材料力学(I)第九章 材料力学 孙训方
材料力学(全套课件470P)孙训方版
书中例题
长为b、内径d=200mm、壁厚δ=5mm的薄壁圆环， 承受p=2MPa的内压力作用，如图a所示。试求 圆环径向截面上的拉应力。
b
dP
P
dP
y
b
P FR d
mm d
nn
FN
FN
FR
0
(
pb
d 2
d
)
sin
pbd 2
0
sind
pbd
FN
FR 2
pbd 2
B
FNBC a
F
AB
FNAB AAB
28.3MPa
BC
FNBC ABC
4.8MPa
试求图示结构AB杆横截面上的正应力。已
例题 知F=30KN，A=400mm2
2.7
A
a
F FNAB
D
B
a
a
F 2a FN AB a 0
FNAB 2F
FNAB 150MPa
构 件 ——组成结构物和机械的单个组成部分
结 构 ——建筑物或构筑物中承受外部作用的骨架称为结构.
构件正常工作的条件： 足够的强度 足够的刚度 足够的稳定性
强度：构件抵抗破坏的能力
不因发生断裂 或塑性变形而失效
刚度：构件抵抗弹性变形的能力
不因发生过大的弹性变形而失效
稳定性：构件保持原有平衡形式的能力
A AL
在计算ΔL的L长度内，FN,E,A均 为常数。
在材料的线弹性范围内，正应力与线应变呈正比关系。
2、横向变形
材料力学课件-料力学_孙训方
y 2 dA
=
i
2 x
A
A
I y =
x2dA =
i
2 y
A
A
或
ix
Ix A
或
iy
Iy A
式中的ix、iy称为截面对X、Y轴的惯性半径，其单位与长度单位相同。
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附录
13
定义下列积分：
y
x
dA
xC
C
r
y yC
I p = r 2dA (x2 y2 )dA
A
A
为图形（整个截面）对坐标原点O的极惯性矩。
其中X轴平行于X1轴，Y轴平行于Y1轴。 X1=X+b Y1=Y+a
I x1 y12dA y2dA 2a ydA a2 dA
A
Ix
A
2aS x
a2 A
A
A
I y1 x12dA x2dA 2b xdA b2 dA
A
Iy
A
2bS y
yc1 y1
Y
解：
H/ 2
A
b(h 2
y1 )
C
H/ 2
X
yc1
y1
1(h 22
y1
)
1( 2
h 2
y1
)
b
Sx
A yc 1
b(h 2
y
1
)
1( 2
h 2
y1 )
b( h2 8
4 y12
)
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孙训方材料力学(I)第五版课后习题答案完整版
第二章 轴向拉伸和压缩2-1 试求图示各杆1-1和2-2横截面上的轴力，并作轴力图。
（a ）解：；； （b ）解：；；（c ）解： ； 。
(d) 解： 。
2-2 一打入地基内的木桩如图所示，沿杆轴单位长度的摩擦力为f=kx ²（k 为常数），试作木桩的轴力图。
解：由题意可得：⎰0lFdx=F,有1/3kl ³=F,k=3F/l ³F N （x 1）=⎰1x 3Fx ²/l ³dx=F(x 1 /l) ³2-3 石砌桥墩的墩身高l=10m ，其横截面面尺寸如图所示。
荷载F=1000KN ，材料的密度ρ=2.35×10³kg/m ³，试求墩身底部横截面上的压应力。
解：墩身底面的轴力为：g Al F G F N ρ--=+-=)( 2-3图 )(942.31048.935.210)114.323(10002kN -=⨯⨯⨯⨯+⨯--=墩身底面积：)(14.9)114.323(22m A =⨯+⨯=因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。
MPa kPa mkN A N 34.071.33914.9942.31042-≈-=-==σ2-4 图示一混合屋架结构的计算简图。
屋架的上弦用钢筋混凝土制成。
下面的拉杆和中间竖向撑杆用角钢构成，其截面均为两个75mm ×8mm 的等边角钢。
已知屋面承受集度为的竖直均布荷载。
试求拉杆AE 和EG 横截面上的应力。
解：=1） 求内力 取I-I 分离体得（拉）取节点E 为分离体，故（拉）2）求应力75×8等边角钢的面积A=11.5 cm2(拉)（拉）2-5图示拉杆承受轴向拉力，杆的横截面面积。
如以表示斜截面与横截面的夹角，试求当，30，45，60，90时各斜截面上的正应力和切应力，并用图表示其方向。
解：2-6 一木桩柱受力如图所示。
柱的横截面为边长200mm的正方形，材料可认为符合胡克定律，其弹性模量E=10 GPa。
材料力学孙训芳版解答第9章 压杆稳定
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材料力学-第五版-孙训方-课后习题答案1
第二章轴向拉伸和压缩2-12-22-32-42-52-62-72-82-9下页2-1试求图示各杆1-1和2-2横截面上的轴力,并作轴力图.〔a〕解：；；〔b〕解：；；〔c〕解：；. <d>解：.返回2-2试求图示等直杆横截面1-1,2-2和3-3上的轴力,并作轴力图.若横截面面积,试求各横截面上的应力.解：返回2-3试求图示阶梯状直杆横截面1-1,2-2和3-3上的轴力,并作轴力图.若横截面面积,,,并求各横截面上的应力.解：返回2-4 图示一混合屋架结构的计算简图.屋架的上弦用钢筋混凝土制成.下面的拉杆和中间竖向撑杆用角钢构成,其截面均为两个75mm×8mm的等边角钢.已知屋面承受集度为的竖直均布荷载.试求拉杆AE和EG横截面上的应力.解：=1〕求内力取I-I分离体得〔拉〕取节点E为分离体,故〔拉〕2〕求应力75×8等边角钢的面积A=11.5 cm2<拉>〔拉〕返回2-5<2-6>图示拉杆承受轴向拉力,杆的横截面面积.如以表示斜截面与横截面的夹角,试求当,30,45,60,90时各斜截面上的正应力和切应力,并用图表示其方向.解：返回2-6<2-8> 一木桩柱受力如图所示.柱的横截面为边长200mm的正方形,材料可认为符合胡克定律,其弹性模量E=10 GPa.如不计柱的自重,试求：〔1〕作轴力图；〔2〕各段柱横截面上的应力；〔3〕各段柱的纵向线应变；〔4〕柱的总变形.解：〔压〕〔压〕返回2-7<2-9>一根直径、长的圆截面杆, 承受轴向拉力,其伸长为.试求杆横截面上的应力与材料的弹性模量E.解：2-8<2-11>受轴向拉力F作用的箱形薄壁杆如图所示.已知该杆材料的弹性常数为E,,试求C与D两点间的距离改变量.解：横截面上的线应变相同因此返回2-9<2-12> 图示结构中,AB为水平放置的刚性杆,杆1,2,3材料相同,其弹性模量E=210GPa,已知,,,.试求C点的水平位移和铅垂位移.解：〔1〕受力图〔a〕,.〔2〕变形协调图〔b〕因,故=〔向下〕〔向下〕为保证,点A移至,由图中几何关系知；返回第三章扭转3-13-23-33-43-53-63-73-83-93-103-113-123-1一传动轴作匀速转动,转速,轴上装有五个轮子,主动轮Ⅱ输入的功率为60kW,从动轮,Ⅰ,Ⅲ,Ⅳ,Ⅴ依次输出18kW,12kW,22kW和8kW.试作轴的扭矩图.解：kNkNkNkN返回3-2<3-3>圆轴的直径,转速为.若该轴横截面上的最大切应力等于,试问所传递的功率为多大？解：故即又故返回3-3<3-5>实心圆轴的直径mm,长m,其两端所受外力偶矩,材料的切变模量.试求：〔1〕最大切应力与两端截面间的相对扭转角；〔2〕图示截面上A,B,C三点处切应力的数值与方向；〔3〕C点处的切应变.解：=返回3-4<3-6>图示一等直圆杆,已知,,,.试求：〔1〕最大切应力；〔2〕截面A相对于截面C的扭转角.解：〔1〕由已知得扭矩图〔a〕〔2〕返回3-5<3-12>长度相等的两根受扭圆轴,一为空心圆轴,一为实心圆轴,两者材料相同,受力情况也一样.实心轴直径为d；空心轴外径为D,内径为,且.试求当空心轴与实心轴的最大切应力均达到材料的许用切应力〕,扭矩T相等时的重量比和刚度比.解：重量比=因为即故故刚度比==返回3-6<3-15> 图示等直圆杆,已知外力偶矩,,许用切应力,许可单位长度扭转角,切变模量.