2.条件分布&相互独立的随机变量

−∞
f ( x , y )dy
例3 设(X,Y)在圆域 x 2 + y 2 ≤ 1上服从均匀分布， 上服从均匀分布， 问X与Y是否相互独立？ 是否相互独立？ 解 依题意知(X,Y)的概率密度为
1 f ( x, y) = π 0 x2 + y2 ≤ 1
f x ( x) =
+∞ ∫−∞
Q
f ( x , y ) ≠ f X ( x ) fY ( y )
∴ X , Y 不相互独立 .
对二维正态分布
2 若 ( X , Y ) ~ N ( µ 1 , µ 2 , σ 12 , σ 2 , ρ )，
则
Q
2 X ~ N ( µ 1 , σ 12 ), Y ~ N ( µ 2 , σ 2 )
∞
x ∫− x 1dy, 0 < x < 1, = 2 x , 0 < x < 1, = 0 , 其它 . 其它. 0, 1
y= x
1
x
−∞
f ( x , y )dy
0
y = −x
− 1 < y < 0, 0 ≤ y < 1, 其它 .
fY ( y ) =
∫
∞ −∞
1 dx = 1 + y , ∫− y 1 f ( x , y ) dx = ∫ 1 dx = 1 − y , y 0,
f ( x , y ) = f X ( x ) fY ( y ) ⇔
ρ = 0.
∴ X 和 Y 相互独立 ⇔ ρ = 0.
以上关于二维随机变量的一些概念， 以上关于二维随机变量的一些概念，包括 分布函数、 分布函数、概率密度函数、 概率密度函数、边缘分布、 边缘分布、条件 分布、 分布、独立性等概念， 独立性等概念，容易推广到n维随机变 量的情形。 量的情形。
练习： 练习：设区域D由
y=
1 , y = 0, x = 1, x = e 2 x
所围， 所围，
（X,Y)在D上服从均匀分布， 上服从均匀分布，求X的边缘密度函数。 的边缘密度函数。
解：S ( D ) = ∫ ( ∫ dy )dx = 2
e2 1 0 1 x
1 ( x, y) ∈ D ∴ f ( x, y) = 2 其他 0 故 f X ( x ) = ∫− ∞
∞
1 1 ∫0x dy 1 < x < e 2 f ( x , y )dy = 2 其他 0
1 = 2 x 0
1 < x < e2 其他
3.3 条件分布
一、离散型随机变量的条件分布
考虑一大群人 , 从其中随机挑选一个人 , 分别 用 X 和 Y 记此人的体重和身高 , 则X 和 Y 都是随 机变量 , 他们都有自己的分布 . 现在如果限制 Y的取值从1.6 m 到1.7 m, 在这
其中j = 1, 2,L.
二、连续型随机变量的条件分布 设 (X,Y) 是二维连续型 是二维 连续型 r.v ， 由于对任意 x, y, P(X=x)=0, P(Y=y)=0 ，所以不能直接 用条件概率公式得到条件分布， 用条件概率公式得到条件分布，下面我们 直接给出条件概率密度函数的定义.
定义2 设X和Y的联合概率密度为 f (x,y), 边缘概率密度为 f X ( x ), fY ( y )，则对一切使
定义：设 F ( x, y ) 和 FX ( x )、FY ( y ) 分别是 ( X , Y ) 的 分布函数及边缘分布函数 , 若对任意 x, y 有
P { X ≤ x , Y ≤ y} = P { X ≤ x }P {Y ≤ y},
即
F ( x , y ) = FX ( x ) FY ( y )
f ( x , y )dy
2 2 ⋅ 1 − x = π 0
1− x 2 1 ∫− 1− x 2 dy − 1 ≤ x ≤ 1 = π 0 其它
其它
−1≤ x ≤ 1 其它
同理可得
2 2 ⋅ 1− y f y ( y) = π 0
−1 ≤ y ≤ 过的条件概率概念在另 一种形式下的重复.
定义1 设 ( X ,Y ) 是二维离散型随机变量 , 对于固定
的 j , 若 P {Y = y j } > 0, 则称 P{ X = x i Y = y j } = P { X = x i ,Y = y j } P {Y = y j } = pij p• j ,
显然
f ( x, y) ≠ fx ( x)⋅ f y ( y)
由定理知, X与Y在圆域 x 2 + y 2 ≤ 1上不 相互独立。 相互独立。
解：f X ( x ) = ∫
例4 : 设 ( X , Y ) 的概率密度为 1, 0 < x < 1, y < x , f ( x, y) = y 其它 0, 是否独立？ 问： X , Y 是否独立 ？
∫−∞
x
f ( x, y) d x. fY ( y )
同理定义在 X = x 的条件下 Y 的条件分布函数为
y −∞
f ( x, y) d y. f X ( x)
例：设二维随机变量 ( X ,Y ) 在区域 x2 + y2 ≤ 1 上服从均匀分布, 求条件概率密度 f X Y (x y).
