北京市2018届高三高考压轴卷数学(文)试卷

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2018年北京市高考数学压轴试卷(文科)

2018年北京市高考数学压轴试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 设集合A ={x|x 2−x −2<0}，B ={x|x 2≤1}，则A ∩B =( ) A.{x|−2<x <1} B.{x|−2<x ≤1} C.{x|−1<x ≤1} D.{x|−1<x <1}2. “x >3且y >3”是“x +y >6”成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.即不充分也不必要条件3. 已知函数f(x)={alnx −x 2−2(x >0)x +1x+a(x <0)，且有f(x)≤a −2恒成立，则实数a 的取值范围为（） A.[0, 2e 2] B.[0, 2e 3] C.(0, 2e 2] D.(0, 2e 3]4. 已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1a 6=2a 3，a 4与2a 6的等差中项为32，则S 5=（） A.36 B.33C.32D.315. 将函数f(x)=2cos(x +π6)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到函数y =g(x)的图象，则函数y =g(x)的图象的一个对称中心是（）A.(11π12,0) B.(π6,0) C.(π12,0) D.(5π12,0)6. 在△ABC 中，∠A =60∘，AB =AC =3，D 是△ABC 所在平面上的一点．若BC →=3DC →，则DB →⋅AD →=( ) A.−1 B.−2 C.5D.927. 在△ABC 中，D 为AB 的中点，点F 在线段CD （不含端点）上，且满足AF →=xAB →+yAC →，若不等式1x +2y ≥a 2+at 对t ∈[−2, 2]恒成立，则a 的最小值为（） A.−4 B.−2 C.2 D.48. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A.16+24π3B.16+16π3C.8+8π3D.16+8π3二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．已知复数z满足z(3+4i)=4+3i，则|z|=________．在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未污损，即9，10，11，，那么这组数据的方差________．已知函数f(x)=x2+2xe x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________．已知O为坐标原点，双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的右焦点为F，以OF为直径的圆交双曲线的一条渐近线于异于原点的A，若点A与OF中点的连线与OF垂直，则双曲线的离心率e为________．已知圆C：(x−3)2+(y−4)2=1和两点A(−m, 0)，B(m, 0)(m>0)，若圆上存在点P，使得∠APB=90∘，则m的取值范围是________．已知函数g(x)对任意的x∈R，有g(−x)+g(x)＝x2．设函数f(x)＝g(x)−x22，且f(x)在区间[0, +∞)上单调递增．若f(a)+f(a−2)≤0，则实数a的取值范围为________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且sinAa +sinBb=cosCc．（1）求tanC的值；（2）若a2+b2−c2=8，求△ABC的面积．已知在递增等差数列{a n}中，a1=2，a3是a1和a9的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=1(n+1)a n，S n为数列{b n}的前n项和，求S100的值．某市对大学生毕业后自主创业人员给予小额贷款补贴，贷款期限分为6个月、12个月、18个月、24个月、36个月五种，对于这五种期限的贷款政府分别补贴200元、300元、300元、400元、400元，从2016年享受此项政策的自主创业人员中抽取了100人进行调查统计，选取贷款期限的频数如表：(Ⅱ)若小王和小李同时申请此项贷款，求两人所获得政府补贴之和不超过600元的概率．如图，在多面体ABCDEF中，面ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF=DE，点M为棱AE的中点．（1）证明：平面BMD // 平面EFC；（2）若AB=1，BF=2，求三棱锥A−CEF的体积．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，上顶点M到直线√3x+y+4=0的距离为3．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l过点(4, −2)且与椭圆C相交于A，B两点，l不经过点M，证明：直线MA 的斜率与直线MB的斜率之和为定值．已知曲线y=f(x)=x2−1−alnx(a∈R)与x轴有唯一公共点A．(Ⅰ)求实数a的取值范围；(Ⅱ)曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为a2−a−7．若两个不相等的正实数x1，x2满足|f(x1)|=|f(x2)|，求证：x1x2<1．参考答案与试题解析2018年北京市高考数学压轴试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】求出不等式的等价条件，结合集合的基本运算进行求解即可．【解答】A={x|x2−x−2<0}={x|−1<x<2}，B={x|x2≤1}={x|−1≤x≤1}，则A∩B={x|−1<x≤1}，2.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当x>3且y>3时，x+y>6成立，即充分性成立，若x=6，y=2满足x+y>6，但x>3且y>3不成立，即必要性不成立，故“x>3且y>3”是“x+y>6”成立的充分不必要条件，故选A.3.【答案】B【考点】函数恒成立问题【解析】f(x)≤a−2恒成立，即为f(x)max≤a−2，根据分段函数的解析式，分类讨论即可求出．【解答】当x>0时，f(x)=alnx−x2−2，若a<0时，f(x)在(0, +∞)为减函数，此时函数无最大值，即不满足题意，当a=0时，f(x)≤a−2，即为−x2−2≤a−2，即x2≥0恒成立，满足题意，当a>0时，f(x)=alnx−x2−2，f′(x)=ax −2x=a−2x2x，令f′(x)=0，解得x=√a2，或x=−√a2舍去，当f′(x)>0，解得0<x<√a2，此时函数f(x)单调递增，当f′(x)<0，解得x >√a2，此时函数f(x)单调递减，∴ f(x)max =f(√a 2)=aln √a 2−a 2−2=a 2ln a 2−a2−2，∴ a 2ln a 2−a2−2≤a −2，即0<a ≤2e 3，x <0时，f(x)=x +1x +a ，此时函数f(x)在(−∞, −1)为增函数，在(0, 1)为减函数， ∴ f(x)max =f(−1)=−2+a ≤a −2恒成立，综上所述a 的取值范围为[0, 2e 3]， 4.【答案】 D【考点】等比数列的前n 项和【解析】此题暂无解析【解答】解：设{a n }的公比为q(q >0)．因为a 1a 6=2a 3，由等比数列的性质得a 1a 6=a 3a 4，所以a 3a 4=2a 3，则a 4=2．又因为a 4+2a 6=3，所以a 6=12，q =12，a 1=16， S 5=16×[1−(12)5]1−12=31．故选D ． 5.【答案】 B【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】根据三角函数的平移变换规律求解g(x)，结合三角函数的性质即可求解一个对称中心．【解答】函数f(x)=2cos(x +π6)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），可得y =2cos(2x +π6)，即g(x)=2cos(2x +π6)，令2x +π6=π2+kπ，k ∈Z ．得：x =12kπ+π6，当k =0时，可得一个对称中心为(π6, 0)． 6.【答案】 A【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】由题意建立平面直角坐标系，求出A 、B 、C 的坐标，进一步求得D 的坐标，则DB →⋅AD →可求．【解答】由题意建立如图所示平面直角坐标系，则A(0, 0)，B(3, 0)，C(32, 3√32)，设D(x, y)，则BC →=(−32,3√32)，DC →=(32−x,3√32−y)，由BC →=3DC →，得(−32,3√32)=(92−3x,9√32−3y)，解得x =2，y =√3． ∴ D(2, √3)，则DB →=(1,−√3)，AD →=(2,√3)， ∴ DB →⋅AD →=1×2−√3×√3=−1． 7.【答案】 B【考点】不等式恒成立的问题【解析】根据C ，F ，D 三点共线可得x ，y 的关系，再利用基本不等式解出1x +2y 的最小值．然后求解a 的范围，得到a 的最小值．