2010年西城区中考二模数学试题及答案

2010年西城区中考二模数学试题
2010.6
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1． －2010的倒数是 A. 2010 B. 20101- C. 2010
1
D. －2010 2．在
722
，5，π和9四个实数中，其中的无理数是 A . 722和5 B. 7
22和π C . 9和5 D . 5 和π
3．如图，⊙O 的半径为2，直线PA 、PB 为⊙O 的切线，A 、B 为切点，若PA
⊥PB ，则OP 的长为
A ． 24
B ． 4
C ．22
D ． 2
4．在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，把矩形OABC 绕着原点顺时针旋转90得到矩形OA B C '''，若OA =2，OC =4，则点B '的坐标为
A ．(24)，
B ．(24)-，
C ．(42)，
D ．(24)-，
5．某班在开展 “节约每一滴水”的活动中，从全班40名同学中选出10名同学汇报了各自家庭一
用所学的统计知识估计40名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是 A ．20 m
3
B ．52 m 3
C ．60 m 3
D ．100m
3
6．有9张背面相同的卡片，正面分别印有下列几种几何图形．其中等腰三角形4张、平行四边形
3张、圆形2张，现将9张卡片正面朝下洗匀任意摆放，从中任意抽取一张，抽到正面图形属于中心对称图形的卡片的概率是
A ．95
B ．9
2 C ．91 D ．
1
7．如图，是一个几何体的三视图，根据图中标注的数据可求得这个几
何体的侧面积为（ ） A ．π6
B ．
π12 C ．4π2
D ．8π
4
8．如图，在△ABC 中，∠C =90
°，AC =4，BC =2，点A 、C 分别在x
轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，
点B 到原点的最大距离是
A ．
222+ B ．5
2
C 。

62
D ． 6
二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9
．在函数5
1
-=
x y 中，自变量x 的取值范围是 ． 10．在□ABCD 中，E 为BC 延长线上一点，AE 交CD 于点F ，若AB =7，
CF =3，
则
CE
AD
= ．
11．如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，则图中阴影部分面积
为 ．
12．一组按规律排列的整数5，7，11，19，…，第6个整数为____ _，根据上述规律，第n 个整
数为____ （n 为正整数）.
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．解分式方程：
x
x
x -+
=-3331. 14．已知关于x 的一元二次方程x 2
―m x ―2=0．
（1）对于任意实数m ，判断此方程根的情况，并说明理由； （2）当m =2时，求些方程的根．
15．已知：如图，在正方形ABCD 中， 点E 在CD 边上，点F 在CB 的延长线上，且
FA ⊥EA ．求证：DE =BF ．
.
16．已知1582
=+x x ，求2
)12()1(4)2)(2(++---+x x x x x 的值.
17．如图，二次函数321++=bx ax y 的图象与x 轴相交于点A （－3，0）、B （1，0），交y 轴点C ，
C 、
D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数
n mx y +=2的图象经过B 、D 两点．
（1）求二次函数的解析式及点D 的坐标； （2）根据图象写出12y y >时，x 的取值范围．
18． 如图，在矩形ABCD 中， AB ＝6，∠BAC =30°，点E 在CD 边上．
（1）若AE =4，求梯形ABCE 的面积；
（2）若点F 在AC 上，且CEA BFA ∠=∠，求AE
BF 的值．
四、解答题（本题共20分，第19题6分，第20、21题每小题5分，第22题4分）
A D C
F
B
E
19．为了积极应对全球金融危机，某地区采取宏观经济政策，启动了新一轮投资计划，该计划分为
民生工程、基础建设、企业技改、重点工程等四个项目．图1表示这个投资计划的分项目统计图，图2表示该地区民生工程项目分类情况统计图．
请你根据图1、图2所给信息，
回答下列问题：
（1） 在图1中，企业技改项目投资占总投资的百分比是多少？
（2） 在图2中，如果“交通设施”投资且比“食品卫生”投资多850万元，且占“民生工程”
的投资的25%，那么“交通设施”投资及“民生工程”投资各是多少万元？并补全图2；
（3） 求该地区投资计划的总额约为多少万元？（精确到万元）
