同步练习-圆的标准方程

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圆方程-圆的方程典型例题

-----.圆与方程 --圆的方程典型例题类型一：圆的方程例 1 求过两点A(1 , 4) 、 B(3 , 2) 且圆心在直线y 0 上的圆的标准方程并判断点P(2 , 4) 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点 P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为(x a)2( y b) 2r 2．∵圆心在y 0上，故b0 ．∴圆的方程为 ( x a)2y 2r 2．又∵该圆过A(1, 4) 、 B(3 , 2) 两点．(1a) 216r 2∴(3a) 24r 2解之得： a1， r 220 ．所以所求圆的方程为( x1)2y220 ．解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过 A(1 , 4)、 B(3 , 2) 两点，所以圆心 C 必在线段 AB 的垂直平分线l 上，又因为421 ，故l的斜率为1，又AB的中点为(2 , 3)，故AB的垂直平分线l 的方程为：kAB13y 3 x 2 即 x y 1 0 ．又知圆心在直线y 0 上，故圆心坐标为 C ( 1 , 0)∴半径 r AC(11)24220 ．故所求圆的方程为(x1)2y 220 ．又点 P(2, 4)到圆心 C( 1,0) 的距离为d PC(2 1)24225 r ．∴点 P 在圆外．说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如.例2求半径为，与圆x2y24x2y40相切，且和直线y0相切的圆的方程．4分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．解：则题意，设所求圆的方程为圆C：(x a) 2( y b) 2r 2．圆 C 与直线y0相切，且半径为4，则圆心C的坐标为C1( a , 4)或C2(a ,4) ．又已知圆x2y2 4 x 2 y40的圆心 A 的坐标为(2 ,1)，半径为3．若两圆相切，则CA437 或CA431．(1) 当C1(a , 4)时，(a2)2(41)272，或 (a2)2(41) 212(无解)，故可得a 2 210．∴所求圆方程为( x2210 )2( y4)242，或 (x 2 2 10)2( y4) 242．(2) 当C2( a ,4)时， (a2)2(41)272，或 (a2) 2( 41) 212(无解)，故a226．∴所求圆的方程为(x22 6 ) 2( y4) 242，或 ( x226) 2( y4) 242．说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线 y 0 相切且半径为 4 ，则圆心坐标为C ( a ,4)，且方程形如( x a) 2( y 4)242．又圆 x2y2 4 x 2 y 40，即(x2)2( y1)232，其圆心为A(2 ,1) ，半径为3．若两圆相切，则CA43 ．故(a2) 2(41)272，解之得 a 2 2 10．所以欲求圆的方程为( x 2 210)2( y4)242，或 (x2 2 10)2( y4)242．上述误解只考虑了圆心在直线y 0 上方的情形，而疏漏了圆心在直线y 0下方的情形．另外，误解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的．例 3 求经过点A( 0 , 5) ，且与直线 x 2 y 0 和 2x y0 都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线x 2y 0与 2x y0 相切，∴圆心 C 在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线x 2y 0 和 2x y0 的距离相等．-----.x 2 y x 2 y∴．55∴两直线交角的平分线方程是x 3y 0 或 3x y0 ．又∵圆过点A(0 , 5) ，∴圆心 C 只能在直线3x y 0 上．设圆心 C (t , 3t )∵ C 到直线2x y0 的距离等于AC ，∴2t 3t t 2(3t5)2．5化简整理得 t 26t50 ．解得： t 1或 t5∴圆心是 (1, 3) ，半径为 5 或圆心是 (5 ,15) ，半径为 5 5 ．2( y15)2125 ．∴所求圆的方程为(x1)2( y 3)2 5 或 ( x 5)说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．例 4、设圆满足：(1)截y轴所得弦长为2； (2) 被x轴分成两段弧，其弧长的比为 3 :1 ，在满足条件(1)(2) 的所有圆中，求圆心到直线l： x 2 y0 的距离最小的圆的方程．分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．解法一：设圆心为 P(a , b) ，半径为 r ．则 P 到x轴、 y 轴的距离分别为 b 和 a ．由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为90 ，故圆截x轴所得弦长为2r ．∴ r 22b2又圆截 y 轴所得弦长为2．∴ r 2 a 21．.又∵ P(a , b) 到直线 x 2y0 的距离为a2bd5∴ 5d 2a2 2ba 24b24aba24b22(a2b2 ) 2b 2a21当且仅当 a b 时取“5 =”号，此时d min．5这时有a b2b2a21a1a1∴或b1b1又 r 22b22故所求圆的方程为(x1)2( y 1)2 2 或 ( x1)2( y 1)22解法二：同解法一，得a2bd5．∴ a 2b5d ．∴ a24b2 4 5bd5d 2．将 a22b21代入上式得：2b2 4 5bd5d 2 1 0 ．上述方程有实根，故8(5d 21)0 ，∴ d5．5-----.将 d 5b．代入方程得51又 2b2 a 2 1∴ a 1 ．由a2b 1b同号．知 a 、故所求圆的方程为(x1)2( y 1)2 2 或 ( x 1)2( y 1)2 2 ．说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例 5已知圆 O： x2y2 4 ，求过点 P2，4与圆 O 相切的切线．解：∵点 P 2，4不在圆 O 上，∴切线 PT 的直线方程可设为y k x 24根据 d r∴2k42 1k 2解得k 3 4所以y3x244即3x 4 y100因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为x 2 ．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0 解决（也要注意漏解）．还可以运用x0 x y0 y r 2，求出切点坐标x0、 y0的值来解决，此时没有漏解．例 6 两圆C1：x2y2D1 x E1 y F10 与 C 2： x2y2 D 2 x E2 y F20 相交于A、B两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．分析：首先求 A 、 B 两点的坐标，再用两点式求直线AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．解：设两圆 C1、 C 2的任一交点坐标为(x0 , y0 ) ，则有：22x0y0D1 x0E1 y0F10 x02y02D2 x0E2 y0F20①②.①－②得： ( D1 D 2 )x0(E1E2 ) y0F1F2 0．∵ A 、 B 的坐标满足方程(D1 D 2 ) x( E1E2 ) y F1 F20 ．∴方程 ( D1 D2 )x (E1E2 ) y F1F20是过 A 、 B 两点的直线方程．又过 A 、 B 两点的直线是唯一的．∴两圆 C1、 C2的公共弦AB所在直线的方程为 ( D1 D 2 )x( E1 E2 ) y F1 F2 0 ．说明：上述解法中，巧妙地避开了求 A 、 B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛．例 7、过圆x2y21外一点M (2,3)，作这个圆的两条切线MA、MB，切点分别是A、B，求直线 AB 的方程。

高考数学复习圆的方程专项练习(附解析)

高考数学复习圆的方程专项练习（附解析）圆的标准方程(x-a)+(y-b)=r中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定。

以下是圆的方程专题练习，请考生查缺补漏。

一、填空题1.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________.[解析] 设圆心C(a，b)(a0，b0)，由题意得b=1.又圆心C到直线4x-3y=0的距离d==1，解得a=2或a=-(舍).因此该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.[答案] (x-2)2+(y-1)2=12.(2021南京质检)已知点P(2,1)在圆C：x2+y2+ax-2y+b=0上，点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为________.[解析] 因为点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆上，该直线过圆心，即圆心满足方程x+y-1=0，因此-+1-1=0，解得a=0，因此圆心坐标为(0,1).[答案] (0,1)3.已知圆心在直线y=-4x上，且圆与直线l：x+y-1=0相切于点P(3，-2)，则该圆的方程是________.[解析] 过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3，与y=-4x联立可求得圆心为(1，-4).半径r=2，所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.[答案] (x-1)2+(y+4)2=84.(2021江苏常州模拟)已知实数x，y满足x2+y2-4x+6y+12=0，则|2x-y |的最小值为________.[解析] x2+y2-4x+6y+12=0配方得(x-2)2+(y+3)2=1，令x=2+cos ，y=-3+sin ，则|2x-y|=|4+2cos +3-sin |=|7-sin (-7-(tan =2).[答案] 7-5.已知圆x2+y2+4x-8y+1=0关于直线2ax-by+8=0(a0，b0)对称，则+的最小值是________.[解析] 由圆的对称性可得，直线2ax-by+8=0必过圆心(-2,4)，因此a+b =2.因此+=+=++52+5=9，由=，则a2=4b2，又由a+b=2，故当且仅当a=，b =时取等号.[答案] 96.(2021南京市、盐都市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，若圆x2 +(y-1)2=4上存在A，B两点关于点P(1，2)成中心对称，则直线AB的方程为________.[解析] 由题意得圆心与P点连线垂直于AB，因此kOP==1，kAB=-1，而直线AB过P点，因此直线AB的方程为y-2=-(x-1)，即x+y-3=0.[答案] x+y-3=07.(2021泰州质检)若a，且方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a =________.[解析] 要使方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a2+(2a)2-4(2a2 +a-1)0，解得-20)关于直线x+y+2=0对称.(1)求圆C的方程;(2)设Q为圆C上的一个动点，求的最小值.[解] (1)设圆心C(a，b)，由题意得解得则圆C的方程为x2+y2=r2，将点P的坐标代入得r2=2，故圆C的方程为x2+y2=2.(2)设Q(x，y)，则x2+y2=2，=(x-1，y-1)(x+2，y+2)=x2+y2+x+y-4=x+y-2.令x=cos ，y=sin ，=x+y-2=(sin +cos )-2=2sin-2，因此的最小值为-4.10.已知圆的圆心为坐标原点，且通过点(-1，).(1)求圆的方程;(2)若直线l1：x-y+b=0与此圆有且只有一个公共点，求b的值;(3)求直线l2：x-y+2=0被此圆截得的弦长.[解] (1)已知圆心为(0,0)，半径r==2，因此圆的方程为x2+y2=4.(2)由已知得l1与圆相切，则圆心(0,0)到l1的距离等于半径2，即=2，解得b=4.(3)l2与圆x2+y2=4相交，圆心(0,0)到l2的距离d==，所截弦长l=2=2= 2.一样说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。

