离散状态空间分析
自动控制原理状态空间法
目录
• 引言 • 状态空间法基础 • 线性系统的状态空间表示 • 状态反馈与极点配置 • 最优控制理论 • 离散系Biblioteka 的状态空间表示01引言
状态空间法的定义
状态空间法是一种基于状态变量描述线性时不变系统的方法，通过建立系 统的状态方程和输出方程来描述系统的动态行为。
状态变量是能够完全描述系统内部状态的变量，可以是系统的物理量或抽 象的数学变量。
最优控制问题
在满足一定约束条件下，寻找一个控制输入， 使得被控系统的某个性能指标达到最优。
性能指标
通常为系统状态或输出函数的积分，如时间加 权或能量加权等。
约束条件
包括系统动态方程、初始状态、控制输入和终端状态等。
线性二次调节器问题
线性二次调节器问题是最优控制问题的一个特例， 其性能指标为系统状态向量的二次范数。
THANKS
状态方程描述了系统内部状态变量之间的动态关系，而输出方程则描述了 系统输出与状态变量之间的关系。
状态空间法的重要性
1
状态空间法提供了系统分析和设计的统一框架， 可以用于线性时不变系统的各种分析和设计问题。
2
通过状态空间法，可以方便地实现系统的状态反 馈控制、最优控制、鲁棒控制等控制策略。
3
状态空间法具有直观性和易于实现的特点，能够 直接反映系统的动态行为，便于理解和分析。
02
状态空间法基础
状态与状态变量
状态
系统在某一时刻的状态是由系统 的所有内部变量共同决定的。
状态变量
描述系统状态的变量，通常选择 系统的输入、输出和内部变量作 为状态变量。
状态方程的建立
根据系统的物理或数学模型，通过适 当的方法建立状态方程。
状态空间的名词解释
状态空间的名词解释状态空间是指描述系统或物体各种可能状态的一个抽象概念。
它在各个领域中都有着重要的应用，包括数学、物理学、计算机科学等。
在这篇文章中，我们将探讨状态空间的概念、性质和应用，并尝试借助一些具体的例子来说明。
首先，让我们来解释一下状态空间的基本定义。
状态空间通常可以被看作是一个多维空间，其中每个维度代表一个状态变量，而每个点则表示一个具体的状态。
例如，对于一个简单的二维状态空间，其中的一个维度可以表示对象的位置，而另一个维度则可以表示对象的速度。
在这个状态空间中，每个点都可以唯一地确定对象的位置和速度。
状态空间的一个重要性质是维数，即它包含的状态变量的个数。
维数的多少直接决定了状态空间的复杂程度。
一个低维的状态空间可能只包含很少的状态变量，而高维的状态空间则可能包含众多的状态变量。
这决定了系统在状态空间中的行为和演化方式。
例如，在物理学中，一个简谐振子的状态空间只有一维，因为只需要考虑物体的位置；而一个复杂的天气预测系统的状态空间可能包含数十个甚至数百个维度，因为需要考虑众多的气象参数。
状态空间的另一个重要概念是状态转移。
状态转移指的是系统在不同状态之间的切换过程。
在状态空间中，状态转移通常由一些规则或方程来描述。
这些规则可以是离散的，例如一个棋盘游戏中的走子规则，也可以是连续的，例如牛顿力学中的运动方程。
通过这些规则，我们可以预测系统在状态空间中的演化和变化。
状态转移的过程也可以被称为系统的动力学，它描述了系统状态的发展轨迹。
除了描述系统的状态和演化，状态空间还可以用于解决一些实际问题。
一个典型的例子是路径规划问题。
在这种问题中，我们需要找到一条从起点到终点的最短路径。
可以将路径规划问题转化为在状态空间中寻找一个状态转移序列的问题。
通过定义合适的状态转移规则和评估函数，我们可以通过在状态空间中搜索来解决这个问题。
类似地，状态空间可以用于机器学习中的强化学习问题、物理系统的建模和仿真等。
现代控制原理2-3离散系统
−T −T
−T
)
−T
z 2 − (1 + e −T ) z + e −T
)
0 x( k + 1) = −T -e
0 x ( k ) + u( k ) −T 1+ e 1 1
y( k ) = 1 − e −T − Te − T
T − 1 + e −T x( k )
x(k+1) = [I +TA]x(k) + TBu(k) G = I +TA H =TB
17
0 1 0 & 的近似离散化方程。 例2-13 求 x = x + 1 u 的近似离散化方程。 0 −2
解： G = I + TA = 1 0 + 0 − T = 1 − T 0 1 0 − 2T 0 1 − 2T
x( k + 1) = G ( k ) x( k ) + H ( k )u( k ) y( k ) = C ( k ) x ( k ) + D( k )u( k )
2
2.结构图 2.结构图
3
3.差分方程和脉冲传递函数与离散状态空间表 3.差分方程和脉冲传递函数与离散状态空间表 达式之间的转换 在单变量离散系统中， 在单变量离散系统中，数学模型分为差分方程 和脉冲传递函数两类， 和脉冲传递函数两类，它们与离散状态空间表达式 之间的变换，和连续系统分析相类似。 之间的变换，和连续系统分析相类似。 离散 差分方程 连续 D.E
