北京市门头沟区2013届高三3月抽样测试数学[文]试题

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北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习(二)文科数学试卷

9. 已知， sin 2 则 cos 2 的值等于 3
_______________. 10.已知 a 1, b 2 ，且 a b 与 a 垂直，则向量 a 与 b 的夹角大小是___________.
11.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的n 的值是___________．
， gn
2n
Sn
b1
b2
bn (n N ) ，若对任意的
n N ，都有
Sn L(L Z) 成立，求 L 的最小值.
东城区普通高中示范校高三综合练习（二）高三数学参考答案及评分标准（文科）
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，
15.（本小题共 13 分）已知函数 f x Asinx (A 0, 0, ) 的图象的
2
一部分如图所示．
（Ⅰ）求函数 f x的解析式；
（Ⅱ）求函数
y
f
x
2
cos(
x
)
(x [6, 2]) 的最大值和
44
3
最小值．
5
16.（本小题共 13 分）
为调查乘客的候车情况，公交公司在某站台
x
1 x
(x
0)
的图象上.若
的坐标为
， n,0(n 2, n N ) 记矩形
y Dn Cn
点 Bn
3
O An
Bn
x
的周长 An BnCn Dn
为，则 an
a2 a3 a10
A.208 C.216
B.212 D.220
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，
共 30 分。
个顶点为 B(0,1) ，且其右焦点到直线 x y 2 2 0 的距离等于 3． (Ⅰ)求椭圆C 的方程； (Ⅱ)是否存在经过点Q(0, 3) ，斜率为 k 的直线l ，使

北京市2013届高三数学3月联考综合练习(二)试题文新人教A版

东城区普通高中示范校高三综合练习（二）高三数学（文科）学校：班级：姓名：成绩：一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.设集合{}1>=x x P ，{}02>-=x x x Q ，则下列结论中正确的是 A.Q P =B.R =⋃Q PC.Q P ⊆D.P Q ⊆2.若复数z 满足()i i i +=-2z （i 为虚数单位），则z 等于 A.i --1B.i -1C.i 31+-D.i 21-3.“1=m ”是“直线0=-y x 和直线0=+my x 互相垂直”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.若一个直六棱柱的三视图如图所示，则这个直六棱柱的体积为 A.4B.29C.5D.2115.在ABC ∆中，内角C B A ,,所对边的长分别为c b a ,,，若C c B b A a sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定6.若定义域为R 的函数()x f 不是奇函数，则下列命题中一定为真命题的是 A.()()x f x f x -≠-∈∀,R B.()()x f x f x =-∈∀,RC.()()000,x f x f x =-∈∃RD.()()000,x f x f x -≠-∈∃R7.已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≤1,0,1x y x y 表示的平面区域为Ω，不等式组⎩⎨⎧≥+-≤0,1y x y表示的平面区域为M .若在区域Ω内随机取一点P ，则点P 在区域M 内的概率为A.21B.31C.41D.32 8.如图，矩形nn n n D C B A 的一边nn B A 在x 轴上，另外两个顶点nn D C ,在函数())0(1>+=x x x x f 的图象上.若点n B 的坐标为()),2(0,+∈≥N n n n ，记矩形n n n n D C B A 的周长为na ，则=+++1032a a aA.208B.212C.216D.220二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2013年北京高三(一模)数学(文)分类汇编系列五解析版3三角函数

【解析分类汇编系列五：北京2013高三（一模）文数】3：三角函数1．（2013届北京门头沟区一模文科数学）为得到函数sin (π-2)y x =的图象,可以将函数πsin (2)3y x =-的图象（）A ．向左平移3π个单位B ．向左平移6π个单位 C ．向右平移3π个单位D ．向右平移6π个单位B因为sin (π2)=sin 2sin(2)sin[2()]3363y x x x x ππππ=-=+-=+-，所以可以将函数πsin (2)3y x =-的图象向左平移6π个单位，得到sin (π2)y x =-，所以选B.2．（2013届北京市石景山区一模数学文）函数2sin (0)3y x x ππ=-≤≤（）的最大值与最小值之和为（）A. 0B.2- C ．－1 D ．1- B当0x π≤≤时，2333x πππ-≤-≤，所以2sin()2sin()2sin 332x πππ-≤-≤，即2y ≤≤，所以最大值与最小值之和为2-，选B.3．（2013届北京门头沟区一模文科数学）若△ABC 的内角A ． B ．C 所对的边a 、b 、c 满足422=-+c b a )(,且C =60°,则ab 的值为（）A ．348-B ．1C ．34D ．32 C由422=-+c b a )(得22242a b c ab +-=-，又222421cos 60222a b c ab ab ab +--===，解得43ab =，选C.4．（2013届北京大兴区一模文科）函数()f x =（）A ．在ππ(,)22-上递增 B ．在π(,0]2-上递增,在π(0,)2上递减 C ．在ππ(,)22-上递减D ．在π(,0]2-上递减,在π(0,)2上递增因为sin ()cos x f x x=，当sin 0x ≥时，sin ()tan cos x f x x x==。

当sin 0x <时，sin ()tan cos x f x x x==-，即当02x π<<时，函数递增。

北京市门头沟区高三数学一模试题文(门头沟一模,含解析)新人教B版

门头沟区2013年高三年级抽样测试数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷l 至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分．考试时间120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并回交．第Ⅰ卷 (选择题40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合{}24A x x =≤，{}1B x x =<，则集合B A 等于（A ）{}12x x ≤≤ （B ）{}1x x ≥ （C ）{}2x x ≤（D ）R {}-2x x ≥【答案】C【解析】{}24{22}A x x x x =≤=-≤≤,所以{2}AB x x =≤，选C.2．在等差数列{}n a 中，7916+=a a ，41=a ，则12a 的值是（A ）15（B ）30（C ）31（D ）64【答案】A【解析】由7916+=a a ，得121416a d +=，由41=a ，得131a d +=，解得47d =，所以124812715a a d =+=+⨯=，选A.3．为得到函数sin (π2)y x =-的图象，可以将函数πsin (2)3y x =-的图象（A ）向左平移3π个单位（B ）向左平移6π个单位（C ）向右平移3π个单位（D ）向右平移6π个单位【答案】B【解析】因为sin (π2)=sin 2sin(2)sin[2()]3363y x x x x ππππ=-=+-=+-，所以可以将函数πsin (2)3y x =-的图象向左平移6π个单位，得到sin (π2)y x =-，所以选B. 4．如果()f x 的定义域为R ，(2)(1)()f x f x f x +=+-，若(1)l g 3l g 2f =-，(2)lg3lg5f =+，则(3)f等于（A）1 （B）lg3-lg2 （C）-1 （D）lg2-lg3【答案】A【解析】因为(3)(2)(1)f f f=-，所以(3)lg3lg5(lg3lg21f=+-=，选A. 5．如图所示，为一几何体的三视图，则该几何体的体积是（A）1（B）21（C）13（D）65【答案】D【解析】由三视图可知该几何体时一个正方体去掉以角，其直观图如图，其中正方体的边长为1.所以正方体的体积为1.去掉的三棱锥的体积为11111326⨯⨯⨯=，所以该几何体的体积为15166-=，选C.6．若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足422=-+cba)(，且C=60°，则ab的值为（A）348-（B）1 （C）34（D）32【答案】C【解析】由422=-+cba)(得22242a b c ab+-=-，又222421c o s60222a b c a ba b a b+--===，解得43ab=，选C.7. 已知函数22,0()42,0xf xx x x≥⎧=⎨++<⎩的图象与直线(2)2y k x=+-恰有三个公共点，则实主视图左视图数k 的取值范围是（A ）()02，(B)(]02，(C)()-2∞，(D)()2+∞，【答案】A【解析】因为直线(2)2y k x =+-过定点(2,2)A --。

北京市门头沟区高三数学一模试题理(门头沟一模,含解析)新人教B版

门头沟区2013年高三年级抽样测试数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷l 至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分．考试时间120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并回交．第Ⅰ卷 (选择题 40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知全集U = R ，集合A {}24x x =≤，B {}1x x =<，则集合U A B ð等于(A) {}2x x ≥- (B) {}12x x ≤≤(C) {}1x x ≥(D) R【答案】A【解析】{}24{22}A x x x x =≤=-≤≤,{1}U B x x =≥ð，所以={2}U A B x x ≥-ð，选A.2. “1a >”是“函数()2(01)x f x a a a =->≠且在区间(0,)+∞上存在零点”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若1a >时，当0x >时，1xa >，所以函数()21x f x a =->-且单调递增，所以函数()2x f x a =-在区间(0,)+∞上存在零点。

因为(0)120f =-<，所以要使()2x f x a =-在区间(0,)+∞上存在零点，则有函数()2x f x a =-单调递增，所以1a >。

所以“1a >”是“函数()2(01)x f x a a a =->≠且在区间(0,)+∞上存在零点”的充分必要条件，选C.3．下列直线中，平行于极轴且与圆2cos ρθ=相切的是 (A) cos 1ρθ= (B) sin 1ρθ= (C) cos 2ρθ= (D) sin 2ρθ=【答案】B【解析】由2cos ρθ=得22cos ρρθ=，即222x y x +=，所以圆的标准方程为22(1)1x y -+=，所以圆心坐标为(1,0)，半径为1.所以与x 轴平行且与圆相切的直线方程为1y =或1y =-，即极坐标方程为sin 1ρθ=或sin 1ρθ=-，所以选B.4．有4名优秀学生A 、B 、C 、D 全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，且A 生不去甲校，则不同的保送方案有 (A) 24种 (B) 30种 (C) 36种 (D) 48种【答案】A【解析】若A 单独去一个学校，则有21232212C C A =种。

2012届北京市门头沟区高三一模数学文科试题(WORD精校版)