人教A版必修2圆的标准方程精选课时练习(含答案)8

人教A 版圆的标准方程精选课时练习（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．()()22 111x y ++-=的圆心在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．已知点()()4,4,5,3A B 都在圆C 上,且()()6,0,2,6M N 仅有一点在圆C 上,则圆C 的标准方程为A ．2297122x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．()22125x y -+= C ．()()22525x y -+-= D ．()()22352x y -+-= 3．已知两点()()1,3,3,A B a -,以线段AB 为直径的圆经过原点,则该圆的标准方程为 A ．()()22125x y -+-=B ．()()221240x y -+-= C ．()()22118x y -+-= D ．()()221132x y -+-= 4．若方程22448430x y x y +-+-=表示圆，则其圆心为（）A ．1(1,)2-- B ．1(1,)2 C ．1(1,)2- D ．1(1,)2- 5．若圆C 的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y x =对称,则圆C 的标准方程为 A ．()2211x y -+=B ．()2211y x ++= C ．()2211y x -+= D ．()2211x y ++=6．方程2220x y ax ++-=表示圆心在直线x+y=0上的圆,则该圆的半径为A B ．C D ．6 7．函数y ＝f (x )的图象是以原点为圆心、1为半径的两段圆弧，如图所示．则不等式f (x )>f (－x )＋x 的解集为( )A ．25[1,-∪(0,1]B ．[－1,0)∪25C ．25[1,5--∪25(0,5D ．25[1,5--∪5(1]58．圆2cos ,{2sin 2x y θθ==+的圆心坐标是( )A ．(0,2)B ．(2,0)C ．(0,-2)D ．(-2,0) 9．已知三点(1,0)A ，3)B ，3)C ，则ABC △外接圆的圆心到原点的距离为（）．A ．43B 25C 21D ．5310．圆220x y ax ++=的圆心横坐标为1，则a 等于（）．A ．1B ．2C ．1-D ．2- 11．以点(－3,4)为圆心，且与x 轴相切的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝16B ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝16C ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝9D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝912．已知圆2260x y ax y +++=的圆心在直线10x y --=上，则a 的值为（） A ．4 B ．5 C ．7 D ．813．已知三点()((1,0,3,3A B C ，则ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为( )A ．53B 21C 25D ．4314．过点()0,2A 和()1,1B -，且圆心在直线10x y --=上的圆的方程是（） A ．()2215x y -+=B ．()2215x y +-=C ．()()22115x y -+-=D ．()()22115x y -++=15．方程x = ）A ．两个半圆B ．两个圆C ．圆D ．半圆 16．圆22240x y x y ++-=的圆心坐标为（）A ．(1,2)-B ．(1,2)-C ．(1,2)D ．(1,2)-- 17．(2018·河南天一大联考段考)以(a,1)为圆心，且与两条直线2x －y ＋4＝0与2x －y －6＝0同时相切的圆的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝5B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5C ．(x －1)2＋y 2＝5D ．x 2＋(y －1)2＝518．(2018·长春二模)圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y x 对称的圆的方程是( )A ．(x 2＋(y －1)2＝4B ．(x )2＋(y )2＝4C ．x 2＋(y －2)2＝4D ．(x －1)2＋(y 2＝419．若直线10ax by -+=（0a >，0b >）平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则11a b+的最小值为（）A ．3+B ．C ．12D ．3+20．圆:C 2220x y x +-=的圆心坐标和半径分别是( )A ．(1,0),2B ．(1,0),1C ．(1,0),2-D ．(1,0),1- 21．以两点A (－3，－1)和B (5,5)为直径端点的圆的标准方程是( )A ．(x －1)2＋(y －2)2＝10B ．(x －1)2＋(y －2)2＝100C ．(x －1)2＋(y －2)2＝5D ．(x －1)2＋(y －2)2＝2522．圆心在直线2x =上的圆C 与y 轴交于两点()0,4A -，()0,2B -，则圆C 的方程为（）A ．()()22235x y -++=B ．()()22228x y -++= C ．()()22329x y -++= D ．()()22215x y -++= 23．若2223340a b c +-=，则直线0ax by c ++=被圆221x y +=所截得的弦长为（）A ．23B ．1C ．12D ．3424．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，分别过,A B 作准线的垂线，垂足分别为11,A B 两点，以11A B 为直径的圆C 过点(2,3)M -，则圆C 的方程为( )A ．22(1)(2)2x y ++-=B ．22(1)(1)17x y +++=C ．22(1)(1)5x y ++-=D ．22(1)(2)26x y +++=25．以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的标准方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝4B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝16C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝16D ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝426．以()2,1为圆心且与直线10y +=相切的圆的方程为（）A ．()()22214x y -+-=B ．()()22212x y -+-= C ．()()22214x y +++= D ．()()2221x y +++ 27．已知圆的圆心为（-2,1），其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（）A ．224250x y x y ++--=B ．224250x y x y +-+-=C ．22420x y x y ++-=D ．22420x y x y +-+=二、填空题28．圆心为()3,0且与直线0x +=相切的圆的方程为________.29．已知圆的圆心在曲线10)xy x =>（上，且与直线4130x y ++=相切，当圆的面积最小时，其标准方程为_______．30．圆C 的圆心为点(8,3)-，且经过点(5,1)A ，则圆C 的方程为______________.31．已知圆M 与圆O ：x 2＋y 2＝3＋相内切，且和x 轴的正半轴，y 轴的正半轴都相切，则圆M 的标准方程是________．32．已知圆C 的圆心在直线20x y -=上，且经过(6,2)A ，(4,8)B 两点，则圆C 的标准方程是__________．33．圆22230x y x y ++-=的圆心坐标为__________．34．若直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心位于第________象限．35．圆22230x y x y +-+=的圆心坐标为________．36．已知圆C 经过点()0,6A -，()1,5B -，且圆心在直线:10l x y -+=上，则圆C 的标准方程为__________．37．若圆C 过两点(0,4),(4,6)A B ，且圆心C 在直线x －2y －2＝0上，则圆C 的标准方程为_________．三、解答题38．若圆C 经过坐标原点,且圆心在直线23y x =-+上运动,求当圆C 半径最小时圆C 的标准方程.39．已知椭圆2212x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点（1）求过点O 、F ，并且与直线:2l x =-相切的圆的方程；（2）设过点F 且不与坐标轴垂直交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围.40．圆C 与直线250x y +-=相切于点()2,1，且与直线2150x y ++=也相切，求圆C 的方程．41．在Rt △ABO 中,∠BOA=90°,|OA|=8,|OB|=6,点P 为它的内切圆C 上任一点,求点P 到顶点A ,B ,O 的距离的平方和的最大值和最小值.42．已知直线l 过点(2,1)和点(5,4)．（1）求直线l 的方程．（2）若圆C 的圆心在直线l 上，且与y 轴相切于(0,3)点，求圆C 的方程． 43．求过P （5，-3）、Q （0，6）两点，并且圆心在直线2x-3y-6=0上的圆的方程. 44．求圆心C 在直线2y x =上，且经过原点及点()3,1M 的圆C 的方程.45．已知过点()()1,3,1,1-且圆心在直线1y x =-上的圆C 与x 轴相交于,A B 两点，曲线Γ上的任意一点P 与,A B 两点连线的斜率之积为34-．（1）求曲线Γ的方程；（2）过原点O 作射线,OM ON ，分别平行于,PA PB ，交曲线Γ于,M N 两点，求OM ON ⋅的取值范围．46．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为2c ，离心率为12，圆222:O x y c +=，12,A A 是椭圆的左右顶点，AB 是圆O 的任意一条直径，1A AB ∆面积的最大值为2. （1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）若l 为圆O 的任意一条切线，l 与椭圆E 交于两点,P Q ，求PQ 的取直范围.47．已知抛物线2:2C x y =的焦点为F ，过抛物线上一点M 作抛物线C 的切线l ，l 交y 轴于点N .（1）判断MNF ∆的形状；（2）若,A B 两点在抛物线C 上，点(1,1)D 满足0AD BD +=u u u v u u u v v，若抛物线C 上存在异于,A B 的点E ，使得经过,,A B E 三点的圆与抛物线在点E 处的有相同的切线，求点E的坐标.48．已知双曲线22:1C x y -=.（1）求以右焦点为圆心，与双曲线C 的渐近线相切的圆的方程；（2）若经过点(0,1)P -的直线与双曲线C 的右支交于不同两点M 、N ，求线段MN 的中垂线l 在y 轴上截距t 的取值范围.49．某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设.规划中的轨道交通s 号线线路示意图如图所示.已知,M N 是东西方向主干道边两个景点，,P Q 是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O 均为52km ，线路AB 段上的任意一点到景点N 的距离比到景点M 的距离都多10km ，线路BC 段上的任意一点到O 的距离都相等，线路CD 段上的任意一点到景点Q 的距离比到景点P 的距离都多10km ，以O 为原点建立平面直角坐标系xOy .（1）求轨道交通s 号线线路示意图所在曲线的方程；（2）规划中的线路AB 段上需建一站点G 到景点Q 的距离最近，问如何设置站点G 的位置？50．已知圆C 经过()1,1A 和()2,2B -，且圆C 在直线:3410l x y -+=上，（1）求圆C 的标准方程；（2）若直线m 垂直于直线l 且与圆C 相切．求直线m 的方程．参考答案1．B2．B3．A4．D5．C6．C7．C8．A9．C10．D11．B12．A13．B14．A15．D16．B17．A18．D19．A20．B21．D22．A23．B24．C25．C26．A27．C28．()2233x y -+=29．221(2)()172x y -+-=30．22(8)(3)25x y -++=31．(x －1)2＋(y －1)2＝132．22(2)(4)20x y -+-=33．31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 34．四35．3(1,)2-36．22(3)(2)25x y +++=37．22(4)(1)25x y -+-= 38．22639555x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭39．（1）2219()(.24x y ++±=（2）1(,0).2-40．()()222120x y +++=.41．88,7242．（1）1y x =-；（2）22(4)(3)16x y -+-= 43．22323445(19)()39x y -+-=． 44．()()22125x y -+-=.45．（1）()221243x y x +=≠±；（2）7]2.46．(1) 椭圆方程为22143x y +=，圆的方程为221x y += (2)[3,347．(1) MNF ∆为等腰三角形.(2) 点E 的坐标为1(1,)2-.答案第3页，总3页 48．(1) (221x y +=;(2)(2,)+∞.49．(1) 25x x y y +=- (2) 站点G的坐标为⎛ ⎝，可使G 到景点Q 的距离最近50．（1）()()223225x y +++=；（2）43430x y ++=.。

圆的方程数学知识点与练习

圆的方程●圆的方程的三种形式（1）圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r 2，方程表示圆心为(a,b)，半径为r 的圆. （2）圆的一般方程对于方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0①当D 2+E 2-4F ＞0时，表示圆心为（-D 2,-E 2），半径为12②当D 2+E 2-4F=0时，表示一个点（-D 2，-E2）；③当D 2+E 2-4F ＜0时，它不表示任何图形.（3）圆的参数方程x a rcos ,y b rsin θθ=+⎧⎨=+⎩，圆心(a,b ），半径r ＞0，θ∈R. ●点与圆的位置关系圆的标准方程（x-a ）2+(y-b)2=r 2,圆心A （a,b ），半径r ，若点M （x 0,y 0）在圆上，则(x 0-a)2+(y 0-b)2=r 2; 若点M （x 0,y 0）在圆外，则(x 0-a)2+(y 0-b)2＞r 2; 若点M （x 0,y 0）在圆内，则(x 0-a)2+(y 0-b)2＜r 2. ●确定圆的方程的方法（1）确定圆的方程的主要方法是待定系数法.如果选择标准方程，一般步骤为： ①根据题意，设所求圆的标准方程为（x-a ）2+(y-b)2=r 2; ②根据已知条件，建立关于a 、b 、r 的方程组；③解方程组，并把它们代入所设的方程中，整理后，就得到所求方程. 求圆的标准方程时，尽量利用圆的几何性质，可以大大地减少计算量. (2)如果已知条件中圆心的位置不能确定，可考虑选择圆的一般方程，圆的一般方程也含有三个独立的参数，因此，必须具备三个独立的条件，才能确定圆的一般方程，其方法仍采用待定系数法.设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，由三个条件得到关于D 、E 、F 的一个三元一次方程组，解方程组,求出参数D 、E 、F 的值即可.(3)以A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2)为直径的两端点的圆的方程为（x-x 1）(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0. （4）在求圆的方程时，常用到圆的以下几个性质： ①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线. ●与圆有关的最值问题（1）求与圆有关的最值问题多采用几何法，就是利用一些代数式的几何意义进行转化.如①形如m=y bx a--的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t=ax+by 的最值问题，可转化为直线在y 轴上的截距的最值问题；③形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题，可转化为两点间的距离平方的最值问题. (2)特别要记住下面两个代数式的几何意义：yx表示点（x,y ）与原点（0,0）连线的直线斜率表示点（x,y ）与原点的距离. 1.方程x 2+y 2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是( )A.14＜m＜1 B.m＞1 C.m＜14D.m＜14或m＞1解析：若方程表示圆，则(4m)2+(-2)2-4×5m＞0，解得m＜14或m＞1.答案：D2.若点（4a-1,3a+2）不在圆(x+1)2+(y-2)2=25的外部，则a的取值范围是( )A.|a|B.|a|＜1C.|a|D.|a|≤1解析：点（4a-1,3a+2）不在圆(x+1)2+(y-2)2=25的外部，则(4a-1+1)2+(3a+2-2)2≤25，即|a|≤1. 答案：D3.圆(x+2)2+y2=5关于直线y=x对称的圆的方程为( )A.(x-2)2+y2=5B.x2+(y-2)2=5C.(x+2)2+(y+2)2=5D.x2+(y+2)2=5解析：圆(x+2)2+y2=5的圆心(-2，0)关于y=x对称的点的坐标为(0,-2)，所以，所求圆的方程是x2+(y+2)2=5.答案：D4.已知x、y满足x2+y2-4x-6y+12=0，则x2+y2的最小值为__________.解析：点（x,y）在圆(x-2)2+(y-3)2=1上，故点(x,y)到原点距离的平方即x2+y2的最小值为2答案：5.已知圆x2+y2+kx+2y=-k2，当该圆的面积取最大值时，圆心坐标为__________.答案：(0,-1)自我诊断①若圆x2+y2+(a2-1)x+2ay-a=0关于直线x-y+1=0对称，则实数a的值为__________.答案：3自我诊断②以点A（-3，0），B（0，-3），C（157，247）为顶点的三角形与圆x2+y2=R2（R＞0）没有公共点，则圆半径R的取值范围是（）)∪,+∞) B.( ) )∪(3,+∞)D.(,3)2解析：如图，若圆与△ABC没有公共点，需考虑两种情况，①圆在三角形内部；②圆在三角形外部.当圆在三角形内部时，圆与BC；当圆在三角形外部时，圆过点C，所以选A.答案：A题型一圆的方程的求法【例1】根据下列条件求圆的方程：（1）经过点P（1，1）和坐标原点，并且圆心在直线2x+3y+1=0上；（2）圆心在直线y=-4x上，且与直线l:x+y-1=0相切于点P（3，-2）；（3）过三点A（1，12），B（7，10），C（-9，2）.规律方法：求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法：（1）几何法，通过研究圆的性质而求出圆的基本量；（2）代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解. 创新预测1根据下列条件求圆的方程：（1）已知一圆过P（4，-2）、Q（-1，3）两点，且在y轴上截得的线段长为（2，圆心在直线y=2x上，圆被直线x-y=0截得的弦长为题型二与圆有关的最值问题【例2】已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.（1）求yx的最大值和最小值；（2）求y-x的最大值和最小值；（3）求x2+y2的最大值和最小值.规律方法：化x、y满足的关系式为(x-2)2+y2=3，明确yx、y-x、x2+y2的几何意义，数形结合求解.创新预测2已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.（1）求y2x1++的最大值和最小值.（2）求x-2y的最大值和最小值.（3）求点P（x,y）到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值.题型三与圆有关的轨迹问题【例3】设定点M（-3，4），动点N在圆x2+y2=4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.\规律方法：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；定义法，根据圆、直线等定义列方程；几何法，利用圆与圆的几何性质列方程；代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.创新预测3 已知圆x2+y2=4上一定点A（2，0），B（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点. （1）求线段AP中点的轨迹方程；（2）若∠PBQ=90°，求PQ中点的轨迹方程.题型四与圆有关的实际应用问题【例4】有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：A地每千米的运费是B地每千米运费的3倍.已知A、B两地距离为10 km，顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低.求P地居民选择A地或B地购货总费用相等时，点P所在曲线的形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点.规律方法：审清题意，根据题意求轨迹方程.求方程前必须建立平面直角坐标系，否则曲线就不能转化为方程，坐标系选取得当，可使运算过程简单，所得方程也较简单.创新预测4 设有一个半径为3 km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，A向东而B向北前进.A出村后不久，改变前进方向，沿着切于村落边界的方向前进，后来恰好与B相遇.设A、B 两人的速度都一定，其比为3∶1，问:两人在何处相遇？精品作业自我测评·技能备考一、选择题：每小题6分，共36分.1.（2009·许昌模拟）P（x,y）是圆x2+y2=1与直线x+y+2m=0(m＞0)的公共点，则直线008=0的倾斜角的最大值为( )A.45°B.60°C.90°D.135°答案：A2.（2009·天津汉沽模拟）已知两点A(-2,0)，B(0,2),点C 是圆x 2+y 2-2x=0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是( )C.3-2D.32 答案：A3.（2009·山东临沂模拟）若直线ax+2by-2=0(a ＞0,b ＞0)始终平分圆x 2+y 2-4x-2y-8=0的周长，则1a +2b的最小值为( )A.1B.5 答案：D4.（2008·山东）已知圆的方程为x 2+y 2-6x-8y=0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )答案：B5.（2009·湖北沙市模拟）直线l:4x-3y-12=0与x、y轴的交点分别为A、B，O为坐标原点，则△AOB内切圆的方程为( )A.(x-1)2+(y+1)2=1B.(x-1)2+(y-1)2=1C.(x-1)2+(y+1)2D.(x-1)2+(y+1)2=2 答案：A解析：A(3,0),B(0,-4)，O（0，0），∴内切圆的半径r=OA OB AB2+-=1，由图象知，圆心为(1,-1),∴方程为(x-1)2+(y+1)2=1，故选A.6.（2009·西南师大附中模拟）已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA、PB是圆C：x2+y2-2y=0的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为( )A.3B.2C.22D.2 答案：D二、填空题：每小题6分，共18分.7.（2009·江苏江宁高级中学3月模拟）直线ax+by=1过点A(b,a)，则以坐标原点O为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是______.答案：π解析：直线过点A(b,a)，∴ab=12，圆面积S=πr2=π(a2+b2)≥2πab=π.8.（2009·广东华南师大附属中学测试）从圆(x-1)2+(y-1)2=1外一点P(2,3)向这个圆引切线，则切线长为____________.答案：2解析：圆心(1,1)，则|PC|2=5，∴切线长9.（2009·浙江金华模拟）已知圆O的方程为x2+y2=4，P是圆O上的一个动点，若OP的垂直平分线总是被平面区域|x|+|y|≥a覆盖，则实数a的取值范围是_____________.答案：a≤1解析：易知OP的垂直平分线即为单位圆的切线，当a≤0时，平面区域即坐标平面，显然满足题意；当a＞0时，由图象易知0＜a≤1，综上，a≤1.三、解答题：10、11题每题15分，12题16分，共46分.10.（2009·江苏通州调研）如图，在平面直角坐标系xOy中，A(a,0)(a＞0),B(0,a),C(-4,0),D(0,4)，设△AOB的外接圆圆心为E.(1)若⊙E与直线CD相切，求实数a的值.(2)设点P在⊙E上，使△PCD的面积等于12的点P有且只有三个，试问：这样的⊙E是否存在？若存在，求出⊙E的标准方程；若不存，说明理由.11.（2009·江苏盐城模拟）已知以点C(t,2t)(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点.(1)求证：△OAB的面积为定值；(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M、N，若OM=ON，求圆C的方程.\12.设O 为坐标原点，曲线x 2+y 2+2x-6y+1=0上有两点P 、Q ，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足OP ·OQ =0.(1)求m 的值；(2)求直线PQ 的方程.。

