高中新课程数学(新课标人教A版)选修1-2《第三章 数系的扩充与复数的引入》章末质量评估
人教A版高中数学选修1-2《三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算》优质课教案_6
《复数代数形式的乘除运算》教学设计一、教学设计（一）教材分析《复数代数形式的乘除运算》是高中选修2-2第三章第二节第二小节内容,是复数代数形式的四则运算中的其中两种运算。
本节课的学习是建立在学生已经掌握了复数的基本概念、几何意义及复数代数形式的加减法运算法则、加减法运算的几何意义的基础上,进一步对于复数代数形式的运算进行研究,在学完复数代数形式的加减法运算后,本节课是对上节课内容的一个延续。
通过类比实数的乘除法,创设问题,让学生直接像实数一样对复数的乘除法进行运算,从而直观的感知了实数四则运算与复数四则运算的统一性,体现了数系的内部联系,培养了学生的逻辑推理能力,渗透了类比、数形结合的数学思想,同时也补充完整了复数的四则运算。
因此本节课的内容是整个这一章的重要内容。
（二）学情分析在学习本节课之前,学生已经掌握了复数的概念、几何意义以及代数形式的加减运算法则,同时对于类比、数形结合的数学思想方法也有了初步的认识,也具备了一定的计算能力。
这为学习复数代数形式的乘除运算打下了很好的基础。
本节课面对的是高二年级文科的学生,这个年龄段的学生思维活跃,求知欲强,但因为学生数学基础薄弱,所以思维习惯上还有待教师引导。
为了更好的实现本节课的教学目标,教师需要耐心对学生进行引导,并利用多媒体交互平台加强学生对知识的感知,让学生充分感受复数代数形式的乘除运算法则,深入体会类比、数形结合的思想方法。
根据本节课的教学内容及学生的实际情况,我将本节课的教学难点制定为:复数代数形式的除法运算。
学生根据教师提供的情境,采用思考、分析、类比等方式探索知识,归纳知识。
通过创设问题,引导学生开展独立思考、主动探究,鼓励学生创新思考,加强数学实践,培养学生的理性思维,同时注重培养学生良好的数学学习习惯。
（三）教学目标：知识与能力目标:1.理解复数代数形式的乘法运算法则2.掌握复数代数形式的乘法运算的运算律3.了解共轭复数的概念及互为共轭的两个复数之间的关系4.熟练的掌握复数的除法运算过程与方法目标:1.通过类比实数的运算法则,体会类比的思想方法。
人教A版高中数学选修1-2《三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算》精品课件_26
1．两个复数代数形式乘法的一般方法 (1)首先按多项式的乘法展开． (2)再将 i2 换成－1. (3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式． 2．常用公式 (1)(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)． (2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)． (3)(1±i)2＝±2i.
解析：因为(a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，所以 a－1＝0， a＋1＝b，即 a＝1，b＝2，所以 a＋bi＝1＋2i. 答案：1＋2i
复数代数形式的除法运算
[典例] (1)若复数 z 满足 z(2－i)＝11＋7i(i 是虚数单位)，则 z
为
()
A．3＋5i
B．3－5i
C．－3＋5i
C．－1＋2i
D．－1－2i
答案：A
3．若复数 z1＝1＋i，z2＝3－i，则 z1·z2＝
A．4＋2i
B．2＋i
C．2＋2i
D．3＋4i
答案：A
4．复数i2＋1－i3＋i i4＝________. 答案：12－12i
() ()
复数代数形式的乘法运算
[典例] (1)已知 i 是虚数单位，若复数(1＋ai)(2＋i)是纯虚数，
i 的乘方的周期性及应用
[典例] (1)(湖北高考)i 为虚数单位，i607 的共轭复数为( )
A．i
B．－i
C．1
D．－1
(2)计算 i1＋i2＋i3＋…＋i2 016＝________.
[解析] (1)因为 i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，所以其共轭复数为 i， 故选 A.
(2)法一：原式＝i(1－1－i2i016)＝i[1－1(－i2)i1 008]＝i(11－－i1)＝0.
人教A版高中数学选修1-2《3.1.1数系的扩充和复数的概念》课件
跟踪训练1 下列命题： ①1＋i2＝0； ②若a∈R，则(a＋1)i为纯虚数； ③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0； ④两个虚数不能比较大小. 是真命题的为__①__④____.(填序号)
解析 答案
类型二 复数的分类 例 2 求当实数 m 为何值时，z＝m2m－＋m3－6＋(m2＋5m＋6)i 分别是： (1)虚数；
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16、业余生活要有意义，不要越轨。2021年6月23日 星期三 10时2分16秒10:02:1623 June 2021
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17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。上 午10时2分16秒 上午10时2分10:02:1621.6.23
谢谢大家
解得m＝1；
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，
得mm22＋ －m2m－＝2＝ 0，4， 解得 m＝2.
综上可知，m＝1或m＝2.
解答
当堂训练
1.下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是
A.±1
B.±i
√C.± 2 i
D.±2i
1234
答案
2.若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值是
知识点三 复数的分类
实数b＝0 (1)复数(a＋bi，a，b∈R) 虚数b≠0纯 非虚 纯数 虚数a＝a0≠ 0
(2)集合表示：
题型探究
类型一 复数的概念
例1 (1)给出下列命题： ①若z∈C，则z2≥0；
②2i－1虚部是2i；
③2i的实部是0；
④若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应； ⑤实数集的补集是虚数集.
其中真命题的个数为
A.0
B.1
C.2
D.3
解析 答案
(2)已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分 别是_±___2_，__5_. 解析 由题意知ab2－＝22＝，3， ∴a＝± 2，b＝5.