20．《喜羊羊与灰太狼》是一部中、小学生都喜欢看的动画片，某企业获得了羊公仔和狼公仔的生
产专利．该企业每天生产两种公仔共450只，两种公仔的成本和售价如下表所示．如果设每天生产羊公仔x 只，每天共获利y 元．
（1）求出y 与x 之间的函数关系及自变量x 的取值范围；
（2）如果该企业每天投入的成本不超过10000元，那么要每天获利最多，应生产羊公仔和狼公
仔各多少只？
21．如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交BC 、AC 于点
D 、
E ，连结EB 交OD 于点
F ． （1）求证：OD ⊥BE ； （2）若DE =
25，AB =2
5
，求AE 的长．
22. 如图，在△ABC 中，∠B =∠C =30°.请你设计两种不同的分法，将△ABC 分割成四个小三角形，
使得其中两个是全等．．三角形，而另外两个是相似．．但不全等．．．
的直角三角形．请画出分割线段，并在两个全等三角形中标出一对相等的内角的度数（画图工具不限，不要求证明，不要求写出画法）．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分） 23．已知：关于x 的一元二次方程04)4(2=-++-m x m x ，其中40<<m ． （1）求此方程的两个实数根（用含m 的代数式表示）；
（2）设抛物线c bx x y ++-=2
与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），若点D 的坐标为（0，
-2），且AD ·BD =10，求抛物线的解析式；
（3）已知点E （a ，1y ）、F （2a ，y 2）、G （3a ，y 3）都在（2）中的抛物线上，是否存在含有1y 、
y 2、y 3，且与a 无关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由．
24．在△ABC 中，点P 为BC 的中点．
（1）如图1，求证：AP ＜
2
1
（AB +BC ）； （2）延长AB 到D ，使得BD =AC ，延长AC 到E ，使得CE =AB ，连结DE ．
①如图2，连结BE ，若∠BAC =60°，请你探究线段BE 与线段AP 之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明； ②请在图3中证明：BC ≥
2
1
DE ．
25． 在平面直角坐标系中，将直线l ：2
3
43--
=x y 沿x 轴翻折，得到一条新直线与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将抛物线1C ：2
3
2x y =沿x 轴平移，
得到一条新抛物线2C 与y 轴交于点D ，与直线AB 交于点E 、点F ． （1）求直线AB 的解析式；
（2）若线段DF ∥x 轴，求抛物线2C 的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点F 在y 轴右侧，过F 作FH ⊥x 轴于点G ，与直线l 交于点H ，一
条直线m （m 不过△AFH 的顶点）与AF 交于点M ，与FH 交于点N ，如果直线m 既平分△AFH 的面积，求直线m 的解析式．
2010年西城区中考二模数学试题答案 2010.6 阅卷须知：
1.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

2.若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分。

三、解答题（本题共30分 ，每小题5分）
13．解：把原方程整理，得333
1--
=-x x
x . 1分 去分母，得1=3(x-3)-x . 2分
去括号，得1=3x-9－x. 3分 解得x=5. 4分
经检验，x=5 是原方程的解. 5分
14．解：（1） △=ac b 42
-=m 2+8．
1分
∵对于任意实数m ，m 2≥0， ∴m 2+8>0．
∴对于任意的实数m ，方程①总有两个不相等的实数根． 2分
（2）当m =2时，
原方程变为0222
=--x x ． 3分
∵△=
ac b 42-=12， ∴
2122±=
x ．
解得x 1=31+， x 2=31-．
5分
15．证明：在正方形ABCD 中，
AD = AB ， ………………………………1分 ∠BAD=∠D=∠ABF=90°． ……………2分 ∵EA ⊥AF ，
∴∠BAE+∠DAE =∠BAF+∠BAE =90°．
∴∠ DAE =∠BAF ． ……………………3分
A
D C
F B
E
在△DAE 和△BAF 中，
⎪⎩⎪
⎨⎧∠=∠=∠=∠.,
,BAF DAE AB AD ABF D
∴ △DAE ≌△BAF ． 4分 ∴ DE = BF ． 5分
16．解：2
)12()1(4)2)(2(++---+x x x x x .
