2019届河北省衡水中学高三下学期一调考试数学(理)试题(解析版)
河北省衡水中学2019届高三第一次模拟考试-数学理试卷
河北省衡水中学2019届高三第一次模拟考试-数学理试卷河北省衡水中学2019届高三第一次模拟考试-数学理试卷·3·河北省衡水中学2019～2019学年度第二学期高三年级一模考试数学（理科）试卷（A 卷）本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的） 1．设全集为实数集R ，{}{}24,13M x x N x x =>=<≤,则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{}21x x -≤<B ．{}22x x -≤≤C ．{}12x x <≤D ．{}2x x < 2．设,a R i ∈是虚数单位，则“1a =”是“a ia i+-为纯虚数”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 3．若{}na 是等差数列，首项10,a>201120120a a +>，201120120a a ⋅<，则使前n 项和0nS>成立的最大正整数n 是（ ） A ．2019 B ．2019 C ．4022D ．4023·4·4. 在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众显示可 以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续 7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是（ ）①平均数3x ≤；②标准差2S ≤；③平均数3x ≤且标准差2S ≤；④平均数3x ≤且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于1。
A ．①②B ．③④C ．③④⑤D ．④⑤5.在长方体ABCD —A1B1C1D1中，对角线B1D 与平面A1BC1相交于点E ，则点E 为△A1BC1的（ ） A ．垂心 B ．内心 C ．外心 D ．重心6.设yx ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤--,0,,02,063y x y x y x 若目标函数y b ax z +=)0,(>b a 的最大值是12，则22a b +的最小值是（ ）A ．613B ．365C ．651·5·D ．36137.已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（ ）A ．16πB ．4πC ．8πD ．2π 8．已知函数()2sin()f x x =+ωϕ(0,)ω>-π<ϕ<π图像的一部分（如图所示），则ω与ϕ的值分别为（ ） A ．115,106π- B ．21,3π-C ．7,106π-D ．4,53π-9. 双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ,且2F 恰为抛物线24y x=的焦点,设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ,若12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形,则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．12+C ．13+D ．23+10. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数12,x x ，不等式)()()()(12212211x f x x f x x f x x f x +<+恒成立，则不等式0)1(<-x f 的解集为( ) A.)0,(-∞ B. ()+∞,0 C.)1,(-∞ D. ()+∞,1·6·11.已知圆的方程422=+y x ，若抛物线过点A(0，－1)，B(0,1)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是( )A.x23＋y24＝1(y≠0)B.x24＋y23＝1(y≠0) C.x23＋y24＝1(x≠0) D.x24＋y23＝1 (x≠0) 12. 设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f = ，且对任意x ∈R，满足(2)()32xf x f x +-≤⋅，(6)()632xf x f x +-≥⋅，则)2008(f =（ ）A.200722006+ B ．200622008+ C ．200722008+ D ．200822006+第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置） 13.在区间[－6，6]，内任取一个元素xO ，若抛物线y=x2在x=xo 处的切线的倾角为α，则3,44ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的概率为 。
河北省衡水中学2019届高三第二学期一模考试理科数学试题(解析版)
2018-2019学年度第二学期高三年级一模考试数学（理科）试卷第I 卷（选择题共60分）一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知全集为R ，集合{1,0,1,5}A =-，{}2|20B x x x =--≥，则R AB =ð（ ）A. {1,1}-B. {0,1}C. {0,1,5}D. }1,0,1{-【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合B,再求R A B ð得解. 【详解】由题得B={x|x ≥2或x ≤1-}, 所以{|12}R C B x x =-<<， 所以{0,1}R A B =ð.故选：B【点睛】本题主要考查集合的交集和补集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.若复数z 满足(1i)|1|z +=，则在复平面内z 的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】先求出复数z 和z ,再求出在复平面内z 的共轭复数对应的点的位置得解. 【详解】由题得22(1)1(1)(1)(1i)i z i i i -===-++-，所以1z i=+，所以在复平面内z的共轭复数对应的点为（1,1），在第一象限.故选：A【点睛】本题主要考查复数的模和复数的除法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3. 某单位共有36名员工，按年龄分为老年、中年、青年三组，其人数之比为3：2：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为12的样本，则青年组中甲、乙至少有一人被抽到的概率为（）A. 25B.35C. 2536D.1136【答案】B【解析】试题分析：按分层抽样应该从青年职工组中抽取人,其中青年组共有人,这六人中抽取两人的基本事件共有种，甲乙至少有一人抽到的对立事件为甲乙均没被抽到，基本事件为种，因此青年组中甲、乙至少有一人被抽到的概率为，故选B．考点：1．分层抽样；2．古典概型．4.如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是（）A. 2017年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省.B. 与去年同期相比，2017年第一季度的GDP 总量实现了增长.C. 去年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元.D. 2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个. 【答案】D 【解析】分析：解决本题需要从统计图获取信息，解题的关键是明确图表中数据的来源及所表示的意义，依据所代表的实际意义获取正确的信息．详解：由折线图可知A 、B 正确；()4067.41 6.6%38154000÷+≈<，故C 正确；2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏均第一；河南均第四，共2个.故D 错误. 故选D.点睛：本题考查条形统计图和折线统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图得到必要的住处是解决问题的关键．5.P 是双曲线22:12x C y -=右支上一点, 直线l 是双曲线C 的一条渐近线.P 在l 上的射影为Q ,1F 是双曲线C 的左焦点, 则||||1PQ PF +的最小值为( ) A. 1B. 25+C. 45+D. 122+【答案】D 【解析】设双曲线C 的右焦点为2F ，连接2PF，则12PF PQ PF PQ +=+d ≥（d为点2F到渐近线0x =的1=），即1PF PQ +的最小值为122+；故选D.点睛：本题考查双曲线的定义和渐近线方程；在处理涉及椭圆或双曲线的点到两焦点的距离问题时，往往利用椭圆或双曲线的定义，将曲线上的点到一焦点的距离合理转化到另一个焦点间的距离.6.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ，AC ，1AA 两两互相垂直，1AB AC AA ==，M ，N 是线段1BB ，1CC 上的点，平面AMN 与平面ABC 所成（锐）二面角为6π，当1B M 最小时，=∠AMB （ ）A.512πB.3π C.4π D.6π 【答案】B 【解析】 【分析】以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AMB ∠的大小．【详解】以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设1=1AB AC AA ==，设CN b =，BM a =，则(1N ，0，)b ，(0M ，1，)a ，(0A ，0，0)，(0B ，1，0)， (0AM =，1，)a ，(1AN =，0，)b ，设平面AMN 的法向量(n x =，y ，)z ，·0·0AM n y az AN n x bz ⎧=+=⎨=+=⎩，取1=z ，得(n b =-，a -，1)， 平面ABC 的法向量(0m =，0，1)， 平面AMN 与平面ABC 所成（锐)二面角为6π， 2||cos6||||m n m n a π∴==+，解得22331a b +=，∴当|1|B M 最小时，0b =，BM a ==，tan AB AMB BM ∴∠== 3AMB π∴∠=．故选：B ．【点睛】本题考查角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7.已知函数sin()()xx f x a ωϕπ+=(0,0,)a R ωϕπ><<∈，在[]3,3-的大致图象如图所示，则aω可取（ ）A.2πB. πC. 2πD.4π【答案】B 【解析】分析：从图像可以看出()f x 为偶函数，结合()f x 的形式可判断出()sin y x ωϕ=+为偶函数，故得ϕ的值，最后通过()10f =得到ω的值．详解：()f x 为[]3,3-上的偶函数，而xy a π=为[]3,3-上的偶函数，故()()sin g x x ωϕ=+为[]3,3-上的偶函数，所以,2k k Z πϕπ=+∈．因为0ϕπ<<，故2πϕ=，()()sin cos 2x xx x f x a a πωωππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==． 因()10f =，故cos 0ω=，所以2k πωπ=+，k ∈N ．因()02f =，故0cos 012a aπ==，所以21=a ． 综上()21k aωπ=+，k ∈N ，故选B ．点睛：本题为图像题，考察我们从图形中扑捉信息的能力，一般地，我们需要从图形得到函数的奇偶性、单调性、极值点和函数在特殊点的函数值，然后利用所得性质求解参数的大小或取值范围．8.《九章算术》中描述的“羡除”是一个五面体，其中有三个面是梯形，另两个面是三角形.已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的体积为（ ）A. 20B. 24C. 28D. 32【答案】B 【解析】 【分析】画出五面体的直观图，利用割补法求其体积. 【详解】五面体对应的直观图为：由三视图可得：,4,2,6EF BC AD BC EF AD ===，三个梯形均为等腰梯形且平面FADE ⊥平面ABCDF 到底面ABCD 的距离为4d =，,AD BC 间的距离为3.如下图所示，将五面体分割成三个几何体，其中,F AGHB E IDCJ --为体积相等的四棱锥，且2AG GI ID ===，1,2BH JC HJ ===，则棱柱FGH EIJ -为直棱柱，EIJ ∆为直角三角形.又()114123632F AGHB E IDCJ V V --==⨯⨯⨯+⨯=； 1243122FGH EIJ V -=⨯⨯⨯=，故五面体的体积为121224+=.故选A.【点睛】本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．而不规则几何体的体积的计算，可将其分割成体积容易计算的规则的几何体.9.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,且BC 边上的高为a 63,则c b b c + 的最大值是（ ） A. 8 B. 6C.D. 4【答案】D 【解析】22b c b c c b bc ++=，这个形式很容易联想到余弦定理：cos A 2222b c a bc+-=，①而条件中的“高”容易联想到面积，1122a =bc sin A ，即a 2＝23bc sin A ，② 将②代入①得：b 2＋c 2＝2bc (cos A ＋3sin A )，∴b c c b+＝2(cos A ＋3sin A )＝4sin(A ＋6π)，当A ＝3π时取得最大值4，故选D ．点睛：三角形中最值问题，一般转化为条件最值问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.10.