【解答】AF →=xAB →+yAC →=2xAD →+yAC →，因为点F 在线段CD （不含端点）上，所以C ，F ，D 三点共线，所以2x +y =1且x >0，y >0，则1x +2y =(1x +2y )(2x +y)=4+yx +4x y≥4+2√y x ∗4x y=8，当且仅当yx =4xy，即x =14，y =12时，上式取等号，故1x +2y 有最小值8，不等式1x +2y ≥a 2+at 对t ∈[−2, 2]恒成立，就是8≥a 2+at 对t ∈[−2, 2]恒成立，即a 2+at −8≤0对t ∈[−2, 2]恒成立，可得：{a 2−2a −8≤0a 2+2a −8≤0，解得a ∈[−2, 2]．则a 的最小值为−2． 8.【答案】 D【考点】由三视图求体积【解析】判断组合体的形状，然后求解几何体的体积．【解答】由三视图可知几何体是有一个球的14与一个四棱锥组成，球的半径为2，四棱锥的底面是长为4高为2，棱锥的高为2的四棱锥，几何体的体积为：14×43×π×23+13×2×4×2=16+8π3．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．【答案】 1【考点】复数的模【解析】把已知等式变形，利用|z|=|z|及商的模等于模的商求解．【解答】由z(3+4i)=4+3i ，得z =4+3i3+4i ，∴ |z|=|z|=|4+3i 3+4i|=|4+3i||3+4i|=55=1．【答案】 S 2可能的最大值是1645【考点】极差、方差与标准差【解析】设这组数据的最后2个分别是：10+x ，y ，得到x +y ＝10，表示出S 2，根据x 的取值求出S 2的最大值即可．【解答】设这组数据的最后2个分别是：10+x，y，则9+10+11+(10+x)+y＝50，得：x+y＝10，故y＝10−x，故S2=15[1+0+1+x2+(−x)2]=25+25x2，显然x最大取9时，S2最大是1645，【答案】2【考点】导数的运算法则【解析】先求导函数f′(x)，然后将x=0代入导函数即可求出f′(0)的值．【解答】f′(x)=(2x+2)e x−(x2+2x)e xe =2−x2e；∴f′(0)=2−01=2．【答案】√2【考点】双曲线的特性【解析】先画出图形，如图，设OF的中点为C，由题意得AC⊥OF，根据三角形的性质可得AC=AF，又AF=OF，从而得出△AOF是正三角形，即双曲线的渐近线的倾斜角为60∘，得出a，b的关系式，即可求出双曲线的离心率e．【解答】如图，设OF的中点为C，则AC⊥OF，∴AO=AF，又c=OF，OA:y=ba x，A的横坐标等于C的横坐标c2，所以A(c2, bc2a)，且AO=√2c2，AO2=c24+b2c24a2，所以a=b，则双曲线的离心率e=ca =√1+b2a2=√2．【答案】[4, 6]【考点】直线与圆的位置关系【解析】根据圆心C到O(0, 0)的距离为5，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4，再由∠APB=90∘，可得PO=12AB=m，从而得到答案．【解答】圆C：(x−3)2+(y−4)2=1的圆心C(3, 4)，半径为1，∵圆心C到O(0, 0)的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4，再由∠APB=90∘，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=12AB=m，故有4≤m≤6，【答案】(−∞, 1]【考点】抽象函数及其应用【解析】判断f(x)的奇偶性和单调性，根据单调性求出a的范围．【解答】由f(x)＝g(x)−x22得：f(−x)＝g(−x)−x22，∴f(x)+f(−x)＝g(x)+g(−x)−x2＝0，∴f(x)在R上是奇函数，又f(x)在区间[0, +∞)上单调递增，∴f(x)在R上单调递增，∵f(a)+f(a−2)≤0，∴f(a)≤−f(a−2)＝f(2−a)，∴a≤2−a，即a≤1．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．【答案】∵sinAa +sinBb=cosCc，由正弦定理得sinAsinA +sinBsinB=cosCsinC，∴tanC=12．由a2+b2−c2=8，得cosC=a2+b2−c22ab =82ab，∴ab=4cosC，∴S△ABC=12absinC=12×4cosC×sinC=2tanC=1．【考点】三角形求面积【解析】（1）直接利用正弦定理求出结论；（2）利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果．【解答】∵sinAa +sinBb=cosCc，由正弦定理得sinAsinA +sinBsinB=cosCsinC，∴tanC=12．由a2+b2−c2=8，得cosC=a2+b2−c22ab =82ab，∴ab=4cosC，∴S△ABC=12absinC=12×4cosC×sinC=2tanC=1．【答案】由{a n}为等差数列，设公差为d，则a n=a1+(n−1)d．∵a3是a1和a9的等比中项，∴a32=a1a9，即(2+2d)2=2(2+8d)，解之，得d=0（舍），或d=2．∴a n=a1+(n−1)d=2n．b n=1(n+1)a n =12n(n+1)=12(1n−1n+1)．S n=b1+b2+...+b100=12(1−12+12−13+⋯+1100−1101)=12(1−1101)=50101．【考点】数列的求和数列递推式【解析】（1）设出公差，利用等比数列关系，列出方程，求出公差然后求解通项公式．（2）化简数列的通项公式，利用裂项相消法求解数列的和即可．【解答】由{a n}为等差数列，设公差为d，则a n=a1+(n−1)d．∵a3是a1和a9的等比中项，∴a32=a1a9，即(2+2d)2=2(2+8d)，解之，得d=0（舍），或d=2．∴a n=a1+(n−1)d=2n．b n=1(n+1)a n =12n(n+1)=12(1n−1n+1)．S n=b1+b2+...+b100=12(1−12+12−13+⋯+1100−1101)=12(1−1101)=50101．【答案】（1）由题意，所求概率为P=20+40+20100=0.8（2）记a，b，c，d，e分别为选择6个月、12个月、18个月、24个月、36个月贷款，由题意知小王和小李的所有选择有：aa，ab，ac，ad，ae，ba，bb，bc，bd，be，ca，cb，cc，cd，ce，da，db，dc，dd，de，ea，eb，ec，ed，ee，共25种，其中使得小王和小李获补贴之和不超过600的有aa，ab，ac，ad，ae，ba，bb，bc，ca，cb，cc，da，ea，共13种，所以所求概率为1325．【考点】离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）由题意，所求概率为P=20+40+20100．（2）记a，b，c，d，e分别为选择6个月、12个月、18个月、24个月、36个月贷款，由题意知小王和小李的所有选择有：aa，ab，ac，ad，ae，ba，bb，bc，bd，be，ca，cb，cc，cd，ce，da，db，dc，dd，de，ea，eb，ec，ed，ee，共25种，得出其中使得小王和小李获补贴之和不超过600的有13种，即可得出所求概率．【解答】（1）由题意，所求概率为P=20+40+20100=0.8（2）记a，b，c，d，e分别为选择6个月、12个月、18个月、24个月、36个月贷款，由题意知小王和小李的所有选择有：aa，ab，ac，ad，ae，ba，bb，bc，bd，be，ca，cb，cc，cd，ce，da，db，dc，dd，de，ea，eb，ec，ed，ee，共25种，其中使得小王和小李获补贴之和不超过600的有aa，ab，ac，ad，ae，ba，bb，bc，ca，cb，cc，da，ea，共13种，所以所求概率为1325．【答案】（1）证明：连结AC，设AC与BD交于点N，则N为AC的中点，连结MN，∴MN//EC，∵MN平面EFC，EC⊂平面EFC，∴MN//平面EFC，∵BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且BF=DE，∴BF=//DE，∴ 四边形BDEF为平行四边形，∴BD//EF，∵BD平面EFC，EF⊂平面EFC，∴BD//平面EFC，又∵MN∩BD=N，∴ 平面BDM//平面EFC．（2）解：连结EN，FN．在正方形ABCD中，AC⊥BD，又∵BF⊥平面ABCD，∴BF⊥AC．∵BF∩BD=B，∴AC⊥平面BDEF，且垂足为N，∴V A−CEF =V A−NEF +V C−NEF =13⋅AC⋅S△NEF =1 3×√2×12×√2×2 =23，∴三棱锥A−CEF的体积为23．【考点】柱体、锥体、台体的体积计算平面与平面平行的性质平面与平面平行的判定【解析】本题考查柱体、锥体、台体的体积计算，平面与平面平行的性质，平面与平面平行的判定．【解答】（1）证明：连结AC ，设AC 与BD 交于点N ，则N 为AC 的中点，连结MN ， ∴ MN//EC ，∵ MN 平面EFC ，EC ⊂平面EFC ， ∴ MN//平面EFC ，∵ BF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，且BF =DE ， ∴ BF =//DE ，∴ 四边形BDEF 为平行四边形，∴ BD//EF ， ∵ BD 平面EFC ，EF ⊂平面EFC ， ∴ BD//平面EFC ，又∵ MN ∩BD =N ，∴ 平面BDM//平面EFC ．（2）解：连结EN ，FN ．在正方形ABCD 中，AC ⊥BD ，又∵ BF ⊥平面ABCD ，∴ BF ⊥AC ．∵ BF ∩BD =B ，∴ AC ⊥平面BDEF ，且垂足为N ， ∴ V A−CEF =V A−NEF +V C−NEF =13⋅AC ⋅S △NEF = 13×√2×12×√2×2 =23， ∴ 三棱锥A −CEF 的体积为23．【答案】 ∵ 椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，上顶点M(0, b)到直线√3x +y +4=0的距离为3，∴ {ca=√32√3+1=3，结合a 2=b 2+c 2，解得a =4，b =2，∴ 椭圆C 的方程为：x 216+y 24=1．