15 简谐振动 旋转矢量法ppt课件
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第三篇 机械振动&机械波
第五章 机械振动
为何讨论的重点是简谐运动 复杂振动可分解为若干简谐运动 振动的运动学规律
简谐振动的动力学特征
振动能量的周期性特征
第5章 机械振动
P.2/35
振动和波动的关系: 波动——振动的传播 振动——波动的源头
机械振动, 电磁振荡 机械波, 电磁波 德布罗意波——几率波
振动学是波动学的基础
第5章 机械振动
第5章 机械振动 振动: 任何一个物理量(物体的位置, 电流强度, 电 场强度, 磁场强度等)在某一固定值附近作往复变 化. 机械振动: 物体在固定位置(平衡位置)附近作来回 往复的运动. 简谐运动: 是最基本, 最简单的振动.
复杂振动 = ∑简谐振动 研究目的 —— 利用, 减弱 or 消除
初相位 : 也叫初位相或初相. t=0时的 相位, 描述初始时刻的振动状态, 与初始 条件有关.
相位差ΔΦ : 相位的差值. 单位: 弧度(rad)
第5章 机械振动
4. 求解振幅和初相
设 t =0 时
x0Acos, v0Asi n
x0 2 v0 2 2A2(s2in co2s)A2
振幅:
A
x02
P.3/35
§5.1 简谐运动
第5章 机械振动
5.1.1 简谐运动的特征及其运动方程
弹簧振子——理想模型
简谐运动的受力
f kx
始终指向平衡位置(有心力)
简谐运动的动力学方程
单
摆
m d2x k x
dt 2
P.4/35
简谐运动动力学方程
m d2x k x 令 dt 2
2 k m
d2x dt2
2x
0
微分方程的解(运动方程)
简谐运动的速度与加速度
第5章 机械振动
v d x A si nt ()
a
dt dv
vmcos(tπ2)
2Acost ()
v
d t a m co ts (π) a
xAcots()
简谐运动: 某个物理量随时间的变 化规律满足简谐运动方程, 或遵从 余(正)弦规律, 一般来说, 这一物理 量就作简谐运动.
xAcots()
5.1.2 简谐运动方程中的三个基本 物理量
Acos(t2))
T 2
频率 : 单位时间内完成的振动次数.
1. 描述振动强弱的物理量 振幅 A : 离开平衡位置的最远距 离.
单位: m 2. 描述振动快慢的物理量 周期 T : 往复振动一次所经历的 时间.
单位: s
1 T
单位: 赫兹(Hz, 1/s)
第5章 机械振动
y vm t π
t an
2 A
vm A
an A2
0
a
v
x
vAcost(π)
xAcots()
2
aA 2cots ()
远离 x，v0 接近 x，v0
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5.2.2 旋转矢量图的应用
1. 求初相位
振子沿 x 轴正方向运动
x x
第5章 机械振动
Φ ( t ) ( t )
v0
2
初相:
arctan(v0 ) x0
A 和 完全由初始条件决定.
的取值不唯一, 并与坐标正方向的选 取有关.
P.8/35
第5章 机械振动
例1: 轻弹簧一端固定, 另一端连接一个物 块. 整个系统位于水平面内, 系统的角频率
得x： 0 .0c4o 6 .0 tsm
为6.0s-1. 将物体沿水平向右拉到 x0= 0.04 m 处再释放, 试求: (1)简谐运动表达式; (2)
(1) 振动表达式; (2) t = 0.5s时, 质点的位置, 速度和加速 度; (3) 如果在某时刻质点位于 x=－6cm, 且沿 x 轴负方向运动, 求从 该位置回到平衡位置所需要的最短时 间.
P.5/35
第5章 机械振动
xAcots()
x xt图
A
T 2π 取 0
vA si n t ()
o
A
A v
T
vt 图
o
T
t
t
Acost(π) A
2
a at图
a A 2co t s() A2
o
Tt
A 2cots(π)A2
P.6/35
简谐运动的运动方程
第5章 机械振动
xAcost()Acost(2)
( )t ( )
若两个振动的频率相同, 则 相位差为
A
A
x
Φ
同一振动不同时刻的相位差
振子沿 x 轴负方向运动 2. 比较各振动之间的相位关系 不同振动同一时刻的相位差
x1A co ts ()
x2A co ts ()
x1A co ts1 ()
x2A co ts2 ()
Φ (t2 ) (t1 )
圆(角)频率 : 2 秒内振动的次数.