试确定该轴的直径d.解：扭矩图如图〔a〕〔1〕考虑强度,最大扭矩在BC段,且〔1〕<2〕考虑变形〔2〕比较式〔1〕、〔2〕,取返回3-7<3-16> 阶梯形圆杆,AE段为空心,外径D=140mm,内径d=100mm；BC段为实心,直径d=100mm.外力偶矩,,.已知：,,.试校核该轴的强度和刚度.解：扭矩图如图〔a〕〔1〕强度=, BC段强度基本满足=故强度满足.〔2〕刚度BC段：BC段刚度基本满足.AE段：AE段刚度满足,显然EB段刚度也满足.返回3-8<3-17> 习题3-1中所示的轴,材料为钢,其许用切应力,切变模量,许可单位长度扭转角.试按强度与刚度条件选择圆轴的直径.解：由3-1题得：故选用.返回3-9<3-18> 一直径为d的实心圆杆如图,在承受扭转力偶矩后,测得圆杆表面与纵向线成方向上的线应变为.试导出以,d和表示的切变模量G的表达式.解：圆杆表面贴应变片处的切应力为圆杆扭转时处于纯剪切状态,图〔a〕.切应变〔1〕对角线方向线应变：〔2〕式〔2〕代入〔1〕：返回3-10<3-19>有一壁厚为25mm、内径为250mm的空心薄壁圆管,其长度为1m,作用在轴两端面内的外力偶矩为180.试确定管中的最大切应力,并求管内的应变能.已知材料的切变模量.解：3-11<3-21>簧杆直径mm的圆柱形密圈螺旋弹簧,受拉力作用,弹簧的平均直径为mm,材料的切变模量.试求：〔1〕簧杆内的最大切应力；〔2〕为使其伸长量等于6mm所需的弹簧有效圈数.解：,故因为故圈返回3-12<3-23>图示矩形截面钢杆承受一对外力偶矩.已知材料的切变模量,试求：〔1〕杆内最大切应力的大小、位置和方向；〔2〕横截面矩边中点处的切应力；〔3〕杆的单位长度扭转角.解：,,由表得MPa返回第四章弯曲应力4-14-24-34-44-54-64-74-84-94-10下页4-1<4-1>试求图示各梁中指定截面上的剪力和弯矩.解：〔a〕〔b〕〔c〕〔d〕=〔e〕〔f〕〔g〕〔h〕=返回4-2<4-2> 试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程,并作剪力图和弯矩图.解：〔a〕〔b〕时时〔c〕时时〔d〕〔e〕时,时,〔f〕AB段：BC段：〔g〕AB段内：BC段内：〔h〕AB段内：BC段内：CD段内：返回4-3<4-3>试利用荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系作下列各梁的剪力图和弯矩图.返回4-4<4-4>试作下列具有中间铰的梁的剪力图和弯矩图.返回4-5<4-6>已知简支梁的剪力图如图所示.试作梁的弯矩图和荷载图.已知梁上没有集中力偶作用.返回4-6<4-7> 试根据图示简支梁的弯矩图作出梁的剪力图与荷载图.返回4-7<4-15>试作图示刚架的剪力图、弯矩图和轴力图.返回4-8<4-18>圆弧形曲杆受力如图所示.已知曲杆轴线的半径为R,试写出任意横截面C上剪力、弯矩和轴力的表达式〔表示成角的函数〕,并作曲杆的剪力图、弯矩图和轴力图.解：〔a〕〔b〕返回4-9<4-19>图示吊车梁,吊车的每个轮子对梁的作用力都是F,试问：〔1〕吊车在什么位置时,梁内的弯矩最大？最大弯矩等于多少？〔2〕吊车在什么位置时,梁的支座反力最大？最大支反力和最大剪力各等于多少？解：梁的弯矩最大值发生在某一集中荷载作用处.,得：当时,当M极大时：,则,故,故为梁内发生最大弯矩的截面故：=返回4-10<4-21>长度为250mm、截面尺寸为的薄钢尺,由于两端外力偶的作用而弯成中心角为的圆弧.已知弹性模量.试求钢尺横截面上的最大正应力.解：由中性层的曲率公式与横截面上最大弯曲正应力公式得：由几何关系得：于是钢尺横截面上的最大正应力为：返回第五章梁弯曲时的位移5-15-25-35-45-55-65-75-85-1<5-13>试按迭加原理并利用附录IV求解习题5-4.解：〔向下〕〔向上〕〔逆〕〔逆〕返回5-2<5-14> 试按迭加原理并利用附录IV求解习题5-5.解：分析梁的结构形式,而引起BD段变形的外力则如图〔a〕所示,即弯矩与弯矩.由附录〔Ⅳ〕知,跨长l的简支梁的梁一端受一集中力偶M作用时,跨中点挠度为.用到此处再利用迭加原理得截面C的挠度〔向上〕返回5-3<5-15> 试按迭加原理并利用附录IV求解习题5-10.解：返回5-4<5-16> 试按迭加原理并利用附录IV求解习题5-7中的.解：原梁可分解成图5-16a和图5-16d迭加,而图5-16a又可分解成图5-16b和5-16c.由附录Ⅳ得返回5-5<5-18>试按迭加原理求图示梁中间铰C处的挠度,并描出梁挠曲线的大致形状.已知EI为常量.解：〔a〕由图5-18a-1〔b〕由图5-18b-1=返回5-6<5-19>试按迭加原理求图示平面折杆自由端截面C的铅垂位移和水平位移.已知杆各段的横截面面积均为A,弯曲刚度均为EI.解：返回5-7<5-25>松木桁条的横截面为圆形,跨长为4m,两端可视为简支,全跨上作用有集度为的均布荷载.已知松木的许用应力,弹性模量.桁条的许可相对挠度为.试求桁条横截面所需的直径.〔桁条可视为等直圆木梁计算,直径以跨中为准.〕解：均布荷载简支梁,其危险截面位于跨中点,最大弯矩为,根据强度条件有从满足强度条件,得梁的直径为对圆木直径的均布荷载,简支梁的最大挠度为而相对挠度为由梁的刚度条件有为满足梁的刚度条件,梁的直径有由上可见,为保证满足梁的强度条件和刚度条件,圆木直径需大于.返回5-8<5-26> 图示木梁的右端由钢拉杆支承.已知梁的横截面为边长等于0.20m的正方形,,；钢拉杆的横截面面积.试求拉杆的伸长与梁中点沿铅垂方向的位移.解：从木梁的静力平衡,易知钢拉杆受轴向拉力40于是拉杆的伸长为=木梁由于均布荷载产生的跨中挠度为梁中点的铅垂位移等于因拉杆伸长引起梁中点的刚性位移与中点挠度的和,即返回第六章简单超静定问题6-16-26-36-46-56-66-76-86-96-106-116-126-136-1试作图示等直杆的轴力图.解：取消A端的多余约束,以代之,则〔伸长〕,在外力作用下杆产生缩短变形.因为固定端不能移动,故变形协调条件为：故故返回6-2图示支架承受荷载各杆由同一材料制成,其横截面面积分别为,和.试求各杆的轴力.解：设想在荷载F作用下由于各杆的变形,节点A移至.此时各杆的变形与如图所示.现求它们之间的几何关系表达式以便建立求内力的补充方程.即：亦即：将,,代入,得：即：亦即：〔1〕此即补充方程.与上述变形对应的内力如图所示.根据节点A的平衡条件有：；亦即：〔2〕；,亦即：〔3〕联解〔1〕、〔2〕、〔3〕三式得：〔拉〕〔拉〕〔压〕返回6-3 一刚性板由四根支柱支撑,四根支柱的长度和截面都相同,如图所示.如果荷载F作用在A点,试求这四根支柱各受力多少.解：因为2,4两根支柱对称,所以,在F力作用下：变形协调条件：补充方程：求解上述三个方程得：返回6-4刚性杆AB的左端铰支,两根长度相等、横截面面积相同的钢杆CD和EF使该刚性杆处于水平位置,如图所示.如已知,两根钢杆的横截面面积,试求两杆的轴力和应力.解：,〔1〕又由变形几何关系得知：,〔2〕联解式〔1〕,〔2〕,得,故,返回6-5<6-7> 横截面为250mm×250mm的短木柱,用四根40mm×40mm×5mm的等边角钢加固,并承受压力F,如图所示.已知角钢的许用应力,弹性模量；木材的许用应力,弹性模量.试求短木柱的许可荷载.解：〔1〕木柱与角钢的轴力由盖板的静力平衡条件：〔1〕由木柱与角钢间的变形相容条件,有〔2〕由物理关系：〔3〕式〔3〕代入式〔2〕,得〔4〕解得：代入式〔1〕,得：〔2〕许可载荷由角钢强度条件由木柱强度条件：故许可载荷为：返回6-6<6-9>图示阶梯状杆,其上端固定,下端与支座距离.已知上、下两段杆的横截面面积分别为和,材料的弹性模量.试作图示荷载作用下杆的轴力图.解：变形协调条件故故,返回6-7<6-10>两端固定的阶梯状杆如图所示.已知AC段和BD段的横截面面积为A,CD段的横截面面积为2A；杆材料的弹性模量为,线膨胀系数℃-1.试求当温度升高℃后,该杆各部分产生的应力.