BO =DO ， ∵点E 是BC 的中点， ∴OE 是△BCD 的中位线， ∴CD =2OE =2×3=6，∴菱形ABCD 的周长=4×6=24； 故答案为：24．【名师点睛】本题考查了菱形的性质以及三角形中位线定理；熟记菱形性质与三角形中位线定理是解题的关键．8．【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAE=∠ADF=90°，AB=AD=CD，∵DE=CF，∴AE=DF，在△BAE和△ADF中，AB ADBAE ADF AE DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAE≌△ADF（SAS），∴BE=AF；（2）解：由（1）得：△BAE≌△ADF，∴∠EBA=∠FAD，∴∠GAE+∠AEG=90°，∴∠AGE=90°，∵AB=4，DE=1，∴AE=3，∴BE，在Rt△ABE中，12AB×AE=12BE×AG，∴AG=435⨯=125．【名师点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理以及三角形面积公式；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．9．【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，AB=CD，AD∥BC，∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEB=∠AEC=∠CFD=∠AFC=90°，在△ABE和△CDF中，B DAEB CFD AB CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△CDF（AAS）；（2）∵AD∥BC，∴∠EAF=∠AEB=90°，∴∠EAF=∠AEC=∠AFC=90°，∴四边形AECF是矩形．【名师点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质和矩形的判定是解题的关键．10．【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，在△ADF和△CDE中，AD CDD D DF DE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴∠1=∠2．【名师点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．11．【答案】见解析．【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠B=90°，AD=BC，在△ADF和△CBE中，AD CBD B DF BE⎧=∠=∠=⎪⎨⎪⎩，∴△ADF≌△CBE（SAS），∴AF=CE．【名师点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．12．【答案】见解析．【解析】∵四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2AO，BD=2OD，∵OA=OD，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．【名师点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定等知识点，能由题中已知信息推出四边形ABCD是平行四边形是关键．13．【解析】（1）∵四边形EFGH是矩形，∴EH=FG，EH∥FG，∴∠GFH=∠EHF，∵∠BFG=180°﹣∠GFH，∠DHE=180°﹣∠EHF，∴∠BFG=∠DHE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠GBF=∠EDH，∴△BGF≌△DEH（AAS），∴BG=DE；（2）连接EG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=BC，AD∥BC，∵E为AD中点，∴AE=ED，∵BG=DE，∴AE=BG，AE∥BG，∴四边形ABGE是平行四边形，∴AB=EG，∵EG=FH=2，∴AB=2，∴菱形ABCD的周长=8．【名师点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别作图是解题的关键．。
特殊的平行四边形专题（题型详细分类）要点
特殊的平⾏四边形专题（题型详细分类）要点特殊的平⾏四边形讲义知识点归纳矩形，菱形和正⽅形之间的联系如下表所⽰：四边形分类专题汇总专题⼀：特殊四边形的判定矩形菱形正⽅形性质边对边平⾏且相等对边平⾏，四边相等对边平⾏，四边相等⾓四个⾓都是直⾓对⾓相等四个⾓都是直⾓对⾓线互相平分且相等互相垂直平分，且每条对⾓线平分⼀组对⾓互相垂直平分且相等,每条对⾓线平分⼀组对⾓判定 ·有三个⾓是直⾓; ·是平⾏四边形且有⼀个⾓是直⾓; ·是平⾏四边形且两条对⾓线相等. ·四边相等的四边形；·是平⾏四边形且有⼀组邻边相等；·是平⾏四边形且两条对⾓线互相垂直。
·是矩形，且有⼀组邻边相等； ·是菱形，且有⼀个⾓是直⾓。
对称性既是轴对称图形，⼜是中⼼对称图形（1）______________ （2）______________ （3）______________ （4）______________ （5）______________2.矩形的判定⽅法：（1）______________ （2）______________ （3）______________3.菱形的判定⽅法：（1）______________ （2）______________ （3）______________4.正⽅形的判定⽅法：（1）______________ （2）______________ （3）______________5.等腰梯形的判定⽅法：（1）______________ （2）______________ （3）______________【练⼀练】⼀．选择题1．能够判定四边形ABCD是平⾏四边形的题设是（）．A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠DC．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD2．具备下列条件的四边形中，不能确定是平⾏四边形的为（）．A．相邻的⾓互补 B．两组对⾓分别相等C．⼀组对边平⾏，另⼀组对边相等 D．对⾓线交点是两对⾓线中点3.下列条件中，能判定四边形是平⾏四边形的条件是( )A.⼀组对边平⾏，另⼀组对边相等B.⼀组对边平⾏，⼀组对⾓相等C.⼀组对边平⾏，⼀组邻⾓互补D.⼀组对边相等，⼀组邻⾓相等4．如下左图所⽰，四边形ABCD的对⾓线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（）．A．若AO=OC，则ABCD是平⾏四边形;B．若AC=BD，则ABCD是平⾏四边形;C．若AO=BO，CO=DO，则ABCD是平⾏四边形;D．若AO=OC，BO=OD，则ABCD是平⾏四边形5．不能判定四边形ABCD是平⾏四边形的条件是（）A．AB=CD，AD=BC B．AB∥CD，AB=CDC．AB=CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC6.四边形ABCD的对⾓线AC，BD相交于点O，能判断它为矩形的题设是（）A．AO=CO，BO=DO B．AO=BO=CO=DOC．AB=BC，AO=CO D．AO=CO，BO=DO，AC⊥BD7.四边形ABCD的对⾓线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD8.在四边形ABCD中，O是对⾓线的交点，下列条件能判定这个四边形是正⽅形的是（）A、AC＝BD，AB∥CD，AB＝CDB、AD∥BC，∠A＝∠CC、AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BDD、AC＝CO，BO＝DO，AB＝BC9.在下列命题中，真命题是（）Ａ．两条对⾓线相等的四边形是矩形Ｂ．两条对⾓线互相垂直的四边形是菱形Ｃ．两条对⾓线互相平分的四边形是平⾏四边形Ｄ．两条对⾓线互相垂直且相等的四边形是正⽅形10.在下列命题中，正确的是（）11.如图，已知四边形ABCD 是平⾏四边形，下列结论中不正确的是（） A ．当AB=BC 时，它是菱形 B ．当AC ⊥BD 时，它是菱形C ．当∠ABC=900时，它是矩形D ．当AC=BD 时，它是正⽅形12.如图，在ABC △中，点E D F ，，分别在边AB ，BC ，CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．下列四个判断中，不正确．．．的是（） A ．四边形AEDF 是平⾏四边形B ．如果90BAC ∠=o ，那么四边形AEDF 是矩形C ．如果AD 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形D ．如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是菱形 13.下列条件中不能判定四边形是正⽅形的条件是（）。
第1课时：《平行四边形》(1)——平行四边形的性质与判定
ABC DE FG 第1课时《四边形》（1）——平行四边形的性质与判定【知识点拨】一、平行四边形的定义及性质1.平行四边形定义： 有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等。
平行四边形的对角线互相平分。