2 单位: 弧度/秒(rad/s)
周期, 频率与角频率关系:
k
m
T 1 2π 只取决于系统本身.
P.7/35
简谐运动的运动方程
xAcots()
3. 初相位, 相位和相位差 相位ωt + : 也叫位相或周相. 一个周期 当中, 相位与振子的运动状态(包括位置, 速度, 加速度)一一对应.
物 体 从 初 始 位 置 起 第 一 次 经 过 A/2 处 时 的
(2) 由(1)中结果
0.0 20.0c 4o 6.0 s t
速度.
cos6.0t 1
2
vdx0.2s4i6 n.0t
dt
解: (1)
si6 n.0t1co26s.0t
x 0 0m .,0 v 0 4 0 , 6 .0 s 1
(t2t1)()
t
P.12/35
第5章 机械振动
Φ21
Φ0同步
x
Φπ反相
x
0 超前
Φ
落后
0
x
o
o
o
t
t
t
2 相位差为 整数倍: 同步
相位差为 或 奇数倍: 反相
P.13/35
3. 用旋转矢量图画简谐运动的
xt
第5章 机械振动
P.14/35
例2: 一质点沿x轴作简谐运动的振幅为 12cm, 周期为2s. 当 t = 0 时, 位移为6cm, 且沿 x 轴正方向运动. 求:
第5章 机械振动
• 旋转矢量 与xA轴的夹角(t+)即为简谐
运动的相位.
• 旋转矢量 角频率.
的A 角速度 即为振动的
• t =0时, 初相.
与xA 轴的夹角即为简谐振动的
• 旋转矢量 动.
旋A 转一周, P点完成一次全振
周期: T 2 π
结论: 投影点的运动为简谐运动
xAcost()
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振 幅A：x02 v0022 x00.0m 4
依题意, v＜0
1
1
2
2
3 2
arctavn0 0 x0
v 0.24 3 0 .20 m s 8 1
(为什么 不取π ?)
2wenku.baidu.com
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§5.2 简谐运动的旋转矢量表示法 5.2.1 旋转矢量表示法
t
x P
• 旋转矢量 的模A即为简谐运动的振幅.
第五章 机械振动
为何讨论的重点是简谐运动 复杂振动可分解为若干简谐运动 振动的运动学规律
简谐振动的动力学特征
振动能量的周期性特征
第5章 机械振动
P.2/35
振动和波动的关系: 波动——振动的传播 振动——波动的源头
机械振动, 电磁振荡 机械波, 电磁波 德布罗意波——几率波
振动学是波动学的基础
第5章 机械振动
第5章 机械振动 振动: 任何一个物理量(物体的位置, 电流强度, 电 场强度, 磁场强度等)在某一固定值附近作往复变 化. 机械振动: 物体在固定位置(平衡位置)附近作来回 往复的运动. 简谐运动: 是最基本, 最简单的振动.
复杂振动 = ∑简谐振动 研究目的 —— 利用, 减弱 or 消除
初相位 : 也叫初位相或初相. t=0时的 相位, 描述初始时刻的振动状态, 与初始 条件有关.
相位差ΔΦ : 相位的差值. 单位: 弧度(rad)
第5章 机械振动
4. 求解振幅和初相
设 t =0 时
x0Acos, v0Asi n
x0 2 v0 2 2A2(s2in co2s)A2
振幅:
A
x02
P.3/35
§5.1 简谐运动
第5章 机械振动
5.1.1 简谐运动的特征及其运动方程
弹簧振子——理想模型
简谐运动的受力
f kx
始终指向平衡位置(有心力)
简谐运动的动力学方程
单
摆
m d2x k x
dt 2
P.4/35
简谐运动动力学方程
m d2x k x 令 dt 2
2 k m
d2x dt2
2x
0
微分方程的解(运动方程)
简谐运动的速度与加速度
第5章 机械振动
v d x A si nt ()
a
dt dv
vmcos(tπ2)
2Acost ()
v
d t a m co ts (π) a
xAcots()
简谐运动: 某个物理量随时间的变 化规律满足简谐运动方程, 或遵从 余(正)弦规律, 一般来说, 这一物理 量就作简谐运动.
xAcots()
5.1.2 简谐运动方程中的三个基本 物理量
Acos(t2))
T 2
频率 : 单位时间内完成的振动次数.
