2016-2017学年高中数学必修二北师大版 2.1.5平面直角坐标系中的距离公式教案1
2-1-5平面直角坐标系中的距离公式课件(北师大版必修二)
题型四 距离公式的综合应用 【例 4】 (12 分)直线 l1 过点 A(0,1)，l2 过点 B(5,0)，如果 l1∥l2， 且 l1 与 l2 的距离为 5，求 l1、l2 的方程． 审题指导 分类讨论是数学中常用的思想方法之一，特别是涉及 到直线的斜率问题，应注意是否需要对斜率进行分类讨论． 由距离公式得 【解题流程】 设所求方程 → → 求出k → 写出方程 关于k的方程
[规范解答] (1)直线斜率存在时，设直线的斜率为 k，由斜截式， 得 l1 的方程 y＝kx＋1，即 kx－y＋1＝0， 由点斜式可得 l2 的方程：y＝k(x－5)即 kx－y－5k＝0，(3 分) 在直线 l1 上取点 A(0,1)， |1＋5k| 则点 A 到直线 l2 的距离 d＝ ＝5，(5 分) 1＋k2 12 ∴25k ＋10k＋1＝25k ＋25，∴k＝ 5 ，(7 分)
【示例】 求过点(3,5)的所有直线中，距原点最远的直线方程． [思路分析] 先设出直线方程，利用点到直线的距离公式求解或 利用数形结合的方法． 解 法一 设过点(3,5)的直线方程为
y－5＝k(x－3)或 x＝3. 对于 y－5＝k(x－3)， |3k－5| 原点(0,0)到它的距离 d＝ 2 ， k ＋1 化简整理，得(9－d2)k2－30k＋25－d2＝0. 当 9－d2≠0 时，因为 k∈R， ∴Δ＝(－30)2－4(9－d2)(25－d2)≥0.
|2＋1| 由点到直线的距离公式，得 d＝ 2 ＝3. 0 ＋12
法二
∵y＝－1 平行于 x 轴，如图，
∴d2＝|－1－2|＝3. (3)法一 y 轴的方程为 x＝0，
由点到直线的距离公式得， |1＋0＋0| d3＝ 2 2 ＝1. 1 ＋0 法二 由图可知，d3＝|1－0|＝1.
北师大版数学必修二：2.1.5平面直角坐标系中的距离公式ppt课件
3
7
1
9
3
D. 或
|6 +3+1|
解析
|-3-4+1|
2 +1
7
1
9
3
,解得 a=- 或 a=- .
1
2
3
4
4
6
5
3.直线 − =1 与 3x-2y+27=0 之间的距离为
4
6
解析:直线 − =1 可化为 3x-2y-12=0,因此所求距离
|27-(-12)|
2
122 +(-5)2
=
13
2
13
1
= .
2
探求一
探求二
探求三
易错辨析
未思索直线斜率不存在的情形而致误
典例求经过点A(1,2)且原点到直线的间隔等于1的直线方程.
错解:∵所求直线过点A(1,2),
∴可设直线方程为y-2=k(x-1),
即kx-y-k+2=0.
∵原点到此直线的间隔为1,
∴
|- +2|
由|PA|=|PB|得 x=1,
所以点 P 的坐标为(1,0),
且|PA|= (1 + 1)2 + (0-2)2 =2 2.
探求一
探求二
探求三
易错辨析
探求二点到直线的间隔公式及其运用
【例2】 (1)求点P(-1,2)到直线3x=2的间隔;
3
1
(2)求点P(3,-2)到直线 y=4x+4 的间隔.
解:(1)由图可知直线 3x=2 平行于 y 轴,
2 +1
3
=1,解得 k= ,
高中数学北师大版必修二 2.1.5平面直角坐标系中的距离公式 课件(29张)
问题导学
当堂检测
1.对于任意两点,只要给出两点的坐标,就可利用公式求出两点间 的距离,但应注意公式中被开方式是相应坐标差的平方和 ,不能将纵横 坐标混用. 2.判断三角形的形状时,可以利用边长的关系,有时也可以利用角 的关系,对于特殊的图形,其一些特殊性质也应加强记忆与应用.
问题导学
当堂检测
2.点到直线的距离公式及应用 活动与探究 例 2 求点 P(1,2)到下列直线的距离: (1)l1:y=x-3;(2)l2:y=-1;(3)y 轴. 思路分析:先将直线方程化成一般式,再利用点到直线的距离公式 求解,特殊直线也可以数形结合求距离. 解:(1)将直线方程化为一般式为 x-y-3=0, 由点到直线的距离公式得 d1=
1.5
平面直角坐标系中的距离公式
目标导航
预习引导
学习目标
1.记住直角坐标系中两点间的距离公式,会用坐标法证明简单的 几何问题. 2.会推导并记住点到直线的距离公式,会求点到直线的距离公式. 3.能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离. 重点:两点间的距离公式、点到直线的距离公式. 难点:用坐标法证明简单的几何问题时坐标系的建立. 疑点:在用点到直线的距离公式时直线方程必须化为一般式.
|1-2-3| 1 +(-1)
2 2
= 2 2.
问题导学
当堂检测
(2)方法一:直线方程化为一般式为 y+1=0, 由点到直线的距离公式得 d2=
|2+1| 02 y=-1 平行于 x 轴, ∴ d2=|-1-2|=3.