[例题1]1．（2009东营）如图，在平行四边形ABCD 中，已知AD ＝8cm ， AB ＝6cm ， DE 平分∠ADC 交BC 边于点E ，则BE 等于（ ） A. 2cm B. 4cm C. 6cmD. 8cm 【答案】A2．（2009年桂林市、百色市）如图，平行四边形ABCD 中，AC 、BD 为对角线，BC ＝6，BC 边上的高为4，则阴影部分的面积为（ ）．A ．3B ．6C ．12D ．24 【答案】C3．（2009年）如图，在ABCD 中，AB ＝6，AD ＝9，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE ，垂足为G ，BG ＝24，则ΔCEF 的周长为（ ） A.8 B.9.5 C.10 D.11.5 【答案】A （此题需用相似的知识，可不做）4．（2009年广西钦州）在平行四边形ABCD 中，∠A ＝120°，则∠D ＝_ _°. 【答案】605．（2010年贵州毕节）如图，已知：平行四边形 ABCD 中，BCD ∠的平分线CE 交边AD 于E ，ABC ∠的平分线BG 交CE 于F ，交AD 于G ．求证：AE DG =． 【答案】证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形（已知），AD BC ∴∥，AB CD =（平行四边形的对边平行，对边相等） GBC BGA ∴∠=∠，BCE CED ∠=∠（两直线平行，内错角相等）又∵ BG 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠（已知）ABG GBC ∴∠=∠，BCE ECD ∠=∠（角平分线定义） ABG GBA ∴∠=∠，ECD CED ∠=∠．AB AG ∴=，CE DE =（在同一个三角形中，等角对等边） AG DE ∴=第1题图第2题图第3题图AB CDAG EG DE EG ∴-=-，即AE DG =．6．（2010 湖南株洲）如图，已知平行四边形ABCD ，DE 是ADC ∠的角平分线，交BC 于点E ． （1）求证：CD CE =；（2）若BE CE =，80B ∠=︒，求DAE ∠的度数． 【答案】（1）如图，在ABCD 中，//AD BC 得，13∠=∠又12∠=∠，∴23∠=∠，∴CD CE = （2）由ABCD 得，AB CD = 又CD CE =，BE CE = ∴AB BE = ∴BAE BEA ∠=∠ ∵80B ∠=︒，∴50BAE ∠=︒， 得：180508050DAE ∠=︒-︒-︒=︒．二、平行四边形的判定平行四边形的判定：1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 b 2.对角线互相平分的四边形是平行四边形； 3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 4.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
第20章 平行四边形的判定单元测试卷(2)(含答案)
平行四边形的判定单元测试卷一、选择题1. 在平行四边形ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ：∠D 的值可以是（ ）（A ）1：2：3：4 （B ） 3：4：4：3 （C ） 3：3：4：4 （D ） 3：4：3：42. 下面给出了四边形ＡＢＣＤ中∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ，∠Ｄ的度数之比，其中能判定四边形ＡＢＣＤ是平行四边形的是 （ ）（A ）1：2：3：4 （B ）2：2：3：3 （C ）2；3：2：3 （D ）2：3：3：23. 下列叙述中，正确的是 （ ）（A ） 只有一组对边平行的四边形是梯形; （B ）矩形可以看作是一种特殊的梯形 （C ）梯形有两个内角是锐角，其余两个角是钝角; （D ）形的对角互补4. 小明用两根同样长的竹棒做对角线，制作四边形的风筝，则该风筝的形状一定是（ ） （A ） 矩形 （B ） 正方形 （C ） 等腰梯形 （D ） 无法确定5. 如图1，宽为50 cm 的矩形图案由10个全等的小长方形 成，其中一个小长方形的面积为 （ ）（A ）400 cm 2（B ）500 cm 2（C ） 600 cm 2（D ）4000 cm 2 6. 将一矩形纸片对折后再对折，如图2（1）、（2），然后沿图（3）中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形一定是（ ）B ）矩形（C ）菱形 （D ）正方形7. 如图3，某正方形园地是由边长为1的四个小正方形组成的，现在园地上建一个花园（即每个图中的阴影部分），使花坛面积是园地面积的一半，以下图中的设计不合要求的是 （ ）② 图(3) 图(2) ①图2 图18. 如图4，矩形ABCD 的边长AB ＝6，BC ＝8，将矩形沿EF 折叠，使C 点与A 点重合，则折痕EF 的长是（ ）（A ）7．5 （B ） 6 （C ） 10 （D ） 59. 如图5：矩形花园ABCD 中， AB=a ， AD=b ，花园中建有一条矩形道路LMPQ 及一条平行四边形道路RSTK 。
判定平行四边形的五种方法
判别平行四边形的基本方法如何判别一个四边形是平行四边形呢?下面举例予以说明.一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”判别例1 如图1,在平行四边形ABCD中,E、F 在对角线AC上,且AE=CF,试说明四边形DEBF 是平行四边形.分析:由于已知条件与对角线有关，故考虑运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行判别.为此,需连接BD.解：连接BD交AC于点O.因为四边形ABCD是平行四边形,所以AO=CO,BO=DO. 又AE=CF,所以AO-AE=CO-CF,即EO=FO.所以四边形DEBF是平行四边形.二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判别例2 如图2，是由九根完全一样的小木棒搭成的图形，请你指出图中所有的平行四边形，图1AB C DEF并说明理由.分析:设每根木棒的长为1个单位长度，则图中各四边形的边长便可求得，故应考虑运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进行判别.解：设每根木棒的长为1个单位长度，则AF=BC=1,AB=FC=1,所以四边形ABCF是平行四边形.同样可知四边形FCDE、四边形ACDF都是平行四四边形.因为AE=DB=2,AB=DE=1,所以四边形ABDE也是平行四边形.三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判别例3 如图3，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF,DF=BE,DF∥BE，试说明四边形ABCD是平行四边形.分析: 题目给出的条件都不能直接判别四边形ABCD是平行四边形，但仔细观察可知，由已知条件可得△ADF≌△CBE，由此就可得到判图3别平行四边形所需的“一组对边平行且相等”的条件.解：因为DF∥BE，所以∠AFD=∠CEB.因为AE=CF,所以AE+EF=CF+EF，即AF=CE.又DF=BE,所以△ADF≌△CBE，所以AD=BC，∠DAF=∠BCE，所以AD∥BC.所以四边形ABCD是平行四边形.四、运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判别例 4 如图4，在平行四边形ABCD中，∠DAB、∠BCD的平分线分别交BC、AD边于点E、F，则四边形AECF是平行四边形吗？为什么？分析：由平行四边形的性质易得AF∥EC，又题目中给出的是有关角的条件，借助角的条件可得到平行线，故本题应考虑运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”进行判别.解：四边形AECF是平行四边形.AB CDEF图41 32理由：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥BC ，∠DAB=∠BCD ，所以AF ∥EC.又因为∠1=21∠DAB ，∠2=21∠BCD ，所以∠1=∠2.因为AD ∥BC ，所以∠2=∠3， 所以∠1=∠3，所以AE ∥CF.所以四边形AECF 是平行四边形.判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。
人教版数学八年级下册《 平行四边形的判定一》ppt课件
课堂检测
能力提升题
如图，五边形ABCDE是正五边形，连接BD , CE，交于点P．
D
110°
70° B
110°C
A
是
B 120°
C 60°
D
不是
能判定四边形ABCD是平行四边形的条件： ∠A:∠B:∠C:∠D的值为 （ ）D
A. 1:2:3:4
B. 1:4:2:3
C. 1:2:2:1
D. 3:2:3:2
探究新知
知识点 3 平行四边形的判定定理3
如图，将两根木条AC，BD的中点重叠，用小钉绞合在一
人教版 数学 八年级 下册
18.1 平行四边形 18.1.2 平行四边形的判定
（第1课时）
导入新知
一天，八年级的李明同学在生物实验室做实验时，不小心碰碎 了实验室的一块平行四边形的实验用的玻璃片,只剩下如图所示 部分,他想去割一块赔给学校，带上玻璃剩下部分去玻璃店不安 全，于是他想把原来的平行四边形重新在纸上画出来，然后带 上图纸去就行了，可原来的平行四边形怎么画出来呢？
E
OF
B
C
∴ A∵BO=DO，
∴四边形BFDE是平行四边形.
