2013年福建省普通高中毕业班质量检查(文科数学)
2013年福建省高考数学试卷(文科)答案与解析
2013年福建省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.2．（5分）（2013•福建）设点P（x，y），则“x=2且y=﹣1”是“点P在直线l：x+y﹣1=0上”22B所以所求的距离为=2B6．（5分）（2013•福建）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值和最小解：满足约束条件x y，，即8．（5分）（2013•福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n后，输出的S∈（10，20），那么n的值为（）9．（5分）（2013•福建）将函数f（x）=sin（2x+θ）（）的图象向右平移φ（φ＞1）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（），则φ的值可以是（）B，解：函数，，﹣﹣，所以+，．10．（5分）（2013•福建）在四边形ABCD中，=（1，2），=（﹣4，2），则该四边形B中，，的对角线互相垂直，又该四边形的面积：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为=x+中的前两组数据（1，0）和（2，2）求＞b′，＞a′B＞b′，＜a′＜b′，＞a′＜b′，＜a′，，进而可得，和，进而可得，再由直线方程的求法可得==，=，×××==，=﹣×==2比较可得，12．（5分）（2013•福建）设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，二、填空题：本大题共4小题，每小题4分.13．（4分）（2013•福建）已知函数f（x）=，则f（f（））=﹣2．（）的值，然后求解解：因为）=14．（4分）（2013•福建）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为．＞=故答案为：．15．（4分）（2013•福建）椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于．可知斜率为可得进而与斜率有关系，，则，解得故答案为16．（4分）（2013•福建）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f （x）满足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合“保序同构”，现给出以下3对集合：①A=N，B=N*；②A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|﹣8≤x≤10}；③A={x|0＜x＜1}，B=R．其中，“保序同构”的集合对的序号是①②③．（写出“保序同构”的集合对的序号）．中的两个集合，可取函数三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2013•福建）已知等差数列{a n}的公差d=1，前n项和为S n．（Ⅰ）若1，a1，a3成等比数列，求a1；（Ⅱ）若S5＞a1a9，求a1的取值范围．18．（12分）（2013•福建）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC=5，DC=3，AD=4，∠PAD=60°．（Ⅰ）当正视方向与向量的方向相同时，画出四棱锥P﹣ABCD的正视图（要求标出尺寸，并写出演算过程）；（Ⅱ）若M为PA的中点，求证：DM∥平面PBC；（Ⅲ）求三棱锥D﹣PBC的体积．=PD==4平行且等于平行且等于S（[﹣]=8．19．（12分）（2013•福建）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方（Ⅰ）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；（Ⅱ）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：（注：此公式也可以写成k2=）×=60×名工人所有可能的结果共工人的结果共故所求的概率为：；=20．（12分）（2013•福建）如图，抛物线E：y2=4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A．点C在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N．（Ⅰ）若点C的纵坐标为2，求|MN|；（Ⅱ）若|AF|2=|AM|•|AN|，求圆C的半径．（|OC|=|MN|=2（﹣+y y+1+=4，．的半径为21．（12分）（2013•福建）如图，在等腰直角△OPQ中，∠POQ=90°，OP=2，点M在线段PQ上，（Ⅰ）若OM=，求PM的长；（Ⅱ）若点N在线段MQ上，且∠MON=30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．OM=OP=2OM=OP=2由正弦定理可得：OM=ON==的面积最小，面积的最小值22．（14分）（2013•福建）已知函数f（x）=x﹣1+（a∈R，e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值；（Ⅲ）当a=1时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．，则直线1+﹣=01+x+（。
2013年福建省福州市高中毕业班数学质量检查试卷参考答案及评分标准(文科)网页版_高三试卷
2013年福建省福州市高中毕业班数学质量检查试卷参考答案及评分标准（文科）网页版_高
三试卷
2013年福州市高中毕业班质量检查
数学（文科）试卷参考答案及评分标准
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，共60分．
1.B
2.B
3.C
4.C
5.A
6.C
7.B
8.B
9.A 10.D 11.A 12.C
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，共16分．
13.1 14. 7 15. ②、③、④ 16.
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，考查函数与方程思想,满分12分.
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2013年福建高考数学文科试卷带详解
2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学试题（文史类）第I 卷（选择题 共60分）一．选择题1．复数12i z =--（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【测量目标】复平面．【考查方式】通过复数对应点的坐标判断其在复平面内的象限位置． 【参考答案】C【试题解析】12i z =--在复平面内对应的点为(1,2)--，它位于第三象限． 2．设点),(y x P ，则“2=x 且1-=y ”是“点P 在直线01:=++y x l 上”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【测量目标】充分、必要条件．【考查方式】根据所给点与直线的位置关系条件判断充分条件与必要条件． 【参考答案】A【试题解析】当2x =且1y =-时，满足方程10x y +-=，即点(2,1)P -在直线l 上．（步骤1）点(0,1)P '在直线l 上，但不满足2x =且1y =，（步骤2）∴ “2x =且1y =-”是“点(,)P x y 在直线l 上”的充分而不必要条件．（步骤3） 3．若集合{1,2,3},{1,3,4}A B ==，则A B 的子集个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．16 【测量目标】集合间的关系．【考查方式】直接给出集合，用列举法求出两集合的交集的子集． 【参考答案】C【试题解析】{}1,3A B = ，其子集有{}{}{},1,3,1,3∅，共4个． 4．双曲线122=-y x 的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A ．21B ．22C ．1D ．2【测量目标】双曲线标准方程及其几何性质．【考查方式】根据所给双曲线的标准方程得到双曲线顶点坐标、渐近线的方程，再利用点到直线的距离公式求解．【参考答案】B【试题解析】双曲线221x y -=的顶点坐标为()1,0±，渐近线为y x =±，∴0x y ±=，（步骤1）∴顶点到渐近线的距离为2d ==．（步骤2） 5．函数()2()ln 1f x x =+的图象大致是（ ）A B C D第5题图 【测量目标】对数函数的图象．【考查方式】给出对数函数和图象，根据图象的特殊点、奇偶性以及对数函数的性质判定． 【参考答案】A【试题解析】2()ln(1)f x x =+，x ∈R ，当0x =时，(0)ln10f ==，即()f x 过点(0,0)，排除B,D ．（步骤1）∵22()ln ()1ln(1)()f x x x f x ⎡⎤-=-+=+=⎣⎦，∴()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，故选A ．（步骤2）6．若变量y x ,满足约束条件210x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≥，则y x z +=2的最大值和最小值分别为（ ）A ．4和3B ．4和2C ．3和2D ．2和0 【测量目标】二元线性规划求目标函数最值．【考查方式】给出不等式组，作出其表示的可行域、再通过平移图象求最优解． 【参考答案】B【试题解析】作出可行域，通过目标函数线的平移寻求最优解．作出可行域如图阴影部分．（步骤1）作直线20x y +=，并向右上平移，过点A 时z 取最小值，过点B 时z 取最大值，可求得(1,0),(2,0)A B ， 第6题图∴min max 2,4z z ==．（步骤2）7．若122=+yx ，则y x +的取值范围是（ ）A ．]2,0[B ．]0,2[-C ．),2[+∞-D ．]2,(--∞ 【测量目标】基本不等式．【考查方式】考查了指数幂转化不等式，通过均值不等式的求解求取值范围． 【参考答案】D 【试题解析】利用基本不等式转化为关于x y +的不等式，求解不等式即可．∵2221x y x y ++=≥，∴1，∴21224x y+-=≤，∴2x y +-≤，即(](),2x y +∈-∞．8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n 后，输出的)20,10(∈S ，那么n 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【测量目标】循环结构的程序框图． 【考查方式】根据所给程序框图读出其循环结构表示的求和功能，再用等比数列的求和公式求解． 第8题图 【参考答案】B【试题解析】先读出框图的计算功能，再结合等比数列求和公式求解．框图功能为求和，即1211222n S -=++++ ．（步骤1）由于()()1122110,2012nn S ⨯-==-∈-，∴102120n <-<，∴11221n <<，∴4n =，即求前4项和．∴判断框内的条件为4k >，即4n =．（步骤2）9．将函数ππ()sin(2)22f x x θθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象向右平移)0(>ϕϕ个单位长度后得到函数)(x g 的图象，若)(),(x g x f的图象都经过点0,2P ⎛ ⎝⎭，则ϕ的值可以是（ ）A ．5π3 B ．5π6 C ．π2 D ．π6【测量目标】三角函数的图象和性质．【考查方式】给出三角函数，根据所给的点求得函数中的字母，再将点代入平移后得到的函数求ϕ值．【参考答案】B【试题解析】先求出解析式中的字母的取值，再利用代入法确定答案．∵30,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在()f x的图象上，∴(0)sin 2f θ==．（步骤1）∵ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，∴π3θ=，∴π()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴π()sin 2()3g x x ϕ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦．（步骤2）∵(0)2g =，∴ππ54sin 2sin πsin π3333ϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（步骤3） 10．在四边形ABCD 中，(1,2),(4,2)AC BD ==-，则该四边形的面积为（ ）A ．5B ．52C ．5D ．10 【测量目标】平面向量的应用．【考查方式】通过平面向量的坐标运算进行向量的垂直证明进而求解四边形面积． 【参考答案】C【试题解析】先利用向量的数量积证明四边形的对角线垂直，再求面积．∵(1,2)(4,2)440AC BD =-=-+=，∴AC BD ⊥ ，∴11522ABCD S AC BD ===四边形．11．已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为a x b y ˆˆˆ+=．若某同学根据上表中前两组数据)0,1(和)2,2(求得的直线方程为a x b y '+'=，则以下结论正确的是（ ）A ．a a b b'>'>ˆ,ˆ B ．a a b b '<'>ˆ,ˆ C ．a a b b '>'<ˆ,ˆ D ．a a b b '<'<ˆ,ˆ 【测量目标】线性回归方程．【考查方式】给出x 与y 的几组数据，求出直线方程和y 对x 的线性回归方程，再比较其系数大小．【参考答案】C【试题解析】根据所给数据求出直线方程y b x a ''=+和回归直线方程的系数，并比较系数大小．由(1,0),(2,2)求,b a ''．20221b -'==-，0212a '=-⨯=-．（步骤1） 求 ,b a 时，6104312152458i ii x y ==+++++=∑,133.5,6x y ==，62114916253691ii x ==+++++=∑，∴213586 3.556916 3.57b -⨯⨯==-⨯ ，13513513.567623a =-⨯=-=-，（步骤2）∴ ,b b a a ''<> ．（步骤3）12．设函数)(x f 的定义域为R ，)0(00≠x x 是)(x f 的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）A ．0,()()x f x f x ∀∈R ≤B ．0x -是)(x f -的极小值点C ．0x -是)(x f -的极小值点D ．0x -是)(x f --的极小值点 【测量目标】利用导数研究函数的极值问题．【考查方式】列出符合题目所给条件函数，通过导数求解函数的极值判定正确的选项． 【参考答案】D【试题解析】不妨取函数3()3f x x x =-，则()3(1)(1)f x x x '=-+，易判断01x =-为()f x 的极大值点，但显然0()f x 不是最大值，故排除A ；（步骤1）因为3()3,()3(1)(1)f x x x f x x x '-=-+-=-+-，易知，01x -=为()f x -的极大值点，故排除B ；（步骤2）又[]3()3,()3(1)(1)f x x x f x x x '-=-+-=-+-，易知，01x -=为()f x -的极大值点，故排除C ；（步骤3）∵()f x --的图象与()f x 的图象关于原点对称，由函数图象的对称性可得0x -应为函数()f x --的极小值点．故D 正确．（步骤4） 二．填空题13．已知函数32,0()πtan ,02x x f x x x ⎧<⎪=⎨-<⎪⎩≤，则π4f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【测量目标】分段函数求值．【考查方式】分段函数的函数值及正切函数值的求解． 【参考答案】2- 【试题解析】∵ππ0,42⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，∴ππtan 144f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，（步骤1） ∴3π(1)2(1)24f f f ⎛⎫⎛⎫=-=⨯-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（步骤2） 14．利用计算机产生1~0之间的均匀随机数a ，则事件“013<-a ”发生的概率为【测量目标】几何概型．【考查方式】给出不等式，选择区间长度为测度求解几何概型． 【参考答案】31【试题解析】选择区间长度为测度求解几何概型．已知01a ≤≤，事件“310a -<”发生时，103a <<，取区间长度为测度，由几何概型得其概率为13P =． 15．椭圆)0(1:2222>>=+Γb a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，焦距为c 2．若直线)y x c +与椭圆Γ的一个交点M 满足12212F MF F MF ∠=∠，则该椭圆的离心率等于【测量目标】椭圆的简单几何性质，椭圆的离心率．【考查方式】利用几何图形寻求字母之间的关系，进一步求解离心率． 【参考答案】13-【试题解析】已知12(,0),(,0)F c F c -，直线)y x c +过点1F ,1260MF F ∠= ．（步骤1）∵21121302MF F MF F ∠=∠= ,∴1290F MF ∠= ,∴12,MF c MF ==（步骤2）．由椭圆定义知122MF MF c a +==，∴离心率1c e a ===．（步骤3）16．设,S T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数)(x f y =满足；（i ）{()|}T f x x S =∈；（ii ）对任意12,x x S ∈，当21x x <时，恒有)()(21x f x f <．那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合： ①,A B *==N N ；②{|13},{|810}A x x B x x =-=-≤≤≤≤； ③{|01},A x x B =<<=R ．其中，“保序同构”的集合对的序号是 （写出所有“保序同构”的集合对的序号）【测量目标】“保序同构”的集合的定义．【考查方式】判断所给集合是否为保序同构的集合． 【参考答案】①②③【试题解析】举例说明有符合条件的函数即可．①取()1f x x =+，符合题意．（步骤1） ②取97()22f x x =-，符合题意．（步骤2） ③取1()tan π2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，符合题意．（步骤3） 三．解答题17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差1d =，前n 项和为n S ． （1）若131,,a a 成等比数列，求1a ； （2）若519S a a >，求1a 的取值范围．【测量目标】等差数列的概念、等比数列的概念及其通项、求和公式． 【考查方式】考查了求解等比数列首项的求解（利用等比中项求解），利用等差数列的通项公式与求和公式将不等式转化为含有首项的不等式求解．【试题解析】解：（1）因为数列{}n a 的公差1d =，且131,,a a 成等比数列， 所以2111(2)a a =⨯+，即21120a a --=，解得11a =-或12a =．（步骤1） （2）因为数列{}n a 的公差1d =，且519S a a >， 所以21115108a a a +>+；（步骤2）即2113100a a +-<，解得152a -<<．（步骤3）18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ABCD ⊥面，AB DC ，AB AD ⊥，5BC =，3DC =，4AD =，60PAD ∠= ．（1）当正视图方向与向量AD的方向相同时，画出四棱锥P ABCD -的正视图．（要求标出尺寸，并画出演算过程）；（2）若M 为PA 的中点，求证：DM PBC 面 ；（3）求三棱锥D PBC -的体积．第18题图【测量目标】几何体的正视图、勾股定理、线面平行的判定定理、几何体体积公式．【考查方式】给出了四棱锥及其空间位置关系、三边长度和一个角的角度，从而画出正视图，由侧棱中点，判断线面平行以及几何体体积． 【试题解析】解法一：（Ⅰ）在梯形ABCD 中，过点C 作CE AB ⊥，垂足为E ，由已知得，四边形ADCE 为矩形，3AE CD ==．（步骤1） 在Rt △BEC 中，由5BC =，4CE =,依勾股定理得： 3BE =，从而6AB =．（步骤2）又由PD ⊥平面ABCD 得，PD AD ⊥．（步骤3） 第18题图（1）从而在Rt △PAD 中，由4AD =，60PAD ∠=︒,得PD =．（步骤4）正视图如右图（2）所示：第18题图（2） （步骤5） （Ⅱ）取PB 中点N ，连结MN ，CN在△PAB 中，M 是PA 中点， ∴MN AB ，132MN AB ==，（步骤6） 又CD AB ,3CD =∴MN CD ，MN CD =（步骤7）∴四边形MNCD 为平行四边形，∴DM CN ， 第18题图（3） 又DM ⊄平面PBC ，CN ⊂平面PBC ，∴DM 平面PBC （步骤8） （Ⅲ）13D PBC P DBC DBC V V S PD --∆==又6DBC S ∆=，PD =，所以D PBC V -=9）解法二：（Ⅰ）同解法一 第18题图（4） （Ⅱ）取AB 的中点E ，连结ME ,DE （步骤1）在梯形ABCD 中，BE CD ，且BE CD =，∴四边形BCDE 为平行四边形，∴DE BC ，（步骤2）又DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， ∴DE 平面PBC ，（步骤3） 又在PAB ∆中，ME PB ，ME ⊄平面PBC ,PB ⊂平面PBC ，∴ME 平面PBC ．（步骤4）又DE ME E = ,∴平面DME 平面PBC ，（步骤5）又DM⊂平面DME∴DM 平面PBC．（步骤6）（Ⅲ）同解法一19．（本小题满分12分）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关．现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，在将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的频率．（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成22⨯的列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附表：()21112122121212n n n n nXn n n n++++-=【考查方式】考查了用列举法列出基本事件并结合古典概型求概率，独立性检验公式．【试题解析】解：（Ⅰ）由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名．所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有600.053⨯=（人），记为1A，2A，3A；25周岁以下组工人有400.052⨯=（人），记为1B，2B．