圆的标准方程练习

一、单选题2．圆心是()3,4C -，半径是5的圆的方程为（）A ．()223(4)5x y -++=B ．()223(4)25x y -++=C ．()223(4)5x y ++-=D ．()223(4)25x y ++-= 3．圆心为()1,2-，半径为3的圆的方程是（）A ．()()22129x y ++-=B ．()()22123x y -++=C ．()()22123x y ++-=D ．()()22129x y -++= 6．已知圆的一条直径的端点分别是()0,0A ，()2,4B ，则此圆的方程是（）A ．()()22125x y -+-=B ．()()221225x y -+-=C ．()2255x y -+=D ．()22525x y -+= 7．圆2221x y y ++=的半径为( )A ．1B C ．2 D ．4 8．已知圆()()22:684,C x y -+-=O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程( )A ．()()2234100x y -++=B ．()()2234100x y ++-=C ．()()223425x y -+-=D ．()()22+3425x y +-= 4．圆心为(0,1)且与直线2y =相切的圆的方程为( )A ．22(1)1x y -+=B ．22(1)1x y ++=C ．22(1)1y x +-=D ．22(1)1x y ++=1．若圆C 与圆22(2)(1)1x y ++-=关于原点对称，则圆C 的标准方程为（）A ．22(2)(1)1x y -++=B ．22(2)(1)1x y -+-=C ．22(2)(2)1x y -++=D ．22(1)(2)1x y ++-= 5．圆()()22141x y +--=关于直线y x =称的圆是（）A ．()()22141x y --+=B ．()()22411x y --+=C ．()()22411x y +--=D ．()()22141x y ---= 9．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴相切，则该圆的标准方程是（）A ．22(2)(1)1x y -+-=B ．227(3)13x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ C ．22(1)(3)1x y -+-=D ．223(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ 10．已知圆C 与圆()2211x y -+=关于直线y x =-对称，则圆C 的方程为（）A ．()2212x y ++=B ．222x y +=C ．()2211x y ++=D ．()2211x y +-= 11．圆心为()1,2-，且与x 轴相切的圆的标准方程为（） A ．()()22122x y -+=+ B ．()()22124x y -++= C ．()()22122x y ++-= D ．()()22124x y ++-= 12．圆心在y 轴上，半径为1，且过点()12，的圆的方程是（） A ．()2221x y +-= B ．()2221x y ++= C ．()()22131x y -+-= D ．()2231x y +-= 13．在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点坐标分别为()()0,0,4,0,4,(2)(),0,2O A B C ﹣﹣，则矩形OABC 的外接圆方程是（）A ．22420x y x y +-+=B ．22420x y x y ++-=C ．22840x y x y +-+=D ．22840x y x y ++-= 14．如图，在直角坐标系xOy 中，坐标轴将边长为4的正方形ABCD 分割成四个小正方形.若大圆为正方形ABCD 的外接圆，四个小圆分别为四个小正方形的内切圆，则图中某个圆的方程是（）A ．22210x y x y +-++=B ．222210x y x y ++-+=C ．22210x y x y +-+-=D ．222210x y x y +-+-=15．以点()3,2-为圆心，且与x 轴相切的圆的标准方程是（）A ．()()22329x y ++-=B ．()()22324x y +++=C ．()()22324x y ++-=D ．()()22329x y -++= 16．以点()1,1A -为圆心且与直线20x y +-=相切的圆的方程为（）A ．22(1)(1)1x y -++=B ．22(1)(1)1x y ++-=C ．22(1)(1)2x y -++=D ．22(1)(1)2x y ++-=18．半径为1的圆C 的圆心在第四象限，且与直线y =060y --=均相切，则该圆的标准方程为（）A ．22(1)(1x y -+-=B ．22((1)1x y -+-=C ．22(1)(1x y -+=D ．22((1)1x y ++= 17．已知{1,2,3},{4,5,6,7}a b ∈∈，则方程22()()4x a y b -+-=可表示不同的圆的个数为（） A ．7B ．9C ．12D ．16第II 卷（非选择题）二、解答题19．已知圆C 过点()()3153A B ,,,，圆心在直线y x =上，求圆C 的方程.20．求圆心在直线30x y -=上，与x 轴相切，被直线0x y -=截得的弦长的圆的方程21．已知圆过两点()1,4A 、()3,2B，且圆心在直线0y =上.（1）求圆的标准方程；（2）判断点()2,4P 与圆的关系.22．直线l 过点(1,0)-，圆C 的圆心为()2,0C .（1）若圆C 的半径为2，直线l 截圆C 所得的弦长也为2，求直线l 的方程；（2）若直线l 的斜率为1，且直线l 与圆C 相切，求圆C 的方程.三、填空题23．若圆C 与圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝1关于原点对称，则圆C 的方程是________24．已知圆的内接正方形相对的两个顶点的坐标分别是()5,6，()3,4-，则这个圆的方程是____________. 25．以点P （1，1）为圆心，且经过原点的圆的标准方程为____________．26．圆22(2)(1)1x y -+-=关于(1,2)A 对称的圆的方程为________.27．以点()5,4A -为圆心且与y 轴相切的圆的标准方程为______________________；28．已知方程x 2＋y 2－2x ＋2y ＋F ＝0表示半径为2的圆，则实数F ＝________．四、双空题29．直线142x y +=与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，则AB =______；以线段AB 为直径的圆的方程为_________． 30．已知圆C 的圆心在直线230x y -+=，半径为r ，且与直线:40l x y -+=切于点()2,2P -，则圆C 的圆心坐标为______；半径r =______.31．圆C :x 2+y 2-8x -2y =0的圆心坐标是____;关于直线l :y =x -1对称的圆C '的方程为_.10参考答案1．A【详解】圆22(2)(1)1x y ++-=的圆心为()21-，，半径为1. 点()21-，关于原点的对称点为()21C -，，所以圆C 的方程为22(2)(1)1x y -++=．故选：A2．D【详解】圆心是()3,4C -，半径是5的圆的方程为： ()223(4)25x y ++-=，故选：D3．D因为圆心为()1,2-，半径为3，故圆的方程为：()()22129x y -++=. 故选：D.4．C【解析】设圆方程()2221x y r +-=，直线2y =与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径r ，211r ∴=-=，故圆的方程为()2211x y +-=，故选C.5．B圆心()1,4-关于直线y x =的对称点为()41-,，半径不变，∴所求圆的方程为()()22411x y -+-=.故选：B6．A【详解】直径两端点为()()0,0,2,4 ∴圆心坐标为()1,2圆的半径r ==，∴圆的方程为：()()22125x y -+-=.故选：A.7．B试题分析：由题意得，圆2221x y y ++=，可化为22(1)2x y ++=，所以R =B ． 8．C由题得OC 中点坐标为（3,4），，所以圆的方程为()()223425x y -+-=.故选C9．A【解析】试题分析：设圆心坐标为（a ，b ）（a ＞0，b ＞0），由圆与直线4x-3y=0相切，可得圆心到直线的距离d=4315a br -==，化简得：|4a-3b|=5①，又圆与x 轴相切，可得|b|=r=1，解得b=1或b=-1（舍去），把b=1代入①得：4a-3=5或4a-3=-5，解得a=2或a=-12（舍去），∴圆心坐标为（2，1），则圆的标准方程为：（x-2）2+（y-1）2=1．故选A10．C由题意，圆心为()0,1-，半径1r =，则圆的方程为()2211x y ++=，故选：C ．11．B解：因为圆心为()1,2-，圆与x 轴相切，所以圆的半径为2，所以圆的标准方程为()()22124x y -++=，故选：B12．A 因为圆心在y 轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为()0,b ，则圆的方程为22()1x y b +-=，又点()12，在圆上，所以()2121b +-=，解得2b =.故选：A13．B矩形OABC 的中心为(2,1)-=所以矩形OABC 的外接圆的圆心为(2,1)-所以矩形OABC 的外接圆方程是22(2)(1)5++-=x y ，即22420x y x y ++-=. 故选：B14．B由题可知小正方形边长为2，则内切圆半径为1，可得第一象限的的圆心为()1,1，方程为()()22111x y -+-=，即222210x y x y +--+=；第二象限的的圆心为()1,1-，方程为()()22111x y ++-=，即222210x y x y ++-+=；第三象限的的圆心为()1,1--，方程为()()22111x y +++=，即222210x y x y ++++=；第四象限的的圆心为()1,1-，方程为()()22111x y -++=，即222210x y x y +-++=；故选：B.15．C 由题可以构建图像，观察可知该圆半径为2则以点()3,2-为圆心，2为半径为的圆的标准方程为()()22324x y ++-=. 故选：C16．D【详解】由题意r ==， ∴圆方程为22(1)(1)2x y ++-=．故选：D.17．C【详解】得到圆的方程分两步：第一步：确定a 有3种选法；第二步：确定b 有4种选法，由分步乘法计数原理知，共有3×4＝12（个）.故选：C.18．D如图，由题意可设圆心坐标为（a ，﹣1），r =1．则1d ==52-=，解得a =3．结合选项可得，所求圆的方程为22((1)1x y ++=．故选：D19．()()22334x y -+-=.解：由题意设圆心为(),C a a ，半径为r ，则圆的标准方程为()222()x a y a r -+-=.由题意得()()222222(3)1(5)3a a r a a r ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩，解得32a r =⎧⎨=⎩，所以圆C 的标准方程为()()22334x y -+-=.20．22(1)(3)9x y +++=或22(1)(3)9x y -+-=由已知设圆心为(,3)a a ,与x 轴相切则3r a =圆心到直线的距离d =,弦长为:224792a a += 解得1a =±圆心为()1,3或()1,3--,3r =圆的方程为22(1)(3)9x y -+-=或22(1)(3)9x y +++=.21．（1）()22120x y ++=；（2）点P 在圆外.（1）圆心在直线0y =上， ∴设圆心坐标为(),0C a ，则AC BC =，= 即()()2211634a a -+=-+，解得1a =-，即圆心为()1,0-，半径r AC ====则圆的标准方程为()22120x y ++=（2）PC ===5=r > ∴点()2,4P 在圆的外面.22．（1）1)2y x =±+；（2）229(2)2x y -+=. 【分析】（1）根据圆心和半径，可得圆的方程，根据弦长公式，计算圆心到直线的距离，然后通过讨论直线斜率存在与否，可得结果.（2）根据直线与圆的位置关系，可得r d =，计算可得结果.（1）若直线l 斜率不存在，即直线l 方程为1x =-，显然不合题意.若直线l 斜率存在，设斜率为k ，则直线l 的方程为(1)y k x =+，即0kx y k -+=由直线l 截圆C 所得的弦长也为2，可知圆心(2,0)C 到直线l ==∴2k =±故所求直线的方程是(1)2y x =±+ （2）依题意得：直线l 的方程为1y x =+∵直线l 与圆C 相切∴r d ===故所求圆的方程是229(2)2x y -+=23．()()22211x y -++= 已知圆圆心为(2,1)-，∴(2,1)C -，∴圆C 方程为22(2)(1)1x y -++=．24．()()224126x y -+-=；由题得圆心的坐标为5364(,)22+-，即(4,1).=所以圆的方程为()()224126x y -+-=.故答案为：()()224126x y -+-=25．()()22112x y -+-=∵P （1，1）为圆心，且经过原点，∴半径r=，∴圆的标准方程为()()22112x y -+-=. 故答案为()()22112x y -+-=．26．22(3)1x y +-=圆22(2)(1)1x y -+-=的圆心为(2,1)，半径为1r =，又圆心(2,1)关于(1,2)A 对称的点为(,)x y ，则212122x y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，得0,3x y ==，故所求圆的方程为22(3)1x y +-=.故答案为：22(3)1x y +-=27．22(5)+(4)25x y +-=∵以点()5,4A -为圆心的圆，且与y 轴相切，∴所求圆的半径为5，∴圆的标准方程为22(5)+(4)25x y +-=，故答案为：22(5)+(4)25x y +-=.圆的标准方程答案第11页，总11页 28．－2方程x 2＋y 2－2x ＋2y ＋F ＝0可化为（x －1）2＋（y ＋1）2＝2－F ，因为方程x 2＋y 2－2x ＋2y ＋F ＝0表示半径为2的圆，所以222F -=，所以F ＝－2.故答案为：-229． 22420x y x y +--=令0x =得2y =,令0y =得4x =,所以(4,0),(0,2)A B , 所以AB==所以AB 中点坐标为()2,1所以圆的方程：()222(1)5x y -+-=.故答案为:22420x y x y +--= 30．()1,1-由题联立方程230y x x y =-⎧⎨-+=⎩，解得圆心为()1,1-，所以r ==所求圆的方程为()()22112x y ++-=，它是以()1,1-为半径的圆.故答案为：()1,1-.31．(4，1) (x -2)2+(y -3)2=17由圆的一般式方程可得圆心坐标(4,1),半径r ==设(4,1)关于直线l 的对称点为(,)x y ,则11414122y x y x -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪=-⎪⎩,解得23x y =⎧⎨=⎩, 所以圆C 关于直线l 对称的圆C '的方程为22(2)(3)17x y -+-=. 故答案为：(4,1)；22(2)(3)17x y -+-=.。

圆的标准方程-练习题

一、选择题1. 圆心是(4, -1),且过点(5.2)的圆的标准方程是( )Λ. α-4)2+(y+l)2=10 B. (A ^+4)2+(y-l)2=10 C. (χ-4)2+(y÷l)2=100D. (%-4)2÷ (y+1)2=√W2. 已知圆的方程是(χ-2)2+(y-3)2=4,则点P(3,2)满足() A.是圆心B.在圆上C.在圆内3. 圆(A -+1)2+(7-2)2=4的圆心坐标和半径分别为() Λ. (-1,2), 2B. (1, -2), 2C. (-1,2), 44. (2016 •锦州高一检测)若圆C 与圆(x+2)2÷(y-l)2= 1关于原点对称，则圆C 的方程是()Λ. α-2)2+(y+l)2=l B. (χ-2)2+(y-l)2=l C. U-l)2+(y+2)2=lD. (A ÷1)2÷(7+2)2=15. (2016 •全国卷II)圆√+∕-2χ-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1 =0的距离为1,则日=()6. 若Pa 一1)为圆(χ-l)2+y=25的弦/矽的中点，则直线/矽的方程是(Λ )二、填空题7. 以点(2, — 1)为圆心且与直线x+y=6相切的圆的方程是8. 圆心既在直线x —y=0上，又在直线x+y —4=0上，且经过原点的圆的方程是三、解答题9. 圆过点 Atl 9 一2)、B(-l,4).求 (1) 周长最小的圆的方程；⑵圆心在直线2x —y —4 = 0上的圆的方程.10. 已知圆川的标准方程为(%-5)2+(y-6)2=a 2(a>0).Λ.B.C. √3D. 2 D.在圆外D. (h -2), 4A. X —y —3=0B ・ 2x+ y — 3 = 0C ・ x+ y — 1 =0D. 2%—y —5=0(1)若点M6.9)在圆上，求。

