上海高考模拟卷数学试题

上海高考数学模拟卷

一. 填空题 1. 若(1)3

lim

42

n a n n →∞+-=+，则常数a =

2. 椭圆224312x y +=的焦距为

3. 若复数z 满足(34)43i z i -=+，则z z

⋅=

4. 如图，正四棱锥P-ABCD 中所有棱长均相等，则侧棱与 底面所成角的大小为

5. 已知函数()y f x =和函数2log (1)y x =+的图像关于直 线0x y -=对称，则函数()y f x =的解析式为

6.

满足

sin 0cos x x =的实数x 的取值集合是 7. 某学生参加2门选修课的考试．假设该学生第一门、第二门课程取得A 的概率依次为

45、3

5

，且不同课程是否取得A 相互独立．则该生只取得一门课程A 的概率为 8. 若z 为复数，则方程2z z =的解集为

9. 已知4024012341(32)x a a x a x a x +=++++L ，若数列1a 、2a 、…、k a (141,)k k ≤≤∈N 是一个单调递增数列，则k 的最大值为

10.有一圆锥，底面和顶点均在一个半径为5的球面上，且圆锥底面经过球面上直线距离为6 的两点，则该圆锥体积的最小值为

11. 若点P 在△ABC 的边界和内部运动，且AP xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r

.另有0a ≥，0b ≥，且恒有

1ax by +≤，则以a 、b 为坐标的点所形成的平面区域的面积为

12. 在投票评选活动中，经常采用简单多数原则或积分原则. 简单多数原则指n 个评委对k 个候选人进行一次表决，各自 选出认为最佳的人选，按每个候选人所得票数不同决定不同 名次；积分原则指每个评委先对k 个候选人排定顺序，第一 名得k 分，第二名得1k -分…，依此类推，最后一名得1分， 每个候选人最后的积分多少决定各自名次. 右表是33个评委 对A 、B 、C 、D 四名候选人做出的选择，则按不同原则评选， 名次不相同的候选人是

二. 选择题

13. 下列对函数3()3x f x x =+性质判断正确的是（ ）

(,)P a

b

A. ()f x 是奇函数

B. ()f x 是偶函数

C. ()f x 是增函数

D. ()f x 是减函数

14. 已知α：区间[,]a b 内恰含两个整数. 则以下结论正确的是（ ）

A. “1b a -≥”是α成立的充分条件

B. “1b a -≥”是α成立的必要条件

C. “2b a -≤”是α成立的充分条件

D. “2b a -≤”是α成立的必要条件

15. 若实数a 、b 、c 同时满足：① 22a b >；② 1ac a c +<+；③ log b a c >. 则a 、b 、c 的大小关系是（ ）

A. b a c >>

B. c b a >>

C. c a b >>

D. a b c >>

16. 如果一个几何体绕着一条直线旋转θ角与原几何体重合，其中0180θ︒︒<≤，称该直线 为该几何体的一条旋转轴. 正四面体的不同旋转轴有（ ）条 A. 3 B. 4 C. 6 D. 7

三. 解答题

17. 如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，1PA AB ==，2AD =，点F 是PB 的中点，点E 在边

BC 上移动.

（1）求三棱锥E -PAD 的体积；

（2）证明：无论点E 在边BC 的何处，都有AF ⊥PE .

18. 已知函数1()log 1a

x

f x x

+=-(0,1)a a >≠. （1）判断并证明函数()f x 的奇偶性；

（2）若2(1)(2)0f t t f t --+-<，求实数的取值范围.

19. 如图，直径为1的圆O 中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中AB BE <，设AOB θ∠=. （1）将十字形的面积S 表示为θ的函数；

（2）求十字形的面积S 的最大值，并求相应θ的值.

t

20. 已知曲线:(,)0F x y Γ=，对坐标平面上任意一点(,)P x y ，定义[](,)F P F x y =. 若两点P 、Q ，满足

[][]0F P F Q ⋅>，称点P 、Q 在曲线Γ同侧；若[][]0F P F Q ⋅<，称点P 、Q 在曲线Γ两侧.

（1）直线l 过原点，线段AB 上所有点都在直线l 同侧，其中(1,1)A -、(2,3)B ，求直线l 的倾斜角的取值范围；

（2）

已知曲线(,)(345)0F x y x y =+-=，O 为坐标原点，求点集{|[][]0}S P F P F O =⋅>的面积；

（3）记到点(0,1)与到x 轴距离和为5的点的轨迹为曲线C ，曲线22:(,)0F x y x y y a Γ=+--=，若曲线

C 上总存在两点M 、N 在曲线Γ两侧，

求曲线C 的方程与实数a 的取值范围.

21. 已知数列{}n a ，11a =，{}n a 的前n 项和为n S . （1）若12n n a a +-=，n ∈*N ，求证：

2

2

11

1111

n n n n a a a a -+-++

>

+

，其中3n ≥，n ∈*N ； （2）若对任意n ∈*N 均有131n n a a +=-，求{}n S 的通项公式； （3）若对任意n ∈*N 均有11

n

n n a a a +=+，求证：234n n S S -<.