北京市门头沟区2012年高三年级3月抽样数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷l 至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分．考试时间120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并回交．第Ⅰ卷 (选择题40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合}032|{2=--=x x x A ，那么满足A B ⊆的集合B 有(A) 1个(B) 2个(C) 3个(D) 4个2. 向量a 的模为4，向量)2,0(=，若b b a ⊥+)(，则向量a 与b 的夹角的大小是(A)65π(B)32π (C)3π (D)6π3. 己知某几何体的三视图如右图所示，则其体积为 (A) 4(B) 84. 已知31)4tan(=-πα，则α2sin 等于2012.3主视图左视图俯视图(A)32 (B)31 (C)54 (D)52 5. 函数x y a log =（0>a 且1≠a ）的图象经过点)1,2(-，函数x b y =（0>b 且1≠b ）的图象经过点)2,1(，则下列关系式中正确的是 (A) 22b a >(B) b a 22>(C) b a )21()21(> (D) 2121b a >6. 某高中校三个年级人数见下表：通过分层抽样从中抽取40人进行问卷调查，现在从答卷中随机抽取一张，恰好是高三学生的答卷的概率是 (A)101(B)401 (C)32 (D)52 7. 下列直线方程，满足“与直线x y =平行，且与圆01622=+-+x y x 相切”的是(A) 01=+-y x (B) 07=-+y x (C)01=++y x(D) 07=+-y x8. 给出定义：若1122m x m -≤<+(其中m 为整数)，则m 叫离实数x 最近的整数，记作[]x m =，已知[]()f x x x =-，下列四个命题：①函数()f x 的定义域为R ，值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦； ②函数()f x 是R 上的增函数；③函数()f x 是周期函数，最小正周期为1； ④函数()f x 是偶函数，其中正确的命题的个数是 (A) 4 (B) 3(C) 2(D) 1第Ⅱ卷（非选择题110分）二、填空题：本题共6小题，每题5分，共30分． 9. 复数ii-+11在复平面内对应的点的坐标是． 10. 在ABC ∆中，已知2=a ，3=b ，7=c ，则ABC ∆的面积是． 11. 已知平面区域M 满足条件⎩⎨⎧≤-+-≤-+.4)2()2(;0622y x y x 则平面区域M 的面积是． 12.如右图所示的程序框图输出的结果是．13. 某公司对下属员工在龙年春节期间收到的祝福短信数量进行了统计，得到了如下的直方图，如果该公司共有员工200人，则收到125条以上的大约有人．14. 过抛物线221x y =焦点的直线与抛物线交于B A 、两点，O 是坐标原点．则=⋅ ；若该抛物线上有两点M 、N ，满足ON OM ⊥，则直线MN 必过定点．三、解答题：本题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．数值频率/组距1451251058565452550.0090.0120.01050.00750.0060.00315.（本小题满分13分）已知向量)1,(sin -=x ，)2,cos 3(x =，函数2)()(x f +=．（I ）求函数)(x f 的最小正周期；（II ）若]2,4[ππ-∈x ，求函数)(x f 的值域．16. （本小题满分13分）已知函数1)(23-++=bx ax x x f 在1=x 处有极值1-．（I ）求实数b a ，的值；（II ）求函数x ax x g ln )(+=的单调区间．17. （本小题满分13分）已知边长为2的正方形ABCD 所在平面外有一点P ，⊥PA 平面ABCD ，且2=PA ，E 是PC 上的一点．（I ）求证：AB //平面PCD ；（II ）求证：平面⊥BDE 平面PAC ；（III ）线段PE 为多长时，⊥PC 平面BDE ？18. （本小题满分13分）甲、乙两名考生在填报志愿的时候都选中了A 、B 、C 、D 四所需要面试的院校，但是它们的面试安排在同一时间了。

北京2013届高三最新文科试题分类汇编(含9区一模及上学期期末试题精选)专题10概率

【精品推荐】北京2013届高三最新文科试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题10：概率一、选择题1 ．（2013届北京大兴区一模文科）若实数,a b 满足221a b +≤,则关于x 的方程220x x a b -++=无．实数根的概率为（）A ．14 B ．34C ．3π24π+ D ．π24π- 2 ．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（文）试题）已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≤1,0,1x y x yP 在区域M 内的概率为A.21B.31C.41D.32 3 ．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学文试题）设不等式组22,4,2x y x y -+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩0≤ 表示的平面区域为D ．在区域D 内随机取一个点，则此点到直线+2=0y 的距离大于2的概率是（）A ．413B ．513C ．825D ．9254 ．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试数学文试题）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是（）A ．13B ．12 C ．23D ．565 ．（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学文试题）在等边ABC ∆的边BC 上任取一点P ，则23ABP ABC S S ∆∆≤的概率是（）A ．13B ．12C ．23D ．56二、填空题6 ．（2013届北京东城区一模数学文科）从1,3,5,7这四个数中随机地取两个数组成一个两位数,则组成的两位数是5的倍数的概率为___.7 ．（2013届北京门头沟区一模文科数学）用计算机产生随机二元数组成区域-11-22x y <<⎧⎨<<⎩,对每个二元数组(,)x y ,用计算机计算22y x +的值,记“(,)x y 满足22y x + <1”为事件A ,则事件A 发生的概率为________.8 ．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题）平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点．若在平行四边形ABCD 内部随机取一点M ，则点M 取自△ABE 内部的概率为______．三、解答题9 ．（2013届北京市延庆县一模数学文）某市电视台为了宣传举办问答活动,随机对该市15~65岁的人群抽样了n 人,回答问题统计结果如图表所示.(Ⅰ)分别求出y x b a ,,,的值;(Ⅱ)从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人,则第2,3,4组每组应各抽取多少人? (Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下,电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖,求:所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率.10．（2013届北京东城区一模数学文科）为了解高三学生综合素质测评情况,对2000名高三学生的测评结果进行了统计,其中优秀、良好、合格三个等级的男、女学生人数如下表:(Ⅰ)若按优秀、良好、合格三个等级分层,在这2000份综合素质测评结果中随机抽取80份进行比较分析,应抽取综合素质测评结果是优秀等级的多少份?(Ⅱ)若245x ≥,245y ≥,求优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率.11．（2013届北京丰台区一模文科）在一次抽奖活动中,有a 、b 、c 、d 、e 、f 共6人获得抽奖的机会.抽奖规则如下:主办方先从6人中随机抽取两人均获一等奖,再从余下的4人中随机抽取1人获二等奖,最后还从这4人中随机抽取1人获三等奖. (Ⅰ)求a 能获一等奖的概率;(Ⅱ)若a 、b 已获一等奖,求c 能获奖的概率.12．（2013届北京海滨一模文）在某大学自主招生考试中,所有选报II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试,成绩分为A,B,C,D,E 五个等级. 某考场考生的两科考试成绩的数据统计如下图所示,其中“数学与逻辑”科目的成绩为B 的考生有10人. (I)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A 的人数;(II)若等级A,B,C,D,E 分别对应5分,4分,3分,2分,1分,求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分; (Ⅲ)已知参加本考场测试的考生中,恰有两人的两科成绩均为A. 在至少一科成绩为A 的考生中,随机抽取两人进行访谈,求这两人的两科成绩均为A 的概率.13．（2013届北京门头沟区一模文科数学）某学校有两个参加国际中学生交流活动的代表名额,为此该校高中部推荐了2男1女三名候选人,初中部也推荐了1男2女三名候选人. (I)若从初高中各选1名同学做代表,求选出的2名同学性别相同的概率;(II)若从6名同学中任选2人做代表,求选出的2名同学都来自高中部或都来自初中部的概率.14．（2013届北京大兴区一模文科）一次考试结束后,随机抽查了某校高三(1)班5名同学的数学与物理成绩如下表:(Ⅰ)分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差,并估计该班数学与物理成绩那科更稳定; (Ⅱ)从以上5名同学中选2人参加一项活动,求选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率.15．（2013届北京西城区一模文科）某商区停车场临时停车按时段收费,收费标准为:每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元,超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时的部分按1小时计算).现有甲、乙二人在该商区临时停车,两人停车都不超过4小时.(Ⅰ)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为31,停车付费多于14元的概率为125,求甲停车付费恰为6元的概率;(Ⅱ)若每人停车的时长在每个时段的可能性相同,求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率.16．（2013届房山区一模文科数学）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值,即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.某城市环保局从该市市区2012年全年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取6天的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶).(Ⅰ) 若从这6天的数据中随机抽出2天,求至多有一天空气质量超标的概率;(Ⅱ)根据这6天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按365天计算)中平均有多少天的空气质量达到一级或二级?17．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（文）试题）为调查乘客的候车情况,公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人,将他们的候车时间(单位:分钟)作为样本分成5组,如下表所示:(Ⅰ)求这15名乘客的平均候车时间;(Ⅱ)估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数;(Ⅲ)若从上表第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查,求抽到的两人恰好来自不同组的概率.18．（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学文试题）一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1､2､3､4．现从盒子中随机抽取卡片．（Ⅰ）若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于7的概率；（Ⅱ）若第一次抽1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字3的概率．19．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学文试题）某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：（Ⅰ）写出,,,a b x y 的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动.（ⅰ）求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率；（ⅱ）求所抽取的2名同学来自同一组的概率.20．（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学文试题）某汽车租赁公司为了调查A ，B 两种车型的出租情况，现随机抽取这两种车型各50辆，分别统计了每辆车在某个星期内的出租天数，统计数据如下表:A 型车75B 型车组别分组频数频率第1组 [50，60） 8 0.16 第2组 [60，70） a ▓ 第3组 [70，80） 20 0.40 第4组 [80，90） ▓ 0.08 第5组[90，100] 2 b合计▓▓频率频率分布直方图频率分布表（I ）试根据上面的统计数据，判断这两种车型在本星期内出租天数的方差的大小关系（只需写出结果）；（Ⅱ）现从出租天数为3天的汽车（仅限A ，B 两种车型）中随机抽取一辆，试估计这辆汽车是A 型车的概率；（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要购买一辆汽车，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.21．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题）为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重．经统计，这批学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间．将数据分成以下5组：第1组[4550)，，第2组[5055)，，第3组[5560)，，第4组[6065)，，第5组[6570]，，得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从第3，4，5组中随机抽取6名学生做初检．（Ⅰ）求每组抽取的学生人数；（Ⅱ）若从6名学生中再次随机抽取2名学生进行复检，求这2名学生不在同一组的概率．22．（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学文科试题（解析版））（本小题满分13分）某校从参加高三年级期中考试的学生中随机选取40名学生，并统计了他们的政治成绩，这40名学生的政治成绩全部在40分至100分之间，现将成绩分成以下6段：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，据此绘制了如图所示的频率分布直方图. （Ⅰ）求成绩在[80,90)的学生人数；（Ⅱ）从成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生，求至少有1名学生成绩在[90,100]的概率.【精品推荐】北京2013届高三最新文科试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题10：概率参考答案一、选择题 1. D 2. A 3. 【答案】D解：不等式对应的区域为三角形DEF,当点D 在线段BC 上时，点D 到直线+2=0y 的距离等于2，所以要使点D 到直线的距离大于2，则点D 应在三角形BCF 中。