解 由题意知随机变量 ( X ,Y ) 的概率密度为
为在Y = y j 条件下随机变量 X 的条件分布律 .
其中i = 1, 2,L.
对于固定的 i , 若 P { X = x i } > 0, 则称 P {Y = y j X = x i } = P { X = x i ,Y = y j } P{ X = x i } = pij pi • ,
为在X = x i 条件下随机变量 Y 的条件分布律 .
称
∫−∞ f X Y ( x y ) d x = ∫−∞
x x
f ( x, y) d x 为在 Y = y 的 fY ( y )
条件下, X 的条件分布函数 , 记为 P { X ≤ x Y = y } 或 FX Y ( x y ), 即 FX Y ( x y ) = P{ X ≤ x Y = y } = FY X ( y x ) = P {Y ≤ y X = x } = ∫
则称 X 和 Y 是相互独立的 .
3.4.2 离散型随机变量的情形 定理 3.1 离散型随机变量相互独立的等价条件 设(X,Y)是二维离散型随机变量， 是二维离散型随机变量，则X和Y相互 独立的充分必要条件是
Pij = Pi • × P• j
对一切的 i, j 都成立。 都成立。
例1: 已知 (X,Y) 的分布律如下表 的分布律如下表， 如下表，判断 二维离散型随机变量 (X,Y) 的独立性。 的独立性。
3.4.3. 连续型随机变量的情形 定理 3.2 连续型随机变量相互独立的等价条件 设（X，Y）的概率密度函数为 f ( x , y ) ，X和Y 的边缘密度函数分别为 f x ( x ), f y ( y ) 则X与Y相互独立的充分必要条件是
f ( x, y) = f x ( x) ⋅ f y ( y)
f X ( x ) > 0 的x , 定义已知 X=x下，Y 的条件
密度函数为
f ( x, y ) fY | X ( y | x ) = f X ( x)
同样， 同样，对一切使 fY ( y ) > 0 的 y, 定义 f ( x, y) f X |Y ( x | y ) = fY ( y ) 为已知 Y=y下，X的条件密度函数 .
1 π , x 2 + y 2 ≤ 1, f ( x, y) = 0, 其它, 而Y的边缘概率密度为
fY ( y ) = ∫
∞
−∞
2 1 − y 1 2 2 d 1 , − 1 ≤ y ≤ 1, x = − y ∫− 1− y 2 f ( x, y)d x = π π 0, 其他 .
X y 1 2 3 4 p• j
因
1 1/4 0 0 0 1/4
2 1/8 1/8 0 0 1/4
3
4
pi•
1/12 1/16 25/48 1/12 1/16 13/48 1/12 1/16 0 1/4 1/16 1/4 7/48 3/48 1
1 25 1 p1• ⋅ p•1 = × ≠ = p11 ,故X与Y不独立。 不独立。 4 48 4
几乎处处成立.
例2 设随机变量(X,Y)的概率密度为
解：f X ( x ) = ∫
3 2 xy 0 ≤ x < 2,0 ≤ y < 1 f ( x, y) = 2 0 其它 证明 X与Y相互独立。 相互独立。
∞
x 13 2 ∫ xy dy, 0 < x < 2, = , 0 < x < 2, = 02 2 其它. 0 , 其它 . 0, 23 2 2 +∞ 3 y , 0 < y < 1, xy dx 0 ≤ y < 1 ∫0 = fY ( y ) = ∫ f ( x, y )dx = 2 −∞ 其他. 0, 0 其他 Q f ( x , y ) = f X ( x ) fY ( y ) ∴ X , Y 相互独立 .
于是当 − 1 < y < 1 时, 有
f (x, y) f X Y (x y) = fY ( y)
1π 1 2 2 , − 1− y ≤ x ≤ 1− y , = = (2 π) 1− y2 2 1− y2 0, 其他.
3.4 两个随机变量的相互独立性
在第一章， 在第一章，我们引进了两个事件的独立性的 概念， 概念，即若事件A与事件B满足P(AB)=P(A)P(B)， 则称A与B是独立的。 是独立的。 现在， 现在，我们把这个概念引进到随机变量上来。 我们把这个概念引进到随机变量上来。