的值；(2)已知点A3,3)和点0(5.3),线段図(不含端点)与圆再有且只有一个公共点，求臼的取值范围.B级素养提升一、选择题1. (2016〜2017-宁波高一检测)点与圆√+∕=j的位置关系是Λ.在圆上 B.在圆内 C.在圆外 D.不能确定2.若点(2o, a-l)在圆√÷(y+l)2=5的内部，则&的取值范围是( )Λ. (一8, 1] B. (一1・1) C. (2.5) D・(1, +∞)3.若点P(l, 1)为圆α-3)2+72=9的弦的中点，则弦聽V所在直线方程为( )Λ. 2x+y—3=0 B・X—2y+l=0 C. x+2y—3=0 D・(IX—y—1=04.点"在圆(Λ--5)2+(7-3)2=9上，则点J/到直线3x+4y-2=0的最短距离为( )Λ. 9B・8 C・5 D・2二、填空题5.已知圆C经过力(5∙1). 0(1∙3)两点，圆心在才轴上，则C的方程为6.以玄线2x+y-4 = 0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程为C级能力拔高1・如图，矩形力仇0的两条对角线相交于点M2,0), /矽边所在直线的方程为χ-3y-6=0, 边所在的直线上•求力〃边所在直线的方程・2.求圆心在直线4x+y=0上，且与直线才+y—l =0切于点Λ3, 一2)的圆的方程，并找出圆的圆心及半径.一、选择题1・圆z÷√-4x+6y= O的圆心坐标是( )Λ. (2.3) B. (-2,3) C. (一2, -3) D. (2, -3)2・(2016〜2017 •曲靖高一检测)方程√+∕÷2^r-Λy÷c= 0表示圆心为67(2,2),半径为2的圆，则血b、C 的值依次为( )Λ. —2,4.4 B. —2, —4,4 C. 2, —4,4 D. 2, —4, —43.(2016〜2017 •长沙高一检测)已知圆C过点J∕(l,l), A r(5,1),且圆心在直线y=x~2上，则圆C的方程为 ( )A・ X ÷y-6A r-2y÷6 = 0 B. x ÷y÷6%-2y÷6=0[C・ x'÷y ÷6x÷2y÷6=0 D・ A r÷y —2χ-6y÷6=04.设圆的方程是Y÷y2+2ax÷2y+(a-l)2=0,若O<X1,则原点与圆的位置关系是( )Λ.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.不确定5・若圆√+∕-2χ-4y= 0的圆心到直线AT-y÷5= 0的距离为专，则日的值为( )1 3A. —2 或2B. §或O C・ 2 或0 D. —2 或06.圆Z÷∕-2y-l =O关于直线y=x对称的圆的方程是( )Λ. (X—1)^+y =2 B. (x+l)'+y i=2C. (A-I)2+y =4D. (^+l)2+y=4二、填空题7.圆心是(-3,4),经过点.f∕(5,l)的圆的一般方程为______________________ .8.设圆√+y-4,r+2y-ll= 0的圆心为儿点P在圆上，则刊的中点〃的轨迹方程是一三、解答题9.判断方程X + y -4^+ 2my+ 20/»-20=0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径.10.求过点J(-l,0). g(3∙0)和C(0.1)的圆的方程.B级素养提升一、选择题1.若圆x2+y2-2ax÷36y= 0的圆心位于第三象限，那么直线x+ay+b =0—定不经过( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2•在圆√+y2-2-γ-6y =0内，过点F(OJ)的最长弦和最短弦分别为和加,则四边形/处9的面只为( )Λ. 5√2 B. 10√5 C. 15√2D・20√23.若点(2o, a— 1)在圆x2÷y2—(Iy-5a'=0的内部，则日的取值范围是( )4 4 4 Q QΛ. ( — 8, -] B. (―-, ξ) C. (―[, +∞) D. (丁，+∞)4.若直线7：乩γ+by+l=O始终平分圆J/： z+y+4x÷2y÷l=0的周长，则(a-2)2+(Z,-2)2的最小值为)二、填空题5.已知圆C: √+∕+2,γ+ay-3 = 0U为实数)上任意一点关于直线/：χ-y+2=0的对称点都在圆C上，则。

圆的方程练习

例:在圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中,试按下列要求分别写出a、b、r应满足的条件:
(1)圆过原点； (2)圆心在x轴上; (3)圆心在y轴上; (4)圆与x轴相切; (5)圆与y轴相切; (1)a2+b2=r2
(2) b=0
(3) a=0
(4)r=|b|
(5)r=|a|
(6)圆与两坐标轴相切. (6)r=|a|=|b|
,
圆心(-1,-2),半径︱m︱
(4) (2x-1)2+(2y)2=a2 (a≠0)，圆心坐标为
,半径
为
.
圆心(1/2, 0),半径︱a/2︱
例1、当a取不同的非零实数时，由方程
x y 2ax 2 3ay 3a 0
2 2 2
可以得到不同的圆：（1）这些圆的圆心是否都在某一条直线上？（2）这些圆是否有公切线？（留后）
知识回顾：
(1) 圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2 特征：直接看出圆心与半径
指出下面圆的圆心和半径：
(x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0)
把方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 D 2 E 2 D 2 E 2 4F 配方可得： ( x ) ( y ) 2 2 4
例2：已知一曲线是与两个定点O(0，0)，
1 A(3，0)距离的比为的点的轨迹， 2
求此曲线的方程，并画出曲线。
y
直译法
M(x,y)
.
（-1，0） O
.
.
A(3,0)
x
x y 2x 3 0
2 2
例. 已知一曲线是与定点O(0,0)，A(3,0)距离的比是

圆的方程知识点+例题+练习

教学过程1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式，定参数”是求圆的方程的基本方法，即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数，同时注意利用几何法求圆的方程时，要充分利用圆的性质．2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．3．求圆的方程时，一般考虑待定系数法，但如果能借助圆的一些几何性质进行解题，不仅能使解题思路简化，而且还能减少计算量．如弦长问题，可借助垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理解题．课堂巩固一、填空题1．(2014·南京模拟)已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是________．2．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过第________象限．3．(2014·银川模拟)圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是________．4．两条直线y＝x＋2a，y＝2x＋a的交点P在圆(x－1)2＋(y－1)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________．5．(2014·东营模拟)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________．6．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．7．(2014·南京调研)已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上各点到l的距离的最小值为______．8．若圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点(x，y)都使不等式x＋y＋m≥0恒成立，则实数m的取值范围是________．教学效果分析。

4.1.1 圆的标准方程(练习)(解析版)

4.1.1圆的标准方程（练习）(建议用时：40分钟)一、选择题1．方程|x|－1＝1－(y－1)2所表示的曲线是()A．一个圆B．两个圆C．半个圆D．两个半圆【答案】D[由题意，x|－1)2＋(y－1)2＝1，|－1≥0，－1)2＋(y－1)2＝1，≥1＋1)2＋(y－1)2＝1，≤－1，故原方程表示两个半圆．]2．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是()A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9【答案】D[由圆的标准方程得(x－1)2＋(y＋2)2＝9.选D.]3．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的标准方程为()A．(x－2)2＋y2＝5B．x2＋(y－2)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5D．x2＋(y＋2)2＝5【答案】A[圆(x＋2)2＋y2＝5的圆心为(－2,0)，则圆心关于原点(0,0)对称的点为(2,0)，则所求圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝5.]4．若点A(a＋1,3)在圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝m外，则实数m的取值范围是()A．(0，＋∞)B．(－∞，5)C．(0,5)D．[0,5]【答案】C[由题意，得(a＋1－a)2＋(3－1)2＞m，即m＜5，又易知m＞0，∴0＜m＜5，故选C.]5．若实数x ，y 满足(x ＋5)2＋(y －12)2＝142，则x 2＋y 2的最小值为()A ．2B ．1C ．3D ．2【答案】B[x 2＋y 2表示圆上的点(x ，y )与(0,0)间距离的平方，由几何意义可知最小值为14－52＋122＝1.]二、填空题6．若点P (－1，3)在圆x 2＋y 2＝m 2上，则实数m ＝________.【答案】±2[∵P 点在圆x 2＋y 2＝m 2上，∴(－1)2＋(3)2＝4＝m 2，∴m ＝±2.]7．圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是________．【答案】1＋2[圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(1,1)，圆心到直线x －y ＝2的距离为|1－1－2|1＋1＝2，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为1＋ 2.]8．已知实数x ，y 满足y ＝9－x 2，则t ＝y ＋3x ＋1的取值范围是________.∞，－32∪34，＋[y ＝9－x 2表示上半圆，t 可以看作动点(x ，y )与定点(－1，－3)连线的斜率．如图：A (－1，－3)，B (3,0)，C (－3,0)，则k AB ＝34，k AC ＝－32，∴t ≤－32或t ≥34.]三、解答题9．求圆心在x 轴上，且过A (1,4)，B (2，－3)两点的圆的方程．【答案】设圆心为(a,0)，则(a －1)2＋16＝(a －2)2＋9，所以a ＝－2.半径r ＝(a －1)2＋16＝5，故所求圆的方程为(x ＋2)2＋y 2＝25.10．△ABC 的三个顶点为A (－1,2)，B (2,1)，C (3,4)．(1)求△ABC 外接圆的标准方程；(2)求BC 边中线所在直线截其外接圆的弦长．【答案】(1)设其外接圆方程为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，因为顶点在圆上，则：1－a )2＋(2－b )2＝r 2，－a )2＋(1－b )2＝r 2，－a )2＋(4－b )2＝r 2⇒a ＝1，b ＝3，r ＝5，所以△ABC 外接圆的标准方程为：(x －1)2＋(y －3)2＝5.(2)BC 的中点k AD ＝17，所以直线AD 为：x －7y ＋15＝0，圆心(1,3)到直线AD 的距离d ＝22，又因为半径为5，所以半弦长为＝322，所以弦长为3 2.提升篇1．点P x 2＋y 2＝1的位置关系是()A ．点在圆内B ．点在圆外C ．点在圆上D ．与t 有关【答案】C [把点P ＝1＋2t 2＋t 4(1＋t 2)2＝1.所以点P 在圆上．选C.]2．若直线y ＝ax ＋b 经过第一、二、四象限，则圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D [由题意，知(－a ，－b )为圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心．由直线y ＝ax ＋b 经过第一、二、四象限，得a ＜0，b ＞0，即－a ＞0，－b ＜0，故圆心位于第四象限．]3．已知圆O 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25，则点M (2,3)到圆上的点的距离的最大值为________．【答案】5＋2[由题意，知点M 在圆O 内，MO 的延长线与圆O 的交点到点M (2,3)的距离最大，最大距离为(2－3)2＋(3－4)2＋5＝5＋ 2.]4．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是________．【答案】(x －2)2＋(y －1)2＝1[依题意设圆心坐标为(a,1)，则1＝|4a －3|5，又a ＞0，∴a ＝2.所以该圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.]5．已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4，直线l ：14x ＋8y －31＝0，求圆C 1关于直线l 对称的圆C 2的方程.【答案】设圆C 2的圆心坐标为(m ，n )．因为直线l 的斜率k ＝－74，圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4的圆心坐标为(－3,1)，半径r ＝2，8×1＋n 2－31＝0，＝4，＝5.所以圆C 2的方程为(x －4)2＋(y －5)2＝4.。

圆的标准方程(经典练习及答案详解)