巩固练习
根据下列条件,不能判定四边形为平行四边形的是( C )
A.两组对边分别相等 B.两条对角线互相平分
C.两条对角线相等
D.两组对边分别平行
如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O.
平行四边形及特殊的平行四边形的性质及判定知识要点
平行四边形及特殊的平行四边形的性质及判定知识要点一、平行四边形1、平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
2、平行四边形的判定定理：（1）判定定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
（2）判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
（3）判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
（4）判定定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
（5）判定定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
3、平行四边形的性质：（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。
（2）平行四边形的对边平行且相等。
（3）夹在两条平行线间的平行线段相等。
（4）平行四边形的对角线互相平分。
（5）平行四边形是中心对称图形。
4、平行四边形的面积：面积=底边长×高= ah（a是平行四边形任何一边长，h必须是a边与其对边的距离。
）二、矩形1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是是矩形。
2、矩形的判定定理：（1）判定定义：有一个角是直角的平行四边形是是矩形。
（2）判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。
（3）判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。
3、矩形的性质：（1）具有平行四边形的一切性质。
（2）矩形的四个角都是直角。
（3）矩形的对角线相等。
（4）矩形既是轴对称图形又是中心对称图形。
4、矩形的面积：矩形的面积=长×宽三、菱形1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
2、菱形的判定定理：（1）判定定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
（2）判定定理（1）：四边都相等的四边形是菱形。
（3）判定定理（2）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
3、菱形的性质：（1）具有平行四边形的一切性质。
（2）菱形的四条边都相等。
（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
（4）菱形既是轴对称图形又是中心对称图形。
4、菱形的面积：菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半。
四、正方形1、正方形的定义：四边都相等且有一个角是直角的四边形是正方形。
平行四边形的判定
平行四边形的判定
平行四边形的判定主要从定义入手：即两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
但是如果将平行四边形的角、对角线、边中的三要素中任选两者进行组合，则会呈现很多不同的命题，那么这些命题是否能判定一个平行四边形是平行四边形呢？对于真命题，我们需要证明，对于假命题，只需要举一个反例即可。
角、边、对角线之间的条件组合
命题1:一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形.（假命题）
命题2:一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形.（真命题）
命题3:一组对边平行且一组对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形.（真命题）
命题4:一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形.（假命题）
命题5:一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形.（假命题）
命题6:一组对角相等且过这组对角顶点的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形.（假命题）
命题7:一组对角相等且过这组对角顶点的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形.（真命题）
从以上的探究中我们可以发现，平行四边形的判定有以下3个方向:(1)从定义出发，定义可以作图形的判定；(2)从性质定理的逆命题出发，寻找判定定理；(3)从边、角和对角线中任意选取2个条件，构造命题，判断命题真假进而得到判定。
在面对具体问题时，通过画图和
证明(举反例)两者相结合的方式去判断。
总结：第5、6题利用了角平分线的性质定理进行辅助线的添加。
分别是往角两边做垂线以及利用三线合一定理补齐成一个等腰三角形。
总结：分类讨论，合理设元，依据勾股定理求解对角线长度。
平行四边形的判定与性质
2.2.1 平行四边形的性质要点1 两组对边分别__________的四边形叫做平行四边形.平行四边形用__________表示，平行四边形ABCD记作__________.要点2 平行四边形的对边__________，对角__________.要点3两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的__________，叫做这两条平行线之间的距离.1下面的性质中，平行四边形不一定具备的是( )A.对角互补B.邻角互补C.对角相等D.内角和为360°2.(2014·十堰)如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是( )A.7B.10C.11D.123.如图，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2于点E，FG⊥l2于点G，下列结论不一定成立的是( )A.AB=CDB.CE=FGC.EG=CFD.BD=EG4.在□ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是( )A.1∶2∶3∶4B.3∶4∶4∶3C.1∶2∶2∶1D.3∶4∶3∶45.如图，过□ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的□AEMG的面积S1与□HCFM的面积S2的大小关系是( )A.S1>S2B.S1<S2C.S1=S2D.2S1=S26.如图，在□ABCD中，BE⊥AD于点E，若∠ABE=50°，则∠C=__________.7.(2014·郴州)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E、B、D、F在同一直线上，且BE=DF.求证：AE=CF.8.已知□ABCD的周长为36 cm，过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，若AE=2 cm，AF=4 cm，求平行四边形的各边长.9.(2013·重庆)已知：在□ABCD中，AE⊥BC，垂足为点E，CE=CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF、EG、AG，∠1=∠2.(1)若CF=2，AE=3，求BE的长；(2)求证：∠CEG=12∠AGE.第2课时平行四边形的对角线特征要点感知平行四边形的对角线互相__________.预习练习1-1(2014·长沙)平行四边形的对角线一定具有的性质是( )A.相等B.互相平分C.互相垂直D.互相垂直且相等1.(2013·襄阳)□ABCD的对角线交于点O，且AB＝5，△OCD的周长为23，则□ABCD 的两条对角线的和是( )A.18B.28C.36D.462.已知□ABCD的周长为60 cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长长8 cm，则AB的长度为( )A.11 cmB.15 cmC.18 cmD.19 cm3.如图所示，在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC=10，BD=12，AB=m，那么m的取值范围是( )A.10＜m＜12B.2＜m＜22C.1＜m＜11D.5＜m＜64.(2014·泸州)一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的长分别为4和面积为__________.5.如图所示，已知□ABCD和□EBFD的顶点A、E、F、C在一条直线上，求证：AE=CF.18.1.2 平行四边形的判定知识点1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形1.(2013·长春)如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧，再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D，连接AD、CD.