(附加15套模拟试卷)江西省南昌市八一中学2020届高三第三次模拟考试数学(文)试题及答案
2020届江西省南昌市高考数学三模试卷(含解析)
2020届江西省南昌市高考数学三模试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U=R，集合A={x|x2−4x+3>0}，B={x|−1<x<2}，则(∁U A)∪B=()A. (−1,1]B. [1,2)C. [1,3]D. (−1,3]2.已知复数z=−2i，则1z+1的虚部为()A. 25B. 25i C. 2√55i D. 2√553.数列{1+2n−1}的前n项和为()．A. 1+2nB. 2+2nC. n+2n−1D. n+2+2n4.已知函数y=f(x−1)的图象关于直线x=1对称，且当x∈(−∞,0)时，f(x)+xf′(x)<0成立若a=(20.2)⋅f(20.2)，b=(ln2)⋅f(ln2)，c=(1og1214)⋅f(1og1214)，则a，b，c的大小关系是()A. a>b>cB. b>a>cC. c>a>bD. a>c>b5.已知tanα=3，则cos2α=()A. 910B. −910C. −45D. 456.8.下列命题为真命题的是A. 已知，则“”是“”的充分不必要条件B. 已知数列为等比数列，则“”是“”的既不充分也不必要条件C. 已知两个平面，，若两条异面直线满足且//，//，则//D. ，使成立7.下列大小关系正确的是()A. B.C. D.8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是()A. B. C. D.9.更相减损术是出自中国古代数学专著《九章算术》的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之．”如图是该算法的程序框图，如果输入a=98，b=63，则输出的a值是()A. 35B. 21C. 14D. 710.设集合A={0,2，4}、B={1,3，5}，分别从A、B中任取2个元素组成无重复数字的四位数，其中能被5整除的数共有()A. 24个B. 48个C. 64个D. 116个11.已知二次曲线x24+y2m=1,则当m∈[−2,−1]时，该曲线的离心率的取值范围是()A. [√2,√3]B. [√5,√6]C. [√52,√62] D. [√32,√62]12.已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2−x)−x2+8x−8，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为l，点(a n,2a n+1)在l上，且a1=1，则a8=()A. −72B. −4 C. −92D. −52二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.(√x−2x)5的二项展开式中x的系数是______ .(用数字作答)14.若x，y满足约束条件{x+y−2≤0x−2y−2≤0y≤2x+2，则z=2x+y的最小值为______．15.一个与球心距离为√2的平面截球所得圆面面积为π，则球的表面积为______．16.若二次函数y=ax2+4x−2有两个不同的零点，则实数a的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若a−cb−c =sinBsinA+sinC．(1)求角A；(2)若f(x)=cos2(x+A)−sin2(x−A)，求f(x)的单调递增区间．18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，每个侧面均为边长为2的正方形，D为底边AB的中点，E为侧棱CC1的中点．(Ⅰ)求证：CD//平面A1EB；(Ⅱ)求证：AB1⊥平面A1EB；(Ⅲ)若F为A1B1的中点，求过F，D，B，C点的球的体积．19.学生的学习方式是多种多样的，为了应对重大传染疾病所要求的人员的社交距离，也为了提高学生的学习效率，开展多渠道学习形式，市教育局鼓励学生参加网上学习.某中学课题组的数学教师为了调查学生在家学习数学的情况，对本校随机选取100名学生进行问卷调查，统计他们学习数学的时间，结果如图所示．(1)若此次学习数学时间X整体近似服从正态分布，用样本来估计总体，设μ，σ分别为这100名学生学习数学时间的平均值和标准差，并求得μ=76，σ=11.该校共有1000名学生，试估计该校学生中此次学习数学时间超过87分钟的学生人数(结果四舍五人取整数)；(2)若从全市学生中(利用电脑抽取学籍号的方式)有放回地随机抽取3次，每次抽取1人，用频率估计概率，设其中数学学习时间在80分钟及以上的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列和均值．参考公式：若随机变量服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973．20.求下列曲线的标准方程．)的椭圆的标准方程；(1)求焦点在x轴上，焦距为2，过点(1,32(2)求与双曲线x2−y2=1有公共焦点，且过点(√2,√2)的双曲线标准方程．221.已知函数f(x)=x2−(2a+1)x+alnx(a>0)．(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间．22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|⋅|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；)，点B(2√3,θ)在曲线C2上，求△ABO的面积．(2)设点A的极坐标为(2,π323.若∃x∈R，使得不等式|2t−1|<sin2x−4sinx−4成立．(Ⅰ)求t的取值范围；(Ⅱ)求证：12−2t +1t+1+1t>3．【答案与解析】1.答案：D解析：解：由x 2−4x +3>0解得x <1或x >3，则A =(−∞,1)∪(3,+∞)， 所以(∁U A)∪B =[1,3]∪(−1，2)=(−1，3]． 故选：D ．求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．本题主要考査一元二次不等式的解法、补集与并集等基础知识；考查运算求解能力．2.答案：A解析：解：∵复数z =−2i ， ∴1z+1=11−2i=1+2i (1−2i)(1+2i)=1+2i 5的虚部为25，故选：A ．利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．3.答案：C解析：S n =n +=n +2n −1．4.答案：B解析：利用函数y =f(x −1)的图象关于直线x =1对称，可得函数y =f(x)的图象关于y 轴对称，是偶函数．令g(x)=xf(x)，利用已知当x ∈(−∞,0)时，g′(x)=f(x)+xf′(x)<0，可得函数g(x)在x ∈(−∞,0)单调递减，进而得到函数g(x)在(0,+∞)上单调递减．再根据log 1214=2>20.2>1>ln2>0.即可得到a ，b ，c 的大小．解：∵函数y =f(x −1)的图象关于直线x =1对称，∴函数y =f(x)的图象关于y 轴对称，是偶函数． 令g(x)=xf(x)，则当x ∈(−∞,0)时，g′(x)=f(x)+xf′(x)<0， ∴函数g(x)在x ∈(−∞,0)单调递减， 因此函数g(x)在(0,+∞)上单调递减． ∵log 1214=2>20.2>1>ln2>0． ∴c <a <b ． 故选B ．5.答案：C解析：解：tanα=sinαcosα=3， ⇒sinα=3cosα， ⇒sin 2α=9cos 2α， ⇒1−cos 2α=9cos 2α， ⇒cos 2α=110， ⇒1+cos2α2=110，⇒cos2α=−45．故选：C ．利用已知及同角三角函数基本关系式可得sinα=3cosα，两边平方，整理可得cos 2α=110，利用三角函数降幂公式即可得解cos2α的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，降幂公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．6.答案：C解析：故答案为C．7.答案：C解析：试题分析：因为，，，所以，选C．考点：对数式与指数式比较大小．8.答案：A解析：试题分析：由三视图可知，该几何体由一个半球和一个圆锥构成，其表面积为.选A．考点：1、三视图；2、空间几何体的体积．9.答案：D解析：解：第一次循环得：a=98−63=35；第二次循环得：b=63−35=28；第三次循环得：a=35−28=7；第四次循环b=28−7=21；第五次循环b=21−7=14；第六次循环b=14−7=7；此时a=b，输出a=7．故选：D．由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，是基础题．10.答案：C解析：解：∵由题意知本题包括三种情况(1)只含0不含5的数字共有C21C22A33=12种结果(2)只含5不含0的共有C21C22A33=12种结果，(3)含有0和5的又包含两种①0在个位时有C21C21A33=24种结果②5在个位时有C21C21C21A22=16种结果∴根据分类计数原理知共有12+12+24+16=64．故选C根据0的特殊性质，本题包括三种情况第一只含0不含5的数字，第二只含5不含0的数字，第三含有0和5的又包含两种①0在个位和5在个位时，写出各种情况对应的结果数，利用加法原理得到结果．数字问题是排列中的一大类问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．11.答案：C解析：解：因为二次曲线x24+y2m=1,m∈[−2,−1]，所以a=2，b2∈[1,2]，所以c2=a2+b2∈[5,6]，所以双曲线的离心率e=ca ∈[√52,√62]；故选C．通过双曲线方程，求出a与b的范围，得到c的范围，即可求出离心率的范围．本题是基础题，考查双曲线的离心率的求法，考查计算能力．12.答案：D。
江西省南昌市八一中学2023届高考三模理科数学试题(高频考点版)
一、单选题二、多选题1. 两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是（）A．B．C．D．2. 已知复数在复平面内对应点的坐标为，则复数的虚部为（ ）A．B．C．D．3. 已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点组成图形的面积为（ ）A．B ．C ．1D ．24. 已知m ，n 是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则以下结论正确的是（ ）A ．若，，，则B ．若，，，则C ．若，，，则D ．若，，，则5. 已知函数，若函数有零点，则实数a 的取值范围是（ ）A．B．C．D．6. 底面半径为2，高为3的封闭圆柱内有一个表面积的球，则的最大值为（ ）A．B．C．D．7. 已知函数，则不等式的解集为（ ）A．B．C．D．8.已知复数的共轭复数为，则（ ）A．B．C．D．9.如图，已知正方体的棱长为2，点是的中点，点是线段上的一动点，则下列说法正确的是（）A．B．三棱锥的内切球的体积为C ．三棱锥的体积为D ．直线与平面所成角的最大值为10.如图，在正方体中，，是正方形内部(含边界)的一个动点，则（ ）江西省南昌市八一中学2023届高考三模理科数学试题(高频考点版)江西省南昌市八一中学2023届高考三模理科数学试题(高频考点版)三、填空题四、解答题A ．存在唯一点，使得B．存在唯一点，使得直线与平面所成的角取到最小值C．若，则三棱锥外接球的表面积为D ．若异面直线与所成的角为，则动点的轨迹是抛物线的一部分11.已知正方体的边长为2，为的中点，为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（ ）A．B ．平面C ．动点的轨迹长为D ．与所成角的余弦值为12. 正四棱锥中，，，过点作截面分别交棱于点，且，则下列结论正确的是（）A ．若为中点，则B．若平面，则截面的面积C ．若为所在棱的中点，则D ．若为所在棱的中点，则点到平面的距离为13. 函数，则______，_______.14.设为等差数列的前项和，其中，且记，数列的前项和为，若对任意的，都有，则常数的最小值为________．15. 设是虚数单位，复数，若，则__________．16. 为了调查某苹果园中苹果的生长情况，在苹果园中随机采摘了个苹果.经整理分析后发现，苹果的重量（单位：）近似服从正态分布，如图所示，已知，.(1)若从苹果园中随机采摘个苹果，求该苹果的重量在内的概率；(2)从这个苹果中随机挑出个，这个苹果的重量情况如下.重量范围（单位：）个数为进一步了解苹果的甜度，从这个苹果中随机选出个，记随机选出的个苹果中重量在内的个数为，求随机变量的分布列和数学期望.17. 已知函数的图象在与轴的交点处的切线方程为.（1）求的解析式；（2）若对恒成立，求的取值范围.18. 如图，P是边长为1的正六边形所在平面外一点，，P在平面内的射影为的中点.(1)证明：；(2)求面与面所成二面角的大小．19. 如图，在直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，且，点F在棱上，且，，点D是棱的中点.(1)求证：；(2)求点A到平面的距离.20. 已知函数（e是自然对数的底数）.(1)若（）是函数的两个零点，证明：；(2)当时，若对于，曲线C：与曲线都有唯一的公共点，求实数m的取值范围.21. 已知函数有两个零点.(1)求实数a的取值范围；(2)设的两个零点分别为，证明：；(3)证明：.。