（步骤1）从中随机抽取2名工人，所有可能的结果共有10种，他们是：12(,)A A，13(,)A A，23(,)A A，11(,)A B，12(,)A B，21(,)A B，22(,)A B，31(,)A B，32(,)A B，12(,)B B．（步骤2）其中，至少有名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是：11(,)A B，12(,)A B，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，12(,)B B ．故所求的概率：710P =．（步骤3） （Ⅱ）由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手600.2515⨯=（人），“25周岁以下组”中的生产能手400.37515⨯=（人），据此可得22⨯列所以得：222()100(15251545)251.79()()()()6040307014n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯．（步骤4） 因为1.79 2.706<，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．（步骤5）20．如图，在抛物线2:4E y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ．点C 在抛物线E上，以C 为圆心OC 为半径作圆，设圆C 与准线l 的交于不同的两点,M N ．（1）若点C 的纵坐标为2，求MN ； （2）若2AFAM AN = ，求圆C 的半径．【测量目标】抛物线的方程、圆的方程与性质、直线与圆的位置关系、根与系数的关系． 【考查方式】根据抛物线的准线结合直角三角形的性质求解，再利用圆心在曲线上设出坐标并建立圆的方程，同时考虑直线与圆的位置关系．【试题解析】解：（Ⅰ）抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-， 由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1,2) 所以点C 到准线l 的距离2d =，又||CO =所以||2MN ===．（步骤1）（Ⅱ）设200,4y C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则圆C 的方程为224220000()416y y x y y y ⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭，即22200202y x x y y y -+-=． 由1x =-，得22002102y y y y -++=．（步骤2）设1(1,)M y -，2(1,)N y -，则：2220002012441240212y y y y y y ⎧⎛⎫∆=-+=->⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=+⎪⎩，（步骤3） 由2||||||AF AM AN = ，得12||4y y =， 所以20142y +=，解得0y =，（步骤4） 此时0∆>，所以圆心C的坐标为32⎛ ⎝或3,2⎛ ⎝，（步骤5） 从而233||4CO =，||CO =，即圆C．（步骤6）21．如图，在等腰直角三角形△OPQ 中，90POQ ︒∠=，OP =，点M 在线段PQ 上．（1）若OM =PM 的长；（2）若点N 在线段MQ 上，且30MON ∠= ，问：当POM ∠取何值时，△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．【测量目标】解三角形、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数．【考查方式】根据所给条件，由三角函数余弦定理、正弦定理求线段长度以及函数的最值求解并要注意角的取值范围．【试题解析】解：（Ⅰ）在△OMP 中，45OPM ∠=，OM =OP =， 由余弦定理得，2222cos45OM OP MP OP MP =+-⨯⨯⨯ ，（步骤1）得2430MP MP -+=，解得1MP =或3MP =．（步骤2）（Ⅱ）设POM α∠=，060α≤≤，在OMP ∆中，由正弦定理，得sin sin OM OP OPM OMP=∠∠，（步骤3） 所以()sin 45sin 45OP OM α=+，（步骤4） 同理()sin 45sin 75OP ON α=+，（步骤5） 故1sin 2OMN S OM ON MON ∆=⨯⨯⨯∠ ()()221sin 454sin 45sin 75OP αα=⨯++()()1sin 45sin 4530αα=+++=====．（步骤6） 因为060α ≤≤，30230150α+ ≤≤，所以当30α=时，()sin 230α+︒的最大值为1，此时OMN △的面积取到最小值．即230POM ∠=︒时，OMN △的面积的最小值为8-．（步骤7）22．已知函数()1ex a f x x =-+（a ∈R ，e 为自然对数的底数）．（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求a 的值；（2）求函数()f x 的极值；（3）当1a =的值时，若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，求k 的最大值．【测量目标】利用导数求函数的极值、函数的性质．【考查方式】利用导数求切线斜率，讨论字母a 的取值，构造函数再结合函数的零点存在性定理求解．【试题解析】解：（Ⅰ）由()1e x a f x x =-+，得()1ex a f x '=-．（步骤1） 又曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线平行于x 轴， 得()10f '=，即10ea -=，解得e a =．（步骤2） （Ⅱ）()1e x a f x '=-， ①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 为(),-∞+∞上的增函数，所以函数()f x 无极值．（步骤3）②当0a >时，令()0f x '=，得e x a =，ln x a =．（步骤4）(),ln x a ∈-∞，()0f x '<；()ln ,x a ∈+∞，()0f x '>．所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增，故()f x 在ln x a =处取得极小值，且极小值为()ln ln f a a =，无极大值，（步骤5） 综上，当0a ≤时，函数()f x 无极小值；当0a >，()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ，无极大值．（步骤6）（Ⅲ）当1a =时，()11e xf x x =-+， 令()()()()111e x g x f x kx k x =--=-+，（步骤7） 则直线l ：1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，等价于方程()0g x =在R 上没有实数解．（步骤8）假设1k >，此时()010g =>，1111101e k g k -⎛⎫=-+< ⎪-⎝⎭， 又函数()g x 的图象连续不断，由零点存在定理，可知()0g x =在R 上至少有一解，与“方程()0g x =在R 上没有实数解”矛盾，故1k ≤．（步骤9）又1k =时，()10ex g x =>，知方程()0g x =在R 上没有实数解． 所以k 的最大值为1．（步骤10）解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一．（Ⅲ）当1a =时，()11e xf x x =-+．（步骤1） 直线l ：1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，等价于关于x 的方程111ex kx x -=-+在R 上没有实数解，即关于x 的方程： ()11ex k x -= *（） 在R 上没有实数解．（步骤2）①当1k =时，方程*（）可化为10ex =，在R 上没有实数解．（步骤3） ②当1k ≠时，方程*（）化为1e 1x x k =-． 令()e x g x x =，则有()()1e xg x x '=+． 令()0g x '=，得1x =-，（步骤4）当x 变化时，()g x '的变化情况如下表：当1x =-时，()min e g x =-，同时当x 趋于+∞时，()g x 趋于+∞，从而()g x 的取值范围为1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．（步骤5） 所以当11,1e k ⎛⎫∈-∞- ⎪-⎝⎭时，方程*（）无实数解，（步骤6） 解得k 的取值范围是()1e,1-．综上，得k 的最大值为1．（步骤7）。
2013年高考真题——文科数学(福建卷)解析版
2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学试题（文史类）第I 卷（选择题 共60分）一．选择题1．复数i z 21--=（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C【解析】本题考查的知识点是复数的几何意义．由几何意义可知复数在第三象限． 2．设点),(y x P ，则“2=x 且1-=y ”是“点P 在直线01:=++y x l 上”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】本题考查的知识点是逻辑中充要条件的判定．因为)1,2(点代入直线方程，符合方程，即“2=x 且1-=y ”可推出“点P 在直线01:=++y x l 上”；而点P 在直线上，不一定就是)1,2(点，即“点P 在直线01:=++y x l 上”推不出“2=x 且1-=y ”．故“2=x 且1-=y ”是“点P 在直线01:=++y x l 上”的充分而不必要条件．3．若集合}4,3,1{},3,2,1{==B A ，则B A 的子集个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．16 【答案】C【解析】本题考查的是集合的交集和子集．因为}3,1{=B A ，有2个元素，所以子集个数为422=个．4．双曲线122=-y x 的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A ．21B ．22C ．1D ．2【答案】B【解析】本题考查的是双曲线的性质．因为双曲线的两个顶点到两条渐近线的距离都相等，故可取双曲线的一个顶点为)0,1(，取一条渐近线为x y =，所以点)0,1(到直线x y =的距离为22．5．函数)1ln()(2+=x x f 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】本题考查的是对数函数的图象．由函数解析式可知)()(x f x f -=，即函数为偶函数，排除C ；由函数过)0,0(点，排除B,D ．6．若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+012y x y x ，则y x z +=2的最大值和最小值分别为（ ）A ．4和3B ．4和2C ．3和2D ．2和0 【答案】B【解析】本题考查的简单线性规划．如图，可知目标函数最大值和最小值分别为4和2．7．若122=+yx ，则y x +的取值范围是（ ）A ．]2,0[B ．]0,2[-C ．),2[+∞-D ．]2,(--∞ 【答案】D【解析】本题考查的是均值不等式．因为y x y x 222221⋅≥+=，即222-+≤yx ，所以2-≤+y x ，当且仅当y x 22=，即y x =时取等号．8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n 后，输出的)20,10(∈S ，那么n 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】本题考查的是程序框图．循环前：2,1==k S ；第1次判断后循环：3,3==k S ；第2次判断后循环：4,7==k S ；第3次判断后循环：5,15==k S ．故4=n ． 9．将函数)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f 的图象向右平移)0(>ϕϕ个单位长度后得到函数)(x g 的图象，若)(),(x g x f 的图象都经过点)23,0(P ，则ϕ的值可以是（ ） A ．35π B ．65π C ．2π D ．6π 【答案】B【解析】本题考查的三角函数的图像的平移．把)23,0(P 代入)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f ，解得3πθ=，所以)232sin()(ϕπ-+=x x g ，把)23,0(P 代入得，πϕk =或6ππϕ-=k ，观察选项，故选B10．在四边形ABCD 中，)2,4(),2,1(-==BD AC ，则该四边形的面积为（ ）A ．5B ．52C ．5D ．10 【答案】C【解析】本题考查的是向量垂直的判断以及向量的模长．因为022)4(1=⨯+-⨯=⋅BD AC ，所以BC AC ⊥，所以四边形的面积为522)4(212||||2222=+-⋅+=⋅BD AC ，故选C 11．已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为a x b yˆˆˆ+=．若某同学根据上表中前两组数据)0,1(和)2,2(求得的直线方程为a x b y '+'=，则以下结论正确的是（ ）A ．a a b b'>'>ˆ,ˆ B ．a a b b '<'>ˆ,ˆ C ．a a b b '>'<ˆ,ˆ D ．a a b b '<'<ˆ,ˆ 【答案】C【解析】本题考查的是线性回归方程．画出散点图，可大致的画出两条直线（如下图），由两条直线的相对位置关系可判断a a b b'>'<ˆ,ˆ．故选C 12．设函数)(x f 的定义域为R ，)0(00≠x x 是)(x f 的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）A ．)()(,0x f x f R x ≤∈∀B ．0x -是)(x f -的极小值点C ．0x -是)(x f -的极小值点D ．0x -是)(x f --的极小值点 【答案】D【解析】本题考查的是函数的极值．函数的极值不是最值，A 错误；因为)(x f --和)(x f 关于原点对称，故0x -是)(x f --的极小值点，D 正确． 二．填空题13．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<=20,tan 0,2)(3πx x x x x f ，则=))4((πf f 【答案】2-【解析】本题考查的是分段函数求值．2)1(2)1()4tan())4((3-=-=-=-=f f f f ππ．14．利用计算机产生1~0之间的均匀随机数a ，则事件“013<-a ”发生的概率为【答案】31 【解析】本题考查的是几何概型求概率．013<-a ，即31<a ，所以31131==P ．15．椭圆)0(1:2222>>=+Γb a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，焦距为c 2．若直线与椭圆Γ的一个交点M 满足12212F MF F MF ∠=∠，则该椭圆的离心率等于 【答案】13-【解析】本题考查的是圆锥曲线的离心率．由题意可知，21F MF ∆中，︒=∠︒=∠︒=∠90,30,60211221MF F F MF F MF ，所以有⎪⎩⎪⎨⎧==+==+12212221222132)2(MF MF a MF MF c F F MF MF ，整理得13-==ace ，故答案为13-．16．设T S ,是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数)(x f y =满足；（i ）}|)({S x x f T ∈=；（ii ）对任意S x x ∈21,，当21x x <时，恒有)()(21x f x f <． 那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合： ①*,N B N A ==；②}108|{},31|{≤≤-=≤≤-=x x B x x A ； ③R B x x A =<<=},10|{．其中，“保序同构”的集合对的序号是 （写出所有“保序同构”的集合对的序号） 【答案】①②③【解析】本题考查的函数的性质．由题意可知S 为函数的一个定义域，T 为其所对应的值域，且函数)(x f y =为单调递增函数．对于集合对①，可取函数)(2)(N x x f x∈=，是“保序同构”；对于集合对②，可取函数)31(2729≤≤--=x x y ，是“保序同构”；对于集合对③，可取函数)10)(2tan(<<-=x x y ππ，是“保序同构”．故答案为①②③．三．解答题17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差1d =，前n 项和为n S ． （1）若131,,a a 成等比数列，求1a ；（2）若519S a a >，求1a 的取值范围．本小题主要考查等比等差数列、等比数列和不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想．满分12分．解：（1）因为数列{}n a 的公差1d =，且131,,a a 成等比数列， 所以2111(2)a a =⨯+，即21120a a --=，解得11a =-或12a =． （2）因为数列{}n a 的公差1d =，且519S a a >， 所以21115108a a a +>+；即2113100a a +-<，解得152a -<<18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ABCD ⊥面，//AB DC ，AB AD ⊥，5BC =，3DC =，4AD =，60PAD ∠= ．（1）当正视图方向与向量AD的方向相同时，画出四棱锥P ABCD -的正视图.（要求标出尺寸，并画出演算过程）；（2）若M 为PA 的中点，求证：//DM PBC 面； （3）求三棱锥D PBC -的体积．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系及几何体的三视图和体积等基础知识，考查空间想象能力，推理论证能力．运算求解能力，考查数形结合能力、化归与转化思想，满分12分． 解法一：（Ⅰ）在梯形ABCD 中，过点C 作CE AB ⊥，垂足为E ， 由已知得，四边形ADCE 为矩形，3AE CD == 在Rt BEC ∆中，由5BC =，4CE =,依勾股定理得： 3BE =，从而6AB =又由PD ⊥平面ABCD 得，PD AD ⊥从而在Rt PDA ∆中，由4AD =，60PAD ∠=︒,得PD =正视图如右图所示：（Ⅱ）取PB 中点N ，连结MN ，CN 在PAB ∆中，M 是PA 中点，∴MN AB ，132MN AB ==，又CD AB ,3CD =∴MN CD ，MN CD =∴四边形MNCD 为平行四边形，∴DM CN 又DM ⊄平面PBC ，CN ⊂平面PBC ∴DM 平面PBC（Ⅲ）13D PBC P DBC DBC V V S PD --∆==⋅又6PBC s ∆=，PD =，所以D PBC V -=解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）取AB 的中点E ，连结ME ,DE在梯形ABCD 中，BE CD ，且BE CD =∴四边形BCDE 为平行四边形∴DE BC ，又DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ∴DE 平面PBC ，又在PAB ∆中，ME PBME ⊄平面PBC ,PB ⊂平面PBC ∴ME 平面PBC .又DE ME E = ,∴平面DME 平面PBC ，又DM ⊂平面DME ∴DM 平面PBC（Ⅲ）同解法一 19．（本小题满分12分）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关．现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，在将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的频率．（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成22⨯的列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附表：本小题主要考查古典概型、抽样方法、独立性检验等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查必然和或然思想、化归与转化思想等，满分12分． 解：（Ⅰ）由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有600.053⨯=（人）， 记为1A ，2A ，3A ；25周岁以下组工人有400.052⨯=（人），记为1B ，2B从中随机抽取2名工人，所有可能的结果共有10种，他们是：12(,)A A ，13(,)A A ，23(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，12(,)B B其中，至少有名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是：11(,)A B ，12(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，12(,)B B .故所求的概率：710P =（Ⅱ）由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手600.2515⨯=（人），“25周岁以下组”中的生产能手400.37515⨯=（人），据此可得22⨯列所以得：222()100(15251545)251.79()()()()6040307014n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯因为1.79 2.706<，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”20．（本小题满分12分）如图，在抛物线2:4E y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ．点C 在抛物线E 上，以C 为圆心OC 为半径作圆，设圆C 与准线l 的交于不同的两点,M N ．（1）若点C 的纵坐标为2，求MN ； （2）若2AFAM AN =⋅，求圆C 的半径．本小题主要考查抛物线的方程、圆的方程与性质、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．满分12分．解：（Ⅰ）抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-， 由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1,2) 所以点C 到准线l 的距离2d =，又||CO =所以||2MN ===.（Ⅱ）设200(,)4y C y ，则圆C 的方程为242220000()()416y y x y y y -+-=+， 即22200202y x x y y y -+-=.