若∠B=65°，则∠ADC的大小为__________.知识点2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形1.下面给出四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD 为平行四边形的是( )A.1∶2∶3∶4B.2∶3∶2∶3C.2∶2∶3∶3D.1∶2∶2∶3知识点3 对角线互相平分的四边形是平行四边形1.在四边形ABCD中，AC，BD交于点O，且OA=OC，OB=OD，则下列结论不一定成立的是( )A.AB∥CDB.BC∥ADC.AB=ADD.BC=AD2.将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD为平行四边形，理由是____________________.3.四边形ABCD中，AC，BD交于点O，且OA=OC，OB=OD，∠ABC=80°，则∠ADC=__________.4.如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E，F在AC上，点G，H在BD上，AF=CE，BH=DG.求证：GF∥HE.5.(2014·徐州)已知：如图，在□ABCD中，点E、F在AC上，且AE=CF.求证：四边形BEDF 是平行四边形.6.(2013·郴州)如图，已知BE∥DF，∠ADF=∠CBE，AF=CE.求证：四边形DEBF是平行四边形.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形1.(2014·淮安)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使得四边形ABCD是平行四边形，应添加的条件是__________.(只填写一个条件，不使用图形以外的字母和线段)2.(2013·十堰)如图，□ABCD中，∠ABC=60°，点E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，AB的长是__________.3.已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，BO=DO.求证：四边形ABCD是平行四边形.4.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E,F在AC上，G,H在BD上，AF ＝CE，BH＝DG.求证：GF∥HE.5.(2013·梧州)如图，已知：AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE=DF.求证：四边形BECF是平行四边形.6.(2013·龙岩)如图，四边形ABCD是平行四边形，E,F是对角线AC上的两点，∠1＝∠2.求证：(1)AE＝CF；(2)四边形EBFD是平行四边形.7.(2013·青海)如图，已知□ABCD，过A作AM⊥BC于M，交BD于E，过C作CN⊥AD 于N，交BD于F，连接AF、CE.求证：四边形AECF为平行四边形.三角形的中位线1.(2013·西宁)如果等边三角形的边长为4，那么等边三角形的中位线长为( )A.2B.4C.6D.82.(2013·河池)一个三角形的周长是36 cm，则以这个三角形各边中点为顶点的三角形的周长是( )A.6 cmB.12 cmC.18 cmD.36 cm3.(2013·昆明)如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C的度数为( )A.50°B.60°C.70°D.80°4.(2013·宁波)如果三角形的两条边分别为4和6，那么连接该三角形三边中点所得三角形的周长可能是( )A.6B.8C.10D.125.(2014·湘潭)如图，AB是池塘两端，设计一方法测量AB的距离，取点C，连接AC、BC，再取它们的中点D、E，测得DE=15米，则AB=( )A.7.5米B.15米C.22.5米D.30米6.如图，已知四边形ABCD中，点R，P分别是BC，CD上的点，点E，F分别是AP，RP 的中点，当点P在CD上从点C向点D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是( )A.线段EF的长逐渐增大B.线段EF的长逐渐减少C.线段EF的长不变D.线段EF的长与点P的位置有关7.(2013·泉州)如图，顺次连接四边形ABCD四边的中点E，F，G，H，则四边形EFGH的形状一定是__________.8.如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD,点M，N，P分别是AD，BC，BD的中点，∠ABD=20°,∠BDC=70°，求∠PMN的度数.9.如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，AE⊥CE，延长AE交BC于点F，点D是AB的中点，BC=20，AC=14，求DE的长.15.已知如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.18.2 特殊的平行四边形18.2.1 矩形第1课时矩形的性质要点1有一个角是直角__________的叫做矩形.要点 2 矩形的对边__________；矩形的四个角__________；矩形的对角线____________________.1 在矩形ABCD中，∠A＝__________，∠B＝__________，∠C＝__________，∠D＝__________.2-2如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA=2，则BD的长为( ) A.4 B.3 C.2 D.1要点3直角三角形斜边上的中线等于斜边的__________.练习2 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10 cm，D为AB的中点，则CD=__________cm.知识点1 矩形的性质1.如图，在矩形ABCD中，若AC=2AB，则∠AOB的大小是( )A.30°B.45°C.60°D.90°2.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.若AC=4，则四边形CODE的周长是( )A.4B.6C.8D.103.(2013·遵义)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，若AB=6 cm，BC=8 cm，则△AEF的周长=__________cm.。
平行四边形的判定的知识点
平行四边形的判定的知识点
嘿，咱今天来聊聊平行四边形的判定这事儿哈！比如说，一组对边平行且相等的四边形就是平行四边形哟！就像有两块木板，它们长度一样，还能放平摆得直直的，那这两块木板组成的图形大概率就是平行四边形啦！
再看看，如果两组对边分别相等，那也是平行四边形呀！想象一下，两组小木棍，每组的两根长度都一样，这样摆起来不就是平行四边形嘛！
还有呢，如果两组对边分别平行，那也能判定是平行四边形哦。
这就好像两条平行的轨道，它们一直延伸，中间连接起来可不就是平行四边形嘛！
对角线互相平分的四边形也是平行四边形呢！好比说有两根线，它们在中间交叉，还能把彼此的长度分均匀，那这个图形有很大可能就是平行四边形呀！
怎么样，是不是很容易理解呀？反正我觉得这些判定方法真的超有用的，能让我们很轻松地就认出平行四边形呢！。
平行四边形的判定与性质题型总结(归纳的很整齐)
平行四边形平行四边形的性质第一课时平行四边形的边、角特征知识点梳理1、有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形ABCD记作□ABCD。
2、平行四边形的对边相等，对角相等，邻角互补。
3、两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条直线之间的距离。
知识点训练1．如图，两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合的部分构成一个四边形，这个四边形是________．2．如图，在□ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF，GH相交于点O，那么图中共有平行四边形( )A．6个B．7个C．8个D．9个3．在□ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，则□ABCD的周长为 cm.4．用40 cm长的绳子围成一个平行四边形，使其相邻两边的长度比为3∶2，则较长的边的长度为 cm.5．在□ABCD中，若∠A∶∠B＝1∶5，则∠D＝；若∠A＋∠C＝140°，则∠D＝．6．如图，在□ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则□ABCD的周长是．7．如图，在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD＝53°，则∠BCE的度数为( )A．53°B．37°C．47°D．123°8．如图所示，已知在平行四边形ABCD中，BE＝DF.求证：AE＝CF.9．如图，点E，F分别是□ABCD中AD，AB边上的任意一点，若△EBC的面积为10 cm²，则△DCF的面积为。