2.4 圆的方程 2.4.1 圆的标准方程1.已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P (3,2)( )A.是圆心B.在圆上C.在圆内D.在圆外(3-2)2+(2-3)2=2<4,∴点P 在圆内.2.已知点A (-4,-5),B (6,-1),则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A.(x+1)2+(y-3)2=29 B.(x+1)2+(y-3)2=116 C.(x-1)2+(y+3)2=29D.(x-1)2+(y+3)2=116A (-4,-5),B (6,-1),所以线段AB 的中点为C (1,-3),所求圆的半径r=12|AB|=12√102+42=√29,所以以线段AB 为直径的圆的方程是(x-1)2+(y+3)2=29,故选C .3.方程x=√1-y 2表示的图形是( ) A.两个半圆 B.两个圆 C.圆D.半圆x ≥0,方程两边同时平方并整理得x 2+y 2=1,由此确定图形为半圆,故选D .4.一个动点在圆x 2+y 2=1上移动时,它与定点A (3,0)的连线中点的轨迹方程是( ) A.(x+3)2+y 2=4 B.(x-3)2+y 2=1 C.(2x-3)2+4y 2=1D.x+322+y 2=12M (x 0,y 0)为圆上的动点,则有x 02+y 02=1,设线段MA 的中点为P (x ,y ),则x=x 0+32,y=y 0+02,则x 0=2x-3,y 0=2y ,代入x 02+y 02=1,得(2x-3)2+(2y )2=1,即(2x-3)2+4y 2=1.5.圆(x-2)2+(y+3)2=2的圆心是 ,半径是 .-3) √26.圆(x+1)2+y 2=5关于直线y=x 对称的圆的标准方程为 .(x+1)2+y 2=5的圆心坐标为(-1,0),它关于直线y=x 的对称点坐标为(0,-1),即所求圆的圆心坐标为(0,-1),所以所求圆的标准方程为x 2+(y+1)2=5.2+(y+1)2=57.若直线3x-4y+12=0与两坐标轴交点为A ,B ,则以线段AB 为直径的圆的方程是 .解析由题意得A (0,3),B (-4,0),AB 的中点-2,32为圆的圆心,直径AB=5,以线段AB 为直径的圆的标准方程为(x+2)2+y-322=254. 答案(x+2)2+y-322=2548.已知圆M 过A (1,-1),B (-1,1)两点,且圆心M 在直线x+y-2=0上. (1)求圆M 的方程;(2)若圆M 上存在点P ,使|OP|=m (m>0),其中O 为坐标原点,求实数m 的取值范围.设圆M 的方程为(x-a )2+(y-b )2=r 2(r>0),根据题意得{a +b -2=0,(1-a )2+(-1-b )2=r 2,(-1-a )2+(1-b )2=r 2,解得{a =1,b =1,r =2,所以圆M 的方程为(x-1)2+(y-1)2=4. (2)如图,m=|OP|∈[2-√2,2+√2].关键能力提升练9.若直线y=kx 与圆(x-2)2+y 2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则k ,b 的值分别为( ) A.12,-4B.-12,4C.12,4D.-12,-4y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,直线2x+y+b=0的斜率为-2,所以k=12,并且直线2x+y+b=0经过已知圆的圆心,所以圆心(2,0)在直线2x+y+b=0上,所以4+0+b=0,所以b=-4.故选A.10.已知圆O:x2+y2=1,点A(-2,0)及点B(2,a),从A点观察B点,要使视线不被圆O挡住,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-1)∪(-1,+∞)B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.-∞,-4√33∪4√33,+∞D.(-∞,-4)∪(4,+∞)方法1)(直接法)写出直线方程,将直线与圆相切转化为点到直线的距离来解决.过A,B两点的直线方程为y=a4x+a2,即ax-4y+2a=0,令d=√a2+16=1,化简后,得3a2=16,解得a=±4√33.再进一步判断便可得到正确答案为C.(方法2)(数形结合法)如图,设直线AB切圆O于点C在Rt△AOC中,由|OC|=1,|AO|=2,可求出∠CAO=30°.在Rt△BAD中,由|AD|=4,∠BAD=30°,可求得BD=4√33,再由图直观判断,故选C.11.(2020四川成都石室中学高二上期中)已知实数x,y满足x2+y2=1,则√3x+y的取值范围是()A.(-2,2)B.(-∞,2]C.[-2,2]D.(-2,+∞)解析因为x2+y2=1,所以设x=sin α,y=cos α,则√3x+y=√3sin α+cos α=2sinα+π6,所以√3x+y的取值范围是[-2,2].故选C.12.(多选题)若经过点P(5m+1,12m)可以作出圆(x-1)2+y2=1的两条切线,则实数m的取值可能是()A.110B.113C.-113D.-12P 可作圆的两条切线,说明点P 在圆的外部,所以(5m+1-1)2+(12m )2>1,解得m>113或m<-113,对照选项知AD 可能.13.(多选题)设有一组圆C k :(x-k )2+(y-k )2=4(k ∈R ),下列命题正确的是( ) A.不论k 如何变化,圆心C 始终在一条直线上 B.所有圆C k 均不经过点(3,0) C.经过点(2,2)的圆C k 有且只有一个 D.所有圆的面积均为4π(k ,k ),在直线y=x 上,故A 正确;令(3-k )2+(0-k )2=4,化简得2k 2-6k+5=0,∵Δ=36-40=-4<0,∴2k 2-6k+5=0无实数根,故B 正确;由(2-k )2+(2-k )2=4,化简得k 2-4k+2=0,∵Δ=16-8=8>0,有两个不等实根,∴经过点(2,2)的圆C k 有两个,故C 错误;由圆的半径为2,得圆的面积为4π,故D 正确.故选ABD .14.已知点A (8,-6)与圆C :x 2+y 2=25,P 是圆C 上任意一点,则|AP|的最小值是 .82+(-6)2=100>25,故点A 在圆外,从而|AP|的最小值为√82+(-6)2-5=10-5=5.15.已知圆C 的半径为2,圆心在x 轴的正半轴上,且圆心到直线3x+4y+4=0的距离等于半径长,则圆C 的标准方程为 .(a ,0),且a>0,则点(a ,0)到直线3x+4y+4=0的距离为2,即√32+42=2,所以3a+4=±10,解得a=2或a=-143(舍去),则圆C 的标准方程为(x-2)2+y 2=4.x-2)2+y 2=416.矩形ABCD 的两条对角线相交于点M (2,1),AB 边所在直线的方程为x-2y-4=0,点T (-1,0)在AD 边所在直线上. (1)求AD 边所在直线的方程; (2)求矩形ABCD 外接圆的方程.因为AB 边所在直线的方程为x-2y-4=0,且AD 与AB 垂直,所以直线AD 的斜率为-2.又因为点T (-1,0)在直线AD 上,所以AD 边所在直线的方程为y-0=-2(x+1),即2x+y+2=0.(2)由{x -2y -4=0,2x +y +2=0,解得{x =0,y =-2,所以点A 的坐标为(0,-2),因为矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,1),所以M 为矩形外接圆的圆心.又|AM|=√(2-0)2+(1+2)2=√13,从而矩形ABCD 外接圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=13.学科素养创新练17.设A(x A,y A),B(x B,y B)为平面直角坐标系内的两点,其中x A,y A,x B,y B∈Z.令Δx=x B-x A,Δy=y B-y A,若|Δx|+|Δy|=3,且|Δx|·|Δy|≠0,则称点B为点A的“相关点”,记作B=τ(A).(1)求点(0,0)的“相关点”的个数.(2)点(0,0)的所有“相关点”是否在同一个圆上?若在,写出圆的方程;若不在,请说明理由.因为|Δx|+|Δy|=3(Δx,Δy为非零整数),所以|Δx|=1,|Δy|=2或|Δx|=2,|Δy|=1,所以点(0,0)的“相关点”有8个.(2)是.设点(0,0)的“相关点”的坐标为(x,y).由(1)知|Δx|2+|Δy|2=5,即(x-0)2+(y-0)2=5,所以所有“相关点”都在以(0,0)为圆心,√5为半径的圆上,所求圆的方程为x2+y2=5.。

【优质文档】人教A版必修2圆的标准方程精选课时练习(含答案)2

（ 1）当 AB 的倾斜角为 45o 时，求以 AB 为直径的圆的标准方程；
（ 2）问是否存在常数，使得 | AB | |CD | | AB | | CD |恒成立？若存在，求的
值；若不存在，请说明理由 .
37．已知圆 x2 y2 8 x 6 y 0 ；
（ 1）求出圆心坐标以及半径；
（ 2）过点 1,1 作直线 l 被圆截得的弦长为 8，求出直线 l 的方程．
准方程为 ( )
2
A． x 3
y2
25
2
2
B． x ( y 3) 25
C． ( x 3)2 y 2 5
D． ( x 3)2 y2 25
16 ．一束光线从点
1,1 出发，经 x 轴反射到圆 C :
x
2
2
2
y 3 4 上的最短路
径长度是（
）
A ．4
B．5
C． 3
D．2
2
17．已知圆 x
2
y
2x
my 4
0 上两点 M ， N 关于直线 2 x
）
A ．3
B．2
C． 9
D．6
11．直线 y kx 2k 1 恒过定点 C ，则以 C 为圆心， 5 为半径的圆的方程为（
）
A ． (x 2) 2 ( y 1)2 5
B． ( x 2)2 ( y 1)2 25
C． ( x 2) 2 ( y 1)2 25
D． ( x 2)2 ( y 1)2 5
12．与直线 x
点 B 在 x 轴上 . (1) 求直线 AB 的方程 ; (2) 求△ OAB 的外接圆的方程 .
试卷第 6 页，总 7 页
46．已知圆心在 x 轴上的圆 C 与 x 轴交于两点 A(1,0) ，B(5,0) ， (1) 求此圆的标准方程； (2) 设 P(x， y)为圆 C 上任意一点，求 P(x， y)到直线 x－y＋ 1＝ 0 的距离的最大值和最小值．

高中数学必修二同步练习题库：圆的方程(简答题：一般)

圆的方程（简答题：一般）1、求圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为的圆的方程。

2、（1）求过点且在两个坐标轴上截距相等的直线方程。

（2）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，求圆心为的圆的标准方程．3、（1）已知圆的圆心是与轴的交点，且与直线相切，求圆的标准方程. （2）若点在圆上，求的最大值.4、已知为圆上的动点,，为定点.（1）求线段中点M的轨迹方程；（2）若，求线段中点N的轨迹方程.5、求圆心在直线上，且过两圆，交点的圆的方程．6、已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.(1)求的轨迹方程；(2)当时，求的方程及的面积7、已知圆过，，且圆心在直线上．（Ⅰ）求此圆的方程．（Ⅱ）求与直线垂直且与圆相切的直线方程．（Ⅲ）若点为圆上任意点，求的面积的最大值．8、已知直线与相较于点，直线.（1）若点在直线上，求的值；（2）若直线交直线分别为点和点，且点的坐标为，求的外接圆的标准方程。

9、已知圆的圆心在直线上，且圆在轴、轴上截得的弦长和分别为和.（1）求圆的方程；（2）若圆心位于第四象限，点是圆内一动点，且，满足，求的范围.10、已知圆经过，两点，且圆心在直线上.（1）求圆的方程；（2）动直线：过定点，斜率为的直线过点，直线和圆相交于，两点，求的长度.11、已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点，（1）求圆方程；（2）是否存在过点的直线与圆交于两点，且的面积是（为坐标原点），若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.12、(1)求与圆心在直线上，且过点A(2，-3),B(-2，-5)的圆C的方程.(2)设是圆C上的点，求的最大值和最小值.13、已知方程表示一个圆.（1）求实数的取值范围；（2）求该圆半径的取值范围；（3）求该圆心的纵坐标的最小值.14、如图，经过点作两条互相垂直的直线和，直线交轴正半轴于点，直线交轴正半轴于点．（1）如果，求点的坐标．（2）试问是否总存在经过，，，四点的圆？如果存在，求出半径最小的圆的方程；如果不存在，请说明理由．15、已知为圆上任一点，且点．（1）若在圆上，求线段的长及直线的斜率．（2）求的最大值和最小值．（3）若，求的最大值和最小值．16、求圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程．17、若直线与两坐标轴的交点分别为，，求以为直径的圆的方程．18、已知圆过点，圆心在直线上且圆心在第一象限，圆被轴截得的弦长为．（I）求圆的方程．（II）过点作圆的切线，求切线的方程．19、在平面直角系中，已知两点，，直线关于直线对称．（）求直线的方程．（）圆的圆心在直线上，且与轴相切于点，求圆的方程．20、已知圆的半径为，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切．（Ⅰ）求圆的方程．（Ⅱ）过的直线与圆相交所得的弦长为，求直线的方程．21、求半径为2，圆心在直线上，且被直线：所截弦的长为的圆的方程.22、如图，l1，l2是通过某城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道，连结M、N两地之间的铁路线是圆心在l2上的一段圆弧．若点M在点O正北方向，且|MO|＝3 km，点N到l1，l2的距离分别为4 km和5 km.(1)建立适当的坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；(2)若该城市的某中学拟在点O正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O的距离大于4 km，并且铁路线上任意一点到校址的距离不能少于km，求该校址距点O的最近距离．(注：校址视为一个点)23、如图，已知矩形四点坐标为A（0，-2），C（4，2），B（4，-2），D（0，2）．（1）求对角线所在直线的方程；（2）求矩形外接圆的方程；（3）若动点为外接圆上一点，点为定点，问线段PN中点的轨迹是什么，并求出该轨迹方程。

2.2圆的一般方程同步练习北师大版选择性必修第一册第一章

2.2圆的一般方程同步练习北师大版选择性必修第一册第一章2.2 圆的一般方程1.若方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圆,则实数a的取值范围是()A.RB.(-∞,0)∪(0,+∞)C.(0,+∞)D.(1,+∞)2.已知圆的圆心为(-2,1),其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上,则这个圆的方程是()A.x2+y2+4x-2y-5=0B.x2+y2-4x+2y-5=0C.x2+y2+4x-2y=0D.x2+y2-4x+2y=03.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为()A.2B.22C.1D.24.已知圆C的圆心坐标为(2,-3),且点(-1,-1)在圆上,则圆C的方程为()A.x2+y2-4x+6y+8=0B.x2+y2-4x+6y-8=0C.x2+y2-4x-6y=0D.x2+y2-4x+6y=05.圆C:x2+y2+4x-2y+3=0的圆心是.半径是.6.点P(x0,y0)是圆x2+y2=16上的动点,点M是OP(O为原点)的中点,则动点M的轨迹方程为.7.当方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆的面积取最大值时,直线y=(k-1)x+2的倾斜角α=.8.已知三角形的三个顶点的坐标分别为A(4,1),B(-6,3),C(3,0),求这个三角形外接圆的一般方程.能力达标9.若a∈-2,0,1,23,则方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圆的个数为()A.0B.1C.2D.310.已知圆C与圆x2+y2-2y=0关于直线x-y-2=0对称,则圆C的方程是()A.(x+1)2+y2=1B.(x-3)2+(y+2)2=1C.(x+3)2+(y-2)2=1D.(x+2)2+(y-3)2=111.(多选题)圆x2+y2-4x-1=0()A.关于点(2,0)对称B.关于直线y=0对称C.关于直线x+3y-2=0对称D.关于直线x-y+2=0对称12.若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为22,则实数a的值为()A.0或2B.0或-2C.0或12D.-2或213.若直线l:ax+by+1=0始终平分圆M:x2+y2+4x+2y+1=0的周长,则(a-2)2+(b-2)2的最小值为()A.5B.5C.25D.1014.已知A(-2,0),B(2,0),动点M满足|MA|=2|MB|,则点M的轨迹方程是.15.已知圆x2+y2+4x-6y+a=0关于直线y=x+b成轴对称图形,则a-b的取值范围是.16.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径长为2,求圆的一般方程.17.设△ABC的顶点坐标A(0,a),B(-3a,0),C(3a,0),其中a>0,圆M为△ABC的外接圆.(1)求圆M的方程.(2)当a变化时,圆M是否过某一定点?请说明理由.1.若方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圆,则实数a的取值范围是()A.RB.(-∞,0)∪(0,+∞)C.(0,+∞)D.(1,+∞)答案B解析当a≠0时,方程为x-2a-2a2+y+2a2=4(a2-2a+2)a2,由于a2-2a+2=(a-1)2+1>0恒成立,∴当a≠0时,方程表示圆.当a=0时,易知方程为x+y=0,表示直线.综上可知,实数a的取值范围是(-∞,0)∪(0,+∞).2.已知圆的圆心为(-2,1),其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上,则这个圆的方程是()A.x2+y2+4x-2y-5=0B.x2+y2-4x+2y-5=0C.x2+y2+4x-2y=0D.x2+y2-4x+2y=0答案C解析设直径的两个端点分别为A(a,0),B(0,b),圆心为点(-2,1),由线段中点坐标公式得a+02=-2,0+b2=1,解得a=-4,b=2.∴半径r=(-2+4)2+(1-0)2=5,∴圆的方程是(x+2)2+(y-1)2=5,即x2+y2+4x-2y=0.3.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为()A.2B.22C.1D.2答案D解析因为圆心坐标为(1,-2),所以圆心到直线x-y=1的距离为d=|1+2-1|2=2.4.已知圆C的圆心坐标为(2,-3),且点(-1,-1)在圆上,则圆C的方程为()A.x2+y2-4x+6y+8=0B.x2+y2-4x+6y-8=0C.x2+y2-4x-6y=0D.x2+y2-4x+6y=0答案D解析易知圆C的半径为13,所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13,展开得一般方程为x2+y2-4x+6y=0.5.圆C:x2+y2+4x-2y+3=0的圆心是.半径是.答案(-2,1)2解析由圆C:x2+y2+4x-2y+3=0,得(x+2)2+(y-1)2=2,∴圆C的圆心坐标为(-2,1),半径为2.6.点P(x0,y0)是圆x2+y2=16上的动点,点M 是OP(O为原点)的中点,则动点M的轨迹方程为.答案x2+y2=4 解析设M(x,y),则x=x02,y=y02,即x0=2x,y0=2y.又点(x0,y0)在圆上,∴4x2+4y2=16,即x2+y2=4.7.当方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆的面积取最大值时,直线y=(k-1)x+2的倾斜角α=.答案3π4解析圆的半径r=12k2+4-4k2=124-3k2,当k=0时,rmax=1,直线y=(k-1)x+2的斜率为-1,倾斜角为3π4.8.已知三角形的三个顶点的坐标分别为A(4,1),B(-6,3),C(3,0),求这个三角形外接圆的一般方程.解设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,∵A,B,C三点都在圆上,∴A,B,C三点的坐标都满足所设方程,把A(4,1),B(-6,3),C(3,0)的坐标依次代入所设方程,得4D+E+F+17=0,-6D+3E+F+45=0,3D+F+9=0,解得D=1,E=-9,F=-12,所以所求圆的方程为x2+y2+x-9y-12=0.能力达标9.若a∈-2,0,1,23,则方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圆的个数为()A.0B.1C.2D.3答案B解析根据题意,若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则有a2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0,解得-2A.(x+1)2+y2=1B.(x-3)2+(y+2)2=1C.(x+3)2+(y-2)2=1D.(x+2)2+(y-3)2=1答案B解析将圆x2+y2-2y=0化成标准形式,得x2+(y-1)2=1,∴已知圆的圆心为(0,1),半径r=1.∵圆C与圆x2+y2-2y=0关于直线x-y-2=0对称,∴圆C的圆心C与点(0,1)关于直线x-y-2=0对称,半径也为1.设C(m,n),可得1-n-m=-1,12m-1+n2-2=0,解得m=3,n=-2,∴C(3,-2),可得圆C的方程是(x-3)2+(y+2)2=1.11.(多选题)圆x2+y2-4x-1=0()A.关于点(2,0)对称B.关于直线y=0对称C.关于直线x+3y-2=0对称D.关于直线x-y+2=0对称答案ABC解析圆x2+y2-4x-1=0,即圆(x-2)2+y2=5,它的圆心为(2,0),半径等于5,故圆关于点(2,0)对称,且关于经过(2,0)的直线对称,故选ABC.12.若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为22,则实数a的值为()A.0或2B.0或-2C.0或12D.-2或2答案A解析圆x2+y2-2x-4y=0,即(x-1)2+(y-2)2=5,它的圆心(1,2)到直线x-y+a=0的距离为|1-2+a|2=22,则实数a=0或a=2,故选A.13.若直线l:ax+by+1=0始终平分圆M:x2+y2+4x+2y+1=0的周长,则(a-2)2+(b-2)2的最小值为()A.5B.5C.25D.10答案B解析由题意得直线l过圆心M(-2,-1),则-2a-b+1=0,即b=-2a+1.所以(a-2)2+(b-2)2=(a-2)2+(-2a+1-2)2=5a2+5≥5,所以(a-2)2+(b-2)2的最小值为5.14.已知A(-2,0),B(2,0),动点M满足|MA|=2|MB|,则点M的轨迹方程是.答案x2+y2-203x+4=0解析设M(x,y),由|MA|=2|MB|,A(-2,0),B(2,0),得(x+2)2+y2=2(x-2)2+y2,整理,得3x2+3y2-20x+12=0,即x2+y2-203x+4=0.15.已知圆x2+y2+4x-6y+a=0关于直线y=x+b成轴对称图形,则a-b的取值范围是.答案(-∞,8)解析由题意知,直线y=x+b过圆心,而圆心坐标为(-2,3),代入直线方程,得b=5,所以圆的方程化为标准方程为(x+2)2+(y-3)2=13-a,所以a<13,由此得a-b<8.16.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径长为2,求圆的一般方程.解圆心C 的坐标为-D2,-E2,因为圆心在直线x+y-1=0上,所以-D2-E2-1=0,即D+E=-2.①又r=D2+E2-122=2,所以D2+E2=20.②由①②可得D=2,E=-4或D=-4,E=2.又圆心在第二象限,所以-D2<0,-E2>0,即D>0,E<0,所以D=2,E=-4,所以圆的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0.17.设△ABC的顶点坐标A(0,a),B(-3a,0),C(3a,0),其中a>0,圆M为△ABC的外接圆.(1)求圆M的方程.(2)当a变化时,圆M是否过某一定点?请说明理由.解(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.∵圆M过点A(0,a),B(-3a,0),C(3a,0),∴a2+aE+F=0,3a-3aD+F=0,3a+3aD+F=0,解得D=0,E=3-a,F=-3a.∴圆M的方程为x2+y2+(3-a)y-3a=0.(2)圆M的方程可化为(3+y)a-(x2+y2+3y)=0.由3+y=0,x2+y2+3y=0,解得x=0,y=-3.∴圆M过定点(0,-3).。