证明：依题意直线l 的斜率垂直，设直线l 的方程为y =k(x −4)−2 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)．由{y =k(x −4)−2x 2+4y 2=16得(1+4k 2)x 2−(32k 2+16k)x +64k 2+64k =0x 1+x 2=32k 2+16k 1+4k 2，x 1x 2=64k 2+64k 1+4k 2由（1）得M(0, 2)k MA +k MB =y 1−2x 1+y 2−2x 2=(kx 1−4k −4)x 2+(kx 1−4k −4)x 1x 1x 2 =2kx 1x 2−(4k +4)(x 1+x 2)x 1x 2=2k −(4k +4)x 1+x 2x 1x 2=2k −(4k +4)32k 2+16k64k 2+64k=2k −(2k +1) =−1（定值）．∴ 直线MA 的斜率与直线MB 的斜率之和为定值．【考点】椭圆的标准方程椭圆的应用直线与椭圆的位置关系【解析】（1）由上顶点M 到直线√3x +y +4=0的距离为3，可得b ，再由离心率及b 2=a 2−c 2，解出a 即可得到椭圆方程；（2）依题意直线l 的斜率垂直，设直线l 的方程为y =k(x −4)−2，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)．由{y =k(x −4)−2x 2+4y 2=16 得(1+4k 2)x 2−(32k 2+16k)x +64k 2+64k =0，利用韦达定理可得k MA +k MB =y 1−2x 1+y 2−2x 2=(kx 1−4k−4)x 2+(kx 1−4k−4)x 1x 1x 2=2kx 1x 2−(4k+4)(x 1+x 2)x 1x 2=−1（定值）．【解答】 ∵ 椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，上顶点M(0, b)到直线√3x +y +4=0的距离为3， ∴ {ca=√32√3+1=3，结合a 2=b 2+c 2，解得a =4，b =2，∴ 椭圆C 的方程为：x 216+y 24=1．证明：依题意直线l 的斜率垂直，设直线l 的方程为y =k(x −4)−2 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)．由{y =k(x −4)−2x 2+4y 2=16 得(1+4k 2)x 2−(32k 2+16k)x +64k 2+64k =0 x 1+x 2=32k 2+16k 1+4k 2，x 1x 2=64k 2+64k 1+4k 2由（1）得M(0, 2)k MA +k MB =y 1−2x 1+y 2−2x 2=(kx 1−4k −4)x 2+(kx 1−4k −4)x 1x 1x 2=2kx1x2−(4k+4)(x1+x2)x1x2=2k−(4k+4)x1+x2 x1x2=2k−(4k+4)32k2+16k 64k2+64k=2k−(2k+1)=−1（定值）．∴直线MA的斜率与直线MB的斜率之和为定值．【答案】（1）函数f(x)的定义域为(0, +∞)．f(1)=(0)由题意，函数f(x)有唯一零点1.f′(x)=2x−ax．（1）若a≤0，则−a≥(0)显然f′(x)>0恒成立，所以f(x)在(0, +∞)上是增函数．又f(1)=0，所以a≤0符合题意．（2）若a>0，f′(x)=2x2−ax .f′(x)>0⇔x>√a2；f′(x)<0⇔0<x<√a2．所以f(x)在(0,√a2)上是减函数，在(√a2,+∞)上是增函数．所以f(x)min=f(√a2)=a2−1−a2ln a2．由题意，必有f(√a2)≤0（若f(√a2)>0，则f(x)>0恒成立，f(x)无零点，不符合题意）①若f(√a2)<0，则a2−1−a2ln a2<0．令g(a)=a2−1−a2ln a2(a>0)，则g′(a)=12−12ln a2−a2×1a2×12=−12ln a2．g′(a)>0⇔0<a<2；g′(a)<0⇔a>(2)所以函数g(a)在(0, 2)上是增函数，在(2, +∞)上是减函数．所以g(a)max=g(2)=(0)所以g(a)≤0，当且仅当a=2时取等号．所以，f(√a2)<0⇔a>0，且a≠(2)取正数b<min{√a2,e−1a}，则f(b)=b2−1−alnb>−1−alnb>−1−a×(−1a)=0；取正数c>a+1，显然c>2√a>√a2．而f(c)=c2−1−alnx，令ℎ(x)=lnx−x，则ℎ(x)=1x −1．当x>1时，显然ℎ(x)=1x−1<0．所以ℎ(x)在[1, +∞)上是减函数．所以，当x>1时，ℎ(x)=lnx−x<ℎ(1)=−1<0，所以lnx<x．因为c>1，所以f(c)=c2−1−alnc>c2−1−ac=c(c−a)−1>c×1−1>(0)又f(x)在(0,√a2)上是减函数，在(√a2,+∞)上是增函数，则由零点存在性定理，f(x)在(0,√a2)、(√a2,+∞)上各有一个零点．可见，0<a <2，或a >2不符合题意．注：a >0时，若利用lim x→0+0f(x)=+∞，f(√a 2)<0，lim x→+∞f(x)=+∞，说明f(x)在(0,√a 2)、(√a2,+∞)上各有一个零点．②若f(√a 2)=0，显然√a2=1，即a =(2)符合题意．综上，实数a 的取值范围为{a|a ≤0, 或a =2}．（2）由题意，f ′(1)=2−a =a 2−a −(7)所以a 2=9，即a =±(3)由(Ⅰ)的结论，得a =−(3)f(x)=x 2−1+31nx ，f(x)在(0, +∞)上是增函数． f(x)<0⇔0<x <1；f(x)>0⇔x >(1)由|f(x 1)|=|f(x 2)|，不妨设x 1<x 2，则0<x 1<1<x 2．从而有−f(x 1)=f(x 2)，即−(x 12−1+31nx 1)=x 22−1+31nx 2．所以x 12+x 22+31nx 1x 2−2=0>2x 1x 2+31nx 1x 2−(2)令p(t)=2t +31nt −2，显然p(t)在(0, +∞)上是增函数，且p(1)=(0) 所以p(t)<0⇔0<t <(1)从而由2x 1x 2+31nx 1x 2−2<0，得x 1x 2<(1) 【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，结合单调性求出f(x)的最小值，从而确定a 的范围；(Ⅱ)求出a 的值，不妨设x 1<x 2，则0<x 1<1<x 2，得到−(x 12−1+31nx 1)=x 22−1+31nx 2，令p(t)=2t +31nt −2，根据函数的单调性证明即可．【解答】（1）函数f(x)的定义域为(0, +∞)．f(1)=(0) 由题意，函数f(x)有唯一零点1.f ′(x)=2x −ax ．（1）若a ≤0，则−a ≥(0)显然f ′(x)>0恒成立，所以f(x)在(0, +∞)上是增函数．又f(1)=0，所以a ≤0符合题意．（2）若a >0，f ′(x)=2x 2−a x.f ′(x)>0⇔x >√a 2；f ′(x)<0⇔0<x <√a2．所以f(x)在(0,√a 2)上是减函数，在(√a 2,+∞)上是增函数．所以f(x)min =f(√a2)=a2−1−a2ln a2．由题意，必有f(√a 2)≤0（若f(√a2)>0，则f(x)>0恒成立，f(x)无零点，不符合题意）①若f(√a2)<0，则a 2−1−a 2ln a2<0．令g(a)=a 2−1−a 2ln a 2(a >0)，则g ′(a)=12−12ln a2−a2×1a 2×12=−12ln a2．g ′(a)>0⇔0<a <2；g ′(a)<0⇔a >(2)所以函数g(a)在(0, 2)上是增函数，在(2, +∞)上是减函数．所以g(a)max =g(2)=(0)所以g(a)≤0，当且仅当a =2时取等号．所以，f(√a2)<0⇔a >0，且a ≠(2)取正数b <min{√a2,e −1a }，则f(b)=b 2−1−alnb >−1−alnb >−1−a ×(−1a )=0；取正数c >a +1，显然c >2√a >√a2．而f(c)=c 2−1−alnx ，令ℎ(x)=lnx −x ，则ℎ(x)=1x −1．当x >1时，显然ℎ(x)=1x −1<0．所以ℎ(x)在[1, +∞)上是减函数．所以，当x >1时，ℎ(x)=lnx −x <ℎ(1)=−1<0，所以lnx <x ．因为c >1，所以f(c)=c 2−1−alnc >c 2−1−ac =c(c −a)−1>c ×1−1>(0) 又f(x)在(0,√a2)上是减函数，在(√a2,+∞)上是增函数，则由零点存在性定理，f(x)在(0,√a2)、(√a2,+∞)上各有一个零点．可见，0<a <2，或a >2不符合题意．注：a >0时，若利用lim x→0+0f(x)=+∞，f(√a 2)<0，lim x→+∞f(x)=+∞，说明f(x)在(0,√a 2)、(√a2,+∞)上各有一个零点．②若f(√a2)=0，显然√a2=1，即a =(2)符合题意．综上，实数a 的取值范围为{a|a ≤0, 或a =2}．（2）由题意，f ′(1)=2−a =a 2−a −(7)所以a 2=9，即a =±(3)由(Ⅰ)的结论，得a =−(3)f(x)=x 2−1+31nx ，f(x)在(0, +∞)上是增函数． f(x)<0⇔0<x <1；f(x)>0⇔x >(1)由|f(x 1)|=|f(x 2)|，不妨设x 1<x 2，则0<x 1<1<x 2．从而有−f(x 1)=f(x 2)，即−(x 12−1+31nx 1)=x 22−1+31nx 2．所以x 12+x 22+31nx 1x 2−2=0>2x 1x 2+31nx 1x 2−(2)令p(t)=2t +31nt −2，显然p(t)在(0, +∞)上是增函数，且p(1)=(0) 所以p(t)<0⇔0<t <(1)从而由2x 1x 2+31nx 1x 2−2<0，得x 1x 2<(1)。

