广东省揭阳一中等高三上学期开学摸底联考数学理试题

k=0,S=1k <3开始结束是否k=k+1 输出SS=S ×2k（第6题图）2013—2014学年度高三摸底考联考数学（理）试题本试卷共4页，三大题，满分150分。

考试时间为120分钟。

注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座号写在答题卷密封线内。

2、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答。

3、答案一律写在答题区域内，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（本卷共计70分）一、选择题：(本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合{}1,1A =-，{}|20B x ax =+=，若B A ⊆,则实数a 的所有可能取值的集合为（ ）A. {}2-B. {}2C. {}2,2-D. {}2,0,2-2. 设z 是复数，()a z 表示满足1nz =的最小正整数n ，则对虚数单位，()a i =（ ）A. 8B. 6C. 4D. 23．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是4.“0m n >>”是“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件5．已知幂函数()y f x =的图象过点13,33⎛⎫⎪ ⎪⎝，则9log (3)f 的值为（ ） A ．14 B ．14- C ．2 D ．－2A6．执行如图所示的程序框图,输出的S 值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．167．已知函数sin cos y x x =-，则下列结论正确的是（ ） A. 此函数的图象关于直线4x π=对称B. 此函数在区间(,)44ππ-上是增函数 C. 此函数的最大值为1 D. 此函数的最小正周期为π 8．若不等式2229t t a t t +≤≤+在t ∈(0,2]上恒成立，则a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤16，1 B.⎣⎡⎦⎤213，1 C.⎣⎡⎦⎤16，413 D.⎣⎡⎦⎤16，22 二、填空题：(本大题共7小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分．) （一）必做题：(第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答.)9．函数1lg(4)y x =+-的定义域是______________.10．已知,x y 满足约束条件5000x y x y y ++⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≤，则24z x y =+的最小值是_________.11. 若n展开式中所有二项式系数之和为16，则展开式常数项为 . 12．若双曲线22a x －22by =1的渐近线与圆3)2(22=+-y x 相切，则此双曲线的离心率为 ．13. 已知正项等比数列{}n a 满足：7652a a a =+，若存在两项,m n a a 14a =，则14m n+的最小值为（二）选做题：(第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．)14. (几何证明选讲选做题)已知 AB 是圆O 的一条弦，点P 为AB 上一点，PC OP ⊥,PC 交圆O 于点C ，若6AP =,3PB =,则PC 的长为 .3π⎫⎪⎭，15. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，已知两点A 、BAC4,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则△ABC （其中O 为极点）的面积为 . 第II 卷（本卷共计80分）三、解答题：（本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）16.（本题满分12分）已知向量sin ,cos ,cos ,sin 3366x x A A ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b ,函数()f x =g a b (0,A x R >∈),且(2)2f π=. (1)求函数()y f x =的表达式;(2)设,[0,]2παβ∈, 16(3),5f απ+=5203213f πβ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭;求cos()αβ+的值 17．（本题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.(Ⅰ)确定x,y 的值,并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望;(Ⅱ)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率.(注:将频率视为概率) 18．（本题满分14分）如图，在三棱锥P-ABC 中，AB ＝AC ，D 为ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2 （Ⅰ）证明：AP ⊥BC ；（Ⅱ）在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A-MC-B 求出AM的长；若不存在，请说明理由.19．（本题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*1()n n S a n N =-∈。

（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设,1,log 1121nn b b c a b n n n n n ++==+记12,n n T c c c =++⋅⋅⋅+证明：T n ＜1.20．（本题满分14分）已知圆C 的圆心为(,0),3<C m m ，半径为5，圆C 与椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 有一个公共点A (3,1)，21F F 、分别是椭圆的左、右焦点． （1）求圆C 的标准方程；（2）若点P 的坐标为(4,4)，试探究斜率为k 的直线1PF 与圆C 能否相切，若能，求出椭圆E 和直线1PF 的方程;若不能，请说明理由．21．（本题满分14分）已知函数32()ln(21)2()3x f x ax x ax a R =++--∈．（1）若2x =为()f x 的极值点，求实数a 的值；（2）若()y f x =在[)3,+∞上为增函数，求实数a 的取值范围；（3）当12a =-时，方程()31(1)3x b f x x--=+有实根，求实数b 的最大值。

