解斜三角形复习课

a c a ⋅ sin C 3 Q = ,∴ sin A = = ,∴ A = 60° sin A sin C c 2
∴ B = 75 °
例2
c 例3，在△ABC中， = 10, B = 45°, C = 30°
解这个三角形。
b c c ⋅ sin B 解：Q sin B = sin C ,∴ b = sin C = 10 2
D B C
sin ∠ACB = sin(α + B) = sin α cos B + cos α sin B
5 3 1 11 3 4 3 = × + × = 14 2 14 2 7
依正弦定理有
AB AC sin ∠ACB = ,∴ AB = ⋅ AC = 8 sin ∠ACB sin B sin 60°
解
A
D 45° ° 30° ° 1 60° ° 30° ° C
3 2
B
解：在Rt△BCD中，BD=
AD 1 6 在△ACD中， = ,∴ AD = sin 60° sin 45° 2
3 在△ABD中， AB = AD + BD − 2 AD ⋅ BD ⋅ cos 45° = , 4 3 ∴ AB = ≈ 0.87（公里） 2
D B C
河岸
A D B C 如何测定河对岸两点A、B间的距离？
思考2：
如图，在四边形ABCD中，要求AB的长度须 要知道哪些条件？ A
来自百度文库
D B C
应用
A D B C 为了测定河对岸两点A、B间的距离，在岸边选定1公里长的 基线CD，并测得∠BCD=90o，∠ACD=60o，∠ADC=75o， ∠BDC=30o，求A、B两点的距离.（保留2位小数）
（已知元素中含一个90°角的三角形的解法）
高中——解斜三角形
（已知元素中不含90°角的三角形的解法）
解斜三角形的主要依据： 解斜三角形的主要依据：
设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C． 1．角与角关系：A+B+C = π， 2．边与边关系：a + b > c，…，a－b < c，…． 3．边与角关系： a b c = = = 2R 正弦定理 （R为外接圆半径） sin A sin B sin C 余弦定理 a 2 = b2+ c2－2bccosA，… 它们的变形形式有： a = 2R sinA，…
．
4．面积公式：
b2 + c2 − a2 cos A = 2bc
，…
1 1 1 1 1 1 S ∆ = aha = bhb = chc = ab sin C = ac sin B = bc sin A 2 2 2 2 2 2
a 例1，在△ABC中， = 2 2, b = 6 + 2, c = 2
解这个三角形。
依余弦定理，有： AC 2 = BC 2 + AB 2 − 2 BC ⋅ AB ⋅ cos B
1 2 即 7 = 5 + AB − 2 × 5 AB × , 得：AB − 5 AB − 24 = 0 2
2 2 2
解得AB = 8，AB=－3（舍去）.∴ AB的长为8．
思考2：
如图，在四边形ABCD中，要求AB的长度须 要知道哪些条件？ A
Q A = 105°,
c ⋅ sin A ∴a = = 5( 6 + 2) sin C
例3
例4，在△ABC中，a = 2 3, b = 6, A = 30° 解这个三角形。
3 b sin A 6sin 30° Q , = = 解： sin B = a 2 2 3 得B = 60˚ 或B = 120˚ ．
2 2 2
小结：
解三角形
基础 全面掌握
角、边以及它们之间的关系 （记忆和梳理 记忆和梳理） 记忆和梳理 四种常规方法 （综合分析，灵活应用 综合分析， 综合分析 灵活应用）
作业：
1，在△ABC中，已知b = a sinC，c = a sinB， 试判断△ABC的形状？ 2，已知一个三角形的周长为20cm，面积为 2 10 3cm ，其中一个角为60°，求这个三角 形的三条边长。
a c =4 3 （1）当B = 60˚ 时， C = 90˚ ， = sin 30°
（2）当B = 120˚ 时， C = 30˚ ，c = a
=2 3
例4
综合应用： 综合应用：
如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB， ∠B = 60˚，AC = 7，AD = 6，S ∆ADC = 15 3 ， 2 求AB的长度． A
α α
D B C
解：在△ADC中， 1 Q S∆ADC = AD ⋅ AC sin α , 2
1 15 3 即 × 6 × 7 sin α = 2 2
A
α α
196 − 75 121 11 ∴ cos α = 1 − sin 2 α = = = 196 196 14 在△ABC中，
5 3 ∴ sin α = 14
解斜三角形复习课
对三角形的认知历程
幼儿园：辨识三角形 小学：对三角形进行分类，求周长和面积 初中：（直角三角形）
三内角和为180°，两边之和大于第三边，两边之差小于 第三边，勾股定理，锐角三角函数…
高中： （斜三角形）
正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式…
解三角形
由三角形的六个元素（即三条边和三个内角） 中的三个元素（其中至少有一个是边）求其 他未知元素的问题叫做解三角形。 初中——解直角三角形
b2 + c2 − a2 2 = , A = 45° 解： cos A = 2bc 2
a 2 + c2 − b2 2− 6 cos B = = , B = 105° 2ac 4
C = 30 °
例1
a 例2，在△ABC中， = 6, b = 1 + 3, C = 45°
解这个三角形。
Q c 2 = b 2 + a 2 − 2ab cos C = 4,∴ c = 2 解：
另解：在△ADC中，
1 Q S∆ADC = AD ⋅ AC sin α , 2 5 3 ∴ sin α = 14
1 15 3 即 × 6 × 7 sin α = 2 2
A
α α
在△ABC中，B = 60˚，依正弦定理有
D B C
BC AC 7 5 3 = ,∴ BC = ⋅ =5 sin ∠BAC sin B sin 60° 14