解：设轴力为,总伸长为零,故==返回6-8<6-11>图示为一两端固定的阶梯状圆轴,在截面突变处承受外力偶矩.若,试求固定端的支反力偶矩,并作扭矩图.解：解除B端多余约束,则变形协调条件为即故：即：解得：由于故返回6-9<6-13>一空心圆管A套在实心圆杆B的一端,如图所示.两杆在同一横截面处各有一直径相同的贯穿孔,但两孔的中心线构成一个角.现在杆B上施加外力偶使杆B扭转,以使两孔对准,并穿过孔装上销钉.在装上销钉后卸除施加在杆B 上的外力偶.试问管A和杆B横截面上的扭矩为多大？已知管A和杆B的极惯性矩分别为；两杆的材料相同,其切变模量为G.解：解除Ⅱ端约束,则Ⅱ端相对于截面C转了角,〔因为事先将杆B的C端扭了一个角〕,故变形协调条件为=0故：故：故连接处截面C,相对于固定端Ⅱ的扭转角为：=而连接处截面C,相对于固定端I的扭转角为：=应变能==返回6-10<6-15>试求图示各超静定梁的支反力.解〔a〕：原梁AB是超静定的,当去掉多余的约束铰支座B时,得到可静定求解的基本系统〔图i〕去掉多余约束而代之以反力,并根据原来约束条件,令B点的挠度,则得到原超静定梁的相当系统〔图ii〕.利用的位移条件,得补充方程：由此得：由静力平衡,求得支反力,为：剪力图、弯矩图分别如图〔iii〕,〔iv〕所示.梁的挠曲线形状如图〔v〕所示.这里遵循这样几个原则：〔1〕固定端截面挠度,转角均为零；〔2〕铰支座处截面挠度为零；〔3〕正弯矩时,挠曲线下凹,负弯矩时,挠曲线上凸；〔4〕弯矩为零的截面,是挠曲线的拐点位置.〔b〕解：由相当系统〔图ii〕中的位移条件,得补充方程式：因此得支反力：根据静力平衡,求得支反力：,剪力图、弯矩图,挠曲线图分别如图〔iii〕、〔iv〕、〔v〕所示.〔c〕解：由于结构、荷载对称,因此得支反力；应用相当系统的位移条件,得补充方程式：注意到,于是得：=剪力图、弯矩图、挠曲线分别如图〔iii〕、〔iv〕、〔v〕所示.其中：若截面的弯矩为零,则有：整理：解得：或.返回6-11<6-16>荷载F作用在梁AB与CD的连接处,试求每根梁在连接处所受的力.已知其跨长比和刚度比分别为解：令梁在连接处受力为,则梁AB、CD受力如图〔b〕所示.梁AB 截面B的挠度为：梁CD 截面C的挠度为：由于在铅垂方向截面B与C连成一体,因此有.将有关式子代入得：变换成：即：解得每个梁在连接处受力：返回6-12<6-18>图示结构中梁AB和梁CD的尺寸与材料均相同,已知EI为常量.试绘出梁CD的剪力图和弯矩图.解：由EF为刚性杆得即图〔b〕：由对称性,剪力图如图〔c〕所示,弯矩图如图〔d〕所示,返回6-13<6-21>梁AB的两端均为固定端,当其左端转动了一个微小角度时,试确定梁的约束反力.解：当去掉梁的A端约束时,得一悬臂梁的基本系统〔图a〕.对去掉的约束代之以反力和,并限定A截面的位移：.这样得到原结构的相当系统〔图b〕.利用位移条件,,与附录〔Ⅳ〕得补充式方程如下：〔1〕〔2〕由式〔1〕、〔2〕联解,得：从静力平衡,进而求得反力是：返回第七章应力状态和强度理论7-17-27-37-47-57-67-77-87-97-107-117-127-137-1<7-3> 一拉杆由两段杆沿m-n面胶合而成.由于实用的原因,图中的角限于X围内.作为"假定计算〞,对胶合缝作强度计算时可以把其上的正应力和切应力分别与相应的许用应力比较.现设胶合缝的许用切应力为许用拉应力的3/4,且这一拉杆的强度由胶合缝的强度控制.为了使杆能承受最大的荷载F,试问角的值应取多大？解：按正应力强度条件求得的荷载以表示：按切应力强度条件求得的荷载以表示,则即：当时 ,,,时,,,时,,时,,由、随而变化的曲线图中得出,当时,杆件承受的荷载最大,.若按胶合缝的达到的同时,亦达到的条件计算则即：,则故此时杆件承受的荷载,并不是杆能承受的最大荷载.返回7-2<7-7>试用应力圆的几何关系求图示悬臂梁距离自由端为0.72m的截面上,在顶面以下40mm的一点处的最大与最小主应力,并求最大主应力与x轴之间的夹角.解：=由应力圆得返回7-3<7-8>各单元体面上的应力如图所示.试利用应力圆的几何关系求：〔1〕指定截面上的应力；〔2〕主应力的数值；〔3〕在单元体上绘出主平面的位置与主应力的方向.解：〔a〕,,,,〔b〕,,,,〔c〕,,,〔d〕,,,,,返回7-4<7-9> 各单元体如图所示.试利用应力圆的几何关系求：〔1〕主应力的数值；〔2〕在单元体上绘出主平面的位置与主应力的方向.解：〔a〕,,,〔b〕,,,〔c〕,,,〔d〕,,,返回7-5<7-10>已知平面应力状态下某点处的两个截面上的应力如图所示.试利用应力圆求该点处的主应力值和主平面方位,并求出两截面间的夹角值.解：由已知按比例作图中A,B两点,作AB的垂直平分线交轴于点C,以C为圆心,CA或CB为半径作圆,得〔或由得半径〕〔1〕主应力〔2〕主方向角〔3〕两截面间夹角：返回7-6<7-13> 在一块钢板上先画上直径的圆,然后在板上加上应力,如图所示.试问所画的圆将变成何种图形？并计算其尺寸.已知钢板的弹性常数E=206GPa,=0.28.解：所画的圆变成椭圆,其中〔长轴〕〔短轴〕返回7-7<7-15>单元体各面上的应力如图所示.试用应力圆的几何关系求主应力与最大切应力.解：〔a〕由xy平面内应力值作a,b点,连接ab交轴得圆心C〔50,0〕应力圆半径故〔b〕由xz平面内应力作a,b点,连接ab交轴于C点,OC=30,故应力圆半径则：〔c〕由图7-15〔c〕yz平面内应力值作a,b点,圆心为O,半径为50,作应力圆得返回7-8<7-18>边长为20mm的钢立方体置于钢模中,在顶面上受力F=14kN作用.已知=0.3,假设钢模的变形以与立方体与钢模之间的摩擦力可略去不计.试求立方体各个面上的正应力.解：〔压〕〔1〕〔2〕联解式〔1〕,〔2〕得〔压〕返回7-9<7-20> D=120mm,d=80mm的空心圆轴,两端承受一对扭转力偶矩,如图所示.在轴的中部表面A点处,测得与其母线成方向的线应变为.已知材料的弹性常数,,试求扭转力偶矩.解：方向如图返回7-10<7-22>一直径为25mm的实心钢球承受静水压力,压强为14MPa.设钢球的E=210GPa,=0.3.试问其体积减小多少？解：体积应变=返回7-11<7-23>已知图示单元体材料的弹性常数.试求该单元体的形状改变能密度.解：主应力：形状改变能密度：==返回7-12<7-25> 一简支钢板梁承受荷载如图a所示,其截面尺寸见图b.已知钢材的许用应力为.试校核梁内的最大正应力和最大切应力,并按第四强度理论校核危险截面上的点a的强度.注：通常在计算点a处的应力时近似地按点的位置计算.解：=〔1〕梁内最大正应力发生在跨中截面的上、下边缘超过的5.3%尚可.〔2〕梁内最大剪应力发生在支承截面的中性轴处〔3〕在集中力作用处偏外横截面上校核点a的强度超过的3.53%,在工程上是允许的.返回7-13<7-27> 受内压力作用的容器,其圆筒部分任意一点A〔图a〕处的应力状态如图b所示.当容器承受最大的内压力时,用应变计测得.已知钢材的弹性模量E=210GPa,泊松比=0.3,许用应力.试按第三强度理论校核A点的强度.解：,,根据第三强度理论：超过的7.64%,不能满足强度要求.返回第八章组合变形与连接部分的计算8-18-28-38-48-58-68-78-88-98-10下页8-1 14号工字钢悬臂梁受力情况如图所示.已知m,,,试求危险截面上的最大正应力.解：危险截面在固定端==返回8-2 受集度为的均布荷载作用的矩形截面简支梁,其荷载作用面与梁的纵向对称面间的夹角为,如图所示.已知该梁材料的弹性模量；梁的尺寸为m,mm,mm；许用应力；许可挠度.试校核梁的强度和刚度.解：=,强度安全,==刚度安全.返回8-3<8-5>图示一悬臂滑车架,杆AB为18号工字钢,其长度为m.试求当荷载作用在AB的中点D处时,杆内的最大正应力.设工字钢的自重可略去不计.解：18号工字钢,,AB杆系弯压组合变形.,,====返回8-4<8-6>砖砌烟囱高m,底截面m-m的外径m,内径m,自重kN,受的风力作用.