【精校版】2018年高考北京卷文数试题(word版含答案)

绝密★启封并使用完毕前2018年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合A={(|||<2)},B={−2,0,1,2},则A B=（A）{0,1} （B）{−1,0,1}（C）{−2,0,1,2}（D）{−1,0,1,2}（2）在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A ）12 （B ）56 （C ）76（D ）712（4）设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率f ，则第八个单音频率为（A （B（C ）（D ）（6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）4（7）在平面坐标系中，,,,AB CD EF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以O 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是（A ）AB（B ）CD （C ）EF（D ）GH（8）设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则（A ）对任意实数a ，(2,1)A ∈ （B ）对任意实数a ，（2,1）A ∉ （C ）当且仅当a <0时,（2,1）A ∉ （D ）当且仅当32a ≤时,（2,1）A ∉ 第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市2018年高考[文数]考试真题与答案解析

北京市2018年高考·文科数学·考试真题与答案解析————————————————————————————————————————第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合A={(x||x|<2)},B={−2,0,1,2},则A B=（A）{0,1}（B）{−1,0,1}（C）{−2,0,1,2}（D）{−1,0,1,2}（2）在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）12（B）56（C）76（D）712（4）设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为（A （B（C ）（D ）（6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4（7）在平面直角坐标系中， ,,,AB CD EF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以O x 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是（A ） AB （B ） CD （C ） EF（D ） GH（8）设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则（A ）对任意实数a ，(2,1)A ∈（B ）对任意实数a ，（2,1）A∉（C ）当且仅当a <0时,（2,1）A ∉（D ）当且仅当32a ≤时,（2,1）A ∉第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

【真题】2018年北京市高考数学(文)试题含答案解析

2018年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文史类）第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．若集合{}2A x x =<，{}2,0,1,2B x =-，则A B =I（A ）{}01，（B ）{}-101，，（C ）{}-201，，（D ）{}-1012，，，2）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（）．A ．12 B ．56 C ．76 D ．7124．设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad bc =”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的（）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件．5．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要的贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等i 1-i于．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为（）．ABC ．D ．6．某四棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）．A ．1B ．2C ．3D ．47. 在平面直角坐标系中，»AB ,»CD,»EF ,¼GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中的一段上，角α是以Ox 为始边，OP 为始边.若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是（A ）»AB（B ）»CD（C ）»EF（D ）¼GH8. 设集合(){},|1,4,2A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤，则()A 对任意实数a ，()2,1A ∈ ()B 对任意实数a ，()2,1A ∉()C 当且仅当0a <时，()2,1A ∉ ()D 当且仅当32a ≤时，()2,1A ∉ 二．填空（9）设向量()1,0a =，()1,b m =-。

2018高考北京文科数学带答案

2018高考北京文科数学带答案(总10页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--绝密★启封并使用完毕前2018年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文）本试卷共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合A={(??||??|<2)},B={?2,0,1,2},则A B=（A）{0,1} （B）{?1,0,1}（C）{?2,0,1,2} （D）{?1,0,1,2}（2）在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）12（B）56（C）76（D）712（4）设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率f ，则第八个单音频率为（A ）32f （B ）322f （C ）1252f（D ）1272f（6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）4（7）在平面坐标系中，,,,AB CD EF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以O ??为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是（A ）AB（B ）CD （C ）EF（D ）GH（8）设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则（A ）对任意实数a ，(2,1)A ∈ （B ）对任意实数a ，（2,1）A ∉ （C ）当且仅当a <0时,（2,1）A ∉ （D ）当且仅当32a ≤时,（2,1）A ∉ 第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2018年北京市高考数学试卷及解析(文科)

2018年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1、（5.00分）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣2，0，1，2}，则A∩B=（）A、{0，1}B、{﹣1，0，1}C、{﹣2，0，1，2}D、{﹣1，0，1，2}2、（5.00分）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限3、（5.00分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A、B、C、D、4、（5.00分）设a，b，c，d是非零实数，则“ad=bc”是“a，b，c，d成等比数列”的（）A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件5、（5.00分）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于、若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（）A、 fB、 fC、 fD、f6、（5.00分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A、1B、2C、3D、47、（5.00分）在平面直角坐标系中，，，，是圆x2+y2=1上的四段弧（如图），点P其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边、若tanα＜cosα＜sinα，则P所在的圆弧是（）A、B、C、D、8、（5.00分）设集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}，则（）A、对任意实数a，（2，1）∈AB、对任意实数a，（2，1）∉AC、当且仅当a＜0时，（2，1）∉AD、当且仅当a≤时，（2，1）∉A二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9、（5.00分）设向量=（1，0），=（﹣1，m）、若⊥（m ﹣），则m=、10、（5.00分）已知直线l过点（1，0）且垂直于x轴、若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为、11、（5.00分）能说明“若a＞b，则＜”为假命题的一组a，b的值依次为、12、（5.00分）若双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为，则a=、13、（5.00分）若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y﹣x的最小值是、14、（5.00分）若△ABC的面积为（a2+c2﹣b2），且∠C为钝角，则∠B=；的取值范围是、三、解答题共6小题，共80分。