高考数学圆的方程专题练习(含答案)

2019-2019 年高考数学圆的方程专题练习（含答案）圆的标准方程 (x-a)+(y-b)=r 中，有三个参数a、b、r，下边是查词典数学网整理的2019-2019 年高考数学圆的方程专题练习，希望岁考生复习有帮助。

一、填空题1.若圆 C 的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线 4x-3y=0 和 x 轴都相切，则该圆的标准方程是________.[ 分析 ] 设圆心 C(a，b)(a0，b0)，由题意得 b=1.又圆心 C 到直线 4x-3y=0 的距离 d==1，解得 a=2 或 a=-(舍).所以该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.[ 答案 ] (x-2)2+(y-1)2=12.(2019 南京质检 )已知点 P(2,1)在圆 C：x2+y2+ax-2y+b=0 上，点 P对于直线 x+y-1=0 的对称点也在圆 C 上，则圆 C 的圆心坐标为________.[ 分析 ] 由于点 P 对于直线 x+y-1=0 的对称点也在圆上，该直线过圆心，即圆心知足方程x+y-1=0 ，所以 -+1-1=0，解得 a=0，所以圆心坐标为 (0,1).[ 答案 ] (0,1)3.已知圆心在直线 y=-4x 上，且圆与直线 l：x+y-1=0 相切于点 P(3，-2)，则该圆的方程是 ________.[ 分析 ] 过切点且与 x+y-1=0 垂直的直线为 y+2=x-3 ，与 y=-4x 联立可求得圆心为 (1，-4).半径 r=2，所求圆的方程为 (x-1)2+(y+4)2=8.[ 答案 ] (x-1)2+(y+4)2=84.(2019 江苏常州模拟 )已知实数 x，y 知足 x2+y2-4x+6y+12=0 ，则|2x-y|的最小值为 ________.[ 分析 ] x2+y2-4x+6y+12=0 配方得 (x-2)2+(y+3)2=1 ，令 x=2+cos ，y=-3+sin ，则 |2x-y|=|4+2cos +3-sin |=|7-sin (-7-(tan =2).[答案] 7-5.已知圆 x2+y2+4x-8y+1=0 对于直线 2ax-by+8=0(a0，b0)对称，则 + 的最小值是 ________.[ 分析 ] 由圆的对称性可得，直线2ax-by+8=0 必过圆心 (-2,4)，所以a+b=2.所以 +=+=++52+5=9 ，由=，则 a2=4b2，又由 a+b=2，故当且仅当 a=，b=时取等号 .[答案] 96.(2019 南京市、盐城市高三模拟 )在平面直角坐标系 xOy 中，若圆x2+(y-1)2=4 上存在 A，B 两点对于点 P(1，2)成中心对称，则直线AB 的方程为 ________.[ 分析 ] 由题意得圆心与 P 点连线垂直于 AB ，所以 kOP==1，kAB=-1 ，而直线 AB 过 P 点，所以直线 AB 的方程为 y-2=-(x-1) ，即 x+y-3=0. [ 答案 ] x+y-3=07.(2019 泰州质检 )若 a，且方程 x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0 表示圆，则a=________.[ 分析 ] 要使方程 x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a2+(2a)2-4(2a2+a-1)0，解得 -20)对于直线 x+y+2=0 对称 .(1)求圆 C 的方程 ;(2)设 Q 为圆 C 上的一个动点，求的最小值.[ 解] (1)设圆心 C(a，b)，由题意得解得则圆 C 的方程为 x2+y2=r2 ，将点 P 的坐标代入得 r2=2，故圆 C 的方程为 x2+y2=2.(2)设 Q(x，y)，则 x2+y2=2，=(x-1 ，y-1)(x+2 ，y+2)=x2+y2+x+y-4=x+y-2.令 x=cos ，y=sin ，=x+y-2=(sin +cos )-2=2sin-2，所以的最小值为 -4.10.已知圆的圆心为坐标原点，且经过点(-1，).(1)求圆的方程 ;(2)若直线 l1：x-y+b=0 与此圆有且只有一个公共点，求 b 的值 ;(3)求直线 l2：x-y+2=0 被此圆截得的弦长 .[ 解] (1)已知心 (0,0)，半径 r==2，所以的方程x2+y2=4.(2)由已知得 l1 与相切，心 (0,0)到 l1 的距离等于半径2，即=2，解得 b=4.(3)l2 与 x2+y2=4 订交，心 (0,0)到 l2 的距离 d==，所截弦 l=2=2=2. 一般来，“教”观点之形成了十分漫的史。

高中数学必修二同步练习题库：圆的方程(选择题：较易)

圆的方程（选择题：较易）1、若圆与轴相切于点，与轴的正半轴交于两点，且，则圆的标准方程是（）A． B．C． D．2、方程表示一个圆，则的范围是（）A． B．C． D．3、与圆同圆心，且过的圆的方程是（）A． B．C． D．4、已知圆的圆心与点关于直线对称．直线与圆相交于两点，且，则圆的方程为A． B．C． D．5、在平面直角坐标系中，动点的坐标满足方程，则点的轨迹经过（）A．第一、二象限 B．第二、三象限C．第三、四象限 D．第一、四象限6、圆的圆心坐标和半径分别为（）A．（0,2），2 B．（2,0），2 C．（-2,0），4 D．（2,0），47、以为圆心，且与两条直线与同时相切的圆的标准方程为（）A． B．C． D．8、圆心为且过点的圆的方程是（）A． B．C． D．9、点A（1,0）在圆上，则a的值为（）A．1 B．-2 C．1或-2 D．2或-210、方程表示的圆（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于直线对称D．关于直线对称11、已知点P（x，y）为圆C：x2+y2﹣6x+8=0上的一点，则x2+y2的最大值是（）A．2 B．4 C．9 D．1612、圆心在轴上，半径为1，且过点（1,2）的圆的方程是（）A． B．C． D．13、圆:与圆:的位置关系是( )A．相交 B．外切 C．内切 D．相离14、已知圆的圆心为（-2,1），其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（）A． B．C． D．15、圆的圆心坐标和半径分别是（）A． B． C． D．16、由曲线围成的图形的面积为（）A． B． C． D．17、点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A．(x-2)2+(y+1)2=1 B．(x-2)2+(y+1)2=4C．(x+4)2+(y-2)2=4 D．(x+2)2+(y-1)2=118、若直线过圆的圆心，则实数的值为（）A． B． C． D．19、圆，那么与圆有相同的圆心，且经过点的圆的方程是（）．A． B．C． D．20、圆的方程为，则其圆心坐标及半径分别为（）．A．， B．， C．， D．，21、若圆与圆关于原点对称，则圆的方程为（）．A． B．C． D．22、圆的圆心坐标与半径是（）A． B．C． D．23、已知A(－4，－5)、B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程( )A．(x＋1)2＋(y－3)2＝29 B．(x－1)2＋(y＋3)2＝29C．(x＋1)2＋(y－3)2＝116 D．(x－1)2＋(y＋3)2＝11624、若表示圆，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．25、对于，直线恒过定点，则以为圆心，2为半径的圆的方程是（）A． B．C． D．26、已知圆：，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（）A． B．C． D．27、已知圆的方程为，则圆的半径为（）A．3 B．9 C． D．28、已知圆心，一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（）A． B．C． D．29、圆的圆心坐标与半径是（）A． B．C． D．30、经过圆x2+y2+2y=0的圆心C，且与直线2x+3y-4=0平行的直线方程为（）A．2x+3y+3=0 B．2x+3y-3=0 C．2x+3y+2=0 D．3x-2y-2=031、以点A为圆心，且与轴相切的圆的方程为（）A． B．C． D．32、方程x2＋y2＋x＋y－m＝0表示一个圆，则m的取值范围是()．A．m>－ B．m<－ C．m≤－ D．m≥－33、在平面直角坐标系中,以点为圆心且与直线相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为（）A． B． C． D．34、圆的圆心坐标和半径分别为A．圆心 B．圆心C．圆心 D．圆心35、过点P(2 ，1)且被圆C：x 2＋y2– 2x＋4y =" 0" 截得弦长最长的直线l的方程是（）A．3x – y– 5 = 0 B．3x ＋y– 7 = 0C．x –3y＋5 = 0 D．x ＋3y– 5 = 036、过点、点且圆心在直线上的圆的方程是（）A．B．C．D．37、圆关于直线对称的圆的方程为()A． B．C． D．38、已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为（）A． B． C． D．39、若直线（，），经过圆的圆心，则的最小值是（）A． B． C． D．40、抛物线与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为（）A． B．C． D．41、圆与轴相切于，与轴正半轴交于两点，且，则圆的标准方程为（）A．B．C．D．42、过，圆心在轴上的圆的方程为（）A． B．C． D．43、方程x2＋y2＋4x－2y＋5＝0表示的曲线是（）A．两直线 B．圆 C．一点 D．不表示任何曲线44、如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F>0）所表示的曲线关于y＝x对称，则必有（）A．D＝E B．D＝F C．F＝E D．D＝E＝F45、圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为（）A．（4，－6），r＝16 B．（2，－3），r＝4C．（－2，3），r＝4 D．（2，－3），r＝1646、若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是（）A．R B．（－∞，1） C．（－∞，1] D．[1，＋∞）47、已知圆的方程为，过点的该圆的所有弦中，最短的弦长为（）A． B． C．2 D．448、若圆始终平分圆的周长，则满足的关系是（）A． B．C． D．49、已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0)，B(5,0)，此圆的标准方程为( ) A．(x－3)2＋y2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝450、已知点P(a，a＋1)在圆x2＋y2＝25内部，那么a的取值范围是( )A．－4<a<3 B．－5<a<4 C．－5<a<5 D．－6<a<451、圆心是(4，－1)，且过点(5,2)的圆的标准方程是( )A．(x－4)2＋(y＋1)2＝10B．(x＋4)2＋(y－1)2＝10C．(x－4)2＋(y＋1)2＝100D．(x－4)2＋(y＋1)2＝52、点P(a,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．不确定53、圆和圆的公共弦长为（）A． B．C． D．54、方程表示的曲线为（）A．一条直线和一个圆 B．一条线段与半圆C．一条射线与一段劣弧 D．一条线段与一段劣弧55、已知直线是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则=（）A．2 B．C．6 D．56、已知圆，圆，圆与圆的位置关系为（）A．外切 B．内切C．相交 D．相离57、设圆的方程是，若，则原点与圆的位置关系是（）A．原点在圆上 B．原点在圆外C．原点在圆内 D．不确定58、已知圆，直线上至少存在一点，使得以点为圆心，半径为的圆与圆有公共点，则的最小值是（）A． B．C． D．59、过两点的面积最小的圆的方程为（）A．B．C．D．60、已知两圆的圆心距=" 3" ，两圆的半径分别为方程的两根，则两圆的位置关系是（）A．相交 B．相离 C．相切 D．内含61、与圆及圆都外切的圆的圆心在（）A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上C．一条抛物线上 D．一个圆上62、圆与圆的位置关系是（）A．相交 B．外切C．内切 D．相离63、已知圆的方程为是该圆内一点，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积是（）A． B．C． D．64、已知圆的方程为是该圆内一点，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积是（）A． B．C． D．65、已知圆心，一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（）A． B．C． D．66、以为圆心，4为半径的圆的方程为（）A． B．C． D．67、两圆与的位置关系为（）A．内切 B．外切C．相交 D．相离68、过点且圆心在直线上的圆的方程是（）A．B．C．D．69、若圆与圆的公共弦的长为，则（）A．2 B．1C． D．70、动点与定点的连线的斜率之积为，则点的轨迹方程是（）A．B．C．D．参考答案1、C2、A3、B4、A5、A.6、B7、A8、D9、B10、D11、D12、A13、A14、C15、D16、B17、A18、A19、B20、D21、A22、D23、B24、B25、A26、B27、A28、B29、D30、A31、A32、A33、B34、B35、A36、C37、D38、C39、B40、D41、A42、D43、C44、A45、C46、B47、C48、C49、A50、A51、A52、A53、A54、D55、C56、C57、B58、A59、A60、D61、B62、D63、D64、D65、D66、C67、D68、C69、B70、C【解析】1、设中点为，则∴故选C．2、试题分析：由圆的一般式方程可知考点：圆的方程3、试题分析：把原圆的方程写成标准方程为，由于两圆共圆心，可设另一个圆方程为：，把代入所设方程，得：，所以所求的圆的方程为，化简为：，故选B.考点：1、圆的一般式方程；2、圆的标准方程的.4、试题分析：易知关于直线的对称点为，即，圆心到直线的距离为，所以，圆方程为．故选A．考点：圆的标准方程．5、试题分析：由题意得，点在以为圆心，为半径的圆上，如下图所示，故可知点在第一、二象限，故选A.考点：圆的标准方程.6、试题分析：，所以圆心坐标和半径分别为（2,0）和2，选B.考点：圆标准方程7、试题分析：因为两条直线与的距离为，所以所求圆的半径为，所以圆心到直线的距离为即或，又因为圆心到直线的距离也为，所以，所以所求的标准方程为，故应选.考点：直线与圆的位置关系.8、试题分析：由圆的标准方程可知所求圆为考点：圆的方程9、试题分析：因为点在圆上，故解得.考点：圆的一般方程.10、试题分析：圆心，即圆心坐标满足方程，所以圆关于直线对称，考点：圆的性质11、试题分析：将圆C化为标准方程，找出圆心与半径，作出相应的图形，所求式子表示圆上点到原点距离的平方，根据图形得到当P与A重合时，离原点距离最大，求出所求式子的最大值即可．解：圆C化为标准方程为（x﹣3）2+y2=1，根据图形得到P与A（4，0）重合时，离原点距离最大，此时x2+y2=42=16．故选D考点：圆的一般方程．12、试题分析：设圆的标准方程为，由题可知，a=0，r=1，将（1,2）代入方程，可求得b=2，因此圆的标准方程为。