试求：〔1〕烟囱底截面上的最大压应力；〔2〕若烟囱的基础埋深m,基础与填土自重按计算,土壤的许用压应力,圆形基础的直径D应为多大？注：计算风力时,可略去烟囱直径的变化,把它看作是等截面的.解：烟囱底截面上的最大压应力：==土壤上的最大压应力：即即解得：m返回8-5<8-8>试求图示杆内的最大正应力.力F与杆的轴线平行.解：,z为形心主轴.固定端为危险截面,其中：轴力,弯矩,=A点拉应力最大==B点压应力最大==因此返回8-6<8-9> 有一座高为1.2m、厚为0.3m的混凝土墙,浇筑于牢固的基础上,用作挡水用的小坝.试求：〔1〕当水位达到墙顶时墙底处的最大拉应力和最大压应力〔设混凝土的密度为〕；〔2〕如果要求混凝土中没有拉应力,试问最大许可水深h为多大？解：以单位宽度的水坝计算：水压：混凝土对墙底的压力为：墙坝的弯曲截面系数：墙坝的截面面积：墙底处的最大拉应力为：==当要求混凝土中没有拉应力时：即即m返回8-7<8-10>受拉构件形状如图,已知截面尺寸为40mm×5mm,承受轴向拉力.现拉杆开有切口,如不计应力集中影响,当材料的时,试确定切口的最大许可深度,并绘出切口截面的应力变化图.解：即整理得：解得：mm返回8-8<8-11> 一圆截面直杆受偏心拉力作用,偏心距mm,杆的直径为70mm,许用拉应力为120MPa.试求杆的许可偏心拉力值.解：圆截面面积圆截面的弯曲截面系数即：,返回8-9<8-15> 曲拐受力如图示,其圆杆部分的直径mm.试画出表示A点处应力状态的单元体,并求其主应力与最大切应力.解：A点所在的横截面上承受弯矩和扭矩作用,其值它们在点A分别产生拉应力和切应力,其应力状态如图8-15a,其中注：剪力在点A的切应力为零.返回8-10<8-16> 铁道路标圆信号板,装在外径mm的空心圆柱上,所受的最大风载,.试按第三强度理论选定空心柱的厚度.解：忽略风载对空心柱的分布压力,只计风载对信号板的压力,则信号板受风力空心柱固定端处为危险截面,其弯矩：扭矩：=mm返回第九章压杆稳定9-19-29-39-49-59-69-79-89-99-109-119-1<9-2>图示各杆材料和截面均相同,试问杆能承受的压力哪根最大,哪根最小〔图f所示杆在中间支承处不能转动〕？解：对于材料和截面相同的压杆,它们能承受的压力与成反比,此处,为与约束情况有关的长度系数.〔a〕=1×5=5m〔b〕=0.7×7=4.9m〔c〕=0.5×9=4.5m〔d〕=2×2=4m〔e〕=1×8=8m〔f〕=0.7×5=3.5m故图e所示杆最小,图f所示杆最大.返回9-2<9-5> 长5m的10号工字钢,在温度为时安装在两个固定支座之间,这时杆不受力.已知钢的线膨胀系数.试问当温度升高至多少度时,杆将丧失稳定？解：返回9-3<9-6> 两根直径为d的立柱,上、下端分别与强劲的顶、底块刚性连接,如图所示.试根据杆端的约束条件,分析在总压力F作用下,立柱可能产生的几种失稳形态下的挠曲线形状,分别写出对应的总压力F之临界值的算式〔按细长杆考虑〕,确定最小临界力的算式.解：在总压力F作用下,立柱微弯时可能有下列三种情况：〔a〕每根立柱作为两端固定的压杆分别失稳：〔b〕两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在自身平面内失稳失稳时整体在面内弯曲,则1,2两杆组成一组合截面.〔c〕两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在面外失稳故面外失稳时最小=.返回9-4<9-7>图示结构ABCD由三根直径均为d的圆截面钢杆组成,在点B铰支,而在点A和点C固定,D为铰接点,.若结构由于杆件在平面ABCD内弹性失稳而丧失承载能力,试确定作用于结点D处的荷载F的临界值.解：杆DB为两端铰支,杆DA与DC为一端铰支一端固定,选取.此结构为超静定结构,当杆DB失稳时结构仍能继续承载,直到杆AD与DC也失稳时整个结构才丧失承载能力,故返回9-5<9-9> 下端固定、上端铰支、长m的压杆,由两根10号槽钢焊接而成,如图所示,并符合钢结构设计规X中实腹式b类截面中心受压杆的要求.已知杆的材料为Q235钢,强度许用应力,试求压杆的许可荷载.解：m返回9-6<9-10>如果杆分别由下列材料制成：〔1〕比例极限,弹性模量的钢；〔2〕,,含镍3.5%的镍钢；〔3〕,的松木.试求可用欧拉公式计算临界力的压杆的最小柔度.解：〔1〕〔2〕〔3〕返回9-7<9-11>两端铰支、强度等级为TC13的木柱,截面为150mm×150mm的正方形,长度m,强度许用应力.试求木柱的许可荷载.解：由公式〔9-12a〕,返回9-8<9-13>一支柱由4根80mm×80mm×6mm的角钢组成〔如图〕,并符合钢结构设计规X中实腹式b类截面中心受压杆的要求.支柱的两端为铰支,柱长l=6m,压力为450.若材料为Q235钢,强度许用应力,试求支柱横截面边长a的尺寸.解：〔查表：,〕,查表得：m4=mm返回9-9<9-14> 某桁架的受压弦杆长4m,由缀板焊成一体,并符合钢结构设计规X中实腹式b类截面中心受压杆的要求,截面形式如图所示,材料为Q235钢,.若按两端铰支考虑,试求杆所能承受的许可压力.解：由型钢表查得角钢：得查表：故返回9-10<9-16>图示一简单托架,其撑杆AB为圆截面木杆,强度等级为TC15.若架上受集度为的均布荷载作用,AB两端为柱形铰,材料的强度许用应力,试求撑杆所需的直径d.解：取I-I以上部分为分离体,由,有。
材料力学课后习题答案(孙训方版)
材料力学课后习题答案（孙训方版）第一题题目一个长方形木框架，水平放置在水平地面上。
长框架的外尺寸为$30cm \\times 50cm$，它的截面尺寸为$3cm \\times 5cm$。
假设木框架的密度为0.8g/gg3。
求木框架的质量和总体积。
解答1.首先计算木框架的质量。
木框架的质量可以通过密度和体积来计算，即$质量 = 密度 \\times 体积$。
–密度：0.8g/gg3–体积：$30cm \\times 50cm \\times （3cm \\times 5cm）$2.接下来计算木框架的总体积。
木框架的总体积可以通过长方体的体积公式来计算，即$总体积 = 长 \\times 宽\\times 高$。
–长：30gg–宽：50gg–高：$3cm \\times 5cm$第二题题目一根长度为g的不可拉伸绳子的一端固定在墙上，另一端悬挂着一个长度为g的细杆。
绳子与杆之间的接触点到杆的一端的距离为g。
当绳子受到的拉力为g时，细杆的上升高度为多少？解答1.首先计算杆的上升高度。
当绳子受到拉力g时，杆会上升一定的高度。
杆的上升高度可以通过应变和材料的形变关系来计算，即$上升高度 = \\frac{F}{EA}$。
–F：绳子受到的拉力–E：材料的弹性模量–A：杆的截面积2.接下来计算杆的截面积。
杆的截面积可以通过杆的形状和尺寸计算，即$截面积 = \\pi r^2$。
–r：杆的半径–杆的形状为圆柱体，半径可以通过细杆的长度g和绳子与杆之间的距离g计算，即$r = \\sqrt{l^2 -a^2}$。
第三题题目一根长为g的不可拉伸绳子的一端固定，另一端挂着一个重物。
当重物受到的重力为g g时，绳子的张力为多少？解答1.首先计算绳子的张力。
绳子的张力可以通过平衡条件来计算，即g g=g g。
–F_t：绳子的张力–F_g：重物受到的重力第四题题目一根长为g的绳子悬挂在两个固定点之间，中间有一个重物。
当重物悬挂在中间位置时，绳子受到的张力为g。
《材料力学》孙训方 刘鸿文 讲义(笔记)-第九章 压杆稳定
第九章 压杆稳定§9-1 压杆稳定性的概念一、引言工程中有许多细长的轴向压缩杆件，例如，气缸或油缸中的活塞杆、内燃机连件、建筑结构中的立柱、火箭的级间连接支杆等。
材料力学中统称为压杆或柱。
前面研究直杆轴向压缩时，认为杆是在直线形态下维持平衡，杆的失效是由于强度不足而引起的。
事实上，这样考虑，只对短粗的压杆才有意义，而对细长的压杆，当它们所受到的轴向外力远未达到其发生强度失效时的数值，可能会突然变弯而丧失了原有直线形态下的平衡而引起失效。
它是不同于强度失效的又一种失效形式。