江西省南昌市八一中学2020届高三第三次模拟
江西省南昌市八一中学2020届高三第三次模拟数 学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则A ∪(C R B)= ( )A ．B ．C ．D ． 2．若复数z与其共轭复数满足，则( ) A ．B ．C ．2D ．3. 已知，，，则( )A.B.C.D.4．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是 A ．B ．C ．10D ．5．若满足约束条件，且，则（ ）A. z 的最大值为6B. z 的最大值为8C. z 的最小值为6D. z 的最小值为86.函数的部分图像大致为( )7．已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是( )}13|{},1|{2<=≤=xx B x x A }0|{<x x }10|{≤≤x x }01|{<≤-x x }1|{-≥x x z i z z 312+=-=||z 2350.3x π=log 3y π=cos3z =z y x <<y z x <<z x y <<x z y <<()165185325,x y 04x y x y -≤⎧⎨+≥⎩2z x y =+sin 4()ln xf x x=n m ,βα,A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则或8．设为等比数列的前项和，且关于的方程有两个相等的实根，则（ ） A. B. C. D. 9．若函数(其中，)图象的一个对称中心为，其相邻一条对称轴方程为，该对称轴处所对应的函数值为，为了得到的图象，则只要将的图象（ ）A ．向右平移个单位长度B ．向左平移个单位长度C ．向左平移个单位长度D ．向右平移个单位长度 10．设是的前项和，，且，则( ) A ． -66B ． 77C ． 88D ． 9911. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点作圆的切线交双曲线右支于点，若，又为双曲线的离心率，则的值为( )A ．B ．C ．D ． 12．已知函数，若函数有4个零点，则实数m 的取值范围为( )A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江西省南昌市2020届高三第三次模拟考试数学理试题版含答案
NCS20160607项目第三次模拟测试卷数 学（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分． 考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上作答．若在试题卷上作答，答案无效．第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,3}A =，{3,4,5}B =，则UAB =A ．{3}B ．{1,2,4,5}C ．{1,2}D ．{1,3,5} 2．复数i+25（ i 是虚数单位）的共轭复数．．．．是 A ．i -2 B ．i +2 C ．i +-2 D ．i --23．函数()f x =的定义域为 A.(0,1) B. (1,)+∞ C. (0,)+∞ D. (0,1)(1,)+∞4．0<x 是0)1ln(<+x 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件5．设函数()f x 是周期为6的偶函数，且当[0,3]x ∈时()3f x x =，则(2015)f = A ．6B ．3C ．0D ．6-6．设函数()ln(3f x x =+，若()10f a =，则()f a -= A ．13B ．7-C ．7D ．4-CBAOE12,j i S S j i=+=+⨯开始结束1,0i S ==2i i =+i 输出50101S >是否7．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的 是某零件的三视图，则该几何体的体积是 A ．5 B ．5.5 C ．6 D ．4 8．若动圆的圆心在抛物线2112y x =上，且与直线y ＋3＝0相切， 则此圆恒过定点A. (0,2) B ．(0，－3) C. (0,3) D ．(0,6) 9．从1,2,3,4,5,6中任取三个数，则这三个数构成一个等差数列的概率为 A.310 B. 37 C. 710 D. 3510．阅读如右程序框图，运行相应程序，则程序运行后输出的结果i = Ａ．97 B. 99 C. 100 D. 10111. 已知双曲线：22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，焦距为2c , 直线3()y x c =+与双曲线的一个交点M满足12212MF F MF F ∠=∠, 则双曲线的离心率为A 2B 3C ．2D 3112. 已知正△ABC 三个顶点都在半径为2的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为1，点E 是线段AB 的中点，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值是A ．74π B.2πC. 94π D.3π第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡上．13．已知{}n a 为等差数列，公差为1，且5a 是3a 与11a 的等比中项，n S 是{}n a 的前n 项和，则12S 的值为 .14．已知点A （1，2），点P （,x y ）满足1030330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩， O 为坐标原点，则Z OA OP=•的最大值为 .15．对大于或等于2的自然数的3次方可以做如下分解：5323+=，119733++=，1917151343+++=，……，根据上述规律，310的分解式中，最大的数是 ．16．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是1F ，2F ，若21212(04)F F AF BF λλ=⋅<<，则离心率e 的取值范围是____________ ．三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分） 已知ABC ∆中，内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，且3a b c +=，22sin 3sin sin .C A B = （Ⅰ）求C ∠；（Ⅱ）若3ABC S ∆=，求c .18．（本小题满分12分） 某单位有200人，其中100人经常参加体育锻炼,其余人员视为不参加体育锻炼. 在一次体检中，分别对经常参加体育锻炼的人员与不参加体育锻炼的人员进行检查．按照身体健康与非 健康 非健康 总计经常参加体育锻炼不参加体育锻炼100 总计200已知p 是(1+2)x 展开式中的第三项系数，q 是(1+2)x 展开式中的第四项的二项式系数．（Ⅰ）求p 与q 的值；（Ⅱ）请完成上面的2×2列联表，并判断若按99%的可靠性要求，能否认为“身体健康与经常参加体育锻炼有关”． 19．（本小题满分12分）如图，矩形ABCD 中，(1)ABADλλ=>，将其沿AC 翻折，使点D 到达点E 的位置，且二面角C AB E --为直二面角. （Ⅰ）求证：平面ACE ⊥平面BCE ； （Ⅱ）设F 是BE 的中点，二面角E AC F --的平面角的大小为θ，当[2,3]λ∈时，求cos θ的取值范围. 20．（本小题满分13分）已知两点(0,1)A -，(0,1)B ，(,)P x y 是曲线C 上一动点，直线,PA PB 斜率的平方差为1. （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）1122(,),(,)E x y F x y 是曲线C 上不同的两点，(2,3)Q 是线段EF 的中点，线段EF 的垂直平分线交曲线C 于,G H 两点，问,,,E F G H 是否共圆？若共圆，求圆的标准方程；若不共圆，说明理由. 21．（本小题满分14分） 已知函数()1(cos ),xf x ea x a R -=-+∈（Ⅰ）若函数()f x 存在单调减区间，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若0a =，证明：1[1,]2x ∀∈-，总有(1)2()cos(1)0f x f x x '--++>。
江西省南昌市2020届高三第三次模拟考试理科数学试题附答案
江西省南昌市2020届高三第三次模拟考试理科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知()1i z i +=为虚数单位)，则在复平面内，复数z 的共轭复数z 对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设集合{A x =|||1},{1,0,}(0)x a B b b -==>，若A B ，则对应的实数(),a b 有A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对3．为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛，得分(10分制)的频数分布表如下设得分的中位数e m ，众数0m ，平均数x ，下列关系正确的是A ．0e m m x ==B ．0e m m x =<C ．0e m m x <<D ．0e m m x <<4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．3πB ．9πC ．12π．36π5．在ABC ∆中，D 为线段AB 上一点，且BD=3AD ，若,CD CA CB λμ=+u u u r u u u r u u u r 则λμ= A. 13 B ．3 C. 14D ．4 6．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为,,,1,c b a b c a b a c+=++则下列说法不一定成立的是 A ．△ABC 可能为正三角形 B ．角A ，B ，C 为等差数列C ．角B 可能小于3π D ．角B+C 为定值 7．已知函数()()2sin 0f x x ωω=>的最小正周期为π，若将其图像沿x 轴向右平移m(m>0)个单位，所得图像关于3x π=对称，则实数m 的最小值为 A.4πB ．3π C.34πD ．