北京市2013届高三上学期期末考试理科数学试

xy O π2π1-1北京市东城区普通校2013届高三第二学期3月联考数学（理科）命题校：北京27中学 2013年3月本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间120 分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知平面向量(1,2)=a , (2,)m =-b , 且a ∥b , 则m 的值为（）（A ）1- （B ）（C ）4- （D ）4 2．极坐标方程4cos ρθ=化为直角坐标方程是（）（A ）22(2)4x y -+= （B ）224x y +=（C ）22(2)4x y +-= （D ）22(1)(1)4x y -+-= 3．平面α∥平面β的一个充分条件是（）（A ）存在一条直线a a ααβ，∥，∥（B ）存在一条直线a a a αβ⊂，，∥（C ）存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥ （D ）存在两条异面直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥ 4. 执行如图所示的程序，输出的结果为20，则判断框中应填入的条件为（）（A ）2a ≥ （B ）3a ≥ （C ）4a ≥（D ）5a ≥第4题图5. 如图，已知AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点， PC OP ⊥，PC 交⊙O 于C ，若4AP =，2PB =，则PC 的长是（）（A ）3 （B）（C ）2 （D第5题图 6．已知函数sin()y A x ωϕ=+的图象如图所示，则该函数的解析式可能是( )ABCOP40 50 60 70 80 90 分数(分)频率第6题图(A)41sin(2)55y x =+ (B) 31sin(2)25y x =+ (C)441sin()555y x =- (D) 441sin(555y x =+ 7. 设0,0.a b >>1133a b a b +与的等比中项，则的最小值为( ) (A) 8 (B) 4 (C) 1 (D) 148.对实数a 与b ，定义新运算“⊗”：,1,, 1.a a b a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩ 设函数()()22()2,.f x x x x x R =-⊗-∈若函数()y f x c =-的零点恰有两个，则实数c 的取值范围是（）(A)(]3,21,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭ (B) (]3,21,4⎛⎫-∞-⋃-- ⎪⎝⎭ (C) 11,,44⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (D)第Ⅱ卷(非选择题，共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 在6)11(x+的展开式中，含1x 项的系数是________.（用数字作答）10．由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数有个.11.从某校高三学生中随机抽取100名同学，将他们的考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图（如图）．则图中a= ，由图中数据可知此次成绩平均分为 . 第11题图12.已知区域1,{(,)0,}1,y x x y y x ≤+⎧⎪Ω=≥⎨⎪≤⎩，1,{(,)}0,y x M x y y ⎧≤-+⎪=⎨≥⎪⎩，向区域Ω内随机投一点P ，点P 落在区域M 内的概率为 .311,,44⎛⎫⎡⎫--⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭13．如图，1F 和2F 分别是双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且2F AB △是等边三角形，则双曲线的离心率为 . 第13题图 14.设S 为复数集C 的非空子集.若对任意x,y S ∈，都有x y,x y,xy S +-∈，则称S 为封闭集。

北京市西城区2013年高三一模试卷数学文科(含答案)

高三数学（文科）一、选择题1．已知全集{|||5}U x x =∈<Z ，集合{2,1,3,4}A =-，{0,2,4}B =，那么U A B =ð（A ）{2,1,4}- （B ） {2,1,3}-（C ）{0,2}（D ）{2,1,3,4}-2．复数1ii-+= （A ）1i +（B ）1i -+（C ）1i --（D ）1i -3．执行如图所示的程序框图．若输出y = 角=θ （A ）π6 （B ）π6-（C ）π3（D ）π3-4．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且10a >．若232S a >，则q 的取值范围是（A ）1(1,0)(0,)2- （B ）1(,0)(0,1)2- （C ）1(,1)(,)2-∞-+∞（D ）1(,)(1,)2-∞-+∞5．某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（A ）6（B）12（C ）12+（D ）24+6．设实数x ，y 满足条件 10,10,20,x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩则4y x -的最大值是（A ）4-（B ）12-（C ）4 （D ）77．已知函数2()f x x bx c =++，则“0c <”是“0x ∃∈R ，使0()0f x <”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件8．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱11B C 的中点，动点P 在底面ABCD 内，且11PA A E =，则点P 运动形成的图形是（A ）线段（B ）圆弧（C ）椭圆的一部分（D ）抛物线的一部分二、填空题9．已知向量(1,0)=i ，(0,1)=j ．若向量+λi j 与+λi j 垂直，则实数=λ______．10．已知函数2log ,0,()2,0,x x x f x x >⎧=⎨<⎩ 则1()(2)4f f +-=______．11．抛物线22y x =的准线方程是______；该抛物线的焦点为F ，点00(,)M x y 在此抛物线上，且52MF =，则0x =______． 12．某厂对一批元件进行抽样检测．经统计，这批元件的长度数据 (单位：mm )全部介于93至105之间．将长度数据以2为组距分成以下6组：[9395)，， [9597)，，[9799)，，[99101)，，[101103)，，[103,105]，得到如图所示的频率分布直方图．若长度在[97,103)内的元件为合格品，根据频率分布直方图，估计这批产品的合格率是_____．13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边边长分别为a ，b ，c ，且cos 3cos 4A bB a ==．若10c =，则△ABC 的面积是______．14．已知数列{}n a 的各项均为正整数，其前n 项和为n S ．若1, ,231, ,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶数是奇数且329S =，则1a =______；3n S =______.三、解答题15．已知函数()sin cos f x x a x =+的一个零点是3π4．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）设22()[()]2sin g x f x x =-，求()g x 的单调递增区间．16．在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形，AB //CD ，AC =，22AB BC ==，AC FB ⊥．（Ⅰ）求证：⊥AC 平面FBC ；（Ⅱ）求四面体FBCD 的体积；（Ⅲ）线段AC 上是否存在点M ，使EA //平面FDM ？证明你的结论．17．某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过4小时．（Ⅰ）若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为31，停车付费多于14元的概率为125，求甲停车付费恰为6元的概率；（Ⅱ）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率．18．已知函数()e xf x ax =+，()lng x ax x =-，其中0a ≤．（Ⅰ）求)(x f 的极值；（Ⅱ）若存在区间M ，使)(x f 和()g x 在区间M 上具有相同的单调性，求a 的取值范围．19．如图，已知椭圆22143x y +=的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点，线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点．（Ⅰ）若点G 的横坐标为14-，求直线AB 的斜率；（Ⅱ）记△GFD 的面积为1S ，△OED （O 为原点）的面积为2S ．试问：是否存在直线AB ，使得12S S =？说明理由．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1． B ； 2．A ； 3．D ； 4．B ； 5．C ； 6．C ； 7．A ； 8．B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．0； 10．74-； 11．12x =-，2； 12．80%； 13．24； 14．5，722n +．注：11、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15．（Ⅰ）解：依题意，得3π()04f =， ………………1分即 3π3πsincos 04422a +=-=， ………………3分解得 1a =． ………………5分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得 ()sin cos f x x x =+． ………………6分22()[()]2sin g x f x x =-22(sin cos )2sin x x x =+- s i n 2c o s 2xx =+ ………………8分π)4x =+． ………………10分由 πππ2π22π242k x k -≤+≤+，得 3ππππ88k x k -≤≤+，k ∈Z ． ………………12分所以 ()g x 的单调递增区间为3ππ[π,π]88k k -+，k ∈Z ． ………………13分 16．（Ⅰ）证明：在△ABC 中，因为 AC =2AB =，1BC =，所以 BC AC ⊥． ………………2分又因为 AC FB ⊥，所以 ⊥AC 平面FBC ． ………………4分（Ⅱ）解：因为⊥AC 平面FBC ，所以FC AC ⊥．因为FC CD ⊥，所以⊥FC 平面ABCD ． ………………6分在等腰梯形ABCD 中可得 1==DC CB ，所以1=FC ．所以△BCD 的面积为 43=S ． ………………7分所以四面体FBCD 的体积为：1312F BCD V S FC -=⋅=………………9分（Ⅲ）解：线段AC 上存在点M ，且M 为AC 中点时，有EA // 平面FDM ，证明如下：………………10分连结CE ，与DF 交于点N ，连接MN ．因为 CDEF 为正方形，所以N 为CE 中点． ………………11分所以 EA //MN ． ………………12分因为 ⊂MN 平面FDM ，⊄EA 平面FDM ， ………………13分所以 EA //平面FDM ．所以线段AC 上存在点M ，使得EA //平面FDM 成立． ………………14分 17．（Ⅰ）解：设“甲临时停车付费恰为6元”为事件A ， ………………1分则 41)12531(1)(=+-=A P ．所以甲临时停车付费恰为6元的概率是41． ………………4分（Ⅱ）解：设甲停车付费a 元，乙停车付费b 元，其中,6,14,22,30a b =． ………………6分则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为：(6,6),(6,14),(6,22),(6,30),(14,6),(14,14),(14,22),(14,30),(22,6),(22,14),(22,22), (22,30),(30,6),(30,14),(30,22),(30,30)，共16种情形． ………………10分其中，(6,30),(14,22),(22,14),(30,6)这4种情形符合题意． ………………12分故“甲、乙二人停车付费之和为36元”的概率为41164P ==． ………………13分 18.（Ⅰ）解：()f x 的定义域为R ，且 ()e xf x a '=+． ………………2分① 当0a =时，()e xf x =，故()f x 在R 上单调递增．从而)(x f 没有极大值，也没有极小值． ………………4分② 当0a <时，令()0f x '=，得ln()x a =-．()f x 和()f x '的情况如下：故()f x 的单调减区间为(,ln())a -∞-；单调增区间为(ln(),)a -+∞．从而)(x f 的极小值为(ln())ln()f a a a a -=-+-；没有极大值． ………………6分（Ⅱ）解：()g x 的定义域为(0,)+∞，且 11()ax g x a x x-'=-=． ………………8分 ③ 当0a =时，()f x 在R 上单调递增，()g x 在(0,)+∞上单调递减，不合题意．………………9分 ④ 当0a <时，()0g x '<，()g x 在(0,)+∞上单调递减．当10a -≤<时，ln()0a -≤，此时()f x 在(ln(),)a -+∞上单调递增，由于()g x 在(0,)+∞上单调递减，不合题意． ………………11分当1a <-时，ln()0a ->，此时()f x 在(,ln())a -∞-上单调递减，由于()f x 在(0,)+∞上单调递减，符合题意．综上，a 的取值范围是(,1)-∞-． ………………13分 19．（Ⅰ）解：依题意，直线AB 的斜率存在，设其方程为(1)y k x =+． ………………1分将其代入22143x y +=，整理得 2222(43)84120k x k x k +++-=． ………………3分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以 2122843k x x k -+=+． ………………4分故点G 的横坐标为21224243x x k k +-=+．依题意，得2241434k k -=-+， ………………6分解得 12k =±． ………………7分（Ⅱ）解：假设存在直线AB ，使得 12S S =，显然直线AB 不能与,x y 轴垂直．由（Ⅰ）可得 22243(,)4343k kG k k -++． ………………8分因为 DG AB ⊥，所以 2223431443Dk k k kx k +⨯=---+，解得 2243D k x k -=+，即 22(,0)43k D k -+．10分因为 △GFD ∽△OED ，所以 12||||S S GD OD =⇔=． ………………11分所以2243k k -=+， ………………12分整理得 2890k +=． ………………13分因为此方程无解，所以不存在直线AB ，使得 12S S =． ………………14分。

