高等数学(精选公式)

0sin lim

1x x

x

→=0tan lim 1x x x

→=0arctan lim 1x x

x

→=0arcsin lim 1x x x

→=1

lim(1)x x e x

→∞+=10

lim(1)x

x x e

→+=1lim(1)n

n e n

→∞+=00log (1)1ln(1)

lim lim 1

ln a x x x x x a x

→→++=⇒=0011

lim ln lim 1x x x x a e a x x

→→--=⇒=sin arc x x

tan x x

tan arc x x

2

1cos 2

x x -

1ln x

a x a

- 1x e x

- 11n

x

x n

+-

112

x

x +-

log (1)ln a x

x a

+

(1)1u

x ux

+- ln(1)x x

+ 0

lim cot 0,lim cot ,lim 1

x

x x x arc x arc x x π+→∞

→-∞

→===→（当x 0时）

lim (0)1,lim 1,limarctan ,lim arctan 22

n

n

n n x x a a n x x ππ→∞→∞→∞→-∞>====-sin x x

1、两个重要限:

1、1第一个重要极限:

推论：

1、2第二个重要极限：

其他形式：

推论：

1、3常见的几个极限

2、等价无穷小

2.1常用的等价无穷小

→ 当x 1时，lnx x-1(这个等价无穷小很有用。)ln ln[1(1)]1(10)

x x x x =+---→ 证明：3

sin 6

x x x -

35

(sin ...)

3!5!

x x x x =-+- 3

35

2tan (tan ...)

3315x x x x x x x -=++-

3

3

5

tan sin (tan sin ...)228x x x x x x x --=+

-

223

1(1...)2

2!

3!

x x x

x

x e x e x --=+++

+

2

23

ln(1)(ln(1)...)

223

x x x x x x x -++=-+-

0x →一些更高阶的等价无穷小（当时）：

2

21

sin (cos x x '''=三角函数：（x ）

=cosx,cosx)=-sinx ,(tanx)=sec 221

(cot )csc ,(sec )sec tan ,(csc )csc cot sin x x x x x x x x x

'''=-=-==-2

2

2

111

arc ,(arccos ),(arctan )111x x x x x '''=-

=

+--反三角函数:（sinx ）

=222111

(cot )(sec ),(csc )111arc x arc x arc x x x x x x '''=-==-+--，121

11

,(),

()2u

u x x x

x

-'''=

=-幂函数：（x ）

=ux ()ln ,()x x x x a a a e e ''==指数函数：11

log ,(ln )ln a x x a x

''=

对数函数（：x ）='常值函数：（c ）

=0

3、导 数公式

()()y f u u x ==Φ设和可导，则

00000()()()()lim h f x h f x f x f h

→''+-''=函数在点x 处的二阶导数的定义：x 2

(),u u v uv u v u v uv u v uv v v ''

-'''''''±=±±和差：乘积：()=，商：()=

=.=().(){[()]}[()].()dy dy du dy

f u x f x f x x dx du dx dx

'''''ΦΦ=ΦΦ或或()()(())y f u u x y f x ==Φ=Φ设和二阶导数，则复合函数也二阶可导，且

22222

2

2

2

=

.(

).

(())()(())()

d y d y du dy d u y f x x f x x dx

du

dx

dx dx

''''''''+

=ΦΦ+ΦΦ或4、高阶导数

一些常用的n 阶导数公式

()()()

()!()(1)(2)...(1),()!,()(ln )!

u n u n u n n n x n x n

u x u u u u n x x x n a a a u n θ

--=---+===-

()

()

()()1

1

1!1!()

,()

(),()(1),()(1)()n x n x x n x

n n n n n n a n n e e xe x n e ax b ax b x x ++==+=-=-++

()

1

()()

(1)

,(sin )sin(.),(cos)cos(.)

(1)22n n n n n n x x x n x n x ππ--+=-=+=++

()()[sin()]sin(.),[cos()]cos(.)

22n n n n ax b a ax b n ax b a ax b n ππ

+=+++=++

两个函数乘积的高阶导数（莱布尼茨公式）：

()

()()

()

()()

0(1)...(1)()

()

!n

n

n k

n k k n n k k n k k n n n k uv c u

v uv u v

k --==--+==∑∑或

5、导数的四则运算法则

5、1复合函数的求导法则（链式法则）

5、2复合函数的二阶导数