π 8．函数()s ,0(1co f x x x x x x ππ⎛⎫=--≤≠ ⎪⎝⎭且）…的图象可能为9．甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制(不考虑平局，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束)．根据前期的统计分析，得到甲在和乙的第一场比赛中，取胜的概率为0.5，受心理方面的影响，前一场比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响，如果甲在某一场比赛中取胜，则下一场取胜率提高0.1，反之，降低0.1．则甲以3：1取得胜利的概率为A ．0.162B ．0.18C ．0.168D ．0.17410．已知双曲线C:()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在C 的右支上， 1MF 与y 轴交于点2,A MAF ∆的内切圆与边2AF 切于点B ，若12||4||,F F AB =则C 的渐近线方程是A 0y ±=B ．0x ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=11．将正整数20分解成两个正整数的乘积有1×20,210,45⨯⨯=种，其中4×5是这三种分解中两数差的绝对值最小的．我们称4×5为20的最佳分解.当(),N p q p q q p +≤⨯∈且是正整数n 的最佳分解时，定义函数(),f n q p =-则数列(){}()N 3nf n +∈的前100项和100S 为A ．5031+B ．5031-C ．50312-D ．50312+ 12．已知函数()()|2|4ln 1,()x f x e g x -=+=2,0,2,0a x x a x x +-≥⎧⎨--<⎩若存在a [](),1,Z n n n ∈+∈使得方程()()f x g x =有四个不同的实根，则n 的最大值是。
江西省南昌市重点中学2020届高考仿真卷数学试卷含解析【附15套高考模拟卷】
江西省南昌市重点中学2020届高考仿真卷数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知各项均为正数的等差数列{}n a 的公差为2，等比数列{}n b 的公比为-2，则（ ） A ．14n n a a b b --=B ．14n n a a b b -=C ．14n n a a b b --=- D ．14nn a a b b -=-2．如图,各棱长均为a 的正三棱柱111ABC A B C -，M 、N 分别为线段1A B 、1B C 上的动点,且MN //平面11ACC A ,则这样的MN 有 ( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．无数条3．某程序框图如图所示，若运行该程序后输出S =（ ）A ．53B ．74C ．95 D ．1164．已知一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（ ）A．223B．20C．206+ D．2010+5．已知函数2(1),0()43,0xe xf xx xx+⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，函数()y f x a=-有四个不同的零点，从小到大依次为1234,,,x x x x 则1234x x x x++的取值范围为（）A．(]5,3+eB．[4,4)e+ C．[)4+∞，D．(4,4)e+6．定义在R上的函数()f x，其导函数为()f x¢，且()()2f x f x=+，()()f x f x-='-'，若当()0,1x∈时，()0f x¢<，则A．()1ln ln302f f⎛⎫-<⎪⎝⎭B．()12ln ln302f f⎛⎫->⎪⎝⎭C．()1ln ln302f f⎛⎫+<⎪⎝⎭D．()12ln ln302f f⎛⎫+>⎪⎝⎭7．在平面直角坐标系中，»»»¼,,,AB CD EF GH是圆221x y+=上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角α以O x为始边，OP为终边，若tan cos sinααα<<，则P所在的圆弧是A．»AB B．»CDC．»EFD．¼GH8．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是32，则正视图中的x的值是（）A ．2B ．92C ．32 D ．39．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()2(xf x m m =+为常数），则 ()1f -= （ ）A ．3B ．1C ．1-D ．3-10．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，则直线(2)y k x =-与圆221x y +=有两个不同公共点的概率为（ ）A ．29 B ．36 C ．13 D ．311．已知0a >且1a ≠，函数()()2log a f x x x b =++在区间(),-∞+∞上既是奇函数又是增函数，则函数()log a g x x b =-的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．12．设{}n a 是任意等差数列，它的前n 项和、前2n 项和与前4n 项和分别为,,X Y Z ，则下列等式中恒成立的是（ ） A ．23X Z Y += B ．44X Z Y +=C ．237X Z Y +=D ．86X Z Y +=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江西省南昌市2020届高三下学期三模(理科)数学试卷(答案)
— 高三理科数学（模拟三）答案第1页—NCS20200707项目第三次模拟测试卷理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分． 13．5 14．p m n 15．1316．29π2三．解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17 21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．【解析】（Ⅰ）令1n ，112222p p a a a .且1122pn p n n a a ， 与已知条件相除得22p n na a ，故2422(2)p p a a ， 而1241,,2a a a 成等差数列，则422a a ， 即 2(2)22p p ，解得22p ，即 1.p（Ⅱ）若{}n a 是等比数列，则由120,0a a ，知此数列首项和公比均为正数.设其公比为q ，则22pq ，故2212222p pa p a ，此时12,22nn a q a ，故2112n n n a a ，而12122pn n ，因此2p 时，{}n a 为等比数列，其前n 项和12(12)2 2.12n n n S18．【解析】（Ⅰ）取1BB 中点O ，连接1,,AB OA OC ，菱形中o160ABB ，故三角形1ABB 是等边三角形，则1AO BB ，1,3BO AO ， 又11//BB CC ，1AC CC ，所以1AC BB ， 又1AO BB ，AO AC A ，故1BB 平面AOC ， 所以1BB CO ，在中Rt BOC 中，1CO ，所以222CO AO AC ，故CO AO ， 又1AO BB ，所以AO 平面11BB C C ，又AO 平面11ABB A 所以平面11ABB A 平面11BB C C ；— 高三理科数学（模拟三）答案第2页—（Ⅱ）以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则0)A ，(0,1,0)B ，(0,0,1)C ，1,0),(0,1,1),BA BC设平面ABC 的法向量为(,,)m x y z ，由m BA m BC，得00m BA m BC即00y y z，令x 3,3y z ，所以m ，设1BB 上的单位向量为(0,1,0)n，则1BB 与平面ABC 的夹角正弦值sin cos ,7m n m n m n.19．【解析】（Ⅰ）甲解密成功所需时间的中位数是47.0.0150.014550.03450.04(4745)0.5a ，解得0.026a ； 0.0150.01550.03250.04(5047)0.5b ，解得0.024b ； 甲在1分钟内解密成功的频率10.01520.9f .（Ⅱ）①由题意及（1）可知第一个出场的选手解密成功的概率10.9P ;第二个出场的选手解密成功的概率2910.910.911010P ；第三个出场的选手解密成功的概率23910.9(20.9291010P ；所以该团队挑战成功的概率0.90.10.910.10.090.9290.999361P . ②由①可知i P 按从小到大的顺序的概率分别为1P ，2P ，3P ，有题意X 的可能取值为1,2,3； 则(1)0.9P X ,(2)(10.9)0.910.091P X ,(3)(10.9)(10.91)0.009P X ,()10.9E X.20．【解析】（Ⅰ）设点M 的坐标为(,)x y,116A N k ,226A N k , 则1122,A N A N 的直线方程分别为：6y x m①，6y xn ②， 由①②得6m6n ，则22211666y mn x，— 高三理科数学（模拟三）答案第3页—则221(0)62x y y ； （Ⅱ）证明：设过R 的直线方程为:3l x ty ， 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，11(,)N x y ,联立方程223162x ty x y得22(3)630t y ty ，则12263t y y t ，12233y y t ， RP RQ即1122(3,)(3,)x y x y ，所以123(3)x x ，12y y ， 11(2,)x NF y ,22(2,)x y FQ ，要证NF FQ，即证122(2)x x ，亦即1111121222222312()0231x x ty y ty y y y x x ty y ③， 将12263t y y t ，12233y y t 代入③中得2266033t tt t， 所以NF FQ得证.21．【解析】（Ⅰ）2(1)()(1)(0).a a x af x a x x x x①当1a 时，()0f x ，()f x 在(0,) 单调递增；②当01a时，()f x，所以()f x在上单调递增，在) 上单调递减；③当0a 时，()0f x ，()f x 在(0,) 单调递减；（Ⅱ）当1a 时，2()ln 1f x x x ，不妨设120x x ，则12211212()()x f x x f x mx x x x 等价于212121()()()f x f x m x x x x ，考察函数()()f x g x x ，得22ln 2()x x g x x ，令22ln 2()x x h x x ，则352ln ()xh x x， 则52(0,e )x 时，()0h x ；52(e ,)x 时，()0h x ，所以()h x 在52(0,e )单调递增，在52(e ,) 单调递减，故5251()(e )102eh x h ， 即(0,)x 时()0g x ，()g x 在(0,) 单调递减，— 高三理科数学（模拟三）答案第4页—从而12()()g x g x ，即1212()()f x f x x x ，故122112()()()f x f x m x x x x ， 所以121212()()f x f x mx mx x x ，即1122()()g x mx g x mx 恒成立，设()()x g x mx ，则()x 在在(0,) 单调递减，从而()()0x g x m 恒成立，故52(e )0 ，即5112e m. 22．【解析】（Ⅰ）设极点(,) 旋转之后极点为(',') ，故''π3即'3π' 代入曲线:4cos C ，得曲线':'4co πs(')3C 即曲线':4co πs()3C ，（Ⅱ）如图，两圆相交于点,O A ．连接,,,',',OA AC OC OC AC 显然四边形'OC AC 为菱形，故π23OCA ，所以重叠部分面积为：'''822()π3OC A OC A OC A S S S S 弓形扇形.23．【解析】（Ⅰ）若2k ，不等式()5f x 可化为2|||1|5x x . 当0x 时，2(1)5x x ，即43x403x ； 当01x 时，2(1)5x x ，即4x 01x ； 当1x 时，2(1)5x x ，即2x 12x .故不等式的解集为4[,2]3.（Ⅱ）由题：关于x 的不等式()|1||22|f x x x 在1[,2]2x 恒成立，即|||1||22||1|k x x x x 在1[,2]2x 恒成立，|1||1|||x x k x 在1[,2]2x 恒成立，|1||1||11|2||||x x x x x x ，等号在1,1x x 同号时等号成立，所以，所求实数k 的范围是(,2] .。