问题导学
当堂检测
(3)方法一:y 轴的方程为 x=0,由点到直线的距离公式得 d3=
目标导航
预习引导
2.点到直线的距离公式 点 P(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0 的距离 d=
_学年高中数学第二章解析几何初步2.1.5平面直角坐标系中的距离公式高效测评北师大版必修2
2016-2017学年高中数学 第二章 解析几何初步 2.1.5 平面直角坐标系中的距离公式高效测评 北师大版必修2(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知点A (－2，－1)，B (a,3)，且|AB |＝5，则a 的值为( ) A ．1 B ．－5 C ．1或－5 D ．－1或5解析： 由|AB |＝－2－a2＋－1－2＝5⇒a ＝1或a ＝－5，故选C.答案： C2．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( ) A ．1 B ． 3 C ．2D ． 5 解析： 由点到直线的距离公式d ＝|－5|12＋22＝ 5.答案： D3．已知三点A (3,2)、B (0,5)、C (4,6)，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形解析： ∵|AB |＝－2＋－2＝18，|AC |＝－2＋－2＝17，|BC |＝－2＋－2＝17，∴|AC |＝|BC |≠|AB |，且|AC |2＋|BC |2≠|AB |2，∴△ABC 是等腰三角形，故选C.答案： C4．设P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋6＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析： ∵直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋6＝0平行，∴|PQ |的最小值就是两条直线之间的距离．在直线3x ＋4y －12＝0上任取一点，如点A (0,3)，则它到直线6x ＋8y ＋6＝0的距离为d ＝|6×0＋8×3＋6|62＋82＝3，即这两条平行直线之间的距离为3，故选A. 答案： A二、填空题(每小题5分，共10分)5．点P 与x 轴及点A (－4,2)的距离都是10，则P 的坐标为________．解析： 设P (x ，y )．则⎩⎪⎨⎪⎧|y |＝10，x ＋2＋y －2＝100.当y ＝10时，x ＝2或－10；当y ＝－10时，无解． 则(2,10)或(－10,10)． 答案： P (2,10)或P (－10,10)6．两平行直线l 1：2x ＋3y －8＝0，l 2：2x ＋3y －10＝0间的距离为________． 解析： 方法一：在直线l 1上取一点P (4,0)，因为l 1∥l 2， 所以点P 到直线l 2的距离等于l 1与l 2间的距离． 于是d ＝|2×4＋3×0－10|22＋32＝213＝21313. 方法二：由两条平行直线间的距离公式得d ＝|－8－－22＋32＝21313.答案：21313三、解答题(每小题10分，共20分)7．在直线2x －y ＝0上求一点P ，使它到点M (5,8)的距离为5，并求直线PM 的方程． 解析： ∴点P 在直线2x －y ＝0上，∴可设P (a,2a )． 根据两点间的距离公式得 |PM |2＝(a －5)2＋(2a －8)2＝52，即5a 2－42a ＋64＝0，解得a ＝2或a ＝325，∴P (2,4)或⎝⎛⎭⎪⎫325，645.∴直线PM 的方程为y －84－8＝x －52－5或y －8645－8＝x －5325－5，整理得4x －3y ＋4＝0或24x －7y －64＝0.8．求与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线方程． 解析： 方法一：设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0.在直线5x －12y ＋6＝0上取一点P 0⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， 则点P 0到直线5x －12y ＋C ＝0的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12×12＋C 52＋－2＝|C －6|13，由题意，得|C －6|13＝2，所以C ＝32，或C ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0或5x －12y －20＝0. 方法二：设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0， 由两平行直线间的距离公式得2＝|C －6|52＋－2，解得C ＝32，或C ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0或5x －12y －20＝0. 尖子生题库☆☆☆9．(10分)在直线l ：3x －y －1＝0上求点P 和Q ，使得 (1)点P 到点A (4,1)和B (0,4)的距离之差最大； (2)点Q 到点A (4,1)和C (3,4)的距离之和最小．解析： (1)如图所示，设点B 关于l 的对称点B ′ 的坐标为(a ，b )， 则k BB ′·k 1＝－1，即3×b －4a＝－1， ∴a ＋3b －12＝0.①线段BB ′的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b ＋42，且中点在直线l 上，∴3×a 2－b ＋42－1＝0，即3a －b －6＝0.②解①②得a ＝3，b ＝3，∴B ′(3,3)．于是直线AB ′的方程为y －13－1＝x －43－4，即2x ＋y －9＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5，即l 与直线AB ′的交点坐标为P (2,5)，且此时点P到点A ，B 的距离之差最大．(2)如图所示，设点C 关于l 的对称点为C ′，求出C ′的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，245. ∴AC ′所在直线的方程为19x ＋17y －93＝0，解得直线AC ′和l 交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫117，267，故Q 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫117，267，且此时点P 到点A ，C 的距离之和最小．。
2.1.5 平面直角坐标系中的距离公式 课件(北师大必修2)
[自主解答]
设原点关于 l 的对称点 A 的坐标为(a，
b)，由直线 OA 与 l 垂直和线段 AO 的中点在 l 上得 b 4 a·－3＝－1， a b 8× ＋6× ＝25， 2 2 ∴A 的坐标为(4,3)． ∵反射光线的反向延长线过 A(4,3)， 又由反射光线过 P(－4,3)，两点纵坐标相等， 故反射光线所在直线方程为 y＝3.
3．建系原则 (1)使尽可能多的点在坐标轴上； (2)充分利用图形的对称性．
[通一类] 3．证明三角形中位线的长度等于底边长度的一半． 证明：如图所示，△ABC中，D，E分别为边AC
和BC的中点，以A为原点，边AB所在直线为x轴 建立平面直角坐标系．设A(0,0)，B(c,0)，C(m， n)，则|AB|＝c.
[例1]
[研一题] 在直线l：3x－y＋1＝0上求一点P，使点P
到两点A(1，－1)，B(2,0)的距离相等．
[自主解答] 法一：设P点坐标为(x，y)， 由P在l上和P到A，B距离相等建立方程组
3x－y＋1＝0， x－12＋y＋12＝ x＝0， 解得 y＝1，
提示：仍然适用． ①当 A＝0 时，B≠0，直线 l 的方程为 By＋C＝0， C C |By0＋C| 即 y＝－B，d＝|y0＋B|＝ ，适合公式； |B| |Ax0＋By0＋C| d＝ ＝0，适合公式． 2 2 A ＋B
②当 B＝0 时，A≠0，直线 l 的方程为 Ax＋C＝0， C C |Ax0＋C| x＝－A，d＝|x0＋A|＝ ，适合公式； |A| ③当 P 点在直线 l 上时，有 Ax0＋By0＋C＝0， |Ax0＋By0＋C| d＝ ＝0，适合公式． 2 2 A ＋B
x＋2y－7＝0， 由方程组 x－2y＋2＝0，
2-1-5平面直角坐标系中的距离公式课件(北师大版必修二)
自学导引 1．两点间距离公式 一般地，若平面上两点 P1、P2 的坐标分别为 P1(x1，y1)， P2(x2，y2)，则 P1、P2 两点间的距离公式为|P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12. 特别地，原点 O(0,0)与任一点 P(x，y)的距离为|OP|＝ x2＋y2.
2．用坐标法(解析法)解题的基本步骤 第一步： 建立坐标系，用坐标表示有关的量 第二步： 进行有关代数运算 ． 第三步： 把代数运算结果“翻译”成几何关系 ． 想一想：平面内两点间的距离公式与坐标顺序有关吗？ 提示 无关．在计算公式中 x2 与 x1，y2 与 y1 的位置可以互换， 不影响计算结果． ．
题型四 距离公式的综合应用 【例 4】 (12 分)直线 l1 过点 A(0,1)，l2 过点 B(5,0)，如果 l1∥l2， 且 l1 与 l2 的距离为 5，求 l1、l2 的方程． 审题指导 分类讨论是数学中常用的思想方法之一，特别是涉及 到直线的斜率问题，应注意是否需要对斜率进行分类讨论． 由距离公式得 【解题流程】 设所求方程 → → 求出k → 写出方程 关于k的方程
|2＋1| 由点到直线的距离公式，得 d＝ 2 ＝3. 0 ＋12
法二
∵y＝－1 平行于 x 轴，y 轴的方程为 x＝0，
由点到直线的距离公式得， |1＋0＋0| d3＝ 2 2 ＝1. 1 ＋0 法二 由图可知，d3＝|1－0|＝1.