人教A版高中数学选修1-2《三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算》优质课教案_12
高初中数学衔接—知识的衔接教学1.有理数混合运算强调“以三步为主”。
2.减少公式：乘法公式只有两个（即平方差、完全平方公式）,没有立方和与立方差公式。
需要衔接：立方和、立方差公式，两数和的立方、差的立方公式，三数和的平方公式及其推导与应用（包括正用与逆用）3.多项式相乘仅指一次式相乘，会影响到今后二项式定理及其相关内容的教学。
需要扩展4.因式分解的要求降低，只要求提公因式法、公式法（平方差、完全平方公式）。
需补充：十字相乘法、分组分解法，高次多项式分解。
（高中经常用到）5.一元一（二）次方程中含字母系数的方程，新课标不作要求。
6.三元一次方程组，可化为一元二次方程的分式方程，无理方程，二元二次方程组在新课标中都已经不作要求。
需要补充：简单的无理方程，可化为一元二次方程的分式方程，含绝对值的方程，含有字母的方程，双二次方程，多元一次方程组，二元二次方程组的解法。
8.根式的运算（根号内含字母的）比较薄弱，值得一提的是分母有理化已不作要求。
如果不加强根式运算，以后求圆锥曲线标准方程就会受到影响。
需要补充：二次根式、最简二次根式、同类根式的概念与应用、根式的化简与计算，对分母、分子有理化也需要适当补充。
9.初中数学新课标中指出：借助数轴理解绝对值的意义，会求有理数的绝对值，特别是“绝对值符号内不含字母”。
因此到高中的不等式、函数、方程等含参数问题的解答就受到影响。
需要补充：绝对值符号内含有字母的分段讨论问题10.关于配方法：课标要求“理解配方法，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程”。
但对于求二次函数的顶点，课标中没有要求用配方法，课标的要求是会根据顶点公式确定图像的顶点，且公式不要求记忆和推导。
需要补充：应熟练地掌握配方法，掌握二次函数图象的顶点和对称轴的记忆与推导，熟练地掌握用待定系数法求二次函数的解析式，能利用根的判别式研究函数的图象与性质。
11.一元二次不等式在初中没作要求。
建议：可结合二次函数图象，解决简单的二次不等式。
高中数学选修1-2(人教A版)第三章数系的扩充与复数的导入3.2知识点总结含同步练习及答案
3.
下面是关于复数
z=
2 −1 + i
的四个命题：
p1 : |z| = 2；
p2 : z2 = 2i；
p3 : z 的共轭复数为 1 + i；
p4 : z 的虚部为 −1．
其中的真命题为 ( )
A．p2 , p3
B．p1 , p2
答案： C
解析： 由于
C．p2 , p4
z=
2 −1 + i
=
2 (−1 − i) 2
−
√3 2
i+
1 4
=−
1 2
−
√3 2
i；
（3）原式
=
1 + 2i 3 − 4i
=
(1 + 2i)(3 + 4i) (3 − 4i)(3 + 4i)
=
−5 + 10i 25
=−
1 5
+
2 5
i．
计算
(−
1 2
+
√3 2
4
i)
的值．
解：法一：原式
=
(
1 4
−
√3 2
高中数学人教版选修1-2 第三章 数系的扩充与复数的引入 数系的扩充和复数的概念
(1)已知复数 z＝(a－1)－(2－b)i 的实部和虚部分别是 2 和 1，则实数 a，b 的值分别是________．
(2)判断下列命题的真假 ①若 a，b∈R 且 a>b，则 a＋i>b＋i； ②若 x2＋y2＝0，则 x＝y＝0； ③若 a∈R，则(a＋1)i 为纯虚数． [思路导引] 把复数写成标准的代数式形式，是解决问题的 关键；复数由虚数和实数两部分构成，概念不要模糊．
[跟踪训练] 已知复数 z＝x＋yi(x，y∈R)，且 x，y 满足 2x＋y＋xi＝8＋(1 ＋y)i，求复数 z.
[解] ∵2x＋y＋xi＝8＋(1＋y)i，且 x，y∈R， ∴2x＝x＋y1＝＋8y，， 即xx＋ －yy＝ ＝31， ， 解得xy＝＝21，. ∴z＝2＋i.
第
三 数系的扩充与复数的引入
章
3.1
数系的扩充和复数的概念
3.1.1
数系的扩充和复数的概念
课前自主预习 K
教材为本 梳理新知
[教材研读] 预习课本 P50～51，思考以下问题 1．什么是复数，其实部和虚部是实数吗？
2．在复数集下，数是如何分类的？
3．复数相等的条件是什么？
[要点梳理] 1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如 a＋bi 的数叫做复数，其中 a，b∈R，i 叫 做 _虚__数__单__位__．_a 叫 做 复 数 的 ___实__部_____ ， b 叫 做 复 数 的 ___虚__部__．___ (2)复数的表示方法：复数通常用字母_____z_____表示，即 __z＝__a_＋__b_i__. (3)复数集定义：_全__体__复__数___所构成的集合叫做复数集．通常 用大写字母 C 表示．
[解析] (1)由题意得：a－1＝2，－(2－b)＝1，所以 a＝3，b ＝3.