第二章直线和圆的方程同步单元必刷卷(基础卷)(全解全析).

第二章直线和圆的方程同步单元必刷卷（基础卷）全解全析1．D【分析】利用直线的斜率结合直线在图象中的位置关系进行判断.【详解】直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0.直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2.故选:D.2．A【分析】根据两直线平行系数满足的关系，列出方程，即可得到结果.【详解】由()()12310a a a ⋅---=，且()()()113110a ⋅---⋅-≠，解得0a =或16a =，故16a =是直线210x ay +-=与直线()3110a x ay ---=平行充分不必要条件，故答案选:A 3．A【分析】将直线的一般式化成点斜式即可求解.【详解】直线130kx y k -+-=可以为()13y k x -=-，表示过点()3,1，斜率为k 的直线，所以所有直线都通过定点为()3,1.故选：A.4．A【分析】设(,)C x y ，(0,)M m ，(,0)N n ，先利用中点坐标公式求出相关点坐标，再求出直线方程即可.【详解】设(,)C x y ，(0,)M m ，(,0)N n ，因为()5,2A -，()7,3B ，所以50222x y m +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩且72302x n y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得5x =-，3y =-，52m =-，1n =，即(5,3)C --，5(0,)2M -，(1,0)N ，所以MN 所在直线方程为52512y x +=，即5250x y --=．故选：A ．5．D【分析】运用两平行直线间的距离公式即可得解.【详解】将直线3210x y +-=化为6420x y +-=，=故选：D.6．D【分析】设圆的方程为222()()x a y b r -+-=，根据题意列出方程组，求得2,,a b r ，即可得出答案.【详解】解：设圆的方程为222()()x a y b r -+-=，根据题意可得)()()()22222231a b r a b r ⎧+-=⎪⎪⎪+-=⎨⎪=，解得224a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以该圆的方程为22((2)4x y -+-=.故选：D.7．D【分析】首先求出过点P 的切线方程，注意分斜率存在和不存在两种情况讨论，即可判断A,再利用勾股定理求出切线长，即可判断C,,M N 在以()12，为圆心，以OP 为直径的圆上，两圆方程作差即可求出直线MN 的方程，由此判断B,由圆心到直线的距离求出直线斜率，即可求出直线方程,进而求解D.【详解】对于A ：当直线l 的斜率不存在时，则直线l 的方程为2x =，圆心O 到直线l 的距离2d r ==，所以2x =是过点P 的圆的切线，当直线l 的斜率存在时，设直线1l 的方程为4(2)y k x -=-，即240kx y k --+=，∴圆心O 到直线l 的距离2d ==，解得34k =，此时直线l 的方程为34100x y -+=，∴过点P 的圆的切线方程为2x =或34100x y -+=，故A 错误，对于B;,M N 在以()12，为圆心，以OP 为直径的圆22(1)(2)5x y -+-=，∴直线MN 为圆22:4O x y +=与圆22(1)(2)5x y -+-=的公共弦，两圆方程相减得：220x y +-=，即直线MN 的方程为220x y +-=，故B 错误，对于C;||OP ，||4PM ∴=，故C 错误，对于D ：过点P 的直线m 与圆O 相交于A ，B 两点，若90AOB ∠=︒，则||AB =∴圆心到直线的距离d =显然直线的斜率存在，设直线方程为4(2)y k x -=-，即240kx y k --+=，d ∴=，解得1k=或7，∴直线方程为20x y -+=或7100x y --=，故D 正确，故选：D 8．D【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再求出直线过定点坐标()2,1M ，可判断()2,1M 在圆内，当CM ⊥直线l 时弦长最短，再根据两直线垂直斜率乘积为1-，求出参数的值.【详解】解：圆22:230C x x y -+-=，即()2214x y -+=，圆心为()1,0C ，半径2r =，直线:20l x my m -+-=，即()()120y m x -+-=，令2010x y -=⎧⎨-=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，即直线l 恒过定点()2,1M ，又2CM ==，所以点M 在圆C 内部，所以当CM ⊥直线l 时弦长最短，又10121CM k -==-，所以1l k =-，即11m =-，解得1m =-；故选：D 9．AB【分析】由两直线垂直可得()()()11230a a a a -+-+=，然后解得a 即可.【详解】由两直线垂直，可得()()()11230a a a a -+-+=，即2230a a +-=解得3a =-或1a =.故选:AB.10．ACD【分析】对于A ，根据充要条件的定义结合两直线垂直的条件进行判断，对于B ，由倾斜角与斜率的关系判断，对于C ，举例判断，对于D ，根据两方程的特征分析判断.【详解】对于A ，当1a =-时，两直线分别为10x y -+=和20x y +-=，此时两直线的斜率乘积为1-，所以两直线垂直，当直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直时，则1a =-或0a =，所以“1a =-”是“直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直”的充分不必要条件，所以A 错误，对于B ，直线sin 20x y α++=的斜率sin k α=-，因为sin [1,1]α∈-，所以[1,1]k ∈-，所以tan [1,1]θ∈-，所以30,,44ππθπ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，所以B 正确，对于C ，当12x x =或12y y =时，过()11,x y ，()22,x y 两点的直线不能用112121y y x xy y x x --=--表示，所以C 错误，对于D ，因为方程()2y k x =-表示的是一条直线，而方程2yk x =-表示直线()2y k x =-上除去(2,0)的部分，所以方程()2y k x =-与方程2yk x =-表示的不是同一条直线，所以D 错误，故选：ACD 11．AD【分析】由圆的几何关系可知圆心在直线x ＋y ＝0上，设出圆心坐标为（a ，－a ），利用圆心到圆上点的距离等于半径列方程即可求解.【详解】由题意可知圆心在直线x ＋y ＝0上，设圆心坐标为（a ，－a ），则()()22215a a -++=，解得a ＝0或a ＝1，∴所求圆的方程为()()22115x y -++=或225x y +=,故选：AD ．12．BD【分析】对A ，圆心到x 轴的距离等于半径判断即可；对B ，根据圆心间的距离与半径之和的关系判断即可；对C ，根据两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程求解即可；对D ，根据直线210kx y k --+=过定点()2,1以及()2,1在圆C 1内判断即可.【详解】因为221:(1)(3)11C x y -+-=，222:(1)()4C x y m ++-=，对A ，故若圆2C 与x 轴相切，则有||2m =，故A 错误；对B ，当3m =-时，1262C C ==>>，两圆相离，故B 正确；对C ，由两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程24(62)20x m y m +-+-=，故C 错误；对D ，直线210kx y k --+=过定点()2,1，而22(21)(13)511-+-=<，故点()2,1在圆221:(1)(3)11C x y -+-=内部，所以直线210kx y k --+=与圆1C 始终有两个交点，故D 正确.故选：BD 13．310x y ++=【分析】先联立两直线方程得到交点坐标，再在直线310x y +-=上取一点(1,0)P ，利用垂直、平分两个条件得到对称点，再求出点斜式式方程，进而得到一般式即可.【详解】联立31010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即两直线的交点为1122M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．在直线310x y +-=上取一点(1,0)P ，设点P 关于直线10x y -+=的对称点为(,)Q m n ，则11022111m nn m +⎧-+=⎪⎪⎨⎪⨯=-⎪-⎩，解得12m n =-⎧⎨=⎩，即(1,2)Q -．所以直线MQ 的方程为()()12221112y x --=+---，即310x y ++=.故答案为:310x y ++=．14．1x =-或512550x y +-=.【分析】根据切线斜率存在和不存在分类讨论，斜率存在时设直线方程，由圆心到切线距离等于半径求解．【详解】已知圆圆心坐标为(1,2)，半径为2，易知直线1x =-是圆的切线，当切线斜率存在时，设切线方程为5(1)y k x -=+，即50kx y k -++=，2=，解得512k =-，切线方程为55(1)12y x -=-+，即512550x y +-=．故答案为1x =-或512550x y +-=．15．53【分析】根据两直线平行的条件列方程求解a 的值即可.【详解】若12l l ∥，则()()()()32311a a a a --=--，解得53a =或2a =，当2a =时，1l 和2l 重合，舍去，所以53a =.故答案为：53.16．(,3)(1,)-∞-+∞【分析】由题知M 的轨迹是以O 为圆心，1为半径的圆，且C D ，是以N 为圆心的直径的两个端点，若始终有CMD ∠为锐角，只需要两圆相离即可，故得到圆心距和半径和的不等关系，求解即可.【详解】如图，连接OM ，则||1OM ==，所以点M 在以O 为圆心，1为半径的圆上，设CD 的中点为N ，则1)N a +，且||4CD =，因为当A ，B 在圆O 上运动时，始终有CMD ∠为锐角，所以以O 为圆心，1为半径的圆与以N 为圆心，2为半径的圆相离，12>+，解得3a <-或1a >，即(,3)(1,)a ∈-∞-+∞故答案为：(,3)(1,)-∞-+∞17．(1)6110x y -+=；(2)(3)6220x y +-=.【分析】（1）由两点式写出直线方程，整理为一般式即可，也可求出斜率，再由点斜式得直线方程；（2）由中点坐标公式求得中点M 坐标，再由两点间距离公式计算可得；（3）先求直线AB 的斜率，由垂直关系可得AB 边高线的斜率，可得高线的点斜式方程，化为一般式即可.（1）法一：由两点式写方程得511521y x -+=---+，即6110x y -+=；法二：直线AB 的斜率为()15621k --==---，直线AB 的方程为()561y x -=+，即6110x y -+=；（2）设M 的坐标为()00,x y ，则由中点坐标公式可得0024131,122x y -+-+====，故()1,1M ，所以AM =；（3）直线AB 的斜率为()15621k --==---，所以由垂直关系可得AB 边高线的斜率为16-，故AB 边的高所在直线方程为()1346y x -=--,化为一般式可得：6220x y +-=.18．(1)()22110x y +-=(2)()()223220x y -+-=【分析】（1）当AB 为直径时，圆的周长最小，可知圆心为AB 中点，并求得半径12r AB =，由此可得圆的标准方程；（2）方法一：首先求得线段AB 的垂直平分线方程，与240x y --=联立可求得圆心坐标，进而可得半径r ，由此可得圆的标准方程；方法二：设圆的方程为()()222x a y b r -+-=，将,A B 点的坐标代入圆的方程，结合圆心所在直线方程可构造方程组求得2,,a b r ，由此可得圆的标准方程.（1）当AB 为直径时，过点,A B 的圆的半径最小，则其周长最小，∴圆心为AB 中点()0,1，半径12r AB ==，∴所求圆的标准方程为：()22110x y +-=.（2）方法一：由题意得：42311AB k +==---，AB 中点为()0,1，∴线段AB 垂直平分线的方程为：113y x =+，由113240y x x y ⎧=+⎪⎨⎪--=⎩得：32x y =⎧⎨=⎩，即圆心坐标为()3,2，∴半径r ==∴所求圆的标准方程为：()()223220x y -+-=.方法二：设所求圆的方程为：()()222x a y b r -+-=，由()()()()2222221214240a b r a b r a b ⎧-+--=⎪⎪--+-=⎨⎪--=⎪⎩得：23220a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴圆的标准方程为：()()223220x y -+-=.19．(1)1x =或34110x y +-=(2)()235124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭且1341525x y <<-<【分析】（1）讨论直线l 斜率不存在易得直线l 为1x =，再根据两条切线关于CP 对称，结合倾斜角的关系､二倍角正切公式求得另一条切线的斜率为34-，即可写出切线方程.（2）设(),M x y ，根据222CM PB PC +=，应用两点距离公式化简得到M 的轨迹方程，注意x ､y 的范围.（1）当直线l 斜率不存在时1x =，显然直线l与圆C 相切且切点为()1,0E ，所以，对于另一条切线，若切点为D ，则2EPD EPC ∠=∠，又1tan 2EPC ∠=所以22tan 4tan 1tan 3EPC EPD EPC ∠∠==-∠，由图知，直线DP 的倾斜角的补角与EPD ∠互余，所以直线DP 的斜率为34-，故另一条切线方程为()3214y x -=--，即34110x y +-=，综上，直线l 的方程为1x =或34110x y +-=.（2）由（1）知直线l 与圆C 相交于A ､B 两点，则斜率必存在，设(),M x y ，则2225CM PM PC +==，所以()()()22222125x y x y -++-+-=，整理得()2235124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，当直线l 与圆C 相切于点D 时，直线CD 的斜率为43，其方程为：4(2)3y x =-，由()42334110y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+-=⎩，得13545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即切点134(,55D ，对于M 的轨迹方程()2235124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，当32x =时，512y =-，所以1315x <<，且54125y -≤<，综上，M 的轨迹方程为()2235124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭且1315x <<，415y <20．(1)()2211x y -+=(2)1k =-或7k =-【分析】（1）根据两点间的距离公式求得半径，再求标准方程即可；（2）由题知圆心C 到直线l的距离为2d =，再结合点到直线的距离公式求解即可.（1）解：因为圆C 的圆心为(1,0)C，且过点122A ⎛ ⎝⎭,所以半径1r ==，所以，圆C 的标准方程为22(1)1x y -+=（2）解：设圆心C 到直线l 的距离为d，因为MN =所以||MN ==，解得2d =所以，由圆心到直线距离公式可得d ==解得1k =-或7k =-．21．(2)250x y -+=(3)以1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据点到直线的距离公式以及勾股定理即可求解弦长，（2）根据直线垂直斜率乘积为1-，即可得直线AB 的斜率，进而根据点斜式即可求方程，（3）根据向量垂直，利用坐标运算即可求解轨迹方程，进而可通过轨迹方程得轨迹.（1）当135α=︒时，则tan1351AB k ==-，此时直线AB 方程为：()21110y x x y -=-+⇒+-=，故圆心到直线AB 的距离d =r =所以AB ===，（2）弦AB 被点P 平分时，则OP AB ⊥,122OP AB k k =-⇒=,所以直线AB 方程为：()1212502y x x y -=+⇒-+=，（3）设中点为(,)Q x y ，则()1,2,(,)PQ x y OQ x y =+-=，由于OQ PQ ⊥,所以0(1)(2)0PQ OQ x x y y ⋅=⇒++-=，即()2215124x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，故点Q 是以1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭为半径的圆．22．(1)224x y +=(2)2(3)0x y +-【分析】（1）利用两点间距离公式可求得半径r ，由此可得圆C 方程；（2）利用点到直线距离公式可求得圆心到直线距离d ，可知最小值为d r -；（3）设():10,0x y l a b a b+=>>，由圆心到直线距离等于半径，结合基本不等式可知当a b ==ABC 面积取得最小值，由此可得直线l 方程.（1）由题意知：圆心()0,0C ，半径2r CM ==，∴圆C 的方程为：224x y +=.（2）圆心到直线40x y +-=的距离d r =，∴点P 到直线40x y +-=的距离最小值为2d r -=.（3）设直线():10,0x y l a b a b+=>>，即0bx ay ab --=，则圆心到直线l 距离2d ==，ab ∴=a b ==，解得：8ab ≥，∴当a b ==ABC 面积取得最小值142ab =，则直线1l =，即0x y +-.。