＝1444442
22++++--x x x x x
3分
＝
382
-+x x 4分 当1582
=+x x 时，原式=15－3=12. 5分
17．解：（1）二次函数32
1++=bx ax y 的图象经过点A （－3，0），B （1,0）．
∴⎩⎨
⎧=++=+-.03,
0339b a b a
解得⎩⎨
⎧-=-=.2,1b a
∴二次函数图象的解析式为
322
1+--=x x y ． 2分 ∴点D 的坐标为（－2，3）．
3分
（2）12y y >时，x 的取值范围是2-<x 或1>x ． 5分
18．解：∵矩形ABCD ，
∴∠ABC=∠D=90°，AD=BC ， CD=AB=6． 1分
在Rt △ABC 中， AB=6，∠BAC=30°， 32tan =∠=BAC AB BC ． 2分
（1）在Rt △ADE 中， AE=4， AD= BC=32，
∴DE=22
2=-AD AE ．
∴EC=4．
∴梯形ABCE 的面积S=BC AB EC ⋅+)(21
32)64(21
⨯+=
=310． 3分
（2）作BH ⊥AC 于H ，
在Rt △ABC 中， AB=6，∠BAC=30°，
321
==
AB BH ．
在Rt △BFH 中，
BF BH
BFC =
∠sin ． 在Rt △AED 中，
AE AD
AED =
∠sin ． ∵∠BFA=∠CEA ，
∴∠BFC=∠AED ． ∴AED BFC ∠=∠sin sin
∴
AE AD
BF BH =． ∴323
=
=AD BH AE BF ． 5分
四、解答题（本题共20分，第19题6分，第20题5分，第21题5分，第22题4分） 19．解：（1）10%；（1分）
（2）150+850=1000， ∴交通设施投资1000万元；
4000%251000
=，
∴民生工程投资4000万元； 答案见图；（5分）
（3）28571%144000
≈，
∴投资计划的总额约为28571万元．（6
20．解：（1）根据题意，得y =(23－20)x +(35－30)(450－x )， 即y =－2x +2250．
2分
自变量x 的取值范围是0≤x ≤450且x 为整数． 3分
图
（2）由题意，得20x +30(450-x )≤10000． 解得x ≥350． 4分 由（1）得350≤x ≤450． ∵y 随x 的增大而减小， ∴当x =350时，y 值最大．
y 最大=－2×350+2250=1550．
∴450－350=100．
答：要每天获利最多，企业应每天生产羊公仔350只，狼公仔100只. 5分
21．证明：（1）连结AD ． ∵ AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB=∠AEB=90°． ∵ AB=AC ，
∴DC=DB ． 1分 ∵OA=OB ，
∴OD ∥AC ．
∴∠OFB=∠AEB=90°． ∴OD ⊥BE ． 2分 解：（2）设AE=x ， 由（1）可得∠1＝∠2，
∴BD = ED=25
． 3分
∵OD ⊥EB ， ∴FE=FB ．
∴OF=AE 21
=x 21，DF=OD －OF=
x 2145-． 在Rt △DFB 中，
22222)2145()25(
x DF DB BF --=-=．
在Rt △OFB 中， 2
2222)21
()45(x OF OB BF -=-=．
∴2
2)
2145()25(x --22)21()45(x -=．
解得
23=
x ，即23=AE ． 5分
A
第21题
图
22．解：参考分法如下图所示（答案不唯一）．
说明：各图中，只画出一对全等三角形或只画出
一对相似直角三角形不得分；两者都画正确每图得2分．
五、解答题（本题共22分，第23题
7分，第24题8分，第25题7分） 23．解：（1）将原方程整理，得0
4)4(2=++-m x m x ， △=2222)4(168)4(4)]4([4-=+-=-+-=-m m m m m ac b ＞0
∴
2)
4()4(-±+=
m m x ．
∴m x =或4=x ．
2分
（2）由（1）知，抛物线c bx x y ++-=2
与x 轴的交点分别为（m ，0）、（4,0），
∵A 在B 的左侧，40<<m .
∴A （m ，0），B （4,0）.
则42222222+=+=+=m m OD OA AD ，20242
2222=+=+=OD OB BD ．
∵AD ·BD=10， ∴AD2·BD2=100. ∴
100
)4(202=+m . 3分
解得1±=m . 4分 ∵40<<m ， ∴1=m .
∴51=+=m b ，44-=-=m c
.