人教A版高中数学高二选修1-2第三章 数系的扩充与复数的引入
〔跟踪练习4〕
实数m取什么值时，复数lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i 分别[解是析](1)(1纯)复虚数数lg(．m2－(22)m实－数2)＋．(m2＋3m＋2)i 为纯虚数，
则mm22－ ＋23mm－ ＋22＝ ≠10， ， 所以mm＝ ≠3－或2m且＝m－ ≠1－，1， 所以 m＝3. 即 m＝3 时，lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i 为纯虚数．
[辨析] 两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小 的，错解①中忽视了这一特殊情况导致错误；而错解②将 虚数与纯虚数概念混淆，事实上纯虚数集是虚数集的真子 集，在代数形式上，纯虚数为bi(b∈R且b≠0)虚数为a＋ bi(a，b∈R，且b≠0)．③中要保证a＋b≠0才可能是纯虚 数．
[正解] A 两个复数当它们都是实数时，是可以比较 大小的，故①是不正确的；
互动探究学案
命题方向1 ⇨复数的概念
典例 1
下列命题中，正确命0 题的个数是___.
①若x、y∈C则x＋yi＝1＋iR且a＞b，则a＋i＞b＋i；
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；
④若a∈R，则(a＋1)i为纯虚数．
[思路分析] (1)是两复数相等，用复数相等的充要条件
(5－ －15)这两个表示式是没有意义的、想象的、虚无飘渺的．法国数学家笛 卡儿(1596～1650)在《几何学》中使用“虚的数”与“实的数”相对应，从此， 虚数才流传开来．但这引起了数学界的一片困惑，很多大数学家都不承认虚 数．然而，真理性的东西一定可以经得住时间的考验，并最终占有一席之地．
许多数学家经过长期不懈的努力，深刻探讨并发展了复数理论，才使得在数学 领域游荡了 200 年的“幽灵”——虚数揭去了神秘的面纱，显现出它的本来面 目，原来虚数不虚．虚数成为了数系大家庭中的一员，从而实数集才扩充到了 复数集．
人教版A版高中数学选修1-2：数系的扩充与复数的概念
a ⑶复数的代数形式：Z＿=＿a+＿b＿i ＿(a＿,b＿∈＿R＿) ，其中＿＿＿＿叫做复数的实 b 部，＿＿＿叫做复数的虚部，复数的实部和虚部都是_实__＿数＿＿．
(4)对于复数a+bi(a,b ∈R),
b=0 b ≠0 当且仅当＿ ＿＿＿＿时,它是实数;当＿＿＿＿＿＿＿时, 叫做虚数; 当＿a＿=＿0＿,b＿＿≠＿0 时, 叫做纯虚数;
二、探究以下问题
1、如何解决-1开平方问题，即一个什么数它 的平方等于-1？
2、虚数单位i有怎样的性质？ 3、复数的代数形式？ 4、复数集C和实数集R之间有什么关系? 5、如何对复数a+bi(a,b∈R)进行分类?
学生活动
1.复数的概念：
i ⑴虚数单位：数＿＿叫做虚数单位，具有下面的性质： i =-1 i ①＿＿2＿＿＿＿＿＿＿②＿不＿＿能＿比＿＿较＿＿大＿小＿＿＿＿ z ⑵复数：形如＿a＿+＿bi＿＿(a＿,b＿∈＿R＿) ＿叫做复数，常用字母＿＿＿表示，
（3）了解复数的代数表示方法
一、自主学习
思考：
问题1：我们知道，对于实系数一元二次方程 ， 没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使 得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？
问题2：类比引进 ，就可以解决方程 在有理数 集中无解的问题，怎么解决 在实数集中无解 的问题呢
问题3：把实数和新引进的数i 像实数那样 进 行运算，并希望运算时有关的运算律仍成立， 你得到什么样的数？
3、如果（2 x- y)+(x+3)i=0(x，y∈R)则x+y的值是（ ）
反思总结
你对复数的概念有了比较清楚的认识吗？ 对复数a+ bi(a,b∈R)的正确分类 复数相等的概念的理解及应用
高中数学人教A版选修1-2教案-3.1 数系的扩充和复数的概念
教学准备1. 教学目标知识与技能1、了解数系扩充的过程及引入复数的需要2、掌握复数的有关概念和代数符号形式、复数的分类方法及复数相等的充要条件过程与方法1、通过数系扩充的介绍，让学生体会数系扩充的一般规律2、通过具体到抽象的过程，让学生形成复数的一般形式情感态度与价值观1、体会数系的扩充过程中蕴含的创新精神与实践精神，感受人类理性思维的作用2、体会类比、分类讨论、等价转化的数学思想方法2. 教学重点/难点重点：引入复数的必要性与复数的相关概念、复数的分类，复数相等的充要条件难点：虚数单位i的引进和复数的概念3. 教学用具4. 标签教学过程（一）问题引入事实上在实数范围内x和y确实不存在？为什么会这样呢？假设x和y是存在的，那么就肯定是一些不是实数的数，那么，这些数是什么呢？我们能不能解决这个问题呢？这就是我们今天要学习的内容《数系的扩充和复数的引入》（二）回顾数系的扩充历程师：其实对于这种“数不够用”的情况，我们并不陌生。
大家记得吗？从小学到现在，我们一直在经历着数的不断扩充。
现在就让我们来回顾一下，看看我们以前是怎么解决“数不够用”的问题的。
（三）类比，引入新数，将实数集扩充1、类比数系的扩充规律，引导学生找出解决“实数不够用”这个问题的办法生：引入新数，使得平方为负数师：我们希望引入的数的平方为负数，但是负数有无穷多个，我们不肯能一下子引入那么多，只要引入平方为多少就行呢？2、历史重现：3、探究复数的一般形式：（四）新的数集——复数集1.复数的定义(略)2.复数的应用：复数在数学、力学、电学及其他学科中都有广泛的应用，复数与向量、平面解析几何、三角函数等都有密切的联系，是进一步学习数学的基础。
（五）复数的分类（六）复数相等的充要条件复数相等的充要条件可以把复数相等的问题转化为求方程组的解的问题，是一种转化的思想。
课堂小结1、由于实际的需要，我们总结数的三次扩充过程的规律，运用类比的方法，我们引进了新的数i，并将实数集扩充到了复数集，认识到了复数的代数形式，并讨论了复数的分类及复数相等的充要条件，并且利用相等的条件把复数问题转化为方程组的解的问题2、那么，复数究竟是什么东西呢？能不能像实数一样在现实中找到它的影子呢？别急，我们的探索脚步并不会停止下去，这是我们下次将要探索的内容。
人教A版高中数学选修1-2课件：3.1《数系的扩充和复数的概念》1(新选修1—2)
虚部分别是 2, 3 ,
1 2
并且其中只有 0.2i 是纯虚数 .