x1 ( k ) y ( k ) = [1 −4 ] + u( k ) x2 ( k )
离散控制器的设计与实现
离散控制器的设计与实现离散控制器是一种广泛应用于工业自动化领域的控制系统。
它使用离散的时间和状态空间进行控制，具有精确性高、稳定性强等优点。
本文将介绍离散控制器的设计原理和实现方法。
一、离散控制器的设计原理离散控制器的设计基于离散时间线性系统的数学模型，主要包括离散传递函数和离散状态空间模型。
离散传递函数描述了输入与输出之间的关系，离散状态空间模型则描述了系统的状态变化。
1. 离散传递函数离散传递函数的一般形式为：G(z) = (b0 + b1z^(-1) + b2z^(-2) + ...)/(1 + a1z^(-1) + a2z^(-2) + ...)其中，b0, b1, b2...为输入项的系数，a1, a2...为输出项的系数。
通过确定这些系数，我们可以设计出符合控制要求的离散传递函数。
2. 离散状态空间模型离散状态空间模型的一般形式为：x(k+1) = Ax(k) + Bu(k)y(k) = Cx(k) + Du(k)其中，x(k)为系统状态向量，u(k)为输入向量，y(k)为输出向量，A 为状态转移矩阵，B为输入转移矩阵，C为输出转移矩阵，D为直接转移矩阵。
通过确定这些矩阵，我们可以设计出满足系统要求的离散状态空间模型。
二、离散控制器的实现方法离散控制器的实现方法包括传统PID控制器和现代控制理论中的状态反馈控制器和最优控制器等。
1. 传统PID控制器PID控制器是一种经典的控制器，由比例项、积分项和微分项组成。
离散PID控制器的离散传递函数可以表示为：G(z) = Kp + Ki(1/z) + Kd(z-1)/z其中，Kp、Ki和Kd分别为比例、积分和微分增益。
通过调节这些增益，我们可以实现对系统的控制。
2. 状态反馈控制器状态反馈控制器通过测量系统状态反馈进行控制。
离散状态反馈控制器的表达式为：u(k) = -Kx(k)其中，K为状态反馈增益矩阵，通过选择合适的增益矩阵K，我们可以实现对系统状态的精确控制。
状态空间描述
状态空间描述
状态空间可以简单地理解为描述系统所处状态的一种抽象概念，它把一个复杂的系统抽象成多个独立状态，并以这些状态的变化来描述系统的演化变化规律。
状态空间描述了系统之间状态的可能变化，从而表明了每个状态之间的连接情况。
1. 什么是状态空间
状态空间是描述系统所处状态的一种抽象概念，它能够将一个复杂的系统抽象成多个独立的状态，并以这些状态的变化来描述系统的演化变化情况。
2. 状态空间的概念
状态空间是一种用于描述系统状态变化的空间，它通过多个状态表达了一个系统的演化情况，并将一个复杂的系统变化的规律映射到状态变化的空间中。
因此，它是表达某个系统演化情况的一种理想方法。
3. 状态空间的总体结构
状态空间是有限的，它由一个特定的状态集合构成，包括一组状态及其间的连接关系，这些连接关系通过不同的操作表示出来。
因此，状态空间的总体结构可以概括为包含了状态和连接情况的一维空间。
4. 状态空间变化
状态空间随着操作的不断变化，其所描述的系统也会不断变化，这就
形成了一个动态的状态空间，这里面存在着状态之间的连接关系，这
些连接关系是由可调整转移概率和操作决定的。
5. 对应建模
状态空间模型将状态空间中的各状态映射到离散时间模型，从而对模
型问题进行建模，通过状态空间模型可以计算出每个状态的概率，从
而能够较为准确地表述系统的状态情况，以找出问题的解决途径。
6. 状态空间可视化
状态空间可以使用可视化图像，将各状态之间的连接关系图示出来，
常见的可视化表示方法有马尔科夫网络图像，状态树图像和拓扑图像，这些可视化图像能够清晰地展示出状态空间的总体结构，从而简化问
题的解决过程。
状态空间表达式
（28） 状态空间方程实现非唯一，书p28, 图1.16b求得其对应的传递函数为： （29）
为求得 令式（29）与式（26）相等，通过对 多项式系数的比较得： 故得： （30）
也可将式(30)写成式(31)的形式，以便记忆。 （31）
将上图a的每个积分器输出选作状念变最，如图所示，得这种结构下的 状态空间表达式：
解：
→
→
u
y
－
＋
例： 解： 比例积分环节： → → u y ＋
例：
解：
综合惯性环节、积分环节模拟结构图得：
u
y
－
＋
u
y
解：选积分器的输出为状态变量得：
u
y
状态方程：
输出方程：
状态空间表达式
1.3.2 从系统的机理出发建立状态空间表达式
一般常见的控制系统，按其能量属性，可分为电气、机械、机电、气动 液压、热力等系统。根据其物理规律，如基尔霍夫定律、牛顿定律、能量守 恒定律等，即可建立系统的状态方程。当指定系统的输出时，很容易写出系 统的输出方程。