高中二年级上学期数学《圆的标准方程》同步练习

2.4.1圆的标准方程基础巩固1.圆(x+1)2+(y-2)2=4的圆心与半径分别为()A.(-1,2),2B.(1,-2),2C.(-1,2),4D.(1,-2),42.方程(x-1)√x2+y2-3=0所表示的曲线是()A.一个圆B.两个点C.一个点和一个圆D.一条直线和一个圆3.已知一圆的圆心为点A(2,-3),一条直径的端点分别在x轴和y轴上,则圆的标准方程为()A.(x+2)2+(y-3)2=13B.(x-2)2+(y+3)2=13C.(x-2)2+(y+3)2=52D.(x+2)2+(y-3)2=524.已知点A(-4,-5),B(6,-1),则以线段AB为直径的圆的方程是()A.(x+1)2+(y-3)2=29B.(x-1)2+(y+3)2=29C.(x+1)2+(y-3)2=116D.(x-1)2+(y+3)2=1165.若点(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部,则实数a的取值范围是()A.(-1,1)B.(-∞,13) C.(-15,15) D.(-113,113)6.方程x=√1-y2表示的图形是()A.两个半圆B.两个圆C.圆D.半圆7.设O为原点,点M在圆C:(x-3)2+(y-4)2=1上运动,则|OM|的最大值为.8.已知圆C与圆C1:(x-1)2+y2=1关于直线y=-x对称,则圆C的标准方程为.9.已知圆C的圆心在x轴上,且过A(1,4),B(2,-3)两点,则圆C的标准方程是.10.已知点A(1,2)和圆C:(x-a)2+(y+a)2=2a2(a≠0),试分别求满足下列条件的实数a的值或取值范围:(1)点A在圆C的内部;(2)点A在圆C上;(3)点A在圆C的外部.能力提升1.若直线y=ax+b经过第一、二、四象限,则圆(x+a)2+(y+b)2=1的圆心位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知直线(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0恒过定点P,则与圆C:(x-2)2+(y+3)2=16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为() A.(x-2)2+(y+3)2=36 B.(x-2)2+(y+3)2=25C.(x-2)2+(y+3)2=18D.(x-2)2+(y+3)2=93.设P是圆M:(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为()A.6B.4C.3D.24.已知圆M的圆心坐标为(3,4),且A(-1,1),B(1,0),C(-2,3)三点一个在圆M内,一个在圆M上,一个在圆M外,则圆M的方程为.5.已知圆C的方程为(x-a)2+(y+a)2=4,若点(1,1)在圆C上,则a=;若圆C关于直线x+2y+4=0对称,则a=. 6.已知圆C的方程为(x-3)2+(y-4)2=25,则点M(2,3)到圆上的点的距离的最大值为.7.已知圆C的圆心为C(x0,x0),且过定点P(4,2).(1)求圆C的标准方程.(2)当x0为何值时,圆C的面积最小?求出此时圆C的标准方程.参考答案基础巩固1. A2. D3. B4. B5. D6. D7. 68. x 2+(y+1)2=19. (x+2)2+y 2=2510.∵点A 在圆C 的内部,∴(1-a )2+(2+a )2<2a 2,即2a+5<0,解得a<-52.故a 的取值范围是(-∞,-52). (2)将点A (1,2)的坐标代入圆C 的方程,得(1-a )2+(2+a )2=2a 2,即2a+5=0,解得a=-52, 故a 的值为-52. (3)∵点A 在圆C 的外部,∴(1-a )2+(2+a )2>2a 2,即2a+5>0,解得a>-52,又a ≠0,故a 的取值范围是(-52,0)∪(0,+∞).能力提升1.D2. B3. B4. (x-3)2+(y-4)2=255.±146. 5+√27.设圆C的标准方程为(x-x0)2+(y-x0)2=r2(r≠0).∵圆C过定点P(4,2),∴(4-x0)2+(2-x0)2=r2.∴r2=2x02-12x0+20.∴圆C的标准方程为(x-x0)2+(y-x0)2=2x02-12x0+20.(2)∵(x-x0)2+(y-x0)2=2x02-12x0+20=2(x0-3)2+2,∴当x0=3时,圆C的半径最小,即面积最小.此时圆C的标准方程为(x-3)2+(y-3)2=2。

(完整版)圆的一般方程练习题

(限时：10分钟)1 .若圆x2 + y 2— 2x — 4y = 0的圆心到直线x — y + a = 0的距离为誓，则a 的值为()1 3A . — 2 或 2 B.2或2C . 2 或 0D . — 2 或 0解析：圆的标准方程为(x — 1)2 + (y — 2)2 = 5,圆心为(1,2)，圆心2. 若圆x 2+ y 2 — 2ax + 3by = 0的圆心位于第三象限，那么直线x + ay + b = 0 一定不经过( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限解析：圆心为a ,— 2b ，则有a<0, b>0.直线x +ay + b = 0变为1 b 1 by = — ?—二由于斜率—a>0,在y 轴上截距—b >0,故直线不经过第 a a aa四象限.答案：D3. 直线y = 2x + b 恰好平分圆x 2 + y 2 + 2x —4y = 0,则b 的值为()A . 0B . 2C . 4D . 1解析：由题意可知，直线y = 2x + b 过圆心(—1,2),••• 2=2X (— 1)+ b , b = 4.答案：C4. M(3,0)是圆x 2+ y 2 — 8x — 2y + 10=0内一点，过M 点最长的弦到直线的距离答案：C解得a = 0或2.课时作业23圆的一般方程所在的直线方程为 ________ ,最短的弦所在的直线方程是 ________ .解析：由圆的几何性质可知，过圆内一点M的最长的弦是直径，最短的弦是与该点和圆心的连线CM垂直的弦.易求出圆心为C(4,1),1 — 0k cM = = 1,二最短的弦所在的直线的斜率为—1,由点斜式，分 4-3别得到方程：y = x — 3 和 y = — (x — 3)，即 x —y — 3= 0 和 x + y —3= 0.答案：x — y — 3= 0 x + y — 3= 05. 求经过两点A(4,7), B(— 3,6),且圆心在直线2x + y — 5= 0上的圆的方程.解析：设圆的方程为x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ,其圆心为D E-2，- 2，42+ 72 + 4D +7E + F = 0,由题意得—3 2 + 62 — 3D + 6E + F = 0，D E2 • — 2 + —㊁—5 = 0.4D + 7E + F = —65,即 3D — 6E — F = 45,2D + E =— 10,D = — 2, 解得E = — 6,F =— 15.x 2 + y 2— 2x — 6y —课后练|小和沖课时作婕曰日洁KEHOULI^ I(限时：30分钟)1. 圆x2+ y2+ 4x—6y—3 = 0的圆心和半径分别为()A . (2, —3); 16 B. (—2,3); 4C. (4, —6); 16D. (2, —3); 4解析：配方，得(x+ 2)2+ (y—3)2= 16,所以，圆心为(—2,3), 半径为4.答案：B2. 方程x2+ y2+ 4x—2y+ 5m= 0表示圆的条件是()1A. 4<m<1B. m>11C. m<4D. m<1解析：由42+ (—2)2—4X5m>0解得m<1.答案：D3. 过坐标原点，且在x 轴和y 轴上的截距分别是2和3的圆的方程为()A . x 2+ y 2 — 2x — 3y = 0B . x 2 + y 2 + 2x — 3y = 0C . x 2 + y 2 — 2x + 3y = 0D . x 2+ y 2 + 2x + 3y = 0解析：解法一(排除法)：由题意知，圆过三点 0(0,0), A(2,0), B(0,3)，分别把A , B 两点坐标代入四个选项，只有 A 完全符合，故选A.解法二(待定系数法)：设方程为x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0,F = 0,则 2D + F = — 4,3E + F = — 9, 故方程为 x 2 + y 2 — 2x — 3y = 0.解法三(几何法):由题意知，直线过三点 0(0,0), A(2,0), B(0,3),由弦AB 所对的圆心角为90 °知线段AB 为圆的直径，即所求的圆是以AB 中点1, 2为圆心，2|AB 匸乎为半径的圆，其方程为(x —1)2 + y — |2 =于2，化为一般式得 x 2 + y 2— 2x — 3y = 0.答案：A4. 设圆的方程是 x 2*? + 2ax + 2y +(a — 1)2 = 0,若 0<a<1,则原点()A .在圆上B. 在圆外C. 在圆内D .与圆的位置关系不确定解析：圆的标准方程是(x + a)2 + (y +1)2= 2a ,因为0<a<1，所以 (0 + a)2 + (0+ 1)2— 2a = (a — 1)2>0，即 0+a 2+ 0+ 1 2> 2a ,所以D = — 2, 解得E = — 3,F = 0,原点在圆外.答案：B5. 已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍, 那么点M的轨迹方程是()A . x2+ y2= 32B . x2+ y2= 16C. (x- 1)2+ y2= 16D. x2+ (y-1)2= 16解析：设M(x, y)，贝S M 满足：x—8 2+ y2= 2 x —22+ y2，整理得x2+ y2= 16.答案：B6. 已知圆C: x2+ y2+2x+ ay—3= 0(a为实数)上任意一点关于直线I: x—y+ 2 = 0的对称点都在圆C上，贝S a= _______a解析：由题意可得圆C的圆心一1,—2在直线x—y+ 2= 0上, aa将—1,—2代入直线方程得—1——2+ 2 = 0,解得a= —2.答案：—2 ____7. 若实数x, y满足x2+ y2+ 4x—2y—4= 0,则寸x2+ y2的最大值是 ________ .关键是搞清式子寸x2+ y2的意义.实数x, y满足方程x2+ y2+ 4x —2y— 4 = 0,所以(x, y)为方程所表示的曲线上的动点，x2+ y2=.x—02+ y —02,表示动点(x, y)到原点(0,0)的距离.对方程进行配方，得(x+ 2)2+ (y—1)2= 9,它表示以C( —2,1)为圆心，3为半径的圆，而原点在圆内.连接CO交圆于点M, N,由圆的几何性质可知，MO 的长即为所求的最大值.|CO|= — 2 2+ 12= . 5, |MO|=, 5 + 3.答案：5 + 38. _____________________ 设圆x2+ y2—4x + 2y—11 = 0的圆心为A,点P在圆上，则FA 的中心M的轨迹方程是.解析：设M的坐标为(x, y),由题意可知圆心A为(2,—1), P(2x—2,2y+1)在圆上，故(2x —2)2+ (2y + 1)2—4(2x—2) + 2(2 y + 1)—11 = 0,即x2+ y2—4x+2y+ 1 = 0.答案：x2+ y2—4x + 2y + 1 = 09. 设圆的方程为x2+ y2—4x—5= 0,(1)求该圆的圆心坐标及半径；⑵若此圆的一条弦AB的中点为P(3,1),求直线AB的方程.解析：(1)将x2+ y2—4x— 5 = 0 配方得：(x—2)2+ y2= 9.二圆心坐标为C(2,0),半径为r = 3.⑵设直线AB的斜率为k.由圆的几何性质可知，CP丄AB,二k cp •=—1.1 —0二k cp= = 1,3—2二k=— 1.直线AB的方程为y— 1 = —(x—3),即x+y —4= 0.10. 已知定点0(0,0), A(3,0),动点P到定点O的距离与到定点1A的距离的比值是入,求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线.解析：设动点P的坐标为(x, y),则由.?|PO| = |PA|,得X x2+ y2) = (x—3)2+ y2,整理得：(X- 1)x2+ ( —1)y2+ 6x—9= 0.•/ X0,•••当后1时，方程可化为2x —3= 0,故方程表示的曲线是线段当X1时，方程可化为即方程表示的曲线是以3—X_ 1, 0为圆X—：i为半径的圆. OA的垂直平分线;x+ 2。