显然,实数集R是复数集 C的真子集,即R C.
虚数集 复数集 纯虚数集
这样,复数 z a bi 可以 分类如下 :
复数 z 实数 b 0,
实数集
图3.1 1
虚数 b 0, 当a 0时为纯虚数.
Euler 最早引用的 虚数单位i是瑞士数学家欧拉
它取自imaginary (想象的 , 假想的 )一词的词头 .
在复数集C a bi | a, b R 中任取两个数 a bi, c dia, b, c, d R , 我们规定: a bi与c di相等的充要条件是 a c且b d.
a i可以看作是 a 1i, bi可以看作是 0 bi, a可以 看是a 0 i, i可以看作 0 1i.
我们把集合C a bi | a, b R 中的数,即形如 a bia, b R 的数叫做 复数(complex number ), 其中i叫做 虚数单位 (imaginary unit ).全体复数 所成的集合C叫做 复数集 (set of complex nu mbers ).
2
依照这种思想 , 我们来研究把实数系进 一步扩充 的问题.
为了解决 x 2. 1 0这样的方程在实数系中 无解 的问题, 我们设想引入一个新数 i, 使i是方程 x 2 1 0的根,即使 i i 1.把这个新数 i添加到实数集 中去, 得到一个新数集 , 记作 A,那么方程 x 1 0 在A中就有解 x i了 我们从数集 A出发, 希望新引进的数 i和实数之间 仍然能象实数系那样进 行加法和乘法运算 , 并希 望加法和乘法都满足交 换律、结合律 ,以及乘法 对加法满足分配律 .
高中数学人教A版选修1-2 第三章 数系的扩充与复数的引入 3-2-2复数代数形式的乘除运算素材 精品
《复数的有关概念》说课稿大家好！今天，有幸借此平台与大家交流，希望各位专家和老师指导我的说课。
我说课的题目是《复数的有关概念》，我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学过程、自我反思五个部分作具体的阐述。
一、教材分析首先是教材分析，《复数的有关概念》是北师大版新课程标准实验教科书选修系列2的模块2中第五章第一节的内容，这节课的主要内容是数系的扩充与复数的引入、以及复数的有关概念。
数系扩充的过程体现了数学的发现和创造的过程，同时也体现了数学发生发展的客观需求和背景。
复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充。
对于高中生来说，学习一些复数的基础知识是十分必要的，这可以促使学生对数的概念有一个初步的较为完整的认识，也给他们运用数学知识解决问题增添了新的工具，同是还为进一步学习高等数学打下一定的基础。
在实际生活中，复数在电力学、热力学、流体力学、固体力学、系统分析、信息分析等方面都得到了广泛的运用，是现代人才必备的基础知识之一。
二、学情分析与本节教材相关的学生情况有如下几个特征：（1）我们的学生在从小学到高中的学习中已经掌握了整数、分数、正数、负数、有理数、无理数、实数这些概念，也掌握了相应的运算法则和运算律；(2)同时又从政治和历史课中了解到一些与数系扩充的有关的重要历史事件；(3)但是学生们对数的分类的掌握，主要依靠的是简单记忆，当然对数系的扩充过程以及与人类发展史的必然联系不甚了解。
三、教学目标鉴于以上对教材和学情的分析，确定本节课的教学目标如下：1、知识目标：了解数系扩充的过程，理解复数的基本概念，掌握复数相等的充要条件2、能力目标:通过对新概念的学习提高学生的认知能力，在复数相等充要条件的研究过程中提高学生类比思考的能力；3、情感目标：提高学生学习数学的兴趣；拓展数学视野，使学生逐步认识到数学的科学价值、应用价值和文化价值。
四、课堂设计为了达成以上教学目标，我将本节课设计成以下五个环节：首先是设置情境，演示数系扩充的过程；然后引入虚数，讲解复数的基本概念；接下来通过类比学习，掌握复数相等的充要条件；完成了以上新概念的学习环节之后，利用课堂小结巩固本节课主要内容。
人教A版高中数学选修1-2《三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算》精品课件_23
a－1＝0， a＋1＝b，
解得ab＝ ＝12， ，
所以a＋bi＝1＋2i.
【答案】 1＋2i
教材整理 2 共轭复数 阅读教材 P59“例 3”以下至“探究”以上内容，完成下列问题． 如果两个复数满足实部_相__等__，虚部__互__为__相__反__数___时，称这两个复数互为 共轭复数，z 的共轭复数用 z 表示，即 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z ＝a_－__b_i_.
若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x＝________，y＝________. 【解析】 由题意可得xy－ ＝21＝ ，3x，
∴xy＝ ＝1－. 1， 【答案】 －1 1
教材ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ理 3 复数的除法法则
阅读教材 P59“探究”以下至 P60“例 4”以上内容，完成下列问题．
1.