2018北京高考文科数学试卷含答案

2018北京文一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A ＝{x ||x |＜2)，B ＝{−2，0，1，2}，则A ∩B ＝A ． {0，1}B ．{−1，0，1}C ． {−2，0，1，2}D ． {−1，0，1，2} 【解析】因|x |＜2，故－2＜x ＜2，因此A ∩B ＝{–2，0，1，2}∩(－2，2)＝{0，1}，选A ． 2．在复平面内，复数11－i的共轭复数对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】11－i ＝1＋i 2＝12＋12i ，其共轭复数为12－12i ，对应的点为(12，－12)，故选D ．3．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为A ．12B ．56C ．76D ．712【解析】初始化数值k ＝1，S ＝1，循环结果执行如下：第一次：S ＝1＋(－1)1•12＝12，k ＝2≥3不成立；第二次：S ＝12＋(－1)2•13＝56，k ＝3≥3成立，循环结束，输出S ＝56，故选B ．4．设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】当a ＝4，b ＝1，c ＝1，d ＝14时，a ，b ，c ，d 不成等比数列，故不是充分条件；当a ，b ，c ，d 成等比数列时，则ad ＝bc ，故是必要条件．综上所述，“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要不充分条件，故选B ．5．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 A ．32f B ．322f C ．1225f D ．1227f【解析】从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122，第一个单音的频率为f ．由等比数列的定义知，这十三个单音的频率构成一个首项为f ，公比为122的等比数列，记为{a n }．则第八个单音频率为a 8＝f ·(122)8－1＝1227f ．6．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4【解析】在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥P －ABCD ，如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为3，是△P AD ，△PCD ，△P AB ．7．在平面直角坐标系中，AB ︵，CD ︵，EF ︵，GH ︵是圆x 2＋y 2＝1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边．若tan α＜cos α＜sin α，则P 所在的圆弧是( )A ．AB ︵B ．CD ︵C ．EF ︵D ．GH ︵【解析】设点P 的坐标为(x ，y )，由三角函数的定义得yx ＜x ＜y ，故－1＜x ＜0，0＜y ＜1．故P 所在的圆弧是EF ︵．8．设集合A ＝{(x ，y )| x －y ≥1，ax ＋y ＞4，x －ay ≤2}，则 A ．对任意实数a ，(2，1)∈A B ．对任意实数a ，(2，1)∉AC ．当且仅当a ＜0时，(2，1)∉AD ．当且仅当a ≤32时，(2，1)∉A【解析】若(2，1)∈A ，则a ＞32且a ≥0，即若(2，1)∈A ，则a ＞32，此命题的逆否命题为：若a ≤32，则有(2，1)∉A ，故选D ．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．设向量a ＝(1，0)，b ＝(－1，m )．若a ⊥(m a －b )，则m ＝_________．【解析】由题意得，m a －b ＝(m ＋1，－m )，根据向量垂直的充要条件可得1×(m ＋1)＋0×(－m )＝0，故m ＝－1．10．已知直线l 过点(1，0)且垂直于x 轴．若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________．【解析】由题意知，a ＞0，对于y 2＝4ax ，当x ＝1时，y ＝±2a ，由于l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，故4a ＝4，故a ＝1，故抛物线的焦点坐标为(1，0)．11．能说明“若a ﹥b ，则1a ＜1b”为假命题的一组a ，b 的值依次为_________．【解析】使“若a ﹥b ，则1a ＜1b ”为假命题，则使“若a ＞b ，则1a ≥1b ”为真命题即可，只需取a ＝1，b ＝－1即可满足，故满足条件的一组a ，b 的值为1，－1 (答案不唯一) 12．若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a ＞0)的离心率为52，则a ＝_________．【解析】由题意可得，a 2＋4a 2＝(52)2，即a 2＝16，又a ＞0，所以a ＝4．13．若x ，y 满足x ＋1≤y ≤2x ，则2y －x 的最小值是_________．【解析】不等式可转化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≤y ，y ≤2x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，2x －y ≥0，，故满足条件的x ，y 在平面直角坐标系中的可行域如下图令2y －x ＝z ，y ＝12x ＋12z ，由图象可知，当2y －x ＝z 过点P (1，2)时，取最小值，此时z ＝2×2－1＝3，故2y －x 的最小值为3． 14．若ΔABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且∠C 为钝角，则∠B ＝________；ca的取值范围是_______．【解析】因S ΔABC ＝34(a 2＋c 2－b 2)＝12ca sin B ，故a 2＋c 2－b 22ac ＝33sin B ，即cos B ＝33sin B ，故tan B＝3，因0＜B ＜π，故B ＝π3，则c a ＝sin C sin A ＝32·1tan A ＋12，故C 为钝角，又B ＝π3，故0＜A ＜π6，故tan A ∈(0，33)，1tan A ∈(3，＋∞)，故ca∈(2，＋∞)．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．设{a n }是等差数列，且a 1＝ln 2，a 2＋a 3＝5ln 2． (1)求{a n }的通项公式； (2)求e a 1＋e a 2＋…＋e a n ．【解析】(1)设{a n }的公差为d ．因为a 2＋a 3＝5ln 2，故2a 1＋3d ＝5ln 2．又a 1＝ln 2，故d ＝ln 2．故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝ln 2＋(n －1)ln 2＝n ln 2．(2)因为e a 1＝e ln 2＝2，e a ne a n －1＝e a n －a n －1＝e ln 2＝2，故{e a n }是首项为2，公比为2的等比数列．故e a 1＋ea 2＋…＋e a n ＝2×1－2n 1－2＝2n ＋1－2． 16．已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x ．⑴．求f (x )的最小正周期；⑵．若f (x )在区间[－π3，m ]上的最大值为32，求m 的最小值．【解析】⑴．f (x )＝12(1－cos 2x )＋32sin 2x ＝12＋32sin 2x －12cos 2x ＝12＋sin(2x －π6)，故f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π．⑵．由⑴知，f (x )＝12＋sin(2x －π6)．因x ∈[－π3，m ]，故2x －π6∈[－5π6，2m －π6]．要使得f (x )在[－π3，m ]上的最大值为32，即sin(2x －π6)在[－π3，m ]上的最大值为1．故2m －π6≥π2，即m ≥π3．故m 的最小值为π3．点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负． 17．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 0．40．20．150．250．20．1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．(Ⅰ)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； (Ⅱ)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(Ⅲ)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0．1，哪类电影的好评率减少0．1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论) 【解析】(Ⅰ)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000．第四类电影中获得好评的电影部数是200×0．25＝50，故所求概率为502 000＝0．025． (Ⅱ)设“随机选取1部电影，这部电影没有获得好评”为事件B ．没有获得好评的电影共有140×0．6＋50×0．8＋300×0．85＋200×0．75＋800×0．8＋510×0．9＝1628部．由古典概型概率公式得P (B )＝1628/2000＝0．814．(Ⅲ)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．点睛：本题主要考查概率与统计知识，属于易得分题，应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件A ；第二步，分别求出基本事件的总数n 与所求事件A 中所包含的基本事件个数m ；第三步，利用公式P (A )＝mn 求出事件A 的概率．18．(本小题14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ⊥PD ，P A ＝PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点． (Ⅰ)求证：PE ⊥BC ；(Ⅱ)求证：平面P AB ⊥平面PCD ； (Ⅲ)求证：EF ∥平面PCD ．【解析】(1)因为P A ＝PD ，E 为AD 的中点，故PE ⊥AD ．因为底面ABCD 为矩形，故BC ∥AD ．故PE ⊥BC ．(2)因为底面ABCD 为矩形，故AB ⊥AD ．又因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，AB ⊂平面ABCD ，故AB ⊥平面P AD ，且PD ⊂平面P AD ．故AB ⊥PD ．又因为P A ⊥PD ，且P A ∩AB ＝A ，故PD ⊥平面P AB ．又PD ⊂平面PCD ，故平面P AB ⊥平面PCD ．(3)如图，取PC 中点G ，连接FG ，DG ．因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点，故FG ∥BC ，FG ＝12BC ．因为ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点，故DE ∥BC ，DE ＝12BC ．故DE ∥FG ，DE ＝FG ．故四边形DEFG 为平行四边形．故EF ∥DG ．又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ，故EF ∥平面PCD ．点睛：证明面面关系的核心是证明线面关系，证明线面关系的核心是证明线线关系．证明线线平行的方法：(1)线面平行的性质定理；(2)三角形中位线法；(3)平行四边形法．证明线线垂直的常用方法：(1)等腰三角形三线合一；(2)勾股定理逆定理；(3)线面垂直的性质定理；(4)菱形对角线互相垂直．19．设函数f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ．(Ⅰ)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为0，求a ； (Ⅱ)若f (x )在x ＝1处取得极小值，求a 的取值范围．【解析】(Ⅰ)因为f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ，故f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ．f ′(2)＝(2a －1)e 2，由题设知，f ′(2)＝0，即(2a －1)e 2＝0，解得a ＝12．(Ⅱ)法一：由(Ⅰ)得f ′(x )＝(ax －1)(x －1)e x．若a ＞1，则当x ∈(1a ，1)时，f ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0．故f (x )在x ＝1处取得极小值．若a ≤1，则当x ∈(0，1)时，ax －1≤x －1＜0，故f ′(x )＞0．故1不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是(1，＋∞)．法二：f ′(x )＝(ax －1)(x －1)e x ．(1)当a ＝0时，令f ′(x )＝0得x ＝1．f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：故f (x )在x ＝1处取得极大值，不合题意．x (－∞，1) 1 (1，＋∞)f ′(x )＋−f (x )↗极大值↘(2)当a ＞0时，令f ′(x )＝0得，x 1＝1a ，x 2＝1．①当x 1＝x 2，即a ＝1时，f ′(x )＝(x －1)2e x ≥0，故f (x )在R 上单调递增，故f (x )无极值，不合题意． ②当x 1＞x 2，即0＜a ＜1时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：故f (x )在x ＝1处取得极大值，不合题意．③当x 1＜x 2，即a ＞1时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：故f (x )在x ＝1处取得极小值，即a ＞1满足题意．(3)当a ＜0时，令f ′(x )＝0得x 1＝1a ，x 2＝1．f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：故f (x )在x ＝1处取得极大值，不合题意．综上所述，a 的取值范围为(1，＋∞)．点睛：导数类问题是高考数学中的必考题，也是压轴题，主要考查的形式有以下四个：①考查导数的几何意义，涉及求曲线切线方程的问题；②利用导数证明函数单调性或求单调区间问题；③利用导数求函数的极值最值问题；④关于不等式的恒成立问题．解题时需要注意的有以下两个方面：①在求切线方程问题时，注意区别在某一点和过某一点解题步骤的不同；②在研究单调性及极值最值问题时常常会涉及到分类讨论的思想，要做到不重不漏；③不等式的恒成立问题属于高考中的难点，要注意问题转换的等价性．20．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，焦距为22．斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B ．(Ⅰ)求椭圆M 的方程； (Ⅱ)若k ＝1，求|AB |的最大值；(Ⅲ)设P (－2，0)，直线P A 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ．若C ，D 和点Q (－74，12)共线，求k ．【解析】(Ⅰ)由题意得，2c ＝22，故c ＝2，又e ＝c a ＝63，故a ＝3，故b 2＝a 2－c 2＝1，故椭圆M 的标准方程为x 23＋y 2＝1．(Ⅱ)设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，将y ＝x ＋m 代入x 23＋y 2＝1并消去y 得，4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0，则Δ＝48－12m 2＞0，即m 2＜4，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－3m 2，x 1x 2＝34(m 2－1)，则|AB |2＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝32(4－m 2)，易得当m 2＝0时，|AB |2max ＝6，故|AB |的最大值为6．(Ⅲ)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则x 21＋3y 21＝3①，x 22＋3y 22＝3②，又P (－2，0)，故可设k 1＝k P A ＝y 1x 1＋2，直线P A 的方程为y ＝k 1(x ＋2)，将y ＝k 1(x ＋2)代入x 23＋y 2＝1并消去y 得，(1＋3k 21)x 2＋12k 21x ＋12k 21－3＝0，则x 1＋x 3＝－12k 21/(1＋3k 21)，即x 3＝－12k 21/(1＋3k 21)－x 1，又k 1＝y 1x 1＋2，代入①式可得，x 3＝－(7x 1＋12)/(4x 1＋7)，故y 3＝y 1/(4x 1＋7)，故C (－(7x 1＋12)/(4x 1＋7)，y 1/(4x 1＋7))，同理可得D (－(7x 2＋12)/(4x 2＋7)，y 2/(4x 2＋7))．故QC →＝(x 3＋74，y 3－14)，QD uuu r ＝(x 4＋74，y 4－14)，因Q ，C ，D 三点共线，故(x 3＋74)(y 4－14)－(x 4＋74)(y 3－14)＝0，将点C ，D 的坐标代入化简可得y 1－y 2x 1－x 2＝1，即k ＝1．。