同一系统，经非奇异变换后，得：
其特征方程为：
（44）
1.5.2 系统特征值的不变性及系统的不变量
1.系统特征值
式(43)与式(44)形式虽然不同，但实际是相等的，即系统的非奇异变换，其特征值是不变的。可以证明如下：
将特征方程写成多项式形式 由于特征 值全由特征多项式的系数 唯一确定，而特征值 经非奇异变换是不变的，那么这些系统 也是不变 的量。所以称特征多项式的系数为系统的不变量。
(3)有共轭复根时，以四阶系统其中有一对共轭复根为例，即 此时
1.6 从状态空间表达式求传递函数阵
1.6.1 传递函数(阵)
离散系统的状态空间描述状态方程
上式中：
h0 bn h1 bn1 an1h0 h2 bn 2 an1h1 an 2 h0 hn b0 an1hn1 a1h1 a0 h0
12
2019/1/5
得到一阶差分方程组：
x1 ( k 1) x2 ( k ) h1u( k ) x ( k 1) x ( k ) h u( k ) 2 3 2 x ( k 1) x ( k ) h u( k ) n n1 n1 xn ( k 1) a0 x1 ( k ) a1 x2 ( k ) an1 xn ( k ) hn u( k )
1）差分方程的输入函数中不包含高于一阶的差分项
y( k n) an1 y( k n 1) a1 y( k 1) a0 y( k ) b0u( k )
选择状态变量： x1 ( k ) y( k )
x ( k ) y( k 1) 2 x 3 ( k ) y( k 2 ) xn ( k ) y( k n 1)
求解法同连续时间定常系统的传递函数的实现。
这里仅给出结论：第二能控标准型、第二能观测标准型
2019/1/5
16
1）第二可控标准型
x1 ( k 1) 0 x ( k 1) 0 2 0 x n ( k 1) a0 1 0 0 a1 0 1 0 a2 0 x1 ( k ) 0 x ( k ) 0 0 2 0 x 3 ( k ) u( k ) 0 1 0 a n 1 1 x n ( k )
状态空间分析方法基础
§9-1 控制系统的状态空间描述
别是每一个状态变量的一阶导数，右端是状态变量和输入变量 所组成的代数多项式。
2.输出方程 输出方程是在指定输出变量的情况下，该输出 变量与状态变量以及输入变量之间的函数关系。状态变化决定 输出的变化，这是一个变换过程，所以输出方程的数学形式表 征为一个变换关系的代数方程。
1.1检测的基本概念
1）传感器 传感器的作用是把被测的物理量转变为电参量，是获取
信息的手段，是自动检测系统的首要环节，在自动检测系统 中占有重要的位置。 2）信号处理电路
信号处理电路的作用把传感器输出的电参量转变成具有 一定驭动和传输功能的电压、电流和频率信号，以推动后续 的记录显示装置、数据处理装置及执行机构。 3）记录显示装置
1）静态测量和动态测量 2）直接测量与间接测量 3）模拟式测量和数字式测量 4）接触式测量和非接触式测量 5）在线测量和离线测量
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1.1检测的基本概念
2. 测量误差 在检测过程中，被测对象、检测系统、检测方法和检测
人员都会受到各种因索的影响。而且，对被测量的转换有时 也会改变被测对象原有的状态信息，这就造成了检测结果 （测量值）与真值之间存在一定的差值，这个差值就称为测 量误差。
上一页 返回
§9-3 线性离散系统状态空间表达式
一、线性离散系统的状态空间表达式 线性定常离散系统状态空间表达式的结构图如图9-16所
示。 二、线性定常离散系统状态方程的解
1.迭代法求解 迭代法是一种递推的数值解法，其思路是：利 用初始时刻t0=0(即k=0)时的x(0)和u(0)求x(1)；再根据求出的 x(1)和给定的u(1)求x(2)；如此逐步迭代，即可求得所需的 x(k)。此法适于在计算机上求解。
系统的状态空间分析
则状态方程为：
x1 a11x1 a12 x2 a1n xn b11 f1 b12 f2 b1p f p x2 a21x1 a22 x2 a2n xn b21 f1 b22 f2 b2 p f p xn an1x1 an2 x2 ann xn bn1 f1 bn2 f2 bnp f p
二、状态空间分析法的应用及优点：
1、可以提供系统的内部信息，使人们能够比较容易地解 决那些与系统内部情况有关的分析设计问题。
2、不仅适用于线性、时不变、单输入单输出系统分析， 也适用于非线性、时变、多输入多输出系统分析。
3、描述方法规律性强，便于用计算机解决复杂系统的分 析设计问题。
第第88--33页页
信号与系统 电电子子教教案案
8.1 系统的状态空间描述
输出方程： 描述系统输出、输入、状态之间关系的代数方程组。
输出方程一般形式：
设n阶系统有n个状态、p个输入、q个输出，则输出方程为：