规律方法 (1)如果给出的方程不是一般式，应将方程化成一般 式方程． (2)若点 P 在直线上，d＝0，距离公式仍成立．
规律方法
(1)求平行线间的距离，通常转化为其中一条直线上
任意一点到另一条直线的距离，且两平行线间的距离与在其中 一条直线上的点的选取无关； (2)本题也可利用两平行线间的距离公式直接推导得出． 一般地，已知两条平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋ C2＝0(C1≠C2)， P(x0， 0)是直线 l2 上的任意一点， Ax0＋By0 设 y 则 ＋C2＝0，即 Ax0＋By0＝－C2，于是 P(x0，y0)到直线 l1：Ax＋By |Ax0＋By0＋C1| |C1－C2| ＋C1＝0 的距离 d＝ ＝ 2 2 2 2. A ＋B A ＋B
北师大版 数学必修2 2.1.5平面直角坐标系中的距离公式
1.5平面直角坐标系中的距离公式自主备课学习目标 1、能求两点间的距离；2、掌握点到直线的距离公式及其简单应用,理解其推导过程；3、会求两条平行线间的距离；4、综合体会两点间的距离公式、点到直线的距离公式及两条平行 线间的距离公式之间的联系。
自主学习一、两点A,B 间距离1、平面上任意两点A,B ，用两点间的距离________表示。
2、在数轴A,B ，两点间的距离用_________表示。
A 0B x3、平面直角坐标系中，若两点A(-5，-2), B(3，4), 求A,B 之间的距离 （学生试推出）？4、小结：若两点A （11,x y ），B （22,x y ）如图，则有A,B 的距离公式为： 221212()()AB x x y y =-+-试问:当AB 平行x 轴时，公式可以简化吗？当AB 平行y 轴时呢?课本练习题1、求出下列两点间的距离：（1）A （-3，0）, B （2，0）（2）C （2, 1）， D （-5, 1）2、已知A(x, -5)和B(0，10)的距离是17，求x 的值。
yx 0 A(11,x y ) B(22,x y )C(21,x y )二、点到直线的距离0022≠ 点P （x ,y ）到直线L:Ax+by+C=0的距离记为d,则d=_______________,(A +B 0)课本上练习题求下列点到直线的距离；（1）（0,0）3x-2y+4=0（2）（-1,2）330x y --=（3）（2，-3）x=y 三、两条平行线间的距离221122:y 0,:y 0l Ax B C l Ax B C ++=++=≠两条平行线 ，（A +B 0）间的距离d=1222C C A B -+(强调：两条直线x,y 的系数必须化成相同A,B 后，再用此公式)当1122:,:l y kx b l y kx b =+=+ 时，此公式可变为？课本练习题求下列两平行线间的距离：（1）3x-2y-1=0, 3x-2y+6=0 （2）x+2y=0, 2x+4y-7=0四、例题讲解例题1求下列两点的距离：（1）A(-1，0) B(2，3) （2）A （4,3） B （7，-1）y x0 L P(00,x y )例题2、已知三角形ABC 的三个顶点是A （-1,0）；B （1,0）； C （13,22）试判断三角形ABC 的形状。
2.1.5平面直角坐标系中的距离公式教案 (高中数学必修2北师大版)
平面直角坐标系中的距离公式(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求点点距、点线距、两平行线距离．(2)会根据图形建立适当的平面直角坐标系，并用解析法解决几何问题．2.过程与方法(1)通过公式方法的发现，培养学生观察发现、分析归纳、抽象概括、教学表达等基本数学思维能力．(2)在推导过程中，渗透数形结合、转化、化归等数学思想以及特殊与一般的方法．3．情感、态度与价值观引导学生体验在探究问题的过程中受挫感和成功感，培养合作意识和创新精神，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学习兴趣．●重点难点重点：两点间的距离公式及点到直线的距离公式．难点：公式的推导．(教师用书独具)●教学建议点到直线的距离的教学情境设计(1)教师帮助学生回忆学习过的两点间距离公式已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)则|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2把其中一个元素换成直线，提出新的问题，即已知点P0(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0，如何用x0，y0，A，B，C表示点P到直线l的距离．(2)数形结合，分析任务，理清思路，画出框图．学生已经有点到直线的距离的概念，即由点P0画直线l的垂线，垂足是Q，只要求两点P0与Q之间的距离．这里体现了“化归”数学思想方法，把一个新问题转化为一个曾经解决过的问题，一个自己熟悉的问题．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒通过引导学生回答问题，进一步理解两点距离公式、点到直线距离公式⇒通过例1及变式训练，使学生掌握两点间距离公式的应用⇒通过例2及互动探究，使学生掌握点到直线距离公式的应用⇒通过例3及变式训练，使学生掌握用解析法证明几何问题⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正课标解读1.掌握平面直角坐标系中两点间的距离公式、点到直线的距离公式，并能简单应用(重点)．(1)若两点A (－5,1)，B (6,1)，它们的距离是多少呢？(2) 若A (x 1，y 1)，C (x 2，y 1)，B (x 2，y 2)，能否求出|AC |，|BC |，|AB |?【提示】 (1)|AB |＝|6－(－5)|＝11.(2)能，|AC |＝|x 2－x 1||BC |＝|y 2－y 1|由勾股定理得|AB |＝|AC |2＋|BC |2 ＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有两点A ，B 间的距离公式，|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(1)点(x 0，y 0)到x 轴，y 轴的距离怎样用坐标表示？ (2)点(x 0，y 0)直线x ＝a ，y ＝b 的距离是多少？ (3)如何求点到直线的距离呢？【提示】 (1)到x 轴距离|y 0|，到y 轴距离是|x 0|. (2)|x 0－a |，|y 0－b |.(3)转化为点点距，即过点作直线的垂线，求点与垂足的距离即可．已知点P (x 0，y 0)，直线l 的方程是Ax ＋By ＋C ＝0，则点P 到直线l 的距离公式是d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.为等腰梯形． 【思路探究】 根据两腰相等利用两点间的距离公式解决．【自主解答】 设D 点的坐标为(x ，y )，若|AB |＝|CD |且AD ∥BC ， 则{ (0＋1)2＋(3－0)2＝(x －3)2＋y 2， y ＝3， 解得{ x ＝2， y ＝3，或{ x ＝4， y ＝3.当x ＝4，y ＝3时，k AB ＝k CD ，应舍去．∴D (2,3)． 若|BC |＝|AD |且AB ∥CD ， 则⎩⎨⎧(－1－3)2＋02＝x 2＋(y －3)2，3－00＋1＝y －0x －3， 解得⎩⎨⎧x ＝165， y ＝35，或{ x ＝4， y ＝3.