2018届北京市门头沟区高三3月抽样测试文科数学试题及

北京市门头沟区2018届高三3月抽样测试数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷l 至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分．考试时间120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并回交．第Ⅰ卷 (选择题40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{}24A x x =≤，{}1B x x =<，则集合B A 等于（A ）{}12x x ≤≤ （B ）{}1x x ≥ （C ）{}2x x ≤ （D ）R {}-2x x ≥ 2．在等差数列{}n a 中，7916+=a a ，41=a ，则12a 的值是（A ）15 （B ）30 （C ）31 （D ）64 3．为得到函数sin (π-2)y x =的图象，可以将函数πsin (2)3y x =-的图象（A ）向左平移3π个单位（B ）向左平移6π个单位（C ）向右平移3π个单位（D ）向右平移6π个单位4．如果()f x 的定义域为R ，(2)(1)()f x f x f x +=+-，若(1)lg 3lg 2f =-，(2)lg 3lg 5f =+，则(3)f 等于（A ）1 （B ）lg3-lg22018.3（C ）-1 （D ）lg2-lg35则该几何体的体积是（A ）（B ）21（C ）13（D ）656．若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足422=-+c b a )(，且C =60°，则ab 的值为（A ）348- （B ）1 （C ）34（D ）327. 已知函数22,0()42,0x f x x x x ≥⎧=⎨++<⎩的图象与直线(2)2y k x =+-恰有三个公共点，则实数k 的取值范围是（A ）()02，(B)(]02， (C)()-2∞， (D)()2+∞， 8．点P 是以12F F ，为焦点的椭圆上的一点，过焦点2F 作12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为M 点，则点M 的轨迹是（A ）抛物线（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）圆左视图俯视图第Ⅱ卷（非选择题110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．复数11i-在复平面内对应的点到原点的距离是． 10．在给定的函数中：① 3-y x =；②x y -2=；③sin y x =；④1y x=，既是奇函数又在定义域内为减函数的是 .11．用计算机产生随机二元数组成区域⎧⎨⎩,)x y ，用计算机计算22y x +的值，记“(,)x y 满足A 发生的概率为________.12输出的结果是．13．为了解本市的交通状况，某校高一年级的同学分成了甲、乙、丙三个组，从下午13点到18点，分别对三个路口的机动车通行情况进行了实际调查，并绘制了频率分布直方图（如图），记甲、乙、丙三个组所调查数据的标准差分别为321,,s s s ，则它们的大小关系为．（用“>”连结）14．设向量a ()21,a a =，b ()21,b b =，定义一种向量积：⊗=()21,a a ⊗()21,b b =()2211b a b a ，．已知=⎪⎭⎫ ⎝⎛3,21，=⎪⎭⎫⎝⎛0,6π，点P 在x y sin =的图象上运动，点Q 在)(x f y =的图象上运动，且满足OQ =m ⊗OP +n （其中O 为坐标原点），则)(x f y =的最大值是．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题满分13分）已知函数)-2π(cos cos sin )(2x x x x f +=．（Ⅰ）求)3π(f 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及值域.16. （本小题满分13分）已知函数2()xf x x b=+，其中b ∈R ．（Ⅰ）)(x f 在1x =-处的切线与x 轴平行，求b 的值；甲乙丙（Ⅱ）求)(x f 的单调区间．17. （本小题满分13分）如图，已知平面α,β，且,,,,AB PC PD C D αβαβ=⊥⊥是垂足．（Ⅰ）求证：AB ⊥平面PCD ；面α与平（Ⅱ）若1,PC PD CD ===，试判断平面β是否垂直，并证明你的结论．APCDBβα18. （本小题满分13分）某学校有两个参加国际中学生交流活动的代表名额，为此该校高中部推荐了2男1女三名候选人，初中部也推荐了1男2女三名候选人．（I ）若从初高中各选1名同学做代表，求选出的2名同学性别相同的概率；（II ）若从6名同学中任选2人做代表，求选出的2名同学都来自高中部或都来自初中部的概率．19. （本小题满分14分）已知椭圆与双曲线122=-y x 有相同的焦点，且离心率为22．（I ）求椭圆的标准方程；（II ）过点P （0，1）的直线与该椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若2=，求AOB ∆的面积．20. （本小题满分14分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，11=a ，满足下列条件①0≠∈∀n a N n ,*；②点),(n n n S a P 在函数22x x x f +=)(的图象上；（I ）求数列}{n a 的通项n a 及前n 项和n S ；（II ）求证：10121<-≤+++||||n n n n P P P P ．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）门头沟区2018年高三年级抽样测试评标及参考答案数学（文史类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．四、解答题：本题共6小题，共80分． 15.（本小题满分13分）已知函数)-2π(cos cos sin )(2x x x x f +=．（Ⅰ）求)3π(f 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及值域.解：（I ）由已知，得2πππππ()sin cos cos()33323f =+- ……2分π31()342f =+ ……5分（II ）2()sin cos sin f x x x x =+ 1cos 2sin 222x x-=+111sin 2cos 2222x x =-+ 2018.3π1)42x =-+ 函数)(x f 的最小正周期T π= ……11分值域为 ……13分16．（本小题满分13分）已知函数2()xf x x b=+，其中b ∈R ．（Ⅰ）)(x f 在1x =-处的切线与x 轴平行，求b 的值；（Ⅱ）求)(x f 的单调区间．解：（Ⅰ）222()()b x f x x b -'=+．……2分依题意，由(1)0f '-=，得1b =． ……4分经检验，1b = 符合题意． ……5分（Ⅱ）① 当0b =时，1()f x x=．故()f x 的单调减区间为(,0)-∞，(0,)+∞；无单调增区间． ……6分② 当0b >时，222()()b x f x x b -'=+．令()0f x '=，得1x =，2x = ……8分()f x 和()f x '的情况如下：故()f x 的单调减区间为(,-∞，)+∞；单调增区间为(．……11分③ 当0b <时，()f x的定义域为{|D x x =∈≠R ．因为222()0()b x f x x b -'=<+在D 上恒成立，故()f x的单调减区间为(,-∞，(，)+∞；无单调增区间． ……13分17. （本小题满分13分）如图，已知平面,αβ，且,,,,AB PC PD C D αβαβ=⊥⊥是垂足．（Ⅰ）求证：AB ⊥平面PCD ；（Ⅱ）若1,PC PD CD ===，试判断平面α与平面β是否垂直，并证明你的结论．（Ⅰ）证明：因为,PC AB αα⊥⊂，所以PC AB ⊥．同理PD AB ⊥．又PC PD P =，故AB ⊥平面PCD ． ……5分（Ⅱ）平面α与平面β垂直证明：设AB 与平面PCD 的交点为H ，连结CH 、DH ．因为α⊥PC ，所以CH PC ⊥， ……8分在PCD ∆中，1,PC PD CD ===，所以2222CD PC PD =+=，即090CPD ∠=． ……11分在平面四边形PCHD 中，CH PC PD PC ⊥⊥,，所以CH PD // 又β⊥PD ，所以β⊥CH ，所以平面α⊥平面β． ……13分18. （本小题满分13分）APC DBβαH某学校有两个参加国际中学生交流活动的代表名额，为此该校高中部推荐了2男1女三名候选人，初中部也推荐了1男2女三名候选人．（I）若从初高中各选1名同学做代表，求选出的2名同学性别相同的概率；（II）若从6名同学中任选2人做代表，求选出的2名同学都来自高中部或都来自初中部的概率解：设高中部三名候选人为A1，A2，B．初中部三名候选人为a,b1,b2 （I）由题意，从初高中各选1名同学的基本事件有（A1，a），（A1，b1），（A1，b2），（A2，a），（A2，b1），（A2，b2），（B，a），（B，b1），（B，b2），共9种 (2)分设“2名同学性别相同”为事件E，则事件E包含4个基本事件，4概率P(E)=94．……6分所以，选出的2名同学性别相同的概率是9（II）由题意，从6名同学中任选2人的基本事件有（A1 ，A2），（A1，B），（A1，a），（A1，b1），（A1，b2），（A2，B），（A2，a），（A2，b1），（A2，b2），（B，a），（B，b1），（B，b2），(a，b1)，（a，b2），（b1，b2）共15种……8分设“2名同学来自同一学部”为事件F，则事件F包含6个基本事件，概率P(F)=52516=所以，选出的2名同学都来自高中部或都来自初中部的概率是25． ……13分19. （本小题满分14分）已知椭圆与双曲线122=-y x 有相同的焦点，且离心率为22．（I ）求椭圆的标准方程；（II ）过点P （0，1）的直线与该椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若2=，求AOB ∆的面积．解：（I ）设椭圆方程为12222=+by a x ，0>>b a ，由2=c ，可得2=a ，2222=-=c a b 既所求方程为12422=+y x……5分（II ）设),(11y x A ，),(22y x B ，由PB AP 2=有⎩⎨⎧-=-=-)(12122121y y x x 设直线方程为1+=kx y ，代入椭圆方程整理，得0241222=-++kx x k )(……8分解得1228222++±-=k k k x……10分若 12282221++--=k k k x ，12282222+++-=k k k x则122822122822222++--⋅=++---k k k k k k解得1412=k ……12分又AOB ∆的面积81261228221||||212221=++⋅=-⋅=k k x x OP S答：AOB ∆ ……14分20. （本小题满分14分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，11=a ，满足下列条件①0≠∈∀n a N n ,*；②点),(n n n S a P 在函数22xx x f +=)(的图象上；（I ）求数列}{n a 的通项n a 及前n 项和n S ；（II ）求证：10121<-≤+++||||n n n n P P P P ．解：（I ）由题意 22nnn a a S += ……2分当2≥n 时 2212121---+-+=-=n n n n n n n a a a a S S a整理，得0111=--+--))((n n n n a a a a……5分又0≠∈∀n a N n ,*，所以01=+-n n a a 或011=---n n a a01=+-n n a a 时，11=a ，11-=-n na a ，得11--=n n a )(，211nn S )(--=……7分 011=---n n a a 时，11=a ，11=--n n a a ，得n a n =，22nn S n += ……9分（II ）证明：01=+-n n a a 时，))(,)((21111n n n P ----5121==+++||||n n n n P P P P ，所以0121=-+++||||n n n n P P P P ……11分011=---n n a a 时，),(22nn n P n + 22121)(||++=++n P P n n ，2111)(||++=+n P P n n222222121112111211121)()()()()()(||||++++++--++=++-++=-+++n n n n n n P P P P n n n n22112132)()(++++++=n n n ……13分因为11122122+>+++>++n n n n )(,)(所以 1112132022<++++++<)()(n n n综上 10121<-≤+++||||n n n n P P P P……14分注：不同解法请教师参照评标酌情给分．。