已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若12>0x x ，且()()120f x f x +=，则12x x +的最小值为（ ） A.6π B. 3π C.2π D.23π 【答案】D 【解析】 【分析】先分析得到12x x +的最小值等于函数f(x)的绝对值最小的零点的2倍，再求函数的绝对值最小的零点即得解.【详解】由题得12+x x 等于函数的零点的2倍，所以12x x +的最小值等于函数f(x)的绝对值最小的零点的2倍， 令()sin =03f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以,3x k k Z ππ-=∈,所以=+,3x k k Z ππ∈，所以绝对值最小的零点为3π， 故12x x +的最小值为23π. 故选：D【点睛】本题主要考查正弦型函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.过抛物线24y x =的焦点的一条直线交抛物线于A 、B 两点，正三角形ABC 的顶点C 在直线1x =-上，则ABC ∆的边长是（ ） A. 8 B. 10C. 12D. 14【答案】C 【解析】【分析】设AB 的中点为M ，过A 、B 、M 分别作1AA 、1BB 、MN 垂直于直线1x =-于1A 、1B 、N ， 设AFx θ∠=，求出31sin =θ，利用弦长公式，可得结论．【详解】抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，设AB 的中点为M ，过A 、B 、M 分别作1AA 、1BB 、MN 垂直于直线1x =-于1A 、1B 、N ，设AFx θ∠=，由抛物线定义知：1111||(||||)||22MN AA BB AB =+=，|||MC AB =，|||MN MC ∴=， 90CMN θ∠=︒-，∴||cos cos(90)||MN CMN MC θ∠=︒-=31sin =θ，所以直线AB 的斜率k=tan θ=所以直线AB 的方程为1)y x -， 联立直线AB 方程和抛物线方程得21010x x -=+，所以1212+=10||10212x x AB x x p ∴=++=+=，. 故选：C ．【点睛】本题考查抛物线的方程与性质，考查抛物线的定义，正确运用抛物线的定义是关键．12.设函数()(1x g x e x a =+--（a R ∈，e 为自然对数的底数）,定义在R 上的函数()f x 满足2()()f x f x x -+=，且当0x ≤时，'()f x x <．若存在01|()(1)2x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()y g x x =-的一个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A. 2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭B. )+∞C. )+∞D. ,2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】先构造函数()()212T x f x x =-，由题意判断出函数()T x 的奇偶性，再对函数()T x 求导，判断其单调性，进而可求出结果.【详解】构造函数()()212T x f x x =-， 因为()()2f x f x x -+=，所以()()()()()()()22211022T x T x f x x f x x f x f x x +-=-+---=+--=， 所以()T x 为奇函数，当0x ≤时，()()''0T x f x x =-<，所以()T x 在(],0-∞上单调递减， 所以()T x R 上单调递减.因为存在()()0112x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭， 所以()()000112f x f x x +≥-+， 所以()()()220000011111222T x x T x x x ++≥-+-+，化简得()()001T x T x ≥-， 所以001x x ≤-，即012x ≤令()()12xh x g x x e a x ⎛⎫=-=-≤⎪⎝⎭，因为0x 为函数()y g x x =-的一个零点， 所以()h x 在12x ≤时有一个零点 因为当12x ≤时，()12'0x h x e e =≤=，所以函数()h x 在12x ≤时单调递减，由选项知0a >，102<<，又因为0h ea e⎛=-=> ⎝，所以要使()h x 在12x ≤时有一个零点，只需使102h a ⎛⎫=≤⎪⎝⎭，解得2a ≥， 所以a的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎣⎭，故选D. 【点睛】本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.若实数x ，y 满足约束条件1330.y x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，，，则3z x y =+的最小值为__________. 【答案】2 【解析】 分析】先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z 的最小值．【详解】作出约束条件1330.y x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，，，表示的平面区域（如图示：阴影部分）：由10y x x y =⎧⎨+-=⎩得A （12,12），由z ＝3x +y 得y ＝﹣3x +z ，平移y ＝﹣3x ， 易知过点A 时直线在y 上截距最小， 所以3z x y =+的最小值为32+122=． 故答案为：2．【点睛】本题考查了简单线性规划问题，关键是画出可行域并理解目标函数的几何意义．14.若110tan ,,tan 342ππααα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，则2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值为___________． 【答案】0 【解析】试题分析：由110tan ,,tan 342ππααα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，解得tan 3α=，又2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭22sin 2cos 2cos 222αααααα=++=+-222cos sin cos 2ααααα+=-+20tan 12αα+=-=+． 考点：三角函数的化简求值．15.函数()f x 图像上不同两点),(11y x A ，),(22y x B 处的切线的斜率分别是A k ，B k ，AB 为A B 、两点间距离，定义(,)A B k k A B ABϕ-=为曲线()f x 在点A 与点B 之间的“曲率”，给出以下命题：①存在这样的函数，该函数图像上任意两点之间的“曲率”为常数；②函数32()1f x x x =-+图像上两点A 与B 的横坐标分别为1,2，则 “曲率”(,)A B ϕ> ③函数2()(0,)f x ax b a b R =+>∈图像上任意两点A B 、之间 的“曲率”(,)2A B a ϕ≤；④设),(11y x A ，),(22y x B 是曲线()xf x e =上不同两点，且121x x -=，若·(,)1t A B ϕ<恒成立，则实数 t 的取值范围是(,1)-∞。
河北省衡水中学2019届高三下学期一模考试理科数学试卷 含解析
2018-2019学年度第二学期高三年级一模考试数学（理科）试卷第I 卷（选择题共60分）一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知全集为R ，集合{1,0,1,5}A =-，{}2|20B x x x =--≥，则R A B =I ð（ ）A. {1,1}-B. {0,1}C. {0,1,5}D. }1,0,1{-【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合B,再求R A B I ð得解. 【详解】由题得B={x|x ≥2或x ≤1-}, 所以{|12}R C B x x =-<<， 所以{0,1}R A B =I ð. 故选：B【点睛】本题主要考查集合的交集和补集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.若复数z 满足(1i)|13i |z +=+，则在复平面内z 的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】先求出复数z 和z ,再求出在复平面内z 的共轭复数对应的点的位置得解. 【详解】由题得22(1)1(1)(1)(1i)i z i i i -===-++-， 所以1z i =+，所以在复平面内z 的共轭复数对应的点为（1,1），在第一象限.故选：A【点睛】本题主要考查复数的模和复数的除法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3. 某单位共有36名员工，按年龄分为老年、中年、青年三组，其人数之比为3：2：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为12的样本，则青年组中甲、乙至少有一人被抽到的概率为（）A. 25B.35C. 2536D.1136【答案】B【解析】试题分析：按分层抽样应该从青年职工组中抽取人,其中青年组共有人,这六人中抽取两人的基本事件共有种，甲乙至少有一人抽到的对立事件为甲乙均没被抽到，基本事件为种，因此青年组中甲、乙至少有一人被抽到的概率为，故选B．考点：1．分层抽样；2．古典概型．4.如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是（）A. 2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省.B. 与去年同期相比，2017年第一季度的GDP总量实现了增长.C. 去年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元.D. 2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个. 【答案】D 【解析】分析：解决本题需要从统计图获取信息，解题的关键是明确图表中数据的来源及所表示的意义，依据所代表的实际意义获取正确的信息．详解：由折线图可知A 、B 正确；()4067.41 6.6%38154000÷+≈<，故C 正确；2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏均第一；河南均第四，共2个.故D 错误. 故选D.点睛：本题考查条形统计图和折线统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图得到必要的住处是解决问题的关键．5.P 是双曲线22:12x C y -=右支上一点, 直线l 是双曲线C 的一条渐近线.P 在l 上的射影为Q ,1F 是双曲线C 的左焦点, 则||||1PQ PF +的最小值为( )A. 1B. 152C. 154D. 122+【答案】D 【解析】设双曲线C 的右焦点为2F ，连接2PF ，则1222PF PQ PF PQ +=+22d ≥（d 为点2(3,0)F 到渐近线20x =313=），即1PF PQ +的最小值为122+；故选D.点睛：本题考查双曲线的定义和渐近线方程；在处理涉及椭圆或双曲线的点到两焦点的距离问题时，往往利用椭圆或双曲线的定义，将曲线上的点到一焦点的距离合理转化到另一个焦点间的距离.6.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ，AC ，1AA 两两互相垂直，1AB AC AA ==，M ，N 是线段1BB ，1CC 上的点，平面AMN 与平面ABC 所成（锐）二面角为6π，当1B M 最小时，=∠AMB （ ）A.512π B.3π C.4π D.6π 【答案】B 【解析】 【分析】以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AMB ∠的大小．【详解】以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设1=1AB AC AA ==，设CN b =，BM a =，则(1N ，0，)b ，(0M ，1，)a ，(0A ，0，0)，(0B ，1，0)， (0AM =u u u u r ，1，)a ，(1AN =u u u r，0，)b ，设平面AMN 的法向量(n x =r，y ，)z ，·0·0AM n y az AN n x bz u u u u v r u u uv r ⎧=+=⎨=+=⎩，取1=z ，得(n b =-r，a -，1)， 平面ABC 的法向量(0m =r，0，1)，Q 平面AMN 与平面ABC 所成（锐)二面角为6π， 22||cos 6||||1m n m n a b π∴=++r r g r r g ，解得22331a b +=，∴当|1|B M 最小时，0b =，3BM a ==，tan 33AB AMB BM ∴∠=== 3AMB π∴∠=．故选：B ．【点睛】本题考查角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7.已知函数sin()()xx f x a ωϕπ+=(0,0,)a R ωϕπ><<∈，在[]3,3-的大致图象如图所示，则a ω可取（ ）A.2πB. πC. 2πD.4π【答案】B 【解析】分析：从图像可以看出()f x 为偶函数，结合()f x 的形式可判断出()sin y x ωϕ=+为偶函数，故得ϕ的值，最后通过()10f =得到ω的值．详解：()f x 为[]3,3-上的偶函数，而xy a π=为[]3,3-上的偶函数，故()()sin g x x ωϕ=+为[]3,3-上的偶函数，所以,2k k Z πϕπ=+∈．因为0ϕπ<<，故2πϕ=，()()sincos2x xxxfxa aπωωππ⎛⎫+⎪⎝⎭==．因()10f=，故cos0ω=，所以2kπωπ=+，k∈N．因()02f=，故cos012a aπ==，所以21=a．综上()21kaωπ=+，k∈N，故选B ．点睛：本题为图像题，考察我们从图形中扑捉信息的能力，一般地，我们需要从图形得到函数的奇偶性、单调性、极值点和函数在特殊点的函数值，然后利用所得性质求解参数的大小或取值范围．