y1 c11x1 c12x2 c1n xn d11 f1 d12 f2 d1p f p
设t0时刻的初始状态为：x1(t0 ), x2 (t0 )......, xn (t0 ). 则系统的状态变量— — 任一时刻t的状态为：
x1(t), x2 (t)......, xn (t)
第第88--66页页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电电子子教教案案
8.1 系统的状态空间描述
xn (k 1) an1
an2
ann
xn
( k )
bn1
bn 2
bnp
f p
现代控制理论基础 第2章 控制系统的状态空间描述
【例3】建立图2－1所示RLC电路的状态方程。
取电容上的电压uC (t)和电感中的电流i(t)作为状态变量， 根据电路原理有
C duc (t) i(t) dt
di(t) L dt Ri(t) uc (t) u(t)
将上式中状态变量的一阶导数放在方程左边，其余项 移至方程右边，整理得一阶微分方程组为
状态空间法具备如下优点： （1）在数字计算机上求解一阶微分方程组或者差分方程
组，比求解与它相当的高阶微分方程或差分方程要容易。
（2）状态空间法引入了向量矩阵，大大简化了一阶微分方 程组的数学表示法。
（3）在控制系统的分析中，系统的初始条件对经典法感 到困难的问题，采用状态空间法就迎刃而解了。
（4）状态空间法能同时给出系统的全部独立变量的响应， 不但反映了系统的输入输出外部特性，而且揭示了系统 内部的结构特性，既适用单输入单输出系统又适用多输 入多输出系统。
x = A(t)x B(t)u
y
C (t ) x
D(t)u
式中，各个系数矩阵分别为
（2－8）
a11 (t)
A(t)
an1 (t)
c11 (t)
C
(t)
cm1 (t)
a1n (t)
b11 (t)
,
B(t)
ann (t)
bn1 (t)
c1n (t)
d11 (t)
,
D(t)
cmn (t)
述把系统的输出取为系统外部输入的直接响应， 显然这种描述回避了表征系统内部的动态过程 即把系统当成一个“黑匣”，认为系统的内部 结构和内部信息全然不知，系统描述直接反映 了输出变量与输入变量间的动态因果关系。
考察图2－1所示的n级RC网络。图中虚线框内 为具有放大器隔离的n级RC电路,设放大器的输入阻
计算机控制技术期末复习试题附答案.
第一章 计算机控制系统概述1、计算机控制系统的概念是什么？计算机控制系统是以计算机技术、控制理论及自动化技术相结合并应用于工业生产过程的结果，是以自动控制理论为基础，以计算机为手段的控制系统。
2、计算机系统由哪些部分组成？并画出方框图。
计算机控制系统由计算机、外部设备、操作台、输入通道、输出通道、检测装置、执行机构、被控对象以及相应的软件组成。
3、计算机控制系统的主要性能指标有哪些？稳定性/动态指标/稳态指标/能控性与能观性4、计算机控制系统的主要特点有哪些？各项 连续控制系统 计算机控制系统信号形式 都是模拟信号 模拟信号、数字信号皆有控制规律实现 由模拟电路实现 由计算机通过程序实现控制形式 整个过程始终连续控制 整个过程始终离散控制控制器作用 一个控制器控制一个回路 一个控制器分时控制多个回路功能强度 简单控制 具有丰富的指令系统和很强的逻辑判断功能 自动化程度 自动化程度低 便于实现控制与管理的一体化5、计算机控制系统是怎样分类的？按功能和控制规律可分为几类？一、按控制系统的功能及结构特点分类①操作指导控制系统②直接数字控制系统DDC③监督控制系统 SCC④计算机分级控制⑤集散控制系统 DCS⑥现场总线控制系统FCS外部设备操作台 输入通道 检测装置输出通道 执行机构 计 算 机 被 控 对 象二、按控制规律分类①程序和顺序控制② PID 控制③最少拍控制④复杂规律的控制⑤智能控制第二章 离散控制系统及Z 变换分析法1、计算机控制系统的信号形式有哪些？连续模拟信号:时间与幅值上均连续，如 r(t)、y(t)、u(t)离散模拟信号:时间是离散的，幅值上连续，如y*(t)、u*(t)离散数字信号:时间离散的，幅值为数字量，如y(kT)、u(kT)2、香农(Shannon)采样定理是如何描述的？一个连续时间信号f(t)，设其频带宽度是有限的，其最高频率为ωmax(或fmax)，如果在等间隔点上对该信号f(t)进行连续采样，为了使采样后的离散信号f *(t)能包含原信号f(t)的全部信息量。
线性连续系统状态空间模型的离散化
1
(kT
kT T T 1)(
1)
dτ
1
(k 1)T 2 (k 1)T
1
ln
(k
1)T kT 1
1
T
线性时变连续系统的离散化(6/6)
➢ 将上述计算所得的G(k)和H(k)代入,则求得离散化状态方 程如下
x(k
1)
1
0
(kT
T
T 1)(kT
1)
x(k)
(k 1)T 2
线性定常连续系统的离散化(1/3)