B
∴抛物线的解析式为4
52-+-=x x y . 5分
（3）答：存在含有1y 、y 2、y 3，且与a 无关的等式， 如：4)(3213--=y y y （答案不唯一）. 6分
证明：由题意可得4521-+-=a a y ，
41042
2-+-=a a y ， 4
15923-+-=a a y .
∵左边=41592
3-+-=a a y .
右边=－)(321y y -－4
4)]4104()45[(322--+---+--=a a a a
=41592
-+-a a . ∴左边=右边. ∴
4)(3213---=y y y 成立.
7分
24．证明：（1）延长AP 至H ， 使得PH = AP ，连结BH 、 HC ，PH ． ∵BP=PC ．
∴四边形ABHC 是平行四边形． ∴AB=HC ．
在△ACH 中， AC HC AH +<． ∴AC AB AP +<2． 即
)(21
AC AB AP +<
2分
（2）①答：BE=2 AP ． 3分
证明： 过B 作BH ∥AE 交DE 于H ，连结CH 、AH ． ∴∠1=∠BAC=60°． ∵DB=AC ，AB = CE ， ∴AD=AE ，
∴△AED 是等边三角形，
∴∠D=∠1 =∠2=∠AED=60°． ∴△BDH 是等边三角形． 4分 ∴BD=DH=BH=AC ．
∴四边形ABHC 是平行四边形． ∵点P 是BC 的中点，
∴AH 、BC 互相平分于点P ，即AH=2AP ． 在△ADH 和△EDB 中，
D
E
H 第24题图2
⎪⎩⎪
⎨⎧=∠=∠=.,,DB DH D D ED AD
∴ △ADH ≌△EDB ． ∴ AH = BE=2AP ． 5分
②证明：分两种情况： ⅰ）当AB=AC 时， ∴AB=AC=DB=CE ．
∴BC=DE 21． 6分
ⅱ）当AB ≠AC 时，
以BD 、BC 为一组邻边作平行四边形BDGC （如图4）， ∴DB=GC=AC ，∠BAC=∠1，BC=DG ． ∵AB=CE ．
∴ △ABC ≌△CEG ． ∴ BC = EG=DG ．
在△DGE 中， DE GE DG >+． ∴DE BC >2，即
DE BC 21>
．
综上所述，BC ≥DE
21． 8分
25．解：（1）设直线AB 的解析式为
b kx y +=．
将直线
2343-
-=x y 与x 轴、y 轴交点分别为 （－2，0），（0，
23
-）， 沿x 轴翻折，则直线
23
43--
=x y 、直线AB
与x 轴交于同一点（－2,0）， ∴A （－2,0）． 与y 轴的交点（0，
23
-
）与点B 关于x 轴对称，
∴B （0，23），
∴⎪⎩⎪⎨⎧==+-.23,02b b k
E
第24题
D
E
第24题图4
解得
43
=
k ，
23=
b ． ∴直线AB 的解析式为 23
43+=
x y ．
2分
（2）设平移后的抛物线2C 的顶点为P （h ，0），
则抛物线2C 解析式为：
2)(32
h x y -=
=2
232343
2h hx x +-． ∴D （0，2
32h
）．
∵DF ∥x 轴，
∴点F （2h ，2
32h ），
又点F 在直线AB 上，
∴23)2(43322+
⋅=h h ． 3分
解得 31=h ，
43
2-=
h ．
∴抛物线2C 的解析式为
6432)3(3222+-=-=
x x x y 或
83322++=x x y ． 5分
（3）过M 作MT ⊥FH 于T ， ∴Rt △MTF ∽Rt △AGF ．
∴5:4:3::::==FA GA FG FM TM FT ． 设FT=3k ，TM=4k ，FM=5k ．
则FN=)(21
AF HF AH ++－FM=16－5k ．
∴
24)516(21k k MT FN S MNF
-=⋅=∆．
∵
81221
21⨯⨯=⋅=
∆AG FH S AFH =48，
又
AFH MNF S S ∆∆=
21
．
∴2424)516(=-k
k ．
解得
56
=
k 或2=k （舍去）．
∴FM=6，FT=518，MT=524
，GN=4，TG=512．
∴M （56，512）、N （6，－4）．
∴直线MN 的解析式为：434
+-
=x y ． 7分。