当x ＝4，y ＝3时，k BC ＝k AD ，应舍去．∴D (165，35)．故D 点的坐标为(2,3)或(165，35)．1．本题通过一组对边相等，另一组对边平行来求解，很容易产生增解(x ＝4，y ＝3时，四边形ABCD 为平行四边形)，也很容易遗漏其中的情形(|BC |＝|AD |，AB ∥CD )．处理时，可以画出草图予以解决．2．使用两点间距离公式要注意结构特点，公式与两点的先后顺序无关，使用于任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，但对于特殊情况结合图形求解会更便捷．已知A (－1,2)，B (2，7)，在x 轴上求一点P ，使得|P A |＝|PB |，并求|P A |的值． 【解】 设所求的点为P (x,0)于是有|P A |＝(x ＋1)2＋(0－2)2＝x 2＋2x ＋5， |PB |＝(x －2)2＋(0－7)2＝x 2－4x ＋11，由|P A |＝|PB |得x ＝1，所以所求点为P (1,0)，且|P A |＝(1＋1)2＋(0－2)2＝2 2.(1)y ＝34x ＋14；(2)y ＝1；(3)y 轴．【思路探究】 (1)先将直线化成一般式，再代入公式求值．(2)、(3)可考虑点P 坐标的几何意义求解．【自主解答】 (1)把方程y ＝34x ＋14写成一般式3x －4y ＋1＝0，由点到直线的距离公式得 d ＝|3×3－4×(－2)＋1|32＋(－4)2＝185.(2)结合图形可知d ＝|－2－1|＝3. (3)结合图形可知d ＝|3|＝3.1．在求本例中(2)、(3)时，我们仍可以使用点到直线的距离公式．2．求点到直线的距离时首先要将直线方程化为一般式．对于点P (x 0，y 0)到垂直于x 轴的直线x ＝a 或垂直于y 轴的直线y ＝b 的距离，可直接用公式d ＝|x 0－a |及d ＝|y 0－b |求出．将本例中(1)中将直线方程改为x ＋2y ＋6＝0.【解】 由点到直线距离公式得d ＝|3＋2×(－2)＋6|12＋22＝ 5.|2＋|DM |2. 【思路探究】 建立坐标系，设出点的坐标，代入已知化简得．【自主解答】 分别以AB 、AD 所在直线为x 轴，y 轴建立直角坐标系(如图)，设M (x ，y )，B (a,0)，C (a ，b ), 则D (0，b )，又A (0,0)．则|AM |2＋|CM |2＝x 2＋y 2＋(x －a )2＋(y －b )2， |BM |2＋|DM |2＝(x －a )2＋y 2＋x 2＋(y －b )2. ∴|AM |2＋|CM |2＝|BM |2＋|DM |2.1．解析法证明几何问题的步骤：(1)建立适当的坐标系，用坐标表示几何条件； (2)进行有关的代数运算；(3)把代数运算结果“翻译”成几何关系．2．坐标法证明几何问题，如果题目中没有坐标系，则需要先建立坐标系．建立坐标系的原则是：尽量利用图形中的对称关系．已知AO 是△ABC 边BC 的中线．求证：|AB |2＋|AC |2＝2(|AO |2＋|OC |2)．【证明】 以O 点为原点，BC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设B (－a,0)，C (a,0)，A (x ，y )，由两点间距离公式得 |AB |2＝(x ＋a )2＋y 2， |AC |2＝(x －a )2＋y 2，∴|AB |2＋|AC |2＝2x 2＋2y 2＋2a 2， |AO |2＝x 2＋y 2，|OC |2＝a 2， |AO |2＋|OC |2＝x 2＋y 2＋a 2，∴|AB |2＋|AC |2＝2(|AO |2＋|OC |2)．忽视斜率不存在的情况致误求经过点A (1,2)且到原点的距离等于1的直线方程． 【错解】 ∵所求直线过点A (1,2)，。
高中数学北师大版必修2《第2章11.5平面直角坐标系中的距离公式》课件
3
思考：点到直线的距离公式对于 A＝0 或 B＝0 时的直线是否仍 然适用？
4
提示：仍然适用，①当 A＝0，B≠0 时，直线 l 的方程为 By＋C ＝0，
即 y＝－CB，d＝y0＋CB＝|By|0B＋| C|，适合公式． ②当 B＝0，A≠0 时，直线 l 的方程为 Ax＋C＝0，x＝－CA，d＝ x0＋CA＝|Ax|0A＋| C|，适合公式．
A．1
B．2
1 C.2
D．4
29
B [∵36＝m4 ≠－143，∴m＝8，直线 6x＋my＋14＝0 可化为 3x＋ 4y＋7＝0，两平行线之间的距离 d＝|－332＋－472|＝2.]
30
1．点到直线的距离即是点与直线上的点连线的距离的最小值， 利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式．当 直线与坐标轴垂直时可直接求之．
26
[解] 设 P(x，y)为 l 上任一点． 则 d1＝|7x＋728＋y＋829|，d2＝|7x＋728＋y－823|. 由dd12＝12，即 d2＝2d1，得 |7x＋8y－3|＝2|7x＋8y＋9|. ∴7x＋8y－3＝2(7x＋8y＋9) 或 7x＋8y－3＝－2(7x＋8y＋9)． 化简得 l 的方程为 7x＋8y＋21＝0 或 7x＋8y＋5＝0.
提示：能，由于一条直线上任意一点到另一条直线的距离都是两 条平行直线间的距离，所以只要在一条直线上找到一个已知点，求这 点到另一条直线的距离即可．
23
2．已知 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，如何推导出 l1 与 l2 的距离公式呢？
24
提示：由 l1 与 l2 的方程可知直线 l1∥l2，设 P0(x0，y0)是直线 Ax ＋By＋C2＝0 上任一点，则点 P0 到直线 Ax＋By＋C1＝0 的距离为 d ＝|Ax0＋AB2＋y0＋ B2C1|.又 Ax0＋By0＋C2＝0，即 Ax0＋By0＝－C2，∴d＝ |CA1－2＋CB22| .
2.--1.5---平面直角坐标系中的距离公式课件(北师大版必修二)
[例2] 用解析法证明：ABCD为矩形，M是任一点．求证： |AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2.
[思路点拨] 建立坐标系，设出点的坐标，代入已知化简得．
第20页，共42页。
[精解详析] 分别以AB、AD所在直线 为x轴，y轴建立直角坐标系(如图)，设M(x， y)，B(a,0)，C(a，b)，则D(0，b)，又A(0,0)．
第22页，共42页。
3．用解析法证明：等腰梯形的对角线相等．
解：已知等腰梯形ABCD，AB∥DC，AD
＝BC，求证：AC＝BD.
证明：以AB所在直线为x轴，以AB的中
点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系．
设A(－a,0)、D(b，c)，由等腰梯形的性质知B(a,0)，C(－b ，c)，
第23页，共42页。
则|AC|＝ －b＋a2＋c－02＝ a－b2＋c2， |BD|＝ b－a2＋c－02＝ a－b2＋c2. ∴|AC|＝|BD|. 即等腰梯形的对角线相等．
第24页，共42页。
4．已知AO是△ABC边BC的中线．
求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)
证明：以O点为原点，BC所在直线为x轴建立
6．已知点(a,2)(a>0)到直线x－y＋3的距离为1，求a的值．
解：由点到直线的距离公式得
d＝|a－22＋3|＝1.
'即|a＋1|＝ 2.
解得a＝ 2－1或a＝－ 2－1.
∵a>0，
∴a＝ 2－1.