北京市门头沟区2013年中考数学一模试卷及答案word版

2013年门头沟区初三年级第一次统一练习数学试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．-3的倒数是A ．3B ．13 C ．3- D ．13-2．2012年北京市的经济又迈上新的台阶，全市地区生产总值达到了1 780 000 000 000元，将1 780 000 000 000用科学记数法表示应为A ．130.17810⨯B ．121.7810⨯C ．1117.810⨯D ．101.7810⨯ 3．若一个多边形的内角和等于900º，则这个多边形的边数是 A ．5B ．6C ．7D ．84．如图，OA 是⊙O 的半径，弦BC ⊥OA ，D 是⊙O 上一点，若∠ADC =26º，则∠AOB 的度数为 A ．13º B ．26º C ．52º D ．78º5．右图是某个几何体的表面展开图，则该几何体的左视图为6．有6张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有数字1、2、3、4、5、6，背面完全相同．现将这6张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面印有的数字恰好是奇数的概率为 A ．16 B ．14C ． 13D ． 12 A ．B ．C ．D ．7．小明同学在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用水量，如下表所示：则这20户家庭该月用水量的众数和中位数分别是 A ．5，7B ．7，7C ．7，8D ．3，78．如图1，从矩形纸片AMEF 中剪去矩形BCDM 后，动点P 从点B 出发，沿BC 、CD 、DE 、EF 运动到点F 停止，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则图形ABCDEF 的面积是A ．28B ．32C ．36D ．48二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．若分式21x x -+的值为0，则x 的值为． 10．分解因式：21025ax ax a -+= ． 11．如图，某班课外活动小组的同学用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD =3m ，标杆与旗杆的水平距离BD =15m ，人的眼睛与地面的高度EF =1.6m ，人与标杆CD 的水平距离DF =2m ，且E 、C 、A 三点在同一条直线上，则旗杆AB 的高度是 m ．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点0M 的坐标为(1,0)，将线段0OM 绕原点O 沿逆时针方向旋转45︒，再将其延长到1M ，使得001OM M M ⊥，得到线段1OM ；又将线段1OM 绕原点O 沿逆时针方向旋转45︒，再将其延长到2M 使得112OM M M ⊥，得到线段2OM ，如此下去，得到线段3OM ，4OM ,，则点1M 的坐标是，点M 5的坐标是；若把点)(n n n y x M ，（n 是自然数）的横坐标n ，纵坐标n y 都取绝对值后得到的新坐标(),n n x y 称之为点n M 的绝对坐标，则点83n M +的绝对坐标是（用含n 的代数式表示）．图1 E D M BA F C三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：1013tan 30(1)6-⎛⎫-︒π- ⎪⎝⎭．14．解不等式组：234,314 5.x x x x +<+⎧⎨+-⎩≥15．已知1582=+x x ，求2)12()1(4)2)(2(++---+x x x x x 的值.16．已知：如图，点A 、E 、B 在同一条直线上，AC ∥DB ，AB =BD ，AC =BE ．求证：BC =DE ．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象交于A （2，3）、 B （3-，n ）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）若P 是y 轴上一点，且满足△P AB 的面积是5，直接写出OP 的长．18．列方程或方程组解应用题：某地要对一条长2500米的公路进行道路改造，在改造了1000米后，为了减少施工对交通造成的影响，采用了新的施工工艺，使每天的工作效率是原来的1.5倍，结果提前5天完成任务，求原来每天改造道路多少米．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，在四边形ABCD 中，∠A =∠ADC =120º，AB =AD ，E 是BC 的中点，DE =15，DC =24，求四边形ABCD 的周长．A BDED CEAB20．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，M 为AB 上一点，过点M 作DM ⊥AB ，交弦AC 于点E ，交⊙O 于点F ，且DC ＝DE ．（1）求证：DC 是⊙O 的切线；（2）如果DM ＝15，CE ＝10，5cos 13AEM ∠=，求⊙O 半径的长．21．某市政园林绿化局要对甲、乙、丙、丁四个品种的树苗进行树苗成活率试验，从中选取成活率高的品种进行推广．通过试验得知丙种树苗的成活率为89.6%，以下是根据试验数据制成的统计图表的一部分．请你根据以上信息解答下列问题：（1）这次试验所用四个品种的树苗共株；（2）将表1、图1和图2补充完整；（3）求这次试验的树苗成活率．试验用树苗中各品种树苗所占百分比统计图图1各品种树苗成活数统计图图2表1 试验用树苗中各品种树苗种植数统计表22．操作与探究：在平面直角坐标系xOy 中，点P 从原点O 出发，且点P 只能每次向上平移2个单位（1（2任一次平移，点P 可能到达的点在我们学过的一种函数的图象上，如：平移1次后在函数22+-=x y 的图象上；平移2次后在函数42+-=x y 的图象上，…．若点P 平移5次后可能到达的点恰好在直线3y x =上，则点P 的坐标是；（3）探究运用：点P 从原点O 出发经过n 次平移后，到达直线x y =上的点Q ，且平移的路径长不小于30，不超过32，求点Q 的坐标．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知关于x 的一元二次方程21(2)2602x m x m +-+-=．（1）求证：无论m 取任何实数，方程都有两个实数根；（2）当<3m 时，关于x 的二次函数21(2)262y x m x m =+-+-的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且2AB =3OC ，求m 的值；（3）在（2）的条件下，过点C 作直线l ∥x 轴，将二次函数图象在y 轴左侧的部分沿直线l 翻折，二次函数图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，记为G ．请你结合图象回答：当直线13y x b =+与图象24．已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 为BC 边的中点，点F 是AB 边上一点，点E 在线段DF 的延长线上，点M 在线段DF 上，且∠BAE ＝∠BDF ，∠ABE ＝∠DBM ．（1）如图1，当∠ABC ＝45°时，线段 DM 与AE 之间的数量关系是；（2）如图2，当∠ABC ＝60°时，线段 DM 与AE 之间的数量关系是；（3）① 如图3，当ABC α∠=（0<<90α︒︒）时，线段 DM 与AE 之间的数量关系是；② 在（2）的条件下延长BM 到P ，使MP ＝BM ，连结CP ，若AB ＝7，AE＝求sin ∠ACP 的值．25．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为D ，过点A 的直线与抛物线交于点E ，与y 轴交于点F ，且点B 的坐标为（3，0），点E 的坐标为（2，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点G 为抛物线对称轴上的一个动点，H 为x 轴上一点，当以点C 、G 、H 、F四点所围成的四边形的周长最小时，求出这个最小值及点G 、H 的坐标；（3）设直线AE 与抛物线对称轴的交点为P ，M 为直线AE 上的任意一点，过点M 作MN ∥PD 交抛物线于点N ，以P 、D 、M 、N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求点MA B CD EFMMFED CA ACD EF M 图1图2图32013年北京市门头沟区初三年级第一次统一练习数学试卷评分参考一、选择题（本题共32分，每小题4分）三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：()1013tan 3016-⎛⎫-︒π- ⎪⎝⎭．解： ()113t a n 32716-⎛⎫-︒π- ⎪⎝⎭=631- ……………………………………………………………………4分=7+． ……………………………………………………………………………5分14．解不等式组：234,314 5.x x x x +<+⎧⎨+-⎩≥解：解不等式①，得 x ＜1． …………………………………………………………2分解不等式②，得 x ≤6． …………………………………………………………4分∴原不等式组的解集为x ＜1． (5)分15．解：2(2)(2)4(1)(21)x x x x x ++--++222444441x x x x x =--++++ …………………………………………………3分283x x =+-．..............................................................................4分当2815x x +=时，原式15312=-=． (5)分16．证明：∵AC ∥DB ，∴∠BAC =∠DBA ．