受压变弯的原因：（1）压秆在制造时其轴线存在初曲率。
（2）合外力作用线与杆轴线没有重合。
（3）材料的不均匀性。
二、“中心受压理想直杆”力学模型及稳定的概念力学模型：材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用 试验：取如图所示两端铰支均质等直细长杆，加轴向压力F ，压杆呈直线形态平衡。
现在，若此压杆受到一很小的横向干扰力。
(例如，轻轻地推一下)，则压杆弯曲，如图 a 中虚线所示。
当横向干扰力解除后，会出现下述两种情况：1) 当轴向压力F 小于某一数值时，压杆又恢复到原来的直线平衡形态，如图 b 所示。
（稳定平衡） 2) 当轴向压力F 增加到这一数值时，虽然干扰力已解除，但压杆不再恢复到原来的直线平衡形态，而在微弯曲的形态下平衡，如图 c 所示。
（不稳定平衡）可见，压杆的原来直线形态平衡是否稳定，与所受轴向压力F 的大小有关；当轴向压力F 由小逐渐增加到某一个数值时，压杆的直线形态平衡由稳定过渡到不稳定。
压杆的直线形态平衡由稳定过渡到不稳定所受的轴向压力的界限值，称为压杆的临界力，用F cr 表示。
当压杆所受的轴向压力F 达到临界力F cr 时，其直线形态的平衡开始丧失，我们称压杆丧失了稳定性，简称失稳。
研究压杆稳定性的关键是寻求其临界力的值。
§9-2细长中心受压直杆临界力的欧拉公式假设两端球形铰支的等直细长压杆所受的轴向压力刚好等于其临界力，并且已经失稳而在微弯曲状态下保持平衡，如图所示。
孙训方材料力学第五版1课后习题答案解析
第二章轴向拉伸和压缩2-12-22-32-42-52-62-72-82-9下页2-1 试求图示各杆1-1和2-2横截面上的轴力，并作轴力图。
（a）解：；；（b）解：；；（c）解：；。
(d) 解：。
返回2-2 试求图示等直杆横截面1-1，2-2和3-3上的轴力，并作轴力图。
若横截面面积，试求各横截面上的应力。
解：返回2-3试求图示阶梯状直杆横截面1-1，2-2和3-3上的轴力，并作轴力图。
若横截面面积，，，并求各横截面上的应力。
解：返回2-4 图示一混合屋架结构的计算简图。
屋架的上弦用钢筋混凝土制成。
下面的拉杆和中间竖向撑杆用角钢构成，其截面均为两个75mm×8mm的等边角钢。
已知屋面承受集度为的竖直均布荷载。
试求拉杆AE和EG横截面上的应力。
解：=1）求内力取I-I分离体得（拉）取节点E为分离体，故（拉）2）求应力75×8等边角钢的面积A=11.5 cm2(拉)（拉）2-5(2-6) 图示拉杆承受轴向拉力，杆的横截面面积。
如以表示斜截面与横截面的夹角，试求当，30，45，60，90时各斜截面上的正应力和切应力，并用图表示其方向。
解：2-6(2-8) 一木桩柱受力如图所示。
柱的横截面为边长200mm的正方形，材料可认为符合胡克定律，其弹性模量E=10 GPa。
如不计柱的自重，试求：（1）作轴力图；（2）各段柱横截面上的应力；（3）各段柱的纵向线应变；（4）柱的总变形。
解：（压）（压）返回2-7(2-9) 一根直径、长的圆截面杆，承受轴向拉力，其伸长为。
试求杆横截面上的应力与材料的弹性模量E。
解：2-8(2-11) 受轴向拉力F作用的箱形薄壁杆如图所示。
已知该杆材料的弹性常数为E，，试求C与D两点间的距离改变量。
解：横截面上的线应变相同因此返回2-9(2-12) 图示结构中，AB为水平放置的刚性杆，杆1，2，3材料相同，其弹性模量E=210GPa，已知，，，。
试求C点的水平位移和铅垂位移。
材料力学孙训方思考题 -回复
材料力学培训考试
一、选择题
1.以下关于轴力的说法中，哪一个是错误的（）[单选题]*
A、拉压杆的内力只有轴力*
B、轴力的作用下与杆轴重合
C、轴力是沿轴作用的外力
D、轴力与杆的横截面和材料无关
2.下列说法不正确的是（）[单选题]*
A、低碳钢在拉伸过程中经历弹性阶段、屈服阶段、强化阶段和局部缩颈阶段
B、铝合金没有屈服点*
C、塑性材料拉伸与压缩在屈服阶段以前完全相同
D、脆性材料的抗拉与抗压性质不完全相同，压缩时的强度极限远大于拉伸时的强度极限
3.一截面为实心圆的杆在轴向力的作用下，如果其截面直径增加一倍，则（）[单选题]*
A、强度和刚度分别是原来的4倍*
B、强度是原来的2倍、刚度是原来的4倍
C、刚度是原来的4倍、强度是原来的2倍
D、强度和刚度分别是原来的2倍
4.以下关于提高弯曲强度的措施，不正确的有（）[单选题]*
A、合理安排支座
B、合理布置载荷
C、合理设计截面
D、将空心轴改成截面面积相同的实心轴*
5.以下关于提高弯曲刚度的措施，不正确的有（）[单选题]*
A、选择合理的截面形状
B、采用超静定结构
C、改善结构形式，减少弯矩数值
D、将空心轴改成截面面积相同的实心轴*
6.材料在拉伸过程中，如果未超过材料的抗拉强度，则在卸载后，材料可恢复到原先的长度。
对
错*
7.一截面为矩形的梁，若在某点处的切应力为0，则该点的弯矩也为零。
对
错*
8.材料中的气孔、疏松等缺陷对力学性能没有影响。
对
错*
9.材料的许用应力就是保证构件安全工作的最大工作应力。
对*
错。
材料力学(孙训方课件)
2
L
(0.7 0.5)
2
40 .3kN
8 4 图（b） I min I z 3.89 10 m
图（a）
图（b）
Pcr
2 500 113 .6 p i 8.8 2 I min E 2 38.9 200
( 2l )
Pcr 2
2 EI
(0.5 L) 2
2
2E
d 4
64 2
0.5 L
3 Ed 4
8 L2
（2）下端固定，上端自由，y为中性轴 （左右失稳） d 4 d 2 a 2 2E 2 2 4 2 EI y 64 Pcr 2 L2 2 L2
Pcr
128L （3）下端固定，上端自由， z为中性轴 （前后失稳） d 4 2E 2 2 EI z 3 Ed 4 64 Pcr 2 2 128L2 2 L 2 L
比较可知，（3）中为最小的临界载荷
3 Ed 2
2
d
2
4a 2
(2)
Pcr
(3)
例 12-2-4 铰接桁架，两杆均为抗弯刚度为EI的细长杆。 (1)若a=1.2m，b=0.9m，确定水平力的最大值 ； (2)保持斜杆BC的长度不变。确定充分发挥两杆承载能力的a角。 A 1.6m 解：(1)：平衡分析 N AB 临界力 B
P 的杆为中小柔度杆，其 临界力不能用欧拉公式 求。
二、中小柔度杆的临界应力计算 1、直线型经验公式 ①、p<<s 时：
cr a b
cr a b s
s a
材料力学孙训方
材料力学孙训方
材料力学是材料科学与工程的重要基础学科，它研究材料的力学性能和行为规律。
孙训方教授是我国在材料力学领域的知名专家，他在这一领域有着丰富的研究经验和深厚的理论功底。
本文将从材料力学的基本概念、研究对象、研究方法以及未来发展趋势等方面对孙训方教授的学术贡献进行介绍。
首先，材料力学是研究材料的内部结构和外部受力情况之间的相互作用关系。
它主要包括静力学、动力学和弹性力学等内容，通过对材料的力学行为进行分析和研究，可以揭示材料的力学性能，为材料的设计、制备和应用提供理论指导。
其次，孙训方教授在材料力学领域的研究对象主要集中在金属材料、复合材料和高分子材料等方面。
他通过对这些材料的微观结构和宏观性能进行深入研究，揭示了材料的力学行为规律，为材料的性能优化和应用提供了重要的理论支撑。
此外，孙训方教授在材料力学研究中采用了多种研究方法，包括理论分析、数值模拟和实验测试等手段。
他不仅在理论研究方面取得了丰硕成果，还在材料试验和数值模拟方面开展了大量工作，为材料力学的研究方法提供了新的思路和途径。
最后，随着科学技术的不断发展，材料力学领域也在不断拓展和深化。
未来，孙训方教授将继续致力于材料力学的研究，推动材料力学理论的创新和应用技术的发展，为我国材料科学与工程事业的发展做出新的贡献。
综上所述，孙训方教授在材料力学领域的学术贡献是不可忽视的，他的研究成果为材料科学与工程的发展做出了重要贡献。
相信在他的领导下，材料力学领域的研究将会取得更加显著的成就，为我国材料科学与工程的发展注入新的活力。
工程力学孙讯方