1．设复数 z 满足(1－i)z＝2i，则 z＝( )
A．－1＋i
B．－1－i
C．1＋i 【解析】 【答案】
D．1－i z＝12－i i＝12－ii1＋ 1＋i i＝－1＋i. A
2．复数 z＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
→ 计算 z 的值 z
【自主解答】 设 z＝x＋yi(x，y∈R)，则由条件可得 x＋yi－x－yi＝－4i， x＋yix－yi＝13， 即2x2y＋i＝y2－＝41i，3，
解得xy＝ ＝－3，2 或xy＝＝－－32，.
因此 z＝3－2i 或 z＝－3－2i.
D．第四象限
【解析】 ∵z＝i·(1＋i)＝－1＋i，∴复数 z 对应复平面上的点是(－1,1)，该
点位于第二象限． 【答案】 B
高中数学选修1-2（人教A版）第三章数系的扩充与复数的导入3.1知识点总结含同步练习及答案
⾼中数学选修1-2（⼈教A版）第三章数系的扩充与复数的导⼊3.1知识点总结含同步练习及答案描述：⾼中数学选修1-2(⼈教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章数系的扩充与复数的引⼊ 3.1 数系的扩充和复数的概念⼀、学习任务1. 了解数系的扩充过程．2. 理解复数的基本概念、代数表⽰法以及复数相等的充要条件；了解复数的⼏何意义．⼆、知识清单复数的概念复数的⼏何意义三、知识讲解1.复数的概念复数的概念为了把数的范围进⼀步扩充，⼈们引⼊了⼀个新的数，叫虚数单位，且规定：①；②可与实数进⾏四则运算，且原有的加、乘运算律仍成⽴．我们把集合中的数，即形如（，）的数叫做复数（complex number），其中叫做虚数单位（imaginary unit）．全体复数所成的集合叫做复数集（set of complex numbers）．复数通常⽤字母表⽰，即（，），这⼀表⽰形式叫做复数的代数形式（algebraic form of complex number）．对于复数，都有，，其中的与分别叫做复数的实部（real part）与虚部（imaginary part）．对于复数，当且仅当时，它是实数；当且仅当时，它是实数；当时，叫做虚数；当且时，叫做纯虚数．复数相等的充要条件在复数集中任取两个数，（，，，），与相等的充要条件是且．复数的分类复数（，）可以分类如下： i =?1i 2 i C ={a +b i | a ,b ∈R } a +b i a b ∈R i C z z =a +b i a b ∈R z =a +b i a b ∈R a b z a +b i b =0 a =b =0 0 b ≠0 a =0 b ≠0 C ={a +b i | a ,b ∈R } a +b i c +d i a b c d ∈R a +b i c +d ia =cb =d z =a +b i a b ∈R 复数a +b i(a ,b ∈R )实数(b =0)虚数(b ≠0){纯虚数(a =0)⾮纯虚数(a ≠0)例题：描述：2.复数的⼏何意义根据复数相等的定义，任何⼀个复数，都可以由⼀个有序实数对唯⼀确定．因为有序实数对与平⾯直⾓坐标系中的点⼀⼀对应，所以复数集与平⾯直⾓坐标系中的点集之间可以建⽴⼀⼀对应．点的横坐标是，纵坐标是，复数可⽤点表⽰，这个建⽴了直⾓坐标系来表⽰复数的平⾯叫做复平⾯，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表⽰实数；除了原点外，虚轴上的点都表⽰纯虚数．设复平⾯内的点表⽰复数，连结，显然向量由点唯⼀确定；反过下列命题中，正确的个数是（）①若，则的充要条件是；②若，则；③若，则，．A． B． C． D．解：A①由于，所以不⼀定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，故①不正确；②由于两个虚数不能⽐较⼤⼩，所以②不正确；③当，时，成⽴，所以③不正确．x ,y ∈C x +y i =1+i x =y =1a ,b ∈R a +i >b +i +=0x 2y 2x =0y =00123x ,y ∈C x +y i x =1y =i +=0x 2y 2已知，，若，则______．解：根据复数相等的充要条件，得整理得，所以，将其代⼊，得，所以，所以．=?3?4i z 1=(?3m ?1)+(?m ?6)i (m ,n ∈R )z 2n 2n 2=z 1z 2=n m 4{?3m ?1=?3,n 2?m ?6=?4,n 22m =4m =2?3m ?1=?3n 2=4n 2n =±2=(±2=4n m )2实数为何值时，复数分别是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）零．解：由题复数可整理为．（1）当时，，即或．（2）当时，是虚数，即且．（3）当时，是纯虚数，解得．（4）当时，，解得．k (1+i)?(3+5i)k ?2(2+3i)k 2z z =(?3k ?4)+(?5k ?6)i k 2k 2?5k ?6=0k 2z ∈R k =6k =?1?5k ?6≠0k 2z k ≠6k ≠?1{?3k ?4=0,k 2?5k ?6≠0,k 2z k =4{?3k ?4=0,k 2?5k ?6=0,k 2z =0k =?1 z =a +b i (a ,b ) (a ,b ) Z a b z =a +b i Z (a ,b ) x y Z z =a +b i OZ OZ ?→Z →OZ说成向量，并且规定，相等的向量表⽰同⼀个复数．四、课后作业（查看更多本章节同步练习题，请到快乐学/doc/bf12554970.html）⾼考不提分，赔付1万元，关注快乐学/doc/bf12554970.html了解详情。
人教A版高中数学选修1-2《三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算》优质课教案_2
§3.2.2复数代数形式的乘除运算教学目标：知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题情感、态度与价值观：通过实数的乘、除法运算法则及运算律，推广到复数的乘、除法，使同学们对运算的发展历史和规律，以及连续性有一个比较清晰完整的认识，同时培养学生的科学思维方法。
教学重点：掌握复数代数形式的乘除运算的法则，熟练进行复数的乘法和除法运算。
教学难点：复数除法的运算法则。
教具准备：多媒体、实物投影仪。