【真题】2018年北京市高考数学(文)试题含答案解析

A ．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件．
5． “十二平均律 ”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要的贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三
个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于
i
2）在复平面内，复数 1 - i的共轭复数对应的点位于
（A ）第一象限
（ B）第二象限
（ C ）第三象限
（ D）第四象限
3．执行如图所示的程序框图，输出的 1
A． 2 5
B． 6 7
C． 6 7
D． 12
s 值为（）．
4．设 a ， b ， c ， d 是非零实数，则 “ad bc ”是 “a ， b ， c ， d 成等比数列 ”的（）．
12 2 ．若第一个单音的频率为 f ，则第八个单音的频率为（
）．
A． 3 2 f
32
B． 2 f
12 5
C． 2 f D． 12 27 f
6．某四棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（
）．
A．1
B． 2
C． 3
D． 4
2018 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学（文史类）第一部分（选择题共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 .
A
1．若集合
xx 2 B
，
x 2,0,1, 2 ，则 A，0，1 （C） -2，0，1 （D ） -1，0，1，2

【精校版】2018年高考北京卷文数试题(word版含答案)

绝密★启封并使用完毕前2018年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

2018年北京高考数学(文)试题及答案

绝密★启封并使用完毕前2018年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页, 150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上, 在试卷上作答无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题, 每小题5分, 共40分。

在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合A={(|||<2)},B={−2,0,1,2},则A B（A）{0,1} （B）{−1,0,1}（C）{−2,0,1,2}（D）{−1,0,1,2}（2）在复平面内, 复数的共轭复数对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）执行如图所示的程序框图, 输出的s值为（A）12（B）56（C）76（D）712（4）设a,b,c,d是非零实数, 则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（5）“十二平均律”是通用的音律体系, 明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例, 为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份, 依次得到十三个单音, 从第二个单音起, 每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f, 则第八个单音的频率为学科#网（A（B（C）（D）（6）某四棱锥的三视图如图所示, 在此四棱锥的侧面中, 直角三角形的个数为（A）1 （B）2（C）3 （D）4（7）在平面直角坐标系中, 是圆上的四段弧（如图）, 点P在其中一段上, 角以O为始边, OP为终边, 若, 则P 所在的圆弧是（A ）AB（B ）CD （C ）EF（D ）GH（8）设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则（A ）对任意实数a,（B ）对任意实数a, （2,1）（C ）当且仅当a <0时,（2,1）A ∉（D ）当且仅当32a ≤时,（2,1）A ∉ 第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题, 每小题5分, 共30分。

(完整word版)2018年北京市高考数学试卷(文科)解析

2018年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．（5分）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣2，0，1，2}，则A∩B=（）A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣2，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}【分析】根据集合的交集的定义进行求解即可．【解答】解：∵集合A={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，B={﹣2，0，1，2}，∴A∩B={0，1}，故选：A．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的除法运算法则，化简求解即可．【解答】解：复数==，共轭复数对应点的坐标（，﹣）在第四象限．故选：D．【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，复数的几何意义，是基本知识的考查．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．B．C．D．【分析】直接利用程序框图的应用求出结果．【解答】解：执行循环前：k=1，S=1．在执行第一次循环时，S=1﹣=．由于k=2≤3，所以执行下一次循环．S=，k=3，直接输出S=，故选：B．【点评】本题考查的知识要点：程序框图和循环结构的应用．4．（5分）设a，b，c，d是非零实数，则“ad=bc”是“a，b，c，d成等比数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的性质进行判断即可．【解答】解：若a，b，c，d成等比数列，则ad=bc，反之数列﹣1，﹣1，1，1．满足﹣1×1=﹣1×1，但数列﹣1，﹣1，1，1不是等比数列，即“ad=bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等比数列的性质是解决本题的关键．5．（5分）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（）A． f B． f C． f D．f【分析】利用等比数列的通项公式，转化求解即可．【解答】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为：=．故选：D．【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查计算能力．6．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】画出三视图的直观图，判断各个面的三角形的情况，即可推出结果．【解答】解：四棱锥的三视图对应的直观图为：PA⊥底面ABCD，AC=，CD=，PC=3，PD=2，可得三角形PCD不是直角三角形．所以侧面中有3个直角三角形，分别为：△PAB，△PBC，△PAD．故选：C．【点评】本题考查简单几何体的三视图的应用，是基本知识的考查．7．（5分）在平面直角坐标系中，，，，是圆x2+y2=1上的四段弧（如图），点P其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tanα＜cosα＜si nα，则P所在的圆弧是（）A．B．C．D．【分析】根据三角函数线的定义，分别进行判断排除即可．【解答】解：A．在AB段，正弦线小于余弦线，即cosα＜sinα不成立，故A不满足条件．B．在CD段正切线最大，则cosα＜sinα＜tanα，故B不满足条件．C．在EF段，正切线，余弦线为负值，正弦线为正，满足tanα＜cosα＜sinα，D．在GH段，正切线为正值，正弦线和余弦线为负值，满足cosα＜sinα＜tanα不满足tanα＜cosα＜sinα．故选：C．【点评】本题主要考查三角函数象限和符号的应用，分别判断三角函数线的大小是解决本题的关键．8．（5分）设集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}，则（）A．对任意实数a，（2，1）∈A B．对任意实数a，（2，1）∉AC．当且仅当a＜0时，（2，1）∈A D．当且仅当a≤时，（2，1）∉A【分析】利用a的取值，反例判断（2，1）∈A是否成立即可．【解答】解：当a=﹣1时，集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}={（x，y）|x﹣y ≥1，﹣x+y＞4，x+y≤2}，显然（2，1）不满足，﹣x+y＞4，x+y≤2，所以A，C不正确；当a=4，集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}={（x，y）|x﹣y≥1，4x+y＞4，x ﹣4y≤2}，显然（2，1）在可行域内，满足不等式，所以B不正确；故选：D．【点评】本题考查线性规划的解答应用，利用特殊点以及特殊值转化求解，避免可行域的画法，简洁明了．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2018年北京高考数学(文)试题及答案

绝密★启封并使用完毕前2018年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷)本试卷共5页,150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合A={(x|｜x|〈2)}，B={−2，0，1,2｝，则A B=(A）{0,1｝（B）｛−1，0，1｝（C）{−2，0,1,2｝（D）｛−1，0，1,2}（2)在复平面内,复数11i-的共轭复数对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限(D)第四象限(3）执行如图所示的程序框图,输出的s值为（A)12（B）56(C）76(D)712(4）设a，b，c，d是非零实数,则“ad=bc”是“a，b，c,d成等比数列”的(A）充分而不必要条件（B)必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（5）“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音，从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为学科#网（A32（B322（C)1252f(D ）1272f(6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（A ）1 （B)2 （C ）3（D)4（7）在平面直角坐标系中，,,,AB CD EF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图)，点P在其中一段上,角α以O x 为始边，OP 为终边,若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是（A ）AB（B ）CD(C ）EF（D ）GH（8）设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则（A ）对任意实数a ，(2,1)A ∈(B ）对任意实数a ,（2,1）A ∉(C ）当且仅当a 〈0时,(2，1）A ∉ （D ）当且仅当32a ≤时，（2,1）A ∉ 第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2018年北京市高考数学试卷(文科)