江西省南昌市2020届高三数学第三次模拟考试试题理含解析
江西省南昌市2020届高三数学第三次模拟考试试题 理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知()1i i z +=（i 为虚数单位），在复平面内，复数z 的共轭复数z 对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】求出复数z ，写出z ，即得z 对应的点所在的象限.【详解】()11111,122222i i i z i z i i -===+∴=-+，∴复数z 的共轭复数z 对应的点是11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限.故选：D .【点睛】本题考查复数的除法运算和共轭复数，属于基础题.2. 设集合{}1A x x a =-=，{}()1,0,0B b b =>，若A B ⊆，则对应的实数(),a b 有( ) A. 1对 B. 2对C. 3对D. 4对【答案】B 【解析】 【分析】先解出集合A ，再根据集合的包含关系，即可确定．【详解】因为{}{}11,1A x x a a a =-==-+，若A B ⊆，而{}()1,0,0B b b =>，()()112a a +--=，所以，只能101a a b -=⎧⎨+=⎩或111a a b -=⎧⎨+=⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩或23a b =⎧⎨=⎩． 故选：B ．【点睛】本题主要考查集合包含关系的理解，属于基础题．3. 为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛，得分（10分制）的频数分布表如表：得分 3 4 5 6 7 8 9 10 频数 2 310 63222设得分的中位数为e m ，众数为0m ，平均数为x ，则（ ） A. 0e m m x ==B. 0e m m x =<C. 0e m m x <<D.0e m m x <<【答案】D 【解析】 【分析】由频率分步表求出众数、中位数和平均数，比较即可． 【详解】由图知，众数是05m =； 中位数是第15个数与第16个数的平均值，由图知将数据从大到小排第15 个数是5，第16个数是6， 所以中位数是565.52e m +==； 平均数是()1233410566372829210630x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈； ∴0e m m x <<． 故选：D ．【点睛】本题考查了求出一组数据的众数、中位数、平均值的应用问题，是基础题． 4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 3πB. 9πC. 12πD. 36π【答案】A 【解析】 【分析】根据题意还原几何体，根据圆锥的体积计算公式，即可容易求得.【详解】根据三视图可知，该几何体是底面半径为3，高为4的四分之一圆锥.故其体积211343V r h ππ=⨯⨯⨯=. 故选：A.【点睛】本题考查由三视图还原几何体，以及圆锥体积的求解，属综合基础题.5. 在ABC 中，D 为线段AB 上一点，且3BD AD =，若CD CA CB λμ→→→=+，则λμ=( )A.13B. 3C.14D. 4【答案】B 【解析】 【分析】根据3BD AD =，以,CA CB →→为基底，根据向量的线性运算即可求解. 【详解】3BD AD =3331()4444CD CB BD CB BA CB CA CB CA CB →→→→→→→→→→∴=+=+=+-=+，又CD CA CB λμ→→→=+，31,44λμ∴==，3λμ∴=， 故选：B【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，考查了向量的加法、减法，基底的概念，属于中档题.6. 在ABC 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，1c b a b a c+=++，则下列说法不一定成立的是( )A. ABC 可能为正三角形B. 角,,A B C 为等差数列C. 角B 可能小于3π D. 角B C+定值【答案】B 【解析】 【分析】已知条件化简可得222c b a bc +-=，根据余弦定理可解得3A π=，依次判断各选项即可得出结果. 【详解】1c b a b a c+=++, ()()()()c a c b a b a c a b ∴+++=++,化简可得：222c b a bc +-=，2221cos 222c b a bc A bc bc +-∴===，即3A π=，23B C π+=. 所以ABC 可能为正三角形，角B 可能小于3π,角B C +为定值,一定成立，只有当A B C ==时，角,,A B C 为等差数列，所以角,,A B C 为等差数列不一定成立. 故选：B.【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查逻辑推理能力，属于基础题. 7. 已知函数()()22sin0f x x ωω=>的最小正周期为π，若将其图象沿x 轴向右平移()0m m >个单位，所得图象关于3x π=对称，则实数m 的最小值为( )A.4π B.3π C.34π D. π【答案】B 【解析】 【分析】先利用降幂公式将函数式化简为cos()y A x k 的形式，然后利用图象变换的规律求出变换后的解析式，最后利用函数的最值的性质求出m 的值． 【详解】化简得()cos21f x x ω=-+， ∵函数()f x 的最小正周期为π1ω∴=，所以()cos21f x x =-+，将其图象沿x 轴向右平移(0)m m >个单位，所得图象对应函数为cos(22)1y x m =--+， 因为其图象关于3x π=对称，则有2cos(2)13m π-=±， ∴223m k ππ-=，k Z ∈，解得32k m ππ=-，k Z ∈ 由0m >，实数m 的最小值为3π． 故选：B ．【点睛】本题考查考生对余弦型三角函数的图象变换与性质，考查学生的逻辑推理能力及运算求解能力．8. 函数()1cos f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ）A. B. C.D.【答案】D 【解析】因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取x π=，则11()()cos ()0f ππππππ=-=--<，故选D.考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.9. 甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制（不考虑平局，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束）.根据前期的统计分析，得到甲在和乙的第一场比赛中，取胜的概率为0.5，受心理方面的影响，前一场比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响，如果甲在某一场比赛中取胜，则下一场取胜率提高0.1，反之，降低0.1.则甲以3:1取得胜利的概率为( ) A. 0.162 B. 0.18C. 0.168D. 0.174【答案】D 【解析】 【分析】设甲在第一、二、三、四局比赛中获胜分别为事件1234,,,A A A A ，则所求概率()1234P P A A A A =()()12341234P A A A A P A A A A ++，再根据概率的计算公式即可求得答案．【详解】解：设甲在第一、二、三、四局比赛中获胜分别为事件1234,,,A A A A ， 由题意，甲要以3:1取得胜利可能是1234A A A A ，1234A A A A ，1234A A A A ， ∴由概率得，甲以3:1取得胜利的概率()1234P P A A A A =()()12341234P A A A A P A A A A ++0.50.60.30.6=⨯⨯⨯0.50.40.50.6+⨯⨯⨯0.50.40.50.6+⨯⨯⨯ 0.174=，故选：D ．【点睛】本题主要考查独立事件概率乘法公式的应用，属于基础题．10. 知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在C 的右支上，1MF 与y 轴交于点A ，2MAF 的内切圆与边2AF 切于点B .若124||FF AB =，则C 的渐近线方程为( )0y ±=B. 0x ±=C. 20x y ±=D. 20x y ±=【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线的定义和内切圆的性质：圆外一点向圆引切线，则切线长相等，结合双曲线的定义，可求出渐进线方程.【详解】如图所示：设,,G B N 分别为2MAF 三边与其内切圆的切点，圆心为I . 已知MGI △≌MNI △，2F BI △≌2F NI △,AGI △≌ABI △. 即22,,NM MG AG AB F B F N === 由双曲线的定义有：122MF MF a -=.则121212MF MF MF MN NF MF MG BF -=--=--222AF BF AG AB AG AB =-+=+=.所以22AB a =,即AB a =.又124F F AB =. 所以24c a =，又222+=a b c ，解得3ba=. 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为：3b y x x a=±=±.故选：A【点睛】本题考查双曲线的定义、性质和渐进线方程，考查圆的切线性质，属于中档题. 11. 将正整数20分解成两个正整数的乘积有120⨯，210⨯，45⨯三种，其中45⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的.我们称45⨯为20的最佳分解.当p q ⨯（p q ≤且,N p q +∈）是正整数n 的最佳分解时，定义函数()f n q p =-，则数列(){}()N3nf n +∈的前100项和100S 为( )A. 5031+ B. 5031-C. 50312-D. 50312+【答案】B 【解析】 【分析】首先利用信息的应用求出关系式的结果，进一步利用求和公式的应用求出结果． 【详解】解：依题意，当n 为偶数时，22(3)330nnn f =-=； 当n 为奇数时，111222(3)3323n n n n f +--=-=⨯， 所以01400912(333)S =++⋯+，5031231-=-，5031=-．故选：B.【点睛】本题考查的知识要点：信息题的应用，数列的求和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．12. 