3.4.1 线性定常连续系统的离散化
本节主要研究线性定常连续系统状态空间模型的离散化,即 ➢ 研究如何基于采样将线性定常连续系统进行离散化,建立 相应的线性定常离散系统的状态空间模型。
主要讨论的问题为两种离散化方法: ➢ 精确法和 ➢ 近似法
线性定常连续系统的离散化(2/3)
x(k 1) Gx(k) Hu(k)
y(k
)
Cx(k
)
Du(k
)
则可得如下近似离散化的计算公式:
G(T)=I+AT H(T)=BT 将上述近似离散法和精确离散法比较知,
➢ 由于I+AT和BT分别是eAT和eAtdtB的Taylor展开式中的一次 近似,因此近似离散化方法其实是取精确离散化方法的相应 计算式的一次Taylor近似展开式。
x(k 1) 0
e2T
x(k)
(1- e2T )/2
u(k)
近似离散化方法(1/6)
2. 近似离散化方法
所谓线性定常连续系统状态方程的近似离散化方法是指
➢ 在采样周期T 较小,
➢ 且对离散化的精度要求不高的情况下, 用状态变量的差商代替微商来求得近似的差分方程。
零阶保持离散状态空间方程推导
零阶保持离散状态空间方程推导零阶保持离散状态空间方程推导一、引言在控制理论中，零阶保持离散状态空间方程是一种描述离散时间系统动态行为的数学模型。
它广泛应用于工程、电子、自动化等领域，具有重要的理论和实际价值。
本文将深入探讨零阶保持离散状态空间方程的推导和应用，帮助读者更深入地理解这一概念。
二、零阶保持离散状态空间方程的基本概念零阶保持离散状态空间方程是指系统的输出只与当前时刻的输入有关，与之前的输入和状态无关。
在离散时间系统中，可以用矩阵形式表示为：\[ x(k+1) = Ax(k) + Bu(k) \]\[ y(k) = Cx(k) + Du(k) \]其中，\( x(k) \) 是系统的状态向量，\( u(k) \) 是输入向量，\( y(k) \) 是输出向量，\( A \)、\( B \)、\( C \)、\( D \) 是系统的系数矩阵。
三、推导过程1. 零阶保持离散状态空间方程的推导过程涉及多种数学方法，包括矩阵运算、差分方程、离散时间系统等。
我们需要根据系统的动力学方程和输出方程建立状态方程和输出方程的关系。
2. 根据系统的状态转移方程，可以得到状态向量在下一时刻的表达式。
利用状态向量的递推关系，可以得到系统的状态方程。
3. 根据系统的输出表达式，可以得到系统的输出方程。
将状态方程和输出方程结合起来，就可以得到完整的零阶保持离散状态空间方程。
在推导过程中，我们需要注意考虑系统的各种状态和输入对方程的影响，以确保得到的状态方程和输出方程能够完整地描述系统的动态行为。
四、零阶保持离散状态空间方程的应用零阶保持离散状态空间方程在控制系统设计、信号处理、数字滤波、系统辨识等方面有着广泛的应用。
它不仅为系统分析和设计提供了重要的数学工具，而且在实际工程中具有重要的应用价值。
在数字控制系统中，我们可以利用零阶保持离散状态空间方程建立系统模型，进行系统仿真和控制算法设计，从而实现对系统动态行为的精确控制。
离散系统的基本概念
06
CATALOGUE
离散系统的发展趋势与展望
离散系统的新理论与方法
离散系统的新理论
随着科技的不断发展，离散系统的新理论也在不断涌现。例如，离散概率论、离散控制论、离散信息论等，这些 新理论为离散系统的发展提供了重要的理论支持。
离散系统的新方法
在实践中，人们不断探索新的方法来处理离散系统的问题。例如，离散数学、离散优化算法、离散模拟技术等， 这些新方法为离散系统的研究提供了更有效的工具。
状态转移图的绘制方法
根据状态方程，通过计算或模拟得到状态变量的时间序列解，并绘 制成图形。
状态转移图的应用
通过观察状态转移图，可以直观地了解系统动态行为和变化趋势。
04
CATALOGUE
离散系统的稳定性分析
线性离散系统的稳定性分析
定义
线性离散系统是指系统 的数学模型可以表示为 离散时间的线性方程组 ，如差分方程或离散时 间状态方程。
状态方程
1
状态方程是描述离散时间动态系统状态变化的基 本方程，通常表示为离散时间序列的递推关系。
2
状态方程通常由当前状态和输入量来预测下一个 状态，是离散系统分析的重要基础。
3
状态方程的解法包括递归法和矩阵法等，其中递 归法较为直观，而矩阵法适用于大规模系统。
转移矩阵
转移矩阵是描述离散系统状态转移关系的矩阵，其元素表示状态之间的转 移概率。
社会科学领域
在社会学、经济学、管理学等领域中，离散系统也有着广泛的应用。例如，在经济学中，离散模型被用 于描述经济活动中的离散事件；在社会学中，离散模型被用于描述社会结构和社会动态。
离散系统未来的研究方向
要点一
复杂离散系统的研究
随着科技的不断发展，复杂离散系统 的研究已经成为一个重要的研究方向 。例如，复杂网络、离散事件动态系 统等，都是复杂离散系统的研究重点 。
2.离散系统状态空间表达式