由1x =-，得22002102y y y y -++=设1(1,)M y -，2(1,)N y -，则：222000201244(1)240212y y y y y y ⎧∆=-+=->⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩由2||||||AF AM AN =⋅，得12||4y y =所以2142y +=，解得0y =0∆>所以圆心C的坐标为3(2或3(,2从而233||4CO =，||CO C21（本小题满分12分）如图，在等腰直角三角形OPQ ∆中，90OPQ ∠=，OP =，点M 在线段PQ 上．（1）若OM =，求PM 的长；（2）若点N 在线段MQ 上，且30MON ∠= ，问：当POM ∠取何值时，OMN ∆的面积最小？并求出面积的最小 值．本小题主要考查解三角形、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．满分12分．解：（Ⅰ）在OMP ∆中，45OPM ∠=︒，OM =OP =，由余弦定理得，2222cos 45OM OP MP OP MP =+-⨯⨯⨯︒， 得2430MP MP -+=，解得1MP =或3MP =．（Ⅱ）设POM α∠=，060α︒≤≤︒， 在OMP ∆中，由正弦定理，得sin sin OM OPOPM OMP=∠∠， 所以()sin 45sin 45OP OM α︒=︒+，同理()sin 45sin 75OP ON α︒=︒+故1sin 2OMN S OM ON MON ∆=⨯⨯⨯∠()()221sin 454sin 45sin 75OP αα︒=⨯︒+︒+()()1sin 45sin 4530αα=︒+︒++︒=====因为060α︒≤≤︒，30230150α︒≤+︒≤︒，所以当30α=︒时，()sin 230α+︒的最大值为1，此时OMN ∆的面积取到最小值．即230POM ∠=︒时，OMN ∆的面积的最小值为8-22（本小题满分14分）已知函数()1x af x x e=-+（a R ∈，e 为自然对数的底数）． （1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求a 的值； （2）求函数()f x 的极值；（3）当1a =的值时，若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，求k 的最大值． 本小题主要考查函数与导数，函数的单调性、极值、零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想．满分14分．解：（Ⅰ）由()1x a f x x e =-+，得()1xaf x e '=-． 又曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线平行于x 轴，得()10f '=，即10ae -=，解得a e =． （Ⅱ）()1x af x e'=-，①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 为(),-∞+∞上的增函数，所以函数()f x 无极值． ②当0a >时，令()0f x '=，得x e a =，ln x a =．(),ln x a ∈-∞，()0f x '<；()ln ,x a ∈+∞，()0f x '>．所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增，故()f x 在ln x a =处取得极小值，且极小值为()ln ln f a a =，无极大值． 综上，当0a ≤时，函数()f x 无极小值；当0a >，()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ，无极大值． （Ⅲ）当1a =时，()11xf x x e =-+令()()()()111xg x f x kx k x e =--=-+， 则直线l ：1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点， 等价于方程()0g x =在R 上没有实数解． 假设1k >，此时()010g =>，1111101k g k e -⎛⎫=-+<⎪-⎝⎭， 又函数()g x 的图象连续不断，由零点存在定理，可知()0g x =在R 上至少有一解，与“方程()0g x =在R 上没有实数解”矛盾，故1k ≤．又1k =时，()10xg x e =>，知方程()0g x =在R 上没有实数解． 所以k 的最大值为1． 解法二： （Ⅰ）（Ⅱ）同解法一．（Ⅲ）当1a =时，()11xf x x e =-+． 直线l ：1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点， 等价于关于x 的方程111x kx x e-=-+在R 上没有实数解，即关于x 的方程：()11xk x e -=（*）在R 上没有实数解．①当1k =时，方程（*）可化为10x e =，在R 上没有实数解． ②当1k ≠时，方程（*）化为11x xe k =-．令()xg x xe =，则有()()1xg x x e '=+．令()0g x '=，得1x =-，当x 变化时，()g x '的变化情况如下表：当1x =-时，()min g x e=-，同时当x 趋于+∞时，()g x 趋于+∞， 从而()g x 的取值范围为1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．所以当11,1k e ⎛⎫∈-∞- ⎪-⎝⎭时，方程（*）无实数解， 解得k 的取值范围是()1,1e -． 综上，得k 的最大值为1．。
福建省2013届高三毕业班质量检测数学文试题 含解析
2013年福建省普通高中毕业班质量检查文 科 数 学本试卷分第1卷(选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：样本数据x 1,x 2， …，x n 的标准差 锥体体积公式V =31Sh其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积,h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V =Sh24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知复数1i z =-,z 为z 的共轭复数,则下列结论正确的是A ．1i z =--B ．1+i z =-C ．2z =D ．2z =【答案】D【KS5U 解析】1z i =+，因此,A ，B 不正确；而2z =D 正确.2．已知,0a b c >≠，则下列不等式一定成立的是A ．22ab > B ．ac bc >C ．a c b c +>+D ．a b cc >【答案】C【KS5U 解析】当1a =-,2b =-时显然A 项不对;当0c <时B 和D 项不对;不等式两边加上同一个数不等式方向不改变，因此C 项对。
3．执行如图所示的程序框图，若输入的x 值为2，则输出的x 值为 A ．3 B ．8 C ．9 D ．63 【答案】B【KS5U 解析】由输入x 的值是2,循环一次x 的值是3，循环两次x 的值是8，恰好可以满足条件8x ≥,结束程序，输出的值是8。
福建省厦门市2013届高三3月质量检查文科数学试题
厦门市2013届三月高三质量检测数学（文科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分为150分,考试时间120分钟. 参考公式：锥体体积公式 13V Sh =,其中S 为底面面积，h 为高.第Ⅰ卷（选择题:共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集U R =，集合{}2|1A x x =≥，那么U C A 等于 A. (,1)-∞-B ．(1,1)-C. []1,1-D ．(1,)+∞2．如图，在边长为2的正方形内随机取一个点，则此点在正方形的内切圆内部的概率为A ．4πB ．44π-C ．14π-D ．4ππ-3．若x R ∈，则“0x =”是“220x x -=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．下列命题正确的是A ．0.20.2log 3log 2>B ．320.20.2>C ．0.20.223>D ．30.20.2log 3>5．设n m ,是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，给出下列条件，能得到m β⊥的是 A ．,m αβα⊥⊂ B ．,m ααβ⊥⊥ C ．,m n n β⊥⊂ D ．//,m n n β⊥ 6．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象，则它的一个对称中心是A ．(,0)2π-B. (,0)6π-C. (,0)6πD. (,0)3π7．定义!12n n =⨯⨯⨯．右图是求10!的程序框图，则在判断框内应填的条件是A ．10i < B.10i ≤ C.11i ≤ D.10i >8．已知F 是抛物线24y x =的焦点,准线与x 轴的交点为M ，点N在（第2题图）抛物线上,且12NF MN =,则FMN ∠等于 A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．75︒9．函数221,1,()log (1),1x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩的零点个数为A ．1B ．2C ．3D ．410．式子(,,)a b c σ满足(,,)(,,)(,,)a b c b c a c a b σσσ==，则称(,,)a b c σ为轮换对称式．给出如下三个式子：①(,,)a b c abc σ=；②222(,,)a b c a b c σ=-+；③2(,,)cos cos()cos A B C C A B C σ=⋅--(,,A B C 是ABC ∆的内角）．其中，为轮换对称式的个数是A ．0B ．1C ．2D ．311．如图,在边长为2的菱形ABCD 中 ,60ABC ∠=，对角线相交于点O ,P 是线段BD 的一个三等分点，则 AP AC ⋅等于 A. 1 B ．2 C. 3 D ． 412．对于函数()x f ，若存在区间[]n m ,，使[]n m x ,∈时，()[],(*)f x km kn k N ∈∈，则称区间[]n m ,为函数()x f 的“k 倍区间”．已知函数()x x x f sin 3+=，则()x f 的“5倍区间”的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷(非选择题:共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置. 13．设i 为虚数单位，则复数212ii+-= ． 14．焦点在x 轴上，渐近线方程为3y x =±的双曲线的离心率为 ．15．已知△ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若△ABC 的面积为33,3,43a B π==,则b = ． 16．给出下列命题：①2y =的最小值是2；②11,0a b ab a b><>若则成立的充要条件是； ③若不等式240x ax +-<对任意(1,1)x ∈-恒成立，则a 的取值范围为(3,3)-． 真命题的序号是 ．(写出所有正确命题的序号)三、解答题：本大题共６小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答． 17．（本小题满分12分）为了了解甲、乙两名同学的数学学习情况,对他们的7次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出如下的茎叶图，其中,x y 处的数字模糊不清．已知甲同学成绩的中位数是83，乙同学成绩的平均分是86分. （Ⅰ）求x 和y 的值；（Ⅱ）现从成绩在［90，100］之间的试卷中随机抽取两份进行分析，求恰抽到一份甲同学试卷的概率． 18．（本小题满分12分）已知函数()sin())33f x x x ππ=--． （Ⅰ）求()f x 在[0,2]π上的单调递增区间；（Ⅱ）设函数()(1sin )()g x x f x =+，求()g x 的值域.甲 乙6 378 7 x 1 8 3 3 y 2 39 0 1 6（第17题图）19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，,D E 分别是线段,BC PD 的中点.（Ⅰ）若2AP AB AC ===， 23BC =，求三棱锥P ABC -的体积； （Ⅱ）若点F 在线段AB 上，且14AF AB =，证明：直线EF ∥平面PAC ．20．（本小题满分12分）设直线:54l y x =+是曲线:C 321()23f x x x x m =-++的一条切线，2()223g x ax x =+-． （Ⅰ）求切点坐标及m 的值；（Ⅱ）当m Z ∈时，存在[0,)x ∈+∞()()f x g x ≤使成立，求实数a 的取值范围．21．（本小题满分12分）某校高一学生1000人，每周一次同时在两个可容纳600人的会议室，开设“音乐欣赏”与“美术鉴赏”的校本课程．要求每个学生都参加，要求第一次听“音乐欣赏”课的人数为m ()400600m <<，其余的人听“美术鉴赏”课；从第二次起，学生可从两个课中自由选择．据往届经验，凡是这一次选择“音乐欣赏”的学生，下一次会有20﹪改选“美术鉴赏”，而选“美术鉴赏”的学生，下次会有30﹪改选“音乐欣赏”，用n n b a ,分别表示在第n 次选“音乐欣赏”课的人数和选“美术鉴赏”课的人数．(Ⅰ)若500=m ，分别求出第二次,第三次选“音乐欣赏”课的人数23,a a ； (Ⅱ)（ⅰ）证明数列{}600-n a 是等比数列，并用n 表示n a ；（ⅱ）若要求前十次参加“音乐欣赏”课的学生的总人次不超过5800，求m 的取值范围．22．（本小题满分1４分）已知圆22:34O x y +=，椭圆22:1259x y C +=． （Ⅰ）若点P 在圆O 上，线段OP 的垂直平分线经过椭圆的右焦点，求点P 的横坐标；（Ⅱ）现有如下真命题：“过圆222253x y +=+上任意一点(.)Q m n 作椭圆2222153x y +=的两条切线，则这两条切线互相垂直”；“过圆222247x y +=+上任意一点(.)Q m n 作椭圆2222147x y +=的两条切线，则这两条切线互相垂直”．据此,写出一般结论，并加以证明．厦门市2013届高三质量检查数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1—6：BAADDC 7—12： BCCCBD12.提示：先证明函数()x x x f sin 3+=在R 上是增函数，再确定方程x x x 5sin 3=+有三个不等根，得()f x 有三个“5倍区间”．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.在答题卡上的相应题目的答题区域内作答.13．i 14. 2 15.16. ②三、解答题：本大题共6小题，共74分．17. 本题主要考查茎叶图，样本的数字特征，古典概型，考查数据处理能力和运算求解能力，考查或然与必然的数学思想．满分12分. 解：（Ⅰ）甲同学成绩的中位数是83，∴3x =, ……………………………………………… 3分 乙同学的平均分是86分， ∴1(78838380909196)867y +++++++=, ∴1y =. …………………………………………………… 6分（Ⅱ）甲同学成绩在［90，100］之间的试卷有二份，分别记为1a ，2a ，乙同学成绩在［90，100］之间的试卷有三份，分别记为1b ，2b ，3b ， “从这五份试卷中随机抽取两份试卷”的所有可能结果为：()12,a a ， ()11,a b ，()12,a b ，()13,a b ，()()2122,,,a b a b ，()23,a b ，()12,b b ，()13,b b ，()23,b b ，共有10种情况， …………………………………………… 9分记“从成绩在［90，100］之间的试卷中随机抽取两份，恰抽到一份甲同学试卷”为事件M ，则事件M 包含的基本事件为：(),a b (),a b (),a b ()(),,,a b a b (),a b则63()105P M ==， 答：从成绩在［90，100］之间的试卷中随机抽取两份进行分析，恰抽到一份甲同学试卷的概率为35. ……………………………………………………………………12分 18. 本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的基本性质，考查运算求解的能力，化归与转化的思想．满分12分.解:（Ⅰ）()2sin()2sin 33f x x x ππ=+-=，………………………………………2分 sin 2,2]()22y x k k k Z ππππ=∈函数的单调递增区间是[-+， ………………4分 3()[0,2][0,],[,2]22f x ππππ∴在上的单调递增区间为； ………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，2()2(1sin )sin 2sin 2sin g x x x x x =+=+， ………7分 设sin t x =，当x R ∈时，[1,1]t ∈-，则2211()222()22h t t t t =+=+-， ……………………………………………………9分 由二次函数的单调性可知，min 1()2h t =-，又(1)0,(1)4,h h -==max ()4h t ∴=, ………………………………………………11分则函数()g x 的值域为1[,4]2-． ………………………………………………………12分 19. 本题主要考查直线与平面的位置关系、棱锥体积计算，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想．满分12分. 解：（Ⅰ）在ABC ∆中，2AB AC ==，23BC =点D 是线段BC 的中点 ∴AD ⊥BC ∴1AD =∴ABC S ∆123132=⨯⨯= ， …………………3分 PA ⊥底面ABC ，∴11233233P ABC ABC V S PA -∆=⋅⋅=⨯⨯=．……6分（Ⅱ）法一:取CD 的中点H,连接FH,EH,∵E 为线段PD 的中点,∴△PDC 中,E H ∥PC, ∵EH ⊄平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，PAC∵14AF AB =,∴△ABC 中,F H ∥AC, ∵FH ⊄平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，∴FH ∥平面PAC , ……………………………10分 FH EH=H ，∴ 平面EHF ∥平面PAC ，………11分 ＥF ⊂平面EHF ，∴EF ∥平面PAC . ………12分法二:分别取AD ，AB 的中点M ，N ，连结EM ，MF ，DN ， 点E 、M 是分别是线段PD 、AD 的中点，∴EM ∥PA ， EM ⊄平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，∴EM ∥平面PAC ，…………………………………8分12AN AB =，14AF AB =，∴点F 是线段AN 的中点, 在ADN ∆中，AF=FN ，AM=MD ，∴ MF ∥DN,在ABC ∆中，AN=NB ，CD=DB ，∴ DN ∥AC ，∴MF ∥AC ，MF ⊄平面PAC ，AC ⊂平面PAC ， ∴ MF ∥平面PAC ， …………10分 EM MF=M ，∴平面EMF ∥平面PAC ， …………………………11分 EF ⊂平面EMF ，∴EF ∥平面PAC . ………………………………12分 20.本题主要考查函数的单调性,最值,切线,含参数的不等式成立问题，考查运算求解的能力,考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想方法．满分12分. （Ⅰ）解：设直线l 与曲线C 相切于点00(,)P x y ，()22f x x x '=-+２,∴0022x x -+２5=, 解得01x =-或03x =,…………………………………2分当01x =-时，01y =-，(1,1)P --在曲线C 上，∴73m =, 当03x =时，019y =，(3,19)P 在曲线C 上，∴13m =,切点(1,1)P --，73m =， ……………………………………………4分 切点(3,19)P ， 13m =． ……………………………………………6分 (Ⅱ)解法一：∵m Z ∈，∴13m =，设321()()()(1)363h x f x g x x a x =-=-++， 若存在[0,)x ∈+∞()()f x g x ≤使成立，则只要min ()0h x ≤， ……………8分[]2()2(1)2(1)h x x a x x x a '=-+=-+，(ⅰ)若10a +≥即1a ≥-，令()0h x '>，得2(1)x 0x a >+<或，令()0h x '≤，解得02(1)x a ≤≤+，∴()h x 在[0,2(1)]a +上是减函数，∴min ()(2(1))h x h a =+，(2(1))0h a +≤令,解得2a ≥，…………………………………………………………………10分 (ⅱ)若10a +<即1a <-，令()0h x '>，解得2(1)x 0x a <+>或，[0,)x ∈+∞， ∴()h x 在(0,)+∞上是增函数，∴min ()(0),h x h = (0)0h ≤令，不等式无解，∴a 不存在， …………11分综合（ⅰ）（ⅱ）得，实数a 的取值范围为[2,)+∞．………………………12分 解法二：由()()f x g x ≤得2321363ax x x ≥-+, (ⅰ)当0x ≠时，213613a x x ≥+-，设2136()13h x x x=+- 若存在[0,)x ∈+∞()()f x g x ≤使成立，则只要min ()h x a ≤， ……8分33331726()33x h x x x-'=-=， 令()0h x '≥ 解得6x ≥∴()h x 在[6)+∞上是增函数， 令()0h x '<，解得06x ∴<< ∴()h x 在(0,6)上是减函数，∴min ()(6)2h x h ==，∴2a ≥， ……………………………10分（ⅱ）当0x =时，不等式2321363ax x x ≥-+ 不成立， ∴a 不存在， ……………………………………………………………11分 综合（ⅰ）（ⅱ）得，实数a 的取值范围为[2,)+∞． ………………12分21. 本题主要考查数列的概念，等比数列的定义，数列求和，考查运算求解的能力，应用意识，考查特殊与一般的思想，分类与整合的思想． 满分12分. 解：(Ⅰ)由已知1000=+n n b a ，又5001=a ，5001=∴b , ……………………1分 ∴5503.08.0112=+=b a a ，…………………………………………………2分∴2450b =，∴5751354403.08.0223=+=+=b a a ．……………………………………4分 (Ⅱ)（ⅰ）由题意得n n n b a a 3.08.01+=+，()3005.010003.08.01+=-+=∴+n n n n a a a a ，……………………5分 ()600216001-=-∴+n n a a ，---------------------------------6分()400,600m ∈，∴16000a -≠，∴数列{}600-n a 是等比数列，-------------------------------7分∴()121600600-⎪⎭⎫⎝⎛⨯-=-n n m a ，得()121600600-⎪⎭⎫⎝⎛⨯-+=n n m a -----------------------------8分（ⅱ）前十次听“音乐欣赏”课的学生总人次即为数列{}n a 的前10项和10S ，()()10911102360006001600060022512S m m ⎛⎫=+-⨯+++=+-⨯ ⎪⎝⎭，…10分 由已知，580010≤S ，得()()512010236002058051201023600600⨯-≤⇒≤⨯-+m m ， 1023512020600⨯≥-∴m ，1.100600-≤∴m ，…………………11分 *N m ∈ ，∴m 的取值范围是400499m <≤,且*N m ∈．……12分22. 本题考查直线，圆，椭圆等基础知识，考查运算求解能力，类比、探究归纳能力，考查数形结合思想，化归与转化思想．满分14分． 解法一：（Ⅰ）设点00(,)P x y ，则220034x y +=， （1） ……………………1分设线段OP 的垂直平分线与OP 相交于点M ，则M 00(,)22x y ，……2分 椭圆22:1259x y C +=的右焦点(4,0)F ， ………………3分 MF OP ⊥,∴1OP MFk k ⋅=-，∴ 000002142y y x x -⋅=--，∴2200080y x x +-=， （2）…………………………4分由（1），（2），解得0174x = ，∴点P 的横坐标为174．…5分 （Ⅱ）一般结论为：“过圆2222x y a b +=+上任意一点(,)Q m n 作椭圆22221x y a b+=的两条切线，则这两条切线互相垂直．”………………………………6分证明如下：（ⅰ）当过点Q 与椭圆22221x y a b+=相切的一条切线的斜率不存在时，此时切线方程为x a =±，点Q 在圆2222x y a b +=+上 ，∴(,)Q a b ±±，∴直线y b =±恰好为过点Q 与椭圆22221x y a b +=相切的另一条切线，∴两切线互相垂直．…………………………………………7分（ⅱ）当过点(,)Q m n 与椭圆22221x y a b+=相切的切线的斜率存在时，可设切线方程为()y n k x m -=-，由22221,(),x y a b y n k x m ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩得 []222222()0b x a k x m n a b +-+-=， 整理得()222222222()2()0b a k x a k n km x a n km a b ++-+--=，…9分 直线与椭圆相切，∴42222222224()4()[()]0a k n km b a k a n km a b ∆=--+--=，整理得()()2222220m a k mnk n b --+-=，………………………11分∴221222n b k k m a -=-， ……………………………………………… 12分点(,)Q m n 在圆2222x y a b +=+上，∴2222m n a b +=+，……13分∴2222m a b n -=-，∴121k k =-，∴两切线互相垂直，综上所述，命题成立．…………………………………………………14分解法二：（Ⅰ）设点00(,)P x y ，则220034x y +=， （1）……………………………1分椭圆22:1259x y C +=的右焦点(4,0)F ，………………………………2分 点F 在线段OP 的垂直平分线上， ∴PF OF =，∴22200(4)(0)4x y -+-= ， ∴2200080x x y -+=， （2）……4分由（1），（2），解得0174x =， ∴点P 的横坐标为174．……………5分 （Ⅱ）同解法一．。