§3-4 等直圆杆扭转时的应力 • 强度条件 I、 横截面上的应力 从三个方面考虑：几何方面、 物理方面及静力学方面﹗ A、几何方面 预先在圆杆的表面画上等间距 的纵向线和圆周线，从而形成 一系列的正方格子 ； 在两端施加力偶观察现象 。 试验结果： 等直圆杆扭转变形后，两圆周 线绕杆件的轴线相对旋转了一个 角度， 两圆周线的形状和大小均未改变; 在变形微小的情况下，纵向线 则倾斜了一个角度 。 平面假设：假设横截面象刚性 平面一样地绕杆的轴线转动。
知识回顾
1、材料力学的四种基本变形 拉压、剪切、扭转、弯曲 本次课程讲扭转
2、拉压的强度条件
FN A
3、拉压变形－胡克定律
FN l l EA
E
本章重点、难点
⒈重点
圆轴扭转横截面上切应力计算公式。 圆轴扭转变形的计算。 扭转变形构件的强度与刚度条件。
⒉难点
圆轴扭转变形的计算。 扭转变形构件的强度与刚度条件。
工 程 实 例
对称扳手拧紧螺帽
M
A
传动轴 汽车传动轴
l
B
钻 机 中 的 钻 杆
易拉罐扭转
工程实例
水轮机主轴
减速箱中的轴
薄壁圆筒扭转时其任一横截面 上的内力是一作用在该横截面上 的力偶，该内力偶称作扭矩 T。由内力与应力的关系可知，横 截面上的应力只能是切应力。 薄壁圆筒扭转试验 预先在圆筒的表面画上等间 距的纵向线和圆周线，从而 形成一系列的正方格子。 观察到的现象 圆周线保持不变；纵向线发生倾斜 设想 薄壁圆筒扭转后，横截面保持为形状，大小均无改变的平面， 相邻两横截面绕圆筒轴线发生相对转动。
O
G
D
D
'
O
G
孙训方材料力学习题答案
第二章 轴向拉伸和压缩2-1 试求图示各杆1-1和2-2横截面上的轴力，并作轴力图。
（a ）解：；； （b ）解：；；（c ）解： ； 。
(d) 解： 。
[习题2-3] 石砌桥墩的墩身高m l 10=，其横截面面尺寸如图所示。
荷载kN F 1000=，材料的密度3/35.2m kg =ρ，试求墩身底部横截面上的压应力。
解：墩身底面的轴力为：g Al F G F N ρ--=+-=)( 2-3图)(942.31048.935.210)114.323(10002kN -=⨯⨯⨯⨯+⨯--=墩身底面积：)(14.9)114.323(22m A =⨯+⨯=因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。
MPa kPa m kN A N 34.071.33914.9942.31042-≈-=-==σ2-4 图示一混合屋架结构的计算简图。
屋架的上弦用钢筋混凝土制成。
下面的拉杆和中间竖向撑杆用角钢构成，其截面均为两个75mm ×8mm 的等边角钢。
已知屋面承受集度为的竖直均布荷载。
试求拉杆AE 和EG 横截面上的应力。
解：=1） 求内力 取I-I 分离体得（拉）取节点E 为分离体，故（拉）2） 求应力75×8等边角钢的面积A=11.5 cm2(拉)（拉）2-5图示拉杆承受轴向拉力，杆的横截面面积。
如以表示斜截面与横截面的夹角，试求当，30，45，60，90时各斜截面上的正应力和切应力，并用图表示其方向。
解：2-6 一木桩柱受力如图所示。
柱的横截面为边长200mm的正方形，材料可认为符合胡克定律，其弹性模量E=10 GPa。
如不计柱的自重，试求：（1）作轴力图；（2）各段柱横截面上的应力；（3）各段柱的纵向线应变；（4）柱的总变形。
解：（压）（压）[习题2-7] 图示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。
解：取长度为dx 截离体（微元体）。
则微元体的伸长量为：)()(x EA Fdx l d =∆ ，⎰⎰==∆l l x A dxE F dx x EA F l 00)()(l xr r r r =--121，22112112d x l d d r x l r r r +-=+⋅-=，2211222)(u d x ld d x A ⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=ππ，dx l d d du d x l d d d 2)22(12112-==+- du d d l dx 122-=，)()(22)(221212udud d l du u d d lx A dx -⋅-=⋅-=ππ因此，)()(2)()(202100udud d E Fl x A dx E F dx x EA F l l l l⎰⎰⎰--===∆π lld x l d d d d E Fl u d d E Fl 011221021221)(21)(2⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ππ ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+--=21221)(2111221d d l l d d d d E Fl π 2-10 受轴向拉力F 作用的箱形薄壁杆如图所示。
材料力学(孙训方版全套课件)
§3 可变形固体的性质及基本假设
一、连续性假设
内容：认为物体在其整个体积内毫无空隙地充满了物质，其 结构是密实的。 无空隙
二、均匀性假设
内容：认为物体内任一点处取出的体积单元,其力学性质（主 要是弹性性质）都是一样的。
有利于建立数学模型
单元体的力学性质能代表整个物体 的力学性能。
三、材料的各向同性假设
F
1 3F
2 2F
4KN
2KN
A 1B
2C
F
4KN
2F
2KN
5KN
例题 2.3
F F
2F
2F
2F
例题 2.4
图示砖柱，高h=3.5m，横截面面积 A=370×370mm2，砖砌体的容重γ=18KN/m 柱顶受有轴向压力F=50KN，试做此砖柱的轴力 图。
50
G Ay
F
F
y
n
n
FNy
F Ay FNy 0
从内力集度最大处开始。)
F1
F2
应力就是单位面积
上的内力?
F3 Fn
F1
ΔFQy
ΔFQz ΔA
F2
DF dF p lim
DA0 DA dA
lim DFN dFN
DA DA0 dA
lim DFQ dFQ
DA DA0 dA
垂直于截面
DF
的应力称为
“ 正应力”
ΔFN
C
A
例题
2.8
计算图示结构BC和CD杆横截面上的正应力值。
已知CD杆为φ28的圆钢，BC杆为φ22的圆钢。
D
E A 1m
以AB杆为研究对像
孙训方材料力学
孙训方材料力学
孙训方是我国著名力学家，他是以材料力学为研究方向的材料科学家。
在他的多年研究生涯中，他在材料力学领域取得了很多重要的研究成果，并对我国的材料科学发展作出了巨大贡献。
孙训方教授的研究兴趣主要集中在纳米材料力学、复合材料力学和先进材料力学等方面。
在纳米材料力学方面，他主要研究纳米材料的力学性能和力学行为，以及纳米材料的尺寸效应和形状效应对其力学性能的影响。
他通过运用分子动力学模拟方法和实验手段，深入研究了纳米材料的力学性能，并提出了一些重要的理论和方法，对纳米材料在材料科学和纳米技术领域的应用具有重要意义。
在复合材料力学方面，孙训方教授主要研究复合材料的力学行为和失效机理。
他通过理论和实验相结合的研究方法，深入研究了复合材料的结构、界面和微观缺陷对其力学性能的影响，提出了一些重要的复合材料力学模型和方法，对复合材料的设计和应用起到了积极的推动作用。
此外，孙训方教授还对先进材料的力学性能和力学行为进行了深入研究。
他通过实验手段和数值模拟方法，研究了先进材料的力学性能和失效机理，并提出了一些关于先进材料的力学性能评价和设计的理论和方法，对先进材料的应用具有重要的意义。
总的来说，孙训方教授在材料力学领域的研究成果丰硕，他的研究工作不仅推动了我国材料科学的发展，还对纳米材料、复
合材料和先进材料的设计和应用具有重要的启示作用。
他的工作在国际上也具有重要的影响力，并为学界和工业界提供了重要的理论和方法参考。
希望他能继续致力于材料力学研究，为我国材料科学的发展作出更大的贡献。
材料力学 孙训方 习题答案
[习题2-2]一打入基地内的木桩如图所示，杆轴单位长度的摩擦力f=kx**2，试做木桩的后力图。