2018年市高考数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．（5.00分）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣2，0，1，2}，则A∩B=（）A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣2，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2} 2．（5.00分）在复平面，复数的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5.00分）执行如下图的程序框图，输出的s值为（）A．B．C．D．4．（5.00分）设a，b，c，d是非零实数，则“ad=bc”是“a，b，c，d成等比数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5.00分）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（）A． f B． f C． f D．f6．（5.00分）某四棱锥的三视图如下图，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．47．（5.00分）在平面直角坐标系中，，，，是圆x2+y2=1上的四段弧（如图），点P其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tanα＜cosα＜sinα，则P所在的圆弧是（）A．B．C．D．8．（5.00分）设集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}，则（）A．对任意实数a，（2，1）∈A B．对任意实数a，（2，1）∉AC．当且仅当a＜0时，（2，1）∉ A D．当且仅当a≤时，（2，1）∉A二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9．（5.00分）设向量=（1，0），=（﹣1，m）．若⊥（m﹣），则m=．10．（5.00分）已知直线l过点（1，0）且垂直于x轴．若l被抛物线y2=4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为．11．（5.00分）能说明“若a＞b，则＜”为假命题的一组a，b的值依次为．12．（5.00分）若双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为，则a=．13．（5.00分）若x，y满足x+1≤y≤2x ，则2y﹣x 的最小值是．14．（5.00分）若△ABC的面积为（a2+c2﹣b2），且∠C为钝角，则∠B=；的取值围是．三、解答题共6小题，共80分。

2018年北京市高考数学试卷(文科)解析

2018年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．（5分）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣2，0，1，2}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．{﹣2，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}【分析】根据集合的交集的定义进行求解即可．【解答】解：∵集合A={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，B={﹣2，0，1，2}，∴A∩B={0，1}，故选：A．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的除法运算法则，化简求解即可．【解答】解：复数==，共轭复数对应点的坐标（，﹣）在第四象限．故选：D．【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，复数的几何意义，是基本知识的考查．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．B．C．D．【分析】直接利用程序框图的应用求出结果．【解答】解：执行循环前：k=1，S=1．在执行第一次循环时，S=1﹣=．由于k=2≤3，所以执行下一次循环．S=，k=3，直接输出S=，故选：B．【点评】本题考查的知识要点：程序框图和循环结构的应用．4．（5分）设a，b，c，d是非零实数，则“ad=bc”是“a，b，c，d成等比数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的性质进行判断即可．【解答】解：若a，b，c，d成等比数列，则ad=bc，反之数列﹣1，﹣1，1，1．满足﹣1×1=﹣1×1，但数列﹣1，﹣1，1，1不是等比数列，即“ad=bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等比数列的性质是解决本题的关键．5．（5分）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（）A． f B． f C． f D．f【分析】利用等比数列的通项公式，转化求解即可．【解答】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为：=．故选：D．【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查计算能力．6．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】画出三视图的直观图，判断各个面的三角形的情况，即可推出结果．【解答】解：四棱锥的三视图对应的直观图为：PA⊥底面ABCD，AC=，CD=，PC=3，PD=2，可得三角形PCD不是直角三角形．所以侧面中有3个直角三角形，分别为：△PAB，△PBC，△PAD．故选：C．【点评】本题考查简单几何体的三视图的应用，是基本知识的考查．7．（5分）在平面直角坐标系中，，，，是圆x2+y2=1上的四段弧（如图），点P其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tanα＜cosα＜si nα，则P所在的圆弧是（）A．B．C．D．【分析】根据三角函数线的定义，分别进行判断排除即可．【解答】解：A．在AB段，正弦线小于余弦线，即cosα＜sinα不成立，故A不满足条件．B．在CD段正切线最大，则cosα＜sinα＜tanα，故B不满足条件．C．在EF段，正切线，余弦线为负值，正弦线为正，满足tanα＜cosα＜sinα，D．在GH段，正切线为正值，正弦线和余弦线为负值，满足cosα＜sinα＜tanα不满足tanα＜cosα＜sinα．故选：C．【点评】本题主要考查三角函数象限和符号的应用，分别判断三角函数线的大小是解决本题的关键．8．（5分）设集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}，则（）A．对任意实数a，（2，1）∈A B．对任意实数a，（2，1）∉AC．当且仅当a＜0时，（2，1）∈A D．当且仅当a≤时，（2，1）∉A【分析】利用a的取值，反例判断（2，1）∈A是否成立即可．【解答】解：当a=﹣1时，集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}={（x，y）|x﹣y≥1，﹣x+y＞4，x+y≤2}，显然（2，1）不满足，﹣x+y＞4，x+y≤2，所以A，C不正确；当a=4，集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}={（x，y）|x﹣y≥1，4x+y＞4，x﹣4y≤2}，显然（2，1）在可行域内，满足不等式，所以B不正确；故选：D．【点评】本题考查线性规划的解答应用，利用特殊点以及特殊值转化求解，避免可行域的画法，简洁明了．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2018年北京市高考数学文试题有答案(真题)

2018年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文史类）第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．若集合{}2A x x =<，{}2,0,1,2B x =-，则A B =I （A ）{}01，（B ）{}-101，，（C ）{}-201，，（D ）{}-1012，，，2）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（）．A ．12B ．56C ．76D ．7124．设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad bc =”是“a ，b ，c ，d成等比数列”的（）． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件．5．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要的贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为（）． A ．32f B ．322f C ．1252f D ．1272f6．某四棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4i1-i7. 在平面直角坐标系中，»AB ,»CD ,»EF ,¼GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中的一段上，角α是以Ox 为始边，OP 为始边.若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是（A ）»AB（B ）»CD （C ）»EF（D ）¼GH8. 设集合(){},|1,4,2A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤，则()A 对任意实数a ，()2,1A ∈()B 对任意实数a ，()2,1A ∉ ()C 当且仅当0a <时，()2,1A ∉()D 当且仅当32a ≤时，()2,1A ∉ 二．填空（9）设向量()1,0a =r ，()1,b m =-r。