第34页，共42页。
[例4] 已知直线l1与l2的方程分别为7x＋8y＋9＝0,7x ＋8y－3＝0，直线l平行于l1，直线l与l1的距离为d1，与l2的 距离为d2，且dd12＝12，求直线l的方程．
高中数学北师大版必修2 2.1 教学设计 《平面直角坐标系中的距离公式》(北师大版)
《平面直角坐标系中的距离公式》◆教材分析距离问题是本节教材“两直线的位置关系”的最后一个内容，在解决实际生活问题中以及代数、解析几何、立体几何中都有着重要而广泛的应用。
两点间的距离与点到直线的距离在直线方程中占有重要位置，在使学生形成完整的直线这部分知识的结构体系同时，同时迈出探究几何学知识的第一步，在“数”和“形”之间建立联系。
◆教学目标【知识与能力目标】了解平面直角坐标系中两点间的距离和点到直线距离公式的推导过程；理解平面直角坐标系中两点间的距离公式和和点到直线距离公式，能熟练应用公式解决相关问题。
【过程与方法目标】通过公式的推导过程，让学生领会“数形结合”的数学思想与方法和从特殊到一般的认知规律。
【情感态度价值观目标】让学生在探索中体验探究的艰辛和成功的乐趣，提高学生的数学素养。
◆教学重难点◆【教学重点】两点间的距离和点到直线距离公式。
【教学难点】两点间的距离和点到直线距离公式的应用。
电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、导入部分在某铁路的附近，有一大型仓库。
现要修建一条公路将两者连接起来，那么怎样设计才能使公路最短？最短路程又是多少呢？从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短，将铁路看作一条直线l，仓库看作点P，最短路程是点P到直线l的距离。
二、研探新知，建构概念1.电子白板投影出上面实例。
2.教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。
（1）两点间的距离公式若两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|=√（x2−x1）2+（y2−y1）2.特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|=√x2+y2。
（2）点到直线的距离公式点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d=|Ax0+By0+C|√A2+B2。
注意：①直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式。
例如求P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离，应先把直线方程化为kx－y＋b＝0，得d=|kx0−y0+b|√k2+1。
数学北师大版高中必修2平面直角坐标系中的距离公式
1.5.1 平面直角坐标系中的距离公式教学目标：知识与技能：掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题。
过程和方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。
情态和价值：体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题教学重点，难点：重点，两点间距离公式的推导。
难点，应用两点间距离公式证明几何问题。
教学方式：启发引导式。
教学用具：用多媒体辅助教学。
教学过程：一，情境设置，导入新课课堂设问一：回忆数轴上两点间的距离公式，同学们能否用以前所学的知识来解决以下问题平面直角坐标系中两点()(2122221PP x x y y =-+-x 轴和y 轴作垂线，垂足分别为()()112200N y M x ，，，直线12PN N 12与P 相交于点Q 。
在直角ABC 中，2221212PP PQ QP =+，为了计算其长度，过点1P 向x 轴作垂线，垂足为 ()110M x ， 过点 向y 轴作垂线，垂足为()220N y ， ，于是有2222221212121221PQ M M x x QP N N y y ==-==-， 所以，2221212PP PQ QP =+=222121x x y y -+-。
由此得到两点间的距离公式12PP =在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到。
二，例题解答，细心演算，规范表达。
例1 ：以知点A （-1，2），B （2），在x 轴上求一点，使 PA PB =,并求 PA 的值。
解：设所求点P （x ，0），于是有=由 PA PB =得2225411x x x x ++=-+解得 x=1。
所以，所求点P （1，0）且 PA ==通过例题，使学生对两点间距离公式理解。
应用。
解法二：由已知得，线段AB 的中点为12⎛ ⎝⎭Ｍ，２，直线AB 的斜率为k=12⎛⎫ ⎪⎝⎭３＝ｘ－ＰＡ＝３２３线段AB 的垂直平分线的方程是12⎛⎫∙ ⎪⎝⎭３ｘ－ 在上述式子中，令y=0，解得x=1。
高中数学 2.1.5 平面直角坐标系中的距离公式课件 北师大版必修2
[规范解答] (1)把方程 y＝34x＋14写成 3x－4y＋1＝0，由点 到直线的距离公式得
d＝|3×3－324＋×－－422＋1|＝158. (2)因为直线 y＝6 平行于 x 轴，所以 d＝|6－(－2)|＝8. (3)d＝|3|＝3.
第二十页，共37页。
• [规律总结] 1.点到直线的距离公式有明显 (míngxiǎn)的形式特征，使用时注意以下几点：
第二十八页，共37页。
• 用坐标法证明平面几何 (píngmiànjǐhé)问题
△ABD 和△BCE 是在直线 AC 同侧的两个等边 三角形，用坐标法证明：|AE|＝|CD|.
• [思路分析] 首先要建立适当的坐标系，用坐 标表示有关量，然后进行代数运算(yùn suàn)， 最后把代数运算(yùn suàn)“翻译”成几何关 系．
(jùlí)d＝____________.
3．两条平行线间的距离公式
两条平行线 l1：Ax＋By＋C1＝0 与 l2：Ax＋By＋C2＝0 之间 |C1－C2|
的距离为 d＝____A_2_＋__B_2__.
第六页，共37页。
• [温馨提示] 上述公式应用的前提条件有两个： ①两直线的方程(fāngchéng)必须是一般式； ②两直线的方程(fāngchéng)中x，y的系数必 须要对应相等，不相等的一定要化为相等．
• [答[ 案解 ]析 ]3 BC 中 点 坐 标 为 ( － 1,1) ， 中 线 长 为
2＋12＋1－12＝3.