10．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，记△ABO的面积为S1，△COD的面积为S2，则S1，S2的大小关系是( )A．S1>S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．无法比较11．在□ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可能是( )A．1∶2∶3∶4 B．1∶2∶2∶1C．2∶2∶1∶1 D．2∶1∶2∶112．如图，将平行四边形ABCD折叠，使顶点D恰落在AB边上的点M处，折痕为AN，那么对于结论：①MN∥BC；②MN＝AM，下列说法正确的是( )A．①②都对 B．①②都错 C．①对②错 D．①错②13．如图，在□ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，垂足分别为E，F，CE＝2，DF＝1，∠EBF＝60°，则□ABCD的周长为__．14．如图，□ABCD与□DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝110°，则∠DAE的度数为。
第二十章平行四边形的判定
单元学习评价十二（第十九章 四边形 第一单元 平行四边形的性质）一、选择题1． 如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，则图中全等三角形有（ ）对A ．1B ．2C ．3D ．4 2．如图, □ABCD 中，DB=DC ，∠C=70° ，AE ⊥DB 于E ，则∠DAE 为 （ ）A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°(第1题) （第2题） （第3题）3． 如图，已知点E F 分别为□ABCD 的边CD 、AD 的中点，那么图中与△ABF 面积相等的三角形的个数是 （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 4． 如图，EF 过□ABCD 对角线的交点，且分别交AD 、BC 于E 、F ，那么阴影部分的面积是□ABCD 面积的 （ ）A ．51B ． 41C ．31D ．1035． □ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ：∠D 的值可以是 （ ） A ．1：2：3：4 B ．1：2：2：1 C ．2：2：1：1 D ．2：1：2：1 6． 已知平行四边形的一边长为14，下列各数能作它的两条对角线长的是 （ ） A ．10，16 B ．12，16 C ．20，22 D ．10，40 二、填空题7．已知在□ABCD 中，AB =14cm ，BC =16cm ，则此平行四边形的周长为 cm ． 8．□ABCD 中，如果∠B =100°，那么∠A 、∠D 的值分别是___________． 9．□ABCD 中，∠A+∠C =120°，则∠B =________°．10．如果平行四边形一边长8cm ，周长是30cm ，则这边的邻边长是________ cm ．11．平行四边形的周长为24cm,相邻两边长的比为3 ：1，那么这个平行四边形较短的边长为 cm ． 12．如图，□ABCD 中，∠A=70°，ＤＥ⊥ＡＢ于 E ，ＤＦ⊥ＢＣ于Ｆ，则∠EDF =_____．E D C B AF E D C B A D（第4题）D A D CO D C B A13． □ABCD 的周长为60cm,两条对角线交于O 点,△AOB 的周长比△BOC 的周长多8cm,则AB =_____ cm ，BC =_____cm ． 14．如图：若0AB S =1，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，则□ABCD 的面积为 ________． 15．平行四边形的周长为20cm ，若被两条对角线分成的相邻两个小三角形的周长和为25cm ，则两条对角线之和为________________cm ．16．□ABCD 中，AB =6cm ，BC =12cm ，对边AD 和BC 的距离是4cm ，则对边AB 和CD 间的距离是______cm ．三、解答题17．已知□ABCD 中，AB =6，BC =10，AC =8，求□ABCD 的面积．18．如图，BD 是□ABCD 的对角线，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ．（1）根据题意，在图中补全图形；（2）△ABE 与△CDF 全等吗？请说明理由．19．如图，□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 的直线EF 分别交AB 、CD于F 、 E ，请写出图中三对全等三角形: ___________ ，______________ ， _____________ ．请你选择其中的一对加以证明． 求证：证明：D C B A D CB A O FE D C BA （第14题）（第12题）20．□ABCD 中，∠ABC =3∠A ，点E 在CD 上，CE =1，EF ⊥CD 交CB 延长线于F ，若AD =1， 求BF 长．21．□ABCD 中，BE 是∠ABC 的平分线，BE 交AD 于E ，如果BE 将AD 分成3cm ,4cm两部分，试求□ABCD 的周长．A F E D C B22．如图：□ABCD 中，AB = 5cm , BC = 3cm ，∠D 与∠C 的平分线分别交AB 于F 、E ．(1)请计算AE 、EF 、BF 的长；(2)若改变BC 的长度，其他条件保持不变，能否使点E 、F 重合？若能,求出BC 长；若不能，说明理由．23．如图，□ABCD 中，AD =3，BD =4，BD ⊥AD ，点P 从起点D 出发，沿D→C→B 向终点B 匀速运动，设点P 所经过的路程为x ，点P 所经过的线段与线段AD 、AP 所 围成的图形面积为y ,求出y 与x 的函数关系并画出图象．A F E D CB DC BA单元学习评价十三（第十九章 四边形 第二单元 平行四边形的判定）一、选择题1．如图，在下面的格点图中，以格点为顶点，可以画（ ）个平行四边形A ．1B ． 2C ．3D ． 4２．如图□ ABCD 中， E 、F 分别是AB CD 的中点，图中共有（ ）个平行四边形A ． 3B ． 4C ． 5D ． 6３．以长5cm 、 4cm 、 7cm 的三条线段中的两条为边，另一条为对角线画平行四边形，可以画出形状不同的平行四边形的个数为 （ ） A ．1 B ． 2 C ． 3 D ． 4４．如图，已知△ABC 中，AB 、AC 两边的中点分别是D 、E ．下面的结论中错误的是（ ）Ａ．把△ADE 按点E 为对称中心，顺时针方向旋转180° 后，在图形中就形成了一个平行四边形 Ｂ．把△ADE 按点D 为对称中心，逆时针方向旋转180°后，在图形中就形成了一个平行四边形Ｃ．把△ADE 按DB 的方向平移，平移的距离是DB 的长，平移后，在图形中就形成了一个平行四边形Ｄ．把△ADE 按DE 的方向平移，平移的距离是DE 的长，平移后，在图形中就形成了一个平行四边形５．已知四边形ABCD 中,AC 交BD 于点O ，如果只给条件“AB ∥CD ”,那么还不能判定四边形ABCD 为平行四边形,给出以下四种说法:(1)如果再加上条件“BC=AD ”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形 (2)如果再加上条件“BCD BAD ∠=∠”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形 (3)如果再加上条件“AO=OC ”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形 (4)如果再加上条件“CAB DBA ∠=∠”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形 其中正确的说法是 ( ) A ．(1)(2) B ．(1)(3)(4) C ．(2)(3) D ．(2)(3)(4)６．下列条件中，能判断四边形ABCD 是平行四边形的是 （ ）E DCBAF E D CB A （第2题）（第4题）（第1题）A．AB∥CD，AB=BC B．AB=CD ，AD=BCC．∠A=∠B，∠C=∠D D．AB=AD，CB=CD二、填空题7．将两根长度相等的长木条和两根长度相等的短木条相对摆放拼成四边形，它是平行四边形的依据是_________________________．8．四边形ABCD中，已知AB=7cm,BC=5cm,CD=7cm,当AD=______ cm时，四边形ABCD 是平行四边形．9．已知四边形ABCD中，AD∥BC，若使ABCD是平行四边形，可添加一个条件：______________．10．在四边形ABCD中，AB=CD，请你补充一个条件，使之成为一个平行四边形，你补充的条件是：_________________ （填写一个即可）．11．一块三角板经适当变换后如图所示，如果∠B=30°，BC=6,那么四边形AEDC的面积为______．cm12．如图，在□ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交点P在BD上，图中有______ 个平行四边形；其中面积相等的平行四边形有_______组（包括互相重合的四边形）．13．如图所示的坐标系中的四边形形状是__________．14．在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，请利用图中已给的两条线段，构造出一个平行四边形（在图中画出），你的依据是__________；该平行四边形的面积为______平方单位．三、解答题（第13题）EDCBA（第14题）（第11题）（第12题）GHPBAFEDC15．如图：在 □ ABCD 中，已知两条对角线相交于点O ，E 、F 、G 、H 分别是AO 、BO 、 DO 的中点，以图中的点为顶点，画出平行四边形．