教学过程：复习引入：1.加法、减法的运算法则2.加法运算律：讲解新课：探究点1 复数乘法运算规定复数的乘法按照以下的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.探究点2 复数乘法的运算律(1)z1z2=z2z1证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i.又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1.∴z1z2=z2z1.(2)(z1z2)z3=z1(z2z3)证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵(z1z2)z3=［(a1+b1i)(a2+b2i)］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3］+［(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3］i =(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，同理可证：z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，∴(z1z2)z3=z1(z2z3).(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵z 1(z 2+z 3)=(a 1+b 1i )［(a 2+b 2i )+(a 3+b 3i )］=(a 1+b 1i )［(a 2+a 3)+(b 2+b 3)i ］=［a 1(a 2+a 3)-b 1(b 2+b 3)］+［b 1(a 2+a 3)+a 1(b 2+b 3)］i =(a 1a 2+a 1a 3-b 1b 2-b 1b 3)+(b 1a 2+b 1a 3+a 1b 2+a 1b 3)i .z 1z 2+z 1z 3=(a 1+b 1i )(a 2+b 2i )+(a 1+b 1i )(a 3+b 3i )=(a 1a 2-b 1b 2)+(b 1a 2+a 1b 2)i +(a 1a 3-b 1b 3)+(b 1a 3+a 1b 3)i =(a 1a 2-b 1b 2+a 1a 3-b 1b 3)+(b 1a 2+a 1b 2+b 1a 3+a 1b 3)i =(a 1a 2+a 1a 3-b 1b 2-b 1b 3)+(b 1a 2+b 1a 3+a 1b 2+a 1b 3)i∴z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3.例1、计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i) (-2+i)= -20+15i. 例2、计算：（1）(3+4i) (3-4i) ； （2）（1+ i)2. 解：（1）(3+4i)(3-4i)=32-（4i ）2=9-(-16)=25; (2) （1+i)2=1+2i+i 2=1+2i-1=2i. 探究点3 共轭复数的定义当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数通常记复数z 的共轭复数为z =a-bi 。
人教A版高中数学选修1-2《三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算》优质课教案_14
情感态度与价值观：通过实数的乘、除法运算法则及运算律，推广到复数的乘、除法，使同学们对运算的发展历史和规律，以及连续性有一个比较清晰完整的认识，同时培养学生的科学思维方法．
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作业
课本105面1,3题。
加强练习。
熟能生巧.
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附件：
省份
四川省
市
泸州市
区/县
泸县
单位全称
四川省泸县第五中学
教师姓名
李强
学段学科
高中数学
教材版本
人教A版2003课标版
册次章节
选修1-2第3章第2节
课时
1
年级
高三年级
学习者分析
学习了复数代数形式的加减运算及其几何意义，继续对复数代数形式的乘除运算的学习.
教学目标
知识与技能：1.掌握复数代数形式的乘除运算的法则，熟练进行复数的乘法和除法运算．2.理解复数乘法的交换律、结合律、分配律；了解共轭复数的定义及性质．
解法二： ．
通过此题主要是巩固复数乘法法则及运算律，以及乘法公式的推广应用．特别要提醒其中 ，而不是 ．
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回顾反思
1、请同学们依据板书顺序回顾课堂全程内容。
2、请同学们谈谈对复数代数形式乘除运算的认识。
3、重现复数代数形式乘除运算的内容。
4、体会数形结合思想，加强复数与其它数学内容的联系。
教学重点难点以及措施
教学重点：掌握复数代数形式的乘除运算的法则，熟练进行复数的乘法和除法运算．
教学难点：复数除法的运算法则．
新版高中数学人教A版选修1-2课件：第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.1
题型一
题型二
题型三
分析: 根据复数的分类标准→列出方程
或不等式(组)→解出 m→结论
解:(1)当
������2-2������ ������ ≠ 0,
=
0,
即m=2
时,复数
z
是实数;
(2)当 m2-2m≠0,且 m≠0,即 m≠0,且 m≠2 时,复数 z 是虚数;
(3)当
������2+������-6
二、听思路。
思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行解 答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
则
������2-2������ = ������2 + ������-2
0, =
4.
解得m=2.
综上可知,实数 m 的值为 1 或 2.
典例透析
题型一
题型二
题型三
反思1.一般地,两个复数只能相等或不相等,不能比较大小. 2.两个复数相等的充要条件是求复数及解相关方程或不等式的 主要依据,是把复数问题实数化的桥梁.
(1)当z∈C时,z2≥0; (2)若a∈R,则(a+1)i是纯虚数; (3)若a>b,a,b∈R,则a+i>b+i.
分析:解答本题时,要严格按照复数的有关概念和性质进行. 解:(1)错误.当且仅当z∈R时,z2≥0成立. 若z=i,则z2=-1<0. (2)错误.当a=-1时,(a+1)i=(-1+1)i=0·i=0∈R. (3)错误.两个虚数不能比较大小.
人教A版高中数学选修1-2课件3.1.1数系的扩充和复数的概念
思路分析:依据集合关系,先确定集合元素满足的关系式,进而利用
复数相等的充要条件,求出 a,b.
解:依题意,得(a+3)+(b2-1)i=3i 或 8=(a2-1)+(b+2)i,
或(a+3)+(b2-1)i=(a2-1)+(b+2)i.
(1)当(a+3)+(b2-1)i=3i
时,得
������ + 3 = 0, ������2-1 = 3,
= =
1, 2.
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
问题导学 当堂检测
一二
课前预习导学 课堂合作探索
KEQIANYUXIDAOXUE
KETANGHEZUOTANSUO
复数相等的充要条件是化复数为实数的主要依据,多用来求解参 数.步骤是:分别分离出两个复数的实部和虚部,利用实部与实部相等,虚 部与虚部相等,列方程组求解.