第十一页，共37页。
• 5．在直线x＋3y＝0上求一点，使它到原点的 距离和到直线x＋3y＋2＝0的距离相等 (xiāngděng)，则此点坐标是________．
2016秋数学北师大版必修2练习：2.1.5 平面直角坐标系中的距离公式 含解析
［A基础达标］1．点P在x轴上,且到直线3x－4y＋6＝0的距离为6,则点P的坐标为（)A．（8，0）B．（－12,0）C．（8,0）或（－12，0) D．（－8，0）或（12，0)解析：选C。
设点P的坐标为（x，0)，则根据点到直线的距离公式可得错误!＝6,解得x＝8或x＝－12.所以点P的坐标为（8，0)或(－12，0）．2．点P（4，a)到直线4x－3y＝1的距离不大于3，则a的取值范围为（)A．[0,10]B．(0，10)C．［错误!,错误!］D．（－∞，0）∪［10,＋∞)解析：选A。
点P（4，a）到直线4x－3y＝1的距离不大于3，则错误!≤3。
解得0≤a≤10。
3．经过两直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为( ）A．0 B．1C．2 D．3解析:选C.设所求直线l的方程为x＋3y－10＋λ（3x－y）＝0,即（1＋3λ)x＋（3－λ）y－10＝0，因为原点到直线的距离d＝错误!＝1,所以λ＝±3，即直线方程为x＝1或4x－3y＋5＝0，所以和原点相距为1的直线的条数为2。
4．直线l过点A（3,4)，且与点B(－3，2)的距离最大，则l的方程为（）A．3x－y－5＝0 B．3x－y＋5＝0C．3x＋y＋13＝0 D．3x＋y－13＝0解析:选D．当l⊥AB时符合要求，因为k AB＝错误!＝错误!，所以l 的斜率为－3，又过A（3，4）,故l的方程为3x＋y－13＝0.5．两平行直线l1，l2分别过点P（－1，3）,Q（2,－1），它们分别绕P,Q旋转,但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是（）A．（0，＋∞) B．[0，5］C．（0，5] D．[0,17］解析：选C.设直线l1，l2之间的距离为d,当两直线重合时，距离最小d＝0,但两直线平行，故d〉0。
当l1和l2与PQ垂直时，两直线距离d最大，d＝|PQ|＝错误!＝5,所以0<d≤5。
北师大版高中数学必修二第二章1.5平面直角坐标系中的距离公式.docx
1.5 平面直角坐标系中的距离公式问题导学1．两点间的距离公式及应用活动与探究1已知点A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)，(1)试判断△ABC的形状；(2)求AB边上的中线CM的长．迁移与应用1．已知点M(－3,2)，N(1,4)，则线段MN的长度为__________．2．在△ABC中，A(1,1)，B(3,1)，若△ABC是等边三角形，求C点坐标．1．对于任意两点，只要给出两点的坐标，就可利用公式求出两点间的距离，但应注意公式中被开方式是相应坐标差的平方和，不能将纵横坐标混用．2．判断三角形的形状时，可以利用边长的关系，有时也可以利用角的关系，对于特殊的图形，其一些特殊性质也应加强记忆与应用．2．点到直线的距离公式及应用活动与探究2求点P(1,2)到下列直线的距离：(1)l1：y＝x－3；(2)l2：y＝－1；(3)y轴．迁移与应用1．点A(a,6)到直线3x－4y＝2的距离等于4，求a的值．2．P点在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为2，求P点的坐标．1．点到直线的距离公式有明显的形式特征，使用时注意以下几点：(1)所给直线方程必须是一般式，若不是一般式，应先转化为一般式；(2)公式中的分母是二次根式，被开方式是直线方程中变量x，y的系数的平方和；(3)点P(x0，y0)可以是平面内的任意一点，无需判断P(x0，y0)与直线的位置关系；(4)当直线方程Ax＋By＋C＝0中A＝0或B＝0时，公式仍然成立．2．求点到一些特殊直线的距离时，可用以下方法求解：(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离为d＝|x0－a|；(2)点P(x0，y0)到直线y＝b的距离为d＝|y0－b|.3．两条平行直线间的距离公式及应用活动与探究3(1)求两平行线l1：3x＋4y＝10和l2：3x＋4y＝15的距离；(2)求与直线l1：x－2y－1＝0和l2：x－2y＋13＝0距离相等的直线的方程．迁移与应用1．直线5x －12y ＋1＝0与10x －24y ＋3＝0之间的距离d ＝__________. 2．求与直线l 1：3x －4y －20＝0平行且距离为3的直线方程．1．在应用两平行线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2时要注意：(1)两直线的方程必须是一般式；(2)两直线的方程中x ，y 的系数必须要对应相等，不相等的一定要化为相等．2．一般地，与已知直线l 距离为d (d ＞0)的直线有两条，且都与l 是平行的．求其方程时，可利用平行直线系方程的设法，设出其方程，再利用两平行直线距离公式求解；与两平行直线l 1，l 2距离相等的直线只有一条，且与l 1，l 2均平行，求其方程时，也是利用平行直线系方程的设法设出方程，然后求解．4．坐标法的应用活动与探究4求证：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．迁移与应用证明三角形中位线的长度等于底边长度的一半．1．利用坐标法可以解决平面几何中的一些证明问题，一般思路是先用坐标表示出几何问题中相关的量，然后利用中点坐标公式、距离公式等列出相应的等式，最后通过坐标的运算，解决相关问题．2．用坐标法解决几何问题时，关键是建立恰当的坐标系，合理地设出已知点的坐标，建系时要依据图形的特点，并尽量使尽可能多的点位于坐标轴上，从而简化运算．当堂检测1．若A (1，－3)，B (5，－1)，则原点到线段AB 中点的距离是( )． A ．1 B ．13 C ．13 D ．2102．直线x 4－y 6＝1与y ＝32x ＋1之间的距离为( )．A ．41313B ．141313C ．132D ．243．已知点(3，m )到直线x ＋3y －4＝0的距离等于1，则m 等于( )．A ． 3B ．－ 3C ．－33D ．3或－334．已知点A (－3，a )，B (0,1)是平面上相异的两点，则两点间距离的最小值是________．5．已知AO 是△ABC 中BC 边的中线，证明|AB |2＋|AC |2＝2(|AO |2＋|OC |2)．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.答案：课前预习导学 预习导引1．(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2预习交流1 提示：适用．当AB ⊥x 轴时，x 1＝x 2，这时d ＝|AB |＝|y 1－y 2|；当AB ⊥y 轴时，y 1＝y 2，这时d ＝|AB |＝|x 1－x 2|.2．|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2预习交流2 提示：要求直线的方程为一般式，若所给的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离．预习交流3 提示：仍然适用．这时点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离为d ＝|x 0－a |；点P (x 0，y 0)到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |，特别地，点P (x 0，y 0)到x 轴的距离为|y 0|，到y 轴的距离为|x 0|.3．|C 1－C 2|A 2＋B 2预习交流4 提示：①把直线方程化为直线的一般式方程； ②两条直线方程中x ，y 的系数必须分别相等． 4．坐标 解析法预习交流5 提示：不是唯一的，可根据图形特点适当建系，使尽量多的点在坐标轴上，以利于问题的解决．课堂合作探究 问题导学活动与探究1 思路分析：先利用两点间的距离公式求出三角形三条边的长度，根据边长之间的关系判断其形状，再用两点间的距离公式求中线长．