（1）图中除了□ABCD 外，还可画出______个平行四边形； （2）请在图中适当连线，画出一个平行四边形，并完成证明：① 连结：________________________． ② 证明：16．已知：□ABCD 中，作出一组对角∠BAD ，∠BCD 的平分线．小丽画出了图1：∠BAD 的平分线交BC 于E ，∠BCD 的平分线交AD 于F ；小明画出了图2：∠BAD 的平分线交BC 于M ，交DC 的延长线于E ，∠BCD的平分线交AD 于N ，交BA 的延长线于F ． （1） 图1，图2中除了□ABCD 外，还有其他的 平行四边形，请你任选其中的一个，给予说明． 你选择的是图_______中的平行四边形_______． 证明：（2）图2中有特殊三角形吗？如果有，请写出两个．17．平面直角坐标系中，已知点A （2，3），点B （5，0），求以O 、A 、B 、D 为顶点的平行四边形的另一顶点D 的坐标．18．如图，A 、B 、C 、D 为矩形的４个顶点，AB =8cm ，AD =25cm ，动点P 、Q 分别从点图1图2D B FE DC B A N M F ED C B AA、C同时出发，点P以3cm/S的速度向点D移动，一直运动到D为止，点Q以2cm/S的速度向B移动．（１）在P、Q两点运动过程中，是否有PQ∥AB？如果有，求出在何时；如果没有，请说明理由．（２）何时四边形PDCQ的面积是84cm2?19．如图△ABC中，P是BC上一动点（不与B、C重合），PE∥AB，PF∥AC．（1）四边形AFPE的形状是＿＿＿＿＿；（2）当AB=AC时，四边形AFPE的形状有变化吗？利用图2，试讨论PE＋PF与AB （或AC）关系；（3）在（2）的条件下，当点Ｐ在BC（或CB）的延长线上时，仍作PE∥AB PF∥AC，交AC 或AB延长线于E，F，（２）中的关系还成立吗？如果不成立，请直接写出能反映他们之间关系的式子．单元学习评价十四EFP C BAFEP C BAD图1图2（第十九章 四边形 第三单元 矩形 菱形）一、选择题1．若一个四边形是矩形，则此四边形应具备的条件是 （ ） A ．两条对角线相等 B ．对角线互相垂直 C ．一组对角是直角 D ．有三个角是直角2．如果平行四边形的四个内角的平分线能围成一个四边形，则这个四边形一定（ ） A ．平行四边形 B ．正方形 C ．矩形 D ．菱形 3．下列图形中，不一定是菱形的是 （ ） A ．四条边都相等的四边形 B ．由两个等腰三角形拼成的图形 C ．两条对角线互相垂直平分的四边形D ．有一条对角线平分一个内角的平行四边形4．在四边形ABCD 中，若∠A ：∠B ：∠C ：∠D =1：5：3：3，则这个四边形是（ ） A ．平行四边形 B ．矩形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形 5．如果一个四边形绕对角线的交点旋转90°，所得的图形与原来的图形重合，那么这个 四边形是 （ ） A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形 6．若某四边形顶点的横坐标变为原来的相反数, 而纵坐标不变, 此时图形位置也不变,则这四边形不是 ( ) A ．矩形 B ． 直角梯形 C ． 正方形 D ． 菱形． 7．如图矩形ABCD 中，AB =cm 4,BC =cm 10,AE 平分∠BAD ，DF 平分∠ADC ，则四边形AEFD 的面积是 （ ）A ．220cm B ．224cm C ．226cm D ．228cm 8．小明用两根同样长的竹棒做对角线，制作四边形的风筝，则该风筝的形状是（ ）A ．矩形B ．正方形C ．等腰梯形D ．无法确定 9．已知线段a=2cm , b=3cm ,下列作图结果不唯一的是 （ ） A ．以a 为底b 为腰作等腰三角形 B ．以a b 为邻边作矩形C ．以b 为斜边a 为一条直角边作直角三角形D ．以a b 为邻边做平行四边形 10．如图，周长为68的大矩形被分成7个全等的小矩形，则大矩形面积为 （ ） A ．276 B ．287 C ．280 D ．28411．如图矩形的一条长边的中点与另一条长边构成等腰直角三角形，已知矩形的周长为36则其面积 （ ） A ．24 B ．36 C 12AB =60°．当画刷以B ＇（第7题）FE DCB A（第16题）（第14题）（第18题） 针转到A′ BC′ D ′位置（C′落在AB 所在直线上）屏幕 被着色的面积为（ ） A ．323π+B ．3C ．33π+ D ．π+3 二、填空题13．菱形ABCD 中，AB =5cm ，OA =4cm ，OB =3cm ，则菱形的周长______cm ，两条对角线长分别为_______．14．在如图所示的直角坐标系中, 菱形的位置如图所示, 则其面积为________平方单位． 15．菱形的两条对角线之比为3 ：4，周长为40cm ，则其面积为 _______cm 2． 16．根据图中所给的尺寸和比例，可知这个“十”字标志的周长为___________m ．17．如图，l 是四边形ABCD 的对称轴，如果AD ∥BC ，有下列结论： (1)AB ∥CD ；(2)AB=CD ；(3)AB ⊥BC ；(4)AO=OC ．其中正确的结论是 (把你认为正确的结论的序号都填上)．18．工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料(如图①) ，使AB=CD ，EF=GH ；(2)摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是 形，根据的数学道理是： ；(3)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图③),调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图④) ，说明窗框合格,这时窗框是 形，根据的数学道理是：________________________．19．如图：两张等宽的纸条交叉重叠在一起，如果AB =6，∠ABC =60°，则AC =______ ，BD = _______．yx5-1 -22O（第17题）1m1m ABCDOl(图①) (图②) (图③) (图④)（第12题）20．如图所示一种可活动的衣帽架，若墙上钉子的距离AB =BC =12cm ， 且∠AMB =∠BNC =60°，那么做这样的衣帽架，至少需要______cm 的材料． （不记制作过程中的损耗）三、解答题21．检查一个方桌面（或窗框）是否为矩形，如果手边只有一根足够长的绳子，你怎样检查？请说明理由．22．已知点E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，四边形EFGH 是菱形，问：四边形ABCD 可能是什么四边形？ 解：（1）四边形可以是＿＿＿＿＿； （2）画出图形并加以说明．23．图1是边长为2的菱形ABCD ，∠B =45°，AE 为BC 边上的高，现将△ABE 沿AE所在直线翻折后得图2，试求△AB′E 与四边形AECD 的重叠部分的面积．24．在一张长12，宽5的矩形纸片中，要折出一个菱形．小明利用各边中点的方法折出菱形，如图1:小丽沿矩形的对角线AC 对折，再沿ＥＦ对折出菱形AECF ，如图2．请E D CB A E DC 图2 DC B A M N C BA （第19题） （第20题）图1你通过计算比较两位同学的折法中哪个菱形的面积较大．25．已知矩形ABCD 中，AB =12cm ,BC =6cm ,点M 沿AB 方向从点A 向B 以2cm /S 的速度移动，点N 从点D 沿DA 方向以1cm /S 的速度移动，如果M 、N 两点同时出发，移动的时间为x （秒）．（1）当x 为何值时，△MAN 为等腰直角三角形？（2）在M 、N 移动过程当中（M 不 与A 、B 重合，N 不与A 、D 重合），小张同学做完（1）后认为，以A 、M 、C 、N 为顶点的四边形的面积是不变的．你同意他的想法吗？请给予说明．单元学习评价十五E F C 图2 图1（第十九章 四边形 第四单元 正方形）一、选择题1． 下面说法正确的是 （ ）A ．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形B ．两条对角线相等的四边形是矩形C ．四条边相等的四边形是正方形D ．四条边相等的四边形是菱形2．□ABCD 中，O 是对角线的交点，能判断它是正方形的是 （ ）A ．AC=BD 、AB ∥CD AB=CD B ．AB ∥CD ∠A=∠CC ．AO=BO=CO=DO AC ⊥DOD ．AO=CO BO=DO AB=BC3．在下列各种图形中，能够找到一点，使该点到各边距离都相等的图形个数为（ ）(1)平行四边形 ⑵菱形 ⑶矩形 ⑷正方形 A ．4 B ．3 C ．2 D ．14．正方形具有而菱形不具有的性质是 （ ）A ．内角和为360°B ．对角线互相垂直平分C ．对角线相等D ．对角线平分内角5．如图，以A 、B 为其中两个顶点做位置不同的正方形一共可以作（ ）．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题6．如图，正方形ABCD 的对角线交于O 点，图中有______个等腰三角形．7．正方形ABCD 中，AB =2cm ，则正方形的周长为_______cm ，对角线为______cm ，面积为_______2cm ； 若AC =4cm ，则AB =_____cm ，ABCD S 正方形 = ______2cm ． 8．如图，在边长为a 的正方形的一个角上剪掉一个边长为b 的小正方形，则剩余图形的周长是______．（第6题） （第8题）9．正方形ABCD 中，边AB =2，AC 、BD 交于O ，则△AOB 的周长为_______，△AOB 面积为 ________．10．□ABCD 中，对角线AC 和DB 相交于点O ．