8.《九章算术》中描述的“羡除”是一个五面体，其中有三个面是梯形，另两个面是三角形.已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的体积为（）A. 20B. 24C. 28D. 32【答案】B【解析】【分析】画出五面体的直观图，利用割补法求其体积.【详解】五面体对应的直观图为：由三视图可得：,4,2,6EF BC AD BC EF AD===P P，三个梯形均为等腰梯形且平面FADE⊥平面ABCDF 到底面ABCD 的距离为4d =，,AD BC 间的距离为3.如下图所示，将五面体分割成三个几何体，其中,F AGHB E IDCJ --为体积相等的四棱锥，且2AG GI ID ===，1,2BH JC HJ ===，则棱柱FGH EIJ -为直棱柱，EIJ ∆为直角三角形.又()114123632F AGHB E IDCJ V V --==⨯⨯⨯+⨯=； 1243122FGH EIJ V -=⨯⨯⨯=，故五面体的体积为121224+=.故选A.【点睛】本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．而不规则几何体的体积的计算，可将其分割成体积容易计算的规则的几何体.9.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,且BC 边上的高为a 63,则c b b c + 的最大值是（ ） A. 8 B. 6C. 32D. 4【答案】D 【解析】22b c b c c b bc ++=，这个形式很容易联想到余弦定理：cos A 2222b c a bc+-=，① 而条件中的“高”容易联想到面积，13122a =bc sin A ，即a 2＝23bc sin A ，② 将②代入①得：b 2＋c 2＝2bc (cos A ＋3sin A )，∴b c c b+＝2(cos A ＋3sin A )＝4sin(A ＋6π)，当A ＝3π时取得最大值4，故选D ．点睛：三角形中最值问题，一般转化为条件最值问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.10.已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若12>0x x ，且()()120f x f x +=，则12x x +的最小值为（ ） A.6π B.3π C.2π D.23π 【答案】D 【解析】 【分析】先分析得到12x x +的最小值等于函数f(x)的绝对值最小的零点的2倍，再求函数的绝对值最小的零点即得解.【详解】由题得12+x x 等于函数的零点的2倍，所以12x x +的最小值等于函数f(x)的绝对值最小的零点的2倍， 令()sin =03f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以,3x k k Z ππ-=∈,所以=+,3x k k Z ππ∈，所以绝对值最小的零点为3π， 故12x x +的最小值为23π. 故选：D【点睛】本题主要考查正弦型函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.过抛物线24y x =的焦点的一条直线交抛物线于A 、B 两点，正三角形ABC 的顶点C 在直线1x =-上，则ABC ∆的边长是（ ）A. 8B. 10C. 12D. 14【答案】C 【解析】 【分析】设AB 的中点为M ，过A 、B 、M 分别作1AA 、1BB 、MN 垂直于直线1x =-于1A 、1B 、N ， 设AFx θ∠=，求出31sin =θ，利用弦长公式，可得结论．【详解】抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，设AB 的中点为M ，过A 、B 、M 分别作1AA 、1BB 、MN垂直于直线1x =-于1A 、1B 、N ，设AFx θ∠=，由抛物线定义知：1111||(||||)||22MN AA BB AB =+=，3||||MC AB =Q ，||||3MN MC ∴=， 90CMN θ∠=︒-Q ，∴||cos cos(90)||3MN CMN MC θ∠=︒-==，即31sin =θ， 所以直线AB 的斜率k=2tan 2θ=, 所以直线AB 的方程为2(1)y x =-， 联立直线AB 方程和抛物线方程得21010x x -=+，所以1212+=10||10212x x AB x x p ∴=++=+=，. 故选：C ．【点睛】本题考查抛物线的方程与性质，考查抛物线的定义，正确运用抛物线的定义是关键．12.设函数()(1)x g x e e x a =+--（a R ∈，e 为自然对数的底数）,定义在R 上的函数()f x 满足2()()f x f x x -+=，且当0x ≤时，'()f x x <．若存在01|()(1)2x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()y g x x =-的一个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A. e⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭B. ,)e +∞C. ,)e +∞D. e⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】先构造函数()()212T x f x x =-，由题意判断出函数()T x 的奇偶性，再对函数()T x 求导，判断其单调性，进而可求出结果. 【详解】构造函数()()212T x f x x =-， 因为()()2f x f x x -+=，所以()()()()()()()22211022T x T x f x x f x x f x f x x +-=-+---=+--=， 所以()T x 为奇函数，当0x ≤时，()()''0T x f x x =-<，所以()T x 在(],0-∞上单调递减， 所以()T x R 上单调递减.因为存在()()0112x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭， 所以()()000112f x f x x +≥-+， 所以()()()220000011111222T x x T x x x ++≥-+-+，化简得()()001T x T x ≥-， 所以001x x ≤-，即012x ≤令()()12xh x g x x e ex a x ⎛⎫=-=-≤⎪⎝⎭， 因为0x 为函数()y g x x =-的一个零点， 所以()h x 在12x ≤时有一个零点 因为当12x ≤时，()12'0x h x e e e e =≤=，所以函数()h x 在12x ≤时单调递减，由选项知0a >，102e<<，又因为0eeh ee a ee e -⎛=-=> ⎝，所以要使()h x 在12x ≤时有一个零点， 只需使11022h e e a ⎛⎫=≤⎪⎝⎭，解得2e a ≥， 所以a 的取值范围为e ⎫+∞⎪⎪⎣⎭，故选D. 【点睛】本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.若实数x ，y 满足约束条件1330.y x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，，，则3z x y =+的最小值为__________.【答案】2 【解析】 分析】先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z 的最小值．【详解】作出约束条件1330.y x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，，，表示的平面区域（如图示：阴影部分）：由10y x x y =⎧⎨+-=⎩得A （12,1 2），由z ＝3x +y 得y ＝﹣3x +z ，平移y ＝﹣3x ， 易知过点A 时直线在y 上截距最小， 所以3z x y =+的最小值为32+122=． 故答案为：2．【点睛】本题考查了简单线性规划问题，关键是画出可行域并理解目标函数的几何意义．14.若110tan ,,tan 342ππααα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，则2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值为___________． 【答案】0 【解析】试题分析：由110tan ,,tan 342ππααα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，解得tan 3α=，又2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 222222222cos 22αααααα=+=+ 2222cos 222sin cos 2ααααα+=-+222220tan 12αα+=-=+． 考点：三角函数的化简求值．15.函数()f x 图像上不同两点),(11y x A ，),(22y x B 处的切线的斜率分别是A k ，B k ，AB 为A B 、 两点间距离，定义(,)A B k k A B ABϕ-=为曲线()f x 在点A 与点B 之间的“曲率”，给出以下命题：①存在这样的函数，该函数图像上任意两点之间的“曲率”为常数；②函数32()1f x x x =-+图像上两点A 与B 的横坐标分别为1,2，则 “曲率”(,)3A B ϕ>； ③函数2()(0,)f x ax b a b R =+>∈图像上任意两点A B 、之间 的“曲率”(,)2A B a ϕ≤；④设),(11y x A ，),(22y x B 是曲线()x f x e =上不同两点，且121x x -=，若·(,)1t A B ϕ<恒成立，则实数t 的取值范围是(,1)-∞。
河北省衡水中学2019届高三第二学期一模考试理科数学试题
绝密★启用前河北省衡水中学2019届高三第二学期一模考试理科数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知全集为R ，集合{1,0,1,5}A =-，{}2|20B x x x =--≥，则R A B =ð（ ）A ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{0,1,5}D ．}1,0,1{-2．若复数z 满足(1i)|1|z +=+，则在复平面内z 的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．某单位共有36名员工，按年龄分为老年、中年、青年三组，其人数之比为3：2：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为12的样本，则青年组中甲、乙至少有一人被抽到的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图是2017年第一季度五省 情况图，则下列陈述中不正确的是（ ）………外…………………○…………线…………○……※※题※※………内…………………○…………线…………○……A ．2017年第一季度 增速由高到低排位第5的是浙江省.B ．与去年同期相比，2017年第一季度的 总量实现了增长.C ．去年同期河南省的 总量不超过4000亿元.D ．2017年第一季度 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个.5．P 是双曲线22:12x C y -=右支上一点, 直线l 是双曲线C 的一条渐近线. P 在l 上的射影为Q ,1F 是双曲线C 的左焦点, 则1PF PQ +的最小值为( ) A ．1 B ．25+C ．45+ D ．1 6．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ，AC ，1AA 两两互相垂直，1AB AC AA ==，M ，N 是线段1BB ，1CC 上的点，平面AMN 与平面ABC 所成（锐）二面角为6π，当1B M 最小时，=∠AMB （ ）A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π………订…………线…………○__________考号：____………订…………线…………○示，则可取（ ）A ．B ．C ．D ．8．《九章算术》中描述的“羡除”是一个五面体，其中有三个面是梯形，另两个面是三角形.已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的体积为（ ）A ．20B ．24C ．28D ．329．在 中，内角 所对的边分别是 ,且 边上的高为,则的最大值是（ ） A ．B ．C ．D ．10．已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若12>0x x ，且()()120f x f x +=，则12x x +的最小值为（ ） A ．6π B ．3π C ．2πD ．23π 11．过抛物线24y x =的焦点的一条直线交抛物线于A 、B 两点，正三角形ABC 的顶点C 在直线1x =-上，则ABC ∆的边长是（ ） A ．8B ．10C ．12D ．1412．设函数 （ ， 为自然对数的底数）,定义在 上的函数 满足 ，且当 时， ．若存在，且 为函数 的一个零点，则实数 的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．若实数，满足约束条件，，，则的最小值为__________. 14．若，则的值为___________．15．函数图像上不同两点，处的切线的斜率分别是，，为、两点间距离，定义为曲线在点与点之间的“曲率”，给出以下命题：①存在这样的函数，该函数图像上任意两点之间的“曲率”为常数；②函数图像上两点与的横坐标分别为1,2，则“曲率”；③函数图像上任意两点、之间的“曲率”；④设，是曲线上不同两点，且，若恒成立，则实数的取值范围是。
【解析版】河北省衡水中学2019届高三下学期一调考试理科数学试卷
【分析】
D. 4[来*@&#源^:中教网]
①写出命题“
，
”的否定，可判断①的正误；②写出命题“若
，
则 且 ”的否定，可判断②的正误；写出命题“若
，则 或 ”的否命
题，可判断③的正误；④结合复合命题的真值表，可判断④的正误，从而求得结果.