解：(1)|AB |＝(1－5)2＋(4－5)2＝17， |AC |＝(4－5)2＋(1－5)2＝17， |BC |＝(4－1)2＋(1－4)2＝18， ∵|AB |＝|AC |≠|BC |，∴△ABC 为等腰三角形．(2)M ⎝⎛⎭⎫3，92，|CM |＝(4－3)2＋⎝⎛⎭⎫1－922＝532. 迁移与应用 1．25 解析：|MN | ＝(－3－1)2＋(2－4)2 ＝20＝2 5.2．解：设点C 的坐标为(x ，y )，∵△ABC 为等边三角形，∴|AC |＝|BC |，即(x －1)2＋(y －1)2＝(x －3)2＋(y －1)2.① 又|AC |＝|AB |，即(x －1)2＋(y －1)2＝(1－3)2＋(1－1)2.② 由①得x ＝2，代入②得y ＝1± 3.∴所求点C 的坐标为(2,1＋3)或(2,1－3)．活动与探究2 思路分析：先将直线方程化成一般式，再利用点到直线的距离公式求解，特殊直线也可以数形结合求距离．解：(1)将直线方程化为一般式为x －y －3＝0，由点到直线的距离公式得d 1＝|1－2－3|12＋(－1)2＝2 2. (2)方法一：直线方程化为一般式为y ＋1＝0， 由点到直线的距离公式得d 2＝|2＋1|02＋12＝3.方法二：如图，∵y ＝－1平行于x 轴，∴d 2＝|－1－2|＝3.(3)方法一：y 轴的方程为x ＝0，由点到直线的距离公式得d 3＝|1＋0＋0|12＋02＝1.方法二：如图可知，d 3＝|1－0|＝1.迁移与应用 1．解：由点到直线的距离公式，可得关于a 的方程：|3a －4×6－2|32＋(－4)2＝4，|3a －26|＝20，解得a ＝2或a ＝463.2．解：设点P 的坐标为(x 0，y 0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3x 0＋y 0－5＝0，|x 0－y 0－1|2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2，y 0＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝2.所以点P 的坐标为(2，－1)或(1,2)． 活动与探究3 思路分析：(1)将两直线方程化为一般式，再套用公式计算；(2)由于l 1∥l 2，所以与l 1，l 2等距离的直线一定与l 1，l 2都平行，且位于l 1，l 2之间，可用平行直线系设法求解．解：(1)直线l 1，l 2的方程可化为3x ＋4y －10＝0,3x ＋4y －15＝0，则两平行线间的距离d ＝|－10－(－15)|32＋42＝55＝1.(2)依题意设所求直线方程为x －2y ＋C ＝0，则有|－1－C |12＋(－2)2＝|13－C |12＋(－2)2，即|－1－C |＝|13－C |，解得C ＝6，故所求直线方程为x －2y ＋6＝0.迁移与应用 1．126 解析：将两直线方程化为5x －12y ＋1＝0与5x －12y ＋32＝0，于是由公式可得d ＝⎪⎪⎪⎪1－3252＋122＝126.2．解：设所求直线方程为3x －4y ＋C ＝0，由|C ＋20|32＋(－4)2＝3得C ＝－5或－35.故所求直线方程为3x －4y －5＝0或3x －4y －35＝0.活动与探究4 思路分析：利用坐标法建立直角坐标系，利用两点间的距离公式求出各条边的长度以及对角线的长度，然后寻求关系进行证明．证明：如图，以顶点A 为坐标原点，AB 边所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，有A (0,0)．设B (a ,0)，D (b ，c )，由平行四边形的性质得点C 的坐标为(a +b ，c )． 因为|AB |2=a 2，|CD |2=a 2，|AD |2＝b 2＋c 2，|BC |2＝b 2＋c 2，|AC |2＝(a ＋b )2＋c 2，|BD |2＝(b －a )2＋c 2，所以|AB |2＋|CD |2＋|AD |2＋|BC |2＝2(a 2＋b 2＋c 2)， |AC |2＋|BD |2＝2(a 2＋b 2＋c 2)．所以|AB |2＋|CD |2＋|AD |2＋|BC |2＝|AC |2＋|BD |2.因此平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和． 迁移与应用证明：如图所示，△ABC 中，D ，E 分别为边AC 和BC 的中点，以A 为原点，边AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系．设A (0,0)，B (c ,0)，C (m ，n )，则|AB |=c .又由中点坐标公式，可得D ,22m n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，E ,22c m n +⎛⎫⎪⎝⎭，所以|DE |=222c m m c +-=，所以|DE |=12|AB |，即三角形中位线的长度等于底边长度的一半．当堂检测1．B 2．B 3．D 4． 35．证明：如图，以O 为原点，BC 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系．设A (b ，c )，B (－a,0)，C (a,0)．由两点间距离公式，得|AB |2＋|AC |2＝(b ＋a )2＋c 2＋(b －a )2＋c 2＝2(a 2＋b 2＋c 2)， |AO |2＋|OC |2＝b 2＋c 2＋a 2，所以|AB |2＋|AC |2＝2(|AO |2＋|OC |2)．。
北师大版必修2练习2.1.5 平面直角坐标系中的距离公式 Word版含解析
．平面直角坐标系中的距离公式时间：分钟满分：分班级姓名分数一、选择题(每小题分，共×＝分)．点(－)到直线－＝的距离为( )．．答案：解析：直线－＝的方程可化为＝，所以点(－)到该直线的距离为＝＝.．已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是()，则的长为( )．．．．答案：解析：设()，(，)，则＝，＝，即()，()，所以＝＝＝.．已知两点()和(－)到直线＋＋＝的距离相等，则实数的值为( )．－或．－或．－或．或答案：解析：＝，即＋＝－，解得＝－或.．到直线－＋＝的距离为，且与此直线平行的直线方程是( )．－＋＝．－＋＝或－－＝．－＋＝．－＋＝或－－＝答案：解析：在直线－＋＝上取点()．设与直线－＋＝平行的直线方程为－＋＝，则＝，解得＝或＝－，即所求直线方程为－＋＝或－－＝.．过点()且和()，(，－)距离相等的直线的方程是( )．＝．＋－＝．＝或＋－＝．＋－＝或＋＋＝答案：解析：∵＝＝－，过与平行的直线方程为－＝－(－)，即：＋－＝：又的中点()，∴的方程为＝.．若实数，满足＋－＝，则＋的最小值是( )．．．．答案：解析：实际上就是求原点到直线＋－＝的距离的平方．二、填空题(每小题分，共×＝分)．已知()，(－)，＝，则实数的值为．答案：或－解析：依题意及两点间的距离公式，得＝，整理得－－＝，解得＝或＝－.．已知点为轴上一点，且点到直线－＋＝的距离为，则点的坐标为．答案：(－)或()解析：设()，则有＝，解得＝－或，∴点的坐标为(－)或()．．与直线＋＝平行且距离等于的直线方程为．答案：＋＋＝或＋－＝解析：由题意设所求直线方程为＋＋＝，则有＝，解得＝或＝－.三、解答题(共分，＋＋)．已知点(－)，(，)，在轴上求一点，使得＝，并求的值．解：设所求点为()，于是有＝＝，＝＝，由＝，得＝，解得＝，所以＝＝.．已知直线：＋＋＝与：＋－＝互相平行，且，之间的距离为，求直线的方程．解：因为∥，所以＝≠，解得(\\(＝≠－))或(\\(＝－≠)).当＝时，直线的方程为＋＋＝，直线的方程为＋－＝，即＋－＝.由已知得＝，解得＝－或.所以，所求直线的方程为＋－＝或＋＋＝.当＝－时，直线的方程为－－＝，为－－＝，即－－＝，由已知得＝，解得＝－或＝，所以所求直线的方程为－＋＝或－－＝.综上可知，直线的方程有四个，分别为＋－＝或＋＋＝或－＋＝或－－＝.．已知△中，(，－)，()，(，－)．()求边上的高所在直线的一般式方程；()求△的面积．解：()由斜率公式，得＝，所以边上的高所在直线方程为＋＝－(－)，即＋＋＝.()由两点间的距离公式，得＝，边所在的直线方程为＋＝(－)，即－－＝，所以点到直线的距离＝＝，故△＝××＝.。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修2 1.5平面直角坐标系中的距离公式》