福建地区泉州市2013届高三5月质量检查数学文试题整编含答案解析
准考证号________________ 姓名________________（在此卷上答题无效）保密★启用前泉州市2013届普通中学高中毕业班质量检测文 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．本试卷共6页，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：样本数据1x 、2x 、…、n x 的标准差：s =x 为样本平均数； 柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高；锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高； 球的表面积、体积公式：24S R π=，343V R π=，其中R 为球的半径．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若i 是虚数单位，则复数i (2i)⋅+在复平面内所对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设全集U =R ，{(3)0}A x x x =+<，{1}B x x =<-，则图中阴影部分表示的集合为 A ．(3,1)-- B ．(1,0)- C ．[1,0)- D ．(,1)-∞-3．某校组织班班有歌声比赛，8个评委为某个班级打出的分数如茎叶图所示，则这些数据的中位数是A ．84B ．85C ．86D ．87.5 4．执行如图所示程序框图所表达的算法，若输出的x 值为48，则输入的x 值为A ．3B ．6C ．8D ．125．若0a >，0b >，且1,,,4a b 构成等比数列，则ks5u A ．22a b +有最小值4 B ．a b +有最小值4 C ．22a b +无最小值 D ．a b +有最小值26．圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为A ．023=-+y xB ．043=-+y xC ．043=+-y xD ．023=+-y x7．下列函数中，既是奇函数又是减函数的是A ．13y x = B ．x x f tan )(-= C ．2()1x f x x =- D ．xx x f 22)(-=-8．设,a b ∈R ，那么“>1ab”是“>>0a b ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件9．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点在直线20x y a --=上，则其渐近线方程为A ．3y x =±B ．3y x =±C ．13y x =±D ．3y x =±10．已知()21()cos 3sin cos 02f x x x x ωωωω=-⋅->的图象与1y =的图象的两相邻交点间的距离为π，要得到()y f x =的图象，只须把cos 2y x =的图象A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位11．已知周期函数()f x 的定义域为R ，周期为2，且当11x -<≤时，2()1f x x =-．若直线y x a =-+与曲线()y f x =恰有2个交点，则实数a 的所有可能取值构成的集合为A ．3{|24a a k =+或524k +,k ∈Z } B ．1{|24a a k =-或324k +,k ∈Z } C ．{|21a a k =+或524k +,k ∈Z } D ．{|21a a k =+,k ∈Z }12．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1AC 上任取一点P ，以A 为球心，AP 为半径作一个球.设AP x =，记该球面与正方体表面的交线的长度和为()f x ，则函数()f x 的图象最有可能的是ks5ux123y Ox123yOx123y Ox123yOA ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卡的相应位置． 13．已知向量(4,)m =a ，(1,2)=-b ，若+=-a b a b ，则实数m 等于 ． 14．根据2012年初我国发布的《环境空气质量指数AQI 技术规定（试行）》，AQI 共分为六级：(0,50]为优，(50,100]为良，(100,150]为轻度污染，(150,200]为中度污染，(200,300]为重度污染，300以上为严重污染．2013年5月1日出版的《A 市早报》报道了A 市2013年4月份中30天的AQI 统计数据，右图是根据统计数据绘制的频率分布直方图. 根据图中的信息可以得出A 市该月环境空气质量优良的总天数为 ．15．一水平放置的平面图形OABC ，用斜二测画法画出它的直观图''''O A B C 如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形OABC 的面积为 ．16．对于30个互异的实数，可以排成m 行n 列的矩形数阵，右图所示的5行6列的矩形数阵就是其中之一．将30个互异的实数排成m 行n 列的矩形数阵后，把每行中最大的数选出，记为12,,m a a a ⋅⋅⋅，并设其中最小的数为a ；把每列中最小的数选出，记为12,,n b b b ⋅⋅⋅，并设其中最大的数为b . 两位同学通过各自的探究，分别得出两个结论如下： ①a 和b 必相等； ②a 和b 可能相等； ③a 可能大于b ； ④b 可能大于a ．以上四个结论中，正确结论的序号是__________________（请写出所有正确结论的序号）．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在某次模块水平测试中，某同学对于政治、历史、地理这三个学科每个学科是否能达到优秀水平的概率都为12，记政治、历史、地理达到优秀水平的事件分别为1A 、2A 、3A ，未达到优秀水平的事件分别为1A 、2A 、3A ．126126126x x x y y y z z z g g g g g g gg g g g g g g g g g g g g g（Ⅰ）若将事件 “该同学这三科中恰有两科达到优秀水平” 记为M ，试求事件M 发生的概率；（Ⅱ）请依据题干信息，仿照（Ⅰ）的叙述，设计一个关于该同学测试成绩情况的事件N ，使得事件N 发生的概率大于%85，并说明理由．18．已知ABC ∆外接圆O 的半径为1，且12OA OB ⋅=-u u u r u u u r ．（Ⅰ）求AB 边的长及角C 的大小；（Ⅱ）从圆O 内随机取一个点M ，若点M 取自ABC ∆内的概率恰为4π，试判断ABC ∆的形状．19．在数列}{n a 和等比数列}{n b 中，01=a ，23=a ，1*2()n a n b n N +=∈．（Ⅰ）求数列{}n b 及}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若n n n b a c ⋅=，求数列{}n c 的前n 项和n S ．20．已知长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，1D D ⊥面ABCD ，4AB =，12AA =，点E 在棱11C D 上，且13D E =．（Ⅰ）试在棱CD 上确定一点1E ，使得直线1//EE 平面1D DB ，并证明；（Ⅱ）若动点F 在底面ABCD 内，且2AF =，请说明点F 的轨迹，并探求EF 长度的最小值．21．已知(0,1)F 是中心在坐标原点O 的椭圆C 的一个焦点，且椭圆C 的离心率e 为12． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设：11(,)M x y 、22(,)N x y 为椭圆C 上不同的点，直线MN 的斜率为1k ；A 是满足OM ON OA λ+=u u u u r u u u r u u u r（0λ≠）的点，且直线OA 的斜率为2k ．①求12k k ⋅的值；②若A 的坐标为3(,1)2，求实数λ的取值范围．22．定义域为D 的函数()f x ，其导函数为'()f x ．若对x D ∀∈，均有()'()f x f x <，则称函数()f x 为D 上的梦想函数．（Ⅰ）已知函数()sin f x x =，试判断()f x 是否为其定义域上的梦想函数，并说明理由； （Ⅱ）已知函数()1g x ax a =+-（a ∈R ，(0,)x π∈）为其定义域上的梦想函数，求a 的取值范围；（Ⅲ）已知函数()sin 1h x x ax a =++-（a ∈R ，[0,]x π∈）为其定义域上的梦想函数，求a 的最大整数值．泉州市2013届普通中学高中毕业班质量检测文科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．1．B 2．A 3．C 4．B 5．B 6．D7．D 8．B 9．A 10．C 11．C 12．B二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分.13．214．1215．16．②③三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．本小题主要考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分12分．解：（Ⅰ）依题意，总的基本事件有“123(,,)A A A ，123(,,)A A A ，123(,,)A A A ，123(,,)A A A ，123(,,)A A A ，123(,,)A A A ，123(,,)A A A ，123(,,)A A A ”，共8种，………………2分 事件M 包含的基本事件有“123(,,)A A A ，123(,,)A A A ，123(,,)A A A ”，共3种，…4分 由于每个基本事件发生的可能性都相等，故事件M 发生的概率83)(=M P ．……6分 （Ⅱ）方案一：记“该同学这三科中至少有一科达到优秀水平”的事件为N ，则事件N 发生的概率大于%85.…………8分理由：事件N 包含的基本事件有“123(,,)A A A ，123(,,)A A A ，123(,,)A A A ，123(,,)A A A ，123(,,)A A A ，123(,,)A A A ，123(,,)A A A ”，共7种，……10分 由于每个基本事件发生的可能性都相等，所以%8587)(>=N P ．……12分 方案二：记 “该同学参加这次水平测试成绩不全达到优秀水平”的事件为N ，则事件N 发生的概率大于%85.…………8分理由：事件N 包含的基本事件有“123(,,)A A A ，123(,,)A A A ，123(,,)A A A ，123(,,)A A A ，123(,,)A A A ，123(,,)A A A ，123(,,)A A A ”，共7种，……10分 由于每个基本事件发生的可能性都相等，故%8587)(>=N P ．………12分 18．本小题主要考查向量的数量积、几何概型、解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想等. 满分12分.解：（Ⅰ）依题意1cos 2OA OB OA OB AOB ⋅=⋅⋅∠=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，………………2分得1cos 2AOB ∠=-，又0AOB π<∠<，故23AOB π∠=，…4分又AOB ∆为等腰三角形，故AB = …………5分而123C AOB π∠=∠=或12(2)23C AOB ππ∠=-∠=．………………6分 （Ⅱ）依题意，从圆O 内随机取一个点，取自ABC ∆内的概率OABCS S P 圆∆=，可得S 4ABC ∆=．………………8分 设BC a =，AC b =.设23C π∠=，由1sin 24ABC S ab C ∆=⋅⋅=，得3ab =， ……①由2222cos 3AB a b ab C =+-=，得223a b ab ++=， ……② 联立①②得220a b +=,这是不可能的. 所以必有3C π∠=. …………9分由1sin 2ABC S ab C ∆=⋅⋅=，得3ab =， ……① 由2222cos 3AB a b ab C =+-=，得223a b ab +-=，226a b += …②………11分联立①② 解得a b ==所以ABC ∆为等边三角形．………………12分19．本小题主要考查等比数列、数列通项公式、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想等. 满分12分.解法一：（Ⅰ）依题意21=b ，8233==b ，………………2分设数列}{n b 的公比为q ，由120n a n b +=>，可知0q >，………3分由822213=⋅=⋅=q q b b ，得42=q ，又0>q ，则2=q ，………4分 故nn n n q b b 222111=⋅==--，………5分又由n a n 221=+，得1-=n a n ．………………6分（Ⅱ）依题意nn n c 2)1(⋅-=．………………7分n n n n n S 2)1(2)2(2221201321⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=- ， ①则14322)1(2)2(2221202+⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=n n n n n S ②……9分①-②得21231122222(1)2(1)212n n n n n S n n +++--=++⋅⋅⋅+--⋅=--⋅-，…………11分即12)2(4+⋅-+-=-n n n S ，故12)2(4+⋅-+=n n n S ．………………12分解法二：（Ⅰ）依题意}{n b 为等比数列，则q b b nn =+1（常数）， 由120n a n b +=>，可知0q >，………………2分由q n n nn aa a a ==-++++1122211， 得q a a n n 21log =-+（常数），故}{n a 为等差数列，…………4分 设}{n a 的公差为d ，由01=a ，220213=+=+=d d a a ，得1=d ， 故1-=n a n ．…………6分 （Ⅱ）同解法一．20．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想等.满分12分. 解：（Ⅰ）取CD 的四等分点1E ，使得13DE =，则有1//EE 平面1D DB . 证明如下：………1分 因为11//D E DE 且11D E DE =，所以四边形11D EE D 为平行四边形，则11//D D EE ，………2分因为1DD ⊂平面1D DB ，1EE ⊄平面1D DB ，所以1//EE 平面1D DB ．………4分 （Ⅱ）因为2AF =,所以点F 在平面ABCD 内的轨迹是以A 为圆心，半径等于2的四分之一圆弧．………………6分因为11//EE DD ，1D D ⊥面ABCD ，所以1E E ⊥面ABCD ， ………………7分 故2221114EF E E E F E F =+=+．………………8分所以当1E F 的长度取最小值时，EF 的长度最小，此时点F 为线段1AE 和四分之一圆弧的交点，………………10分 即11523E F E A AF =-=-=， 所以221113EF E E E F =+=．即EF 长度的最小值为13．………………12分21．本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．满分12分．解：（Ⅰ）依题意，可设椭圆C 的方程为22221y x a b+=（0a b >>），………………1分由1c =，12c e a ==，得2a =， 由222b ac =-，可得23b =，………………3分故椭圆C 的方程为22143y x +=．………………4分 （Ⅱ）解法一：①由11(,)M x y 、22(,)N x y 且1k 存在，得21121y y k x x -=-，………………5分由OM ON OA λ+=u u u u r u u u r u u u r ，0λ≠且2k 存在，得21221y y k x x +=+，则222121211222212121y y y y y y k k x x x x x x +--⋅=⋅=+--.………………6分 ∵11(,)M x y ，22(,)N x y 在椭圆上，∴2211143y x +=，2222143y x +=，………7分 两式相减得22222121043y y x x --+=，2221222143y y x x -=--， ∴1243k k ⋅=-．………………8分 ②若A 的坐标为3(,1)2，则223k =，由①可得12k =-.设直线:2MN y x m =-+（m ∈R ），由222,1,43y x m y x =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2216123120x mx m -+-=，……ks5u ……9分 所以1234mx x +=. ∵OM ON OA λ+=u u u u r u u u r u u u r ，∴1232x x λ+=，2m λ=. …………10分又由()()22124163120m m ∆=--⋅⋅->，解得44m -<<，………………11分∴22λ-<<且0λ≠．………………12分解法二：①设直线1:MN y k x m =+（m ∈R ），若0m =，则120,x x +=由A 满足OM ON OA λ+=u u u u r u u u r u u u r（λ∈R ，0λ≠），得0A x =，∵直线OA 的斜率2k 存在，∴0m ≠. ………5分由122,1,43y k x m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22211(43)63120k x k mx m +++-=……(*).……………6分 ∵11(,)M x y 、22(,)N x y ，∴11221643k mx x k +=-+. ………7分∵12112()2y y k x x m +=++，A 满足OM ON OA λ+=u u u u r u u u r u u u r，∴直线OA 的斜率2121211121214323y y k mk k k x x x x k ++==+=-++， 经化简得1243k k ⋅=-. ………9分 ②若A 的坐标为3(,1)2，则223k =，由①可得12k =-. ………10分∴方程(*)可化为2216123120x mx m -+-=，下同解法一.22．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等．满分14分. 解：（Ⅰ）函数()sin f x x =不是其定义域上的梦想函数．………………1分理由如下：()sin f x x =定义域D R =，()'cos f x x =，………………2分存在3x π=，使()'()33f f ππ>，故函数()sin h x x =不是其定义域R D =上的梦想函数．……4分ks5u（Ⅱ）()1g x ax a =+-，()'g x a =，若函数()1g x ax a =+-在(0,)x π∈上为梦想函数，则1ax a a +-<在(0,)x π∈上恒成立，………………5分即1a x <在(0,)x π∈上恒成立， 因为1y x =在(0,)x π∈内的值域为1(,)π+∞，………………7分所以1a π≤．………………8分（Ⅲ）a x x h +=cos )('，由题意)()('x h x h >在[0,]x π∈恒成立，故cos sin 1x a x ax a +>++-，即cos sin 1ax x x <-+在[0,]x π∈上恒成立． ①当0x =时，0cos0sin012a ⋅<-+=显然成立；……………9分 ②当0x π<≤时，由cos sin 1ax x x <-+可得cos sin 1x x a x-+<对任意(]0,x π∈恒成立. 令cos sin 1()x x F x x -+=，则2(sin cos )(cos sin 1)'()x x x x x F x x --⋅--+=，…10分令)1sin (cos )cos sin ()(+--⋅--=x x x x x x k ，则'()(sin cos )sin()4k x x x x x π=-⋅=⋅-．当(0,]4x π∈时，因为0)('≤x k ，所以)(x k 在(0,]4π单调递减； 当(,]4x ππ∈时，因为0)('≥x k ，所以)(x k 在(,]4ππ单调递增． ∵(0)20k =-<，()1044k π=--<， ∴当(0,]4x π∈时，()k x 的值均为负数.∵()1044k π=--<，()0k ππ=>， ∴当(,]4x ππ∈时，()k x 有且只有一个零点0x ，且0(,)4x ππ∈. ……………11分∴当0(0,)x x ∈时，0)(<x k ，所以'()0F x <，可得()F x 在0(0,)x 单调递减； 当0(,)x x π∈时，0)(>x k ，所以'()0F x >，可得()F x 在0(,)x π单调递增． 则00min 00cos sin 1()()x x F x F x x -+==．…………12分因为0)(0=x k ，所以00000cos sin 1(sin cos )x x x x x -+=--⋅，min 0000()()sin cos )4F x F x x x x π==--=+．…………13分∵)(x k 在(,]4ππ单调递增，02)2(<-=ππk ，012)43(>-=πk ， ∴0324x ππ<<，所以01)04x π-<+<，即01()0F x -<<．ks5u又因为0()a F x <，所以a 的最大整数值为1-．…………14分。