【详解】①命题“
，
”的否定是：“
，
”，所以①正确；
②命题“若
，则 且 ”的否定是“若
【分析】
解一元二次不等式求得 A，解指数不等式求得 B，再根据两个集合的交集的定义求得 .
【详解】因为集合
，[w@ww.zzste p.#%co m*&]
，
所以
，
故选 D.
【点睛】该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.
2.已知
，是虚数单位，若
，则
（）
A.
B. 2
C.
D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】
K12 高考数学模拟
河北省衡水中学 2019 届高三下学期一调考试
数学（理科）
一、选择题：本题共 12 小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.[来源:&中%国教育#出版*~网]
1.已知集合
，
，则
（）
A.
B.
C.
D.
[w& ww.z*z ste %^p.c om ~]
【答案】D
【解析】
行求解，可得结果. 【详解】该程序框图的作用是求
的值，
而
，
故选 C.
【点睛】该题主要考查程序框图，用结合律进行求和，属于简单题目.[来@源:中国教育*出#%版&网]
河北衡水中学2019届高三下学期大联考卷Ⅱ 理科数学试题含答案
题 考 生 都 必 须 作 答 .第 22,23 题 为 选 考 题 ,考 生 根 据 要 求 作 答 .
( 一 ) 必 考 题 :共 60 分 .
17.(12 分 )
在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知3ab+c=cosc(oAs+BB).
(1)求cosB 的值;
(2)若b=4,求△ABC 面积的最大值.
10.2002年8月在北京召 开 的 第 24 届 国 际 数 学 家 大 会 会 标 图 案 如 图 所 示,
其中四边 形 ABCD 和EFGH 都 是 正 方 形,设 ∠DCE =θ.若 随 机 往 正 方
形 ABCD 区域内投点,则这些点落在正方形 EFGH 区域内的概率为
A.sin2θ
B.sin2θ
A.[1,2]
B.[1,5]
C.[2,3]
D.[3,5]
二 、填 空 题 :本 题 共 4 小 题 ,每 小 题 5 分 ,共 20 分 .
ìïïx+y≤5,
13.已知实数x,y 满足约束条件 í3x-2y≥0, 则z=3x+y 的最小值为
.
îïïx-2y+1≤0,
理科数学试题 第2页(共4页)
14.已知数列{an}的前n 项和为Sn ,且2Sn =3an +1,则an =
C.-4
D.-5
5.设函数f(x)=ex -e-x +3,则 曲 线y=f(x)在 x=0 ห้องสมุดไป่ตู้ 的 切 线 与 坐 标 轴 围 成 的 三 角 形 的 面
积为
A.9
3 B.2
9 C.2
9 D.4
理科数学试题 第1页(共4页)
(完整word)河北衡水中学2019高三第一次调研考试--数学(理)
河北衡水中学2019高三第一次调研考试--数学（理）高三年级数学试卷 〔理科〕本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷 （非选择题）两部分。
第一卷共2页，第二卷共2页。
共150分。
考试时间120分钟。
第一卷〔选择题共60分〕5分，共60分。
每题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的选 项填涂在答题卡上〕1.集合 M{x|x 1 22x 3 0}，N {x |x a}，假设 M 范围是〔〕件 5. _2(1 cosx) dx ()2[3,) B 、(3,) C 、(1] D 、(2.f(x)在R 上是奇函数，且N ，那么实数a 的取值1）【一】选择题〔每题f (xf (Q) 4) f (xx)当x (0,2)时，f (x) 2x 2,则f (7)()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条A. （ ,4]B.[4, ）C.[ 4,4]D.（ 4,4] 8.有下面四个判断：其中正确的个数是（）A.-2B.23、函数f (x)C.-98log 2 x (x 1 x 2(xD.98 °），那么不等式 0）f （x ） 0的解集为〔〕A. {x | 0 x1} B {x|1 x 0} C. {x | 1 x1} D. {x | x 1}4.“a 0”是“方程ax 22x 10至少有一个负根”的〔〕A.B. 2C.2 D.A 、[0 , 1〕B 、( pC [1 ,+◎D (,1]7、函数2f(x) log °.5(xax 3a)在[2,）单调递减，那么a 的取值范围（）⑤abc 4 ； ® abc 4其中正确结论的序号是() A.①③⑤B.①④⑥C.②③⑤D.②④⑥设0 a 1，函数f(x) log a (a 2x 2a x 2)，那么使f (x) 0的取值范围是〔〕A. (, log a 3) B. (log a 3, ) C. (0, )D. ( ,0)12.函数sin x (0 x 1)，假设a,b,c 互不相等，且f(a) f(b) f(c)，那么 f (x)log 2010 x (x 1)a b c 的取值范围是()函数为f/(x)，f/(x)的导函数为f 〃(x)，那么有f 〃(Xo)0。
2019届河北省衡水中学高三第一次摸底考试数学(理)试题(解析版)
河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考理科数学一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。
在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】直接由复数的乘法运算化简，求出z对应点的坐标，则答案可求．【详解】复数.对应的点为，位于第四象限.故选D.【点睛】此题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.已知全集U=R，则A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解二次不等式求出集合M，进而根据集合补集运算的定义，可得答案．【详解】∵全集U=R，M={x|x2＜2x}={x|0＜x＜2}，∴∁U M={x|x≤0或x≥2}，故选：C．【点睛】此题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，熟练掌握并正确理解集合运算的定义是解答的关键．3.某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地比照该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图：2015年高考数据统计 2018年高考数据统计则以下结论正确的选项是A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少C. 与2015年相比，2018年艺体达线人数相同D. 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加【答案】D【解析】【分析】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案.【详解】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为..2018年一本达线人数为，可见一本达线人数增加了，故选项A错误；对于选项B，2015年二本达线人数为，2018年二本达线人数为，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B错误；对于选项C，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C错误；对于选项D，2015年不上线人数为.2018年不上线人数为.不达线人数有所增加.故选D.【点睛】此题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键．4.已知等差数列的公差为2，前项和为，且，则的值为A. 11B. 12C. 13D. 14【答案】C【解析】【分析】由项和公示，求出，得到挺喜欢上，即可求出的值.【详解】由.所以，故.故选C.【点睛】此题考查等差数列的基本量计算，属基础题.5.已知是定义在上的奇函数，假设时，，则时，A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，则由奇函数的性质f〔-x〕=-f〔x〕，求出函数f〔x〕的解析式，【详解】设，则，所以.又因为是定义在上的奇函数，所以，所以.故选B.【点睛】此题考查函数的奇偶性的综合运用，属基础题.6.已知椭圆和直线，假设过的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直线的斜率为，因为过的左焦点和下顶点的直线与平行，，由此可求椭圆的离心率.【详解】直线的斜率为，过的左焦点和下顶点的直线与平行，所以，又，所以，故选A.【点睛】此题考查椭圆的离心率求法，属基础题.7.如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量加法法则结合图像特点运算即可.【详解】.故选C.【点睛】此题考查向量的线性运算，属基础题.8.某几何体的三视图如下列图，则此几何体A. 有四个两两全等的面B. 有两对相互全等的面C. 只有一对相互全等的面D. 所有面均不全等【答案】B【解析】【分析】由三视图得到几何体的直观图，由三视图给出的几何量证明即可..【详解】几何体的直观图为四棱锥，，.所以≌.因为平面，所以.同理，.因为，，，所以≌.又与不全等.故选B.【点睛】此题考查三视图原原几何体，以及线面关系的有关证明，属中档题.9.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”〔以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的〕.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如下列图的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，假设在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边亚角形的概率是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可．【详解】在中，，，，由余弦定理，得，所以.所以所求概率为.故选A.【点睛】此题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．10.已知函数〔为自然对数的底数〕，假设关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出函数的图像，利用数形结合法可求的取值范围，【详解】画出函数的图像如下列图，假设关于的方程有两个不相等的实根，则函数与直线有两个不同交点，由图可知，所以.故选C.【点睛】此题考查方程的根个数的求参数的范围，考查数形结合思想方法，属于中档题．11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于点，假设，则双曲线的渐近线方程为A. B. C. D.【答案】A【分析】由双曲线的定义可得，结合条件可得，运用勾股定理，结合a，b，c的关系，可得，进而得到渐近线的斜率．【详解】如图，作于点.于点.因为与圆相切，，所以，，，.又点.整理，得.所以.所以双曲线的渐近线方程为.故选A.【点睛】此题考查双曲线的渐近线的斜率，注意运用圆的切线的性质，结合双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．12.如图，在正方体中，点，分别为棱，的中点，点为上底面的中心，过，，三点的平面把正方体分为两部分，其中含的部分为，不含的部分为，连结和的任一点，设与平面所成角为，则的最大值为A. B.C. D.【答案】B【解析】连结.可证平行四边形即为截面. 五棱柱为，三棱柱为，设点为的任一点，过点作底面的垂线，垂足为，连结，则即为与平面所成的角，所以.进而得到的最大值.【详解】连结.因为平面.所以过的平面与平面的交线一定是过点且与作交于点，交于点，则，连结，.则平行四边形为，三棱柱为，设点为的任一点，过点作底面的垂线，垂足为，连结，则即为与平面所成的角，所以.因为，要使的正弦值最大，必须最大，最小，当点与点.故选B.【点睛】此题考查了空间中的平行关系与平面公理的应用问题，考查线面角的求法，属中档题.二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。