…………………………………………………………………①②1分在△BAC 与△DBE 中，,,,AB BD BAC DBA AC BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAC ≌△DBE ． ..................................................................4分 ∴BC =DE ． (5)分17．解：（1）∵反比例函数my x=的图象经过点A （2，3）， ∴m =6．∴反比例函数的解析式是6y x=． …………1分点A （－3，n ）在反比例函数6y x=的图象上， ∴n =－2．∴B （－3，－2）．……………………………2分 ∵一次函数y =kx +b 的图象经过A （2，3）、B （－3，－2）两点，∴ 23,3 2.k b k b +=⎧⎨-+=-⎩ 解得1,1.k b =⎧⎨=⎩∴ 一次函数的解析式是y =x +1．…………………………………………………3分（2）OP 的长为 3或1． ………………………………………………………………5分 18．解：设原来每天改造道路x 米.………………………………………………………………1分依题意，得2500100015005.1.5x x x--= ……………………………………………………3分解得 x =100. …………………………………………………………………………4分经检验，x =100是原方程的解，且符合题意.答：原来每天改造道路100米. …………………………………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19. 解：如图，过点A 作AF ⊥BD 于F ．∵∠BAD =120°，AB =AD ，∴∠ABD =∠ADB =30°．∵∠ADC =120°， ∴∠BDC =∠ADC －∠ADB =12030︒-︒=90°．在Rt △BDC 中，∠BDC =90°，DE =15，E 是BC 的中点，DC =24， ∴BC=2DE =30．…………………………………2分∴18BD =．………3分∵AD =AB ，AF ⊥BD ，∴1118922DF BD ==⨯=．在Rt △AFD 中，∵∠AFD =90°，∠ADB =30°，∴9cos cos 30DF DF AD AB ADB ====÷=∠︒4分∴四边形ABCD 的周长=AB +AD +DC +BC 243054=++=+ ………5分20. （1）证明：如图1，连结OC ．∵OA ＝OC ，DC ＝DE ，∴∠A ＝∠OCA ，∠DCE ＝∠DEC ．又∵DM ⊥AB ，∴∠A ＋∠AEM ＝∠OCA ＋∠DEC ＝90°． ∴∠OCA ＋∠DCE ＝∠OCD ＝90°．∴DC 是⊙O 的切线．………………………2分（2）解：如图2，过点D 作DG ⊥AC 于点G ，连结BC ．∵DC ＝DE ，CE ＝10，∴EG ＝12CE ＝5． ∵cos ∠DEG ＝cos ∠AEM ＝EG DE ＝513， ∴DE ＝13．∴DG＝12． ∵DM ＝15，∴EM ＝DM -DE ＝2．…………3分 ∵∠AME ＝∠DGE ＝90°，∠AEM ＝∠DEG ， ∴△AEM ∽△DEG ． ∴AM EM AE =DG EG DE =．∴212513AM AE==． ∴245AM =，265AE =． ∴AC AE EC =+=765．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°． ∴cos A ＝AM AC AE AB=．∴24715AB =．…………4分 F BAECD 图1AA图2∴⊙O 的半径长为1247230AB =． ………………………………………………5分21．解：（1）500． (1)分（2）补全表1、图1和图2． (4)分（3）89.8%． (5)分22．解：（1）（0，6），（1，4），（2，2），（3，0）．……………………………………………2分（2）（2，6）．……………………………………………………………………………3分（3）设点Q 的坐标为（x ，y ）．由题意，得 ⎩⎨⎧=+-=.,22x y n x y 解得 2,32.3n x n y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴ 点Q 的坐标为)32,32(nn ． ∵平移的路径长为x +y ，∴30≤34n≤32．∴22.5≤n ≤24． ∵点Q 的坐标为正整数，∴点Q 的坐标为（16，16）． ………………………5分五、解答题（本题共22分，第23、24题各7分，第25题8分）23．解：（1）根据题意，得221Δ(2)4(26)(4)2m m m =--⨯⨯-=-．∵无论m 为任何实数时，都有(m －4)2≥0，即Δ≥0，∴方程有两个实数根． (2)分（2）令y =0，则21(2)2602x m x m +-+-=．解得 x 1=6－2m ，x 2=－2．∵ m ＜3，点A 在点B 的左侧， ∴ A （－2，0），B （26m -+，0）．……………………………………………3分∴ OA=2，OB =26m -+．令x =0，得y =2m －6． ∴C （0，2m －6）．∴OC =－(2m －6)=－2m +6．∵ 2AB =3 OC ，∴ 2(226)3(26)m m -+=-+．解1m = （3）当1m =时，抛物线的解析式为2142y x x =--，点C 的坐标为（0，－4）．当直线13y x b =+经过C 点时，可得b =－4．当直线13y x b =+（b ＜－4）与函数2142y x x =--（x ＞0）的图象只一个公共点时，得211432x b x x +=--．整理得2386240.x x b ---=由()()2Δ8436240b =--⨯⨯--=，解得449b =-．结合图象可知，符合题意的b 的取值范围为b >－4或44<9b -．………………7分24．解：（1）DM AE =． (2)分（2）12DM AE =． …………………………………………………………………3分（3）①cos DM AE =α． ………………………………………………………………4分② 如图，连结AD 、EP ． ∵AB =AC ，∠ABC =60°， ∴△ABC 为等边三角形．又∵D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∠DAC =30°，BD =DC =12BC =72． ∵∠BAE =∠BDM ，∠ABE =∠DBM ，∴△ABE ∽△DBM ．∴12BM DB BE AB ==．∴EB =2BM ．又∵PB =2BM ，∴EB =PB ．∵60EBP ABE ABP PBC ABP ABC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒, ∴△BEP 为等边三角形．∴EM ⊥BP ．∴∠BMD =90°．k B 1 . c o m ∵D 为BC 的中点，M 为BP 的中点，∴DM ∥PC ．∴∠BPC =∠BMD = 90°． ∵AB CB =，BE BP =，∠ABE ＝∠DBM ， ∴△ABE ≌△CBP ．∴BCP BAE ∠=∠，∠BPC =∠BEA = 90°．在Rt △AEB 中，∵∠BEA =90°，AE=AB =7，∴cos EAB ∠∴cos cos PCB BAE ∠=∠=5分在Rt △ABD中，sin AD AB ABD =⋅∠=，在Rt △NDC中，cos DC CN NCD ==∠∴ND =∴NA AD ND =-=过点N 作NH ⊥AC 于H ．∴12NH AN =6分∴sin NH ACP CN ∠== (7)分25. 解：（1）由二次函数2y x bx c =-++的图象经过B （3，0）、E (2,3)两点，得930,42 3.b c b c -++=⎧⎨-++=⎩ 解这个方程组，得2,3.b c =⎧⎨=⎩ ………………………………1分 ∴抛物线的解析式为223y x x =-++． …………………………………………2分（2）令y =0，得2230x x -++=．解这个方程，得x 1=－1，x 2=3．∴A （－1，0）．令x =0，得3y =．∴C （0，3）．如图，在y 轴的负半轴上取一点I ，使得点F 与点I 关于x 轴对称，在x 轴上取一点H ，连结HF 、HI 、HG 、GC 、GE ，则HF ＝HI ． ∵抛物线的对称轴为直线1x =，∴点C 与点E 关于直线1x =对称，CG =EG ．HP ABCD EF M N 图2设直线AE 的解析式为y ＝kx ＋b ． ∴0,2 3.k b k b -+=⎧⎨+=⎩解得 1,1.k b =⎧⎨=⎩∴直线AE 的解析式为y ＝x ＋1．令x ＝0，得y ＝1．∴点F 的坐标为（0，1）． ∴CF =2．∵点F 与点I 关于x 轴对称，∴I （0，－1）．∴EI ==∵要使四边形CFHG 的周长最小，由于CF∴只要使CG ＋GH ＋HF 最小即可． ∵CG ＋GH ＋HF ＝EG ＋GH ＋HI ，∴只有当EI 为一条直线时，EG ＋GH ＋HI 最小．设直线EI 的解析式为y ＝k 1x ＋b 1．∴11123,1.k b b +=⎧⎨=-⎩ 解得112,1.k b =⎧⎨=-⎩∴直线EI 的解析式为y ＝2x －1． ∵当x ＝1时，y ＝1，∴点G 的坐标为（1，1）．…………………………………3分∵当y ＝0时，12x =，∴点H 的坐标为（12，0）． ……………………………4分∴四边形CFHG 周长的最小值=CF ＋CG ＋GH ＋HF ＝CF ＋EI =2+……5 分(3) 以P 、D 、M 、N 由抛物线223y x x =-++的顶点D 的坐标为（1直线AE 与对称轴的交点P 的坐标为（1，2)，得∵点M 在直线AE 上，设M （x ，x ＋1），①当点M 在线段AE 上时，点N 在点M 上方，则N (x ，x ＋3) ．∵N 在抛物线上，∴x ＋3＝－x 2＋2x ＋3．解得，x ＝0或x ＝1（舍去） ∴M （0，1）． ………………………………………………………………………6 分②当点M 在线段AE （或EA ）的延长线上时，点N 在点M 下方，则N （x ，x －1）．∵N 在抛物线上, ∴x －1＝－x 2＋2x ＋3．解得x x∴M或．……………………………………8 分∴点M的坐标为(0，1)或或．。