2018北京市高考压轴卷文科数学含答案

2018北京卷高考压轴卷数学（文）本试卷共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题纸交回。

第一部分（选择题，共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）设集合，，则2{|20}A x x x =--<2{|1}B x x =≤A B = A. B. {}21x x -<<{}21x x -<≤C.D.{}11x x -<≤{}11x x -<<（2）“且”是“”成立的（）3x >3y >6x y +>A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件（3）已知函数，且有恒成立，则实数的取值范围为⎪⎩⎪⎨⎧<++>--=)0(1)0(2ln )(2x a x x x x x a x f ≤)(x f 2-a a A .[0，2e 2] B. [0，2e 3]C ．(0，2e 2] D ．(0，2e 3]（4）已知正项等比数列的前项和为，且，与的等差中项为，则（）{}n a n n S 1632a a a =4a 62a 325S =A ． B ．30 C.31 D ．553132543132（5）将函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数()2cos(6f x x π=+12的图像，则函数的图像的一个对称中心是（）()y g x =()y g x =A ． B ． C. D ．11(,0)12π(,0)6π(,0)12π5(,0)12π（6）在中，，，是所在平面上的一点. 若，则ABC △60A ∠= 3AB AC ==D ABC △3BC DC = DB AD ⋅=A. B. C. D.1-2-592（7）在中，为的中点，点在线段（不含端点）上，且满足，若不ABC ∆D AB F CD AF xAB y AC =+等式对恒成立，则的最小值为（）212a at x y+≥+[2,2]t ∈-a A ． B ． C.2 D ．44-2-（8）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．B ． C. D ．16243π+16163π+883π+1683π+第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）已知复数满足，则．z ()3443z i i +=+z =（10）在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未污损，即9，10，11，，那么这组数据的方差s 2可能的最大值是．（11）已知函数f （x ）=，f′（x ）为f （x ）的导函数，则f′（0）的值为．x2ex2e +（12）已知为坐标原点，双曲线 ()的右焦点为，以为直径的圆交双曲线O 22221x y a b-=0,0a b >>F OF 的一条渐近线于异于原点的，若点与中点的连线与垂直，则双曲线的离心率为 A A OF OF e ．（13）已知圆C ：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点 A （﹣m，0），B （m ，0）（m ＞0），若圆上存在点P ，使得∠APB=90°，则m 的取值范围是．（14）已知函数对任意的，有．设函数，且在区间()g x x R ∈2()()g x g x x -+=2()()2x f x g x =-()f x 上单调递增，若，则实数的取值范围为．[0,)+∞()(2)0f a f a +-≤a 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）（本小题13分）在中，角所对的边分别是，且.ABC △,,A B C ,,a b c sin sin sin A B Ca b c+=(1)求的值；tan C (2)若，求的面积.2228a b c +-=ABC △（16）（本小题13分）已知在递增等差数列中，，是和的等比中项.{}n a 12a =3a 1a 9a （1）求数列的通项公式；{}n a （2）若，为数列的前项和，求的值.1(1)n nb n a =+n S {}n b n 100S （17）（本小题14分）某市对大学生毕业后自主创业人员给予小额贷款补贴，贷款期限分为6个月、12个月、18个月、24个月、36个月五种，对于这五种期限的贷款政府分别补贴200元、300元、300元、400元、400元，从2016年享受此项政策的自主创业人员中抽取了100人进行调查统计，选取贷款期限的频数如表：贷款期限 6个月 12个月 18个月 24个月 36个月频数2040201010（Ⅰ）若小王准备申请此项贷款，求其获得政府补贴不超过300元的概率（以上表中各项贷款期限的频率作为2017年自主创业人员选择各种贷款期限的概率）；（Ⅱ）若小王和小李同时申请此项贷款，求两人所获得政府补贴之和不超过600元的概率．（18）（本小题13分）如图，在多面体中，是正方形，平面，平面，，点ABCDEF ABCD BF ⊥ABCD DE ⊥ABCD BF DE =为棱的中点.M AE（1）求证：平面平面；//BMD EFC （2）若,求三棱锥的体积.12AB BF ==，A CEF -（19）（本小题14分）已知椭圆，上顶点的距离为3.2222:1(0)x y C a b a b +=>>3M 340y ++=（Ⅰ）求椭圆的方程；C （Ⅱ）设直线过点且与椭圆相交于两点，不经过点，证明：直线的斜率与直线l ()4,2-C ,A B l M MA 的斜率之和为定值.MB （20）（本小题13分）已知曲线与轴有唯一公共点.2()1ln ()y f x x a x a R ==--∈x A （Ⅰ）求实数的取值范围；a （Ⅱ）曲线在点处的切线斜率为.若两个不相等的正实数，满足()y f x =A 27a a --1x 2x ，求证：.12()()f x f x =121x x <数学（文）试卷答案及评分参考一、选择题：1.【答案】C 2.【答案】A 3.【答案】B4.【答案】.C5.【答案】B6.【答案】A7.【答案】B8.【答案】D 二、填空题：9.【答案】110.【答案】36【解析】设这组数据的最后2个分别是：10+x ，y ，则9+10+11+（10+x ）+y=50，得：x+y=10，故y=10﹣x ，故S 2= [1+0+1+x 2+（﹣x ）2]= + x 2，显然x 最大取9时，S 2最大是36，故答案为：36．11.【答案】2【解析】 =；∴．故答案为：2．213.【答案】[4，6]【解析】圆C ：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C （3，4），半径为1，∵圆心C 到O （0，0）的距离为5，∴圆C 上的点到点O 的距离的最大值为6，最小值为4，再由∠APB=90°，以AB 为直径的圆和圆C 有交点，可得PO=AB=m ，故有4≤m≤6，故答案为：[4，6]．14.【答案】1a 三、解答题：15．（本小题满分13分）【答案】(1)∵sin sin cos A B C a b c +=，由正弦定理得sin sin cos sin sin sin A B C A B C +=，∴1tan 2C =.(2)由2228a b c +-=，得2228cos 22a b c C ab ab +-==，∴4cos ab C=，∴114sin sin 2tan 122cos ABC S ab C C C C==´´==△.16．（本小题满分13分）【答案】（Ⅰ）由为等差数列，设公差为，则.∵是和的等比中项，∴{}n a d 1(1)n a a n d =+-3a 1a 9a ，即，解之，得（舍），或.2319a a a =2(22)2(28)d d +=+0d =2d =∴.1(1)2n a a n d n =+-=（Ⅱ）.11111()(1)2(1)21n n b n a n n n n ===-+++.12100n S b b b =+++=111111(12223100101-+-++- 1150(1)2101101=-=17．（本小题满分13分）【答案】（1）由题意，所求概率为（2）记a ，b ，c ，d ，e 分别为选择6个月、12个月、18个月、24个月、36个月贷款，由题意知小王和小李的所有选择有：aa ，ab ，ac ，ad ，ae ，ba ，bb ，bc ，bd ，be ，ca ，cb ，cc ，cd ，ce ，da ，db ，dc ，dd ，de ，ea ，eb ，ec ，ed ，ee ，共25种，其中使得小王和小李获补贴之和不超过600的有aa ，ab ，ac ，ad ，ae ，ba ，bb ，bc ，ca ，cb ，cc ，da ，ea ，共13种，所以所求概率为．【解析】（1）由题意，所求概率为P=．（2）记a ，b ，c ，d ，e 分别为选择6个月、12个月、18个月、24个月、36个月贷款，由题意知小王和小李的所有选择有：aa ，ab ，ac ，ad ，ae ，ba ，bb ，bc ，bd ，be ，ca ，cb ，cc ，cd ，ce ，da ，db ，dc ，dd ，de ，ea ，eb ，ec ，ed ，ee ，共25种，得出其中使得小王和小李获补贴之和不超过600的有13种，即可得出所求概率．18．（本小题满分13分）【答案】（1）证明：设AC 与BD 交于点N ，则N 为AC 的中点，∴//MN EC .∵MN ⊄平面EFC ，EC ⊂平面EFC ，∴//MN 平面EFC .∵BF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，且BF DE =，∴//BF DE =，∴BDEF 为平行四边形，∴//BD EF .∵BD ⊄平面EFC ，EF ⊂平面EFC ，∴//BD 平面EFC .又∵MN BD N ⋂=，∴平面//BDM 平面EFC .（2）连接,EN FN .在正方形ABCD 中，AC BD ⊥，又∵BF ⊥平面ABCD ，∴BF AC ⊥.∵BF BD B ⋂=,∴平面BDEF ，且垂足为N ，∴11122223323A CEF NEF V AC S -∆=⋅⋅==,∴三棱锥A CEF -的体积为23.19．（本小题满分14分）【答案】（Ⅰ）解:由题可得，，22234{3, 2,c e a b a b c ==+==+解得，所以椭圆的方程为.4,2a b ==C 221164x y +=（Ⅱ）易知直线斜率恒小于0，设直线方程：，且，l l ()24,0y k x k +=-<1k ≠-，联立得，则()()1122,,,A x y B x y ()2224,{1,164y k x x y +=-+=()()()221416216410k x k k x k k +-+++=，()()1212221621641,1414k k k k x x x x kk+++==++因为，()()1221121212444422MA MB kx k x kx k x y y k k x x x x --+----+=+=所以（为定值）.()1212244MA MB x x k k k k x x ++=-+()()()()16212412211641k k k k k k k k +=-+=-+=-+20．（本小题满分14分）【答案】（Ⅰ）解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞.(1)0f =.由题意，函数()f x 有唯一零点1.'()2af x x x=-.（1）若0a ≤，则0a -≥.显然'()0f x >恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数.又(1)0f =，所以0a ≤符合题意.（2）若0a >，22'()x af x x -=.'()02a f x x >⇔>'()002a f x x <⇔<<.所以()f x 在2a 上是减函数，在,)2a +∞上是增函数.所以min ())2a f x f =1ln 222a a a=--.由题意，必有)02a f ≤（若(02af >，则()0f x >恒成立，()f x 无零点，不符合题意）①若0f <，则1ln 0222a a a--<.令()1ln (0)222a a a g a a =-->，则11'()ln 222a g a =-111ln 22222a a a -⨯⨯=-.'()002g a a >⇔<<；'()02g a a <⇔>.所以函数()g a 在(0,2)上是增函数，在(2,)+∞上是减函数.所以max ()(2)0g a g ==.所以()0g a ≤，当且仅当2a =时取等号.所以，002af a <⇔>，且2a ≠.取正数1min{,}2a a b e -<，则2()1ln 1ln f b b a b a b =-->--11()0a a>--⨯-=；取正数1c a >+，显然22a c a >>.而2()1ln f c c a x =--，令()ln h x x x =-，则1'()1h x x =-.当1x >时，显然1'()10h x x=-<.所以()h x 在[1,)+∞上是减函数.所以，当1x >时，()ln h x x x =-(1)10h <=-<，所以ln x x <.因为1c >，所以2()1ln f c c a c =--21()1c ac c c a >--=--110c >⨯->.又()f x 在2a 上是减函数，在)2a+∞上是增函数，则由零点存在性定理，()f x 在2a 、()2a+∞上各有一个零点.可见，02a <<，或2a >不符合题意.注：0a >时，若利用00lim ()x f x →+=+∞，(02a f <，lim ()x f x →+∞=+∞，说明()f x 在)2a 、)+∞上各有一个零点.②若0f =12a =，即2a =.符合题意.综上，实数a 的取值范围为{|0,2}a a a ≤=或.（Ⅱ）由题意，2'(1)27f a a a =-=--.所以29a =，即3a =±.由（Ⅰ）的结论，得3a =-.2()13ln f x x x =-+，()f x 在(0,)+∞上是增函数.()001f x x <⇔<<；()01f x x >⇔>.由12()()f x f x =，不妨设12x x <，则1201x x <<<.从而有12()()f x f x -=，即221122(13ln )13ln x x x x --+=-+.所以2212123ln 20x x x x ++-=121223ln 2x x x x >+-.令()23ln 2p t t t =+-，显然()p t 在(0,)+∞上是增函数，且(1)0p =.所以()001p t t <⇔<<.从而由121223ln 20x x x x +-<，得121x x <.。

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