-
π 2
,
π 2
内 tan
π4=1,
故在 R 上由周期性知 θ=kπ+π4(k∈Z).
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
问题导学 当堂检测
一二
课前预习导学 课堂合作探索
KEQIANYUXIDAOXUE
KETANGHEZUOTANSUO
2.已知关于实数 x,y 的方程组
(2������-1) + i = ������-(3-������)i,① 有实 (2������ + ������������)-(4������-������ + ������)i = 9-8i②
= =
--32,不合题意,舍去,∴ ������������
人教版高中选修1-2第三章数系的扩充与复数的引入教学设计
人教版高中选修1-2第三章数系的扩充与复数的引入教学设计一、教学目标1.知道实数集的基本性质；2.掌握有理数和无理数的概念；3.学会实数的区间表示法和绝对值表示法；4.掌握数轴的基本概念，能够进行数轴上的加减运算；5.了解复数的基本概念、表示法和运算规则；6.能够解一元二次方程。
二、教学重难点1.实数的特点和性质；2.数轴及其上的运算；3.复数的引入、表示和运算。
三、教学内容及方法1. 实数的特点和性质1.实数的概念和性质：引入实数集的概念，将有理数和无理数区分开来，并介绍实数集的完备性、等距性等基本性质；2.实数的区间表示法：重点讲解数轴和区间的概念，并通过练习将学生训练出熟练的数轴上的运算方法；3.实数的绝对值表示法：引入绝对值的概念，讲解其性质，掌握用绝对值求解不等式的方法。
方法：板书、讲解示范、分组小练习、课堂思考题。
2. 数轴及其上的运算1.数轴的概念和性质：引入数轴的概念，讲解数轴上的点、距离和方向的概念及数轴上的加减运算方法；2.数轴上的不等式：通过数轴上的图示，让学生理解不等式的含义，掌握用图示求解不等式的方法。
方法：板书、讲解示范、分组小练习、课堂思考题、实际应用练习。
3. 复数的引入、表示和运算1.复数的概念和表示：引入复数的概念，介绍虚数单位i，并说明复数是实数和虚数的和，引出复数表示法；2.复数的运算：学习和掌握复数的加减乘除规则、复数共轭的概念和运算规则，解决复数方程、复数不等式等问题。
方法：板书、讲解示范、分组小练习、课堂思考题、实际应用练习。
四、教学评价通过本课的教学，学生应能够熟练掌握实数的概念和性质，数轴的基本概念和运算，及复数的引入、表示和运算规则，能够灵活处理实数、不等式、复数方程和复数不等式等问题，并能正确运用所学知识解决实际问题。
在教学过程中，重点培养学生的数学思维能力、计算能力和解决问题的能力，同时注重培养学生的合作和交流能力。
评价方式包括课内小测验、小组讨论、线上答疑等方式。
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章末质量评估(三)(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的)1．a ＝0是复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数的( )．A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数的充要条件是a ＝0且b ≠0. 答案 B2．复数⎝⎛⎭⎪⎫1－i 22＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a 2－b 2的值为 ( )．A ．0B ．1C ．2D ．－1 解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 22＝1－2i ＋i 22＝－i ＝a ＋b i.所以a ＝0，b ＝－1，所以a 2－b 2＝0－1＝－1. 答案 D3．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( )．A.34 B.43 C ．－43D ．－34解析 z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝(3t ＋4)＋(4t －3)i.因为z 1·z 2是实数，所以4t －3＝0，所以t ＝34.因此选A. 答案 A4．如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1＋2i ，－2＋i,0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为( )．A ．3＋iB ．3－iC ．1－3iD ．－1＋3i解析 O C →＝O A →＋O B →＝1＋2i －2＋i ＝－1＋3i ，所以C 对应的复数为－1＋3i. 答案 D5．设z ∈C ，若z 2为纯虚数，则z 在复平面上的对应点落在( )．A ．实轴上B ．虚轴上C ．直线y ＝±x (x ≠0)上D ．以上都不对解析 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， 则z 2＝(x ＋y i)2＝x 2－y 2＋2xy i.∵z 2为纯虚数，∴⎩⎨⎧x 2－y 2＝0，xy ≠0.∴y ＝±x (x ≠0)． 答案 C6．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，x ≥12)，满足|z －1|＝x ，那么z 在复平面上对应的点(x ，y )的轨迹是( )．A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析 ∵z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，x ≥12)，满足|z －1|＝x ， ∴(x －1)2＋y 2＝x 2，故y 2＝2x －1.答案 D 7．当z ＝－1－i2时，z 100＋z 50＋1的值等于 ( )．A ．1B ．－1C ．iD ．－i解析 ∵z 2＝⎝⎛⎭⎪⎫1－i 22＝－2i2＝－i. ∴z 100＋z 50＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1＝i 50－i 25＋1＝－i. 答案 D8．复数z 在复平面内对应的点为A ，将点A 绕坐标原点，按逆时针方向旋转π2，再向左平移一个单位，向下平移一个单位，得到B 点，此时点B 与点A 恰好关于坐标原点对称，则复数z 为( )．A ．－1B ．1C ．iD ．－i解析 设z ＝a ＋b i ，B 点对应的复数为z 1，则z 1＝(a ＋b i)i －1－i ＝(－b －1)＋(a －1)i ，∵点B 与点A 恰好关于坐标原点对称， ∴⎩⎨⎧－b －1＝－a ，a －1＝－b ， ∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝0， ∴z ＝1. 答案 B9．如果复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2，那么|z ＋1＋i|的最小值是( )．A ．1 B. 2 C ．2D. 5解析 |z ＋i|＋|z －i|＝2，则点Z 在以(0,1)和(0，－1)为端点的线段上，|z ＋1＋i|表示点Z 到(－1，－1)的距离．由图知最小值为1.答案 A10．设z 1，z 2是复数，则下列结论中正确的是( )．A ．若z 21＋z 22>0，则z 21>－z 22B ．|z 1－z 2|＝(z 1＋z 2)2－4z 1z 2C ．z 21＋z 22＝0⇔z 1＝z 2＝0D ．