福建省2013届高三文科数学试题
福建省2013届高三文科数学试题一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。
1、设复数z 满足2z i i ⋅=-，i 为虚数单位，则=z （ ）A 、2i -B 、12i +C 、12i -+D 、12i --2、设f (x )＝3x －x 2，则在下列区间中，使函数f (x )有零点的区间是( )A ．（0,1）B ．（1,2）C ．(－2，－1)D ．(－1,0) 3、集合2{|20}A x x x =-≤，{|lg(1)}B x y x ==-，则A B 等于 （ ）A 、{|01}x x <≤B 、{|12}x x ≤<C 、{|12}x x <≤D 、{|01}x x ≤<4、已知向量,a b满足||1,||1a b a b ==⋅= ,则a 与b的夹角为 ( )A 、3π B 、34π C 、4π D 、6π5．已知等差数列{}n a 满足32=a ，)2(,171≥=-n a n ，100=n S ，则n 的值为A ．8B ．9C ．10D ．116.已知A 是三角形A B C 的内角，则“1cos 2A =”是“23sin =A ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7. 已知0<a <1，b >1，且ab >1，则M ＝log a 1b ，N ＝log a b ，P ＝log b 1b ，则这三个数的大小关系为( )A ．P <N <MB ．N <P <MC ．N <M <PD ．P <M <N8.已知m ,n ，l 为三条不同的直线，α,β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A ．//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒B ．l l ⇒⊥⊥βαβ,∥αC ．,//m m n n αα⊥⊥⇒D ．α∥,l l βαβ⊥⇒⊥9．某同学设计右面的程序框图用以计算和式222212320++++ 的值，则在判断框中应填写A ．19i ≤B ．19i ≥C ．20i ≤D ．21i ≤10．若变量x y ，满足约束条件30101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最大值为A ．1-B ．0C ．3D ．411．则使方程()x f x m +=有解的实数m 的取值范围是（ ）A ．（1，2）B ．(,2]-∞-C ．(,1)(2,)-∞⋃+∞D ．(,1][2,)-∞⋃+∞12．椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的离心率为21=e ，右焦点为)0,(c F ，方程02=-+c bx ax 的两个实根分别为21,x x 则点),(21x x P 位置（ ）A ．必在圆222=+y x 内B ．必在圆222=+y x 上C ．必在圆222=+y x 外D ．以上三种情况都有可能ks5u二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13． 已知函数1)(23++=ax x x f 的导函数为偶函数，则=a .14.圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的动点Q 到直线3x ＋4y ＋8＝0距离的最小值为______． 15．一个空间几何体的三视图(单位：cm )如图所示，则该几何体的体积为_______3cm ．16.记123k k k k k S n =+++⋅⋅⋅+, 当123k =⋅⋅⋅,, , 时， 观察下列等式：211122S n n =+，322111326S n n n =++，4323111424S n n n =++， 5434111152330S n n n n=++-， 6542515212S An n n Bn =+++，⋅⋅⋅可以推测，A B -= .三、解答题（本题共6小题，共74分。
福建省2013届高三毕业班质量检测数学文试题 Word版含答案
2013年福建省普通高中毕业班质量检查文 科 数 学本试卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差 锥体体积公式V =31Sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式 V =Sh24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数1i z =-，z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是A ．1i z =--B ．1+i z =-C ．2z =D ．z =2．已知,0a b c >≠，则下列不等式一定成立的是 A ．22a b >B ．ac bc >C ．a c b c +>+D ．a b c c> 3．执行如图所示的程序框图，若输入的x 值为2，则输出的x 值为 A ．3 B ．8 C ．9 D ．63 4．“1x =”是“210x -=”的Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而充分不条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件5．函数2cos 22y x x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的图象是6．已知集合{}|28M x x =-≤≤，{}2|320N x x x =-+≤，在集合M 中任取一个元素x ，则 “x M N ∈ ”的概率是A ．110B ．16C ．310D ．127．已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，焦距为4.若P 为椭圆C 上一点，且12PF F ∆的周长为14，则椭圆C 的离心率e 为 A ．15 B ．25 C ．45D ．5A CD8．若变量,x y 满足约束条件310,3110,2,x y x y y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则2z x y =-的最小值为A ．4B ．1C ．0D ．1- 9．设,m n 为两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，下列命题正确的是 A ．若β//,//m n m ，则β//n B ．若αα//,//n m ，则n m // C ．若β⊥m n m ,//，则β⊥n D ．若n m n m //,,βα⊂⊂，则βα// 10．已知点()0,0O ，()1,2A ,()3,2B ，以线段AB 为直径作圆C ，则直线:30l x y +-=与圆C 的位置关系是A ．相交且过圆心B ．相交但不过圆心C ．相切D ．相离11．已知点()()()0000167n O ,,A ,,A ,,点()1212n A ,A ,,A n ,n -∈≥N 是线段0n A A 的n 等分点，则011+n n OA OA OA OA -+++等于A ．5nB ．10nC ．()51n +D ．()101n +12．定义两个实数间的一种新运算“*”：()lg 1010,x yx y *=+,x y ∈R .对任意实数,,a b c ，给出如下结论：①()()c b a c b a ****=； ②a b b a **=； ③()()()**a b c a c b c +=++； 其中正确的个数是A ． 0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置． 13．一支田径队有男运动员28人，女运动员21人，现按性别用分层抽样的方法，从中抽取14位运动员进行健康检查，则男运动员应抽取________人． 14．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知3a =，8b =，C=3π，则c = ．15．若函数2,0,()ln ,0x a x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ．16．观察下列等式：12133+=； 781011123333+++=； 16171920222339333333+++++=； …则当m n <且,m n ∈N 表示最后结果.313232313333n n m m ++--++++= （最后结果用,m n 表示最后结果）． 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)某工厂生产,A B 两种元件，其质量按测试指标划分为：大于或等于7．5为正品，小于7．5为次品．现从一批产品中随机抽取这两种元件各5件进行检测，检测结果记录如下：由于表格被污损，数据y x ,看不清，统计员只记得x y <，且,A B 两种元件的检测数据的平均值相等，方差也相等． （Ⅰ）求表格中x 与y 的值；（Ⅱ）若从被检测的5件B 种元件中任取2件，求2件都为正品的概率． 18．(本小题满分12分)已知函数()sin cos f x x x =+，x ∈R ． （Ⅰ）求12f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）试写出一个函数()g x ，使得()()cos 2g x f x x =，并求()g x 的单调区间． 19．(本小题满分12分)某几何体111C B A ABC -的三视图和直观图如图所示． （Ⅰ）求证：平面11AB C ⊥平面11AA C C ；（Ⅱ）若E 是线段1AB 上的一点，且满足1111191C B A ABC C AA E V V --=，求AE 的长．20．(本小题满分12分)某工业城市按照“十二五”（2011年至2015年）期间本地区主要污染物排放总量控制要求，进行减排治污．现以降低SO 2的年排放量为例，原计划“十二五”期间每年的排放量都比上一年减少0.3万吨，已知该城市2011年SO 2的年排放量约为9.3万吨， （Ⅰ）按原计划，“十二五”期间该城市共排放SO 2约多少万吨？（Ⅱ）该城市为响应“十八大”提出的建设“美丽中国”的号召，决定加大减排力度．在2012年刚好按原计划完成减排任务的条件下，自2013年起，SO 2的年排放量每年比上一年减少的百分率为p ，为使2020年这一年的SO 2年排放量控制在6万吨以内，求p 的取值范围. （参考数据9505.0328≈，9559.0329≈）． 21．(本小题满分12分)已知函数()2e xf x ax bx =++．（Ⅰ）当0,1a b ==-时，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）设函数()f x 在点()(),P t f t ()01t <<处的切线为l ，直线l 与y 轴相交于点Q .若点Q 的纵坐标恒小于1，求实数a 的取值范围． 22．(本小题满分14分)某同学用《几何画板》研究抛物线的性质：打开《几何画板》软件，绘俯视图侧(左)视图正(主)视图1A制某抛物线2:2E y px =，在抛物线上任意画一个点S ，度量点S 的坐标(),S S x y ，如图．（Ⅰ）拖动点S ，发现当4S x =时，4S y =，试求抛物线E 的方程；（Ⅱ）设抛物线E 的顶点为A ，焦点为F ，构造直线SF 交抛物线E 于不同两点S 、T ，构造直线AS 、AT 分别交准线于M 、N 两点，构造直线MT 、NS ．经观察得：沿着抛物线E ，无论怎样拖动点S ，恒有MT //NS .请你证明这一结论．（Ⅲ）为进一步研究该抛物线E 的性质，某同学进行了下面的尝试：在（Ⅱ）中，把“焦点F ”改变为其它“定点(),0G g ()0g ≠”，其余条件不变，发现“MT 与NS 不再平行”．是否可以适当更改（Ⅱ）中的其它条件，使得仍有“MT //NS ”成立？如果可以，请写出相应的正确命题；否则，说明理由．2013年福建省普通高中毕业班质量检查 文科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． 1．D 2．C 3．B 4．A 5．B 6．A 7．B 8．A 9．C 10．B 11．C 12．D二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分． 13．8； 14．7； 15．01a <≤； 16．22n m -．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．本小题主要考查古典概型、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分12分．解：(Ⅰ)因为11=+7+75+9+95=8=858555x x x y ⋅⋅+⋅+⋅+A B （7），（6+）， 由=x x A B，得17x y +=． ① ………………………………………2分因为222211=1+1+0.25+1+2.25=1.1=4+8+0.25+0.25+855x y ⎡⎤--⎣⎦A B ，s （）s （）（）， 由22=A Bs s ，得228+8=1x y --（）（）． ② …………………………………………4分由①②解得89x y =⎧⎨=⎩，，或98.x y =⎧⎨=⎩，因为x y <， 所以8x y ==． ………………………………………6分(Ⅱ) 记被检测的5件B 种元件分别为12345,,,,B B B B B ，其中2345,,,B B B B 为正品， 从中任取2件,共有10个基本事件，列举如下:()12,B B ，()13,B B ，()14,B B ，()15,B B ，()23,B B ， ()24,B B ，()25,B B ，()34,B B ，()35,B B ，()45,B B ， ………………………………………8分记“2件都为正品”为事件C ，则事件C 包含以下6个基本事件：()23,B B ，()24,B B ，()25,B B ，()34,B B ，()35,B B ，()45,B B .……………………………10分所以63()105P C ==，即2件都为正品的概率为35. ………………………………………12分 18．本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差三角公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．解法一：(Ⅰ)因为())4f x x π=+，………………………………………3分所以1212432f ππππ⎛⎫⎛⎫=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……………………………6分 (Ⅱ)()cos sin g x x x =-. …………………………………………………………7分 下面给出证明：因为()()22(cos sin )(sin cos )cos sin cos 2,g x f x x x x x x x x =-+=-=所以()cos sin g x x x =-符合要求．……………………………………………………9分 又因为()cos sin 4g x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，…………………………………………10分由222,4k x k πππππ+<+<+得3722,44k x k ππππ+<<+ 所以()g x 的单调递增区间为372244k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，k ∈Z .………………………………11分又由224k x k ππππ<+<+,得32244k x k ππππ-<<+,所以()g x 的单调递减区间为32244k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭，，k ∈Z .………………………………12分 解法二：(Ⅰ)因为()21s i n 2,fxx =+⎡⎤⎣⎦所以231s i n 1262f ππ⎡⎤⎛⎫=+=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，………………………………3分又因为0,12f π⎛⎫>⎪⎝⎭所以12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭．………………………………6分 (Ⅱ)同解法一． 解法三：(Ⅰ)sin cos sin cos 1212123434f πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭sincoscossincoscossinsin34343434ππππππππ=-++…………………3分1122222222=-++2=………………………………6分 (Ⅱ)同解法一．注：若通过()()cos 2xg x f x =得到()g x 或由()()(cos sin )(cos sin )g x f x x x x x =+-两边同时约去()f x 得到()g x 不扣分．19．本小题主要考查三视图、直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，几何体的体积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．满分12分．解法一：（Ⅰ）由三视图可知，几何体111C B A ABC -为三棱柱，侧棱1111C B A AA 底面⊥，1111C A C B ⊥,且41==AC AA ，2=BC ．………………………………………2分 1111C B A AA 平面⊥ ，11111111,C B AA C B A C B ⊥∴⊂平面， …………………3分 11111111,A C A AA C A C B =⊥ ，1111ACC A C B 平面⊥∴．……………………5分又1111C AB C B 平面⊂ ， C C AA C AB 1111平面平面⊥∴．………………………6分 （Ⅱ）过点E 作11//C B EF 交1AC 于F ，由（Ⅰ）知，11ACC A EF 平面⊥，即EF 为C AA E 1-三棱锥的高. ………7分1111191C B A ABC C AA E V V --= ，,9131111AA S EF S ABC C AA ⋅=⋅∴∆∆ ……………………8分1111442443292EF ⎛⎫⎛⎫∴⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得32=EF .……………………9分在Rt ABC ∆中，AB ===，在1Rt ABB ∆中，16AB ===，……………………10分由111C B EFAB AE =， ……………………11分 得22326C B EFAB AE 111=⨯=⋅=. ……………………12分解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）过点E 作11//C B EF 交1AC 于F ，由（Ⅰ）知，11ACC A EF 平面⊥，即EF 为C AA E 1-三棱锥的高. ………7分11111111133C AA B C B A A C B A ABC V V V ---== ，111111113191C AA B C B A ABC C AA E V V V ---==∴ ………8分,313131111111C B S EF S C AA C AA ⋅⨯=⋅∴∆∆,3111C B EF =∴ ………9分 在ABC Rt ∆中，5224AB 2222=+=+=BC AC ，在1ABB Rt ∆中，()6452AB 222121=+=+=BB AB ，……………………10分由111C B EFAB AE =， ……………………11分 得2AB 31AE 1==. ……………………12分 20．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，考查函数与方程思想.满分12分.解：（Ⅰ）设“十二五”期间，该城市共排放SO 2约y 万吨，依题意，2011年至2015年SO 2的年排放量构成首项为9.3，公差为0.3-的等差数列，……………3分 所以()55159.3(0.3)=43.52y ⨯-=⨯+⨯-（万吨）． 所以按计划“十二五”期间该城市共排放SO 2约43．5万吨．……………………6分 （2）由已知得， 2012年的SO 2年排放量9.60.32=9-⨯（万吨），…………………7分 所以2012年至2020年SO 2的年排放量构成首项为9，公比为1p -的等比数列，…………………9分由题意得891p ⨯-（）＜6，即1p -＜832， 所以10.9505p -<，解得 4.95%p >.所以SO 2的年排放量每年减少的百分率p 的取值范围4.95%1p <<<……………………12分21．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类与整合思想、数形结合思想、化归与转化思想．满分12分．解：（Ⅰ）当0,1a b ==-时，()e xf x x =-，()e 1xf x '=-，……………………1分所以，当(,0x ∈-∞时，()0f x '<；当(0,x ∈+∞时，()0f x '>；……………………3分所以函数()f x 的单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为(0,)+∞．……………………4分（Ⅱ）因为()2xf x e ax b '=++，所以()(),P t f t 处切线的斜率()2tk f t e at b '==++，所以切线l 的方程为()()()22t ty e at bt e at bx t -++=++-，令0x =，得()21ty t e at =-- ()01t <<.…………………………………………5分当01t <<时，要使得点Q 的纵坐标恒小于1，只需()211tt e at --<，即()2110tt e at -++>()01t <<.……………… 6分令()()211tg t t e at =-++，则()()2tg t t e a '=+，………………………………………………………… 7分因为01t <<，所以1t e e <<， ①若21a ≥-即12a ≥-时，20t e a +>， 所以，当()0,1t ∈时，()0g t '>，即()g t 在()0,1上单调递增， 所以()(0)0g t g >=恒成立，所以12a ≥-满足题意.………………………………8分 ②若2a e ≤-即2ea ≤-时，20t e a +<， 所以，当()0,1t ∈时，()0g t '<，即()g t 在()0,1上单调递减，所以()(0)0g t g <=，所以2ea ≤-不满足题意.………………………………………9分 ③若21e a -<<-即122e a -<<-时，0ln(2)1a <-<.