2013年3月北京市东城区普通高中示范校高三综合练习数学

2013年3月北京市东城区普通高中示范校高三综合练习数学D一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．设全集集合集合，则=( )A. B. C. D.2．设复数(其中为虚数单位)，则z的共轭复数等于( )A．1+ B．C．D．3．已知条件p：，条件q：，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件4．如右图的程序框图所示，若输入，则输出的值是( )A. B.1 C. D. 25．若抛物线上一点到轴的距离为3，则点到抛物线的焦点的距离为（）A．3 B．4 C．5 D．76．公差不为零的等差数列第2，3，6项构成等比数列，则这三项的公比为（）A．1 B．2 C．3 D．47．已知是单位向量，且夹角为60°，则等于（）A．1 B．C．3 D．8．已知函数对任意，有，且当时，，则函数的大致图象为（）9．设函数，则不等式的解集是（）A． B．C．D．10．一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为( ) A．B．C．1 D．第Ⅱ卷非选择题（共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分，把答案填写在答题卡相应的位置）11．若函数的图象在处的切线方程是，则.12．若椭圆的短轴为，它的一个焦点为，则满足为等边三角形的椭圆的离心率是．13．已知变量满足约束条件，则的最大值为；14．若则；15．选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 D A A D B C C C A D二、填空题:11．3 12．13．11 14．15．A ；B．；C．三、解答题16．（本小题满分12分）【解】：在100名电视观众中，收看新闻的观众共有45人，其中20至40岁的观众有18人，大于40岁的观众共有27人。

北京市门头沟育园中学2013届高三阶段考试(二)数学(文)试题

一、本大题共20个小题，每小题4分，共80分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．把正确答案选项的标号填在答题卡上．1．已知集合{} |10A x x =-<，{} |02B x x ≤=<，那么A B 等于（）（A ）{}1x x <- （B ）{}2x x > （C ）{} |01x x ≤<(D){}|12x x << 2.三个数0.73a =，30.7b =，3log 0.7c =的大小顺序为（）（A ）b c a <<（B ）b a c << （C ）c a b << （D ）c b a << 3. 2sin cos 1212ππ⋅的值为（）（A ）12（B ）2 （C （D ）1 4. 函数4sin 2(R)y x x =∈是（）A 周期为π2的奇函数B 周期为π2的偶函数C 周期为π的奇函数D 周期为π的偶函数5. 直线l 的斜率是3，且过点A(1,-2),则直线l 的方程是（）A. 053=--y xB. 053=-+y xC. 013=+-y xD ．013=-+y x6. 某公司有员工150人，其中50岁以上的有15人，35~49岁的有45人，不到35岁的有90人.为了调查员工的身体健康状况，采用分层抽样方法从中抽取30名员工，则各年龄段人数分别为（）（A ）3,9,18 (B) 5,9,16 (C) 3,10,17 (D) 5,10,157.在下列函数中：①12()f x x =， ②23()f x x =，③()cos f x x =，④()f x x =，其中偶函数的个数是 ( )（A ）0 (B)1 ( C)2 (D)38. 某样本数据的频率分布直方图的部分图形如右图所示，则数据在[50,70)的频率约为( )（A ）0.25 （B ）0.05（C ）0.5 （D ）0.0259. 把函数)34cos(π+=x y 的图象向右平移θ(θ>0)个单位，所得的图象关于y 轴对称，则θ的最小值为( ) (A)6π (B) 3π (C) 32π (D) 34π 10. 如图，大正方形的面积是13，四个全等的直角三角形围成一个小正方形.直角三角形的较短边长为2.向大正方形内投一飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率为（）(A) 113 (B) 213 (C)313 (D) 41311. 已知x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-.3,0,05x y x y x 则2x+4y 的最小值为（）(A)6 (B) 12 (C) -6 (D)-1212．下列命题正确的是（）A 若l 与平面α内的无数条直线垂直，则l ⊥α；B 若l 与平面α内的两条直线垂直，则l ⊥α；C 垂直于同一条直线的一条直线和一个平面平行；D a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α．13．已知向量()1,2=-a ，(),4m =b ，且//a b ，那么2-a b 等于（）（A ）()4,0 （B ）()0,4 （C ）()4,8- (D)()4,8-14．已知数列{n a } 是等差数列，且121a a +=，511a =，则数列{n a }的前5项的和5S 等于（）（A ）22 （B ）25 （C ）30 (D)3515．已知,a b ∈R +，那么“1122log log a b >”是 “a b <”的（）（A ）充要条件（B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件16．设,833)(-+=x x f x 用二分法求方程0833=-+x x 在区间（1，2）上近似解的过程中，计算得到0)5.1(,0)25.1(,0)1(><<f f f ，0751>).(f ，则方程的根落在区间（）（A ）（1,1.25）（B ） (1.25，1.5) （C ）(1.5, 1.75) (D) (1.75,2)17．过圆()()22125x y -++=上一点()3,1M -的切线方程是（）A 270x y +-=B 250x y --=C 210x y +-=D 250x y +-=18．已知a ＞0,b ＞0,a+b=1则ba 11+的取值范围是（） A ( 2,+∞) B [2,+∞) C (4,+∞) D [4,+∞) 19．ABC △中角A B C ，，的对边分别为abc ，，，c b ==，120B =,则a 为（）A. B.220．已知平面向量)1,3(=a ，)3,(-=x b ，且b a⊥，则x 的值为（）A.－3B.-1C.1D.3二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡相应的位置上. 21．观察下列式子：213122+<，221151233++<，222111712344+++<，… ，根据以上式子可以猜想：2221111232012++++<_________________. 22．如图，已知图中的三个直角三角形是一个几何体的三视图，那么这个几何体的体积等于________________.23．某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x值是______________.24．下面四个命题：①已知函数(),0,,0,x f x x =<≥ 且()()44f a f +=，那么4a =-；②一组数据18，21，19，a ，22的平均数是20，那么这组数据的方差是2； ③要得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只要将sin 2y x =的图象向左平移3π单位； ④已知奇函数()f x 在(0,)+∞为增函数，且(1)0f -=，则不等式()0f x <的解集为{}1x x <-.其中正确的是__________________.三．解答题（50分）25．（本小题共12分）已知向量)c os ,s in (x x 2=，)cos ,(cos x x 2=，函数x f ⋅=)(.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和最大值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.26．（本小题共12分）如图，四边形ABCD 是矩形，BC ⊥平面ABE ，F 是CE 上一点， BF ⊥平面ACE ，点M ，N 分别是CE ，DE 的中点.（Ⅰ）求证：//MN 平面ABE ；（Ⅱ）求证：AE BE ⊥.27．(本小题共13分) 已知圆M 过两点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心M 在20x y +-=上．(1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3480x y ++=上的动点，PC 、PD 是圆M 的两条切线，C 、D 为切点，求四边形PCMD 面积的最小值．28．（本小题共13分）已知数列{}n a 中，1a a =，22a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且()123n n S n a a =+，n N *∈. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）若()()1221,82,n n n n b n a a ++=⎧⎪=⎨⎪⋅⎩≥ n T 是数列{}n b 的前n 项和，求n T .12月月考考试文科数学参考答案2012、12一、选择题二、填空题21．4023201222．10 23．15 24．②三、解答题25．解：（Ⅰ）因为x x x b a x f 222cos cos sin )(+=⋅=，……………………….. 1分所以()sin 2cos2f x x x =++1 ……………………….. 2分24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+1. ……………………….. 3分所以2.2πωπ== ………………………….. 4分又因为1sin 214x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以1()f x ≤………………………….. 5分所以函数()f x 的最小正周期是π+1. …………………….. 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+1. 因为344x ππ≤≤，所以372444x πππ≤+≤. …………………….. 7分所以当3244x ππ+=，即4x π=时，函数()f x 有最大值是2；…………………….. 9分当3242x ππ+=，即58x π=时，函数()f x 有最小值是1 (11)分所以函数()f x 在区间3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是2，最小值是1. ……………….. 12分27．解：(1)法一:线段AB 的中点为(0,0),其垂直平分线方程为0x y -=．………………………2分解方程组0,20.x y x y -=⎧⎨+-=⎩所以圆M 的圆心坐标为(1,1)．……………… 4分故所求圆M 的方程为：22(1)(1)4x y -+-=．………………6分法二:设圆M 的方程为：222()()x a y b r -+-=，根据题意得222222(1)(1),(1)(1),20.a b r a b r a b ⎧-+--=⎪--+-=⎨⎪+-=⎩……………… 2分解得1,2a b r ===．……………… 4分故所求圆M 的方程为：22(1)(1)4x y -+-=．……………… 6分(2)由题知，四边形PCMD 的面积为 1122PMC PMD S S S CM PC DM PD ∆∆=+=+. ……………… 8分又2CM DM ==,PC PD =，所以2S PC =，而PC ==10分即S =．……………… 11分因此要求S 的最小值，只需求PM 的最小值即可，即在直线3480x y ++=上找一点P ，使得PM 的值最小，所以min 3PM ==，……………… 12分所以四边形PCMD 面积的最小值为S ===……………… 13分（Ⅲ）当2n ≥时，()()82112.22111n b n n n n n n ⎛⎫===- ⎪⋅+++⎝⎭…………….. 11分又12b =，所以12n n T b b b =++⋅⋅⋅+ 1111222231n n ⎛⎫⎛⎫=+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭……………….. 12分 112221n ⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭311n n +=+ 所以31.1n n T n +=+………….. 13分。

北京市门头沟区2019届高三3月综合练习数学(文)试题(解析版)