已知函数()()|2|4ln 1x f x e -=+，()2,02,0a x x g x a x x +-≥⎧=⎨--<⎩，若存在[]()Z ,1a n n n ∈+∈，使得方程()()f x g x =有四个不同的实根，则n 的最大值是（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】 【分析】依题意，转化可得函数()()2222ln ,0()ln ,0x x x x e e x F x ee x ----+⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩与直线y a =有且仅有四个不同的交点，且易发现函数()F x 为偶函数，利用导数研究函数()F x 的性质，作出函数图象，观察图象可得实数a 的取值范围，进而得到n 的最大值.【详解】令()()2424ln 1(2),0()()()ln 1(2),0x x e x a x h x f x g x e x a x ---⎧+---≥⎪=-=⎨+++-<⎪⎩，则()()()()24222242221ln ln ,0()ln 1ln ,0x x xx x x x x e a e e a x e h x e e a e e a x ------+--+⎧⎛⎫+-=+-≥⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪⎡⎤+-=+-<⎪⎣⎦⎩， 依题意，函数()()2222ln ,0()ln ,0x x x x e e x F x ee x ----+⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩与直线y a =有且仅有四个不同的交点，易知函数()F x 为偶函数，故先研究0x ≥时的情况，当0x ≥时，2222()x xx xe e F x e e--'---=+， 令()0F x '<，解得02x ≤<，令()0F x '>，解得2x >，故函数()F x 在()0,2上单调递减，在()2+∞，上单调递增，且()()2ln 2F x F ==极小值， 由偶函数的对称性，可作出函数()F x 的图象，如下图所示，由图可知，()()22ln 2ln a e e -∈+，，又0ln 21<<，()222ln 3e e -<+<，∴n 的最大值为2， 故选：C.【点睛】本题考查函数与导数的综合运用，考查函数零点与方程根的关系，考查转化思想与数形结合思想，将问题转化为函数()F x 的图象与直线y a =有且仅有四个不同的交点，进而通过数形结合确定实数a 的取值范围是解题的关键，属于难题 二、填空题：本题共4小题，每小题5分共20分. 13. 执行如图所示的框图程序，输出的结果S =_________.【答案】5 【解析】 【分析】列出前几步循环，可得出输出的S 为数列(){}1nn -⋅的前10项和，进而可求得结果.【详解】第一次循环，1S =-，112n =+=，10n >不成立； 第二次循环，12S =-+，213n =+=，10n >不成立； 第三次循环，123S =-+-，314n =+=，10n >不成立；依此类推，最后一次循环，12310S =-+-++，10111n =+=，10n >成立. 跳出循环体，输出的S 为123105S =-+-++=.故答案为：5.【点睛】本题考查利用循环结构框图计算输出结果，一般列举出循环的每一步，找出规律，考查计算能力，属于基础题.14. 已知函数()||22x f x x =+，21log 3m f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.17n f -=，()4log 25p f =，则m ，n ，p 的大小关系是_________.【答案】p m n >> 【解析】 分析】利用函数的奇偶性与单调性，结合自变量的大小，求解即可．【详解】解：∵||2()2x f x x =+，定义域为R ， ∴()()2||()2x x f x x f --=+-=，∴函数()f x 为偶函数，且易知函数()f x 在(0,)+∞上单调递增， ∵221|log |log 3(1,2)3=∈，0.17(0,1)-∈，42log 25log 5(2,3)=∈， ∴p m n >>， 故答案为：p m n >>．【点睛】本题主要考查函数的单调性与奇偶性的应用，属于基础题．15. 已知1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5cos 6tan 3παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭__________. 【答案】13- 【解析】 【分析】根据诱导公式和同角三角函数关系式，对三角函数表达式进行变形应用． 【详解】5cos cos cos ,666πππααπα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭tan tan cot 3266ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，5cos cos cos sin 16666sin 63tan cot cos 366ππππααααπαπππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴===-+=- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为：13-【点睛】本题考查了三角函数诱导公式和同角三角函数关系式的综合应用．熟练掌握“奇变偶不变，符号看象限”的判断原则，属于中档题． 16. 已知长方体1111ABCD A B C D -，32AB =，2AD =，1AA =已知P 是矩形ABCD内一动点，1PA 与平面ABCD 所成角为3π，设P 点形成的轨迹长度为α，则tan α=_________；当1C P 的长度最短时，三棱锥1D DPC -的外接球的表面积为_____________.【答案】(1). -292π【解析】 【分析】先确定1PA 与平面ABCD 所成角为1APA ∠,即得2AP =，从而根据弧长公式得α，再根据二倍角正切公式得结果；先确定1C P 的长度最短时P 点位置，再确定三棱锥1D DPC -的外接球的球心，根据DPC △外接圆半径求得球半径，即得球的表面积. 【详解】因长方体1111ABCD A B C D -中1AA ⊥平面ABCD ，所以1PA 与平面ABCD 所成角为1APA ∠, 因为1PA 与平面ABCD 所成角为3π，所以13APA π∠=因为1AA =2AP = 从而P 点形成的轨迹为以A 为圆心，2为半径的圆在矩形ABCD 内一段圆弧DM ，设其圆心角为θ，则332sin tan 24θθ==∴=因此22tan tan tan 21tan 17θαθθ====---因为1C P =所以CP 最小时，1C P 长度最短，此时P 为AC 与上面圆弧DM 的交点,设DPC △外接圆圆心为1O ，半径为r，4cos 5ADCAD AC∠====则3322 2sin sin()cos222CDrCAD CADCPDπ===∠∠∠-2299954441cos48cos12252rCAD CAD====∠+∠+设三棱锥1D DPC-的外接球的球心为O，半径为R,从而222211529388R OO O C=+=+=因此球的表面积为22942Rππ=故答案为：37-292π【点睛】本题考查线面角、立体动点轨迹、三棱锥外接球表面积，考查空间想象能力以及运算能力，属较难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17. 已知数列{}n a中，12a=，112pnn na a++=（p为常数）.（1）若1a -，212a ，4a 成等差数列，求p 的值. （2）是否存在p ，使得{}n a 为等比数列？若存在，求{}n a 的前n 项和n S ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）1；（2）存在，122n n S +=-.【解析】 【分析】（1）首先利用递推公式112pn n n a a ++=求出24,a a 的值，再根据1a -，212a ，4a 成等差数列得到241a a a =-，代入数值即可得到答案.（2）首先假设存在p ，使得{}n a 是等比数列，根据2213a a a 求出2p =，再验证即可.【详解】（1）当1n =时，111222222p p p a a a ++⇒===，当2n =时，212123312222p p p p a a a +++=⇒==，当3n =时，3131344212222p p p p a a a +++=⇒==，因为1a -，212a ，4a 成等差数列，则241a a a =-，即：2222p p =-. 整理得：2(2)22(22)(21)0p ppp--=-+=， 因20p >，解得22p =，即1p =.（2）假设存在p ，使得{}n a 是等比数列.由（1）知：12a =，22p a =，132p a +=，得到2213a a a ，即21(2)22p p +=⋅，则22p p =+，2p =.此时2112n n n a a ++=，23122n n n a a +++=，则23122211242n n n n n n n n a a a a a a ++++++===，又因为221222a a ==，所以存在实数2p=，使得{}n a是等比数列.其前n项和()12122212nnnS+-==--.【点睛】本题第一问考查数列递推公式，同时考查了等差中项的性质，第二问考查等比数列的判断，同时考查了等比数列前n项和的计算，属于中档题.18. 三棱柱111ABC A B C-中，2AB=，2BC=，2AC=，四边形11ABB A为菱形，且160ABB∠=︒，1AC CC⊥.（Ⅰ）求证：平面11ABB A⊥平面11BB C C；（Ⅱ）求1BB与平面ABC的夹角正弦值.【答案】（Ⅰ）证明见解析；21.【解析】【分析】（1）利用线面、面面垂直的判定定理即可证明；（2）通过建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量的夹角的余弦值的绝对值等于直线和平面所成角的正弦值即可.【详解】（Ⅰ）取1BB中点O，连接1AB，OA，OC，菱形中160ABB∠=︒，故三角形1ABB是等边三角形，则1AO BB⊥，1BO=，3AO=又11//BB CC，1AC CC⊥，所以1AC BB⊥，又1AO BB⊥，AO AC A⋂=，故1BB⊥平面AOC，所以1BB CO⊥，在Rt BOC中，221CO BC BO-=，所以222CO AO AC +=，故CO AO ⊥， 又1AO BB ⊥，所以AO ⊥平面11BB C C ，又AO ⊆平面11ABB A ，所以平面11ABB A ⊥平面11BB C C ；（Ⅱ）以O 为原点，如图建立空间直角坐标系， 则)3,0,0A，()0,1,0B ，()0,0,1C ，()3,1,0BA =-，()0,1,1BC =-，设平面ABC 的法向量为(),,m x y z =，由m BAm BC ⎧⊥⎨⊥⎩，得00m BA m BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即30x y y z -=-+=⎪⎩，令3x ，知3y =，3z =，所以()3,3,3m =，设1BB 上的单位向量为()0,1,0n =，则1BB 与平面ABC 的夹角正弦值21sin cos ,||||7m n m n m n θ⋅=〈〉==⋅.【点睛】本题主要考查面面垂直的证明和线面角，主要考查学生的计算能力，属于中档题. 19. 在“挑战不可能”的电视节目上，甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项解密挑战活动，规则是由密码专家给出题目，然后由3个人依次出场解密，每人限定时间是1分钟内，否则派下一个人.3个人中只要有一人解密正确，则认为该团队挑战成功，否则挑战失败.根据甲以往解密测试情况，抽取了甲100次的测试记录，绘制了如下的频率分布直方图.（1）若甲解密成功所需时间的中位数为47，求a 、b 的值，并求出甲在1分钟内解密成功的频率；（2）在“挑战不可能”节目上由于来自各方及自身的心理压力，甲，乙，丙解密成功的概率分别为()11911,2,31010n n P n P n --⎛⎫+= ⎪⎝=⎭，其中i P 表示第i 个出场选手解密成功的概率，并且1P 定义为甲抽样中解密成功的频率代替，各人是否解密成功相互独立.