河北省衡水中学2019届高三下学期一调考试理科数学试卷附答案解析
河北省衡水中学2019届高三下学期一调考试数学（理科）一、选择题：本题共12小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式求得A，解指数不等式求得B，再根据两个集合的交集的定义求得.【详解】因为集合，，所以，故选D.【点睛】该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.2.已知，是虚数单位，若，则（）A. B. 2 C. D. 5【答案】C【解析】【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于的方程组，解得的值，进而可得答案.【详解】因为，结合，所以有，解得，所以，故选C.【点睛】该题考查的是有关复数的模的问题，涉及到的知识点有复数相等的条件，属于简单题目.3.给出下列四个结论：①命题“，”的否定是“，”；②命题“若，则且”的否定是“若，则”；③命题“若，则或”的否命题是“若，则或”；④若“是假命题，是真命题”，则命题，一真一假.其中正确结论的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】①写出命题“，”的否定，可判断①的正误；②写出命题“若，则且”的否定，可判断②的正误；写出命题“若，则或”的否命题，可判断③的正误；④结合复合命题的真值表，可判断④的正误，从而求得结果.【详解】①命题“，”的否定是：“，”，所以①正确；②命题“若，则且”的否定是“若，则或”，所以②不正确；③命题“若，则或”的否命题是“若，则且”，所以③不正确；④“是假命题，是真命题”，则命题，一真一假，所以④正确；故正确命题的个数为2，故选B.【点睛】该题考查的是有关判断正确命题的个数的问题，涉及到的知识点有命题的否定，否命题，复合命题真值表，属于简单题目.4.函数的图像大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】观察函数解析式，通过函数的定义域，特殊点以及当时，函数值的变化趋势，将不满足条件的选项排除，从而得到正确的结果.【详解】因为函数的定义域为R，故排除B，因为，所以排除C，当时，因为指数函数比对数函数增长速度要快，所以当时，有，所以排除D，故选A.【点睛】该题是一道判断函数图象的题目，总体方法是对函数解析式进行分析，注意从函数的定义域、图象所过的特殊点以及对应区间上函数图象的变化趋势，来选出正确的结果，注意对不正确的选项进行排除.5.已知图①②③中的多边形均为正多边形，，分别是所在边的中点，双曲线均以图中，为焦点.设图①②③中双曲线的离心率分别为，，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分别根据正三角形、正方形、正六边形的性质，将用表示，然后利用双曲线的定义，求得，的等量关系，分别求出图示①②③中的双曲线的离心率，然后再判断的大小关系.【详解】图①中，；图③中，设正六边形的一个在双曲线右支上的顶点为，则，则；图②中，，，故选D.【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．6.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A. 2018B. -1010C. 1009D. -1009【答案】C【解析】【分析】根据程序框图，它的作用是求的值，根据结合律进行求解，可得结果. 【详解】该程序框图的作用是求的值，而，故选C.【点睛】该题主要考查程序框图，用结合律进行求和，属于简单题目.7.已知某几何体的三视图如图所示，图中小方格的边长为1，则该几何体的表面积为（）A. 65B.C.D. 60【答案】D【解析】【分析】由已知的三视图还原几何体为三棱柱截去三棱锥得到的，根据图中数据，计算表面积.【详解】由三视图可知，该几何体为如下图所示的多面体,它是由直三棱柱截去三棱锥所剩的几何体，其中，所以其表面积为，故选D.【点睛】该题考查的是有关几何体的表面积的问题，涉及到的知识点有根据三视图还原几何体，锥体的表面积，属于简单题目.8.五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着.那么没有相邻的两个人站起来的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】五个人的编号为由题意，所有事件共有种，没有相邻的两个人站起来的基本事件有，再加上没有人站起来的可能有种，共种情况，所以没有相邻的两个人站起来的概率为故答案选9.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在中，，由正弦定理得，，由余弦定理得，，，，，故选C.10.已知抛物线的焦点为，，是抛物线上的两个动点，若，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理，结合基本不等式，即可求出的最大值.【详解】因为，，所以，在中，由余弦定理得：，又，所以，所以，所以的最大值为，故选B.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，基本不等式，在解题的过程中，对题的条件进行正确转化是解题的关键，属于中档题目.11.已知当时，，则以下判断正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】记，为偶函数且在上单调递减，由，得到即∴，即故选:C12.若存在一个实数，使得成立，则称为函数的一个不动点.设函数（，为自然对数的底数），定义在上的连续函数满足，且当时，.若存在，且为函数的一个不动点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵f（﹣x）+f（x）=x2∴令F（x）=f（x）﹣，∴f（x）﹣=﹣f（﹣x）+x2∴F（x）=﹣F（﹣x），即F（x）为奇函数，∵F′（x）=f′（x）﹣x，且当x0时，f′（x）＜x，∴F′（x）＜0对x＜0恒成立，∵F（x）为奇函数，∴F（x）在R上单调递减，∵f（x）+≥f（1﹣x）+x，∴f（x）+﹣≥f（1﹣x）+x﹣，即F（x）≥F（1﹣x），∴x≤1﹣x，x0≤，∵为函数的一个不动点∴g（x0）=x0，即h（x）= =0在（﹣∞，]有解．∵h′（x）=e x-，∴h（x）在R上单调递减．∴h （x）min=h（）=﹣a即可，∴a≥．故选：B点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题：本题共4小题.13.抛物线的准线方程为________．【答案】【解析】由抛物线的标准方程为x2=y，得抛物线是焦点在y轴正半轴的抛物线，2P=1，∴其准线方程是y=，。
2019年河北省衡水市高三下学期一调考试数学(理)试题及答案
高考数学精品复习资料2019.520xx ～20xx 学年度下学期一调考试 高三年级数学（理科）试卷本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1、集合P={3，4，5}，Q={6，7}，定义},|),{(*Q b P a b a Q P ∈∈=，则Q P *的子集个数为( )A ．7B ．12C ．32D ．642、已知20<<a ，复数z 的实部为a ，虚部为1，则||z 的取值范围是( ) A ．(1，5) B ．(1，3) C ．)5,1( D ．)3,1(3、在第29届北京奥运会上，中国健儿取得了51金、21银、28铜的好成绩，稳居金牌榜榜首，由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列，也有许多人持反对意见，有网友为此进行了调查，在参加调查的2548名男性中有1560名持反对意见，2452名女性中有1200名持反对意见，在运用这些数据说明性别对判断“中国进入了世界体育强国之列”是否有关系时，用什么方法最有说服力( )A ．平均数与方差B ．回归直线方程C ．独立性检验D ．概率4、若函数,,cos 3sin )(R x x x x f ∈+=ωω又0)(,2)(=-=βαf f ，且βα-的最小值为43π的正数ω为（ ） A.31 B.32 C.34 D.23 5、定义在R 上的连续函数f (x )满足f (－x )＝－f (x ＋4)，当x >2时，f (x )单调递增，如果x 1＋x 2<4，且(x 1－2)(x 2－2)<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值 ( )A ．恒小于0B ．恒大于0C ．可能为0D ．可正可负 6、如图给出的是计算11112462014+++⋅⋅⋅的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（ ） A.2014i ≤ B.2014i ＞ C.1007i ≤D.1007i ＞7、一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）A． B．C．6 D8、 设向量a,b,c 满足060,,21,1=---=⋅==c b c a b a b a ，则c 的最大值等于（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．19、过x 轴正半轴上一点0(,0)M x ,作圆22:(1C x y +-=的两条切线,切点分别为,A B ,若||AB ≥则0x 的最小值为（ ）A ．1BC ．2D ．310、过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>左焦点1F ，倾斜角为30︒的直线交双曲线右支于点P ，若线段1PF 的中点在y 轴上，则此双曲线的离心率为（ ）C.311、点(,)P x y 是曲线1:(0)C y x x=>上的一个动点，曲线C 在点P 处的切线与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，点O 是坐标原点. 给出三个命题：①PA PB =；②OAB ∆的周长有最小值4+③曲线C 上存在两点,M N ，使得OMN ∆为等腰直角三角形．其中真命题的个数是（ ）A.１B.２C.３D.０12、设12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点,若在其右准线上存在点P ,使12PF F ∆为等腰三角形,则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A． B．(0,2C． D ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛122，20xx ～20xx 学年度下学期一调考试 高三年级数学（理科）试卷第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置）13、在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，三边a 、b 、c 成等差数列，且B=4π，则cosA －cosC 的值为 ．14、如果把四个面都是直角三角形的四面体称为“三节棍体”，那么从长方体八个顶点中任取四个顶点，则这四个顶点是“三节棍体”的四个顶点的概率为 .15、在矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B-AC-D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为 。
2018-2019学年度第二学期河北省衡水中学高三年级一模考试理科数学答案