北京市门头沟区2019年3月高三年级综合练习数学试卷（文）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合，则等于（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先解不等式得集合A,再根据交集定义得结果.【详解】因为，所以，选B.【点睛】本题考查一元二次不等式以及交集的定义，考查基本求解能力，属基础题. 2.复数z满足，那么是A. B. C. 2 D. 【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】解：，．故选：A．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.一个体积为正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为A. B. 8 C. D. 12【答案】A【解析】试题分析：依题意可得三棱柱的底面是边长为4正三角形.又由体积为.所以可得三棱柱的高为3.所以侧面积为.故选A.考点：1.三视图的知识.2.棱柱的体积公式.3.空间想象力.4.如图所示的程序框图，如果输入三个实数，，，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，由于该题的目的是选择最大数，因此根据第一个选择框作用是比较与的大小，故第二个选择框的作用应该是比较与的大小，而且条件成立时，保存最大值的变量.【详解】解：由流程图可知：第一个选择框作用是比较与的大小，故第二个选择框的作用应该是比较与的大小，条件成立时，保存最大值的变量故选：A.【点睛】本题主要考察了程序框图和算法，是一种常见的题型，属于基础题.5.向量满足，且其夹角为，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据向量模长与向量数量积的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】由得，得，即，得，即，则，即成立，反之当时，，则，即成立，即“”是“”的充要条件，故选：C．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合成立数量积与向量模长公式的关系是解决本题的关键．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p 与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．6.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由中位线定理和异面直线所成角，以及线面垂直的判定定理，即可得到正确结论．【详解】解：对于A，AB为体对角线，MN，MQ，NQ分别为棱的中点，由中位线定理可得它们平行于所对应的面对角线，连接另一条面对角线，由线面垂直的判定可得AB垂直于MN，MQ，NQ，可得AB垂直于平面MNQ；对于B，AB为上底面的对角线，显然AB垂直于MN，与AB相对的下底面的面对角线平行，且与直线NQ垂直，可得AB垂直于平面MNQ；对于C，AB为前面的面对角线，显然AB垂直于MN，QN在下底面且与棱平行，此棱垂直于AB所在的面，即有AB垂直于QN，可得AB垂直于平面MNQ；对于D，AB为上底面的对角线，MN平行于前面的一条对角线，此对角线与AB所成角为，则AB不垂直于平面MNQ．故选：D．【点睛】本题考查空间线面垂直的判定定理，考查空间线线的位置关系，以及空间想象能力和推理能力，属于基础题．7.已知中，，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求C，再根据余弦定理求b，最后根据三角形面积公式求结果.【详解】因为,所以,因此,从而的面积为，选C.【点睛】本题考查余弦定理以及三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属基础题.8.函数，函数，（其中为自然对数的底数，）若函数有两个零点，则实数取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先分离变量，转化为求对应函数单调性及其值域，即可确定结果.【详解】由得，令，则,所以当时，,当时，,因此当时，函数有两个零点，选C.【点睛】本题考查利用导数研究函数零点，考查综合分析求解能力，属中档题.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.若x，y满足条件，则的最大值为______．【答案】2【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】解：由x，y满足条件作出可行域如图，由，得，由图可知，当直线过可行域内点A时直线在y轴上的截距最大，z最大．联立，解得．目标函数的最大值为．故答案为：2．【点睛】本题考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．10.双曲线的渐近线方程是______．【答案】【解析】【分析】将双曲线化成标准方程，得到a、b值，即可得到所求渐近线方程．【详解】解：双曲线的标准方程为：，，可得，又双曲线的渐近线方程是双曲线的渐近线方程是故答案为：【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题．11.等比数列中，，则数列的通项公式______．【答案】【解析】【分析】设等比数列的公比为q，用首项和公比q表示出已知条件，计算即可求解．【详解】解：设等比数列的公比为q，，，，，解得．数列的通项公式．故答案为：．【点睛】本题考查等比数列的通项公式与求和公式，考查推理能力与计算能力，属于基础题．12.过抛物线焦点且斜率为1的直线与此抛物线相交于两点，则_______.【答案】8【解析】∵直线过抛物线的焦点，且斜率为1∴直线的方程为设，，抛物线的焦点为∴根据抛物线的定义可得：联立方程组，化简得∴∴故答案为8点睛：本题考查过抛物线焦点的弦的问题：在求过抛物线焦点的弦的长度或焦半径时，利用抛物线的定义（将抛物线的点到焦点的距离转化为到准线的距离），可起到事半功倍的效果，如：过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，则，,.13.若函数满足对定义域上任意都有不等式，成立,则称此函数为“函数”，请你写出一个“函数”的解析式_______.【答案】开放性试题【解析】【分析】根据定义可得函数为凸函数，故可找对数函数.【详解】因为满足不等式的函数为凸函数，所以皆满足.【点睛】本题考查函数凹凸性，考查分析判断能力，属中档题.14.一半径为的水轮,水轮圆心距离水面2,已知水轮每分钟转动(按逆时针方向)3圈,当水轮上点从水中浮现时开始计时,即从图中点开始计算时间.(1)当秒时点离水面的高度_________；(2)将点距离水面的高度(单位: )表示为时间(单位: )的函数，则此函数表达式为_______________ .【答案】(1). (2).【解析】【分析】1利用直角三角形的边角关系，即可求出5秒后点P离开水面的距离；2由题意求值，结合的情况可求出的值，即得函数解析式．【详解】解：1秒时，水轮转过角度为，在中，，；在中，，，此时点离开水面的高度为；2由题意可知，，设角是以Ox为始边，为终边的角，由条件得，其中；将，代入，得，；所求函数的解析式为．故答案为：1，2．【点睛】本题考查函数的图象与应用问题，理解函数解析式中参数的物理意义，是解题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知函数（1）求的周期及单调增区间；（2）若时，求的最大值与最小值.【答案】（1），；（2）见解析【解析】【分析】（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式化简，再根据正弦函数性质求周期与增区间，（2）根据正弦函数性质求最值.【详解】（1），所以的周期单调增区间：（2）【点睛】本题考查正弦函数性质、二倍角公式以及辅助角公式，考查分析求解能力，属中档题.16.在等差数列中，为其前和，若.（1）求数列的通项公式及前项和；（2）若数列中，求数列的前和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据等差数列求和公式与通项公式列方程组，解得公差与首项，再代入得结果，（2）根据裂项相消法求和，即得结果.【详解】（1）由题意可知，又得：（2），【点睛】本题考查等差数列求和公式与通项公式以及裂项相消法求和，考查分析求解能力，属中档题.17.在某区“创文明城区”（简称“创城”）活动中，教委对本区四所高中学校按各校人数分层抽样，随机抽查了100人，将调查情况进行整理后制成下表：（注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值）假设每名高中学生是否参与”创城”活动是相互独立的.（1）若该区共2000名高中学生，估计学校参与“创城”活动的人数；（2）在随机抽查的100名高中学生中，随机抽取1名学生，求恰好该生没有参与“创城”活动的概率；（3）在上表中从两校没有参与“创城”活动的同学中随机抽取2人，求恰好两校各有1人没有参与“创城”活动的概率是多少？【答案】（1）800；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据总数、频数与频率关系求结果，（2）根据总数、频数与频率关系求概率，（3）利用枚举法确定总事件数以及所求事件包含事件数，最后根据古典概型概率公式求解.【详解】（1）学校高中生的总人数为人学校参与“创城”活动的人数为人（2）设恰好该生没有参与“创城”活动这一事件为，则（3）校这5人分别记为，校这1人记为，任取2人共15种情况，如下：设事件为抽取2人中两校各有1人参与”创城”活动，则【点睛】本题考查总数、频数与频率关系以及古典概型概率，考查分析求解能力，属基础题.18.在四棱锥中，底面是边长为6的菱形，且，，是棱上的一动点，为的中点.（1）求此三棱锥的体积；（2）求证：平面（3）若，侧面内是否存在过点的一条直线，使得直线上任一点都有平面，若存在，给出证明，若不存在，请明理由.【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）先确定高，再根据锥体体积公式求解，（2）先根据线线垂直得线面垂直，再根据线面垂直得面面垂直，（3）假设存在则得是的中点，再利用面面平行证结果.【详解】（1）由题意可知，，（2）由题意可知，，则，又底面是菱形，所以，为内两相交直线，所以，，为平面一直线，从而平面（3）设是的中点，连结，则所以直线上任一点都满足平面.【点睛】本题考查线面垂直、面面垂直以及面面平行的性质与判断，考查基本分析论证与求解能力，属中档题. 19.如图，已知椭圆，分别为其左、右焦点，过的直线与此椭圆相交于两点，且的周长为8，椭圆的离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）在平面直角坐标系中，已知点与点，过的动直线（不与轴平行）与椭圆相交于两点，点是点关于轴的对称点．求证：（i）三点共线．（ii）．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解析】【分析】Ⅰ由三角形的周长可得，根据离心率可得，即可求出，则椭圆方程可求；Ⅱ当直线l的斜率不存在时，A、B分别为椭圆短轴两端点，满足Q，A，三点共线当直线l的斜率存在时，设直线方程为，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，然后利用向量证明．由可知Q，A，三点共线，即，问题得以证明.【详解】解：Ⅰ的周长为8，，即，，，，故椭圆C的方程为Ⅱ证明：当直线l的斜率不存在时，A、B分别为椭圆短轴两端点，满足Q，A，三点共线．当直线l的斜率存在时，设直线方程为，联立，得．设，，则，，，，，．与共线，则Q，A，三点共线．由可知Q，A，三点共线，【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，注意解题方法的积累，属于中档题．20.已知在点处的切线与直线平行．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）设．（i）若函数在上恒成立，求的最大值；（ii）当时，判断函数有几个零点，并给出证明．【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）1；详见解析.【解析】【分析】Ⅰ求函数的导数，计算时的导数即可求出a的值；Ⅱ求的导数，讨论当和时的单调性，由单调性判断最值即可得到b的最大值；化简知0是的一个零点，利用构造函数法讨论和时，函数是否有零点，从而确定函数的零点情况．【详解】解：Ⅰ函数，则，由题意知时，，即a的值为1；Ⅱ，所以，当时，若，则，，单调递增，所以；当时，若，令，解得舍去，，所以在内单调递减，，所以不恒成立，所以b的最大值为1；，显然有一个零点为0，设，则；当时，无零点，所以只有一个零点0；当时，，所以在R上单调递增，又，，由零点存在性定理可知，在上有唯一一个零点，所以有2个零点；综上所述，时，只有一个零点，时，有2个零点．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性问题，也考查利用导数研究函数在某一点处的切线问题，以及判断函数零点的应用问题，是中档题。