y 1
0
x1 (k ) x2 ( k ) 0 xn ( k )
离散时间系统差分方程表示：
y (k n) an1 y (k n 1) a1 y k 1 a0 y (k )
bnu (k n) bn1u (k n 1) b1u k 1 b0u (k )
2、把高阶差分方程化为一阶差分方程组：
x1k 1 y(k 1) x2 k
x2 k 1 y (k 2) x3 k
xn1 k 1 y (k n 1) xn k 1 y (k n) a0 x1 (k ) a1 x2 (k ) an1 xn (k ) b 0u (k )
x(k 1) Gx(k ) Hu (k ) y (k ) Cx(k ) Du k
D u(k) x(k+1) H + G
Z 1
x(k
C
+ y(k)
图 1.6.1
一、差分方程中不包含输入函数的差分情况
y (k n) an1 y (k n 1) a1 y k 1 a0 y (k ) b0u k
2.6 离散时间系统状态空间表达式
线性离散系统状态空间描述，形式上类似于 连续系统，一般形式为
x(k 1) G (k ) x(k ) H (k )u (k ) y (k ) C (k ) x(k ) D(k )u (k )
其中： x(k ) R n ：n 维状态向量
1、选择状态变量：
x1k y(k ) x2 k y(k 1)
xn1 k y (k n 2) xn k y (k n 1)
状态空间——精选推荐
1 前言1.1 状态空间法的研究意义经典线性系统理论对于单输入-单输出线性定常系统的分析和综合是比较有效地，但其显著的缺点是只能揭示输入-输出间的外部特征，难以揭示系统内部的结构特性，也难以有效处理多输入-多输出系统。
在20世纪50年代蓬勃兴起的航天技术的推动下，1960年前后开始了从经典控制理论到现代控制理论的过渡，其中以个重要标志就是卡尔曼系统地将状态空间概念引入到控制理论中来。
现代控制理论正是在引入状态和状态空间概念的基础上发展起来的。
现代控制理论中的线性系统理论运用状态空间法描述输入-状态-输出诸变量间的因果关系，不但反映了系统的输入-输出外部特征，而且揭示了系统内部的结构特征，是一种既适用于单输入-单输出系统又适用于多输入-多输出系统，既可用于线性定常系统又可以用于线性时变系统的有效分析和综合方法。
在线性系统理论中，根据所采用的数学工具及系统描述方法，又出现了一些平行的分支，目前主要有线性系统的状态空间法、线性系统的几何理论、线性系统的代数理论、线性系统的多变量频域方法等。
由于状态空间法是线性系统理论中最重要和影响最广的分支，所以研究控制系统的状态空间分析及设计是非常有必要的。
1.2 状态空间法的国内外研究状况1940年到1950年，以频域方法为基础建立了古典控制理论，其特征是传递函数作为描述“受控对象”动态过程的数学模型，进行系统分析与综合；适用范围仅限于线性、定常（是不变）、确定性的、集中参数的单变量（单输入、单输出、简称SISO）系统；能解决的问题是以系统稳定性为核心的动态品质。
1950年代兴起的航天技术为代表的更加复杂的控制对象是一个多变量系统（多输入多输出、简称MIMO），有的控制对象具有非线性和时变特性，甚至具有不确定的、分布参数特性等。
在控制目标上，希望能解决在某种目标函数意义下的最优化问题。
1950年到1960年代不少科学家为此作出了杰出贡献，其中应特别提到的是庞特里亚金的“极值理论”，贝尔曼的“动态规划”，卡尔曼的“滤波”、“能控性和能观性”理论等。
简述问题的状态空间
简述问题的状态空间
问题的状态空间是指问题所涉及的所有可能状态的集合。
在计算机科学、人工智能和优化问题中，状态空间通常用于描述问题的不同解决方案或可能路径。
问题的状态空间可以是离散的或连续的，具体取决于问题的性质。
在人工智能中，搜索算法通常用于在状态空间中查找解决方案。
问题的状态空间的规模和复杂性会影响解决问题所需的计算资源和时间。
有效地定义问题的状态空间对于问题的建模和解决非常重要。
ou过程的离散表示
ou过程的离散表示离散过程的概念和特点离散过程是指在时间上是离散的、状态或数值是离散的、具有随机性的过程。
离散过程在现实生活中广泛存在，例如抛掷硬币、赌博、排队等等。
离散过程的研究是概率论和统计学中的重要分支。
离散过程的特点主要体现在以下几个方面：1. 状态空间的离散性：离散过程的状态是有限或可数的，每一个状态都是离散的。
例如，抛掷一枚硬币的结果只有两种可能，正面或反面，可以称为两个状态。
2. 时间的离散性：离散过程的时间是离散的，事件发生的时刻是离散的。
例如，排队等待的过程中，每个人进入队列的时间是离散的。
3. 随机性：离散过程的发展是具有随机性的，即每个事件的发生不是确定的，而是按照一定的概率规律进行的。
例如，赌博游戏中，每个人的输赢都是随机的，无法预测。