衡水中学高三理科数学一模答案一、选择题1-5:BABCD 6-10:DBBDD 11-12：CD二、填空题13.214.015.1、316.]2262,2262[+-三、解答题17、解：（Ⅰ）*121()n n a S n +=+∈N 2121a a ∴=+，321221221a S a a =+=++……2分322322,3,3a a a a a q ∴-===211213a a a ∴=+=11a ∴=………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，13n n a -=………………6分31232153T b b b b ==++= 25b ∴=135,5b d b d∴=-=+11a b + ，2233,a b a b ++成等比数列2221133()()()a b a b a b ∴+=++……………8分28(6)(14)d d ∴=-+28200d d ∴+-=解得10d =-或2d =（舍）……10分1515,1025n b d b n ∴=-==-+21(1)5202n n n T nb d n n -∴=+=-+18【解答】证明：（1）三棱锥P ABC -（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形ABCD的正方形，ABE ∆和BCF ∆均为正三角形，PA PB PC BC AB ∴=====90APC ABC =∠=︒ ，60APB BPC ∠=∠=︒，取AC 中点O ，连结PO ，BO ，则PO AC ⊥，BO AC ⊥，且1PO AO CO BO ====，222PO BO PB ∴+=，PO BO ∴⊥，∴平面PAC ⊥平面ABC ．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BO PO ⊥，BO AC ⊥，PO AC O = ，BO ∴⊥平面PAC ，BMO ∴∠是直线BM 与平面PAC 所成角，且1tan BO BMO OM OM∠==，∴当OM 最短时，即M 是PA 中点时，BMO ∠最大，由PO ⊥平面ABC ，OB AC ⊥，得PO OB ⊥，PO OC ⊥，∴以OC ，OB ，OD 所成直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0O ，0，0)，(1C ，0，0)，(0B ，1，0)，(1A -，0，0)，(0P ，0，1)，11(,0,M -，(1BC = ，1-，0)，(1PC = ，0，1)-，3(2MC = ，0，1)2-，设平面MBC 的法向量(m x = ，y ，)z ，则030m BC x y m MC x z ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，取1x =，得(1m = ，1，3)，设平面PBC 的法向量(n x = ，y ，)z ，则00n BC x y n PC x z ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，取1x =，得(1n = ，1，1)，设二面角P BC M --的平面角为θ，则||cos ||||m n m n θ===．∴二面角P BC M --19解：（1）10115.1 1.51ii tt ====∑，101155.515.55i i y y ====∑，则1011021()(24.254.84(ii i ii tt y y b tt ==--===-∑∑，15.555 1.518a y bt =-=-⨯=．5858y t lnx ∴=+=+．（2）该IT 从业者36岁时的月收入约为(5118)100020000ln +⨯=元，若按旧个税政策，需缴纳个税为：15003%300010%450020%750025%3120⨯+⨯+⨯+⨯=，若按新个税政策，需缴纳个税为：30003%900010%990⨯+⨯=，31209902130-=．36∴岁时每个月少缴交的个人所得税2130元．20．解：（Ⅰ）由题意得2222291141,,2c a b c a b a +===+-------2分解得2,1a b c ===椭圆C 的标准方程为221x y +=---------4分（Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ，∆1F MN 的内切圆半径为r ，则11()8422∆=++== 111F MN S MN F M F N r r r ----------6分所以要使S 取最大值，只需∆1F MN S 最大12121212∆=-=-1F MN S F F y y y y 设直线l 的方程为1x ty =+将1x ty =+代入22143x y +=可得22(34)690t y ty ++-=(*)---7分0∆> 恒成立，方程(*)恒有解，∴1212226,3434t y y y y t t --+==++９-------8分∴1234F MN S t∆==+记(1)m m =≥则1212121313F MN m S m m m∆==++在[)1,+∞上递减----------------10分当1max 10)3F MN m t S ∆===即时，（，-------11分此时max 391416方程为，，故π===l x r S -------12分21、（Ⅰ）由2()2f x m x x +=-得：23ln 0x x x m -++=设2()3ln (0)h x x x x m x =-++>，则'1(21)(1)()23x x h x x x x--=-+=令'121()0,,1h x x x ===得，列表得：∴当1x =时，()h x 的极小值为(1)2h m =-，又15()ln 2,(2)2ln 224h m h m =--=-+∵方程2()2f x m x x +=-在1,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个不相等的实数根，故即15(0ln 2024(1)020(2)02ln 20h m h m h m ⎧⎧≥--≥⎪⎪⎪⎪<⇒-<⎨⎨⎪⎪≥-+≥⎪⎪⎩⎩解得：5ln 224m +≤<（也可分离变量解）…………5分（Ⅱ）存在12t =，理由如下：(1)1(1)xf x t e x ++>-等价于0(1)1(1)x x f x tx e <⎧⎨++<-⎩,或0(1)1(1)xx f x tx e >⎧⎨++>-⎩令()(1)1(1)ln(1)(1)(1)x xg x f x tx e x x tx e x =++--=+--->-，则'''211()1(1),()(2)1(1)x xg x t t x e g x t x e x x =--++=-++++，①若12t =，当10x -<<时，211,(2)1(1)xt x e x -<-+<+，所以''()0g x <；当0x >时，211,(2)1(1)x t x e x ->-+>+，，所以''()0g x >，所以'()g x 在单调递减区间为(1,0)-，单调递增区间为()0,+∞，又'(0)0g =，所以'()0g x ≥，当且仅当0x =时，'()0g x =，从而()g x 在()1,-+∞上单调递增，又(0)0g =，所以00(1)1(1)()0()0x x x f x t e g x g x x <>⎧⎧++>-⎨⎨<>⎩⎩或即．②若12t >，因为''21()(2)(1)x g x t x e x =-+++在(1,0)-递增且''(0)210g t =->，1"(),x g x →-→-∞当时，所以存在1(1,0)x ∈-，使得1"()0g x =，因为"()g x 在(1,0)-单调递增，所以当1(,0)x x ∈时，"()0g x >，'()g x 在1(,0)x 上递增，又'(0)0g =，所以当1(,0)x x ∈时，'()0g x <，从而()g x 在1(,0)x 上递减，又(0)0g =，所以当1(,0)x x ∈时，()0g x >，此时(1)1(1)x f x t e x++>-不恒成立；③若12t <，同理可得(1)1(1)x f x t e x ++>-不恒成立．综上所述12t =，存在实数．………………………………12分22.（1）1C 是圆，2C 是椭圆．当0α=时，射线l 与1C ，2C 交点的直角坐标分别是()()1,0,,0a 因为这两点间的距离为2，所以3a =当2πα=，射线l 与1C ，2C 交点的直角坐标分别是()()0,1,0,b 因为这两点重合，所以1b =；····4分（2）1C ，2C 的普通方程为22221,19x x y y +=+=当4πα=时，射线l 与1C 交点1A 的横纵表是22x =，与2C 交点1B 的横坐标是'31010x =当4πα=-时，射线l 与1C ，2C 的两个交点22,A B 分别与交点11,A B 关于x 轴对称，因此四边形1221A A B B 为梯形，故四边形1221A A B B 的面积为()()''22225x x x x +-=．````````````````10分23、解：（Ⅰ）由题()21f x x ≤--，即为||112a x x -+-≤．而由绝对值的几何意义知||1|1|a ax x -+-≥-，-------2分由不等式()21f x x ≤--有解，∴|1|12a-≤，即04a ≤≤．∴实数a 的取值范围[0,4]．-------5分（Ⅱ）函数()21f x x a x =-+-的零点为2a 和1，当2a <时知12a<∴31()2()1(1)231(1)a x a x a f x x a x x a x ⎧-++<⎪⎪⎪=-+≤≤⎨⎪-->⎪⎪⎩-------7分如图可知()f x 在(,)a -∞单调递减，在[,)a+∞单调递增，∴min ()()1322a a f x f ==-+=，得42a =-<（合题意），即4a =-．-------10分。
2019届河北省衡水高三下学期一调考试数学（理）试题
2019届河北省衡水中学高三下学期一调考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解一元二次不等式求得A，解指数不等式求得B，再根据两个集合的交集的定义求得.【详解】因为集合，，所以，故选D.【点睛】该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.2．已知，是虚数单位，若，则（）A．B．2 C．D．5【答案】C【解析】根据复数相等的充要条件，构造关于的方程组，解得的值，进而可得答案.【详解】因为，结合，所以有，解得，所以，故选C.【点睛】该题考查的是有关复数的模的问题，涉及到的知识点有复数相等的条件，属于简单题目. 3．给出下列四个结论：①命题“，”的否定是“，”；②命题“若，则且”的否定是“若，则”；③命题“若，则或”的否命题是“若，则或”；④若“是假命题，是真命题”，则命题，一真一假.其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】①写出命题“，”的否定，可判断①的正误；②写出命题“若，则且”的否定，可判断②的正误；写出命题“若，则或”的否命题，可判断③的正误；④结合复合命题的真值表，可判断④的正误，从而求得结果.【详解】①命题“，”的否定是：“，”，所以①正确；②命题“若，则且”的否定是“若，则或”，所以②不正确；③命题“若，则或”的否命题是“若，则且”，所以③不正确；④“是假命题，是真命题”，则命题，一真一假，所以④正确；故正确命题的个数为2，故选B.【点睛】该题考查的是有关判断正确命题的个数的问题，涉及到的知识点有命题的否定，否命题，复合命题真值表，属于简单题目.4．函数的图像大致是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】观察函数解析式，通过函数的定义域，特殊点以及当时，函数值的变化趋势，从而将不满足条件的选项排除，从而得到正确的结果.【详解】因为函数的定义域为R，故排除B，因为，所以排除C，当时，因为指数函数比对数函数增长速度要快，所以当时，有，所以排除D，故选A.【点睛】该题是一道判断函数图象的题目，总体方法是对函数解析式进行分析，注意从函数的定义域、图象所过的特殊点以及对应区间上函数图象的变化趋势，来选出正确的结果，注意对不正确的选项进行排除.5．已知图①②③中的多边形均为正多边形，，分别是所在边的中点，双曲线均以图中，为焦点.设图①②③中双曲线的离心率分别为，，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】分别根据正三角形、正方形、正六边形的性质，将用表示，然后利用双曲线的定义，求得，的等量关系，分别求出图示①②③中的双曲线的离心率，然后再判断的大小关系.【详解】图①中，；图③中，设正六边形的一个在双曲线右支上的顶点为，则，则；图②中，，，故选D.【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．2018 B．-1010 C．1009 D．-1009【答案】C【解析】根据程序框图，它的作用是求的值，根据结合律进行求解，可得结果.【详解】该程序框图的作用是求的值，而，故选C.【点睛】该题主要考查程序框图，用结合律进行求和，属于简单题目.7．已知某几何体的三视图如图所示，图中小方格的边长为1，则该几何体的表面积为（）A．65 B．C．D．60【答案】D【解析】由已知的三视图还原几何体为三棱柱截去三棱锥得到的，根据图中数据，计算表面积.【详解】由三视图可知，该几何体为如下图所示的多面体,它是由直三棱柱截去三棱锥所剩的几何体，其中，所以其表面积为，故选D.