①求该团队挑战成功的概率；②该团队以i P 从小到大的顺序按排甲、乙、丙三个人上场解密，求团队挑战成功所需派出的人员数目X 的分布列与数学期望.【答案】（1）0.026a =，0.024b =，甲在1分钟内解密成功的频率0.9；（2）①0.999361；②详见解析，() 1.109E X =. 【解析】 【分析】（1）根据中位数左右两边的矩形面积之和均为0.5可求得a 、b 的值，并根据频率分布直方图求得甲在1分钟内解密成功的频率；（2）①由（1）得出10.9P =，求出2P 、3P 的值，由此得出该团队挑战成功的概率为()()()1231111P P P ----；②由题意可得出随机变量X 的可能取值有1、2、3，利用独立事件的概率乘法公式计算出随机变量X 在不同取值下的概率，据此可得出随机变量X 的分布列，结合期望公式可计算出X的数学期望值.【详解】（1）甲解密成功所需时间的中位数为47，()0.0150.014550.034547450.040.5a ∴⨯+⨯++⨯+-⨯=，解得0.026a =，0.0430.032550.01100.5b ⨯+⨯++⨯=，解得0.024b =，由频率分布直方图知，甲在1分钟内解密成功的频率是10.01100.9f =-⨯=；（2）①由题意及（1）可知第一个出场选手解密成功的概率为10.9P =， 第二个出场选手解密成功的概率为2910.910.911010P =⨯+⨯=， 第三个出场选手解密成功的概率为23910.920.9291010P ⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭， 所以该团队挑战成功的概率为()()()123111110.10.090.0710.999361P P P P =----=-⨯⨯=； ②由①可知按()1,2,3i P i =从小到大的顺序的概率分别1P 、2P 、3P ， 根据题意知X 的取值为1、2、3，则()10.9P X ==，()()210.90.910.091P X ==-⨯=，()()()310.910.910.009P X ==-⨯-=，所以所需派出的人员数目X 的分布列为：X 1 2 3因此，()10.920.09130.009 1.109E X =⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题考查利用频率分布直方图中的中位数求参数，同时也考查概率的计算、随机变量分布列以及数学期望的计算，考查计算能力，属于中等题.20. 在直角坐标系xOy 上取两个定点A 1（，0），A 2，0），再取两个动点N 1（0，m ），N 2（0，n ），且mn ＝2.（1）求直线A 1N 1与A 2N 2交点M 的轨迹C 的方程；（2）过R （3，0）的直线与轨迹C 交于P ，Q ，过P 作PN ⊥x 轴且与轨迹C 交于另一点N ，F 为轨迹C 的右焦点，若RP RQ λ=（λ＞1），求证：NF FQ λ=.【答案】（1）2262x y +=1（x ）；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意先写出两直线的方程，再根据条件化简即可求得答案；（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），设l ：x ＝ty +3，联立直线与椭圆的方程，由韦达定理得y 1+y 2263t t =-+且y 1y 2233t =+，根据题意得 x 1﹣3＝λ（x 2﹣3），y 1＝λy 2，再代入即可证明结论．【详解】（1）解：依题意知直线A1N 1的方程为：y =x ）…①；直线A2N 2的方程为：y =x 设Q （x ，y ）是直线A 1N 1与A 2N 2交点，①、②相乘，得y 26mn=-（x 2﹣6） 由mn ＝2整理得：2262x y +=1∵N 1、N 2不与原点重合，可得点A 1，A 2不在轨迹M 上，∴轨迹C 的方程为2262x y +=1（x）； （2）证明：设l ：x ＝ty +3，代入椭圆方程消去x ，得（3+t 2）y 2+6ty +3＝0. 设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），N （x 1，﹣y 1），可得y 1+y 2263t t =-+且y 1y 2233t =+， RP RQ λ=，可得（x 1﹣3，y 1）＝λ（x 2﹣3，y 2），∴x 1﹣3＝λ（x 2﹣3），y 1＝λy 2， 证明NF FQ λ=，只要证明（2﹣x 1，y 1）＝λ（x 2﹣2，y 2），∴2﹣x 1＝λ（x 2﹣2），只要证明11223232x x x x --=---，只要证明2t 2y 1y 2+t （y 1+y 2）＝0， 由y 1+y 2263t t =-+且y 1y 2233t =+，代入可得2t 2y 1y 2+t （y 1+y 2）＝0， ∴NF FQ λ=．【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力与推理能力，属于难题． 21. 已知()()21ln 112a x a x f x =+-+（a ∈R ）. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =-时，对任意的1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()12211212x f x x f x mx x x x ->-，求实数m 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）5112em ≤-. 【解析】 【分析】（1）求出导函数，通过①当1a 时，②当01a <<时，③当0a 时，判断导函数的符号，判断函数的单调性即可．（2）当1a =-时，2()ln 1f x x x =--+，不妨设120x x <<，则12211212()()||x f x x f x mx x x x ->-等价于212121()()||()f x f x m x x x x ->-，考查函数()()f x g x x=，求出导函数，令22ln 2()x x h x x --=，再求解导函数，判断函数的单调性．求出函数的最值，说明()g x 在(0,)+∞上单调递减．得到1122()()g x mx g x mx +>+恒成立，设()()x g x mx ϕ=+，则()ϕx 在(0,)+∞上恒为单调递减函数，然后转化求解m 的范围即可．【详解】（1）()()()211a x a aa x x x xf -+='+-=（0x >）.①当1a ≥时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+上单调递增；②当01a <<时，()()1a x f xx x ⎛- ⎝⎭⎝⎭'=，所以当x >()0f x '<，当0x <<()0f x '>， 所以()f x在⎛ ⎝上单调递增，在⎫⎪+∞⎭⎪上单调递减； ③当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+上单调递减.（2）当1a =-时，()2ln 1x x f x =--+，不妨设120x x <<，则()()12211212x f x x f x mx x x x ->-等价于()()()212121f x f x m x x x x ->-，考查函数()()f x g x x =，得()22ln 2x x x x g --'=， 令()22ln 2x h x x x--=，()352ln x x x h -'=， 则520,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，52e ,x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()h x 在区间520,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调递增函数，在区间52,e ⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭上是单调递减函数. 故()5251e 102eg g x ⎛⎫'=-< ⎪⎝'⎭≤，所以()g x 在()0,∞+上单调递减.从而()()12g x g x >，即()()2121f x f x x x <，故()()()122112f x f x m x x x x ->-，所以()()121212f x f x mx mx x x +>+，即()()1122g x mx g x mx +>+恒成立， 设()()x g x mx ϕ=+，则()x ϕ在()0,∞+上恒为单调递减函数， 从而()()0x g x m ϕ''=+≤恒成立，故()()51102e x m g x m ϕ'≤-'++≤=， 故5112e m ≤-. 【点睛】本题考查导数公式和导数运算法则以及恒成立的思想，考查学生灵活运用导数工具分析问题、解决问题的能力，综合考查学生的分类讨论思想以及逻辑推理能力、运算求解能力和推理论证能力.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22. 在极坐标系中，曲线:4cos C ρθ=，以极点O 为旋转中心，将曲线C 逆时针旋转3π得到曲线C '.（Ⅰ）求曲线C '的极坐标方程；（Ⅱ）求曲线C 与曲线C '的公共部分面积. 【答案】（Ⅰ）4cos 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（Ⅱ）8233π-. 【解析】 【分析】 （Ⅰ）设点P(),ρθ是曲线:4cos C ρθ=上任意一点，用点P 的极坐标表示出点P 旋转之后对应的点P '，而点P 在曲线:4cos C ρθ=上，代入即可求出曲线C '的极坐标方程；（Ⅱ）根据几何知识可知， 四边形'OC AC 为菱形，即可求出23OCA π∠=，再根据曲线C 与曲线C '的公共部分等于两个弓形面积，即可求出． 【详解】（Ⅰ）设点P (),ρθ是曲线:4cos C ρθ=上任意一点，旋转之后点P '(),ρθ''，满足3ρρπθθ=⎧⎪⎨=+''⎪⎩，即3ρρπθθ=⎧⎪⎨=-''⎪⎩代入曲线:4cos C ρθ=，得曲线:4cos 3C πρθ⎛⎫'''=- ⎪⎝⎭，即曲线:4cos 3C πρθ⎛⎫'=-⎪⎝⎭． （Ⅱ）如图，两圆相交于点O ，A ，连接OA ，AC ，OC ，OC '，AC '， 显然四边形'OC AC 为菱形，故23OCA π∠=．由曲线:4cos C ρθ=知，圆的半径为2，所以曲线C 与曲线C '的公共部分的面积为两个弓形的面积，即()212128222222sin23233OC A OC A OC A S S S S πππ'''⎛⎫==-=⨯⨯-⨯⨯⨯=- ⎪⎝⎭△弓形扇形【点睛】本题主要考查相关点代入法求轨迹方程，以及平面几何知识和扇形面积公式的应用，属于基础题． 选修4-5：不等式选讲23. 已知()|||1|.f x k x x =+- （Ⅰ）若2k =，解不等式()5f x ≤.（Ⅱ）若关于x 的不等式()|1||22|f x x x ≤++-的充分条件是1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，求k 的取值范围.【答案】（Ⅰ）4,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）(],2-∞. 【解析】 【分析】（Ⅰ）分区间讨论，去掉绝对值号即可求解；（Ⅱ）由题意可转化为11x x k x ++-≤在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，根据绝对值不等式可求出11112x x x x x x++-++-≥=，即可求解.【详解】（Ⅰ）若2k =，不等式()5f x ≤可化为215x x +-≤. 当0x <时，()215x x ---≤，即43x ≥-，∴403x -≤<； 当01x ≤<时，()215x x --≤，即4x ≤，∴01x ≤<； 当1≥x 时，()215x x +-≤，即2x ≤，∴12x ≤≤.故不等式的解集为4,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（Ⅱ）关于x 的不等式()122f x x x ≤+++在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，即1221k x x x x ≤+++--在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，∴11x x k x ++-≤在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，∵11112x x x x x x++-++-≥=，等号在1x +，1x -同号时等号成立， 所以，所求实数k 的范围是(],2-∞.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法，不等式恒成立求参数取值范围，分类讨论思想，转化思想，属于中档题.。