则t 、()g t '、()g t 的关系如下表：所以()()ln(2)00g a g -<=，所以22a -<<-不满足题意.……………………11分 综合①②③，可得，当12a ≥-时，()0g t >()01t <<时，此时点Q 的纵坐标恒小于1.…………12分22．本小题主要考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分14分．解法一：（Ⅰ）把4S x =，4S y =代入22y px =，得248p =，……………………2分所以2p =，………………………………………………………………………3分 因此，抛物线E 的方程24y x =．…………………………………………………4分 （Ⅱ）因为抛物线E 的焦点为()1,0F ，设()()1122,,,S x y T x y ， 依题意可设直线:1l my x =-，由241y x my x ⎧=⎨=-⎩，得2440y my --=，则121244.y y m y y +=⎧⎨⋅=-⎩， ①……………………6分又因为11:AS y l y x x =，22:AT yl y x x =，所以111,y M x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，221,y N x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以12211,y MT x y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ，21121,y NS x y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ， ……………………7分又因为()()1221121211y y y x y x x x ⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……………………………………8分 2221121241411144y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22122112*********4y y y y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫=+++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()21121212144y y y y y y y y -=-+()22121212164y y y y y y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ②把①代入②，得()221212121604y y y y y y ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，………………………………………………10分即()()12211212110y y y x y x x x ⎛⎫⎛⎫++-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以//MT NS，又因为M 、T 、N 、S 四点不共线，所以MT //NS ．………………………………11分 （Ⅲ）设抛物线2:4E y x =的顶点为A ，定点()(),00G g g ≠，过点G 的直线l 与抛物线E 相交于S 、T 两点，直线AS 、AT 分别交直线x g =-于M 、N 两点，则MT //NS ．……………………14分解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）因为抛物线E 的焦点为()1,0F ，设()()221122,2,,2S t t T t t ，……………………5分依题意,可设直线:1ST l my x =-，由241y x my x ⎧=⎨=-⎩得2440y my --=， 则1212224,224,t t m t t +=⎧⎨⋅=-⎩所以12124,1.t t m t t +=⎧⎨⋅=-⎩…………………………………………………………………………7分又因为2:2AS l y t x =-，1:2AT l y t x =-，所以()21,2M t -，()11,2N t -，………………………………………………………10分 所以0MT k =，0NS k =，…………………………………………………………………10分 又因为M 、T 、N 、S 四点不共线，所以MT //NS .…………………………………11分 （Ⅲ）同解法一. 解法三：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）因为抛物线E 的焦点为()1,0F ，设()()1122,,,S x y T x y ， 依题意，设直线:1l my x =-，由241y x my x ⎧=⎨=-⎩得2440y my --=，则121244y y m y y +=⎧⎨⋅=-⎩，……………………………6分又因为11:AS y l y x x =，22:AT yl y x x =，所以111,y M x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，221,y N x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又因为212y y x ⎛⎫--⎪⎝⎭2212111222224404y y y y y y y y x y y +=+=+=+==，……………………9分 所以212y y x =-，所以NS 平行于x 轴； 同理可证MT 平行于x 轴；又因为M 、T 、N 、S 四点不共线，所以MT //NS .………………………………11分 （Ⅲ）同解法一. …………………………………………………14分。
2013年高考福建卷(文)数学试题及答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学试题（文史类）第I 卷（选择题 共60分）一．选择题1．复数i z 21--=（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设点),(y x P 、则“2=x 且1-=y ”是“点P 在直线01:=++y x l 上”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．若集合}4,3,1{},3,2,1{==B A 、则B A 的子集个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．164．双曲线122=-y x 的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A ．21B ．22C ．1D ．25．函数)1ln()(2+=x x f 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+012y x y x 、则y x z +=2的最大值和最小值分别为（ ）A ．4和3B ．4和2C ．3和2D ．2和07．若122=+yx 、则y x +的取值范围是（ ）A ．]2,0[B ．]0,2[-C ．),2[+∞-D ．]2,(--∞8．阅读如图所示的程序框图、运行相应的程序、如果输入某个正整数n 后、输出的)20,10(∈S 、那么n 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．69．将函数)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f 的图象向右平移)0(>ϕϕ个单位长度后得到函数)(x g 的图象、若)(),(x g x f 的图象都经过点)23,0(P 、则ϕ的值可以是（ ） A ．35π B ．65π C ．2π D ．6π 10．在四边形ABCD 中、)2,4(),2,1(-==BD AC 、则该四边形的面积为（ ）A ．5B ．52C ．5D ．10 11．已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为a x b yˆˆˆ+=．若某同学根据上表中前两组数据)0,1(和)2,2(求得的直线方程为a x b y '+'=、则以下结论正确的是（ ）A ．a a b b'>'>ˆ,ˆ B ．a a b b '<'>ˆ,ˆ C ．a a b b '>'<ˆ,ˆ D ．a a b b '<'<ˆ,ˆ 12．设函数)(x f 的定义域为R 、)0(00≠x x 是)(x f 的极大值点、以下结论一定正确的是（ ）A ．)()(,0x f x f R x ≤∈∀B ．0x -是)(x f -的极小值点C ．0x -是)(x f -的极小值点D ．0x -是)(x f --的极小值点 二．填空题13．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<=20,tan 0,2)(3πx x x x x f 、则=))4((πf f 14．利用计算机产生1~0之间的均匀随机数a 、则事件“013<-a ”发生的概率为15．椭圆)0(1:2222>>=+Γb a by a x 的左、右焦点分别为21,F F 、焦距为c 2．若直线与椭圆Γ的一个交点M 满足12212F MF F MF ∠=∠、则该椭圆的离心率等于 16．设T S ,是R 的两个非空子集、如果存在一个从S 到T 的函数)(x f y =满足；（i ）}|)({S x x f T ∈=；（ii ）对任意S x x ∈21,、当21x x <时、恒有)()(21x f x f <． 那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合： ①*,N B N A ==；②}108|{},31|{≤≤-=≤≤-=x x B x x A ； ③R B x x A =<<=},10|{．其中、“保序同构”的集合对的序号是 （写出所有“保序同构”的集合对的序号）三．解答题17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差1d =、前n 项和为n S ． （1）若131,,a a 成等比数列、求1a ； （2）若519S a a >、求1a 的取值范围．18．（本小题满分12分）如图、在四棱锥P ABCD -中、PD ABCD ⊥面、//AB DC 、AB AD ⊥、5BC =、3DC =、4AD =、60PAD ∠=．（1）当正视图方向与向量AD 的方向相同时、画出四棱锥P ABCD -的正视图.（要求标出尺寸、并画出演算过程）；（2）若M 为PA 的中点、求证：//DM PBC 面； （3）求三棱锥D PBC -的体积．19．（本小题满分12分）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名、25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关．现采用分层抽样的方法、从中抽取了100名工人、先统计了他们某月的日平均生产件数、然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组、在将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100)分别加以统计、得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人、求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的频率．（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”、请你根据已知条件完成22⨯的列联表、并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附表：20．（本小题满分12分）如图、在抛物线2:4E y x =的焦点为F 、准线l 与x 轴的交点为A ．点C 在抛物线E 上、以C 为圆心OC 为半径作圆、设圆C 与准线l 的交于不同的两点,M N ． （1）若点C 的纵坐标为2、求MN ； （2）若2AFAM AN =⋅、求圆C 的半径．21（本小题满分12分）如图、在等腰直角三角形OPQ ∆中、90OPQ ∠=、OP =点M 在线段PQ 上．（1）若OM =PM 的长；（2）若点N 在线段MQ 上、且30MON ∠=、问：当POM ∠取何值时、OMN ∆的面积最小？并求出面积的最小 值．22（本小题满分14分）已知函数()1xaf x x e =-+（a R ∈、e 为自然对数的底数）． （1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴、求a 的值； （2）求函数()f x 的极值；（3）当1a =的值时、若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点、求k 的最大值．参考答案一、选择题1．C 2．A 3．C 4．B 5．A 6．B 7．D 8．B 9．B 10．C 11．C 12．D二、填空题13．2- 14．3115．13- 16．①②③ 三、解答题17．解：（1）因为数列{}n a 的公差1d=、且131,,a a 成等比数列、所以2111(2)a a =⨯+、即21120a a --=、解得11a =-或12a =． （2）因为数列{}n a 的公差1d =、且519S a a >、 所以21115108a a a +>+；即2113100a a +-<、解得152a -<<18．解法一：（Ⅰ）在梯形ABCD 中、过点C 作CE AB ⊥、垂足为E 、由已知得、四边形ADCE 为矩形、3AE CD == 在Rt BEC ∆中、由5BC =、4CE =,依勾股定理得： 3BE =、从而6AB =又由PD ⊥平面ABCD 得、PD AD ⊥从而在Rt PDA ∆中、由4AD =、60PAD ∠=︒,得PD = 正视图如右图所示：（Ⅱ）取PB 中点N 、连结MN 、CN 在PAB ∆中、M 是PA 中点、∴MN AB 、132MN AB ==、又CD AB ,3CD =∴MN CD 、MN CD =∴四边形MNCD 为平行四边形、∴DM CN 又DM ⊄平面PBC 、CN ⊂平面PBC ∴DM 平面PBC（Ⅲ）13D PBC P DBC DBC V V S PD --∆==⋅又6PBC s ∆=、PD =、所以D PBC V -=解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）取AB 的中点E 、连结ME ,DE在梯形ABCD 中、BE CD 、且BE CD =∴四边形BCDE 为平行四边形∴DE BC 、又DE ⊄平面PBC 、BC ⊂平面PBC ∴DE 平面PBC 、又在PAB ∆中、ME PBME ⊄平面PBC ,PB ⊂平面PBC ∴ME 平面PBC .又DE ME E =,∴平面DME 平面PBC 、又DM ⊂平面DME ∴DM 平面PBC（Ⅲ）同解法一 19．解：（Ⅰ）由已知得、样本中有25周岁以上组工人60名、25周岁以下组工人40名 所以、样本中日平均生产件数不足60件的工人中、25周岁以上组工人有600.053⨯=（人）、 记为1A 、2A 、3A ；25周岁以下组工人有400.052⨯=（人）、记为1B 、2B从中随机抽取2名工人、所有可能的结果共有10种、他们是：12(,)A A 、13(,)A A 、23(,)A A 、11(,)A B 、12(,)A B 、21(,)A B 、22(,)A B 、31(,)A B 、32(,)A B 、12(,)B B其中、至少有名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种、它们是：11(,)A B 、12(,)A B 、21(,)A B 、22(,)A B 、31(,)A B 、32(,)A B 、12(,)B B .故所求的概率：710P =（Ⅱ）由频率分布直方图可知、在抽取的100名工人中、“25周岁以上组”中的生产能手600.2515⨯=（人）、所以得：222()100(15251545)251.79()()()()6040307014n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯因为1.79 2.706<、所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”20．解：（Ⅰ）抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-、由点C 的纵坐标为2、得点C 的坐标为(1,2) 所以点C 到准线l 的距离2d =、又||CO = 所以||2MN ===.（Ⅱ）设200(,)4y C y 、则圆C 的方程为242220000()()416y y x y y y -+-=+、 即22200202y x x y y y -+-=.由1x =-、得22002102y y y y -++=设1(1,)M y -、2(1,)N y -、则：222000201244(1)240212y y y y y y ⎧∆=-+=->⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩由2||||||AF AM AN =⋅、得12||4y y =所以20142y +=、解得0y =、此时0∆>所以圆心C的坐标为3(2或3(,2从而233||4CO =、||CO =、即圆C21．解：（Ⅰ）在OMP ∆中、45OPM ∠=︒、OM =OP =、由余弦定理得、2222cos 45OM OP MP OP MP =+-⨯⨯⨯︒、 得2430MP MP -+=、解得1MP =或3MP =．（Ⅱ）设POM α∠=、060α︒≤≤︒、 在OMP ∆中、由正弦定理、得sin sin OM OPOPM OMP=∠∠、 所以()sin 45sin 45OP OM α︒=︒+、同理()sin 45sin 75OP ON α︒=︒+故1sin 2OMNS OM ON MON ∆=⨯⨯⨯∠()()221sin 454sin 45sin 75OP αα︒=⨯︒+︒+()()1sin 45sin 4530αα=︒+︒++︒=====因为060α︒≤≤︒、30230150α︒≤+︒≤︒、所以当30α=︒时、()sin 230α+︒的最大值为1、此时OMN ∆的面积取到最小值．即230POM ∠=︒时、OMN ∆的面积的最小值为8-．22．解：（Ⅰ）由()1x a f x x e =-+、得()1xaf x e '=-． 又曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线平行于x 轴、得()10f '=、即10ae -=、解得a e =． （Ⅱ）()1x af x e'=-、①当0a ≤时、()0f x '>、()f x 为(),-∞+∞上的增函数、所以函数()f x 无极值． ②当0a >时、令()0f x '=、得x e a =、ln x a =．(),ln x a ∈-∞、()0f x '<；()ln ,x a ∈+∞、()0f x '>．所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减、在()ln ,a +∞上单调递增、故()f x 在ln x a =处取得极小值、且极小值为()ln ln f a a =、无极大值． 综上、当0a ≤时、函数()f x 无极小值；当0a >、()f x 在ln x a =处取得极小值ln a 、无极大值． （Ⅲ）当1a =时、()11xf x x e =-+令()()()()111x g x f x kx k x e=--=-+、 则直线l ：1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点、 等价于方程()0g x =在R 上没有实数解． 假设1k >、此时()010g =>、1111101k g k e -⎛⎫=-+<⎪-⎝⎭、 又函数()g x 的图象连续不断、由零点存在定理、可知()0g x =在R 上至少有一解、与“方程()0g x =在R 上没有实数解”矛盾、故1k ≤． 又1k =时、()10x g x e=>、知方程()0g x =在R 上没有实数解． 所以k 的最大值为1． 解法二： （Ⅰ）（Ⅱ）同解法一．（Ⅲ）当1a =时、()11xf x x e =-+． 直线l ：1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点、 等价于关于x 的方程111x kx x e-=-+在R 上没有实数解、即关于x 的方程：()11xk x e -=（*）在R 上没有实数解．①当1k =时、方程（*）可化为10x e =、在R 上没有实数解． ②当1k ≠时、方程（*）化为11x xe k =-．令()xg x xe =、则有()()1xg x x e '=+．令()0g x '=、得1x =-、当x 变化时、()g x '的变化情况如下表：当1x =-时、()min g x e=-、同时当x 趋于+∞时、()g x 趋于+∞、 从而()g x 的取值范围为1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．所以当11,1k e ⎛⎫∈-∞- ⎪-⎝⎭时、方程（*）无实数解、 解得k 的取值范围是()1,1e -． 综上、得k 的最大值为1．。
2013年福建省普通高中毕业班质量检查文科综合能力测试
2013年福建省普通高中毕业班质量检查文科综合能力测试(2013-04-07 07:57:20)本试卷分第1卷和第11卷。
第1卷为必考题，第Ⅱ卷包括必考题和选考题两部分。
本试卷共l4页。
满分300分。
考试时间l50分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案元效。
3．选择题答案使用28铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用28铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
5．保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷本卷共36小题，每小题4分，共计l44分。
在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
图1示意我国某大城市2009年城区地价等值线，读图回答1～2题。
1．中心商务区最有可能分布的区域是A．① B．② C．③ D．④2．与其他区域相比，近年来④地地价涨幅较大的主要原因是A．高附加值产业集聚 B．原有基础设施完善C．外来人口迁入D．逆城市化发展图2示意某流域径流过程的不同环节，读图回答3—4题。
3．图中甲、乙、丙三个环节分别是A．下渗、坡面流、壤中流 B．壤中流、下渗、坡面流C．坡面流、下渗、壤中流 D．坡面流、壤中流、下渗4．当降水量相同时，下列因素对径流过程的不同环节影响符合实际的是 A．地表起伏大，坡面水流慢 B．植被覆盖密，截流雨水多C ．岩体破碎多，地下径流小 D．降水强度大．坡面下渗多L湖原是新疆最大的淡水湖，近年来已演变成微咸水湖。
现在该湖西部沿岸芦苇广布，而东部沿岸几乎没有。
图3示意L湖及周边地区，读图回答5—6题。
5．正确描述甲、乙两河与L湖相互关系的是A．甲河秋季输入L湖泥沙最多 B．甲河流量变化深受L湖影响C．乙河是L湖重要补给水源 D．乙河对L湖具有排盐作用6．对L湖东、西两岸芦苇分布差异影响最小的因素是A．主导风向 B．湖水盐度 C．沿岸坡度 D．土壤肥力图4示意某国2008年人口结构，读图回答7～8题。
高三市检数学(文科)答案