1. 描述振动强弱的物理量 振幅 A : 离开平衡位置的最远距 离.
单位: m 2. 描述振动快慢的物理量 周期 T : 往复振动一次所经历的 时间.
单位: s
1 T
单位: 赫兹(Hz, 1/s)
第5章 机械振动
y vm t π
t an
2 A
vm A
an A2
0
a
v
x
vAcost(π)
xAcots()
2
aA 2cots ()
远离 x，v0 接近 x，v0
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5.2.2 旋转矢量图的应用
1. 求初相位
振子沿 x 轴正方向运动
x x
第5章 机械振动
Φ ( t ) ( t )
v0
2
初相:
arctan(v0 ) x0
A 和 完全由初始条件决定.
的取值不唯一, 并与坐标正方向的选 取有关.
P.8/35
第5章 机械振动
例1: 轻弹簧一端固定, 另一端连接一个物 块. 整个系统位于水平面内, 系统的角频率
得x： 0 .0c4o 6 .0 tsm
为6.0s-1. 将物体沿水平向右拉到 x0= 0.04 m 处再释放, 试求: (1)简谐运动表达式; (2)
(1) 振动表达式; (2) t = 0.5s时, 质点的位置, 速度和加速 度; (3) 如果在某时刻质点位于 x=－6cm, 且沿 x 轴负方向运动, 求从 该位置回到平衡位置所需要的最短时 间.
P.5/35
第5章 机械振动
xAcots()
x xt图
A
T 2π 取 0
vA si n t ()
o
A
A v
T
vt 图
o
T
t
t
Acost(π) A
2
a at图
a A 2co t s() A2
o
Tt
A 2cots(π)A2
P.6/35
简谐运动的运动方程
第5章 机械振动
xAcost()Acost(2)
( )t ( )
若两个振动的频率相同, 则 相位差为
A
A
x
Φ
同一振动不同时刻的相位差
振子沿 x 轴负方向运动 2. 比较各振动之间的相位关系 不同振动同一时刻的相位差
x1A co ts ()
x2A co ts ()
x1A co ts1 ()
x2A co ts2 ()
Φ (t2 ) (t1 )
圆(角)频率 : 2 秒内振动的次数.
2 单位: 弧度/秒(rad/s)
周期, 频率与角频率关系:
k
m
T 1 2π 只取决于系统本身.
P.7/35
简谐运动的运动方程
xAcots()
3. 初相位, 相位和相位差 相位ωt + : 也叫位相或周相. 一个周期 当中, 相位与振子的运动状态(包括位置, 速度, 加速度)一一对应.
物 体 从 初 始 位 置 起 第 一 次 经 过 A/2 处 时 的
(2) 由(1)中结果
0.0 20.0c 4o 6.0 s t
速度.
cos6.0t 1
2
vdx0.2s4i6 n.0t
dt
解: (1)
si6 n.0t1co26s.0t
x 0 0m .,0 v 0 4 0 , 6 .0 s 1
(t2t1)()
t
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第5章 机械振动
Φ21
Φ0同步
x
Φπ反相
x
0 超前
Φ
落后
0
x
o
o
o
t
t
t
2 相位差为 整数倍: 同步
相位差为 或 奇数倍: 反相
P.13/35
3. 用旋转矢量图画简谐运动的
xt
第5章 机械振动
P.14/35
例2: 一质点沿x轴作简谐运动的振幅为 12cm, 周期为2s. 当 t = 0 时, 位移为6cm, 且沿 x 轴正方向运动. 求:
第5章 机械振动
• 旋转矢量 与xA轴的夹角(t+)即为简谐
运动的相位.
• 旋转矢量 角频率.
的A 角速度 即为振动的
• t =0时, 初相.
与xA 轴的夹角即为简谐振动的
• 旋转矢量 动.
旋A 转一周, P点完成一次全振
周期: T 2 π
结论: 投影点的运动为简谐运动
xAcost()
P.10/35
振 幅A：x02 v0022 x00.0m 4
依题意, v＜0
1
1
2
2
3 2
arctavn0 0 x0
v 0.24 3 0 .20 m s 8 1
(为什么 不取π ?)
2wenku.baidu.com
P.9/35
§5.2 简谐运动的旋转矢量表示法 5.2.1 旋转矢量表示法
t
x P
• 旋转矢量 的模A即为简谐运动的振幅.