【点睛】该题考查的是有关几何体的表面积的问题，涉及到的知识点有根据三视图还原几何体，椎体的表面积，属于简单题目.8．五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着.那么没有相邻的两个人站起来的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】五个人的编号为由题意，所有事件共有种，没有相邻的两个人站起来的基本事件有，再加上没有人站起来的可能有种，共种情况，所以没有相邻的两个人站起来的概率为故答案选9．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】在中，，由正弦定理得，，由余弦定理得，，，，，故选C.10．已知抛物线的焦点为，，是抛物线上的两个动点，若，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】利用余弦定理，结合基本不等式，即可求出的最大值.【详解】因为，，所以，在中，由余弦定理得：，又，所以，所以，所以的最大值为，故选B.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，基本不等式，在解题的过程中，对题的条件进行正确转化是解题的关键，属于中档题目.11．已知当时，，则以下判断正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】记，为偶函数且在上单调递减，由，得到即∴，即故选:C12．若存在一个实数，使得成立，则称为函数的一个不动点.设函数（，为自然对数的底数），定义在上的连续函数满足，且当时，.若存在，且为函数的一个不动点，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵f（﹣x）+f（x）=x2∴令F（x）=f（x）﹣，∴f（x）﹣=﹣f（﹣x）+x2∴F（x）=﹣F（﹣x），即F（x）为奇函数，∵F′（x）=f′（x）﹣x，且当x0时，f′（x）＜x，∴F′（x）＜0对x＜0恒成立，∵F（x）为奇函数，∴F（x）在R上单调递减，∵f（x）+≥f（1﹣x）+x，∴f（x）+﹣≥f（1﹣x）+x﹣，即F（x）≥F（1﹣x），∴x≤1﹣x，x0≤，∵为函数的一个不动点∴g（x0）=x0，即h（x）= =0在（﹣∞，]有解．∵h′（x）=e x-，∴h（x）在R上单调递减．∴h（x）min=h（）=﹣a即可，∴a≥．故选：B点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、解答题13．已知数列的前项和满足，.（1）求数列的通项公式；（2）在数列的前100项中，是否存在两项，（，且），使得，，三项成等比数列？若存在，求出所有的，的取值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）见解析；【解析】（1）先根据等差数列定义求，再根据项与和的关系求；（2）根据条件化简关系式，再利用范围限制取法，即得正整数解.【详解】（1）因为，所以，所以，所以.当时，.又，所以.（2）若，，三项成等比数列，则，即，即.因为，所以，所以，所以.又为3的奇数倍，所以，验证得，，.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的概念，通项公式的求解，数列项与和的关系，关于是否存在类问题的解法，属于简单题目.14．某企业为了解年广告费（单位：万元）对年销售额（单位：万元）的影响，对近4年的年广告费和年销售额的数据作了初步整理，得到下面的表格：年广告费/万2345元年销售额/万26394954元（1）用年广告费作解释变量，年销售额作预报变量，在所给坐标系中作出这些数据的散点图，并判断与哪一个更适合作为年销售额关于年广告费的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）.（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程.（3）已知商品的年利润与，的关系为.根据（2）的结果，计算年广告费约为何值时（小数点后保留两位），年利润的预报值最大.附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.【答案】（1）见解析；（2）（3）6.65万元【解析】（1）根据题中所给的数据画出散点图，可以发现点落在一条直线的周围，从而判断出更适合作为年销售额关于年广告费的回归方程类型；（2）根据数据，利用公式求得回归直线的方程；（3）根据题意，将相应的量代换，求得结果.【详解】（1）散点图如图所示，故更适合作为年销售额关于年广告费的回归方程类型. （2），，则，，所以回归方程为.（3）由（2）可知年利润的预报值为，设，则，可得，故当，即（万元）时，年利润的预报值最大.【点睛】该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有回归类型的选取，散点图的绘制，回归直线的求解等，属于中档题目.15．如图①，在五边形中，，，，，将沿折起到的位置，得到如图②所示的四棱锥，为线段的中点，且平面.（1）求证：平面.（2）若直线与所成角的正切值为，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见证明；（2）【解析】（1）取的中点，连接，，又为的中点，得到四边形为平行四边形，从而应用线面平行的判定定理证得结果.（2），可得为直线与所成的角，可得，，设，则，，取的中点O，连接PO，过O作AB的平行线，可建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，设为平面PBD的法向量，则，利用，即可得出.【详解】（1）证明：取的中点，连接，.又为的中点，所以，.又，，所以，.则四边形为平行四边形，所以.因为平面，平面，所以平面.（2）解：因为平面，，所以平面，所以，.由，即及为的中点，可得为等边三角形，所以.又，所以，即.因为平面，平面，，所以平面.又平面，所以平面平面.因为，所以即为直线与所成的角，所以，所以.设，则，.取的中点，连接，过作交于点，则，，两两垂直.以为坐标原点，，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.则，，，，所以.所以，，.设平面的法向量为，则，令，则.因为.所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，应用向量法求线面角的正弦值的问题，属于中档题目.16．如图①，在中，，的中点为，点在的延长线上，且.固定边，在平面内移动顶点，使得圆分别与边，的延长线相切，并始终与的延长线相切于点，记顶点的轨迹为曲线.以所在直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，如图②所示.（1）求曲线的方程；（2）过点的直线与曲线交于不同的两点，，直线，分别交曲线于点，，设，，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）依题意得出，利用椭圆的定义，即可判定C点的轨迹，得到椭圆的方程；（2）设，，，得到，由，求得，当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，代入椭圆方程，利用根与系数的关系，化简得，，设直线的方程为，代入椭圆方程并整理得，利用根与系数的关系，化简得，即可求解.【详解】（1）由题意得，，设动圆与边的延长线相切于点，与边相切于点，则，，，所以，所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，且挖去长轴的两个顶点，则曲线的方程为.（2）设，，，由题意得，则，.由，得，即.当直线与轴不垂直时，直线的方程为，即，代入椭圆的方程并整理得，则有，即，故.当直线与轴垂直时，点的横坐标为1，，显然成立.同理可得.设直线的方程为，代入椭圆的方程并整理得.由题意得，解得.又，所以.由，得，故的取值范围为.【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有利用椭圆的定义求点的轨迹方程，直线与椭圆的位置关系，向量共线的条件等，属于较难题目.17．已知函数有两个不同的极值点.（1）求实数的取值范围；（2）设，讨论函数的零点个数.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 当时，有2个零点；当时，有1个零点；当时，没有零点．【解析】(Ⅰ)由题意，求得，令，得，设，转化为直线y＝a与函数的图象有两个不同的交点，利用导数求得函数的单调性与最值，进而求解的取值范围；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，，且，求得函数的单调性和极值，分类讨论，即可确定函数的极值点的个数.【详解】(Ⅰ)由题意，求得，因为有两个不同的极值点，则有两个不同的零点．令，则，即.设，则直线y＝a与函数的图象有两个不同的交点．因为，由，得ln x＜0，即，所以在上单调递增，在上单调递减，从而.因为当时，；当时，；当时，，所以a的取值范围是．(Ⅱ)因为，为的两个极值点，则，为直线与曲线的两个交点的横坐标．由(Ⅰ)可知，，且，因为当或时，，即；当时，，即，则在，上单调递减，在上单调递增，所以的极小值点为，极大值点为.当时，因为，，，则，所以在区间内无零点．因为，，则①当，即时，.又，则，所以.此时在和内各有1个零点，且.②当，即时，，此时在内有1个零点，且.③当，即时，，此时在内无零点，且.综上分析，当时，有2个零点；当时，有1个零点；当时，没有零点．【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及函数的极值点个数的确定问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.18．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线，的公共点为，.（1）求直线的斜率；（2）若，分别为曲线，上的动点，当取最大值时，求四边形的面积.【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）消去参数α得曲线C1的普通方程，将曲线C2化为直角坐标方程，两式作差得直线AB的方程，则直线AB的斜率可求；（Ⅱ）由C1方程可知曲线是以C1（0，1）为圆心，半径为1的圆，由C2方程可知曲线是以C2（2，0）为圆心，半径为2的圆，又|CD|≤|CC1|+|C1C2|+|DC2|，可知当|CD|取最大值时，圆心C1，C2在直线AB上，进一步求出直线CD（即直线C1C2）的方程，再求出O到直线CD的距离，则四边形ACBD的面积可求．【详解】（Ⅰ）消去参数α得曲线C1的普通方程C1：x2+y2﹣2y=0． (1)将曲线C2：ρ=4cosθ化为直角坐标方程得x2+y2﹣4x=0． (2)由（1）﹣（2）化简得y=2x，即为直线AB的方程，故直线AB的斜率为2；（Ⅱ）由C1：x2+y2﹣2y=0知曲线C1是以C1（0，1）为圆心，半径为1的圆，由C2：x2+y2﹣4x=0知曲线C2：是以C2（2，0）为圆心，半径为2的圆．∵|CD|≤|CC1|+|C1C2|+|DC2|，∴当|CD|取最大值时，圆心C1，C2在直线CD上，∴直线CD（即直线C1C2）的方程为：2x+y=2．∵O到直线CD的距离为，即|AB|=又此时|CD|=|C1C2|+1+2=3+，∴四边形ACBD的面积．【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程以及参数方程化成普通方程，考查了直线与圆的位置关系，是中档题．19．[选修4-5：不等式选讲]设函数的最小值为.（1）求实数的值；（2）设，，求的最小值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）根据绝对值定义将函数化为三段，分别求出各段上的最小值，最后取三个最小值的最小值，作为的值；（Ⅱ）根据条件可得所求式子中两个分母的和为定值4，利用1的代换方法，将式子转化：，最后根据基本不等式求最值.试题解析:解：（Ⅰ）当时，当时，当时，当时，取得最小值（Ⅱ）由题意知当且仅当时，即等号成立，的最小值为.三、填空题20．抛物线的准线方程为________．【答案】【解析】由抛物线的标准方程为x2=y，得抛物线是焦点在y轴正半轴的抛物线，2P=1，∴其准线方程是y=，。
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（2）
，
，
则
，
，
所以回归方程为
.