2.1.5 点到直线的距离教材：普通高中课程标准实验教科书数学2（必修）（北京师范大学出版社）授课人：李多猛安徽省宿州市第二中学一．教学内容分析本节内容是第二章解析几何初步第一节《直线与直线的方程》中的内容，它是在研究了直线的方程和两直线的位置关系的基础上，探索如何用坐标和方程来定量研究距离问题，既是对前面知识体系的完善，又为后面研究直线与圆、圆与圆的位置关系奠定基础，具有承上启下的作用．由于学生已经具备直线的有关知识，因此公式的推导成为可能．同时公式的推导也是检验学生是否真正掌握所学知识点的一个很好的课题，可以培养学生分析问题、解决问题的能力以及自主探究和合作学习的能力，并在此过程中进一步体会解析几何的本质：用代数方法解决几何问题．本节课主要探讨点到直线的距离公式的推导过程和公式的简单应用．二．学生学情分析本节对“点到直线的距离”的认识，是从初中平面几何的定性作图，过渡到了解析几何的定量计算，其学习平台是学生已掌握了直线倾斜角、斜率、直线方程和两条直线的位置关系、两点间的距离公式等相关知识，从而为本节课的学习提供了知识准备.从学生现有的学习能力看，学生已经具备了一定的逻辑推理的能力，因此，可以尝试让学生自主探究点到直线的距离公式．三．教学目标1.掌握点到直线距离的公式的推导及其运用；2.通过公式推导，培养分析、归纳等思维能力，体会数形结合、转化与化归、函数与方程、分类讨论等数学思想；3.通过自主探究、合作交流解决问题，培养锲而不舍的钻研精神，提升直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理等数学核心素养．四．教学重点与难点教学重点：点到直线距离公式的推导及简单应用教学难点：公式推导的思路分析及方法优化五．教学方法与工具教学方法：教师启发引导，学生自主探究与合作交流相结合．教学工具：多媒体教室（移动终端），PPT，微课，投影仪．六．教学思想建构主义教学思想。
七．课程资源微课：《热爱生命》（节选）八．教学过程教学引入【教学安排】微课导入：《热爱生命》（节选）汪国真我不去想是否能够成功既然选择了远方便只顾风雨兼程我不去想身后会不会袭来寒风冷雨既然目标是地平线留给世界的只能是背影如果把地平线看做一条直线那么从你脚下的点出发哪条路线路程最短？xyO()2,1-P l对，垂线段如果在水平面上建立一个平面直角坐标系 那么这个点到这条直线的距离怎么求解呢？ 下面，让我们一起来探索这个奥秘……【设计意图】优美的诗句辅以深情的朗诵、动听的音乐，迅速抓住学生的心，使同学们快速进入状态，并激发强烈的求知欲．同时，直观感知定点与直线上所有点连线中垂线段最短，为新课设置铺垫，引入正题．【板书】 2.1.5 点到直线的距离 温故知新【教学安排】提问：1.数轴上两点间的距离是怎样定义的？2.平面内两点111222(,),(,),P x y P x y 间的距离公式时怎样的？12PP = （学生回答）它是如何推到的？（学生回答）教师根据学生回答订正结果. 3.什么是点到直线的距离？怎样理解点到直线的距离？（学生回答）教师根据学生回答订正结果.4.怎样求点到直线的距离？（学生回答，教师补充） 【设计意图】为新课做好铺垫，体现“最近发展区”理论： (1)为利用坐标法探究点到直线的距离公式做好铺垫； (2)明确定义，使利用函数最值法探究公式成为可能； 课堂探究第一探：你能求出点()2,1-P 到直线03:=--y x l 的距离吗？ 【教学安排】请一名学生板演，其余学生在草稿纸上演练，教师先巡视查看，后结合学生板演情况进行点评。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
直线与直线之间的位置关系-两点间距离
一、三维目标
1、知识与技能：掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题。
2、过程和方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。
3、情态和价值：体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题
二、教学重点，难点：重点，两点间距离公式的推导。
难点，应用两点间距离公式证明几何问题。
三、教学方式：启发引导式。
教学用具：用多媒体辅助教学。
四、教学过程
（一）、情境设置，导入新课 课堂设问一：回忆数轴上两点间的距离公式，同学们能否用以前所学的知识来解决以下问题
平面直角坐标系中两点()(2122221PP x x y y =-+-x 轴和y 轴作垂线，垂足分别为()()112200N y M x ，，，，直线12PN N 12与P 相交于点Q 。
在直角ABC 中，222
1212PP PQ QP =+，为了计算其长度，过点1P 向x 轴作垂线，垂足为 ()110M x ， 过点 向y 轴作垂线，垂足为()220N y ， ，于是有
2222221
212121221PQ M M x x QP N N y y ==-==-， 所以，2221212PP PQ QP =+=22
2121x x y y -+-。
由此得到两点间的距离公式，12PP =
在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到。
（二）、例题解答，细心演算，规范表达。
例1 ：以知点A （-1，2），B （2），在x 轴上求一点，使 PA PB =,并求 PA 的值。
解：设所求点P （x ，0）=由 PA PB =得2225411x x x x ++=-+解得 x=1。
所以，所求点P（1，0）且
PA==通过例题，使学生对两
点间距离公式理解。
应用。
解法二：由已知得，线段AB的中
点为
1
2
⎛
⎝⎭
Ｍ，直线AB的斜率为
1
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
ｘ－ＰＡ＝
线段AB的垂直平分线的方程是
y-
1
2
⎛⎫
∙ ⎪
⎝⎭
３
ｘ－
２
在上述式子中，令y=0，解得x=1。
所以所求点P的坐标为（1，0）。
因此
ＰＡ＝
同步练习：书本112页第1，2 题
（三）、巩固反思，灵活应用。
（用两点间距离公式来证明几何问题。
）
例2 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系。
这一道题可以让学生讨论解决，让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤。
证明：如图所示，以顶点Ａ为坐标原点，ＡＢ边所在的直线为ｘ轴，建立直角坐标系，有Ａ（０，０）。
设Ｂ（ａ，０），Ｄ（ｂ，ｃ），由平行四边形的性质的点Ｃ的坐标为（ａ＋ｂ，ｃ），因为2222
2222
AB a CD a AD b c BC
===+=
，，
()
2
AC a b
=+２２，
＋ｃ()
２２２
ＢＤ＝ｂ－ａ＋ｃ
所以，()
２２２２２２２
ＡＢ＋ＣＤ＋ＡＤ＋ＢＣ＝２ａ＋ｂ＋ｃ
()
２２２２２
ＡＣ＋ＢＤ＝２ａ＋ｂ＋ｃ所以，
２２２２２２
ＡＢ＋ＣＤ＋ＡＤ＋ＢＣ＝ＡＣ＋ＢＤ
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
上述解决问题的基本步骤可以让学生归纳如下：第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关
的量。
第二步：进行有关代数运算。
第三步；把代数结果“翻译”成几何关系。
思考：同学们是否还有其它的解决办法？
还可用综合几何的方法证明这道题。
（四）、课堂小结：主要讲述了两点间距离公式的推导，以及应用，要懂得用代数的方法解决几何问题，建立直角坐标系的重要性。
（五）、课后练习1.：证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等。
2.在直线x-3y-2=0上求两点，使它与（-2，2）构成一个等边三角形。
3．（1994全国高考）点（0，5）到直线y=2x的距离是。
五、教后反思：。