江西省南昌市2020届高三第三次模拟考试数学(文)试题(wd无答案)
江西省南昌市2020届高三第三次模拟考试数学（文）试题一、单选题(★★) 1. 已知（ i为虚数单位），在复平面内，复数 z的共轭复数对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(★) 2. 已知命题，则为（）A．B．C．D．(★) 3. 为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛，得分（10分制）的频数分布表如表：得分345678910频数231063222设得分的中位数为，众数为，平均数为，则（）A．B．C．D．(★★★) 4. 大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1.这个题目在东方被称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明.例如取，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是（）A．9B．10C．11D．12(★★) 5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．(★★★) 6. 在中， D为线段上一点，且，若，则( ) A．B．3C．D．4(★★★) 7. 已知直线过抛物线的焦点，并与抛物线交于点，( 在第一象限)，若的纵坐标为6，则线段的长为（）A．B．C．D．(★★★) 8. 函数（且）的图象可能为（）A．B．C．D．(★★★) 9. 对大于1的自然数 m的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：,仿此，若的“分裂数”中有一个是73，则 m的值为（）A．8B．9C．10D．11(★★) 10. 在中，角的平分线交边于点，，，，则（）.A．B．C．3D．(★★★★) 11. 知双曲线的左、右焦点分别为，，点在的右支上，与轴交于点，的内切圆与边切于点.若，则的渐近线方程为( )A．B．C．D．(★★★★) 12. 已知函数满足当时，，且当时，；当时，且).若函数的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题(★★★) 13. 已知，则________.(★★★) 14. 设集合，，若，则对应的实数对有________ 对.(★★)15. 已知函数，，，，则m，n，p的大小关系是_________.三、双空题(★★★★) 16. 已知长方体中，，，，已知是矩形内一动点，，设点形成的轨迹长度为，则 ________ ；当的长度最短时，三棱锥的体积为 ________ .四、解答题(★★★) 17. 已知数列中，，( 为常数).（1）若，，成等差数列，求的值；（2）若为等比数列，求的值及的前项和.(★★) 18. 全国文明城市是中国所有城市品牌中含金量最高、创建难度最大的一个，是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，是目前国内城市综合类评比中的最高荣誉，也是最具价值的城市品牌，作为普通市民，既是城市文明的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，皖北某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取400份试卷作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：后得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）求样本的平均数；（Ⅱ）现从该样本成绩在与两个分数段内的市民中按分层抽样选取6人，求从这6人中随机选取2人，且2人的竞赛成绩之差的绝对值大于20的概率.(★★★) 19. 三棱柱中，，，，四边形为菱形，且，.（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离.(★★★★) 20. 已知函数.（1）若，求函数的所有零点；（2）若，证明函数不存在的极值.(★★★★) 21. 在直角坐标系 xOy上取两个定点 A 1（，0）， A 2（，0），再取两个动点 N 1（0， m）， N 2（0， n），且 mn＝2.（1）求直线 A 1 N 1与 A 2 N 2交点 M的轨迹 C的方程；（2）过 R（3，0）的直线与轨迹 C交于 P， Q，过 P作PN⊥ x轴且与轨迹 C交于另一点 N，F为轨迹 C的右焦点，若（λ＞1），求证：.(★★) 22. 在极坐标系中，曲线，以极点 O为旋转中心，将曲线 C逆时针旋转得到曲线.（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；（Ⅱ）求曲线 C与曲线的公共部分面积.(★★★) 23. 已知（Ⅰ）若，解不等式.（Ⅱ）若关于 x的不等式的充分条件是，求 k的取值范围.。
江西省南昌市八一中学2020届高三数学第三次模拟考试试题理含解析
4. 若数列 为等比数列，则“ ， 是方程 的两根”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的性质进行判断即可.
【详解】解：设等比数列 的公比为 ，
因为 ， 是方程 的两根，
所以 ， ，得 ，
3. 已知角 终边上一点的坐标为 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义求 ，结合角的X围写出角即可.
【详解】由诱导公式知， ，
，
所以角 终边上一点的坐标为 ，
故角的终边第三象限，
所以 ，
由 知， .
故选：C.
【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，特殊角的三角函数，属于容易题.
由题意知BD ，AD ，DE ，AE ，
连结OD，在Rt△ODE中， ，OE DE ，
∴OA2＝OE2+AE2 ，
∴球O的表面积为S＝4πR2 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了几何体的外接球、球的表面积公式，解题的关键是作出外接球的球心，需熟记公式，考查了考生的空间想象能力，属于中档题.
12. 若函数 在 单调递增，则 的取值X围是( )
江西省南昌市八一中学2023届高考三模理科数学试题
江西省南昌市八一中学2023届高考三模理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________5二、填空题三、解答题17．已知数列{an }满足a 1＝1，a 2＝3，数列{bn }为等比数列，且满足bn （an ＋1－an ）＝bn ＋1.(1)求数列{an }的通项公式；(2)数列{bn }的前n 项和为Sn ，若b 2，2a 3， b 4成等差数列，记数列{cn }满足cn ＝,,,,n n a n b n ìíî为奇数为偶数求数列{cn }的前2n 项和T 2n ．18．如图1，等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，2AB AE BE CD ====，4BC ED ==，O 为BE 中点，F 为BC 中点.将ABE V 沿BE 折起到A BE ¢V 的位置，如图2．(1)证明：CD ^平面A OF¢；(2)若平面A BE ¢^平面BCDE ，求点F 到平面A EC ¢的距离．19．为了解某一地区电动汽车销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量(y 单位：万台)关于(x 年份)的线性回归方程为ˆ 4.79495.2y x =-，且销量y 的方差250y s =，年份x 的方差为22xs =．(1)求y 与x 的相关系数r ，并据此判断电动汽车销量y 与年份x 的相关性强弱；(2)该机构还调查了该地区100位购车车主性别与购车种类情况，得到的数据如下表：【详解】若直线m ^平面a ， n m ^，则直线n Ì平面a 或//n a ；若直线m ^平面a ，直线//n a ，则n m ^，所以“n m ^”是“//n a ”的必要不充分条件．故选：B ．5．D【分析】根据指数与对数关系的互化可得56log log 7k x k y k z ===，，，利用函数图象即可求解.【详解】设756log 1x y z k ===>，则56log log 7k x k y k z ===，，，在同一坐标系中作出56log log y x xy ==，，7x y =的图象，如图所示易得567log log k k k >>，即z x y >>,故选：D 6．A【分析】根据古典概型的概率计算公式，分别求出包含事件A 的基本事件数与基本事件总数即可求得结果.【详解】由于珠子在每个岔口处有“向左”和“向右”两种情况，因为基本事件总数为52，而从出口3出来的每条路线中有2个“向右”和3个“向左”，即共有25C 条路线，．Duuu r uuu r 【分析】由题设画出示意图，易得AD AB×)12=因为O 、F 分别是BE 、BC 中点，所以//OF EC ，所以OF BE ^，从而可得OF CD ^，CD A O ¢^，因为AO OF O ¢Ç=，A O ¢、OF Ì平面A OF ¢，所以CD ^平面A OF ¢．（2）由（1）可知，//OF EC ，因为OF Ë平面A EC ¢，EC Ì平面A EC ¢，所以//OF 平面A EC ¢，所以点F 到平面A EC ¢的距离即为点O 到平面A EC ¢的距离.因为O 是BE 中点，所以点F 到平面A EC ¢的距离等于点B 到平面A EC ¢的距离的一半.取A E ¢的中点为H ，连接BH .因为A BE ¢V 为等边三角形，所以BH A E ¢^，由（1）知EC BE ^，因为平面A BE ¢^平面BCDE ，平面'A BE Ç平面BCDE BE =，EC Ì平面BCDE ，所以EC ^平面A BE¢.因为BH Ì平面A BE¢，所以EC BH ^.【分析】（1）分类讨论去绝对值：分为0x £，02x <£，2x >，分别去掉绝对值后，解不等式，即可得出答案；（2）根据（1）得出分段函数，求出函数的最小值，得出2a b c ++=.根据柯西不等式，得出()22234a b c ++³，即可得出答案.【详解】（1）当0x £时，()2342f x x x x =--=-+，解()10f x ³，即4210x -+³，解得2x £-；当02x <£时，()2322f x x x x =-+=+，解()10f x ³，即2210x +³，解得4x ³，无解；当2x >时，()2342f x x x x =-+=-，解()10f x ³，即4210x -³，解得3x ³.综上所述，不等式()10f x ³的解集为(][),23,-¥-+¥U .（2）由（1）可知，()24,022,0242,2x x f x x x x x -£ìï=+<£íï->î.当0x £时，()422f x x =-+³；当02x <£时，()222f x x =+>；当2x >时，()426f x x =->，所以函数()f x 的最小值为2，所以2m =，。