|z 21|＝|z －1|2解析 A 错，反例：z 1＝2＋i ，z 2＝2－i ； B 错，反例：z 1＝2＋i ，z 2＝2－i ； C 错，反例：z 1＝1，z 2＝i ； D 正确，z 1＝a ＋b i ，则|z 21|＝a 2＋b 2，|z －1|2＝a 2＋b 2， 故|z 21|＝|z －1|2. 答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把正确的答案填在题中横线上)11．在复平面内，已知复数z ＝x －13i 所对应的点都在单位圆内，则实数x 的取值范围是________．解析 ∵z 对应的点Z ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，－13都在单位圆内，∴|OZ |<1，即x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－132<1.∴x 2＋19<1，∴x 2<89，∴－223<x <223.答案 －223<x <223 12．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则对复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2i ＝3＋2i 的复数z 等于________．解析 由定义运算，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2i ＝2z i －z ＝3＋2i ，则z ＝3＋2i －1＋2i ＝(3＋2i )(－1－2i )(－1＋2i )(－1－2i )＝15－85i.答案 15－85i 13．设x ，y 为实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i，则x ＋y ＝ ________. 解析x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i ⇒x (1＋i )(1－i )(1＋i )＋y (1＋2i )(1＋2i )(1－2i )＝5(1＋3i )(1－3i )(1＋3i )⇒12x (1＋i)＋15y (1＋2i)＝12(1＋3i)⇒⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋15y ＝12，12x ＋2y 5＝32，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝5，所以x ＋y ＝4. 答案 414．已知复数z 0＝3＋2i ，复数z 满足z ·z 0＝3z ＋z 0，则复数z ＝________. 解析 z ＝z 0z 0－3＝3＋2i 2i ＝3i －2－2＝1－32i答案 1－32i三、解答题(本题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(10分)若f (z )＝2z ＋z －－3i ，f (z －＋i)＝6－3i ，试求f (－z )． 解 f (z )＝2z ＋z －－3i ， ∴f (z －＋i)＝2(z －＋i)＋z －＋i －3i＝2z －＋2i ＋z －i －3i ＝2z －＋z －2i. 又知f (z －＋i)＝6－3i ， ∴2z －＋z －2i ＝6－3i ，设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，则z －＝a －b i ， ∴2(a －b i)＋(a ＋b i)－2i ＝6－3i ， 即3a －(b ＋2)i ＝6－3i ，由复数相等的定义，得⎩⎨⎧ 3a ＝6，b ＋2＝3. 解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1.∴z ＝2＋i.故f (－z )＝f (－2－i)＝2(－2－i)＋(－2＋i)－3i ＝－6－4i.16．(10分)设复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ，若z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a 、b 的值．解 z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3(1－i )2＋i＝3－i 2＋i ＝(3－i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝1－i. 将z ＝1－i 代入z 2＋az ＋b ＝1＋i ，得(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i ，(a ＋b )－(a ＋2)i ＝1＋i ， 所以⎩⎨⎧a ＋b ＝1，－(a ＋2)＝1.所以⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝4.17．(10分)已知z 是复数，z ＋2i 、z2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围． 解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，∵z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2. ∵z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i. 由题意得x ＝4，∴z ＝4－2i. ∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i.根据条件，可知⎩⎨⎧12＋4a －a 2>08(a －2)>0，解得2<a <6.∴实数a 的取值范围是(2,6)．18．(12分)在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.(1)求A B →，B C →，A C →对应的复数； (2)判断△ABC 的形状； (3)求△ABC 的面积．解 (1)A B →对应的复数为 z B －z A ＝(2＋i)－1＝1＋i.B C →对应的复数为z C －z B ＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i.A C →对应的复数为z C －z A ＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i.(2)|A B →|＝|1＋i|＝2，|B C →|＝|－3＋i|＝10，|A C →|＝|－2＋2i|＝8.∴|A B →|2＋|A C →|2＝|B C →|2，∴∠A 为直角，△ABC 为直角三角形．(3)S △ABC ＝12|A B →||A C →|＝12×2×8＝2.19．(12分)已知z 1＝x ＋y i ，z －1＝x －y i(x 、y ∈R )且x 2＋y 2＝1，z 2＝(3＋4i)z 1＋(3－4i)z －1. (1)求证：z 2∈R ；(2)求z 2的最大值和最小值．(1)证明 ∵z 1＝x ＋y i ，z －1＝x －y i(x ，y ∈R )， ∴z 1＋z －1＝2x ，z 1－z －1＝2y i. ∴z 2＝(3＋4i)z 1＋(3－4i)z －1， ＝3(z 1＋z －1)＋4i(z 1－z －1)． ＝6x ＋8y i 2＝(6x －8y )∈R . (2)解 ∵x 2＋y 2＝1，设u ＝6x －8y ，代入x 2＋y 2＝1消去y 得 64x 2＋(6x －u )2＝64. ∴100x 2－12ux ＋u 2－64＝0. ∵x ∈R ，∴Δ≥0.∴144u 2－4×100(u 2－64)≥0. ∴u 2－100≤0. ∴－10≤u ≤10.∴z 2的最大值是10，最小值是－10.。