⑴如果∠ABD+∠ADO =90°，那么□ABCD 是__________ 形；B A （第5题）D C FE D CB A G（第14题）⑵如果∠A OB=∠AOD ，那么□ABCD 是_________ 形； ⑶如果AB=BC ，AC=BD ，那么□ABCD 是__________ 形． 11．如图：正方形ABCD 置于直角坐标系中，已知点A （-1，0），B （2，0），则点C 的坐标为____________，D 点的坐标为____________．12．以正方形ABCD 的边AB 为边长作等边△ABE ，则∠DEC =__________． 13．顺次连接正方形的各边中点，若正方形ABCD 的面积为1S ，正方形EFGH 的面积为2S ，依次可得S 、S 、S ．．．，若S =256，则6S =_________ ．14．一张矩形纸片按如下顺序操作，完成填空：沿虚线AC 对折，使BD 重合； 沿虚线AC 对折，使AC 重合由图１可得四边形ABCD 是____________形, 因为 _________________ ； 由图２可知图１中AC 与BD 的关系是______________________； 图３中△AOD 是_____________________． 三、解答题15．有四个动点E 、F 、G 、H 分别从边长为１的正方形ABCD 的顶点A 、B 、C 、D 同时出发，沿着AB 、BC 、CD 、DA 以同样的速度向点B 、C 、D 、A 移动． (1)证明：四边形EFGH 始终是正方形． (2)若设AE=x ，正方形EFGH 的面积为S ，写出S 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．16．两个正方形位置如图，大正方形边长为2，小正方形边长为1，两个正方形的对角线交点间的距离叫中心距，如果把小正方形向左移动，使中心距减少，当两个正方形H G F ED C B A 图1 图2 图3 H D C D C BA O A(B)CD (B)D (C)A O （第13题）有交点时，求CE的取值范围．17．已知四边形ABCD中，AB=DC，AC=BD，试探索四边形ABCD可能是什么形状的四边形并证明你的结论．18．如图：有两个相连的正方形，大正方形边长为2，小正方形边长为1，经过适当分割后拼接成：①矩形；②等腰梯形；③正方形．（要求：分割线用虚线；标出分割数据）19．如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B 在函数y=x k (ｋ>0 x>0)的图象上，点P （a,b ）是函数y=xk(k>0,x>0)的图象上任意一点，过P 分别作x 轴 y 轴的垂线，垂足E F ，设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分（图中阴影部分）的面积为S ． ⑴求点B 的坐标和k 的值； ⑵当a≥5时，求出S 关于a20．小明准备在一个半径为2米的半圆形纸板上截出两个正方形ABCD 和BEFG ，如图1所示，其中A 、B 、E 三点在直径MN 上，D 、F 在半圆周上，C 点在BG 上． (1)帮小明计算两个正方形面积之和；(2)当点F 在半圆周上运动，其他条件不变时，小明希望截出的两个正方形面积之和越大越好，他的想法能否实现？为什么？(3)当点F 在半圆周上运动时，请求出EF 的取值范围，并确定EF 为何值时，两个正方形的面积相等．备用图（第2题） （第4题）E F D C B A单元学习评价十六（第十九章 四边形 第五单元 梯形）一、选择题1．如果一个四边形只有一条对称轴，则此图形可能是 （ ） A ．平行四边形 B ．等腰梯形 C ．矩形 D ．菱形2．如图：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC BD 相交于点O ，则图中面积相等的三 角形有 （ ） A ． 一对 B ．二对 C ．三对 D ．四对3．下面说法正确的有 （ ） ⑴一组对边相等而另一组对边平行的四边形一定是梯形． ⑵一组对边平行但不相等的四边形一定是梯形． ⑶有两个角相等的梯形一定是等腰梯形．⑷若一梯形是轴对称图形，则此梯形一定是等腰梯形． A ．（1）（2） B ．（2）（3） C ．（3）（4） D ．（2）（4）4．如图：等腰梯形ABCD 中，∠A 比∠B 的二倍还多15°，则∠D 为 （ ） Ａ．100° Ｂ．105° Ｃ．125° D ．115°5．梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD=BC ，对角线AC BD 相交于O 点, 图中全等的三角 形有 （ ） A ．1对 Ｂ．2对 C ．3对 D ．4对6．若梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =5，AB =6，BC =7，则CD 的取值范围是 （ ） A ．3 <CD < 5 Ｂ．6< CD < 7 C ．4 <CD <8 D ． 2 <CD <8 二、填空题7．如图，△ABC 中，AB=AC ，用剪刀沿与BC 平行方向剪去一个三角形，那么剩下的四边形DBCE 的形状是_________．8．如图等边△ABC 中，D 、E 、F 分别是各边中点，请写出图中两个特殊的四边形它们是________（第7题） （第8题） 9．一个梯形的中位线长为6，则上 下底和为______；若高为４，则梯形面积为______．A B C DB10．梯形ABCD 中，AB ∥DC ，DE ∥CB ，△AED 的周长为18，EB =4，则梯形的周长为__________．11．直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°， BC =6 ，AD =3，AB =4，则DC =________． 12．梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F ，AD =15，BC =32 ，则 BF =_________． 13．等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ， AB=DC ，上底AD =2，DC =5， 高DF =2 ， 则下底BC = __________．14．如图：等腰梯形OABC 中，∠A =120°，AB ＝4，OC ＝10，则梯形各顶点坐标为，A（３，33）， B_________， C ________， O （0,0）．15． 如图，若点O 是梯形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点，AD ∥BC ，且AOB S ∆=8，COD S ∆= ________．16．如图等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，对角线AC 和BD 交于点Ｏ，若不允许再添加任何的字母和线段，在图中找出另一组相等的线段 ，一组相等的角 （请用所给的字母表示）．（第15题） （第16题）三、解答题17．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ∥DC ，AD=AB=DC ，∠B =60°．（1）△ABE 是什么三角形？说明理由 ；（2）已知AB =6，试求等腰梯形的周长．18．如图甲所示的四边形是等腰梯形，图乙是用若干个图甲密铺成的图案的一部分．试求这个图形中等腰梯形的内角各是多少度．ED C B A 图甲19．如图：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，把∆BDC 沿BC 翻折到∆BEC ． （1）试判断四边形ABEC 的形状； （2）若AB=AD =21BC ，则四边形ABEC 可以是怎 样的四边形？请说明理由．20．操作：在下面的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，请在网格中找到四个格点A 、B 、C 、D ，使得A B C D 四个格点刚好作为四边形的四个顶点，且该四边形满足下面要求（每个图中只画一个满足条件的四边形）．E D C BA 四边形是等腰梯形，且梯形 的面积等于9个平方单位． 四边形是矩形，其对角线长等于5个单位长度．21．如图，直角梯形OABC 中，上底AB =1，下底ＯC =2AB ，斜腰BC =10．（1）求点A 、B、C 的坐标；（2）在OA 上是否存在点P ，使△PBC 是等腰三角形，且∠BPC =90°？如存在，求出点P 的坐标；不存在，说明理由．22．（1）如图１，等腰梯形ABCD 中，过两底AD 、BC 的中点的直线（等腰梯形的对称轴）可将梯形面积二等分，当梯形为一般梯形时，如图2，过梯形上下底中点的直线也可以将梯形的面积二等分，请写出过程；（2）除(1)中的直线以外，你能否找到这样的直线，它与梯形上下底相交，且将其面积二等分，如果有请予说明；（3）利用上面的结论在下面两个图形中画一条直线，使它们分成面积相等的两部分．C B C B（第11题） 单元学习评价十七（第十九章 四边形章测试）一、选择题 1．□ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O 点，OA=5，BD =14，则AB 的长不可能是（ ） A ．7 B ．5 C ．10 D ．13 2．下面给出图形的四种性质：（1）两条对角线相等； （2）两组对边中点的连线互相垂直平分； （3）任意一组对角互补； （4）任意一对邻角相等．其中，矩形和等腰梯形共同具有的性质有 （ ） A ．1种 B ．2种 C ．3种 D ．4种3．如图，一个矩形花坛，长8米，宽6米，中间的鲜花构成一菱形图案， 如果每平方米种植鲜花20株，那么菱形图案中共有鲜花（ ） A ．440株 B ． 480株 C ． 500株 D ．460株 4．