2013年福州市高中毕业班质量检查 数学（文科）试卷参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，共60分． 1.B 2.B 3.C 4.C 5.A 6.C 7.B 8.B 9.A 10.D 11.A 12.C 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，共16分．13.1 14. 7 15. ②、③、④ 16. 92033+三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，考查函数与方程思想,满分12分.解:（Ⅰ）当2n ≥，时11222n n nn n n a SS +-=-=-=， ·································· 2分 又111112222a S +==-==，也满足上式， 所以数列{na}的通项公式为2nn a =．························································· 3分112b a ==，设公差为d ，则由139,,bb b 成等比数列， 得 2(22)22+8)d d +=⨯（ ， ····························································· 4分 解得0d =（舍去）或2d =， ·································································· 5分 所以数列}{n b 的通项公式为2n b n =．························································· 6分 （Ⅱ）解： )1(1)1(2+=+=n n b n c n n ························································· 8分数列}{n c 的前n 项和=n T )1(1431321211+⨯++⨯+⨯+⨯n n 1113121211+-++-+-n n ＝ ····················································· 10分1111+=+-=n n n . ···························································· 12分18. 本题考查平面向量的数量积、三角函数的图象与性质、诱导公式、解三角形等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力，处理交汇性问题的能力，以及运算求解能力,满分12分. 解:（Ⅰ）∵(2,2),(sin ,cos)44a b x x ππ== 函数()f x =a b∴()2sin2cos44f x x x ππ=+ ····························································· 1分222(sin cos )2424x x ππ=+ 2sin()44x ππ=+ ········································································ 3分∴284T ππ== ∴函数()f x 的最小正周期为8． ······································ 6分（Ⅱ）依题意将函数()f x 的图像向左平移1个单位后得到函数x x x g y 4cos 2]4)1(4sin[2)(πππ=++==…………8分 函数k x g y +=)(在)4,2(-上有两个零点，即函数)(x g y =与k y -=在(2,4)x ∈-有两个交点，如图所示：所以02k <-<，即20k -<<所以实数k 取值范围为20k -<<． ··························································· 12分 19. 本题主要考查概率与独立性检验相交汇等基础知识，考查数形结合能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想等,满分12分.解:（Ⅰ）记“两名同学中恰有一名不优秀”为事件A ，乙抽取的样本数据中，男同学有4名优秀，记为a ，b ，c ，d ，2名不优秀，记为e ，f . ····································· 1分 乙抽取的样本数据，若从男同学中抽取两名，则总的基本事件有15个， ············ 2分 事件A 包含的基本事件有},{e a ，},{e b ，},{e c ，},{e d ， },{f a ，},{f b ，},{f c ，},{f d ，共8个基本事件，所以 )(A P =158． ························································· 4分 （Ⅱ）设投篮成绩与性别无关，由乙抽取的样本数据，得22⨯列联表如下：优秀 非优秀 合计 男 4 2 6 女 0 4 4 合计4610········· 6分2K 的观测值k 210(4402)4664⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 4.444>3.841， ······································· 8分所以有95%以上的把握认为投篮成绩与性别有关． ········································· 9分（Ⅲ）甲用的是系统抽样，乙用的是分层抽样． ······································ 10分 由（Ⅱ）的结论知，投篮成绩与性别有关，并且从样本数据能看出投篮成绩与性别有明显差异，因此采用分层抽样方法比系统抽样方法更优． ······················· 12分 20．本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面位置关系等基础知识；考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力,满分12分. 解：（Ⅰ）如图，连接ED ，∵⊥EA 底面ABCD 且EA FD //，∴⊥FD 底面ABCD ∴AD FD ⊥∵D CD FD AD DC =⋂⊥，∴⊥AD 面FDC …………………………………………1分∴32221213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆-FDC FCD E S AD V ………2分 E ABCD V -=13EA ⋅ ABCD S 1822233=⨯⨯⨯= ·············································· 3分 ∴310=+=--ABCD E FCD E V V V 多面体． ······················································· 5分（Ⅱ ）∵ABCD 为正方形，∴AB ⊥BC . ····················································· 6分∵EA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥EA . ················································································· 7分 又AB ∩EA ＝A ，∴BC ⊥平面EAB . ·················································· 8分 又∵BC ⊂平面EBC ，∴平面EAB ⊥平面EBC . ···································································· 10分（Ⅲ）取线段DC 的中点Q ；连接KQ ，则直线KQ 即为所求．…………………………………………………11分 图上有正确的作图痕迹………………………………12分21. 本试题主要考查了点到直线的距离，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，平面向量的应用，均值不等式,考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想和化归与转化思想等，满分12分．解: (Ⅰ)222222221b a ab a e =-==，得由， ·············································· 2分 ∵直线l ：y=x+2与圆x 2+y 2=b 2相切，∴b =-+22)1(12，解得2=b ，则a 2=4. ················································ 4分 故所求椭圆C 的方程为22142x y +=. ··························································· 5分 （Ⅱ）在x 轴上存在点(, 0)P m ，使得PGH ∆是以GH 为底边的等腰三角形.……6分理由如下：设1l 的方程为2y kx =+（0k >），由048)21(21242222=+++⎪⎩⎪⎨⎧+==+kx x k kx y y x ，得 因为直线1l 与椭圆C 有两个交点，所以2226416(12)16(21)0k k k ∆=-+=->所以212k >，又因为0k >，所以k >设11(,)G x y ，22(,)H x y ，则221218kkx x +-=+. ········································· 7分 =-+-=+∴),(),(2211y m x y m x PH PG 1212(2, )x x m y y .=1212(2, ()4 )x x m k x x21212121(, )(, ())GH x x y y x x k x x =--=--.由于等腰三角形中线与底边互相垂直，则()PG PH +⋅0GH =. ······················ 8分 所以21122112()[()2] ()[()4]0x x x x m k x x k x x .故2211212()[()2 ()4]0x x x x m k x x k .即22112()[(1)()42]0x x k x x km因为0k >，所以0-12≠x x .所以212(1)()420k x x k m .228(1)()420,12kk k m k -∴++-=+解得2221122k m k k k --==++ 设12y k k =+，当2k >2221120k y k k -'=-+=>2， 所以函数12y k k =+在()2+∞上单调递增，所以22y >+⨯=， ······································································· 10分所以22m y -=>=- ·································································· 11分 （若学生用基本不等式求解无证明扣1分） 又因为0k >，所以m <0.所以02m -<<，. 故存在满足题意的点P （m ,0）且实数m的取值范围为：0m <<. ··········· 12分22. 本小题主要考查函数、导数、数列、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．满分14分.解：（I ）0,ln 21)(>-=x mx x x f m x x f -='∴21)(·································· 1分 当0≤m 时0)(>'x f ，)(x f 在（0，+∞）单调递增. ···································· 2分当m>0时，由0)(='x f 得mx 21=由()00f x x '>⎧⎨>⎩得0<x<m 21由()00f x x '<⎧⎨>⎩得x>m 21 ····························································· 4分综上所述：当0≤m 时，)(x f 单调递增区间为（0，+∞）.当m>0时，)(x f 单调递增区间为（0，m 21），单调递减区间为（m21，+∞）. ··· 5分（Ⅱ）若m=221e, 211()ln 22f x x x e =-,对]2,2[,221e x x ∈∀都有)()(21x f x g ≥成立等价于对∀x 2[2,2]e ∈都有max min )]([)]([x f x g ≥ ········································· 6分由（I ）知在[2,22e ]上)(xf 的最大值2()f e =21 ··········································· 7分 ]2,2[),0(01)(22e x a xax g ∈>>+=' 函数()g x 在[2,22e ]上是增函数，min )]([x g =g(2)=2-2a, ············································································· 9分由2-2a ≥21，得3≤a ，又因为0a >，∴a ∈(]3,0所以实数a 的取值范围为(]3,0。
福建省南平市2013届高三毕业班质量检查数学文试题
南平市2013年普通高中毕业班质量检查文科数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：样本数据1x ，2x ， …，n x 的标准差：s =其中x 为样本平均数； 柱体体积公式：Sh V =， 其中S 为底面面积，h 为高；锥体体积公式：Sh V 31=，其中S 为底面面积，h 为高； 球的表面积、体积公式：24S R =π，343V R =π，其中R 为球的半径．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．抛物线24y x =的焦点坐标为A ．(2，0)B ．(1高☆考♂资♀源€网，0)C ．(0，－4)D ．(－2，0)2．命题“021R >⎪⎭⎫⎝⎛∈∀xx ，”的否定是 A ．021R <⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∃xx ， B ．xx ⎪⎭⎫⎝⎛∈∀21R ，≤0 C ．021R <⎪⎭⎫⎝⎛∈∀xx ， D ．xx ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∃21R ，≤0 3．已知直线012:1=++y ax l 与直线0)3(:2=+--a y x a l ，若1l ⊥2l ，则a 的值为 A ．1B ．2C ．6D ．1或24．复数i 1i3++等于A ．i 21+B ．i 21-C ．i 2-D ．i 2+5．下列函数中，是奇函数且在区间（0,1）内单调递减的是A ．12log y x=B ．1y x =C ．3y x = D ．x y tan =6．方程04ln =-+x x 实根所在的区间为A. （1，2）B. （2，3）C. （3，4）D. （4，5）7．已知向量a, b 均为单位向量，若它们的夹角是60°，则ba 3-等于A ．2B ．13C ．7D ．38．右图是某几何体的三视图，其中正视图是正方形，侧视图是 矩形，俯视图是半径为2的半圆，则该几何体的表面积等于 A ．16＋12π B ．24π C ．16+4π D ．12π9．已知函数⎩⎨⎧>--=，，0),2(0),4(log )(5x x f x x x f 则)2013(f 的值为 A ．－1B ．－2正视图侧视图≤C．1 D．210．将函数)2π2cos(-=xy的图象向左平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是A．xy2cos2=B．xy2sin2=C．)4π2cos(1-+=xyD．xy2cos=11．函数()f x 的导函数)(x f '的图象如右图所示，则()f x 的图象可能是12．已知平面区域(){}22,4M x y x y =+≤≤){22,M x y x =，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧++=42),(22y x m mx y y x N ，，在区域M 上随机取一点A ,点A 落在区域N 内的概率为P(N)，若P(N)∈132(),24p N ππ+⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则实数m 的取值范围为 A ．[]0,1 B．⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．[]1,1- D ．[]1,0-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置． 13．已知集合{}11x +≤≤M x =，{}1,0,1N =-，那么MN = ．14．执行右边的程序框图，输出的S = ．15．若函数()(0,1)xf x a a a =>≠在［－1，2］上的 最大值为4，最小值m），（310∈，则a ＝ ． 16．已知数列{n a }满足1a ＝l ，n a ＋1n a ＋＝n⎪⎭⎫⎝⎛41（n ∈*N ），记nT ＝1a ＋2a ·4＋3a ·24＋…＋n a ·14-n ，类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，可求得 5n T －4n n a ＝ ．≤ ≥-1-1-1DABCEC '三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 为调查民营企业的经营状况，某统计机构用分层抽样的方法从A 、B 、C 三个城市中，抽取若干个民营企业组成样本进行深入研究，有关数据见下表：（单位：个）（Ⅰ）求x 、y 的值；（Ⅱ）若从城市A 与C 抽取的民营企业中再随机选2个进行跟踪式调研，求这2个都来自城市C 的概率. 18．（本小题满分12分） 如图，菱形ABCD 的边长为2，△BCD 为正三角形，现将△BCD 沿BD 向上折起，折起后的点C 记为C '，且CC 'CC '．（Ⅰ）若E 为CC '的中点，证明：//AC '平面BDE ； （Ⅱ）求三棱锥C ABD '-的体积． 19．（本小题满分12分）已知函数x x fsin )(=2()sin (12sin )cos sin (0)2f x x x x θθθπ=⋅-+<<=在π)在=x π处取最小值．（Ⅰ）求θ的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，c b a ,,分别是角A ，B ，C 的对边，已知1,()a b f A ===求角C ．20.（本小题满分12分） 已知等差数列{n a }的各项都不相等，前3项和为18，且1a 、3a 、7a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{n a }的通项公式；高☆考♂资♀源€网（Ⅱ）若数列{n b }满足)N (1*+∈=-n a b b n n n ，且12b =，求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1的前n 项和n T ．21.（本小题满分12分）已知函数6)(sin )(3x mx x g x x f -==，（m 为实数）．（Ⅰ）求曲线)(x f y =在点⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛4π4πf P ，处的切线方程； （Ⅱ）求函数)(x g 的单调减区间；（Ⅲ）若1=m ，证明：当0>x 时，)()(x g x f x >>．22.（本小题满分14分）如图，设椭圆C:12222=+b y a x （0a b >>）的离心率e =，顶点M 、NO 为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点O 作两条互相垂直的射线，与椭圆C 分别交于A ，B 两点. （ⅰ）试判断点O 到直线AB 的距离是否为定值.若是请求出这个定值，若不是请说明理由； （ⅱ）求AB的最小值.DC 'ACEO 2013年南平市普通高中毕业班质量检查 文科数学试题评分标准说明：1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.2、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3、只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分.1. B ；2. D ；3. D ；4.C ；5. B ；6. B ；7. C ；8. A ；9. C ； 10. A ； 11. B ； 12. D. 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分.13．{}1,0-； 14．26； 15．41； 16．n.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（Ⅰ）由题意得23,1428x y ==所以1,42.x y ==………6分（Ⅱ）记从城市A 所抽取的民营企业分别为12,b b ，从城市C 抽取的民营企业分别为123,,c c c ，则从城市A 、C 抽取的5个中再随机选2个进行跟踪式调研的基本事件有()()()()()()()()()()12111213212223121323,,,,,,,,,,,,,,,,,,,b b b c b c b c b c b c b c c c c c c c共10种. ………9分设选中的2个都来自城市C 的事件为X,则X 包含的基本事件有()()()121323,,,,,c c c c c c3种，因此103)(=X P .故这2个都来自城市C 的概率为310.………12分18.解：（Ⅰ）连接AC ，交BD 于点O ，连接OE 、C O '， ∵ABCD 为菱形，∴O 为AC 中点………2分 又∵E 为CC '的中点，∴//OE AC '………4分又AC '⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ∴//AC '平面BDE .………6分（Ⅱ）解法一：在菱形ABCD 中，BD CO ⊥，BD AO ⊥ ∵△BCD 沿BD 折起, ∴BD C O '⊥………7分 又AO C O O '⋂=,∴BD ⊥平面AC O '………8分∵CC OC OC ''===∴C OC '∠＝3π，C O S C AO '='∆211sin 2AOCS AC AO AOC '''=⨯⨯∠=………10分∴13C ABD B AOC D AOC AOC V V V S DB ''''---=+=⨯DB S C AO ⨯'∆1＝123＝………12分解法二：在△C CO '内，过C '作C H OC '⊥于H ， 在菱形ABCD 中，BD CO ⊥，又△BCD 沿BD 折起, ∴BD C O '⊥………7分∵CO C O O '⋂= ∴BD ⊥平面CC O ' ∴BD ⊥C H '………8分 又CO BD O ⋂=，∴C H '⊥平面BDC ………9分∵CC OC OC ''===32C H '=………10分∴13C ABD ABD V S C H '-'=⨯H C S ABD'⨯∆＝213232⨯＝………12分19.解：（Ⅰ）2()sin (12sin )cos sin sin cos cos sin 2f x x x x x θθθθ=-+=+＝sin(x+θ).