离散过程的表示方法离散过程可以用不同的方式进行表示和描述，其中常用的有状态转移图和状态转移矩阵。
1. 状态转移图：状态转移图是一种图形化的表示方法，用于描述离散过程中状态之间的转移关系。
图中的节点表示各个状态，边表示状态之间的转移，边上的标记表示转移的概率。
通过状态转移图可以清晰地展示离散过程的状态演变过程。
2. 状态转移矩阵：状态转移矩阵是一种数学工具，用矩阵的形式表示离散过程中状态之间的转移概率。
矩阵的每个元素表示从一个状态转移到另一个状态的概率。
状态转移矩阵可以方便地计算离散过程中各个状态的概率分布和演化规律。
离散过程的应用离散过程在实际应用中具有广泛的应用价值，涉及到众多领域，如通信网络、排队论、金融工程、生物信息学等等。
1. 通信网络：离散过程在通信网络中的应用非常广泛。
例如，通过建立离散过程模型可以分析数据包在网络中的传输延迟、丢包率等性能指标，从而优化网络设计和管理。
2. 排队论：排队论是研究随机到达和服务过程的数学理论，其中离散过程是重要的研究对象。
通过排队论可以分析队列长度、等待时间、服务效率等问题，对于优化服务流程和提高资源利用率有重要意义。
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例3．8 用迭代法求解线性离散系统的状态方程
1 0 0 x (kT ) u ( kT ) x( kT T ) 0.4 0.3 1 y ( kT ) 0 1x ( kT ) x1 (0) 1 1 k 0 x(0) x (0) 1，u (kT ) 0 k 0 2
yp
图3.1 线性连续系统的变量关系
状态变量、控制变量和输出变量的向量表达式
x1 (t ) x (t ) 2 x(t ) xn (t )
u1 (t ) u (t ) 2 u (t ) um (t )
线性离散系统的解式(3—75)
可以用状态转移矩阵来表示，即
k 1 xkT kT x0 (kT jT T )Gu(kT ) j 0 (3 78) k 1 ykT CkT x0 C (kT jT T )Gu(kT ) Du(kT ) j 0
an 1 an 2
x1 (kT ) x (kT ) y (kT ) 1 0 0 0 2 x ( kT ) n
例题3.1 线性离散系统的差分方程为：
y (kT 4T ) 3 y (kT 3T ) 5 y (kT 2T ) 4 y (kT T ) 6 y (kT ) 2u (kT ) 试导出离散状态空间表 达式。 解：由差分方程知： n 4，m 0，p 1。 a0 1，a1 3，a2 5，a3 4，a4 6，b0 2。可知 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 G C 1 0 0 0 F 0 0 0 0 1 6 4 5 3 2
由式(3—26)及(3—28)可得
x1 (kT T ) a1 x1 (kT ) a2 x2 (kT ) an xn (kT ) u (kT ) 输出方程为： y (kT ) b1 x1 (kT ) b2 x2 (kT ) bn xn (kT ) 由此可得状态空间表达 式 x(kT T ) Fx(kT ) Gu(kT ) y (kT ) Cx (kT ) Du(kT )
初值x(0)，u (0)。 以k 0， 1， 2， ，代入 x(T ) Fx(0) Gu(0) x(2T ) Fx(T ) Gu(T ) F 2 x(0) FGu(0) Gu(T ) x(3T ) F 3 x(0) F 2Gu(0) FGu(T ) Gu(2T ) x(kT ) F k x(0) F k j 1Gu( jT )
离散状态空间表达式为：
1 0 0 x1 (kT ) 0 x1 (kT T ) 0 x (kT T ) 0 x (kT ) 0 0 1 0 2 u (kT ) 2 x3 (kT T ) 0 0 0 1 x3 (kT ) 0 x4 (kT T ) 6 4 5 3 x4 (kT ) 2 x1 (kT ) x (kT ) y (kT ) 1 0 0 0 2 x3 (kT ) x ( kT ) 4
(3 - 28)
对(3—28)作z反变换得
x2 (kT T ) x1 (kT ) x (kT T ) x (kT ) 3 2 x (kT T ) x (kT ) n2 n 1 xn (kT T ) xn 1 (kT )
(3 - 29)
线性离散系统的状态变量图如图3．2所示
D
u(kT )
G
x(kT T )
I Z
x(kT )
C
y(kT )
F
图3 2
线性离散系统状态变量 结构图
3.2.1 由差分方程导出离散状态空间表达式
对于单输入—单输出的线性离散系统， 可以用n阶差分方程来描述
y(T nT ) a1 y(kT nT T ) an y(kT ) b0u(kT mT) b1u(kT mT T ) bmu(kT ) (3 - 8)