用两个全等的直角三角形拼下列图形 ：（1）平行四边形 （2）矩形 （3）菱形 （4）正方形 （5）等腰三角形 （6）等边三角形，可以拼成的图形是（ ）． A ．（1）（2）（3） B ．（1）（2）（5） C ．（2）（5）（6） D ．（1）（4）（5） 5．在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判断这个四边形是正方形的是 （ ） A ．AC=BD ，AD=BC ，AB=CD B ．AD ∥BC ， ∠A=∠CC ．AO=BO=CO=DO ，AC ⊥BD D ． AO=CO ，BO=DO ，BC=CD6．在四边形ABCD 中，若∠A ：∠B ：∠C ：∠D =1：5：3：3，则这个四边形是（ ） A ．平行四边形 B ．矩形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形 二、填空题7． 已知：□ABCD 周长为32cm ， AB ：BC =5：3 ，AD =_______cm ， CD = ________cm ． ． 8．等腰梯形的一个内角是70°，其它三个内角度数分别为__________________． 9．矩形的一边长为5cm ，对角线的长为13cm,则另一边是_________________ cm ． 10．菱形的两条对角线的长分别是6cm 和8cm ，则边长是_______ cm ，面积是_____2cm ． 11．如图，梯形ABCD 中，BD 平分∠ABC ，AB ∥DC ，∠A =60°，BD ⊥AD ，请你写出三个正确结论：________ ， _________ ，_________ ． 12．一矩形边长如图所示，则矩形面积为 ___________ ．（第13题）D C B A EODCBA2x+1 x 2- 1（第16题）13．如图，矩形ABCD 的对角线交于点O ，将△ABO 平移至△DCE ，则新四边形OCED是______形．14．如果四边形ABCD 满足条件：________ ，那么四边形的对角线AC 、BD 互相垂直（只需填一组符合题意的条件）．15．如图边长都为2的二张四边形，二张三角形纸片，按如图顺序拼接，则图中最大的平行四边形与最大的梯形的面积比为_________．16．如图在正方形ABCD 中，E 、F 、G 分别是BD 、BC 、CD 上一点，他们与顶点C 组成一个矩形EFCG ，正方形ABCD 的周长是4cm ，则矩形EFCG 的周长是________ cm ．三、解答题17．一 张三角形纸片按如下步骤折出：步骤1：把纸片对折,使AE 与AF 重合，折痕与EF 交于C ； 步骤2：把点A 与点C 重合，折痕与AE 交于D ，与AF 交于B ． 完成问题:(1)在图中，用虚线表示折痕，并标出点C 、D 、B ； (2)判断四边形ABCD 的形状并说明理由．EFA GFED CBA（第15题）18．如图：直线L1∥L2,有两条相等的线段AB ，CD ,且端点A 、C 落在L1上,点B 、D 落在L2上，这时我们称线段AB ，CD “夹”在直线L1 L2之间．（1）小明将AB ，CD 平行排列于L1，L2之间，得出四边形ABDC 是平行四边形，请说明理由；（2）由（１）小明认为在平行线间夹等线段，两线段与两直线一定构成平行四边形，对吗？如不同意，请画出图形加以说明．19．如图，在矩形ABCD 中，AB =4cm ,BC =8cm ,点E 、F 分别是AD 、BC 边上的动点，E从A 向D 运动，F 从C 向B 运动． （1）若AE=CF ，则四边形BFDE 是平行四边形吗？如果是平行四边形，请说明理由． （2）在E,F 运动过程中四边形BFDE 能否成为菱形?如果能,请求出这个菱形的周长．．l 2l 1D C B AEF C D BA20．适当地改变下列方格图中的平行四边形的某些部分的位置，并保持原来的面积，先使其成为矩形；再将矩形向下平移4格后，继续改变其中某些部分的位置并保持原 来的面积，使其变成菱形，说明在变化过程中所运用的图形变换．21．如图，△ABC 中，点O 是AC 边上一动点，过点O 做直线MN ∥BC ，设MN 交∠BC的平分线于E ，交与∠BCA 相邻的外角平分线于F ． (1)说明：OE=OF ；(2)当点O 移动到何处时，四边形AECF 是矩形？(3)当△ABC 满足什么条件时，四边形AECF 是正方形？D N MEF C O B A。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第20章平行四边形的判定
§20.1平行四边形的性质
一、平行四边形的性质
（一）平行四边形的有关概念
1、定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、表示方法：专用符号：“ ”。
如图的平行四边形看表示为： ABCD；读作：“平行四边形ABCD”
3、平行四边形的“对边”是指：互相平行的两边；“对角”是指：“开口”相对的两角。
4、平行四边形的对角线：指两对角定点的连线。
（二）平行四边形的性质
1、平行四边形的对边相等，对角相等。
2、平行四边形的对角线互相平分。
3、两平行线之间的距离处处相等。
4、平行四边形是中心对称图形。
5、S
=底×高。
（三）平行四边形的作用
1、由定义可以把平行四边形用于证明两直线（线段）平行；
2、可以用作判定平行四边形。
二、平行四边形判定
（一）判定方法
1、从边看：
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
2、从角看：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
3、从对角线看：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
（二）平行线之间的距离
两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线之间的距离。
两平行线之间的距离处处相等。
§20.2 矩形的判定
一、矩形的性质
1、定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、性质：矩形具有平行四边形的所有性质。
（1）矩形的四个角都是直角；
（2）矩形的对角线相等且互相平分；
（3）矩形既是轴对称图形又是中心对称图形；
（4）S矩形=长×宽。
3、直角三角形的一个重要特性：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
二、矩形的判定方法
1、有一个角是直角的平行四边形是矩形；
2、对角线相等的平行四边形是矩形；
3、有三个角是直角的四边形是矩形。
§20.3 菱形的判定
一、菱形性质
1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2、性质：菱形具有平行四边形的所有性质。
（1）菱形的四条边都相等；
（2）菱形的对角线互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
（3）菱形既是轴对称图形又是中心对称图形；
（4）S菱形=底×高=
1
2对角线①×对角线②。
二、菱形的判定方法
A
B C
D
1、一组邻边相等的平行四边形是菱形；
2、四条边都相等的四边形是菱形；
3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
4、对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
§20.4 正方形的判定
一、正方形的性质
1、定义：
（1）有一个内角是直角、一组邻边相等的平行四边形叫做正方形；
（2）有一个内角是直角的菱形是正方形；
（3）有一组邻边相等的矩形是正方形。
2、性质：
（1）正方形具有平行四边、矩形和菱形的所有性质；（2）正方形既是轴对称图形又是中心对称图形；
（3）S正方形=边长2= 1
2×对角线
2。
二、正方形的判定方法。
用定义也可判定。
1、有一个角是直角的菱形是正方形；
2、有一组邻边相等的矩形是正方形；
3、对角线相等的菱形是正方形；
4、对角线互相垂直的矩形值正方形
§20.5 等腰梯形的判定
一、一般梯形
（一）梯形的有关概念
1、定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
2、底边和腰：平行的两条对边叫做梯形的底边；不平行的两条对边叫做梯形的腰。
3、底角：梯形的一腰和底边的夹角叫做梯形的底角。
（二）直角梯形
1、定义：有一个内角是直角的梯形叫做直角梯形。
2、直角腰是直角梯形的高。
二、等腰梯形
（一）定义与性质
1、定义：两腰学相等的梯形叫做等腰梯形。
2、性质：
（1）等腰梯形同一底上的两个底角相等；
（2）等腰梯形的两条对角线相等。
（3）等腰梯形是轴对称图形，只有一条对称
轴，即两底的垂直平分线是它的对称轴。
（二）等腰梯形的判定方法
1、两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
2、同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
3、两条对角线相等的梯形是等腰梯形。
三、解决梯形问题常用的辅助线
（基本思想：化梯形问题为“平行四边形”和
“三角形”问题来解决）
（作一腰的平行线）（作两条高）
四、注意事项：
（1）梯形中，若遇到有一个角的为60o
或120o，
则跟等边三角形加以联系；
（
2）梯形中，若遇到有一个角的为30o或150o，
则跟“30o的Rt△”加以联系；
（3）梯形中，若遇到有一个角的为45o或135o，
则跟“45o的Rt△”加以联系；
（4）解决梯形问题，一定要注意借助平行四边
形、矩形、菱形、正方形和特殊的三角形知识来解
决。
（延长
）
（作对角线的平
）。