2013—2014学年度高三摸底考联考数学科答题卷登分栏:第一题第二题第三题总分第16题第17题第18题第19题第20题第21题一、选择题：（8小题，共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案二、填空题：（共6小题，共30分）9、；10、；11、12、；13、；（）.三、解答题：（注意：必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在各题指定区域内相应位置.）16、（本题满分12分）17、（本题满分12分）18、（本题满分14分）19、（本题满分14分）20、（本题满分14分）2013—2014学年度高三摸底考联考数学科参考答案一、选择题：二、填空题：9.(][)(),11,33,4-∞-⋃⋃ ； 10.15-； 11.24；21、（本题满分14分）12.2； 13. 32； 14. ； 15.2 三、解答题：16.解:(1)依题意得()sin cos cos sin 3636x x f x A A ππ=+sin 36x A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭……2分 又(2)2f π=得2sin 236A ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,即 5sin 26A π=,∴4A =……3分 ∴()4sin 36x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭…………4分 (2)由16(3)5f απ+=得1164sin (3)365παπ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦,即164sin 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭……5分∴4cos 5α=,……6分 又∵[0,]2πα∈,∴3sin 5α=,……7分 由5203213f πβ⎛⎫+=-⎪⎝⎭得15204sin (3)32613ππβ⎡⎤++=-⎢⎥⎣⎦,即5sin()13βπ+=- ……8分 ∴5sin 13β=,……9分 又∵[0,]2πβ∈,∴12cos 13β=……10分4123533cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ+=-=⨯-⨯=……12分 17. 解：(1)由已知,得251055,35,y x y ++=+=所以15,20.x y == ……2分该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本,将频率视为概率得153303251(1),( 1.5),(2),10020100101004p X p X p X ========= 201101( 2.5),(3).100510010p X p X ====== ……………………………………4分 X的分布为X 的数学期望为 33111()1 1.52 2.53 1.920104510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. …………6分(Ⅱ)记A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”,(1,2)i X i =为该顾客前面第位顾客的结算时间,则121212()(11)(1 1.5)( 1.51)P A P X X P X X P X X ===+==+==且且且. ……8分A由于顾客的结算相互独立,且12,X X 的分布列都与X 的分布列相同,所以121212()(1)1)(1)( 1.5)( 1.5)(1)P A P X P X P X P X P X P X ==⨯=+=⨯=+=⨯=(333333920202010102080=⨯+⨯+⨯=. ………………11分 故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为980.………………12分18. 方法一: （Ⅰ）证明：如图，以O 为原点，以射线OP 为z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz .则O （0,0,0），A （0，-3,0），B （4,2,0），C （-4,2,0），P （0,0,4）………1分(0,3,4),(8,0,0),AP BC ==-u u u r u u u r…………2分由此可得0AP BC ⋅=u u u r u u u r 所以AP u u u r ⊥BC u u ur ，即AP ⊥BC .…………4分（Ⅱ）解：设,1,(0,3,4),PM PA PM λλλ=≠=--u u u u r u u u r u u u u r则……5分BM BP PM BP PA λ=+=+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r(4,2,4)(0,3,4)λ=--+--(4,23,44),λλ=----……6分(4,5,0),(8,0,0).AC BC =-=-u u u r u u u r…………7分设平面BMC 的法向量1111(,,),n x y z =u r平面APC 的法向量 2222(,,),n x y z =u u r…………8分由110,0,BM n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u r u u u r u r 得11114(23)(44)0,80,x y z x λλ--++-=⎧⎨-=⎩即1110,23,44x z y λλ=⎧⎪⎨+=⎪-⎩可取23(0,1,),44n λλ+=-r …………10分由210,0,AP n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u r u u u r u r即2222340,450,y z x y +=⎧⎨-+=⎩得22225,43,4x y z y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 可取2(5,4,3),n =-u u r…………12分A C由120n n ⋅=u r u u r ，得2343044λλ+-⋅=-， 解得25λ=，…………13分 综上所述，存在点M 符合题意，AM=3.…………14分方法二：（Ⅰ）证明：由AB=AC,D 是BC 的中点，得AD ⊥BC,…………1分又PO ⊥平面ABC ,得PO ⊥BC .…………2分因为PO∩AD=0，所以BC ⊥平面PAD …………3分故BC ⊥PA .…………4分（Ⅱ）解：如下图，在平面PAB 内作BM ⊥PA 于M ,连CM . …………5分由（Ⅰ）中知AP ⊥BC ,得AP ⊥平面BMC . …………6分又AP ⊂平面APC ,所以平面BMC ⊥平面APC 。