y1 (t ) y (t ) 2 y (t ) y p (t )
状态空间表达式
连续系统的状态空间表达式为
(t ) Ax(t ) Bu(t ) x y(t ) Cx(t ) Du(t ) (3 4) (3 5)
解：令k＝0，1，2．…，及初始条件代入 离散状态空间表达式，可以得到
其中
a1 1 F 0 0 a2 an 1 0 0 0 0 0 1 an 0 0 0 1 0 G 0 0 D0
C b1 b2 bn 1 bn
第 3章
离散系统的离散状态空间分析法
安徽工业大学自动化系
马鞍山 243002
主要内容：
1. 线性离散系统的离散状态空间表达式 2. 由差分方程导出离散状态空间表达式 3. 由z传递函数建立离散状态空间表达式 4. 线性离散系统离散状态方程的求解 5. 线性离散系统的Z传递矩阵与特征方程 6. 用离散状态空间法分析系统的稳定性
由式(3-11)可得
x1 (kT T ) y (kT T ) x2 (kT ) x2 (kT T ) y (kT 2T ) x3 (kT ) x3 (kT T ) y (kT 3T ) x4 (kT ) xn (kT T ) y (kT nT ) an x1 (kT ) an 1 x2 (kT ) a1 xn (kT ) b0u (kT )
A，B，C，D是定常的系数矩阵。 式(3—4)称为状态方程，式(3—5)称为输出方程。 与线性连续系统类似，线性离散系统的离散状态 空间表达式可以表示为
x(kT T ) Fx(kT ) Gu(kT ) y(kT ) Cx(kT ) Du(kT ) (3 6) (3 7)
式(3—6)称为状态方程，式(3—7)称为输出方程。
例3.3 设线性离散系统的Z传递函数
2z 2 5z 1 ( z) 2 GC z 3z 2 试求系统的离散状态空 间表达式。 z 3 z 2 3z 2 由公式可得离散状态空 间表达式 ( z ) b0 GC ( z ) 2 解：GC x1 (kT T ) 3 2 x1 (kT ) 1 u (kT ) 0 x2 (kT ) 0 x2 (kT T ) 1 x1 (kT ) y (kT ) 1 3 2u (kT ) x2 (kT )
系统的状态变量如图3．4所示
3．3 线性离散系统离散状态方程的求解
线性离散系统的离散状态方程是由 高阶差分方程化为一阶差分方程组得到 的，所以求解差分方程的方法可以适用 于求解离散状态方程。通常离散状态方 程的求解方法有 迭代法 Z变换法。
1．迭代法
设线性离散系统的离散 状态空间表达式为 x(kT T ) Fx(kT ) Gu(kT ) y (kT ) Cx (kT ) Du(kT )
1. 当m=0,即控制变量不包含高于一阶的差分
y(kT nT ) a1 y(kT nT T ) an y(kT ) b0 mu(kT ) (3 -10)
选择状态变量
x1 (kT ) y (kT ) x (kT ) y (kT T ) 2 x3 (kT ) y (kT 2T ) xn (kT ) y (kT nT T ) (3 - 11)
3.2.2 由z传递函数建立离散状态空间表达式
一个线性离散系统可以用Z传递函数来 表征，当系统的Z传递函数知道时，便可以 建立该系统的离散状态空间表达式。 由z传递函数建立离散状态空间表达式， 通常有: 直接程序法 分式展开法 迭代程序法 嵌套程序法。
1．直接程序法
设线性离散系统的Z传递函数
b1 z 1 b2 z 2 bn z n Gc ( z ) 1 a1 z 1 a2 z 2 an z n
由式(3—26) 式(3—27)可画出状态变量图
由图3.3可选择状态变量
x1 ( z ) z 1Q( z ) 2 1 x ( z ) z Q ( z ) z x1 ( z ) 2 x ( z ) z n 1Q( z ) z 1 x ( z ) n2 n 1 n 1 x ( z ) z Q ( z ) z xn 1 ( z ) n
令 可得 Q( z ) U ( z ) a1 z 1Q( z ) a2 z 2Q( z ) an z nQ( z ) Y ( z ) b1 z 1Q( z ) b2 z 2Q( z ) bn z nQ( z ) Q( z ) y ( z ) /(b1 z 1 b2 z 2 bn z n ) U ( z ) /(1 a1 z 1 a2 z 2 an z n )
(3 - 12)
写成矩阵形式
x1 (kT T ) 0 x (kT T ) 0 2 x ( kT T ) n an 1 0 0 1 0 x1 (kT ) 0 x (kT ) 0 0 2 u (kT ) 0 a1 xn (kT ) b0
3．1 概述
离散状态空间分析法优点： (1)离散状态空间表达式适宜于计算机求解。 (2)离散状态空间分析法对单变量和多变量 系统允许用统一的表示法 (3)离散状态空间分析法能够应用于非线性 系统和时变系统。