………3分因为f(x)在x ＝π时取最小值，所以sin(π+θ)=－1，故sin θ=1. ………5分又0＜θ＜π，所以θ＝2π………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=sin(x+2π)=cosx. ………7分因为f(A)=cosA=2，且A 为△ABC 的角，所以A ＝6π.………8分由正弦定理得 sinB ＝sin b A a=，所以π3B =或2π3B =………10分 当π3B =时，πππππ632C A B =--=--=； 当2π3B =时，π2ππππ.636C A B =--=--= 综上所述，26C C ππ==或………12分20. 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则()()1211132318,262,a d a a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩………2分解得⎩⎨⎧==421a d 或⎩⎨⎧==601a d ………4分∵0d ≠ ∴⎩⎨⎧==421a d ∴22na n =+．………5分（Ⅱ）由1n n n b b a +-=，∴11n n n b b a ---=()*2,n n ≥∈N ………6分 ∴当n ≥2时，()()()112211n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+………8分1211n n a a a b --=++++＝1222)1(22⨯+⨯++-+ n n＝)1(2)22(+=+n n n n ………10分又21=b 符合上式∴()111111n b n n n n ==-++………11分1111112231n T n n =-+-++-+111n =-+＝1n n +．………12分21. （Ⅰ）解：由题意得所求切线的斜率224cos )4(=='=ππf k ………2分 切点),22,4(πP 则切线方程为)4(2222π-=-x y 即04π12=-+-y x ………4分 （Ⅱ）解：=')(x g 221xm -（1）当m ≤0时，)(x g '≤0，则)(x g 的单调减区间是),(+∞-∞；………6分（2）当0>m 时，令)(x g '＜0，解得m x 2-<或m x 2>，则)(x g 的单调减区间是)2,(m --∞，).,2(+∞m ………8分（Ⅲ）证明：令),0[,sin )(+∞∈-=x x x x h ，0cos 1)(≥-='x x h ，则)(x h 是),0[+∞上的增函数，故当0>x 时，0)0()(=>h x h 所以0sin >-x x ，即)(x f x >………10分令),0[,6sin )(3+∞∈-+=x x x x x φ，12cos )(2-+='x x x φ，令)()(x x u φ'=，),0[+∞∈x ，0sin )(≥-='x x x u ，则)(x u 是),0[+∞上的增函数， 故当0≥x 时，0)0()(=≥u x u ，即0)(≥'x φ，因此)(x φ是),0[+∞上的增函数，则当0>x 时，0)0()(=>φφx ，即06sin 3>-+x x x ，)()(x g x f >综上若m ＝1时，得0>x 时，)()(x g x f x >>．……12分22. 解：（Ⅰ）由e =得c a =………1分由顶点M 、N225a b +=………2分又由222a b c =+，解得2,1a b ==所以椭圆C 的方程为2214xy +=………4分（Ⅱ）解法一：（ⅰ）点O 到直线AB 的距离为定值………5分 设),(),,(2211y x B y x A ,① 当直线AB 的斜率不存在时，则AOB ∆为等腰直角三角形，不妨设直线OA ：x y =将x y =代入1422=+y x ，解得552±=x所以点O 到直线AB 的距离为552=d ；………6分② 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为m kx y +=与椭圆C ：2214x y +=联立消去y 得222(14)8440k x kmx m +++-=………7分 122814kmx x k +=-+，21224414m x x k -=+………8分 因为OB OA ⊥，所以02121=+y y x x ，1212()()0x x kx m kx m +++=即0)()1(221212=++++m x x km x x k ………10分 所以2222222448(1)01414m k m k m k k -+-+=++，整理得2254(1)m k =+， 所以点O 到直线AB的距离d ==综上可知点O 到直线AB 的距离为定值552………11分（ⅱ）在Rt AOB ∆中，因为OBOA AB d ⋅=⋅又因为OBOA ⋅2≤222ABOB OA =+，所以2AB≥ABd ⋅2………13分所以AB ≥2AB d ≥=，当OB OA =时取等号，即AB 的最小值是554………14分解法二：（ⅰ）点O 到直线AB 的距离为定值………5分 设()00,y x A ,①当直线OA 的斜率为0时，2=OA ，1=OB ，此时552=⋅=AB OB OA d同理，当直线OA 的斜率不存在时，552=d ………6分②当直线OA 的斜率存在且不为0时，设直线OA 的方程为m kx y +=与椭圆C ：2214x y +=联立，解得144220+=k x ………7分14)1(4)1(222202++=+=k k k x OA ………8分 同理，4)1(4222++=k k OB ………9分 所以451122=+OBOA………10分所以552=⋅AB OB OA ，即552=d综上可知点O 到直线AB 的距离为定值552………11分（ⅱ）4174)1(202422222+++=+=k k k OB OA AB ………12分21942012942022242+++=+++=k k k k k ≥51649420=+………13分当且仅当221k k =，即1±=k 时，AB 的最小值是554………14分。
福建省泉州市2013届普通中学高中毕业班质量检查(文科)数学
准考证号________________ 姓名________________（在此卷上答题无效）保密★启用前泉州市2013届普通中学高中毕业班质量检查文 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．本试卷共6页，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：样本数据1x 、2x 、…、n x 的标准差：s =，其中x 为样本平均数；柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高； 锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高；球的表面积、体积公式：24S R π=，343V R π=，其中R 为球的半径．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{}0,1,2,3,4U =，{1,2,3}A =，{0,2}B =，则()U A B ð等于A ．{}1,2,3,4B ．{}0,1,2,3C ．{}1,2D ．{}1,32．命题“2,220x x x ∃∈++≤R ”的否定是A ．2,220x x x ∃∈++>RB ．2,220x x x ∃∈++≥RC ．2,220x x x ∀∈++>RD ．2,220x x x ∀∈++≤R 3．若直线:l 0x y a ++=经过圆:C 22240x y x y +-+=的圆心，则a 的值为A ．1-B ．1C ．2-D ．2 4．阅读如图所示的程序框图，执行框图所表达的算法，则输出的结果是A ．2B ．6C ．24D ．48 5．若直线l 与幂函数n y x =的图象相切于点A (2,8)，则直线l 的方程为A ．12160x y --=B ．40x y -=C ．12160x y +-=D ．640x y --= 6. 函数()sin f x x =的图象向左平移4π个单位后，所得图象的一条对称轴是 A ．4x =-πB ．4x =πC ．2x =πD ．34x =π7. 已知双曲线()222210,0x y a b ab-=>>的两个焦点恰为椭圆2214xy +=的两个顶点，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为 A ．2213yx -= B ．221412xy-= C ．2213xy -= D ．221124xy-=8．某几何体的三视图及其相应的度量信息如图所示，则该几何体的表面积为A ．20+B ．24C ．24+D ．289．已知单位向量a 、b ，满足⊥a b ，则函数2()()f x x =+a b （x ∈R ）A . 既是奇函数又是偶函数B . 既不是奇函数也不是偶函数C . 是偶函数D . 是奇函数 10．给出以下四个说法：①在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每间隔20分钟抽取一件产品进行某项指标的检测 ，这样的抽样是分层抽样；②在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数2R 的值越大，说明拟合的效果越好；③在回归直线方程122.0ˆ+=x y 中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量yˆ平均增加0.2个单位；④对分类变量X 与Y ，若它们的随机变量2K 的观测值k 越小，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大． 其中正确的说法是A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③11．对于定义域为R 的函数()f x ，若存在非零实数0x ，使函数()f x 在0(,)x -∞和0(,)x +∞上均有零点，则称0x 为函数()f x 的一个“界点”．则下列四个函数中，不存在“界点”的是 A ．2()1()f x x bx b =+-∈R B ．2()2x f x x =- C ．()21f x x =-- D ．()sin f x x x =-12.我国齐梁时代的数学家祖暅（公元前5-6世纪）提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等．设：由曲线24x y =和直线4x =，0y =所围成的平面图形，绕y 轴旋转一周所得到的旋转体为1Γ；由同时满足0x ≥，2216x y +≤，22(2)4x y +-≥，22(2)4x y ++≥的点(,)x y 构成的平面图形,绕y 轴旋转一周所得到的旋转体为2Γ.根据祖暅原理等知识，通过考察2Γ可以得到1Γ的体积为A ．16πB ．32πC ．64πD ．128π第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卡的相应位置． 13．已知(i)i 12i a +=--（a ∈R ，i 是虚数单位），则a 的值为 ．14．已知y x ,满足约束条件10,0,3,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则y x z 2+=的最大值为 ．15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22sin sin 2sin sin A B B C -=⋅，3c b =，则角A 的值为 ．16．利用计算机随机模拟方法计算2y x =与4y =所围成的区域Ω的面积时，可以先运行以下算法步骤：第一步：利用计算机产生两个在01 区间内的均匀随机数,a b ； 第二步：对随机数,a b 实施变换：1142,4,a a b b =⋅-⎧⎨=⎩得到点A ()11,a b ；第三步：判断点A ()11,a b 的坐标是否满足211b a <；第四步：累计所产生的点A 的个数m ，及满足211b a <的点A 的个数n ；第五步：判断m 是否小于M （一个设定的数）.若是，则回到第一步，否则，输出n 并终止算法.若设定的100M =，且输出的34n =，则据此用随机模拟方法可以估计出区域Ω的面积为 （保留小数点后两位数字）．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)等差数列{}n a 中，33a =，145a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18．(本小题满分12分)为了解某社区家庭的月均用水量（单位：吨），现从该社区随机抽查100户，获得每户某年的月均用水量，并制作了频率分布表和频率分布直方图（如图）.（Ⅰ）分别求出频率分布表中a b 、的值，并估计该社区家庭月均用水量不超过3吨的频率； （Ⅱ）设1A 、2A 、3A 是户月均用水量为[0,2)的居民代表，1B 、2B 是户月均用水量为[2,4]的居民代表. 现从这五位居民代表中任选两人参加水价论证会，请列举出所有不同的选法，并求居民代表1B 、2B 至少有一人被选中的概率．19．(本小题满分12分)如图，抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点F 在y 轴上，准线l 与圆221x y +=相切．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若点A B 、在抛物线C 上，且2FB OA =，求点A 的坐标．20．(本小题满分12分)已知O 为坐标原点，对于函数()sin cos f x a x b x =+，称向量(,)O M a b =为函数()f x 的伴随向量，同时称函数()f x 为向量O M的伴随函数．（Ⅰ）设函数()sin()2cos 22g x x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭-，试求()g x 的伴随向量O M 的模；（Ⅱ）记O N =的伴随函数为()h x ，求使得关于x 的方程()0h x t -=在[0,]2π内恒有两个不相等实数解的实数t 的取值范围．21．(本小题满分12分)如图，E 是以A B 为直径的半圆上异于A 、B 的点，矩形A B C D 所在的平面垂直于该半圆所在的平面，且22AB AD ==． （Ⅰ）求证：E A E C ⊥；（Ⅱ）设平面EC D 与半圆弧的另一个交点为F ．①试证：//E F A B ；②若1E F =，求三棱锥E A D F -的体积．22．(本小题满分14分)已知函数()3e xf x a =+（e 2.71828=…是自然对数的底数）的最小值为3． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）已知b ∈R 且0x <，试解关于x 的不等式 22()3(21)3lnf x ln x b x b -<+--；（Ⅲ）已知m Z ∈且1m >.若存在实数[1,)t ∈-+∞，使得对任意的[1,]x m ∈，都有()3e f x t x +≤，试求m 的最大值．泉州市2013届普通中学高中毕业班质量检查文科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． 1． D 2．C 3．B 4．B 5． A 6． B 7． A 8．A 9．C 10．D 11．D 12．B二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分.13．2- 14．11 15．3π16．10.56.三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．本小题主要考查等差数列、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想等. 满分12分.解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，由11123,(3) 5.a d a a d +=⎧⎨++=⎩………………………… 2分解得11,1.a d =⎧⎨=⎩ ………………………… 4分所以1(1)1(1)1n a a n d n n =+-=+-⋅=． ………………………… 6分（Ⅱ）因为n a n =，所以11n a n +=+，111(1)1n b n n nn ==-++，…………………… 9分所以1111111(1)()()()223341n S n n =-+-+-+⋅⋅⋅+-+1111n n n =-=++．…… 12分18．本小题主要考查频率分布表、频率分布直方图和古典概型、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分12分． 解：（Ⅰ）由频率分布直方图可得0.50.50.25a =⨯=，…………… 2分∴月均用水量为[1.5,2)的频数为25.故2100928b =-=，得4b =. ………………………… 4分由频率分布表可知，户月均用水量不超过3吨的频率为0.92， ……… 5分 根据样本估计总体的思想，估计该社区家庭月均用水量不超过3吨的频率为0.92． ……… 6分（Ⅱ）由1A 、2A 、3A 、1B 、2B 五代表中任选2人共有如下10种不同选法，分别为：12()A A ，，13()A A ，，11()A B ，，12()A B ，，23()A A ，，21()A B ，，22()A B ，，31()A B ，，32()A B ，，12()B B ，. ………………………… 8分记“1B 、2B 至少有一人被选中”的事件为A ，事件A 包含的基本事件为：11()A B ，，12()A B ，，21()A B ，，22()A B ，，31()A B ，，32()A B ，，12()B B ，，共包含7个基本事件数. ……………… 10分 又基本事件的总数为10，所以7()10P A =.即居民代表1B 、2B 至少有一人被选中的概率为710. …………………… 12分19．本小题主要考查抛物线的标准方程、直线与圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．满分12分． 解：（Ⅰ）依题意，可设抛物线C 的方程为22(0)x py p =>，其准线l 的方程为2p y =-. ………………………… 2分∵准线l 与圆221x y +=相切，∴所以圆心(0,0)到直线l 的距离0()12p d =--=，解得2p =. ……… 4分故抛物线C 的方程为:24x y =． ………………………… 5分（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2112224,4.x y x y ⎧=⎨=⎩…………① …………………… 6分∵(0,1)F ，22(,1)FB x y =- ，11(,)OA x y =，2FB OA = ,∴22(,1)x y -112(,)x y =11(2,2)x y =，即 21212,2 1.x x y y =⎧⎨=+⎩ …………② ………………… 9分②代入①，得211484x y =+，21121x y =+， 又2114x y =，所以11421y y =+，解得112y =，1x =即1)2A或1()2． ………………………… 12分20．本小题主要考查平面向量和三角函数等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想以及分类与整合思想等． 解：（Ⅰ）∵()sin()2cos 22g x x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭-2sin cos x x =+， ……………… 2分 ∴(2,1)O M =． ………………………… 4分故O M ==……………………… 5分（Ⅱ）由已知可得()sin h x x x =+2sin()3x π=+，……………………… 7分∵02x π≤≤， ∴336x ππ5π≤+≤，故[]()1,2h x ∈. ……………………… 9分∵当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()h x单调递增，且()2h x ⎤∈⎦；当,62x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，函数()h x 单调递减，且[)()1,2h x ∈. ∴使得关于x 的方程()0h x t -=在[0,]2π内恒有两个不相等实数解的实数t 的取值范围为)2t ∈． … 12分21．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系及棱锥体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想等.满分12分. 解：（Ⅰ）∵平面A B C D ⊥平面A B E ，面A B C D 面A B E A B =，B C A B ⊥，B C ⊂面A B C D ， ∴B C ⊥面A B E ． ………………………… 2分又∵A E ⊂面A B E ，∴BC AE ⊥． ………………………… 3分 ∵E 在以A B 为直径的半圆上，∴AE BE ⊥，又∵BE BC B = ，B C B E ⊂、面BC E ，∴A E ⊥面BC E ．…………… 4分 又∵C E ⊂面BC E ，∴E A E C ⊥． ……………………… 5分（Ⅱ）① ∵//A B C D ，A B ⊄面C ED ，C D ⊂面C ED ，∴//A B 平面C ED ．… 6分又∵A B ⊂面A B E ，平面ABE 平面C ED E F =， ∴//A B E F . ……………… 8分 ②取A B 中点O ，E F 的中点'O ，在'R T O O F ∆中，1O F =，1'2O F =，∴'2O O =．（Ⅰ）已证得B C ⊥面A B E ，又已知//AD BC ， ∴AD ⊥平面A B E ．…………… 10分故13E A DF D A E F A E F V V S AD --∆==⋅⋅11'3212EF O O AD =⋅⋅⋅⋅=． … 12分 22．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等．满分14分. 解：（Ⅰ）因为R x ∈，所以0x ≥，故0()3e 3e 3xf x a a a =+≥+=+，因为函数()f x 的最小值为3，所以0a =． ……………… 3分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，()3e xf x =.当0x <时，ln ()ln(3e )ln 3ln e ln 3ln 3x xf x x x ==+=+=-+，……… 5分故不等式22ln ()ln 3(21)3f x x b x b -<+--可化为：22(21)3x x b x b -<+--，即22230x bx b +->， ……………… 6分 得(3)()0x b x b +->，所以，当0b ≥时，不等式的解为3x b <-；当0b <时，不等式的解为x b <． …………… 8分市质检数学（文科） 第11页（共11页） （Ⅲ）∵当[1,)t ∈-+∞且[1,]x m ∈时，0x t +≥，∴()3e 1ln x t f x t x e ex t x x ++≤⇔≤⇔≤+-. ∴原命题等价转化为:存在实数[1,)t ∈-+∞，使得不等式1ln t x x ≤+-对任意[1,]x m ∈恒成立. …………… 10分 令()1ln (0)h x x x x =+->. ∵011)('≤-=x x h ，∴函数()h x 在(0,)+∞为减函数. …………… 11分 又∵[1,]x m ∈，∴m m m h x h -+==ln 1)()(min . …………… 12分∴要使得对[1,]x m ∈，t 值恒存在，只须1ln 1m m +-≥-．………… 13分 ∵131(3)ln 32ln()ln 1h e e e =-=⋅>=-，2141(4)ln 43ln()ln 1h e e e =-=⋅<=- 且函数()h x 在(0,)+∞为减函数，∴满足条件的最大整数m 的值为3．…… 14分。