（3）由（2）可知年利润 的预报值为
，
设 可得
，则
，
，
故当
即 【点睛】
， （万元）时，年利润的预报值最大.
该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有回归类型的选取，散点图的绘制，回
归直线的求解等，属于中档题目.
15．如图①，在五边形
中，
，
，
，
，将
沿 折起到
的位置，得到如图②所示的四棱锥
A．
B．
C．
D．
【答案】B 【解析】∵f（﹣x）+f（x）=x2
∴令 F（x）=f（x）﹣ ，
∴f（x）﹣ =﹣f（﹣x）+ x2 ∴F（x）=﹣F（﹣x），即 F（x）为奇函数， ∵F′（x）=f′（x）﹣x， 且当 x 0 时，f′（x）＜x， ∴F′（x）＜0 对 x＜0 恒成立， ∵F（x）为奇函数， ∴F（x）在 R 上单调递减，
故正确命题的个数为 2，
故选 B.
【点睛】
该题考查的是有关判断正确命题的个数的问题，涉及到的知识点有命题的否定，否命题，
复合命题真值表，属于简单题目.
4．函数
的图像大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A 【解析】观察函数解析式，通过函数的定义域，特殊点以及当 化趋势，从而将不满足条件的选项排除，从而得到正确的结果. 【详解】 因为函数的定义域为 R，故排除 B，
2019 届河北省衡水中学高三下学期一调考试数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合
，
，则
（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解一元二次不等式求得 A，解指数不等式求得 B，再根据两个集合的交集的定
义求得 .
【详解】
因为集合
，
，
所以
，
故选 D.
【点睛】
该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.
2．已知
（2）根据条件化简 【详解】
关系式，再利用范围限制 取法，即得正整数解.
（1）因为
所以
所以
.
当 时，
又
，所以 ，所以
， ，
. .
（2）若 ， ， 三项成等比数列，
则
，即
，
即
.
因为
，所以
又
为 3 的奇数倍，所以
，所以 ，
验证得
，
，
.
【点睛】
，所以
.
该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的概念，通项公式的求解， 数列项与和的关系，关于是否存在类问题的解法，属于简单题目. 14．某企业为了解年广告费 （单位：万元）对年销售额 （单位：万元）的影响，对
， ，设
，
，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）依题意得出 的轨迹，得到椭圆的方程；
，利用椭圆的定义，即可判定 C 点
（2）设
，
，
，得到
，由
，求得
，当直
线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为
，代入椭圆 方程，利用根与
系数的关系，化简得
，
，设直线 的方程为
，代入椭
圆方程并整理得 【详解】 （1）由题意得
，
则有
，即
，故
.
当直线 与 轴垂直时，点 的横坐标为 1， ，显然
同理可得
.
设直线 的方程为
，
代入椭圆 的方程并整理得
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立 关于 的回归方程.
（3）已知商品的年利润 与 ， 的关系为
.根据（2）的结果，计算年广告
费 约为何值时（小数点后保留两位），年利润的预报值最大.附：对于一组数据
，
，…，
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，
.
【答案】（1）见解析；（2）
（3）6.65 万元
， 为线段 的中
点，且
平面 .
（1）求证： 平面 .
（2）若直线 与 所成角的正切值为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）见证明；（2） 【解析】（1）取 的中点 ，连接 ， ，又 为 的中点，得到四边形 行四边形，从而应用线面平行的判定定理证得结果.
为平
（2）
，可得 为直线 与 所成的角，可得
，
，
设
，则
，
，取 的中点 O，连接 PO，过 O 作 AB 的平
行线，可建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz，设
为平面 PBD 的法向量，
则
，利用
，即可得出.
【详解】
（1）证明：取 的中点 ，连接 ， .
又 为 的中点，所以
，
.
又
，
，所以
，
则四边形
为平行四边形，所以
. .
因为 平面 ， 平面 ，
，则
或 ”的否命题，可判断③的正误；④结合复合命题的真值表，可判断④的正误， 从而求得结果. 【详解】
①命题“
，
”的否定是：“
，
”，所以①正确；
②命题“若
，则 且 ”的否定是“若
，则 或 ”，
所以②不正确；
③命题“若
，则 或 ”的否命题是“若
，则 且 ”，所以
③不正确；
④“ 是假命题， 是真命题”，则命题 ， 一真一假，所以④正确；
6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）
A．2018 【答案】C
B．-1010
【解析】根据程序框图，它的作用是求
据结合律进行求解，可得结果.
【详解】
该程序框图的作用是求
而
C．1009
D．-1009 的值，根
的值，
， 故选 C. 【点睛】 该题主要考查程序框图，用结合律进行求和，属于简单题目. 7．已知某几何体的三视图如图所示，图中小方格的边长为 1，则该几何体的表面积为
， 是虚数单位，若
，则
（）
A．
B．2
C．
D．5
【答案】C
【解析】根据复数相等的充要条件，构造关于 的方程组，解得 的值，进而可得答
案.
【详解】
因为
，
结合
，所以有
，解得
，
所以
，
故选 C. 【点睛】
该题考查的是有关复数的模的问题，涉及到的知识点有复数相等的条件，属于简单题目. 3．给出下列四个结论：
①命题“
，由正弦定理得
， ，
，由余弦定理得 ，
，
，
，故选 C.
10．已知抛物线
的焦点为 ，
，
是抛物线上的两个动点，若
，则 的最大值为（ ）
A．
Hale Waihona Puke B．C．【答案】B
【解析】利用余弦定理，结合基本不等式，即可求出
【详解】
D． 的最大值.
因为
，
，
所以
，
在 中，由余弦定理得：
又 所以
， ，
，
所以
，
所以 的最大值为 ， 故选 B. 【点睛】 该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，基本不等式，在解题 的过程中，对题的条件进行正确转化是解题的关键，属于中档题目.
，
”的否定是“
，
”；
②命题“若
，则 且 ”的否定是“若
，则
”；
③命题“若
，则 或 ”的否命题是“若
，则 或 ”；
④若“ 是假命题， 是真命题”，则命题 ， 一真一假.
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 【答案】B
B．2
C．3
D．4
【解析】①写出命题“
，
”的否定，可判断①的正误；②写出命题“若
，则 且 ”的否定，可判断②的正误；写出命题“若
【解析】（1）根据题中所给的数据画出散点图，可以发现点落在一条直线的周围，从而
判断出
更适合作为年销售额 关于年广告费 的回归方程类型；
（2）根据数据，利用公式求得回归直线的方程； （3）根据题意，将相应的量代换，求得结果. 【详解】
（1）散点图如图所示，
故
更适合作为年销售额 关于年广告费 的回归方程类型.
以 为坐标原点， ， ， 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向，建立空间直角坐标系，
如图所示.
则
，
，
，
，所以
.
所以
，
，
.
设平面 的法向量为
，
则
，
令 ，则
.
因为
.
所以直线 与平面 【点睛】
所成角的正弦值为 .
该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，应用向量法求
线面角的正弦值的问题，属于中档题目.
时，函数值的变
因为 当
，所以排除 C， 时，因为指数函数比对数函数增长速度要快，
所以当
时，有
，所以排除 D，
故选 A. 【点睛】
该题是一道判断函数图象的题目，总体方法是对函数解析式进行分析，注意从函数的定
义域、图象所过的特殊点以及对应区间上函数图象的变化趋势，来选出正确的结果，注
意对不正确的选项进行排除.
16．如图①，在 中，
， 的中点为 ，点 在 的延长线上，且
.
固定边 ，在平面内移动顶点 ，使得圆 分别与边 ， 的延长线相切，并始终与
的延长线相切于点 ，记顶点 的轨迹为曲线 .以 所在直线为 轴， 为坐标原点建立
平面直角坐标系，如图②所示.