解：由题意可得：33233110,,3/()3/(/)ll N fdx F kl F k F l F x Fx l dx F x l =====⎰⎰1有3[习题2-3] 石砌桥墩的墩身高m l 10=，其横截面面尺寸如图所示。
荷载kN F 1000=，材料的密度3/35.2m kg =ρ，试求墩身底部横截面上的压应力。
解：墩身底面的轴力为：g Al F G F N ρ--=+-=)( 2-3图 )(942.31048.935.210)114.323(10002kN -=⨯⨯⨯⨯+⨯--=墩身底面积：)(14.9)114.323(22m A =⨯+⨯=因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。
MPa kPa m kNA N 34.071.33914.9942.31042-≈-=-==σ[习题2-7] 图示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。
2-7图解：取长度为dx 截离体（微元体）。
则微元体的伸长量为：)()(x EA Fdx l d =∆ ，⎰⎰==∆l l x A dxE F dx x EA F l 00)()(lxr r r r =--121，22112112d x l d d r x l r r r +-=+⋅-=， 2211222)(u d x ld d x A ⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=ππ，dx l d d du d x l d d d 2)22(12112-==+- du d d l dx 122-=，)()(22)(221212udud d l du u d d lx A dx -⋅-=⋅-=ππ因此，)()(2)()(202100u dud d E Fl x A dx E F dx x EA F l l l l⎰⎰⎰--===∆π lld x l d d d d E Fl u d d E Fl 011221021221)(21)(2⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ππ ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+--=21221)(2111221d d l l d d d d E Fl π ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=122122)(2d d d d E Fl π214d Ed Fl π=[习题2-10] 受轴向拉力F 作用的箱形薄壁杆如图所示。
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材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第九章 压杆稳定
解：根据该压杆失稳后符合杆端约束条件的挠曲线的 大致形状可知，任意x横截面上的弯矩为 M ( x ) = Fcr (δ − w) 杆的挠曲线近似微分方程则为 EIw′′ = Fcr (δ − w) 这里，等号右边取正号是因为对应于正值的(δ -w)， d d y w′′ = 亦为正。将上式改写为 dxdx
(b)
பைடு நூலகம்
从而亦知杆的下端有向左的水平约束力Fy 。
在推导临界力公式时这是很重要的一步，如果在这一步中 发生错误，那么得到的结果将必定是错误的。
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材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
研究压杆的稳定性问题，关键是什么呢？ 研究压杆的稳定性问题，关键是什么呢？ 是什么呢
（1）平衡形式
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材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
（2）弹性压杆的稳定性 ）
压杆平衡 状态
11
F < Fcr —稳定平衡状态 稳定平衡状态 F = Fcr —临界平衡状态 临界平衡状态 F > Fcr —不稳定平衡状态 不稳定平衡状态
前已求得B=0，且取kl＝π，以此代入式(c)得
π w = A sin x l 注意到当x= l /2 时 w=δ，故有 A=δ。从而知，对应于kl＝π，
亦即对应于Fcr=π2EI/l 2，挠曲线方程为
w = δ sin
πx l
可见此时的挠曲线为半波正弦曲线。
22
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
F F ′′ + cr w = cr δ w EI EI
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材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第九章 压杆稳定
Fcr 并令 k = 有 EI
2
w′′ + k 2 w = k 2δ
此微分方程的通解为
w = A sin kx + B cos kx + δ
从而亦有
第九章 压杆稳定
至此仍未得到可以确定隐含Fcr的未知量k的条件。为此，利 用 x = l 时 w = δ 这一关系，从而得出
δ = δ (1− cos kl )
亦即
δ coskl = 0
从式(a)可知δ不可能等于零，否则w将恒等于零，故上式中 只能coskl = 0。满足此条件的kl的最小值为kl = π/2，亦即
第九章 压杆稳定
§9-1 压杆稳定性的概念 实际的受压杆件 实际的受压杆件由于: 1. 其轴线并非理想的直线而存在初弯曲， 2. 作用于杆上的轴向压力有“偶然”偏心， 3. 材料性质并非绝对均匀， 因此在轴向压力作用下会发生弯曲变形，且由此引起的侧 向位移随轴向压力的增大而更快地增大。
4
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第九章 压杆稳定
§9-1 压杆稳定性的概念 §9-2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式 §9-3 不同杆端约束下细长压杆临界力的 欧拉公式·压杆的长度因数 欧拉公式 压杆的长度因数 §9-4 欧拉公式的应用范围 临界应力总图 - 欧拉公式的应用范围·临界应力总图 §9-5 实际压杆的稳定因数 §9-6 压杆的稳定计算 压杆的合理截面 - 压杆的稳定计算·压杆的合理截面
第九章 压杆稳定
思考： 思考： 在上述推导中若取kl＝2π，试问相应的临界力是 取kl＝π时的多少倍？该临界力所对应的挠曲线方程和挠曲线 形状又是怎样的？
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第九章 压杆稳定
§9-3 不同杆端约束下细长压杆临界力的 欧拉公式·压杆的长度因数 欧拉公式 压杆的长度因数
关键 确定压杆的临界力 cr 临界力F 临界力
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第九章 压杆稳定
从另一个角度来看，此处中心受压杆的临界力又可理解 为：杆能保持微弯状态时的轴向压力。 显然，理想中心压杆是有偶然偏心等因素的实际压杆的 一种抽象。
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材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第九章 压杆稳定
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材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