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江西省南昌市八一中学2020届高三第三次模拟考试数学（文）试题及答案第I 卷（选择题）一．选择题（共12个小题，每题5分）1. 若复数()i i z +=-21(i 是虚数单位），则z = （ ）A ．210B.22 C.25 D.23 2．已知α为第二象限角，且54)sin(-=+πα ，则=α2tan ( ) A ．724 B ．54 C ．724- D ．38- 3.已知数字发生器每次等可能地输出数字1或2中的一个数字，则连续输出的四个数字之和能被3 整除的概率是; （ ）A ．41 B ．21C ．83D ．43 4. 运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t 的取值范围为（）B．5. 若)10(02log ≠><a a a 且，则函数)1(log )(+=x x f a 的图像大致是 ( )6． 在等比数列{}n a 中，若84,a a 是方程0342=+-x x 的两根，则6a 的值是（）A ．3-B. 3C.3-3或 D. 3-+[.]7．设向量b a ,m =∙==,1 )R t ∈+的最小值为 （ ）A ．2B ．21m +C ．1D ．21m -8．设变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+3213y x y x y x ，且目标函数y ax z +=仅在点（2，1）处取得最小值，则实数a 的取值范围是 ( )A ． （4，5）B ．（-2，2）C ．（3，5）D ．（-2，1）9．已知定义在R 上的偶函数f(x)满足f(4+x)=f(x),且在区间[0，2]上是增函数，那么f(0)<0,是函数 f(x)在区间[0，6]上有3个零点的 （ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件10．已知角ϕ的终边经过点P （3，-4），函数)0)(sin()(>+=ωϕωx x f 的图像的两条相邻对称轴之间的距离等于3π，则=)12(πf （ ）A.1027-B.1027 C.102- D. 10211.已知双曲线12222=-by a x 与直线y=2x 有公共点与y=3x 没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为A.(]10,5， B.(]10,1， C. ），（5,1 D.[)∞+，512. 已知函数431)(23-++-=ax x x x f 在x=3处取得极值，则当)2,0[,)((cos )(sin 'πβαβα∈+f f 取得最大值时，βα+= （ ） A ．0 B.2πC.πD.23π第II 卷（非选择题）二．填空题（共4个小题，每题5分）13． 观察下列不等式：;1211<）（;26121)2(<+；31216121)3(<++.则第n 个不等式为____________．14. 过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 作倾斜角为45的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB的长为8，则p= .15.已知直线Ly=kx+b 和曲线133+-=x x y 相切，则斜率k 最小时直线L 的方程是 . 16. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是正视图 侧视图 俯视图三．解答题（共6个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤；） 17. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，,14,111+==+n n a S a 设n n n a a b 21-=+ （1）证明：数列{}n b 是等比数列； （2）数列{}n C 满足()*∈+=N n b c n n 3log 12，设,1433221+++++=n n n c c c c c c c c T求证：对一切*∈N n 不等式41<n T 恒成立。
下者到“乙部门”（1）求男生成绩的中位数及女生成绩的平均值（2）如果用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中共选取5人，再从这5人中选2 人 那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？ 。
男 女 8 6 5 16 8 7 6 5 4 3 2 17 7 8 5 4 2 18 5 6 4 3 19 219.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形。
60,2,DAB AB AD PD ∠==⊥ 底面ABCD 。
（I ）证明：PA BD ⊥（II ）设1PD AD ==，求棱锥D PBC -的高。
（19题）20．如图，已知A,B,C 是长轴为4的椭圆E 上的三点，点A 是长轴的一个端点，BC 过椭圆中心O ，且O =∙A ,AC BC 2= (1) 求椭圆E 的方程。
（2）设园O 是以原点为圆心，短轴长为半径的园，过椭圆E 上异于其顶点的任一点P ，作园O 的两条切线，切点为M,N,若直线MN 在x 轴， Y 轴上的截距分别为m,n,试计算22131n m +的值是否为定值？如果，请给予证明；如果不是，请说21.已知函数f （x ）=alnx ﹣ax ﹣3（a ∈R ）．（Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若函数y=f （x ）的图象在点（2，f （2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1，2]，函 数⎥⎥⎤⎢⎢⎡++=2)()('23m x f x x x g 在区间（t ，3）上总不是单调函数，求m 的取值范围；请考生在第23~24两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线4)4s i n (:=-πθρl 和圆)0)(4cos(2:≠+∙=k k C πθρ，直线上的点到圆C 上的点的最小距离等于2（1） 求直线L 的直角坐标方程； （2） 求k 的值。
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式()0log 1-x -1x 22>≤+a a 其中 （1） 当a=4时，求不等式的解集； （2） 若不等式有解，求实数a 的取值范围 答案AACBBB DDCCAB高考模拟数学试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第1I 卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第I 卷l 至2页，第II 卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡…并交回．第I 卷（选择题共40分）一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求． 1．复数143ii++的虚部是( ) A ．125i B ． 125C ．125i - D.125-2．已知命题“ ,a b R ∀∈，如果ab>0．则a>0”，则它的否命题是( ) A. ,a b R ∀∈．如果ab<0，则a<0 B. ,a b R ∀∈，如果ab ≤0，则a ≤0 C ． ,a b R ∃∈，如果ab<0，则a<0 D. ,a b R ∃∈，如果ab ≤0，则a ≤03．设变量x,y 满足约束条件： ,22,2y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则z=x-3y 的最小值( )A. -2B. -4C. -6D. -84．已知等比数列 {}n a 中，有a3all=4a7，31174a a a =,数列{}n b 是等差数列，且 77b a =，则59b b +=( )A ．2B ．4C ．8D ．165．设 10.23121log 3,(),23a b c ===，则( )A ． a<b<c B. c<b<a C. c<a<b D. b <a<c 6．若函数 cos ()y x N ωω*=∈的一个对称中心是 ,06π⎛⎫⎪⎝⎭，则 ω的最小值为 A.2 B.3 C.6 D.97．已知抛物线 2:4C x y =的焦点为F ，直线x-2y+4 =0与C 交于A ，B 两点．则 c o s AFB ∠的值为 A ．45 B ． 35 C. 35- D ． 45- 8．直线y=x 与函数 22 x>m()4 2 x m f x x x ⎧=⎨++≤⎩的图像恰有三个公共点，则实数m 的值范围是( )A. [)1,2-B. []1,2-C. [)2,+∞D. (],1-∞-第II 卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上） 9．曲线 324y x x =-+在(1，3)处的切线的倾斜角为___________．10某人5次上班途中所花的时问（单位：分钟），分别为x ，y ，10，11，9。
已知这组数据的平均数为10，方差为2，则 x y -的值为__________．11. 如图，AB 是O 的直径，PB,PC 分别切O 于B ，C ，若 38ACE ∠=，则 P ∠=____________.12．设a ，b 为两条不同直线 ,αβ为两个不同平面，则能得出a b ⊥的是__________。
A ． ,//,a b αβαβ⊥⊥ B. ,,//a b αβαβ⊥⊥ C. ,,//a b αβαβ⊂⊥若 D. ,//,a b αβαβ⊂⊥13.已知{}(,)|6,0,0x y x y x y Ω=+≤≥≥，{}(,)|4,0,20A x y x y x y =≤≥-≥，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为______________。
14．若圆 224x y +=与圆 22260(0)x y ay a ++-=>的公共弦的长为 a =_________. 三、解答题：（本大题6个题，共80分） 15.（本小题满分13分） 在△ABC 中， 54cos ,cos 135B C =-=． (l)求 sin A 的值；(2)设△ABC 的面积 332ABC S ∆=，求BC 的长 16．（本小题满分13分）某市电视台为了宣传举办问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了n 人，回答问题统计结果如下图表所示：(1)分别求出a ，b ，x ，y 的值；(2)从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组各抽取多少人？ (3)在(2)的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率。
17．（本小题满分13分）如图，四棱柱 1111ABCD A B C D -底面ABCD 是平行四边形，且AB =1，BC=2，60ABC ∠=，E 为BC 的中点， 1AA ⊥面ABCD．(1)证明：平面 1A AE ⊥平面 1A DE ； (2)若 1DE A E =，试求异面直线AE 与 1A D 所成角的余弦值． 18．（本小题满分13分）设函数 ()y f x =在(a ，b)上的导函数为 '()f x ， '()f x 在(a ，b)上的导函数为 ''()f x ， 若在(a ，b)上， ''()0f x <恒成立，则称函数f (x)在(a ，b)上为“凸函数”．已知432113()1262f x x mx x =--． (1)若 ()f x 区间（-，3）上的“凸函数”，试确定实数m 值；(2)若当实数m 满足 2m ≤时，函数()f x 在(a ，b)上总为“凸函数”．求b-a 的最大值． 19．（本小曩满分14分）已知椭圆 1C 的方程为 2214x y +=．双曲线 2C 的左右焦点分别为 1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是 1C 的左、右焦点。