实例1：加拿大魁北克大桥
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材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
实例2：脚手架失稳
压杆稳定性问题尤为重要！ 压杆稳定性问题尤为重要！
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第九章 压杆稳定
§9-2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
本节以两端球形铰支(简称两端铰支) 的细长中心受压杆件(图a)为例，按照对 于理想中心压杆来说临界力就是杆能保 持微弯状态时的轴向压力这一概念，来 导出求临界力的欧拉(L.Euler)公式。
(a)
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此可知，欲使(c)成立，则必须sinkl=0
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第九章 压杆稳定
满足此条件的kl为
kl = 0，π , 2π ， L L
或即
Fcr l = 0，π ， 2π ， L L EI
Fcr l = 0意味着临界力Fcr ＝0，也就是杆根本未受 由于 EI 轴向压力，所以这不是真实情况。在kl≠0的解中，最小解 kl
1
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
§9-1 压杆稳定性的概念 问题的提出
长压 杆实验 结果 为什么 远远小 于理论 计算值 呢？
2
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
这种形式的失效，并非强度不足，而是稳定性不足！！！ 这种形式的失效，并非强度不足，而是稳定性不足！！！
稳定性问题
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材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
现在通过二个例题来推导另一些杆端约束条件下求细长 中心压杆临界力的欧拉公式。
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材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第九章 压杆稳定
例题9例题 -1 试推导下端固定、 上端自由的等直细长中心压杆临 界力的欧拉公式，并求压杆相应 的挠曲线方程。图中xy平面为杆 的弯曲刚度最小的平面，亦即杆 最容易发生弯曲的平面。
第九章 压杆稳定
需要指出的是，尽管上面得到了A=δ，但因 为杆在任意微弯状态下保持平衡时δ为不确 定的值，故不能说未知量A已确定。 事实上，在推导任何杆端约束情况的细长中 心压杆欧拉临界力时，挠曲线近似微分方程 的通解中，凡与杆的弯曲程度相关的未知量 总是不确定的。
(a)
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材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
πx w = δ 1 − cos 2l
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材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第九章 压杆稳定
例题9-2 试推导下端固定、 例题 上端铰支的等直细长中心压杆临 界力的欧拉公式，并求该压杆相 应的挠曲线方程。图(a)中的xy平 面为杆的最小弯曲刚度平面。
(a)
31
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
＝π 相应于最小的临界力，这是工程上最关心的临界力。 由kl＝π有
Fcr l=π EI
21
亦即
Fcr 2 l = π2 EI
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第九章 压杆稳定
从而得到求两端铰支细长中心压杆临界力的欧拉公式：
π 2 EI Fcr = 2 l 此时杆的挠曲线方程可如下导出。 w = A sin kx + B cos kx
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材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第九章 压杆稳定
w = A sin kx + B cos kx
(c)
将边界条件x=0，w=0代入式(c)得 B=0。于是根据(c)式并利用边界条件 x=l，w=0得到
A sin kl = 0
注意到已有B=0，故上式中的A不可能等于 零，否则(c)式将成为w≡ 0而压杆不能保持 微弯状态，也就是杆并未达到临界状态。由
6
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第九章 压杆稳定
按照这一思路求得的细长压杆在不同偏心距 e 时偏心压力 F 与最大侧向位移δ 的关系曲线如图b所示。
(b)
由图可见虽然偶然偏心的程度不同 (e3>e2>e1)，但该细 长压杆丧失承载能力时偏心压力Fcr却相同。其它杆端约束情 况下细长压杆的F－δ 关系曲线其特点与图b相同。
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材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第九章 压杆稳定
抽象的细长中心受压直杆 由图b可知，当偶然偏心的偏心距e→0时，细长压杆的 F-δ 关系曲线就逼近折线OAB，而如果把细长压杆抽象为无 初弯曲，轴向压力无偏心，材料绝对均匀的理想中心压杆， 则它的F-δ 关系曲线将是折线OAB。
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材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
π Fcr l= 2 EI 从而得到求此压杆临界力的欧拉公式：
π 2 EI π 2 EI Fcr = = 2 4l (2l )2
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(b)
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第九章 压杆稳定
以 kl = π/2 亦即 k = π/(2l)代入式(a) 便得到此压杆对应于式(b)所示临界力的 挠曲线方程：
细长中心受压直杆失稳现象
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材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第九章 压杆稳定
压杆的截面形式及支端约束 压杆的临界力既然与弯曲变形有关，因此压杆横截面的 弯曲刚度应尽可能大； 图a为钢桁架桥上弦杆(压杆)的横截面， 图b为厂房建筑中钢柱的横截面。在可能条件下还要尽量改 b 善压杆的杆端约束条件，例如限制甚至阻止杆端转动。
w′ = Ak cos kx − Bk sin kx
Fcr 不 EI 会等于零，故知A＝0，从而有w＝Bcoskx+δ。再利用边界
根据边界条件x=0，w ′=0得Ak=0；注意到 k =
条件x=0，w=0得B=-δ。于是此压杆的挠曲线方程成为
w = δ (1 − cos kx )
28
(a)